6 Das Schaufelgitter

6.1 Allgemeines

In der elementaren Theorie wurde die Frage nach der Größe der Verluste in den Schau­felkränzen wie auch die nach ihren Ablenkungseigenschaften offengelassen. Ursprünglich hatte man stets schaufelkongruente Strömung vorausgesetzt, d. h. man nahm an, daß die Stromlinien im wesentlichen parallel den Mittelflächen der Schaufelblätter verlaufen, was aber oft nicht hinreichend genau zutrifft. Unterlagen über die Verluste hat man sich zu­nächst ausschließlich empirisch beschafft. Erst die Entwicklung der Grenzschichttheorie und des Elektronenrechners hat die Möglichkeit eröffnet, wenigstens die Profilverluste vorauszurechnen, siehe insbesondere die wegleitenden Arbeiten von Schlichting und Scholz [3J und Speidel [54]. Die Vorausbestimmung der übrigen Verluste basiert aber immer noch weitgehend auf rein empirischen Unterlagen.

Aufgabe der Theorie des Schaufelgitters war zuerst vor allem die genauere Bestimmung der Ablenkungseigenschaften. Gegenüber der groben Annahme schaufelkongruenter Strö­mung suchte man also den Abströmwinkel genauer vorauszusagen. Schon bald versuchte aber die Gittertheorie auch eine Berechnung der Geschwindigkeitsverteilung am Profil, die ihrerseits der Ausgangspunkt der grenzschichttheoretischen Bestimmung des Profil­verlustes ist. In neuerer Zeit hat sich der Schwerpunkt der theoretischen Arbeiten immer mehr auf dieses Problem verlegt. Stets gibt es zwei Arten der Aufgabenstellung :

1. Direktes Problem ("Nachrechnungsaufgabe"): Gegeben die Zuströmrichtung und die Gittergeometrie, gesucht der Abströmwinkel und gegebenenfalls die Geschwindigkeits­verteilung.

2. Indirektes Problem ("Entwurfsaufgabe"): Gegeben die Zu- und Abströmrichtung und gewisse Bedingungen, u. U. die Geschwindigkeitsverteilung, gesucht die geometrische Gestalt des Gitters.

Beide Aufgabestellungen sind technisch von Belang, das direkte Problem insofern beson­ders, als es sehr oft notwendig ist, von vorn herein "strömungsfremde" Bedingungen zu erfüllen, wie sie aus den Forderungen der Festigkeit, des Schwingungsverhaltens oder der Fertigung folgen.

Ein gerades Schaufelgitter entsteht durch Abwicklung eines Zylinderschnittes durch einen rein axial durchströmten Schaufelkranz. Der allgemeinere Fall ist das Kreisgitter und liegt vor, wo eine Stromfläche mit beliebigen Neigungswinkeln (3 einen Schaufelkranz durchsetzt, vgl. etwa Abb. 5.2.1 oder 5.3.1. Wird eine rein radial durchströmte Schaufelung durch eine achsnormale Ebene geschnitten, so entsteht ein Schaufelstern. - Viele Gitter­theorien setzen inkompressibles Medium voraus. Diese können trotzdem im thermischen Turbomaschinenbau Anwendung finden, nicht nur weil die Machzahlen der Strömung oft recht niedrig liegen, sondern weil vielfach auch die Durchtritts-Ringquerschnitte vor und nach den einzelnen Schaufelkränzen so aufeinander abgestimmt werden, daß trotz der Dichteänderung gleiche Durchtrittsgeschwindigkeiten entstehen, wie dies der Fall ist, wenn ein gerades Schaufelgitter mit parallelen Begrenzungswänden ohne Dichteänderung durchströmt wird.

W. Traupel, Thermische Turbomaschinen© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

232 6 Das Schaufelgitter

6.2 Mathematisehe Verfahren der Gittertheorie

Das Problem der Gitterströmung erweist sich als so komplex, daß eine entsprechend große Anzahl von Verfahren existiert, die mathematisch verschiedene Wege einschlagen. Das gilt schon von der einfachsten Form des Problems, der Bestimmung der Potential­strömung eines inkompressiblen Mediums durch ein gerades Gitter. Klassische Methoden der Potentialtheorie, die auf die Gitterströmung angewandt wurden, sind insbesondere die Singularitätenmethode und die Methode der konformen Abbildung.

Die Singularitäten, die man einführt, sind Quellen, Senken und Wirbel. In der Theorie ebener Potentialströmungen ist eine Quelle eine gedachte Gerade senkrecht zur Bildebene, in welcher gleichmäßig verteilt pro Zeiteinheit und Längeneinheit das Flüssigkeitsvolumen Q entsteht. Q ist die Quellstärke ; ist sie negativ. so redet man von einer Senke. Denkt man sich etwa in einer Parallelströmung in Strömungsrichtung hintereinander eine Quelle und eine Senke gleicher Stärke angeordnet, so verschwindet die ganze der Quelle entspringende Menge wieder in der Senke, und es entsteht eine Strömung des in Abb. 6.2.1 dargestellten

c

A 8 Abb. 6.2.1 Bildung eines umströmten Körpers (Kontur Cl durch eine Quelle

und eine Senke.

Charakters. Das Stromlinienbild außerhalb der Kurve 0 verläuft so, als ob der Raum inner­halb 0 von einem festen Körper erfüllt wäre. Das Superpositionsprinzip, das wegen des homogenen, distributiven Charakters der Gleichung \j2cp = 0 gilt, führt auf folgendes Ver­fahren: Die Überlagerung des Feldes der Parallelströmung, der Quelle und der Senke lie­fert eine Stromlinie, die sich in einem Punkt A verzweigt und in B wieder zusammen­schließt und die als Begrenzung eines Körpers aufgefaßt werden kann. Damit ist außerhalb dieser Stromlinie die Potentialströmung um diesen Körper gefunden.

Das Strömungsfeld einer Quelle läßt sich wie folgt angeben. Sind rund () Polarkoordi­naten des Aufpunktes (Abb. 6.2.2), cp die Potentialfunktion, 1p die Stromfunktion und X das komplexe Potential, so gilt

cp = 2~ In r, 1p = 2~ (), X - cp + i(} = 2~ lnz, 6.2(1)

Abb. 6.2.2 Zum Geschwindigkeitsfeld der Quelle.

wobei z _ reiO • Dann ist die radial gerichtete Geschwindigkeit gemäß der Kontinuitäts­gleichung

dcp Q c = dr = 2nr' 6.2(2)

Daß c tatsächlich radial gerichtet ist, folgt aus

- dX Q Q Q -iO C = dz = 2 nz = 2 nreiO = 2 nr e 6.2(3)

Die konjugiert komplexe Geschwindigkeit c hat demnach die Richtung -(), die Geschwin­digkeit c selbst folglich die Richtung ().

6.2 Mathematische Verfahren der Gittertheorie 233

Durch solche Quellen und Senken lassen sich allerdings nur Körper bilden, die nicht zirkulatorisch umströmt <lind, während Schaufeln zirkulatorisch umströmte Körper dar­stellen. Die Untersuchung von solchen verlangt die Einführung einer weiteren Singularität, des Potentialwirbels. Sein Strömungsfeld läßt sich beschreiben als Umströmung einer zur Bildebene senkrechten Geraden (Wirbellinie) längs konzentrischen Kreisen derart, daß die Geschwindigkeit c umgekehrt proportional dem Radius r ist, also

r c = 2nr' 6.2(4)

(vgl. Abb. 6.2.3). Die Konstante r, Wirbelstärke genannt, ist zugleich die Zirkulation längs irgendeines der konzentrischen Kreise. Für diese Strömung gilt

r r iT () I I L!.2(5) rp = 2n ' 11' = - 2n n r, X = - 2n n z. U

Abb. 6.2.3 Zum Geschwindigkeitsfeld des Potential wirbels.

In der Tat ist dann die konjugiert komplexe Geschwindigkeit

c=dX= _ ir = -iI: =~e-i(&+i). dz 2nz 2nre'& 2nr

Die Geschwindigkeit hat also den nach GI. 6.2( 4) geforderten Betrag und die nach

6.2(6)

Abb. 6.2.3 korrekte Richtung, womit gezeigt ist, daß 6.2(5) tatsächlich die vorausgesetzte Strömung darstellt. Sie ist im ganzen Felde wirbelfrei, ausgenommen im Ursprung, wo die volle Wirbelstärke r als Singularität konzentriert ist.

Der Potentialwirbel ist ebensowenig phyikalisch real wie Quelle und Senke, kann aber ebensogut wie jene zur Konstruktion physikalisch möglicher Strömungen benutzt werden. Würde man in Abb. 6.2.1 außer Quelle und Senke noch eine Wirbelsingularität beifügen, so entstände eine etwas andere Kontur C, die nun zirkulatorisch umströmt wäre. Der ent­sprechend gestaltete und umströmte Körper erfährt nach dem Satz von K utta-J oukowski eine resultierende Kraft.

Das Verfahren der konformen Abbildung beruht auf den Eigenschaften der Funktionen komplexer Veränderlicher. Eine komplexe Zahl C sei Funktion einer komplexen Zahl z, also

C = f(z). 6.2(7)

Dies bedeutet, daß jedem Punkt P der z-Ebene ein Punkt P' der C-Ebene zugeordnet ist (s. Abb. 6.2.4). Nun sei etwa in der z-Ebene ein Orthogonaltrajektoriennetz gegeben. Greift man eine Kurve a dieses Netzes heraus und berechnet für alle ihre Punkte die entsprechen­den Punkte der C-Ebene, so erhält man dort eine Kurve a'. Auf diese Weise läßt sich das ganze Orthogonaltrajektoriennetz in die C-Ebene übertragen. Was so in der C-Ebene ent­steht, ist überall dort, wo f(z) regulär (differentiierbar) ist, wiederum ein Orthogonaltra­jektoriennetz. Insbesondere geht eine infinitesimale quadratische Masche des Netzes in der z-Ebene in eine ebensolche Masche in der C-Ebene über. Einem von Pausgehenden Vektor dz entspricht ein Vektor dC. Existiert in P die Ableitung dCldz, so bedeutet dies, daß die beiden Vektoren in einem bestimmten komplexen Verhältnis zueinander stehen, welches auch die Richtung von z sei, denn dieses Verhältnis ist ja gerade die Ableitung.

234 6 Das Schaufelgitter

Daraus folgt aber unmittelbar das von der übertragung des Orthogonaltrajektoriennetzes Gesagte. Das Bild in der '-Ebene ist eine "konforme Abbildung" des Bildes in der z­Ebene.

i!J o

a x a' E:

'-----.--2..

Abb. 6.2.4 Konforme Abbildung der z-Ebene auf die C-Ebene.

Nach den Ausführungen unter 3.5 bilden Potential- und Stromlinien der Potential­strömung eines inkompressiblen Mediums ein Orthogonaltrajektoriennetz. Faßt man die Bildebene dieses Netzes als komplexe Zahlenebene z auf und transformiert es vermöge einer Funktion' = j(z) in eine '-Ebene, so ist das dort erscheinende Orthogonaltrajek­toriennetz offenbar wieder das q'J-1{J-Liniennetz einer denkbaren Potentialströmung, denn das gilt nach den Ausführungen unter 3.5 für jedes derartige Quadratmaschennetz.

Damit ist folgendes Berechnungsverfahren für ebene Potentialströmungen möglich. Zu bestimmen sei die Potentialströmung an einem Körper mit gegebener Kontur. Die Bild­ebene dieser Kontur 0 faßt man als komplexe Zahlenebene z auf und transformiert 0 vermöge einer geeigneten Funktion' = j(z) in eine Kontur 0' in der '-Ebene. Die Funktion j(z) wird so gewählt, daß eine Kontur 0' entsteht, für welche die Potentialströmung ("Bildströmung") einfacher zu berechnen ist als für die ursprüngliche Kontur O. Diese Berechnung der Bildströmung kann ihrerseits z.B. nach der Singularitätenmethode erfol­gen, worauf nach Rücktransformation in die z-Ebene die gesuchte Potentialströmung vor­liegt. - Es kann auch so vorgegangen werden, daß sogleich die Bildkontur 0' gegeben und die eigentlich interessierende Körperkontur 0 erst durch konforme Transformation der '-Ebene erzeugt wird (z.B. Erzeugung eines Joukowski-Profiles aus einem Kreis). -über die Theorie der konformen Abbildung vgl. Betz [15].

Beide Verfahren haben in der Theorie der Gitterströmung ausgedehnte Anwendung gefunden. Beispiele von Methoden, die mit Singularitäten arbeiten, sind unter [1] -[14] angegeben, während [16] -[28] Theorien sind, die mit konformer Abbildung arbeiten. Daneben existieren Theorien, die den sog.. Hodographen benutzen und ebenfalls auf der konformen Abbildung beruhen. Gegeben sei das q'J-1{J-Liniennetz irgendeiner Potential­strömung. In Abb.6.2.5 ist links der Verlauf des Geschwindigkeitsvektors längs einer Stromlinie dargestellt. Die Spitzen dieser Vektoren, die im Bild rechts vom Ursprung aus abgetragen werden, bestimmen dort eine gewisse Kurve. Führt man dies für eine ganze Schar von Stromlinien wie auch für die Potentiallinien aus, so erhält man aus einem Netz in der z-Ebene ein Netz von Bildkurven in der rechts gezeichneten c-Ebene. Dieses Netz ist der Hodograph der gegebenen Potentialströmung. - Bei der erwähnten Hodographm­methode werden diejenigen Kurven in der Hodographenebene angenommen, die der Profil­berandung entsprechen (d.h. man gibt sich Geschwindigkeitsbedingungen am Profil). Daraus gelingt es, den gesamten Hodographen zu berechnen, und da dieser selbst eine konforme Abbildung der Strömung ist, kann man nun durch Rückübertragung die Gestalt des Profilgitters bestimmen, das an der Profilberandung diejenige Geschwindigkeitsvertei­lung aufweist, die im Hodographen angenommen wurde. Unter [30]-[36] sind Verfahren dieser Art aufgeführt.

6.3 Grundlagen zur Gitterberechnung nach Singularitätenmethode 235

Der Elektronenrechner hat es ermöglicht, Verfahren zur direkten Nachrechnung des Ström~mgsfeldes zu entwickeln, die auf folgendem Grundgedanken beruhen. Das Strö­mungsfeld wird in genügend engmaschiger Weise eingeteilt in eine große Zahl kleiner Teil­felder. Das Differentialgesetz, das die Strömung behenscht, wird für das einzelne Teilfeld als Differenzengesetz formuliert. So wird ausgehend von einer ersten Näherung durch

y

'PI I

Abb.6.2.5 ",.Linie und die ihr entsprechende ",-Kurve des Hodographen.

Differenzenrechnung die genaue Lösung iterativ beliebig gut angenähert. Stanitz [37] -[ 40] bestimmt auf diese Weise die Stromfunktion mit Hilfe der Relaxationsrechnung. Tompson [43] findet die Potentialfunktion mit einer Methode der finiten Elemente, die aus der Ela­stizitätstheorie übernommen ist. Katsanis [41] und Wilkinson [42] formulieren unmittelbar die Bedingungen, denen die Stromlinien genügen müssen. Ihre Verfahren erlauben die Behandlung des rotierenden Kreisgitters bis ins transsonische Gebiet hinein und dürften derzeit zu den leistungsfähigsten überhaupt gehören.

Ribaut [85] greift auf die Tatsache zurück, daß jedes beliebige Strömungsfeld von einem Vektorpotential abgeleitet werden kann. Davon ausgehend entwickelt er ein Verfahren, bei dem die Geschwindigkeit in jedem Raumpunkt durch eine Integration gewonnen wird, was sehr hohe Genauigkeit sichert, allerdings um den Preis eines außerordentlich großen Rechaufwandes. McDonald [86] gibt ein Verfahren an, das sich vor allem für den trans­sonischen Bereich eignet. Er teilt das Strömungsfeld in Flächenelemente ein und geht aus von einer geschätzten Näherungslösung. Die Rechnung verfolgt den ideellen zeitlichen übergang von einem Anfangszustand, der mit dieser Näherungslösung identisch ist, zum asymptotischen Endzustand, der der gesuchte stationäre Strömungszustand ist.

Gitter in reiner tJberschallströmung können nach der Charakteristikenmethode berechnet werden. Interessiert nur der Abströmwinkel, so genügen bei hinreichend enger Gittertei­lung im überschall- wie im Unterschallbereich Verfahren, bei denen für geeignet gewählte Kontrollgebiete die Erhaltungssätze formuliert werden, vgl. [46], [50], [55]. Eine umfas­sende Behandlung der Gittertheorien des klassischen Typs findet sich bei Schotz [51], wäh­rend Gostelow [52] einen überblick über die Theorien zur Berechnung der Strömung kom­pressibler Medien durch Gitter vermittelt.

6.3 Grundlagen zur Gitterberechnung nach Singularitätenmethode

In einem Koordinatensystem z = x + iy, Abb. 6.3.1, betrachten wir zunächst das Geschwindigkeitsfeld, das entsteht, wenn längs der y-Achse in den Punkten y = nt, wo n = 0, ±1, ±2, ... , ± <Xl je eine Wirbelsingularität von der Stärke r sitzt. Das kom-

236 G Das Schaufelgitter

plexe Potential eines dieser Wirbel ist nach GI. 6.2(5)

ir 1 ( ') Xl = - 2n n z - ~nt , 6.3(1)

iy z 0

LJ~ r )

2Jvr Uoo Ur

--------------~8----------------x

ßr,O' Cd! r ) V1

U1=Uoo

r )

Abb. 6.3.1 Durch Wirbelreihe angenähertes Gitter.

denn z - int ist jetzt der komplexe Vektor, der die Singularität mit dem Aufpunkt ver­bindet. Das komplexe Potential der ganzen Wirbelreihe ist daher

T +00 T 00 ]

X = - ;n n=2d oo In (z - int) = - ;n [ln z + n~ In [tz - int) (z + int)]

ir = - 2n In [Z(Z2 + t2 ) (Z2 + 22t2 ) (Z2 + 32t2 ) ••• ]

_ ir [ { (z) ( Z2) ( Z2)} tt2(22t2) (32t2) ] - ---2 In n -t 1+ 2 1+ 22Z .. · +ln .... n t t n 6.3(2)

Da eine additive Konstante für das komplexe Potential unwesentlich ist, kann der zweite dieser Logarithmen weggelassen werden, während das Glied in der geschweiften Klammer nichts anderes ist als Sin (nzjt). Also bleibt

X = - ~~ In Sin (~Z). 6.3(3)

Die durch die betrachtete Wirbelreihe entstehende (komplexe) Geschwindigkeit Cr ist gegeben durch

Cr= dX = _ irCos(T) = _ ir Cot (nz). dz 2t Sin (~Z) 2t t

6.3(4)

Aus der Gleichung Cot C - [e' + e-c]j[eC - e-C] folgt weiter, daß für ein Argument C, dessen reeller Anteil einen großen negativen Betrag hat, Cot C = -1. Umgekehrt ist für ein C mit großem positiven reellen Anteil Cot C = +1. Da nun (Abb. 6.3.1)

Cr = Ur - iUr,

folgt mit dieser überlegung aus GI. 6.3(4)

{Ur = 0 I X~ - 00 Ur = -rj2t

X ~ + 00 {~~ = ~j2t

6.3(5)

6.3(6)

GA Exakte Berechnung der Potentialsträmung durch ein gerades Schaufelgitter 237

Dem Feld dieser Wirbelreihe überlagern wir nun eine reine Parallelströmung, deren (orts­unabhängiger) Geschwindigkeitsvektor

6.3(7)

sei (Abb. 6.3.1). Die Überlagerung führt an jeder Stelle des Feldes auf eine bestimmte Geschwindigkeit

C = C oo + Cr {1t = U oo + Ur .

v = V oo + Vr

Insbesondere erhält man in x = ± 00

x = + 00

Cl = Coo + cr(x = - (0) 1 UI = U oo

VI = Voo - rj2t C2 = C oo + Cl'(x = + (0)

x= - 00

Uz = U oo

112 = 1'00 + rj2t

6.3(8)

6.3(9)

Dies ist in Abb. 6.3.1 dargestellt. Offensichtlich ist eine solche Wirbelreihe einem geraden Schaufelgitter mit der Schaufelteilung t äquivalent, dessen Schaufelprofile die Zirkulation r aufweisen und dessen Winkel (xoo gleich dem Winkel ist, den die gegebene Geschwindigkeit Coo mit der y-Achse bildet. Es ist damit die einfachste Form einer Gittertheorie gewonnen bei der die Schaufeln lediglich durch einzelne Wirbelsingularitäten ersetzt sind. - Wir bemerken noch, daß jede der Wirbelsingularitäten nach K utta-J oukowski eine Kraft (pro Breiteneinheit -'- zur Bildebene )

6.3(10)

erfährt, die senkrecht auf Coo steht, was genau so hergeleitet werden kann wie in Abschnitt 5.10. Die einzelnen Wirbel werden daher als "gebundene Wirbel" bezeichnet, weil sie an einen vorgegebenen Ort gebunden sind und dementsprechend im allgemeinen Kräfte erfah­ren.

6.4 Exakte Berechnung der Potentialströmung durch ein gerades Schaufelgitter

Gegeben sei ein gerades Gitter aus Profilen beliebiger Gestalt, das unter einem vorge­schriebenen Winkel (Xl durch ein inkompressibles :Medium an geströmt sei. Wir suchen den Abströmwinkel (xz und die Geschwindigkeitsverteilung am Profil. Es liegt somit das direkte Problem vor. Dieses ist in strenger Weise lösbar mit Hilfe der Singularitätenmethoden, was wohl von Isay [8J erstmals durchgeführt und von Martcnscn [9J, Imbach [10J und Dett­mering [l1J weiter verfolgt wurde (die nachfolgende Darstellung ist die von Imbach).

Wie unter 5.10 bereits aufgezeigt, ist die Oberfläche des umströmten Schaufelprofils auffaßbar als eine Wirbelfläche, wobei die auf die Flächeneinheit bezogene Wirbelstärke I' an jeder Stelle gleich der Geschwindigkeit c ist, mit der das ::\Iedium dort die Oberfläche überstreicht. Wenn wir daher bei dem Gitter, Abb. 6.4.1, eine Reihe von homolog gele­genen Bogenelementen ds herausgreifen, so haben wir uns in ihnen Wirbel von der Stärke y(s) ds zu denken. Durch diese Wirbelreihe wird aber zu dem ganzen Geschwindigkeitsfeld ein Beitrag dc), (komplexer Vektor) geleistet, den man für einen beliebigen Aufpunkt Z = x + iy angeben kann. Nach GI. 6.3(4) ist offenbar mit

dCr(z) = - iY2~s)Cot(n[z ~ ~(S)J)d8 6.4( 1)

der zu der konjugiert komplexe Vektor gegeben. :Man erkennt dies sofort, wenn man ein neues Koordinatensytltem einführt, dessen "Gn;prung im betrachteten Profilpunkt P liegt (in Abb. 6.4.1 gestrichelt) und die Koordinaten von A bezüglich dieses Systems durch z und ~ ausdrückt. Unter Verwendung bekannter mathematischer Identitäten läßt sich nun

238

schreiben

wobei

I I I

I I I

G Das Schaufelgitter

. (n[z - C(s)]) . -tCot t =fz(z, C(s)) - if,l(z, C(s)),

iy I

I I I I

~l ~ I u .. I Ir",

I

I CI/, ...... I

I I A

- - +--./"'f I ~ I

I

~1 C, V, CI/,

I I I : ds

u(Z)

Abb.6.4.1 Schaufelgitter, zur Herleitung der Integralgleichung von Imbach [10].

sin n(y - "') cos n(y - 1})

f-- • t t z - S' \I n(x - ~) . \I n(x - "')

m t +sm t

S· n(x - ~)C n(x - ~) m t os t

1,1 = + (~) ( . S' 2 n x - +. 2 ny - "') m t sm t·

6.4(2)

6.4(3)

6.4( 4)

Diese ein für allemal gegebenen Funktionen lassen sich tabellieren und auch in den Elek­tronenrechner eingeben.

Die zwei Komponenten dcy.r; und dc'Y'll lassen sich demnach wie folgt angeben:

y(s) ds 1'(8) ds dc"z(z) = fz(z, C(8)) -2t-' dc'Y'll(z) = f,l(z, C(s)) -2t-' 6.4(5)

Die sämtlichen Wirbelschichten, welche die Schaufeln darstellen, induzieren daher im Aufpunkt A eine Geschwindigkeit, deren beide Komponenten

1 c"z(z) = 2t ~y(s)fz(z, C(8)) ds, 6.4(6)

1 c'Y'll(z) = 2t ~y(s)/,I(z, C(s)) ds 6.4(7)

betragen. Hierbei ist das Umlaufintegral über das Profil zu erstrecken, dessen Austritts­kante im Ursprung liegt. Die Summierung der Beiträge der sämtlichen Profile ist ja durch

G.4 Exakte Berechnung der Potentialströmullg durch ein gerades Schaufelgitter 239

GI. 6.4(1) bereits gegeben. Wenn man hierzu noch die Grundgeschwindigkeit (Parallel­strömung)

c"" = Cn + iCn cot lX"" 6.4(8)

überlagert, so erhält man schließlich die resultierenden Geschwindigkeitskomponenten im Aufpunkt A

1 u(z) = Cu + 2t ~Y(8)ja;(Z, C(8)) d8, 6.4(9)

1 v(z) = cncot lX"" + 2t ~Y(8)jll(Z, C(8)) ds. 6.4(10)

Diese Gleichungen gelten für jeden Punkt des Feldes, also z.B. auch für jeden beliebigen Punkt B auf der Profilberandung, der durch die komplexe Koordinate Z gekennzeichnet sei, vgl. Abb. 6.4.1. Dort ist aber die Richtung lX der Geschwindigkeit bekannt, da sie durch die Schaufelfläche erzwungen wird. Es ist offenbar zu fordern

v(Z) u(Z) = cot lX(Z). 6.4(11)

Indem man in diese Gleichung die Ausdrücke nach GI. 6.4(9) und (10) einführt, die man für Z anschreibt, erhält man

2tcn[cot lX(Z) - cot lX",,] = ~y(s) [jll(Z, C(s)) - cot lX(Z)ja;(Z, C(s))] ds. 6.4(12)

Für die Zirkulation r um eine einzelne Schaufel gilt offenbar

r = ~ y(s) ds = t(Cu2 - Cul) = tcn(cot lX2 - cot lXI)' 6.4(13)

'Damit ist aber auch ~ y(s) ds = 2tcn(cot lX oo - cot lXI)' 6.4(14)

Wenn man aus dieser Gleichung cot lX oo ausrechnet, in GI. 6.4(12) einsetzt und noch be­achtet, daß y(s) = c(s), d.h. die örtliche Geschwindigkeit am Profil, so wird man schließ­lich auf folgende Relation geführt:

2t[cot lX(Z) - cot lXI] = ~ ~[fIl(Z, C(s)) - cot lX(Z)ja;(Z, C(s)) + 1] ds. 6.4(15)

Dies ist eine Integralgleichung für die Funktion c(s), da alles andere bekannte Funktionen sind. Es ist noch zu fordern, daß die Austrittskante Staupunkt sei (Kuttasche Abfluß­bedingung ), d.h.

c(O) = O. 6.4(16)

Die Gln. 6.4(15) und (16) bestimmen die Funktion c(s) eindeutig. Der Abströmwinkel ist damit aus GI. 6.4(13) gegeben. Es wird

c(s) ds cot lX 2 = cot lX1 + ~ - -. 6.4(17)

Cn t

Die praktische Lösung der Integralgleichung muß duroh den Übergang zur Differenzen­rechnung erfolgen. Man denkt sich den Umfang des Profils eingeteilt in n + 1 gleiche Bogenstücke h, wodurch man längs des Profils n Bogenwerte, nämlich SI = h, S2 = 2h, ... , s. = vh, ... , Sn = nh, auszeichnet. V gl. Abb. 6.4.2. Für jeden der so ausgezeichneten Profilpunkte formuliert man die Integralgleichung 6.4(15) als Summengleichung in der Form

2t n c(s.) h [cot lX(Z,) - cot lXI] = .~ ~ [fl/(Zi, Z.) - cot lX (Zi) ja;(Z" Z.) + 1]. 6.4( 18)

Hier kennzeichnet Zj einen der ausgezeichneten Punkte, der festgehalten wird, während Z. die aUe ausgezeichneten WeIte durchlaufende Koordinate des Laufpunktes ist. Es lassen sich n Gleichungen dieser Art (für die n Festpunkte) aufstellen, die n unbekannte Größen

240 G Das Schaufelgitter

C(s.)JCn zu bestimmen gestatten. Man beachte, wie die Staupunktsbedingung GI. 6.4(16) in die Rechnung eingeht. Einschließlich des Punktes Zo = 0 haben wir ja n + 1 ausgezeich­nete Punkte. In jeder unserer Gleichungen fehlt aber das Glied, das Zo entsprechen würde, da eben c(O) = O. Außerdem haben wir nur n Gleichungen zur Verfügung, denn es fehlt die Gleichung für i = O. In der Tat gilt ja auch GI. 6.4(15) für die Austrittskante nicht, weil dort eine Aussage über die Richtung der Geschwindigkeit gegenstandslos wird.

iy

x nh

Abb. 6.4.2 Einteilung der Gitterkontur in eine endliche Zahl von Teilstrecken.

Diese Art der Einführung der Staupunktsbedingung erweist sich allerdings als eine Schwachstelle des Verfahrens. Man kann aber auch so vorgehen, daß man den ersten und letzten der ausgezeichneten Punkte in die Abstände ±hJ2 vom Austrittskantenpunkt legt, dem ersten Punkt die Nummer v = 0 gibt und die Summationen von v = 0 bis n laufen läßt. Läßt man dann i doch nur von 1 bis n laufen, so hat man n Gleichungen für n + 1 Unbekannte. Man fügt nun noch die Bedingung c(so)jcn = c(sn)jcn bei, womit genügend Gleichungen vorliegen. Dies bedeutet gleiche Geschwindigkeiten an Saug- und Druckseite in unmittelbarer Nähe der Austrittskante, ersetzt also die Staupunktsbedlngung.

Hat man die sämtlichen c(s.)jcn durch Auflösen des Gleichungssystems bestimmt, so kennt man nicht nur die Geschwindigkeitsverteilung am Profil, sondern auch /X2 vermöge der aus GI. 6.4(17) folgenden Relation

h n c(s.) cot /X2 = cot /Xl + - 2: -. 6.4(19)

t .=1 Cn

Bei der Durchführung der Rechnung ergibt sich noch die Schwierigkeit, daß die Funktio­nen/x und/y in C = Z unstetig sind und die Werte ± 00 annehmen. Die genauere Unter­suchung zeigt, daß der Beitrag, den ein sehr kleines Stück des Integrationsweges, in dessen Mitte der Aufpunkt Z liegt, zum Integral liefert, verschwindet. Beim Übergang zur Sum­mengleichung bedeutet dies, daß sowohl/x als auchfy für v = i Null gesetzt werden dürfen.

