Teil 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung - Theoretischer Kalkül · (4) „Die Wahrscheinlichkeit für eine Mädchengeburt beträgt laut Statistik 48.8%“ (5) „Mit einer Wahrscheinlichkeit

Teil 2:

Wahrscheinlichkeitsrechnung -

Theoretischer Kalkül

6 Einführung in die

Wahrscheinlichkeitsrechnung

272

6 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

6.1 Wichtige Grundbegriffe und Regeln

6.1.1 Interpretation von Zufall und Wahrscheinlichkeiten

6.2 Rechnen mit abhängigen und unabhängigen Ereignissen

6.2.3 Kalkül nach der Formel von Bayes

6.1.2 Elementare Mengenlehre

6.1.3 Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff und Regeln

6.2.1 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Rechenregeln

6.2.2 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen

274

274

277

287

300

300

315

325

273

274

6.1 Wichtige Grundbegriffe und Regeln6.1 Wichtige Grundbegriffe und Regeln

● Zufallsvorgang und Zufall ●

6.1.1 Interpretation von Zufall und Wahrscheinlichkeiten

● Zufall ist perspektivisch bedingt ●

● Zufall folgt Gesetzmäßigkeiten ●

Ein Zufallsvorgang ergibt sich aus der Perspektive eines (partiell) Unwissenden

> keinesfalls mit Willkür oder völliger Unberechenbarkeit gleichzusetzen

> Zufallsvorgang ist nicht (genau) vorhersagbar, besitzt aber (vorhersag-bare) Gesetzmäßigkeiten


● Beispiele für die Verwendung von Wahrscheinlichkeiten ●

275

(1) „Die Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu würfeln beträgt 1/6“

(2) „Die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige im Lotto beträgt 0.00000715%“

(3) „Die Kreditausfallwahrscheinlichkeit für diese Kunden liegt bei 1%“

(4) „Die Wahrscheinlichkeit für eine Mädchengeburt beträgt laut Statistik

48.8%“

(5) „Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt der Stimmenanteil dieser

Partei nach Berechnungen zwischen 29.8% und 31.4%“

(6) „Nach Berechnungen wir die Bevölkerung im Jahr 2050 mit einer Wahr-

scheinlichkeit von 90% bei unter 50 Millionen liegen“

(7) „Dieser Patient wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% sterben“

(8) „Ich bin mir mit 95%iger Wahrscheinlichkeit sicher, dass dieses Jahr

ein Schaltjahr ist“


● Klassische Wahrscheinlichkeit ●

● Statistische Wahrscheinlichkeit - empirisch ●

● Statistische Wahrscheinlichkeit - theoretisch ●

● Frequentistischer Deutungsansatz ●

● Objektive vs. subjektive Wahrscheinlichkeiten ●

● Klassische vs. statistische Wahrscheinlichkeiten ●

● Zielsetzung der Wahrscheinlichkeitsrechnung ●

276

(1), (2)

(3), (4), (7)?

(5), (6), (7)?

(1) bis (6) vs. (7)? u. (8)


● Mengen und Elemente ●

6.1.2 Elementare Mengenlehre

> Beispiel 1: Menge Z, welche die Zahlen 2, 4 und 6 enthält:

> Beispiel 2: Menge W mit 4 verschiedenen Wetterzuständen:

> Notation für Elemente, welche bestimmten Mengen angehören odernicht:

277

� = 2, 4, 6

� = ��, �� , �� , ��ℎ

1 ∉ �,> Beschreibungen von Mengen anstelle von Einzelauflistung:

Statt �� = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 z. B.

�� = ": " ∈ ℕ &� 1 ≤ " ≤ 10

2 ∈ �, �� ∈ �2 ∉ �,


● Wichtige Standardmengen ●

278

● Teilmenge ●

> Gegeben seien die Mengen

( = 2, 4, 6 , ) = 1, 2, 3, 4 und * = 1, 2, 3, 4, 5, 6Dann gilt z. B.: ( ⊂ *, ) ⊂ *( ⊄ ),

> „Definitorisch“ gilt:


279

● Intervalle ●

● Schnittmenge ●

> (a, b) offen: von ausschließlich a bis ausschließlich b

> [a, b] abgeschlossen: von einschließlich a bis einschließlich b

> [a, b) halboffen rechts: von einschließlich a bis ausschließlich b

> (a, b] halboffen links: von ausschließlich a bis einschließlich b

Beispiele:

( ∩ ) = 2, 4 ( ∩ * =) ∩ * =

. �/0

/1�=

2, 4, 61, 2, 3, 4

�� ∩ �2 ∩ �3 ∩ �0


280

● Vereinigungsmenge ●

Beispiele: ( ∪ ) =

5 �/0

/1�=

2 und 4 jeweils nur einmal!

