sUe1-Ma-I-A - Hamburg

Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende Gymnasien

Behörde für Schule und Berufsbildung 4. Februar 2013Schriftliche Überprüfung 2013

Mathematik Name: ____________________________ Klasse:_________ Gruppe A

sUe1-Ma-I-A.doc Seite 1 von 4 Seiten

Aufgabe I (34P)

1. Von den jeweils angebotenen Lösungen ist immer genau eine richtig. Überlege und schreibe denzugehörigen Buchstaben A, B, C oder D in die Spalte „Lösung“. Eine Begründung wird nicht ver-langt. (14P)

Aufgabe A B C D Lösung

a) ...9,04 =⋅ 0,36 3,6

9

4

6

3

b) ...

3

8:

5

2 = 15

16

15

10 3

10

3

20

c) 1,56 kg = … 15,6 g 156 g 1560 g 15600 g

d) ( ) ...1 3 =− Nicht definiert

–1 1 –1 und 1

e) ...01,0 3 = 410− 510− 610− 710−

f) In folgender Darstellung gilt: g h

Welche Aussage ist richtig?

a d

b c=

a b a

h g

+=

a g

a b c=

+

a c

b h=

g) Eine Kugel Eis verteuert sich von 0,80 € auf 1,00 €. Um wie viel Prozent ist der Preis gestiegen?

15 % 20 % 25 % 30 %

h) Zwei Eiskugeln haben einen Energiegehalt von 150 kcal. Welchen Ener-giegehalt haben 7 Kugeln?

275 kcal 525 kcal 675 kcal 750 kcal

SKA 20/12205

Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende Gymnasien Behörde für Schule und Berufsbildung 4. Februar 2013Schriftliche Überprüfung 2013

Mathematik Gruppe A



i) Ein Zahlenschloss hat drei Ringe jeweils mit den Zah-len von 1 bis 5. Wie viele verschiedene Zahlenkom-binationen gibt es?

12 34 125 243

j) Ritter Paul wählt seine Turnierausrüstung aus 5 Rüstungen, 3 Schilden und 6 Schwertern. Wie viele Kombinationsmög-lichkeiten hat er?

14 30 60 90

k)

Berechne den Flächenin-halt des Dreiecks.

54 cm² 108 cm² 121 cm² 216 cm²

l) Bestimme die Länge der Hypotenuse des Dreiecks aus k).

13 cm 15 cm 17 cm 19 cm

m) Ergänze so, dass eine Seite einer binomischen Formel entsteht.

64 64...9 ba +−

3248 ba 3224 ba 6448 ba 6424 ba

n) Die Anzahl von Bakterien eines bestimmten Bakteri-ums verdoppelt sich alle 60 Minuten. Anfangs wird eine Bakterie auf eine Nährlösung gegeben. Nach wie vielen vollen Stunden hat man mehr als 100 Bak-terien?

4 5 6 7


Mathematik Gruppe A


2. Gleichungen

Bestimme alle Lösungen folgender Gleichungen.

a) 2( 2) ( 25) ( 4) 0x x x− ⋅ + ⋅ + = (3P)

b) 22 4 48 0x x− − + = (4P)

c) 3

75 5

x− = (3P)


Mathematik Gruppe A


3. Umfang einer Figur (5P)

Die Figur besteht aus einem Quadrat und einem Halbkreis mit dem Radius r. Entscheide begründet, ob der Umfang der Figur kleiner als 10r ist.

4. Würfeln mit 2 Würfeln (5P)

a) Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln die Augensumme 7 zu würfeln,1

6 beträgt.

b) Gib eine mögliche Augensumme kleiner als 6 an, für die folgende Aussage gilt: Die Wahrschein-lichkeit, die gesuchte Augensumme zu würfeln, ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit,zweimal hintereinander die Augensumme 7 zu würfeln. Begründe deine Antwort.



sUe1-Ma-II-A.doc Seite 1 von 2 Seiten

Aufgabe II

Elbtunnel (22P)

Aufgrund des zu hohen Verkehrsaufkommens im Elbtunnel ist der Bau eines neuen Elbtunnels

geplant.

