831 -.

BETTEN, J . ; WANIEWSKI, M.: Anisotropes Kriechverhalten isotroper Stoffe J

ZAMM . Z. angew. Math. Mech. 75 (1995) 11, 831-845

BETTEN, J.; WANIEWSKI, M.

Akademie Verlag

Tensorielle Stoffgleichungen zur Beschreibung des anisotropen Kriechverhaltens isotroper Stoffe nach plastischer Vorverformung

Durch plastische Vorverformung wird in einem anfangs isotropen Werkstoff eine Anisotropie erzeugt. Somit wird auch das Kriechverhalten durch plastische Vorverformung stark beeinjlujlt. Es werden nichtlineare Stoflgleichungen fur das sekundare Kriechen mit zwei Argumenttensoren vorgeschlagen, die den Einjlujl der plastischen Vorverformung berucksichtigen. Die Aufstellung der Stoffgleichungen basiert auf der Darstellungstheorie tensorwertiger Funktionen. Fur prakiische Anwendungen ist daraus auch eine vereinfachte Theorie abzuleiten, die durch Einfuhrung eines Stojftensors z weiter Stufe als zweiten Argumenttensor die plastische Vorverformung als Funk tion von den vorausgegangenen Belasiungs- und Verformungszustanden berucksichtigt. Zur uberprufung der tensoriellen Beziehungen werden eigene experimentelle Untersuchungen an dem Material INCONEL 617 (s . Abschnitt 6 ) herangezogen.

Plastic prestrain can produce anisotropy in materials which are initially isotropic. This anisotropy strongly influences the creep behaviour of such materials. Non-linear constitutive equations with two argument tensors for the secondary creep behaviour are proposed, based on the representation theory of tensor functions. For praciical applicaiions, a simplified theory is presented in which a second order tensor as an additional argument tensor describing plastic predeformation as a function of dgferent plastic prestrain paths. A few experimental tests have been carried out on the material INCONEL 61 7 (cf. Section 6 ) to verqy the theoretical approach.

MSC (1991): 73B05, 13B40, 73E05, 53A45, 15A72

1. Einleitung

Die Suche nach Stoffgleichungen (constitutive equations) ist von grundlegender Bedeutung zur Beschreibung des rheologischen Verhaltens von Materialien.

Kontinuumstheoretische Gesichtspunkte, die bei der Aufstellung von Materialgleichungen zur Beschreibung des sekundaren und tertiaren Kriechverhaltens anisotroper Stoffe unter mehraxialer Beanspruchung zu beachten sind, wurden in den letzten Jahren verstarkt untersucht [l - 41.

Zur Darstellung des mehraxialen Kriechens im Sekundarbereich wird von mehreren Autoren ein Kriechpotential F benutzt, z. B. in [5- 81, das im allgemeinen eine skalarwertige Funktion vom Cauchyschen Spannungstensor und dariiber hinaus von skalaren und tensoriellen Stoffgrorjen ist. Die Kriechpotentialhypothese hat jedoch beschrankte Gultigkeit und liefert nur unvollstandige Stoffgleichungen [4, 91.

Daher sol1 im folgenden die Darstellungstheorie tensorwertiger Funktionen benutzt werden. Eine Stoffgleichung kann aufgefaBt werden als tensorwertige Funktion mit mehreren Argumenttensoren verschiedener Stufenzahl:

dij = .Lj(opq; A p q , Bpq, A p g r s , .. . (1 .1 )

Darin sind d, die Koordinaten des Verzerrungsgeschwindigkeitstensors d und oP4 die Koordinaten des Cauchyschen Spannungstensors 6. Die GroDen AP4, B,,, Apqrs sind die Koordinaten von Stofftensoren verschiedener Stufenzahl, mit denen man anisotrope Stoffeigenschaften beschreiben kann. So wird die transversale Isotropie durch einen symmetrischen Tensor zweiter Stufe erfaBt, A i j = uiuj, wobei der Vektor ui die Vorzugsrichtung kennzeichnet [4, 10, 111.

Zur Beschreibung des orthotropen Verhaltens werden zwei symmetrische Tensoren zweiter Stufe, Aprl und B,,, benotigt [12] oder alternativ ein Tensor ( Tpqrs) vierter Stufe [4]. Ein anderes Beispiel ware der Schadenszustand im tertiaren Kriechstadium, den man mit einem symmetrischen Tensor zweiter Stufe erfassen kann [13 - 161.

Die Darstellungstheorie tensorwertiger Funktionen bietet die Moglichkeit, vollstandige Stoffgleichungen aufzustellen (4, 171, und zwar in Form einer Linearkombination

dij = 1 cp,"Gij. (I

Darin sind cpa skalarwertige Funktionen der Integritatsbasis und ' G i j die Koordinaten symmetrischer Tensorgeneratoren 2Weiter Stufe, die aus den betrachteten Argumenttensoren erzeugt werden. Das Problem besteht darin, ein vollstandiges System irreduzibler Tensorgeneratoren zu finden und die skalarwertigen Funktionen unter Einbeziehung experimenteller Werte zu bestimmen.

Ein weiteres Ziel ist es, die Linearkombination (1.2) auf die kanonische Form

djj = ' H i j k l b k l + ' H i j k l o k l + 2Hijk.oL:' (1.3)

zu bringen [4]. Sie besteht aus drei Termen, die man als Beitrage nullter, erster und zweiter Ordnung im Cauchyschen SPannungstensor u deuten kann. Die Materialeinflusse infolge anisotroper Eigenschaften kommen durch die tensorwertigen

832 ZAMM . Z. angew. Math. Mech. 75 (1995) 11

d ein spurloser Tensor sein (dkk = 0), d. h., man mu13 die Darstellung

d i j = OH{ij) k d k l + lH{ij) klakl + 2H{i,) klai:)

benutzen mit den Tensorfunktionen

I H,il? kl := 'Hijkr - 'HH,,k16ijf3 , 1 = 0, 1, 2 ,

die deviatorisch sind beziiglich der eingeklammerten Indizes { q}. lm isotropen Sonderfall sind die Tensorfunktionen 'H in (1.3) und (1.5) isotrope Tensoren vierter Stufe:

'Hijkr = $ (6ik6j1 + 6il6jk) @ A , 2 = 0, 1, 2 .

