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Modul: Stochastik

• Ablauf

• Vorstellung derThemen

• Lernen

• Spielen

• Wiederholen

• Zusammenfassen

• ZufallsexperimenteoderWahrscheinlichkeit

• relative Häufigkeit

• Variation

• Permutation

• Kombinationen

• Binomialverteilung

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Stochastik

• Der Begriff Stochastik stammt ausdem Griechischen und heißt soviel wie

„Kunst des Mutmaßens“.

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Einsatzgebiete der Stochastik

• Mit Hilfe der Stochastik kann man etwa dieWahrscheinlichkeit für Lottogewinneberechnen oder die Größe des möglichenFehlers bei Meinungsumfragen bestimmen.Die Stochastik ist auch für dieFinanzmathematik von Bedeutung und hilftmit ihrer Methodik beispielsweise bei derPreisfindung für Optionen.

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Zufall oder Wahrscheinlichkeit

• In derWahrscheinlichkeits-rechnung beschäftigtman sich mitExperimenten,dessen Ergebnissenicht genauvorhersagbar sind.

• Man nennt dieseVersuche auchZufallsexperimente

WelcheZufallsexperimentekennen Sie?Brainstorming

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Zufallsexperimente

• Beispiele • Werfen einer Münze

• Würfelspiele

• Roulette

• Lotto

• Fussballwetten

• Poker

• ___________

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Woher kommen die Daten?

• Messen

• Wiegen

• Zählen

• Befragen

• Schätzen

• Wie schwer ist derMond?

(Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff)

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Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff

Wahrscheinlichkeit

als Grad persönlicher Überzeugung

(engl. "degree of belief").Er unterscheidet sich damit von den

• objektivistischen Wahrscheinlichkeitsauffassungen• wie dem frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff, der Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeitinterpretiert.

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Wichtige Begriffe: Prognose

• Die Prognose istdabei

• ein Maß für dieUnsicherheitzukünftigerEreignisse,

• ein Maß für denGrad an persönlicherÜberzeugung

• Wettervorhersage• Wahlergebnisse

•••

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Formalisierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes

• Er fordert die Gültigkeit der folgendenPrinzipien:

• Transitivität: Wenn Wahrscheinlichkeit Agrößer ist als Wahrscheinlichkeit B, undWahrscheinlichkeit B größer alsWahrscheinlichkeit C, dann mussWahrscheinlichkeit A auch größer als

Wahrscheinlichkeit C sein: A>B>C

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Paradoxieproblem:Ein Mann, der die Transitivität der Wahrscheinlichkeitnicht versteht, hat in einem Rennen auf Pferd Agesetzt. Er glaubt jetzt aber, Pferd B sei besser, undtauscht seine Karte um. Er muss etwas dazuzahlen,aber das macht ihm nichts aus, weil er jetzt einebessere Karte hat. Dann glaubt er, Pferd C sei besserals Pferd B. Wieder tauscht er um und muss etwasdazuzahlen. Jetzt glaubt er aber, Pferd A sei besserals Pferd C. Wieder tauscht er um und muss etwasdazuzahlen. Immer glaubt er, er bekäme einebessere Karte, aber jetzt ist alles wieder wie vorher,nur ist er ärmer geworden.

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Negation

• Negation: Wenn wirüber die Wahrheitvon etwas eineErwartung haben,dann haben wirimplizit auch eineErwartung überdessen Unwahrheit.

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Konditionierung

• Konditionierung: Wenn wir eineErwartung haben über die Wahrheitvon G, und auch eine Erwartung überdie Wahrheit von F im Falle, dass Gwahr wäre, dann haben wir implizit(genauso) auch eine Erwartung überdie gleichzeitige Wahrheit von G undF.

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Schlüssigkeit

Schlüssigkeit (soundness):Wenn es mehrere Methoden gibt,bestimmte Informationen zubenutzen, dann muss dieSchlussfolgerung immer dieselbesein.

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A-priori-Wahrscheinlichkeit

• Die A-priori-Wahrscheinlichkeit ist in denNaturwissenschaften ein Wahrscheinlichkeitswert, der aufgrundvon Vorwissen (zum Beispiel symmetrische Eigenschaften einesWürfels) gewonnen wird. A-priori-Wahrscheinlichkeiten spieleninsbesondere beim Bayesschen Wahrscheinlichkeitsbegriff einewichtige Rolle.

• Die älteste Methode für die Bestimmung von A-priori-Wahrscheinlichkeiten stammt von Laplace: Sofern es keinenexpliziten Grund gibt, etwas anderes anzunehmen, wird allenelementaren Ereignissen dieselbe Wahrscheinlichkeitzugeordnet. Zum Beispiel sind bei einem Münzwurf dieelementaren Ereignisse "Kopf" und "Zahl". Solange man keinenGrund hat, anzunehmen, die Münze sei manipuliert, wird manalso beiden Ereignissen dieselbe Wahrscheinlichkeit ½zuordnen.

