TheoretischeAstrophysik - tat.physik.uni-tuebingen.dekley/lehre/theoast/script/... · 2 KAPITEL1. THERMODYNAMIK Die speziﬁsche innere Energie εist deﬁniert als Energie pro Masse

Theoretische Astrophysik

Wilhelm KleyInstitut fur Astronomie & Astrophysik

Universitat Tubingen

Dezember 2013

ii

c© W. Kley; Skript: Theoretische Astrophysik

Inhalt

1 Thermodynamik 11.1 Erster Hauptsatz der Thermodynamik: Energieerhaltung . . . . . . . . . . . 11.2 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Eigenschaften von Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Thermodynamische Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Hydrodynamische Gleichungen 112.1 Euler-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Massenerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 (Reynoldsches) Transporttheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.3 Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.4 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Navier-Stokes Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.1 Impulsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2 Energiegleichung mit Viskositat, Warmeleitung . . . . . . . . . . . . 202.2.3 Warmetransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Einfache Stromungen, Bondi-Akkretion 233.1 Bedeutung der nicht-idealen Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.1 Inertial und Viskositats-Terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.2 Viskose Dissipation und Warmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.3 Warmetransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Ideale Stromungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.1 Inkompressible Stromungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.2 Kelvin-Zirkulationstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.3 Bernoullis Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Bondi-Akkretion

(spharische symmetrische Akkretion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4.1 Diskussion der moglichen Losungen des Bondi-Problems . . . . . . . 353.4.2 Windakkretion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

iii

iv INHALT

4 Stoßwellen 394.1 Aufsteilen von Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1.1 Riemann-Invarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2.1 Die Ausbreitung einer einfachen Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2.2 Rankine-Hugoniot-Sprungbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2.3 Dissipative Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 Exposionen: Das Sedov-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3.1 Ahnlichkeitsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3.2 Ahnlichkeitsansatz fur das Sedov-Problem . . . . . . . . . . . . . . . 494.3.3 Einige Zahlen und typische Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3.4 Losung (Blastwave) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 Instabilitaten 555.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2 Rotationsinstabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2.1 Stabilitatsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.2.2 Taylor-Couette-Stromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.3 Rayleigh-Taylor und Kelvin-Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.3.1 Rayleigh-Taylor (Heuristisch) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.3.2 Kelvin-Helmholtz (Heuristisch) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.3.3 Kombinierte Analyse von Rayleigh-Taylor und Kelvin-Helmholtz . . . 64

5.4 Scherinstabilitaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.5 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6 Physik der Sterne 716.1 Das Jeans-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2 Der Einfluss der Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.3 Druckloser Kollaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.4 Kollapsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.4.1 Radiales Profil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.5 Hydrostatisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.5.1 Beispiel: Die Sonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.6 Rotierende selbstgravitative Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.7 Virial-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.8 Energietransport und Konvektion in Sternen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.8.1 Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.8.2 Warme-Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.8.3 Konvektion (Rayleigh-Benard) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.8.4 Konvektion in Sternen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.9 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7 Akkretionsscheiben 937.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.2 Grundlagen der Scheibenphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.2.1 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95


INHALT v

7.2.2 Stationare, dunne, und nichtselbstgravitierende Scheiben . . . . . . . 967.2.3 Radiale Strukturgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.2.4 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.3 Ein einfaches stationares Scheibenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.3.1 Die Viskositat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.3.2 Temperaturverteilung und Strahlungscharakteristik . . . . . . . . . . 104

7.4 Zeitabhangiges Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.5 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8 Relativistische Astrophysik 1098.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.1.1 Die Grundprinzipien der Relativitatstheorie: . . . . . . . . . . . . . . 1098.2 Grundlagen der Speziellen Relativitatstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.3 Lorentz-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.4 Relativistische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148.5 Jets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.5.1 Beobachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.5.2 Scheinbare Uberlichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.5.3 Relativistische Aberration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.6 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121


vi INHALT


Kapitel 1

Thermodynamik

1.1 Erster Hauptsatz der Thermodynamik: Energieerhaltung

Aus Experimenten weiß man, dass Gase durch Aufnahme und Abgabe von Warme undArbeit mit der Umgebung Energie austauschen.Man betrachtet nun einen reversiblen Prozess, in dem das Gas infinitesimal langsam durcheine Sequenz von Gleichgewichtszustanden gefuhrt wird. Es wird Energie weder vernichtetnoch erzeugt (Mayer, 1841; Joule 1843), und es gilt der 1. Hauptsatz:

dU = d−Q+ d−W (1.1)

Dabei ist U die innere Energie eines Gases in einem Volumen V , d−Q die ausgetauschteWarme (bei Zugewinn von Warme ist d−Q positiv), und d−W die geleistete Arbeit (die negativist, wenn an der Umgebung Arbeit verrichtet wurde). Die innere Energie ist eine intrinsi-sche Eigenschaft des Gases, eine sog. Zustandsgroße. d−Q und d−W hingegen hangen vonder Prozessfuhrung ab. Dabei bezeichnet d− eine differentielle Große, welche aber kein exak-tes (totales) Differential ist.1 Diese schreibt man in Abhangigkeit von den Zustandsvariablen.

Bemerkung: Aus Experimenten weiß man, dass der Zustand eines Gases eindeutig durchZustandsgroßen wie p, ρ und T bestimmt ist.Die Kraft, welche auf ein kleines Oberflachenelement dA ausgeubt wird, ist gegeben durch

dF = pn dA, (1.2)

wobei p den Druck (Kraft/Flache) und n den Normalenvektor senkrecht zur Oberflachebezeichnen. Die geleistete Arbeit betragt (das Oberflachenelement wird um dx bewegt)

dW = −dF · dx (1.3)

= −pn · dx dA (1.4)

= −p dV (1.5)

Wenn man nun die Summe uber alle Oberflachen bildet, denn erhalt man

dU = d−Q− p dV (1.6)

1Ein Differential df = g(x, y)dx+ h(x, y)dy heißt exakt, falls gilt (∂g/∂y)x = (∂h/∂x)y, bzw. falls der Wert eines

Kurvenintegrals∫ b

adf unabhangig vom Weg ist.

1

2 KAPITEL 1. THERMODYNAMIK

Die spezifische innere Energie ε ist definiert als Energie pro Masse in Einheiten [erg/g],wobei 1 erg = 1 g cm2/s2 ist.

dε = d−q − pd

(1

ρ

)

(1.7)

d−q ist hier der Warmeubertrag pro Masse. Folgt durch Einsetzen von V = m/ρ.

Nun hangt die geleistete Arbeit

∆W =

∫

p(V )dV (1.8)

vom Prozess selbst ab, also, wie variiert der Druck mit dem Volumen. Das heißt, d−W ist eininexaktes Differential.U hangt aber nur vom Zustand des Gases ab. Daraus folgt, dass ∆U nur von den Zustands-variablen zu Anfang und am Ende des Prozesses abhangt.⇒ dU ist ein exaktes Differential.⇒ d−Q ist ein inexaktes Differential, da d−W inexakt ist.

1.2 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik

Der erste Hauptsatz ist nicht ausreichend fur die vollstandige Theorie der Thermodynamik,denn nicht alle Prozesse, die energieerhaltend sind, sind auch notwendigerweise moglich.Die Energie wird in eine ”Form” gebracht, aus der sie nur schwer wieder heraus gebrachtwerden kann. Es gibt eine Qualitatsminderung, eine Dissipation auf molekularer Ebene (Ver-großerung der Unordnung).Man fuhrt nun eine Zustandsfunktion S fur die Entropie ein, die definiert ist durch

d−Q = T dS (1.9)

bei reversibler Prozessfuhrung.

Nach dem zweiten Hauptsatz gilt fur jeden zyklischen Prozess (Clausius-Ungleichung)

∮d−Q

T≤ 0 (1.10)

Fur reversible Prozesse gilt:∮

R

d−Q

T= 0 (1.11)

Da dieses Integral (bei revesibler Prozessfuhrung) wegunabhangig ist, erkennt man, dassdS = d−Q/T ein exaktes Differential ist. Die Entropie isolierter Systeme kann nur ansteigenund ist im Gleichgewicht maximal. Wir betrachten dazu eine Prozessfuhrung (Abb. 1.1),welche irreversibel von einem Zustand A nach B fuhrt, und anschließend reversibel (z.B.unter Zufuhr von Arbeit oder Warme) zuruckgefuhrt wird. Es gilt:

∫

I

d−Q

T+

∫

R

d−Q

T≤ 0


1.2. ZWEITER HAUPTSATZ DER THERMODYNAMIK 3

irr

rev

A B

Abbildung 1.1: Die Verbindung zweier Zustande durch reversible und irreversible Prozessfuhrung.

Umgeformt∫

I

d−Q

T≤(

−∫ A

B

d−Q

T

)

R

=

(∫ B

A

d−Q

T

)

R

= S(B)− S(A)

In einem isolierten System ist aber (fur den irreversiblen Prozess) d−Q = 0, und es folgt

S(B) ≥ S(A)

wobei das Gleichheitszeichen bei reversibler Prozessfuhrung gilt.Dieses Maximum Entropie Prinzip ist grundlegend fur die gesamte Thermodynamik.Das Entropie-Differential ist unabhangig von der (reversiblen) Prozessfuhrung.

Unter Verwendung der Entropie schreibt sich der 1. Hauptsatz auch als:

T dS = dU + p dV (1.12)

Unter Verwendung von spezifischen Großen folgt (mit V = m/ρ)

T ds = dε+ p d

(1

ρ

)

(1.13)

Hier bezeichnet s die spezifische Entropie (Entropie/Masse).

Die Fundamentalrelationen lauten:

S = S(U, V,Ni) (1.14)

U = U(S, V,Ni) (1.15)

Ni ist die Anzahl der Teilchen der Sorte i.Aus den Fundamentalrelationen folgt speziell fur die partiellen Ableitungen

U = U(S, V ) (1.16)

dU =

(∂U

∂S

)

V︸︷︷︸

=T

dS +

(∂U

∂V

)

S︸︷︷︸

=−p

dV (1.17)



Bemerkung: S ist additiv bei zusammengesetzten Systemen. Daraus folgt

S(λU, λV, λNi, . . .) = λS(U, V,Ni, . . .) (1.18)

Das heißt, S ist eine homogene Funktion 1. Ordnung in den extensiven Parametern. JederZustand wird vollstandig durch (U, V,Ni) bestimmt.

Beispiel: Wir betrachten ein abgeschlossenes, gekoppeltes System mit einer Trennwand:

U1 U2

V1 V2

S = S1 + S2 (1.19)

U = U1 + U2 = const. (1.20)

V = V1 + V2 = const. (1.21)

Die Wand sei bewegbar und diathermisch (durchlassig fur Warme).Im Gleichgewicht ist S maximal.

dU = T dS − p dV (1.22)

dU1 = −dU2 (1.23)

dV1 = −dV2 (1.24)

⇒ dS = d(S1 + S2) =

(1

T1− 1

T2

)

dU1 +

(p1T1

− p2T2

)

dV1!= 0 (1.25)

dU1 und dV1 sind unabhangig. Es herrscht also ein Gleichgewicht fur T1 = T2 (thermischesGleichgewicht) und fur p1 = p2 (mechanisches Gleichgewicht).

Betrachte jetzt Nichtgleichgewichte: Sei T1 6= T2 mit T1 > T2 und p1 = p2; es ist dS > 0und somit dU1 < 0. Das heißt, die Warme geht von heiß nach kalt.

Sei jetzt T1 = T2 und p1 > p2 (mit dV1 + dV2 = 0); es ist dS > 0 und somit dV1 > 0. Dasheißt, das Gas expandiert von hohem zu niedrigerem Druck.

Die gleichen Ergebnisse bekommt man bei festem S = S1 + S2 und V = V1 + V2 und derMinimierung der Energie mit U = U1 + U2.Wenn U nicht minimal ist im thermodynamischen Gleichgewicht, dann konnte man Arbeitleisten (S = const.) und bekame Warme zuruck. S ist nur maximal, wenn U minimal ist.

1.3 Zustandsgleichungen

T = T (S, V,Nj) (1.26)

p = p(S, V,Nj) (1.27)

µi = µi(S, V,Nj) (1.28)


1.3. ZUSTANDSGLEICHUNGEN 5

µi: chemische Potentiale zur Spezies i. Nj Anzahl der Spezies j. Die Kenntnis aller Zustands-gleichungen ist aquivalent zur Fundamentalrelation und beinhaltet die gesamte Thermody-namik.

T =

(∂U

∂S

)

V,Ni

p =

(

−∂U∂V

)

S,Ni

µj =

(∂U

∂Nj

)

S,V

(1.29)

Diese sind alle intensive Großen, d.h. bei einer Verdopplung des Systems andern sich diesenicht.

T = T (U, V,Nj) (1.30)

Die Temperatur ist hier nur durch extensive Großen beschrieben.

⇒ U = U(T, V,Nj) (1.31)

Diese Gleichung nennt man die kalorische Zustandsgleichung. Man misst die spezifischeWarme und gibt sie dann in Kalorien an.Sei die Entropie allgemein von den folgenden Großen abhangig

S = S(U,Ai) Ai = V,Nj (1.32)

wobei die Ai verschiedenen Variablen (Volumen, Chemie) bezeichnen. Fur die Arbeit W giltdann allgemein

d−W =∑

i

ai dAi, (1.33)

wobeiai = ai(T,Ai) (1.34)

und durch Koeffizientenvergleich mit dem 1.HS ( dS = 1/T dU − 1/T d−W ) folgt

aus d−W = −p dV a1 = −p A1 = V (1.35)

Damit ergibt sich fur die thermische Zustandsgleichung:

p = p(T, V ) (1.36)

Diese Gleichung benutzt man zur Bestimmung der Temperatur.Die Beziehung zwischen den beiden Beziehungen ist durch die Zustandsgleichungsrelationgegeben:

(∂U

∂V

)

T

= T

(∂p

∂T

)

V

− p (1.37)

Ideales GasFur ideale Gase gilt die Beziehung

p V = ν RT (1.38)

Dabei ist ν die Anzahl der Mole undR die molare (universelle) Gaskonstante (R = 8.314 107ergK−1mol−1

Diese Gleichung ist eine sehr gute Approximation fur verdunnte Gase, wie sie oft in der



Astrophysik vorkommen. Bei dichteren Gasen mussen Korrekturen berucksichtigt werden,wie van-der-Waals-Krafte. Damit gilt

(

p+aν2

V 2

)

(V − bν) = ν RT. (1.39)

Die Teilchenzahl in einem Mol ist NA (NA = 6.02 1023); damit

p = n k T (1.40)

wobei n die Anzahldichte ist, und k die Boltzmannkonstante bezeichnet k = RNA

. Die Dichteρ eines Gases kann durch das mittlere Molekulargewicht µ ausgedruckt werden

ρ = nµmH (1.41)

mH ist die Masse des Wasserstoffatoms, µ die mittlere molekulare Masse (pro Teilchen)in Einheiten von mH , wobei alle Teilchensorten (also alle Ionen und Elektronen) gezahltwerden. Z.B. ist fur ein reines H2-Gas µ = 2 und fur vollstandig ionisierten Wasserstoff (H-IIGas) gilt µ = 0.5.Daraus ergibt sich eine in der Astrophysik haufig verwendete Formel:

p =ρ k T

µmH

=ρRG T

µ. (1.42)

mit der Konstanten RG = k/mH . Bei Anwesenheit von Strahlung (Photonengas) in diesemidealen Gas gilt

p = pGas + pRad (1.43)

=RG ρ T

µ+a T 4

3(1.44)

Mit der Stefan-Boltzmann-Konstanten a.

1.4 Eigenschaften von Gasen

Bei adiabatischen Prozessen findet kein Warmeaustausch mit der Umgebung statt, also istd−Q = 0.

Fur den Warme-Input d−Q, der zu einer Temperaturanderung dT fuhrt, gilt

C ′ =d−Q

dT(1.45)

Man sieht, dass die Warmekapazitat C ′ von der Menge des Materials abhangt. Gunstiger istdie spezifische Warme (pro Masseneinheit)

c ≡ d−q

dT(1.46)

Man definiert:


1.4. EIGENSCHAFTEN VON GASEN 7

spezifische Warmecv bei konstantem Volumencp bei konstantem Druck

Allgemein gilt:ε = ε(T, ρ) ⇐ U = U(T, V ) (1.47)

also gilt fur das totale Differential

dε =

(∂ε

∂T

)

ρ

dT +

(∂ε

∂ρ

)

T

dρ (= d−q − pdv) (1.48)

mit dem spezifischen Volumen v = V/m = 1/ρ. Umgestellt ergibt sich:

−→ d−q =

(∂ε

∂T

)

ρ

dT +

((∂ε

∂ρ

)

T

− p

ρ2

)

dρ (1.49)

Mit dρ = 0 (Volumen konstant) und d−q = cv dT folgt dann

cv =

(∂ε

∂T

)

ρ

(1.50)

Die Große cp leitet man aus der EnthalpieH = H(T, p) ab, die sich mit Hilfe einer Legendre-Transformation aus U(T, V ) ergibt

H = U + p V .

Mit v = 1/ρ gilt fur die spezifische Enthalpie

h = ε+ p v = ε+p

ρ(1.51)

dh = dε+ p d

(1

ρ

)

+dp

ρ

(

= Tds+dp

ρ

)

(1.52)

−→ d−q = dh− dp

ρwegen d−q = dε+ p d

(1

ρ

)

(1.53)

Fur dp = 0 und d−q = cp dT ergibt sich dann

cp =

(∂h

∂T

)

p

(1.54)

Das heißt, die Enthalpie spielt die gleiche Rolle wie die innere Energie bei isobaren Prozessen.Mit den Definitionen von cv, cp und Gl. (1.49) folgt

cp − cv = βρ

[p

ρ2−(∂ε

∂ρ

)

T

]

(1.55)

mit

β = −(∂ log ρ

∂ log T

)

p

(1.56)

β nennt man den thermischen Ausdehnungskoeffizienten.



Ideale Gase

Das Joule-Kelvin-Experiment:

T1, V1Va-

ku-um

T2, V2

Betrachte ein ideales Gas bei T1, V1, welches sich in einem isolierten System befinde, getrenntdurch eine Wand von einem Vakuumbereich. Nun entfernt man die Trennwand zwischen denBereichen. Das Gas kann sich ausdehnen und man findet: T2 = T1 (isotherme Expansion).Es ist V2 > V1 und wegen Abgeschlossenheit und Vakuum gilt.

⇒ ∆Q = ∆W = 0 (1.57)

⇒ ∆U = 0 (1.58)

Allgemein: U = U(T, V ), aber in diesem Fall U = U(T ), da es sich um ein ideales Gashandelt.

Fur ideale Gase kann man explizite Relationen ableiten. Diese sind in astrophysikalischenSituationen oft anwendbar. Aus Gl. (1.50) folgt mit ε = ε(T )

ε(T ) =

∫

cv dT (1.59)

wobei ε(T = 0) zu Null definiert wurde. In einem idealen (perfekten) Gas gilt cv = const..Daraus folgt dann

ε = cvT (1.60)

Damit gilt dann fur den Ausdehnungskoeffizient β = 1Tund p = RGρT

µ≡ RρT . R ist hier die

Gaskonstante fur spezielle Systeme (R = RGµ). Mit Gl. (1.55) folgt fur das ideale Gas

cp = cv + R. (1.61)

Definiere den Adiabatenexponent:

γ ≡ cpcv

= 1 +R

cv. (1.62)

Fur ein ideales, einatomiges Gas ist γ = 53(allgemein gilt γ = (f + 2)/f , wobei f die Zahl

der Freiheitsgrade angibt). Mit h = ε+ p/ρ folgt

h = cvT + RT = cpT (1.63)

und schließlich cv =3

2R (1.64) ⇒ ε =

3

2RT (1.65) cp =

5

3R (1.66)

Die Entropie eines idealen Gases folgt mit dem 1.HS aus

ds = cvdT

T− R

dρ

ρ(1.67)


1.5. THERMODYNAMISCHE POTENTIALE 9

s = s0 + cv lnT − R ln ρ (1.68)

s0 aus statistischer Mechanik (außerhalb der klassischen Thermodynamik).

Betrachte adiabatische Zustandsanderungen (ds = 0): aus Gleichung (1.67) folgt

cvd(lnT ) = (cp − cv)d(ln ρ) (1.69)

⇒ p

p0=

(ρ

ρ0

)γ

(1.70) ⇒ T

T0=

(ρ

ρ0

)γ−1

(1.71)

Dies sind die Relationen fur sog. polytrope Gase mit

γ =cpcv

Die Gleichung (1.70) oder umgeformt

p = Kργ mit K = const. (1.72)

wird oft als Naherung in vereinfachten astrophysikalischen Situationen verwendet (siehe z.B.polytrope Sterne).

1.5 Thermodynamische Potentiale

Als Ubersicht geben wir noch die oft verwendeten Thermodynamischen Potentiale an:Zustandsfunktion Variablen Differentiale

U Energie S, V,N dU = T dS − p dV + µ dNS Entropie U, V,N dS = 1

TdU + P

TdV − µ

VdN

F Freie Energie T, V,N dF = −S dT − p dV + µ dNHelmholtzF = U − TS (isotherme Prozesse)

H Enthalpie S, p,N dH = T dS + V dp+ µ dNH = U + pV (isobare Prozesse)

G Freie Enthalpie T, p,N dG = −S dT + V dp+ µ dNG = F + pV

Die einzelnen Potentiale gehen durch Legendre Transformationen auseinander hervor. Es giltbei idealen Gasen die Gibbs-Duhem-Euler Relation.

U = TS − pV + µN (1.73)

1.6 Literatur

Mihalas, D. &Weibel-Mihalas B., 1999, Foundations of Radiation Hydrodynamics,Kap. 1.1 (Dover)

Gerthsen, Kneser, Vogel: Physik, Kapitel uber WarmeCallen, Thermodynamics, erste Kapitel




Kapitel 2

Hydrodynamische Gleichungen

2.1 Euler-Gleichungen

Wir betrachten ein kontinuierliches Medium (Flussigkeit, Gas) in einem Unterraum D des3D-Raumes, d.h. wir vernachlassigen die molekulare Struktur der Materie.Kontiuumsapproximation gultig wenn gilt: Die typischen Langen L des Systems D sind großgegen die mittlere freie Weglange λf (λf ≪ L) und die Entwicklungszeiten T sind groß ge-genuber der mittleren Stoßzeit τ zwischen zwei Teilchen (τ ≪ T ).

3 Grundprinzipien:a) Masse wird weder erzeugt noch vernichtetb) Impulsanderung durch außere Kraftec) Energie wird weder vernichtet noch erzeugt

2.1.1 Massenerhaltung

Seien jetzt ρ(x, t) die Massendichte und u(x, t) die Geschwindigkeit. Hierbei bezeichnenx = (x1, x2, x3) den Ortsvektor und u = (u1, u2, u3) den Geschwindigkeitsvektor am Ort xzur Zeit t.Sei W ein Unterbereich von D, dann ist die Masse m in W

m(W , t) =

∫

W

ρ(x, t) dV (2.1)

Hierbei sind ρ und u glatte Funktionen. Wir betrachten die zeitliche Anderung der Masse(dm/dt) im Volumen W . Wenn das Integrationsvolumen W ein festes Volumen im Raum ist(W = W0), das nicht von der Zeit abhangt, kann die Ableitung unter das Integral gezogenund in eine partielle Zeitableitung umgewandelt werden; man erhalt:

d

dtm(W0, t) =

d

dt

∫

W0

ρ(x, t) dV =

∫

W0

∂

∂tρ(x, t) dV (2.2)

Nun andert sich die Masse in einem ortsfesten Volumen bei Abwesenheit von Quel-len/Senken nur dadurch, dass Materie aus dem Volumen uber dessen Oberflache hinaus,

11

12 KAPITEL 2. HYDRODYNAMISCHE GLEICHUNGEN

bzw. hinein stromt. Der Massenfluss (Masse pro Zeit und Flache) ist ρu, und fur die Ande-rung der Masse in W0 folgt somit

d

dt

∫

W0

ρ(x, t) dV = −∮

∂W0

ρu·n df (2.3)

wobei ∂W0 den Rand (Oberflache) des Volumens W0 bezeichnet, und n den auswarts gerich-teten Normalenvektor. Das Minus-Zeichen ergibt sich aufgrund der Definition von n: Fallsn ·u positiv ist, fließt Masse aus dem Volumen heraus und die Gesamtmasse in W0 verringertsich. Gleichung (2.3) ist die integrale Form der Massenerhaltung.Mit dem Gaußschen Satz fur ein beliebiges Vektorfeld a

∮

∂W0

a·n df =

∫

W0

∇·a dV

folgt∫

W0

[∂ρ

∂t+∇·(ρu)

]

dV = 0 (2.4)

und weil dies fur beliebige Volumina gilt, muss der Integrand selbst verschwinden.

∂ρ

∂t+∇·(ρu) = 0 (2.5)

Dies ist die Kontinuitatsgleichung in differentieller Form.

2.1.2 (Reynoldsches) Transporttheorem

Fur eine beliebige Große Φ, die definiert ist durch

Φ =

∫

W(t)

AdV, (2.6)

wobei hierbei ein zeitlich veranderliches Integrationsvolumen W(t) betrachtet wird, solldΦ

dtbestimmt werden.

x=x(a, t)

t = t0 t

W0(a, t0) W(x, t)

dV = d3x = J dV0

mit J : Jacobi-Determinante

Der Ortsvektor a entspricht dem Wert von x zur Zeit t = 0. Ebenso ist W0 das Volumeneines Fluid-Partikels zur Zeit t = 0. Die Jacobi-Determinante J gibt also die Transformationvon dem Volumenelement dV0 (z.Zt. t = 0) bis zum Element dV zur Zeit t an. J beschreibtalso die Anderungen, welche das Fluid-Element erfahrt, wenn es mit der Stromung mittransportiert wird. J hangt von den Ableitungen ∂xi/∂aj ab und ist definiert durch


2.1. EULER-GLEICHUNGEN 13

J =

∣∣∣∣

∂(x, y, z)

∂(ax, ay, az)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣

∂x∂ax

∂x∂ay

∂x∂az

∂y∂ax

∂y∂ay

∂y∂az

∂z∂ax

∂z∂ay

∂z∂az

∣∣∣∣∣∣∣

=∑

i,j,k

ǫijk∂x

∂ai

∂y

∂aj

∂z

∂ak(2.7)

Dabei ist ǫijk (Permutationssymbol, Levi-Civita-Symbol) ein vollstandig antisymmetrischer

Tensor dritter Stufe, der wie folgt definiert ist: ǫijk = −ǫikj = −ǫjik und ǫ123 = 1. Sindzwei beliebige Indizes gleich, verschwindet ǫijk.

Fur die zeitliche Anderung von Φ ergibt sich

dΦ

dt=

d

dt

∫

W(t)

AdV =d

dt

∫

W0

AJdV0

=

∫

W0

d

dt[A(x(a, t), t) J ] dV0

=

∫

W0

[

J

(

∂A

∂t

∣∣∣∣x

+∑

i

dxidt

∂A

∂xi

∣∣∣∣t

)

+ AdJ

dt

]

dV0

Dabei wurde berucksichtigt, dass dA =∂A

∂tdt +

∂A

∂xdx +

∂A

∂ydy +

∂A

∂zdz das totale

Differential von A, und ui =dxidt

die Geschwindigkeit in xi Richtung ist. Damit folgt

dΦ

dt=

∫

W0

[

J

(∂A

∂t+ (u·∇) A

)

+ AdJ

dt

]

dV0 (2.8)

Was istdJ

dt? Da d/dt mit ∂/∂ai vertauscht, ergibt sich:

dJ

dt=

d

dt

∑

i,j,k

ǫijk∂x

∂ai

∂y

∂aj

∂z

∂ak

=∑

i,j,k

ǫijk

(∂ux∂ai

∂y

∂aj

∂z

∂ak+∂x

∂ai

∂uy∂aj

∂z

∂ak+∂x

∂ai

∂y

∂aj

∂uz∂ak

)

Mit∂uk∂ai

=∑

l

∂uk∂xl

∂xl∂ai

(k ∈ x, y, z ) folgt

dJ

dt=∑

i,j,k,l

ǫijk

(∂ux∂xl

∂xl∂ai

∂y

∂aj

∂z

∂ak+∂x

∂ai

∂uy∂xl

∂xl∂aj

∂z

∂ak+∂x

∂ai

∂y

∂aj

∂uz∂xl

∂xl∂ak

)

Untersuchung des ersten Terms der Klammer fur

l = 1:∂ux∂x

∂x

∂ai

∂y

∂aj

∂z

∂ak



l = 2:∂ux∂y

∂y

∂ai

∂y

∂aj︸︷︷︸

symmetrisch

∂z

∂akergibt (multipliziert mit ǫijk) bei der Summenbildung 0

l = 3:∂ux∂z

︷︸︸︷

∂z

∂ai

∂y

∂aj

︷︸︸︷

∂z

∂akergibt (multipliziert mit ǫijk) bei der Summenbildung 0

Wegen der Symmetrie fallen bei der Summenbildung also die meisten Beitrage weg, undzusammen gilt: Fur den ersten Term gibt es nur einen nicht verschwindenden Beitrag furl = 1,fur den zweiten Term gibt es nur einen nicht verschwindenden Beitrag fur l = 2und fur den dritten Term gibt es nur einen nicht verschwindenden Beitrag fur l = 3.

⇒ dJ

dt=∑

i,j,k

ǫijk

[∂ux∂x

+∂uy∂y

+∂uz∂z

]∂x

∂ai

∂y

∂aj

∂z

∂ak= (∇·u) J (2.9)

Damit ergibt sich aus Gleichung (2.8)

dΦ

dt=

∫

W0

[∂A

∂t+ (u·∇) A+ A (∇·u)

]

JdV0

und damit (fur Φ =∫

W(t)AdV )

dΦ

dt=

∫

W(t)

[∂A

∂t+∇·(Au)

]

dV Reynoldsches Transporttheorem (2.10)

Beispiel: A = ρ, Φ =M(t) =

∫

W(t)

ρdV

Jetzt bewegt sich (im Gegensatz zu Gleichung 2.2) das betrachtete Integrationsvolumengenau mit der Stromung mit. Somit andert sich die Masse in W(t) nicht, und es folgt

dΦ

dt=dM

dt︸︷︷︸

= 0

=

∫

W(t)

[∂ρ

∂t+∇·(ρu)

]

︸︷︷︸

Kontinuitatsgleichung

dV = 0 (2.11)

Diese Gl. (2.11) bezieht sich auf die Lagrange Betrachtung bei der man sich mit der Stromungmit bewegt. Bei der Eulerschen Beschreibung der Hydrodynamik (Gl. 2.3) hingegen geht manvon einem festen raumlichen Volumen aus. In jedem Fall folgt aus beiden Betrachtungen dieidentische Physik.



2.1.3 Impulserhaltung

Der Druck p wirkt senkrecht auf Ober-flache, d.h. die Kraft auf ein Oberflachen-element df (im nebenstehenden Bild dS) ist−p(x, t)n df . Das Minus-Zeichen ergibt sichaus der Definition des Normalenvektors n,der immer nach außen gerichtet sein soll.Ohne Tangentialkrafte / Spannungen auf dieOberflache (ideale Flussigkeit) gilt:

S∂W = Kraft auf ∂W = −∮

∂W

pndf .