Damit vereinfachen sich die Funktionen (1.3) und (1.4) zu:

di j = Q0dij + @,aij + @,q'f)

und

di j = @la;j + @,a;, letztere mit den spurlosen Tensoren

L T ; ~ := ~ i j - 0kkJijf3 ,

a!f. := &) - ai;)6ij/3 . 1J IJ

Funktionen OH, 'H, ' H vierter Stufe zum Ausdruck. Diese Darstellung ist irreduzibel und vollstandig. Weitere Term@% iiberfliissig, da nach dem Hamilton-Cayleyschen Theorem alle Potenzen eines Tensors zweiter Stufe, wie hier' '.- Cauchyschen Spannungstensors, die hoher als zwei sind, durch die zweite, erste und nullte Potenz ausgedriickt we konnen. Der dritte Term kennzeichnet die tensorielle Nichtlinearitat. Durch ihn werden ,,Effekte zweiter Ordnuh berucksichtigt.

Wendet man die Tensorfunktion (1.3) auf inkompressible Stoffe an, so mu13 der Verzerrungsgeschwindigkeitstenjc

(1

(1..

(X.1

(1:

(1':

(l!

(1.11

Der Tensor (1.9) ist bekanntlich der Spannungsdeviator, wahrend (1.10) der ,,Deviator des Quadrates des Spannungstensorr ist.

Alternativ zu (1.3) kann auch eine Darstellung im Spannungsdeviator gewahlt werden:

(1.1

wobei sich die Tensorfunktionen OH, ' H , ,H von den entsprechenden Funktionen der Darstellung (1.3) unterscheide, Der isotrope Fall ist dann gemaB

di j = + + @,a;j2' (1.1.

dij = @la;j + (1.1

a;; := .;j2) - .;iz)&jf3 (1.1.

und

auszudriicken. In (1.13) ist der spurlose Tensor

im Gegensatz zu (1.10) der ,,Deviator des Quadrates des Spannungsdeviators". Ebenso ergeben sich in (1.12) und (1.1 andere skalare Funktionen Go, cD2 als in (1.7) und (1.8).

2. Stoffgleichungen bei plastischer Vorverformung

Im folgenden soll eine spezielle Anisotropie zugrunde gelegt werden, die durch kombinierte Belastung in einem anfani isotropen Werkstoff vor Kriechbeginn bei Raumtemperatur erzeugt wird [18 - 241. Der Einflulj dieser Anisotropie auf di Kriechverhalten des Materials INCONEL 617 (s. Abschnitt 6) bei 950 "C soll im folgenden untersucht werden. Dabei Wir eine tensorielle Interpolationsmethode im Gegensatz zu [23] benutzt (Ziffern4 und 5) und es werden auch new experimentelle Ergebnisse zur Uberpriifung der Theorie herangezogen (Ziffern 6 und 7).

Die plastische Vorverformung kann bei plastischer Inkompressibilitat durch den spurlosen Tensor

All A12 Pe..i= V A . . IJ = [ A 1 2 - $ A l l ] E AIj

0 0 - $ 4 1

BETTEN, J . ; WANIEWSKI, M . : Anisotropes Kriechverhalten isotroper Stone 833

beschrieben werden. Daraus ergibt sich fur die plastische Vorverformung die Misessche Vergleichsdehnung pev = PeM zu

die mit der quadratischen Invarianten, d. h. mit der negativen Summe der Hauptminoren

1 2 := (AijAji - AiiAjj)/2 (2 .3)

verknupft ist. Das Hauptachsensystem, gekennzeichnet durch romische ZifTern in Abbildung 1, ist (bei Koaxialitat) um einen Winkel

0 = farctan (Al2 /Al I ) (2.5)

verdreht, d. h., 0 = 0 charakterisiert plastische Vorverformung infolge einachsiger Zugbeanspruchung und 0 = n/4 infolge reiner Torsion, wie aus Abbildung 1 hervorgeht.

43 i 11

61 1 t Abb. 1 . Rundprobe unter plastischer Vorverformung

Die experimentell beobachteten Kriechgeschwindigkeiten edl hangen ab vom Winkel 0 und der Vergleichsdehnung pev. Im isotropen Fall, d. h. bei fehlender Vorverformung (pev = 0) beobachtet man die Kriechgeschwindigkeit d , Theoretisch ermittelt man @d, als Koordinate des Tensors *dij, der als tensorwertige Funktion von zwei Argumenttensoren,

@dij = Lj(a', A ' ) , (2 .6 )

die irreduzible und vollstandige Polynomdarstellung

besitzt [4 ] . Obwohl in (2.6) und (2.7) zwei Deviuroren (Spannungsdeviator u' und Deviator der plastischen Vorverformung A') als Argumenttensoren betrachtet werden, fuhrt die Darstellung (2.7) nicht unmittelbar auf Volumenkonstanz, d. h., aus (2.7) folgt im allgemeinen: @d,, 4 0. Daher wird fur i n k o m p r e s s i b l e s Kriechverhalten zweckmaoiger die irreduzible Darstell u ng

Devia toren

benutzt werden, so da13 a priori die Volumenkonstanz ('dkk := 0) erfullt ist. Die Stoffgleichung (2.8) kann analog (1.3), (1.4) und (1.11) in der kunonischen Form

edij = O H ( i j ) k16kl + lH(i,) k l d l + 2 H { i j ) kla;!2'

dargestellt werden, wenn man (1.5) beriicksichtigt und die Tensorfunktionen

(2.10)

(2.1 1 )

834

mit den p = 0 ,1 ,2 verschiedenen Tensoren

Z A M M . Z. angew. Math. Mech. 75 (1995) 1 1

T ; y := [A:y)6J1 + A:,'"'6, + a i k A y + SifA;p]

einfiihrt 141. Mit (1.5), (2.11) und (2.12) ergeben sich die drei Terme der Stoffgleichung (2.10) zu:

O H ( i i ) kIBkl := O H { i j ) kk = q [ O , p ] ( A i y ) - 5 A i V ' 6 i j ) = (Pro , 1lAiJ + q [ o , 21A:J 9 (2.138 p = 0 * .

