15 Grundlagen der Festigkeitsrechnung

15.1 Einleitung

In diesem Kapitel werden jene Grundlagen zusammengefaBt, die den Festigkeitsunter­suchungen an den verschiedenen Konstruktionsteilen (Schaufeln, Laufer usw.) gemeinsamsind. Besonderes Gewicht wird dabei auf die fur Turbomaschinen typischen Beanspru­chungsarten gelegt, also dynamische Beanspruchung, hohe Temperatur, "\Varmespan­nungen.

Wo nicht besonders einfache (d.h. statisch bestimmte) Beanspruchungsverhaltnissevorliegen, entsteht die Bestimmung des Spannungs- und Verformungszustandes einesBauteils durch die Zusammenfassung der folgenden Teiliiberlegungen :1. Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen am Volumenelement.2. Einfiihrung der kinematischen Bedingungen, d .h. der Forderung, daB bei der Deforma­

tion der Zusammenhang der Volumenelemente erhalten bleibt.3. Einfiihrung des Spannungs- Verformungsgesetzes des Werkstoffes, gegebenenfalls auch

der Warmedehnung.Damit und mit den Grenzbedingungen des Problems (d.h. mit der geometrischen

Gestalt des Korpers, den gegebenen Temperaturen und auBeren Kraften) ist seine voll­standige mathematische Formulierung gegeben. Die Punkte 1 und 2 lassen sich in strengerWeise behandeln, nicht aber Punkt 3, denn dort muf stets mit gewissen Idealisierungengearbeitet werden.

An die Berechnung des Spannungs- undjoder Verformungszustandes schlielst sichdessen Beurteilung an, d.h. man muls prufen, ob bzw. wie lange der Bauteil den gegebenenBeanspruchungen standhalt. Leider ist dies der theoretisch am wenigsten sicher fundierteTeil der Untersuchung, weshalb der Ingenieur im Einzelfalle nach seinem ErmessenSicherheitsfaktoren einfiihren mull. Der Frage der Beurteilungskriterien ist in diesemKapitel besondere Aufmerksamkeit geschenkt.

15.2 Beschreibung des Spannungszustandes, Vergleichsspannung

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem x, y, z liiBt sich der Spannungszustandin einem Volumenelement dx dy dz beschreiben durch die Angabe von 6 Spannungen.Diese sind die Normalspannungen (1x, (11/' (1z (positiv wenn Zugspannung) und die Schub­spannungen T'X1/' T'1/Z, T'ZX' Die Schubspannung T'X1/ weist in die Richtung y und greift an demFlachenelement an, dessen aullere Flaehennormale in die positive x-Richtung weist, vgl.Abb. 15.2.1. Es ist aus Gleichgewichtsgriinden T'1/X = T'X1/' so daf tatsachlich nur 3 verschie­dene Schubspannungen auftreten. In jedem Raumpunkt laBt sich stets ein rechtwink­liges Koordinatensystem 1, 2, 3 finden, derart, daf fur ein ihm entsprechend orientierteselementares Parallelepiped die Schubspannungen auf allen Grenzflachen verschwinden;die zugehorigen Normalspannungen 0'1> 0'2' (13 sind die Hauptspannungen. Die Beziehungenzwischen den Richtungen der Flaohenelemente und den in ihnen angreifenden Spannungenwerden graphisch veranschaulicht durch den Mohrschen. Spannungskreis (Abb . 15.2.1), vgl.auch die ausfiihrliche Darstellung in Biezeno jGrammel [1]. Es ist z.B. T' (Abb . 15.2.1) dieSchubspannung in einer Ebene, deren Elachennormale in der durch die Richtungen (11

W. Traupel, Thermische Turbomaschinen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

15.2 Beschr eibun g des Spannungszustandes, Verglcichsspannung 151

15.2(1)

und 0'2 aufgespannten Ebene liegt und mit a1 den Winkel IX bildet. Dementsprechendexistieren 3 solche, je unter 45° liegende Ebenen , in denen die Hauptschubspannun gen 1'1'

1'2' 1'3 auftreten.

r

uy

t'yx

Tx y

Ux dy Ur

t'x ydx

Tyx

Uy0 Ul UJ

Abb.15.2.1. Links: Volum enelemen t mit Normal- und Schubspannungen ; rechts: Darstellung des Zusammen­hanges zwischen der Orientierun g ex eines Flachenelementes und den in ihm angreifenden Spannungen du rch

den Mohrschen Spa nnu ngskreis.

Da Werkstoffeigenschaften bevorzugt durch Versuche an Probestab en bei einac hsigemSpannungszustand gewonnen werden, besteht da s Bediirfnis, beliebige mehrachsige Span­nungszustiinde auf einen hin sichtlich Werkstoffbeanspruchung gleichwert igen einac hsigenSpannungszust and zurii ckfUhren zu konnen . Was unter dieser Gleichwertigkeit konkretzu verstehen ist , mogen folgende Beispiel e zeigen .

Ein Werk stoff zeige im einachsigen Versuch bis zu einem Wert e* der Dehnung e = ,.1 111(,.1 1 die Liingeniinderung, 1 die urspriingliche Lan ge) elastisches Verh alten , d. h . es bestehtein eindeutiger Zusammenh ang zwischen e und 0' und die Deformation ist reversibel.Uber e* trete Pl astizitiit auf, so daf bei Entlastung eine bleibende Dehnung beobachtetwird. Beim gleichen Werkstoff gibt es mehrachsige Spannungszustande, die ebenfalls denCharakter von Grenzzuetanden haben, bei deren Uberschreiten die Pl astizi tat erscheint.Diese sind dem einachsigen Zustand e*, 0'* gleichwer t ig. - Bei hoher Temp eratu r kriechendie W erk stoffe : Unter zeitli ch kon stanter einachsiger Spannung wird die Dehnung e lan g­sam immer grofser, wobei der Werkstoff so geschadigt wird, daB er nach einer gewissenZeit tB bricht. Ein mehrachsiger Spannungszustand, der den Werkstoff im Zeitintervall dtgleich viel schiidigt wie der genannte einachsige, so daB ebenfalls nach tB der Bruch ein­tritt, ist dem einachsigen gleichwert ig.

Ub er die Berechnung der sog. V erg1eichsspannung o; eines einachsigen Spannungs­zustandes, der einem gegebenen mehrachsigen gleichwertig ist, gibt es verschiedene Hypo­thesen , die oft B ruchhy pothesen , richtiger aber Anstrengungshypothesen gena nnt werd en .Ni cht nur liWt sich der gesuchte Zusammenhan g nicht zwingend herleit en , sondern erist auch nicht fiir alle Werk stofftypen gleich . Fur zah e Werk stoffe, wie sic im Turbo­maschin enbau gebriiuchlich sind, stimmen die beiden folgenden Hypothesen mit der Erfah­rung gut iiberein .

K riterium der Gesta luinderunqsarb eit . Diese durch v. lYlises angegebene Hypothesenim mt an, daB zwei Spannungszustiinde dann gleichwert ig seien, wenn die au f die Volumen­einheit bezogene Gestaltanderungsarbeit fUr beide gleich ist . Das liefer t den Ausd ruck

a; = ;2 Y(ax - ay)2 + (O'y - O'z)2 + (c, - ax)2 + 6(1'~ + 1'; z + 1';x )

fur die Vergleichsspannung, durch die H auptspannungen ausgedruckt also

a; = Y~ y(a1 - 0'2) 2 + (a2 - 0'3) 2 + (0'3 - 0'1) 2 . 15.2(2)

152 Hi Grnndlagen der Festigkcitsrechnu ng

15.2(3)

Schubspannungshypothese. Ausgehend von der Vorstellung, daB die Zerstorung einesWerkstoffes durch Gleitvorgange eingeleitet werde, hat Tre sca die grolite auftretendeSchubspannung Tmax als maBgebendes Kriterium angegeben. Nach Abb . 15.2.1 ist

1T max =""2 (0'1 - 0'2),

mithin die Vergleichsspannung

15.2(4)

wenn 0'1 die groBte, 0'2 die kleinste Hauptspannung ist, stets im algebraischen Sinne ver­standen.

