Archiv fiir E l e k t r o t e c h n i k XXX..Band. 4. Heft. 1936.

Stromverdriingungsmotoren mit Ein- und Mehrnutliiufern; Eindringtiefe.

Von

H, HeB VDE, Aachen.

(Eingegangen am 29. 10. 1935.) 62I. 313. 333-

0bersicht. Unter Benutzung der Vorste]lung der Eindringtiefe werden fiir verschiedene Stab- formen asynchroner IAiufer einfache, aber hinreichend genaue Ausdrticke der Widerstandserh6hung und Induktivit~tsverminderung angegeben und ihre Abh~ngigkeit auf H6chstwerte untersucht. Ferner wird die doppeltverket{ete Streuung far einige Doppelnutl~iufer in Sonderausfiihrung ermittelt und der Gtitegrad yon Heemaf- und Dreinutmotoren mit dem eines ,,normalen" Doppelnutmotor s ver- glichen.

Einleitung. Die ftir die Berechnung maBgebenden Gr6Ben bei Drehstromasynchronmotoren

mit Stromverdr~ngungsl~ufern im Vergleich zu Motoren mit einfachen Kfifigl~ufern ohne Stromverdr~ngung sind die Anderungen der Widerstands- und Induktivitfits- werte dcr L~uferkfifige bei verschiedenem Schlupf. Entsprechend den geometrisch oft nicht einfachen Nutformen der Stromverdr~ngungslfiufer ftihrt die genaue Rech- nung dieser Werte, die yon den beiden Maxwellschen Hauptgleichungen der magneti- schen Umlaufspannung und des Induktionsgesetzes ausgeht, entweder auf sehr un- ~bersichtliche Beziehungen oder auf nicht 16share Differentialgleichungen. Bekannt- lich ist unter den tiblichen Vernachlfissigungen -- # = 0% paralleter Kraftlinienver- lauf im Nutraum -- die Stromverdr~ngung yon der Leiter- bzw. Nutbreite unab- hfingig; nur deren H6he spielt eine Rolle. Ausgehend yon dieser Tatsache wird in den ersten Absehnitten der vorliegenden Arbeit versucht , ffir die Werte der Wider- standserh6hung und Induktivit~tsverminderung yon ungeteilten und geteilten Stfiben m6glichst einfache Beziehungen anzugeben.

Bei der Vorausberechnung yon Asynchron-KurzschluBlfiufermotoren kann man

yon dem dutch AnsehluBbedingungen festgelegten Verh~ltnis k = Ilk des KurzschluB- zu Nennstrom ausgehen. Als weitere Bedingung kommt zu der der KurzsehluBstrom- begrenzung noch die Forderung eines vorgegebenen bzw. des gr6BtmOgliehen Anzugs- momentes. Durch die Nennvcm-te des cos99, des'Wirkungsgrades z/ sowie der Schltipfung s bzw. der sekundfiren Kupferverluste liegen dann ferner die Nennwirk- und -blindwiderst~nde des Motors lest. Mit geeigneten Vergleichssetzungen zwischen den prim~ren und sekund~ren Werten der Wirk- und Bllndwiderstfinde bei Nenn- schlupf lfiBt sich eine Beziehung aUfstellen zwisehen den Gr6Ben der Widerstands-

erhShung K~, der Induktivit~itsverminderung KB und dem Parameterwert X ~ d. h, R 2 n

dem Verh~iltnis des sekund~iren Blind-zu-Wirkwiderstandes bei Nennbetrieb, soweit diese Widerst~inde der Stromverdr~ingung unterworfen sind. X2. und R2. sind dem- nach in ihrer Bedeutung yon der jeweiligen AuSftihrung des L~iufers abh~ingig.

Bei der Durchftihrung der auf diese Weise skizzierten Rechnung gehen wir aus yore prim~iren Kurzschluflstrom:

1 + ~ , u~ 1 + ~ , (1) [j,~ : . U1 1 / ~ + T1)R=]= + Ix1+ X,] = = Ren ] / ~ (1 q- ~'1) Kw] ~ q- (~)2~eB+KB] =

Archly f. Elektrotechnik. XXX. Band. 4- Heft. 16

Archly ffir 208 H e B , Stromverdr~ngungsmotoren mi t Ein- und Mehrnutl~ufern. ]Elektrotechnik.

wen.n gesetzt ist: R2 = R2,~" K ~

und X 2 = X ~ . K B ; r l = e ~ ' R ~ ; x l + x 2 a = e B X ~ .

Alle sekund~iren GrOBen sind auf primfir reduziert; e~ und eB sind die Vergleichs- grOgen zwisehen prim~iren und sekund~iren Widerstandswerten und, wie vorhin an- gedeutet, durch die L~iuferausfiihrung bedingt, e~ wird in der Nfihe yon 1 liegen, eB etwa gleieh 0,3 bis 0,8 sein. Den sekund~iren Widerstand Rz~ bei Nennlast bzw. Nennschlupf s, entnehmen wir aus den betreffenden sekundfiren Kupferverlusten, wobei wir als Ubersetzungsverh~iltnis des Sekundfir- zu Prim~irstrom die GrOge // einffihren :

R2n = Nm sn 1 U x sn. cos 9n" tin 1--sn m l I ~ = Ix~ (1--s . ) .a 2 ' (2)

so dab sich ftir das Verhfiltnis k ergibt:

k -- I~k _ (1 + ~)(1 --s ,) . a~ (1 a) Iln / - -

Rsn ] (eB+KB)~

Durch die zwischen s., cos q)~ und X2., R ~ bestehenden Beziehungen lfiBt sich s .

aus der Gleichung entfernen. Es ist

Nach einigen Umstellungen und unter Benutzung von G1. (2) wird: /~ 1 + r x

X s n tg ~vn-- ~ " cos Tn" tin 1 - - s n ~

R~ n - - s . (1 + r x + eB) ' (3 a)

# = / ~ , I~ Erregerstrom; s, aus GI. (3a) in GI. (la) eingefiihrt, liefert das Ver- Ms n hfiltni~ k in Abhfingigkeit von K~ und K B sowie dem Parameter ~ - , wenn cos %

als gegebene Gr6Be vorausgesetzt wird:

X ~ (1 + vi + eB) (1 + v~) (1 --sn)" i~ ~ -

[ ~ 1 1-I-vl ] ]//(ew_}_(l_]_Vl) Kw)S_t_(Xs~le(sB+KB)S ~n]/1--COS s ~On--/2. r/n COSSq~n ~a 1 - - s n " \ Rsn/

Ms n

t ~ J

= [r/n ]/l - - COSS 9n l, - - es, - - -~- �9 # �9 r p n l . cosS (phi. / j e w + ,1 +.vx, Kw)~ + ~.~?~n_n ! ( x s n ) 2 (eB+KB,S

es entspricht einem mittleren Nennschlupf; in der Regel: 1 - - e s~0 ,98 . In 22 n dieser Gleichung treten als Vefiinderliche auf: K~, Ks und ~ bzw. cos%; der

Wirkungsgrad r/, kann ffir jede Leistung als gegebene Gr6Be angesehen werden R2, 2 s n liegt ferner dureh die Verluste bzw. die Erw~irmung des Lfiufers lest. ~ wird also

im wesentlichen yon cos% abh~ingig, dessen Wert ffir jede Motorleistung bei Inne- haltung der Spielgrenzen mehr oder weniger ebenfalls als gegeben anzusehen ist.

Somit bleibt bei Annahme eines bestimmten Wertes k, K~ = / ( K ~ ) tibrig, I �9 X 2 ~ WODel ~ bzw. cos q)n die Rolle eines Parameters tibernimmt. Die Beziehung zwisehen

K~ und K B ist, wie zu erwarten, in erster Linie abh~ingig yon den Nutformen und deren Abmessungen. Die Bedingung: gr6Btm6gliehes Anzugsmoment bei gegebenen Werten von k, cos~,, %, erfordert das Anstreben yon gr6Btem K~, d. h. also h6chster Widerstandserh6hung. -- Die Aufgabe der f01genden Abschnitte wird zun~ichst darin

2 s n bestehen, die Beziehungen zwischen K~, KB und den Nutabmessungen bzw. ~ in

XXX. Band. x936. tIeB, Stromverdr~ngungsmotoren mit Ein- und Mehrnutl~ufern. 209

m6glichst einfachen Ausdrticken festzulegen und dann K, auf HOchstwert zu unter- suchen.

A. Eindr ingt i e fe und S t r o m v e r d r i i n g u n g .

1. Ungete i l t e Stfibe.

Die Str6mung in einem Leiter, der in einer Nut eingebettet liegt, verh~ilt sich bekanntlich [1~)] wie ein Lichtstrahl, der auf einen lichtabsorbierenden K6rper trifft; entsprechend der Frequenz und dem spezifischen Widerstande des Leiters dringt die Str6mung in einer gedfimpften, nach dem Nutgrunde hin fortschreitenden Welle mehi" oder weniger fief in die Nut ein~). Diese elektrische Welle zeigt eine derartig starke D~impfung, dab man einen groBen Teil des Nutleiters als praktisch str6mungs- frei annehmen kann. Die Abmessung dieses die Str6mung allein ftihrenden ideellen Teiles der Nut in Richtung der Nuttiefe werde ent- sprechend der Bezeichnung i n ~ihnlich gelagerten Pro- --[- blemen die Eindringtiefe genannt und bei de? Be-

/ stimmung des Echtwiderstandes mit h~ (Wirkeindring- tiefe) bezeichnet. Die StrOmung in dem Querschnitt "~ b. hw ist (Bild 1) als gleichmfifiig verteilt, d .h. die Stromdichte als konstant anzunehmen. Der Gesamt- strom in b. h~ ist gleichzusetzen dem Strom im ganzen Leiter bei der tats~ichlich vorhandenen Stromver- teilung.

b Bild 1. Eindringtiefe.

Die Induktivit~it eines Leiters in einer Nut ist abh~ingig vonder Stromverteilung fiber den Leiterquerschnitt, und zwar tritt mi.t dem Zusammendrfingen der Strom- ffiden eine Induktivitfitsverminderung auf, die man gleichfalls mit Hilfe einer Ein- dringtiefe he (Blindeindringtiefe) bestimmen kann. Die Werte h~ und hB gehorchen bei Anderung yon Stabh6he und Frequenz verschiedenen Funktionen; sie sind nicht einander gleich. Wie die Eindringtiefe andeutet, ist der Kupferverlust bei Rechteck- querschnitt (mit b und h~ bzw. h als Abmessungen) ftir Wechselstr6mung proportional l j t2b �9 h~,, ffir Gleichstr6mung proportional i S. b. h Setzt man ferner die Wechsel- str6mung in dem ideellen Querschnitt b. h~ der Gleichstr6mung im Gesamtquer- schnitt b. h gleich, so wird:

damit ferner:

h [i[ = i h%,

Vw__ rw__ t Jl2b'h~ h is. b. h = (5)

Die Widerstandserh6hung wird also umgekehrt proportional den Str6mungs- querschnitten, d. h. ftir b ----- const umgekehrt proportional dem Verh~iltnis: Eindring- zu Nuttiefe bzw. Leiterh6he.

Bekanntlich gilt fiir den Echtwiderstand: = �9 (6)

Aus G1. (5) folgt also: h ~ - - h _ _ h ~ o [ 2 ~ - - c o s 2 ~

(Q ~ | 2 ~ + sin 2 ~' (7)

worin ~ = ~. h und der Reduktionsfaktor

//fi bk ~ = l , 0 i n cm -1 O~ : foo b N 50

ffir/s = / o = 50; bk = by und ~ = 50; damit entspricht ~e der StabhOhe in Zentimeter. Das Verh~iltnis KB: Wechselstrom- zu Gleichstromleitf~ihigkeit einer Nut ist:

1) Die Ziffern in eckigen K l a m m e r n verweisen auf das Schr i f t tumverze ichnis auf S. 23I. 3) : R o g o w s k i , Zus~tzliche Kupfe rve r lus t e usw. Arch. E lek t ro techn . 2 (1914) S. 94.

