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Beim vorigen Mal:��3UlGLNDWHQORJLN��6\QWD[��6HPDQWLN��(QWVFKHLGXQJVSUREOHPH

Heute: Prädikatenlogik: Algorithmus für Erfüllbarkeitsproblem

Lernziele: Beweisverfahren für Prädikatenlogik

Ralf Möller, TUHH

Danksagung

Bildmaterial: S. Russell, P. Norvig, ArtificialIntelligence: A Modern Approach, Prentice Hall,1995 (AIMA)

Präsentationen nach AIMA Kap. 3 sind orientiertan Präsentationen von Jörg Desel, Lehrstuhl fürAngewandte Informatik, Katholische UniversitätEichstätt

Normalform

Konjunktive und disjunktive Normalform (KNF und DNF)sind wie in der Aussagenlogik definiert.

Die Herstellung der Normalformen erfordert zusätzlichdie Elimination der Quantoren.

Pränexnormalform

Erster Schritt: Bilden der Pränexnormalform einer Formel

Quantorenpräfix + Matrix

∀x1 ∀x2 ∃x3 ... ∀xn (ϕ )

Erzeugen der Pränexnormalform durch Äquivalenzumformungen:

1. Elimination von ⇔ und ⇒

2. ¬ vor die Atome

3. Quantoren nach außen

Beispiel ¬∀x [(∀x P (x)) ⇒ Q (x)]

¬∀x [¬(∀x P (x)) ∨ Q (x)]

∃x [ (∀x P (x)) ∧ ¬Q (x)]

Variablennormalisierung

Variablenumbenennung

Lemma: Sei y eine Variable, die nicht in ϕ vorkommt. Dann gilt ∀x ϕ ≡ ∀y ϕ [x/y] und ∃x ϕ ≡ ∃y ϕ [x/y].

Variablennormalisierung:

Je zwei Variablen hinter Quantorenwerden durch Variablenumbenennung verschieden

gemacht.

Skolemisierung (1)

Elimination von Existenzquantoren

Eine Formel der Form

∀x1 ... xn ∃y ϕ

Wird ersetzt durch die Formel

∀x1 ... xn ϕ ′,

Wobei ϕ ′ aus ϕ dadurch entsteht, dass in ϕ jedes freieVorkommen von y durch f (x1 ... xn) ersetzt wird.

f ist ein „neues“ n-stelliges Funktionssymbol (Skolemfunktion)

Der Skolemterm f (x1 ... xn) repräsentiert ein y,das zu den gegebenen x1 ... xn existieren soll,d.h. ein Beispiel.

Skolemisierung (2)

Beispiel: ∀x ∃y [P (x) ⇒ Q (y)]

Skolemisierung: ∀x [P (x) ⇒ Q (f (x))]

Skolemnormalform: Skolemisierte Pränexnormalform

Beispiel: ∃x ((∀x P (x)) ∧ ¬Q (x))

∃y ((∀x P (x)) ∧ ¬Q (y))

∃y (∀x (P (x) ∧ ¬Q (y)))

∀x (P (x) ∧ ¬Q (f ))

Satz: Zu jeder geschlossenen Formel ϕ kann ihre Skolemnormalform effektiv berechnet werden.

Skolemisierung (3)

Die Skolemisierung ist keine äquivalente Umformung,d.h. sie ist nicht modellerhaltend.

Satz: Eine Formel ist genau dann erfüllbar bzw. unerfüllbar, wennihre Skolemnormalform erfüllbar bzw. unerfüllbar ist.

Wenn wir mit einem negativen (Test-) Kalkül arbeiten,also den Nachweis der Unerfüllbarkeit von Formeln anstreben,können statt allgemeiner prädikatenlogischer Formeln derenSkolemnormalformen verwendet werden.

Erzeugen der Klauselformel

Eine prädikatenlogische Formel wird durch folgendeTransformationsschritte in Klauselform gebracht:

• ⇔ und ⇒ eliminieren

• ¬ vor die Atome bringen

• gebundene Variablen umbenennen

• Herstellen der Pränexnormalform

• Skolemisierung

• Matrix in konjunktive Normalform bringen

• Allquantoren entfernen

• Überführen in Mengenschreibweise

Beispiel

Beispiel (2)

Resolution (1)

Voraussetzung: Klauselform

Beispiel:

{¬P (x, f (y))} {P (z, f (g (z)))}

Wann ergibt sich ein Widerspruch?

Aus dieser Klauselmenge kann nur dann die leere Klausel abgeleitetwerden, wenn die beiden Atome P (x, f (y)) undP (z, f (g(z))) identifiziert werden.

Substitution: Ersetzung der Variablen durch Terme, so dass beide Atome gleich werden.

Beispiel: ersetze y durch g (z)

ersetze x durch z

Substitution

σ = [x1/t1, x2/t2, ..., xn/tn] ist eine Substitution

(ersetze x1 durch t1, x2 durch t2, ..., xn durch tn ).

Für eine atomare Formel α istσα die Anwendung der Substitution σ auf α ,die alle Vorkommen der Variablen xi in α durch dieentsprechenden ti ersetzt.

