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Stochastik und StatistikVorlesung WT 3 Verteilungensmodelle
K.Gerald van den Boogaart
http://www.stat.boogaart.de
Stochastik und Statistik – p.1/123
Ereignisanzahlen
Stochastik und Statistik – p.2/123
Urnenmodell (ohne Zurücklegen)
???
Stochastik und Statistik – p.3/123
Hypergeometrische Verteilung
???
Stochastik und Statistik – p.4/123
Beispiele für UMoZ
???
Stochastik und Statistik – p.5/123
Urnenmodell (mit Zurücklegen)
???
Stochastik und Statistik – p.6/123
Beispiele für UMmZ
???
Stochastik und Statistik – p.7/123
Binomialer Grenzwert
???
Stochastik und Statistik – p.8/123
Binomialverteilung
???Bi(n, p) : P (X = i) =
n
ipi(1 − p)n−i
ΩX = 0, 1, . . . , n
Stochastik und Statistik – p.9/123
Momente der Binomialverteilung
Für X ∼ Bi(n, p) gilt:
E[X] = np
var(X) = np(1 − p)
Stochastik und Statistik – p.10/123
Schätzung bei der Binomialverteilung
Für Bi(N, p) gilt:Wenn N bekannt ist läßt sich p leicht durch:
p =X
N
schätzen (konsistent, erwartungstreu).Schätzfehler:
var(p) =N
np(1 − p)
Die Schätzung von n ist sehr schwierig.
Stochastik und Statistik – p.11/123
Drei Wege zuBi(n, p)
Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolgebei:
Urnenmodell mit Zurücklegen:
Bi
(
Versuche,Gute Kugeln
AlleKugeln
)
Großes Urnenmodell ohne Zurücklegen:
Bi
(
Versuche,Gute Kugeln
AlleKugeln
)
Unabhängige Versuche:Bi (Versuche, Erfolgswahrscheinlichkeit)
Stochastik und Statistik – p.12/123
Kleine Chance, viele Versuche
???
Stochastik und Statistik – p.13/123
Die Poissonverteilung
???
Po(λ) : P (X = i) = e−λλi
i!
ΩX = 0, 1, . . . ,∞
Stochastik und Statistik – p.14/123
Der Poissonsche Grenzwertsatz
???
Stochastik und Statistik – p.15/123
Momente der Poissonverteilung
Für X ∼ Po(λ) gilt:
E[X] = λ
var(X) = λ
Stochastik und Statistik – p.16/123
Schätzung bei der Poissonverteilung
Den Parameter λ der Poissonverteilung kann man sehreinfach schätzen :
λ = X
(konsistent, erwartungstreu)Schätzfehler:
var(λ) =λ
n
Stochastik und Statistik – p.17/123
Poissonscher Faltungssatz
Eine einfache Regel: Sind X1, . . . , Xn Poissonverteilt(z.B. Xi ∼ Po(λi))so ist es auch ihre Summe:
X1 + . . . + Xn ∼ Po(λ1 + . . . + λn)
Stochastik und Statistik – p.18/123
Anwendungen
Die Poissonverteilung beschreibt:
die Anzahl der Erfolge bei vielen aussichtsarmenVersuchen:Po (pn)
die Anzahl der Misserfolge bei vielen aussichtsreichenVersuchen:Po ((1 − p)n)
die Anzahl von Anforderungen bei vielen potentiellenAkteurenPo (λ), λ = Durschnittliche Anforderungszahl
Stochastik und Statistik – p.19/123
Asymptotic für Ereignisanzahlen
Binomial-Grenzwertsatz:Hyp(n,N,M) → Bi
(
n, NM
)
für große N , MN konstant.
Also: Beim Aussuchen aus großen Populationen ist diePopulationsgröße egal, wenn der Anteil bekannt ist.
Stochastik und Statistik – p.20/123
Asymptotic für Ereignisanzahlen
Binomial-Grenzwertsatz:Hyp(n,N,M) → Bi
(
n, NM
)
für große N , MN konstant.
Also: Beim Aussuchen aus großen Populationen ist diePopulationsgröße egal, wenn der Anteil bekannt ist.