● Differenzmenge ●

Beispiele: ( ∖ ) = ) ∖ ( = ( ∖ * =

● Komplementärmenge ●

Beispiele mit Teilmengen der Grundmenge C:

● Disjunkte Mengen ●

�� und �2 disjunkt ⇔ �� ∩ �2 = ∅

1, 2, 3, 4, 6

�� ∪ �2 ∪ �3 ∪ �0

6 1, 3 ∅

1, 3, 5 5, 6 ∅(̅ = * ∖ ( = ): = * ∖ ) = *̅ = * ∖ * =


281

● Venn-Diagramme ●


282

● Elementare Regeln für Mengenoperationen ●


283

● Potenzmenge ●

> Potenzmenge einer Menge ist die Menge aller möglichen Teilmengedieser Menge

> Beispiel 1: � = 2, 4, 6; � =

> Beispiel 2:

� = <��, =�� >�� , >�� , ?��ℎ; � = @ < , => , > , ? ,

<, => , <, > , <, ? , =>, > , =>, ? , >, ? ,<, =>, > , =>, >, ? , <, >, ? , <, =>, ? ,

<, =>, >, ? , ∅A

2 , 4 , 6 , 2,4 , 2,6 , 4,6 , 2,4,6 , ∅


284

● Produktmenge ●

Beispiel mit und�� = 1, 2, 3 �2 = 2, 3, 4�� × �2 = 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 3,2 , 3,3 , 3,4�2 × �� = 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , 3,2 , 3,3 , 4,1 , 4,2 , 4,3


● Mächtigkeit einer Menge ●

● Vergleich der Mächtigkeit von Mengen ●

285

> Beispiele: � = 2, 4, 6 ⇒ � = 3� = ��, �� , �� , ��ℎ⇒ � = 4

> Falls � < ∞ (endliche Menge), so gilt: ; � = 2 F

Beispiele: ; � = 2 G = 23 = 8 und ; � = 2 H = 20 = 16


286

● Abzählbare und überabzählbare Mengen ●

Zwei Mengen sind gleichmächtig, wenn eine Bijektion zwischen beiden Mengen existiert

Jede Menge, welche die gleiche Mächtigkeit wie ℕ aufweist, gilt alsabzählbar unendlich oder kurz abzählbar


● Ergebnisräume und Ereignisse ●

6.1.3 Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff und Regeln

● Beispiele ●

> Würfelwurf: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ergebnisraum

J� = 1, J2 = 2, … , JL = 6 Elementarereignisse

M = 2, 4, 6 G ... Ereignis „gerade Zahl“ 287


288

> Wetter am nächsten Tag: Ω = ��, �� , �� , ��ℎ

N = ��, �� S ... Ereignis „zumindest teilweise sonnig“

> Zweimaliger Münzwurf: Ω = �Oℎ�, �Oℎ� , �Oℎ�, �OPP� , �OPP�, �Oℎ� , �OPP�, �OPP�

�� = �Oℎ�, �Oℎ� , �Oℎ�, �OPP� , �OPP�, �Oℎ�� ... Ereignis „mindestens einmal Zahl“

> Würfeln bis zur ersten Sechs: Ω = 1, 2, 3, … = ℕ

�� = 11, 12, 13, … �� ... Ereignis „mindestens 11 Versuche“

> Lebensdauer einer Computer-Festplatte: Ω = Q0, ∞R

S� =Q10000, ∞R S� ... Ereignis „mindestens 10 000 Stunden“

S2 = 10 000, 20 000 S2 ... Ereignis „zwischen 10 000 und 20 000 Stunden


289

● Wahrscheinlichkeiten und Ereignisse diskreter Ergebnisräume ●


290

● Allgemeine Anmerkungen zur Axiomatik ●

● Wahrscheinlichkeiten als Funktionswerte ●

> Vorliegende Definition gilt zunächst einmal nur für diskrete Ergebnisräume

> Überabzählbare Ergebnisräume erzeugen mathematisches Problem bei derDefinition von Wahrscheinlichkeiten (siehe später)

> Sämtliche Rechenregeln letztlich auf diese 3 Axiome zurückführbar

> Axiome geben keine Anhaltspunkte darüber, wie konkrete Wahrscheinlich-keiten berechnet werden sollen