16"

Archiv ffir 210 HeB, Stromverdrgngungsmotoren mit Ein- und Mehrnutl~iufern. Elektrotechnik.

~ B = ~.Nw __ hB

3 ~in2~--sin2~ hB=h,w(~)_ 3 ~in2~--sin2~ ~o (2) = 2 ~ go[ 2 ~ -- cos 2 ~' 2 ~ go[ 2 ~ ~-cos2-~" (9)

Far 50 Hz, i = 50 und h > 2,0 erreicht die Wirkeindringtiefe h~ bei voller Aus- ffillung der Nut durch den Leiter als Grenzh6he den Wert h~ = 1,0 cm, die B1ind- eindringtiefe he den Wert 1,5; auf dieser Tatsache beruht das Rechnen mit Eindring- tiefen bei massiven Leiterquerschnitten.

Bild 2 zeigt K~, und KB als Funktion der Frequenz mit der Stabh6he h als Parameter. Die Eindringtiefen h~ und he. bei beliebiger Stabh6he und Frequenz

I .

lassen sich entsprechend G1. (5) bzw. (8) ohne Sehwierigkeit dem Bild 2 entnehmen. DieVerwendung anderen Leiterstoffes an Stelle yon Kupfer drfickt sich in i bzw. aus, und zwar geht 2 yon 50 ffir Kupfer in 32 fiir Aluminium gegossen, in 15 ftir Messing und in 9 ffir Phosphorbronze fiber; der Reduktionsfaktor findert sich

mit ~a--6- ~ .

a) Trapezs t~ ibe . Die Vereinfachung der Berechnung

t der durch die StromverdrSngung be- dingten Gr6t3en K~ und KB fiir Trapez- st~ibe auf Grund der Vorstellung yon Eindringtiefen tritt sinnfiil!ig in Erschei- nung beim Vergleich der Arbeiten yon L a i b l e und yon zur N i e d e n , die, wie eine Nact{reehnung zeigte, sehr" genau

Bild 3. Trapeznut. tj•-.---t•

Bild 2. Kw und KB bei l~echtecknuten in Abhgngigkeit yon Frequenz ~und Stabh6he.

fibereinstimmende Werte ergab [2],'[4]. die WiderstandserhOhung

K w - - jew rg

Mit

und dem Gesamtkupferquerschnitt

Nach den Bezeichnungen des Bildes 3 wird

_ q

b 1 b~ -- u~

q~

q~_bl.h l ~ ~

�9 gilt dann ffir den yon der Wechselstr6mung durchflossenen Querschnitt:

1] q =bl+b 2+T,7o--) 2

damit wird K~:

(lO )

X X X . B a n d . ~936. tteB, Stromverdr~tngungsmotoren mit Ein- und Mehrnutlgufern. 21I

Die Leitf~ihigkeit lautet [2]:

Kw = b~" h ( l+uo)-2 2u o b~'h~, 2 + ( 1 - - 1 ) "h~h

2xg einer Trapeznut bei

1 (1 + uo) - 9 ($)~ 1 + Uo [2 !p (~) - - ~3 "

( lO)

gleichm~Biger Stromverteilung

Wie eingangs erwfihnt, sind Re~ bzw. q und X2, bzw. cosg, bekannte GrOfien. Aus den G1. (10a) u. (11) folgt:

iNg = h~ [1 + uo] 6 q . u o "Po.

Wird h I aus diesem Ausdruck in die Glei- chung der Widerstandserh6hung K~ eingeftihrt, so folgt nach einigen einfachen Umrechnungen:

K w = 6 q2 0 " q . ,~Ng

]/,~Ng" 6 q. u o ' Po" hw [h*v (1--Uo) + 2 Uo V (l ~ uo) . p, ]

ftir h~ = 1: K,o= 3Uo X ~ (14)

Po 1--uo + 2Uo (1 + %).po

X ~ ist proportional dem Produkt aus Ge- R2n

samtkupferquerschnitt und Nutleifffihigkeit (q" 2Ng), wobei die Gleichung gilt:

X ~ o H - q . .R2,, o~

Die Untersuchung der Funktion K~= / (Uo) auf Maximalwerte auf rechnerischem Wege er- weist sich als ~tuBerst umst~ndlich, so daf3 sie

;f~ �9 .

0,2

O , 5 ~ K B ~

~9 1,o

0 2 r 6 8 iO 12 71/ 16 1820222q262830323q X2n

]3ild 5. Kwraax in Abh~ngigkeit X ~ n yon ~ Ifir Trapeznuten mit zu-

geh6rigem KB und Seitenverhglt- nis u o.

zeichnerisch durchgeftihrt wurde. Die Widerstandserh6hung K~ zeigt in Abh~ingigkeit X = n yon dem Breitenverhfiltnis u 0 der Parattelseiten undvon ~ zum Teil ausgeprfigte

X z n H6chstwerte, insbesondere bei grOfierem ~ . Legt man durch diese H6chstwerte eine

X 2 n verbindende Kurve und tr~igt dann K . . . . als Funktion von ~ auf, so finder man,

3u [ 1 1 34u~ ] ( l la) Po = (l__u)(l__u 2) i ~ In u

Das Bild 4 zeigt Po = ~ (u) ftir 0 ~ u o < 1; das Verhfiltnis KB, Nutleitffihigkeit bei Wechselstr6mung zu der bei Gleichstr6- mung l~il3t sich angeben zu

K B ~ XXw __ hB p B - - , {t-~ f (UB) (12) ~Ng h ' p ~ - - r ~w f~ )o ) " b

Der Faktor pB ist ftir das 13reitenverh~iltnis UB ~ - B in der

H6he hB der Eindringtiefe zu bestimmen, wobei ftir uB gilt: __ b 1 __ b 1 - ~ 1 . ( 1 3 )

UB bB b2[uo+Y~(~)(1--uo) ~ 1 + ~p(~) uoo

Der Faktor PB kann dann aus Bild 4 fiir den gerechneten Wert UB abgelesen werden.

7,6

po a~

o 02 o,~ o~ as ~,o

Bild 4. Faktor der Leit- fghigkeit bei Trapez-

nuten.

h 2Ng= 3bl "Po. (11)

Der Faktor Po gibt die Verkleinerung der Leitf~ihigkeit bei Trapeznuten gegentiber der bei Rechtecknuten an und ist gegeben durch die Gleichung:

Archly ffir 212 I-Iei3, Stromverdr~ngungsmotoren mit Ein- und MehrnutlAufern. Elektrotechnik.

daft K~m~x im wesentlichen geradlinig verl~iuft (Bild 5), dab ferner mit steigendem X,., �9 - ~ 2 n

das zugeh6rige Breitenverhfiltnis u o wenig abnimmt, d. h. kleine Verschiebungen in u o ergeben bier grot3e Anderungen des Wertes Kw. Vervollst~indigt man die auf Bild 5

X ~ angegebenen Kurven fiir die mit u 0 und R~, ~ festgelegten Nutabmessungen noch durch

die weitere Angabe der Werte KB auf Grund von deren Gleichungen, so lassen sich aus diesem Bilde 5 bei Wahl yon Trapeznuten zunfichst die ftir die Berechnung not- wendigen Nutabmessungen, dann die erreichbaren K~ und schliet31ich jeweils die zugeh6rigen Werte yon KB ablesen; zu bemerken wfire noch, daft die zu K~ und u o geh6renden Werte von KB fiul3erst flach verlaufen, so dab bei Trapezstfiben sich gute Verh~iltnisse yon Stromverdrfingungsmotoren bzw. l~ohe Gtitegrade ergeben werden, wie sich auch an Beispielen nachweisen l~iBt.

b) L-St~ibe. Die Grfinde fiir die Verwendung von L-formigen St~iben (Bild 6) sind ver-

schiedentlich angegeben worden [3]; wir k6nnen uns daher auf die rechnerische t ~ ~ Behandlung derartiger St~ibe beschrfinken. Ist u das H6hen- und

-~ v das Breitenverh~iltnis des L-Stabes, also hi al

U ~ h ~ ~ V - - a~ ~

ar~"~ so sind zwei Ffille zu unterscheiden: I. h~ ~ h2, die Wechselstr6mung dringt noch in den unteren

Bild6. L-Nut. Querscbnitt (a l~) ein; d ie Widerstandserh6hung K~ nimmt dann die Gleichung an:

K ~ - - r~ a l h l + a ~ h ~ r - - h2 (612-- al) ~o (~) Jr- al h" (~ (~) (16)

h und mit ~o (~) = ~ - sowie den vorstehenden geometrischen Stabverhfiltnissen ist:

1 + u v (17) Kw-- l + v [ u ~ - - l ~ '

h ~ > 1,0. darin ist u~ = h, =

II. h~__<h~, die WeChselstr6mung beschr~inkt sich auf den oberen Teil des Stabes, wobei u~ wiedemm gegeben ist durch:

h, uw-- h~'

q a l h l + a ~ h 2 _ l + u v (18) K~ -- q~ a~ h~ u~

Die zur Bestimmung von u~ ben6tigte H0he h~ folgt aus der Gleichung der Nutleit- f~ihigkeit 2Ng der L-Nut bei gleichf6rmiger Stromverteilung:

a~. + h~ [a~h~ + 3axhxl h~ [h 1 a 1 + 3 h~ a~ a~ j

)~Ng = 3 q~ (19 a)

X ~ n Das Produkt ,~Yg'q lfifit sich wiederum durch das Verh~iltnis ~ ausdrticken, so

dab damit h~ tibergeht in: / 1 + u v X2 n .

h~= 1,225 u ~ v + 3 u ~ v ~ + 3 u v + 1 " R~ , (19)

Ffihrt man diese Gleichung h e in den Ausdruck ftir K~ (Fall I und II) ein, so wird die Gleichung der Widerstandserh6hung eine Funktion der geometrischen Formen-

verhfiltnisse u und v des Stabes sowie der Gr6t3e X,,,. sie lautet ftir den einfacheren R2 n

Fall II mit h~ ~- 1,0:

~:~ = 1/ i o + ~, ~/~ . x~ (20) [ uav + 3u~v~ + 3 u v + l R ~ "

XXX. Band. ~9~6. I-IeB, Stromverdr~ngungsmotoren mit Ein- und Mehrnutl~ufern. 213

Die analytische Untersuchung des L-Stabes auf Maximalwerte ffir K~ als Funk- X2 n tion der m6glichen Ver~inderlichen ~-~-, u, v liefert unfibersehbare Gleichungen, so

daft der Weg der zeichnerischen Untersuchung vorgezogen werden mug. Die Bereeh- nung von K~ ffir verschiedene geometrische Verh~iltnisse u und v bei jeweils kon-

22 n stantem ~ ffihrt auf Kurven mit ausgepr~igten Maximalwerten. Bild 7 zeigt in 22 n Abhfingigkeit von ~ die H6ehstwerte von Kw; u und v treten dabei als Para-

meter auf. Als letzte Aufgabe bleibt nunmehr ffir den L-Stab noch die Bestimmung der

Induktivit~itsverminderung; auch hier sind zunfichst die beiden Ffille zu unter- scheiden:

I. hB >= h2. In Gleichung ffir 2yg setzen wir an Stelle von ha: h~ = h B - h~; nach einigen Zwischenreehnungen ergibt sich dann ffir das Verh~iltnis KB:

[ ( )j ]LN~ ( l+uv)~(1--v) 1 - -3V+V.UB 6--UB 3 1 - -~ UB= hB SrfB = ~Ng ( I + V [ U B . 1 ) ~ UaV+3U2V2+3UV+I ' (21)

I I . hB ~ h 2. _R2B geht hier f i i r in den einfachen Ausdruck fiber:

(1 + . (22) K B : U ~ l + 3 u v +3u~v2 + u 3 v "

.In Bild 7 sind die zu den dort aufge- tragenen H6ehstwerten K~ geh6renden Gr6Ben KB angegeben, so daft damit in diesem Bilde alle Daten des L-Stabes vereinigt sind, soweit sie ffir die Voraus- berechnung interessieren. Bei diesen Rechnungen an dem L-Stab ist der Ver- lauf der Kraftlinien in dem Nutraum bei allen Gr6Ben des Breitenverh~ltnisses v parallel zueinander und zur Nut6ffnung am Umfang des L~ufers vorausgesetzt worden. Bei gr6gerem v und Werten yon u erheblieh kleiner als 1 n~hert sich der Quersehnitt des L-Stabes etwa dem Normalprofil eines Winkeleisens; ffir der- artige fiuBerste Wertepaare, die in der Praxis wohl kaum vorkommen dfirften, kann die Annahme tiber das Krafflinien- bild in der Nut nicht mehr zutreffen. Ffir derartige F~lle ist natfirlieh eine Rechnung nicht mehr m6glieh.

e) S t ~ b e z u s a m m e n g e s e t z t e r Form. Wie aus den vorhergehenden Ab-

sehnitten hervorgeht, bringt die Quer- schnittsverst~rkung am Nutgrunde gegen-

,, [

C f l \ " '4 . .7 ."-- -r8

0 ~ 8 12 x~l$ 20 2g 28 y2

&n

Xs n Bild 7. Kwma~ in Abh~ngigkeit von~ffir L-

~2n Nuten mit zugeh6rigem KB sowie den Nutab-

messungsverh~Itnissen u und v.

fiber den Verhfiltnissen bei Rechteckstab zum Teil bedeutende Verbesserungen der Werte /(~ und K~. Verschiedentlich werden im Sehrifttum Nufformen erw~ihnt, die sich aus mehreren geometrischen Grundformen zusammensetzen, z. B. der Recht- eekrundstab, Bild 8. Ffir den Fall, dab die Eindringtiefe gr613er ist als die H6he des Stabrechteckteiles tritt die Frage der Stromverdr~ingung in Rundnuten auf, far die Kw und KB im Schrifttum bisher noeh nicht gegeben sind.

ArcMv ffir 214 tteB, Stromverdr/ingungsmotoren mit Ein- und Mehrnutl~ufern. Elektroteehnik.

Nach L a i b l e [4] ergibt sich die Gleichung der Stromdichte einer Nut allgemeiner Form zu :

d2gx [ t db] dgx yo a d~ + t~d~] ~ - - i ~ ~ 1 7 6 (23)

1 db a Durch die Funktionen ~--)y und ~- werden die geometrischen Formen des Nut- und

Leiterquerschnittes in die Rechnung eingeffihrt. Unter Verwendung der Bezeich-

nungen des Bildes 9 wird b = 2 ] / ( d - z ) . z ; mit ~ - = 1 lautet somit die Differential-

gleichung der Str6mung bei Rundnuten: d~g~ 1[1_ 1 ] d g x d~ ~-~- +~--d -d~ - - ]~176176 (24)

o

g, ist komplex: g, = u + j v; f i r den reellen bzw. den imagin~iren Tell ergeben sich demnach die Differentialgleichungen:

1 1

:7 Bild 8. Nut eines Rechteckrundstabes. Biid 9. Skizze zu G1. (24).

Als Anfangsbedingungen gelten: d u

z : O ~ dz

In der Gleichung

wird mit By(z=o) auch

Ffir z = d

wobei

dv - - 0 . - - 0 , d z

dgx __ ] o) 70 By dz -0--"

dgx - - O. d z(z = o)

dv oJ Yo d u __ o ~ " Iv , - - = " [~, dz - - --~.b(==d) dz ~.bi==a)

z=d z=d

z=O z=O

Ist eine geschlossene LOsung m6glich, so mug diese durch die Anwesenheit des Faktors 1 1

auf schwierige Besselsehe Funktionen ffihrcm Da es sich jedoch um eine Vergleichs- rechnung handelt, k6nnten wir uns mit einer zeichnerischen N~iherungslOsung ffir gegebene Verhfiltnisse begnfigen. Selbst hierbei ergeben sieh noch betrichtliehe und praktisch un/iberwindliche Schwierigkeiten ; denn die Anfangsbedingungen sind gegeben durch Werte yon u und v der oberen und unteren Grenze der unabh~ingigen Variablen z,

dv d u wobei U==o und V,=o so zu wihlen sind, dab ~ und -dz ftir z = d proportional

den Str6men I, und I , werden, die ihrerseits durch die Integrale fiber den gesamten

X X X . Band. 936. ~I e 13, Stromverdr/tngungsmotoren mit Ein- und Mehrnutl/~ufern. 215

Nutquerschnitt der Str6mung v und u gegeben sind. Durch eine derartige Wahl der Anfangsbedingungen ist man natfirlich auf mehr oder weniger mfihevolles Proben angewiesen.

Benutzt man zur zeichnerischen Bestimmung yon K~ das Kr~imersche Vektor- diagramm der StromverdrS, ngung [5], so ergibt sich eine Widerstandserh6hung bei einem Nutdurchmesser yon 30 mm: K~ = 3,5. Mit Eindringtiefe h~ = 1,0 gereehnet (Bild 9) wird K~ ffir dieses Beispiel 3,55, bedeutet also eine annehmbare Uberein- stimmung beider Verfahren.

Ffir einen Rechteckrundstab nimmt K~ ffir/h~ ~ h den einfachen Ausdruek an: d ~

a h + - - K w = rw = q = 4 uw l + y (27)

r~ q~ a . h~- = y '

ah h > d ist die Verkleinerung des wenn y = ~ und u ~ = ~ - ist. Ffir Nutbreite a = 2

4 Rundquersehnittes durch die Breite des Rechteekteiles nicht mehr zu vernachlfissigen, so dab wird:

1 + y 1 (arc sin ~o-- Yo l / ~ ) (28) K ~ = u ~ . ;go go = 1 - - ~-

0,5

lo /

o,1 , / /

]3 i ld 10. Verringerung des Rundquerschnittes t~

in AbhSmgigkeit yon ~-.

o,5

]3ild 11. KB ~fir Rundnuten in Abh~ngigkeit hB

VO n ~ - .

' a aufgetragen ist. Wird ;go geht aus Bild 10 hervor, in dem ;g = / ( ~ , ) - - 7 - - d

h~ > h, ist also der Rundteil noch als stromdurchflossen anzusehen, so geht zun~ichst d

ffir a __<_-2- die Gr613e K~ fiber in

K~- - q~ q -- yl-bY+zw ; g w = l [ a r c c ~ (29)

wobei gesetzt ist h~-- h h~

g~ kann ebenfalls dem Bild 10 entn~ werden; zwisehen ~ und ~ besteht noeh die Beziehung:

d Ist a > ~ - , muff noch die Verkleinerung des Rundquerschnittes berticksichtigt

werden. Verwenden wir zur Bestimmung der Induktivitfitsverminderung runder Nuten

die Blindeindringtiefe hB, so gilt innerhalb der durch hB festgelegten Grenzen 2 z~ -- und as ffir den Leitwert runder Nuten bei Wechselstr6mung:

Arch iv i f i r 216 H eB, Stromverdr~ngungsmotoren mit Ein- und Mehrnutl~uferm s

)~Nw = (~ - - sin ~)~ d ~ = ~ 3 + 2 [(2 n -- ~) cos ~ + sin ~ + (30) ~B

1 [sin 2 ~ + sin 2 *r 1 [2ye-- (~ + 0~B)] @ ~- + sin c~B -- C~B cos ~B] @~-

Bild 11 gibt hB--h

K B , . = / ( r B ) - - -

Itir Rundnuten bei verschiedenen Schlitzbreiten s = 0 und 0,5 d. Mit einem mitt- leren Leitwert des Rundteiles yon 0,6 wird die Nutleitffihigkeit 2Ng:

11 ,~Ng~O,6-J- q [Y + 3(l+y---~]' (31)

�9 Die Wechselstromleitffihigkeit der Rechteck- l : ~ rundnut wird ffir

hB Kw5 I. hB<=h: 2 N w - ~ ( 3 2 )

, r l Y " .(3: II. hB>_h: 2X~,~ '~O,6KB, . '~ -~[~-+'3( I+yB) ]

qs bedeutet den hB entsprechenden Leiterquer- schnitt und yB gibt dessen Auffeilung auf Rechteck-

o2 und Rundteil an: d ~ a, = + y) (34)

Kear u a s ~ ZB hat entspreehende Bedeutung wie Z~ und kann a , 7 7 ~ r dem Bild 10 entnommen werden, wobei an Stelle a s ~ yon y~ die GrOf3e yB tritt; ferner ist

a,:o ~ a h 1~ 28 y B : :~ d 2 ):'an ~ ZB 4

Bild 12. KW in Abh/~ngigkeit yon Die Gleichung ffir KB ist nunmehr ohne wei- X~n R ~ ftir Rechteckrundnut mit zu- teres anzugeben; wegen ihrer unfibersichtlichen geh6rigem KB bei 1,5 cm 2 Stab- Form und der geringen praktischen Bedeutung dieser

querschnitt. Stabformen sei darauf verzichtet. In Bild 12 sind zur Vervollstfindigung die H6chstwerte der

[X~. ] Kurven K~ = / [ R2" ; y , die bei den Reehteekrundst~iben ebenfalls in ausgeprfigter

X~, aufgetragen, wobei zur Erg~inzung noch Form auftreten, in Abh~ingigkeit von

die zugeh6rigen Werte y und KB eingezeiehnet sind. -- Die Bestimmung von K~ und KB bei Rundnuten kann ebenso wie das angeffihrte Str6mungsdiagramm auf Grund der Annahmen fiber das Krafflinienbild in der Nut nur eine Ann~iherung darstellen, die noeh des nfiheren Beweises dureh genaue Rechnung oder besser durch Versuch bedarf.

2. Gete i l t e Stfibe. a) R e c h t e c k n u t e n .

Bei Kfifiglfiufern mit geteilten St~iben ffir Anlauf- und Arbeitswicklung sowie gemeinsamem Stirnring kann man sich den EinfluB des Nutsehlitzes auf die Gr6Be yon K~ und KB dureh einen Hochstab hervorgerufen denken. Zu dessen ideellen Hohe sind dann nur noeh die H6hen der Stfibe der beiden Kfifige zu addieren, wo- durch sich eine ideelle GesamtnuthShe ergibt, die auf Grund der Eindringtiefe ohne weiteres die Werte K~ und /:~B der Gesamtnut liefert. Bei rechteckiger Ausffihrung der beiden K~ifigleiter wird die Feldst~irke des Nutenquerfeldes bei gleichf6rmiger

XXX. Band. i936. Hel3, Stromverdritngungsmotoren mit Ein- und Mehrnutl~ufern. 217

Stromverteilung in beiden K~ifigen die in Bild 13a angegebene Form aufweisen; lfit3t man nunmehr die Querschnitte q~ der Arbeits- und q2 der Anlaufswieklung unter gleichzeitiger Erh6hung der Stromdichte zusammenschrumpfen, so geht die Form des Nutenquerfeldes in ein einfaches Rechteck mit der Nutschlitzh6he als Basis tiber (Bild 13b). Diese Form des ideellen Doppelnutk~ifigs ist schon verschiedentlich im

Schrif t tum eingehend behandelt worden.

l~if3t sich das Verh~iltnis Reaktanz zu Widerstand dieses idealisierten K~ifigs an- geben zu :

X~n __ ~oH ho y ~ = Xo 2 R~. ~ a~ q" ~ o y , (35)

dabei ist gesetzt X o __ o) H h o "q3 Ro ~ ao

also nur abh~ngig von den Schlitzab- messungen ao, h o und dem Gesamtleiter- querschnitt q.