(2.134

Darin sind cryj und analog A:; gemaB (1.14) definiert. Die Funktionen (2.13a, b, c) liefern die ,,Kriechbeitrage" nullter, erster und zweiter Ortlnung im Spannungsdev'

Der dritte Term (2.13~) stellt die tensorielle Nichtlinearitat dar, mit der ,,Effekte zweiter Ordnung" erfal3t werden ko Im isotropen Fall, d. h. bei fehlender Vorverformung (AiJ = Oil) vereinfacht sich (2.10) mit (2.13a, b, c) ZU:

B d I J = q[l . O]':J + q [ 2 . O]':J '

Aufgrund der Inkompressibilitat enthalten (2.13a, b, c) und damit die Stoffgleichung (2.10) nur 8 Koefizienten qr gegeniiber 9 Parametern qt,,l in (2.7). Der Parameter 8 Koefizienten in (2.13 a, b, c) aus geeigneten Kriechversuchen ermitteln, was zu umfangreichen numerischen Auswertunga fuhrt [23].

tritt in (2.10) wegen (2.13a) nicht auf. Man kan

3. Vereinfachte Theorie

Fur praktische Anwendungen wird im folgenden eine vereinfachte Theorie vorgeschlagen, die sich als Naherung der allgemeinen Stoffgleichung (2.10) ergibt. Dazu geht man von der isotropen Losung (2.14) aus und ersetzt sie formal rnit der S u b s t i t u t i o n

durch den vereinfachten anisotropen Ansatz

@dij = y l z j j + q24; .

Darin wird der spurlose Tensor 7; analog zur Rechenvorschrift (1.14) unter Einbeziehung von (3.1) gebildet. In (3.1) driickt der Deviator pij des Stofftensors

b i j := T j k f a k l

(3.2)

(3.3)

die plastische Vorverformung aus. Darin ist der lineare Operator T ein Tensor vierter Stul'e. lnfolge einer Temperaturd anderung zwischen zwei homogenen Temperaturzustanden wird sich eine plastisch vorverformte Stoffstruktur verandem konnen. (Die plastische Vorverformung erfolgt bei Raumtemperatur, wahrend der Kriechversuch bei einer Temperatur von 9 = 950 "C durchgefuhrt wird.) Die Definition (3.3) ergibt sich aus einem quadratischeri thermischen Potential

71a = t T j k l C r i J f f k l (3.4)

uber die Stoffregel

p i j = anjaa i j (3.5)

In (3.3) stellt der Tensor vierter Stufe TjkI einen thermischen Ubergang (ai, + f l , J ) vom plastisch vorverformten Zustand bei Raumtemperatur und zum Zustand wahrend des Kriechvorganges bei 9 = 950 "C dar. Der Tensor a,, kennzeichnet die infolge plastischer Vorverformung hervorgerufene Verfestigung.

Bei Inkompressibilitat ist die lineare Transformation (3.3) gemal3

b;J = ( T j k f - 5 Tppk16tJ) ' k l (3.61

auszudriicken. Das Hauptproblem besteht darin, im Ansatz (3.6) die Koordinaten des Iinearen Operators als Funktiones experimenteller Daten zu bestimmen.

BETTEN, J. ; WANIEWSKI, M.: Anisotropes Kriechverhalten isotroper Stoffe 835 /---

Die Stoffgleichung (3.2) geht rnit (3.1) und (3.6) uber in:

' d , = cplaij + q 2 d . IJ - cp 1 8' i j + q2pi> - V2(aikhj + 8 ika ; j - 3 ' b q 8 b p ' i j ) . (3.7)

Der Vergleich der vereinfachten Theorie (3.7) mit der allgemeinen Darstellung gema13 (2.10) zeigt, dal3 (3.7) als Naherung Wr qrL, 21 = ~ [ z , 11 = ~ [ z , 21 = 0 aus (2.10) hervorgeht.

Hierzu kann eine Interpolationsmethode fur Tensorfunktionen benutzt werden, die eine unmittelbare Ubertragung einachsiger Stoffgesetze auf eine tensorwertige Funktion gestattet. Im folgenden soll als einachsiges Stoffgesetz zur Beschreibung der plastischen Vorverformung eine Spannungs-Dehnungs-Beziehung gewahlt werden, die durch Modifikation der LuDwrK-Flieokurve [25] gewonnen wurde. Durch diese Beziehung kann die bei Raumtemperatur aufgenommene flieDkurve von INCONEL 617 recht gut angenahert werden [26, 271, wie spater gezeigt wird. Zuvor soll das tensoriell~ I,,terpolationsuerSahren in der nachsten Ziffer kurz erlautert werden.

4. Tensorielle Interpolationsmethode

Es sei

x j = A j ( X ) mit i, j = 1,2, 3 (4.1)

eine tensorwertige Funktion mit lndexsymmetrie ( x j = qi) von einem symmetrischen Argumenttensor ( X i j = X j i ) ; dann kann aufgrund des Hamilton-Cayleyschen Theorems eine Polynomdarstellung von (4.1) nur vom Hochstgrad n = 2 in X sein :

(4.2) y i j = Q0Si j + Q * X i j + @,Xy.