Praktisch ergeben sich zwischen den Aussagen der beiden Hypothesen nur sehr geringeUnterschiede, wie Abb. 15.2.2 zeigt, die fur ebenen Spannungszustand je die GesamtheitHauptspannungspaare 0'1,0'2 darstellt, die einer festen Vergleichsspannung o; entsprechen.

Schubspannungs-CfZ hypothese

HypothesederGestalt6nderungs­arbeit

Abb.15.2.2. Linien gleieher Vergleiehs­spannung Cfv bei ebenem Spannungszu­stand in Funktion der HauptspannungenCf1 und Cf2• Seehseek im Faile der Schub ­spannungshypothese, Ellipse im Faile derHypothese der Gestaltenderungsarbeit

Fur einen gegebenen Spannungszustand fiihrt die Schubspannungshypothese auf ein o'v'

das im Extremfall15% groBer und in keinem Falle kleiner als das der v . Mises-Hypotheseist. Diese letztere scheint mit den experimentellen Ergebnissen etwas besser iibereinzu­stimmen. Demgegeniiber hat die Schubspannungshypothese den Vorteil, daB die Einfach ­heit der Beziehung 5.2(4) - die Vergleichsspannung ist das Doppelte der grolst en Schub­spannung - die Uberlegungen sehr erleichtert, wobei allfallige geringe Fehler auf dersicheren Seite liegen. Warum man ihr heute die v. Mises-Hypothese meist vorzieht, hangtdamit zusammen, daB der Nachteil der komplizierteren Rechnung infolge des Computersnicht mehr ins Gewicht fallt, wahrend die groBere Stetigkeit der Zusammenhange (inAbb. 15.2.2 Ellipse statt Sechseck) gewisse Untersuchungen auch erleichtert. Nachfolgendwird daher iiberall, wo nichts anderes gesagt ist, das v . Mises-Kriterium benutzt.

15.3 Elastisches Verhalten

Elastisches Verhalten ist gegeben, wenn der Verformungsvorgang reversibel ist. Fastimmer setzt man zudem linearc Elastizitat, d .h. das Hookesche Gcsctz voraus. Der all­gemeinere Fall wurde zwar auch untersucht, vgl. etwa Kaudcrer [2], doch sind fur zaheWerkstoffe die Abweichungen nicht sehr bedeutsam, abgesehen von Extremfallen, wieSpannungsspitzen in Kerben, vgl. N euber [3]. Bei cinachsigcm Spannungszustand ergibt

15.;3 Elastisches Verhaltcn

sich dann, wenn in e sogieich noch die Warmedehnung eingeschlossen wird

153

15.3(1)

Hier ist E der Elastizitatsmodul, f3 die lineare Warmeausdehnungszahl und T die Uber­temperatur gegenuber dem Ausgangszustand. Der Nullpunkt der Temperaturangabe istiibrigens unwesentlich, da in der Anwendung des Gesetzes nur Ableitungen oder Diffe­renzen von Temperaturen vorkommen.

Beim dreiachsiqen. Spamnunqszustaoul lauten die Gleichungen, wenn v die PoissonscheQuerkontraktionszahl ist

1Sx = E [O'x - v(O'y + O'J] + f3T,

1Sy = E [O'y - v(O'z + O'x)] + f3T,

1ez = E [O'z - v(O'x + O'y}] + f3T,

2(1 + v) 2(1 + v) 2(1 + v)YXY = E TXY' YYZ = E Tyz, Yzx = E Tzx·

15.3(2)

15.3(3)

15.3(4)

15.3(5)

Die Y sind die Verzerrungswinkel, wie in Abb. 15.3.1 fur eine Ebene dargestellt. Diese Glei­chungen konnen aueh so aufgelOst werden, daB umgekehrt die Spannungen durch dieVerformungsgrollen ausgedriickt werden. Sie lauten dann:

E Ef3(Jx - (1 + v) (1 _ 2v) [(1 - v)sx + v(Sy + sz)] - T_ 2v T,

E Ef3(Jy = (1 + v) (1 _ 2v) [(1- v) Sy + v(sz + ex}] - 1 _ 2v T,

E Ef3a, = (1 + v) (1 _ 2v) [(1- v) ez + v(sx + Sy)] - 1 _ 2v T,

E E ETxy = 2(1 + v) YXy, Tyz = 2(1 + v) Yyz, Tzx = 2(1 + v) Yzx'

15.3(2')

15.3(3')

15.3(4')

15.3(5')

Die GIn. 15.3(2)-(5) lassen sich ohne weiteres auf den ebenen Spannungszustand iiber­tragen, indem dort O'z = 0 und Tyz = Tzx = 0 gesetzt wird. Lost man die so entstehenden

y

rJx--H./-

~y xAbb . 15.3.1. Deformiertes Volumenele- tment und an ihm angreifende Spannungen rJy

154 15 Gru ndlagen der Festigkeitsrechnung

Gleichungen nach den Spannungen auf, so erha lt ma n

E Epax = -1- - 2 [ex + vey] - -l-- T ,- v -v

15.3(2")

E Epay = -1- - 2 [ex + vey] - 'l--T ,

- v - v15.3(3")

ET XY = 2(1 + v) Yxv' 15.3(5" )

Die Poi ssons che Querkontrak tionszahl wird iiblicherweise v = 0,3 gesetzt, doch ist sieeffekt iv einigen Streuungen unterworfen.

15.4 Plastisches Verhalten

In diesem Abschnitt wird zcitunabhamqiqes plasti sches Verhalten behandelt, ni cht aberdas viskoplasti sche ("Kriechen") , das erst bei hoher Temperatur auft rit t . Wenn bei einemgezogenen Probestab die Last ste tig erhoht wird, ents te ht im Spannungs-Dehnungs-Dia­gra mm Abb. 15.4.1a bei den zah en im Turbomaschinenb au gebrauchlichen Werkstoffeneine Kurve der Art OA BCDE. Die Kurve gibt allerdings eigentlich eine ideelle Spannungwieder , die definiert ist als P lfo, wo fo der urspriingliche Querschnitt des spannungslosenStabes ist. Infolge der Verminderung des Stabquerschnit tes verandert sich die wirklicheSpannung gemaB der strichpunkt iert eingetragenen Kurve, die sich indessen im prakti schwichtigen Dehnungsbereich von der theoreti schen (ausgezogenen) nicht merklich un t er­scheidet. Bis A gilt die Deform ation als rein elastisch . Da man heute annimmt, daB dieErmiidung eines Werkstoffes un ter Wechselbeanspruchung durch die Wiederholung pla­stischer Deformationen entsteht, ist die Spannung aw im Punkt A zugleich die Dau er ­wechselfest igkeit. Bei weite rer Ste igerung der Spannung entstehen - zunaohst sehrkleine - bleibende, d .h. plastische Dehnungen , im Punkt B schlieBlich 0,2% , wie durch