Poisson-Grenzwertsatz:Bi(
n, λn
)
→ Po(λ) für große n.Also: Bei großen Populationen ist die Populationsgrößeegal, solange die mittlere Ereignisanzahl bekannt ist.
Stochastik und Statistik – p.20/123
Verteilungen für Ereignisanzahlen
Binomial: Erfolge bei mehreren Versuchen
Stochastik und Statistik – p.21/123
Verteilungen für Ereignisanzahlen
Binomial: Erfolge bei mehreren Versuchen
Hypergeometrische: Treffer bei Auswahl ohneZurücklegen.
Stochastik und Statistik – p.21/123
Verteilungen für Ereignisanzahlen
Binomial: Erfolge bei mehreren Versuchen
Hypergeometrische: Treffer bei Auswahl ohneZurücklegen.
Poisson: Erfolge bei vielen Versuchen
Stochastik und Statistik – p.21/123
Versuchsanzahlen bis zum Erfolg
Stochastik und Statistik – p.22/123
Würfeln bis zum Erfolg
???
Stochastik und Statistik – p.23/123
Volle Geometrische Verteilung
??? Anzahl der nötigen Versuche
Geo(p) : P (X = i) = (1 − p)i−1p
ΩX = 1, . . . ,∞
E[X] =1
p???, var(X) =???
Stochastik und Statistik – p.24/123
Reduzierte Geometrische Verteilung
??? Anzahl der nötigen Versuche
Geo′(p) : P (X = i) = (1 − p)ip
ΩX = 0, . . . ,∞
E[X] =1
p− 1???, var(X) =???
Stochastik und Statistik – p.25/123
Würfeln bis zum k-ten Erfolg
???
Stochastik und Statistik – p.26/123
Negativ Binomialverteilung
???
NBi(n, p) : P (X = i) =n + i
npn(1 − p)i
ΩX = n, n + 1, . . . ,∞
E[X] =n
p
p =n
X
(konsistent)
Stochastik und Statistik – p.27/123
Verbindungen zwischen den Verteilungen
Sind X1, . . . , Xn ∼ Geo(p) so gilt:
X1 + . . . + Xn ∼ NBi(n, p)
Sind X1, . . . , Xn, Xi ∼ NBi(ni, p) so gilt:
X1 + . . . + Xn ∼ NBi(n1 + . . . + nn, p)
Stochastik und Statistik – p.28/123
Versuchsanzahlen
Geo(p): Versuche bis Erfolg
Geo′(p): Fehlversuche bis Erfolg
NBi(n, p): Versuche bis n-Erfolge
Stochastik und Statistik – p.29/123
Lebensdauerverteilungen
Stochastik und Statistik – p.30/123
Risikorate
Stochastik und Statistik – p.31/123
Konzeptionelle Risikoraten
Stochastik und Statistik – p.32/123
Konstante Risikorate
Stochastik und Statistik – p.33/123
Exponentialverteilung
Stochastik und Statistik – p.34/123
Momente
Stochastik und Statistik – p.35/123
Schätzung der Parameter
Stochastik und Statistik – p.36/123
Exponential und Geometrisch
Stochastik und Statistik – p.37/123
Grenzwertsatz der Exponentialverteilung
Stochastik und Statistik – p.38/123
Einfache Risikoraten
Stochastik und Statistik – p.39/123
Weibullverteilung
Stochastik und Statistik – p.40/123
Weibull mit steigendem Risiko
Stochastik und Statistik – p.41/123
Weibull mit fallendem Risiko
Stochastik und Statistik – p.42/123
Multiples Warten
Stochastik und Statistik – p.43/123
Gammaverteilung
Stochastik und Statistik – p.44/123
Lebensdauer- und Wartezeitmodelle
Exponential: Konstantes Risiko
Weibull: Steigendes oder Fallendes Risiko
Gamma: Mehrfaches warten
Fehlt: die Badewanne
Stochastik und Statistik – p.45/123
Konzept: Zensorierte Beobachtungen
Stochastik und Statistik – p.46/123
Poissonprozess
Stochastik und Statistik – p.47/123
Idee: Unabhängige Ereignisse
Stochastik und Statistik – p.48/123
Wartezeitverteilung
Stochastik und Statistik – p.49/123
Mehrfache Warteverteilung
Stochastik und Statistik – p.50/123
Skalierung der Poissonverteilung
Stochastik und Statistik – p.51/123
Störungen
Stochastik und Statistik – p.52/123
Additive Überlagerung
???