An sich liegt damit ein exaktes allgemeines Verfahren zur Berechnung der Potential­strömung eines inkompressiblen Mediums durch ein gerades Schaufelgitter vor, doch er­weisen sich die numerischen Schwierigkeiten bei der Auflösung des Gleichungssystems als beträchtlich, denn die Anzahl der nötigen Autpunkte ist groß (40-80), wobei numerische Instabilität eintritt. Man kann dem so entgegenwirken, daß man die GI. 6.4(18) für mehr Aufpunkte Z~ formuliert als Laufpunkte Z. vorgesehen sind und dann die wahrscheinlich­sten Werte der damit grundsätzlich überbestimmten Unbekannten durch Ausgleichsrech­nung festlegt. Genaueres darüber siehe [10]. Auch der Charakter der Funktionen/x und/y

kann insbesondere bei dünnen Profilen zu Schwierigkeiten führen, weil dort in kleinem Abstand vom Aufpunkt vorbeüntegriert werden muß ("Nebensingularität"). Dies ver­meidet Koch [27] durch Einführung einer konformen Abbildung.

Schwering [12] entwickelt eine Theorie, die wesentlich auf den gleichen Grundgedanken beruht, aber das indirekte Problem löst. Die Schwierigkeit der Nebensingularität vermeidet van den Braembussche [13], indem er die Punktwirbel am Profilumfang durch Wirbel­strecken ersetzt (das Profil wird dabei ein Polygon). Die Berücksichtigung der Kompressi­bilität ist bei den Theorien dieses Typus grundsätzlich möglich durch Beifügung stetiger

604 Exakte Berechnung der Potentialströmung durch ein gerades Schaufelgitter 241

Quellverteilungen im Strömungsfeld, was indessen die Rechenzeit unverhältnismäßig er­höht, da die Konvergenz schlecht ist. Der gangbarste Weg ist wohl der von Bäkenbrink [14], der die Mittelstromanalogie von Oswatitsch-Ryhnig benutzt.

Abb. 6.4.3 bis 6 zeigen zwei Gitter und die von Imbach [10] nach dieser Methode be­rechneten Geschwindigkeitsverteilungen. Man beachte insbesondere den ungünstigen Geschwindigkeitsverlauf an der Saugseite der Schaufel nach Abb. 6.4.5. Die Saugseite jener Schaufel ist aus zwei Geraden und einem Kreisbogen gebildet, wobei an den Übergän­gen selbstverständlich eine Unstetigkeit der Krümmung entsteht. Es zeigt sich, welch

Abb. 6.4.3 Beispiel eines durchgerech· neten Turbinengitters.

Abb. 6.4.4 Geschwindigkeitsverteilung am Gitter nach Abb. 6.4.3 nach Imbach [10].

Abb. 6.4.5 Beispiel eines Gleichdruck­Turbinengitters älterer Bauart.

Abb. 6.4.6 Geschwindigkeitsverteilung am Gitter nach Abb. 6.4.5 nach Imbach [10].

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f ~;~

1i= ---

" r !

1 I I

,

7

--~

-2 "'d /

I I

-J

I I

{

0,7 0) 0,3 0,9 O,S ac 0.7 s/L-

0.8 0.9

242 6 Das Schaufel gitter

schroffe Geschwindigkeitsänderungen in diesen Zonen auftreten. Etwa an der mit A an­gegebenen Stelle beobachtet man in der wirklichen Strömung Ablösung. Dieses Ergebnis bestätigt die Unzweckmäßigkeit von Schaufelprofilen mit unstetiger Krümmung.

Die hier gewonnene Darstellung der Gittertheorie gestattet noch die Herleitung eines grundlegenden Zusammenhanges auf einfache Weise. Wir denken uns die folgenden zwei Systeme von je n linearen Gleichungen (für j = 1 bis n) gegeben.

n n

L; aijxj = bj, L; aijX;' = bj + c. i=l i=l

Hat man die Lösungen x; und x;' bestimmt, so genügen ihre Differenzen x;' - x; offenbar den Gleichungen

" L; aij(x'/ - xi) = c. i=l

Daraus erkennt man, daß die x;' - x; direkt proportional c sind, denn vergrößert man c etwa auf das Doppelte, so bleibt dieses letztere Gleichungssystem offensichtlich erfüllt, wenn man auch alle x;' - x; verdoppelt. Löst man also z. B. das Gleichungssystem

n

L; aijxi = bj + 1 (j = 1 -:- n), i=l

so hat man auch die Lösung für jeden beliebigen Wert c vermöge

xi' - xi = (xi - xi) c.

Diesen Gedanken übertragen wir nun auf unser Gleichungssystem 6.4(18). Wir denken es uns in der abgewandelten Form

2t , n c*(sv) T[cot iX(Zi) - cot iXl + 1] = .~ ---c;:-K(Z;, Zv) 6.4(20)

gelöst, wobei mit K(Zi' Zv) der Ausdruck rechts in eckiger Klammer in Gi. 6.4(18) ab­gekürzt ist. Hier sei iX~ irgendein bestimmter ·Wert von iXl' den man gewählt hat. Aus den Lösungen c*(s.) bilden wir noch die Größe

N - ~ i c*(s.) - c'(sv) , 6.4(21) t .=1 Cn

c' ist die iX~ entsprechende Geschwindigkeitsverteilung, wie sie aus Gi. 6.4(18) folgt. Der neue Abströmwinkel iX:, der einem Zuströmwinkel IX! zugeordnet ist, der durch

cot IX! = cot iX~ + 1 6.4(22) definiert ist, ist offenbar

* '1) h ~ c*(sv) cot iX2 = (cot iXl + + - ~ --t .=1 c"

6.4(23)

und somit unter Verwendung von GI. 6.4(19) auch

* ' 1 h ~ c*(s.) - c' (s.) 1 N cot iX2 - cot iX2 = + - ~ = + . t .=1 Cn

6.4(24)

Verändert man nun cot iX~ nicht um den Betrag 1, sondern um einen beliebigen Betrag (cot 1X~' - cot 1X~), so erhält man neue Lösungen c"(sv), die sich nach der oben durchgeführ­ten überlegung dadurch auszeichnen, daß

c"(sv) - c'(sv) = [c*(sv) - c'(sv)] (cot iX~ - cot iX~). 6.4(25)

Da aber gemäß Gi. 6.4(19) " "h ~ c" (sv) cot iX2 = cot iX l + - ~ --

t v=l c" 6.4(26)

und somit auch " , " , h ~ c"(sv) - c'(sv)

cot iX2 - cot iX2 = cot iXl - cot iX l + - ~ , t .=1 c"

6.4(27)

G.5 Angenäherte Gitterberechnung nach der Singularitätcnmethode 243

erhält man vermöge der GIn. 6.4(21) und (25) auch

cot IX~' - cot IX~ = cot IX~' - cot IX~ + N (cot IX~' - cot IX~) = (cot IX~' - cot IX~) (1 + N) .

6.4(28)

Das Ergebnis diesel' Untersuchung läßt sich in der folgenden Weise zusammenfassen. Wenn man ein gegebenes Gitter zweimal durchrechnet, nämlich einma.l für einen Zuström­winkel IX~, ein zweites Mal für einen Zuströmwinkel IXf, der gegeben ist durch cot IXT = cot IX{ + 1, so erhält man zwei Abströmwinkel IX~ und !Xi. Wenn man alsdann setzt

cot a; - cot IX~ - b, 6.4(29)

so kann man den Zusammenhang zwischen Zu- und Abströmwinkel in völlig allgemeiner Form wiedergeben durch

6.4(30)

Der Koeffizient b ist durch GI. 6.4(29) gegeben, während der Koeffizient a gefunden wird' indem man GI. 6.4(30) für das spezielle Winkelpaar IX~, IX~ anschreibt und nach a auflöst, also

a = cot IX~ - (cot a; - cot a~) cot a~. 6.4(31)

Die Richtigkeit von GI. 6.4(30) läßt sich dadurch verifizieren, daß man sie für zwei Werte ai. und IXi.' anschreibt und so die Differenz (cot IX;' - cot IX~) berechnet, was auf GI. 6.4(28) zurückführt, da b = 1 + N.

Es ist damit gezeigt, daß man den Abströmwinkel eines Gitters für jeden beliebigen Zuströmwinkel kennt, wenn man ihn für zwei Zuströmwinkel bestimmt hat. Auch die Geschwindigkeitsverteilung ist nach GI. 6.4(25) für jeden Zuströmwinkel berechenbar, wenn man sie für zwei Zuströmwinkel berechnet hat.

6.5 Angenäherte Gitterberechnung nach der Singularitätenmethode

Da eine strenge Lösung des Gitterproblems nur mit großem Rechenaufwand möglich ist, hat man zunächst Näherungslösungen gesucht. Ackeret [1] schlug vor, Wirbel- und Quellsingularitäten in der Strömungsebene stetig zu verteilen. Seine Theorie fortsetzend konzentrierte Meyer [2] die Wirbel- und Quellsingularitäten im Profilskelett, das ailer­dings iterativ gefunden werden mußte. Schlichting und seine Mitarbeiter [3] -[6] legten die Singularitäten in die sogleich bekannte Profilsehne und erhielten so eine Theorie, die mit beachtlich geringem Rechenaufwand auskommt, aber nur auf schwach gekrümmte Profile anwendbar ist. Mellor [7] hat diesen Gedanken weiter verfolgt und durch Tabellierung maßgebender Funktionen ein Rechenverfahren geschaffen, das Ablenkung und Druckver­teilung für Axialverdichtergitter in inkompressibler Näherung rasch und mit großer Ge· nauigkeit aufzufinden gest.attet. Es tritt in diesem Falle oft zweckmäßig an die Stelle der viel komplizierteren allgemeinen Theorie und wird nachfolgend dargestellt.

Wir betrachten ein Verzögerungsgitter, Abb. 6.5.1. Die Gitterströmung denken wir uns erzeugt durch eine Überlagerung der Parallelströmung Coo mit. dem Feld, das durch Wirbel­verteilungen ('(a) und Quell-Senkvert.eilungen q(a) in den Profilsehnen entsteht. Die längs der Sehne gemessene Koordinate a drücken wir aus durch eine Größe cp vermöge der Glei­chung (8 = Sehnenlänge)

8 a = 2 (1 - cos cp) .

Alsdann lassen sich die Singularitätenverteilungen beschreiben durch

y(a) = 2c oo (A o cot ~ + Al sin cp + A2 sin 2cp + .. .).

q(a) = 2c oo (Bo [cot ~ - 2 sin 9'] + B2 sin 2cp + .. .).

6.5(1)

6.5(2)

6.5(3)

244 6 Das Schaufelgitter

Durch geeignete Wahl der Koeffizienten Ai und Bi kann man für eine hinreichende Anzahl von Punkten kinematische Bedingungen erfüllen, wie sie besonderen Beispielen entspre­chen, insbesondere den folgenden: Kreisbogenprofil mit Sehne in Richtung IX"", ebene Platte mit Anstellwinkel gegen IX oo , symmetrisches Profil bestimmter Dickenverteilung mit Sehne in Richtung IXoo ' Durch Überlagerung der Ergebnisse dieser einfachen Sonder­fälle kann man den allgemeinen Fall des gewölbten, gegen IX oo angestellten Profils endlicher Dicke erhalten. Für die Einzelheiten dieser recht verwickelten Untersuchung verweisen wir auf die Originalarbeit von Mellor [7] und geben nachstehend sogleich das einfache Rechenverfahren an, das aus ihr hervorgeht.

Abb.6.5.1 Zur Festlegung der Bezeich­nungen in der Gittertheorie nach

Mellor [7].

Ist 0 der im Bogenmaß gemessene Zentriwinkel des als Kreisbogen vorausgesetzten Profilskelettes, Abb. 6.5.1, so definieren wir eine Größe 0 durch

2 o = - 0(1 - 0,050(2)­:n;

6.5(4)

Das Gitter habe die Teilung t und seine Schaufeln, deren Sehnenlänge s und deren Dicke d betragen, mögen mit der Gitterfront den Winkel Ym bilden. Die Ablenkungseigenschaften des Gitters können wir kennzeichnen durch den Zirkulationskoejjizienten er. Er ist defi­niert durch

6.5(5)

6.5 Angenäherte Gitterberechnung nach der Singularitätenmethode 245

und wird für den reibungsfreien Fall, den die Theorie voraussetzt, identisch mi t dem unter 5.10 eingeführten Auftriebskoeffizienten. Für den Zirkulationskoeffizienten erhält man nach dem Verfahren von Mcllor

Cr = AP + 2nA"sin (Ym - "'00) + 2nAt~. s

6.5(6)

Die Koeffizienten Ac, A" und At hängen von der Gittergeometrie ab und sind aus Zahlen­tafel 6.5.1 zu entnehmen. Mit diesen Unterlagen lassen sich das direkte und das indirekte Problem wie folgt lösen:

Direktes Problem: Gittergestalt und "'1 gegeben. Man wählt versuchsweise "'2' womit IX""

und l1culcoo vermöge elementarer geometrischer Relationen gegeben sind. Dieser Teil der Rechnung wird durch Abb. 6.5.2 erleichtert, aus der für gegebene "'1 und "'2 sofort IX"" und (s/t) Cr a.blesbar sind. Man hat somit auch Cr . Nun entnimmt man der Zahlentafel die 6.5.1 Ac, A", At und berechnet aus GI. 6.5(6) Cr ein zweites Mal. Stimmen die beiden Cr nicht überein, so ändert man "'2 bis Übereinstimmung hergestellt ist.

80

-- j----+--t--+--+~j---j--+--+-_+---j

30 50 co 70 800

Abb. 6.5.2 Zusammenhang zwischen (Xl> (X2' L1culc"" und (X 00'

Indirektes Problem: Gegeben "'v "'2' tls, dIs und eine weitere Bedingung, z.B. der An­stellwinkel (Ym - ",,,,,). Aus Abb. 6.5.2 erhält man "'"" und (slt) Cr, somit also Cr und Ym' Aus Zahlentafel 6.5.1 entnimmt man die Ac, A", At, setzt ein in GI. 6.5(6), bestimmt daraus o und aus GI. 6.5(4) (), womit die Krümmung der Schaufel gefunden ist. Für die Bestim­mung der A müßte 0 bekannt sein, so daß man versuchen und korrigieren muß.

Die Interpolation zwischen 0 = 0 und 0 = 1, die bei Verwendung von Zahlentafe16.5.1 vorgenommen werden muß, kann hinreichend genau linear erfolgen. Im übrigen ist es zweck­mäßig, sich die in den Zahlen tafeln 6.5.1 und 2 angegebenen Funktionen auf Millimeter­papier aufzuzeichnen.

246 6 Das Schaufel gitter

Zahlentafel U.5.1

8

Ym G -t Ao" Aoe A Ol Al" Ale Alt A", Ac At

° ° 1,000 ° ° ° 1,000 ° 1,000 1,000 0 1 ° 1,000 0 -0,052 ° 1,000 -0,033 1,000 1,000 -0,085

300 ° 0,50 1,047 ° -0,080 0,049 1,049 -0,004 1,096 1,049 -0,084 1,0 1,063 ° -0,344 0,067 1,120 -0,017 1,130 1,120 -0,351 1,5 0,921 ° -0,550 -0,072 1,033 0,102 0,849 1,033 -0,448 2,0 0,817 ° -0,672 -0,154 0,899 0,229 0,663 0,899 -0,443

1 0,5 1,019 -0,014 -0,130 0,033 1,049 -0,043 1,052 1,035 -0,173 1,0 0,950 -0,060 -0,367 ~0,002 1,120 -0,032 0,948 1,060 -0,399 1,5 0,792 -0,091 -0,503 -0,135 1,053 0,135 0,657 0,962 -0,368 2,0 0,689 -0,102 -0,594 -0,200 0,929 0,284 0,489 0,827 -0,310

450 ° 0,5 0,991 ° -0,079 -0,009 0,994 0,003 0,982 0,994 -0,076 1,0 0,902 ° -0,251 -0,089 0,923 0,040 0,814 0,923 -0,211 1,5 0,778 0 -0,373 -0,176 0,797 0,128 0,602 0,797 -0,245 2,0 0,670 ° -0,445 --0,219 0,672 0,212 0,451 0,672 -0,233

1 0,5 0,964 -0,013 -0,127 -0,022 0,994 -0,027 0,942 0,981 -0,154 1,0 0,836 -0,039 -0,278 -0,116 0,928 0,036 0,720 0,889 -0,242 1,5 0,704 -0,052 -0,372 -0,198 0,812 0,150 0,506 0,760 -0,222 2,0 0,598 -0,055 -0,429 -0,231 0,693 0,247 0,367 0,638 -0,182

600 ° 0,5 0,9·i9 0 -0,061 -0,048 0,949 0,005 0,901 0,949 -0,056 1,0 0,819 ° -0,164 --0,147 0,818 0,049 0,672 0,818 -0,115 1,5 0,694 0 -0,235 -0,210 0,678 0,100 0,484 0,678 -0,135 2,0 0,602 0 -0,278 -0,237 0,564 0,160 0,366 0,564 -0,128

1 0,5 0,930 -0,010 -0,108 -0,058 0,950 -0,017 0,872 0,940 -0,125 1,0 0,780 -0,024 -0,197 -0,160 0,823 0,052 0,620 0,799 -0,145 1,5 0,652 -0,030 -0,257 -0,218 0,688 0,124 0,434 0,658 -0,133 2,0 0,561 -0,030 -0,295 -0,240 0,577 0,186 0,321 0,547 -0,109

75° ° 0,5 0,915 ° -0,032 -0,070 0,920 0,005 0,845 0,920 -0,027 1,0 0,777 ° -0,082 -0,172 0,764 0,026 0,605 0,764 -0,056 1,5 0,654 ° -0,112 -0,224 0,621 0,052 0,430 0,621 -0,060 2,0 0,569 ° -0,137 -0,242 0,513 0,077 0,327 0,513 -0,060

1 0,5 0,905 -0,005 -0,079 -0,075 0,920 -0,011 0,830 0,915 -0,090 1,0 0,7fi8 -0,012 -0,121 -0,177 0,767 0,035 0,581 0,755 -0,088 1,5 0,634 -0,013 -0,118 -0,22G 0,626 0,079 0,408 0,613 -0,069 2,0 0,549 -0,014 -0,170 -0,242 0,519 0,115 0,307 0,505 -0,055

90° ° 0,5 0,915 ° 0 -0,078 0,912 ° 0,837 0,912 0 1,0 0,763 ° ° -0,175 0,747 ° 0,588 0,730 0 1,5 0,643 ° 0 -0,228 0,608 ° 0,415 0,608 ° 2,0 0,559 0 ° -0,243 0,497 ° 0,316 0,497 °

1 0,5 0,915 ° -0,048 -0,078 0,912 0,004 0,837 0,912 -0,0-14 1,0 0,763 ° -0,043 --0,175 0,74.7 0,010 0,588 0,730 -0,033 1,5 0,643 ° -0,040 -0,228 0,608 0,004 0,415 0,608 -0,036 2,0 0,559 ° -0,040 -0,243 0,4!)7 0,497 0,038 0,316 -0,002

Die Geschwindigkeitsverteilung am Profil ist in folgender Weise zu bestimmen. An der Saug- und Druckseite des Profils herrschen Geschwindigkeiten, die gegeben sind durch

~ = 1 ± 2nAol'oo ± 2nA l To1 + Coo

8 8 + 2nAoTEoTCOSYm + 2nA1r I1T COSYm + 6.5(7)

d d 8 + -Qo + - -QJ:. s s t

6.5 Angenäherte Gitterberechnung nach der Singularitätenmethode 247

Zahlentafe16.5.2

Ym rXO

~/s 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 slt

0 0 ° ° ° 0 ° 300 0,5 0,038 0,010 -0,017 -0,045 -0,074 -0,106 1,0 0,081 0,024 -0,035 -0,097 -0,166 -0,222 1,5 0,113 0,035 -0,055 -0,154 -0,216 -0,236 2,0 0,134 0,039 -0,080 -0,183 -0,217 -0,240

450 0,5 0,051 0,014 -0,023 -0,061 -0,097 -0,132 1,0 0,094 0,026 -0,046 -0,116 -0,167 -0,216 1,5 0,125 0,032 -0,069 -0,157 -0,209 -0,234

600 2,0 0,145 0,032 -0,090 -0,174 -0,217 -0,239 0,5 0,060 0,016 -0,028 -0,071 -0,111 -0,147 1,0 0,104 0,027 -0,066 -0,127 -0,181 -0,217 1,6 0,134 0,030 -0,078 -0,169 -0,209 -0,235 2,0 0,152 0,028 -0,094 -0,173 -0,213 -0,239

750 0,5 0,065 0,017 -0,031 -0,078 -0,120 -0,165 1,0 0,110 0,026 -0,059 -0,132 -0,184 -0,218 1,5 0,137 0,027 -0,082 -0,155 -0,207 -0,234 2,0 0,260 0,025 -0,097 -0,173 -0,218 -0,241

90° 0,5 0 0 ° ° ° 0 1,0 0 ° ° 0 ° ° 1,5 0 0 ° ° ° ° 2,0 0 0 0 ° 0 0

Ym rn ~/8 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

slt

° 0 0 0 0 0 ° 300 0,5 0,700 0,041 0,014 -0,014 -0,041 -0,070 1,0 0,152 0,091 0,030 -0,030 -0,091 -0,152 1,5 0,196 0,132 0,047 -0,047 ~0,132 -0,196 2,0 0,213 0,161 0,057 -0,057 -0,151 -0,213

45° 0,5 0,092 0,056 0,019 -0,019 -0,056 -0,092 1,0 0,164 0,105 0,036 -0,036 -0,105 -0,164 1,5 0,200 0,137 0,049 -0,049 -0,137 -0,200 2,0 0,216 0,153 0,056 -0,056 -0,153 -0,216

60° 0,5 0,105 0,065 0,022 -0,022 -0,065 -0,105 1,0 0,171 0,113 0,039 -0,039 -0,113 -0,171 1,5 0,203 0,140 0,050 -0,050 -0,140 -0,203 2,0 0,215 0,153 0,056 -0,056 -0,153 -0,215

75° 0,5 0,113 0,070 0,024 -0,024 -0,070 -O,~13 1,0 0,176 0,117 0,041 -0,041 -0,117 -0,176 1,5 0,202 0,140 0,050 -0,050 -0,14D -0,202 2,0 0,219 0,156 0,056 -0,056 -0,156 ~0,219

90° 0,5 0 0 0 ° 0 ° 1,0 0 0 ° 0 0 0 1,5 ° 0 0 ° 0 0 2,0 ° 0 0 0 ° 0

Die oberen Vorzeichen gelten für die Sa.ugseite, die unteren für die Druckseite. Die .4.0

und Al berechnen sich aus

A o = A oe 2° + A o", sin (Ym - "'00) + Aot~, n 8 Al = Ale 2° - Ab sin (Ym - "'00) + Alt~, n 8

6.5(8)

248 6 Das Schaufelgitter

Zahlentafel 6.5.2 (Fortsetzuug)

)'m QE

;/8 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

8/t

0 0 0 0 0 0 0

0,5 -0,068 -0,074 -0,078 -0,077 -0,072 -0,061 1,0 -0,007 -0,101 -0,141 -0,129 -0,059 0,071 1,5 0,137 -0,031 -0,156 -0,102 +0,092 0,206 2,0 0,199 0,038 -0,111 -0,001 0,159 0,207

0,5 0,017 0,008 0,005 0,005 0,012 0,026 1,0 0,104 0,046 0,017 0,017 0,084 0,144 1,5 0,190 0,129 0,081 0,109 0,177 0,198 2,0 0,229 0,188 0,156 0,192 0,222 0,199

0,5 0,087 0,084 0,081 0,082 0,086 0,089 1,0 0,176 0,175 0,170 0,173 0,178 0,173 1,5 0,229 0,253 0,261 0,263 0,244 0,199 2,0 0,248 0,310 0,346 0,337 0,277 0,195

0,5 0,127 0,136 0,136 0,137 0,132 0,134 1,0 0,213 0,247 0,263 0,257 0,230 0,189 1,5 0,249 0,330 0,372 0,354 0,286 0,201 2,0 0,259 0,393 0,461 0,427 0,315 0,194

0,5 0,120 0,186 0,172 0,167 0,144 0,119 1,0 0,224 0,273 0,296 0,359 0,247 0,195 1,5 0,256 0,356 0,410 0,385 0,299 0,202 2,0 0,263 0,417 0,500 0,456 0,328 0,193

Qo

;/8 ° 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Qo -10 +1,15 1,32 0,95 0,12 -1,06

wobei A oe , A o"" A ot , Ale, Al"" Alt aus Zahlentafel 6.5.1 zu entnehmen sind. Die Größen roo, r OI ' rEO' Qo, QE sind Funktionen des Ortes ~/8 längs der Schaufel, wo ~ der Abstand des betrachteten Punktes von der Profilnase (längs Sehne gemessen) ist. Es ist

r = 1 + cos 1p mit ~ 00 2n sii11p 8

r _ sin 1p 01 - n '

1 - cos 1p

2

während rro, rrl' Qo, QE aus Zahlentafel 6.5.2 abgelesen werden können.

6.5(9)

6.5(10)

Den Zahlentafeln 6.5.1 und 2 liegen die folgenden besonderen Voraussetzungen zu­grunde. Das Profilskelett ist ein Kreisbogen, was auch für die Laminarprofile mit sehr guter Näherung zutrifft. Die Dickenverteilung entspricht den NACA-Profilen der Reihe 65. Für die Ablenkungseigenschaften ist dieser besondere Charakter der Dickenverteilung von vernachlässigbar kleinem Einfluß, wogegen die Geschwindigkeitsverteilung wesentlich davon abhängt. Will man die Geschwindigkeitsverteilung für eine andere Dickenverteilung erhalten, so muß man die Funktionen Qo und Qr neu berechnen, was an Hand der Original­arbeit von Mellor möglich ist. Die Theorie ist nur anwendbar auf schwach gekrümmte Schaufeln. Als obere Grenze kann etwa () = 45° gelten. Für Verzögerungsgitter wählt man die Verhältnisse zweckmäßig, so daß Cr die Größenordnung 1 hat.

Das letzte Glied in GI. 6.5(6) stellt offensichtlich den Einfluß der Profildicke auf die Ablenkung dar, und zwar erkennt man - da At negativ ist -, daß die Profildicke die Ablenkung vermindert. Soll bei gegebener Wölbung und gegebenem 81t und IX 1 ein endlich

G.6 Gitterberechnung durch konforme Abbildung 249

dickes Profil die gleiche Ablenkung erzeugen wie ein unendlich dünnes, so muß man das zweite Glied in GI. 6.5(6) entsprechend vergrößern, d. h. man muß den Einstellwinkel Ym etwas größer wä.hlen. Da bei den kleinen in Frage kommenden Winkeln

sin (Ym - IX oo ) ~ Ym - IX oo ,

ist die notwendige Vergrößerung L1y von Ym, wie aus GI. 6.5(6) unmittelbar zu erkennen ist

Ay=~~ LJ A 6.5(11) '" 8

oder, wenn L1y in Winkelgraden ausgedrückt wird,

A _ -73 IAtl ~ LJY - D, A . '" 8

6.5(12)

Die ganze Theorie ist hier durchgeführt für das Verzögerungsgitter, für das sie auch vor­nehmlich in Frage kommt. Die Übertragung auf schwach gekrümmte Beschleunigungs­gitter, die allerdings im thermischen Turbomaschinenbau seltener sind, bereitet indessen keine Schwierigkeiten. Man hat lediglich in GI. 6.5(6) und 6.5(8) C negativ einzusetzen, erhält ein negatives Cr und in GI. 6.5(7) gilt das untere Vorzeichen für die Saugseite, das obere für die Druckseite. Beim Ablesen der Funktionswerte aus den Zahlentafeln spielt das Vorzeichen von C keine Rolle, was man daraus erkennt, daß ein aus Kreisbogen gebildetes Verzögerungsgitter in umgekehrter Richtung durchströmt ein Beschleunigungsgitter ist. Während man beim Verzögerungsgitter zweckmäßig Ym > IX oo wählt, ist beim Beschleuni­gungsgitter umgekehrt Ym < IX oo vorteilhaft.

Die Dickenverteilung der NAOA-Profile Reihe 65 ist aus Zahlentafel 6.5.3 zu entneh­men, vg1. auch Abb. 6.5.3. Es ist d = dmaxf(~).

Abb. 6.5.3 Dickenverteilung eines Profils.

Zahlentafel 6.5.3

~ f(~) ~ f(~)

0 0 0,30 0,9520 0,0125 0,2338 0,40 0,9992 0,025 0,3148 0,50 0,9624 0,050 0,4354 0,60 0,8292 0,75 0,5294 0,70 0,6312 0,10 0,6080 O,RO 0,3974 0,15 0,7333 0,00 0,1620 0,20 0,8286 0,91) 0,0612

1,00 0

6.6 Gitterberechnung durch konforme Abbildung

Gittertheorien, die auf dem Prinzip der konformen Abbildung beruhen, sind in großer Zahl bekannt geworden. Die älteste ist wahrscheinlich diejenige von König [16]. Durch die unter 6.4 angegebene allgemeine exakte Methode haben die meisten dieser Theorien ihr Interesse verloren. Die von Weinig [17] angegebene Theorie des schwach ablenkenden Kreisbogengitters führt jedoch auf ein sehr einfaches und zweckmäßiges Rechenverfahren für den Abströmwinkel.

Wir gehen aus von einer z-Ebene, in der wir uns ein Gitter aus lauter unter dem Winkel ')im geneigten Strecken geben, und einer C-Ebene, in der wir den Einheitskreis eintragen,

250 G Das Schaufel gitter

vg1. Abb. 6.6.1. Gesucht wird eine periodische Abbildungsfunktion, die die sämtlichen Gitterstrecken der z-Ebene auf den Einheitskreis der C-Ebene abbildet, wobei ein Perioden­streifen der z-Ebene dem Äußeren des Einheitskreises der C-Ebene entsprechen soll. Um diese Funktion aufzufinden, betrachten wir in jeder Ebene eine besonders einfache Strö­mung, deren komplexes Potential leicht angebbar ist. Sind Xa(z) und Xa(C) diese beiden komplexen Potentiale, so liefert die Gleichung Xa(z) = Xa(C) die Zuordnung der z und C, also die gesuchte Abbildungsfunktion.

fg I i I i i

iy o 4

x

Abb.6.6.1 Konforme Abbildung von Weinig.

i1J

+R

In der z-Ebene ist die einfachste Strömung offenbar die Parallelströmung in Richtung Pm' die wir so normieren, daß I Coo I = 1. Ihr komplexes Potential ist

6.6(1) denn dann ist

- dXa . COQ == - == e-t"m,

dz 6.6(2)

in übereinstimmung mit der Voraussetzung. Beim Weiterschreiten längs der Geraden g von pi nach pli (die um eine Teilung tauseinanderliegen) durchläuft man in dieser Parallel­strömung Differenzen der Potential- und Stromfunktion von

Llep = t sin epm' Ll'll' = t cos Pm' 6.6(3)

Nun schreiben wir uns vor, daß der Punkt PI mit der Koordinate C = -R in der C-Ebene der Bildpunkt des unendlich fernen Punktes PI der z-Ebene sei. Dem überqueren eines Periodenstreifens längs g in der z-Ebene entspricht dann ein einmaliges Umfahren des Punktes PI in der C-Ebene. Sollen hierbei ep und '11' um die Beträge ändern, die in GI. 6.6(3) angegeben sind, so muß in PI ein Wirbel von der Stärke r l = t sin Pm und eine Quelle von der Stärke Ql = t COS Pm angebracht werden. Die gleiche überlegung führt dazu, im Punkt Ps(C = +R), der der Bildpunkt des unendlich fernen Punktes P2 der z-Ebene ist, einen Wirbel r a = -t sin Pm und eine Senke Q2 = -t cos Pm anzubringen.