Die Skizze in der Anlage zeigt vereinfacht eine mögliche Umsetzung der Planung.

Betrachte die Straße im neuen Elbtunnel zusammengesetzt aus zwei Geraden.

Die Koordinateneinheiten sind in Metern angegeben.

a) Berechne die kürzeste Entfernung d („Luftlinie“) zwischen der Tunneleinfahrt E und der

Tunnelausfahrt A.[Zur Kontrolle: 1570,01d m≈ ] (5P)

Der durch das zuständige Architekturbüro festgelegte Neigungswinkel des Straßenabschnittes s1 am

linken Elbufer beträgt α = 2,7°. Die beiden Straßenabschnitte s1 und s2 treffen sich unterhalb der Elbe.

b) Berechne die Größe des Winkels γ und zeige damit, dass die Größe des Winkels β etwa

2,48° beträgt. (5P)

Am rechten Elbufer beträgt nach der Planung des Architekturbüros die Größe des Winkels δ = 1,8°.

c) Bestimme die Länge des Straßenabschnittes s1 im Elbtunnel. (7P) [Zur Kontrolle: 1 661ms ≈ ]

d) Bestimme, in welcher Tiefe unterhalb des in der Skizze eingezeichneten

Wasserspiegels die beiden Straßenabschnitte aufeinandertreffen. (5P)


Mathematik Gruppe A

sUe1-Ma-II-A.doc Seite 2 von 2 Seiten

Anlage zur Aufgabe „Elbtunnel“

Skizze ist nicht maßstabsgerecht.



sUe1-Ma-III-A.doc Seite 1 von 2 Seiten

Aufgabe III

Becher (22P)

An Lisas Kindergeburtstag soll ein Picknick mit Kuchen und

Kakao stattfinden. Lisas Vater kauft dazu extra neue Becher, auf

deren Seitenfläche er ein Foto von Lisa drucken lassen möchte.

Die Becher sind zylinderförmig und haben folgende Maße:

Radius außen 4,1 cm

Radius innen 3,8 cm

Höhe außen 9,5 cm

Höhe innen 8,9 cm

a) Berechne den Inhalt der äußeren Seitenfläche des Bechers (Zylindermantel), wenn der Becher

keinen Henkel hätte. (4P)

Aus technischen Gründen kann nicht die gesamte Seitenfläche bedruckt werden. Am oberen und unte-

ren Rand bleibt jeweils ein 3 mm breiter Streifen unbedruckt. Wegen des Henkels muss außerdem die

Außenfläche eines Zylindersektors von 40° frei bleiben (siehe Abbildung).

b) Berechne den Inhalt der Fläche, die insgesamt bedruckt werden kann. (6P)

Der Kakao soll in 1,6-ℓ -Thermoskannen zum Picknick gebracht werden. Lisas

Vater geht davon aus, dass insgesamt 60 volle Becher Kakao getrunken werden.

c) Bestimme, wie viele Thermoskannen demnach zum Picknick mitgenommen

werden sollten. (7P)

Die Thermoskannen sind zylinderförmig (ohne Henkel) und haben einen Außen-

durchmesser von 10 cm. Lisas Vater möchte zehn Thermoskannen auf einem

Tablett transportieren (siehe Skizze in der Anlage). Er steht im Laden und fragt

sich, ob ein Tablett mit den Abmessungen 40 cm x 28 cm dafür ausreichend ist.

d) Zeige durch Rechnung, dass genau zehn Thermoskannen in der in der Anlage

dargestellten Weise auf das Tablett passen. (5P)


Mathematik Gruppe A

sUe1-Ma-III-A.doc Seite 2 von 2 Seiten

Anlage zur Aufgabe „Becher“, Teilaufgabe d)



sUe1-Ma-IV-A.doc Seite 1 von 2 Seiten

Aufgabe IV

Bachforellen (22P)

In einem neu angelegten See werden 200 Bachforellen ausgesetzt. In den ersten fünf Jahren danach beobachtet man, dass sich die Anzahl der Forellen jährlich um 35 % erhöht.