Eo

-dr

1--£ ..., / dOeP I , /0I 0_,_0-

II

__---"1~-<{_;:;_--._--------.l.-_f:o f:

a b

Abb. 15.4.1. a) Eff ektives Spannungs-Dehnuugs-Diagramm eines zahen Werkstoffes; b) idealisiertesS pannungs­Dehnungs-Diagramm eines zahen Werk stoffes; bis GF linearelast isches Verh alten, fur grolsere e nach Kurve a

Pl astizit iit mit Verfestigun g oder nach Kur ve b Idealpl asti zitat

15.4 Plastisches Verhalten 155

die von B zur Abszisse zuruokfuhrende Linie gezeigt ist, die einer von B aus erfolgendenEntlastung entsprieht. Die Spannung, die diese bleibende Dehnung 0,2% erzeugt, heiBtnach Konvention die FliefJgrenze (11" oder Streckqrenee. Fiir viele Untersuchungen wirdvereinfachend angenommen, del' Werkstoff verhalte sich bis zum Spannungswert (11"

elastisch. - Von hier ab nehmen die plastischen Verformungen sehr rasch zu. Im Punkt Derreicht die Kraft ihren Hochstwert Pmax und es ist nach Ubereinkunft (1 n = Pmaxlfodie Zugfestigkeit. Die effektive Bruchspannung aBe liegt noch hoher, da beim Bruch, d .h .bei del' Bruchdehnung cn, del' Querschnitt stark eingeschniirt ist. - 1m Bereich del' Druck­spannungen nimmt die Kurve bei zahen Werkstoffen mindestens im praktisch wichtigenBereicheinen sehr ahnliohen Verlauf. - Man beachte, daB die Darstellung Abb. 15.4.1adel' Deutlichkeit halber verzeichnet ist : Die Gesamtdehnungen an del' FlieBgrenze liegenin del' GroBenordnung 0,35-0,7%, wahrend die Bruchdehnung 8-25% erreicht.

An sich liefert die Kurve Abb. 15.4 .1a den Zusammenhang zwischen del' plastischenDehnung cp und (1, siehe etwa Punkt O. Was abel' das Problem del' Plastizitat kompliziert,ist ihr irreversibler Charakter. Nicht nur fuhrt eine von 0 ausgehende Entlastung zu 0'statt zum Ursprung, sondern eine erneute Belastung langs 0'0 liefert nicht mehr dieFlieBgrenze aF' Setzt man umgekehrt den Stab von 0' ausgehend einer Druckbean­spruchung aus, so stellt sich die Fli eBgrenze bei einem etwas verschobenen Wert -a~.

ein, del' sog. Bauschinger-Effekt . Wiederholte plastische Verformungen Iuhren eine fort­schreitende Veranderung del' Werkstoffeigenschaften herbei. Trotzdem gibt es viele te ch­nische Probleme, wo die vereinfachende Annahme einer einmaligen Plastifikation sinn­voll ist, VOl' allem dann, wenn nul' ein kleiner Teilbereich innerhalb eines grofseren Bau­teiles plastifiziert wird. Man p£1egt dann meist del' Rechnung ein vereinfachtes Stoffgesetzzugrundezulegen, wie etwa in Abb. 15.4.1 b veranschaulicht. Man setzt bis aF elastischesVerhalten voraus und von dort an ein Plastizitatsgesetz gemaB einer Geraden a (ent­sprechend einer Dehnungsverfestigung des Werkstoffes) oder gemaf einer horizontalenGeraden b, die dem idealplaslischen Kerper entspricht. Wenn nun eine rein elastizitats­theoretische Rechnung eine ideelle lokale Spannungsspitze a i liefert (die weit iiber del'Bruchgrenze liegen kann) , so entspricht dem effektiv ein Spannungs-Dehnungs-Zustand,del' z.B . durch den Punkt P gekennzeichnet ist . Bei Entlastung erzwingt del' Rest desKorpers, daB die Dehnung wieder verschwindet, womit man zum Punkt Q gelangt. Vonda an spielen sich die Vorgange in reversibler Weise zwischen P und Q ab o

Wie beim elastischen Spannungszustand stellt sich auch hier die Frage des Uber­ganges vom einachsigen auf den mehrachsigen Spannungszustand. Das Problem del' Ver­gleichsspannung wurde bereits behandelt, und es moge das V. Mises-Kriterium zugrunde­gelegt werden. Die Frage abel' nach dem Zusammenhang zwischen einem Hauptspannungs­tripel (11) (}2' a 3 und den zugehorigen plastischen Dehnungen CpI. Cp2, Cp3 erfordert die Ei n­fuhrung eines zusatzlichen Gesetzes, das als FliefJregel bezeichnet wird. Bereits V. Mises [4]hat dariiber eine Hypothese gemacht. In einem Koordinatensystem (11) (12' a3 ist del' geo­metrische Ort aller Punkte, die mit einem Wertetripel die Vergleichsspannung av gemeinhat eine Flache ; del' Vektor mit den Komponenten cpl ' c p2' c p3 steht auf diesel' Flaohesenkrecht. Dies gilt fur jede Anstrengungshypothese, so daB also FlieBregel und Anstren­gungshypothese einander zugeordnet sind. Ziegler [5] gelang es, diese Aussage aufgrundthermodynamischer Prinzipien zwingend zu begriinden.

Urn den Zusammenhang HiI' die zugrundegelegte Anstrengungshypothese aufzufinden,kann man mit Manson [6] folgendermaBen vorgehen. Die plastischen Schubdeformationenstehen sicher in einem festen Verhaltnis zu den Schubspannungen, d .h. es ist

15.4(1)

Ferner bleibt das Volumen eines Raumelementes bei plastischer Deformation stets kon­stant, also

Cpl + cp2 + cp3 = 0. 15.4(2)

156 15 Gru ndlagen der Festigkeitsrcchnung

Schlielslich wird ausgesagt, daB eine plastische Vergleichsdehnung Bpv existiert , fur die einezu 5.2(2) analoge Formel gilt, namli ch

Bp v = V; V( Bp 1 - Bp2 )2 + ( Bp2 - Bp3 )2 + (B p3 - Bp 1)2. 15.4(3)

Diese Aussage impliziert die FlieBregel, und zwar liiBt sich verifizieren , daB sie mitder oben angegebenen iibereinstimmt. Diese direkte Analogie der Formeln 15.2(2) und15.4(3) ist der mathematische Vorteil der benutzten Anstrengungshypo these. Fiir deneinachsigen Fall gilt

15.4(4)

15.4(7)

15.4(6)

15.4(5)

womit 15.4(3) auf Bpv = Bp I zuriickfiihrt. Aus 15.4(1)-(3) ergibt sich zusammen mit15.2(2)

Bp I = ~: [eT1 - : (eT2 + eTa)] ,

Bp2 =:;:[eT2 - ~ (O"a + 0"1)] '

Bp3 =;:[eTa- ~ (0"1 + eT2) ] .

Da man aus dem einachsigen Versuch die Zuordnung von Bp und 0" kennt, ist Bpv!O"v bekannt.Hier sind Koordinatenachsen verwendet , die in die Richtungen der Hauptspannungen

weisen. In einem beliebigen rechtwinkligen Koordinatensystem liiBt sich der Zusarnmen­hang in Tensorschreibweise folgendermalsen darstellen. Es sei

15.4(8)

der "hydrostat ische Anteil" des Spannungszustandes. Dann ist

1 1Bpx 2 Y P."Y 1f Y pxz

1 1 I(".-.) 7:XY

T

u

I3Bpv (eTy - (1) 15.4(9)2 Y w x Bpy 2 Y PYZ = - 7:yX 7:yzav

1 17:z x 7:zy (eTz - (1)

2 Y pzx 2 Y PZY Bpy J

wobei Yp i j = Yp ji' 7:ij = 7:ji ' Der rechts stehende Tensor wird Deviator genannt . - Diehier eingefiihrten Verformungsgr6Ben kennzeichnen nur den plastischen Anteil . Fur eineGesamtdehnung gilt z.B.