Beispiel:

ϕ = P (f (x), y)

σ = [x/z, y/f (z)]

σϕ = P (f (z), f (z))

Unifikation (1)

Unifikator zweier atomarer Formeln α1 und α2:

Substitution σ, die α1 und α2 unifiziert (gleich macht),d.h. es soll gelten: σα1 = σα2.

Allgemeinster Unifikator σ (engl. most general unifier, mgu):

alle anderen Unifikatoren ergeben sich durchInstantiierung der Variablen in σ, d.h.:

Zu jedem Unifikator σ ′ gibt es eine Substitution τ mit

σ ′α 1 = τ (σα1) = τ (σα2) = σ ′α2.

Satz:

Für je zwei Ausdrücke gibt es, bis auf Variablenumbenennung,höchstens einen allgemeinsten Unifikator.

Unifikation (2)

Beispiel:

Unifikation der Atome Q (f (x), v, b) und Q (f (a), g (u), y)

durch die beiden Substitutionenσ = [x/a,v/g(u), y/b]

σ ′ = [x/a,v/g(c), u/c, y/b]

σ ist allgemeinster Unifaktor.

Beachte:

Die Terme x und f (x) sind nicht unifizierbar (occur-check)

Die Terme f (x) und g(x) sind nicht unifizierbar.

Unifikation (3)

Algorithmus zur Berechnung des mgu für eine Menge von Atomen {αi}.

σ = [ ].

LOOP IF alle σαi identisch THEN

RETURN σ (ein mgu)Bilde Unterscheidungsmenge (engl. Disagreement Set, DS), Bsp.: DS ({P (c, f (c, g(z), ...)) ... P (c, f (c, u, ...))} = {g(z), u}

Wähle Variable x ∈ DS und Term t ∈ DS, der x nicht enthält

IF dies nicht möglich ist THENRETURN failure ({αi} nicht unifizierbar)

Ergänze σ um [x/t]

ENDLOOP

Beispiele

Sind folgende Atome unifizierbar?

P (x) und Q (y)

P (x, y) und P (z)

P (x, y) und P (a, f (a))

P (x, y) und P ( f (z), g(z))

P (x, f (y)) und P (z , f (g(z))

P (x, x) und P ( f (y), f (g(z))

P (x, f (x)) und P (y, y)

P (x, a) und P (b, x)

P (x, f (x, x), z, f (z, z)) und P (f (a, a), y, f (y, y), u)

Resolution (2)

C1 ∪ {l} und C2 ∪ sind variablendisjunkt und σ ist einallgemeinster Unifikator für l und , d.h. σ l = σ

Beispiel: {{P(x), P(f (y)), Q(g(x))}, {R(f (z)), ¬P(f (z))}},

σ = [x/f (v), y/v, z/v]

{Q(g(f (v))), R(f (v))}

Satz:Eine prädikatenlogische Klauselmenge Δ ist unerfüllbar gdw. imprädikatenlogischen Resolutionskalkül die leere Klausel aus Δabgeleitet werden kann, Δ | ∼.

C l C l

C C

1 2

1 2

! !

!

{ }, { }

( )"

{ }l

ll

Beispiel 1

Beispiel 2

Faktorisierung  (1)  

• Annahme:  Ein  Barbier  rasiert  Männer  genau dann,  wenn  sie  sich  nicht  selber  rasieren.

• Behauptung  1:  Der  Barbier  rasiert  sich  selbst• Behauptung  2:  Der  Barbier  rasiert  sich  nichtselbst

Faktorisierung (2)

Faktorisierung: Verfeinerung der Resolutionsregel

Verschmelzung der Literale in den Elternklauseln durch Anwendung einergeeigneten Substitution, bevor die Resolvente erzeugt wird.

Faktorisierungsregel:

s ¢ = [x/barbier]

s ¢¢ = [y/barbier]

Aus F 1 und F 2 kann die leere Klausel abgeleitet werden.

{ ( , ), ( , )}: { ( , )}

¬ ¬¬

Rasiert barbier x Rasiert x xF Rasiert barbier barbier1

{ ( , ), ( , )}: { ( , )}

Rasiert y y Rasiert barbier yF Rasiert barbier barbier2

Generierung von Antworten (ask)

Gegeben sei ein Resolutionsbeweis für $x P(x) ,d.h. für gewisse Werte von x ist die Formel unerfüllbar.

Wie sieht „Beispiel“ für x aus, so dass Formel unerfüllbar?

Statt die verwendeten Unifikatoren durchzusuchen,können Antwortprädikate verwendet werden.

Sie akkumulieren die während des Beweises konstruierteSubstitution für x.

Das Antwortprädikat A kommt in der Signatur noch nicht vor.

• Ersetze die Formel $x P(x) durch $x [P(x) Ÿ ¬A(x)].

• Der Resolutionsbeweis erzeugt statt _ eine Klausel, die nur das Antwortprädikat enthält.

%HLVSLHO��

Behandlung von = bei der Resolution

z Über Unifikation ...

Zusammenfassung

Algorithmus für Erfüllbarkeit: Resolution