291

● Die Bedeutung der Axiome im Einzelnen ●

Beispiel:In einer Urne liegen 3 Kugeln, die mit den Zahlen 2, 4 und 6 beschriftet sind.Es wird zufällig eine Kugel gezogen. Dann gilt:

Ergebnisraum: Ω = 2, 4, 6Definitionsbereich von P:

; � = 2 , 4 , 6 , 2,4 , 2,6 , 4,6 , 2,4,6 , ∅Wertebereich von P:

[0, 1] oder genauer eine Teilmenge davon wie etwa{0, 1/3, 2/3, 1}

> (K1): Wahrscheinlichkeiten sind nicht negativ

> (K2): Normierungsaxiom (Beschränkung auf Wertebereich [0, 1])

> (K3): Einzige Rechenregel (Additionssatz für disjunkte Ereignisse)


● Schlussfolgerungen aus den Axiomen ●

292


293


● Beispiel 6.1.1: Würfelwurf ●

294

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6Betrachte Ereignisse ( = 2, 4, 6 und T = 6Gemäß Regel Nr. 3 (Folie 290) muss dann gelten: U T ≤ U (Gemäß Regel Nr. 4 muss gelten: U (̅ = 1 − U (Man beachte, dass aus den bisherigen Rechenregeln nicht hervorgehtwelche konkreten Wahrscheinlichkeiten hier gelten sollten.Beispielsweise könnte im vorliegenden Fall gelten:

sofern man jedem Elementarereignis die Wahrscheinlichkeit 1/6zuordnet.

U T = 16 ≤ U ( = 1

2 = U (̅


295

U ( ∪ ) ∪ * = U ( + U ) + U *−U ( ∩ ) − U ) ∩ * − U ( ∩ *+U ( ∩ ) ∩ *

● Beispiel 6.1.2: Additionssatz für 3 Ereignisse ●


296

● Additionskalkül für diskrete Ergebnisräume ●

> Unter Kenntnis der Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisselässt sich im Falle eines diskreten Ergebnisraumes die Wahrschein-lichkeit für jedes beliebige Ereignis über Addition bestimmen.

> Beispiel: Laplace Modell (klassische Wahrscheinlichkeiten)

U ( = (Ω für Ω < ∞


297

● Beispiel 6.1.1 fortgesetzt ●

Einmaliger Würfelwurf mit Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6Betrachte folgende Ereignisse:

( = 2, 4, 6 , ) = 2, 3, 6 , * = 1, 2, 3, 4 , T = 6Dann gilt z. B. (gemäß Additionskalkül und Rechenregeln):

U ( = (Ω = 3

6 = 1/2 U ) = )Ω = 3

6 = 1/2

U * = *Ω = 4

6 = 2/3 U T = TΩ = 1/6

( ∪ * = 1, 2, 3, 4, 6 ( ∩ * = 2, 4⇒ U ( ∪ * = 5/6 ⇒ U ( ∩ * = 2/6 = 1/3

U ( ∪ * = U ( + U * − U ( ∩ * = 12 + 2

3 − 13 = 5/6


298

● Das Problem überabzählbarer Ergebnisräume ●

> Additionskalkül funktioniert nicht: Es ist mathematisch nicht möglich, jedemElementarereignis eines überabzählbaren Ergebnisraumes eine positive Wahr-scheinlichkeit zuzuordnen, ohne die Axiomatik zu verletzen.

> Eine (nichttriviale) Konsequenz davon ist, dass als Definitionsbereich eines Wahrscheinlichkeitsmaße eine „deutlich kleinere“ Menge als die Potenzmenge gewählt werden muss (sog. „Sigma-Algebren)

● Integrationskalkül für überabzählbare Ergebnisräume ●

> Additionskalkül wird durch Integrationskalkül ersetzt:Wahrscheinlichkeiten werden nicht über Addition sondern über Integrationbestimmt

> Integrationskalkül erzeugt jedoch Messbarkeitsproblem:Nicht mehr jeder Teilmenge von Ω kann eine Wahrscheinlich-keit zugeordnet werden (Verkleinerung der Potenzmenge)

> Weiteres hierzu später bei stetigen Zufallsvariablen


299

● Maßtheoretische Verallgemeinerungen ●

> Axiome und Rechenregeln auf überabzählbare Ergebnisräume erweiterbar

> Im Grunde bleibt alles erhalten, lediglich für Definitionsmenge desW‘maßes (auch Ereignisraum genannt), wird i. d. R. nicht mehrdie Potenzmenge, sondern eine sog. Sigma-Algebra gewählt(„kleineres“ Teilmengensystem)