S, := tr X" p = 1,2,3, (4.3)

Darin sind Qo, a,, @, skalarwertige Funktionen der Integrizatsbasis, d. h. der irreduziblen Grundinvarianten

des Argumenttensors X . Zur Interpolation von tensorwertigen Funktionen fassen wir die Hauptwerte A, := XI, A,, := XI,, A,,, := XI,, des Tensors

Xals ,,Stutzstellen" auf. Dann kann die tensorielle Erweiterung der Newtonschen Interpolationsformel durch die Darstellung

erfolgen. Weitere Glieder sind nicht moglich, da ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe nur drei reelle Hauptwerte besitzt, die in der Interpolationsaufgabe die Rolle der Stutzstellen ubernehmen. Daruber hinaus verschwindet der letzte Term in (4.4) aufgrund der Hamilton-Cayleyschen Gleichung, so darj sich (4.4) auf die irreduzible Form

(4.5) x j = aO6ij + a, (Xi j - 116ij) + a,(Xik - A l 6 i k ) (Xkj - A116kj)

reduziert [28, 291. Man ermittelt die Koeffizienten a,, a , , a2 durch Einsetzen der Hauptwerte XI = A, etc. rnit

r, := f,,(X,, := A,), I;, := f 2 2 ( X 2 2 := A,,) etc.

in (4.5) zu:

(4.6a, b)

(4.6c)

Die tensorielle lnterpolationsformel (4.5) kann auf die Standardform (4.2) einer isotropen Tensorfunktion gebracht werden, Wenn man definiert :

(4.7 a)

(4.7 b, c)

Bei gleichen Hauptwerten (,,Konfluente Stutzstellen") sind die Differenzenquotienten erster und zweiter Ordnung, d. h. a1

und a, gemafi (4.7 b, c) unbestimmte Ausdrucke. Zu ihrer Bestimmung benotigt man bei zwei gleichen Hauptwerten die erste Ableitung, die man aus (4.5) zu

Qo := a0 - %A, + a , ~ , ~ , , 9

Q, := a , - a2(A, + A,,), @, := a2 .

f i j := i3Y,p/aX,j = [a , - (A, + ,Ill) a,] d i j + 2a,Xij

errnit tel t . (4.8)

836 ZAMM . Z. angew. Math. Mech. 75 (1995) 1 I mu

Liegt beispielsweise der Fall I , = I,,, 4 Ill vor, so erhalt man mit den vorgegebenen ,,Stutzwerten“

r, := f1,(Xll := x, = A,), , r,, := fzz(x,2 := x,, = 21,)

und der vorgegebenen Ableitung S; ( X , , := I,) := f; an der zweifachen ,,Stutzstelle“ unter Benutzung von (4.5) und (44 die skalaren GroDen

(4.9 a, b

Die Ergebnisse (4.9a, b) stimmen rnit (4.6a, b) uberein. Die Beziehung (4 .9~) kann man auch unmittelbar aus (4 .6~) durc] Grenzwertbildung lim a, finden, wenn man berucksichtigt, daI3

1111‘~l

(4.10

gilt. Entsprechend findet man fur den Fall I l = I,, 4 L,,, die skalaren GroBen

a, = X , a, = f i , (4.11 a, B a2 = [u; - (r, - XlI))/@l - ~ I l l ~ l / ~ ~ l - Ill,) 7 (4.1jc

a0 = r, Y (4.12a, b

wahrend man fur I , + I,, = I,,, schlieBlich

a1 = ( X - Kl)/(I, - I,,),

erhalt.

wegen (4.8) zu Fur den Sonderfall I , = I,, = I,,, kann die zweite Ableitung der Tensorfunktion (4.5) herangezogen werden, die sic1

f; := a f p X q j = 2a2aij (4.13

ergibt, so daD man mit f’; , := f i die Werte

a. = A , a, = f ; , a, = f;’P (4.14 a, b, c

findet. Allerdings ist in diesem Sonderfall der Argumenttensor Xein Kugeltensor mit den Koordinaten Xij = so dal sich die Formel (4.5) zu y j = a0Jij vereinfacht und die zweite Ableitung (4.13) uberflussig wird.

Lafit man bei der interpolation einer skalaren Funktion f (x) alle Stutzstellen mit der Stutzstelle xo zusammenfallen S O geht das Interpolationspolynom in die Taylor-Reihe der Funktion f ( x ) im Punkte xo uber. Fallen alle Hauptwertc eines Argumenttensors jedoch zusammen, so ist die betrachtete tensorwertige Funktion einfach ein Kugeltensor, wic ober erwahnt. Demnach gibt es keine ,,tensorielle Taylor-Reihe“ [28].

Die oben beschriebene interpolation bei konfluenten Stutzstellen kann auf tensorwertige Funktionen rnit zwe Argumenttensoren formal erweitert werden, wie ausfuhrlich in [4, 28, 291 beschrieben wircl. Darin wird auch eine Vielzah von Anwendungsmoglichkeiten diskutiert, die fur die Tensoralgebra und fur Anwendungen in der Kontinuumsmechad grundlegend sind. Im folgenden sol1 das oben beschriebene interpolationsverfahren zur tensoriellen Verallgemeinerunl der Ludwik-FlieDkurve benutzt werden, das zur Beschreibung einer mehraxialen plastischen Vorverformung herange zogen wird. Von dieser Vorgehensweise wird in [23] kein Gebrauch gemacht.

5. Tensorielle Verallgemeinerung der Ludwik-FlieBkurve zur Beschreibung einer mehraxialen plastischen Vorverformung

Nichtlineares elastisch-plastisches einachsiges Verhalten kann durch die modifizierte Lud wik-FlieDkurve

(r = Me”; M = LcTF(E/cTF)”’ (5.1

fur INCONEL617 bei Raumtemperatur gut beschrieben werden. Darin sind E der Elastizitatsmodul und OF dif FlieBspannung, wahrend die Ansatzfreiwerte rn und L die FlieDkurvengestalt bestimmen.