Mit Hilfe des Gaußschen Satzes (Divergenztheorem) folgt

S∂W = −∫

W

∇p dV . (2.12)

Fur die externen Krafte gilt

K =

∫

W

ρk dV , (2.13)

wobei k die spezifischen externen Krafte, d.h. Kraft pro Einheitsmasse bezeichnet, welchedie Dimension einer Beschleunigung haben. Diese beinhalten z.B. die Gravitation, Lorentz-,Coriolis- oder Zentrifugalkraft. [Bem: Fur die Kraft/Volumen (Kraftdichte) gilt = −∇p+ρk]Das zweite Newtonsche Gesetz (Impulsanderung = angreifende Kraft) lautet dann mit (2.12)und (2.13) in integraler Form

d

dt

∫

W(t)

ρudV = −∫

W(t)

∇p dV +

∫

W(t)

ρk dV (2.14)

Der Term links bezeichnet die gesamte Impulsanderung eines Fluidelements im Volumen W ,durch die wirkenden Krafte.Aus dieser integralen Form leiten wir jetzt eine differentielle ab. Die linke Seite von Gl. (2.14)kann mit Hilfe des Transporttheorems (ersetze obiges A durch ρu) und der Kontinuitatsglei-chung umgeformt werden

d

dt

∫

W(t)

ρudV =

∫

W(t)

[∂ (ρu)

∂t+∇ · (ρu⊗ u)

]

dV (2.15)

=

∫

W(t)

[

ρ∂u

∂t+ u

∂ρ

∂t+ u∇·(ρu) + ρ (u · ∇)u

]

dV

=

∫

W(t)

[

ρ∂u

∂t+ ρ (u · ∇)u

]

dV

=

∫

W(t)

[

ρ

(∂

∂t+ u · ∇

)

u

]

dV

=

∫

W(t)

ρdu

dtdV (2.16)



wobei u⊗ u das dyadische / tensorielle Produkt (Matrix mit (u⊗ u)ij = ui uj) bezeichnet.Fur die j−te Komponente der Ableitung (Divergenz) gilt z.B.

[∇ · (ρu⊗ u)]j =∑

i

∂

∂xi(ρuiuj) = uj

∑

i

∂ρui∂xi

+ ρ∑

i

(

ui∂

∂xi

)

uj

Da Gl. (2.14) und (2.16) fur beliebige Volumina gelten, folgt als differentielle Form

ρdu

dt= −∇p+ ρk (2.17)

Die substantielle Ableitung der Geschwindigkeit ddt(oft als D

Dtbezeichnet) gibt dabei nicht die

Geschwindigkeitsanderung in einem festen Raumpunkt, sondern die Geschwindigkeitsande-rung eines sich im Raum mit der Stromung mit bewegenden Fluidteilchens an.Durch Ausschreiben der substantiellen Ableitung

d

dt=

∂

∂t+dx

dt· ∂∂x

+dy

dt· ∂∂y

+dz

dt· ∂∂z

=∂

∂t+ ux

∂

∂x+ uy

∂

∂y+ uz

∂

∂z

=∂

∂t+ u · ∇ (2.18)

erhalt man die alternative differentielle Form der Impulserhaltung.

ρ

(∂u

∂t+ (u · ∇)u

)

= −∇p+ ρk (2.19)

Durch Umformung (vgl. Gleichung (2.16) → Gleichung (2.15)) lasst sich die differentielleForm der Impulserhaltung Gl. (2.19) wie folgt in Erhaltungsform schreiben

∂ (ρu)

∂t+∇·(ρu⊗ u) = −∇p+ ρk Impulsgleichung (2.20)

Mit Hilfe der substantiellen Ableitung (2.18) kann die Kontinuitatsgleichung auch geschrie-ben werden als

dρ

dt= −ρ∇ · u (2.21)

2.1.4 Energieerhaltung

In der Thermodynamik gilt der 1. Hauptsatz

dU = TdS − pdV (2.22)

Mit der inneren, thermischen Energie U , der Temperatur T , und der Entropie S.Fur adiabatische Anderungen, d.h. ohne Energiequellen oder dissipativen Vorgangen giltd−Q = TdS = 0 und damit

dU = −pdV (2.23)



Sei m die Masse eines Fluidteilchens, welches sich im Raum bewegt. Fur die Anderung desVolumens gilt (mit ρ = m

V, m fest), also

dV

dt=d(m

ρ)

dt= −m

ρ2dρ

dt= − V

ρ

dρ

dt(2.24)

Und mitU = mǫ

(ǫ ist die spezifische innere Energie (innere Energie/Masse)) folgt

dU

dt= m

dǫ

dt

Hier bezeichnet d/dt wiederum die substantielle Ableitung (d/dt = ∂/∂t+u·∇). Mit Gl. (2.23)und (2.24) ergibt sich

dǫ

dt=

p

ρ2dρ

dt(2.25)

Analog zur Impulsgleichung (vgl. Gleichung (2.16) → Gleichung (2.15)) ergibt sich

ρdǫ

dt=∂(ρǫ)

∂t+∇·(ρǫu) (2.26)

und ρdǫ

dtkann mit Gleichung (2.25), die sich aus dem 1. Hauptsatz fur adiabatische Ande-

rungen ergibt, und der Kontinuitatsgleichung in der Lagrangeschen Form (2.21) geschriebenwerden als

ρdǫ

dt= −p∇·u (2.27)

Aus (2.26) und (2.27) ergibt sich

∂(ρǫ)

∂t+∇·(ρǫu) = −p∇·u Thermische Energiegleichung (2.28)

Zusammenfassung: Die Bewegungsgleichungen fur eine ideale Flussigkeit lauten

∂ρ

∂t+∇·(ρu) = 0

∂(ρu)

∂t+∇·(ρu⊗ u) = −∇p+ ρk

∂(ρǫ)

∂t+∇·(ρǫu) = −p∇·u

Eulergleichungen

(2.29)

Die Gleichungen werden ublicherweise durch eine Zustandsgleichung

p = p(ρ, ǫ)

fur den Druck p vervollstandigt. Fur das ideale Gas ergibt sich mit p = ρkT/(µmH) = RρT ,ǫ = cvT die oft benutzte Form

p = (γ − 1) ρǫ . (2.30)



2.2 Navier-Stokes Gleichungen

Die Eulergleichungen beschreiben die Bewegung eines idealen Fluids. Jetzt sollen nicht-idealeFluide betrachtet werden, d.h. dissipative Effekte (Viskositat, Warmeleitung) werden beruck-sichtigt. Die Kontinuitatsgleichung gilt auch fur Stromungen mit Viskositat und Warmelei-tung. Impuls- und Energiegleichung mussen hingegen abgeandert werden.

2.2.1 Impulsgleichung

Bisher wirkten Druckkrafte normal zur Oberflache. Wir betrachten jetzt zwei Volumina Bund B′, die sich aneinander vorbei bewegen (siehe Abbildung). Dadurch, dass Teilchen ausdem Volumen B Impuls nach B′ transportieren und umgekehrt entstehen Reibungskrafte.

u

u′ B′

BS

(Oberflachen-)kraft pro Flache = −p(x, t)n+ σ(x, t) · n (2.31)

Fur die gesamte Kraft auf die Oberflache des Volumens von W folgt

=

∮

∂W

(−p(x, t)n+ σ(x, t) · n

)df

σ heißt Reibungs(spannungs)tensorσ · n ist i.A. nicht parallel zu n (Matrix mal Vektor)

σ soll folgende phanomenologische Forderungen erfullen:

1. Die innere Reibung tritt nur auf, wenn eine Relativbewegung zwischen den Fluidteil-chen vorhanden ist. σ muss deshalb von der Ableitung der Geschwindigkeit abhangen.Annahme: Der Reibungstensor hangt nur von den ersten Ableitungen der Geschwin-digkeit ab und diese Abhangigkeit ist linear.

2. Der Spannungstensor σ soll invariant bei starrer Rotationen und Translationen sein.Das heißt, fur eine orthogonale Matrix T muss gelten

σ(T (∇⊗ u)T−1

)= T σ(∇⊗ u)T−1

d.h. bei starrer Rotationen erfolgt keine Diffusion von Impuls.

3. σ ist symmetrisch, hangt also nur vom symmetrischen Teil (der Deformation) ∇ ⊗ uab. (folgt aus Drehimpulserhaltung).

Somit lautet die allgemeinste Form eines Tensors 2. Stufe (Matrix), der diesen Bedingungengenugt (in kartesischen Koord.):

σij = µ

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)

+ λ (∇·u) δij


2.2. NAVIER-STOKES GLEICHUNGEN 19

Aus der Isotropie des Fluids folgt, dass µ und λ konstant sein mussen, aber im allgemeinenFall hangen diese Koeffizienten von thermodynamischen Großen (ρ, T ) ab.Es ist ublich, σ in folgender Form zu schreiben:

σij = 2η

[1

2

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)

− 1

3(∇·u) δij

]

+ ζ (∇·u) δij (2.32)

mit η: dynamischer Viskositatskoeffizient(oder Scherviskositatskoeffizient, shear viscosity)ζ: Volumenviskositatskoeffizient (bulk viscosity)

Der erste Term in der eckigen Klammer

(D)

ij=

1

2

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)

wird auch als Deformationstensor D bezeichnet.Die Beitrage der eckigen Klammer zu σ in Gl. (2.32) sind spurfrei, d.h. bei einer Stromung

mit gleichmaßiger Volumenkontraktion (∂ux∂x

= ∂uy∂y

= ∂uz∂z

und ∂ui∂xj

= 0 fur i 6= j) verschwindet

der Scherungsanteil (Scherviskositat).Bei inkompressiblen Fluiden (∇·u = 0) verschwindet der Kompressionsanteil (die Volumen-viskositat).η und ζ sind Funktionen des thermischen Zustandes des Fluids, d.h. sie sind Funktionen vonDruck und Temperatur.Aus der kinetischen Gastheorie ergibt sich

ν = const. λf vtherm, (2.33)

wobei ν = ηρden Koeffizienten der kinematischen Viskositat und λf die mittlere freie

Weglange bezeichnen. Die Konstante ist von der Großenordnung O(1) und aus der kin.Gastheorie folgt diese zu 1/3.

Unter Einbeziehung der Viskositat lautet das 2. Newton‘sche Gesetz (wobei ddtwieder fur die

substantielle Ableitung steht)

Impulsgleichung:

ρdu

dt= −∇p+ ρk+∇ · σ Navier-Stokes-Gleichung (2.34)

mit der Divergenz von σ(∇ · σ

)

i=∑

j

∂σij∂xj

oder umgeformt

∂ (ρu)

∂t+∇·(ρu⊗ u) = −∇p+ ρk+∇ · σ (2.35)

Ein Beispiel zu Randbedingungen: Stromung durch ein Rohr



a) Euler:Am Rand gilt: u · n = 0Verschwindende Normalkomponente

b) Navier-Stokes (d.h. mit Viskositat):Am Rand gilt: u = 0Verschwindende Normalkomponente

q

q

Je mehr hohere Ableitungen auftreten, desto mehr Randbedingungen werden benotigt. Dermathematische Charakter der Gleichungen andert sich von hyperbolisch (Wellengleichung)bei idealen Euler-Gleichungen zu parabolisch (Diffusionsgleichung) bei den Navier-StokesGleichungen.

2.2.2 Energiegleichung mit Viskositat, Warmeleitung

Energieproduktion

1. aufgrund innerer KrafteNach Gl. (2.31) betragt die Oberflachenkraft pro Flache: −p(x, t)n+ σ · nDie korrespondierende Energieanderung durch Einwirkung der inneren Krafte auf dasVolumen W ist gegeben durch:

∮

∂W

[−up·n+ u · σ · n

]df =

∫

W

[−∇ · (pu) +∇ · (u · σ)

]dV

2. aufgrund durch außere Krafte geleistete Arbeit pro Zeit (Leistung):∫

W

u·(ρk) dV

3. aufgrund außere Energiezufuhr (Strahlungstransport, Warmetransport) durch die Ober-flache:

−∮

∂W

F·n df = −∫

W

∇·F dV

wobei F hierbei der Energiefluss [Energie/Zeit/Flache] ist.

Durch die Energiequellen 1. - 3. andert sich die totale Energie Etot im Volumen W .Etot ist definiert durch

Etot =

∫

W

ρǫtot dV


2.2. NAVIER-STOKES GLEICHUNGEN 21

mit der spezifischen totalen Energie ǫtot = ǫ+ 12u2 ( = spezifische innere Energie + kinet.

Energie / Masse). Die potentielle Energie bleibt unberucksichtigt. Mit dem ReynoldschenTransporttheorem (2.10) ergibt sich fur die Anderung der totalen Energie

dEtot

dt=

d

dt

∫

W

ρǫtot dV =

∫

W

[∂

∂t(ρǫtot) +∇ · (ρǫtotu)

]

dV = Quellen

da dies wiederum fur beliebige Volumina W gilt, folgt die Energiegleichung in differentiellerForm

∂(ρǫtot)

∂t+∇ · (ρǫtotu) = −∇ · (pu) +∇ · (u · σ) + ρu·k−∇·F (2.36)

Durch Umformung erhalt man mit Hilfe der Impulsgleichung (2.35) und mit ǫ = ǫtot − 12u2

eine Gleichung fur die thermische Energie

∂(ρǫ)

∂t+∇(ρǫu) = −p∇·u+ (σ ·∇)u−∇·F (2.37)

Wie die rechte Seite von Gl. (2.37) zeigt, fuhren die Druckarbeit (−p∇·u), die Dissipationaufgrund der Reibung ((σ·∇)u) und die Energiezufuhr z.B. durch Warmeleitung (−∇·F) zueiner Anderung der inneren Energie, nicht aber externe Krafte (diese andern die kinetischeEnergie).

2.2.3 Warmetransport

In der Astrophysik setzt sich der Warmefluss F im wesentlichen aus zwei Anteilen, demkonduktiven und dem radiativen zusammen.

F = Fcond + Frad

Der erste Term, der Warmefluss durch Leitung, wird durch das lineare Fourier’sche Warme-leitungsgesetz gegeben

Fcond = −K∇T (2.38)

wobei K der (konstante) Warmeleitkoeffizient (Warmeleitfahigkeit) ist, mit Einheit [W/(mK)].Der radiative Strahlungstransport kann oft durch die sog. Diffusionsnaherung approximiertwerden, so dass fur den Fluss gilt

Frad = −Drad∇E (2.39)

mit der StrahlungsenergiedichteE, und dem TransportkoeffizientenDrad. Im LokalenThermodynamischenGleichgewicht (LTE) gilt

E = a T 4

Fur den radiativen Diffusionskoeffizienten gilt

Drad =c

3κρ=

1

3clph



mit der Opazitat κ (Dimension cm2/g), welche die “optische Dichte” des Mediums beschreibt.Große opt.-Dichte → kleiner Fluss, kleine opt.-Dichte großer Fluss. Bem.: Fur die optischeTiefe τ einer Schicht (Sternoberflache) gilt

τ(z) = −∫ z

∞

ρκ dz′ .

Die Oberflache (Photosphare) liegt bei τ = 1.Im LTE erhalt man nun insgesamt fur den Energiefluss:

F = −(

K +4caT 3

3κρ

)

∇T . (2.40)

Die Warmeleitung, K, ist ublicherweise zu vernachlassigen in Sternen (Ausnahme: WeißeZwerge).

2.3 Literatur

Chorin A.J., Marsden, J.E., 1979: A mathematical Introduction to Fluid Mechanics(Springer Verlag)

Shu, F.H., 1992: The Physics of Astrophysics Vol.2: Gas Dynamics Kap. 4 (Uni-versity Science Books)

Mihalas, D. &Weibel-Mihalas B., 1999, Foundations of Radiation Hydrodynamics,Kap. 3 (Dover)


Kapitel 3

Grundlegende Eigenschaften vonStromungen, spharisch symmetrischeAkkretion

3.1 Bedeutung der nicht-idealen Effekte

3.1.1 Inertial und Viskositats-Terme

Bilde das Verhaltnis von inertialem [ ∇ · (ρu⊗ u) ] zu viskosem [ ∇ · σ ] Impulstransport

∂(ρuiuk)

∂xk

/∂σik∂xk

∼ U2 ρL

η UL2

=UL

ν≡ Re. (3.1)

Hier ist U eine typische Stromungsgeschwindigkeit, L eine typische Lange in der Stromung,und ν = η

ρdie kinematische Viskositat1. Fur ν gilt naherungsweise ν ∼ mvth

σρ= vth

nσ= vthλf

mit der thermischen Geschwindigkeit vth =√

kT/m und der mittleren freien Weglange λf .Fur die Reynoldszahl Re folgt

Re ∼ UL

vthλf≫ 1 fur U ∼ vth.

Das heißt, in sonischen bzw. Uberschallstromungen muss die Reynoldszahl groß sein! Giltoft in der theoretischen Astrophysik. Wenn Re≫ 1 ist, dann sind die viskosen Effekte kleingegen den inertialen Term u · ∇u.

3.1.2 Viskose Dissipation und Warmeleitung

Vergleiche viskose Dissipation [ Φ = (σ · ∇)u ] mit Warmeleitung [ ∇ · Fcond ], wobeiFcond = −K∇T . Aus der kinetischen Gastheorie (statistische Thermodynamik) folgt furdas Verhaltnis von Scherviskositat η zu thermischer Leitfahigkeit K:

K

η=

5

2cv

1[ν]=Geschwindigkeit · Lange

23

24 KAPITEL 3. EINFACHE STROMUNGEN, BONDI-AKKRETION

Mit cv = 3k/(2m) folgt großenordnungsmaßig

Φ

∇Fcond

≈ U2

v2th(3.2)

Das bedeutet, die viskose Dissipation ist großer als die Warmeleitung bei hohen MachzahlenM = U/cs. Wenn aber M ∼ 1, dann sind beide gleich wichtig.

3.1.3 Warmetransport

Bilde Verhaltnis von advektivem Warmetransport [ ∇ · (ρhu) ] zu Warmeleitung [ Fcond =−K∇T ].

∂[(ρε+ p)uj]

∂xj

/

(∇ · Fcond) ∼ρcpTU

LKTL2

=ρULKcp

≡ UL

χ≡ Pe (3.3)

mit cp =5k2m

, und Kρcp

ist die thermische Diffusivitat wegen

∂T

∂t≈ −χ∇2T

Pe =U L

χist die Pecletzahl (3.4)

Pe = Pr · Re (3.5)Pr =

ν

χ(3.6)

DiePrandtl-Zahl Pr ist das Verhaltnis zweier Diffusivitaten und eine dimensionslose Große.Bei einem neutralen mono-atomaren Gas gilt

Pr =ηcpK

=2

3(3.7)

Daraus folgt

Pe ∼ 2

3Re ≫ 1. (3.8)

Das heißt: Warmeadvektion ≫ Warmeleitung.

In der Astrophysik gilt dann im Allgemeinen, dass diffusive Effekte kleiner sind als Transport-Effekte. Aber man vergleiche dazu: Akkretion und magnetische Rekonnektion

3.2 Ideale Stromungen

Ideal sind Stromungen, wenn Warmeleitung und Viskositat vernachlassigbar sind, also F = 0und σ = 0, d.h. wenn deren Transportkoeffizienten (κ, η) verschwinden. Dann wird aus der(spezifischen) Energie-Gleichung

ds

dt=∂s

∂t+ (u · ∇)s = 0 s = s(ρ, p) (3.9)

Das bedeutet, s ist konstant fur ein gegebenes Flussigkeitselement, aber nicht alle habennotwendigerweise die gleiche Entropie.


3.2. IDEALE STROMUNGEN 25

3.2.1 Inkompressible Stromungen

Fur inkompressible Fluide gilt

V olumen(Wt) =

∫

Wt

dV = const.

Mit dem Reynoldschen Transport-Theorem (Gl. 2.10) ergibt sich

0 =d

dt

∫

Wt

dV =d

dt

∫

W0

JdV =

∫

W0

∇·u JdV =

∫

Wt

∇·u dV ∀ Wt

=⇒ ein Fluid ist inkompressibel genau dann, wenn

∇·u = 0 bzw. J ≡ 1 (3.10)

wobei J die Jacobi-Determinante, det(∂xi/∂aj) mit a = x(0) ist (Gl. 2.7). Mit der Konti-nuitatsgleichung folgt

Inkompressibilitat =dρ

dt= 0

d.h. die Massendichte eines mitbewegten Fluidteilchens ist konstant

Falls∂ρ

∂t= 0 (ρ ist zeitlich konstant) =⇒ ∇ρ = 0 (ρ ist auch raumlich konstant)

d.h. das Fluid ist homogen (ρ = ρ0)

Fur eine inkompressible, homogene Stromung (∇·u = 0, ρ=ρ0= const.) erhalt der viskoseSpannungstensor (σ) die einfache Form

σij = η

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)

Eingesetzt in die Navier-Stokes-Gleichung ergibt sich nach Umformung (ohne außere Krafte,k = 0 und bei konstantem η = ρ0ν)

ρ0du

dt= −∇p+ η∆u

∆ steht fur den Laplace-Operator: ∆u = ( ∂2

∂x2 +∂2

∂y2+ ∂2

∂z2)u

Mitη

ρ0= ν (kinematische Viskositat) erhalt man

∂u

∂t+ (u·∇)u+

1

ρ0∇p = ν∆u (3.11)

Fur diese Gleichung lassen sich analytische Losungen finden. (Z.B. die Kugelumstromungeiner viskosen Flussigkeit, Stokes-Problem, siehe Landau & Lifschitz).Fur p = 0 ergibt sich

∂u

∂t+ (u·∇)u = ν∆u Burgers −Gleichung (3.12)



S c h i f f / F l u g z e u g

Abbildung 3.1: Stromung um einen elliptischen Zylinder.

Die nicht-lineare Burgers-Gleichung dient oft als Grundlage fur numerische Testrechnungenzur Untersuchung einfacher nicht-linearer Effekte.Inkompressible Stromungen mit ∇ ·u = 0 werden oft bei Stromungen in der Hydrodynamikauf der Erde beim Problem eines umstromten Korpers betrachtet, wie zum Beispiel beiSchiffen oder Flugzeugen (Abb. 3.1). Die Stromung wird dabei als stationar und gleichformigim Unendlichen angenommen. Da die Stromung sich im Unendlichen nicht andert und idealist, ubt der Zylinder keinerlei Kraft auf die Flussigkeit aus.Das ist der Inhalt des sogenannten d’Alembert-Paradoxons:Eine unbeschrankte, nicht-viskose Stromung ubt keinerlei Widerstand auf einen Korper aus.Gleichformig im Unendlichen bedeutet hierbei:

∇× u ≡ ω = 0 (3.13)

fur ∇× u = 0 → u = ∇Ψ (3.14)

mit ∇ · u = 0 → ∇2Ψ = 0 (3.15)

Die letzte Gleichung beschreibt ein wohldefiniertes (engl. well-posed) Randwertproblem derklassischen Potentialtheorie. Stromungen dieser Art werden deshalb auch als Potential-Stromung2 bezeichnet. Als Randbedinungen werden Dirichlet oder von Neumann Bedin-gungen fur Ψ bzw. die Ableitungen von Ψ gestellt.Hier: n · ∇Ψ = 0 an der Oberflache (S) eines Schiffes (keine Geschwindigkeitskomponenteziegt in den Korper hinein), und Ψ = −Ux fur |x| → ∞.

Bemerkung:Nicht-viskos: t · ∇Ψ = 0 ist nicht moglich. Um die Bedingungen zu spezifizieren hat mannicht genug Ableitungen, denn die Euler-Gleichung besitzt nur erste raumliche Ableitungen.Hier ist t ein Einheitsvektor tangential zur Flache.Mit Viskositat: Keine tangentiale Schergeschwindigkeit an der Oberflache, t · ∇Ψ = 0.- Im allgemeinen ist die Stromung nicht uberall kontinuierliches existiert Grenzschicht, innerhalb derer gilt das Kelvin-Theorem nicht.Bilder aus Shu zur boundary layer und van Dyke: Album of Fluid Motion: (siehe auchAbb. 3.2)

3.2.2 Kelvin-Zirkulationstheorem

Mit

(u · ∇)u =1

2∇u2 − u× (∇× u)

2Zitat von R. Feynman zur Potentialstromung: So unphysikalisch wie trockenes Wasser



Abbildung 3.2: Die nebenstehende Skizze (vonoben nach unten ansteigende Reynoldszahlen)gibt einen kleinen (unklaren) Einblick uber dieStromungsverhaltnisse:

• Es konnen sich Wirbel bilden, die sichablosen.

• In der Grenzschicht gilt nach Prandtl (mitp ≈ const.):

∂νDik

∂xk≈ uk

∂ui∂xk

(3.16)

νU

δ2∼ U2

δ→ δ

L∼ ν

UL

Die relative Dicke δ/L betragt ungefahrRe−1. D: Deformationstensor.

• Sichtbar ist auch die Separationslinie,welche den glatten von dem turbulenten Be-reich der Stromung teilt.

konnen die Euler-Gleichung umgeschrieben werden:

∂u

∂t+∇

(1

2u2)

+ (∇× u)× u = g − 1

ρ∇p (3.17)

wobei g z.B. die Gravitation bezeichnet. Bilde die Rotation (∇×) der obigen Gleichung, undmit der Definition

ω = ∇× u, (3.18)

der Vortizitat folgt

∂ω

∂t+∇× (ω × u) = ∇× g +

1

ρ2∇ρ×∇p (3.19)

Wenn g = −∇ψ, dann ist ∇× (∇ψ) = 0 (konservative Kraft)

∂ω

∂t+∇× (ω × u) =

1

ρ2(∇ρ×∇p) (3.20)

mit den Gleichungen fur die Entropie, dsdt

= 0, s = s(ρ, p) und der Dichte dρdt

+ ρ∇ · u = 0erhalt man funf Gleichungen fur funf Unbekannte (ρ, p,u).Fur barotrope Stromungen gilt:

p = p(ρ) (3.21)

und es ergibt sich die einfache Entwicklungsgleichung fur die Vortizitat

∂ω

∂t+∇× (ω × u) = 0 (3.22)



Abbildung 3.3: Die zeitliche Anderung derFlache (dS → dS′) kann gemaß nebenstehenderAbbildung (lies dt = δt, dl = δl und u = v) be-stimmt werden. Die schraffierte Flache, welchedurch die Kurve C in der Zeit dt uberstrichenwird hat die Große ndA = udt× dl.

Bemerkung: Gilt fur ∇ρ×∇p = 0 oder ∇ · u = 0, also fur barotrope bzw. inkompressibleFlussigkeiten.Vergleiche auch mit den Induktionsregeln in der Elektrodynamik:B ist ist die Anzahl der Feldlinien pro Flache3 und ω ist die Anzahl der Vortex-Linien proFlache.

Kelvins Zirkulationstheorem:Die Anzahl der Vortex-Linien, die durch ein Flachenelement hindurchgehen, welches sich mitder Stromung mitbewegt, ist erhalten. (Fur nicht-viskose, barotrope Flussigkeiten).Fur die Zirkulation Γ gilt mit dem Stokes’schen Satz:

Γ ≡∮

C

u dl =

∫

A

ω · n dA (3.23)

(n: Einheitsnormalenvektor senkrecht auf Flachenelement dA) Die Kontur C umschließt dieFlache A, welche sich mit der Stromung mit-bewegt. Ableiten nach der Zeit liefert

dΓ

dt=

∫

A

∂ω

∂t· n dA+

∫

A

ω · ddt

(n dA)

wobei der zweite Term die zeitliche Anderung der Flache mit der Zeit durch die Bewegungder Flussigkeit symbolisiert (siehe Abb. 3.3). Damit

dΓ

dt=

∫

A

∂ω

∂t· n dA+

∮

C

ω · u× dl

Zyklische Vertauschung liefert ω · (u× dl) = (ω × u) · dl und mit dem Stokes’schen Satz

dΓ

dt=

∫

A

(∂ω

∂t+∇× (ω × u

)

· n dA

und mit der Gleichung (3.22) verschwindet der Ausdruck in Klammern. Es folgt dann:

dΓ

dt= 0 (3.24)

dabei ist Γ die Anzahl der Vortex-Linien.3Der Magnetische Fluss durch eine Flache ist definiert als Φ ≡

∫

AB · ndf . Im Fall der idealen MHD (unendliche

Leitfahigkeit) folgt dΦ/dt = 0 (sog. flux freezing).



A ( z )u

Abbildung 3.4: Der Wasserhahn

3.2.3 Bernoullis Theorem

Man betrachtet nun stationare, barotrope Stromungen

∂

∂t= 0 und p = p(ρ)

Fur die Euler-Gleichung gilt:

∇(1

2u2)

+ (∇× u)× u = −∇ψ −∇h (3.25)

mit der Enthalpie h

h =

∫dp

ρ(3.26)

h ist die Enthalpie (bis auf die Konstante) fur adiabatische Stromungen. Das heißt

dh = T ds+1

ρdp

ds=0→ dh =1

ρdp (3.27)

Definition: Die Bernolli-Funktion:

B =1

2|u|2 + ψ + h (3.28)

−→ ∇B + (∇× u)× u = 0 (3.29)

Multipliziere mit uu · [∇B + (∇× u)× u] (3.30)

⇒ (u · ∇)B = 0 (3.31)

oder B ist konstant auf Stromlinien.