Soll die durch diese Singularitäten in der C-Ebene erzeugte Strömung tatsächlich das Bild der Parallelströmung Xa(z) sein, so muß sie selbstverständlich auch den Einheitskreis

G.6 Gitterberechnung durch konforme Abbildung 251

zur Stromlinie haben. Wie allgemein gezeigt werden kltlUl (vgl. etwa [15]), läßt sich dieH erreichen, indem man die betreffenden Singularitäten am KreiHe "Hpiegelt", d. h. man bringt in C = -l/R eine Quelle VOll der Stärke Q1 und einen Wirbel von der Stärke -r1 und in C = +l/R eine Senke von der Stärke Q2 und einen Wirbel von der Stärke -r2 an. Wenn man nun die Gin. 6.2(1) und (5) beachtet, die die komplexen Potentiale solcher Singulari­täten wiedergeben, - allerdingH unter der Voraussetzung, daß die Singularität im Koor­dinatenursprung liegt - so kann man sogleich das komplexe Potential Xa(C) angeben als Summe der Beiträge jeder einzelnen Singularität. So erhält man

Xa(C) = t cos 'JImln (C + R) + t cos 'JImln (C +~)_ 2n 2n R

itsin'JIml '(I' R) itsin'JIml (I' 1) --~n~+ +~-n~+7I-

tCOS'JIml (I' R) tCOS'JIml (~ 1) -~n~- -~n(,-R + + it sin 'JI m In (C _ R) _ it sin 'JI m In (C _~).

2n 2n R

Hier sind die cos-Glieder die Beiträge der Quellen und Senken, die sin -Glieder diejenigen der Wirbel. Die erste Kolonne entspricht den Singularitäten außerhalb des Einheitskreises, die zweite den im Kreise liegenden Singularitäten. Der Ausdruck für Xa(C) kann in die fol­gende Form gebracht werden:

1 11 t . R+C . c+ R X (C) = - e-"m' In --- + e+lvm' In --,-

a 2n R - C r _ ~ . ~ R

Die Gleichsetzung der Gln. 6.6(1) und (4) liefert

1 1 1 t R+C . c+ R z = - In--- + e21vm ·ln---

2n R - C I' l' s -­R

womit die Abbildungsfunktion gefunden ist.

6.6(4)

6.6(5)

Bei einer solchen Spiegelung von Singularitäten am Einheitskreis ist in jedem Punkt des Kreises die Summe der Beiträge aller Singularitäten im Innern des Kreises gleich der Summe der Beiträge aller Singularitäten außerhalb desselben. (Man erkennt dies sogleich, wenn man den Kreis auf eine Gerade konform abbildet. Die Singularitäten liegen dann symmetrisch zu dieser Geraden, woraus die Gleichheit der Beiträge der beidseitigen Singularitätengruppen folgt.) Daher kann mall speziell für die Punkte des Kreises K das komplexe Potential Xa(K) z.B. auch berechnen, indem man das Doppelte der Beiträge der inneren Singularitäten einsetzt. Nach GI. 6.6( 4) ist daher

1 t. Cx + R

Xa(K) = --;; e'"m In l' Cx = ei!<, 6.6(6)

(x - R

wo IX der Phasenwinkel des Punktes auf dem Kreise ist. Für den Realteil von Xa(K) findet man

t { R2 + 2 R cos IX + 1. (2R sin IX)} cp(K) = 2n cos 'JIm . In R2 _ 2R cos IX + 1 + 2 sm 'JIm ' arctan R2 _ 1 . 6.6(7)

Wenn man diese Gleichung nach IX ableitet und die Ableitung alsdann Null setzt, erhält man diejenigen Winkel IX, in denen die Staupunkte A und E liegen, vgl. Abb. 6.6.1. Sie

252 6 Das Schaufelgitter

liegen diametral, so daß man nur den einen Winkel <xs ' Abb. 6.6.1, angeben muß. Man findet dafür

R2 - 1 tan <X s = ]l2 + 1 tan Vm' 6.6(8)

Die GI. 6.6(7) erlaubt ferner, auch die Potentialdifferenz zwischen E und A zu berechnen, nämlich

L1<PEA = <p(A) - <p(E) = <p(<X s) - <p(<Xs + n). 6.6(9)

In der z-Ebene ist aber anderseits

L1<PEA = lcool s = s. 6.6(10)

Die Gleichsetzung der Ausdrücke 6.6.(9) und (10) führt unter Verwendung von GI. 6.6(7) auf

s 1 { R2 + 2R cos <Xli + 1. (2R sin <x s)} T = -; COS Vm . In R2 _ 2R cos <Xs + 1 + 2 sm Vm . arc tan R2 _ T . 6.6(11)

Durch die GIn. 6.6(8) und (11) wird implizite einem Parameterpaar Vm' slt, das die geo­metrische Konstellation in der z-Ebene festlegt, ein Parameterpaar <xs' R zugeordnet, das für die geometrische Konstellation in der '-Ebene charakteristisch ist. Eine explizite Dar­stellung in der Form <xs = f(vm , slt), R = g(vm , slt) ist leider nicht möglich; man muß viel­mehr zur tabellen -oder kurvenmäßigen Darstellung greifen, vgl. Eckert [53] oder Weinig [17].

Damit ist nun die konforme Abbildung der z-Ebene auf die '-Ebene vollständig be­stimmt. Mit ihrer Hilfe gelang es Weinig die Potentialströmung um ein "stoßfrei" ange­strömtes Gitter aus schwach gekrümmten Kreisbogen nahezu exakt zu berechnen. Es wird dabei von folgender Grundtatsache ausgegangen. Ist X das komplexe Potential einer Strömung, so gilt

~; = u - iv = I eie-iv,

wo I c I den Betrag der Geschwindigkeit und v ihre Richtung bedeuten. Demnach ist

In ~; = In I c I-iv.

Ist aber X eine analytische Funktion der komplexen Variablen z, so ist es auch In dxldz. Trägt man für irgendeine analytische Funktion von z in der z-Ebene Kurvenscharen kon­stanten Realteiles und konstanten Imaginärteiles auf, so bilden diese ein Orthogonal­trajektoriennetz. Das gilt demnach in unserem Falle für die Kurven konstanten In I cl und diejenigen von konstantem v. Da aber mit In I c I = konst. auch I c I = konst., so folgt: Für jede Potentialsträmung bilden die Isotachen (Kurven konstanter Ges'Chwindigkeit) und I soklinen (Kurven konstanter Strämungsrichtung) ein Orthogonaltrajektoriennetz.

Nach dieser Vorbereitung wenden wir uns dem Problem der Berechnung der Strömung durch das Kreisbogengitter zu. Es gibt einen bestimmten Zuströmwinkel vt, für welchen der Eintritt ins Gitter "stoßfrei", d. h. ohne U mströmung der Vorderkante erfolgt. Wird das Gitter gerade so angeströmt, so wird sich ein bestimmter Abströmwinkel v~ einstellen. Unser erstes Problem besteht darin, zu einem gegebenen Kreisbogengitter vt und v~ zu finden. Diesem gesuchten Strömungszustand entspricht ein bestimmtes Isotachen-Iso­klinennetz. Dieses ist dadurch bestimmt, daß jedes Profil in jedem seiner Punkte eine bestimmte Strömungsrichtung v erzwingt. - Da umströmungsfreie ("stoßfreie") Anströ­mung vorausgesetzt wurde, ist auch in E die Strömungsrichtung gleich der Richtung der Profiltangente. - Unser Problem läßt sich daher folgendermaßen formulieren: Gesucht ein Isotachen-Isoklinenbild, bei dem längs der gegebenen Kreisbogen die Richtungen v vor­geschrieben sind. Zur mathematischen Vereinfachung ersetzen wir dieses Problem durch ein ihm nahezu gleichwertiges. Wir schreiben nämlich die Richtungen v nicht auf dem Kreisbögen selbst vor, sondern auf der Geraden E'A' (Abb. 6.6.3). Da bei glatter Durch­strömung die Strömungsrichtung in kleinem Abstand vom Profil noch praktisch parallel

6.6 Gitterberechnung durch konforme Abbildung 253

zu diesem sein muß, ist damit offensichtlich keine fühlbare Fälschung der Problemstellung gegeben 1. Die Winkelvorschrift längs E'A' kann nun formuliert werden durch

(J

v = vm --:;: 6.6(12)

(vgl. Abb. 6.6.3). An Stelle des Richtungswinkels v können wir ebensogut ')I' verwenden, der definiert ist durch

wobei GI. 6.6(12) in die noch einfachere Form

p' ==

übergeht.

(J

r

6.6(13)

6.6(14)

Nun stellen wir uns vor, wir kennen das Netz der Isotachen und Isoklinen in der z­Ebene. Nach GI. 6.6(5) ließe es sich in die (-Ebene übertragen. - Man beachte, daß dieses Isotachen-Isoklinennetz der z-Ebene, in die (-Ebene übertragen, kein Isotachen-Isoklinen­netz mehr ist, wohl aber natürlich ein Orthogonaltrajektoriennetz. Als solches stellt es eine bestimmte analytische Funktion

x' (C) = p' (0 + i1p' (C) 6.6(15)

o CD

Abb.6.6.2 Zur Weinigschen Theorie des Kreisbogengitters.

E E ,

' .. ~'

,

'v} 1',

" " " , " r " " " "

Abb.6.6.3 Richtungsverlauf, vorgeschrieben längs E'A' statt längs EA.

1 Diese Darstellung ist nicht die ursprüngliche. Man hat vielmehr angegehcn, die Richtungen v werden längs der Sehne EA vorgeschrieben. Die in Abb. 6.6.3 angedeutete Näherung ist aber offensichtlich besser. Sie führt auf dieselbe mathematische Behandlung und dieselben Schlußergebnisse und läßt verstehen, warum deren Geltungsbereich größer ist, als man zu erwarten geneigt ist, wenn man von der Auffassung der v-Verteilung auf der Sehne ausgeht.

254 (j Das Schaufelgitter

dar, wobei die Bildkurven der Isotachen die Kurven konstanten Realteiles q!' sind und die Bildkurven der Isoklinen die Kurven tp' = konst. Der Wert von tp' kann daher gleich -'/I'

gesetzt werden, da er ja nur bis auf eine willkürliche additive Konstante bestimmt ist. Nun kennen wir aber '/I' aus GI. 6.6(14) in jedem Punkt von E'A'. Da diese Strecke in den Einheitskreis der C-Ebene (Abb. 6.6.2) übergeht, ist also '/I' und somit auch tp' in jedem Punkt dieses Einheitskreises bekannt.

C' Abb. 6.6.4 Vorschrift c,,(s) längs C liefert zusammen mit der Bedin­gung verschwindender Zirkulation eindeutig ein Geschwindigkeitsfeld

außerhalb C.

Nach den Sätzen der Funktionentheorie gilt aber folgendes: Ist eine analytische Funk­tion im Gebiet außerhalb einer geschlossenen Kurve überall regulär, so liegt sie fest (bis auf eine additive reelle Konstante), sobald ihr Imaginärteil (in unserem Falle tp') längs die­ser Kurve bekannt ist. Um diesen Satz plausibel zu machen, geben wir folgende physika­lische Deutung. Wir betrachten eine ebene Potentialströmung, die außerhalb der Kurve 0 (Abb. 6.6.4) keine Singularitäten aufweise und bei der auch die Zirkulation um 0 ver­schwinde. Nun werde die Stromfunktion tp längs 0 gegeben. Das bedeutet einfach, daß die Normalkomponente c" längs 0 überall vorgeschrieben ist. Gibt man aber diesen Verlauf der Normalkomponente, so ist physikalisch unmittelbar einleuchtend, daß unter den vor­ausgesetzten Bedingungen eine ganz bestimmte Potentialströmung entsteht. Ihr komple­xes Potential ist eine analytische Funktion, deren Imaginärteil tp ist. Durch die Vorschrift eines tp-Verlaufes längs 0 ist diese analytische Funktion somit bestimmt, wie behauptet wurde. Ihre Auffindung gelingt durch das sog. Poissonsche Integral.

In unserem Falle sei X' die gesuchte analytische Funktion, deren Imaginärteil tp' längs des Einheitskreises bekannt ist. Sie erfüllt die genannten Regularitätsbedingungen, wie folgende Überlegung zeigt. In jedem Punkt der z·Ebene haben In I c I und '/I' eindeutig be­stimmte Werte, folglich gilt dasselbe von q!' und tp' in der (-Ebene. Insbesondere werden auch in x --+ - 00 und x --+ + 00 eindeutige Werte von In I c I und '/I' erreicht, womit auch die Regularität von X' in den Punkten -R und +R gesichert ist. Somit ist X'(() aus den längs des Einheitskreises bekannten Werten von tp' völlig rekonstruierbar.

GI. 6.6(14) kann auch in der Form , CI

tp=­r

6.6(16)

geschrieben werden, d.h. wir schreiben vor, der Imaginärteil von X' müsse in der z-Ebene längs der Geraden E' A' linear variieren, und im Koordinatenursprung verschwinden. Diese Bedingung wird nun aber gerade erfüllt durch die Funktion iXalr, da ja der Realteil von Xa längs der betrachteten Strecke linear variiert; die Multiplikation mit ilr führt also auf eine Funktion, deren Imaginärteillinear variiert, und zwar in dem durch GI. 6.6(16) geforderten Maße. Damit ist aber sogleich einzusehen, daß offenbar

1 it. ( + ][

X'(C) = -e'"mln---nr ( _..!..

R

6.6(17)

die Funktion ist, die alle gestellten Bedingungen erfüllt. Gemäß GI. 6.6(6) wird diese näm­lich in den Punkten des Einheitskreises der (-Ebene gleich iXalr, und dies gilt daher auch

G.G Gitterberechnung durch konforme Abbildung 255

längs der Strecke E'A' der z-Ebene, die ja das Bild des Einheitskreises ist. Die durch GI. 6.6(6) angegebene Funktion - und somit auch die Funktion gemäß GI. 6.6(17) -weist zudem nur im Inneren des Einheitskreises Singularitäten auf, erfüllt also außerhalb desselben auch die geforderten Regularitätsbedingungen.

Unser Problem, die Strömungswinkel VI und 'J!2 zu bestimmen ist gelöst, wenn wir die entsprechenden V' kennen. Diese aber sind identisch mit den Werten -"1/ in den Bild­punkten C = - Rund C = + R. Es ist also

V{} _' t ]i2 - 1 v; - -1f1(=+=R) = =+= nrcos Vm In ]l2 +1

oder wegen GI. 6.6(13) auch

VI} 1 (t ) ( s ) R'" - 1 '1'2 = Vm =+= n""8 r cos Vm In R2+ 1 .

Wir beachten noch, daß geometrisch mit hinreichender Genauigkeit

s - ~ f), r

vgI. Abb. 6.6.2, worauf GI. 6.6(18) übergeht in

6.6(18)

6.6(19)

Unser Problem ist damit restlos gelöst, denn da zu jeder Gitterkonfiguration (tls), Vm auch R eindeutig bestimmt ist, ist auch der ganze Ausdruck in eckiger Klammer bekannt. Wir setzen dafür abkürzend

~ (+) cos Vm In ~: = ~ = ~ . 6.6(20)

Die Größe f1 ist in Abb. 6.6.5 dargestellt; es ist dort lediglich die gebräuchlichere Darstel­lung gewählt, d.h. an Stelle der gegen die Gitternormale gemessenen Winkel VI' '1'2' Vm ver­wenden wir die gegen die Gitterfront gemessenen Winkelcxl' CX2' 'J'm.

Mit Hilfe von Abb. 6.6.5 kann die Berechnung der umströmungsfreien ("stoßfreien") Strömung durch ein Kreisbogengitter durch folgende einfache Formeln bewältigt werden (Zeichen * deutet den umströmungsfreien Zustand an):

,1cx* = [tO,

__ () - ,1cx* 1 - f1 bcx* =--2-=-2-0.

6.6(21)

6.6(22)

6.6(23)

Der Winkel bcx* ist die Winkelübertreibung. Sie ist der Unterschied zwischen dem Strö­mungswinkel vor bzw. nach dem Gitter und dem Winkel der Schaufeltangente am Eintritt bzw. am Austritt. - Bei der ganzen Herleitung wurde von der Vorstellung eines Verzöge­rungsgitters ausgegangen, weil diese Theorie vor allem für den Axialverdichter bedeutsam ist. Da aber eine Potentialströmung stets umkehrbar ist, gelten die Ergebnisse unverändert auch für das Beschleunigungsgitter, was bei der Definition von ,1cx* berücksichtigt wurde durch Setzen der Absolutwertstriche.

Die Gültigkeit der Theorie beschränkt sich herleitungsgemäß auf geringe Wölbungen, doch ist die Weite des Gültigkeitsbereiches immerhin überraschend groß, was man an Hand von Abb. 6.6.6 versteht. Offenbar ist es notwendig, daß die Punkte der Strecke E'A' nirgends weit vom Profil entfernt liegen, d.h. also, daß ,1/s klein ist. Zahlentafel6.6.1 gibt diese Größe in Funktion von o.

256 (j Das Schaufelgitter

Auch ist die Theorie gut brauchbar, wenn die Schaufel nicht genau die Gestalt eines Kresibogens hat. Ersetzt man ihn etwa durch eine Parabel gleicher Pfeilhöhe, so tritt der größte Winkelfehler c5v an den Profilenden auf. Er ist in Zahlentafel 6.6.1 ebenfalls an­gegeben.

o~

9

8

0, 7

0,6

! ::t

0,5

0,3

0,2

"t-.. \ ~ ~

1\\ ~ \~

\

f--

~

~ ~ i\" ~ 1\ '\

\ \\ \

W ,J d 1

LI C1 c2 S

m

~

4·' ,J

~ ~ '\ ~ ~ I'.. ~ r\ ~ ~ l'---1\' J\ ~ ~ ~ ~ T'-.

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'~ i--1,0

tjs-1,5

C1

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t -- I4s

I

I&~oo )'--... f--

I'---I'---~ r-!--. I'---~ r-

J"--.. ~ r-.... ....~

I'---~ f.... I'--- - -r- c170 --I-- r--- -

2,0

Abb. G.G.5 Winkelübertreibungsfaktor {! in Funktion der Gitterparameter t/s und Ym (ohne Dickeneinfluß I).

e

öv Abb. G.G.G Geometrische Relationen zwischen dem Kreisbogen und der ihn

ersetzenden Strecke E' A'.

Zahlentafel 6.6.1

,1/s

0,033 0,050 0,067

ov 13' 60'

1° 55'

Der Fall beliebiger (nicht umströmungsfreier) Zuströmung kann behandelt werden, ausgehend von der hinreichend genauen Annahme, die Abhängigkeit des Abströmwinkels vom Zuströmwinkel sei für ein Gitter aus schwach gewölbten Kreisbogen gleich wie für ein Streckengitter, das die gleichen Gitterparameter tls und Ym aufweist. Für das Streckengit­ter läßt sich diese Frage leicht beantworten, da es ja in der' -Ebene durch den Einheitskreis

6.6 Gitterberechnung durch konforme Abbildung 257

dargestellt wird und auch die Parameter R und IX, festliegen. Wenn man die Axialkompo­nente weit vor und nach dem Gitter gleich Eins setzt, erhält man in der C-Ebene folgende Singularitäten:

In C = -R: Q= +1 r = +tanvl

In C = -l/R: Q= +1 r= -tanvi

In C = +R Q= -1 r= -tanvs

In C = +l/R Q= -1 r = +tanvs.

Dadurch wird offenbar die (nicht stoßfreie) Durchströmung des Streckengitters mit Ab­lenkung beschrieben, da ja VI =F Vs vorausgesetzt ist. Es muß indessen ein glattes Abströ­men an der Austrittskante A gefordert werden. Das bedeutet, daß in der C-Ebene das Ver­schwinden der Geschwindigkeit in A vorauszusetzen ist (Staupunktsbedingung). Gemäß den Gin. 6.2(3) und (6) läßt sich dies folgendermaßen formulieren:

6.6(24)

Hier sind rl' r~, r2' r~ die Abstände zwischen den Punkten -R, -l/R, +R, +l/R und dem Punkt A und Ov O~, O2 , O~ die Winkel, die diese Verbindungsstrecken mit der ~-Achse bil­den. Alle diese Größen sind durch die Gitterparameter tls und Ym gegeben. Da tan VI = cot VI' tan Vs = cot IXs, läßt sich GI. 6.6(24) auch schreiben in der Form

0 0 + 0 1 cot IXI + 02 cot 1X2 = 0 6.6(25) oder

cot IXs = a + b cot IXI • 6.6(26)

Damit ist GI. 6.4(30) wiedergewonnen, wobei jetzt. a und b aus der Gitterkonfiguration berechenbar sind. Wenn man diese Gleichung nach !Xl ableitet, folgt

1 dlX S _ b 1 dlXs _ b sins IXs sins IXs dlX l - sins 1X1 , dlXl - sins 1X1 •

6.6(27)

Beschränkt maI). sich auf kleine Abweichungen vom umströmungsfreien Fall, so ist GI. 6.6(27) genügend genau ersetzbar durch

d . S * ~ = b Sin IXs = 1 _ A = k t d . 2 * ons .

IXI sm IXI 6.6(28)

Dadurch ist A definiert und kann für jedes Wertepaar tls, Ym berechnet werden. Abb. 6.6.7 zeigt A und erlaubt damit die näherungsweise Berechnung der Ablenkung bei beliebiger Zuströmrichtung.

Beim Verzögerungsgitter ist

LlIX = IXz - IXI = LlIX* - A(IXI - lXi) = ",0 - A(IXI - lXi)·

Ist 1X1B der Eintrittswinkel der Schaufel selbst (Abb. 6.6.5), so gilt

6.6(29)

1-,u 0 1-,u ,u IXr = 1X1. + blX* = 1X1B + -2-0 = Ym - 2" + -2-0 = Ym - 2"0. 6.6(30)

Folglich ist auch

6.6(31)

258 6 nas Schaufelgitter

Für das Beschleunigungsgitter erhält man entsprechend

<Xa = <Xl - pO - A (<Xl - Ym - f 0). 6.6(32)

Im Grenzfall A = 1 wird _ PO

<Xz - Ym ± 2 ' 6.6(33)

wobei das obere Vorzeichen für das Verzögerungsgitter gilt, das untere für das Beschleu­nigungsgitter. Das Gitter zwingt der Strömung in diesem Falle unabhängig von der Zu­strömrichtung einen bestimmten Abströmwinkel auf. In GI. 6.6(26) ist dann b = O. Wie aus Abb. 6.6.7 hervorgeht, ist dieser Fall bei tls ~ 1 fast völlig verwirklicht. Turbinengitter

1,0

0,9

0,8

t r--"'(

0. 71--

0,6

- ~ ~ "\ ~ I:::-... ~ ~ ~ lJfu= ~o

r..\. I\. ~ I'.... \ 1\."

Ix)" I"-,{~_A r\.

\ \ l~r--..

1\ ~ '\ t

\ ~ }'m=ZO~

\ 0,8 l,Z 1,6 Z

t/8-

Abb. 6.6.7 Faktor A zur Bestimmung der Ablenkungseigenschaften bei nicht

umströmungsfreier Zuströmung.

weisen praktisch stets so engstehende Schaufeln auf, daß der Abströmwinkel als unverän­derlich angesehen werden kann. Selbst beim Axialverdichter ist die Annahme eines kon­stanten Abströmwinkels meist noch eine gute Näherung. - Es ist bei der Herleitung sehr kleine Wölbung vorausgesetzt worden, was für Gitter mit tls wesentlich über 1 praktisch immer zutrifft, nicht aber bei kleinem t/s. Dort ist aber b auf alle Fälle sehr klein, somit nach GI. 6.6(24) auch 1 - A. Deshalb ist auch dort A sehr genau, selbst wenn der prozen­tuale Fehler von (1 - A) erheblich sein sollte.

Folgt ein Gitter dem Gesetz GI. 6.6(33), so ist seine ganze Eintrittspartie offenbar für den Abströmwinkel unwesentlich, und dieser kann aus der Austrittspartie allein bestimmt werden. Wie dies im einzelnen mathematisch durchgeführt werden kann, hat Weinig [17] gezeigt. Abb. 6.6.8 gibt das Ergebnis wieder. Diese Kurve weicht zwar von der von Weinig für tls -+ 0 angegebenen etwas ab und wurde so bestimmt, daß bei einer größeren Anzahl durchgeprüfter Fälle die Abweichung des Ergebnisses gegenüber der Durchrechnung nach Abb. 6.6.5 vernachlässigbar wurde. Sie dürfte damit für praktisch vorkommende Gitter etwas zuverlässiger sein als diejenige von Weinig.

Die ganze in diesem Abschnitt dargelegte Theorie setzt ein Gitter aus schwach gewölb­ten Kreisbogen voraus. Die Übertragung auf wirkliche Schaufelungen macht noch eine Korrektur zur Berücksichtigung der endlichen Dicke notwendig. Da das Problem im Rah­men der unter 6.5 behandelten Singularitätentheorie eine sehr genaue Lösung gefunden hat, ist es am einfachsten, jene zu übernehmen. Nach jenen Untersuchungen muß man, um bei endlicher Profildicke die gleiche Ablenkung zu erhalten wie beim unendlich dünnen Profil, den Winkel Ym vergrößern (beim Verzögerungsgitter wie beim Beschleunigungsgitter) um den Betrag L1y, der durch GI. 6.5(12) gegeben ist (d die größte Profildicke). Die Koeffi­zienten At und A .. sind aus Zahlentafel 6.5.1 zu entnehmen.

26"

.\ 22·

20·

11i"

12·

1a" o·

\ \

G.G Gitterberechnung durch konforme Abbildung 259

rk

\ \ dzg

1\ ~~ t \ // cfa:

1'\ c2

"-"'-,

""'-................... --r--

10· 20· Ja· 110· 50· 70· 80· 90· d.2g-+-

Abb. 6.6.8 Zur Bestimmung der Winkel übertreibung bei sehr enger Teilung (ohne Dickeneinfluß I).

Im Zusammenhang mit der endlichen Dicke ist noch ein weiterer Umstand beachtens­wert. Wenn man einer zunächst unendlich dünnen Schaufel, die umströmungsfrei angeströmt ist, eine Dickenverteilung überlagert und ihre Einstellung um den Winkel Lly verdreht, da­mit wieder die gleiche Abströmrichtung entsteht, so ist die so entstehende, endlich dicke Schaufel nicht mehr umströmungsfrei angeströmt. Dies zeigen Berechnungen der Druck­verteilung, und es wird durch die Erfahrung bestätigt. Die nachfolgenden Angaben stam­men von Lieblein in Johnsen-Bullock [57] und sind an Verzögerungsgittern empirisch er­halten worden. Abb. 6.6.9 gibt die Bezeichnungen und zeigt insbesondere den Anstellwin­kel i. Der optimale Wert dieses Anstellwinkels ist

Verziigerung /i

/ /.

/

/ /

// CI

Beschleunigung

Abb. 6.G.9 Definition des Anstellwinkels i.

6.6(34)

260 6 Das Schaufelgitter

Hier ist i lO ein Grundwert für eine Profildicke dis von 10%, Kli ein Korrekturfaktor für andere Dickenverhältnisse, n ein für den Einfluß der Profilkrümmung charakteristischer Faktor. K Ii , i lO und n sind in Abb. 6.6.10 dargestellt. Der vom Profiltyp abhängige Faktor Kp ist z.B. für NACA-Profile der Reihe 65 und ähnliche Profilformen Kp ~ 1, für Doppel­kreisbogenprofile Kp ~ 0,7. Nach dem oben gesagten hängen der Einstellwinkel Ymd des endlich dicken Profils und das entsprechende Ym des gleichwertigen Kreisbogenprofiles verschwindender Dicke zusammen gemäß

Ymd = Ym + Lly mit A _ 57 3 I All .!... LJY - 'A .

IZ'

10 5/I:ZO i I I '''';''' , m! ,=~~

r--~ '_ /0.8_ --..

t ~' 34

, ,

Z

o 0.5

""-

0.4 r----i--I I

5/1 :0,4

-...... --I

I ""-.. -<k -+-.::::- -..... t

0,4

['--... --.... 0.8 I-+-

r--.-. r--

0.3

~ O,Z

0.1 .......... r.:::: -/6 I,Z-t:+---:-~

o IZ'O~

" s

r--.. ;::: :::::: ~ - ::--,;:::::::: ~

I---r--t:- -r--

zo' 30' /'0' 50' 60' 70' 80' 90' ({/-

1.2 I i I---11--

./" /j ,

V 1 I I I

/

o V o O,W O,~ O,~ O,W O,W ~U O,U

d15-Abb. 6.6.10 Die Größen ilO' n und Xli zur Bestimmung der optimalen Anströmrichtung.

Weiter geht aus der geometrischen Situation, Abb. 6.6.9, hervor

i = Ymd - : - (Xl Verzögerungsgitter,

6.6(35 )

6.6(36)

i = (Xl - [Ymd + :] Beschleunigungsgitter . 6.6(37)

Damit läßt sich das rechnerische Vorgehen überblicken. Direktes Problem: Gegeben (XI> Ymd' 0, tls, dis. Aus 6.6(35) wird Ym bestimmt mit AI

und A" aus Zahlentafel 6.5.1 (das dort erscheinende Ym ist das hier auftretende Ymd)' Abb. 6.6.5 und 7 liefern f-l und A, worauf (X2 beim Verzögerungsgitter aus 6.6(31), beim Beschleunigungsgitter aus 6.6(32) bestimmt wird. Aus 6.6(36) oder (37) folgt i, was mit dem Optimalwert nach 6.6(34) verglichen werden kann.