Stochastik und Statistik – p.53/123
Faltung
???
Stochastik und Statistik – p.54/123
Faltungsformel
???
Stochastik und Statistik – p.55/123
Die Normalverteilung
???
Stochastik und Statistik – p.56/123
Zentraler Grenzwertsatz
???
Stochastik und Statistik – p.57/123
Messfehler
???
Stochastik und Statistik – p.58/123
Große Zahlen: Binomial
Stochastik und Statistik – p.59/123
Große Zahlen: Poisson
Stochastik und Statistik – p.60/123
Momente
Für X ∼ N(µ, σ2)
E[X] = µ, var(X) = σ2, sd(X) = σ
Stochastik und Statistik – p.61/123
Schätzung bei Normalverteilung
???
µ = X, var(µ) =1
nσ2
σ2 = ˆvar(X)
Stochastik und Statistik – p.62/123
Transformationsformel
X1, . . . , Xn, Xi ∼ N(µi, σ2
i ) unabh.
α1X1 + . . . + αnXn ∼ N
(
n∑
i=1
αiµi,∑
i
α2
i σ2
i
)
Bei Abhängigkeit mit cov(Xi, Xj) 6= 0 gilt (falls die Variablengemeinsam normalverteilt sind):
α1X1 + . . . + αnXn ∼ N
n∑
i=1
αiµi,∑
i
∑
j
αiαjcov(Xi, Xj)
Stochastik und Statistik – p.63/123
Anwendung der Normalverteilung
???
Stochastik und Statistik – p.64/123
Irrfahrt
Stochastik und Statistik – p.65/123
Brownsche Bewegung
???
Stochastik und Statistik – p.66/123
Skalierung der Varianz
Stochastik und Statistik – p.67/123
Ausblick: Stochastische Differenzialgleichungen
Stochastik und Statistik – p.68/123
Multiplikative Störung
Stochastik und Statistik – p.69/123
Das Logarithmus Prinzip
Stochastik und Statistik – p.70/123
Die Lognormalverteilung
Stochastik und Statistik – p.71/123
Zusammenfassung Störungen
Normalverteilung: (additive Überlagerung)
Lognormalverteilung: (additive Überlagerung)
Brownsche Bewegung: (Irrfahrten)
Stochastik und Statistik – p.72/123
Extremwertmodelle
Stochastik und Statistik – p.73/123
Beispiel: Belastungsgrenze
Stochastik und Statistik – p.74/123
Verteilung des Maximum
???
Stochastik und Statistik – p.75/123
Extremwerttheorie
???
Stochastik und Statistik – p.76/123
Extremwertverteilung
???
Stochastik und Statistik – p.77/123
Grenzwertsatz der Extremwerttheorie
???
Stochastik und Statistik – p.78/123
Anziehungsbereiche
Stochastik und Statistik – p.79/123
Die Verteilungstypen
???
Typ 0: Einpunktverteilung
Typ I: Gumbel-Verteilung
Typ II: Fréchet-Verteilung
Typ III: Reverse Weibull-Verteilung
Stochastik und Statistik – p.80/123
Type 0
Stochastik und Statistik – p.81/123
Type I
Stochastik und Statistik – p.82/123
Gumbel-Verteilung
Stochastik und Statistik – p.83/123
Type II
Stochastik und Statistik – p.84/123
Fréchet-Verteilung
Stochastik und Statistik – p.85/123
Type III
Stochastik und Statistik – p.86/123
Reverse-Weibullverteilung
Stochastik und Statistik – p.87/123
Anziehungsbereiche
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.4
0.8
Type 0
Beschraenkt mit pos. Dichtex
ifels
e(x
< 1
, 1, 0
)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.4
0.8
Type I
Exponentiel abfallendxex
p(−
3 *
x)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
12
34
5
Type II
Abfallend wie 1/x^alphax
1/(0
.2 *
(x
+ 1
)^2)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
1.0
2.0
Type III
Beschraenkt mit 0 Dichtex
ifels
e(x
< 1
.5, (
x −
1.5
)^2,
0)
Stochastik und Statistik – p.88/123
Schätzung mit dem Block Modell
Stochastik und Statistik – p.89/123
Das Block-Modell
???