3.2.4 Anwendungen

Wasser strome mit der Geschwindigkeit u und dem Querschnitt A aus einem Hahn (sieheAbb. 3.4). Der Wasserfluss werde als eine eindimensionale (nur von z abhangig) und inkom-pressible Stromung betrachtet:

1

2u2 + ψ +

p

ρ= const. (3.32)



p ist im Gleichgewicht mit dem Luftdruck und ≈ konstant. Aus der Kontinuitatsgleichung(Massenerhaltung) folgt

ρuA = const. (3.33)

Das heißt, wenn u(z) zunimmt (aufgrund des Fallens), dann nimmt A(z) ab. Wenn wiederumA(z) kleiner wird, dann nimmt die Oberflachenspannung zu und es kommt zu Instabilitaten(Einschnurungen, Tropfenbildung, Kelvin-Helmholtz-Instabilitat)

3.3 Schallwellen

Hier betrachten wir die Ausbreitung von Storungen (Druckwellen) in einem Medium. Wirgehen von einem hydrostatischen Gleichgewicht (keine Geschwindigkeiten) aus und die Euler-Gleichung ergibt

∇p = ρk (3.34)

in einem idealen Gas mit

p =RρT

µ(3.35)

(vergl. stellare und planetare Atmospharen). Man hat als (stationare) Losungen dann alsoeine Schichtung (Basiszustand) gemaß

p0(x), ρ0(x) und u0(x) = 0 (3.36)

Nun betrachtet man kleine Storungen um dieses Gleichgewicht:

p = p0 + p1 ρ = ρ0 + ρ1 u = u1 (3.37)

mit |f1| < |f0| (∈ p, ρ,u). Dabei sollen die Druckstorungen ohne Energieaustausch mitder Umgebung stattfinden, also adiabatisch sein

p0 + p1 = K(ρ0 + ρ1)γ (3.38)

K ist konstant, γ > 1 (z.B. = 53) wenn die Storung adiabatisch ist oder γ = 1, wenn sie iso-

therm ist. Einsetzen in die Euler-Gleichungen liefert zunachst fur die Kontinuitatsgleichung(mit u0(x) = 0)

∂(ρ0 + ρ1)

∂t+∇ · [(ρ0 + ρ1)u1] = 0 (3.39)

Bei der Linearisierung um den gegebenen Basiszustand vernachlassigt man die quadra-tischen Terme O(f 2

1 ) in den Storungen, da diese klein sind gegen den Basiszustand undbehalt nur die linearen Terme. Unter Berucksichtigung des Gleichgewichts erhalt man ausder Kontinuitatsgleichung (hier sind u1 und ρ1 klein)

∂ρ1∂t

+∇ · (ρ0u1) = 0, (3.40)

mit

∇ · (ρ0u1) = ρ0 (∇ · u1) + u1 · (∇ρ0)


3.3. SCHALLWELLEN 31

und der Vernachlassigung des ungestorten Hintergrundes (gilt immer, falls die Wellenlangeder Storung klein ist gegen Anderung des Hintergrunds, wie z.B. im homogenen Fall), also

∣∣∣∣

∂f0∂x

∣∣∣∣≪∣∣∣∣

∂f1∂x

∣∣∣∣

(3.41)

folgt dann

∂ρ1∂t

+ ρ0∇ · u1 = 0 (3.42)

Analog dazu liefert die Impulsgleichung unter Berucksichtigung des Gleichgewichts Gl. (3.34):

∂u1

∂t+

1

ρ0∇p1 = 0 (3.43)

Aus Gleichung (3.38) folgt mit den Annahmen (3.41)

∇p1 =(dp

dρ

)

0

∇ρ1 (3.44)

in der ersten Ordnung. Der Wert in Klammern ”(...)0” bezeichnet den Gleichgewichtszustand.Wende nun den ∇-Operator, bzw. ∂/∂t auf die Gleichungen (3.42) und (3.43) an

∇ ·[∂u1

∂t+

1

ρ0

(dp

dρ

)

0

∇ρ1 = 0

]

(3.45)

∂

∂t

[∂ρ1∂t

+ ρ0∇ · u1 = 0

]

(3.46)

Sei jetzt wieder die raumliche Ableitung des Grundzustandes klein (vgl. Gl. 3.41), wie es zumBeispiel bei konstantem Basiszustand (ρ0 = const., p0 = const.) der Fall ist. Nun subtrahiertman die beiden Gleichungen und erhalt eine Wellengleichung fur die Dichtestorung

∂2ρ1∂t2

= c2s∇2ρ1 (3.47)

mit der Schallgeschwindigkeit

cs =

(dp

dρ

) 12

0

. (3.48)

Die Losung der Wellengleichung (3.47) ist eine Superposition von beliebigen Funktionenρ1 mit dem Argument ρ1 = ρ1(x ± cst). Die Gleichungen fur die Druck und Geschwindig-keitsstorungen (p1,u1) erfullen analoge Wellengleichungen mit dem gleichen cs. Das heißtalso, dass sich kleine Storungen (Index 1) in homogenen Medien mit der Geschwindigkeit csausbreiten, ohne Formanderung. Fur adiabatische, bzw. isotherme Falle gilt

cads =

√(

γp

ρ

)

=√

(γK ργ−1) ∝ ρ13 fur γ = 5/3 (3.49)

cisos =

√(p

ρ

)

=

√(RT

µ

)

∝ T12 . (3.50)



Bei inhomogenen Medien ist cs an jedem Punkt lokal definiert und ist von der Großenordnungder mittleren thermischen Geschwindigkeit des Gases

cs ≈ 10

(T

104K

) 12 km

s. (3.51)

Das ist die Geschwindigkeit mit der sich Druckstorungen in einem Gas ausbreiten und diesimpliziert eine Begrenzung der Schnelligkeit des Responses des Gases.Wenn sich zum Beispiel in einem Bereich der Gesamtgroße L der Druck plotzlich verandert,dann ist die Responsezeit ungefahr L

cs, also gleich der Schalllaufzeit.

Bei supersonischen Stromungen (|u| > cs) kann das Gas nicht innerhalb der Stromungszeit

L

|u| <L

cs

reagieren. Der Druckgradient hat keinen wesentlichen Einfluss. Eine Abschatzung der Termeim Uberschallbereich ergibt

|ρu∇u||∇p| ∼ ρU2

LpL

∼ U2

c2s≫ 1. (3.52)

Bei subsonischen Stromungen (|u| < cs) passiert ahnliches wie im hydrostatischen Fall,das Gas reagiert in kurzerer Zeit als die Stromungszeit.

Bemerkung: Eine variable Schallgeschwindigkeit cs = cs(x) ergibt eine Aufsteilung derWelle und schließlich eine Stoßwelle (shock).

3.4 Bondi-Akkretion(spharische symmetrische Akkretion)

Als einfaches, aber dennoch sehr wichtiges Beispiel einer astrophysikalisch relevanten Stromungbetrachten wir einen spharischen, nicht-rotierenden Stern im Interstellaren Medium (ISM),der sich nicht gegenuber dem Medium bewegt. Die ungestorte Dichte des ISM sei ρ0. DasProblem wird spharisch symmetrisch mit einem Koord.-Ursprung im Zentrum des Sterns.Die Eigengravitation des Gases werde vernachlassigt, d.h. die Bewegung verlauft innerhalbdes festen Gravitationsfeldes des akkretierenden Sterns; und die Stromung sei barotrop,p = p(ρ). Eine spharisch symmetrische Stromung beschreibt man am besten in Kugelkoor-dinaten (r, ϑ, ϕ), denn es gilt

∂

∂ϑ= 0,

∂

∂ϕ= 0.

Zusatzlich sei die Stromung stationar

∂

∂t= 0.

Im diesem stationaren Fall folgt aus der Kontinuitatsgleichung

∇ · (ρu) = 0 ⇒ 1

r2∂

∂r(r2ρur) = 0 (3.53)


3.4. BONDI-AKKRETION (SPHARISCHE SYMMETRISCHE AKKRETION) 33

mit der radialen Geschwindigkeit ur. Also

r2ρur = const. ≡ −M4π

Dabei ist M der (positiv definierte) konstante Massenstrom [Masse/Zeit] auf den Sternzu. Es handelt sich hier um spharische Gas-Akkretion auf eine gravitierende Masse (Bild).Umgeschrieben und mit u ≡ ur

M = −4πr2ρu (3.54)

4πr2 ist die Oberflache und ρu ist der Massenfluss4.Die (radiale) Impulsgleichung lautet

udu

dr+

1

ρ

dp

dr+GM

r2= 0 (3.55)

wobei hier die totale Ableitung in r verwendet werden kann, aufgrund der Stationaritat undrein radialer Stromung. Diese Gleichung ist zwar integrierbar, aber man macht zuvor nocheine andere Betrachtung. Fur barotrope Gase gilt

dp

dr=dp

dρ

dρ

dr= c2s

dρ

dr.

Aus der Kontinuitatsgleichung (3.53) folgt

1

ρ

dρ

dr= − 1

ur2d

dr(ur2).

Eingesetzt in die Impulsgleichung

udu

dr− c2sur2

d

dr(ur2) +

GM

r2= 0

oder umgeformt

1

2

(

1− c2su2

)d

dr(u2) = −GM

r2

[

1− 2c2sr

GM

]

(3.56)

Bemerkungen:

i) Die rechte Seite ist positiv fur große r. Weil c2s konstant ist in großer Entfernung vomStern, wird die eckige Klammer fur große r irgendwann negativ.

ii) Das Gas ist in Ruhe in großer Entfernung vom Stern (u = 0), und u wachst dann

zunachst langsam nach innen an, also gilt dort du2

dr< 0. Mit i) wird also u2 < c2s fur

große r (Unterschallstromung).

iii) Die rechte Seite wird Null beim sonischen Punkt

rs =GM

2c2s(rs)= 7.5× 1013

(T (rs)

104K

)−1(M

M⊙

)

cm, (3.57)

wobei die Abhangigkeit der Schallgeschwindigkeit vom Radius hervorgehoben wurde.Note: 7.5× 1013cm ≈ 5 AE.

4[

MasseFlache · Zeit

]



iv) Bei rs, muss die linke Seite der Gleichung ebenso verschwinden, was entweder bei u2 =c2s, dem Schallpunkt, oder fur d

dr(u2) = 0 der Fall ist. Der Schallpunkt

1− c2su2

= 0 (3.58)

heißt auch kritischer Punkt der Differentialgleichung (3.56), weil eine radiale Integrationder Gleichung uber diesen Radius nicht moglich ist.

v) Fur den Fall, dass die Stromung durch den Schallpunkt u2 = c2s geht, wird sie zurUberschallstromung u2 > c2s fur kleine Radien.

vi) Die Gleichungen gelten unverandert auch fur u→ −u (Wind-Losung).

Die allgemeine Losungscharakteristik ist durch die Abbildung (3.5) veranschaulicht. Zureigentlichen Berechnung formulieren wir das Problem noch leicht um und beginnen wiederummit der Massenerhaltung (3.54)

M = −4πr2ρu (3.59)

und der integrierten Impulsgleichung (3.55)

u2

2+ h− GM

r= const. = 0, (3.60)

wobei

h =

∫ ρ

ρ∞

dp

ρ=

∫ ρ

ρ∞

1

ρ

dp

dρdρ (3.61)

wiederum gemaß Gl. (3.27) die Enthalpie ist. Hier ist ρ∞ die Dichte im Unendlichen. Wirhaben hier fur die Grenzen die Dichte verwendet, um anzudeuten, dass p = p(ρ) in Gl. (3.61)verwendet werden muss. Mit der Definition von h folgt, dass die Integrationskonstante inGl. (3.60) verschwinden muss. Des weiteren ist u = 0 und ρ = ρ∞ bei r = ∞.

Bemerkung:

• Fur isotherme Stromungen gilt:

p = c2∞ρ und c∞ =

(kT

m

) 12

c∞ ist hier die konstante isotherme Schallgeschwindigkeit (also speziell auch bei r = ∞).Die Funktion h hat also die Form

h = c2∞ ln

(ρ

ρ∞

)

(3.62)

• Fur polytrope Stromungen gilt p ∼ ργ, und fur h ergibt sich:

h =γ

γ − 1c2∞

[(ρ

ρ∞

)γ−1

− 1

]

(3.63)

wobei wiederum c2∞ ≡ p∞/ρ∞ ist. Beachte: Die lokale Schallgeschwindigkeit cs(r) isthier gegeben durch

c2s ≡ dp

dρ= γc2∞

(ρ

ρ∞

)γ−1

(3.64)



Man fuhrt nun eine charakteristische Lange ein, den sogenannten Bondi-Radius:

rB ≡ GM

c2∞(3.65)

Hier wird rB aus den typischen Systemparametern (M und c∞) gebildet. An diesem Ra-dius ist die Keplersche Umlaufgeschwindigkeit um den Stern vϕ = (GM/r)1/2 gleich derSchallgeschwindigkeit (im Unendl.). (gleichzeitig ist rB der Abstand vom Stern, bei dem diegravitative potentielle Energie gleich 2

3der thermischen Energie betragt.)

Fuhre jetzt dimensionslose Variablen x, v, α ein mit

x ≡ r

rB, v ≡ |u|

c∞, α ≡ ρ

ρ∞(3.66)

wobei α die dimensionslose Dichte ist. Beachte: v ist hier positiv definiert. Und noch einedimensionslose Akkretionsrate:

λ =M

4πρ∞(GM)2/c3∞=

M

4πr2B ρ∞c∞(3.67)

(messe M in Einheiten eines fiktiven Massenflusses von ρ∞c∞ durch die Flache 4πr2B gege-ben.) Damit ergibt sich dann fur die grundlegenden Gleichungen (3.59 und 3.60)

x2αv = λ (3.68)

v2

2+H(α)− 1

x= 0, (3.69)

wobei H(α) gegeben ist durch

H(α) = lnα fur γ = 1 (isotherme Stromung) (3.70)

bzw.H(α) =

γ

γ − 1(αγ−1 − 1) fur γ > 1 (polytrope Stromung) (3.71)

3.4.1 Diskussion der moglichen Losungen des Bondi-Problems

Die Abbildung der Losungscharakteristik (3.5) zeigt, dass fur M > Mcrit (Kurven 5,6, λ > λc)Mehrdeutigkeiten vorliegen. Diese konnen also ausgeschlossen werden. Also bleibt M ≤ Mcrit

(λ ≤ λc). Hermann Bondi argumentierte philosophisch und schlussfolgerte, dass die Natursicherlich M = Mcrit (oder λ = λc) annimmt.Diese Annahme stellt sich als richtig heraus. Man betrachtet dazu Losungen in der Nahedes Ursprungs, an der Sternoberflache. Fur Losungen, bei denen die Geschwindigkeit gegen0 geht (u → 0), strebt ebenfalls r gegen 0 (oder x → 0). Die Impulsgleichung (3.69) indimensionsloser Form und der isotherme Fall mit H(α) = lnα ergeben

lnα− 1

x→ 0 also α → e

1x fur x→ 0 (3.72)



Abbildung 3.5: Schematische Darstellung der Losungscharakteristik des spharischen Bondi-Problems. Die vertikale Achse (Geschwindigkeit der infallenden Stromung, v) wird dabei in Ein-heiten der (lokalen) Schallgeschwindigkeit (cs) gemessen. Der Abstand (x-Achse) ist in Einheitendes sonischen Radius (rs) gegeben. Der Losungstypus andert sich mit der Akkretionsrate M . Diekritische Rate Mcrit (Kurve 1) trennt die verschiedenen Bereiche.

fur x→ 0. Im Fall u→ 0 hat man eine hydrostatische Stromung, und mit

1

ρ

dp

dr= −dΨ

drund p = ρc2∞

folgtc2∞ρdρ = −dΨ

und Integration liefert

ρ ∼ e−

ψ

c2∞ (3.73)

mit ψ = −GMr

erhalt man dann

ρ ∼ e1r (3.74)

Wahlt man jetzt typische Werte: M = 1M⊙ (eine Sonnenmasse), T∞ = 100K (interstellaresMedium, ISM), dann wird der Bondi-Radius rB = GMmH

kT∞∼ 1.6 · 1016 cm bei einer Teilchen-

massemH = 1.67·10−24g (Wasserstoffatom), und man erhalt fur den dimensionslosen Radius



Abbildung 3.6: Stromung fur ein freies Teilchen (druckfreies Medium oder Staub) im Gravitations-feld eines Sterns. Aus Ref.[5].

x∗ an der Sternoberflache

x∗ =r∗rB

∼ 0.5 · 10−5 (3.75)

mit r∗ = 7 · 1010 cm= 1R⊙ (einem Sonnenradius). Das heißt, eine subsonische Stromungverlangt direkt an der Sternoberflache eine Dichte-Erhohung von

ρ(r∗) ∼ e2·105

ρ∞ ∼ 1087.000 ρ∞ (3.76)

Ein ziemlich großer Faktor, vor allem wenn man beachtet, dass es etwa nur 1080 H-Atomeim ganzen Universum gibt.Die spharische Akkretion verlauft also exakt durch den sonischen Punkt. Falls die Akkretionauf eine feste Oberflache erfolgt, z.B. einen Stern, und nicht auf ein Schwarzes Loch, musses einen Radius geben, an dem die Stromung von Uberschall zur Unterschall wechselt, esentsteht ein Shock. Die kritische (typische) Akkretionsrate ist gegeben durch

M = λc4πρ∞(GM)2

c3∞(3.77)

Der kritische Wert λc liegt dabei fur isotherme Stromungen bei

λc =1

4e3/2 = 1.12 ...

Siehe Ubungsaufgabe.

3.4.2 Windakkretion

Eine Erweiterung des obigen Szenarios erreicht man, indem man die Eigenbewegung vonSternen durchs ISM betrachtet. Hoyle und Lyttleton (1939) untersuchten zunachst den Fallder Bewegung eines Stern mit der Geschwindigkeit V durch einen homogenes Gebiet voneinzelnen Partikeln (Staub). In diesem Fall baut sich hinter dem Objekt eine Akkretionsauleauf (siehe Abb. 3.6). Sie finden eine Akkretionsrate von

MHL ≈ 4πρ∞(GM)2

V 3. (3.78)



Fur den Fall der Bewegung durch ein Gas geben Bondi und Hoyle den folgenden Interpola-tionsausdruck an

MBH = λx4πρ∞(GM)2

(V 2 + c2∞)32

. (3.79)

wobei λx in der Großenordnung 1 liegt. Astrophysikalische Anwendungen der Bondi-Hoyle-Lyttleton Akkretion liegen in den folgenden Bereichen:• Bewegter Stern im ISM• Binarstern

- Common Envelope Phase- Rontgen-Doppelstern (Windakkretion)

• Galaxien in Haufen

3.5 Literatur

1. Shu: Physics of Astrophysics, Vol. II, Kap. 62. Frank, King & Raine: Accretion power in Astrophysics, 19923. Landau & Lifshitz, Vol. 6: Hydrodynamik4. Bondi, H. (1952), On spherically symmetric accretion, Monthly Notices of the Royal Astro-nomical Society, 112, 1955. Edgar, R. (2004), A review of Bondi-Hoyle-Lyttleton accretion, New Astronomy Reviews,48, 843


Kapitel 4

Stoßwellen

4.1 Aufsteilen von Schallwellen

Die Wellengleichung fur die Dichteanderungen in Schallwellen lautete (siehe Gl. 3.47)

∂2ρ1∂t2

= c2s∇2ρ1 (4.1)

mit der Schallgeschwindigkeit

c2s =

(dp

dρ

)

0

(4.2)

Eine allgemeine (eindimensionale) Losung von Gl. (4.1) ist

ρ1 = ρ1(x± cst)1 (4.3)

Das bedeutet, ein gegebenes Anfangsprofil bewegt sich unverandert mit der Geschwindigkeitnach rechts bzw. links, falls cs = const. ist. D.h. fur die in der Zeit ∆t zuruckgelegte Distanz

t = t 0

x 0 x 1

t = t 0 + D t

Abbildung 4.1: Ausbreitung einer linearen Welle mit der Zeit. Verschiebung des Profils.

x1 − x0 giltx1 − x0∆t

= cs

Aber: Fur adiabatische Zustandsanderungen ist die Schallgeschwindigkeit ublicherweise eineFunktion der Dichte. Fur γ = 5/3 gilt

cads ∝ ρ13

1Die allgemeine Losung ist die Superposition ρ = f(x+ cst) + g(x− cst). Hier sind f und g beliebige Funktionen.

39

40 KAPITEL 4. STOSSWELLEN

Falls Storungen auftreten, deren Amplituden nicht klein sind, dann breiten sie sich in Be-reichen mit hoherer Dichte schneller aus. Dadurch ergeben sich Formanderungen. Wellenkonnen sich nur ohne Formanderung ausbreiten, wenn die zugehorige Differentialgleichunglinear ist. Hydrodynamische Gleichungen sind nicht-linear. Es gibt eine Aufsteilen der Wel-len, es entstehen Stoßwellen (Shocks).

4.1.1 Riemann-Invarianten

Zur Untersuchung der nichtlinearen Effekte bei den Schallwellen gehen wir von den exaktenEuler-Gleichungen (fur Dichte und Geschwindigkeit) in einer Dimension aus

1

ρ

(∂ρ

∂t+ u

∂ρ

∂x

)

+∂u

∂x= 0 (4.4)

(∂u

∂t+ u

∂u

∂x

)

+c2sρ

∂ρ

∂x= 0 (4.5)

wobei die Beziehung p = p(ρ) fur barotrope Medien benutzt wurde. Fur adiabatischeStromungen gilt:

cs = cs0

(ρ

ρ0

) γ−12

(4.6)

cs0 und ρ0 sind die Werte eines statischen, konstanten Hintergrundes (Basiszustand). ImFolgenden wird a fur cs geschrieben. Also

a = a0

(ρ

ρ0

) γ−12

(4.7)

Fur die Differentiale gilt danndρ

ρ=

2

γ − 1

da

a. (4.8)

Einsetzen in die Euler-Gleichungen (4.4 und 4.5) liefert

∂

∂t

(2

γ − 1a

)

+ u∂

∂x

(2

γ − 1a

)

+ a∂u

∂x= 0 (4.9)

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ a

∂

∂x

(2

γ − 1a

)

= 0 (4.10)

Wenn man diese Gleichungen addiert beziehungsweise subtrahiert, erhalt man[∂

∂t+ (u+ a)

∂

∂x

](

u+2

γ − 1a

)

= 0 (4.11)

[∂

∂t+ (u− a)

∂

∂x

](

u− 2

γ − 1a

)

= 0 (4.12)

Dies sind zwei quasi-lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung in den VariablenQ+ bzw. Q−, welche definiert sind als

Q+

Q−

≡ u

+−

2

γ − 1a (4.13)


4.1. AUFSTEILEN VON SCHALLWELLEN 41

Die Gl. (4.11, 4.12) sind aquivalent zur Transportgleichung:

∂Q±

∂t+ u±

∂Q±

∂x= 0 (4.14)

Hier sindu± = u± a

die Transportgeschwindigkeiten fur die Variablen

Q± = u± 2

γ − 1a

Q ist eine Funktion, die von x und t abhangt, also Q = Q(x, t)2. Damit gilt fur das totaleDifferential

dQ =∂Q

∂tdt+

∂Q

∂xdx (4.15)

Fur dQ = 0 bekommt man

∂Q

∂tdt = −∂Q

∂xdx (4.16)

dx

dt= −

∂Q∂t∂Q∂x

≡ u (4.17)

Also gilt

dQ+ = 0 auf Kurvendx

dt= u+ a = u+

Auf diesen Kurven ist demnach die transportierte Große

Q+ = u+2

γ − 1a = const.

Analog folgt fur dQ− = 0

Q− = u− 2

γ − 1a = const. auf Kurven

dx

dt= u− a = u−

Bemerkungen:

• Q± sind Riemann-Invarianten, die konstant sind auf

+−

-Charakteristiken.

• Die charakteristischen Geschwindigkeiten

u+ =

(dx

dt

)

±

= u± a (4.18)

sind die Geschwindigkeiten, mit denen sich akustische Storungen (nach links bezie-hungsweise nach rechts) ausbreiten.

2Wir schreiben hier auch Q synonym fur Q±



• Bei nicht-linearen Wellen bleibt nicht die Form, sondern die Riemann-Invariante erhal-ten.

• Wenn man zur Zeit t = t0 Anfangs-Werte fur ρ und u vorgibt, dann kann man mit Hilfeder Methode der Charakteristiken die Losung zu spateren Zeiten t konstruieren.

• Allgemein gilt: Aus der Gleichung

A∂Q

∂t+ B

∂Q

∂x= 0

mit Q = Q(x, t), folgt mit dQ = 0 und Division

dt

A=dx

B

Daraus erhalt man durch Umformung

dx

dt=B

A

Hier sei BA= u. Daraus folgt

Q = const. auf Kurvendx

dt= u

4.2 Shocks

4.2.1 Die Ausbreitung einer einfachen Welle

Man betrachtet eine Welle in einem homogenen statischen Medium. Bei einer sich nach linksausbreitenden Welle ist

Q− = const. = u− 2

γ − 1a (4.19)

Entsprechend ist bei einer sich nach rechts bewegenden

Q+ = const. = u+2

γ − 1a (4.20)

und konstant fur alle Raumzeiten (fur alle Phasenraumpunkte (x, t))Beschreibung der Grafik 4.2:

• Gezeichnet ist das Dichteprofil zu verschiedenen Zeiten t0, t1 und t2.

• Beim Anfangsprofil (t = t0) hat die Dichte an den Punkten A, B und C jeweils dengleichen Wert ρ0.

• Die Schallgeschwindigkeit hat hier also auch jeweils den gleichen Wert a0. D.h. Storun-gen breiten sich von den Punkten (A,B,C) jeweils mit der gleichen Geschwindigkeit a0aus. Das ist in der Grafik (Raumzeit-Diagramm) als drei parallele Linien (durch A,B,C)eingetragen.


4.2. SHOCKS 43

A B Ct 0

t 1

t 2

d x

d t= u + a

d x

d t= u + a

a < a 0

a > a 0

Abbildung 4.2: Aufsteilen einer zu Beginn linearen Welle mit der Zeit. Veranderung des Profils.

• In Bereichen, in denen ρ > ρ0 ist (zwischen A und B) ist die Schallgeschwindigkeitgroßer, a > a0. Das bedeutet eine schnellere Ausbreitung einer Storung. Ist dagegenρ < ρ0, dann ist a < a0 und die Ausbreitung verlauft langsamer. Dies ist durch die zweizusatzlichen Geraden in der Zeichnung angedeutet.

• Es kommt zu einem Aufsteilen der Wellen, und die Charakteristiken kreuzen sich. Manerhalt eine mehrdeutige Funktion. Solche Funktionen sind unphysikalisch; es kommt zueiner Stoßwelle (Shock). Das Aufsteilen wird letztlich durch viskose Krafte gestoppt.

A 1

A 2

S c h o c k

Abbildung 4.3: Graphische Darstellung zur Lage der Stoßfront unter Berucksichtigung der Masse-nerhaltung. Die beiden Flachen A1 und A2 sind gleich groß.

Die Lage der Stoßfront wird durch die Bedingung bestimmt, dass in der Abb. (4.3) beidenFlachen A1 und A2 gleich groß sein sollen (Massenerhaltung). Der weitere Verlauf: Der Shock



breitet sich mit Uberschallgeschwindigkeit aus ushock > a. Der Shock uberholt das Wellentalund das Ende bleibt zuruck (s. Abb. 4.4):

K o m p r e s s i o n s w e l l e

S c h o c k

u n g e s t ö r t e s

M e d i u m

V i s k o s i t ä t

k l e i n e s

A u s s c h m i e r e n

Abbildung 4.4: Zeitliche Entwicklung einer Stoßwelle. Links der ideale (nicht-viskose) Fall, rechtsmit Viskositat.

4.2.2 Rankine-Hugoniot-Sprungbedingung

Wir untersuchen die physikalischen Bedingungen an der Stoßfront. Da die ublichen Erhal-tungseigenschaften fur Masse, Impuls und Energie auch hier gelten mussen, betrachten wirdie Folgerungen aus den eindimensionalen Euler-Gleichungen, und zwar in einem Bezugs-system, in dem der Shock in Ruhe ist.Zunachst kann die Zeitableitung vernachlassigt werden, weil die Zeit, welche zum Durch-gang durch den Shock benotigt wird, sehr klein ist und keine zusatzlichen Energieverluste(Strahlung, chem. Reaktionen) auftreten. Somit andert sich die Stromung in der Nahe derShockfront nicht, also ∂/∂t ≈ 0.

∂ρu

∂x= 0 ⇒ ρu = const. (4.21)

∂

∂x(ρu2 + p) = 0 ⇒ ρu2 + p = const. (4.22)

∂

∂x

(

ρu

(1

2u2 + ε

)

+ up

)

= 0 ⇒ ρu

(1

2u2 + ε+

p

ρ

)

= const. (4.23)

D.h. die Flusse der Erhaltungsgroßen mussen konstant uber einen Sprung (Diskontinuitat)sein. Man betrachtet nun den Ubergang zwischen zwei ungestorten, konstanten Zustanden.Der erste Bereich 1 liege stromaufwarts, der zweite Bereich 2 stromabwarts (siehe Abb. 4.5).Aus den Eulergleichungen folgen (im Shocksystem) die Rankine-Hugeniot Sprungbedingun-gen:

ρ1u1 = ρ2u2 = j (4.24)

ρ1u21 + p1 = ρ2u

22 + p2 (4.25)

1

2u21 + h1 =

1

2u22 + h2 (4.26)

Die letzte Gleichung (4.26) wurde hier schon durch die erste (ρu) geteilt. Dabei ist h diespezifische Enthalpie

h = ε+p

ρ

und j der Massenstrom durch den Shock. In einem idealen Gas ist

h =γ

γ − 1

p

ρ=

γ

γ − 1

RT

µ(4.27)


4.2. SHOCKS 45

Postshock Shock

Praeshock

P

u

P

u

ρ

ρ

2

2

2

1

1

1

Bereich 2 Bereich 1

(stromabwaerts)

(stromaufwaerts)

Abbildung 4.5: Zur Definition der Sprungbedingungen am Shock. Die Stromung im Bereich 2 isthier nach rechts gerichtet, falls die rechte Seite (Bereich 1) im Laborsystem ruht. Die Betrachtungenim Text beziehen sich immer auf das Bezugssystem, in dem der Shock in Ruhe ist! Falls dierechte Seite ruht, ist in diesem Bezugssystem u1 gleich der negativen Shockgeschwindigkeit Ush

Wir definieren jetzt das spezifische Volumen (Volumen/Masse) V = 1/ρ und eliminieren inder Enthalpie die Dichte ρ. Aus den Sprungbedingungen (4.24 bis 4.26) folgt damit durchUmformungen die folgende Form der Rankine-Hugeniot Relationen

j2 =p2 − p1V1 − V2

(4.28)

u1 − u2 = [(p2 − p1)(V1 − V2)]1/2 (4.29)

ε2 − ε1 =1

2(p1 + p2)(V1 − V2) (4.30)

Eine Zustandsgleichung ε = ε(p, V ) (siehe Gl. 4.27) vervollstandigt das System. Die Kom-bination dieser Zustandsgleichung mit der dritten Gl. (4.30) liefert eine Kurve im (p, V )-Diagramm, die sog. Shock-Adiabate, welche die moglichen Prashock- mit den Postshock-zustanden verbindet. Dies ist in Abb. 4.6 graphisch dargestellt.

Mogliche Sprungbedingungen fur Dichte, Druck und Temperatur an der Stoßfront erhaltman nun aus den Rankine-Hugeniot Gleichungen unter Verwendung des idealen Gases (ε =(γ − 1)RT/µ). Definition: Die Mach-Zahl (in den Bereichen 1 und 2)

M1,2 =u1,2cs1,2

mit c2s1,2 =

(

γP

ρ

)

1,2

(4.31)

Aus der Konstanz der Flusse uber diesen Sprung folgt durch Umformung der obigen Glei-



Abbildung 4.6: Die Shock-Adiabate (aus Blandford & Thorne). Ein p− V (Druck-spez. Volumen)Diagramm zur Bestimmung der moglichen Postshock-Zustande p2, V2 (downstream) bei gegebenenPra-shockzustand p1, V1 (upstream). Die gestrichelten Kurven geben normale Adiabaten (Kurvenkonstanter Entropie) an. Die dicke Kurve ist die Shock-Adiabate, welche (p1, V1) mit den erlaub-ten (p2, V2) verbindet. Die erlaubten downstream Zustande werden durch die Massenerhaltungj2 (punktierte Linie) definiert. Nach dem Durchgang durch den Shock hat das Gas eine erhohteEntropie, s2 > s1.

chungen

ρ2ρ1

=(γ + 1)M2

1

(γ + 1) + (γ − 1)(M21 − 1)

=u1u2

(4.32)

p2p1

=(γ + 1) + 2γ(M2

1 − 1)

γ + 1(4.33)

T2T1

= [(γ + 1) + 2γ(M21 − 1)]

[(γ + 1) + (γ − 1)(M21 − 1)]

[(γ + 1)2M21 ]

=p2p1

ρ1ρ2

(4.34)

Hier ist M1 das Verhaltnis von Stromungsgeschwindigkeit zu Schallgeschwindigkeit (Mach-zahl) im Bereich 1. In der Abb. 4.5 liegt der Uberschallbereich rechts des Shocks, im Bereich1.Man beachte dazu, dass wir uns im Ruhesystems des Shocks befinden, d.h. u1 = −Ush, wobeiUsh die Geschwindigkeit der Stoßfront bezeichnet! Also ist:

• p2 ≥ p1, ρ2 ≥ ρ1 und T2 ≥ T1 fur M1 ≥ 1, d.h., Shocks sind kompressibel.