Indirektes Problem: Gegeben (Xl' (X2' tls, dis und die Vorschrift i = i opt ' Zuerst () schät­zen, worauf aus 6.6(34) ioPt folgt und aus 6.6(36) oder (37) Ymd' 6.6(35) liefert Ym mit At und A" aus Zahlentafel6.5.1. Hierauf nach Abb. 6.6.5 und 7 f-l und A und aus 6.6(31) oder (32) (X2' Die Annahme von () ist zu ändern, bis (X2 mit dem Sollwert übereinstimmt.

6.7 Kompressibilitätseinfluß bei schwach ablenkenden Gittern 261

Die mit Abb. 6.6.10 gegebenen Unterlagen sind zwar aus Verzögerungsgittern gewon­nen, doch dürften sie mit hinreichender Genauigkeit auf schwach ablenkende Beschleuni­gungsgitter übertragbar sein. - Es ist beachtlich, mit welch geringem Rechenaufwand so das Probem der Ablenkungseigenschaften eines Gitters aus Profilen schwacher Krümmung gelöst werden kann. Daneben gibt es auf konformer Abbildung beruhende Theorien, die auch Geschwindigkeitsverteilungen zu berechnen gestatten, z.B. [26] und die allgemeinere Profile erzeugen, z. B. [28]. Diese setzen aber den Elektronenrechner voraus.

6.7 Kompressibilitätseinfluß bei schwach ablenkenden Gittern

Die unter 6.5 und 6 behandelten Theorien setzen inkompressibles Medium voraus. Naheliegenderweise hat man versucht, den Kompressibilitätseinfluß durch die Ähnlich­keitsregeln der Gasdynamik zu erfassen, vgl. [6J, [29J, [44], [45J, [51J. Diese führen die Strömung eines kompressiblen Mediums auf eine gedachte äquivalente Strömung eines inkompressiblen Mediums zurück (z.B. Prandtl-Glauertsche Regel). Im Falle des Verzö­gerungsgitters folgt aus dieser Übertragung bei den üblichen geometrischen Konfiguratio­nen, daß der Ablenkungswinkel unter sonst gleichen Bedingungen mit steigender Machzahl abnimmt, was aber der praktischen Erfahrung widerspricht. Der Grund für diese Abwei­chung dürfte darin zu suchen sein, daß bei zunehmender Machzahl eine Verdickung der Seitenwandgrenzschichten zu einer Kontraktion der Strömung führen, die in der Theorie unberücksichtigt bleibt und zu einer Verschiebung des Abströmwinkels führt.

Eine besonders sorgfältige Auswertung von Versuchsmaterial hat Wennerstrom [58J vorgenommen. Seine Ergebnisse bezüglich des Ablenkungsverhaltens lassen sich in einem Diagramm zusammenfassen, das die Winkelübertreibung !5(X (vgl. Abschn.6.6) mit der Machzahl in Beziehung bringt. Ist !5(Xi die Winkelübertreibung im Grenzfall der Inkom­pressibilität, !5(Xk der Wert bei kompressibler Strömung, so ist

!5(Xk = K !5(Xi 6.7(1) mit K aus Abb. 6.7.1. MI ist dort die Machzahl der Zuströmgeschwindigkeit (relativ zum Gitter). Die Kurve gilt für Verdichtergitter aus Doppelkreisbogenprofilen. Ihr gestrichel­ter Teil ist extrapoliert.

Abb.6.7.1 Faktor K zur Berücksichti­gung des Einflusses der Machzahl auf die

Winkelübertreibung.

0,8

o 0,& 0,8

tI(lkomprmibcl - Ktla,nkomprenibel

..........

'" \ 1\

\ " ,

...... -0,9 7,0 7,7 7,3 7.; M,-

262 6 Das Schaufel gitter

Ein weiterer Kompressibilitätseinfluß besteht darin, daß auch der optimale Anstell­winkel i oPt (vgl. Abschn. 6.6) im allgemeinen von der Machzahl abhängt. Bei Profilen mit gerundeter Eintrittskante (etwa NACA, Reihe 65) ist der Einfluß allerdings bis MI = 0,8 nicht spürbar, vgI. [57] und da solche Profile ohnehin für Zuström-Machzahlen über 0,8 nicht verwendet werden sollten, läßt sich sagen, daß bei ihnen im praktischen Verwen­dungsbereich Abströmwinkel und optimaler Zuströmwinkel von der Machzahl unabhängig sind. Für Profile mit annähernd scharfer Profilnase (z. B. Doppelkreisbogenprofile ), läßt sich setzen

6.7(2)

wo iopt(O) der Wert nach GI. 6.6(34) ist und LliM eine Machzahlkorrektur nach Abb. 6.7.2, die sich auf [58] stützt. Nach [57] wären allerdings schon bei MI = 0,8 Werte von 4_50

zu erwarten. Die Angaben sind spärlich und streuen erheblich.

"x . ....: opf

t r /

/

/ .~9°f----j----l--+--+~~L-~ ..,

2' f----j---l-- Abb.6.7.2 Größe AiM zur Berücksichti­gung des Einflusses der Machzahl auf die

optimale Zuströmrichtung.

Die Berücksichtigung der Kompressibilität bei der Berechnung eines Gitters kann also grundsätzlich so erfolgen, daß man die am Ende von Abschnitt 6.6 angegebenen Verfahren übernimmt und in folgender Weise ergänzt. Die Formel 6.6(34) ist zu ersetzen durch

i oPt = KpKdi lO - nO + LliM • 6.7(3)

Hat man alsdann auf die angegebene Weise aus GI. 6.6(31) /X2 für die inkompressible Strö­mung bestimmt, so berechne man

6.7(4)

worauf GI. 6.7(1) (J/Xk liefert. Der Abströmwinkel der kompressiblen Strömung ist dann

/X2k= 1X2s - (JlXk' 6.7(5)

Deutlich ist hier aber eine Grenze dieser klassischen gittertheoretischen Methoden zu er­kennen. Zur wirklichkeitsnahen Erfassung des grundsätzlich sehr wesentlichen Effektes der Kompressibilität ist man auf die Empirie angewiesen. Eine wirklich befriedigende Berechnung kompressibler Gitterströmungen kann nur erfolgen mit Theorien, die unter sehr allgemeinen Voraussetzungen die Kompressibilität in ihren Ansätzen schon einbezie­hen, insbesondere die unter 6.12 dargelegte Theorie von Wilkinson [42]. Diese letztere ist bis in den transsonischen Bereich verwendbar, was ein dringendes Bedürfnis ist.

Bei der Auslegung von Verdichtergittern für hohe Machzahlen ist folgendes zu beach­ten. Um die Übergeschwindigkeiten tief zu halten, ist 81t hinreichend groß zu wählen, vgl. auch Abschnitt 8. Dabei kann aber die in Abb. 6.7.3a) gezeigte Situation entstehen, in der ein engster Querschnitt J < Jl auftritt. Soll dann eine Strömung mit der Zuström­Machzahl MI möglich sein, so ist zu fordern

J [2 ( x - 1 2)] -~ - ~ MI -- 1 + --"~1 2(><-1), Jl x + 1 2

6.7(6)

6.8 Zirkulationsverhältnisse im Schaufelstern 263

da in f höchstens die kritische Massenstromdichte möglich ist. Die Machzahl, für die das Gleichheitszeichen gilt, ist die Sperrmachzahl, die nicht überschritten werden kann. Die wirkliche Grenze liegt sogar noch wenig tiefer, da nicht im ganzen Querschnitt f gleich­mäßig kritische Verhältnisse herrschen können. Für hohe Machzahlen geeigneter ist die Konfiguration nach Abb. 6.7.3b), die keine Engstelle aufweist. Transsonische Strömung ist nur mit solchen Anordnungen möglich.

b

Abb.6.7.3 Zur Ausbildung von Verzögerungsgittern bei hoher Machzahl.

6.8 Zirkulationsverhältnisse im Schaufelstern

Die Abschnitte 6.3 -7 befassen sich ausschließlich mit dem geraden Schaufelgitter, wie es für die rein axiale Durchströmung eines Schaufelkranzes repräsenta.tiv ist. Das andere Extrem ist der Schaufelstern, der rein radial durchströmt ist.

Nehmen wir an, ein reibungsfreies Medium ströme einem rotierenden Schaufelstern in wirbelfreier Bewegung zu, so ist auch die Absolutströmung im Rade selbst eine Potential­strömung. Das trifft indessen nicht zu für die Relativströmung, denn betrachtet man eine Potentialströmung von einem mit der Winkelgeschwindigkeit w rotierenden Koordinaten­system aus, so hat jedes Teilchen gegenüber diesem eine Winkelgeschwindigkeit - w. Also hat die Rotation der Relativgeschwindigkeit C = I rot w I den im Felde konstanten, Betrag 2w. Will man daher den rotierenden Schaufelstern potentialtheoretisch behandeln, so muß man die Absolutströmung betrachten.

Das findet sich auch bei der Betrachtung der Zirkulation wieder. Die Überlegung möge am Beispiel eines von innen nach außen durchströmten druckerzeugenden Rades durch­geführt werden. Es sei r e die mit der Absolutgeschwindigkeit gebildete Zirkulation um eine Schaufel. Ist die Absolutströmung eine Potentialströmung, so hat r e, unabhängig von der verwendeten Kontrollkurve einen eindeutig bestimmten Wert, sofern nur eine Schaufel einmal umfahren wird. Wir können nach Abb. 6.8.1 eine Kontrollkontur ABOD legen

Abb. 6.8.1 Kontrollkontur zur Berech­nung der Zirkulation um eine Schaufel.

8 \

\ \

\ \

\ \

\ \

\ \ \ \

/~ \>J~

264 6 Das Schaufelgitter

wobei BC und AD an sich beliebige aber homologe Kurven sind - und erhalten mit z als Schaufelzahl

6.8(1)

denn die längs BC und DA gebildeten Integrale heben einander weg. Für ein Kontroll­gebiet nach Abb. 6.8.1 gilt dies auch dann noch, wenn keine Potentialströmung vorliegt, doch trifft GI. 6.8(1) dann nicht mehr für ein beliebiges Kontrollgebiet zu.

Die mit der Relativgeschwindigkeit am gleichen Kontrollgebiet gebildete Zirkulation Tw findet sich, wenn man beachtet, daß

6.8(2) zu

6.8(3)

Setzen wir

6.8(4)

so folgt 6.8(5)

Schließlich möge noch die mit der Relativgeschwindigkeit am Schaufelprofil selbst gebildete Zirkulation TW8 berechnet werden, wobei die Absolutbewegung eine Potentialströmung sei. Nach dem Gaußschen Satz ist

T w = T ws - J 1 rot 101 df· 6.8(6) ABOD

Das Integral ist über die von der Kontur ABCD eingeschlossene Fläche erstreckt, aus der aber der Schaufelquerschnitt ausgespart ist; es muß mit negativem Zeichen versehen wer­den, denn der Drehsinn der Wirbelstärke ist demjenigen des Rades entgegengerichtet. Da der Betrag des Integranden konstant, und zwar 2w ist, folgt insbesondere für die Schau­fel verschwindender Dicke

J ~ n(r~ - ri) 2n 1 rot wJ df = 2w = - (r2u2 - rlUt) = Tu·

ABOD Z Z 6.8(7)

Damit wird

und somit wegen GI. 8.6(5) auch 6.8(8)

6.8(9)

Für den Arbeitsumsatz im Rad ist Tc maßgebend, wie der Vergleich der GI. 6.8(1) mit der Eulerschen Momentengleichung zeigt.

Einen wichtigen Aspekt der Strömung durch einen rotierenden Schaufelstern vermittelt folgende Überlegung. Es seien Cu2 und Cn2 die Mittelwerte der Umfangs- und Radialkompo­nenten der Geschwindigkeit am Radaustritt, vg1. Abb. 6.8.2. Wenn nun das Medium in einen parallelwandigen Ringraum abströmt, wird sich dort eine Strömung einstellen, die aus Kontinuitätsgleichung und Drallsatz bestimmt werden kann, und zwar erhält man im Falle der Inkompressibilität

rcu = r2cu2, 6.8(10)

rCn = r2Cn2' 6.8(11)

Den Übergang zur Betrachtung der Komponenten der Relativgeschwindigkeit vermitteln die Gleichungen

Wu = Cu - rw,

W n = cn '

6.8(12)

6.8(13)

6.8 Zirkulationsverhältnisse im Schaufel stern

womit vermöge GI. 6.8(10)

Der relative Strömungswinkel ß in r ist gegeben durch

tanß =

Abb. 6.8.2 Bahnkurve eines Teilchens am Austritt aus einem rotierenden Kreis­

gitter.

_ wn. = r2cn.2

10" r2w - r2c,,2

265

6.8(14)

6.8(15)

Wie diese Gleichung zeigt, wird ß mit zunehmendemrsehr rasch kleiner, d.h. der Winkel wird immer flacher. Die Stromlinien der Relativströmung biegen außerordentlich scharf nach hinten (der Raddrehung entgegen) ab, vgI. Abb. 6.8.2. Infolge der endlichen Schaufel­zahl, die keine vollkommene Führung der Strömung gewährleistet, setzt dieses Abbiegen schon innerhalb des Schaufelkanals ein. Bilden wir also

6.8(16)

so wird der so erhaltene Strömungs winkel ß2 kleiner als der Schaufelwinkel ß2S' Schon beim geraden Gitter ergab es sich, daß die tatsächliche Ablenkung etwas kleiner ausfällt als es der Skelettlinie des Profils entsprechen würde, weshalb die Skelettlinie eine gewisse Winkelübertreibung erhalten muß. Beim rotierenden Schaufelstern tritt dies noch stärker in Erscheinung, da der erwähnte Effekt hinzukommt. In der Regel spricht man hier aller­dings nicht von der Winkelübertreibung, sondern von der Minderleistung , was aber nur eine formal andere Darstellung des gleichen Zusammenhanges ist.

Es sei Cu200 die absolute Umfangsgkomponente der Strömunsgeschwindigkeit am Rad­austritt, wenn man unendliche Schaufelzahl und damit vollkommene Führung der Strö­mung voraussetzt und Cu2 die bei endlicher Schaufelzahl auftretende Umfangskomponente vgl. Abb. 6.8.3. Dann definiert man einen Minderleistungsfaktor f-l durch

6.8(17)

Nach der durchgeführten Betrachtung ist f-l < 1. Oft wird dieser Zusammenhang auf eine etwas andere Weise erklärt. Da der Vektor

rot w in der ganzen Ebene einen konstanten Betrag 2w hat, dreht sich im Schaufelkanal zwischen je zwei Schaufeln ein "Relativwirbel" , der im Außenkreis r2 eine Geschwindig­keitskomponente entgegengesetzt der Bewegungsrichtung des Rades aufweist. Deshalb bleibt die tatsächliche absolute Umfangskomponente der Absolutströmung am Radaus­tritt etwas hinter dem Wert zurück, den sie hätte, wenn das Rad am Austritt dem Medium genau die Strömungsrichtung der Schaufeln aufzwingen würde.

Potentialtheorien des rotierenden Schaufelsterns sind auf gleicher Grundlage entwickelt worden wie die Theorien des geraden Schaufelgitters. Erwähnt sei die klassische Arbeit von Busenmann [24], die auf konformer Abbildung beruht. Leider haben diese Theorien

266 6 Das Schaufel gitter

nie die praktische Bedeutung der Gittertheorien erlangt, da ihre Ergebnisse mit der Beob­achtung schlecht übereinstimmen. Das beruht nicht nur darauf, daß die Strömung durch Radialräder von Sekundärbewegungen beeinflußt ist, sondern insbesondere auch durch den unter 5.7 angeführten Energieschichtungseffekt in stark fluktuierenden Strömungen. Die Beobachtung lehrt, daß die Strömung in radialen Verdichterrädern außerordentlich starken Fluktuationen unterworfen sind. Das gleichzeitige Auftreten eines großen Druck­gradienten von der Saugseite zur Druckseite bewirkt eine Energieschichtung, die diese Strömungsvorgänge einer reibungsfreien Strömung unähnlich macht, vgl. auch die Aus­führungen unter 5.7. - Am ehesten können Potentialtheorien des Radialrades auf zentri­petal durchströmte Turbinenräder angewandt werden, weil diese als beschleunigte Strö­mungen viel weniger turbulent sind. Die leistungsfähigste Theorie zur Berechnung solcher Räder dürfte die unter 6.17 dargestellte sein.

cuz --;/-

1----- Cu200

Abb. 6.8.3 Zur Definition des Minder· leistungsfaktors.

Das Kreisgitter liegt im allgemeinen zwischen dem geraden Gitter und dem Schaufel­stern. Die besonderen Zusammenhänge, die hier am Schaufelstern aufgezeigt wurden, finden sich daher dort wieder, wenn auch in weniger ausgeprägtem Maße. So ist die in einer nicht zylindrisch verlaufenden Stromfläche erscheinende Strömung relativ zu einem rotie­renden Kreisgitter keine Potentialströmung. Sowohl die Ablenkungseigenschaften eines Kreisgitters gegebener Geometrie als auch die an den Profilen auftretenden Geschwindig­keitsverteilungen werden von der Winkelgeschwindigkeit abhängen, mit der es sich be­wegt, wie das auch beim Schaufelstern der Fall ist. Der Fall des ruhenden Kreisgitters oder Schaufelsterns ergibt sich durch Nullsetzen der Winkelgeschwindigkeit.

6.9 Abströmwinkel aus eng geteilten Kreisgittern, subsonisch

Innerhalb eines Rades gegebener geometrischer Gestalt, Abb. 6.9.1, betrachten wir ein Element, das von zwei konischen Stromflächen lJI und lJI + dP begrenzt sei. In einer gegebenen Kontrollebene 2 hinter dem Rad seien im Radius rz der thermodynamische Zustand des Mediums und die axiale Geschwindigkeitskomponente Wz2 gegeben. Ebenso sei die Winkelgeschwindigkeit des Rades vorgeschrieben. Gesucht ist der Abströmwinkel in der Kontrollebene 2. Das in der lJI-Fläche erscheinende Kreisgitter möge "kanalartige" Geometrie aufweisen. Das bedeutet, daß von der Austrittskante B ohne wesentliche Un­sicherheit eine Trajektorie BC zur gegenüberliegenden Saugseite gezogen werden kann. Diese einschränkende Bedingung, die für die Theorie wesentlich ist, ist bei Turbinenschau­felungen in den meisten Fällen erfüllt. - Für das Kontrollgebiet ABCD werden die maß­gebenden Erhaltungssätze formuliert. Die kegelige Gestalt der Stromflächen ist nicht we­sentlich, da die Meridianstromlinien in dem begrenzten Bereich des Kontrollgebietes prak­tisch stets hinreichend genau durch Gerade angenähert werden können.

Es erweist sich als zweckmäßig, längs der Trajektorie eine dimensionslose Koordinatie C einzuführen, die definiert ist durch

s' C--·

a' 6.9(1)

6.9 Abströmwinkel aus eng geteilten Kreisgittern, subsonisch 267

Die Bedeutung von a' und s' geht aus Abb. 6.9.2 hervor. Alle durch einen Akzent gekenn­zeichneten geometrischen Größen sind Projektionen in radialer Richtung. Aus der Defini­tion von C folgt auch

ds' = a' dC.

Aus der geometrischen Situation geht hervor, daß mit

Zk ( A _1-- 1 Zc

10 = 1 - !!:..(1 Zc .

B =~ (1 - ::) ( 1 11 = (1 - ::)(1

Abb. 6.9.1 Konisch durchströmtes Kreisgitter.

TUZu,

p

o

Abb. 6.9.2 Konfiguration am Gitteraustritt, zur Festlegung der Bezeichnungen.

6.9(2)

6.9(3)

6.9(4)

268 6 Das Schaufelgitter

der Radius r und das Radiendifferential dr im Laufpunkt längs der Trajektorie durch

r(C) = (A - BC) r2 = F(C) r 2 , 6.9(5)

dr(C) = (Jo - !IC) dr2 = !(C) dr2 6.9(6) gegeben sind.

Damit kann die Kontinuitätsgleichung für das Kontrollgebiet in der Form 1

(!2Wz2t dr2 = f!aw~a' dr2 J !(C) dC 6.9(7) o

angeschrieben werden. Links steht der aus dem Kontrollgebiet austretende, rechts der ein­tretende Massenstrom. Index 2 verweist auf die Kontrollebene 2, Index a auf die Trajek­torie Ba, vgl. auch Abb. 6.9.2. An sich wäre es richtiger, f!W~ als mit C variierenden Wert unter das Integralzeichen zu nehmen. Vergleichsrechnungen zeigten aber, daß diese Ver­feinerung unnötig ist; es erweist sich als vollauf genügend genau, mit einem Mittelwert zu rechnen, der vor das Integralzeichen gesetzt werden kann. Aus Gl. 6.9(7) folgt

I f!2t WZ2 W a = -, I . 6.9(8)

f!aa f I(C) dC o

Das Bewegungsgesetz, das im ruhenden Koordinatensystem formuliert werden möge, ist hier in Form des Drallsatzes auszusprechen. Das Moment der äußeren Kräfte bezüglich der Drehachse ist

Zc

dMp = J r(z) [Pa(z) - PB(Z)] dr(z) dz, 6.9(9) Zk

vgl. Abb. 6.9.2. In der Tat tragen nur die Druckverteilungen Pa und PB längs der Weg­stücke Ba und B'O zu diesem Moment bei, da sich ja die Anteile längs AB und DB' weg­heben. Nun kann aber die Druckdifferenz Pa - PB nirgends groß sein, da die beiden Werte ja in Bund B' gleich sind und in 0 ohnehin. Für die gesamte Dralländerung, welche die Schaufel dem Fluid erteilt, ist der Integraleffekt der Differenz der Drucke an Druck- und Saugseite maßgebend. Wie die Darstellung in Abb. 6.9.2 zeigt, ist dMp mit diesem Moment verglichen vernachlässigbar klein. Wir setzen also vereinfachend dMp = O. Dies ist die wesentliche Approximation, die die Theorie vornimmt. Sie ist nur bei der vorausgesetzten "kanalartigen" Gittergeometrie zulässig, was den Anwendungsbereich dieser Ergebnisse entsprechend begrenzt.

Der längs eines Bogenelementes ds' ins Kontrollgebiet eintretende doppelt differentielle Drallstrom ist (in ruhenden Koordinaten)

d(dDa) = f!aw~ds' dr(w~ cos ß~ - rw) r =

= f!aW~a'r2 dr2[ w~ cos ß~ - wr2F(m F(C)!m dC.

Der ganze eintretende Drallstrom ist also das Integral dieses Ausdruckes über C. Setzt man dies gleich dem austretenden Drallstrom, so ist damit dMp = 0 ausgesprochen. So findet man

woraus

1

f!2Wz2(Wu2 - wr2) tr2 dr2 = (!aW~a'r2 dr2 J [w~ COs ß~ - wr2F(C)] F(C) !(C) dC, o

1

f!2wz2wu2t = (!aW~2a' cos ß~ J F(C)!m dC + o 1

+ wr2 [(!2WZ2t - (!aW~a' / F2(C) !(C) dC J .

Der Ausdruck f!2wz2t kann durch Gl. 6.9(8) ausgedrückt werden. Die Auflösung nach wu2 liefert dann

Wu2 = f!aW~a' {w~ cos ß~ j F(C) !(C) dC + wr2 j [1 - F2(C)] !(C) dC}. f!2wz2t 0 0

6.9 Abströmwinkel aus eng geteilten Kreisgittern, subsonisch 269

Da der Faktor vor der geschweiften Klammer identisch mit dem Integralausdruck in GI. 6.9(8) ist, folgt

1 1

w~cos ß~ J 1'(nf(C) dC + wr2 J [1 - 1'2(C)]f(C) dC o 0

W u2= 1 ._-- 6.9(10)

J f(C) dC o

Die Zustandsänderung beim Durchtritt durch das Kontrollgebiet setzen wir isentrop vor­aus, womit die Energiegleichung - im rotierenden Koordinatensystem formuliert - die Form

_x_ P2 [1 _ (Pa)":l] = 2- [w~ _ w~ + w2(r~ - r~)] x-I e2 P2 2

annimmt. Daraus folgt

rla = (Pa)~ = {I _ ~--=-J:. R.! [U'~ - w~ + w2(r~ - r~)]}"~l. rl2 P2 2x P2

6.9(11)

Diese Gleichung kann in Anbetracht der kleinen Druckänderungen im Kontrollgebiet linearisiert werden und lautet dann

rla = 1 - 2- R.! [w~ - w~ + w2(r~ - r~)] . e2 2x pz

6.9(12)

Um die Theorie in ihre endgültige Form zu bringen, ist es zweckmäßig, eine Dimensions­befreiung vorzunehmen. Es sei

_ w _ wrz W=-, M u2 = , wr z V xP21rl2

6.9(13)

Die auftretenden Integralausdrücke sind

11 - j f(C) dC =fo - f~ 6.9(14)

12 -1 1'(nf(n dC = Afo - Afl t Bfo + Bfl, 6.9(15) o

13 - j [1 - F2(C)]f(C) dC = fo - f~ -

- {A2 (fo - f~) - 2AB (1~ - .~) + B2 (1; - fl )}· 6.9(16)

Nachfolgend sind die maßgebenden Gleichungen zusammengestellt. Die Gln. 6.9(17), (18), (22) sind die bisherigen Gln. 6.9(8), (10), (12), während die Gln. 6.9(19) -(21) aus der geo­metrischen Situation Abb. 6.9.3. hervorgehen:

W' =~ Wz2 a a' all

W _ W~cos ß~I2 + 13 u2 - 11

t ß' Wz2 an 2=-Wu2

W~ = W~2 (1 + sin2 ß~ tan2 c),

W~ = W~2 + W;2(1 + tan2 c),

a = 1 - M;z [ W~ _ W~ + 1 _ (A _ ~) 2] .

6.9(17)

6.9(18)

6.9(19)

6.9(20)

6.9(21)

6.9(22)

270 G Das Schaufel gitter

Die Rechnung geht so vonstatten, daß zuerst1!> 12 , 13 berechnet werden. Alsdann werden, beginnend mit einer ersten Näherung a = 1, der Reihe nach aus GI. 6.9(17) -(22) die links stehenden Größen berechnet, zuletzt a, das nun als bessere Näherung in Gl. 6.9(17) ein­gesetzt wird usf. Die Iteration wird abgebrochen, wenn Ausgangswert und erhaltener Wert von (J genügend übereinstimmen, was rasch erreicht ist. Der bei dieser letzten Durchrech­nung erhaltene tan ß; ist das gesuchte Ergebnis, weil damit die Abströmrichtung fest­liegt.

Wa Wz

/

war Mjr

Mjl

Abb. 6.9.3 Winkel und Geschwindigkeiten im engsten Querschnitt und im Kontrollschnitt 2.

Abb. 6.9.4 gibt einige so erhaltene Resultate wieder und zeigt die Größenordnung der Einflüsse. Herleitungsgemäß ergibt sich der Fall des Leitrades, indem man in Gl. 6.9(18) das Glied 1a wegläßt [in Gl. 6.9(10) ist w = 0 zu setzen]. Hingegen darf nicht M u2 = 0 gesetzt werden, denn nach Gl. 6.9(13) wird ja die an sich willkürliche Normierung so ge­troffen, daß die Geschwindigkeiten auf wr2 bezogen werden, wobei im Falle des Leitrades w die Winkelgeschwindigkeit des zugehörigen Läufers ist. Der in der Abbildung auftretende Parameter

6.9(23)

ist ein Kennzeichen des gegebenen Meridianstromlinienbildes ; g = 1 bedeutet, daß die kegligen Stromflächen eine gemeinsame Spitze haben, während z. B. bei g > 1 die Diver-

JI,' I J2'

_ '" JO' '>:\,

-i 28'

26'

Leitrad

9~7,05_

J,W-::: 0,95 -

JI,' r-----,---,-----,

~oo co: 28' drc Idr, -------;-1-=--..::----">....:1

'1'7 26' 9 ~ --- ; t!9s rc Ir,

21,' L-__ --L ___ --"-__ --'

JI,' r-----,---,-----,

1· J2'

J 0' t::--=----....j.;;;:::--'~___=t-

03:: 28' f----+--=""---=--P­

'1'7 26' f----+---+_

21,' '------'-----'------'

Laufrad

transson. f----F~~~~~~4

0' 75' JO' 1,5' 0' 75' JO' 1,5' f- 8-

Abb. G.9.4 Rechenergebnisse : Abhängigkeit des Abströmwinkels vom Neigungswinkel e für Leit- und Laufrad.

(j.D Abströmwinkel aus eng geteilten Kreisgittern, subsonisch 271

genz des Durchflußquerschnittes zwischen den beiden Stromflächen weniger groß ist als in diesem Grundfall. Die Überlagerung einer zusätzlichen meridionalen Beschleunigung (g > 1) macht ß; offensichtlich größer, und zwar in einem Maße, das im allgemeinen nicht vernachlässigbar ist.

Der Grenzfall rein zylindrischer Stromflächen, also s = 0, g = 1, führt wieder zum geraden Schaufelgitter zurück. Dabei ist A = 1, B = 0,10 = 1,11 = 0, 11 = 1, 12 = 1, 13 = 0. Aus dem Verschwinden von 13 folgt, daß hier auch kein Unterschied mehr besteht zwischen dem ruhenden und dem rotierenden Gitter. Es ist leicht nachzuprüfen, daß sich in diesem Grenzfall die ganze Rechnung auf die Formel

tan ß =!!... _1_ {I _ M~2W~ [(COS ß2)2 _ I]} 2 t cos ßa 2 cos ßa 6.9(24)

reduziert, die iterativ zu lösen ist. Im einfachsten Falle der Inkompressibilität bleibt

a 1 tan ßz = T cos ßa·

Wenn man hier noch in grober Näherung ß" R:I ß2 setzt, geht die Formel über in

. ß a sm 2 = T·

6.9(25)

6.9(26)

Das ist die "Sinusregel" , die im Turbinenbau sehr häufig benutzt worden ist. Allerdings zeigte die Erfahrung, daß sie noch mit einem Korrekturfaktor zu versehen ist, was man nach den Ausführungen dieses Abschnittes leicht versteht. - Die einfache Berechnungs­weise für den Abströmwinkel, die hier angegeben ist, erweist sich bei eng geteilten Tur­binenschaufelungen als ebenso zuverlässig wie manche "anspruchsvollere" gittertheoreti­sche Untersuchung.

Man kann diese Theorie noch so ergänzen, daß sie den Effekt des Hinterkantenunter­druckes mitberücksichtigt. Bammert und Fiedler [62] stellten durch Messungen fest, daß an der endlich dicken Hinterkante eines Profils ein Unterdruck

6.9(27)

entsteht mit k R:I 0,13-0,26. Utz [63] konnte dies zwar nicht bestätigt finden, doch wies seine Schaufelung außergewöhnlich dünne Hinterkanten auf. Es ist wahrscheinlich, daß der Effekt bei dickeren Hinterkanten sehr viel deutlicher in Erscheinung tritt, und er dürfte stark von der Gestalt der Hinterkante abhängen, vgl. auch Abschnitt 6.16. An Hand Abb. 6.9.5 möge die Auswirkung dieses Effektes auf den Abströmwinkel für ein gerades Gitter untersucht werden. Auf das Kontrollgebiet ABOD, das ohne Hinterkantenunterdruck

.'\bb. 6.9.5 Zum Einfluß des Hinterkantenunterdruckes.