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Beispiel : Werfen einer Münze

• Man weiß nichtwelche Seite obenliegen wird

• Ergebnismenge:

S= {Z, W}

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1. Aufgabe: Münzwurfspiel

Wahrscheinlichkeiten1. Bilden Sie dreierGruppen und notierenSie alle möglichenWurfergebnisse, wennSie mit drei Münzenwerfen

• Schreibweise:

Ergebnismenge:S={(_,_,_),(_,_,_),(_,_,_),

(_,_,_),(_,_,_),

(_,_,_)}

S={(z,z,z),(w,w,w),(z,w,w),(z,z,w), (w,z,z)}

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2.Wurfspiel in Dreier Gruppen

• Jeder Spieler wirftabwechselnd einmaleine Münze, bis alleSpieler pro Rundenacheinander alsErgebnis Zahlerhalten

• Schreibweise:

Ergebnismenge:S={(_,_,_),(_,_,_),(_,_,_),

(_,_,_),(_,_,_),(_,_,_),

(_,_,_), (_,_,_)(_,_,_),(_,_,_)}

Fertig: Vergleichen Sie dieAnzahl der Versuche mitden anderen Kleingruppen

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Würfelspiele

• Beim Würfelspielgibt es nun mehrmöglicheErgebnismengen alsbei einer Münze

• Schreibweise:

Ergebnismenge:S={(_,_,_,_,_,_),

(_,_,_),(_,_,_),

(_,_,_),(_,_,_),(_,_,_),

(_,_,_), (_,_,_)(_,_,_),(_,_,_)}

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Wahrscheinlichkeiten1. Bilden Sie dreier Gruppenund notieren Sie allemöglichenWürfelergebnisse (S) beizwei Würfeln

2. Das Ereignis (E) Paschkann dabei wie oftvorkommen?

3. Wie viele Möglichkeitengibt es mit drei Würfeln?Warum? 6x6x6=216

S={(_,_),(_,_),(_,_),

(_,_),(_,_),(_,_),(_,_),

(_,_),(_,_),...., (_,_)

(_,_),(_,_)}36 Möglichkeiten

E={(_,_),(_,_),(_,_),

(_,_),(_,_),(_,_)}

Würfelspiele

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2. Aufgabe: Würfelspiele

Wahrscheinlichkeiten1. Bilden Sie dreier Gruppenund notieren Sie allemöglichen Wurfergebnisse

2. Jeder Spieler wirftabwechselnd einmalden Würfel, bis alleSpieler pro Rundenacheinander alsErgebnis die Zahl 6erhalten (Zeit ca. 1oMinuten)

• Schreibweise:

Ergebnismenge:S={(_,_,_),(_,_,_),(_,_,_),

(_,_,_),(_,_,_),(_,_,_),

(_,_,_), (_,_,_)(_,_,_),(_,_,_)}

Fertig: Vergleichen Sie dieAnzahl der Gewinner mitden anderen Kleingruppen

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Auswertung:

Anzahl Gesamtwürfe

E 1 =

E 2 =

E 3 =

E 4 =

E 5 =

E 6 =

Gesamt ∑ =

• Wie ist dieVerteilung?

• Entspricht dieVerteilung E denWahrscheinlichkeitenvon P?

P1={1/6 von den

Gesamtwürfen}

Gesamtwürfe

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Relative Häufigkeiten

• Die RelativeHäufigkeit, oderbedingte Häufigkeitist die absolute(tatsächliche) Häufigkeitdividiert durch dieAnzahl derEreignisse.

• Berechnen Sie dieprozentualen(relativen)Häufigkeiten derWürfelereignisse mitderGrundgesamtheit.

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Permutation

• Unter einer Permutation(von lat. permutare„(ver)tauschen“)versteht man dieVeränderung derAnordnung einer Mengedurch Vertauschen ihrerElemente.

Beispiel:• Wieviel Möglichkeitender Anordnung von:

A,B,C gibt es? 3x2x1=6

Wieviel Möglichkeiten derAnordnung der Zahlen(1,2,3,4,5,6) gibt es?

6x5x4x3x2x1

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Permutation

Beispiel:Man hat die Buchstaben

A,B,C,D,E,F,GWie viele Möglichkeitengibt es, dieseBuchstabenhintereinanderanzuordnen?

• Es gibt 7 verschiedeneBuchstaben (Stellen)

• Für die erste Stelle gibtes 7 Möglichkeiten

• Für die zweite Stelle 6• Und so weiter• Also:7*6*5*4*3*2*1=5040Möglichkeiten

• 7! Fakultät=5040

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Permutation

• Fakultät !

allgemein: n!

Beispiel:

A,B,D,E,G,N,S,T,U

9 Stellen= 9!

• 2 Möglichkeiten sindz.B. BUNDESTAG

oderANGSTBUDE

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Permutation

• Neues Beispiel:

A,B,E,E,E,G,G,H,H,I,L,N,N,O,R,S,T,U

Hier treten Buchstabenmehrfach auf:

E,E,E;G,G;H,H;N,N

• Die doppeltenBuchstaben sind nichtzu unterscheiden.

