Hans Jorg Dirschmid

Tensoren

und

Felder

Springer-V erlag Wien GmbH

Ao. Univ.-Prof. Dr. techn. Hans JOrg Dirschmid Institut fUr Analysis, Technische Mathematik und Versicherungsmathematik Technische Universităt Wien, Osterreich

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© 1996 Springer-Verlag Wien Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag Wien New York 1996

Satz: Reproduktionsfertige Vorlage des Autors

Graphisches Konzept: Ecke Bonk

Gedruckt auf săurefreiem, chlorfrei gebleichtem Papier - TCF

Mit 26 Abbildungen

ISBN 978-3-211-82754-3 ISBN 978-3-7091-6589-8 (eBook) DOI 10.1007/978-3-7091-6589-8

Vorwort

Als Hochschullehrer, der auch mit der mathematischen Ausbildung von Ingenieur-Studenten befaßt ist, bin ich immer wieder mit einem nachhalti­gen Interesse konfrontiert, das in das weite und reiche Gebiet der Relativi­tätstheorie hineinführt und am Wunsch nach Verständnis des elektroma­gnetischen Feldes ansetzt. Es besteht kein Zweifel, daß über dieses Thema ausgezeichnete Texte zur Verfügung stehen, doch werden in diesen zumeist nur Interessenten angesprochen, die über ein gehöriges mathematisches Vor­wissen verfügen. Indes, der mathematische Grundkurs für Ingenieurfächer hat nun einmal Schwerpunkte zu setzen, die den praktischen Bedürfnis­sen gerecht werden; mathematisches Gedankengut, das vom Instrumenta­rium der Differential- und Integralrechnung abstrahiert, hat kaum einen Platz. Aus dem Bestreben, dem bestehenden Interesse Befriedigendes ent­gegenzusetzen, entsprang der Gedanke, eine Vorlesung zum mathemati­schen Thema des Relativitätsprinzips zu konzipieren, die auch mit den übli­chen Kenntnissen der Differential- und Integralrechnung sowie der Vektor­und Matrizenrechnung zugänglich ist. Wohl wissend um die nicht immer leicht zu entscheidenden Fragen der Darstellung und Hinführung, war die pädagogische Herausforderung ebenso wie meine persönliche Faszination von der vollendeten Harmonie, von der "erstaunlichen Leistungsfähigkeit der Mathematik in den Naturwissenschaften" in einem der schönsten und aufregendsten Kapitel der Mathematik und der Physik stets leitende Kraft.

Viele der einführenden Lehrbücher zum Thema der Relativitätstheorie befassen sich nur einleitend und in groben Zügen mit den mathematischen Begriffsbildungen und Objekten, während mathematische Literatur zu de­ren Theorie das Physikalische meist nur streift. Freilich, sich in die inneren Zusammenhänge zu vertiefen, erfordert viel Platz und Zeit. Dennoch ist die Befassung mit den mathematischen und physikalischen Fundamenten ungemein wertvoll, sie fördert das Verständnis der Theorie auf eine Weise, die, indem sie ihre Schönheit offenbart, den Weg in die Tiefe freilegt. Mit dem vorliegenden Text habe ich mir das Ziel gesetzt, mit dem Begriff des Raumes und seiner Geometrie vertraut zu machen, sowie mit den mathe­matischen Objekten, die man Tensoren nennt und die in der Physik zur Darstellung von Feldern herangezogen werden.

Die Mathematik des 20. Jhdts. hat sich vom Denken in Koordinaten losgelöst, indem sie die Gesetze der Physik in Form von Beziehungen zwi­schen geometrischen Objekten auf Räumen mit entsprechender Geometrie koordinatenfrei formuliert. Dieser Entwicklung Rechnung tragend ist es mir ein Anliegen, den Leser in sanfter Weise der Koordinaten, mit denen zu arbeiten er vielleicht seit seinem ersten Einstieg in die Physik erzogen ist, zu entwöhnen und ihn zu geometrischer Denkweise hinüberzuführen. Und so wird es ihm ein Leichtes sein, zur Einsicht zu gelangen, daß die Gesetze der Physik den Raum und seine Geometrie bestimmen und dieser nicht, wie es fürs erste aussehen mag, die Szene, die Kulisse des Geschehens bildet, starr und unveränderlich, weitgehend ohne Einfluß auf die Physik,

VI Vorwort

die nach ihren Regeln in ihm herrscht. Des weiteren mag er sich schließlich der philosophischen Ansicht nähern, daß erst das vollständige Durchdrin­gen der physikalischen Gesetzmäßigkeiten zu Gleichungen mit klarem und anschaulichem Sinn führt, die in ihrer Einfachheit Ausdruck für die Har­monie in dieser Welt sind. Die Gesetze des elektromagnetischen Feldes in der speziellen Relativitätstheorie, ebenso das Gravitationsgesetz Einsteins in der Gegenüberstellung mit der Newtonschen Theorie legen hierüber auf beredte Weise Zeugnis ab.