272 G Das Schaufelgitter

in der hier zugrunde gelegten Approximation keine Kraft in x-Richtung erfahren würde, wirkt infolge dieses Effektes die Kraft

X = -Llp 15 cos ßa = -k ~ w~ 15 cos ßa' 6.9(28)

so daß gemäß dem Impulssatz

mW2 cos ß2 = mWa cos ßa - k ~ w; 15 cos ßa'

also mit m = f!aawa

k 15 ( %~~=%~~-~~%~~=%~~1 6.9(29)

Mit der Kontinuitätsgleichung 6.9(30)

führt dies auf sin ßz = f!aawa = f!a !!... cos ß2

f!2tw2 f!2 t (1 - ~ !) cos ßa 6.9(31)

Wenn man hier noch f!a/l22 in analoger Weise wie in GI. 6.9(24) ausdrückt, folgt

Das so berechnete tan ßz kann immerhin um einige % größer werden als ohne Berücksich­tigung dieses Effektes, was für die Schluckfähigkeiten der Turbinen nicht ganz belanglos ist.

Es läßt sich leicht verfolgen, daß man diesen Effekt in die allgemeine Theorie des Kreis­gitters korrekt einführen kann, indem man die Gleichung 6.9(15) ersetzt durch

I = At (1 _!!....i.) _ Ai1 + Bio Bi1 z Jo 2 a' 2 + 3 ' 6.9(33)

was sich daraus ergibt, daß man das resultierende Moment dMp auf das Kontrollgebiet nicht Null, sondern gleich dem Moment des Hinterkantenunterdruckes setzt.

6.10 Abströmwinkel aus eng geteilten Kreisgittern, transsonisch

Annahmen und AufgabensteIlung sind in diesem Abschnitt genau gleich wie im vorher­gehenden. Der Unterschied besteht nur darin, daß speziell transsonische Verhältnisse am Radaustritt vorausgesetzt werden, d.h. es ist w2!a2 = W2M u2 ~ 1. Bekanntlich ist die kritische Massenstromdichte gegeben durch 1

( 2 )_1 1 / 2~ po fJ - (f!w)max = ~ + 1 ><-I V ~ + 1 Vo . 6.10(1)

Die fJa und fJ2 der Relativströmung in der Trajektorie und der Kontrollebene 2 sind aber nicht gleich groß, da diese Strömung zufolge des Fliehkraftfeldes nicht isoenergetisch ist, weshalb auch ihre Totalenthalpie variiert. Wir dürfen annehmen, daß am Ein- und Aus­tritt des Kontrollgebietes ABCD, Abb. 6.9.1 transsonische Verhältnisse herrschen, so daß die entsprechenden Massenstromdichten im Verhältnis

fJa _ 1 /p~vR fJ2 - V pRv~ 6.10(2)

1 Hier ist isentrope Zustandsänderung vorausgesetzt. Der Ersatz durch die Polytrope ist aber leicht mög· lich und kann deutliche Verschiebungen bewirken.

6.10 Abströmwinkel aus eng geteilten Kreisgittern, transsonisch 273

stehen. Da aber

6.10(3)

ist auch (Ja _ (P~V~)2~,,:=,11) (J2 - pgvg . 6.10(4)

Die Energiegleichung schreibt sich im rotierenden Koordinatensystem

" ~ 1 [pgvg - p~v~] = w2r~ ; r~ = w~~ [1 - (A - ~n. 6.10(5)

was klar wird, wenn man beachtet, daß der Ausdruck links die Änderung der Totalenthal­pie ist. Mit

wird dies auch

2 2 M*2- w r2 u2 = "pßvg

p~vg = 1 _ " - 1 M*2 [1 _ (A _ B )2] . pgvß 2 2 2

Mit GI. 6.10(4) folgt hieraus

:: = {I - " ; 1 M:2 [1 - (A - ~r]}2~"-::I) =

~ 1 - " ~ 1 M:2 [1 - (A - ~ n .

6.10(6)

6.10(7)

6.10(8)

Kontinuität verlangt Gleichheit der Massenströme am Ein- und Austritt aus dem Kontroll­gebiet, Abb. 6.9.1. Diese beiden Massenströme sind

din = a' drs (fo _ fl) (Ja , 2 VI + sins ß~ tanB e

6.10(9)

d · tan ß~ m = t drs (Ja' VI + (1 + tanB e) tanB ß~ 6.10(10)

Die Gleichsetzung dieser beiden Ausdrücke führt, wenn noch 6.10(8) beachtet wird, auf

tanß~ a' (fo -4){1-~M:2[1 -(A -{rn VI + (1 + tanB e) tanB ß~ VI + sins ß~ tanB e

6.10(11)

Dies ist eine Bestimmungsgleichung für tan ß;. Der Fall des ruhenden Kreisgitters wird erhalten mit M: = O. Im Falle des reinen Axialgitters mit e = 0, A = 1, B = 0,10 = 1, 11 = 0 geht dies über in

. ß a sm a =T' 6.10(12)

d.h. beim transsonisch durchströmten Axialgitter gilt die Sinusregel. - In Abb. 6.9.4 sind Ergebnisse der Berechnung des transsonischen Falles ebenfalls eingetragen.

Es mag auffallen, daß bei dieser Herleitung das Bewegungsgesetz nicht formuliert wurde. Das ist deshalb unnötig, weil bei Machzahl 1 die Massenstromdichte (?W ein Maxi­mum aufweist. Deshalb ist in kleinem Bereich (?W invariant gegen Veränderungen von w. Herrschen also transsonische Verhältnisse, so wird sich Wa ohne Einfluß auf das Produkt (?aWa so einstellen können, daß die Bewegungsgleichung erfüllt ist. Da dies also die übrigen Zusammenhänge nicht berührt, degeneriert das Problem in solcher Weise, daß Wa gar nicht bestimmt werden muß und die Lösung ohne das Bewegungsgesetz aufgefunden werden kann.

274 G Das Schaufelgitter

6.11 Die Netzmethode

Die q;- und 'Ij!-Linien einer ebenen Potentialströmung bilden bekanntlich ein Ortho­gonaltrajektoriennetz. Es seien bq; und b'lj! die zwischen je zwei Potential- bzw. Stromlinien auftretenden Unterschiede von q; bzw. 'Ij!. Wählt man alsdann bq; = b'lj!, so erhält das Netz bei inkompressibler Strömung quadratische Maschen, siehe Abschnitt 3.5. Diese Tatsache erlaubt es, bei gegebenen Grenzbedingungen das Potentialnetz von Hand durch tastendes Probieren und Verbessern zu bestimmen. Grundsätzlich könnte auf diese Art überhaupt jede ebene inkompressible quellenfreie Potentialströmung genau bestimmt werden. Je nach Art der Grenzbedingungen würde das Verfahren aber so außerordentlich mühsam oder die zeichnerisch erreichbare Genauigkeit so unbefriedigend, daß dieser Weg nicht gangbar ist. Befriedigend arbeitet die Methode bei Strömungen durch kanalartige Gebilde. Deshalb ist sie auf das Gitter mit engstehenden Schaufeln sehr wohl anwendbar. Gibt man sich die Zuströmrichtung und bestimmt nach 6.9 die Abströmrichtung, so lassen sich die begren­zenden Stromlinien für den zwischen zwei bestimmten Schaufeln strömenden Anteil des Mediums mit genügender Genauigkeit eintragen. Für den so begrenzten Kanal läßt sich nun das Potentialnetz gut entwerfen, woraus man insbesondere die Geschwindigkeitsver­teilung am Profil gewinnt und so auf allfällige Mängel der Profilgestalt aufmerksam wird; sie äußern sich in Zonen steilen Druckanstieges längs des Profils, die zur Grenzschicht­ablösung führen können. Gegegebenfalls können auf Grund solcher Druckverteilungsrech­nungen auch grenzschichttheoretische Bestimmungen der Reibungsverluste erfolgen.

Nachfolgend verallgemeinern wir dieses Verfahren sogleich derart, daß es auch für die kompressible Strömung anwendbar wird. Wir denken uns zunächst irgendeinen Strom­faden innerhalb einer stationären Strömung eines kompressiblen Mediums im feldfreien Raum. An einer bestimmten Stelle habe dieser Stromfaden den Querschnitt 11' der mit der Geschwindigkeit Cl durchströmt werde. An irgendeiner anderen· Stelle sei der Querschnitt I, die Geschwindigkeit c. Dann ist

6.11(1)

Anderseits gilt für ideale Dämpfe und Gase, wenn jO die Normalenthalpie im Staupunkt­zustand und j die statische Normalenthalpie bedeuten,

) '0 =). + ~', j 1 c2 1 x - 1 M*2 6.11(2) 2 jO = - 2jO = - x + 1 .

Hier ist M* die mit der kritischen Geschwindigkeit gebildete Machzahl, vgl. 3.6. Weiter ist für isentrope Zustandsänderung

also mit GI. 6.11(2)

~= [X + 1- (x -1)Mi2]"~1. V1 X + 1 - (x - 1) M*2 6.11(3)

Dies eingesetzt in GI. 6.11(1) liefert wegen c1/c = Mt/M*

L _ ~ [X + 1 - (x - 1) Mi2],,21 _ Mi [X + 1 - (x - 1) Mf2]"~l 11 - C X + 1 - (x - 1 )M*2 - M* x + 1 - (x :.-. 1) M*2 . 6.11(4)

Für ein gegebenes Mt läßt sich somit der Zusammenhang zwischen 1/11 und M* ein für allemal auftragen. Es kann aber auch unmittelbar c/c1 in Funktion von 1/11 dargestellt weruen, da c/el = M*lMt direkt mit M* gegeben ist. Abb. 6.11.1 gibt diesen Zusammen­hang wieder, und zwar für Mt = 0; 0,5264 und 1. Dem Wert Mt = 0,5264 entspricht die auf die lokale Schallgeschwindigkeit bezogene Machzahl M 1 = 0,5. Weiter stellt Mt = ° den inkompressiblen Fall dar, wobei c/c1 = 11/1. Die Kurven sind im Schallpunkt abgebrochen, da für Überschallverhältnisse die Netzmethode der Verdichtungsstöße wegen nicht mehr anwendbar ist.

(l.l1 Die Netzmethode 275

Wir betrachten nun eine Gitterströmung (Abb. 6.11.2) und greifen einen einzelnen Stromfaden heraus. Dabei verallgemeinern wir das Problem noch weiter durch die An­nahme, im Bereiche zwischen der Eintrittsebene und der Austrittsebene des Gitters selbst verändere sich die senkrecht zur Bildebene gemessene Schaufellänge 1 in einer gegebenen Weise von 11 auf 1a. Damit liegt allerdings streng genommen kein ebenes Problem mehr vor. Sind aber l1 und 12 nicht sehr stark verschieden, wie es praktischen Verhältnissen oft ent­spricht, so kann es mit genügender Näherung als ebenes Problem behandelt werden. Mit ~b als Breite des Stromfadens (Abb. 6.11.2) wird dann

2,0

0

5

o

\ \

1 ~b1 11 = ~b111 .

x=1,3

M1=Q5;M;=Q526*

1\ \ \

Ml=Mr~O ~\

I~ , ~ , 1\ ~

\ ~ 1"- ~ t'-.,

1"'-......, ~

MI = Mt= 1-'" I'-

2 f/r.,-

t--...

--

6.11(5)

1"-f:::: t::-1"-t-... -~ 1'=

r-

3

Abb. 6.11.1 Zusammenhang zwischen Geschwindigkeitsverhältnis und Querschnittsverhältnis im Unter· schallbereich für verschiedene Machzahlen MI und" = 1,3 (z.B. überhitzter Wasserdampf).

Abb. 6.11.2 Potentialnetz eines Schaufelgitters.

276 6 Das Schaufelgitter

Die Stromfunktion 1p können wir so normieren, daß für einen einzelnen Stromfaden der 1p-Unterschied zwischen den begrenzenden Stromlinien

6.11(6)

wird. Weiter wird die Potentialzunahme fJf{J, wenn man um die Wegstrecke fJS weiter­schreitet, an jeder Stelle des Stromfadens

bf{J = C fJs. 6.11(7)

Will man fJS gerade so wählen, daß fJf{J gleich dem b1p des Stromfadens wird, so muß nach GI. 6.11(6) und (7) sein

6.11(8)

Nach der Relation 6.11(4), die wie in Abb. 6.11.1 durch eine Kurve dargestellt werden kann, liegt aber clc! an jeder Stelle des Stromfadens fest, denn flfl' wovon clc! einzig ab­hängt, ist ja durch GI. 6.11(5) gegeben. Damit kommen wir zu folgendem Verfahren zur Bestimmung des kompressiblen Potentialnetzes für einen Kanal und somit für ein Gitter aus engstehenden Schaufeln.

Man zeichne zuerst eine Trajektorie AB (Abb. 6.11.2) und weiter den schätzungsweisen Verlauf der mittleren Stromlinie (in Abb. 6.11.2 mit 1p + b1p angegeben). Damit ist eine grobe Einteilung in nur zwei Stromfäden vorgenommen; es ist unbedingt empfehlenswert, nicht sogleich eine feinere Unterteilung zu versuchen. Längs eines dieser beidE>!l Stromfäden bestimmt man jetzt ausgehend von der Trajektorie AB stromaufwärts und stromabwärts Schritt für Schritt die bs, welche konstanten Potentialunterschieden fJf{J = fJ1p entspre­chen. Zu diesem Zwecke ermittelt man für jede Stelle aus GI. 6.11(5) flft. Aus einer Hilfs­kurve, entsprechend Abb. 6.11.1, die man sich zuvor aufgezeichnet hat, bestimmt man für jedesf!f! sogleich elc! und somit aus GI. 6.11(8) bs. So erhält man für diesen einen Strom­faden versuchsweise Trajektorien, die man über den anderen hinüber fortsetzt. Damit findet man auch die fJS längs des anderen Stromfadens und somit an jeder Stelle desselben clc! = bf{Jlc! bs = bb!/bs. Anderseits ist dort aber auch aus dem örtlichen fJb mit GI. 6.11(5) flf! und folglich mit der Hilfskurve ein cle! berechenbar, das im allgemeinen mit dem eben erhaltenen nicht übereinstimmen wird. Der korrekte \Vert liegt, wie leicht nachzuprüfen, sicher zwischen den beiden so erhaltenen Werten. Also wählt man einen Zwischenwert von cle! als berichtigten Wert, findet aus der Kurve flf! und somit aus GI. 6.11(5) das berich­tigte ob dieses zweiten Stromfadens. Damit ist eine bessere Näherung der mittleren Strom­linie gefunden - siehe gestrichelte Eintragung in Abb. 6.11.2 -, mit welcher das Verfah­ren wiederholt wird. Die Konvergenz ist außerordentlich gut.

Nachdem so die mittlere Stromlinie gefunden ist, kann man jeden Stromfaden für sich wieder in zwei unterteilen und gleich verfahren wie soeben beschrieben. Dabei werden nun allerdings genau genommen die tp-Linien an der früher bestimmten mittleren Stromlinie nicht mehr genau zusammenpassen, womit sich nochmals eine kleine Korrektur derselben ergibt. Diese ist aber bei sorgfältiger Durchführung des Verfahrens sehr klein und meist vernachlässigbar. Schließlich findet man c an jeder Stelle der Profilberandung aus der dort erscheinenden Potentialeinteilung nach GI. 6.11(7). Die Richtigkeit der Stromlinien außer­halb des eigentlichen Gitters selbst kann nachgeprüft werden durch die Gleichungen

tp(A') - tp(A) = tp(A") - tp(A) = c2t cos lX2 '

6.11(9)

wie unmittelbar klar wird, wenn man beachtet, daß sich 1p beim Weiterschreiten um eine Teilung um den Wert c2t sin lX2 ändert. Man beachte in diesem Zusammenhang auch, daß f{J(A') - tp(A) gleich der Potentialdifferenz zwischen irgend zwei homologen Punkten in beliebigem Abstand nach dem Gitter ist: jene Potentialdifferenz ist aber sofort angebbar, da ja Parallelströmung vorliegt. Das entsprechende gilt für tp(E') - tp(E). Die Zirkulation

6.12 Exakte Theorie der Strömung durch das rotierende Kreisgitter 277

um das Profil ist

r = [cp(A') - cp(A)] - [cp(E') - cp(E)] = c2t sin (X2[cot (X2 - cot (Xl]' 6.11(10)

In der ganzen Rechnung kann stets Cl durch Mt und dementsprechend Cl Cl durch M*IMt ersetzt werden, womit eine dimensionslose Behandlung entsteht. Im inkompressiblen Falle setze man anstatt dessen Cl = 1. Ist zudem noch 1 = konst., so lautet der Zusam­menhang, Abb. 6.11.1, einfach clci = bbl/bb, was darauf hinausläuft, daß die Maschen quadratisch sein müssen. Das Verfahren vereinfacht sich dementsprechend, bleibt aber wesentlich dasselbe. - Man beachte, daß bei Einteilung in 2 Strom fäden allgemein bb1 = (t sin (Xl)/2. - Die Netzmethode hat den Vorteil, ohne alle Hilfsmittel anwendbar zu sein. Bei sorgfältiger Durchführung ist sie leistungsfähiger als gemeinhin angenommen wird, eignet sich aber nicht für das rotierende Kreisgitter.

6.12 Exakte Theorie der strömung durch das rotierende Kreisgitter

Der Elektronenrechner hat es möglich gemacht, die Theorie der Strömung eines kom­pressiblen Mediums durch ein rotierendes Kreisgitter in sehr allgemeiner Weise durch­zuführen. Das ruhende Gitter, das gerade Gitter und der Fall inkompressiblen Verhaltens sind in diesem Verfahren als Sonderfälle mitenthalten, so daß wir hier die derzeit all­gemeinste Theorie vor uns haben. Sie beruht auf dem Verfahren der direkten Nachrech­nung des Strömungsfeldes.

Abb. 6.12.1 zeigt die vorausgesetzte Disposition, die Definitionen und Bezeichnungen. Die mittlere Stromfläche 8 des betrachteten Stufenelementes sei gegeben und ebenso der Verlauf seiner Dicke ~b längs der Meridiankoordinate n. Ferner seien Eintrittszustand und

Abb.6.12.1 Längs beliebiger Meridianstrom· fläche durchströmtes Kreisgitter.

L_._._._1

tp= 1

tp=as

tp=G

ro"

278 6 Das Schaufelgitter

Massenstrom des Stufenelementes, Zahl und Gestalt der Schaufeln und die Winkel­geschwindigkeit (f) des Rades vorgeschrieben. Gesucht sind Abströmwinkel und Geschwin­digkeitsverteilung am Profil. Sehr leistungsfähige Verfahren zur Lösung des in dieser Form gestellten Problems haben insbesondere Katsanis [41] und Wilkinson [42] angegeben. Die nachfolgenden Ausführungen halten sich im wesentlichen an Wilkinson, gegenüber dessen Originalarbeit allerdings noch die nachfolgende Verallgemeinerung vorgenommen wird.

Unter 5.7 (vgl. Abb. 5.7.2) ist aufgezeigt worden, daß in turbulenter Strömung bei star­ken Druckgradienten quer zur Strömungsrichtung ein Energieschichtungseffekt auftritt, wobei die besonders energiereichen Teilchen in Richtung höheren Druckes, die besonders energiearmen in Richtung tieferen Druckes quer zur Strömung von der zeitlich gemittelten Strom bahn abwandern. Dieser Effekt kann nicht nur Energieübertragungen zwischen benachbarten Stufenelementen bewirken, sondern auch innerhalb eines Stufenelementes im Schaufelkanal von der Saugseite zur Druckseite. Dies soll in der nachfolgenden Theorie mitberücksichtigt werden. Die Energiegleichung schreibt sich dann für irgendeinen Strom­faden im rotierenden Koordinatensystem

w2 wi h+2"=h1 + 2 +

r2 _ r2 w2 ___ 1 + e

2 ' 6.12(1)

wobei Index 1 auf den Eintrittszustand verweist, während die Größen ohne Index im Lauf­punkt auftreten; e ist die durch den beschriebenen Mechanismus von Eintritt bis zum Lauf­punkt auf den Stromfaden übertragene Energie je Masseneinheit. Wir betrachten diese GröBe in der Form

e = e(n, 1p) 6.12(2)

als eine zu Beginn der Rechnung -empirisch gegebene Funktion. Die Begründung für diese Verallgemeinerung der Theorie ist gegeben durch den Wunsch,

sie auch auf Radialverdichterräder anwenden zu können. Bei diesen ist der Energieschich­tungseffekt derart stark, daß bisherige Theorien mit der Erfahrung nicht übereinstimmten, eben weil sie ihn vernachlässigten. - An sich können in e auch andere Formen der Energie­übertragung eingeschlossen werden, z.B. bei Gasturbinenschaufelungen mit gekühlten Schaufeln. Dort ist auch der Turbulenzgrad besonders groß, weshalb auch der Energie­schichtungseffekt spürbar werden kann .

....-:~====~I,;---------n.dn, T .ar

-------'\--=----'\--- n.,T Abb. 6.12.2 Zur Berechnung der Zirku·

lation um ein Flächenelement.

Wir betrachten ein Element der Stromfläche, das begrenzt ist von zwei Linien kon­stanter Meridiankoordinate n und zwei Stromlinien 1p und 'ljJ + d1p, die um die Winkel­differenz dO auseinanderliegen, vgl. Abb. 6.12.2. Die Zirkulation an diesem Flächenelement ist

dF = d(wur) dn dO _ 8w dO dn dn 80 cos 11

6.12(3)

die Wirbelstärke C = dFfr dOdn also

C - 1 d(wur) 1 8w - r --a;;;- - r cos ')I 80'

woraus 8w [d(Wur)] 80 = COS')l --a;;;- - rC • 6.12( 4)

G.12 Exakte Theorie der Strömung durch das rotierende Kreisgitter 279

Man beachte, daß bei wur keine partielle Ableitung geschrieben werden darf, da ja längs der 1J!-Linie zugleich mit n auch () variiert.

Reibungsfrei und ohne Energieschichtungseffekt ist die Absolutströmung eine Poten­tial8trömung. Betrachtet man eine solche vom rotierenden Koordinatensystem aus, so hat jedes Teilchen diesem gegenüber eine Winkelgeschwindigkeit - w. Also hat der in Achsen­richtung weisende Wirbelvektor den Betrag - 2w. Die senkrecht zur Stromfläche 8 ste­hende Komponente davon ist - 2w sin f, folglich geht in diesem Falle GI. 6.12(4) über in

~~ = cos v [d(;~r) + 2wr sin f]. 6.12(5)

Mit der im ganzen Raume gültigen Energiegleichung

102 wir2 - ri h +2= h1 +2+ W 2 _ 2- 6.12(6)

und der Isentropengleichung, die h mit p verknüpft, ist dann auch das Bewegungsgesetz erfüllt. GI. 6.12(5) läßt sich auch in der Form

~ (102

) = 10 COS v [d(Wur) + 2wr sin f] BO 2 dn

6.12(7)

schreiben, während nach GI. 6.12(6) auch

:0 (~2) = - :~. 6.12(8)

Wenn man nun zum allgemeineren Fall mit Energieschichtung GI. 6.12(1) gilt, ist GI. (8) zu ersetzen durch

zurückkehrt, in dem

B (W2 ) Bh Be BO '"2 = - B() + BO' 6.12(9)

d.h. die Ableitung der Bewegungsenergie ist um den Betrag BelBe größer, als sie es ohne diesen Effekt wäre. Daher ist 6.12(7) zu ersetzen durch

B (W2) [d(Wur).. ] Be BO 2 = 10 COS v ----a:n:- + 2wr sm f + BO'

woraus Bw [d(Wur) '. 1 Be] 80 = cos v dn + 2wr sm f + 10 COS v BO . 6.12(10)

Der Vergleich mit den GIn. 6.12(4) und (5) zeigt, daß hier lediglich das Glied, das von der Wirbelstärke herrührt, eine Erweiterung erfahren hat, wie zu erwarten.

Zur Formulierung der Kontinuität8gleichung werde die Stromfunktion eingeführt, die definiert ist durch

[ zr (jb ] 8 1J! - J 010 COS v dO,

2:nr1elwl cos VI (jb 1 6(0)" 6.12(11)

wo z die Schaufelzahl ist und 0(0) im betrachteten Schnitt n = const der O-Wert der Strom­linie 1p = 0, Abb. 6.12.1. Es ist demnach

B1J! z rew cos v (jb BO = 2:n r1elwl cos VI (jb1 '

6.12(12)

Da aber

geht GI. 6.12(10) auch über in

Bw [d(wur) 2' zre (jb Be] - = cos v --+ wr sm 8 + - . BO dn 2:nr1elwl cos VI (jb1 B1J!

6.12(13)

280 G Das Schaufelgitter

Beachtet man d()

wur = wnr tan v = wnr2 dn' 6.12(14)

so findet man schließlich die definitive Form

ow [d(Wnr2) d(j 2 d2(j 2 dr zre ob oe] - = cos v --- - + wnr - + wr - + - . o(j dn dn dn2 dn 2 nr IeIwl cos VI obI o1p

6.12(15)

Zur Formulierung der Zustandsgesetze bedient man sich zweckmäßig des Begriffes der Normalenthalpie und hat aus GI. 6.12(1) mit jO als totaler Normalenthalpie

jO _ I r2 - ri e -:0 - I, w2 _ 2 ·0 + -:0' 6.12(16) JI ()I JI

Der Zusammenhang zwischen Totalenthalpie und Totaldruck möge hergestellt werden durch

6.12(17)

Hier ist Lfpo der reibungsbedingte Verlust an Totaldruck zwischen der Linie n = 0 und dem Aufpunkt. Es wird vereinfachend angenommen, daß er sich längs einer Linie n = const nicht verändere, womit es gelingt, die Reibung in globaler Weise in die Theorie einzufüh­ren, ohne daß die vorangegangenen Set zungen angetastet werden müßten. - Da weiter

_=_~I= l-_~I e (j)~ (. W2)~ eO jO . 2jO ' 6.12(18)

ist auch 1

_.e _ eO[l - w 2 /2jOF=i _ pOj~ [1 - w2/2jO]"~I - 1 - 0'0 1 2/2 '0 •

el e~[l _ wil2j~]"-1 PI() - wl ()I

6.12(19)

Diese Gleichung ist nur streng erfüllt beim idealen Dampf, doch bleibt man bei den prak­tisch in Frage kommenden kleinen Werten von Lfpo immer derart nahe bei der Isentrope, daß sie stets verwendet werden darf, sofern nur im betrachteten Zustands bereich mit einem konstanten )( gerechnet werden kann. Die Theorie kann also z.B. auch für die Naßdampf­turbine benutzt werden.

Mit GI. 6.12(11), (15), (16), (17), (19) sind die Beziehungen gewonnen, derer sich die Theorie bedient. Bevor das Rechenverfahren beschrieben wird, mögen sie in eine dimen­sionslose Form übergeführt werden. Wir setzen:

W Wn = wn , W =wu U _ wr W -, u- ,

Wl U'! WI WI

r n ob er=~ R=-, N--, B- NJ , r 1 r 1 I el '0 e 2 pO

J ~O' E wi/2' W2 - Wj n' =2'ö' --0'

JI h PI

Damit schreiben sich die maßgebenden Gleichungen:

oW = cos v [d( WnR 2) ~ + W R2 d2(j + 2U dR ..L -.!.....RBer OE] o() dN dN n dN2 dN ' 4n cos VI O1p ,

zRB 6 1p=-2-- !erWcosvd(),

n cos VI 0(0)

J = 1 + (U2 - Ui + E) W2,

" n' = JM - Lln'(N) ,

_ n' [1 - W2W2/J]"~I er- J 1-W2 .

6.12(20)

6.12(21)

6.12(22)

6.12(23)

6.12(24)

6.12(25)

6.12 Exakte Theorie der Strömung durch das rotierende Kreisgitter 281

Zur Beschreibung des Verfahrens möge vorerst von der Vorstellung ausgegangen werden, die Verzweigungsstromlinien vor Eintrittskante und nach Austrittskante seien fest vor­geschrieben. Gibt man sich dann ein erstes Stromlinienbild (etwa basierend auf einem Ha.ndentwurf eines Netzes) und in der mittleren Stromlinie 1jJ = 0,5 einen auf elementarem ,"Vege berechneten Verlauf von W, so kann von 1jJ = 0,5 ausgehend, von Stromlinie zu Stromlinie nach beiden Seiten weiterschreitend 8W/80 und somit W im ganzen Feld be­stimmt werden. Es folgen aus 6.12(23), (24), (25) J, n', a. Anschließend sollte 6.12(22), formuliert für 0(1), den Wert für die Stromlinie 1jJ = 1, in jeder Linie n = const den Wert 1 liefern, was aber nicht zutreffen wird. Es sei

zRB 0(1)

Ll1jJ--2 J aWcospdO-1. n cos PI 0(0)

6.12(26)

Wenn man beachtet, daß

81jJ(1) = zRB r ~ (aW) cos pdO R::i z[O(l) - O(O)J cos P (0,5) RB ~ [aWJ (0,5), 8W 2n cos PI 0(0) dW 2n cos PI dW

6.12(27) liefert

!1 W = -Ll1jJ [8;~)rl 6.12(28)

die W-Korrektur, die an den W der betrachteten n-Linie anzubringen ist. - Die Angabe (0,5) bedeutet in 6.12(27), wie auch im folgenden, daß der Wert in 1jJ = 0,5 zu bilden ist. Die angenäherte Form von 6.12(27) darf nur verwendet werden, wenn man hinreichend weit vom transsonischen Gebiet entfernt ist. - Die so berechneten korrigierten W legen nach 6.12(22) ein neues 1jJ·Linienbild fest, mit dem das Verfahren zu wiederholen ist.

Bei dieser Iteration muß nun noch ein weiterer Schritt beigefügt werden, der bisher zurückgestellt wurde, nämlich die Korrektur der Verzweigungsstromlinien vor Eintritts­kante und nach Austrittskante. Sie wird in der Originalarbeit von Wilkinson aus der Be­dingung der Periodizität gewonnen, d. h. für jedes feste n vor oder nach Gitter ist W(l) = W(O). Die Einführung des Energieübertragungsgliedes E verlangt hier eine Erweiterung. Gleichzeitig soll die schon bei Wilkinson erwähnte Verallgemeinerung vorgenommen wer­den, daß an der Austrittskante von den beiden Schaufelseiten besondere Stromlinien ab­gehen, die sich nicht vereinigen, vgl. Abb. 6.12.3. Es lassen sich so Totwassergebiete be­rücksichtigen (dicke Austrittskante gekühlter Gasturbinenschaufeln, Totwasser bei Ra-

Abb. 6.12.3 Bedingungen an der Aus· trittakante.