Zur Best immung der dem EinfluB des Nutschlitzes entsprechenden Ersatz- h6he l~f3t sich die Gleiehung der Wider- standserh6htlng K~ des ideellen Doppel- k~figs verwenden, die in einer fiir die vor- liegende Betrachtung geeigneten Form von

L

t3ild 13. FeldstArke bei geteilten Rechteck- nuten, a ftir DoppelkAfig mit endlicher Stab-

h6he, b ffir ideellen Doppelk~fig.

ql (q Oesamtleiterquerschnitt) Mit y = V

t v .

I

y -

Bild 14. Kw und KB fiir ideellen Doppelk~fig in AbhSmgigkeit yon dem Querschnittsverhg.lt

Xo nis y ftir verschiedelle R~"

S c h u i s k y angegeben wurde [6]; mit den hier verwendeten Bezeichnungen lautet diese Gleichung:

K~ -- 1 = y8 0 -- y) y~ ( l - - y ) ' + (_R:) ' ' (36)

Xo In Bild 14 ist die Funkt ion K ~ - - 1 in Abhfingigkeit von y = ql mit als Para-

meter aufgetragen; in Rticksicht auf ihre Verwendbarkeit sind die Kurven angegeben X~ z ftir Roo 2; 3; 4; 5; 7,5; 10; 15; 20; 30. Als Ordinatenmaf3stab kann an Stelle

yon K ~ - - 1 die H6he h,~ treten. Diese H6he ruff die gleiche Widerstandserh6hung Xo hervor wie der ideelle Doppelk~ifig mit vorgegebenen Gr6fien y und Roo" Bei der

Gleichsetzung yon K ~ - 1 und hoi ist der Reduktionsfaktor ~ = 1,0 angenommen andere Frequenzen als 50 sowie andere Leiterstoffe als Kupfer bedingen eine Um- rechnung des aus Bild 14 folgenden Kurvenwertes hoi entsprechend dem Ausdruck

Archiv Ifir 218 HeB, Stromverdr~ngungsmotoren mit Ein- und Mehrnutl~ufern. ]~lektrotechnik.

No ftir den Reduktionsfaktor ~. Dabei ist noch zu beachten, dat3 in der GrSl3e Roo auch c~

enthalten ist, und zwar: X~ -- 2 ~ " h~ Ro a~" q"

Der Verlauf der Funktion K ~ - 1 weist mit wachsenden Parameterwerten X~o Ro

ausgepr~igte HOchstwerte auf, ftir die sich durch Differention nach y und Ermittlung des Maximums eine Gleichung 4. Grades in y als Bestimmungsgleichung ergibt. Setzen

wir zur Vereinfachung vortibergehend y' = q~ so lautet die Bestimmungsgleichung: qz

( Xo]2= 1 3y'~+8y'8 + y '~ 6 + Ro ]

In guter Ann~iherung ergibt sich y ~ ffir K ~ - - 1 zu:

, ] / 1 1 Ymax~-~ V [Xo~ ~ No v {go~ ~ . (37)

6 + \ ~ / 1 + 6 ~ / X 0 ~ R 0

FOr Ro >2~ 1 wird ymax ~-~ Xoo oder

(Bild 14).

No Ro

Yma~ ~ X~ 1-~ Ro

Ftir die Bestimmung der Induktivit~itsverminderung von K~figen, bestehend aus geteilten Stfiben, ben6tigen wir zun~ichst die Werte KB. ftir den ideellen Doppel- kfifig; mit den bier verwendeten Bezeichnungen ergibt sich ftir KBo:

[ Ro~ ~ \ xi. ] =. 1

K~o-- [Ro~ ~ 1 y( l - -y)] +[Xo "" (38)

[y (1-- y)l ~ + ~Xo] [Ro .1

In Bild 14 ist die Funktion KBo in Abhfingigkeit yon y ftir die Parameterwerte

X o wie bei K ~ - - 1 = / (y ) , eingezeiehnet. Bei"der Festlegung der Nufformen yon R 0 Stromverdrfingungsl~iufern sind, wie eingangs erw~ihnt und dargelegt, bestimmte

GrSgen als gegeben anzusehen, und zwar wird durch ~ der gesamte Leiterquer-

schnitt q und die Leitffihigkeit 2xg der gesamten Nut festgelegt. 2yg setzt sich zu- sammen aus der Leiff~ihigkeit des Nutschlitzes und der jener Nutr~iume, in denen die Leiter untergebraeht sind; das Verh~iltnis dieser beiden Teilleitffihigkeiten werde mit n bezeichnet, wobei n stets kleiner ist als 1. Der Einfachheit halber gehen wir von rechteckf6rmigen St~iben und Nuten aus, wobei wir den Nutsehlitzraum unter Beibehaltung seiner Leitffihigkeit auf die Breite der Stfbe erweitern. Ftir die Leit- Ifihigkeit 2Ng einer derartigen Nut ergibt sieh mit den bisher verwendeten Bezeich- nungen:

h~lho h~+h2 ho y2 (1 + n) (39) 2Ng-- [ h l ~ - ~ ] 2 a o - - ~- ~ ; - - ao

ha Dabei ist y -- hx + hz"

Das Verhfiltnis n der Teilleitffihigkeiten der Leiter zu der des Nutschlitzes ist gegeben durch :

h a h~+h~ (hx+ 3) _ hx 1 n=3ah~ho~hl+h2/2, ~ 3ho'h~ h o 3y"

Unter Benutzung von n kann man ftir 2yg schreiben: 2gg-- q l + n

XXX. Band. ~936. H eB, Stromverdr~ngungsmotoren mit Ein- und Mehrnutl~tufern. 219

Nach einigen Erweiterungen ergibt sich aus vorstehender Gleichung unter Benutzung

X2~ (Nutreaktanz zu Gesamtwiderstand) ein Ausdruck ftir die Gr6t3e des Verh~iltnisses

yon XORo (Reaktanz des Nutschlitzes zu Gesamtwiderstand). Mit 2 e~ �9 q �9 )~yg ~- RooX~ wird X o X~ ~ .

also die Beziehung zwischen Roo und R2,

= X o. y2 (1 + (40) R ~ ~ R o

X 2 n In dieser Gleichung sind ~ und n

gegebene GrSfien; entsprechend unserer bis- herigen Betrachtungsweise -- stets das Maxi- mum der Widerstandserh6hung anzustreben

sind nun die Werte ~ und y mit HiKe

( Xo) (Bild der Kurven K ~ - - I = / y ; -Ro

so miteinander zu verbinden bzw. zu w~ihlen, l dab zun~tchst die vorstehende Gleichung~'e

X~ ~ Xo zwisehen ~ und R~o eingehalten wird und

dabei K~ gleichzeitig ein Maximum erreicht; durch diese Wahl yon y liegen lest:

1. hoi die ErsatzhShe des Nutschlitzes, 2. hi; h 2 die LeiterhShen des Anlauf-

Xo und Arbeitsk~ifigs, und zwar /iber ~ ~ bzw.~

2Ng, q, y und a. l In Bild 15 sind in Abh~ingigkeit yon

X ~ die zusammengehSrigen, Kwmax ent-

spreehenden Werte hoi und 7 (mit ~ = 1 gerechnet) gestrichelt aufgezeichnet, und zwar ffir die Parameterwerte n = 0,1; 0,2; 0,3. Unter Benutzung dieser ho~-Werte sind die in Bild 15 ferner dargestellten

Kurven K~ = / \ R ~ ] berechnet worden,

die ftir die angegebenen Verh~iltniswerte n die maximale Widerstandserh6hung K~ ftir geteilte Rechteekst~ibe bei vorgegebenen Gesamtquerschnitten q yon beispiels-

weise 0,5; 0,I und 1,5 cm 2 zeigen; aufierdem ist in Bild 15 neben dem jeweiligen X2, -/~2 n

X 2 n bzw. K~ma~ zugeh6rigen Yma~ noch die durch -R~-~, ' :y und q festgelegte Nutbreite a

aufgetragen, so daft damit alle die nutbestimmenden Abmessungsgr6f3en, die jeweils das h6chstmSgliche K~ liefern, dem Bild 15 entnommen werden k6nnen Mit der

Xo Frequenz ~indert sich ~ proportional; der zugeh6rige Wert yon Km kann ffir das

gewfihlte ~max dem Bild 14 entnommen werden; bei der Umrechnung yon K~ o in hoi ist jedoch darauf zu aehten, daft ho~ yon der Eindringtiefe h~ abhfingt, die ihrer-

seits umgekehrt proportional der Wurzel aus der Frequenz, d.h. mit - - V ~~ ansteigt.

I,l

0 g 8 12 16 20" 2~ 28 32 x2~ R~- ~

X2n Bild 15. Kwmax in Abh~ngigkeit yon

R2 Ifir Doppelnuten mit zugeh6rigem KB bei

endlicher Stabh6he.

Archly Ifir 220 H e B , S t romverd r~ngungsmoto ren mi t Ein- und ?r Elektrotechnik.

Die Str6mungsverteilung bei Doppelnutlfiufern ist im wesentlichen bedingt durch die Stromverdr~ingung, die auf den Nutschlitz zurtickzuftihren ist, w~ihrend der Ein- flut3 der Stromverdr~ingung in den Leitern selbst geringer anzusetzen ist; diese letztere bedeutet jedoch ftir unsere Berechnung eine fimderung der Querschnittsaufteilung y. Mit dem neuen Wert k6nnen wir nunmehr KBo, die Verminderung der auf den Nutschlitz entfallenden Teilinduktivitiit, mit Hilfe der Kurven Bild 14 bestimmen. Ferner l~it3t sich anderseits die Ka, zuzuordnende Eindringtiefe bzw. Stromdichte des unteren Leiterquerschnittes angeben, so dab damit auch die ftir die Induktivit~its- abnahme der Leiternutrfiume mat3gebende Str6mungsh6he des unteren Leiters bekannt i s t . Die Anderung der Querschnittsaufteilung, die nur yon der Stromverdrfingung in den Leitern ql und q2 selbst abh~ingig sein soll, kann durch die Eindringtiefe hB bestimmt werden, wobei die Nutschlitzh6he nattirlich aul3er acht bleibt und als Leiter- h6he die Summe h 1 + h 2 in Betracht kommt.

hi hl~ wobei his = ha -- h2, so besteht zwischen y Ist y - - h i + h 2 und y~--hxi+h~, und yi die Beziehung:

y~ = ~ (~) --~1 + y ; ~o (~) = bah,. ~ = ~ [h~ + h2)].

Ferner findert sich mit y auch die Parametergr613e X ~ in der die auf den Nut- R~n

schlitz entfallende Teilleitf~ihigkeit ,1~~ enthalten ist. L,g. = ho a--o-'Y2; damit wird

(41) R2ni R2n iT!