In den beiden ersten Kapiteln werden die Grundtatsachen der linearen Algebra und der Tensoralgebra entwickelt, wie sie für das Weitere benötigt werden. Kap. 3 befaßt sich mit den affinen Räumen und soll einleitend mit den Tensorfeldern und den Differentialformen vertraut machen. Didakti­sche wie physikalisch-historische Erwägungen sind die Gründe für die sepa­rate Behandlung der Tensorfelder im affinen Raum, dem absoluten Raum der Newtonschen Welt und der speziellen Relativitätstheorie. Die Mathe­matik der Maxwellschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes, die tiefgehenden Unterschiede zwischen der Fernwirkung und der Feldwirkung leiten in Kap. 4 zur speziellen Relativitätstheorie über. Kap. 5 führt, den Raumbegriff verallgemeinernd, in die Theorie der differenzierbaren Mannig­faltigkeiten und in die Analysis der Tensorfelder ein; differentialgeometri­sche Methoden und der Begriff des Riemannschen Raumes schaffen schließ­lich die Voraussetzungen für das Verständnis der Einsteinschen Theorie der Gravitation, die in Kap. 6 vom mathematischen Standpunkt zur Sprache kommt.

Im Anschluß an jedes einzelne Kapitel werden dem Leser Beispiele zur Einübung der mathematischen Objekte empfohlen. Die Lösungen sind, gegebenenfalls auch mit Hinweisen versehen, in einem Anhang zusammen­gestellt. In einem weiteren Anhang findet der Leser eine Zusammenfassung diverser für das Verständnis notwendiger algebraischer Begriffsbildungen, die nicht immer Bestandteil von Kursen zur Differential- und Integralrech­nung sowie der Vektor- und Matrizenrechnung sind, zu denen der Leser Kenntnisse mitbringen muß.

Zu großem Dank verpflichtet bin ich Herrn G. Wessely, der mir in Fra­gen der Textverarbeitung immer wieder hilfreich zur Seite stand. Danken möchte ich auch Frau Dipl.-Ing. P. Lutter sowie meinen Studenten, die durch ihr reges Interesse und durch so manchen Ratschlag fördernd einge­wirkt haben. Schließlich sage ich meinen Dank auch dem Verlag für die schöne Ausstattung des Buches.

Wien, im September 1995 Hans J örg Dirschmid

Inhaltsverzeichnis

1 Die linearen Strukturen ......... ................................ 1 1.1 Der lineare Vektorraum ........................................ 1 1.2 Teilräume und Faktorräume ................................... 6 1.3 Lineare Abbildungen ......................................... 11 1.4 Duale Vektorräume ........................................... 15 1.5 Determinantenfunktionen ..................................... 21 1.6 Orientierte Vektorräume ...................................... 26 1. 7 Euklidische Vektor,räume ..................................... 29 1.8 Übungsbeispiele .............................................. 45

2 Tensoralgebra ................................................... 51 2.1 Tensoren ..................................................... 51 2.2 Addition und Multiplikation ............................ ~ ..... 56 2.3 Darstellung der Tensoren ..................................... 58 2.4 Tensoren in euklidischen Vektorräumen ....................... 62 2.5 Verjüngung ................................................... 66 2.6 Tensorkoordinaten und indizierte Größen ..................... 69 2.7 Symmetrieeigenschaften von Tensoren ........................ 74 2.8 Schiefsymmetrische Tensoren ................................. 76 2.9 Duale Tensoren ............................................... 85 2.10 Übungsbeispiele .............................................. 93

3 Tensoren in ebenen Räumen . ................................. 99 3.1 Der affine Raum .............................................. 99 3.2 Skalar- und Vektorfelder ..................................... 107 3.3 Tensorfelder ................................................. 113 3.4 Differentiation der Tensodelder .............................. 120 3.5 Differentialformen ........................................... 128 3.6 Euklidische Räume .......................................... 142 3.7 Integration der Differentialformen ........................... 147 3.8 Das Kodifferential. .......................................... 171 3.9 Übungsbeispiele ............................................. 179

4 Spezielle Relativitätstheorie ................................. . 185

4.1 Gradient, Divergenz und Rotation ........................... 190 4.2 Die Maxwellschen Gleichungen .............................. 204 4.3 Relativistische Mechanik .................................... 226 4.4 Relativistische Elektrodynamik .............................. 252 4.5 Übungsbeispiele ............................................. 267

5 Tensoren in gekrümmten Räumen .. ......................... 269 5.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten .......................... 269 5.2 Tensorfelder ................................................. 296 5.3 Differentialformen ........................................... 303

VIII Inhaltsverzeichnis

5.4 Integration der Differentialformen ........................... 315 5.5 Parallelverschiebung ......................................... 325 5.6 Differentiation der Tensorfelder .............................. 361 5.7 Riemannsche Räume ........................................ 378 5.8 Übungs beispiele ............................................. 417

6 Allgemeine Relativitätstheorie . .............................. 423 6.1 Gravitation ................................................. 424 6.2 Die vierdimensionale gekrümmte Welt ....................... 438 6.3 Die Newtonsehe Gravitationstheorie ......................... 447 6.4 Das Einsteinsehe Gravitationsgesetz ......................... 462 6.5 Das linearisierte Gravitationsgesetz. Gravitationswellen ...... 469 6.6 Das Gravitationsfeld einer Einzelmasse ...................... 474 6.7 Schwarzschild-Geometrie .................................... 492 6.8 Übungsbeispiele ............................................. 511

Anhang ............................................................ 513

Lösungen der Übungsbeispiele ................................... 519

Literatur . .......................................................... 529

Index ............................................................... 531