a) Vervollständige die Tabelle in der Anlage für die Bestände der Bachforellen in den ersten fünfJahren und zeichne die Daten in das Koordinatensystem in der Anlage ein. (5P)

b) Gib die Funktionsvorschrift an, die die Anzahl der Forellen in den ersten fünf Jahren nach demAussetzen der Forellen beschreibt, und begründe den Ausdruck. (5P)

Die Anzahl der Forellen entwickelt sich ab dem sechsten Jahr anders als in den ersten fünf Jahren. Die Werte sind bereits im Koordinatensystem eingetragen.

c) Beschreibe die Entwicklung der Anzahl der Forellen ab dem sechsten Jahr und begründe, dassdiese Entwicklung der realen Situation angemessen ist. (4P)

Die im Koordinatensystem eingetragenen Werte für die Anzahl der Forellen ab dem sechsten Jahr

können mit der Funktion ( 6)( ) 2400 1200 1,35tA t − −= − ⋅ berechnet werden (t in Jahren).

d) Interpretiere die Bedeutung der Zahl 2400 in dem Funktionsterm im Sachkontext.Begründe deine Interpretation mit Hilfe des Funktionsterms. (4P)

e) Berechne den Zeitpunkt, zu dem nach der Funktion ( )A t insgesamt 2350 Forellen vorhanden

sind. (4P)


Mathematik Gruppe A

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Anlage zur Aufgabe „Bachforellen“

Zeit in Jahren 0 1 2 3 4 5

Anzahl Forellen 200

23

45

67

89

1011

12

250

0

200

0

150

0

100

0

500 0

113

-50

0

Anz

ahl

For

elle

n

Ze

it in

Jah

ren



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Aufgabe V

Basketball (22P)

Beim Basketball erhält man für einen Korbtreffer 2 Punkte, wenn man von innerhalb der 2-Punkte-Zone geworfen hat, und 3 Punkte, wenn man von außerhalb dieser Zone geworfen hat. Eine Basketball-Bundesliga-Mannschaft hatte während der Saison 2011/2012 folgende Wurfstatistik:

2-Punkte-Versuch

3-Punkte-Versuch Gesamt

Treffer 709 274 983

Fehlwurf 607 453 1060

Gesamt 1316 727 2043

Für die folgenden Aufgaben werden die relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten betrachtet.

a) Vervollständige das Baumdiagramm in der Anlage mit den entsprechendenWahrscheinlichkeiten. (5P)

b) Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit (Angabe in Prozent)…

- … ein zufällig ausgewählter Wurf ein 3-Punkte-Fehlwurf ist.

- … es sich um einen Wurf aus der 2-Punkte-Zone handelt, wenn es ein Fehlwurf ist.

- … vier Würfe aus der 2-Punkte-Zone in Folge erfolgreich sind – also zu 8 erzielten Punkten führen.

- … vier Würfe aus der 2-Punkte-Zone in Folge zu weniger als 8 Punkten führen. (10P)

c) Bestimme die durchschnittliche Punktezahl pro Wurf. (3P)

Der Trainer möchte vor dem letzten Saisonspiel die Mannschaft so trainieren, dass sie möglichst viele Punkte erzielt. Er hat zwei Trainingsprogramme zur Auswahl:

• Bei Programm A erhöht sich die Zwei-Punkte-Trefferquote auf 60 Prozent, die Drei-Punkte-Trefferquote bleibt im Vergleich zu vorher gleich.

• Bei Programm B erhöht sich die Drei-Punkte-Trefferquote auf 40 Prozent, die Zwei-Punkte-Trefferquote bleibt im Vergleich zu vorher gleich.

Die Verteilung der 2- und 3-Punkte-Versuche bleibt in beiden Fällen gleich.

d) Beurteile, welches der beiden Trainingsprogramme besser geeignet ist. (4P)


Mathematik Gruppe A

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Anlage zur Aufgabe „Basketball“, Aufgabenteil a)

Baumdiagramm

0,644...