15.4(10)

WO Bei der elastische Anteil ist, Bei + (JT also z.B. der Ausdruck nach Gl. 15.3(2)-(4).

15.5 Viskoplastisches Verhalten (Kriechen)

Bei hoherer Temperatur - d .h. bei absoluten Temperaturen, die etwa die halbeSchmelztemperatur erreichen oder uberschreiten - zeigen die Werkstoffe die Eigenschaftdes K riechens : Unter konstanter auBerer Last dehnt sich ein Stab stetig und sehr langsamaus, bis er schlielslich bricht. Im iiblichen sog. Dauerstandversuch wird dieser Vorgan g anProbestaben, also im einachsigen Spannungszustand untersucht. Eine Anzahl von Staben

15.5 Viskoplastisches Verhalten (Kriechen) 157

wird un ter einheitlicher , zeitl ich konstanter Temperatur verschiedenen ebenfalls zeitl ichkonstanten Spannungen 0'1> 0'2' ..• unterworfen. Dabei zeigen die Stabe ein Verhalten, wiees durch die Kurven Abb . 15.5.1 dargestellt wird. Fur die Kurve, die einer Spannung 0'2

entspricht, sind dort die Einzelheiten genauer angegeben.

Abb. 15.5.1. Dehnungsverhalten (Kriechen)eines Zugstabes bei konstan te r hoher Tem­peratur und verschiedenen Spannungen

G1 ' " G4 in Funktion der Zeit t

f e'~-o ---- - - - - - - -'--,--- - - ----

Beim Au£bringen der Last stellt sich sogleich die elastische Dehnung Ce ein. Wahrendeiner relativ kurzen ersten Zeitspanne I erfolgt das Primdrkriechen, wobei die Kriech­geschwindigkeit Be = dce/dt (Index c von engl. "creep") von einem Anfangswert aus ­gehend ab nimmt, bis sie sich bei einem wesentlich kleineren Wert stabilisiert. DaranschlieBt sich das Sekunddrkriechen. an, - Periode II - wobei sich die Kriechgeschwindig­keit nur wenig verandert. In einer dritten Phase - dem 'I'ertiarkriechen, Periode III ­nimmt se wieder zu, bis schlieli lich nach einer Zeit tB der Bruch erfolgt. - Wird dieserVersuch mit einer Anzahl von Staben bei verschiedenen Spannungen durchgefuhrt, soerhalt man fur jede Spannung eine Bruchzeit tB und kann das Ergebnis in einem Diagrammder Art von Abb . 15.5.2 darstellen. Dieses ist die wichtigste Unterlage zur £estigkeits­technischen Bemessung von in hoher Temperatur arbeitenden Bauteilen. Diese miissenstets fur eine gewisse Lebensdauer ausge legt werden, da der Werksto££ unter der Bedingungdes Kriechens nicht unbegrcnzt standhalt.

Das Primarkriechen interpretiert man als einen Setzvorgang innerhalb der anisotropen,ungeordneten kristallinen Struktur des Werkstoffes. Dabei gibt dieser zunaohst mehrnach, bis eine Umlagerung der mikroskopischen Spannungsverteilungen an den Kristal-

2'f 6 8 102

-I--r-17- I-r--.. -..... I I1-001'-- ...~ ....~

.... ~ ..I....

2 3 ,¥2 'f 6 8 10Zeit tfl -

Abb . 1;i.5.2. Zeitbruchlinie (Zcitstandfestigkeitsdiagramm) fur einen austenitischen Chrom-Nickel-St uhl(1l\Idynjcm2 = 10 Njrnm")

200

'f000Mdyrem2000

'faa

1000

t800

600b

158 15 Grundlagen del' Festigkeitsrechnung

15.5(2)

liten stattgefunden hat, bei welcher die widerstandsfahigeren Teile bevorzugt zum Tragenkommen und damit das Nachgeben zuruokgedammt ist, was auf das langsamere Sekundar­kriechen fUhrt. Das 'I'ertiarkriechen, bei dem die Zerst6rung des Werkstoffes rasch fort­schreitet, ist kaum von praktischem Int eresse, da man keinen Bauteil solchen Bedin­gungen aussetzen diirfte, daB dieser Vorgang schon einsetzt. - Fiir das Kriechgesetz, dasman, einen bestimmten Werkstoff und konstante Spannung und Temperatur voraus­gesetzt, in der Form

Be = F(a , T , t) 15.5(1)

schreiben kann, sind verschiedene Ansatze vorgeschlagen worden, vgl. etwa [7- 9]. DiePraxis bevorzugt meist denjenigen von Norton [7], der in dem Spannungsbereich, derauf geniigend lange tB fiihrt , hinreichend genau ist:

Be =B6 {[(fbl~T)r(T)exp [- tR(~)] + [ ab~T)rT)} .

Hier ist B6 = 10- 6 h-1 ein normierter Wert (ein Promille in 1000 h) , wahrend (fbI> (Jb, n i ,

n, tR empirisch zu bestimmende Konstanten sind, die aus dimensionsanalytischen Griindenin der angegebenen Weise eingefUhrt werden. Das erste Glied beschreibt, zum zweitenaddiert, das Primarkriechen un d verschwindet mit zunehmendem t exponentiell. Dannbleibt nur das zweite Glied iibrig, welches das Sekundarkriechen wiedergibt. Das Tertiar­kriechen wird nicht wiedergegeben. Da das Primarkriechen einen kleinen Bruchteil derBeniitzungsdauer eines Bauteiles einnimmt, geniigt es in der Regel, nur das Sekundar­kriechen zu beriicksichtigen , also zu setzen

ee = B6 [ab~T) t T). 15.5(3)

In dieser einfachen Form fehlt die Zeit t, d .h. man ersetzt im Bereich II die Kurve ee(t)(Abb . 15.5.1) durch eine Gerade.

Die Dauerstandfestigkeitskurve (Abb . 15.5.2) kann angenahert werden durch denAnsatz

a =(fB3(T) (::t m(~) , 15.5(4)

wobei wiederum (fB3 und m empirisch zu bestimmende Werte sind und tn eine Normie­rungszeit, zweckmaliig tn = 103 h, wobei aB3 dem Bruch nach dieser Zeit entspricht. DieGIn. 15.5(3) und (4) enthalten die wesentliche Information iiber Kriechverhalten undBeanspruchbarkeit eines Werkstoffes fur vorgeschriebene feste Bedingungen. Abb. 15.5.3gibt ein typisches Beispiel des Kriechverhaltens, woraus auch die Exponenten als Kurven­neigungen erhalten werden konnen. Eine gedrangte Darstellung von Festigkeitswertenmoderner Werkstoffe findet sich z.B . bei Thomas [44].

Der Ubergang von diesen Daten auf den mehrachsigen Spannungszustand geschieht wiebeim unter 15.4 behandelten plastischen Verhalten. Unter Zugrundelegung der v. Mises­Hypothese ist in 15.5(4) als Spannung die durch 15.2(1) gegebene Verg leichsspannung a;einzusetzen. Das Spannungs-Verformungs-Gesetz schreibt sich in Tensorform analog zu15.4(9)

1 • 1 .eex 2"Ycxy 2"Yexz

1 . 1 . 3- [ r1("- - a)Txy Txz le6 o; 1 (ay - d) 15.5(5)2"Yeyx eey 2"Ycyz = 2(fv (fb T yX Tyz

1 . 1 .Tzx TZy (az - (1) J

2"Yc zx 2"Yezy eez

mit (j nach 15.4(8). Die Vergleichsdehnungsgeschwindigkeit ecv ergibt sich durch Ein­setzen von av in 15.5(3) .