• Fur M1 = 1 gelten die Gleichheitszeichen, es existiert kein Shock.

• Fur sehr starke Shocks geht M1 gegen unendlich und fur γ = 53gilt

ρ2ρ1

→ γ + 1

γ − 1= 4 (4.35)


4.2. SHOCKS 47

D.h., der Dichtesprung strebt einem festen Wert entgegen.

• Aber weder der Druck noch die Temperatur haben ein Limit. Shocks bewirken eine star-ke Aufheizung, die mit Abstrahlung verbunden ist. Dieser Effekt ist astrophysikalischbeobachtbar und somit relevant.

• Am Shock andert sich die Stromung von Uberschall nach Unterschall, also wennM1 > 1ist, dann wird M2 < 1 und umgekehrt.

• Es gibt nur Kompressions-Shocks und keine Expansions-Shocks, da die Entropie zu-nehmen muss.

• Wir benutzten die Beziehungen fur Masse, Impuls und Energieerhaltung zur Ableitungder Sprungbedingungen. Die Erhaltungssatze der Masse und des Impulses sind immererfullt, der fur die Energie jedoch nicht unbedingt in der Astrophysik. Die Verletzungder Energieerhaltung ist z.B. moglich durch- Strahlungsverluste,- chemische Reaktionen oder Kernreaktionen- Warmeleitung durch uberthermische Geschwindigkeiten

(Praheizung, vor dem Shock).Falls die Energieerhaltung nicht verletzt wird, dann handelt es sich um einen sog.adiabatischen Shock, obwohl die Entropie wachst.

Abbildung 4.7: Die durch dissipative Effekte ausgeschmierte Struktur einer Shock-Front. (Aus Shu)

4.2.3 Dissipative Effekte

Dieser Abschnitt schließt die Viskositat und Warmeleitung mit ein. Die Sprungbedingungenlauten

ρu = const. (4.36)

ρu2 + p− 4

3ηdu

dx= const (4.37)

ρu

(1

2u2 + ε+

p

ρ

)

− 4

3ηudu

dx− κ

dT

dx= const (4.38)



Man erwartet, dass der viskose Term in Gleichung (4.37) im Shock im Vergleich zu denanderen gleich groß ist.

4

3ηdu

dx∼ ρν

∆u

∆x≈ ρu2 (4.39)

Daraus bekommt man dann

∆x ∼ ν∆u

u2(4.40)

Nun ist: ∆u ≈ u (Uberschall wird zu Unterschall), und entspricht etwa der Schallgeschwin-digkeit, welche wiederum ungefahr der thermische Geschwindigkeit uth entspricht. Fur diemolekulare Viskositat gilt νmol ∼ λfuth, wobei λf die mittlere freie Weglange bezeichnet.Also folgt aus Gl. (4.40)

∆x ∼ λf (4.41)

Die Shock-Dicke entspricht nur einer freien Weglange λf ! Die Struktur eines solchen Uber-gangs ist in Abb. 4.7 dargestellt. Fur Luft unter Normalbedingungen gilt λf ≈ 70nm.Bemerkungen:

i) Man erhalt das gleiche Ergebnis aus Gleichung (4.38)

ii) Ist die Kontinuums-Approximation noch richtig wenn ∆x ∼ λf?

iii) Balance zwischen Aufsteilen und Diffusion −→ semi-permanentes Profil.

iv) In Computer-Codes: kunstliche Viskositat zur Ausschmierung uber einige Gitterzellen,nur in Kompressions-Bereichen

v) ∆x sollte (bei numerischen Rechnungen mit Strahlung) kleiner als lphot, der freienWeglange fur Photonen, sein.

4.3 Exposionen: Das Sedov-Problem

4.3.1 Ahnlichkeitsanalyse

Das Sedov-Problem ist ein Beispiel fur eine selbst-ahnliche Losung. Es gibt zwei wichtigeMethoden zur (einfachen) Untersuchung von Stromungen:

1. AhnlichkeitsanalyseFalls Stromungen zu einem gegeben Ort und Zeit aus derjenigen an einem ande-ren Ort/Zeit z.B. durch eine einfache Streckung hervorgehen, spricht man von einerselbstahnlichen Losung. Es gibt keine charakteristische Zeit, Lange und Masse.

2. DimensionsanalyseEin Parameter in den dimensionslosen Gleichungen bestimmt die Stromung. VergleicheRe: Verschiedene Probleme mit der gleichen Reynolds-Zahl (Re) haben Losungen dieidentisch aussehen.


4.3. EXPOSIONEN: DAS SEDOV-PROBLEM 49

Abbildung 4.8: Vereinfachte Darstellung der Freisetzung der Energie E in einem konstanten Mediummit der Dichte ρ1, welches sich anfanglich in Ruhe befindet. (aus Shu)

4.3.2 Ahnlichkeitsansatz fur das Sedov-Problem

Wird eine große Energiemenge E instantan in einem sehr kleinen Volumen freigesetzt sprichtman von einem Sedov-Problem. Es taucht z.B. auf beiBomben-Explosionen oder Supernova-Ausbruchen. Der ungestorte Umgebungszustand (innerhalb dessen E freigesetzt wird) habedie Dichte ρ1, siehe Abb. (4.8). Es werden nun folgenden Annahmen gemacht:

1. E werde instantan, das heißt zum Zeitpunkt t = 0, am Ursprung frei gesetzt.

2. Die (innere) Energie außerhalb ist vernachlassigbar (U2shρ1 ≫ p1).

3. Es handelt sich um ein ideales, polytropes Gas mit dem Adiabatenexponenten γ.

4. Am Anfang herrschen konstante Bedingungen u = 0 und ρ1 = const. Dies ergibt einenstarken Shock mit p2 ≫ p1. Deswegen kann man p1 vernachlassigen, und es gilt

ρ2ρ1

≈ γ + 1

γ − 1(4.42)

5. D.h., die Shock-Dynamik ist also nur noch durch E und ρ1 bestimmt.

Sei Rsh(t) der Radius der Shockwelle zur Zeit t. Aus der Input-Energie E, der Umgebungs-dichte ρ1 und t folgt als einzige Große mit der Dimension einer Lange:

(Et2

ρ1

) 15

. (4.43)

Fur die Position der Shockfront konnen wir also schreiben

Rsh(t) = ξ0

(Et2

ρ1

) 15

, (4.44)

wobei die Konstante ξ0 von der Großenordnung 1 sein wird. Z.B. erhalt man fur γ = 53den

Wert ξ0 = 1.17.



Fur die Shockgeschwindigkeit folgt

Ush(t) =dRsh

dt=

2

5

Rsh

t=

2

5ξ0

(E

ρ1t3

) 15

(4.45)

Ush ∝ t−35 ∝ R

−32

sh (4.46)

Das bedeutet der Shock wird schwacher bei der weiteren Ausdehnung. Aus der Energieer-haltung folgt: ρ1R

3shU

2sh = const..

Bemerkung: Bei zweidimensionalen Explosionen in x-y-Ebene lautet die Funktion

Rsh(t) = α

(E t2

σ

) 14

(4.47)

Hier ist σ die Oberflachendichte.Zum spateren Gebrauch definieren wir noch eine dimensionslose Lange ξ (Ahnlichkeitsvariable)als

ξ =r

Rsh

= r( ρ1Et2

) 15

. (4.48)

Die Stoßfront befindet sich also an der Position ξ = 1 in dieser Normierung. In diesernicht-dimensionslosen Form hangen die hydrodynamischen Gleichungen nur uber ξ von denVariablen r und t ab.

4.3.3 Einige Zahlen und typische Werte

Betrachte charakteristische Parameter fur Supernova-Remnants. Fur die Energie ist typischE = 1051 erg. Das entspricht dem Auswurf einer Sonnenmasse mit 104 km

s. Mit der Umge-

bungsdichte (ISM) von ρ1 ≈ 10−24 g/cm3 wird Rsh(t) = 10−0.7(

E50

ρ24

) 15

t25yr pc

Bei Supernova-Remnants (Supernova-Uberresten, SNR) mit einen Durchmesser von etwaeinem Parsec betragt das Alter etwa 100 Jahre. Note: 1pc= 3.26LJ= 206AU= 1.3 · 1016m

Beispiel: Der Crab-Nebula oder Krebsnebel (M1) im Stier. Der Radius des Nebels betragtetwa 3 Parsec. Das lasst auf ein Alter von 300 bis 1000 Jahren schließen, mit Ush = 2

5Rsht

≈1000 km/s. Im Jahre 1054 verzeichnen chinesische, japanische und arabische Astronomen dasAufleuchten eines neuen Sternes, der zwei Wochen lang so hell war, dass er am Tageshimmelzu sehen war. Die von den chinesischen Wissenschaftlern beschriebene Stelle stimmt mitderjenigen uberein, an der wir heute M1 finden3. Die Postshock-Temperatur fur γ = 5

3ist

mit Gl. (4.52) und der idealen Gasgleichung gegeben durch

T2 =3mHU

2sh

16 k∼ 106K, (4.49)

nach 104 Jahren. mH ist die Masse (von Wasserstoff) und liegt bei etwa 10−24 g. Diesehohen Temperaturen fuhren zur Emission von Rontgenstrahlung, und erlauben eine direkteBeobachtung der SNR.

3Europa steckte damals offensichtlich im tiefsten Mittelalter und verzeichnete kein solches Ereignis


4.3. EXPOSIONEN: DAS SEDOV-PROBLEM 51

0 1

1

P / P 2

U / U2

r / r2

r / r21

R / R s

g = 5 / 3

Abbildung 4.9: Die normalisierte Struktur der Sedov-Losung. Mit dem Index 2 sind hier diePostshock Werte direkt an der Stoßfront bezeichnet. Rsh ist die die Lage der Front.

4.3.4 Losung (Blastwave)

Dis Post-Shock-Großen (jetzt im ruhenden Referenzsystem betrachtet) werden mitdem Index 2 bezeichnet (siehe auch Abb. 4.5). Man erhalt mit der Bezeichnung u2 fur diePostshockgeschwindigkeit im ruhenen System:

ρ2ρ1

=γ + 1

γ − 1(4.50) u2 =

2

γ + 1Ush (4.51) p2 =

2

γ + 1ρ1U

2sh (4.52)

wobei die erste Gleichung (4.50) der Bedingung fur starke Shocks entspricht (4.35), diezweite (4.51) folgt mit u1 = −Ush (im Shocksystem fur eine in Ruhe befindliche rechteSeite) und mit Gl. (4.32), d.h. hier u1/u2 = (γ + 1)/(γ − 1) (im Shocksystem), ergibt sichu2 = (γ − 1)/(γ + 1)u1 + Ush, wobei hier Ush dazuaddiert wird, weil wir jetzt im ruhendenReferenzsystem sind. Und die dritte Gl. (4.52) folgt aus Gleichung (4.25) mit p1 = 0 und denbeiden vorherigen. Die Variablen Rsh(t) und Ush(t) = Rsh sind bekannt (Gl. 4.44 und 4.45).Die Losung hinter der Stoßfront im inneren Bereich von r = 0 bis direkt an die Stoßfrontfolgt aus den hydrodynamischen Gleichungen (in einer Dimension r in Kugelkoordinaten,vgl. Bondi-Problem):

∂ρ

∂t+

1

r2∂

∂r(r2ρu) = 0 (4.53)

∂u

∂t+ u

∂u

∂r= −1

ρ

∂p

∂r(4.54)

∂ε

∂t+ u

∂ε

∂r= −p

ρ

1

r2∂r2u

∂r(4.55)

mitε =

p

(γ − 1)ρ(4.56)

[ Bem.: die Energiegleichung kann unter Verwendung der Kontinuitats- und Zustandsglei-chung geschrieben werden als

∂

∂t

(p

ργ

)

+ u∂

∂r

(p

ργ

)

= 0



wobei hier p/ργ der Entropie entspricht (bis auf eine Konstante).]Die charakteristische Lange beim Sedov-Problem ist die Lage Rsh(t) der Stoßfront. Die physi-kalischen Großen dahinter hangen nur von dem Verhaltnis ξ = r/Rsh(t) ab. Somit schreibenwir fur alle Variablen

ρ(r, t) =γ + 1

γ − 1ρ1g(ξ) = ρ2g(ξ) (4.57)

u(r, t) =2

γ + 1Ush(t)h(ξ) = u2 h(ξ) (4.58)

p(r, t) =2

γ + 1ρ1U

2sh(t)f(ξ) = p2 f(ξ) (4.59)

mitg(ξ = 1) = h(1) = f(1) = 1 , (4.60)

also sind die Funktionen direkt hinter der Shockfront auf 1 normiert. Nach dieser Substitu-tion hangen alle hydrodynamische Großen anstatt von r, t nur noch von der Ahnlichkeits-variablen ξ = r/Rsh(t) ab, welche in einer bestimmten Kombination von (r, t) abhangig ist,siehe (Gl. 4.48). Ein solcher Ansatz mit einer “Variablenreduktion” ist fur selbstahnlicheStromungen immer moglich.Diesen Ansatz setzt man nun in die hydrodynamischen Gleichungen ein, wobei man beruck-sichtigen muss, dass fur die raumlichen und zeitlichen Ableitungen der von ξ abhangigenFunktionen (d.h. g, h, und f) wegen ξ ∝ r/t2/5 gilt

∂

∂t= −2

5

ξ

t

d

dξ(4.61)

∂

∂r=

ξ

r

d

dξ(4.62)

Man erhalt nun drei gewohnliche Differentialgleichungen in ξ fur g, h und f (siehe Shu, bzw.Landau-Lifschitz). Unter Verwendung der Energieerhaltung

Rsh∫

0

ρ

(

ε+1

2u2)

4πr2 dr = E (4.63)

kann die dimensionslose Position ξ0 der Stoßfront berechnet werden. In der Approximationeines starken Shocks (p1/ρ1 = kT1/mH << U2

sh) folgt aus Gl. (4.63) die dimensionslose Form

32πξ5025(γ2 − 1)

∫ 1

0

[f(ξ) + g(ξ)h2(ξ)]ξ4dξ = 1 (4.64)

Das Problem ist somit eindeutig losbar, allerdings nur bis auf algebraische Gleichungen.

1. numerisch (z.B. durch Taylor)Erste Rechnungen auf dem Computer. Vergleiche auch die Bombenexplosion in Nevada(Alamogardo) mit einer Energie E ≈ 1021 erg (classified).

2. analytisch (Sedov):In geschlossener Form algebraisch. Siehe z.B. Landau & Lifschitz oder Padmanabhan.


4.4. LITERATUR 53

t

R s h ( t )

x = 1

r / R s h ( t )

Abbildung 4.10: Schematische Darstellung der Zeitentwicklung der Sedov-Losung.

Qualitativ Entwicklung:Die zeitliche Entwicklung einer beliebigen Große (ρ, u, T ) erfolgt durch eine Streckung dergleichen Kurve (Abb. 4.10).Stagnationsdruck: Der kritische Radius R∗, bei dem der Druck einen festen Wert p∗ er-reicht, ist gegeben durch

R∗ ∼ (E/p∗)13 . (4.65)

Dies folgt mit p∗ = 2/(γ+1)ρ1U2sh und E = ρ1U

2shR

3sh, also eine schwache Skalierung mit der

Energie.(Im militarischen kennt man diesen Wert aus dem Manhatten-Project: Einige lbs/ft2 (1 lb= 453.59237 g)).In der Astrophysik: Die Stoßwelle breitet sich aus, so lang der innere Druck hinter derStoßfront deutlich großer als der außere ISM-Druck ist. Danach gelten die gemachten Nahe-rungen nicht mehr und die sog. Snow-Plow phase setzt ein, d.h. das ISM Material wirdzusammengeschoben wie Schnee. Im SN Fall wird Rmax ∼ (E/ρ1c

21)

1/3 mit der zugehorigenZeit tmax ∼ Rmax/c1. Im ISM ist typisch T ∼ 104K und ρ ∼ 10−24g/cm3, damit Rmax einige100pc.Die bisherige Betrachtung ist adiabatisch, aber Kuhlprozesse verlangsamen die Ausbrei-tung der Stoßfront. In der Galaxis: Fontanen und blow outs vertikal zur galaktischen Ebe-ne. Der abfallende Dichtegradient in z-Richtung bewirkt hier eine vertikale Beschleunigung(Champagner-Effekt).

4.4 Literatur

1. Shu: Physics of Astrophysics, Vol. II, Kap. 15, 17

2. Landau & Lifshitz: Fluid Mechanics, aus Course of Theoretical Physics, Vol. 6, 2ndEd., Pergamon Press (1987), Kap. IX, X

3. Padmanabhan Theoretical Astrophysics, Vol I, Cambridge Univ. Press (2000), Kap. 8




Kapitel 5

Instabilitaten von Stromungen

5.1 Einfuhrung

Ausgehend von Gleichgewichtszustanden in Situationen mit laminaren Stromungen werdenUntersuchungen uber die Stabilitat dieser Stromungen durchgefuhrt.

1. Wie verhalten sich Stromungen bei kleinen Storungen?In Analogie zu einer Punktmasse in einem Potential (Kugel auf einer Bergkuppe oder ineinem Tal). Falls eine Kraft der Auslenkung entgegengesetzt zuruckwirkt, dann herschtStabilitat. Andernfalls hat man einen instabilen Zustand.

2. Man bestimmt die Art der Instabilitat durch eine Modenanalyse und Berechnung derDispersionsrelation

3. Untersuchung von stabilisierenden Elementen wie Viskositat und Strahlung

4. Nichtlineare Entwicklung der Instabilitat

5.2 Rotationsinstabilitat

Wir betrachten das Gleichgewicht einer axialsymmetrischen, rotierenden Stromung. Bei Ver-wendung von Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) und einer Stromung, welche nicht von z abhangt,lautet die radiale Impulsgleichung

durdt

= ar = rΩ2 −∇Ψ− 1

ρ

∂p

∂r, (5.1)

wobei ar die radiale Beschleunigung bezeichnet, welche sich aus dem Zentrifigalterm rΩ2,der Gravitation ∇Ψ und dem Druckgradienten 1

ρ∂p∂r

ergibt. Im Gleichgewicht gilt fur eine

zeitunabhangige, axialsymmetrische Stromung

∂

∂ϕ= 0,

∂

∂t= 0,

und aus der Impulsgleichung erhalt man somit fur den Gleichgewichtszustand (Basiszustand):

rΩ2 + g − 1

ρ

∂p

∂r= 0, (5.2)

55

56 KAPITEL 5. INSTABILITATEN

wobei jetzt g die Gravitation (= −∇Ψ) bezeichnet. Es halten sich im Gleichgewicht alsogenau die Zentrifugalkraft, Gravitationskraft und der Druckgradient die Waage.

Beispiele: Fur Situationen (Grenzfalle), in denen jeweils ein Term sehr klein gegenuber denbeiden anderen ist:

• In einer Galaxie oder in Akkretionsscheiben dominiert −∇Ψ uber 1ρ∇p. Hier

spielt der Druckgradient keine Rolle.

• Bei einer Couette-Stromung ist 1ρ∇p viel großer als g und gleicht den Zentrifugalterm

aus..

• Im hydrostatischen-Gleichgewicht ist der Rotationsterm rΩ2 vernachlassigbar. Giltz.B. fur langsam rotierende Sterne.

5.2.1 Stabilitatsanalyse

Wann ist eine Stromung, die durch (hydrostatische) Gleichung (5.2) beschrieben wird, stabil?Zur mathematischen Untersuchung machen wir die (vereinfachenden) Annahmen (Approxi-mationen), dassa) p = const. ist, also keine radialen Auftriebseffekte auftreten, undb) die Storungen axialsymmetrisch seien.Eine allgemeine Stabilitatsuntersuchung kann hier genau so angesetzt werden, wie bei derUntersuchung der Schallwellen, indem ausgehend vom Basiszustand die zeitliche Entwick-lung einer kleinen Storung untersucht wird, siehe Kap. 3.3. (Die Rechnung hierzu findet sichin dem Online-Material zur Vorlesung auf der zugehorigen Web-Seite).Hier stellen wir eine vereinfachte Analyse (nach Rayleigh) vor und verschieben jetzt (inGedanken) einen Ring mit der Masse m vom Ort r1 nach r2 mit r2 > r1 und untersuchen,ob die neue Position stabil ist oder instabil, d.h. ob die resultierende radiale Beschleunigungar des Rings am neuen Ort r2 diesen zurucktreibt (Stabilitat), oder diesen noch weiter nachaußen treibt (Instabilitat).Die grundlegende Annahme bei der Untersuchung dieser Situation ist die folgende:

• In axialsymmetrischen Systemen (ohne Viskositat) bleibt der spezifische Drehimpuls jeines Ringes erhalten:

j = r2Ω.

j bezeichnet hier die z-Komponente des spezifischen Drehimpulses j = Lz/m.

Der Ring besitzt also am neuen Ort r2 den ‘alten’ spez. Drehimpuls. Die Zentrifugalkraftauf den Ring 1, der nun bei r2 ist, betragt somit

Fz = (mrΩ2 = mj2

r3) = m

j21r32.

Die spezifische Zentrifugalkraft (radiale Beschleunigung) betragt also

j21r32


5.2. ROTATIONSINSTABILITAT 57

Die Beschleunigung auf den verschobenen Ring 1, jetzt am Ort r2, ist dann

ar(verschoben) =j21r32

+ g2 −1

ρ

∂p

∂r(r2)

Im Gleichgewicht (vgl. Gl. 5.2) gilt

ar(GGW) =j22r32

+ g2 −1

ρ

∂p

∂r(r2)

Die Netto-Beschleunigung auf den verschobenen Ring (ar(verschoben) - ar(GGW)) betragtdemnach

anetto =j21r32

− j22r32

=1

r32(j21 − j22) (5.3)

Falls nun die Netto-Beschleunigung (des nach außen verschobenen Rings) anetto großer als0 ist, dann wird er noch weiter nach außen verschoben. Die resultierende Kraft ist alsoder Auslenkung gleichgerichtet, und es liegt eine Instabilitat vor. Also ist fur j21 > j22 dieStromung instabil. Sie wird nur stabil, wenn j21 < j22 ist, also der Drehimpuls nach außen hinanwachst.Aus solchen Uberlegungen mit infinitesimalen Verschiebungen folgt als notwendigeBedingung fur die Stabilitat

d

dr

[(r2Ω)2

]> 0 (5.4)

Diese Ungleichung nennt man das Rayleigh-Kriterium. Man kann erkennen, dass fur Sta-bilitat der Drehimpuls nach außen zunehmen muss.

Definition: Die Epizykelfrequenz κ

κ2 =1

r3d

dr

[(r2Ω)2

](5.5)

Wenn κ2 > 0 ist, dann ist die Stromung stabil. Fur κ2 < 0 ist die Stromung dann entspre-chend instabil.

Bemerkungen:

• Fur die Keplersche Planetenbewegung (auf Kreisbahn) gilt

ΩK =

√

GM

r3, (5.6)

also folgt fur den spezifischen Drehimpuls

jK =√GMr. (5.7)

Dieser wachst mit r und damit sind solche Kepler-Bahnen stabil. Fur Keplerbewegunggilt genau: κ2 = Ω2

K .



Abbildung 5.1: Das Ptolemaische Weltbild mit Erlauterung von Epizykel und Deferent. Die Plane-ten kreisen um die Erde auf Kreisbahnen (den Deferenten) mit gleichformiger Geschwindigkeit. Umden Mittelpunkt dieser Bewegung kreisen sie auf kleineren Kreisen (den Epizykeln). Damit ergibtsich dann die zeitweise rucklaufige Bewegung am Himmel.

• κ ist reell:Die Epizykelfrequenz κ ist diejenige Frequenz, mit der eine aus seiner Gleichgewichtsla-ge (in der Bahnebene) ausgelenktes Teilchen (Planet) um diese schwingen wurde. In ei-nem mitrotierenden System beschreiben diese Teilchen eine sog. Epizykelbewegung. DieOszillationen sind stabil. Vergleiche die Epizykelbahnen der Planeten im ptolemaischenWeltbild, siehe Abb. 5.1.

• κ ist imaginar:Die Stromung ist nun nicht stabil, die Anwachsrate von Storungen betragt |κ|.

• In der Allgemeinen Relativitatstheorie gibt es eine letzte stabile Kreisbahn um einSchwarzes Loch, weil fur Kreisbahnen (in der Nahe des Schwarzen Lochs) der Drehim-puls nach innen hin anwachst.

• Oszillationen senkrecht zur Bahnebene (entlang der z-Achse) haben in der Grundmodeauch die Frequenz κ.

• Bei einer Rotationsstromung, wie sie z.B. in einer Akkretionsscheiben vorkommt, istΩ ≈ 0.99Ωk, und damit sind solche Kepler-Scheiben (hydrodynamisch) stabil.

• Mit Druck und bei ausschließlich radialen Auslenkungen ergibt sich aus einer linearenStabilitatsanalyse (siehe Online-Material) die Dispersionsrelation

σ2 = κ2 + k2rc2s, (5.8)

wobei kr hier die radiale Wellenzahl der Storungen bezeichnet und σ die Wachstumsrate.Storungen haben die Form

f1 ∝ ei(krr−σt) (5.9)


5.2. ROTATIONSINSTABILITAT 59

r a

r i

W i

Abbildung 5.2: Taylor-Couette Stromung von der Seite und Skizze von oben (entlang der z-Achse).

mit (f1 ∈ ρ1, ur1,Ω1). Dies sind inertiale akustische Wellen. Vergleiche auch mit dergalaktischen Dynamik.

5.2.2 Taylor-Couette-Stromung

Bei einer Taylor-Couette-Stromung handelt es sich um eine zwischen zwei Zylindern einge-schlossene viskose Stromung (siehe Grafik). Der innere Zylinder rotiere mit Ωi, der Außeremit Ωa. Um die Gleichgewichtsstromung zu berechnen, wird zunchst angenommen, dass kei-ne radiale Stromung und Axialsymmetrie vorliegt, ur = und ∂/∂φ = 0. Die Geschwindigkeitin ϕ-Richtung folgt aus dem viskosen Teil der Navier-Stokes Gleichung, ∇ · σ = 0, fur dieφ-Komponente

1

r

∂

∂r

[

r2(

ηr∂Ω

∂r

)]

= 0 (5.10)

Fur uϕ = rΩ folgt also

uϕ = C1r +C2

r(5.11)

wobei C1 und C2 Integrationskonstanten sind, die durch uϕ(ri) = riΩi und analog fur denaußeren Rand festgelegt werden. Theoretisch wurde man anhand des Rayleigh-Kriteriumsentscheiden, dass bei allen Stromungen, bei denen der außere Zylinder schneller rotiert alsder Innere eine stabile Situation und ansonsten eine instabile hat.Experiment: Die Experimente zeigen, dass fur leicht viskose Stromungen der stabile Bereichein wenig uber die Rayleigh-Grenze (5.4) hin ausgedehnt wird. Man berechnet zunachstjeweils separat fur Innen und Außen die Reynolds-Zahlen Re

Re =UL

ν=

Ωr2

ν(5.12)

Wir schreiben fur Reynolds-Zahlen

x =Ωar

2a

νy =

Ωir2i

ν(5.13)



i n s t a b i l

s t a b i lRa le ig h- Kr i te ri um

s t a b i l

Abbildung 5.3: Instabilitatsbereiche bei der Taylor-Couette Stromung, die x- und y-Achsen sinddurch die Gleichung (5.13) gegeben. Oberhalb der gestrichelten Linie ist eine nicht-viskose Stromungnach dem Rayleigh-Kriterium (Gl. 5.4) instabil.

Die Stabilitatsbereiche konnen dann in einem Diagramm mit solchen x- und y−Achsenuntersucht werden (siehe Abb. 5.3). Erlauterungen:

1. Tief im instabilen Bereich (oberhalb der durchgezogenen Kurve in Abb. 5.3) werdensehr viele Moden angeregt, dadurch entstehen Turbulenzen.

2. Werte zwischen der gestrichelten Geraden und der Kurve sind instabil nach nicht-viskosen Kriterien und werden tatsachlich instabil bei Reduzierung der Viskositat.Das heißt bei kritischen Reynoldszahlen um Rec ≈ −102 − 103.

3. Bereiche, die zu Anfang stabil sind (z.B. unterhalb der Geraden), bleiben auch beiν−Reduktion stabil.

In diesem Fall bewirkt die Viskositat also eine Stabilisierung der Stromung. Bei anderenStromungen, wie z.B. bei Akkretionsscheiben kann es aber unter bestimmten Voraussetzun-gen auch zu einer Destabilisierung durch Viskositat kommen (Stichwort: Viskose Uberstabi-litat). Bei einer nicht-viskosen Akkretionsscheibe werden dagegen Magneto-Hydrodynamische(MHD) Effekte zur Destabilisierung benotigt.

5.3 Rayleigh-Taylor und Kelvin-Helmholtz

Hier wird die Stabilitat zweier Stromungen unterschiedlicher Geschwindigkeit und Dichte,welche durch eine Grenzflache getrennt sind, untersucht.

5.3.1 Rayleigh-Taylor (Heuristisch)

Die Flussigkeiten seien beiderseits der Grenzflache in Ruhe: u = u′ = 0, wie in Abb. 5.4dargestellt. Nun stort man die Grenzschicht leicht, mit den Annahmen:


5.3. RAYLEIGH-TAYLOR UND KELVIN-HELMHOLTZ 61

z ↑ g ↓ρ

ρ′

Abbildung 5.4: Bei der Rayleigh-Taylor Instabilitat trennt eine horizontale Grenzflache zwei Flussig-keiten mit unterschiedlicher Dichte ρ und ρ′, welche sich in Ruhe befinden.

a) Druckgleichgewicht an der Grenzflache

δp|interface = 0

b) Die Flussigkeiten seien inkompressibelMan betrachtet eine Auslenkung nach der oberen Flussigkeit ρ′ um ∆z nach unten (unddamit der unteren nach oben). Die Differenz in den potentiellen Energien der beiden Flussig-keiten ist:

Obere : −ρ′g∆zUntere : +ρg∆z,

d.h. ∆Epot = (ρ − ρ′) g∆z (∆z ist positiv definiert). Falls die ausgelenkten Bereiche sichzuruckbewegen, gilt fur die Oszillationen mit der Frequenz ω

ρ1 ∝ eiωt

Im Mittel sollte die kinetische Energie in der Schwingung (Ekin ∝ ρu2) gleich der potentiellensein, also

(ρ+ ρ′)∆z2 ω2

︸︷︷︸

∆Ekin

∼ (ρ− ρ′) g∆z︸︷︷︸

∆Epot

Diese Gleichheit der Energien (im zeitlichen Mittel) ist eine generelle Eigenschaft von Schwin-gungen und kann z.B. aus dem Virialtheorem abgeleitet werden. Umgeformt ergibt sich

ω2 ≈ ρ− ρ′

ρ+ ρ′g k (5.14)

mit der Wellenzahl k ∼ 1∆z

. Diese Relation gilt fur 2 tiefe Schichten. Im Fall von flachenGewassern muss eine genauere Analyse gemacht werden (siehe z.B. Padmanabhan).