> Primär rein theoretisches Problem; keine praktische Relevanz

6.2 Rechnen mit abhängigen und unabhängigen Ereignissen6.2 Rechnen mit abhängigen und unabhängigen Ereignissen

● Definition ●

6.2.1 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Rechenregeln

300


301

● Beispiel 6.2.1 ●

> Empirischer Kalkül (bisher):

Y�� = 0.16Raucheranteil insgesamt:

Raucheranteil bei Frauen: Y��[|] = Y��

Y��= 0.04

0.40 = 0.10

> Theoretischer Kalkül (jetzt):

Ω = ^, _ , ^, M_ , ^, `_ , &, _ , &, M_ , &, `_Zufallsvorgang: Eine Person werde zufällig gezogen


302

Betrachte Ereignisse:

_ = ^, _ , &, _ ... ein Raucher wird gezogen

a = ^, _ , ^, M_ , ^, `_ ... eine Frau wird gezogen

Dann gilt jetzt z. B.:

U _|a = U _ ∩ aU a = 0.04

0.40 = 0.10

^ … ^��ℎ, & … &ä��ℎ_ … _Oc�ℎ��, M_ … M��ℎ�� Oc�ℎ��, `_ … `��ℎ �Oc�ℎ��

● Arithmetik bedingter Wahrscheinlichkeiten ●

U _ = 0.16

Für bedingte Wahrscheinlichkeiten gelten die gleichen Rechenregeln wie für „gewöhnliche“ (unbedingte)


303

● Beispiel 6.1.1 fortgesetzt ●

Einmaliger Würfelwurf mit Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6Betrachte folgende Ereignisse:

( = 2, 4, 6 , ) = 2, 3, 6 , * = 1, 2, 3, 4Dann gilt z. B. :

U (|) = U ( ∩ )U ) = U 2, 6

U ) = 2/63/6 = 2/3

U *|) = U * ∩ )U ) = U 2, 3

U ) = 2/63/6 = 2/3

U ( ∩ *|) = U ( ∩ * ∩ )U ) = U 2

U ) = 1/63/6 = 1

3


304

U ( ∪ *|) = U (|) + U *|) − U ( ∩ *|) = 23 + 2

3 − 13 = 1

U *̅|) = U *̅ ∩ )U ) = U 6

U ) = 1/63/6 = 1

3

U *̅|) = 1 − U *|) = 1 − 23 = 1

3

U ( ∪ *|) = U ( ∪ * ∩ )U ) = U 2, 3, 6

U ) = 3/63/6 = 1

Einerseits gilt:

Andererseits gilt mit Rechenregel Nr. 6:

Einerseits:

Andererseits gilt mit Rechenregel Nr. 4:


305

● Multiplikationsregel ●


306

2 Ereignisse: U (2|(� = U (� ∩ (2U (�

⇔ U (� ∩ (2 = U (2|(� U (�

3 Ereignisse: U (3|(� ∩ (2 = U (� ∩ (2 ∩ (3U (� ∩ (2

⇔ U (� ∩ (2 ∩ (3 = U (3|(� ∩ (2 U (� ∩ (2

⇒ U (� ∩ (2 ∩ (3 = U (3|(� ∩ (2 U (2|(� U (�

... analog geht es immer weiter. Für 4 Ereignisse erhält man dann

U (� ∩ (2 ∩ (3 ∩ (0= U (0|(� ∩ (2 ∩ (3 U (3|(� ∩ (2 U (2|(� U (�


307

aus Hartung und Heine [2004]● Beispiel 6.2.2 ●

Die Entwicklungsabteilung eines Produzenten von Haushaltsgeräten ist in90% der Fälle für die Markteinführung der von ihr entwickelten Geräte.Ein positives Votum der Entwicklungsabteilung führt mit einer Wahrschein-lichkeit von 0.7 bei der Marketingabteilung ebenfalls zu einem positivenVotum. Sind beide Abteilungen für die Markteinführung des neuen Gerätes,so entscheidet die Geschäftsleitung dennoch mit einer Wahrscheinlichkeitvon 0.2 dagegen. Ist die Marketingabteilung gegen die Markteinführung,die Entwicklungsabteilung aber dafür, so stimmt die Geschäftsleitung nurmit einer Wahrscheinlichkeit von 0.4 zu.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Markteinführung einesneuen Produktes sowohl von der Geschäftsleitung als auch von derEntwicklungs- und der Marketingabteilung getragen wird?