282 G Das Schaufelgitter

dialverdichterrädern). An die Stelle der Periodizitätsbedingung tritt jetzt

W2(1) - lf2(O) = E(l) - E(O) 6.12(29) oder mit

W(O h) cv W(l) + W(O) ,0 "" 2 '

D = E(l) - E(O) - 2 6.12(30)

auch

W(1) - W(O) = W~,5) . 6.12(31)

Dieser Sollwert ist für jede n-Linie bekannt und verschwindet für die Linien vor dem vorde­ren Staupunkt.

Ist diese Bedingung z. B. nach dem Gitter nicht erfüllt, so hat man die Stromlinien zu verschieben, und zwar in jedem durch i gekennzeichneten n-Wert um einen 6-Betrag 0i' Die 8W/86 an der mittleren Stromlinie ändern sich infolge dieser Verschiebungen um

8 (8W) f Oj 80j 8ö i (0,5),

wo

8 (8W) _ { [( . 8W d(WnR2)) 8 (d6) T 2 8 (d26)]} 80j fii[ i (0,5) - cos v -R sm v fii[ + dN 80j dN + lt nR 80j dN2 (0,5),

6.12(32)

wie sich aus GI. 6.12(21) und der geometrischen Situation ergibt. Nimmt man näherungs­weise linearen W-Verlauf längs 6 in den betrachteten Gebieten an, so ist die zu fordernde Lageberichtigung offenbar dann gegeben, wenn für jedes i gilt

1: Oj~ (8'W) (0,5) = Di /Wi(0,5) - Wi(1) + Wi(O) . j 80j 86 i 6i (1) - 6i (0)

6.12(33)

Damit ist für die Gebiete vor und nach dem Gitter je ein Gleichungssystem für die 0i gegeben. Da allerdings bei der Differenzenrechnung die zweite Ableitung durch Differenzen von Funktionswerten gebildet werden, lassen sie sich in den Endlinien i = 1 und i = iM nicht genau genug berechnen. Man läßt daher die für diese i gültigen Gleichungen weg. Vor dem Gitter setzt man anstatt dessen die Bedingung, daß tan VI den vorgeschriebenen Wert haben muß, was auf die zusätzliche Gleichung

6.12(34)

führt. Im Gebiet nach dem Gitter wird die fehlende Gleichung durch die Abströmbedingung an der Austrittskante ersetzt. Man verlangt, daß die Geschwindigkeiten in den Punkten A und B, Abb. 6.12.3, der Bedingung

oder W2(B) - W2(A) = E(B) - E(A)

W(B) _ W(A) = E(B) - E(A) WiA (0,5)

6.12(35)

genügen. Aus der geometrischen Situation folgt, daß dies auf folgenden Sollwert der Diffe­renz [WiA (l) - WiA(O)] führt:

E(B) - E(A) [WiA(l) - WiA(O)]soll = W· (05) +

IA ,

+ {[WiA +1(1) - WiA- 1(1) + WiA+1(0) - WiA_1(0)] ~; +

+ [WiA+1(O) + WiA-1(0) - WiA+l(1) - WiA - 1(1)] 2~~2} (1 - ~~2 fl. 6.12(36)

G.12 Exakte Theorie der Strömung durch das rotierende Kreisgitter 283

Die noch verbleibende Gleichung lautet dann

J; (jj~(OW) (0,5) = [WiA (l) - WiA(O)]soll - [WiA(l) - WiA(O)]ist. 6.12(37) j o(jj oB ':A BiA(l) - BiA(O)

Zwischen je zwei Iterationen sind diese beiden Gleichungssysteme zu lösen, um korrigierte Stromlinien vor und nach Gitter zu liefern, wobei die in 6~12(32) auftretenden Ableitungen nach (ji aus der Geometrie der Linie 1jJ = 0,5 zu bilden sind.

Naturgemäß enthält ein solches Rechenprogramm sehr viele numerische Feinheiten. Alle Ableitungen werden z. B. aus den Funktionswerten der benachbarten Punkte durch Polynomansätze gebildet. Die Ausdrücke für die ersten und zweiten Ableitungen irgendeiner Größe y in normalen Feldpunkten und in Punkten in Randnähe lauten z. B.:

dy 1 dxo = 12h (Y~2 - 8Y_l + 8Y+l - Y2)

dy 1 dX

2 = h (-0,5Yl + 0,5Y3)

d2y 1 dx~ = 12h2 (-Y-2 + 16Y_t - 30yo + 16Yl - Y2)

d2y d2y 1 dx~ = dx~ = h2 (Yl - 2Y2 + Y3) I

6.12(38)

wo h das x-Intervall ist und die Indizes auf die Stützpunkte verweisen. Außerdem müssen die hier verwendeten Funktionswerte geglättet werden. Für diese Einzelheiten, wie auch für die bei der Iteration zu verwendenden Dämpfungsfaktoren verweisen wir auf [42].

Das Verfahren ist äußerst leistungsfähig, da es axial und radial durchströmte Turbinen­und Verdichterräder zu behandeln gestattet, und zwar bis ins transsonische Gebiet. Das Verfahren versagt also nicht, wenn die Machzahl, die sich zu

6.12(39)

ergibt, stellenweise den Wert 1 überschreitet. Abb. 6.12.4 zeigt eine Gegenüberstellung einer gemessenen und gerechneten Geschwindigkeitsverteilung an einem Turbinengitter. Einzig im Bereich der Profilnase kann das Verfahren den wirklichen Verlauf naturgemäß nicht richtig berechnen, da es dort durch Ersatzstromlinien einen Staupunkt vermeiden

6

5

--

...... ec..

o -0,1

Rechnung . __ ._-e-1--- .- - ........ L·--~--~ ..-',...--- -. ~- .--,.~

Ir "Meslsung ~ -.- • ,.. -~

I P V /1, =0,245

I I_~ 9 Mz = 0,507 I---

I I ß, = 80'

I ~ ßUleSSg dl,8' -~-

~4-=·~ F·~r ßlReChng =31,9' I---

I I I o 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0.9 1,0 1.1

x/s_

Abb.6.12.4 Vergleich zwischen Rechnung und Messung für ein nach Wilkinson [42] durchgerechnetes Gitter.

284 G Das Schaufel gitter

muß. Die Abströmwinkel stimmen meist auf weniger als 0,50 mit der Beobachtung überein. Die angegebene Methode zur Korrektur der Stromlinien vor und nach Gitter kann auch dazu verwendet werden, die Schltufelkonturen selbst zu verändern, so daß dort vorgeschrie­bene Geschwindigkeitsverteilungen erhalten werden.

6.13 Entspannung ins Vberschallgebiet, Strahlablenkung

Im Turbinenbau stellt sich die Aufgabe, in gewissen Schaufelkränzen - vor allem in Leitapparaten - von kleiner Geschwindigkeit aus auf Überschallgeschwindigkeit zu ent­spannen. Das geht bereits auf die Anfänge des Dampfturbinenbaues zurück, denn schon die Lavalturbine hat so gearbeitet. Deshalb hat sich Stodola [59] intensiv mit diesem Pro­blem beschäftigt. - Will man weit über die Schallgeschwinigkdeit hinausgehen, so muß man die Entspannung in einer konvergent-divergenten Düse, der sog. Lavaldüse vornehmen, wenn sie verlustarm erfolgen soll. Ein Leitrad ist dann eine Folge solcher Lavaldüsen, vgl. Abb. 6.13.1b). Wenn man hingegen eine überkritische Entspannung vornimmt in einem Leitrad, das nicht so gestaltet ist, dann stellt sich eine Strömung ein, bei der dieser Verlauf des Querschnittes von selbst entsteht. Es erfolgt dann hinter dem Gitter nochmals eine Ablenkung, und zwar im Sinne einer Vergrößerung des Strömungswinkels, womit die entsprechende Vergrößerung des Durchtrittsquerschnittes entsteht. Dies ist der Vorgang der Strahlablenk7lng.

Poo

t E ------P2

a

Abb. 6.13.1 Mit Strahlablenkung arbeitendes Schaufelgitter.

Die Strahlablenkung ist ein irreversibler, also verlustbehafteter Vorgang. Sie tritt offen­bar immer dann auf, wenn eine überkritische Entspannung vorgenommen wird in einem Schaufelkranz, dessen Kanäle nicht konvergentdivergent ausgebildet sind oder aber, wenn die Schaufelkanäle zwar Lavaldüsen sind, das Entspannungsverhältnis aber von dem abweicht, für das diese Düsen bemessen sind. Die Irreversibilität des Vorganges be­steht darin, daß von den Austrittskanten Verdichtungsstöße abgehen, die das Strömungs­feld stromabwärts schief durchqueren, vgI. Hausenblas [49]. Auch Wirbelflächen erstrecken sich von den Austrittskanten stromabwärts in Richtung der Stromlinien. \Venn man sich nun in hinreichend großem Abstand nach dem Gitter den Zustand durch Mischung aus­geglichen denkt, so entsteht ein gewisser totaler Dissipationsverlust. Es ist dieser Verlust und dieser Strömungszustand, der nachfolgend berechnet wird. Er läßt sich aus den Er­haltungssätzen gewinnen, ohne daß auf die Einzelheiten des Vorganges eingetreten werden müßte. Bei nicht zu stark überkritischer Entspannung erweisen sich diese Verluste als so gering, daß es unnötig ist, zur Lavaldüse überzugehen, die ihrerseits etwas mehr Reibungs­verluste aufweist. - Beim rein konvergenten Kanal ist ja a, Abb. 6.13.1a), der engste Querschnitt, so daß dort Schallgeschwindigkeit eintritt. Unter diesen Umständen ist, wie GI. 6.10(12) sagt, der Abströmwinkel vor der Strahlablenkung durch die Sinusregel gege­ben.

6.13 Entspannung ins Überschallgebiet, Strahlablenkung 285

Betrachten wir das durch ABCDEA begrenzte Kontrollgebiet (Abb. 6.13.1), so lautet die Kontinuitätsgleichung

cat sin /Xa clSa =-

oder wegen Bin /XIS = alt auch

6.13(1)

Ferner liefert der Impulssatz, in Richtung der strichpunktierten Achse (Richtung /XIS) for­muliert,

woraus A mCa + PISa - P2t sin /XIS cos LJ/Xa = .

mCa Dies kürzt man durch m, beachtet, daß

. caa m=-, Va

und daß weiter sin /Xa = alt, worauf GI. 6.13(2) übergeht in

Ca

Da L1/Xa ein kleiner Winkel ist, gibt man besser seinen Sinus an, der offenbar

V 2 [Va ]2 • C2 - CIS + Ca (Pa - P2)

sm L1/Xa = ± 2 C2

beträgt. Weiter gelten die Energiebeziehungen 2 2 ~= CIS + L1h 2 2 '

cJ = (1- C) (~ +L1h,).

6.13(2)

6.13(3)

6.13(4)

6.13(5)

6.13(6)

6.13(7)

Hier ist L1h die effektive Enthalpiedifferenz zwischen den Ebenen AB und DE, L1h, die den Drücken Pa und P2 entsprechende isentrope Enthalpiedifferenz zwischen den gleichen Stellen, C eine Verlustziffer, welche den irreversiblen Charakter der Strahlablenkung be­rücksichtigt. Nun ist

L1h = ja - j2 = " : 1 (Pava - P2V2) = " : 1 PaVa [1 - (::) (~:)] , was eingesetzt in GI. 6.13(6) auf

~~ = ~ + " : 1 PISVa [1 - (::)( ~:)] 6.13(8)

führt oder nach valva aufgelöst

V2 = Pa [1 _ ~--.::J:. c~ - C~]. Va P2 2" PaVIS

6.13(9)

Dies kann in die Kontinuitätsgleichung 6.13(1) eingesetzt werden und liefert so

sin IXa =...!......!!. 1 - -- _2 __ a sin IXa • C P [ " - 1 c2 - C2]

czPz 2" Pava 6.13(10)

Weiter ist

[ ( p )"-1] " [(P )"-1] L1h, = ja 1 - P:" =" _ 1 PISVa 1 - P:"

286 6 Das Schaufelgitter

oder eingesetzt in GI. 6.13(7)

c~ {C~" [(P2)"-l]} '2 = (1 - C) '2 + " _ 1 PaVa 1 - Pa" . 6.13(11)

Schließlich gehen wir noch zur dimensionslosen Darstellung über, indem wir alle Geschwin­

digkeiten dividieren durch die Schallgeschwindigkeit im Zustand Pa' Va' also durch Y "PaVa' Wir setzen also

Ma = Y";:Va ' M~ - V,,:va . 6.13(12)

Dann schreiben sich GI. 6.13(5), (10) und (11) in der Form

VM'2 - [M + 1 - (P2/Pa)]2 • 2 a "Ma

sm LJ,X2 = ± M'2 ' 2

6.13(13)

. (Pa)Ma [1 ,,- 1 (M'2 MZ]' sm IX2 = P2 M~ - -2- 2 - a) sm IXa, 6.13(14)

M?; = (1 - C) {M~ +" ~ 1 [1 - (::r:;-l]). 6.13(15)

Weiter ist 6.13(16)

Die GIn. 6.13(13) bis (16) stellen die Lösung unseres Problems dar, denn für gegebene Werte Ma, IXa und (P2!Pa) enthält das Gleichungssystem als unbekannte Größen M~, C, lXz,

Ll1X2, so daß diese aus dem Gleichungssystem berechenbar sind. Die Rechnung wurde für den praktisch wichtigen Bereich durchgeführt, und zwar für

,,=1,3, was für Dampfturbinen genügend genau zutrifft. Die Ergebnisse sind in Abb. 6.13.2 bis 8 dargestellt. Man beachte, daß M~ nicht im eigentlichen Sinne eine Machzahl ist, da ja die Schallgeschwindigkeit eines anderen Zustandes verwendet ist. Hingegen zeigen die GIn. 6.13(12) sogleich, daß cz/ca = M~/Ma' so daß dieses in Abb. 6.13.6 und 7 auftretende Geschwindigkeitsverhältnis mit M~ bekannt ist. Die Machzahl in Zustand 2 ist vielmehr

'* 13

0

0

12

11"

100

9 0

0 t 8 0

~'" 7 "J 6 0

5" 0 I{.

J 0

2 0

0

0

0,1

6.13(17)

''q.

A/ " " \ -, \ "

~i2:: \ " fta=1l{.O \ "

\ ~=20' Ma=1

\ ~ '\ \ \

\. \ I\~=J 0

.... , \. \.. ~ '\

'-. ""- " ........ ~ r--:::: i"-...

0,2 0,8 0,9 ~o

Abb. 6.13.2 Strahlablenkungswinkel L!(X2'

15"

1'1

13

12

0

°

°

°

11"

10

9

8 °

t 7" ~'" 'lG"

5

* 3

2

°

° 0

0

0

° 0 .

6.13 Entspannung ins überschallgebiet, Strahlablenkung 287

>11/ \'1 \\

\

~ \ \ .da . _~~ __ I1a _____ pz \ \ ... /

\ \ aa=llfo

,\ . ./"a=l,~ \\

Ma=1.'2\ ." "- "-"-'-r--....

.......... ~ ........ ..... ..;::::: =::::::::: .... -r-.

q3 q5 48 0,9 ZO P2/Pa-

47 1,2 Z3

Abb. 6.13.3 Strahlablenkungswinkel ,1rx2'

408 ~

A~ r--\\ r--

\ 1\ f--

_i \ _L5L; Ma=1 r--

\ 1\ \

q07

q06

\ \ \ \

Q05

\: ........ \ laa= 11,<0

"-1\ \"

r\1\ \

~=21f'\ .\ \

0,03

\ \ l\ I'\~~ "\ t\.

Q02

" ......... ~t-.. "- ~ ~ "-

qOt

-, 1--~ ~

o 0,1 0.2 0,5 0,6 P2/Pa-

0,3 0.7 0,8 0,9 zo

Abb. 6.13.4 Verlustzahl Cinfolge Strahlablenkung.

und läßt sich wie folgt bestimmen. Dividiert man GI. 6.13(8) durch 'XPaVa und beachtet GI. 6.13(12), so folgt

M~ - M; = _1_ [1 _P2V2]. 2 'X - 1 PaVa

6.13(18)

288 6 Das Schaufelgitter

/l06

L

~ I,

\ Ha=1,2

L 1\ -L~P2 I, f\..

Ha= i,n \ c1.a = 14·

"" '\ l\ :1 1'-'

~

/l0

qo

t J.J

qll

'2 /lo. ~ r\.

1 ~ i"-

qo

....... 1'-1- V-V

o /l1 0.2 /l3 q8 1,0 1.1

Abb. 6.13.5 Verlustzahl Z; infolge Strahlablenkung.

q

'\ t--

>11~ -

aa=1*~ ~"bo r---. Ha=1

~ ~ \ --

~~ -;1fZA

Q -Ha =1J.>"'" ~~o

!--'~ ~ !--

"~ .......... ~o ~~ lj

Ha =1,*"' ~ r"- ": ~ 7~o

...... i'- f'. l'

1, r---.. I"'--., ~ l" 1 ....... r' ~ r.....

~ ~ ........." ~

I' ~ r-...... 9 f'. -....... ~

/l1 /l2 0,3 q5 q9 1,0

Abb. 6.13.6 Verhältnis der Geschwindigkeit weit hinter Gitter zu derjenigen im Austrittsquerschnitt.

Nun ist aber wegen GI. 6.13(12) und (17) P2v2!Pava = (M~!M2)2, womit

M~2 - M~ = _1_ [1 _ (M~)2] , 2 " - 1 M 2

3, 0

2, 5

0

5

V V

0l,.;' ./

V

5 l.!9

6.13 Entspannung ins überschallgebiet, Strahlablenkung

/

/

1/ )

V / V

17 V 1/

V 1/ i\~ ~y /

1/ 'I}-

1/ / 1/ 1/ V ~9 [7

/ V V

V / 1/ 1/ V

V V-1/

V

~ p ~ p ~ U ~ '2/ca-

,5

0

,

V ,oV

289

/

1/ J

.I I

V J

I

Abb. 6.1.3.7 Machzahl der Strömung M 2 weit hinter dem Gitter.

Abb. 6.13.8 Oberste Grenze des Druck. anstieges nach dem Gitter, für den die

Theorie ihre Gültigkeit beibehält.

was durch kurze Zwischenrechnung übergeht in

1 M 2 = --;=;====~====:===;~

11 i;2 - ~ ; 1 [1 - (!~r] Hier können wir noch M~ = M ac2 /ca einführen und erhalten

1 M2 = ,

11 ~; (~:r -~ ; 1 [ 1 - (~:r] was in Abb. 6.13.7 graphisch dargestellt ist.

6.13(19)

Eine beliebig weite Absenkung des Druckes P2 unter Pa ist aus Kontinuitätsgründen nicht möglich, sobald man annimmt [was in GI. 6.13(1) geschehen ist], daß die Strömung durch Ebenen parallel zur Bildebene begrenzt sei. Dasselbe gilt auch bei dem im praktischen Falle vorhandenen durch Zylinder begrenzten ringförmigen Strömungsraum, der durch Aufwickeln des geraden Gitters entsteht. In der Tat würde bei Expansion auf P2 = 0 die endliche Grenzgeschwindigkeit Cmax entstehen, hingegen eine unendlich kleine Dichte, womit aber die Durchflußmenge Null würde. Also ist P2 = 0 unmöglich, was auch darin zum Ausdruck kommt, daß in Abb. 6.13.2 bis 6 die Kurven nicht bis P2!Pa = 0 fortgesetzt sind.

Während beim rein konvergenten Schaufelkanal die Theorie selbstverständlich nur anwendbar ist, wo überkritisches Druckverhältnis vorliegt, werden die Gleichungen beim konvergent-divergenten Kanal ungültig oberhalb jenes Druckverhältnisses P2!Pa, wo im

290 (j Das Schaufelgitter

Querschnitt a ein Verdichtungsstoß auftritt. Dieses ist nach der Theorie der Lavaldüse leicht berechenbar und in Abb. 6.13.8 aufgetragen. - Man beachte, daß in jedem Falle im Gültigkeitsbereich der Theorie die Machzahl Ma unabhängig von P2 den Auslegungswert beibehält.

Auch hier läßt sich nötigenfalls der Hinterkantenunterdruck berücksichtigen. Bei end­licher Dicke 15 der Hinterkante schreibt sich die Kontinuitätsgleichung 6.13(1) in der Form

. Ca V2 a slnlXz =---,

C2 Va t während die Impulsgleichung die Form

6.13(1')

mCa + paa + 15 (Pa - k :!J = mC2 cos LllX2 + P2(a + 15) 6.13(2')

annimmt. Verfolgt man dies durch die weitere Rechnung hindurch, so sind im Endresultat die GIn. 6.13(13) und (14) durch die folgenden zu ersetzen:

M~2 _ [M a + 1 - (P2!Pa) (1 +~) _ !!... ~ (P2)f.- M~2]2 . 2 LI "Ma a 2 a Pa Ma 6.13(13') sm lXZ = lH'2

2

_ " ; 1 (M~2 _ M~)] ~ . sin lX = (Pa) Ma [1 2 P M' 2 2

6.13(14')

Alles weitere bleibt unverändert.

6.14 Transsonische und supersonische Turbinengitter

Neben den unter 6.13 behandelten Gittern, wie sie besonders als Leiträder auftreten können, verwendet vor allem der Dampfturbinenbau in den Endstufen Laufradgitter, die mit schallnaher Unterschallgeschwindigkeit oder selbst mit Überschallgeschwindigkeit angeströmt werden und auf höhere Überschallgeschwindigkeit expandieren. Abb. 6.14.1 gibt Beispiele solcher Gitter.

Die genaue Berechnung der Strömung durch solche Gitter kann im Überschallteil nach der Charakteristikenmethode erfolgen, die auf Prandtl und Busemann [60] zurückgeht und z.B. bei Howarth [61] ausführlich beschrieben ist. Unter [46]-[48] sind Arbeiten auf­geführt, die die Charakteristikenmethode auf die Gitterströmung anwenden. Die Anwen­dung des Verfahrens ist beim Gitterproblem insofern umständlich, als ein mehrfach zu­sammenhängender Raum vorliegt, so daß im Bereiche vor und hinter dem Gitter keine festen Grenzbedingungen gegeben werden können, sondern die viel schwierigere Bedingung der Periodizität an deren Stelle tritt. Wo nur transsonische Verhältnisse vorliegen, führt das Verfahren von McDonald [86] am besten zum Ziel. Es besteht aber in jedem Fall ein Bedürfnis nach einer Theorie, die den Abströmwinkel allein mit hinreichender Genauigkeit auf einfachem Wege liefert.

In Abb. 6.14.1 sind die Strömungswinkel mit ß bezeichnet, weil solche Gitter vor allem bei Laufrädern auftreten. Im Beispiel a) ist t sin ßl > a. So liegen die Verhältnisse bei subsonischer Anströmung; a ist hier der engste Querschnitt, in dem Schallgeschwindigkeit auftritt. Im Beispiel a) ist zugleich der Fall der ablenkungsfreien Strömung gezeigt, der bei hohen Machzahlen eintreten kann aber nicht an die Voraussetzung dieses Beispiels gebunden ist. An sich könnte ein Gitter auch supersonisch in dieser Weise angeströmt wer­den, doch müßte dann bis a eine Verdichtung erfolgen, die durch Verdichtungsstöße ge­schehen würde.

Im Beispiel Abb. 6.14.1 b) ist t sin ßl = a angenommen. So kann ein Gitter grundsätz­lich mit Schallgeschwindigkeit oder Überschallgeschwindigkeit an geströmt werden (den Fall der Unterschallgeschwindigkeit schließen wir voraussetzungsgemäß aus).

Das Beispiel Abb. 6.14.1c) schließlich ist das typische reine Überschallgitter, wie es an den Spitzen der Laufschaufeln der Endstufen von Dampfturbinen auftreten kann. Es ist t sin ßl < a, so daß die Strömung beschleunigt wird.

6.14 Transsonische und supersonische Turbinengitter 291

pz

I /

/ t sin PI

pz Mz

b

c Pi

Abb. 6.14.1 Dampfturbinen-Laufradgitter zur Expansion ins Überschallgebiet. a) subsonische Anströmung; b) Anströmung mit Schallgeschwindigkeit oder Überschallgeschwindigkeit,

t sin ßl = a; c) reines Überschall gitter t sin ßl < a.

Stets ist eine Gittergeometrie vorausgesetzt, bei der eine Trajektorie existiert, die senkrecht steht auf der gradlinigen Verbindung AB, was 81t ~ COS Ym bedingt. Der Zu­sammenhang zwischen den maßgebenden Größen in der Kontrollebene 1 und der Trajek­torie a ist in eindimensionaler Näherung gegeben durch Kontinuitäts- und Energieglei­chung:

{ 1 } x+l X+1 [2 + (x - 2) M~] 2ci<=J) {_1_[2 + (x - 1) Mi]}2~"~!I) a x + 1

t sin ßI 6.14(1)

Pa = [2 + (x - 1) Mil,,':'l. PI 2 + (x - 1) M~

6.14(2)

Aus den bekannten Bedingungen in a ergeben sich mit vorgeschriebenem P2 nach dem unter 6.13 beschriebenen Verfahren der Zustand in der Ebene 2, insbesondere also ß2' wobei nach GI. 6.13(13') und (14') auch der Hinterkantenunterdruck berücksichtigt werden kann. -

292 G Das SchaufeJgitter

Herleitungsgemäß ist die Strahlablenkung L1ß2 der Winkel zwischen der Abströmrichtung und der Geraden AB, Abb. 6.14.1 und 2. Wenn die Schaufelfläche längs dieser Strecke gewölbt ist, vgl. Abb. 6.14.2, entsteht dadurch eine resultierende Kraft, die zwar klein ist, in der Impulsgleichung aber nötigenfalls berücksichtigt werden kann. Wie unter 3.7 ge­zeigt, kann man die Druckabsenkung berechnen, die mit den Verdünnungswellen gegeben sind, die von der linken Austrittskante ausgehen. Man erhält so eine Näherung für die Druckverteilung an der Fläche AB. Alsdann ist die gesuchte Kraft je Breiteneinheit (Bezeichnung siehe Abb. 6.14.2)

Z (da) p = - / p dx dx. 6.14(3)

Das Minuszeichen deutet an, daß die Kraft der Strömungsrichtung entgegenweist.

Abb. 6.14.2 Verhältnisse am Gitteraus· tritt mit VerdünnungswelJen und Ver·

dichtungsstoß.

Wenn die Gitterteilung so groß wird, daß sich keine senkrechte Trajektorie von der einen zur anderen Schaufel zeichnen läßt, kann von dem empirischen Befund Gebrauch gemacht werden, daß bei Expansion von Unterschall auf Überschall längs der Verbindungs­geraden benachbarter Ein- und Austrittskanten Schallgeschwindigkeit herrscht. Man muß dann die Bewegungsgleichung in tangentialer und meridionaler Richtung ansetzen und kann die in den früheren Abschnitten gemachten vereinfachenden Voraussetzungen nicht beibehalten. Es läßt sich aber ein Satz von ebensovielen Gleichungen wie Unbekannten auffinden, selbst bei schräger Durchströmung wie unter 6.9 und 10.

Ein anderer Typus supersonisch durchströmter Turbinengitter sind die scharf ablen­kenden Gleichdruckgitter, vgl. Abb. 6.14.3, wie sie etwa als Laufradgitter von Curtis­turbinen auftreten können. Für die Bestimmung der Umlenkungseigenschaften solcher Gitter genügt die Sinusregel, bzw. die unter 16.13 entwickelte Theorie der Strahlablenkung,

Abb. 6.14.3 Gleichdruckgitter für hohe Machzahl.

6.15 Ge~chwindigkeitsverteilung in transsonisch durchströmten Gittern 293

wenn P2 unter den normalen Wert abgesenkt wird. Die größte Übergeschwindigkeit Kanal ergibt sich aus rw = K, vgl. Abb. 6.14.3, wobei K so anzupassen ist, daß unter Berücksichtigung der Dichtevariation mit w der geforderte Massenstrom durchgesetzt wird. Da es für jeden Totalzustand am Gittereintritt einen größtmöglichen Wert dieses Massenstromes gibt, existiert auch für jede Zuströmmachzahl MI ein größtmöglicher Zu­strömwinkel ßv bei dem der Schaufelkanal sperrt.

Für transsonisch durchströmte Plattengitter gibt Lavaczeck [46] ein Berechnungsver­fahren, das ebenfalls auf einer globalen Formulierung der maßgebenden Sätze beruht und von einer Aussage über die Kraftrichtung am Plattenprofil Gebrauch macht. Es läuft auf die Lösung eines verhältnismäßig einfachen Gleichungssystems hinaus.

6.15 Geschwindigkeitsverteilung in transsonisch durchströmten Gittern

Das Bedürfnis, Geschwindigkeitsverteilungen in transsonisch durchströmten Gittern zu berechnen, ergab sich zuerst beim Axialverdichter, weshalb man für diesen Fall Nähe­rungsverfahren entwickelte, worauf zunächst eingetreten werde.

Nähert sich die Zuströmgeschwindigkeit W I zu einem Verdichtergitter der Schall­geschwindigkeit, so wird bei einem gewissen Wert der Zustand erreicht, wo in einem Punkt der Saugseite die Schallgeschwindigkeit erreicht wird. Steigert man WI weiter, dann entsteht zunächst, wie in Abb. 6.15.1a) dargestellt, eine Überschallzone, die mit einem Stoß ihren Abschluß findet. Sie verschiebt sich und dehnt sich weiter aus, wenn wl sich der Schall­geschwindigkeit noch mehr nähert. Beim Überschreiten der Schallgrenze geht die Konfi­guration in eine Form über, wie sie in Abb. 6.15.1b) dargsteIlt ist. Von der Saugseite aus geht eine senkrechte Stoßfront zur gegenüberliegenden Profilnase und setzt sich dort als

a

b

Abb. 6.15.1 Stoßkonfiguration in Verzögerungsgittern. a) subsonische Anströmung, b) supersonische Anströmung.

294 G Das SchaufeJgitter

Kopfwelle stromaufwärts fort. Hinter dem Stoß herrscht nur noch Unterschallströmung. Diese Strömungsform ist nicht die einzige mögliche; es können kompliziertere Stoß-Systeme auftreten, doch gibt der senkrechte Stoß die grüßten Verluste und repräsentiert oft recht genau die wirklichen Verhältnisse, vgl. [65], [66].