Durch die tensorielle Interpolation wird es moglich, das in einem einachsigen Grundversuch ermittelte Stoffverhaltea etwa gemaD der empirischen Beziehung (5 . I), unmittelbar auf den allgemeinen mehraxialen Fall mittels einer isotropefl Tensorfunktion

aij = Jj (e) = cpodij + cpleij + cpze$) (5.2:

BETTEN, J . ; WANIEWSKI, M.: Anisotropes Kriechverhalten isotroper Stoffe 837

ctu erweitern, die das Werkstoffverhalten bei allgemeiner mehraxialer Belastung unter ,,strain contirol test" Bedingungen ,beschreibt. Dabei sollen die skalaren Funktionen 'po, 'p,, 'p, als Funktionen der experimentellen Daten ( M , m) ausgedruckt ,+,erden. Durch Spurbildung folgt aus (5.2) der Zusammenhang

,,

vereinfacht. Der einachsige Vergleichszustand (Index V) ist durch die Tensorvariablen

(aij)" = diag { u, 0, 0} , (afj)v = diag {20/3, - 0/3, - a/3} , (5.5a, b)

(eij)v = diag {e, - ve, - ve} (5.5c)

gekennzeichnet. Letztere gilt bei Isotropie mit der Querzahl v. Im folgenden werden die Diagonalelemente (Hauptwerte) des Vergleichszustandes (SSa, b, c) als ,,Stiitzwerte"

aufgefaot und der in Ziffer 4 beschriebenen Interpolation zugrunde gelegt. Somit geht das einachsige Stoffgesetz (5.1) unmittelbar in die Bestimmung der gesuchten skalaren Funktionen 'p,, 'p, der isotropen Tensorfunktion (5.4) ein.

Der Deviatordarstellung (5.4) mu0 anstelle von (5.1) das einachsige Stoffgesetz

6' = $ Me" (5.6)

rnit der deviatorischen GroDe a' = 20/3 zugrunde gelegt werden.

(4.12b) zu: Wegen XI = -a/3 = - Me"'/3 und unter Beriicksichtigung von ( 5 . 5 ~ ) ermittelt man den Koeffizienten a , gem20

M a, = - l + v

Die in (4 .12~) auftretende Ableitung f ; , an der konfluenten Stutzstelle II/III wird folgendermaDen a:usgedruckt :

(5.7a)

Damit erhalt man wegen (5 .5~) und (5.8) nach (4.12b, c) den Koefiizienten a, zu

(5.7b)

Mit (5.7a, b) ermittelt man nach (4.7b, c) schlieDlich die skalaren Funktionen 'pl, 43, der isotropen Tensorfunktion (5.4) zu

(1 + v)m 1 -

3 v Mem- , .

( 1 + v), ' p 2 =

(5.9a)

(5.9b)

Nach der Darstellungstheorie tensorwertiger Funktionen sind die 'p, und 'p2 in (5.4) skalare Funkt ionen der Invarianten des Argumenttensors e. Dieser EinfluD ist in (5.9a, b) durch die Vergleichsdehnung e gegeben. Um das zu zeigen, kann man von der Gleichheit der Gestaltanderungsenergiehypothese im allgemeinen Zustand und im Vergleichszustand,

W = a!.e.. l j J1 i ' = 2 3 ( 1 + v ) a e 9 (5.10)

fiir die Gesamtverformungen eij = (eij)clas, + (eij)plas, ausgehen und erhalt mit (5.1), (5.4), (5.9a, b) die kubische Gleichung

(5.11) e3 + Qe + R = 0 .

838 ZAMM . Z. angew. Math. Mech. 75 (1995) 1 1 --k

3 Q = -

2(1 + v)2

Darin sind zur Abkurzung gesetzt:

1 -

l + v 1 - (1 - v) ,

R = -

Mithin werden die (pl, 'p2 in (5.9a, b) von der Integritatsbasis tr e = ekkr tr e2 E e&?, tr e3 = el:' beeinflufit und erhd daruber hinaus die Werkstoffparameter M, m und v :

(pl = (ekk, el;), el?; M, m, 4 , (p2 = (ekk, el?, el?; M , m, v ) . (5.13a, b) Das Invariantensystem S, := ekk, S, := el:), S, := el:) in (5.13a, b) kann alternativ zu

I , := ekk ,

I 3 '= (2eijejkeki - 3ei~ejiekk + eilejfkk)/6

1, := (eijeji - eiieJJ)/2 , (5.14

(5.14~)

Durch kombinierte nicht proportionale Belastung wird die Hypothese von der Gleichheit der Gestaltanderuqp benutzt werden.

energie,

dW = a'..& 1J J I $ (1 + v ) a d e , (5.13)

fur das Gesamtverformungsinkrement deij = (deJelas, + (deJplas, vorgeschlagen. In (5.15) ist der einachsige Vergleichszustand durch die Tensorvariablen

= diag {2a/3, -013, -013) , (de,,)" = diag {de, - v de, - v de} (5.16 a, b)

gekennzeichnet. Letztere gilt bei Isotropie mit der Querzahl v. In einem beliebigen Zeitschritt kann die Spannungs-Dehnungs-Beziehung (5.1) in der inkrementellen Form

da = Mmem-' de (5.17)

(strain control test) beschrieben werden. Das Inkrement der Vergleichsdehnung (de) in (5.1'7) wird unter Berucksichtigung von (5.1 5) mit (5.4) gemafi

'p, 4 d(eijeji) + (p2 5 d(e!$)eji) de = 3 (1 + v)a

ausgedruckt. In (5.18) gelten folgende Identitaten:

4 d(ei,eji) = eij deji,

1 d(e!?)e ..) = e$) deji . 3 IJ J I

(5.18)

(5.19a)

(5.t9b)

Der Wert der Vergleichsspannung a in (5.18) ist nach jedem lterationsprozefi uber den vorangegangenen Zeitschritt definiert:

a i + I - - ,.j + &,i+ 1 (5.204

Ebenso gilt fur die Vergleichsdehnung e:

, 1 + 1 = el + de" ' . (5.2OP)

Der rechte obere Index i steht fur einen Zeitpunkt t = t , und wird zur sukzessiven Darstellung des LosungsalgorIthmM verwendet [26].