0,346…

0,532…

0,467…

0,376…

0,623…

0,347…

0,297…

0,131…

0,221…

2-Punkte- Versuch

3-Punkte- Versuch

Treffer

Treffer

Fehlwurf

Fehlwurf


Mathematik Name: ____________________________ Klasse:_________ Gruppe B

sUe1-Ma-I-B.doc Seite 1 von 4 Seiten

Aufgabe I (34P)

1. Von den jeweils angebotenen Lösungen ist immer genau eine richtig. Überlege und schreibe denzugehörigen Buchstaben A, B, C oder D in die Spalte „Lösung“. Eine Begründung wird nicht ver-langt. (14P)


a) ...9,04 =⋅

6

3

9

43,6 0,36

b) ...

3

8:

5

2 = 3

20

3

10 15

10

15

16

c) 1,56 kg = … 15600 g 1560 g 156 g 15,6 g

d) ( ) ...1 3 =− –1 und 1 1 –1Nicht

definiert

e) ...01,0 3 = 710− 610− 510− 410−

f) In folgender Darstellung gilt: g h

Welche Aussage ist rich-tig?

a c

b h=

a g

a b c=

+

a b a

h g

+=

a d

b c=

g) Eine Kugel Eis verteuert sich von 0,80 € auf 1,00 €. Um wie viel Prozent ist der Preis gestiegen?

30 % 25 % 20 % 15 %

h) Zwei Eiskugeln haben einen Energiegehalt von 150 kcal. Welchen Ener-giegehalt haben 7 Kugeln?

750 kcal 675 kcal 525 kcal 275 kcal


Mathematik Gruppe B



i) Ein Zahlenschloss hat drei Ringe jeweils mit den Zah-len von 1 bis 5. Wie viele verschiedene Zahlenkom-binationen gibt es?

243 125 34 12

j) Ritter Paul wählt seine Turnierausrüstung aus 5 Rüstungen, 3 Schilden und 6 Schwertern. Wie viele Kombinationsmög-lichkeiten hat er?

90 60 30 14

k)

Berechne den Flächen-inhalt des Dreiecks.

216 cm² 121 cm² 108 cm² 54 cm²

l) Bestimme die Länge der Hypotenuse des Dreiecks aus k).

19 cm 17 cm 15 cm 13 cm

m) Ergänze so, dass eine Seite einer binomischen Formel entsteht.

64 64...9 ba +−

6424 ba 6448 ba 3224 ba 3248 ba

n) Die Anzahl von Bakterien eines bestimmten Bakteri-ums verdoppelt sich alle 60 Minuten. Anfangs wird eine Bakterie auf eine Nährlösung gegeben. Nach wie vielen vollen Stunden hat man mehr als 100 Bak-terien?

7 6 5 4

Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende Gym nasien Behörde für Schule und Berufsbildung 4. Februar 20 13 Schriftliche Überprüfung 2013

Mathematik Gruppe B


2. Gleichungen

Bestimme alle Lösungen folgender Gleichungen.

a) 2( 2) ( 9) ( 4) 0x x x+ ⋅ + ⋅ − = (3P)

b) 23 6 72 0x x− − + = (4P)

c) 3

64 4

x− = (3P)


Mathematik Gruppe B


3. Umfang einer Figur (5P)

Die Figur besteht aus einem Quadrat, aus dem ein Halbkreis mit dem Radius r ausgeschnitten wurde. Entscheide begründet, ob der Umfang der Figur größer als 9r ist.

4. Würfeln mit 2 Würfeln (5P)

a) Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln die Augensumme 7 zu würfeln,1

6 beträgt.

b) Gib eine mögliche Augensumme größer als 8 an, für die folgende Aussage gilt: Die Wahrschein-lichkeit, die gesuchte Augensumme zu würfeln, ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit,zweimal hintereinander die Augensumme 7 zu würfeln. Begründe deine Antwort.



sUe1-Ma-II-B.doc Seite 1 von 2 Seiten

Aufgabe II

Elbtunnel (22P)

Aufgrund des zu hohen Verkehrsaufkommens im Elbtunnel ist der Bau eines neuen Elbtunnels

geplant.

Die Skizze in der Anlage zeigt vereinfacht eine mögliche Umsetzung der Planung.

Betrachte die Straße im neuen Elbtunnel zusammengesetzt aus zwei Geraden.

