Zentraliibong6

Integration auf LP Roomers

Wdh : Messroiume ( X,

oh, µ )

Wahrscheinlichkeitsmap next -- 7

Wenn dim CHI -

- oo gilt H - I - L'

Lebesgue Integral : ldee :* ? ult- '

left ) # im Limes

A- f - so : fin C f- Idf ;)) → If du

→Ax

Zent rales Ergebnis : monotone Konvergent beliebigerMessroom

↳Sei Ok f.E f , I

. . .

E fan eine Fodge mess barer Fun ktionen fn : M → RI

Wenn f : --

sup In punktweise konvergiert ,damn gilt nlirnoofffn du= Ifdu

n I r

f

punk tweisekonrergenz.fm - of punktweise , wenn f '

teI

tf E > O FXEM F no EN I f- ( x ) - fn C × ) I L E , -=--

=- f

.

gleich ma"

pig konvergent : fn - of gleich ma"

pig , wenn

V ESO F no EN : Fx EM Hn > no If Cx ) - fncxll LE

Result at f- n - sf gleich MEA ,-

g mit fn stetig ⇒ f stetig

Konsequenzen : f , g IO mess bar,

a C- Rt

it If tag du = Stdµ

t A fgduiit ) EI fndu = ffndu

↳ Das gilt nicht fer das Riemann Integral↳ war um wichtigfiir QU ?

00

for 147 EH mi t dim # too, also 147 = I Cn Int

n = n

Wir mich ten integrieren , Skalarprodukte bit den, . . .

Dis hier him waren die Fonktionen positive was ist mit FLO ?

Def : Eine Ionktion heist inte grier bar f : M - or

it f ist mess bar

ii ) I Ifl d µ Loo 2=7 If 't

du Loo und ft -

du Loo

ft#max I f , O ) ¥:-. mail - fi o )

Bsp

#-ft

UF

is beliebiges f Cf inte grierbarl :f f du = I ft du - ff -

du

Eigen schatten : it faftgdm -- xffdeut Jg du are R

it ft g fast Eber all ⇒ If du If gdu-

For alle Teil mergenUc Dfl mit MCU ) to

Bsp Dcom ,= f

? × E Rl

O XE Q

Dcom ] = f- Cx ) = 7 fast berall

Dominies te Konvergenz

Sei en a ) fr, . . . , fan mess bar I 9

# f n

b) fn

- of fast is berall ( ponkweise ) Nyt '

c) Sei g± o

, mess bar mit Jg dm 200,

-

sodas Ifnl Ig ,fast ciberall

damn gilt it f und alle fi sind integrier bar

iil Iimn - soo

) Ifn - fl du = o

iiil Inigo,

f fndu =) f du

L'

= ?

I '

= f f : M → ¢ I f mess bar J Ift du L OOF

-

HIERf : M - o Cl ist das Vorgehen iden tisch zu vor her

f- = Re Cf ) ti I m C f)

JIdu - - J re Cfl die ti J Im Ifl du II14 >

,I 45 e LZ

WC 145 Messe wenn 14 >gegebenk It 414712

mi ti

e4147=14*4 du

Wenn 4 , 4 E L'

m it 4=4 fast Eberall,

damn gilt to E L ?

e 9107 = e 41017

⇒ physikalische sind 4 und y nicht unter scheid bar

e⇐define re f

ng ⇒ f=g fast Eber all

L'

-- f If In If e L

'

f

[ f)n

: -- f g e f

'

I g- f ] -

L '

ist des ein zig e LP der gleich zeitig Hilbert room ist.