1st eine Verzerrung (eif = etj + dei: I) im Verzerrungsraum vorgegeben, wird das Werkstoffverhalten im SP@' nungsraum

Zum Anfangszeitpunkt t = t o werden die Koordinaten der Punkte (e:J, a:;) und (el, a'] nach (5.1)- (5.14) ermittekf, Zu jedem Zeitpunkt t > to werden die Koordinaten der Punkte (ei;',a\;+') und (el+', a'+') nach (5.15)-(5.20a,@E ermittelt.

nach (5.4) zum Zeitpunkt t = t , ermittelt (strain control test).

BETTEN, J . ; WANIEWSKI, M.: Anisotropes Kriechverhalten isotroper Stoffe 839

Bei plastischer InkompressibilitHt [v = 1/2 und (ekk)plasl = 01 werden die Koeffizienten (5.12a, b) der kubischen

(5.22a, b)

v---

GIeichung (5.1 11,

Q = - $ ( 2 + r n ) ( t r e Z - ~ t r e t r e ) , R = - 4 (1 - rn) (tr e3 - 4 tr ez tr e ) ,

Probe Nr.

BAU 147

BAU 148

stark vereinfacht, wobei tr e = ekk, tr ez = e,$) und tr e3 EE ei:)fur die Gesamtverformungen eij = (eij)clar, + (eij)plasl gelten.

g c TYP peM 4 1 edl 1 * d , 1/61 1

( M W ("/I (s-? (s- I )

14,700 - 0 0,90. lo-' ' - 1 ,oo 14,583

6. Experimentelle Untersuchungen

BAU 133

BAU 134

BAU 136

BAU 134

BAU 145

BAU 146

E~ wurde das Kriechverhalten einer Nickel-Legierung Ni-22 Cr-9 Mo-12.5 Co-1 A1 (INCONEL 61 7) nach vorausgegange- aer plastischer Kaltverformung untersucht. Dieser Werkstoff wird in Hochtemperaturreaktoren (Warmetauscherrohre mit Helium-Kuhlgas) benutzt. Die Versuchsbedingungen wurden den Betriebsbedingungen einer .4nlage zur Erzeugung &learer ProzeBwarme (PNP) angepant [23,30]. Die in [23,30] begonnenen Kriechexperimente konnten jetzt abgeschlossen werden.

14,620 B 5 0,90. lo-'' 0,73 . lo- ' ' 0,81

14,690 10 0,61 . lo-' ' 0,68

15,046 C 5 1,20. to-" 0,88. l o - ' " 0,73

15,520 10 1,38. 10- l o 1,15

-

22,123 - 0 i,80.10-9 - 1 ,oo 21,943

BAU 135

BAU 137

22,85 1 C 5 2 3 0 . lo-' 3,60. lo-.'' 0,14

23,561 10 9,OO. lo- ' ' 0,36

BAU 143

3,oo. 10-9 3,t 1 . to- 1 0 o,io

6,97. 10- l o 0,23

BAU 131 I 2l::J: 1 B I ,: 1,80. 1 , I O . lo-" 0,6 1

BAU 132 5,29 . 10- lo 0,30

Die Proben (6.4 mm 0) wurden bei Raumtemperatur plastisch vorverformt und zwar unterschiedlich kombiniert in Zug- und Torsionsrichtung, wie Typ A, Typ B und Typ C in Abbildung 2 andeuten. Dabei wurde eine plastische Vergleichsdehnung peM (2.2) von jeweils 5% oder 10% gewahlt. Die so vorverformten Proben wurden in Langzeitkriech- versuchen bei 9 = 950 "C in PNP-Helium-Gas-Atmosphare untersucht. Dabei wurden zwei verschiedene einachsige bechspannungen (5 = 14,64 MPa) und (6 = 22,03 MPa) gewahlt als mittlere Werte fur die in Tabelle 1 gegebenen SPannungen. Die in [23] teilweise veroffentlichten Versuchsergebnisse konnten jetzt vervollstandigt werden, da die Versuche abgeschlossen wurden. Die Aufstellung der neuen Ergebnisse findet man in Tabelle 1 und auch in 1301.

Aus den einachsigen Kriechkurven der isotropen Proben wurden Kriechdehnungsgeschwindigkeiten 6, ermittelt. h t ihrer Hilfe hat man die Parameter des Norton-Baileyschen Kriechgesetzes 6, = Kb; fur isoliropen Fall berechnet. Fiir die in Tabelle 1 gegebenen mittleren Kriechdehnungsgeschwindigkeiten findet man K = 2,4. [s-l MPa-"I und 4 = 7,3. Als Bezugswerte wurden die uber die verschiedenen Spannungswerte gemittelten Kriechdehnungsgeschwindigkeiten 41 bei isotropem Zustand benutzt, die in Tabelle 1 angegeben sind.

840 ZAMM . 2. angew. Math. Mech. 75 (1995) 11

bl@;"

4

Abb 2. Verschiedene plastische VO@@ formungen im Dehnungsraum bei %, staniter Amplitude (*eM = 5% und = 10%) und konstanter Verzerrungs# schwindigkeit (1 = 1,2. s - l )

5

7. Vergleich der experimentellen Ergebnisse mit der Theorie

Um die vereinfachte Theorie mit dem Experiment vergleichen zu konnen, werden die einachsigen Kriechspannungdr; (a', EZ 2ac/3) in (3.7) eingesetzt:

(7.2b:

( 7 . 2 ~ d'

Abb. 3. Dehnungs-Spannungs-Beziehung fiir INCONEL 617 bei einachsiger Beanspruchung (Experiment und Andbe- rungsformel)

00

BETTEN, J.; WANIEWSKI, M.: Anisotropes Kriechverhalten isotroper StoKe 84 1

gleichgesetzt und als iheit der Dissipations-

Darin wird ein kinematischer Verfestigungstensor a (koaxial mit dem Spannungstensor) eingefuhrt, der bei Be- und $&stung mit Belastungsumkehr in Abhangigkeit von der Verfestigungsgeschichte in Abbildung 4 als Bauschinger-Effekt gterpretiert werden kann [35]. Mithin gilt fur den kinematischen Verfestigungsparameter a = (oA + oJ2.