15.li Verfuhren del' Iinitcn Elcmento bci El usti zitet 159

Auf einen Umstand sei hier abschlielsend hingewiesen, Trotz des Tertiarkriechens istdie Bruchdehnung eines kriechenden Stabes von der Gro13enordnung 1% und auchweniger, also sehr viel kleiner als beim Zugversuch bei Raumtemperatur. Der Werkstoffvermag also nicht viel Arbeit aufzunehmen und bricht quasi sprode.

I -- f-- -- ---I ...- - -- f--

\" lo- rv -----f--i- 815 'C -- _ 0 _ _

° - f-- - - -- -=~ ::o:870'C .0... :- _ .-..:

I"o--cpo. --- "0-- - f--

91,0 'C -c

-- - .::..- I--f::9.-980'C -;-..:.~

-- t-:- . -

- 0-

650'C IJ-

1-- _JJ-

. -< -- 750'C

_ 4 .-~--($ --e ~- ' 815 'C -~.-

1--- 870'CF:=-----1---- -- ---I---- - -

103·10 ~ 6 8 10 2

Abb. 15.5.3. Beispiel fiir Werkstoffverh alten bei hoher Temperatur (Werksto ff ,Nimonic 105' ): Links: Zu­sammenhang zwischen Spannung und Bruchzeit ; rechts: Zusamm enhang zwischen Spannung und mittlererKriechgeschwindigkeit Be' Del' Ordinatenwert bei tB = 103 h ist aB3; die Neigungen der Geraden im doppelt -

logarit hmischen MaJ3stab liefern die Exponenten m und n

15.6 Verfahren der finiten Elemente bei Elastizitiit

a) Allgemeines

Grundgedanke der F estigkeit srechnung nach dem Verfahren del' finiten Elemente istes, den gegebenen Kerper einzuteilen in eine grofsere Zahl von 'I'eilkorpern einfach er Geo­metrie - die finiten Elemente - deren Spannungs- und Verformungszustand unter ein­fachen Annahmen in allgemeiner Form angegeben werden kann; die Zusammenfugungdieser Elemente unter Beachtung ihrer gegenseit igen Ruckwirkungen ergibt den Gesamt­zustand des Korpers, Fur die F estigkeitsprobleme des lVIaschinenbau es benu tzt manbevorzugt dreieckige Scheiben-, Platten- und Scha lenelemente, sowie Prismen und Ringedreieckigen Querschni ttes, je nach dem Typus des geste llten Problems. Der Vorteil desDreiecks besteht darin , daf man sich damit beliebigen geometrischen K onturen gut an­passen kann.

Abb . 15.6.1 zeigt als Beispiel einen SchaufelfuB und seine E inteilung in Dreiecks­elemente. Die Kriifte, denen dieser Korper ausgesetzt ist , sind der Schaufelzug, die Pres­sung auf die heiden Tragflanken und die an seiner eigenen Masse angreifende F liehkraft .Diese auBeren Krafte denk t ma n sich in die Knotenpunkte des Netzwerkes konzentriert ;dies ist ein vorbereit end er Schritt der Rechnung. Infolge des Fliehkraftfeldes greifen imvorl iegenden Beispiel in allen Knotenpunkten aulsere Krafte an . Wo keine Kraftfelderauftreten, sind nur Punkte der aulieren K ontur Kraft angriffspunkte. - Die geda nklicheStruktur des Verfahrens erhellt aus der nachfoIgenden Aufstellung der aufeina nder ­folgenden Gedankenschritte.1. Einteilung des K orpers in eine geniigende Zahl von Elementen ,2. Konzentration der aulferen Krafte in die Knotenpunkte.

160

Ilftlllllt

15 Grundlagen der Festigkeit srechn ung

f

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Abb. 15.6.1. Beispiel der Einteilung einesSchaufelfulles in finite Elemente

a

F,

Abb. 15.6.2. a) Dreieckselement , ausgezogen in entspannter, gestric helt in verschobener und deformiert erLage; b) an den Dreiecksflanken angrcifende Spannungen ai und Ti und Ersatz derselben durch aq uivalente

Eckenkrafte }'i

3. Fiir den gewahlten Elementtyp kennt man die Beziehung zwischen den Dehnungen- d.h. den Verschiebungen der E ckpunkte, Abb. 15.6.2a - und den Spannungen,wobei Warmedehnung sogleich mitberiicksichtigt werden kann.

4. Einem bestimmten Spannungszustand des Elementes entsprechen bestimmte Flanken­spannungen Gv Tv G2, 1'2' 0'3 ' 1'3' Abb . 15.6.2b.Diese Spannungen werden ersetzt durch ihnen stat isch aquivalente Krafte F i . . . inden Eckpunkten . Nach dem unter 3. Gesagten sind also diese E ckenkrafte in Funktionder E ckenverschiebungen ausdriickbar und zwar bei Linearel astizi tat durch lineareBeziehungen .

5. Formulieren, daB in jedem Knotenpunkt die Summe der E ckenkrafte der in ihmzusammenstollenden Elemente gleich der dort t atsachlioh angreifenden auBeren Kraftsein muB. Dies liefert ein System von ebensovielen Gleichungen wie Knotenpunkt­verschiebungen.

6. Knotenverschiebungen durch Losen des Gleichungssystems bestimmen.7. Nach unter 3. erwahnter Beziehung die Spannu ngen in samtlichen Elemen ten aus den

Knotenverschiebungen berechnen.

15.6 Verfahren dcr finiten Elemente bei Elaatizitat, 161

Man beachte, wie die Grenzbedingungen in diese Rechnung eingehen : Die Vertikal­verschiebungen der Knotenpunkte der Flankenflaohe f sind Nu ll. Ferner muB die Rech­nung aus Symmetriegrimden nur fur eine Halite des SchaufelfuBes durchgefUhrt werden.Von den Punkten der Mittelflache m weiB man, daB ihre Horizontalverschiebungen ver­schwinden.

Nachfolgend wird diese Rechnung genauer dargestellt fiir diejenigen Elemente, diefur die Festigkeitsrechnungen des Turbomaschinenbaues weitaus am haufigsten Anwen­dung finden. Sie zeichnen sich zugleich dadurch aus, daB fUr sie die Zusammenhangebesonders iibersichtlich werden, da sie pro Knoten nur zwei Freiheitsgrade aufweisen.Bei Platten ist man auf drei, bei Schalen auf bis zu sechs Freiheitsgrade pro KnotengefUhrt, was den Formalismus kompliziert, ohne daB indessen die gedankliche Strukturdes Verfahrens eine andere wird . Bei der Herleitung wird von der direkten Betrachtungder Steifigkeitseigenschaften der Elements ausgegangen, wahrend man sich bei dervollig allgemeinen Entwicklung der Theorie auf Variationsprinzipien zu stiitzen pflegt,wobei dann auch die tiber die Festigkeitsrechnung hinausreichende Anwendungsmoglich­keit des Verfahrens sichtbar wird. Fur eine umfassendere Darstellung muB auf die Spezial­literatur verwiesen werden, z.B . [10-12].

b) Dreieckselement bei ebenem Spannungszustand

Vorbereitend mage zuerst das in Abb . 15.3.1 dargestellte Volumenelement betrachtetwerden, das den Spannungen (}x' (Jy, i x y unterworfen ist. Aus dem Bild folgt sogleich,daB der totale Verzerrungswinkel