• Wenn ρ′ < ρ, das heißt die ”leichtere” Flussigkeit oben ist, wird ω2 positiv. Damit istω reell und der Zustand stabil. Diese Oberflachenwellen haben die Frequenz ω.

• Wenn ρ′ > ρ, d.h. die dichtere Flussigkeit ist oben (z.B. auch kaltere uber einer heiße-ren), dann ist ω2 < 0, und ω imaginar. Es ist instabil. Es bilden sich in der Grenzschicht”Finger”, siehe auch Abb. 5.5.

Typische Beispiele fur eine solche Fingerbildung sind Supernova-Explosionen, oder instabileSchichtungen mit Salz- und Sußwasser.



Abbildung 5.5: Finger-Bildung bei der Rayleigh-Taylor Instabilitat, fur den Fall, dass die dichtereFlussigkeit sich oberhalb der ”leichteren” befindet.

Abbildung 5.6: Ergebnisse einer 3D-Simulation zur Untersuchung der Rayleigh-Taylor Instabilitatbei einer Supernova-Explosion. Dargestellt ist die Oberflache eines Elektron-Anteils Ye = 0.16 bei13ms und 14ms. Die Simulation umfasst einen Winkelbereich von 60o. (Von E. Muller, Th. Janka,MPA Garching).

Bei Supernovae wird das Material von innen nach außen beschleunigt. Man kann sichdas wie eine umgedrehte Gravitation vorstellen, so dass nun die dichteren Schichten desSterninnerns bzgl. dieser Beschleunigung ’oben’ zu liegen kommen. Der Stern will sein ganzesSystem umdrehen. Dies ist jedoch nicht moglich, und dadurch entsteht die Fingerbildung.Die Rayleigh-Taylor Instabilitat wird durch das Gravitationsfeld getrieben. Die Energie desGesamtsystems wird niedriger, wenn die “schwerere” Flussigkeit unten ist. Ein Beispiel einersolchen Rechnung mit detailierter Mikro-Physik ist in Abb. (5.6) dargestellt.

5.3.2 Kelvin-Helmholtz (Heuristisch)

Bei der Kelvin-Helmholtz Instabilitat betrachtet man das aneinander Vorbeifließen zweierStromungen unterschiedlicher Dichte mit einer vorgegebenen Geschwindigkeitsdifferenz

∆u = u′ − u

siehe auch Abb. (5.7). Diese Instabilitat wird (im Ggs. zu RT) nicht durch die Gravita-tion getrieben, sondern durch die Scherung, bzw. Geschwindigkeitsdifferenz ∆u. Um eine


5.3. RAYLEIGH-TAYLOR UND KELVIN-HELMHOLTZ 63

ρ, u

ρ′, u′

z = 0

Abbildung 5.7: Skizze der Ausgangssituation bei der Kelvin-Helmholtz Instabilitat. Zwei Flussig-keiten unterschiedlicher Dichte und Geschwindigkeit fließen aneinander vorbei ohne Gravitations-einfluss. Die gestrichene Flussigkeit ρ′ befinde sich wiederum bei z > 0.

v g r o ß

P k l e i n

- v g r o ß

P k l e i n

v k l e i n

P g r o ß

v k l e i n

P g r o ß

Abbildung 5.8: Zur Analyse der Kelvin-Helmholtz Instabilitat. Bei einer Storung werde die Tren-nungslinie zwischen den beiden Flussigkeiten in der skizzierten Weise deformiert.

heuristische Betrachtung zu machen, geht man ins System der mittleren Geschwindigkeitenu = (u + u′)/2 und betrachtet die Auswirkungen einer kleinen Auslenkung um das Gleich-gewicht, siehe Abb. (5.8). Die Flussigkeiten seien inkompressibel (ρ = const). Mit Hilfe vonBernoulli folgt:

1

2u2 +

p

ρ= B = const. (5.15)

in den jeweiligen Seiten. Im System der mittleren Geschwindigkeit ist zunachst u′ = −u unddamit B = B′ auf beiden Seiten der Grenzschicht. Bei einer Auslenkung der Stromung in denjeweils anderen Bereich (z.B. der oberen Flussigkeit unten) verringert sich zunachst aufgrundder Kontinuitatsgleichung die Geschwindigkeit im ausgelenkten Bereich, siehe Abb. (5.8).Aufgrund der Bernoulli-Gleichung muss sich entsprechend der Druck erhohen. Damit wirdder schon ausgelenkte Bereich noch weiter in den jeweils anderen hinein ‘gedruckt’ und dieStromung ist instabil.Fur die Wachstumsrate ω (f1 ∝ e−iωt) ergibt eine genauere Analyse

ω(k) = k (u′ − u)(ρ+ ρ′)± i

√ρρ′

ρ+ ρ′. (5.16)

Man erkennt, dass es in jedem Fall instabile Moden gibt, aufgrund des imaginaren Teils.Die Instabilitat wird also hier durch die Scherung, bzw. die Geschwindigkeitsdifferenz ∆u



ρ, u

ρ′, u′

z = 0 x → g ↓

Abbildung 5.9: Situation bei der Kombination von KH und RT.

angetrieben und tritt selbst bei gleichen Dichten ρ′ = ρ auf. Typisches Beispiel dafur sindJets in einem umgebenden Medium, oder auch Rollenbildung von Wolken am Himmel.Im zusatzlichen Fall von Oberflachenspannung T und Gravitation g gilt, dass die Stromunginstabil ist fur den Fall

(u′ − u)2 ≥ 2ρ+ ρ′

ρρ′[Tg(ρ− ρ′)]

12 . (5.17)

Also muss eine bestimmte Differenz der Stromungsgeschwindigkeiten uberschritten werden,da die Oberflachenspannung der Instabilitat entgegen wirkt. Dabei ist wiederum die gestri-chene Flussigkeit ρ′, u′ oben und die ungestrichene ρ, u unten.Zum Beispiel bei Luft uber Wasser. Instabilitat oberhalb einer kritischen Geschwindigkeit(6.5m

s, oder 12.5 Knoten), dann gibt es auf dem Wasser Wellen und Mowen steigen am

Himmel auf.Instabilitaten kommen oft zusammen vor. Bei gleichzeitiger Kelvin-Helmholtz Instabilitatverandern sich z.B. die Finger bei Rayleigh-Taylor-Instabilitaten.Bei kontinuierlichen Gradienten ergeben sich Modifikationen.Rayleigh-Taylor: Auftriebsinstabilitat, KonvektionKelvin-Helmholtz: Shear-Flow-Instabilitat.

5.3.3 Kombinierte Analyse von Rayleigh-Taylor und Kelvin-Helmholtz

Lage z der Grenzschicht (hier eine Lagrange-Betrachtung versus Euler)

z = ξ1(x, t) = Aei(kx−ωt) (5.18)

Setze Storungsansatz wiederum in Bewegunsgleichungen (Kontinuitat, Euler) ein unter derAnnahme von Druckgleichgewicht im Basiszustand und erhalte als Dispersionsrelation

ω

k=ρu+ ρu′

ρ+ ρ′±[g

k

ρ− ρ′

ρ+ ρ′− ρρ′(u− u′)2

(ρ+ ρ′)2

] 12

(5.19)

Die Gleichung (5.19) erlaubt unterschiedliche Situationen

1. Oberflachenwellen: Die Flussigkeiten befinden sich in Ruhe, mit der leichteren oben

u = u′ = 0 ρ > ρ′ (5.20)

aus Gl. (5.19) folgt

ω

k= ±

[g

k

ρ− ρ′

ρ+ ρ′

] 12

. (5.21)


5.4. SCHERINSTABILITATEN 65

Dies ist identisch zu Gl. (5.14). Die Phasengeschwindigkeit ist ωk= f(k) und somit

dispersiv, d.h. die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist von der Wellenlange abhangig.

Beispielsweise ist an der Grenzflache Wasser/Luft ρ′ ≪ ρ, und man erhalt naherungs-weise

ω = ±√

gk (5.22)

Annahmen bei diesen Betrachtungen sind, dass es keine Oberflachenspannung gibt unddass die Flussigkeiten unendlich tief sind.

2. Seien die Flussigkeiten wiederum in Ruhe, aber jetzt die dichtere oben

u = u′ = 0 ρ < ρ′ (5.23)

Dann wird ω imaginar und man bekommt eine Instabilitat (Rayleigh-Taylor), vgl.Gl. (5.14).

3. Der Zustand sie jetzt Rayleigh-Taylor-stabil, aber mit unterschiedlichen Geschwindig-keiten

u 6= u′ 6= 0 und ρ > ρ′ (5.24)

Wenn die Wurzel negativ ist, dann wird ω imaginar. Wenn Im (ω) > 0, dann ist es eininstabiler Zustand

ρρ′(u− u′)2 > (ρ2 − ρ′2)g

k(5.25)

Diese Beziehung stammt von Kelvin (1871) und Helmholtz (1868).

Bemerkung:Auch fur beliebig kleine (u− u′) werden große Fourier-Komponenten k instabil

k >(ρ2 − ρ′2)g

ρρ′(u− u′)2(5.26)

d.h. bei kleinen Wellenlangen λ ∼ 1k. Aber auf solchen kleinen Skalen wird die Viskositat

wichtig und fuhrt zur Dissipation.

5.4 Scherinstabilitaten

Bei dieser Art von moglichen Stromungsinstabilitaten betrachten wir keine (unstetige) Grenz-flache, sondern einen kontinuierlichen Gradienten in der Stromung. Die Stromung erfolge inx-Richtung mit einem Gradienten in z-Richtung, ohne Gravitation, vgl. Abb. (5.10). DieGeschwindigkeit ist also:

u0 =

u(z)00

Ansonsten sei die Stromung homogen (ρ = ρ0 = const., p = p0 = const.) und inkompressibel∇ · u0 = 0. Wir betrachten jetzt kleine Storungen der Form

p = p0 + p′(x, t) , ρ = ρ0, u = u0 + u′



z

x

Abbildung 5.10: Eine Stromung erfolge in x-Richtung mit einem Gradienten in z, ohne Gravitation.

mit der Geschwindigkeitsstorung

u′ =

u′

v′

w′

,

wobei diese Storungen (in 3D) ebenfalls inkompressibel seien. Das Medium sei ideal (ν = 0,nicht viskos).Einsetzen in die Euler-Gleichungen und Linearisierung fuhrt auf

(∂

∂t+ u

∂

∂x

)

u′ + w′du

dzex = −∇h′ (5.27)

und∇ · u′ = 0 (5.28)

dabei ist ex ein Einheitsvektor in x-Richtung. h′ bezeichnet hier die gestorte Enthalpie h′ =p′/ρ. Die erste Gl. (5.27) folgt aus der Annahme einer Abhangigkeit der Basisstromung nur inz-Richtung. Die zweite Gleichung (5.28) ist eine Konsequenz der Inkompressibilitat. Beachte,dass in Gleichung (5.27) u die ungestorte Geschwindigkeit bezeichnet, hier wurde der Index0 vernachlassigt.Wir fuhren jetzt eine Stromfunktion Ψ(x, z) fur die Geschwindigkeitsstorungen u′ ein

u′ = (u′, 0, w′) = (∇× (Ψey)) =

(

−∂Ψ∂z

, 0,∂Ψ

∂x

)

(5.29)

Damit wird automatisch die Divergenzfreiheit der Geschwindigkeitsstorungen gewahrleistet,wobei die Geschwindigkeitskomponente in y-Richtung direkt auf Null gesetzt wird, weil dieseRichtung nicht von Bedeutung ist. Nun leiten wir die erste, x-Komponente der Gl. (5.27)nach z ab, die zweite nach x, und bilden die Differenz. Es folgt

u′tz − w′tx + u(u′xz − w′

xx) + w′uzz = 0, (5.30)

wobei die Indizes die Ableitungen nach den entsprechenden Variablen bedeuten.Mit dem Ansatz

Ψ = Φ(z) ei(kx−ωt) (5.31)

folgt aus Gl. (5.30) die Dispersionsrelation

(k u− ω)(Φ′′ − k2 Φ) − k u′′Φ = 0. (5.32)


5.4. SCHERINSTABILITATEN 67

Diese Gleichung nennt man auch Rayleigh-Gleichung. In dieser Gleichung (5.32) bedeutendie Doppelstriche zweite Ableitungen nach der Koordinate z. Beachte, dass alle Funktionen(u und Φ) nur von z abhangen, wobei Φ(z) die komplexe Amplitude der Storung ist.Stabilitatskriterien:Wenn der imaginare Teil von ω großer als Null ist, dann ist der Zustand instabil. Aufgrundder Ableitungen von Φ(z) ist ein (lokales) Stabiltatskriterium nicht direkt angebbar und wirmachen eine globale Analyse, indem wir eine Integration uber den gesamten z−Bereich derStromung durchfuhren.Umgeschrieben lautet die Rayleigh-Gleichung

Φ′′ − k2 Φ − ku′′

ku− ωΦ = 0. (5.33)

Nach Multiplikation mit (dem konjugiert komplexen) Φ∗ und (partieller) Integration erhaltman unter Berucksichtigung von Φ′(z1) = Φ′(z2) = 0

∫ z2

z1

(|Φ′|2 + k2|Φ|2) dz +∫ z2

z1

ku′′

ku− ω|Φ|2 dz = 0. (5.34)

In dieser Gleichung mussen Real- und Imaginarteil jeweils verschwinden. Der erste Term derGleichung ist rein reell, und fur den Imaginarteil des zweiten folgt

ωI

∫ z2

z1

ku′′

|ku− ω|2 |Φ|2 dz = 0. (5.35)

Damit das Produkt verschwindet, muss entweder ωI = 0 sein, was aber nicht zur Stabi-litat fuhrt, oder aber das Integral verschwindet. Notwendige Bedingung dafur ist genau einVorzeichenwechsel von u′′ im Intervall [z1, z2]. Somit muss es also einen Wendepunkt derGeschwindigkeit geben als eine notwendige Bedingung fur Instabilitat. Solche Instabilitatennennt man Inflection Point Instability. Solange u′′ 6= 0, ist der Zustand stabil, da dannωI = 0 sein muss. Die Situationen werden in der Abb. (5.11) illustriert.Beispiele:

• Ebene Couette-Stromung (einfache Scher-Stromung) ist stabil

u ∼ z ⇒ u′′ = 0 (5.36)

• Ebene Poiseuille-Stromung (Stromung in einem Rohr)

u ∼ 1− z2 (5.37)

ist stabil. Erst eine nicht-lineare Analyse bringt Instabilitat.

Experiment:Wenn u einen Wendepunkt hat, dann kommt es zu Instabilitaten. Sollte u keine Wendepunk-te haben, dann kann es zu Instabilitaten kommen. Die Ursache hierfur liegt in der Viskositat.

Die Viskositat hat zwei Effekte:



u ' ' > 0 u ' ' < 0

u ( z )

i n s t a b i l

u ' ' = 0 u ' ' = 0

Abbildung 5.11: Verschiedene Moglichkeiten bei der Inflection Point Instabilitat. Die beidenoberen Situationen sind stabil, die beiden unteren instabil.

1) Zum einen widersteht sie der Bewegung und hat damit eine Dampfungswirkung. Nurwenn der Energie-Input der Storung groß genug ist, kommt es zu einem Anwachsengegen die wirkende Viskositat.

2) Zum anderen erhalt man neue Freiheitsgrade. Man kann Energie aus der Basisstromungu(z) ziehen. Bei idealen Stromungen ist die Vortizitat erhalten. Bei nicht-idealen kanndie Vortizitat u.a. erzeugt werden und diffundieren. D.h., die Stromung ist wenigereingeschrankt, es eroffnen sich mehr Freiheitsgrade.

Mathematisch gesehen werden solche (viskosen) Storungen in diesem Fall durch eine Erwei-terung der Gl. (5.27), einer Gleichung vierter Ordnung, beschrieben

(∂

∂t+ u

∂

∂x

)

u′ + w′du

dzex = −∇p′ + 1

Re

∆u′ (5.38)

divu′ = 0 (5.39)

Im Vergleich zu Gl. (5.27) kommt hier noch weiterer Term verursacht durch die Viskositathinzu. Dabei ist Re die Reynoldszahl

Re =uL

ν

Ein Storungsansatz wie oben (5.31) und Linearisierung liefert

(ku− ω) (D2 − k2) Φ− ku′′Φ =(D2 − k2)2Φ

ik Re(5.40)

Dabei steht D fur den Operator ∂∂z. Diese Gleichung (5.40), eine Erweiterung der Rayleigh-

Gleichung (5.32), heißt auch Orr-Sommerfeld-Gleichung. Sie ist wichtig bei der Unter-suchung von Grenzschichten.


5.5. LITERATUR 69

Abbildung 5.12: Instabilitatsbereich fur die ebene Poiseuille Stromung. Die Stromung fließt zwischenzwedurch ein Rohr der wird mit der Fre Instabilitat. Die beiden oberen Situationen sind stabil, diebeiden unteren instabil. (Aus Shu, Fig.9.3)

Ein Beispiel fur den gleichzeitig stabilisierenden und destabilisierenden Einfluss der Visko-sitat ist die ebene Poiseuille Stromung. Dabei fließt eine Stromung zwischen zwei Platten mitdem Abstand L. Die Gleiichgewichtsstromung bildet ein Parabelprofil aus mit der mittlerenGeschwindigkeit U . Die kinematische Viskositat ist ν und die Reynoldzahl Re = UL/ν. ZurUntersuchung der Stabilitat wird die Stromung mit eine Frequenz ω gestort und das Ergebnisuntersucht. Die Frage ist hierbei, ob die Advektion mit der Geschwindigkeit U die Stromungstbilisieren kann, oder nicht. Das experimentelle Ergebnis ist in Abb. 5.12 dargestellt. Ober-halb einer bestimmten Frequenz ω ist die Stromung generel stabil, weil die dazu gehorigenkleinen Wellenlangen (große k) durch die Viskositat gedampft werden. Fur genugend kleineω gibt es jeweils eine kritische Reynoldzahl Recrit, ab der die Stromung instabil wird. Derinstabile Bereich wir fur große Re wieder stabil. Die kritische Reynoldszahl Recrit, bei der In-stabilitat einsetzt liegt dabei bei Recrit ≈ 6000−7000 fur die ebene Poiseuille Stromung, undjeweils bei ∞ fur die Stromung durch ein Rohr (Hagen-Poiseuille) die ebene Scherstromung(Couette).

5.5 Literatur

1. Shu: Physics of Astrophysics, Vol. II, Kap. 82. Padmanabhan, T.: Theoretical Astrophysics, Vol. I, Kap. 83. Shore, S.: Astrophysical Hydrodynamics, Kap. 9




Kapitel 6

Physik der Sterne

Der Inhalt beschaftigt sich mit der Entstehung, dem Gleichgewicht, und der Stabilitat vonSternen.

6.1 Das Jeans-Kriterium

Wir untersuchen die Bildung von Sternen aus einem instabilen Anfangszustand heraus.Man betrachtet ein homogenes und unendliches Medium, d.h. ρ und T sollen uberall konstantsein.(Bem: Das hieße auch Ψ = const., und damit dann im Prinzip ρ = 0 wegen ∇2Ψ = 4πGρ.Das heißt, es waren eigentlich bessere Bedingungen notwendig. Bei periodischen Storungenmit einer bestimmten Wellenlange ist das Verhalten ahnlich, wie bei gleichen Wellenlangender isothermen Sphare, d.h. Rechtfertigung der nachfolgenden Diskussion.Die Euler-Gleichungen lauten

∂u

∂t+ (u · ∇)u = −1

ρ∇p−∇Ψ (6.1)

∂ρ

∂t+ (u · ∇)ρ+ ρ∇ · u = 0 (6.2)

∇2Ψ = 4πGρ (6.3)

p =RgasρT

µ= c2sρ (6.4)

cs ist die konstante isotherme Schallgeschwindigkeit.Der Gleichgewichtszustand oder Basiszustand sei gegeben durch:

ρ = ρ0 = const. T = T0 = const. u0 = 0 (6.5)

Das Gleichgewicht werde gestort (siehe Ableitung der Schallwellen)

ρ = ρ0 + ρ1 u = u0 + u1

p = p0 + p1 Ψ = Ψ0 +Ψ1

alle Storungen f1 hangen von x und t ab und haben die Form

f1 = f1(x, t) f1 ∈ ρ,u, p,Φ (6.6)

71

72 KAPITEL 6. PHYSIK DER STERNE

wobei wiederum f1 << f0 gelten soll. Setzt man diese Bedingungen in die Gleichungen (6.1- 6.3) ein und vernachlassigt die nichtlinearen Terme, dann erhalt man

∂u1

∂t= −∇

(

Ψ1 + c2sρ1ρ0

)

(6.7)

∂ρ1∂t

+ ρ0∇ · u1 = 0 (6.8)

∇2Ψ1 = 4πGρ1 (6.9)

Nun bildet man die Divergenz der Gleichung (6.7) (Impulsgleichung) und die zeitliche Ab-leitung der Gleichung (6.8) (Dichte) und setzt die erste in die zweite ein:

∂2ρ1∂t2

+ ρ0∇ ·(∂u1

∂t

)

= 0 (6.10)

∂2ρ1∂t2

− ρ0∇2

(

Ψ1 + c2sρ1ρ0

)

= 0 (6.11)

Mit der Poisson-Gleichung folgt

∂2ρ1∂t2

− c2s∆ρ1 − 4πGρ0ρ1 = 0 (6.12)

Dies ist ein lineares, homogenes Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.Die Losungen sind Superposition von

ρ(x, t) = ρcei(k·x−σt) (6.13)

Hier ist k der Wellenzahlvektor, und σ eine Schwingungsfrequenz. Wenn man den Losungs-ansatz in die Gleichung (6.12) einsetzt und durch ρce

i(k·x−σt) teilt, dann erhalt man

−σ2 + c2sk2 − 4πGρ0 = 0 (6.14)

oder umgeformtσ2 = c2sk

2 − 4πGρ0 (6.15)

Dies ist eine sogenannte Dispersionsrelation:Wellen breiten sich nur dann mit einer reellen Frequenz (d.h. σ2 > 0) aus, wenn k einekritische Große kJ ubersteigt:

k2J =4πGρ0c2s

(6.16)

Es gibt also fur große k (d.h. kleine Wellenlangen λ) eine stabile Wellenausbreitung (zumBeispiel Schallwellen).Fur k2 < k2J ist der Eigenwert σ = ±iξ mit einem reellen ξ. Die Losung ist also ∝ e±ξt. Diesbedeutet ein exponentielles Wachstum, und es ergibt sich eine Instabilitat.Mit

λJ =2π

kJ(6.17)

folgt: Storungen mit λ > λJ sind instabil (Jeans-Kriterium (1902).


6.2. DER EINFLUSS DER ROTATION 73

Das Jeans-Kriterium beschreibt zum einen die kleinste instabile Wellenlange (”Jeans-Lange”)

λJ =

(π

Gρ0

) 12

cs (6.18)

und zum anderen die kritische Masse (”Jeans-Masse”), oberhalb derer Storungen instabilwerden

MJ =4π

3ρ0

(1

2λJ

)3

=π

6ρ0

(πc2sGρ0

) 32

(6.19)

Bemerkung:

• Eine heuristische Moglichkeit zur (qualitativen) Ableitung des Jeans-Kriteriums ergibtsich aus folgender Uberlegung:Die Schallgeschwindigkeit zur Durchquerung einer Gaswolke mit dem Radius R isttSchall ≈ R/cs. Die Freifall-Zeit (siehe Gl. 6.34) lautet tff ≈ 1/

√Gρ. Eine Konfigurations

ist instabil, falls (Druck-)-Anderung nicht schnell genug ’kommuniziert’ werden konnen,also falls tff < tSchall. Daraus folgt: R > cs/

√Gρ, was aquivalent ist zu Gl. (6.18).

• Je hoher die Temperatur, desto stabiler ist die Konfiguration (druckstabilisiert).

• Je hoher die Dichte ρ0, um so instabiler ist der Zustand aufgrund der Gravitation.

• Es ergeben sich Modifikationen durch Effekte wie: wie Turbulenz, Ionisation desGases, Magnetfelder und Rotation. Diese Effekte wirken i.a. dem Kollaps entgegen.

(Man vergleiche auch mit den Beobachtungen: Die gemessene lange Kollapszeit lasst auf eineunbekannte Stabilisierung schließen.)

6.2 Der Einfluss der Rotation

Annahme: Starre Rotation mit Ω und k ·Ω = 0, d.h. k = (kx, ky, 0) fur Ω = (0, 0,Ω), ohneMagnetfeld und Turbulenz. Dies liefert die Dispersionsrelation

σ2 = 4Ω2 + c2sk2 − 4πGρ0 (6.20)

Fur Ω2 > πGρ0 ist der Zustand stabil, man muss aber Modifikationen bei einer Scher-stromungen durchfuhren.

Man betrachte eine unendlich dunne ausgedehnte, differentiell rotierende Scheibe mit derOberflachendichte Σ, d.h.

4πGρ⇒ 2πGΣ|k| (6.21)

Die lokale Dispersionsrelation fur ring-formige, axial-symmetrische Storungen (nur in Schei-benebene) ist

σ2 = κ2 + c2sk2 − 2πGΣ|k| (6.22)

mit der Epizykel-Frequenz

κ2 = 4Ω2

(

1 +1

2

d log Ω

d log r

)

(6.23)



Man vergleiche mit der Einfuhrung von κ im Abschnitt (5.2). Man erhalt eine Instabilitat,wenn der Toomre-Parameter

Q =κcsπGΣ

≈ Druck|RotationGravitation

(6.24)

kleiner als 1 wird.Dieser Parameter ist z.B. wichtig bei der Frage, ob Planeten direkt durch Fragementationentstehen konnen.Korrektur: Bonnor-Ebert, raumlich beschrankte Masse-Verteilung.

6.3 Druckloser Kollaps

Falls ein Gas nach dem Jeans-Kriterium instabil ist, dann wird beim Kollaps die Gravitationimmer wichtiger im Vergleich zum Gasdruck. In spharischer Symmetrie ist die gravitativeBeschleunigung

aG ≈ GM

R2(6.25)

Dabei ist M die Masse der Wolke und R der Radius. Die Beschleunigung durch den Druck-gradienten ist gegeben durch

ap =1

ρ

∂p

∂r≈ p

ρR≈ RgasT

µR(6.26)

alsoaGap

∼ µ

RT∼ 1

R(6.27)

Dh. beim Kollaps wachst das Verhaltnis wie 1/R, und der Gasdruck kann vernachlassigtwerden.Betrachte also den freien Kollaps (p = 0) einer homogenen Gas-Sphare.Fur jede Massenschale (mit Radius r) gilt:

r = −Gm(r)

r2m(r) : Masse innerhalb von r (6.28)

Diese Masse m(r) bleibt fur jede Massenschale wahrend des Kollaps konstant, und es gilt

m =4πρ0r

30

3, (6.29)

wobei ρ0 = const. und r0 die Anfangsdichte ρ0 und den Anfangsradius der Schale bezeichnet.Nun multipliziert man Gl. (6.28) mit r und integriert die Gleichung (Energiesatz), so folgt

1

2r2 =

4πr303r

Gρ0 + const.

(vergleiche das Kepler-Problem: r2 = A/r+C, wobei A,C Konstanten sind.) Zum Zeitpunktt = 0 sei r = 0 und r = r0 (Die Wolke sei zu Beginn in Ruhe), damit ergibt sich

r

r0= ±

[8πG

3ρ0

(r0r− 1)]

12

(6.30)


6.3. DRUCKLOSER KOLLAPS 75

Weil wahrend des Kollaps der Radius kleiner wird r < r0 (negative Geschwindigkeiten), giltin Gl. (6.30) das “-“ Zeichen! Es wird nun eine neue Variable u eingefuhrt:

cos2 u =r

r0(6.31)

abgeleitet erhalt manr

r0= −2u cosu sin u

Wenn man Gleichung (6.31) umformt, erhalt man

r0r− 1 =

sin2 u

cos2 u

Das setzt man nun in die Gleichung (6.30) ein und erhalt

2u cos2 u =

(8πGρ0

3

) 12

(6.32)

Mit

2u cos2 u =d

dt

(

u+1

2sin 2u

)

kann man die Gleichung (6.32) dann integrieren zu

u+1

2sin 2u =

(8πGρ0

3

) 12

(t− t0) (6.33)

Mit den Anfangsbedingungen

t0 = 0 r = r0 u = 0

In der Endlosung (6.33) tritt kein r0 mehr auf, und somit ist die Losung fur alle Massen-schalen gleich. Also sind r

r0und r

r0unabhangig von r.

Das heißt: Es ist eine homologe Kontraktion, die Sphare bleibt homogen.

Die Zeit bis zum Ende des Kollaps mit r = 0, also u = π2betragt

tff =

(3π

32Gρ0

) 12

(6.34)

Diese Zeit nennt man die Frei-Fall-Zeit. Bei einer Dichte, welche leicht erhoht bezuglichdes interstellaren Mediums ist, etwa ρ0 ∼ 4 · 10−23 g

cm3 betragt die Frei-Fall-Zeit

tff ≈ 107 Jahre (6.35)

Das ist aber nur eine Approximation, wenn bei andauerndem Kollaps der Druck im Kernwichtig wird gibt es Stoßwellen. Leichte Storungen der spharischen Symmetrie wachsen.Zusatzlich wirken noch die Rotation und Magnetfelder.



6.4 Kollapsrechnung

Eine numerische Kollapsrechnung zur Sternentstehung wurde erstmals von Larson 1969 (imRahmen seiner Doktor-Arbeit) durchgefuhrt.Die Rechnungen beschreiben den Kollaps eines Gases, dessen Zusammensetzung der einerHI-Region (molekularer Wasserstoff) entspricht. Annahmen:

• spharische Symmetrie

• keine Rotation und Magnetfelder

• Chemische Zusammensetzung: HI-Region (molekularer Wasserstoff) mit einer Dichtevon ρ ≥ 10−19 = const..

• T ≈ 10K, R = 1.63 · 1017 cm, M = 1M⊙, d.h. Rmax = 0.46 GMRgasT

.