Stochastik und Statistik – p.90/123
Skalierung der Fréchet-Verteilung
???
Stochastik und Statistik – p.91/123
Das POT Modelle
Stochastik und Statistik – p.92/123
Stichproben im POT-Modell
???
Stochastik und Statistik – p.93/123
Generalisierte Paretoverteilung
???
Stochastik und Statistik – p.94/123
Anpassung
???
Stochastik und Statistik – p.95/123
Minimal sind negative Maxima
Stochastik und Statistik – p.96/123
Minimalwertstatistiken
Stochastik und Statistik – p.97/123
Beispiel: Bruchspannungsverteilung
Stochastik und Statistik – p.98/123
Anwendung der Weibullverteilung
???
Stochastik und Statistik – p.99/123
Skalierung der Fréchet-Verteilung
???
Stochastik und Statistik – p.100/123
Das Problem der Extrapolation
Stochastik und Statistik – p.101/123
Fraktale Modelle
Stochastik und Statistik – p.102/123
Die Paretoverteilung
???
Stochastik und Statistik – p.103/123
Das Powerlaw
???
Stochastik und Statistik – p.104/123
Übersicht
Stochastik und Statistik – p.105/123
Wie geht es weiter?
Welche Standardmodelle gibt es?Ereignis Anzahlen: Binomial, Hypergeometrisch,PoissonVersuchsanzahlen: Geometrisch, Negativ BinomialLebensdauern: Exponentiell, Gamma, WeibullStorungen: Normal, LognormalExtremalwerte: Weibull, Gumbel, Fréchet
Stochastik und Statistik – p.106/123
Wie geht es weiter?
Welche Standardmodelle gibt es?
Welches Modell gehört zu welcher Situtation?z.B. Binomial ⇔ n unabhängige Möglichkeitenz.B. Poisson ⇔ viele unabhängige Möglichkeitenz.B. Weibull ⇐ alternde Maschinez.B. Fréchet ⇐ überfließender Damm
Stochastik und Statistik – p.106/123
Wie geht es weiter?
Welche Standardmodelle gibt es?
Welches Modell gehört zu welcher Situtation?
Wie schätzt man die Parameter?Formeln, Schätzfehler, Vertrauensbereich,...
Stochastik und Statistik – p.106/123
Wie geht es weiter?
Welche Standardmodelle gibt es?
Welches Modell gehört zu welcher Situtation?
Wie schätzt man die Parameter?
Wie kann man mit den Modellen weiterrechnen?Rechengesetze, Zusammenhänge, Fehlerrechnung,...
Stochastik und Statistik – p.106/123
Stochastik und Statistik – p.107/123
Konfidenzintervalle
Stochastik und Statistik – p.108/123
Konzept des Konfidenzintervalls
Stochastik und Statistik – p.109/123
Anwendung für die Zuverlässigkeit
Stochastik und Statistik – p.110/123
Normalverteilungs CIs
Stochastik und Statistik – p.111/123
Tschebyscheff CIs
Stochastik und Statistik – p.112/123
Transformierte CIs
Stochastik und Statistik – p.113/123
Fehlerrechnung
Stochastik und Statistik – p.114/123
Beispiel: Gesamtbedarf
???
Stochastik und Statistik – p.115/123
Lineare Fehlergesetze
???
Stochastik und Statistik – p.116/123
Rechnen am Beispiel
???
Stochastik und Statistik – p.117/123
Beispiel: Volumen
???
Stochastik und Statistik – p.118/123
Linearisierung
???
Stochastik und Statistik – p.119/123
Linearisierte Fehlergesetzte
???
Stochastik und Statistik – p.120/123
Beispiel Volumen
???
Stochastik und Statistik – p.121/123
Modellauswahl
Stochastik und Statistik – p.122/123
Wie entsteht der Zufall?
Überlagerung kleiner Störungen
Anzahlen
Stochastik und Statistik – p.123/123