YXy = Y' + Y" 15.6(1)

betragt. Abb. 15.6.3 zeigt das Dreieckselement, in einem xy-Koordinatensystem, aus­gezogen in ursprunglicher, gestrichelt in verzerrter Lage . Seine Flache lal3t sich aus den

Y

VJYJ

,//~,/ ....- ....- '/....- ....-

....- ....-/'

Y, V,

Y2

X , X 2 X J X

Abb. 15.G.3. Zur Bestimmung der Dehnungenund VerzerrungswinkeI aus den Eckenverschie­

bungen

162 15 Grundlagen der Festigkeiterechnung

Eckpunktkoordinaten gemals

1A = '2 [XI(Y2 - Ya) + x2(Ya - YI) + Xa(YI - Y2)] 15.6(2)

bestimmen, seine Tiefe senkrecht zur Bildebene sei h. Es wird vereinfachend voraus­gesetzt, daB der Spannungszustand innerhalb des Elementes konstant sei. Die Elementemiissen so klein gewahlt werden, daB diese Annahme genau genug ist. Mit den Bezeich­nungen nach Abb. 15.6.3 ergibt sich z.B. die Dehnung in x-Richtung zu

U 4 - ulBz =---- .

x4 - Xl

Nun geht aber aus der Figur unten links in Abb . 15.6.3 hervor, daB

(x4 - Xl) (Ya - Y2) = 2A ,

womit 15.6(3) iibergeht in

und da aus geometrischen Grunden

15.6(3)

15.6(4)

15.6(5)

U - U Ya - YI + U YI - Y2 15.6(6)4 - 2Ya - Y2 a Ya - Y2 '

erhalt man durch Einsetzen in 15.6(5) die erste der beiden folgenden Gleichungen; diezweite folgt in Analogie fur die andere Koordinatenrichtung.

1Bz = 2A [(Y2 - Ya) u l + (Ya - YI) u2 + (YI - Y2) ua],

1By = 2A [(xa - X2) VI + (Xl - Xa) V2 + (X2 - Xl) Va]·

GemaB der Figur in Abb. 15.6.3 unten rechts ist unter Beachtung von 15.6(1)

15.6(7)

15.6(8)

15.6(9)V 4 - VI + Us - U 2Yxy = .

X 4 - Xl Ys - Y2

Die Nenner X 4 - Xl und Ys - Y2 konnen wie oben aus der Dreiecksflaohe A ausgedriicktwerden und die V4 und U s analog zu 15.6(6) aus den Verschiebungen der Eckpunkte. Damitgeht 15.6(9) uber in

1YXy = 2A [(xa - x2 ) u l + (Xl - xa) u 2 + (x2 - Xl) Ua

15.6(10)

Durch die GIn. 15.6(7), (8), (10) sind die Deformationsgr6Ben durch die Eckenverschie­bungen ausgedriickt.

Die Spannungen ihrerseits ergeben sich aus den Deformationen nach 15.3(2")-(5"):

E E{JTaz = -1--2 [ex + vey] - -1--'- v -v

E E{JTay = -1 - -2 [ey + vez] - -1--'- v - v

ETxy = 2(1 + v) YZy ·

15.6(11)

15.G Vcrfahren der finiten Elemente bei Elastiaitat 163

Nun mull schlieBlich noch vom Spannungszustand auf die Eckenkrafte geschlossen werden.Zur Uberlegung ist es zweckmallig, dem gegebenen Dreieck ein Rechteck zu umschreiben(Abb. 15.6.4), in dem der gleiche Spannungszustand herrsche wie im Dreieck. Die Ecken-

Abb, 15.6.4. Zur Bestimmung der aqui­valenten Eckenkrafte aus den Spannungen

im Dreieckselement

krafte werden bestimmt durch die Annahme, daB man die Krafte auf jede Flanke zugleichen Teilen auf die beiden sie begrenzenden Ecken verteilen durfte. Die x-Kompo­nente UI der Eckenkraft in 1 ist also die halbe Summe der x-Komponenten der Krafteauf die Flanken T2 und 13. Diese Flankenkrafte ihrerseits muss en aber der Kraft an derFlanke 23 das Gleichgewicht halten. Die z-Komponente der Kraft auf die Flanke 23 istaber zugleich die x-Komponente der Summe der Krafte auf die E 3 und 2E, und diesebetragt

h(Y3 - Y2) ax - h(x3 - x2) i XY '

Demnach ist U I die Halfte dieses Wertes, und zwar mit umgekehrtem Vorzeichen, da U I

ja mit dieser Kraft im Gleichgewicht sein muB. - In gleicher Weise uberlegt man furdie y-Komponente VI der Eckenkraft in 1. Sie muB der halben y-Komponente der Flanken-kraft 23 das Gleichgewicht halten, und diese Ietztere ergibt sich zu

-h(x3 - x2) ay + h(Y3 - Y2) i XY '

So entstehen die ersten beiden Gleichungen des nachfolgenden Gleichungssystems. Dierestlichen erhalt man in gleicher Weise durch Betrachtung der Verhaltnisse fur dieEcken 2 und 3.

hU I = -2 [(Y2 - Y3) ax+ (x3 - x2) i XY] ,

hVI = 2"""" [(x3 - x2) a y + (Y2 - Y3) i xyJ,

hU2 = 2"""" [(Y3 - YI) ax + (Xl - x3) i xy] ,

hV2 = 2 [(Xl - x3) a y + (Y3 - YI) iXYJ,

hU3 = 2"""" [(YI - Y2) ax + (x2 - Xl) ixyJ,

hV3 =2[(x2 - Xl) a y + (YI - Y2) i xy] ·

15.6(12)

164 15 Grundlagen der Festigkeit srechnung

Da nun durch 15.6(7), (8) und (10) die Deformationen durch die Eckenverschiebungen,durch 15.6(11) die Spannungen durch die Deformationen und dur ch 15.6(12) die E cken­krafte durch die Spannungen au sgedriickt sind, liegt del' vollstandige Zusammenhangzwischen E ckenverschiebungen und Eekenkraften VOl'. An diese l' Stelle ist es zweckmallig,zur Matrizenschreibweise iiberzugehen. Mit den Abkiirzungen

_ Yi - Yk _ Xk - Xia i = 2A ,bi = 2A ,i,j, k = 1, 2,3 zyklisch

und den Definitionen del' Matrizen

15.6(13)

{e} [::] ,YXY

15.6(14)

laBt sich das Gleichungssystem 15.6(7), (8), (10), in del' Form

{e} = [a] {q}

15.6(15)

15.6(16)

schreiben, denn setzt man hier die angegebenen Definitionen ein und fiihrt die Matrizen­mu ltiplikation aus, so hat man das genannte GIeichungssystem VOl' sich . Ebenso wird mit

al

0 bl­

o bl a l

a2 0 b2

o b2 a2

aa 0 bao ba aa

{a}=[::], {T} =[~] , [E] =1 E '1'2 r~ ;: 1 ~ , ]T XY 0 0 0 2

durch die Matrizengleichung

{o'} = [E]{e} - 1E,8 v {T}

das GIeichungssystem 15.6(11) wiedergegeben, SchlieBlich laBt sich mit

U1

­

VI

{F} = ~: ' [aY =

Ua_Va

das GIeichungssystem 15.6(12) in del' Form

{F} = Ah [aY {a}

15.6(17)

16.6(18)

15.6(19)