X2~i k6nnen wir nunmehr aus den Kurven des Bildes 14 den Wert Mit yi und

Kao der Induktivit~tsverminderung entnehmen, soweit diese durch die auf den Nut- schlitz zurfickzuffihrende Stromverdrfingung bedingt ist. Zu berechnen bleibt noch der kleinere Anteil an KB d e r Gesamtnut, der den Leiternutr~iumen e n t s p r i c h t . - Bei der Bestimmung der Induktivitfitsverminderung der Leiternutr~iume ist zu beachten, daft die Stromdichte in dem Unter- und Oberstab sehr verschieden, und dab ferner nur ein Teil des Unterstabes als stromdurchflossen anzusehen ist.

Aus der Gleichung ftir die Leitf~ihigkeit 2~g~ des ideellen Doppelnutkfifigs

ao \ hl + h~ ] geht hervor, daft Ka. einer fimderung von h 1 in eine ideelle H6he -- hier h~i genannt -- zugeschrieben werden kann, dab also die Abmessungen des Nutschlitzes keinen Ein- fluB auf KB~ haben. Ist umgekehrt Kao zuerst bekannt, so liegt dadurch auch die ideelle HOhe h~i fest, die der Leitffihigkeit bei Wechselstr6mung zugeordnet werden mug :

h o ( h~, ?

= ~ - W - h. ' { hi ? \ y / ' Y'= yfUg. (42)

wenn gesetzt wird: h l i

y i = h i i + h2 "

Zwischen ha und h]i besteht die Beziehung: , 1 - y . y ~ (43)

h l i : 1 - - y ~ ' y "

Der Anteil der Leiternutrfiume an der Gesamt-Nutleitf~ihigkeit wird damit hli + h~

3 a

Die Leitffihigkeit der gesamten Nut bei Wechselstrom 2N~ ergibt sich als die Summe der beiden Teilleitf~ihigkeiten zu

XXX. Band. ~9~6. HeB, Stromverdrgngungsmotoren mit Ein- und Mehrnutlgufern. 221

2N~ = KB~ iNgoi q- hli + h~ 3 a '

wodurch dann auch die gesamte Induktivitfitsverminderung bekannt ist:

K B - ,~Nw ~,ng "

Bei Ver~inderung der Frequenz ist zunfichst yi mit Hilfe der Funktion V (~) X o i und damit ebenfalls ~ neu zu bestimmen. Bild 14 liefert dann den gefinderten

Weft KB., durch den weiter ein neues y} gegeben ist, so dab damit alle notwendigen Werte zur Bestimmung der neuen Gr6gen 2N~ bzw. KB bekannt sind. In Bild 15

(x2,,. ) ist der Verlauf yon K~ =/\RT~-~ ' y eingetragen, so dab in dieser Abbildung alle

GrOBen vereinigt sind, die bei der Vorausberechnung zur Erzielung gtinstigster Ver- h~iltnisse angestrebt werden sollen.

b) G e g o s s e n e r Doppe lnu tk~ i f i g . Ftir Asynchronmotoren kleiner Leistung wird aus mancherlei Grfinden der

D0ppelnutmotor mit gegossenen K~ifigen und zwar mit einem Nutschnitt etwa in der Form des Bildes 16 bevorzugt; als Stirnverbindung ist auf jeder Seite ein ftir den gesamten Querschnitt gemeinsamer Ring angeordnet. Im wesentlichen gleicht diesee Nutform den Kfifigen mit geteilten Leitern, so dab nur noch die Abweichungen in der Berechnung gegen- tiber dem vorhergehenden Abschnitt anzugeben sind. Zur Bestim- d i ~ ' d i ~ c

mung von-R-~ " ben6tigen wir 2Ng, das zweckm~iBigerweise durch die

Teilleifffihigkeiten des Unterstabes -- durch Trapezform (Bild 16) an- "" genfihert -- des Nutschlitzes und des Oberstabes zusammengesetzt wird :

( l + / ) + u) . p , , = 6 q - 1 - - m " II,Ng~ -- aoo [ -- ~ ~_ y ~ -~- Bild 16. Nut

g [ 1 + m y ' ] /(44) Ifirgeg~ 2Ng a ~ ~ - [ ~ -~- 0, 6 Doppelkgfig.

darin bedeuten

y,__ q2. " ~176 d l > l , 0 ; m = a~176 q

IN~, und Xo ho q" c~ H p kann hier gleich 1 gesetzt werden (vgl. Bitd 4). Mit n- -~Ng~+ixg ~ R o - - ao q

wird schliet31ich X ~ Xo + R2n - - R o [(1 m y ' ) ( 1 - - m )

Wie im vorhergehenden AbJchnitt addieren wir zur Bestimmung der Wider- standserh6hung zu dem durch den Luftschlitz bedingten Wert K,,. die durch die Stromverdrlingung in den Leitern selbst hervorgerufene Gr61?e K~r.. Zur Benutzung der ftir den ideellen Kfifig aufgestellten Kurven K~-I verteilen wir den Querschnitt a o h o zu ~ auf ql und zu ~ auf q~, wodurch y' in y; ~ 7' + 5 m (1 -- 2 y') (1 + y')

1 Y tibergeht; da m in der Gr6t3enordnung oder mit y - - l + y ' in Yo= l + m ( 1 - - ] y ) 0,1 his 0,2 ist, weicht Yo nicht viel von y ab. Setzen wir aus Gleichung (45) ange-

l + n R2. nfihert xoR~ = y ~ . H , wobei H m n X2~' so ist entsprechend dem vorhergehenden

X2 n Abschnitt ftir gegebenes ~ und gew~ihltes n u n t e r Innehaltung vorstehender Glei-

chung das Verhfiltnis X~ R~o so zu bestimmen, dab K~-- 1 ein Maximum wird, wodurch

222 HeB, Stromverdr~ngungsmotoren mit E i n - u n d M e h r n u t l X u f e r n . Archiv ffir Elektrotechnik.

Xo die Querschnittsaufteilung in ql und q~ sowie die Nutschlitzbemes- fiber Yo und

sung festgelegt wird. Durch die Wahl der ideellen Zahninduktion wird die Grenze yon d 1 gegeben:

h~ q~ = ~ (1 + n)

ferner kann h entnommen werden aus:

so daft nunmehr mit der Grenze yon d 1 auch der Grenzwert yon hi bekannt ist; qe wird in der Regel rund ausgebildet. Die gesamte Widerstandserh6hung wird:

K~ = K~o -- 1 + K~L,

wobei K ~ L - qj2cq~ ist und q~ durch die Eindringtiefe h~ bei einer Gesamtleiter- qw

hOhe, die den Einzelh6hen der Querschnitte ql und q2 entspricht, bestimmt werden kann.

Zur Berechnung der Induktivit~itsverminderung KB entnehmen wir zunfichst

aus Kurve Bild 14 ftir Yo = Y den zugeh6rigen Wert KBo; das Produkt

K~o" 2~g~ liefert uns die Leitf~ihigkeit des Nutschlitzes bei WechselstrOmung. Zu bestimmen bleiben noch 2y~x und ~ a der Leiternutrfiume. Mit guter Ann~iherung (m << 1) kann gesetzt werden:

Aus qli, dem durch den Einflut3 des Nutschlitzes auf die Stromverdrfingung fest- gelegten ideellen Querschnitt des Arbeitskfifigs, folgt das zugeh6rige hli aus einfachen geometrischen Betrachtungen; es ist:

[ hi ' l - - u ~ ql i -= h l i d l l + 2 h~ u o J

Mit Hilfe von yi und hli lassen sich nunmehr 2N,ol und 2x~a angeben:

~NwI = 2Ngl h l i p i . h l i (1 - - uo) ;

2N.8 folgt aus 2Nga, wenn qx durch qli ersetzt wird; nach, einigen Umformungen ergibt s ich:

m 1 - - m {-yi

)~Nw = 0 , 6 + ~ - 1 1 - - m t- ( y ~ - - y )

Die gesamte Nutleitffihigkeit bei Wechselstr6mung 2N~ wird damit:

und : K B - - 2Nw __ 2YWl -t- K B o ~ Y g ~ i @ J, Uw~

~tNg 1 + r162 ~,Ng 2

c) D o p p e l n u t k ~ i f i g e mi t g e t r e n n t e n S t i r n r i n g e n .

Zu diesen L~iuferausfiihrungen sind im Sinne unserer bisherigen Betrachtung auch die Doppelk~ifige zu z~ihlen, die gemeinsamen Stirnring tragen, deren St~ibe jedoch in verschiedenen Nuten liegen, so daft die beiden Leiter nicht als ein einziger, wenn auch unterteilter Stab angesehen werden k6nnen Erfahrungsgemfil3 bestehen praktisch zwischen den Doppelnutl~iufern mit gemeinsamen und getrennten Stirn- ringen in der Wirkungsweise keine Unterschiede. Zur VervollstSmdigung der vor- liegenden Berechnungen seien kurz die ftir den Doppelnutlaufer mit getrennten Stirn- ringen im Schrifttum angegebenen Gleichungen ffir die Widerstandserh6hung und

X X X , B a n d . I936. H eB, Stromverdr~ngungsmotoren mit Ein- und MehrnutlEufern. 223

Induktivitfi tsverminderung in eine unseren bisherigen Ausffihrungen entsprechende Form gebraeht, wobei wir ausgehen von dem Wirk- und Blindwiderstand bei beliebiger Sehlfipfung [6]:

s 2 (r, x~ + rz" x~e) + r , . rz. r, (46) R2 = r t~" + s x~

Xal xt2 - (47)

Ffir s = 0 (praktisch Nennbetrieb i ergibt sich: r~.r~ r o-r z _ r~ x~r~+xzr~+2xaz.rarz x~r~+x 3. r~+2x2~.rs.r~}

Rz~ -- ra + rz - r~ + r~ l + y ' ; X ~ = (ra + rz)~ = -(r~ ~ r~)~ (47

Xag = Xa - - Xaz = X 2 - xea; XZg -= X a - x 2 3 ; r2 -i- r 3 = rt; Xag + xzg = Xt .

Da in der Gleichung f fir X ~ die Gr6Be x 3 ausschlaggebend und y' in der Gr6gen-

ordnung 0,05 bis 0,2 ist, kann man setzen: X ~ - - (1 + r wobei ~ eine kleine 1 + y ' '

Zahl etwa 0,03 bis 0,07 bedeutet. Ffir s = 1 wird mit einigen Vereinfachungen:

+ ,.a 1 1 / xa \31 l + { X ~ n ~ ~ y ' ( I + y ) ( l + y ' ) . R . . R~.(1 Y) " y ~ + ~ l ~ ) J u n d K w R , \ R ~ n ] (1+$) ~ (48)

R 2 = - - - - o (i -j- y'~' Rin (R..] 2 R ~ , ( l + y ' ) ' \ y, / + [(l + ;) x,]' 1 + \Xen/ "y'.

1 Ffir ~ = 0 und y = 1 + y' geht aus GI. (48) in die Gleichung ffir K~ des ideellen Doppel-

nutlfiufers fiber. Aus G1. (47) folgt:

x ~ = r g ( l + Y r l ~ ( 1 X 2 n + + y,)~ Y '~ ( l+~)x3 (x* ' xa -x~3)+ y,2 [(1 + ~)- xa] ~ ; ferner KB = X~n

Der Klammerwert x~ x 3 - x2a lfiBt sich ohne weiteres nicht in die Form einer einfachen Beziehung zu x a bzw. X2n bringen; als Mittelwert in erster An- nfiherung wird man x 2 = n �9 x 3 ~ 0,1 �9 xa setzen k6nnen, zumal in KB tier Klammerwert mit y ' ~ verbunden steht; mit diesen Annfiherungen geht vorstehende Glei- chung fiber in

( X ~ n \ 2 1 + ~ ) (l + y ' ) 2 . y ' 2 . m n

K B = - WWW~JffZ..~ - - - ; m = (~ ~r ( 5 0 ) y

1 . . . M i t m = 0, also xe <(x 3 und y = 1 + y ' erg~bt sleh dm

ffir KB der geteilten St~be bzw. des ideellen Doppel- nutlfiufers angegebene Gleichung.