Benutze die radiale Eulergleichung und in der Energie-Gleichung die Diffusionsnaherung∇·Ffur Strahlung mit

Frad = −4ca T 3

3ρκ∇ · T (6.36)

κ ist die Rosseland-Opazitat, c die Lichtgeschwindigkeit und a die Strahlungskonstante. Furdie Frei-Fall Zeit gilt dann:

tff =

(3π

32Gρ0

) 12

(6.37)

= 6.64 · 1012 s (6.38)

= 2.1 · 105 a (6.39)

(Bilder zum Kollaps)

6.4.1 Radiales Profil

Erlauterung des r−2-Profils:Fur isotherme Gasspharen gilt:

c2sρ

dρ

dr= −dΨ

drmit p = ρc2s (6.40)

und integriert (mit cs = const)

ρ = ρ0e−

Ψ

c2s (6.41)

Mit der Poisson-Gleichung ∇2Ψ = 4πGρ erhalt man dann die isotherme Lane-Emden-Gleichung

1

r2d

dr

(

r2dΨ

dr

)

= 4πGρ = 4πGρ0e−

Ψ

c2s (6.42)

(Die Losung kann mit den Anfangswerten Ψ = 0, Ψ′ = 0 bei r = 0 numerisch berechnetwerden, ist tabelliert in dem Buch ”Stellar Structure” von S. Chandrasekhar.) Wenn der


6.5. HYDROSTATISCHES GLEICHGEWICHT 77

Dichtekontrast zwischen Zentrum und Oberflache groß ist, dann geht ρ0 gegen unendlichund das generelle Dichtprofil wie (siehe Padmanabhan fur Beweis)

ρ⇒ c2s2πG

r−2 fur r ≫ cs(4πGρ0)−1/2 (6.43)

Wegen ρ ∝ r−2 heißen diese Losungen auch singulare isotherme Spharen. Gilt auch fur denKollaps einer isothermen Sphare1.Modifikationen: Der zentrale Bereich wird opak bei einer Dichte von ρ ' 10−13 g

cm3 .Ein Kern bildet sich bei Tc = 170K, ρc = 2 · 10−11 g

cm3 , M = 1031 g und Rc = 6 · 1013 cm. Dasfuhrt zu einem Kollaps des Kerns und einer Stoßfrontbildung. Diese Stoßfront nennt manAkkretionsshock.

6.5 Hydrostatisches Gleichgewicht

Wir betrachten Sterne im hydrostatischen Gleichgewicht mit Hilfe einer vereinfachten po-lytropen Zustandsgleichung. Im hydrostatischen (Druckkraft = Gravitationskraft) Gleichge-wicht eines spharisch symmetrischen Sterns gilt

1

ρ

dp

dr= −dΨ

dr= −Gm(r)

r2(6.44)

mit dem Druck (polytrope Relation)

p = Kργ = Kρ1+1n (6.45)

und der innerhalb des Radius r enthaltenen Masse

m(r) = 4π

∫ r

0

ρ(r′)r′2 dr′ (6.46)

Wir schreiben die Gleichungen dimensionslos und mit

z = Ar

A2 =4πG

(n+ 1)Kρ1− 1

nc (6.47)

undρ = ρcw

n (6.48)

erhalt man die Lane-Emden-Gleichung

1

z2d

dz

(

z2dw

dz

)

+ wn = 0 (6.49)

Dies ist im Prinzip eine Gleichung fur das dimensionslose Potential. Die Randbedingungenam Ursprung z = 0 folgen aus der Regularitat des Potentials und lauten

w = 1 z = 0dw

dz= 0 fur z = 0 (6.50)

1Zum selbstahnlichen Kollaps, siehe ”Shu”



Der Sternradius zu einem Polytropenindex n liegt bei der ersten Nullstelle zn der Funk-tion w(z). In der folgenden Tabelle sind die einzigen drei analytisch bekannten Losungenaufgefuhrt:

n = 0 w(t) = 1− 16z2

n = 1 w(t) = sin zz

n = 5 w(t) = 1(

1+ z2

3

) 12

Die erste Losung beschreibt eine homogene Kugel mit konstanter Dichte ρ = ρcw0 = const.,

die letzte Losung eine Konfiguration mit unendlichem Radius aber endlicher Masse. Diesewird oft zur Beschreibung des Dichteprofils von Sternhaufen verwendet, wobei gilt

ρ ∝[

1−( r

R

)2]−5/2

,

das sog. Plummer-Profil.Durch Reihenentwicklung oder numerisch erhalt man

n zn ρc/ρ − z2dw/dz|zn0.0 2.45 1.00 4.901.0 3.14 3.29 3.141.5 3.65 6.00 2.713.0 6.90 54.18 2.025 ∞ ∞ 1.74

wobei ρ die uber den Stern gemittelte Dichte bedeutet. Einige Dichteprofile sind in derAbb. 6.1 dargestellt.Die Gesamtmasse eines polytropen Sterns berechnet sich zu

M = 4π

∫ R

0

ρr2dr =4πρcA3

∫ zn

0

wnz2dz =4πρcA3

(

−z2 dwdz

)

zn

, (6.51)

wobei fur die letzte Umformung die Lane-Emden Gleichung (6.49) verwendet wurde. Fur diemittlere Dichte gilt

ρ

ρc=

(

−3

z

dw

dz

)

zn

, (6.52)

wie ebenso aus der Lane-Emden Gleichung abgeleitet werden kann.

6.5.1 Beispiel: Die Sonne

Die Werte fur die Sonne sindM⊙ = 1.989 · 1033 gR⊙ = 6.96 · 1010 cm

⇒ ρ = 1.41g

cm3


6.5. HYDROSTATISCHES GLEICHGEWICHT 79

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7

Den

sity

Radius

n=0.5n=1.0n=1.5n=2.0n=2.5n=3.0n=4.0

Abbildung 6.1: Dichteschichtung von polytropen Sternen fur unterschiedliche Polytropenindizes.

Fur n = 3 (einem typischen Wert) erhalt man dann fur polytrope Sterne

z3 = 6.897ρcρ

= 54.18

ρc = 76.39g

cm3

A =z3R⊙

= 9.91 · 10−11

K = 3.88 · 1014

Pc = 1.24 · 1017 dyncm2

und mit

µ = 0.62 fur die Massenanteile: X = 0.7 Y = 0.3

und: Tc = 1.2 · 107KDie numerische Losung der exakten Sternaufbaugleichungen ergibt 1.4 · 107K.

n = 3-Polytrope: Bei einem ideales Gas mit Strahlung gilt fur den Druck

p =Rgas

µρT +

a

3T 4 ≡ Rgas

µβρT (6.53)

Der erste Term beinhalt den Gasdruck, der zweite den Strahlungsdruck prad = a3T 4. In

Gleichung (6.53) haben wir das Verhaltnis Gas- zu Gesamtdruck β eingefuhrt

β ≡ pgasp

(6.54)



Falls β naherungsweise konstant in Sternen ist

1− β =pradp

=aT 4

3p T 4 =

(1− β)3

ap . (6.55)

Mit der idealen Gasgleichung folgt

p =

(3R4

gas

aµ4

) 13(1− β

β4

) 13

︸︷︷︸

K

ρ43 . (6.56)

Allgemein kann dies als formuliert werden als

p = Kρ43 mit K = K(β) und β ∈ [0, 1]

Die Relation (6.56), also die n = 3 Polytrope wurde von Eddington fur sein ”Standard Mo-dell” benutzt.

6.6 Rotierende selbstgravitative Korper

c

a

z

x,y

Abbildung 6.2: Querschnitt eines Ellipsoids mit a = b

Bei rotierenden selbstgravitierenden Korpern ist es nur in den einfachsten Fallen moglich,analytische Losungen anzugeben. Bei einer ersten Betrachtung ist es am einfachsten, wennman eine konstante Dichte annimmt. Die zusatzliche Annahme einer konstanten (nicht-differentiellen) Rotation Ω des Sterns fuhrt zu Rotationsellipsoiden.Sei jetzt die Rotationsachse die z-Achse. Ein Ellipsoid wird beschrieben durch

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 a ≥ b ≥ c (6.57)

Der einfachste Fall davon sind die axialsymmetrischen MacLaurin Ellipsoide, fur die a = bgilt, siehe auch Abb. 6.2.Aus der Poisson-Gleichung folgt das Potential Ψ uber das Possion-Integral

Ψ(x) = −G∫

ρ(y)

|x− y| d3y (6.58)


6.6. ROTIERENDE SELBSTGRAVITATIVE KORPER 81

Bei konstanter Dichte und ellipsoidaler Form (6.57) folgt (Dirichletsche Formel)

Ψ(x, y, z) = −πρ abcG∫ ∞

xo,i

(

1− x2

a2 + s− y2

b2 + s− z2

c2 + s

)ds

Rs

(6.59)

mitRs =

√

(a2 + s)(b2 + s)(c2 + s) (6.60)

In der Gl. (6.59) bedeuten xi,o die zwei verschiedenen Integrationsgrenzen: xo fur das außerePotential und xi fur das innere Potential. Es gilt: xo ist die positive Wurzel aus

x2

a2 + xo+

y2

b2 + xo+

z2

c2 + xo= 1 (6.61)

Fur das innere Potential ist xi = 0. Fur die gesamte Gravitationsenergie Egr ergibt dies

Egr =1

2

∫

ρΨ dV = − 3GM2

10

∫ ∞

0

ds

Rs

(6.62)

Hier ist M die Gesamtmasse des Sterns und dV das Volumenelement. Im Innern ist dasPotential also eine quadratische Funktion der Koordinaten, weil es nicht mehr von denIntegrationsgrenzen abhangig ist.Aufgrund der Gleichheit von Zentrifugalkraft und Gravitation gilt an der Oberflache

Ψ− Ω2

2(x2 + y2) = const. (6.63)

Mit der Exzentrizitat

e2 = 1−( c

a

)2

(6.64)

folgt fur a = b (MacLaurin)

Ω2

2πGρ=

√1− e2

e3

[

(3− 2e2) sin−1 e− 3e√1− e2

]

. (6.65)

Die gesamte kinetische Energie des Sterns ist gegeben durch

T =1

2

∫

ρ(x2 + y2)dV =1

2ρΩ2

∫

(x2 + y2)dV =4π

15ρΩ2

√1− e2a5 . (6.66)

Wir definieren das Verhaltnis τ von kinetischer Energie T zu potentieller Energie Egr underhalten

τ =T

|Egr|=

3

2e2− 1− 3

√1− e2

2e sin−1 e(6.67)

τ ist eine monoton wachsende Funktion der Exzentrizitat.Stabilitat Bei den achsialsymmetrischen Rotationsellipsoiden (MacLaurin), welche in derAbb. (6.3) die umgekehrte Parabel liefern, kommt es bei speziellen Werten von τ zu Bifurka-tionen, bei denen anders geformte Gleichgewichtsfiguren entstehen mit gleichem Drehimpuls,aber unterschiedlicher Energie. Es seien die beiden Werte

τb = 0.1375 entsprechend e = 0.8



µ L

R i n gJ

T b T R t0 . 5

Abbildung 6.3: Das Quadrat der Rotationsgeschwindigkeit Ω2 (y-Achse) gegen das Verhaltnis vonkinetischer zu Gravitationsenergie τ fur mit konstantem Ω rotierenden Gleichgewichtsfiguren mitkonstanter Dichte. Die Parabel ist die Kurve fur MacLaurin-Ellipsoide (ML), d.h. axialsymmetrischeKonfigurationen. Fur die weiteren Kurve, siehe Text.

undτR = 0.359 entsprechend e = 0.98523

genannt. Beim ersten Wert τb gibt es einen Ubergang (Bifurkation) zur Sequenz der Jacobi-Ellipsoide, im Diagramm mit J bezeichnet. Diese beschreiben triaxiale Ellipsoide mit dreiverschiedenen Achsen a, b, c. Fur τ → 0.5 gehen diese in lange unendlich dunne “Nadeln“uber. Bei dem zweiten Wert τR = 0.359 bifurkieren die axialsymmetrischen Ringlosungenab.Fur feste Werte des Drehimpulses J , der Masse M und des Volumens V ist die gesamtemechanische Energie T+Egr fur die triaxialen Jacobi-Figuren kleiner als bei den MacLaurin-Ellipsoiden. Es folgt: Bei Anwesenheit von dissipativen Mechanismen gibt es jenseits von τbeinen Ubergang von MacLaurin zu Jacobi mit dem gleichen Drehimpuls. Jenseits des Wertesτi = 0.2738, bei einer Exzentrizitat e = 0.95, kommt es zu dynamischen Instabilitaten. MitViskositat oder Gravitationsstrahlung werden die ML-Ellipsoide zwischen τb und τi sekular(auf langen Zeitskalen) instabil, weil Rotationsenergie verloren geht. Es findet ein langsamerUbergang zur Jacobi-Sequenz statt.

6.7 Virial-Theorem

Die Bewegungsgleichung fur ideale, nicht-viskose Flussigkeiten bei Anwesenheit eines Gravi-tationspotentials Ψ (hier durch Eigengravitation) lautet

ρduidt

= −ρ∂Ψ∂xi

− ∂p

∂xi(6.68)

Nun multipliziert man mit xi und integriert uber das Gesamtvolumen und summiert uber i:∫

ρxiduidt

dV = −∫

xiρ∂Ψ

∂xidV −

∫

xi∂p

∂xidV (6.69)

wobei Summation uber den Index i = 1, .., 3 hier impliziert ist (Summationsregel). Wiruntersuchen jetzt die 3 Terme der Reihe nach.


6.7. VIRIAL-THEOREM 83

• Fur den Integranden der linken Seite gilt

xiduidt

= xixi =1

2¨(x2i ) − (xi)

2 (6.70)

Das Transport-Theorem von Reynolds kann geschrieben werden als (vgl. Kap.1)

d

dt

∫

V

ρF dV =

∫

V

ρdF

dtdV (6.71)

Fur eine beliebige Funktion F. Fur∑

i

x2i = r2

gilt dann∫

V

ρd

dt

(d

dtr2)

dV =d

dt

∫

V

ρd

dtr2 dV (6.72)

=d2

dt2

∫

V

ρr2 dV (6.73)

=d2

dt2I (6.74)

Hierbei ist I das Tragheitsmoment. Fur den zweiten Term in Gl. (6.70), also im we-sentlichen die die kinetische Energie T gilt

∫

V

ρx2i dV = 21

2

∫

V

ρu2 dV = 2T (6.75)

• Nun behandeln wir den ersten Term auf der rechten Seite von Gl. (6.69). Mit demPoisson-Integral fur das Potential Ψ

Ψ(x) = −4πG

∫ρ(x′)

|x− x′|dV′

folgt zunachst

−∫

V

ρ xi∂Ψ

∂xidV = −4πG

∫ ∫

ρ(x)ρ(x′)xi(xi − x′i)

|x− x′|3 dV ′dV (6.76)

Nun ist(xi − x′i)

2

2=

1

2[xi(xi − x′i) + x′i(x

′i − xi)] ,

also kann der Term xi(xi − x′i) im obigen Doppelintegral aus Symmetriegrunden durch(xi − x′i)

2/2 ersetzt werden. Damit erhalt man

−∫

V

ρ xi∂Ψ

∂xidV = −4πG

∫ ∫ρ(x)ρ(x′)

2

1

|x− x′|dV′dV

=1

2

∫

V

ρΨ dV (6.77)

≡ Egr .

Dabei ist Egr die gesamte Gravitationsenergie des Stern.



• Fur den 2.Term auf der rechten Seite von Gl. (6.69), also den Druckterm, gilt

−∫

V

xi∂p

∂xidV = −

[∫

V

∂pxi∂xi

dV −∫∂xi∂xi

p dV

]

= 3P , (6.78)

wobei die Divergenz des ersten Integrals auf der rechten Seite in ein Oberflacheninte-gral uberfuhrt und verschwindender Druck auf der Oberflache des Stern angenommenwurde. Fur das Volumenintegral uber den Druck wurde definiert

P =

∫

V

p dV (6.79)

Alle Terme zusammengefasst ergeben

1

2

d2

dt2I = 2T + Egr + 3P (6.80)

Fur ein ideales Gasp = (γ − 1)ρεth = (γ − 1)eth (6.81)

erhalt man das Virialtheorem

1

2

d2

dt2I = 2T + Egr + 3(γ − 1)Eth (6.82)

Bei nichtrotierenden Systemen ist T = 0. Im Gleichgewicht ddt= 0. Dann ergibt sich

Egr + 3(γ − 1)Eth = 0 (6.83)

Aber die Gesamtenergie ist

Etot = Egr + Eth (6.84)

= − 3γ − 4

3(γ − 1)|Egr| (6.85)

Fur Stabilitat gilt in einem gebundenen System

Etot < 0 (6.86)

und damit

γ >4

3. (6.87)

Der gleiche kritische Wert von γ folgt auch aus einer (linearen) Stabilitatsanalyse, z.B. derLane-Emden Losungen.Eine weitere Einschrankung fur Gleichgewichtskonfigurationen, diesmal fur τ , folgt aus

2T + Egr + 3P = 0 (6.88)

oder mit der Definition von τ

τ − 1

2+

3

2

P

|Egr|= 0 (6.89)


6.7. VIRIAL-THEOREM 85

Damit muss τ − 1/2 ≤ 0 sein, da P immer positiv ist, oder

0 ≤ τ ≤ 1

2. (6.90)

Fur den zeitabhangigen Fall lautet das Virialtheorem umgeschrieben

E =γ − 4

3

γ − 1Egr +

d2Idt2

6(γ − 1). (6.91)

Wenn nun γ → 43und E < 0, dann wird

d2I

dt2< 0, (6.92)

und es kommt typischerweise zu einem Kollaps.Die Gravitationsenergie kann fur eine (nichtrotierende) Polytrope analytisch berechnet wer-den. Es gilt

Egr ≡ −G∫ M

0

m

rdm (6.93)

=1

2

∫ M

0

Ψ dm− 1

2

GM2

R(6.94)

wobei die zweite Zeile durch partielle Integration folgt. Mit Ausnutzen der Polytropen-Beziehungen und des Virialtheorems erhalt man schließlich (siehe auch Kippenhahn)

Egr = − 3

5− n

GM2

R. (6.95)

Aus dieser Beziehung folgt fur ein Objekt mit konstanter Dichte, oder n = 0 die bekannteRelation

Egr = − 3

5

GM2

R. (6.96)

Da die gesamte gravitative Energie immer negativ sein muss folgt ebenso, dass n immerkleiner als 5 sein muss.[Note: Zur Erlauterung von

Egr = −G∫ M

0

m

rdm .

Fur eine Test-Masse (z.B. dm) bei r ist das Gravitationsfeld verursacht durch die Materieinnerhalb von r

Ψt = −Gm(r)

r

Das heißt, Egr ist die Summe der potentiellen Energien aller Massenelemente des Sterns(Nullpunkt bei unendlich). Die Positive Energie -Egr ist notig, um alle Schalen nach ∞ zubringen, beziehungsweise wird frei, wenn sich der Stern aus einem unendlich dunn verteiltenMedium bildet.]



6.8 Energietransport und Konvektion in Sternen

An der Oberflache eines Sterns herrscht ein sehr starker Energieverlust. Die Sonne hat eineLeuchtkraft von

L⊙ = 3.8 · 1033 ergs

wobei 1 erg = 1g cm2

s2(6.97)

In MKSA-Einheiten ist L⊙ = 3.8 · 1026W. Mit der Lichtgeschwindigkeit c = 3 · 1010 cm/sberechnet sich der solare Massenverlust pro Sekunde durch Strahlung zu

M⊙ =L⊙

c2=

3.8 · 10339 · 1020 = 4.2 · 1012 g

s= 4.2 · 106 t

s(6.98)

also mehrere Millionen Tonnen po Sekunde, dabei ist die Sonne nur ein gewohnlicher Sterndes Spektraltyps G0V. Die Energie wird im Zentrum erzeugt und nach außen transportiert.Dieser Energietransport wird auf unterschiedliche Art bewerkstelligt. Durch Strahlungstrans-port, Warmeleitung und durch Konvektion.

6.8.1 Strahlung

Die mittlere freie Weglange der Photonen lph betragt

lph =1

κρ, (6.99)

wobei κ die Opazitat bezeichnet, welche durch den Strahlungswirkungsquerschnitt/Massegegeben ist. Die Opazitat beschreibt die Abschwachung der Strahlungsintensitat I beimDurchgang durch ein Medium. Sei die Ausbreitrungsrichtung entlang der z-Achse, dann gilt

dI = −Iκρdz . (6.100)

Fur ionisierten Wassserstoff ergibt sich ein mittlerer Wert von κ ≈ 1 cm2/g. Eine untereGrenze κth ist gegeben durch e−-Streuung mit κth = 0.4 cm2/g (Thomson-Streuung). Diemittlere Dichte der Sonne liegt bei

ρ⊙ = 1.4g

cm3. (6.101)

Dann ergibt sich im Mittellph ≈ 2 cm . (6.102)

Das heißt, das Gas ist extrem opak (undurchsichtig). Der mittlere Temperaturgradient istmit

∆T

∆r=Tc − TeffR⊙

≈ 1.4 · 10−4 K

cm(6.103)

sehr klein. Der Strahlungstransport kann also gut durch die Diffusionsnaherung beschriebenwerden, in Analogie zur Teilchendiffusion, d.h. einem Fluss j von Teilchen von Bereichenhoher zu niedriger Dichte

j = −D∇n (6.104)

Der (molekulare) Diffusionskoeffizient ist D = 13ulp, wobei u die typische Teilchengeschwin-

digkeit, lp deren freie Weglange und n die Teilchenzahldichte ist.


6.8. ENERGIETRANSPORT UND KONVEKTION IN STERNEN 87

Die Strahlungsenergiedichte ist

Erad = aT 4 (6.105)

a = 7.57 · 10−15 erg

cm3K4(6.106)

Ein analoger Diffusionsansatz fur den Strahlungstransport liefert fur den Strahlungsfluss

Frad = −Drad∇Erad (6.107)

= −c lph3

∇E

= − c

3κρ∇E

= −4acT 3

3κρ∇T (6.108)

oder

Frad = −Krad ∇T, (6.109)

wobei Krad nun als radiativer Warmeleitungskoeffizient betrachtet werden kann.Bemerkung:κ ist frequenzabhangig κν , somit lautet die Frequenzabhangige Diffusionsgleichung

Fν = −Dν∇Eradν (6.110)

mit Dν = c3κν ρ

und Eradν =4πcB(ν, T ) mit der Planck-Funktion

B(ν, T ) =8πhν3

c31

exp (hν/kT )− 1(6.111)

Eine Mittelung (Integration) uber alle Frequenzen liefert

Frad ≡∫ ∞

0

Fνdν = −∫ ∞

0

Dν∇Eradνdν = −4π

3ρ

(∫ ∞

0

1

κν

∂B

∂Tdν

)

∇T (6.112)

Fur den Mittelwert der Opazitat wahlt man nun das sog. Rosseland-Mittel, welches definiertist als

1

κR

∫ ∞

0

∂B

∂Tdν =

∫ ∞

0

1

κν

∂B

∂Tdν (6.113)

und mit∫ ∞

0

∂B

∂Tdν =

acT 3

π(6.114)

folgt schließlich

Krad =4acT 3

3κRρ, (6.115)

wobei κR = κR(ρ, T ).



6.8.2 Warme-Leitung

Die Warme-Leitung funktioniert durch Kollisionen der Teilchen untereinander.

Fcond = −Kcond ∇T (6.116)

Der Gesamtfluss ist dann

F = Frad + Fcond = −(Krad +Kcond)∇T (6.117)

Fur die Sonne gilt: Kcond ist sehr viel kleiner als Krad, weil die Wirkungsquerschnitte unddie Geschwindigkeiten sehr klein sind. Dennoch ist dieser Energietransport von großer Be-deutung fur Sterne, die entartet oder schon weit entwickelt sind (eg. Weiße Zwerge).

T2

T1

d

Abbildung 6.4: Skizze zum Rayleigh-Benard Versuch. Gegeben sei ein Kasten der Hohe d mit denTemperaturen T1 (oben) und T2 (unten), mit T2 > T1.

6.8.3 Konvektion (Rayleigh-Benard)

Bis jetzt wurden nur statische Situationen im mechanischen Gleichgewicht betrachtet, beidenen die Stromungsgeschwindigkeit verschwindet (u = 0). Der Energietransport findetdabei durch Stoße der einzelnen Teilchen des Mediums untereinander statt. Schnellere (hei-ßere) Teilchen geben ihre kinetische Energie an langsamere ab, und ein thermischer Ener-gietransport findet statt (Warmeleitung). Bei einem sehr steilen Temperatur-Gradientenwird die diese sog. radiative Schichtung instabil, und eine globale Stromung des Mediums(Konvektions-bewegung) setzt ein. Dadurch verandert sich letztlich die Struktur des Sterns.Wir betrachten ein Experiment, bei dem eine Flussigkeit zwischen zwei Platten unterschied-licher Temperatur eingeschlossen ist (siehe Abb. 6.4).Die Rayleigh-Zahl ist definiert als

Ra =αgd3∆T

Kcondν(6.118)

α ist der thermische Ausdehnungskoeffizient des Materials, wobei gilt

δρ

ρ0= −αδT

T0, (6.119)

mit α > 0, also Ausdehnung bei Erwarmung. ν ist die kinematische Viskositat und ∆T der(positive) Temperaturgradient T2−T1. Unter Berucksichtigung der fur das System typischenZeitskalen

τvisc =d2

ν, τcond =

d2

Kcond

und τbouy =

(d

δρg

)1/2


6.8. ENERGIETRANSPORT UND KONVEKTION IN STERNEN 89

Abbildung 6.5: Eine typische Rollenform bei einem Rayleigh-Benard Experiment.

sehen wir, das Ra ist ein Maß fur das Verhaltnis

Ra ∼ τviscτcondτ 2bouy

(6.120)

ist. Aus Experimenten und theoretischen Stabilitatsanalysen ergibt sich oberhalb von einemRacrit eine Instabilitat. Das heißt, dass der Effekt des Auftriebs uberwiegt, also τbouy kleingegen die anderen Zeitskalen ist. Fur Werte

Ra > Racrit (6.121)

setzen großraumige Stromungen (wie Rollen oder Wabenmuster usw.) ein.Die genaue Große von Racrit hangt im Einzelnen von der Geometrie der Stromung welchedurch die Form des Behalters (rund, Kastenform) ab. Dabei konnen verschiedene Moden eineanderen kritischen Wert von Racrit haben. Eine typische Situation mit Konvektionsrollen istin der Abb. (6.5) dargestellt.Bei kreisformigen Stromungen in einem Konvektionsgebiet gilt

Racrit ≈27π4

4(n4) ≈ 650 fur n = 1 , (6.122)

wobei n hier die Modenzahl angibt. Typische Werte fur Racrit liegen zwischen 102 und 103.

6.8.4 Konvektion in Sternen

Man betrachte eine ungestorte Gleichgewichts-Schichtung S und ein Testelement e. Nunveschiebt man das Testelement von r nach r+∆r mit entsprechenden Anderungen in (p, T, ρ)zu (p+∆P, T +∆T, ρ+∆ρ), siehe Abb. 6.6: Sei nun

DA := Ae − As (6.123)

wobei A eine beliebige physikalische Große in einem Stern sei. Hier bezeichnet Ae den Werteines (zu verschiebenden) Elements und As die Schichtung. Man macht nun folgenden An-nahmen:

• Zum Einen herrsche Druckgleichgewicht (Dp = 0). Das heißt die Ausdehnung gehtschneller als sonstige Bewegungen.

• Zum Anderen sei es ein adiabatischer Prozess, es gibt also keine Zeit um Energiemit der Umgebung auszutauschen.



S

r + rr∆e

e

(ρ+∆ρ, Τ+ ∆Τ, ∆p)p+

r (ρ,T,p)

Abbildung 6.6: Zur Analyse der konvektiven Instabilitat. Betrachtet wird ein Fluidelement e, wel-ches in einem Stern vom Radius r (unten) nach r +∆r (oben) verschoben wird. Die Struktur derunterliegenden Schichtung (S) andert sich dabei nicht.

D.h.: Wenn nun DT > 0 ist, dann wird Dρ < 0, weil in einem idealen Gas ρ ∼ pTgilt. Fur

die Dichteanderung konnen wir schreiben

Dρ =

[(dρ

dr

)

e

−(dρ

dr

)

s

]

∆r

dabei ist(dρdr

)

edie Dichteanderung des Testelements beim Aufsteigen und

(dρdr

)

sder Gradient

der Hintergrundschichtung.Wenn nun Dρ < 0 ist, dann ist das Element nach dem Aufsteigen leichter als die Umgebung,und die Auftriebskraft treibt es weiter nach oben. Es kommt zu Instabilitaten.Ein Kriterium fur Stabilitat kann demnach formuliert werden als

(dρ

dr

)

e

−(dρ

dr

)

s

> 0 (6.124)

Mit dem Dichte-Gradienten umzugehen ist ziemlich unpraktisch, deswegen verwendet manmeist den Temperatur-Gradienten. Mit der adiabatischen Annahme

(dρ

dr

)

e

=

(dρ

dr

)

ad

(6.125)

und in einem idealen Gas mit Druckgleichgewicht erhalt man einen stabilen Zustand, fallsfur den Temperaturgradienten gilt:

(dT

dr

)

s

−(dT

dr

)

ad

> 0 (6.126)

Fur eine rein radiative Schichtung (s→ rad) bekommt man als Bedingung fur Stabilitat∣∣∣∣

(dT

dr

)

rad

∣∣∣∣<

∣∣∣∣

(dT

dr

)

ad

∣∣∣∣

(6.127)

Diese Gleichung ist das sogenannte Schwarzschild-Kriterium. (Beachte, dass im SterndT/dr < 0).Ist nun der aktuelle (radiative) Temperaturgradient (dT/dr)rad in einem Stern großer als deradiabatische (dT/dr)ad, dann ist die Schichtung instabil. Eine solche Schichtung heißt auchsuper-adiabatisch. Es kommt zu Ausgleichsbewegungen des Gases, Konvektion setzt ein.


6.9. LITERATUR 91

Der gesamte Energiefluss in einem Stern ist demnach

F = Frad + Fconv + Fcond (6.128)

Bei Protosternen wird der Hauptteil des Energietransportes durch den konvektiven Ener-giefluss Fconv bewerkstelligt.Eine alternative Formulierung bzw. Ableitung des Instabilitats- bzw. des Schwarzschildkri-teriums erfolgt unter Verwendung einer Stabilitatsanalyse mittels Linearisierung. Darauserhalt man, dass eine Schichtung genau dann instabil ist, wenn das Quadrat der sog. Brunt-Vaisala Frequenz N negativ wird, wobei diese definiert ist als

N2 = −(1

ρ∇ρ− 1

Γ1p∇p)

g (6.129)

welches umgeformt werden kann zu

N2 =Γ2 − 1

Γ2

ρT

pgds

dr(6.130)

mitΓ2 − 1

Γ2

=

(d log T

d log p

)

ad

. (6.131)

Wir sehen also, dass das Auftreten einer Instabilitat durch den Entropiegradienten bestimmtwird. Instabiltat setzt genau dann ein, wenn die spezifische Entropie s nach außen abfallt.

ds

dr< 0. (6.132)

In der Konvektionszone selbst wird die Schichtung aufgrund der guten Durchmischung desMaterials adiabatisch

ds

dr= 0 .