Die Koordinateneinheiten sind in Metern angegeben.

a) Berechne die kürzeste Entfernung d („Luftlinie“) zwischen der Tunneleinfahrt E und der

Tunnelausfahrt A. [Zur Kontrolle: 1580,02d m≈ ] (5P)

Der durch das zuständige Architekturbüro festgelegte Neigungswinkel des Straßenabschnittes s1 am

linken Elbufer beträgt α = 2,6°. Die beiden Straßenabschnitte s1 und s2 treffen sich unterhalb der Elbe.

b) Berechne die Größe des Winkels γ und zeige damit, dass die Größe des Winkels β etwa

2,31° beträgt. (5P)

Am rechten Elbufer beträgt nach der Planung des Architekturbüros die Größe des Winkels δ = 1,6°.

c) Bestimme die Länge des Straßenabschnittes s1 im Elbtunnel. (7P) [Zur Kontrolle: 1 647ms ≈ ]

d) Bestimme, in welcher Tiefe unterhalb des in der Skizze eingezeichneten Wasserspiegels die bei-

den Straßenabschnitte aufeinandertreffen.

(5P)


Mathematik Gruppe B

sUe1-Ma-II-B.doc Seite 2 von 2 Seiten

Anlage zur Aufgabe „Elbtunnel“

Skizze ist nicht maßstabsgerecht.



sUe1-Ma-III-B.doc Seite 1 von 2 Seiten

Aufgabe III

Becher (22P)

An Lisas Kindergeburtstag soll ein Picknick mit Kuchen und

Kakao stattfinden. Lisas Vater kauft dazu extra neue Becher, auf

deren Seitenfläche er ein Foto von Lisa drucken lassen möchte.

Die Becher sind zylinderförmig und haben folgende Maße:

Radius außen 4,5 cm

Radius innen 4,2 cm

Höhe außen 9,8 cm

Höhe innen 9,1 cm

a) Berechne den Inhalt der äußeren Seitenfläche des Bechers (Zylindermantel), wenn der Becher

keinen Henkel hätte. (4P)

Aus technischen Gründen kann nicht die gesamte Seitenfläche bedruckt werden. Am oberen und unte-

ren Rand bleibt jeweils ein 4 mm breiter Streifen unbedruckt. Wegen des Henkels muss außerdem die

Außenfläche eines Zylindersektors von 30° frei bleiben (siehe Abbildung).

b) Berechne den Inhalt der Fläche, die insgesamt bedruckt werden kann. (6P)

Der Kakao soll in 1,6-ℓ -Thermoskannen zum Picknick gebracht werden. Lisas

Vater geht davon aus, dass insgesamt 70 volle Becher Kakao getrunken werden.

c) Bestimme, wie viele Thermoskannen demnach zum Picknick mitgenommen

werden sollten. (7P)

Die Thermoskannen sind zylinderförmig (ohne Henkel) und haben einen Außen-

durchmesser von 10 cm. Lisas Vater möchte acht Thermoskannen auf einem Tab-

lett transportieren (siehe Skizze in der Anlage). Er steht im Laden und fragt sich,

ob ein Tablett mit den Abmessungen 30 cm x 28 cm dafür ausreichend ist.

d) Zeige durch Rechnung, dass genau acht Thermoskannen in der in der Anlage

dargestellten Weise auf das Tablett passen. (5P)


Mathematik Gruppe B

sUe1-Ma-III-B.doc Seite 2 von 2 Seiten

Anlage zur Aufgabe „Becher“, Teilaufgabe d)



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Aufgabe IV

Bachforellen (22P)

In einem neu angelegten See werden 400 Bachforellen ausgesetzt. In den ersten fünf Jahren danach beobachtet man, dass sich die Anzahl der Forellen jährlich um 35 % erhöht.

a) Vervollständige die Tabelle in der Anlage für die Bestände der Bachforellen in denersten fünf Jahren und zeichne die Daten in das Koordinatensystem in der Anlageein. (5P)

b) Gib die Funktionsvorschrift an, die die Anzahl der Forellen in den ersten fünfJahren nach dem Aussetzen der Forellen beschreibt, und begründe den Ausdruck. (5P)