15.6(20)

schreiben. In del' Tat ist [aY die Transponierte del' Matrix [a], und diese Merkwiirdigkeiterscheint nicht nul' etwa in diesem Beispiel, sondern kehrt in del' Struktur del' Theoriestets wieder. - Die GIn. 15.6(16), (18) und (20) lassen sich durch Einsetzen in eine einzigeMatrizengleichung iiberfiihren :

15.6(21)

15.() Verfahren der finiten Elemontc bei Elastizitat 165

Damit ist der lineare Zusammenhang zwischen den Eckenkraften {P} und den Ecken­verschiebungen {q} ausgedriiokt. Man beachte, daB als Temperatur des Elementes derWert

15.6(22)

einzusetzen ist, wo Tv T 2, Ta die Temperaturen in den Eckpunkten sind.Das Dreieckselement ist hier in cartesischen Koordinaten behandelt worden. Vielen

Bauteilen ist aber ein polares Koordinatensystem r, {} besser angepa13t, vgl. Abb. 15.6.5.Die Radialverschiebungen sind hier die Vi, die Tangentialverschiebungen die ribi. An dieStelle von 15.6(13) treten die Definitionen

15.6(13 ')

Abb. 15.6.5. Dreieckselement in entspannterund verzerrter Lage, in Polarkoordinaten

wahrend die Matrizen 15.6(14) und (15) zu ersetzen sind durch

-r1bl-

{e} [::] ,YDr

{q} =VI

r 2 b2

V 2

':J15.6(14 ')

15.6(15')

An die Stelle der Definitionsgleichungen fur {O'} tritt

{O'} =[::],TDr

15.6(17')

wahrend die Definitionen von {T}, [E] und {F} unverandert iibernommen werden konnen,wenn in {F} die U, Tangentialkomponenten, die Vi Radialkomponenten bedeuten ; [af istwieder die Transponierte von [a]. Dann bleiben die Matrizengleichungen 15.6(16), (18),(20), mithin aber auch 15.6(21) unverandert erhalten. - Alle diese Gleichungen setzen

166 15 Grundlagen der Festigkeitsrechnung

15.6(24)

15.6(25)

hinreichend kleine Abmessungen des Dreieckselementes voraus, da sonst ef) und af) nichtmit hinreichender Naherung konstant vorausgesetzt werden durften. Wegen der gegen­iiber dem cartesischen Koordinatensystem geanderten Vorzeichen beachte man, daB hiereinheitlich der Gegenuhrzeigersinn positiv gerechnet wird.

Ebener Spannungszustand ist moglich bei Korpern, die eine Symmetrieebene besitzenund deren Abmessungen senkrecht zu dieser Ebene (h in unserer Bezeichnungsweise) kleinsind im Vergleich zu den ubrigen Korperabmessungen. Hingegen muB h nicht konstantsein. Es start das Rechenverfahren nicht, wenn die h der einzelnen Dreieckselemente, ausdenen man den Korper zusammensetzt, ungleich sind.

c) Dreieckselement bei ebenem Verformungszustand

Ist die Abmessung h nicht klein gegen die iibrigen Korperabmessungen, liegt also einprismatischer Kerper vor, dann ist kein ebener Spannungszustand mehr moglich. Viel­mehr treten dann stets Spannungen auf in der Richtung von h, die z-Koordinatenrichtunggenannt werde, Hingegen kann in geniigendem Abstand von den Endflachen, die denKerper in z-Richtung begrenzen, ein ebener Verformungszustand herrschen, d.h. ez = const.Es ist wesentlich zu bemerken, daB man sich in diesem Falle bei der Rechnung einenbeliebigen Festwert ez vorschreiben kann, ohne dadurch ax, ay, T XY zu beeinflussen, dennstets kann man den Korper in z-Richtung einer beliebigen Kraft unterwerfen, ohne daBdie genannten Spannungen dadurch beruhrt wiirden ; nur az wird dadurch bestimmt. Umdies einzusehen, schreiben wir die Spannungs-Dehnungs-Gleichungen in folgender Form:

1ex+ Llex = E [ax - v(ay + az + Llaz}] , 15.6(23)

1lOy + Lley = E [ay - v(ax + Clz + Llaz)] ,

1ez + Llez =]f[Clz + Llaz - V(Clx + ay}] .

Nun denke man sich zunachst alle mit LI geschriebenen GraBen weg. Der dann vorliegendeSpannungs- und Verformungszustand sei eine korrekte Losung des Problemes des ebenenVorformungszustandes. Alle GraBen sind dann Funktionen des Ortes, bis auf ez, daskonstant ist. Nun fiigt man durch Aufbringen einer Zusatzkraft in z-Richtung ein iiberden Kerper konstantes Llaz bei. Nach 15.6(25) andert sich dann ez, um den ebenfallskonstanten Betrag Llez, d.h. es herrscht wieder ebener Verformungszustand. DaB Llazauch in 15.6(23) und (24) auftritt, bewirkt Veranderungen der ex und lOy um

15.6(26)

Werden aber alle ex und lOy um den gleichen Betrag verandert, so bedeutet dies, daB diekinematischen Bedingungen nicht verletzt werden, d. h . der Zusammenhang der Volumen­elemente bleibt erhalten. AuBerdem bleiben die Verzerrungswinkel unverandert, so daBkeine Riickwirkung auf Txy entsteht. Da die Gleichgewichtsbedingungen in der xy-Ebenedurch die Beifiigung von Llaz ohnehin nicht beriihrt werden, liegt in der Tat wiederumeine korrekte Losung des elastizitdtstheoretischen Problems vor mit gleichen ax, ay, T XY

wie zuvor. - In den GIeichungen wurde das Temperaturglied weggelassen, das keineVeranderung der Situation bringen wiirde. - Das bedeutet, daB man sich bei der Rech­nung ein beliebiges ez vorschreiben kann, zweckmallig ez = O. Nach Durchfiihrung derRechnung kann stets ein konstantes Llaz uberlagert werden derart, daB die vorgeschriebeneKraftbedingung in z-Richtung erfullt ist.

Im Falle des ebenen Verformungszustandes konnen die GIn. 15.6(7), (8) und (10) un­verandert iibernommen werden, da sie nur durch die Kinematik der Verzerrung des Drei­ecks gegeben sind. Hingegen setzen die GIn. 15.6(11) den ebenen Spannungszustand vor-

15.6 Verfahren der finiten El emente bei El astiz itat 167

aus. Sie mussen ersetzt werden durch die Gleichungen des dreiachsigen Spannungs­zustandes, also 15.3(2')-(5'), in denen jedoch Ez = 0 gesetzt wird. Dann lauten sie

E EfJax = (1 + v) (1 _ 2v) [(1 - v) Bx + VBy] - 1 _ 2v T . 15.6(27)

E EfJGy = (1 + v) (1 _ 2v) [(1 - v) By + VEx] - 1 _ 2v T , 15.6(28)

E EfJo; = (1 + v) (1 _ 2v)V( Ex + By) - 1 _ 2v T , 15.6(29)

E<xy = 2(1 +-;)Yxy. 15.6(30)

Die GIeichung fur Gz wird bei der Behandlung des Dreieckselementes nicht ben6tigt.Damit lauft die Anderung des R echenverfahrens darauf hinaus, daB an die Stelle derMatrix [E] nach Gl. 15.6(17) die Form

15.6(31)

tritt, wahrend der Faktor vor der Matrix {T} gleichzeit ig in

EfJ1- 2v

abzuandern ist. An der Gleichgewichtsbetrachtung, die auf die GIn . 15.6(12) fiihrt, andertsich wiederum nichts. So ergibt sich schlieJ31ich, daB die zusammenfassende Gl. 15.6(21)jetzt die Form

{F} = Ah [aF ([E] [a] {q} - 1 ~2v {T}) 15.6(32)

annimmt, wob ei unter [E] nun die durch 15.6(31) defini erte Matrix zu verstehen ist.

d) R ing element dreieckigen Querschnitte s

Abb. 15.6.6 stellt das Ringelement dar in einem Koordinatensystem z, r , fJ . Fur dieDurchfUhrung der Uberlegungen werden auch die Schwerpunktskoordinaten Z, r und dieSchwerpunktvers chiebungen u, v gebraucht . Sie sind gegeben durch

_ 1Z =3(ZI + Z2 + Z3 )'

it = ~ (u l + u2 + u3 ) ,

_ 1 (r = 3" rI + r2 + r3) ,

v = ; (VI + V 2 + v3 ) .