6.9 Literatur

1. Shu: Physics of Astrophysics, Vol. II, Kap. 8, 182. Kippenhahn, Weigert: Stellar Structure and Evolution, Kap. 3, 19, 26, 273. Shore, S.: Astrophysical Hydrodynamics, Kap. 9




Kapitel 7

Akkretionsscheiben

7.1 Einfuhrung

In der Astrophysik spielen stark abgeflachte, scheibenformige Gebilde eine bedeutende Rolle.So kommt es immer dann zur Ausbildung einer rotierenden Scheibe, wenn eine gravitations-instabile Massenverteilung mit einer nichtverschwindenden Eigenrotation kollabiert, da dieDrehimpulserhaltung zu einer Zunahme der Winkelgeschwindigkeit wahrend des Kollapsesfuhrt. Haufig sammelt sich im Zentrum zunachst ein Großteil der ursprunglichen Masse an,wahrend ein kleinerer verbleibender Rest um dieses Zentralobjekt, zum Beispiel ein Stern,rotiert. Bei genugend kleiner Scheibenmasse im Vergleich zum Zentralkorper bewegt sichdie Materie der Scheibe naherungsweise auf Keplerbahnen im Gravitationsfeld des Sternes.Aufgrund von dissipativen Effekten wie Turbulenz innerhalb der Scheibe kommt es zu einemDrehimpuls- und Massentransport, und die Materie wandert auf engen Spiralbahnen nachinnen. Das Zentralobjekt sammelt somit noch mehr Materie aus der Scheibe an; man sprichtin diesem Fall von einer Akkretionsscheibe. Die Einfallbewegung in Richtung des Zentralob-jektes fuhrt zu einem Verlust an Gravitationsenergie, welche von der Oberflache der Scheibelokal abgestrahlt wird. Man erhalt eine fur Akkretionsscheiben typische spektrale Verteilungder abgestrahlten Energie.Solche Akkretionsscheiben haben in der Astrophysik eine große Bedeutung, weil sie in denunterschiedlichsten Systemen auf praktisch allen Großenskalen vorkommen. Ein typischesBeispiel auf kleineren Skalen ist der Entstehungsprozess unseres Sonnensystems. Kurz nachBildung der Ursonne war diese von einer protoplanetaren Scheibe umgeben, aus der nochweiter Materie von der Sonne akkretiert wurde, und aus der sich schließlich durch Teilchen-koagulation und anschließende Gravitationsinstabilitat die Protoplaneten gebildet haben.Entdeckt wurden Akkretionsscheiben zunachst durch Beobachtungen der eruptiven Katak-lysmischen Veranderlichen. Eine genaue Analyse der Beobachtungsdaten hat ergeben, dasses sich hierbei um Binarsysteme handelt, bei denen ein massearmer Hauptreihenstern (Se-kundarstern) einen kompakten Weißen Zwerg (Primarstern) umkreist. Der Sekundarsternfullt sein Roche-Volumen aus und transferiert Materie uber den inneren Lagrangepunkt L1zum Primarstern. Aufgrund des Drehimpulses der Bahnbewegung fallt die Materie nichtdirekt auf den Weißen Zwerg, sondern umkreist diesen. Durch Eigenwechselwirkung desGases kommt es zur Ausbildung einer Akkretionsscheibe. Die besondere Bedeutung der Ka-taklysmischen Veranderlichen fur die Akkretionsscheibenphysik liegt darin, dass bei diesenSystemen die Abstrahlung der Scheibe im optischen Wellenlangenbereich erfolgt und somitden Beobachtungen besonders leicht zuganglich ist. Astrophysikalische Beispiele fur Akkre-

93

94 KAPITEL 7. AKKRETIONSSCHEIBEN

Abbildung 7.1: Schematische Darstellung einer Akkretonsscheibe in einem engen Doppelsternsy-stem. Material fließt von einem Stern zum anderen und umkreist diesen in einer Akkretionsscheibe.

Abbildung 7.2: Schematische Darstellung einer Akkretonsscheibe um einen Protostern.


7.2. GRUNDLAGEN DER SCHEIBENPHYSIK 95

tionsscheiben sind als kunstlerische Darstellungen in den Abb. 7.1 und 7.2 illustriert.

7.2 Grundlagen der Scheibenphysik

Wie oben erlautert sind die wesentlichen Eigenschaften von Akkretionsscheiben:

• Bewegung auf Kreisbahnen um Zentralkorper (keplersch)

• Langsame Drift nach Innen aufgrund von viskosen Wechselwirkungen

Weil in einer keplerschen Scheibe der Drehimpuls zu kleineren Radien hin kleiner wird, mussdie Materie bei ihrem Einspiralen Drehimpuls verlieren. Mit anderen Worten: Die Scheibesind “Maschinen“, mit denen Masse nach innen und Drehimpuls nach außen transportiertwird. Man kann sich auch leicht uberlegen, dass bei vorgegebener Gesamtmasse und Dre-himpuls einer selbstgravitierenden Materieverteilung der Zustand minimaler Energie danneingenommen wird, wenn sich die ganze Masse im Zentrum befindet und ein Atom/Molekulin sehr großer Entfernung den ganzen Drehimpuls aufnimmt.Dieser Abschnitt uber die Grundlagen der Scheibenphysik folgt eng den Ausfuhrungen vonPetterson (1983). Weitere grundlegende Artikel sind Shakura & Sunyaev (1973), Lynden-Bell& Pringle (1974), der Ubersichtsartikel von Pringle (1981), und das Buch von Frank, King& Raine (1992) oder auch Shu (1992).Die mittleren freien Weglangen des Gases sind bedeutend kleiner als die Dimensionen desSystems. Daraus folgt, dass eine hydrodynamische Beschreibung moglich ist.

7.2.1 Grundgleichungen

Die Grundgleichungen fur eine kompressible Flussigkeit lauten (z.B. Landau & Lifschitz):

Kontinuitatsgleichung (Massenerhaltung)

∂ρ

∂t+∇ · (ρu) = 0 (7.1)

Hier bedeuten ρ die Massendichte, u bezeichnet den Geschwindigkeitsvektor.

Impulserhaltung

ρ

[∂u

∂t+ (u · ∇)u

]

= ρ(a−∇Φ)−∇p+∇ · σ (7.2)

Hier bezeichnen a die außeren spezifischen Krafte bzw. Beschleunigungen (z.B. im rotieren-den Koordinatensystem Coriolis und Zentrifugalbeschleunigung, oder den Strahlungsdruck),Φ das Gravitationspotential, p den Gasdruck, und σ den viskosen Spannungstensor.

Energieerhaltung

ρ

[∂ǫ

∂t+ u · ∇ǫ

]

= −p∇ · u+ (σ · ∇)u−∇ · F (7.3)



Hier ist ǫ die spezifische innere Energie, und F der Warmetransport gegeben z.B. durchKonvektion, Strahlungstransport, und Warmeleitung. Der erste Term auf der rechten Seitebedeutet die Druckarbeit (durch Kompression und Expansion des Gases), der zweite be-schreibt die viskose Energieerzeugung durch Reibung (Dissipation), und der dritte Term denradiativen Energietransport und Energieverlust durch Kuhlung.Zusatzlich zu diesen 5 Gleichungen werden noch Hilfsgleichungen, wie Zustandsgleichung,Opazitaten, Viskositatskoeffizienten benotigt.In der weiteren Behandlung des Problems werden wir Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) verwen-den, wobei der Ursprung sich im Zentrum des akkretierenden Korpers (Protostern, WeißerZwerg, Schwarzes Loch) befindet. Die z-Achse ist dabei parallel zur Rotationsachse des Gasesin der Scheibe. Die vollen hydrodynamischen Gleichungen in verschieden Koordinatensyste-men sind z.B. in den Buchern von Tassoul, Mihalas & Mihalas, oder auch Landau & Lifschitz(Hydrodynamik) angegeben.

7.2.2 Stationare, dunne, und nichtselbstgravitierende Scheiben

Da das volle dreidimensionale Problem allgemein sehr kompliziert ist, und auch in wichtigenFallen nicht unbedingt verlangt ist, beschreiben wir jetzt einige wichtige Vereinfachungen.a) Achsialsymmetrie Die wesentliche Struktur einer Scheibe kann gut durch die Annahme vonAchsialsymmetrie (∂/∂ϕ = 0) beschrieben werden. Dabei wird z.B. das storende Gravitati-onspotential des Materie spendenden Sekundarsterns vernachlassigt. Im Innern der Scheibeund auch fur protostellare Scheiben (ohne Binarkomponente) oder Scheiben in aktiven ga-laktischen Kernen ist dies sicherlich eine sehr gut Naherung.

b) Stationaritat Alle Großen sind zeitunabhangig, speziell ist auch die Massendurchstromrate(M) konstant.

c) Dunne Scheiben. Im Fall der Bildung von Scheiben durch Kollaps (Protosterne) bezie-hungsweise durch Massenuberstrom (Binarsysteme) ist die vertikale Ausdehnung der Schei-be im allgemeinen, sofern die Materie in der Scheibe gegen die Zentralmasse vernachlassigtwerden kann, sehr viel kleiner als die radiale Ausdehnung. Das heißt, dass die vertikale Aus-dehnung (Dicke) H der Scheibe klein gegen den Radius r ist

H/r << 1

Dies bedeutet, dass Druckkrafte kleiner als gravitative Krafte sind (innerer Druck weitet dieScheibe auf) p ≪ ρu2. Aus der Kontinuitatsgleichung und mit der Stationaritatsannahmeergibt sich

1

r

∂ρrur∂r

+∂ρuz∂z

= 0

mit der Naherung ∂/∂z = 1/H folgt letztlich

uz ≈ −Hrur

Wie weiter unten gezeigt wird, ist H/r typischerweise 0.1 fur Akkretionsscheiben in engenDoppelsternsystemen.

d) Viskositat beeinflusst Bewegung nur geringfugig. Die Komponenten des viskosen Span-nungstensors sind kleiner als der Druck σij < p. (Zu Mechanismen der Erzeugung der Visko-sitat siehe unten). Weil die Viskositat die Ursache der radialen Bewegung (Akkretion) nach



M*

r

dz

gz

θ

Abbildung 7.3: Zur vertikalen Hydrostatik in einer Scheibe. (P. Armitage).

innen zu kleineren Radien hin ist, bedeutet diese Annahme, dass die radiale Geschwindigkeitur kleiner als die azimutale uϕ ist. )amit erhalten wir fur die Geschwindigkeiten

uz ≪ ur ≪ uϕ.

e) Vertikale Hydrostatik. Die vertikale hydrostatische Gleichung lautet

∂p

∂z= ρgz (7.4)

wobei gz die Beschleunigung entlang der z-Achse ist, siehe Abb. 7.3

gz = −∂ψ∗

∂z= +

∂

∂z

(GM∗

(r2 + z2)1/2

)

= − GM∗z

(r2 + z2)3/2. (7.5)

Fur dunne Scheiben: z2 ≪ r2 folgt

gz = −GM∗z

r3= −Ω2

Kz, (7.6)

wobei ΩK die Keplersche Winkelgeschwindigkeit ist. Eingesetzt in Gl. (7.4) und mit derNaherung ∂/∂z = 1/H, und mit einer isothermen Zustandsgleichung p = ρc2s folgt

H(r) =cs(r)

ΩK(r)oder h(r) ≡ H

r=

csuK

(mit uK = rΩK) (7.7)

Die genaue vertikale Schichtung einer Scheibe wird weiter unten berechnet.f) Vertikale Integration. Zur Vereinfachung werden die Gleichungen uber die vertikale Rich-tung integriert. Zum Beispiel ergibt sich daraus fur die Oberflachendichte Σ der Scheibe

Σ =

∫ +∞

−∞

ρdz ≈∫ +H

−H

ρ0dz ≈ 2Hρ0 (7.8)

wobei ρ0 die Dichte in der Scheibenmittelebenen ist. Die Große H (vertikale Dicke der Schei-be) ist also so etwas wie die vertikale Druckskalenlange.

g) Nichtselbstgravitierend. Die Masse der Scheibe ist vernachlassigbar im Vergleich zum Zen-tralobjekt.

Bemerkung: Zur Eigengravitation in Scheiben:Wir betrachten die Poisson-Gleichung fur eine dunne Scheibe

∂2Φ

∂z2= 4πGρ.



Fur die Beschleunigung folgt gz = −∂Φ/∂z = −4πG∫ z

0ρdz ≈ 4πGρ0z, wobei ρ0 die

Dichte in der Aquatorebene ist. Bei Berucksichtigung der vertikalen Gravitation des Zen-tralkorpers folgt, dass die Eigengravitation vernachlassigbar ist, falls giltGMz/r3 > 4πGρ0z,oder

ρ0 <M

4πr3,

was im allgemeinen gut erfullt ist fur Scheiben.

7.2.3 Radiale Strukturgleichungen

Die Grundgleichungen (7.1-7.3) werden also durch die folgenden Schritte auf eindimensionaleradiale Form gebracht.

a) Nehme 3D hydrodynamische Gleichungen (Navier-Stokes) for ρ,u, T

b) Schreibe diese in zylindrische Koordinaten (r, ϕ, z),

c) Annahme: Axialsymmetrie: ∂/∂ϕ = 0

d) Vertikale Integration der Gleichungen, wobei z.B. keine Variation der radialen Ge-schwindigkeit ur mit er Hohe angenommen wird.

Dies bedeutet z.B. fur die Kontinuitatsgleichung

∫ +∞

−∞

(∂ρ

∂t+∇ · (ρu)

)

dz = 0 (7.9)

und umgeschrieben mit Hilfe von Gl. 7.8 und Stationaritat folgt fur die Massenerhaltung

∂

∂r(rΣur) = 0,

und Integration liefert

M = −2πΣrur. (7.10)

Hier bedeutet ur eine mittlere radiale Einfallgeschwindigkeit, und M ist die konstante Mas-sendurchstromrate oder auch dieAkkretionsrate durch die Scheibe. Sie hat die Einheit Gramm/Sekunde,aber oft wird auch Sonnenmassen/Jahr verwendet. Man beachte, dass M hier positiv ist,M > 0, weil ur kleiner 0 ist. Bei der Definition von (7.10) wurde davon ausgegangen, dasses keine Massenerzeugung (Einfall von Materie auf die Scheibe), bzw. Massensenken (Windevon der Scheibenoberflache) gibt. Die Aussage von (7.10) ist also, dass der Massenstrom(Masse/Zeit) durch jeden Zylinder eine Konstante (M) ist.

Die radiale Impulsgleichung ergibt nach Integration

∂(Σur)

∂t+

1

r

∂

∂r(rurΣur) = rΣΩ2 − ∂P

∂r− Σ

GM∗

r2+ fν (7.11)

wobei P =∫pdz der vertikal integrierte Druck und fν der vertikal integrierte Anteil des

Viskositatsanteils ist, und die Winkelgeschwindigkeit Ω ist definiert durch

Ω = uϕ/r



Die linke Seite, und die Viskositat sind hier fur dunne stationare Scheiben vernachlaßigbarund man erhalt

Ω2 = Ω2K +

1

Σr

dP

dr. (7.12)

MitdP

dr≈ − P

r≈ − Σc2s

r

folgtΩ2 = Ω2

K

[1−O((H/r)2)

]. (7.13)

fur kleine H/r folgt

Ω2 =GM

r3(7.14)

mit der Zentralmasse M und der Gravitationskonstanten G. Die Rotation ist also keplersch.

Die azimutale (ϕ) Drehimpulsgleichung, eine Erhaltungsgleichung fur die z−Komponentedes Drehimpulses, lautet nach vertikaler Integration

∂(Σr2Ω)

∂t+

1

r

∂

∂r(rΣr2Ωur) =

1

r

∂

∂r

(r2σrϕ

)(7.15)

Hier istj = r2Ω (7.16)

der spezische Drehimpuls. Im stationaren Fall folgt.

∂

∂r

(r3ΣurΩ− r2σrϕ

)= 0.

Dabei wurde fur die vertikal gemittelte rϕ-Komponente des viskosen Spannungstensors dieBezeichnung

σrϕ =

∫ +∞

−∞

σrϕdz (7.17)

verwendet. Integration liefert

−J = −Mr2Ω− 2πr2σrϕ. (7.18)

Die Große J ist der konstante Drehimpulsstrom durch die Scheibe, er wurde hier als posi-tiv definiert. Es ist die Rate, mit der Drehimpuls vom Zentralobjekt akkretiert wird (oderabgegeben wird bei kritischer Rotation).

Die vertikale (z) Impulsgleichung lautet zunachst

dp

dz= − GMρz

r3. (7.19)

Zur Berechnung der vertikalen Struktur nehmen wie eine isotherme Zustandsgleichung anp = ρc2s, damit folgt

ρ = ρ0(r) e−

z2

2H2 , (7.20)



wobei ρ0(r) die Dichte der Scheibe in der Mittelebene bezeichnet und H wie oben definiertist, siehe Gl. (7.7). H bezeichnet also die vertikale Druckskalenhohe der Scheibe.Die naherungsweise vertikale Integration liefert

p0 ≈ ρ0(HΩ)2 (7.21)

Wobei p0 den Druck in der Mittelebene der Scheibe bezeichnet. Mit der Definition der Schall-geschwindigkeit c2s = p/ρ erhalten wir das Ergebnis, dass die lokale Schallgeschwindigkeitwesentlich kleiner als die Keplergeschwindigkeit uk sein muss

cs =H

ruk (7.22)

Die Energiegleichung lautet nach Integration

∂(Σǫ)

∂t+

1

r

∂

∂r(rΣǫur) = −P 1

r

∂

∂r(rur) +Dv −

∫ ∞

−∞

∇ · Fdz (7.23)

Dabei bezeichnen Dv die (vertikal integrierte) Dissipationsrate (pro Einheitsflache)

Dv =

∫ +∞

−∞

Φvdz = rσrϕdΩ

dr. (7.24)

wobei die(normale) Dissipationsrate (pro Volumen) gegeben ist durch

Φv = (σ∇) · u

In der Energiegleichung konnen alle Terme gegen den Dissipationsterm und den vertika-len Strahlungstransportterm vernachlassigt werden. Vertikale Integration liefert (bei Ver-nachlassigung der radialen Ableitung in der Divergenz von F )

rσrϕdΩ

dr= 2

∫ +∞

0

dFz

dzdz ≡ 2Q−.

Dabei ist auf der rechten Seite der Energiegleichung (7.3) angenommen, dass die Abstrah-lung von beiden Seiten (Oberflachen) der Scheibe erfolgt. Den Energieverlust von einer Seiteder Scheibe wird also mit Q− bezeichnet. Die obige Gleichung druckt also die Tatsache aus,dass die durch Dissipation erzeugte Energie lokal von den beiden Seiten der Akkretions-scheibe abgestrahlt wird, und nicht radial durch andere Mechanismen (Advektion, radialeStrahlungsdiffusion) transportiert wird. Scheiben, in denen die Advektion, zum Beispiel amInnenrand einer Scheibe oder in der Umgebung eines Schwarzen Loches, doch eine Rollespielt, heißen advection dominated accretion disks kurz ADAFs und werden spater bespro-chen. Mit der Keplerbeziehung (7.14) und der Drehimpulsgleichung (7.18) erhalt man alsofur die lokalen Energieabstrahlung von einer Seite

Q− = 3GM M8π r3

− 3Ω8π r2

J (7.25)

Man beachte erneut, dass M und auch J positiv definiert sind.



7.2.4 Randbedingungen

Um weiteren Fortschritt zu machen, wird zunachst eine Randbedingung am Innenradiusri benotigt. Dazu wird angenommen, dass die Scheibe Drehimpuls bzw. Energie mit demzentralen Korper austauscht. Dieser Austausch kann entweder durch direkten Kontakt mitder Sternoberflache ri ≈ R∗ in einem aquatorialen Ring erfolgen, der sog. boundary layererfolgen, oder im Falle eines magnetisierten Sternes durch die Magnetosphare des Sterns.Der Innenradius der Scheibe ist dann durch den Magnetospharenradius ri ≈ rm gegeben. ImFalle eines Schwarzen Loches spielen relativistische Effekte wie frame dragging eine Rolle.Im Einzelfall ist die detaillierte Beschreibung des inneren Randes recht kompliziert, aber einegute Naherung fur den außeren Bereich lasst sich aus Gleichung (7.18) gewinnen. Falls dasDrehmoment am Innenrand verschwindet (z.B. im Fall von ∂Ω/∂r = 0 am Innenrand), d.h.σrϕ = 0 (zero torque condition, dann ist der Drehimpulsfluss durch die Scheibe gegeben durch

J = Mr2iΩk(ri), wobei Ωk(ri) =√

GM/r3i die Keplersche Umlauffrequenz am Innenradiusri ist. Der gesamte Drehimpuls (am Radius) ri wird vom Zentralobjekt aufgenommen. Imallgemeinen Fall wird es ein bestimmter Bruchteil β davon sein, und wir schreiben

J = βMr2iΩi. (7.26)

Der Parameter β ist im allgemeinen sehr dicht bei eins. Damit wird aus der Drehimpulsglei-chung (7.18) und der Energiegleichung (7.25)

Mr2Ω

(

1− β

√rir

)

= −2πr2σrϕ (7.27)

Q− =3GM M

8π r3

(

1− β

√rir

)

(7.28)

Hierzu sollte bemerkt werden, dass der Faktor in Klammern fur große Radien gegen einsgeht, und den Effekt des inneren Randes widerspiegelt. Direkt am Innenrand gehen sind diebeiden Gleichungen (7.27) und (7.28) singular, und bedurfen einer Erweiterung, aber ausnumerischen Rechnungen ist bekannt, dass bis dicht an den Innenrand ri die beiden obigenBeziehungen gut erfullt sind.Innerhalb der Boundary Layer fallt die Rotationsgeschwindigkeit von Keplerrotation Ωk(ri)auf den Wert der Sterns Ω∗ ab. Die Dicke dieser Ubergangsschicht ist i.a. sehr viel kleinerals der Sternradius, und somit kann fur typische Falle der Innenrand ri mit dem SternradiusR∗ gleich gesetzt werden.

Bemerkung: Zur Energiebilanz ohne ViskositatDie Viskositat in der Scheibe dient also dazu, die Materie langsam auf Spiralbahnen mitKeplergeschwindigkeit nach innen zu bewegen. Dabei wird auch Drehimpuls nach außentransportiert. In der Energiebilanzgleichung (7.28) geht jedoch die (unbekannte) Viskositatgar nicht mehr ein, und man kann sich fragen, wie die Energiebilanz einer ungestorten Kep-lerscheibe (in der die Materie langsam nach innen spiralt) ganz ohne Viskositat aussahe.Dazu betrachten wir ein Massenelement dm an zwei verschiedenen dicht beieinander lie-genden Radien r und r + dr, das mit sich Keplergeschwindigkeit um eine Zentralmasse Mbewege. Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie Etot ist gegeben durch

Etot = −1

2

GM dm

r.



Fur die Differenz folgt

dEtot = −1

2GM dm

(1

r + dr− 1

r

)

≈ 1

2

GMdm

r2dr.

Um den Energieverlust pro Zeit und Flache (Q−1 ) zu erhalten, muss durch das Flachenele-

ment 2πrdr und das Zeitintervall dt geteilt werden, und mit M = −dm/dt erhalt man

Q−1 =

1

4π

GMM

r3. (7.29)

Im Vergleich zu (7.28) sieht man, dass die Viskositat die Eigenschaft hat, die Energieab-strahlung fur großere Radien bei denen Randbedingungen eine geringere Rolle spielen, umca. 50% zu vergroßern. Diese zusatzliche Energie stammt, wie obige Bilanz zeigt, nicht ausdem Gewinn an Gravitationsenergie beim Einspiralen, sondern wird durch viskosen Trans-port aus den inneren Bereichen gewonnen. Zusammen mit dem Drehimpulstransport durchReibung wird naturlich auch Energie transportiert.

7.3 Ein einfaches stationares Scheibenmodell

Die Grundgleichungen der radialen Scheibenstruktur gegeben durch die eingerahmten Glei-chungen (7.10, 7.14, 7.27, 7.21 und 7.28) sind allein genommen noch nicht ausreichend,eindeutige Losungen zu erhalten. Es mussen noch die Zusatzgleichung fur den Viskositats-koeffizienten die Zustandsgleichung fur das Gas und die Gleichungen fur das Kuhlungsge-setz angegeben werden. Damit erhalt man dann eine vollstandige Beschreibung der radialenStruktur einer Akkretionsscheibe fur Radien zwischen Außen und Innenrand.In Rontgendoppelsternen (X-ray binaries) erstrecken sich die Scheiben radial uber funfZehner-Potenzen (106 − 1011cm), in kataklysmischen Variablen (CVs) jedoch nur bis zu2 Zehner-Potenzen (108.5−1010.5cm). Also sind im Falle der ersteren Systeme die Modelle ineinem weiten Bereich gut zu verwenden, im zweiten Fall nicht in dem Maße. Fur protostellareScheiben ergibt sich fur den Fall eines Sterns von 3 Sonnenradien und einer Scheibe von 50AE, eine Verhaltnis von Außen- zu Innenrand von etwa 3500.

7.3.1 Die Viskositat

Der Einfluss von innerer Reibung auf die Bewegung des Gases wird durch den viskosenSpannungstensor

σij = η

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)

beschrieben, wobei η der dynamische Viskositatskoeffizient ist. Im Fall von Zylinder-Koordinatenfolgt nach vertikaler Mittelung (siehe Gl. 7.17)

σrϕ = Σνr∂Ω

∂r, (7.30)

mit dem kinematischen Viskositatskoeffizienten ν. Wenn man jetzt fur Ω die Keplerrotationeinsetzt (Gl. 7.14), dann erhalt man aus der Drehimpulserhaltung (Gl. 7.27)

M =3πΣν

(1− β

√rir

) , (7.31)


7.3. EIN EINFACHES STATIONARES SCHEIBENMODELL 103

und fur große Abstande vom Scheibenzentrum folgt naherungsweise

M ≈ 3πΣν. (7.32)

Die letzte Gleichung besagt, dass in einer stationaren Scheibe der Wert von Σν eindeutigdurch die Akkretionsrate festgelegt ist. Es wird somit zum Beispiel in Scheiben, in denenlokal die Viskositat zunachst nicht ausreicht, Materie angesammelt, bis die Relation (7.32)erfullt ist. Stationare Scheiben mit kleiner Viskositat haben also ein hoheres Σ, und sinddicker (großeres H) als solche mit hoher Viskositat.Die radiale Einfall Geschwindigkeit der Scheibe folgt aus (7.31) mit Hilfe der Kontinuitats-gleichung, und man erhalt.

ur = − 3ν

2r

(

1− β

√rir

)−1

(7.33)

Bemerkung: Große der ViskositatBetrachten wir zunachst die molekular Viskositat. Die viskose Zeitskala auf der sich eineStromung andert, und auf der eine Scheibe ins Gleichgewicht kommt ist gegeben durch dieAkkretionszeitskala

tacc ≈R2

ν, (7.34)

wobei R eine typische Lange innerhalb der Scheibe ist. Falls die Ursache der molekularenViskositat nur molekularen Ursprungs ware, dann kann man fur ν schreiben

ν ≈ λuT (7.35)

mit der mittleren freien Weglange λ und der thermischen Geschwindigkeit uT . Abschatzun-gen fur eine protostellare Scheibe ergeben mit R ≈ 1014cm, λ ≈ 10cm, und uT ≈ 105cm/seine Akkretionszeitskala von tacc ≈ 1022s bzw. 3× 1014 Jahre! Dies ist mindestens um 7 bis8 Großenordnungen zu groß, im Vergleich zur beobachteten Zeitskala.

Fur andere Systeme, in denen Akkretionsscheiben eine Rolle spielen, gilt ebenso, dass diemolekulare Viskositat um viele Großenordnungen zu klein ist, um die Entwicklung der Schei-be zu beschreiben. Also mussen andere Mechanismen wie Turbulenz zur Beschreibung vonAkkretionsscheiben herangezogen werden.

Wie beschrieben, wird in Akkretionsscheiben ein Mechanismus zur Erzeugung von Dissipa-tion benotigt, der um mehrere Großenordnungen hoher ist als die molekulare Viskositat.Typischerweise wird Turbulenz als Erzeugungsmechanismus einer anomalen Viskositat her-angezogen. Nun ist allerdings die Keplerbewegung ein Lehrbuch-Beispiel fur eine stabileStromung gemaß des Rayleighschen Stabilitatskriteriums, nachdem eine Stromung, in derder Drehimpuls nach außen hin anwachst (∂J/∂r > 0), stabil ist. Auch ist nicht ganz klar,ob Turbulenz, falls vorhanden, uberhaupt wie eine molekulare Viskositat wirkt und Dre-himpuls nach außen transportiert, d.h. zu einem Zustand konstanter Winkelgeschwindigkeitfuhrt in dem die Reibung verschwindet, oder ob sich ein Zustand konstanten Drehimpulseseinstellt.Ungeachtet dieser teilweise noch bestehenden Unsicherheiten wird ublicherweise, um uber-haupt Modelle berechnen zu konnen, der sogenannte α-Ansatz gemacht (Shakura & Sunyaev



1972). In einer turbulenten Stromung werden die Transportgroßen durch geeignete statisti-sche Mittelwerte uber die fluktuierenden Anteile der Geschwindigkeit berechnet

σrϕ = −ρ〈δur δuϕ〉. (7.36)

Unter der Annahme von subsonischer Turbulenz werden die Geschwindigkeitsfluktuationenimmer kleiner als die lokale Schallgeschwindigkeit cs sein, und wir konnen fur σrϕ schreiben

σrϕ = −αP. (7.37)

wobei α ein, ublicherweise als konstant angenommener Parameter, kleiner als 1, und P derthermische Druck ρc2s ist. Dieser Ansatz (7.37) kann auch im Fall von magnetisierten Scheibengemacht werden, fur deren Korrelationstensor gilt

σrϕ = − 1

4π〈δBr δBϕ〉. (7.38)

Falls der magnetische Druck in der Scheibe kleiner als der Gasdruck ist, wird man wiederauf den Ansatz (7.37) gefuhrt.Das α kleiner als eins ist, kann man auch direkt plausibel uberprufen indem der Ausdruck furden gemittelten viskosen Spannungstensor σrϕ (7.30) mit der obigen Korrelation verglichenwird. Man erhalt unter Berucksichtigung von (7.22) dann fur die kinematische Viskositat

ν = 2/3αcsH. (7.39)

Dies ist der gleiche Ansatz wie im den Fall der turbulenten Viskositat, den wir zur Abschatzungder Bedeutung der molekularen Viskositat herangezogen hatten (7.35). Nun kann man an-schaulich argumentieren, dass der α-Ansatz nichts weiter bedeutet als dass in einer Scheibedie Turbulenzelemente kleiner als die Dicke H der Scheibe sein mussen, und sich subsonischu < cs bewegen.In den letzten Jahren wurde die magneto-rotational instability (MRI) fur die Akkretionschei-ben von Balbus & Hawley (1991) adaptiert, verstarkt als Ursache fur die anomale Visko-sitat in Scheiben herangezogen, allerdings mussen in Bereichen, in denen der Ionisationsgradin der Scheibe klein ist auch andere Mechanismen (Konvektion) untersucht werden. EinenUberblick uber die moglichen Mechanismen gibt der Ubersichtartikel von Lin & Papaloizou(1995).Fur den Parameter α werden je nach Anwendung Werte von 10−4 bis etwa 10−1 benutzt.