• 18! wäre bei 18Buchstaben dieGesamtmenge anMöglichkeiten, enthältaber auch die doppeltenBuchstaben.

• Idee: „Abziehen“ dieserMöglichkeiten

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Permutation- Abziehen doppelter

18! : Gesamtmenge anMöglichkeiten

E,E,E : 3! Mehrfache:

G,G : 2! Mehrfache:

H,H : 2! Mehrfache:

N,N : 2! Mehrfache

!3

!18

!2!3

!18

⋅

!2!2!3

!18

⋅⋅

!2!2!2!3

!18

⋅⋅⋅

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Permutation

• Es gibt also

•

• Möglichkeiten die 18Buchstabenanzuordnen.

2 sind z.B.NAHERHOLUNGSGEBIET

und

HUNGERLOHNABSTEIGE!2!2!2!3

!18

⋅⋅⋅

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Permutation

• Berechnen Sie dieunterschiedlicheMöglichkeiten ihrenVornamenumzustellen.

• Beispiel: Rainer

• R,a,i,n,e,r,

• 6 Stellen

• R ist doppelt

6! : 2!=6*5*4*3*2*1=720

Geteilt durch 2!=2

720/2=360Möglichkeiten

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Vorlage: Berechnung Permutation

• Dein Name:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

• Anzahl der Stellen=__

• Doppelte Stellen:

• _ _ , _ _, _ _,

• Berechnung:

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Variation

Aufgabe:• 18 Auszubildende einesStahlbetriebes sollen inzweier Gruppen inverschiedene Abteilungeneingeteilt werden

• Jeder Azubi erhält eineandere Aufgabe

• Wieviel Möglichkeiten gibtes diese zweier Gruppen zubilden?

=18x17

! Man kann nicht mit sich selbereine Gruppe bilden!

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)!(

!

kn

n

−

Kombinationen

Es gibt also 18�17(=306) möglicheKombinationen

Allgemeine Formel für

die Bildung von k-er

Gruppen aus n Elementen:

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Die Formel

Diese Formel sagtgenau das gleicheaus, da man18x17x16 x[…]x1durch 18x17x16x[...] x1 teilt undsomit nur noch20�19 übrig bleibt )!(

!

kn

n

−

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Der Ausbilder

• Der Ausbilder war so begeistert von denResultaten der Zwischenprüfungen, dass erunter seinen 20 Schülern 4 Preise verlosenmöchte. Dafür schreibt er jeden Namen derKursteilnehmer auf jeweils eine Kugel undtut sie in einen Beutel.

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Die Verlosung

Er zieht nun für den ersten Preis einen Kugelnaus dem Beutel, notiert sich den gezogenenNamen und legt die Kugel wieder zurück. Esist also möglich, dass z.B. Juli alle 5 Preisegewinnen könnte.

Wie viele mögliche Variationen gibt es nun fürden Gewinn der Preise, wenn der Ausbilderdie Kugeln zurücklegt?

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Variation Gewinnspiel

Man hat 5 Stellen zubesetzen:

_ _ _ _ _

Für jede Stelle gibt es20 Möglichkeiten.

Also 20�20�20�20�20=

Allgemein also:

• 205=3.200.000

kn

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Lotto

Herr Glücklich hat schonwieder vergessen, wieviele möglicheKombinationen es beimnormalen Zahlenlottogibt. Dabei will ergenau das morgen mitseinem Kursbesprechen.

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Das Lottoglück

Beim Zahlenlotto spielt die Reihenfolge dergezogenen Zahlen keine Rolle.

Es werden aus 49 Zahlen 6 gezogen.Im Prinzip hätte man wie viele Möglichkeiten?

Diese enthalten aber noch gleichwertigeKombinationen, da die Reihenfolge ja keineRolle spielt.

)!649(

!49

−

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Lottokombinationen

Diese enthalten aber noch gleichwertigeKombinationen, da die Reihenfolge jakeine Rolle spielt.

z.B. 8-40-17-33-21-49

und 17-21-49-33-8-40

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Der Lottogewinn

Diese mehrfachen Möglichkeiten müssen alsonoch eliminiert werden.

Die Anzahl dieser „Mehrfachen“ ist in diesemFall 6!, da wir 6 Stellen zu besetzen haben.

Die Rechnung muss also lauten:

816.983.13)!649(!6

!49=

−⋅

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Kombination

Oder allgemein:

Auch darstellbar als:

(n über k)

)!(!

!

knk

n

−⋅

k

n

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N über k

Um sich Tipparbeit mitdem Taschenrechnerzu ersparen, hatdieser die „nCr“Taste.

tippt man als „n nCr k“in den Taschenrechner

k

n

k

n

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Zusammenfassung:

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Vielen Dank

• Bemerkungen zum Unterrichtsverlauf