Fur die in Abbildung 2 bei Raumtemperatur vorgegebenen plastischen Vorverformungen w urde eine in Ziffern 4 ,md 5 beschriebene Jnterpolationsmethode benutzt. Mit ihrer Hilfe kann man, nach Verallgemeincrung der einachsigen

annungs-Dehnungs-Beziehungen, die Koordinaten des Stofftensors arj berechnen, die spater in (7.1) und (7.2a, b) benutzt rden.

Fur die numerischen Anwendungsbeispiele wurden noch zwei kombinierte plastische Vorverformungen eingefuhrt, wie Abbildung 2d -e als Typ D und Typ E andeuten. Fur die Vorverformungen vom Typ C , Typ D und Typ E sind die plastischen Endzustande im Dehnungsraum gleich (Pe,, O), sie unterscheiden sich jedoch durch ihre Verformungsgeschichte, wie man in Abbildung 2c-e erkennt.

TYP A

TYP B

TYP c

TYP D

QM ‘1 , /OF fi a12 /uF

0,05 0,4 1 030 0,lO 0,65 0,o 0,05 0,06 0,35 0,lO 0,05 0,58

0,05 0.8 1 0,16 0,lO 0,99 0,32

0,05 0,30 0.28 0,lO 0,41 0,44

TYPE 0,05 0,89 0,2 1 1,07

Der Einfluf3 der Verformungsgeschichte auf das Werkstoffverhalten im Spannungsraum wurde ausfuhrlich in den Ziffern 3 und 5 beschrieben. Aus den Abbildungen 5 sind die Spannungsverlaufe unter Berucksichtigung konstanter Verzerrungsgeschwindigkeit i: = 1,2 . s-’ (strain control test) ersichtlich. In Tabelle 2 sind die verschiedenen Werte von a aufgefuhrt, die von der Vorverformungsgeschichte abhangen. Vereinfachend werden die nicht umkehrbaren Anteile von ail bei Entlastung durch Subtraktion der elastischen Anteile ermittelt (in Abbildung 5 als gestrichelte Linie).

Zur Uberprufung des numerischen Verfahrens wurde der einachsige Fall berechnet und hierfur eine Identitat mit der analytisch bestimmten Vergleichsspannung festgestellt (Abbildung 5a).

Fur den Typ B wird reine Scherverformung zugrundegelegt (Abbildung 2 b), fur die neben der !Schubspannungskom- Ponente auch eine niedrige Normalspannungskomponente gegen Probenverkurzung aufgebracht isi. (Abbildung 5 b). Fur diesen Fall kann die tensorielle Nichtlinearitat als Poynting-Effekt (Probestreckung oder Verkiirzung bei Torsions- beanspruchung) gedeutet werden.

Nach Durchlaufen der im Dehnungsraum eingefuhrten Ecke ( ( 0 , 2 / 6 eI2) + ( e , , , 0): Typ C oder (e , , , 0) -+

@,2/ fi eI2): Typ E) (Abbildung 2c, e) verandern sich die Spannungskomponenten bei nicht proportionaler Vorverformung (Typ C, E) gemaB Abbildung 5c, e. Unter Berucksichtigung des numerischen Verfahrens unter Ziffer 5 kann man nach einem Vergleich der Falle vom Typ C, E auf einen Einflurj der Vorverformungsgeschichte auf das Werkstoffverhalten im SPannungsraum schlie0en.

Fur eine proportionale Vorverformung (Typ D) ist in Abbildung 5d der Unterschied der Misesschen Losung ( U I ~ , fi oI2) zu den numerisch ausgewerteten Spannungskoordinaten ersichtlich.

In (7.1) mit (7.2a, b) sind die Koordinaten des Stofftensors vierter Stufe Tjk, als Stoffparameter zu betrachten. Unter hicksichtigung der Kriechbedingungen fur einachsigen Kriechspannungszustand (7.1), Koaxialilat des Verfestigungs-

!4 Z a n ~ e w Math Mech Rd 75. H I I

842 ZAMM . Z. angew. Math. Mech. 75 (1995) 1 1

d

Q) S Q) 0 0 N 0.40 - a, 13

B

c_

I

1.60 , TYP B

1 'eM = 0.05

0.00 ~ , , , , , , , , , ~ , , , , , , , , 1 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , + 1.34 11.34 21.54 31.54 41.54

b) Zeit s

1.60 TYP D

'eM = 0.05

L a, CT K 1.20 3 r K

Q) K Q) CT 0 N 0.40 Q) 13

I 0.00

d) Zeit s

a) Zeit s

S a, 0, K 1.20 3 c c 0 Q * 0.80 Q) c W 0 0 N 0.40 a, I)

0.00 L - I L 1.34 11.34 21.34 31.34 41.34

C) Zeit s

1

el Zeit s Abb. 4. Werkstoffverhalten bei Be- und Entlastung mit Belastungsumkehr - Definition des Verfestigungsparame

Abb. 5. Werkstoffverhalten bei verschiedenen plastischen Vorverformungen fur (a) Typ A, (b) Typ B, (c) Typ C, (d) ?.YP$$ (e) Typ E als numerische Auswertung nach dem tensoriellen Interpolationsverfahren