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit entscheiden sich Geschäftsleitung und Entwicklungsabteilung für die Markteinführung eines neuenProduktes?


308

Definiere EreignisseA1 = Entwicklungsabteilung ist für die MarkteinführungA2 = Marketingabteilung ist für die MarkteinführungA3 = Geschäftsleitung ist für die Markteinführung

U (� = 0.9 U (2|(� = 0.7U (3|(� ∩ (2 = 0.2 U (3|(� ∩ (2 = 0.4

Aus Text geht hervor:

U (� ∩ (2 ∩ (3 U (� ∩ (3Die gefragten Wahrscheinlichkeiten sind:

a) b)

Zu a):

U (� ∩ (2 ∩ (3 = U (� U (2|(� U (3|(� ∩ (2

= U (� U (2|(� 1 − U (3|(� ∩ (2

= 0.9 × 0.7 × 1 − 0.2 = 0.504

und


309

Zu b):

(� ∩ (3 = (� ∩ (2 ∩ (3 ∪ (� ∩ (2 ∩ (3

⇒ U (� ∩ (3 = U (� ∩ (2 ∩ (3 + U (� ∩ (2 ∩ (3

= 0.504 + U (� U (2|(� U (3|(� ∩ (2

= 0.504 + 0.9 × 1 − 0.7 × 0.4 = 0.612


310

● Wahrscheinlichkeitsbäume ●


311Entscheidend für a) und b): Pfade Nr. 1 und Nr. 3


312


Angenommen, in einem Raum befinden sich 30 Personen. Mit welcher Wahr-scheinlichkeit haben dann wenigstens zwei von diesen Personen am gleichenTag Geburtstag? Zur Beantwortung dieser Frage wird die vereinfachende An-nahme getroffen, dass Geburtstage allgemein über die 365 Tage des Jahresgleichmäßig verteilt sind.

Definiere EreignisseB = Alle 30 Personen haben unterschiedlichen Tagen GeburtstagA2 = die 2. Person hat an einem anderen Tag Geburtstag als die 1. PersonA3 = die 3. Person hat an einem anderen Tag Geburtstag als die ersten beiden

An = die n-te Person hat an einem anderen Tag Geburtstag als die erstenn Personen

Die gefragte Wahrscheinlichkeit ist: U ):

⋮


313

Es gilt dann:

⇒ U ) = U (2 U (3|(2 U (0|(2 ∩ (3 … U (3�|(2 ∩ (3 ∩ ⋯ ∩ (2f

) = (2 ∩ (3 ∩ ⋯ ∩ (3�

Gemäß der Annahme gleichwahrscheinlicher Geburtstage ergibt dies:

U ) = 364365 × 363

365 × 362365 × ⋯ × 336

365 ≈ 0.294

⇒ U ): = 1 − U ) = 1 − 0.294 = 0.706

Die Wahrscheinlichkeit, dass 30 Personen alle an einem verschiedenenTagen Geburtstag haben, beträgt also 70.6%.

Bei n = 70 Personen beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür bereits 99%.


314


315

● Definition ●

6.2.2 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen

Kriterium (iii) ist die stochastische Variante des (empirischen)Multiplikationskriteriums Y/h = Y/�Y�h


● Implizierte Unabhängigkeit von Gegenereignissen ●

Die Unabhängigkeit von A und B impliziert weitere paarweise Unab-hängigkeiten in Bezug auf die Gegenereignisse. Beispielweise gilt:

U (|) = U (⇒ U (̅|) = 1 − U (|) = U (̅ ⇒ (̅ und ) unabhängig

Analog folgt auch die Unabhängigkeit von ( und ): und (̅ und ):

316


317

● Interpretation ●


318


Definiere EreignisseR = Ein Raucher wird gezogenGR = Ein Gelegenheitsraucher wird gezogenNR = Ein Nichtraucher wird gezogenF = Eine Frau wird gezogenM = Ein Mann wird gezogen

Zufallsvorgang: Eine Person werde zufällig gezogen


319

Dann sind R und F abhängig. Denn es gilt:

U _|a = U _ ∩ aU a = 0.04

0.40 = 0.1 U a|_ = U _ ∩ aU _ = 0.04

0.16 = 0.25(iR 0.1 = U _|a ≠ U _ = 0.16 (iiR 0.25 = U a|_ ≠ U a = 0.40

(iiiR 0.04 = U _ ∩ a ≠ U _ U a = 0.064⇒ Die Wahrscheinlichkeit, ob jemand Raucher ist oder nicht, hängt also vom

Geschlecht ab.