Zur Vorausbereehnung yon Stromverdrfingungs- motoren liefert G1. (4) ffir ein vorgegebenes k ein Werte- paar K~ und KB, ffir alas in Abh~ngigkeit von dem

1 + ~ [x . . x~ - x~.l

{x,.y 1 + \ R . , ) "Y'2

(49)

~,6 ' i XZn-~21

0 2

I 0,6

KB O,~

0

~n Y~ss

a,~ o., 0..8 r 2 a g 5 KB "--'~ Sw "

]3ild 17. Ermi%tlung von K w max und zugeh6rigem KB ffir

Xvz-- 8,21. R2n

Querschnittverhfiltnis y die gleichen zahlenmfiBigen Gr6fien aus den KWmax-und KB- Kurven der einzelnen Stabformen zu suchen sind. Bei einem gewissen Spielraum ffir k wird die Gleichheit zwischen diesen Wertepaaren aus G1. (4) und den genannten Kurven stets erreichbar sein. U m g e k e h r t erfordert ein fester k-Wert meist ein Abgehen von den zusammengeh6rigen Kurvengr6flen Kw, KB und y. In

X 2 n diesem Falle ben6tigt man K~, KB = /(y) bzw. cy (y) bei festem ~ und wfihlt y

so, daft das gr6Btm6gliehe KB gleichzeitig mit passendem Kw erreicht wird (Bild 17). A r c h l y f. E l e k t r o t e e h n i k . X X X . B a n d . 4. H e f t . 1 7

A r c h l y f i i r 224 t l eB , Stromverdr/~ngungsm0toren mit Ein- und Mehrnutl/iufern. Elektrotechnik.

Zu beachten bleibt dabei stets, dab e~ und s/~ aus G1. (4) sich mit der L~iuferaus- fiihrung findern.

Wie aueh im Schrifttum erwfihnt, ist bei der Auslegung yon Stromverdr~ingungs- M~ motoren zweekentsprechend ein m6gliehst hohes spezifisches Verhfiltnis ~ anzu-

streben, woraus sich zun~ichst die Forderung auf Kwmax entspreehend M k ~ und auf ein ebenfalls grol3es KB gem~it3 einem kleinm6glichen Ik ergibt. Vergleicht man naeh diesem Gesichtspunkte die einzelnen Stabformen, so lassen sieh aus den Kurven-

X2 n bl~ittern folgende Vergleiehswerte z. B. fiir ~ = 10 entnehmen:

Rechteck- Trapez- L- Rechteckrund- geteilte St~be 3,87 4,5 4,8 4,9 5,7 = Kw 0,387 0,59 0,6 0,7 0,5 = -Kb

u o = 0 , 3 u ~ 2 y - -0 ,28 y = 0 , 9 v ~ 2 n = 0 , 2

Die yon der Rechteckform abweichenden Massivstfibe sind im wesentlichen in ihren Stromverdfiingungsgr6flen gleiehwertig, aber ebenso wie die geteilten Stfibe den einfaehen Rechteckstfiben erheblieh tiberlegen. Far den Berechner wird es in jedem Einzelfalle an Hand der vorliegenden Arbeit und insbesondere der Kurven- bl~itter nieht schwierig sein, die einzelnen Stabformen vorteilhaft zu verwenden, soweit dieses in Rtieksieht auf die zul~issige Zahnsfittigung m6glich erscheint.

B. Asynchrone Mehrnutmotoren in Sonderausfiihrung. 1. Doppeltverkettete Streuung.

In den vorhergehenden Abschnitten ist die Berechnung der Stromverdr~ngungs- grN3en ffir die in der Praxis verwendeten Ausffihrungen asynchroner Ein- und Mehr- nutl~ufer angegeben. Eine wichtige Rolle ffir Asynchronmotoren spielt bekanntlich die doppeltverkettete Streuung % die, wie im Schrifttum des 6fteren behandelt, "con der Nutenzahl abhfingt. Ftir ]~in- und Doppelnutl~ufer -- diese mit Anlauf- und Arbeitskfifig in gleichen Nuten fibereinander -- bleibt ~d konstant und ist wie ftir einen normalen K~tfigl~ufer gleicher Nutzahl zu bestimmen. Durch Verteilen der Anlauf- und Arbeitswicklung auf verschiedene Nutsysteme oder dureh die Wahl ungleicher Nutzahlen ffir beide K~ifige mug eine Anderung von z~ gegentiber der Normalausftihrung auftreten, auf die wir im folgenden kurz eingehen wollen.

a) G le i che S t a b z a h l e n bei g e t r e n n t e n Nu ten . Die Induktivitfit L einer Wicklung l~fJt sieh aus der magnetischen Energie

ermitteln: 1 '2 W = ~ Z ~. (51)

Anderseits gilt

W = V ~ ~ dv.

Mit # = cx~ im Eisen wird diese Gleiehung ffir 1 cm Ankerlfinge und bekannten Luft- spalt d bei endlicher Nutzahl:

Z

w = ~ x ~ B , . z (51 a) 8 ~ 1

Die Beziehung zwischen L und B ~ vermittelt das G6rges-Diagramm, das ftir Kfifig-

wieklungen mit m----~Phasen in ein regelm~ifliges m-seitiges, ftir ganzzahlige m

geschlossenes Vieleck tibergeht (Bild 18@ Die Strahlen R1, R2, Rs yore Mittelpunkt zu den Ecken, d. h. Zahnmitten, sind proportional B. Der Radius R o eines Kreises,

XXX. Band. ~936. He B, Stromverdr~ngungsmotoren mi• Ein- und Mehrnutl~ufern. 225

dessen Umfang gleich ist dem mit dem Wicklungsfaktor multiplizierten Vieleck- umfang ist proportional Bo, dem H0chstwert der Induktion der Grundwelle [7]. Die Einftihrung getrennter Nuten ftir Arbeits- und Anlaufwicklung hat eine Herab- setzung von z~ zur Folge, wie auch aus der Gegentiberstellung der Erregerfeldkurven eines L~iufers in Ausftihrung mit vereinigten und getrennten Nuts.ystemen hervor-

geht. Bild 18b gilt ftir ein Verh~iltnis Anlauf- zu Arbeitsstrom ' 2 _ 1 Andere i 3 5"

Grist3en dieses Verhfiltnisses be- dingen gefinderte Form der Trep- penkurve, d. h. ~e wird hier strom- abhfingig und sehwankt zwischen zwei Grenzwerten ftir a) Strom

der Arbeitswicklung i 3 ---- 0, b) Strom der Arbeitswieklung gleich Strom in Anlaufwieklung i 3 = i~. Entsprechend seiner Ab- h~ingigkeit yon der Nutzahl wird ~a ftir Fall a seinen H0ehstwert,

5 6

a b g i l d 18. a G S r g e s - D i a g r a m m Ifir KS, f i g w i c k l u n g ,

b Feldkurve ffir Doppelk~fig mit verteilten Nuten.

und zwar den vierfachen Wert von zdo, ftir Fall b seinen Kleinstwert annehmen. In diesen beiden Fallen ist das G0rges-Diagramm ein regelmfif3iges Vieleck; die StufenhOhe der Erregerfeldkurve findert sieh nach einer Kreisfunktion.

Da za durch das Verhfiltnis R-~ gegeben und m stets grog ist, kann an Stelle Ro ~

der Sehne der zugeh0rige Bogen treten, d .h . bei gegebener Nutzahl soll =-/~ auf das *a

Verh~iltni~ Umfang des Vieleeks zu dem des umbeschriebenen Kreises keinen Ein- flug austiben. Damit 15t~t sich das G6rges-Diagramm ftir gegebene Nut- bzw.

Phasenzahl m bei verschiedenen Werten yon =-i2 ohne weiteres angeben. In Bild 19 *a

ist die Dreieckseite a b als eine Seite des Vieleeks dureh m festgelegt; der Punkt c

wandert entsprechend =-i2 und den vorhin erwfihnten Ver- '3

nachlfissigungen auf dem Bogen a b des dem Vieleck um- beschriebenen Kreises.

Die Berechnung des Koeffizienten der doppeltverketteten Streuung ergibt sich aus folgender Uberlegung: Die Seiten- lfinge a b des m-Vielecks sei 1 ; ferner aT = ~ und cb = 1 - - o:.

Dann wird nach Bild 19:

_ R ~ = - 2 s in (1 - - :~ )

und

sin -- :r 4 1 m 3 \ m J

L1 Zur Bildung von ~a --~ Zo 1 ist L 1 auf den gleichen Strombelag S/wie L o zu beziehen.

Vergleiehen wir das Produkt B 2 l und seine geometrische Bedeutung mit y2 F, dem Ausdruck und der Deutung yon Trfigheitsmomenten, so entspricht der Gr/5t3e des u die Fl~iche bzw. die Masse [7]. Die Seite a b habe die Masse 1; dann ent- ffillt a u f a c die Masse e und auf cb die Masse 1 -- g. Es sind also in der Gleichung ftir ~d die Quadrate R~, R~, R~ mit den entspreehenden Massen 1, 1 -- e und zu multiplizieren :

= - - - - 1 ~ r -5 1 ~ ~ 1 2 1 . (52)

\ m /

17"

lz, .b

:Bild 19. Sk izze zu G1. (52).

Archiv ffir 226 H eg, Stromverdr~ngungsmotoren mit Ein- und Mehrnutlfmfern. Elektrotechnik.

0,a

0,7

o , s ~

0,1 0 ql gg []3 o,g 0,5 gg 0,,7 0,3 O,g ~,0

Bild 20. Anderung der dop- peltverketteten Streuung in Abh~ngigkeit yon dem Stromverhitltnis abei Dop-

pelkAfig mit verteilten Nuten.

Nach einigen Vereinfachungen wird

v e = r e o ' T ; T = 1 - - 3 ~ ( 1 - - ~ )

vdo ist der Koeffizient der doppeltverketteten Streuung ftir i 2 bzw. i 3 = 0; ~indert sich in den Grenzen 0 bis 1,0; fiir ~ 0 ist ? = 1, ffir 0~ = 0,5 ist y = 0,25. ist symmetrisch um e = 0,5, da die Einzelstr(Sme i 2 upd i 3 in bezug auf ~ vertausch-

bar sind. Der zeitliche Mittelwert der Treppenkurve des L~iufererregerfeldes und

damit zd bleiben unverfindert, gleichgtiltig, ob i~+is i 3 -- ~ oder i~+i3 i~ -- ~ (vgl.

Bild 19, Punkt c'). Der Faktor ~, der die Abnahme von v~ in Abhfingigkeit von e, dem Verhfiltnis: Teil- zu Gesamtstrom angibt, ist in Bild 20 als Funktion yon

aufgetragen, wobei noeh ), = ~2 zum Vergleieh angegeben ist. ? fiillt im Bereich 0 <_ ~_< 0,5 mit h6herer Potenz als 2 in Abhfingigkeit yon :~ ab.

b) V e r s e h i e d e n e N u t z a h l e n . In Rticksicht auf die hohen Zahns~ittigungen, die

sich durch die grOfiere Nuttiefe bei Ausftihrung der Doppel- nutlfiufer insbesondere bei kleinen Leistungen ergeben, kann der Arbeitskfifig aueh mit geringeren Nutzahlen als der Anlaufk~ifig ausgeftihrt werden; meistens verhalten sich dann die-Nutzahlen wie 2 : 1 (Bild 21). Dadurch wird nattirlieh eine ]~nderung der doppeltverketteten Streuung gegentiber dem normalen I)oppelnutmoto'r be- dingt, derert Gr6t3e in diesem Falle analytisch berechnet werden soll.