Die Anzahl der Forellen entwickelt sich ab dem sechsten Jahr anders als in den ersten fünf Jahren. Die Werte sind bereits im Koordinatensystem eingetragen.

c) Beschreibe die Entwicklung der Anzahl der Forellen ab dem sechsten Jahr und begründe, dassdiese Entwicklung der realen Situation angemessen ist. (4P)

Die im Koordinatensystem eingetragenen Werte für die Anzahl der Forellen ab dem sechsten Jahr

kann mit der Funktion ( 6)( ) 4800 2400 1,35tA t − −= − ⋅ berechnet werden (t in Jahren).

d) Interpretiere die Zahl 4800 in dem Funktionsterm im Sachkontext.Begründe deine Interpretation mit Hilfe des Funktionsterms. (4P)

e) Berechne den Zeitpunkt, zu dem nach der Funktion ( )A t insgesamt 4700 Forellen vorhanden

sind. (4P)


Mathematik Gruppe B

sUe1-Ma-IV-B.doc Seite 2 von 2 Seiten

Anlage zur Aufgabe „Bachforellen“

Zeit in Jahren 0 1 2 3 4 5

Anzahl Forellen 400

23

45

67

89

1011

12

Anz

ahl

For

elle

n

Ze

it in

Jah

ren

500

0

400

0

300

0

200

0

100

0 01

13

-100

0



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Aufgabe V

Basketball (22P)

Beim Basketball erhält man für einen Korbtreffer 2 Punkte, wenn man von innerhalb der 2-Punkte-Zone geworfen hat, und 3 Punkte, wenn man von außerhalb dieser Zone geworfen hat. Eine Basketball-Bundesliga-Mannschaft hatte während der Saison 2011/2012 folgende Wurfstatistik:

2-Punkte-Versuch

3-Punkte-Versuch Gesamt

Treffer 699 284 983

Fehlwurf 612 443 1055

Gesamt 1311 727 2038

Für die folgenden Aufgaben werden die relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten betrachtet.

a) Vervollständige das Baumdiagramm in der Anlage mit den entsprechendenWahrscheinlichkeiten. (5P)

b) Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit (Angabe in Prozent)…

- … ein zufällig ausgewählter Wurf ein 3-Punkte-Fehlwurf ist.

- … es sich um einen Wurf aus der 2-Punkte-Zone handelt, wenn es ein Fehlwurf ist.

- … vier Würfe aus der 2-Punkte-Zone in Folge erfolgreich sind – also zu 8 erzielten Punkten führen.

- … vier Würfe aus der 2-Punkte-Zone in Folge zu weniger als 8 Punkten führen. (10P)

c) Bestimme die durchschnittliche Punktezahl pro Wurf. (3P)

Der Trainer möchte vor dem letzten Saisonspiel die Mannschaft so trainieren, dass sie möglichst viele Punkte erzielt. Er hat zwei Trainingsprogramme zur Auswahl:

• Bei Programm A erhöht sich die Zwei-Punkte-Trefferquote auf 60 Prozent, die Drei-Punkte-Trefferquote bleibt im Vergleich zu vorher gleich.

• Bei Programm B erhöht sich die Drei-Punkte-Trefferquote auf 40 Prozent, die Zwei-Punkte-Trefferquote bleibt im Vergleich zu vorher gleich.

Die Verteilung der 2- und 3-Punkte-Versuche bleibt in beiden Fällen gleich.

d) Beurteile, welches der beiden Trainingsprogramme besser geeignet ist. (4P)

Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende Gym nasien Behörde für Schule und Berufsbildung 4. Februar 20 13 Schriftliche Überprüfung 2013

Mathematik Gruppe B

sUe1-Ma-V-B.doc Seite 2 von 2 Seiten

Anlage zur Aufgabe „Basketball“, Aufgabenteil a) Baumdiagramm

0,643...

0,346…

0,532…

0,467…

0,390…

0,609…

0,347…

0,300…

0,131…

0,217…

2-Punkte- Versuch

3-Punkte- Versuch

Treffer

Treffer

Fehlwurf

Fehlwurf

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