7.3.2 Temperaturverteilung und Strahlungscharakteristik

Um die radiale Temperaturabhangigkeit der Scheibe berechnen zu konnen, nehmen wir an,dass die Scheibe in vertikaler Richtung optisch dick ist, und der von einer Oberflache abge-strahlte Strahlungsfluss Fs ist gegeben durch

Fs = σT 4s ,

wobei Ts die Oberflachentemperatur bezeichnet, und σ die Stefan-Boltzmann Konstante.Dies ist gleichzusetzen mit der lokalen Energieverlustrate Q− = Fs, siehe (7.28), und esergibt sich fur die Temperatur

T 4s (r) =

3GM M

8πσ r3

(

1− β

√rir

)

. (7.40)


7.4. ZEITABHANGIGES MODELL 105

Die radiale Temperaturverteilung einer stationaren Akkretionsscheibe ist also unabhangigvon der Viskositat. Wegen des erwahnten unsicheren Ursprungs der Viskositat ist die obigeRelation ein wichtiges beobachtungsrelevantes Ergebnis. Im Fall von radialen Abstanden,die groß gegen den inneren Radius sind, ergibt sich die bekannte Relation:

Ts(r) = T∗(r/R∗)−3/4, (7.41)

wobei

T∗ =

(

3GM M

8πσ R3∗

)1/4

die charakteristische Temperatur in der Scheibe ist. Die hochste Temperatur in der Scheibewird bei r = 49/36 ≈ 1.36R∗ erreicht und ist gleich 0.488T∗. Die Gesamtleuchtkraft derScheibe kann nun berechnet werden durch Integration des Strahlungsflusses uber die Scheibe.Dazu nehmen wir an, dass die Konstante β sehr dicht bei eins liegt β ≈ 1, was fur Scheibenim allgemeinen sehr gut erfullt ist. Dies bedeutet, dass die Ubergangszone (Grenzschicht)von der Scheibe zum Stern sehr klein gegenuber dem Sternradius R∗ ist, d.h. ri ≈ R∗ Furdie Gesamtleuchtkraft der Scheibe folgt

Ldisc =

∫ ∞

R∗

Fs(r) 2πr dr =1

2

GMM

R∗

, (7.42)

d.h. in der Scheibe wird nur die Halfte der Gesamtakkretionsleuchtkraft abgestrahlt, weildie Potentialdifferenz von unendlich bis R∗ genau GM/R∗ ist. Die zweite Halfte der Energiesteckt in der Rotationsenergie der Materie in der Grenzschicht. Weil innnerhalb dieses kleinenBereiches nun die andere Halfte der Akkretionsleuchtkraft abgestrahlt wird, hat sie großetheoretische Bedeutung und ist von gleicher Wichtigkeit wie die Scheibenstruktur selbst.Die einfachste Naherung fur das emergente Spektrum wird berechnet unter der Annahmevon lokaler Schwarzkorperstrahlung

Bν(Ts) ∝ ν3 [exp(hν/kTs)− 1]−1 (7.43)

und nachfolgender Integration uber die Scheibe

Sν ∝∫ Rout

R∗

Bν [Ts(r)] 2πr dr (7.44)

wobei Rout der außere Scheibenradius ist.BILD vom Spektrum.

7.4 Zeitabhangiges Modell

Hier betrachten wir die vertikal integrierten zeitabhangige Kontinuitatsgleichung

∂Σ

∂t+

1

r

∂

∂r(rΣur) = 0 (7.45)

und die Zeitabhangige Drehimpulsgleichung

∂Σr2Ω

∂t+

1

r

∂

∂r(Σr3urΩ) =

1

r

∂

∂r

(

νΣr3∂Ω

∂r

)

. (7.46)



.5 1 1.50

.1

.2

.3

.4

.5

.6

Ring Spreading

Abbildung 7.4: Die zeitliche Entwicklung der Dichte Σ einer anfanglichen δ-formigen Verteilungnach Gl. (7.48). Kurven zu verschiedenen Zeiten t (in Einheiten von tv) sind dargestellt.

Mit der Naherung, dass die zeitliche Anderung der Winkelgeschwindigkeit verschwindet,∂Ω/∂t = 0, und der weiteren Annahme, dass das Zentralpotential durch eine Zentralmassehervorgerufen wird, folgt durch Kombination von (7.45) und (7.46)

∂Σ

∂t=

3

r

∂

∂r

r1/2∂

∂r

[νΣr1/2

]

(7.47)

Im Fall von konstanter Viskositat ν = const und einer anfanglich ringformigen Verteilungδ-Funktion der Materie

Σ(r, t = 0) = mδ(r − r0)/(2πr0)

der Masse m zentriert am Radius r0 ergibt sich die analytische Losung

Σr(r, t) =C

τx1/4exp

(

−1 + x2

τ

)

I1/4

(2x

τ

)

(7.48)

mit x = r/r0, C = 1/(πr20), τ = t/tv, tv = r20/(12ν), und der modifizierten BesselfunktionI1/4. Die Zeitentwicklung ist in Abb. 7.4 zu sehen. Die Materie wandert also unter Drehim-pulsverlust nach innen, wohingegen der Drehimpuls (ohne Masse) nach aussen transportiertwird. Die charakteristische Zeitskala fur diese Entwicklung ist die viskose Zeitskala tv.

7.5 Literatur

Frank J., King A. & Raine D., 1992, Accretion Power in Astrophysics, CambridgeUniversity Press.


7.5. LITERATUR 107

Landau, L.D. & Lifshitz, E.M., Course of Theoretical Physics 6: Fluid Mechanics,Pergamin Press, 1987

Lin, D.N.C. & Papaloizou, J.C.B., 1995, Annual Review of Astronomy & Astro-physics, 33, 505-540

Lynden-Bell, D. & Pringle J.E., 1974, Monthly Notices Royal Astronomical So-ciety, 168, 603-637

Mihalas, D. & Weibel-Mihalas, B., Foundations of Radiation Hydrodynamics, Do-ver, 1999

Petterson, J.A., 1983. In Accretion driven stellar X-ray sources, Eds, W.H.G.Lewin, E.P. van den Heuvel, Cambridge University Press.

Pringle J. E., 1981. Ann. Rev. Astron. Astrophys., 19, 137-162Shakura, N.I. & Sunyaev, R.A., 1973, Astron. & Astrophys., 24., 337.Shu, F.H., 1992, The Physics of Astrophysics Vol.2: Gas Dynamics Chapt. 7Tassoul, Theory of Rotating Stars, Princeton Press




Kapitel 8

Relativistische Astrophysik

8.1 Einfuhrung

Die klassische Newtonsche Mechanik wird ungenau und inkorrekt fur a) starke Gravitations-felder, also bei

GM

c2R≈ 1 (8.1)

oder b) bei hohen Geschwindigkeiten, wenn

v

c≈ 1 (8.2)

Die klassische Mechanik wird durch sowohl die Spezielle Relativitatstheorie (SRT) als auchdie Allgemeine Relativitatstheorie (ART) von Einstein erweitert. Diese erweiterte Theoriefindet vor allem Anwendung bei kompakten Objekten:

- Neutronensternen (NS), mitGM

c2R≈ 1

3

- Schwarzen Lochern (SL)

- Jets (superluminal motion)

- Akkretionsscheiben um SL und NS.

8.1.1 Die Grundprinzipien der Relativitatstheorie:

Newtonsche Mechanik:- Newtonsche Axiome in allen Inertialsystemen (IS) gultig.- IS: Bewegung gleichmaßig zum Fundamentalsystem (Fixsternhimmel)Inertialsysteme sind also unbeschleunigt. Es gilt das Galileische Relativitatsprinzip:

1. Alle IS sind gleichwertig2. Newtonsche Axiome gelten in allen IS

Gleichwertig heißt: Physikalische Gesetze haben die gleiche Form. Es folgt, dass die Bewe-gungsgleichungen invariant unter Galileitransformationen (GT) sind

x′ = Rx+ vt+ x0 (8.3)

t′ = t+ t0 (8.4)

109

110 KAPITEL 8. RELATIVISTISCHE ASTROPHYSIK

Die Gleichung (8.3) hat insgesamt zehn Parameter: R, v und x0 jeweils drei und t0. Trans-formation bildet 10 parametrige Gruppe.Experiment: Widerspruch zum Galileischen-Relativitatsprinzip. Michelson-Versuch: Die Licht-geschwindigkeit ist in allen IS dieselbe. Addition von Geschwindigkeiten gilt nicht allgemein.Konstanz der Lichtgeschwindigkeit unvereinbar mit Vorstellung von Raum und Zeit.Spezielle Relativitatstheorie:In der SRT wird das Galileische Relativitatsprinzip durch das Relativitatsprinzip von Ein-stein ersetzt:1. Alle IS sind gleichwertig2. Licht breitet sich in jedem IS mit der Geschwindigkeit c aus.

Damit muss die GT modifiziert werden. Die physikalischen Gleichungen sollen invariant ge-gen die Lorentz-Transformation (LT) sein.Allgemeinen Relativitatstheorie:

In der ART gilt das Aquivalenzprinzip:

- In ein einem frei fallenden nicht-rotierenden Bezugssystem gel-ten lokal die Gesetze der SRT.

- Das entspricht der Vorstellung, dass man in einem solchen geschlossenen Laborsystem lo-kal nicht entscheiden kann, ob man in einem beschleunigten System ist, oder sich in einemGravitationsfeld befindet.- Daraus resultiert die Identitat von trager und schwerer Masse.

Wenn man sich in einem endlichen Fahrstuhl befindet, wirken global noch Gezeitenkraftez.B. der Erde. Solche Gezeitenkrafte lassen sich nicht wegtransformieren.

Es gilt das Das Kovarianzprinzip: Eine physikalische Gleichung ist in allen Koordinaten-systemen gultig, wenn siea) eine Tensorgleichung ist und damit bei Transformationen erhalten wird, undb) die Gleichung in der speziellen Relativitatstheorie richtig ist.

z.B. T ab,b = 0 −→ T ab

;b = 0

d.h. partielle Ableitung −→ kovariante Ableitung.

8.2 Grundlagen der Speziellen Relativitatstheorie

In der gewohnlichen dreidimensionalen Raumzeit gilt fur den Abstand d zweier Punkte xund y

d2 = (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2 (8.5)

wobei die oberen Indizes die drei Raumrichtungen bezeichnen. Fur den Abstand ds zweierinfinitesimal benachbarter Punkte folgt mit y = x+ dx

ds2 = (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2 = δijdxidxj (8.6)

wobei die rechte Seite mit Hilfe der Einsteinschen Summenkonvention, dass uber gleiche obereund untere Indizes summiert wird, umgeschrieben wurde. Die Indizes i, j laufen jeweils uber1,2,3 und δij bezeichnet das Kronecker-Delta. Man bezeichnet diese Form fur ds auch alsMetrik des entspechenden Raumes. In diesem Fall (8.6) wird der Raum als dreidimensionaler


8.3. LORENTZ-TRANSFORMATIONEN 111

Euklidischer Raum bezeichnet. Man bezeichnt oft als Kurzform auch δij als die Metrikdieses Raumes, weil dadurch die Abstande von Punkten in diesem Raum gemessen werden.In der SRT wird der dreidimensionale Raum mit der Zeit zu einer vierdimensionalen Raum-zeit kombiniert mit den Koordinaten

(x0, x1, x2, x3)∧= (ct, x, y, z) (8.7)

Abstande in diesem Raum werden durch das folgende Linienelement bestimmt

ds2 = −c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2 = ηabdxadxb (8.8)

Der wesentliche Unterschied zu oben liegt in dem unterschiedlichen Vorzeichen einer Koor-dinate, der Zeit. Damit ist der Raum nicht mehr euklidisch sondern der vierdimensionaleMinkowski-Raum. Hier geht die Summation von a, b uber 0,1,2,3. Hier bezeichnet ηab den“Metrischen Tensor” der speziellen Relativitatstheorie, der (flachen) Raumzeit der SRT, oderkurz die Minkowski-Metrik. Aus Gl. (8.8) liest man ab

ηab =

−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

= diag(−1, 1, 1, 1) (8.9)

Das Linienelement ds2 misst den Abstand zweier infinitesimal benachbarter Punkte (xa, xa+dxa), und dxa ist ein Koordinatendifferential.

In der SRT ist der Abstand ds invariant gegen gleichformig zueinander bewegten Koordina-tensystemen, weil die Lichtgeschwindigkeit universell ist. Fur Photonenbahnen gilt

ds2 = 0 . (8.10)

Diese werden als lichtartig bezeichnet. Fur Teilchenbahnen mit Masse ist

ds2 < 0, (8.11)

und sie werden als zeitartige Bahnen bezeichnet.

8.3 Lorentz-Transformationen

Gesucht wird nach einer Transformation, welche das Linienelement invariant lasst, also

ds2 = ds′2

Bem: Vergleich zu 3D-kartesisch:

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = ds′2 = dx′2 + dy′2 + dz′2 (8.12)

Fur lineare Transformationen gilt

x′ = Rx



Die Bed. (8.12) liefert nun

ds2 =3∑

i=1

dx′2i

=3∑

i=1

3∑

j=1

Rijdxj

3∑

k=1

Rikdxk

=3∑

i=1

∑

j,k

RijRikdxkdxj

=3∑

i=1

∑

j,k

RTjiRikdxkdxj

!=

3∑

i=k

dx2k

(8.13)

Das heißt, es muss gelten∑

i

RTjiRik = δjk , (8.14)

oder umgeschriebenRT R = I , (8.15)

also ist die gesuchte Transformation wie erwartet durch eine orthogonale Drehmatrix Rgegeben, und diese wird durch drei Drehwinkel festgelegt.Vierdimensional sehen lineare Transformation xon x nach x′ (ohne Translation) in Koordinaten-schreibweise so aus

xa′

= Λa′

bxb , (8.16)

wobei hier, und im Folgenden, immer eine die Summation uber gleiche untere und obereIndizes impliziert ist (b lauft hier von 0 bis 3). In Matrixform ausgeschrieben lautet dies

x0′

x1′

x2′

x3′

=

Λ00 Λ0

1 Λ02 Λ0

3

Λ10 Λ1

1 Λ12 Λ1

3

Λ20 Λ2

1 Λ22 Λ2

3

Λ30 Λ3

1 Λ32 Λ3

3

x0

x1

x2

x3

(8.17)

Die Transformation wird durch eine Matrix

Λ = Λab

beschrieben, wobei der obere Index die Zeile und der untere die Spalte bezeichnet, kurz

x′ = Λx

Die Invarianz des Linienelements ds bedeutet

ds′2 = dxa′dxa′ = ηa′b′dx

a′dxb′

= ηabΛacΛ

bddx

cdxd!= ds2 = ηcddx

cdxd (8.18)


8.3. LORENTZ-TRANSFORMATIONEN 113

Dabei wurde zunachst die Isometrie:

η′ab = ηab (8.19)

angenommen, d.h. es bleiben Langen und Skalarprodukte unter LT erhalten. Gl. (8.18) giltfur beliebige dxa, also

ηabΛacΛ

bd = ηcd

oderΛa

cηabΛbd = ηcd

oder in MatrixschreibweiseΛT ηΛ = η . (8.20)

Diese Eigenschaft definiert Lorentzransformationen. Invarianz von ”Rotationen” im 4D-Raum. Vgl. Gl. (8.15)

RT I R = I

Beispiel:Boost in x-Richtung mit Geschwindigkeit v, bzw. das gestrichene KO-System K ′ bewegt sichmit der Geschwindigkeit v in die positive x-Richtung bzgl. des ungestrichenen Systems K.Es gilt

x0′

= γx0 − βγx1 (8.21)

x1′

= −βγx0 + γx1 (8.22)

x2′

= x2 (8.23)

x3′

= x3 (8.24)

mit

γ =1

√

1− β2und β =

v

c. (8.25)

In ublichen Koordinaten lauten Gl. (8.21) und (8.22)

ct′ = γ(ct− v

cx) (8.26)

x′ = γ(−vt+ x) (8.27)

und in Matrixschreibweise ergibt sich durch ablesen.

x0′

x1′

x2′

x3′

=

γ −βγ 0 0−βγ γ 0 00 0 1 00 0 0 1

x0

x1

x2

x3

(8.28)

Bemerkung:

Die Rapiditat: Man definiert eine neue Große Ψ durch

γ =1

√

1− v2

c2

≡ coshΨ =eΨ + e−Ψ

2. (8.29)



wirdΨ = atanh

v

cbzw. sinhΨ = γβ

und ein Lorentz-Boost (in x-Richtung) lautet(x0

′

x1′

)

=

(coshΨ − sinhΨ

− sinhΨ coshΨ

)(x0

x1

)

(8.30)

Dies ist eine Drehung im 4D-Minkowski-Raum. Im Vergleich mit 3D-Euklid werden dietrigonometrischen Fkt. durch die Hyperbolischen ersetzt.

Das Inverse von Λab ist durch v → −v gegeben, also

Λ−1(v) = Λ(−v) (8.31)

Die Lorentz-Transformationen sind lineare Transformationen, also folgt

dxa′

= Λa′

bdxb linear−→ Λa′

b =∂xa

′

∂xb(8.32)

d.h. Λ ist keine Funktion der Koordinaten, also konstant bzgl. der xa.

8.4 Relativistische Mechanik

• Erweitere Naturgesetze auf vier Dimensionen

• Verlange Invarianz gegen die Lorentz-Transformation (die newtonschen Mechanik istGalilei-Invariant),

• Die Gleichungen sollen fur kleine v ≪ c in die Newtonsche Mechanik ubergehen(Korrespondenz-Prinzip).

Das Eigenzeitdifferential

ηabdxadxb = ds2

= −c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2

=

[

−c2 + dx2

dt2+dy2

dt2+dz2

dt2

]

dt2

= [−c2 + v2]dt2

= −c2(1− β2)dt2

≡ − c2dτ 2 (8.33)

Hier ist t die Laborzeit, v die momentane Geschwindigkeit bzgl. des Laborsystems, und τdie Eigenzeit des mitbewegten Beobachters, d.h. die Zeit, welche er auf seiner (mitgefuhrten)Uhr abliest. Die verstrichene Zeit fur den mitbewegten Beobachter betragt

T =

∫

Bahn

dτ =

∫

Bahn

√

1− β2 dt ≤∫

Bahn

dt (8.34)


8.4. RELATIVISTISCHE MECHANIK 115

Die verstrichene Zeit ist also wegabhangig (siehe auch das Zwillings-Paradoxon).

Die Vierergroßenxa ist der Ortsvektor, dxa sind die Koordinaten-Differentiale und dτ Eigenzeitdifferentiale.Die Vierer-Geschwindigkeit ist definiert durch

dxa

dτ= ua (8.35)

ua =dxa

dτ=dxa

dt

dt

dτ=dxa

dt

1√

1− β2= γ

dxa

dt(8.36)

Also ist

uα = γ(c,v) mit vi =dxi

dt. (8.37)

vi wird auch als Koordinatengeschwindigkeit bezeichnet. Wenn β gegen Null geht, dann gehtγ gegen eins, und ui wird zur Newtonschen Geschwindigkeit vN .

(u1, u2, u3) → vN (8.38)

Der Betrag der Vierergeschwindigkeit ist

ηabuaub = − c2

1− β2+

v2

1− β2= −c2 = konst. (8.39)

er ist also ein Lorentz-Skalar (unverandert unter LT).Die Vierer-Beschleunigung ist

ba ≡ dua

dτ=d2xa

dτ 2(8.40)

Die Kraft ist

ka = m0ba = m0

dua

dτ(8.41)

Man vergleiche diese Form auch mit der Newtonschen Mechanik. m0 ist die Ruhemasse desKorpers, gemessen in einem System, in dem er ruht. Mit

dτ =dt

γ(8.42)

folgt fur die raumlichen Kraftkomponenten

(k1, k2, k3) =kN

√

1− β2= γkN , (8.43)

wobei kN die Newtonsche Kraft bezeichnet mit

kNi = ki

√

1− β2 . (8.44)

Zur Berechnung der 0. Komponente der Kraft differenzieren wir zunachst die die Gl. (8.39)

d

dτ

(ηabu

aub)= 2ηabu

abb = 0 ,



d.h. es gilt, dass die Vierergeschwindigkeit immer senkrecht auf der Beschleunigung steht.Also gilt auch ηabu

akb = 0, und die 0. Komponente der Kraft ka kann daraus berechnetwerden. Ingesamt erhalt man

ka = γ

(kN · vc

,kN

)

. (8.45)

Gleichzeitig ist die 0. Komponete gegeben durch die Gleichung (8.41) mit u0 = γc, und derVergleich ergibt

m0d

dτ(cγ) =

1

cγ kN · v . (8.46)

oderd

dt

(

m0c2

√

1− β2

)

= kN · v (8.47)

Die rechte Seite ist die von der Kraft kN geleistete Arbeit pro Zeit (die Leistung), also diezeitliche Anderung der Energie. Das heißt, die nullte Komponente der Viererkraft ergibt diezeitliche Anderung der Energie, und die raumlichen die Anderung des Impulses.Definiere: Relativistische Masse

m ≡ m0√

1− β2= γm0 (8.48)

Der relativistische Impuls istp ≡ mv = m0γv (8.49)

Die relativistische Energie istE ≡ mc2 = m0c

2γ (8.50)

Eine Entwicklung fur kleine Geschwindigkeiten liefert

E =m0c

2

√

1− β2= m0c

2 +1

2m0v

2 +3

8m0v

2(v

c

)2

(8.51)

Der Energie-Impuls-Vierervektor ist

pa = m0ua (8.52)

d

dτpa = m0b

a = ka (8.53)

Damit wird dann

pa = (γm0c, γm0v) = m(c,v) =

(E

c,p

)

(8.54)

p ist der relativistische Impuls und E die relativistische Energie. Es ergibt sich dann

ηabpapb = −E

2

c2+ p2 (8.55)

= ηabm20u

aub = −m20c

2 (8.56)

und somit fur die Energie

E = c√

p2 +m20c

2 (8.57)

Das Licht hat keine Masse (m0 = 0) und die Energie betragt E = pc. Bei einem ruhendenTeilchen ist p2 = 0. Man erhalt dann

E = m0c2 (8.58)


8.5. JETS 117

8.5 Jets

8.5.1 Beobachtung

Den ersten Hinweis auf Jets gab es durch Beobachtungen von Curtis in den Jahren 1917und 1918. Die fraglichen Strukturen fielen ihm erstmals bei optischen Beobachtungen derGalaxie M87 in der Jungfrau auf, deren extragalaktischer Ursprung bis zu diesem Zeitpunktnoch nicht bekannt war. Durch spatere Beobachtungen im Radio-Bereich wurden Radio-Doppelquellen entdeckt. Vergleiche auch mit der Quelle Herkules A.Der schematische Aufbau eines Jets:

K o k o n

J e t s

g e s c h o c k t e s

I S M / I G M

R a d i o b l a s e

B u g - S t o ß -

W e l l eK e r n

Im Inneren eines Kokons aus geschocktem interstellarem und intergalaktischen Mediumssitzt ein Kern, der in entgegengesetzte Richtungen Material abblast. An der Bug-Stoßwellebilden sich beim Zusammentreffen mit dem geschockten Medium ein Hot-Spot. Die Jets ha-ben mehrere Eigenschaften:Die Radioblasen haben eine symmetrische Doppelstruktur. Die Bildung von Hot-Spots amEnde der Jets. Viele Jets sind mit elliptischen Galaxien verbunden. Aus dem Kern der Jetsdringt starke Rontgenstrahlung. Der Kern und die Hot-Spots sind verbunden durch die Jets.Erst Ende der 70er konnte durch das Very Large Array (VLA) die Rontgenquelle HerkulesA erstmals aufgelost werden.

Oftmals kommen Jets auch nur einseitig vor und scheinen am Himmel ein scheinbare Eigenbe-wegung mit Uberlichtgeschwindigkeit zu besitzen. Des weiteren kommen die Jets auch haufigin Kombination von einer Akkretionsscheibe mit einem kompakten Objekt vor (zum BeispielSchwarze Locher oder Neutronensterne). Es gib sowohl galaktische Jets (Mikro-Quasare) alsauch extragalagtische Jetstrukturen (Quasare).

8.5.2 Scheinbare Uberlichtgeschwindigkeit

Einfaches Beispiel: Am Punkt A sei eine Quelle, deren Jet sich in Richtung B bewegt. DieStromungsrichtung sei gegen die Beobachtungsrichtung geneigt.



A

B

5 LJ4LJ

3LJ

C

Beobachter

Richtung des Blobs

2LJ

Ein Klumpen bewege sich mit einer relativistischen Geschwindigkeit von v = 5/6c in 6 Jah-ren vom Punkt A nach Punkt B, und wird jeweils von einem Beobachter detektiert. In 6Jahren erreicht das Licht auf dem direkten Weg zum Beobachter den Punkt C. Das Lichtvon Punkt B kommt also nur zwei Jahre nach dem Licht von Punkt A beim Beobachter an.Die scheinbare transversale Geschwindigkeit betragt in dem Bspl. also vapp = 3/2 · c.

Genaue Berechnung:

d d

t 2

t 1q

D t v c o s q

D t v s i n qQ 1

Q 2

v

Die Quelle sende ein Signal von Q1 zum Zeitpunkt t1. Ein Beobachter am Punkt A (in derEntfernung d+ v∆t cos θ) empfange das Signal zur Zeit t′1.Die Quelle bewege sich nach Q2 in ∆t = (t2 − t1) und sende ein Signal zum Zeitpunkt t2.Der Beobachter empfange dieses Signal zur Zeit t′2. Es gilt

t′1 − t1 =1

c(d+ v∆t cos θ) (8.59)

t′2 − t2 =1

cd (8.60)

Die erste Gleichung zieht man von der zweiten ab:

∆t′ = t′2 − t′1 = ∆t− v

c∆t cos θ = ∆t

(

1− v

ccos θ

)

(8.61)

Die scheinbare Transversalgeschwindigkeit ist dann

vapp =Q2D

∆t′=v∆t sin θ

∆t′=

v sin θ(1− v

ccos θ

) =β sin θ

(1− β cos θ)c (8.62)


8.5. JETS 119

Die Eigenbewegung (am Himmel) betragt dann

µapp ≈ vappd

(8.63)

Hier ist d der Abstand zwischen der Quelle und dem Beobachter.Man betrachte nun zwei Jets (Blobs). Der sich nahernde Jet habe die Eigenbewegung µa (fur”approach”), der sich entfernende µr (”receding”). Mit Gl. (8.62) folgt

µa =β sin θ

(1− β cos θ)

c

d(8.64)

µr =β sin θ

(1 + β cos θ)

c

d(8.65)

Diese Gleichungen lost man auf

β cos θ =µa − µr

µa + µr

(8.66)

d =c tan θ

2

µa − µr

µaµr

(8.67)

Mit tan θ < 1 und (µa − µr)/2 <√µaµr folgt die interessante Einschrankung

d ≤ c√µaµr

(8.68)

Beispiel: Der Jet GRS 1915+105

µa = (17.6± 0.4)mas

day(8.69)

µr = (9.0± 0.1)mas

day(8.70)

Damit bekommt man fur d:d ≤ 13.7 kpc

Es muss sich also um eine galaktische Quelle handeln. Aus der HI-Absorption kann man aufeine Entfernung von

d = 12.5 kpc

schließen. Es ergibt sich dann

va = 1.25 · cvr = 0.65 · c

Als resultierende Geschwindigkeit erhalt man

vblob = 0.92 · c mit θ = 70

Bemerkung:vapp wird maximal fur θmax = arccos β. Es gibt keine obere Grenze.

Beispiel: β =v

c= 0.995 θ = 10

Fur diese Werte ergibt sichvapp = 8.59 · c



8.5.3 Relativistische Aberration

Man betrachte eine Transformation von K nach K ′ in x-Richtung mit der GeschwindigkeitV

K

K '

x

x 'v

Es gilt (unter Benutzung von V als relativgeschwindigkeit)

x′ = = γ(x− V t) (8.71)

t′ = γ

(

t− V

c2x

)

(8.72)

Und fur die Differentiale folgt

dx′ = γ(dx− V dt) (8.73)

dt′ = γ

(

dt− V

c2dx

)

(8.74)

Die inverse Transformation (V → −V ) lautet

dx = γ(dx′ + V dt′) (8.75)

dt = γ

(

dt′ +V

c2dx′)

(8.76)

fur die senkrechten Komponenten gilt

dy = dy′ (8.77)

dz = dz′ (8.78)

Die Geschwindigkeiten in den jeweiligen Systemen sind definiert durch

v =dx

dtv′ =

dx′

dt′(8.79)

Die Geschwindigkeitstransformation wird dann (teile (8.75) bzw. (8.77) durch (8.76))

vx =v′x + V(

1 + v′xVc2

) (8.80) vy =1

γ

v′y(

1 + v′xVc2

) (8.81)

Sei nun

vx = v cosΘ (8.82) vy = v sinΘ (8.83)

Und analog dazu im gestrichenen System. Damit ergibt sich dann

tanΘ =vyvx

= γ−1 v′ sinΘ′

v′ cosΘ′ + V(8.84)


8.6. LITERATUR 121

Fur relativistische Geschwindigkeiten (v′ ≈ c) oder fur einen Lichtstrahl v′ = c gilt:

tanΘ =1

γ

sinΘ′

cosΘ′ + β. (8.85)

Hier ist Θ′ die Richtung der Strahlung im Ruhesystem der Quelle und β = V/c. Θ ist dieRichtung der Strahlung im System des Beobachters. Das heißt, fur γ gegen unendlich wirdΘ klein. Das ergibt den Beaming-Effekt.Die Abstrahlung im System K ′ in y′-Richtung bedeutet

Θ′ =π

2sinΘ′ = 1 cosΘ′ = 0 (8.86)

und mitv′ ≈ c

folgt

tanΘ =1

γ

1

β=

c

V

√

1− V 2

c2=

√1

β2− 1 (8.87)

β tanΘ Θ []0.90 0.48 250.95 0.32 180.99 0.14 8

Durch diese Konzentration der Lichtstrahlen entstehen scheinbare Helligkeitsverstarkungen.Diesen Effekt nennt man Headlight-Effekt. Dies ist ein Grund, warum von zwei relativisti-schen Jets einer Quelle oft nur einer zu sehen ist.

8.6 Literatur

Mirabel, I.F. & Rodriguez, L.F. Sources of relativistic jets in the Galaxy, An-nu. Rev. Astron. Astrophys., 37, p409-430 (1999). Padmanabhan TheoreticalAstrophysics, Vol. I, Cambridge Univ. Press (2000), Kapitel 3.

Ruder, H. & Ruder, M., 1993, Die spezielle Relativitatstheorie, vieweg studium.Sexl, R. & Sexl, H., 1979 Weiße Zwerge - Schwarze Locher, vieweg studium


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TheoretischeAstrophysik - tat.physik.uni-tuebingen.dekley/lehre/theoast/script/... · 2 KAPITEL1. THERMODYNAMIK Die speziﬁsche innere Energie εist deﬁniert als Energie pro Masse