Wir gehen dabei von der Erregerfeldkurve aus und legen zun~ehst zur kurzen Beispielsrechnung einen ein- fachen K~ifig im L~iufer zugrunde (Bild 22). Mit B 1 als

(n Stfibe je Pol) kann man H6chstwert der Induktion und einer Nutteilung ~ = n

ftir dieses Treppenfeld (/)g schreiben:

1 [b l + b 2 + b 3 + . . b ~ ] = B l " t ~ - [ s m 5 -k-sin + = qbg = B1 l~ vp n . . . . B1 Ie n sin~-

Die Grundwelle ~0 einer Treppenkurve mit den Stufenh6hen sx, s2.. . ist gegeben durch:

~ 0 = ~- ~ Is1 cos ~1 + s~ cos ~ + s3 cos ~3. . . ] l e " * p .

Setzt~__~ ' ; z 3 ~ ~ sl = B1 sin ~ - ~ m a n ftir die Stufenh6hen: A = 2 sin ~c~ ~. BI:. 1 A; i r - - - ' r ' ~ I~

s= = B~ sin ~- -- sin = A cosc~;

]3ild 2i . . Heemaf-Lgufers.NUt:schnit:t eines sa~_ Be [ s i n ~ _ sin ~ ] = A cos 2 (x, ]3ild 22.G1. Skizze(54). zu

so geht #o ftir den vorliegenden Fall tiber in:

r 4 2 !,vpA - / c o s ~ + c o s 2 -/ . . . . 4 ~ B l rp- l~s in~- .

XXX. Band. 1936. HeB, Stromverdr~ngungsmotoren mit Ein- und Mehrnutlgufern. 227

Somit wird -rp 1

~ 1 - - le Tt, o~ s i n ~ - Z 2 ( 1 )Z ]

El 1 - - ~ g 1 ----- - - 1 ~ = 3 , 2 9 ( 5 4 ) ~ d - Eo ~o 4 ~ Y 2n ~ "

~ B l z p le " n . sin~-

Durch die Ausffihrung des Anlauf- und Arbeitskfifigs mit verschiedenen Nut- zahlen geht die sinusf6rmige Abstufung des L~iufererregerfeldes in eine unregelmiiBige fiber. Die tatsfichliche Stromverteilung eines L~iufers mit verschiedenen Nutzahlen in Anlauf- und Arbeitsk~fig kann man sich z. ]3. dadurch entstanden denken, dab in dem Arbeitskfifig die gegentiber dem Anlaufkfifig fehlenden Nuten eine dem Arbeits- strom entgegengesetzte, aber gleich groBe Str6mung ffihren. Man fiberlagert also eine Felderregerkurve mit einer Stufen- [------7 zahl gleich der Nutzahl des Anlaufk~ifigs mit einer solchen, I I rnl=e derenStufenzahl derNutzahl des Arbeitsk~ifigs entspricht / [--2--!rn~2=~i'~ und dereI1 Richtung der ersten Felderregerkurve entgegen- gesetzt ist. Bild 23 zeigt diese lJberlagerung ftir Anlaufkfifig Z 2 bzw. m 1--- 6 und Z 3 bzw. m 2 = 3, Arbeitskfifig. Die ~_2 __ Differenz bzw. der UberschuB gegen den sinusfSrmigverteilten l_...~., ~ 2~ Strom, das ist also der Strom i~, der entgegengesetzt bzw. in i ~. Richtung des gleichm~il3ig verteilter~ Stromes i 2 + i a = ili :Bild 23. Feldkurve ftir angenommen wird, sei durch das Verhfiltnis dieser beiden Doppelkgfig mit un-

gleichen Nutzahlen. Str6me 0r !'~ ausgedrfickt, wobei ~ stets kleiner ist als 1.

t II Zur Bestimmung der doppeltverketteten Streuung sei ausgegangen yon dem

E1 1, wobei E 1 die Spannung, die das Lfiuferfeld erzeugt, EMK-Verh~iltnis z a - E o

und E o deren Grundwelle bezeichnet. Die Berechnung von E 1 fiihrt auf die

Bildung der Summe ~ ' t ( ~ ) ~ - - ~ ; ~ ist der Wicklungsfaktor.

[ t : g ~ ~ 1- P'g ist die Summe der Oberwellen- Man kann also schreiben: z a = \ F o ] - - '

spannung, ausgedrtickt durch die Wieklungsfaktoren. Diese Summe kann nach der Vollstfndigkeitsbeziehung [8] aus der Fl~iche der. Quadratkurve des resultierenden L~iuferfeldes ermittelt werden, d. h. aus deren Ordinaten, die jeweils durch die Ordi- natendifferenz der Feldkurven der beiden Einfachk~ifige gegeben sind: F~ = [Fe--Fg~]2;

Das gleiche gilt fiir die Grundwelle

Y~ = [Fol-- Fo2]~; Damit wird

(Fgx - - Fg~) ~ 1. (55) ~a - - ( F o 1 _ Fo~)2

Wie vorher angeffihrt, stehen die Nutzahlen des Anlaufsk~ifigs zu denen des Arbeitskfifigs normalerweise im Verhfiltnis 2 :1 , also Z2-~ 2 Za. In diesem Falle bildet der Differenzstrom gleichfalls ein regelm~fliges Vielphasensystem. Zur Be- rechnung yon ra ffir das ]3eispiel m 1 = 6; m~ = 3 bilden wir zun~chst das Quadrat der Flfiche der resultierenden Kurve, indem wir die Ordinaten der Stufe gleicher Breite quadrieren, wobei wir uns mit der Flfichenbildung aus Symmetriegrfinden auf eine Viertelperiode beschrfinken k6nnen. Das Maximum der Kurve 1 sei A1;

. ;7/; dann ist mit Val =m~-~ ' t92 =--m~ der H6chstwert der Kurve 2:

sin 0~ sin 2 2 A ~ = A~ ~. . v%~= A~ ~ ; ~ = ~ z~--~-"

sm - - sin - - 2 2

Archiv ffir 228 HeB, Stromverdr/~ngungsmotoren mit Ein- und lVIehrnutlgufern. Elektrotechnik.

Die zu bestimmende Fl~iche wird damit

~=A~ 4 zg, f[" ~a sin~12+Isin3_~__% �9 �9

Berficksichtigt man dabei die Umformung:

' [cos (~ - b) - cos (a + b)], sin a �9 sin b =

so wird z.B.:

cos( - 0} = Ferner ergibt sich

mlJ Damit wird :

ml [-% . % - - c o s ~ - + 4 s l n ~ c o s ~ - - - c o s l l 4 (F 'V 1 = 1 ~s) ' (56)

~ d = \Fo] - - ml A 1 - - o : - - rex~

~s" . ~ Bild 24 zeigt in Kurve a den Verlauf der Zunahme y~ ; r ; ~'" V a/~/ der doppeltverketteten Streuung in Abhfingigkeit von a;

_ _ / ! zum Vergleich mit dieser Kurve gibt die Kurve b die Zunahme y'~ yon cr allerdings bei quadratischer Ande-

--" rung mit 1 + ~ . Die tatsfichliche fimderung von zd mit I . . ~ ~ ist ffir kleine Werte yon ~ kleiner als quadratisch.

In Anbetracht des groBen Anteiles der Lfiufer- linearstreuung an der Gesamtstreuung des Motors und

o e,$s .q'd o,75 I,o ~=,~ , der geringen GrSfie der doppeltverketteten Streuung

'~ bei Kfifigl~iufern tiberhaupt kann der Fehler, der durch :Bild 21. Jknderungderdoppelt- Benutzung eines konstanten Mittelwertes yon zd etwa verketteten Streuung in Ab- hgngigkeit yon dem Stromver- ffir die Nutzahl Zs + Z a entsteht, bei der Entwurfbe- h~ltnis *r bei Doppelkgfig mit 2

ungleichen Nutzahlen. rechnung solcher Motoren ohne Bedenken hingenommen werden, zumal das Stromverhfiltnis in keinem Falle

einen der beiden Grenzwerte 0 od.er 1 erreicht, za also stets einem Zwischenwert der Nutzahlen Z~ und Z a entsprechen mug. Zur genauen Rechnung ist za zunfichst ftir ein angenommenes Stromverhfiltnis zu bestimmen und dann sind die StrSme nach- zuprtifen.

9. Gi i t everg le i ch mit , ,normalem" Do ppe l nut mo t o r . SoU der Einflut3 der Stromverdfiingung bei einem Vergleich verschiedener Aus-

ftihrungsarten von Asynchronmotoren deutlich hervortreten, so muB man von Gr6gen ausgehen, die erheblich von cos ~0, abh~ingig sind. An Stelle des im Schrifttum

M~ M,

verschiedentlich erw~ihnten Gtitegrades g = ~ - bildet man zweckm~ifiigerweise ein

M~, bei Aus- Mk bei Ausfiihrung mit Stromverdr~ingung -- zu Verh~iltnis v yon

ftihrung ohne Stromverddingung, d. h. mit konstanten L~iuferkoeffizienten R2, und X2,. v gibt die fimderung des Drehmomentes je Ampere bei Ubergang yon normalem Kurzschlufi- zu Stromverddingungsl~iufer an:

[/ Mk (1 + ,~,)= + ~ / (57)

XXX. Band. ~936. HeB, Stromverdr~tngungsmotoren mit Ein- und MehrnutlS.ufern. 229

a) H e e m a f - M o t o r . In dem DRP. 397873 wird yon der Heemaf ein DoppelnutRiufer vorgeschlagen,

der in der Arbeitswicklung eine geringere Nutzahl als in der Anlaufwieklung zeigt (vgl . Bild 21), wodurch infolge verringerter Zahns/ittigung der cos% des normalen Doppelnutmotors wieder gebessert und ferner durch Verwendung nur runder St~ibe eine Herstellungsvereinfaehung erzielt werden soll. Bei einer Gegentiberstellung Heemaf- Doppelnutmotor nehmen wir als Vergleiehsgrundlage einen Doppelnutmotor, dessen L~iufer so gewfihlt ist, dab die tibliche Induktion am Zahnfufi nicht tiberschritten wird. Von dieser Lfiuferausftihrung gelangt man zu einem Heemaf-Motor dureh 1. VergrOBerung yon Z 2 und 2. durch Verringerung von Z a.

1. Vergr6Berung der Nutzahl Z~ des Anlaufk~ifigs. e) x 2 -- reduziert -- geht bei gleicher Nutform umgekehrt proportional der

Nutzahl Z 2 zuriick AxSV/41 (W 1 $1) 2

Z~ Da in der G1. (47a) die GrSt3e x2 in Verbindung mit y' additiv zu x a steht und y' in der Gr6f3enordnung 0,05 bis 0,2 ist, wird der EinfluB der Anderung yon xe auf

den Wert X~, und damit auf K~ sehr gering, n ~ x2 in der Gleichung ftir KB steht x~ r 2 X2n 2 in Verbindung mit y (~ ,~) und additiv zu 1, so dal3 aueh die Anderung yon Kz

gering ausf~illt, z. B. ftir y' X 2 , = 1 und n = 0,1 ist n r = 0,05 bei doppelter Anlauf- R2n

kfifignutzahl; damit wtirde KB um 5% kleiner. fi) rd~, die resultierende doppeltverkeetete L~iuferstreuung, wird durch ErhOhung

yon Z 2 besonders ftir groge Schliipfungen -- s ~ 1 -- kleiner und im wesentlichen durch Z 2 gegeben sein, da i 2 ftir s ~ l bei weitem tiberwiegt, d. h. ~ 0 , 1 bis 0,3. Dadurch steigt f/Jr den Heemaf-Motor die Differenz X~, -- -'~IIa : X2n ( X ; n ist die Gesamtlfiuferinduktivitfit) bei ftir beide Motoren als gleich vorauszusetzendem cos 9~,

so dab sieh auch entsprechend den Kurven K ~ : / \ ~ , y und KB : ~ \R2~' y

die Stromverdrfingungsgr6gen ~indern: Bei gr6Berem ~ steigt K~ an, der Wurzel-

wert der G1. (57) bleibt praktisch unver~indert, d. h. der Gtiterfaktor v wfiehst linear mit Kw.