GI = (6, + a,)/2

BETTEN, J . ; WANIEWSKI, M.: Anisotropes Kriechverhalten isotroper Stoffe 843

B) i2

8';3 - -

tensors 01 mit dem SpannUngStenSOr und Symmetriebedingungen '7;.jkI = q i k l = Tjlk sind nur 12 Koordinaten des Stoff- tensors Tjk] wesentlich:

'Tl111 T22ll

T1211 T3311

T23 11

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. . f

0111

2a,, . . .

t . . =

T1112

T2212

TI212

T3312

T2312

T3112

t 2 1 t 2 2 ( 7 . 5 )

0 1 1

M Pa

14,6

(7.3)

i 1 2 3 j

1 0,335 - 0,344 0,060 2 - 0,036 0,153 0,060

Ta be1 le 3. Ermittlung der Koordinaten des Stofftensors iij aus Gleichung (7.5) als Funktion der rnittleren Kriechspannung durch Losung des Systems 6 nichtlinearer Gleichungen

0,574 - 0,022 0,002 0,583 -0,140 0,002

20,o

Unter Berucksichtigung des numerischen Verfahrens unter Ziffer 5 kann man mil einer h4isesschen Vergleichs- dehnung peM nach (2.2), die sich verandert von peM = 0,O (keine plastische Vorverformung - isotroper Fall) bis peM = 15%, fur verschiedene Vorverformungsgeschichten (Typen A - E nach Abbildung 2) mit Dehnungsschritten l[el 2/1/5 e I2 = 10- 6,

die Koordinaten des Verfestigungstensors (al 1, a1 2) als Funktion von der plastischen Vergleichsclehnung peM ermitteln. Gleichzeitig wird fur jeden angenommenen Wert der Misesschen Vergleichsdehnung peM im plastischen Bereich (peM = 0,O - l5,0%) als Funktion vom Verfestigungstensor a die Kriechdehnungsgeschwindigkeit @dl1 nach (7.1) mil den Koordinaten des Stofftensors tij (7.5) (Tabelle 3) fur verschiedene Kriechspannungsniveaus oC (Tabelle 1) und fur verschiedene plastische Vorverformungsgeschichten (Typen A - E nach Abbildung 2) berechnet.

Der EinfluB der plastischen Anisotropie auf das sekundare Kriechverhalten ist fur bezogene Kriechdehnungsgeschwin- digkeiten (@dl1/d, 1) als Funktion der plastischen Vergleichsdehnung nach von Mises 'eM (2.2) in den Abbildungen 6 graphisch dargestellt. Die Kurven in Abbildung 6 fallen zunachst ab, was einer Verfestigung (@dl Jd1 < 1,O) entspricht. Nach Durchlaufen eines Minimums steigen sie an und uberschreiten schlieBlich den isotropen Wert ( @ d , ,/dl = l,O), was einer Entfestigung (@d, Jd, > 1,O) entspricht.

8. SchluDbetrachtung

Zur Beschreibung des sekundaren Kriechverhaltens plastisch anisotroper Stoffe werden Materialgleichungen mit Hilfe der Darstellungstheorie tensorwertiger Funktionen aufgestellt. Der EinfluI3 der Anisotropie, die durch kombinierte Belastung bei Raumtemperatur erzeugt wird, auf das Kriechverhalten wird durch Einfiihrung eines Stofftensors zweiter Stufe als

844 ZAMM . Z. angew. Math. Mech. 75 (1995) 11 -

u.=15.8 MPo Gl.(7.1) on000 experimentell

2.00 u,=23.6 MPo Gl.(7.1) A A A A A experimentell

1 S O

1 .oo

0.50

2.50 TYP c

u,=15.3 MPo GL(7.1) 0 0 0 0 0 experimentell

2.00 u,=22.7 MPo G1.(7.1) A A A A A experimentell

1.50 1 i il / I

1 .oo

0.50

0.00 0.05 0.10 0.15

C ) 'eM

u,=15.3 MPo GI. 7 1 0.=22.7 MPo Gl.[7:1]

2.00

1.50

1 .oo

0.50

isotrop

. < - - - _ _ _ _ _ - - - .\

isotrop

. - < _ _ - - .\

TYP B 2.50 - ap14.6 MPo GL(7.1)

uc=2:2.0 MPo GL(7.1) ooooo experimentell

A A A A A experimentell

1.50

bl

'd i i /d i 1

2.00

1.50

1 .oo

~~ u u:=22.7 =15.3 MPo M z 4 GI. 7 1

isotrop

1 ,

Abb. 6. Numerische Auswertung von Gleichung (7.1) ma skalaren Funktionen riach Gleichung (7.2a, b, c, d), chung (7.4) und Gleichung (7.5) fur (a) Typ A, (b) TypB ( 4 TYP c, ( 4 TYP D, (el TYP E

5

el 'eM

zweitem Argumenttensor erfal3t. Durch diesen Tensor werden die Verfestigung und der ubergang von der RaumtemperaW3 bei der die plastische Vorverformung stattfindet, zur Kriechtemperatur (9 = 950 "C) beriicksichtigt. Zur oberpriifung Theorie werden experimentelle Untersuchungen an INCONEL 61 7 herangezogen.

13.-16. Mai 1991, von den beiden Autoren gehalten wurde. Anmerkung: Bei der vorliegenden Arbeit handelt es sich urn einen Vortrag, der auf der Jahrestagung der DRG in Bed&

BETTEN, J.; WANIEWSKI, M.: Anisotropes Kriechverhalten isotroper Stoffe 845 /

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bgegangen am 15. Juli 1993, in revidierter Fassung am 7. Februar 1994, angenommen am 27. April 1994

‘“Jchrfren: Univ.-Prof. Dr.-Ing. JOSEF BETTEN, RWTH Aachen, Institut fur Werkstoflkunde, Augustinerbach 4, D-52062 Aachen, Deutschland; Dr.-Ing. M. WANIEWSKI, Institute of Fundamental Technological Research, Polish Academy of Sciences, ul. Swietokrzyska 2 1, PL-00-049 Warszawa, Poland