Den Fall der Unterschallströmung mit begrenztem Überschallbereich nach Abb. 6.16.1a) behandelt Fottner [44]. Mit Hilfe einer verbesserten Prandtl-Glauertschen Ähnlichkeits­regel berechnet er die Geschwindigkeitsverteilung einer äquivalenten inkompressiblen Strömung und findet so den Punkt A am Profil, wo die Schallgeschwindigkeit durchschrit­ten wird, Abb. 6.15.2. Von dort an wird entsprechend der Richtungsänderung der Profil­kontur der Geschwindigkeitsverlauf gemäß der Prandtl-Meyer-Expansion gerechnet (Kurve b) und gleichzeitig je die Geschwindigkeit nach einem hypothetischen Stoß, der bei der betreffenden Machzahl auftreten würde (Kurve cl. Wo diese die ursprüngliche Ge­schwindigkeitsverteilungskurve a schneidet, tritt der Stoß wirklich auf, und die Geschwin­digkeit verläuft von da an wieder nach a.

rv

o A

s ----------~

5 Abb. 6.15.2 Ins überschallgebiet reichender Geschwindigkeitsverlauf an der Saugseite eines Verzögerungsgitters.

Fottner hat allerdings festgestellt, daß die einfache Rechnung nach Prandtl-Meyer die Geschwindigkeiten im Überschallbereich etwas überschätzt, und zwar weil die Verdün­nungslinien an der Schalldurchgangslinie reflektiert werden und als Verdichtungslinien zurücklaufen (gestrichelte Eintragung Abb. 6.15.1a). Abb. 6.15.3a) zeigt das aus Messungen gewonnene wirkliche Gesetz. Man hat also in Funktion des Konturneigungswinkels eine

0.6

~

\'""" Nrsuch " " l~

~ f------- ---1' i " ~ I ' ....... i'-. "

0.5

t 0,1,

0.3

Theori~/ ....... 0.1

a o

0' 1,' 8' 12' 16' 20' Ablenkung L1ß-

I

2,0 ~ I \ I. "

"'<Jheorre

I'-.. I\." ,

'" ~ "" 1,1,

verSUCh~ "-"-

'" "-b ~

7,2

W 0.32 0.36 0.1,0 0.1,1, 0.1,8 0,52

p/po_

Abb. 6.15,3 Verhältnis des statischen Druckes zum Totaldruck plpo vor Verdichtungsstoß und Druckverhält. nis PlP des Verdichtungsstoßes an der Profilsaugseite nach Theorie und Versuch, vgl. Fottner [44].

G.15 Geschwindigkeitsverteilung in transsonisch durchströmten Gittern 295

Drucksenkung nach der ausgezogenen Kurve anzunehmen anstatt nach der gestrichelten, die der Prandtl-Meyer-Expansion entspricht. Auch im Drucksprung am Verdichtungsstoß ergibt sich eine Abschwächung gegenüber der theoretischen Erwartung, vgl. Abb. 6.15.3b).

Im Falle der supersonischen Anströmung eines Verdichtergitters, Abb. 6.15.1b) herr­schen im Überschallbereich die folgenden Verhältnisse. Längs des Bogenstückes E'S, Abb. 6.15.4, entsteht eine Prandtl-Meyer-Expansion. Die Verdünnungswellen bilden den in Abb. 6.15.1 dargestellten Fächer. Eine trifft gerade die gegenüberliegende Eintritts­kante, die Linie DE, Abb. 6.15.4. Die vom Bogenstück E'D abgehenden Verdünnungslinien

Abb. 6.15.4 Überschallbereich der Strömung bei supersonischer Anströmung eines Verdichter­

gitters. a) Festlegung des Punktes D; b) Bestimmung der Prandtl-Meyer-Expansion stromabwärts D.

E'

E'

a

f

'" [

treffen die Kopfwelle, die von E' ausgeht. Wenn wir fordern, daß vom Gitter stromauf­wärts sich keine Störung ins Unendliche fortsetzt, müssen diese die Kopfwelle gerade aus­löschen, was näherungsweise dann der Fall ist, wenn der Anströmwinkel ßl gleich dem Tangentenwinkel in D ist, Abb. 6.15.4. Die Machzahl in D ist dann gleich der Zuström­Machzahl MI' Mit

6.15(1)

ist so die Lage des Punktes D festgelegt, und man kann offensichtlich bei gegebenem MI die Zuströmrichtung ßI nicht beliebig wählen, ein Charakteristikum dieser Strömungen. Es hängt dies mit der Idealisierung zusammen, bis ins Unendliche ebene Strömung vor­auszusetzen und gleichzeitig die Rückwirkung des Gitters auf endlichen Bereich zu be­schränken.

Die Lage des Stoßes wird so festgelegt, daß er als Kreisbogen angenommen wird, der in S senkrecht steht auf der Saugseite und in E auf der Druckseite. In jedem Punkt P längs DS kennt man Yi und damit nach dem Gesetz der Prandtl-Meyer-Expansion

6.15(2)

Da aber sin IXi = IIMi 6.15(3)

die Neigung der entsprechenden Machlinie gibt, die den Stoß in einem bestimmten Punkt trifft, kennt man längs der ganzen Stoßfront die Machzahl unmittelbar vor dem Stoß. Damit läßt sich auch der durch den Stoß bedingte Verlust berechnen.

296 G Das Schaufelgitter

Grundsätzlich ist es möglich, den Unterschallteil der Strömung nach einer der angege­benen Theorien - z. B. [42] - zu berechnen, indem man die Strömungsbedingungen un­mittelbar nach dem Stoß als Anfangsbedingungen verwendet. Will man aber schon eine umfassende Untersuchung durchführen, so ist es richtiger, sogleich das ganze Problem nach McDonald [86] zu behandeln, dessen Verfahren sehr allgemein und leistungsfähig ist, sich also besonders auch für Turbinengitter eignet. Dieses sog. Zeitschrittverfahren beruht auf folgendem Gedanken.

Bei der Disposition nach Abb. 6.15.5 ist der Ausgangspunkt der Rechnung ein ge­schätztes Geschwindigkeitsfeld W n , W u , das mit dem zu berechnenden Strömungsfeld noch nicht übereinstimmt, wohl aber die Grem:bedingungen des Prohlems erfüllt. Mit einem

.... -I

Abb.6.15.5 Zum Zeitschrittverfahren von McDonald [86]: Bezeichnungen und Einteilung des Strömungsfeldes durch ein Maschenwerk.

angenommenen Polytropengesetz sind dann für diese Näherung auch Druck und Dichte in jedem Feldpunkt bekannt. Irgendein Feld dieser Art kann bei kompressiblem Fluid betrachtet werden als möglicher Momentanzustand innerhalb eines instationären Vorgan­ges. Herrscht dieser Zustand im Zeitpunkt t = 0 und hält man für t > 0 Ein- und Austritts­druck konstant, so stellt sich ein asymptotischer Übergang zu einem stationären Zustand ein, der der gesuchte Strömungszustand ist. Die Theorie bestimmt ihn durch Nachrechnen dieses zeitlichen Übergangs, was den Vorteil bietet, daß das Problem überall im Feld para­bolischen Charakter erhält, da man die Lösung in t + L1t aus der in t finden und so weiter­schreiten kann, bis man hinreichend nahe am Endzustand ist. Um das Problem zu lösen, wird eine Mascheneinteilung vorgenommen, wie in Abb. 6.15.5 angedeutet. Ein den

6.15 Geschwindigkeitsverteilung in transsonisch durchströmten Gittern 297

Maschenpunkt k umgebendes hexagonales R11umgebiet, dessen Volumen LI Vk sei, ist in der Abbildung noch gesondert herausgezeichnet. Vereinfachend wird angenommen, daß die im Punkte k vorhandenen \Verte W"k' Wuk> I.!k, Pk zugleich als Mittelwerte der Geschwin­digkeitskomponenten und Zustandsgrößen über das ganze Volumen LI Vk betrachtet wer­den dürfen. Damit wird es möglich, die Erhaltungssätze für diese Raumgebiete zu formu­lieren. Vorbereitend möge aber zunächst das Gesetz der Zustandsänderung angegeben werden, das als Polytrope angenommen sei, gemäß

Pk=Pl(~:r, 6.15(4)

Abb. 6.15.6 Rechenergebnis für ein transsonisch durchströmtes Gitter, Ver·

gleich mit Meßpunkten, nach McDonald [86].

l,Or---r---,-----r---,-----,

f 0,7 0

0,5

O,JL--~---~-~---UL-~ o 20 1,0 60 80 % 100

x/b-

wobei Index 1 stets auf den Zu ström zustand verweist. Der Polytropenexponent n ist gegeben durch die GIn. 1.7(15) und (16). Der in diesen Gleichungen auftretende polytrope Wirkungsgrad 'Y)p berücksichtigt die Reibung in summarischer Weise. Es läuft dies darauf hinaus, sich die Reibung als eine im Raume stetig verteilte Widerstandskraft vorzustellen. Am einfachsten 'denkt man sie sich als eine Feldkraft pro Masseneinheit IJF, die der Rich­tung der wachsenden Meridiankoordinate n' entgegenweist. Dann ist

IJF dn' = T ds = dh _ dp . I.!

6.15(5)

Bei den nachfolgenden Formeln bezieht sich jeweils die linke 11uf die Verdichtung, die rechte auf die Entspannung:

dh=~ dp, 'Y)p I.!

IJF dn' = (~ _ l)dP , 'Y)p e

dp dh = 17p-'

I.!

IJFdn' = ('Y)p _1)dP . e

6.15(6)

6.15(7)

Wenn man diese Gleichungen durch dn' dividiert und die so entstehenden dpldn' ersetzt durch LlpILln', wo Llp und Lln' die Gesamtdifferenzen von Eintritt bis Austritt sind, so folgt schließlich

-"F = 1 - 'Y)p _Llp" -"F _ (1 ) ILlp I U A U - - 17p =-;j""7,

~ e~n e~n 6.15(8)

wobei e ein Mittelwert der Dichte ist. Damit lassen sich für ein gegebenes 'Y)p der Polytro­penexponent n und die Reibungskraft IJF bestimmen.

298 () Das Schaufelgitter

Für den zu betrachtenden instt1tionären Überga,ng lautet nun die Kontinuitätsgleichung, angewandt auf das Volumenelement ,1 Vk

Bek 1,f, . 8t = ,1 Vk "j'e(wn sm Y - Wu cos y) (Jbds. 6.15(9)

Das Umlaufintegral ist dabei über die ganze hexagonale Grenze des Elementes zu erstrek­ken.

Zur Aufstellung der Impulsgleichung in meridionaler Richtung beachte man folgendes. Es sei A der ins Gebiet eintretende Impulsstrom, B die Druckkraft, C die Summe der Feld­kräfte (Zentrifugalkraft, Corioliskraft, ideelle Reibungskraft), D die no-Komponente der Zentripetalbeschleunigung (im rotierenden Koordinatensystem). Dann gilt

A = ~ e(wn sin y - W u cos y) W n {Jb ds,

B = ~ p sin y (Jb ds,

C = ,1 Vkek[hw2 + 2WukW) sin f - (JF],

w2 D = - -.!!!:. sin f.

rk

Somit schreibt sich die Impulsgleichung

A V 8(ekWnk) A V W;k. LJ k <> - LJ ke k - Sin f =

ut rk

= ~ [e(wn sin y - Wu cos Y) Wn + P sin y] (Jb ds + ,1 Vk[ik[(rkw2 + 2WukW) sin f - (JF],

folglich

B(e~~nk) = ,1 ~ k ~ [[i(wn sin y - Wu cos y) Wn + P sin y] {Jb ds +

+ ek [( rkw2 + 2WukW + ~:k) sin f - (JF]. 6.15(10)

In gleicher Weise leitet sich die Impulsgleichung in tangentialer Richtung her, die lautet

B(ekWuk) 1 . --- = --- ~ [e(wn sm y - Wu cos y) Wu - P cos y] r (Jb ds - 2ekWnkW sin f.

Bt rk ,1 Vk 6.15(11)

Die Umlaufintegrale können dargestellt werden als Summen aus den Verbindungsstrecken ,1sij (Abb. 6.15.5), je multipliziert mit dem Mittelwert des Integranden längs der Strecke. Zum Beispiel lautet dann das in GI. 6.15(9) auftretende Integml

~ 1: [ei(Wni sin Yij - Wui cos Yij) (Jb i + [ij(wnj sin Yij - Wuj cos Yij) (Jbj ] ,1sij ,

wo Yij der Neigungswinkel der Seite ist, welche die mit i und j benannten Eckpunkte ver­bindet. Die Summation ist über alle Seiten zu erstrecken.

Zur Darstellung des Rechenverfahrens geht man zweckmäßig zur dimensionslosen For­mulierung über. Es mögen dazu folgende Definitionen eingeführt werden:

a l - V/x PI , MI W I ,

el a l

V= ewu - eIWI'

r R- T , a

6.15(12)

6.15 Geschwindigkeitsverteilung in transsonisch durchströmten Gittern 299

Hier verweist Index 1 auf die Eintrittsehene, hei zeitabhängigen Größen zudem auf den Zeitpunkt t = O. Weiter ist Zu die axiale Gitterbreite. Dann lassen sich die GIn. 5.15(9), (10), (11) und (4) in der folgenden Weise darstellen:

O(Jk = 2MK1 EHUisinYij - VicosYij) Bi + (UjsinYij - VjcosYij) Bj]Sij, 6.15(13) or k

oVk 1 "'{'1 [u . V ViRiBi or = 2Rk V k"::'" Ir 1 ( i sm Yij - i COS Yij) -(J-i- +

+ (Uj sin Yij - Vj cos Yij) Vj~:Bj] - (R;BiPi + RjBjPj ) sin Yii} 8ii -

- 2M l VkQ sin €, 6.15(15)

Pk = P1(JZ. 6.15(16)

Ausgehend von den U, V, P, (J in allen Netzpunkten in einem Zeitwert r können die zeit­lichen Ableitungen aus GI. 6.15(13) -(15) berechnet werden, worauf

oUk Uk(r + Ar) = Uk(r) + a:;-Ar,

oV Vk(r + Ar) = Vk(r) + 0/ Ar,

O(fk (fk(r + Ar) = (fk(r) + a;L1r

6.15(17)

6.15(18)

6.15(19)

die Größen Uk , Vk , (Jk im Zeitpunkt r + Ar liefern und GI. 6.15(16) das zugehörige neue Pk • Die Folge der so erhaltenen Funktionswerte ist alsdann zu glätten, um Instabilitäten der Rechnung zu vermeiden, worauf die Rechnung um ein weiteres Intervall Ar weiter­schreiten kann. Sie ist beendet, wenn sich die Funktionswerte mit wachsendem r nicht mehr wesentlich ver.ändern.

Die Grenzbedingungen sind wie folgt einzuführen. Die Grenzlinien 1 und 2 müssen mindestens etwa eine Teilung entfernt vom Gitter angeordnet werden. Dann dürfen dort P und somit C1 als unabhängig von Ort und Zeit vorgeschrieben werden. Die Flächenelemente haben dort nur 5 Seiten, und der Aufpunkt gehört selbst zu den Eckpunkten, vgI. die in Abb. 6.15.5 schraffiert angegebenen Beispiele. Die Rechnung verläuft für diese "abnor­malen" Elemente gleich wie für die anderen, nur daß die Größen mit Index k auch unter den Summenzeichen erscheinen. So erhält man die U und V in der Ebene 2, mithin also den AbströmwinkeI. In Ebene 1 wird der Zuströmwinkel, also die Größe VIU vorgeschrie­ben und die Beträge von U und V werden so angepaßt, daß der axiale Druckgradient ver­schwindet, was im Endergebnis auf eine Zuströmmachzahl führt, die mit dem in r = 0 an genommenen -,-111 im allgemeinen nicht übereinstimmt.

Ebenfalls abnormale, fünfseitige Flächenelemente erhält man an den Schaufelflächen. Die Summationen vereinfachen sich dort insofern, als für diejenigen Polygonseiten, die Teil der Schaufelfläche sind, die Größe

U sin Y - V cos Y

verschwindet, womit die Undurchdringlichkeit der Schaufelfläche ausgedrückt ist. Die Punkte der um eine Teilung versetzten Grenzen des Strömungsgebietes vor Ein­

trittskante und nach Austrittskante sind einfach zu behandeln. Man hat nur die Bedingung

300 G Das Schaufelgitter

der Periodizität zu beachten. Für dies.e Randpunkte lassen sich daher ohne weiteres das vollständige hexagonale Element und die Zustandsgrößen in seinen Eckpunkten angeben, einfach unter Verwendung der homologen Punkte innerhalb des Strömungsfeldes, vgl. die gestrichelte Eintragung in Abb. 6.15.5. Einen gewissen Kunstggriffverlangt dabei die end­lich dicke Austrittskante : Es ist in ihrer unmittelbaren Nähe gleicher Druck an Druck- und Saugseite zu fordern.

Abb. 6.15.6 stellt das Ergebnis einer solchen Rechnung dar. In Funktion der axialen Koordinate, von der Eintrittskante aus gemessen und in % von la angegeben, ist für Saug­und Druckseite das Verhältnis des statischen Druckes zum Totaldruck aufgetragen für ein Turbinengitter mit MI = 0,459, M z = 1,14, ßI = 55°, ßz = 36°. Die Kurven sind gerech­net, die Punkte gemessen, vgl. [86].

Der Rechenaufwand hängt vor allem ab von Zeitschritt LI •. Je feiner die Maschenein­teilung, desto kleiner muß LI. gewählt werden, um Stabilität zu sichern, wie in der Theorie der numerischen Methoden gezeigt wird. Allfällige Verdichtungsstöße werden von der Rechnung von selbst und in der richtigen Position erhalten. Allerdings werden die Ergeb­nisse für nur schwache Stöße physikalisch reell, denn das vorausgesetzte Polytropengesetz liefert nicht die korrekte Entropieänderung des Stoßes, was eine wesentliche Fälschung bewirkt bei starkem Stoß. Deshalb eignet sich die Theorie nicht für hohe Überschall­geschwindigkeit. Aber auch bei sehr kleiner Machzahl versagt sie, wie der Aufbau der GIn. 6.15(14) und (15) verrät. In der Tat ist im Grenzfall der Inkompressibilität die Aus­gangsvoraussetzung zerstört, daß irgendein Geschwindigkeitsfeld, das nur die Grenzbedin­gungen erfüllt, ein möglicher Momentanzustand innerhalb eines instationären Vorganges sei. Diese Schwierigkeit macht sich als Instabilität der Rechnung bemerkbar, lange bevor dieser Grenzfall erreicht ist.

Bei kleiner Machzahl ist indessen ein abgewandeltes Verfahren denkbar, das seinerseits im schallnahen Gebiet instabil würde. Man betrachtet unmittelbar den stationären Zu­stand, setzt also in den Gln. 6.15(13) - (15) die linken Seiten Null. Außerdem dividiert man diese Gleichungen durch JrI I und führt alsdann als dimensionslose Druckfunktion die Größe

n = ~ 6.15(20) l!lw1

ein. So entstehen drei Gleichungen, die aus 6.15(13) -(15) dadurch hervorgehen, daß man MI wegläßt, anstatt P überall n schreibt und die zeitlichen Ableitungen durch 0 ersetzt. Denkt man sich diese Gleichungen für die sämtlichen Aufpunkte angeschrieben, so hat man ein System von ebensovielen simultanen Gleichungen vor sich, wie unbekannte Funk­tionswerte aufzufinden sind (es können tausende sein I). Mit leistungsfähigen Elektronen­rechnern sind solche Gleichungssysteme lösbar. Im Grenzfall der Inkompressibilität wird das System linear. - Dieses zuletzt skizzierte Verfahren nähert sich in Struktur und Re­chenablauf der Methode der finiten Elemente, die zunächst für Festigkeitsprobleme ent­wickelt wurde, aber auch in der Strömungslehre Eingang findet, vgl. etwa Iten [87].

Das in diesem Abschnitt dargelegte Verfahren eignet sich übrigens auch zur Berech­nung von Tandemgittern. Die Wahl der Kontrollgebiete und ihre Mascheneinteilung bereitet keine Schwierigkeiten, da ihre Grenzen ja nicht Stromlinien sein müssen und die Bedingung der Periodizität immer leicht einzuführen ist.

6.16 Reibungseinflüsse in axial durchströmten Gittern

In genügendem Abstand von den seitlichen Begrenzungswänden kann auch die rei­bungsbehaftete Strömung als eben betrachtet werden, was grundsätzlich die Möglichkeit gibt, die Profilverluste nach der Theorie der ebenen Grenzschicht zu berechnen, vgl. ins­besondere die Abschnitte 3.12 und 13. Wie dort gezeigt wird, ist allerdings der Stand dieser Theorie noch nicht ganz befriedigend. Die wichtigste Schwachstelle ist die Unsicherheit bezüglich des Überganges vom laminaren zum turbulenten Strömungszustand. Auch die

6.16 Reibungseinflüsse in axial durchströmten Gittern 301

Möglichkeit des Auftretens von Görtierwirbeln im laminaren Teil der druckseitigen Grenz­schicht und die Rauhigkeit sind weitere Quellen der Unsicherheit. - Über den Einfluß der Rauhigkeit geben Bammert und Milsch [67] einige Unterlagen. Ist k 8 die Sandrauhig­keitshöhe, so kann man die üblichen Verfahren zur Bestimmung der integralen Grenz­schichtgrößen übernehmen, indem man für cf einen korrigierten Wert einsetzt, der sich aus dem c~p der ebenen Platte (lokaler Wert) berechnet nach

cf = 1,6cfP für k8 1s < 0,42 . 10-3 }

cf = [26,3 + 3,17 In (ksls)] cfP für ksls > 0,42 . 10-3 6.16(1)

Der Bereich ksls < 0,42 . 10-3 entspricht der glatten Oberfläche. Diese Angaben stammen allerdings nur aus Gitterversuchen an Verdichterschaufeln, die bei einem Turbulenzgrad Tu = 0,6% der Zuströmung gewonnen wurde, d.h. die Turbulenz war sehr viel geringer als in der Maschine.

Ein weiteres Problem besteht dort, wo Verdichtungsstöße auftreten. Im Bereiche der Grenzschicht ist allerdings der Druckanstieg kein spontaner, sondern er erfolgt stetig. Diese Bedingungen sind von Fottner [44] untersucht worden. Nach seinen Untersuchungen kann man bei der Grenzschichtberechnung über eine solche Stoßstelle nach den üblichen Verfahren hinwegintegrieren, wobei man die Druckerhöhung über eine gewisse endliche Breite (z.B. O,1s) verteilt. Für die maßgebenden Grenzschichtgrößen an der Austrittskante ist es dabei von geringem Einfluß, über welche Breite man sich den Stoß "verschmiert" denkt.

Mit diesen Angaben und den Ausführungen unter 3.12 und 13 sind ausgehend von der Ge­sch windigkeitsverteilung am Profil druck-und saugseitig an der Austrittskante die Verdrän­gungsdicken Dld , Dis, die Impulsmangeldicken D2d , D28 und die Energiemangeldicken D3d , D3s

berechenbar. Man darf aber die Genauigkeit dieser Ergebnisse nicht überschätzen, da die Rechnungen je nach Fall mit mehr oder weniger großen Unsicherheiten behaftet sind. Es scheint, daß die klassische, auf der Karmanschen Integralbedingung aufbauende Form der Grenzschichttheorie hier doch an eine Grenze anstößt. Bessere Aussichten dürften auf län­gere Sicht diejenigen Theorien haben, die das Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht explizite bestimmen, wie diejenige von Patankar und Spalding [68]. Besonders dürfte der Übergang zu solchen Verfahren dort am Platze sein, wo nicht nur die Grenzschichtgrößen an der Austrittskante interessieren, sondern die lokalen Werte der Wärmeübergangszahlen an der Schaufeloberfläche.

Nachfolgend wird aufgezeigt, wie die Grenzschichtgrößen an der Austrittskante eines geraden Schaufelgitters die Profilverluste bestimmen und den Abströmwinkel beeinflussen. Dabei darf mit hinreichender Näherung in dem betrachteten Gebiet unmittelbar hinter der Austrittskante unveränderliche Dichte vorausgesetzt werden. In Abb. 6.16.1 ist die Kon­trollfläche 2' die Austrittsebene des Gitters, die Fläche 2 eine Ebene in einem Abstand, in dem sich die Strömung über die Teilung ausgeglichen hat. Dort sind c2, pz, (xz Geschwin-

'I P2 -""-----;;;-.--:;;0------'''-- - - - - 2

Cz

Abb. 6.1Ii.1 Zur Betrachtung des Mischvorganges nach einem Gitter.

302 G Das Schaufelgittpr

digkeit, Druck und Strömungswinkel, während c;, p~, IX; Mittelwerte in der Ebene 2' dar­stellen, die aber nur über den außerhalb der Grenzschichten liegenden Teil der Strömung erstreckt sind. Der aus c~ und p; gebildete Totaldruck ist also noch gleich dem vor dem Git­ter. Mit (;a als Dicke der Schaufelaustrittskante ist dann die Einführung der folgenden Größen zweckmäßig.

,1 = (;1d + ~ 1 - t sin IX; , 6.16(2)

Für das zwischen den Ebenen 2' und 2 liegende Kontrollgebiet lautet dann die Kontinui­tätsgleichung

6.16(3)

was in die Form

C2 sin iX2 1 - ,1 a - ,11

c~ sin cx~ 1 6.16(4)

gebracht werden kann. Die Aufstellung der Impulsgleichung muß den Hinterkantenunter­druck berücksichtigen, der durch

6.16(5)

wiedergegeben werden kann. Hier ist k ein empirischer Koeffizient. Damit schreibt sich die für die Richtung parallel zur Gitterachse formulierte Impulsgleichung

2 . '2 [ (;a + (;1d + Öls + (;2d + Ö2S]" , k (! '2 5: ' (!C2t sm iX2 cos iX2 = (!C2 t - . , sm iX2 cos iX2 - -2 c2 Ua cos IX2'

sm iX 2 6.16(6)

Der Ausdruck in eckiger Klammer entsteht aus der Überlegung, daß zunächst der korrekte Wert des Massenstromes wiedergegeben werden muß, worauf noch durch Beifügung der Impulsmangeldicken berücksichtigt wird, daß nicht die ganze Menge mit der vollen Ge­schwindigkeit c; strömt. GI. 6.16(6) läßt sich in der Form

, 2 [ k ] si n iX2 cos iX2 = ( ~: ) 1 - ,1 a (1 + 2) - ,11 - ,12 sin IX; cos IX; 6.16(7)

schreiben. Nach GI. 6.16(4) ist auch

6.16(8)

Dies in GI. 6.16(7) eingesetzt, führt auf

(1-,1 a -J1)2 , tan iX2 = k tan iX2'

1 - ,1a (1 + 2) - ,11 - ,12

6.16(9)

Aus dieser Gleichung folgt durch trigonometrische Umformung auch

(Sin i(2)2 _ (1 - ,1 a - ,11)4 (1 - sin2 i(2) + . 2

sin IX; - [1 _ ,1 a (1 + ~) _ ,11 _ ,12r sm iX2

,

6.16(10)

womit 6.16(8) in die Form

(::)' ~ [:1-A~(1-::} )I~~:;~ :~( 11 _';:" ~,)' 6.16(11)

übergeht.

G.IG Heibungscinflüssc in axial durchströmten Gittern 303

Die Impulsgleichung, in der zur Gitterfront senkrecht stehenden Richtung formuliert, lautet

k e '2 ~ . , ( . ') - 2 C2 U a sm iX2 - P2 - 1'2 t, 6.16(12)

woraus

P2 -- 1'; '2· 2 ' [1 A (1 k ) A A ] 2· 2 (! = C2 sm a2 - LJ a + 2"" - LJ1 - LJ2 - C2 sm a2· 6.16(13)

Da folglich auch

p~ ~ P; = c§ sinZ a2 {(~:r (::: ::r [1 - ,1 a (1 + ~) - ,11 - ,12]- I}, 6.16(14)

erhält man mit GI. 6.16(4)

, [1 P2 - P2 = c~ sin2 a2

Q 6.16(15)

Die gesarnte spezifische Energiedissipation des Gitters ist offenbar '2 2 '

,1 hd = C2 - C2 _ P2 - P2. 2 e 6.16(16)

Daraus folgt die den Gesamtverlust kennzeichnende Verlustzahl

z ,1:~d = (C;)2 -1 _ 2(P2 -; p~). c2 /2 C2 eC2

6.16(17)

Das erste Glied rechts ist durch 6.16(11) gegeben, während das letzte

2(P2 _ p;) _." 2 [1 - ,1 a (1 + ~) - ,11 - ,12 ]

(!C~ - 20lm a 2 (1 _ ,1 a _ ,11)2 - 1 6.16(18)

beträgt. Der Absträrnwinkel, den die Theorie der reibungsfreien Gitterströmung liefert, stimmt

im allgemeinen weder mit a2 noch mit a; überein, doch läßt sich sicher sagen, daß GI. 6.16(9) auch für die reibungsfreie Strömung gilt, wobei dann ,11 = ,12 = O. Es sei a2r der Abström­winkel, den man unter Voraussetzung der Reibungsfreiheit berechnet. Rechnet dann die Theorie mit einer spitzen Hinterkante, also ,1a = 0, so ist offensichtlich

6.16(19)

Rechnet hingegen die Theorie der reibungsfreien Gitterströmung mit dem realen \Vert ,1 a , aber ohne Hinterkantenunterdruck, dann gilt

t ' _ tan a2r an iX2 - 1 _ ,1 .

a 6.16(20)

Berücksichtigt schließlich die benutzte Gittertheorie außer ,1a auch schon den Hinter­kantenunterdruck, so ist

1 - ,1 (1 +~) a 2 tan a; = (1 _ ,1a)~ tan a2r· 6.16(21)

In jedem Falle läßt sich also tan a; bestimmen, worauf GI. 6.16(9) den wirklichen Abström­winkel liefert. Hat man diesen bestimmt, so erhält man der Reihe nach aus den GIn. 6.16(11), (18) und (17) die Verlustzahl z.

Dieses exakte Vorgehen ist insofern nicht befriedigend, als es hohe numerische Ge­nauigkeit der Rechungen verlangt und mit Relationen arbeitet, deren verwickelter Aufbau

304 G Das Schaufelgitter

die Zusammenhänge nicht unmittelbar in Erscheinung treten läßt. Der komplizierte Cha­rakter der Gleichungen rührt daher, daß die \Verte von Cz und pz durch die vereinigte Wir­kung aller Effekte bedingt sind, wodurch diese miteinander mathematisch verknüpft wer­den in einer \Veise, die nur schwach und unwesentlich aber nichtsdestoweniger kompliziert ist. Deshalb rechtfertigt sich die Näherung, einzelne Effekte für sich zu betrachten und dann zu addieren.