Für GR und F erhalten wir hingegen Unabhängigkeit. Die Wahrscheinlichkeitob jemand Gelegenheitsraucher ist oder nicht, ist von Geschlecht unabhängig.

Multiplikationskriterium (iii) erfüllt


320

● Disjunkte Ereignisse sind abhängig ●

● Unabhängigkeit ist nicht transitiv ●

Betrachte als Beispiel(, ) und * = (̅,

wobei A und B unabhängig sind


● Unabhängigkeit von mehreren Ereignissen ●

> Wären in Abb. 6.2.7 auch A und C unabhängig, so läge eine Situationpaarweise Unabhängigkeit vor.

> Paarweise Unabhängigkeit impliziert jedoch keine „vollständige Unab-hängigkeit.

> Bei paarweiser Unabhängigkeit von A, B und C gilt lediglich:

U *|( ∩ ) = U ( ∩ ) ∩ *U ( ∩ )

= U ( ∩ ) ∩ *U ( U ) =

> Bei (vollständiger) Unabhängigkeit von A, B und C gilt auch:

U ( ∩ ) ∩ * = U ( U ) U *⇒ U *|( ∩ ) = U *

?

321


322

● Unabhängigkeit von mehreren Ereignissen ●

Die Wahrscheinlichkeit des „Schnittereignisses“ muss für jede Teil-menge bestehend aus bis zu n Ereignissen dem Produkt der Wahr-scheinlichkeiten der jeweiligen einzelnen Ereignisse entsprechen.



323


324

● Implizierte Unabhängigkeit weiterer Ereignisse ●


325

● Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ●

6.2.3 Kalkül nach der Formel von Bayes


326

> Eine derart beschriebene Menge von Ereignissen heißt auch disjunkte Zerlegung oder Partition des Ergebnisraumes.

> Es gilt:

) = (� ∩ ) ∪ (2 ∩ ) ∪ ⋯ ∪ (s ∩ ) = 5 (/ ∩ )s

/1�

> Man beachte, dass die Ereignisse (� ∩ ), (2 ∩ ), ..., (s ∩ ), disjunktsind

⇒ U ) = U 5 (/ ∩ )s

/1�= t U )|(/ U (/

s

/1�


● Bayes-Formel ●

327

> Allgemein gilt nun für die j-te Zelle der Partition

U (h|) = U (h ∩ )U )

U )|(h = U (h ∩ )U (h

⇔ U (h ∩ ) = U )|(h U (h

(i)

(ii)

> Einsetzen von (ii) im Zähler von (i) und Einsetzen des Satzes von der

totalen Wahrscheinlichkeitscheinlichkeit im Nenner von (i) ergibt...


328


In Australien wird ein Patient, der von einer unbekannten Giftschlange gebis-sen wurde, in die Notaufnahme einer Klinik gebracht. Es muss nun möglichstschnell das richtige Antiserum gespritzt werden. Angenommen, es kommen imvorliegenden Fall nur drei verschiedene Schlangenarten in Frage, die wir hiermit A1, A2 und A3 bezeichnen. Nach hauseigenen Statistiken des betroffenenKrankenhauses seien in der Vergangenheit 70% aller Bisse auf Schlange A1,20% auf Schlange A2 und 10% auf Schlange A3 zurückzuführen gewesen.Der Patient weist nun aber ein ganz bestimmtes Vergiftungssymptom auf, daseiner landesweiten Studie zu Folge mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% beiA1, mit 20% bei A2 und mit 30% bei A3 auftritt. Wie sollte nun entschiedenwerden?

Definiere Ereignisse(/ = Patient wurde von Schlange (/ gebissen (i = 1, 2, 3)) = Das betreffende Symptom tritt beim Patienten auf


U (� = 0.7Aus Text geht hervor:

U (2 = 0.2U (3 = 0.1

U )|(� = 0.05U )|(2 = 0.20U )|(3 = 0.30

329

Mit Bayes-Formel folgt:

U (�|) = 0.33U (2|) = 0.38U (3|) = 0.29

Beispielrechnung für U (�|) :

U (�|) = U )|(� U (�∑ U )|(/ U (/3/1�

= 0.05 × 0.70.05 × 0.7 + 0.2 × 0.2 + 0.3 × 0.1 = 0.33

Entscheidung für ...

(� (3 (2


● Bayes-Kalkül vs. Maximum-Likelihood-Kalkül ●

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