Bei Stromverdr~ingungsmotoren ist der Anteil yon vd an der Motorgesamt- streuung infolge der Nutanordnung erheblich geringer als bei Schleifring- und Einfach- k/ifigl~iufern; ftir ausgeftihrte Beispiele betrug dieser Anteil rd. 5%, so dab die auf Grund der Verringerung yon zd~ erzielten Verbesserungen yon v nur gering sein k~nnen.i Die Rotorzahnsfittigung und damit / , steigen durch die Verdoppelung yon Z 2 an, besonders wenn der Anlaufk~ifig unter Beibehaltung des Widerstandes in Rtiek- sicht auf die notwendige W/irmekapazit~it nicht in Kupfer ausgeftihrt wird. Ent- spreehend G1. (3) und bei gleichem cos g~ bleibt nur ein kleinerer ]3etrag ftir

X2~ tibrig, da durch die gesteigerte S~ittigung ~ ansteigt. ~ steht aber in Differenz,

zu dem konstanten t g % ; kleineres )22, hat kleineres Kw und v zur Fvlge. Zur VergrOBerung yon Z 2 ergibt sieh zusammenfassend: Die Einwirkung einer

Anderung von x 2 auf KB ist klein; der Verringerung yon zd,~ steht die Zunahme der Siittigung in etwa gleicher Gr0Benordnung gegentiber, so dab durch VergrOBern von Z 2 keine Verbesserung des Heemaf- gegentiber dem normalen Doppelnutmotor ein- tritt.

2. Verringerung der Nutzahl Z~ des Laufklifigs. Soll cos ~, beibehalten werden, so hat man mit z ~ , bei Nennbetrieb zu rechnen,

das ftir den Heemaf-Motor auf den etwa dreifachen Betrag yon zdn des Doppelnut-

�9 Archiv flit 230 HeB, Stromverdr~tngungsmotoren mit Ein- und Mehrnutl~ufern. EIektrotechnik.

motors steigt; dadurch muff umgekehrt X~n und damit K~ kleiner, K~ allerdings grSt3er werden, v [G1. (57)] nimmt ebenfalls ab, da der Wurzelwert sich nur wenig findert. Setzt man zd~ '3zd , voraus, so betr~igt die Abnahme yon }22, und damit yon K w ~ 20%. Ke steigt etwa um 5%, der Wurzelwert in v bleibt praktisch un- ver~indert, so dat3 v also um rd. 20% kleiner ist.

Mit der Verminderung yon Za verringert sich die Zahninduktion unter Um-

st~inden erheblich, wodurch der Erregerstrom bzw. b = U1 kleiner wird. Entsprechend

G1. (3) steigen X2" und ferner K~. Ftir ein Beispiel aus dem Schrifttum betrug die Abnahme yon I , bei Ausftihrung als Einfach- gegentiber Doppetnutk~ifig etwa 12%. Ubertr~igt man diesen Wert auf den vorliegenden Vergleich, so wtirden X2, und K~ bzw. v ffir den Heemaf-Motor um rd. 20 % steigen. Die Einfltisse der VergrSfie- rung von ~ und der Verringerung der Sfittigung wirken also einander entgegen. Eine Verbesserung des Heemaf- gegentiber dem Doppelnutmotor tritt also im Falle 1 tiberhaupt nicht, im Falle 2 je nach den Zahlenwerten unter ~) und /~) in nur beschrfinktem MaBe ein.

b) D r e i n u t m o t o r . In dem DRP. 493177 ist eine Wicklungsanordnung von Asynchronlfiufern an-

gegeben, die mit einigen Erweiterungen als Dreinutmotor Eingang in die Praxis

~'--- ~ . . . . . i

a b :Bild 25. a Nutschnitt eines Dreinutmotors.

b Wicklungsanordnung bei einem Dreinutl~ufer.

gefunden hat. Die Ausftihrung des Rotornutschnittes zeigt Bild 25a, die schematische Wicklungsanordnung

Bild 25b. Die obere Wicklung 2 ist eine normale Kfifigwick!ung, wfihrend die Wicklung 3, eine Phasenwicklung, die Arbeitswicklung darstellt, die durch eine weitere Wicklung 4 ver- st~irkt wird; diese liegt auf dem Nut-

grunde der tieferen Nuten, benutzt also nur halb soviel Nuten wie die Wicklung 3 und ist ebenfalls als Phasenwicklung ausgeftihrt.

Ahnlich dem Vorgehen beim Doppelnutmotor ist zun~ichst zu versuchen, ftir die 3 L~iuferwicklungen eirten resultierenden Wirk- und Blindwiderstand RII bzw. XII anzugeben, wobei wir kurz auf die doppeltverkettete Streuung der Lfiuferwicklungen untereinander eingehen wollen; diese liegen in ihrer Lage gegeneinander fest, so daft es sich nur um eine ,,Differentialstreuung" handeln wird. Rechnet man mit den Spulenfaktoren [9], so ergibt sich, dab nur bei Wicklung 4 gegen 3 die GrOt3e zd von Null verschieden ist: ffir q4 = 1 2 3 4 5 6

q8 = 2 4 6 8 10 12 rdaa ~ 0,143 0,037 0,017 0,009 000,6 0,004

Zur analytischen Ermittlung der resultierenden Werte RII und XII gehen wir yon den Spannungsgleichungen der einzelnen L~uferstromkreise aus.

E I I = ]2 ( f2 -~]sXg) @ i s -]3" x32@ ] s ]4" z24;

J~II = "[3 (f3 "-~ i SX3) ~- ] $ i2" X2a -@' '" (58) E~ = f4 (r~ + j sX~) + . . .

/~II = /4II (RII @] szYii) ; III WlTHI = Z2w2m2 @ ]3 w3 m3 -~- -[4w4m4; :Alle GrSfJen sind auf primfir reduziert. Die Durchftihrung der Rechnung liefert

uniibersichtliche und daher unbrauchbare Gleichungen ftir RII bzw. Xii. Ftir einen vorhandenen 4 kW-Dreinutmotor ergab eine zahlenmfifJige Nach-

rechnung wohl einen hohen Gtitegrad g entsprechend hohen Kupferverlusten im Lfiufer-, aber kleines v, und zwar etwa 1,2, d. h. geringe Stromverdrfingung.

XXX. Band. ~ga0. HeB, Stromverdr~ingungsmotoren mit Ein- und Mehrnutl~iufern. 231

Zu einem Vergleich mit normalem Doppelnutmotor seien entsprechend dem DRP. 493177 in dem LSufer nur 2 Wicklungen angenommen, d. b. die VerstSrkung der Laufwicklung 3 durch Wieklung 4: f~llt fort (Bild 26). Bei gteichen St~nder- abmessungen und Nuten sowie gleichen LSuferverlusten, d. h. gleichem R2,, zeigten sich an Hand yon Vergleichsrechnung folgende Ergebnisse (Index 3 gilt ftir ,,Dreinut-", Index 2 ftir Doppelnutmotor):

N [kW) cos ~o~

5 ; ; 0,893 0,900

1500 0,914

COg q~

0,854 0,880 0,897

0,903 0,900 0,947 0,946 0,961 0,960

g~

0,37 0,385 0,'279

gz

0,51 0,4'26 0,376

1,91 ! 3,44 4,11 5~60 4,70 7,90

Bild 26. Vereinfachte Wicklungsan- ordnullg bei einem Dreinutlaufer.

Wie zu erwarten, liegt cos ~% durch die Verringerung der Zahninduktion h0her ats cosq~; dagegen verschleehtern sich, wie auf Grund der /3etrachtunge~ mittets Eindringtiefe und aus den Gr6gen va und v 2 zu ersehen ist, die Anzugsverhgltnisse gegentiber dem Doppelnutmotor. Die Verst~rkung der Arbeitswicklung durch Wick- lung 4 bei der praktischen Ausftihrung des Dreinutmotors wird eine Vergr• der Stromverdrfingung zur Folge haben, so dab bei gleichem cos ~, und gleichem R~,, die Gtitefaktoren des Doppelnutmotors, je nach den Kupfefgewichtsverhfiltnissen der drei L~uferwicklungen erreicht und, wenn auch nur gering, tibersehritten werden kSnnen. Ein genauer Vergleieh zwischen Doppel- und Dreinutmotor wird in Rticksicht auf die untibersiehtliehe analytische Rechnung beim Dreinutmotor nur dureh Messung mOglich sein.

Zusammenfassung . Die VorstelIung einer yon der Nutbreite unabh~ingigen Eindringtiefe bei Wechsel-

strom liefert einfache Ausdrticke ftir die Stromverdrfingungsgr0flen bei Nuten ver -: schiedener, in der Praxis verwendeter Formen. Ftir Trapez-, L-, Rechteckrund- und Doppelkfifignuten wurden Kurven angegeben, die ftir weite Leistungsgebiete die geometrischen Nutformen ftir grSBtm6gliches Anzugsmoment bei vorgegebenem Kurz- sehluBstrom und Leistungsfaktor festlegen. Die doppeltverkettete Streuung yon Doppelnutkgfigen mit verteilten Nuten und verschiedenen Nutzahlen geht nicht umgekehrt proportional dem Quadrat des Verh~ltnisses der Str0me bzw. der Nuten in Anlauf- und Arbeitsk~fig. Ein Gtitevergleich zwischen normalem Doppelnutmotor einerseits und dem Heemafmotor-Dreinutmotor anderseits ergibt nur eine geringe VerbesserungsmSglichkeit des Doppelnutmotors dureh J~nderung der Nutanordnung.

Schrifttum. 1. Rogowski, Zus~tzliche Kupferverluste. Arch. Elektrotechn. 2 (1913) S. 94. 2. zur Nieden, Berechnung yon St~iben ffir Stromverdr~ingungsmotoren. Elektrotechn. u.

Mascbinenb. 51 (1933) S. 130. 3. Schuisky, Die Stromverdr~ngungsmotoren, Arch. Elektroteehn. 27 (1933) S. 77, 4. Laible, Stromverdr~ingung in Nutenleitern, Arch. ElekVrotechn. 27 (1933) S. 558. 5. Kr~nler, Die t~erechnu~g geeigneter Nutenformen Eir Stromverdr/~ngungslXufer. ETZ 52

(1931) S. 75. 6. Liwschitz, Die elektrischen Maschinen, Bd. 3 S. 168. Leipzig: Teubner 1934. 7. Krondl, Differentialstreuung in Induktionsmaschinen. Rev. g6n. Electr. 23 (1928) S. 433. 8. Krebs, Summationsverfahren zur Berechnung der Gesamtwirkung der Oberfelder in elek-

trischen Maschinen. Elektrotechn. u. Maschinenb. 52 (1934) S. 345. 9. Heubach, Der Drehstrommotor, 2. Aufl, S. 205. Berlin: Julius Springer 1923.