Zunächst möge der Verlust bestimmt werden, der mit scharfer Austrittskante, also Ll a = 0, entsteht. Bei nicht abgelöster Strömung sind dann stets Ll l und Ll a sehr klein gegen 1. Wenn man mit LlhdO die so entstehende Energiedissipation bezeichnet, folgt aus den Gln. 6.16(11), (17) und (18)

LlhdO (1 - Ll l )2 (1 - sin2 <Xz) sinz <X 2 1 2' 2 [ 1 - Ll l - Ll z _ 1] Zo - cV2 = (1 - Ll l - Ll Z)2 + (1 - Ll l )2 - - sm <X2 (1 - Lll)Z

~ (1 + 2L1 2) (1 - sinz <X 2 ) + (1 + 2L1 l ) sin2 <Xz - 1 - 2 sin2 <X 2 ~l_-2~: ~ 2L1 z + 2 8inz <x2(Ll l - Ll z) - 2 sin2 <x 2(Ll l - Ll 2) (1 + 2L1 l ).

Da, die Quadrate und Produkte der LI vernachlässigbar sind, bleibt schließlich

6.16(22)

Zo ~ 2L1 2 · 6.16(23)

\Veiter möge der Verlust berechnet werden, der durch den Hinterkantenunterdruck allein bedingt ist. Er wird dadurch hervorgerufen, daß einerseits die Umfangskomponente der Geschwindigkeit, anderseits der Druck in der Ebene 2 herabgesetzt werden. Der zweit­genannte Effekt, die Herabsetzung des Druckes um Llp" ergibt sich sehr einfach. Es ist

A _ k e '2 < " ,I • LI p" _ k '2 A " 2 ' t LJP" - 2 C2 U a Sill CX2' • -e- - 2 C2 LJ a Sln CX2' 6.16(24)

Die Verminderung von Cu folgt aU8 dem Impubsatz

, "k 0 '2 ~ , mCu2 = mCu2 - '-2 C2 U a COS CX2'

k '2 <' k (" ') _' • C2 ua COS CX 2 _' ., C2 Sln CX2 A .' Cu2 - Cu2 - -2 . - Cu2 - -2 C2 --.-- Ll a COS <X 2 c2t sm <X2 ca sm <X2

oder mit GI. 6.16(4)

, k, Ll a cos cx~ , [1 k .Ga ] , (1 k A ) Cu2 = Cu2 - 2 C2 1 _ .G a _ .G l = Cu2 - 2 1 _ .G a _ Ll l ~ Cu2 - 2 LJ a .

6.16(25) Dem entspricht ein Verlust an Bewegungsenergie von

Cu2 - Cu2 _ Cu2 1 _ 1 __ A cv Cu2 k 1 - _ '2 'I ,2' '2 2 '2 [ ( k )2]'2 k 2 - 2 2 LJ a "'" 2 /- a - 2 C2 L a COS <X 2 • 6.16( 2G)

Die Addition der Ausdrücke nach GI. 6.16(24) und (2G) gibt die resultierende Energiedissi­pation

A7 k'2 A LJ Idh = 2 C Ll a G.16(27)

und damit die entsprechende Verlustzahl

Llhdh Zh = c~/2 ~ k /1 a • 6.16(28)

Die Ungenauigkeit dieser Relation kann leicht durch eine Vergrößerung des Koeffizienten k ausgeglichen werden.

Die endliche Dicke der Austrittskante hat weiter den Effekt, daß die Normalkompo­nente Cn2 von c2 kleiner wird als die Normalkomponente C;,2' Dieser Vorgang ist nichts ande-

6.16 Reibungseinflüsse in axial durchströmten Gittern 305

res als ein Carnotstoß und sein Verlust kann nach der hierfür geltenden Formel berechnet werden. Ist Llp~ der Verlust an Totaldruck, so ist die dissipierte Energie

Ahc = Llp~ (c~z ~ cnz)Z, 1 LJ e 2 CnZ = Cn2 1 ~ Ll a ' 6.16(29)

I (1 1) Ll a Cn2 ~ Cn2 = Cn2 1 ~ LI a ~ = CnZ 1 ~ LI a '

Llh = C;2 (~)2 = c~ sinz LX2 (~)2 c 2 1 ~ Ll a 2 1 ~ Ll a '

_ Llhc (Ll a )2. 2 Zc = c~/2 = 1 ~ Ll a sm LXZ· 6.16(30)

Die Summierung der einzelnen Verlustzahlen nach GI. 6.16(23), gesamte Verlustzahl

(28) und (30) liefert die

6.16(31)

Die Rechnung wird damit äußerst einfach. Kennt man die Grenzschichtgrößen an der Austrittskante und k, so liefern die GIn. 6.16(9) und (31) iXZ und z. In Anbetracht der be­grenzten Genauigkeit, mit der die LI und k bekannt sind, dürfte diese Näherung meist genügen.

Zweifelsohne ist die bauliche Gestaltung von erheblichem Einfluß. Die obige Herlei­tung setzt die Anordnung nach Abb. 6.16.2a) voraus. Offensichtlich sind die Verhältnisse bei einer Hinterkante nach Abb. 6.16.2b) etwas anders. Es läßt sich leicht verfolgen, daß GI. 6.16(9) dann durch

(1 ~ Ll a ~ Ll 1)2 I

tan iXZ = 1 ~ Ll a ~ Ll 1 ~ Ll z tan iXZ 6.16(9')

zu ersetzen ist, und an die Stelle der GI. 6.16(21) tritt dann 6.16(20). Der entsprechende Verlust entsteht dann allein durch das Glied Llphle, das aber entsprechend größer ausfällt. Man ist wieder auf Zh = k Lla geführt, womit GI. 6.16(31) erhalten bleibt, doch ist zweifels­ohne der Wert k ein anderer.

a b c

Abb. 6.16.2 Verschiedene typische Austrittskantenformen.

Über k besteht eine erhebliche Unsicherheit. Aus den Untersuchungen von Hoerner [69] an Einzelprofilen lassen sich zwei Korrelationsgesetze gewinnen, die durch die Glei­chungen

k = 0,107 (~:)t , k = 0,074 (~:)t

6.16(32)

6.16(33)

darstellbar sind, vg1. Abb. 6.16.3, Kurven a und b. Dabei zeigen die Versuche, daß mit kleineren LlalLlz ein Übergang zum Gesetz mit dem kleineren Koeffizienten stattfindet, wobei die Punkte z. T. noch wesentlich tiefer liegen. Bei kleinen LlalLlz wird allerdings die Streuung sehr groß, was in Abb. 6.16.3 durch die schraffierte Fläche angedeutet ist. Es sei daher empfohlen, wo keine genaueren experimentellen Unterlagen vorliegen, mit der aus-

306 G Das Schaufelgitter

gezogenen gebrochenen Linie Abb. ß.16.3 zu rechnen. Man ist dann annähernd in Überein­stimmung einerseits mit den Ergebnissen von Bammert und Fiedler [62], anderseits mit Utz [63], der bei sehr kleiner Hinterkantendicke keinen Unterdruck feststellen konnte. In der Tat wird dieser dann für Ll a lLl 2-Werte von der Größenordnung 2,5 sehr gering und ins­besondere ist in diesem Falle der Verlust k Ll a meist so klein, daß er kaum mehr ins Gewicht fällt. - Bei höheren Ll alLl 2 ergibt sich die Kurve b nach Hoerner nicht für Hinterkanten, sondern für Absätze an Profiloberflächen, wie sie etwa an den Kanten aufgenieteter Bleche entstehen. Sie kann also für Turbomaschinen von Bedeutung sein, wo aus konstruktiven Gründen ähnliche Sprungstellen in Kauf genommen werden müssen.

0,3r------,------~--------r------~

o'/rr~~~------_+------~------~

o 5 /0 /5 20 Lla /Ll2 -

Abb. 6.16.3 Beiwert k zur Berechnung des Hinterkantenunterdruckes.

Der Mechanismus des Verlustes durch Hinterkantenunterdruck ist der folgende. Inner­halb einer sehr engen Zone im Zentrum der Nachlaufdelle müssen die Teilchen durch Schubspannungen gegen einen starken Druckgradienten stromabwärts geschleppt werden. Sogar eine lokale Rückströmung mit entsprechend großen lokalen Geschwindigkeits­gradienten ist denkbar. Diese Vorgänge sind mit starker Energiedissipation verbunden.

Der Anteil des Gesamtverlustes, der im Gitter selbst auftritt, ist unmittelbar durch die Energiemangeldicken an der Austrittskante gegeben und beträgt

6.16(34)

somit __ Llhdy (C~)2

zy = c~/2 = C; Ll 3 · 6.16(35)

Die Energiedissipation im Nachlauf allein ist folglich durch die Verlustzahl

6.16(36)

gekennzeichnet. Da die Verlustberechnung von der Vorstellung des vollständigen Aus­gleiches in der Kontrollebene 2 ausgeht, stellt sich die Frage, ob der Nachlaufverlust rich­tig erhalten werde, da doch normalerweise der nachfolgende Schaufelkranz in so kleinem Abstand folgt, daß dieser Ausgleich noch nicht annähernd abgeschlossen sein kann. Nun erfolgt aber der weitaus größte Teil der Energiedissipation gleich zu Anfang dieses Aus­gleichvorganges. Der Fehler, der dadurch entsteht, daß die restliche Dissipation erst im nachfolgenden Schaufelkranz stattfindet in einer Weise, die theoretisch kaum genauer ver­folgbar ist, kann nicht sehr groß sein.

Das beantwortet auch die Frage, ob diese Untersuchungen, die das gerade Gitter zur Voraussetzung haben, übertragbar sind auf Kreisgitter in rotationssymmetrischen Strö­mungen, deren Meridianstromlinien beliebige Winkel e mit der Achsenrichtung bilden.

G.17 Radial durchströmtes Krcisgittcr 307

Natürlich wird dieser Charakter der Strömung sich auswirken auf die Geschwindigkeits­verteilungen an den Profilen und damit auf die Grenzschichtentwicklung. Sind aber ein­mal die Grenzschichtgrößen an der Schaufelaustrittskante korrekt bestimmt, so ist jeden­falls Zg richtig, und da die dissipativen Vorgänge im Nachlauf sich zum größten Teil auf ganz kurzem Wege nach der Austrittskante abspielen, werden auch sie von e nicht maß­gebend beeinflußt sein. Man kann also die angegebenen Gleichungen sinngemäß auch in diesem Falle verwenden.

Mit den in Kapitel 5 eingeführten ProJilverlustzahlen hängen die z wie folgt zusammen, was aus den Definitionen zu verifizieren ist. Das Cp der Beschleunigungsgitter hängt mit z zusammen gemäß (vgl. 5.7)

_ Cp z - 1 - Cp '

6.16(37)

Die unter 5.10 eingeführten Diffusorverlustzahlen der Profilreibung bei Verzögerungs­gittern setzen die dissipierte Energie zur Bewegungsenergie ci!2 am Eintritt in Beziehung, während bei z auf c~!2 Bezug genommen ist. Daher ist

6.16(38)

Beim Laufrad kommt zu der Bewegungsenergie wr!2 noch das Fliehkraftglied (u~ - ur)!2 hinzu, weshalb dort die Umrechnung lautet

6.16(39)

Damit liefert die Theorie die zur Berechnung des Energieumsatzes im Stufenelement be­nötigten Verlustunterlagen.

6.17 Radial durchströmtes Kreisgitter

Radial durchströmte Kreisgitter treten in Radialmaschinen als Leit- und Laufräder auf. Zur Berechnung solcher Gitter stehen an sich viele Verfahren zur Verfügung, ins­besondere auch das unter 6.12 dargestellte allgemeine Verfahren von Wilkinson. In der Praxis haben indessen solche Gitterberechnungen nie die gleiche Bedeutung erlangt wie bei den Gittern der Axialmaschinen, weil zu große Diskrepanzen zwischen Theorie und Beob­achtung auftreten. Das gilt insbesondere für die Strömung durch Radialverdichter. Cha­rakteristisch für solche Strömungen sind insbesondere die außerordentlich starken Ge­schwindigkeitsschwankungen (±25% und mehr!), wie sie z.B. von Powler [72] festgestellt wurden. Ferner wird das ganze Strömungsfeld auch beeinflußt von Sekundärströmungen, vgl. etwa die Messungen von Moore [70] in rotierenden Kanälen. Diese Vorgänge führen zur Bildung einer mehr oder weniger ausgeprägten Totwasserzone. Dean [71] schlägt daher vor, sich einer Modellvorstellung zu bedienen, bei der die Laufradströmung eines Radialver­dichters als eine abgelöste Strömung vom Typus "Strahl und Totwasser"aufgefaßt wird.

Alles dies läßt es wenig sinnvoll erscheinen, eine Gitterströmung innerhalb einer Rota­tionsfläche zu berechnen. Unter 7.12 wird vielmehr gezeigt, wie eine im eigentlichen Sinne dreidimensionale Theorie der Strömung durch einen solchen Laufradkanal mit gewissen vereinfachenden Annahmen aufgestellt werden kann. Hier mögen nur einige Grundtat­sachen zusammengefaßt werden.

Die geometrische Gestalt der Radialräder bringt es mit sich, daß zwischen den einzel­nen Schaufeln verhältnismäßig schlanke Kanäle entstehen. Über einen erheblichen TAil des Weges kann die Strömung daher näherungsweise als schaufelkongruent betrachtet werden. Hingegen besteht am Ein- und Austritt je eine Zone, wo Schaufelkongruenz nicht vorausgesetzt werden darf. Die Erstreckung dieser Zone am Eintritt kfLnJ1 - insbesondere bei den halboffenen Rädern mit axialer Zuströmung - folgendermaßen abgeschätzt wer­den.

308 6 Das Schaufelgitter

Man geht aus vom Fall der "stoßfreien" Zuströmung und nimmt an, daß längs der Wegstrecke s', die diese übergangszone kennzeichnet, die Schaufelzirkulation y pro Ein­heit des Weges einen quasielliptischen Verlauf annehme, Abb. 6.17.1. Die integrale Zirku­lation ist dann längs der Strecke s' um den Faktor nl4 kleiner als sie es bei schaufelkon­gruenter Strömung wäre. Ist PIS der Skelettwinkel, PI der ("stoßfreie") Strömungswinkel am Eintritt, P' der Winkel in s', dann gilt

cot PI - cot P' = ~ (cot PIS - cot P'),

woraus

cot P' = 4 ~ n (cot PI - ~ cot PIS) . 6.17(1)

Die Winkelübertreibung ist 6.17(2)

s

Abb.6.!7.! Zur Bestimmung der Zone nicht schaufel kongruenter Strömung am Eintritt eines Vorsatzläufers eines Radialrades.

und kann aus Abb. 6.6.8 entnommen werden. Das dort angegebene ~<X ist hier ~ß und ßIS übernimmt die Rolle von <X2u. Nach der geometrischen Situation Abb. 6.17.1 ist

ß = ßIS i ß' , 6.17(3)

S' = asinß, a;::,; r,.(ß' - ßIS) ,

s' r,. (ß' ß)· ß-T=T - IS sm . I I

6.17( 4)

Hier ist (ß' - ßIS) im Bogenmaß auszudrücken. Nun sind rkltl und ßUl aus der Radgeo­metrie bekannt. Dann liefert die Kurve 6.6.8 das ~ß und

PI = ßIS + ~P 6.17(5)

das "stoßfreie" ßI. Hierauf geben die GIn. 6.17(1), (3), (4) der Reihe nach ß', p, s'ltv womit die Ausdehnung s' der Einlaufzone gefunden ist. Da es sich nur um eine Abschätzung handelt, ist es nicht sehr wesentlich, daß diese Rechnung keine Schaufeldicke berücksich­tigt (der Einfluß der Schaufeldicke macht s' eher kleiner).

Die Zone am Radaustritt, wo die Abweichung von der schaufelkongruenten Strömung merkbar wird, läßt sich bestimmen auf Grund der Untersuchungen von Stanitz [73], vgl. auch [75]. Mit den Bez~ichnungen nach Abb. 6.17.2 setzen wir

6.17(6)

6.17 Radial durchströmtes Kreisgitter 309

Aus einer großen Zahl von Rechnungen, die nach einem Relaxationsverfahren durchge­führt wurden, fand nun Stanitz, daß der bezogene Radius Rx = rxh, außerhalb dessen die Abweichung von der Schaufelkongruenz beginnt, durch die Interpolationsformel

In Rx = -0, 7L1e sin e sin ß2S 6.17(7)

gegeben ist. Der in der achsnormalen Ebene gemessene Öffnungswinkel Je zwischen zwei Schaufeln ist bei verschwindender Schaufeldicke 2n/z, mit z als Schaufelzahl ; bei endlicher Schaufeldicke ist er entsprechend kleiner. Ex möge als "Stanitzradius" bezeichnet werden.

j j

I I I I ..... ~

_-L~J Abb.6.17.2 Geometrische Situation am Radaustritt zur Bestimmung des Stanitzradius.

Der Abströmwinkel ß2 aus einem Radialrad hängt zusammen mit dem durch GI. 6.8(17) definierten Minderleistungsfaktor fl. Wenn wir zunächst unendlich dünne Schaufeln vor­aussetzen und eine Strömung, die den ganzen Raum erfüllt (keine Totwasserzonen), so gilt für die Umfangskomponente Cu200 bei unendlicher Schaufelzahl und das wirkliche cu2

gemäß der Geometrie der Geschwindigkeitsdreiecke

womit

cu200 = 'U2 - Cn2 cot ß2S,

Cu2 = U2 - Cn2 cot ß2'

cu2 U2 - Cn2 cot ß2 1 - Cn2 cot ß2

fl = Cu200 =. 112 - Cn2 cot ß2S = 1 - Cn2 cot ß2S •

6.17(8)

6.17(9)

6.17(10)

Hidr sind ß2 und die Strömungsgeschwindigkeiten als über die Teilung gemittelte Werte zu verstehen. Die Auflösung von GI. 6.17(10) liefert

1 ctg ß2 = -C [1 - I" (1 - Cn2 cot ß2S)]. 6.17(11)

n2

Für I" kann im Rahmen der hier vorausgesetzten Idealisierung auf die klassische Unter­suchung von Busemann [24] zurückgegriffen werden. Abb. 6.17.3 und 4 geben so bestimmte fl-Werte wieder für verschiedene z, Durchmesserverhältnisse D2/D1 und <poWerte (es darf in diesem Zusammenhang <p = Cn2 gesetzt werden). - Die Busemannsche Theorie setzt den rein radial durchströmten Schaufelstern voraus, dessen Innendurchmesser D1 ist. -Will man nun etwa I" finden für ein beliebiges Je, ausgehend vom Busemannschen fl für z = 16, das 1"16 benannt sei, so gilt mit guter Näherung

Je 8Je (1 - 1") ~ (1 - fl16) 2n/16 = (1 - 1"16) n· 6.17(12)

Nun stimmen allerdings die nach Busemann berechneten fl-Werte nicht ohne weiteres mit den gemessenen Werten überein. Vielmehr gibt es über Minderleistungsfaktoren eine sehr umfangreiche Literatur, die insofern sehr unbefriedigend ist, als keine universell gültige

310 G Das Schaufelgittcr

.1.0

es

o.C

0.'

o.~ 1,0

O,S

O,C

0.'

r--... ~

1----

f-----

"" ~ ~

0.1

I z= 7&

I Pts - YO'

"'\ ~t--. GO' -1\

-....... K ~

\201

,

.......

\ I

z= 8

As·90'

\ ..... ~ --- GO'

\ ~ -------\ w

. \ZO' ~ \ \

0.2 0,3 o.~ 0.' 0.$ lf-

Abb. 6.17.3 Minderleistungsfaktor p. nach Busemann [24] für D1ID. = 0,5.

1.0

O,C

0,5

o.~ 1,0

0.6

0.5

D,/Dz - 0.., z~76

r--, I I--- _

.:::,. Pts - SO'

'\ -r--.... t--~

\ ..........

~ \20' ~

\

z=8

~ r--\-.......... Pzs·SO'-

\ ~ -- CO'

\ "'W ~ I---

\ '" '-\0' '\ 0.1 0.2 0.3 O,~ 0.$

~-Abb.6.17.4 Minderleistungsfaktor p. nach

Busemann [24] für D1ID. = 0,65.

Korrelation gefunden werden konnte. Einen guten überblick darüber gibt Wiesner [74]. Der Grund dafür ist vor allem darin zu suchen, daß die Strömung den Radaustrittsquer­schnitt nicht völlig ausfüllt, sondern den Charakter "Strahl und Totwasser" hat. Es ist die Verdrängungswirkung des Totwassers und der Grenzschichten, die in der Theorie fehlt und - weil stark von den baulichen Besonderheiten abhängig - die regellos erscheinenden Ab­weichungen verursacht. Das legt das folgende Verfahren zur Bestimmung von p, nahe.

Man führt einen Versperrungsfaktor (1 - Ek2) ein, wo Ek2 den Anteil des Querschnittes, der durch das Totwasser und die Grenzschichten versperrt wird, zum Gesamtquerschnitt ins Verhältnis setzt. Alsdann definiert man einen "effektiven" Öffnungswinkel durch

6.17(12 )

Ist weiter 0n2 der Kontinuitätsmittelwert der Normalkomponente, den man erhält, wenn man in der Kontinuitätsgleichung den ganzen Strömungsquerschnitt einsetzt, so kann man einen Wert 0n2 bestimmen, den man unter Berücksichtigung der Querschnittsversperrung erhält, also

6.17(13)

G.1S Ergänzendes zur Gittertheorie 311

Dieses 0n2 ist übrigens mit sehr guter Näherung gleich dem Impulsmittelwert. Ausgehend von der Vorstellung, daß die tatsächlichen Verhältnisse sehr ähnlich sind denen in einem Rade, in dem ideale Strömung herrschte, dessen Öffnungswinkel aber gleich Lleo wäre und dessen Durchsatzzahl <p mit 0n2 nach 6.17(13) übereinstimmte, gelangt man so zu folgen­dem Verfahren: Man berechnet Llee und 0n2 nach 6.17(12) und(13). Das so bestimmte 0n2

betrachtet man als mit <p "identisch, liest aus dem Kurvenblatt das Busemannsche P16 ab und gewinnt mit

einen Wert P, der mit

8L1e (1 - p) = (1 - P16) __ 0

n 6.17(14)

6.17(14')

das korrekte 0u2 liefert und mit GI. 6.1(11) den Winkel ß2' Greift man nun aber auf die ursprüngliche Definition zurück und setzt für den alle Effekte umfassenden gesamten Minderleistungsfaktor

°u2 PgeR = 0-

/,,200 1 - 0n2 cos ß2S 6.17(15)

wo 0"200 dem ursprünglichen Idealfall entspricht (schaufelkongruente Abströmung, ohne Versperrungseinflüsse), so nimmt dieses Pges einen Wert an, der nicht dem Busemannschen entRpricht. Er hängt von Ck2 ab. Abb. 6.17.5 stellt diese Situation dar. Gezeigt ist zunächst das ursprüngliche ideale Geschwindigkeitsdreieck mit 0"200 als Umfangskomponente, dann gestrichelt dasjenige nach Busemann ohne Korrektur für QuerschnittRversperrung; ihm entsprechen 0u2B und ßZB' Strichpunktiert ist das schaufelkongruente Geschwindigkeits­dreieck mit 0n2 eingetragen, das die Querschnittsversperrung berücksichtigt und dann schließlich, wiederum ausgezogen, das wirkliche Geschwindigkeitsdreieck mit 0u2 und ß2' - Nach dem Laufrad findet ein Ausgleichvorgang statt, vg1. darüber Abschnitt 7.13.

---[u28 ----1 I

1------ [u200---.....,·,

Abb. G.17.5 Theoretisches und wirkliches Geschwindigkeitsdreieck am Austritt aus einem Radialrad.

6.18 Ergänzendes zur Gittertheorie

In die Gittertheorien gehen stets ausgeglichene Strömungszustände in großem Abstand vor und nach dem Schaufelgitter ein. Es mag daher der Eindruck entstehen, daß sich die theoretische Vorstellung in diesem Punkt sehr von der Wirklichkeit entferne, da ja in der Regel in sehr kurzen Abständen andere Schaufelreihen angeordnet sind, weshalb die aus­geglichenen Strömungszustände nirgends existieren. Die Theorie ist aber in diesem Punkt nicht so fragwürdig, wie es scheinen könnte, denn was ja eigentlich interessiert, sind die impulsgemittelten Tangentialkomponenteh der Geschwindigkeit vor und nach dem Gitter. Die Betrachtung ausgeglichener Strömungszustände in großem Abstand vom Gitter ist

312 6 Das Schaufel gitter

aber nichts anderes als ein mathematischer Kunstgriff um eben diese Mittelwerte auf ein­fache Weise zu bestimmen.

Die klassische Betrachtung setzt allerdings voraus, daß die gegenseitige Rückwirkung benachbarter Gitter im zeitlichen Mittel vernachlässigbar sei. Wenn man beachtet, daß eine Potentialströmung im Abstand von einer halben Teilung vom Gitter schon weitgehend ausgeglichen ist, kann man diese Bedingung als bei nichtabgelösten Strömungen hinrei­chend genau erfüllt betrachten. In neuerer Zeit sind allerdings theoretische Untersuchun­gen über diese Rückwirkung durchgeführt worden auf der Basis der unter 6.4 beschriebenen Theorie, so eine unveröffentlichte Studie von Imbach und eine Arbeit von Lienhart [76]. Der numerische Aufwand dieser Rechnungen ist außerordentlich groß und die Ergebnisse sind von beschränkter Aussagekraft. Man hofft, auf diese Weise Aussagen über die perio­dische Variation der Schaufelkräfte zu erhalten, was für die Beherrschung der Schaufel­schwingungen wichtig ist. Die theoretische Lösung dieses Problems würde aber verlangen, daß man die turbulenten, von den endlich dicken Schaufelaustrittskanten ausgehenden Nachlaufgebiete in ihrem Verhalten stromabwärts verfolgen würde, was unsere Möglich­keiten überschreitet. Lienhart findet z.B. für ein typisches Turbinengitterpaar bei einem Gitterabstand von 10% der Sehnenlänge eine relative Schwankung von 2,1 % für die Kraft­komponente senkrecht zur Richtung der Hauptträgheitsachse des kleinsten Trägheits­momentes. Vergrößert man den Abstand der benachbarten Gitter auf 0,2s, so sinkt die Schwankung bereits auf 1 %. Nach der praktischen Erfahrung müssen diese Kraftampli­tuden aber 5- bis 10mal größer sein, und nehmen mit der Vergrößerung des Abstandes nicht annähernd so schnell ab. Für ein Gitterpaar aus Tragflügelprofilen wird beim Abstand O,ls eine Kraftschwankung 3,4%, beim Abstand 0,2s eine solche von 1,8% erhalten. An diesen Zahlen ist beachtenswert, daß sie größer sind als bei stark gekrümmten Turbinen­profilen, was qualitativ richtig sein dürfte.

Das Problem des Ausgleiches der Strömung nach dem Gitter stellt sich etwas anders, wenn am Austritt Strahlablenkung auftritt, d. h. im Überschallgebiet. Die berechnete zu­sätzliche Energiedissipation setzt eine gewisse Stoß konfiguration voraus, die zu ihrer Aus­bildung stromabwärts eine genügende ungestörte Strecke benötigt. Diese wird nicht vor­handen sein, wenn ein weiteres Gitter nachfolgt. Meyer [77] findet z.B., daß von der ganzen durch die Dissipation bedingten Entropieerhöhung in der Austrittsebene etwa 20%, im Abstand von einer Teilung hinter dem Gitter etwa 70% und im Abstand von zwei Teilun­gen etwa 90% beobachtet werden. Wie weit der Verlust dadurch verändert wird, daß ein Gitter in kleinem Abstand nachfolgt, ist wohl kaum in allgemeiner Weise zu beantworten.

In neuerer Zeit wird den Problemen des sog. Tandemgitters erhöhte Aufmerksamkeit geschenkt, vgl. Abb. 6.18.1. Solche kommen vor allem dort in Frage bei Ablenkungen, die mit einem konventionellen Gitter entweder gar nicht (Ablösungsgefahr) oder nur mit un­angemessen großem Verlust vorgenommen werden könnten. Ihr Vorteil beruht wesentlich darauf, daß das zweite Teilgitter eine neue Grenzschicht bildet, die nicht die Grenzschicht am Ende des ersten Teilgitters zur Anfangsbedingung hat. Auch die an den Seitenwänden auftretenden verlustbehafteten Sekundärströmungen können sich weniger stark ausbilden, da die Sekundärströmung des ersten Gitters durch das zweite "aufgeschnitten" wird; sie wird also durch die folgende Teilablenkung nicht weiter verstärkt. Bei der Verzögerung vom Überschall- ins Unterschallgebiet kann man mit Tandemanordnungen u. U. günsti­gere Stoßkonfigurationen erhalten als mit einem einzigen Gitter, vgl. Simon [78]. Die theo­retischen Methoden zur Berechnung solcher Gitter sind grundsätzlich gleich wie beim Einzelgitter, nur werden sie naturgemäß noch verwickelter. Über Tandemgitter siehe z.B. [79], [80].

Ein Problem, das erstaunlich lange kaum beachtet wurde, ist das der Rückwirkung einer in axialer Richtung beschleunigten oder verzögerten Strömung auf die Ablenkungs­eigenschaften eines geraden Schaufelgitters. Die unter 6.9-12 dargestellten Theorien berücksichtigen diesen Effekt ohne weiteres von selbst. Die Singularitätenmethoden, die unter 6.4 und 5 besprochen sind, lassen sich so verallgemeinern, daß sie ihn erfassen. Man

6.18 Ergänzendes zur Gittertheorie 313

muß zu diesem Zweck eine stetige Quellvßrteilung über die ganze axiale Gitterbreite an­bringen, was die Rechnung natürlich kompliziert. Entsprechende theoretische Unter­suchungen finden sich bei [81]-[83]. Besonders besteht ein Bedürfnis, die Wirkung einer

Abb. 6.18.1 Tandemgitter für starke Verzögerung.

solchen axialen Beschleunigung oder Verzögerung auf die Ablenkungseigenschaften der Axialverdichtergitter rasch abschätzen zu können. Solche Unterlagen finden sich bei Stark [84], der Messungen und theoretische Untersuchungen verglichen hat. Es sei

6.18(1)

16'

H'

12'

IIs =2.0 V "" ~- '- ........ '\J -- (·/5'

\. --- t· 5' I--

....... i'- "- 1\ - /,5 1\ r--- " '" '" '" 1\ \ ---1': ...,

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Abb. 6.18.2 Diagramm zur Bestimmung des Einflusses meridionaler Geschwindigkeitsänderungen auf die Ablenkungseigenschaften von Verzögerungsgittern, nach Stark [84].

314 G Das Schaufelgitter

IHt dann Llcxo der Wert bei fl' 1, d. h. die Ablenkung, wie man sie nach den üblichen Theo-rien der ebenen Strömung durch gemde Gitter findet, dann ist

6.18(2)

wobei C aus Abb. 6.18.2 entnommen werden kann. Beachtenswerterweise verschiebt sich auch der optimale Anströmwinkel mit fl'. Eine Zunahme von fl' um 0,1 erhöht das opti­male i (A1Jb. 6.6.9) etwa um 2°.

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