Temperatur, Druck im mikroskopischen Bild

Grundgleichung der kinetischen Gastheorie

Die allgemeine Gasgleichung

Inhalt• Makro- und mikroskopisches Bild für Gase• Grundzüge der kinetischen Gastheorie

– Maxwell-Verteilung der Geschwindigkeiten• Das „ideale Gas“

– Teilchenzahl– Temperatur– Druck– Volumen

• Die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie von Daniel Bernoulli (mikroskopisch)

• Die Allgemeine Gasgleichung (makroskopisch)

Versuch: Modell zur Bewegung im Gas (2-dimensional)

• Mit einem bewegten Rahmen wird eine regellose Bewegung von Kugeln erzeugt – Keine Vorzugsrichtung– Bei Wandkontakt wird die Geschwindigkeit

geändert– Orte und Geschwindigkeiten sind „verteilt“

Ideale Gase

Reale Gase

Anmerkung zur Animation „Reale Gase“

• Die Teilchen sind reale Körper mit eigenem Volumen– es gibt Stöße zwischen den Teilchen, bei

denen Energie ausgetauscht wird– Die Stöße können elastisch oder inelastisch

sein

Inelastische Stöße bei „Realen Gasen“

• Es gibt bei realen Gasen -wie in dieser Animation- auch inelastische Stöße:– Die Summe der kinetischen Energien der

Partner ist nach dem Stoß ungleich der vor dem Stoß

Die „Innere Energie“

• Der Zuwachs an Energie kommt offenbar „aus dem Inneren“ der Teilchen– aus einer Schwingung eines Moleküls– Jede Eigenschwingung zählt als ein „Freiheitsgrad“

• Beispiel: Das gekoppelte Pendel zeigt zwei Freiheitsgrade• Die gesamte Energie – kinetische plus der

Energie innerhalb der Teilchen - bezeichnet man deshalb als „Innere Energie“

• Im idealen Gas gibt es keine „inneren Freiheitsgrade“: – Die Innere Energie ist im idealen Gas gleich der

kinetischen Energie

Das „ideale Gas“, mikro- und makroskopisch

N 1 Teilchenzahl

V 1 m3 Volumen

v 1 m/s Mittlere Geschwindigkeit

T K Temperatur

p 1 N/m2 Druck, p=F/A

V 1 m3 Volumen

A

F

1 lVolumen, das ein Mol eines Gases bei Normalbedingung beansprucht

1 mbarNormalbedingungen

1 K

Einheit

1 mol

Avogadrokonstante, Einheit der Stoffmenge: Anzahl der Teilchen in einem Mol eines Stoffes

Die Teilchenzahl

2310022,6 AN

4,220 V

1013p

273T

Zusammenhang zwischen den mikro- und makroskopischen Größen

• Die Temperatur ist proportional zur mittleren kinetischen Energie der Teilchen

• Der Druck ist ein Quotient:– Zähler: Kraft, die bei Änderung des Impulses

der Teilchen beim Auftreffen auf eine Fläche entsteht

– Nenner: Fläche

Versuch: Modell zum Druck

• Kugeln rieseln auf eine Platte – Die Impulsumkehr der Kugeln bewirkt eine

Kraft auf der Platte – Eine Waage misst diese „Druck-Kraft“

Einheit

1 J Mittlere kinetische Energie eines Teilchens im Gas

v 1 m/s mittlere Geschwindigkeit

m 1 kg Masse eines Teilchens

T 1 K Temperatur in Kelvin

1 J/K Bolzmannkonstante

Temperatur und kinetische Energie

TkvmEkin 23

22

23103807,1 k

Zur Grundgleichung der kinetischen Gastheorie von Daniel Bernoulli

Mikroskopisches Bild:• Teilchen fliegen mit einer mittleren

Geschwindigkeit• Abzählung der Teilchen, die in eine der

drei Raumrichtungen fliegen• Berechnung der Kraft auf die Wand durch

Impulsumkehr pro Zeit– Druck ist der Quotient: Kraft durch Fläche

Bewegung eines Teilchens

Bewegung mehrerer Teilchen

Koordinaten der Geschwindigkeit eines Teilchens

Eine Komponente der Geschwindigkeit

VNn

0 l

Modell mit mehreren Teilchen: Alle fliegen mit der mittleren Geschwindigkeit, sortiert nach den drei Raumrichtungen

1 m3 Volumen

1/m3 Teilchendichte

1 Mittlere Teilchenzahl Flugrichtung rechts

VnZ 6

V

n

Volumen mit Teilchen, die in der Zeit Δt auf die Fläche A treffen

1 m3 Volumen, das in der Zeit Δt durchflogen wird

A 1 m2 Fläche der Wand

v 1 m/s Mittlere Geschwindigkeit

AtvVv

A

tv

Anzahl der Teilchen, die in der Zeit Δt auf die Fläche A treffen

1Anzahl der Teilchen in dem in der Zeit Δt durchflogenen Volumen

AtvnVnZ v 66

A

Impulsübertrag in der Zeit Δt auf die rechte Wand

1 Ns

Impulsübertrag eines Teilchens auf die Wand (Richtungsumkehr)

Impulsübertrag aller in der Zeit Δt die Wand erreichenden Teilchen

A

vmp 2

vmAtvnp 26

Druck auf die Wand

1 N Kraft auf die Wand

1 N/m2Druck auf die Wand, Grundgleichung der kinetischen Gastheorie von Daniel Bernoulli

A

2

31 vmnp

tpF

Atp

AFp

Das „ideale Gas“, mikroskopisch: Die Grundgleichung der

kinetischen Gastheorie von Daniel Bernoulli

1 N/m2 Druck

m 1 kg Masse eines Teilchens

v 1 m/s Mittlere Geschwindigkeit

n 1/m3 Teilchendichte

2

31 vmnp

Das „ideale Gas“, makroskopisch: Die allgemeine Gasgleichung

1 J Allgemeine Gasgleichung

p 1 N/m2 Druck

V 1 m3 Volumen

N 1 Anzahl der Teilchen

T 1 K Temperatur in Kelvin

k 1 J/K Boltzmannkonstante

A

F

TkNVp

Äquivalenz zwischen mikro- und makroskopischer Aussage

1 J Allgemeine Gasgleichung

1 J Substituiere kT durch die kinetische Energie

1/m3 Setze für Teilchenzahl durch Volumen die Teilchendichte

1 Nm2 Grundgleichung der kinetischen Gastheorie

A

F

TkNVp

TkvmEkin 23

22

VNn /

23// vmVNp

Zusammenfassung• Makro- und mikroskopisches Bild für Gase• Ideales Gas: punktförmige Teilchen ohne

Wechselwirkung untereinander, Energieaustausch nur bei Wandberührung

• Die Temperatur (in Kelvin ) ist proportional zur mittleren kinetischen Energie der Gasteilchen

• Mikroskopisches Bild für den Druck: Impulsübertrag auf die Wand– Grundgleichung der kinetischen Gastheorie

• Die Allgemeine Gasgleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen– Teilchenzahl– Temperatur– Druck– Volumen

Finis