15.6(33)

15.6(34)

Die K inematik der Verzerrung des Dreiecks kann wiederum von friiher iibemommenwerden, wobei lediglich die folgenden Bezeichnungsanderungen gegeniiber den Formelnfiir den ebenen Spannungszustand vorzunehmen sind : ex --+ ez , ey --+ en YXy --+ Yzr' Neukommt hinzu Ef} . Da die Elementabmessungen als klein vorausgesetzt werden, rechn enwir ebenfalls mit konstantem Spannungszustand und hab en somit insbesondere

Mit den Definitionen

15.6(35)

b_ Zk - Zj

i = 2A ' 15.6(36)

168 15 Grundlagen der Festigkeitsrechnung

r3 uj

fj Uj

Fr,f;

\ II I\ I\ I

n\III

Abb. 15.6.6. Ringelement dreieckigen if

Querschnittes 0 z, Z z; Zj Z

schreiben sich dann die Deformationsgleichungen folgendermaBen, wovon man sich durchVergleich mit 15.6(7), (8) und (10) iiberzeugen kann:

ez = a1u1 + azuz + a3u3 ent spricht 15.6(7)

e, = b1v1+ bzvz + b3v3 ent spricht 15.6(8)

ef) = c(v1 + Vz + v3 ) entspricht 15.6(35)

Yzr = a1v1 + azvz + a3v3 + b1u1 + bzuz + b3u3 entspricht 15.6(10)

Dies wiederum HiBt sich als Matrizengleichung schreiben. Man definiert

{e} -f::1yz,j

U 1

VI

{q} = U zVzU3

V3

15.6(37)

15.6(38)

Dann ist der Satz der obigen vier GIeichungen gegeben durch

{e} = [a] {q}. 15.6(39)

Die Beziehungen zwischen den Deformationen und den Spannungen sind, da raumlioherSpannungszustand herrscht, durch die Gin. 15.6(2')-(5 ') gegeben, wobei die Bezeich­nungen sinngemaf abzuandern sind. Mit den Definitionen

{"} =fq I'}=fq {T } =fflTzr Yzr

- (1 - v) v v 0

Ev (1- v) v 0

[E] = (1 + v) (1 - 2v) v v (1 - v) 0

0 0 01 - 2v

2

15.6(40)

15.6(41)

15.G Verfa hren der fin iten Elemcntc bci Elastizi t iit

schreibt sich dann der Satz der GIeichungen in der F orm

{o'} = [E] {e} - 1 ~f32v {T} .

169

15.6(42)

15.6(43)

Beim Ubergang zu den E ckenkraften ist zu beachten , daB jetzt ein un endlich kleiner,durch den Winkel df} (Abb . 15.6.6) gegebener Ausschnit t aus dem Ring herauszugreifenist. Die Kraftkomponenten sind also Uiri eo, Virid f} , U, und Vi mithin Krafte proLangeneinheit des Umfan ges. Mit dieser Festlegun g mage gesetzt werden :

- UIrl-

VIr l

{}U2r2F = V2r 2

Uara_Vara_

Dann schreibt sich die GIeichungsgruppe, die der Gruppe 15.6(12) entspricht

{F} = A1' [aF [o}, 15.6(44)

wo [aF wieder die Transponierte der durch 15.6(38) definierten Matrix ist. Um sich vonder Richtigkeit dieser Beziehung zu iiberzeugen , mogen die ersten beiden GIeichungenausgeschrieben werden, die durch 15.6(44) reprasentiert werden ; dabei wird noch beid­seitig mit df} multipliziert.

U d A - d f} [r2 - ra za - Z2 ]Ir l f} = r -~ o'z + 2A 'tzr

15.6(45)

15.6(46)

15.6(47' )

- [Za - Z2 0' 0 r2 - ra ]VIr l d f} = A r d f} 2A a, + r

l+ r

2'+ r

a+ 2A 'tzr

1'~ A~= - 2-[(Za - Z2) a, + (r2 - ra) 'tr z] + Tdf} .

Wenn man beachtet, daB links jeweils die Eckenkraft des Abschnittes df} steht und rechtsder Fakto r rdf} genau der Dicke h im ebenen F alle ents pricht , erkennt man folgendes.G1. 15.6(45) ist ihrer Aussage nach identisch mit der erst en der GIn. 15.6(12). Bei 15.6(46)hingegen kommt im Vergleich mit der zweiten der GIn. 15.6(12) noch das Zusatzgliedmit Go hinzu. Dies ist richtig, denn wie Abb. 15.6.6 rechts zeigt, entsteht aus der Spann ung0' 0 auf das dargestellte Segment eine radial nach inn en weisende Kraft vom Betrag A o'o d f}.Diese ist in die stat ische Uberlegung mit einzubeziehen, und auf eine Ecke entfiillt einDrittel dieser Kraft. Die GIn. 15.6(39), (42) und (44) zusammengenommen , liefern

{F} = A 1' [aF ([E] [a] {q} - 1~2v {T} ) ,

womit man auch fur das Ringelement auf die gleiche Form des Zusammenhan ges zwischenE ckenkraften und E ckenverschiebungen zuriickgekomm en ist .

e) Z usammenfugung der Eleme nie, L osung

Da jeder Knoten des Netzes den samt lichen angrenzenden Dreiecken gleichzeit ig an ­gehort und die Dreiecksseiten beim vorausgesetzten Zustand kon stanter Spannungen injedem einzelnen Dreieck gerade bleiben, schlieBen die verformten El emente korrekt an ein-

170 15 Grundl agen der Festigkeitsrechnung

ander an, d .h. die kinematische Bedingung ist von vornherein erfullt. Allerdings wirdhier auch gerade die Genauigkeitsgrenze des Verfahrens (in seiner angegebenen Form)sichtbar. Denkt man sich das Netz auf den unverformten Kerper aufgezeichnet und unter­wirft ihn anschlieBend der Verformung, so werden sich die Linien krummen. Anstattdessenrechnet man mit einem polygonalen VerIauf, der nur dann die Wirkliohkeit genau genugwiedergibt, wenn das Netz geniigend feinmaschig ist.

Die GIn. 15.6(21), (32) und (47') , die je fur verschiedene Falle die Relation zwischenden Eckenverschiebungen und den E ckenkraften herstellen, lassen sich samtlich in derForm

{F} = [K] {q} - [Q] {T} 15.6(47)

darstellen. [K] ist die Steifigkeitsmatrix des Elementes. Die Bedeutung von [K] und [Q]ergibt sich ohne weiteres durch Vergleich mit den angegebenen GIeichungen; die K ii undQi i erhalt man, indem man die dort angegebenen Matrizenmultiplikationen ausfuhrt.

lJl Y,

Abb.15.6.7. Zur Zusammensetzung derKrafte ein einem Knotenpunkt 1

Dabei ist beachtenswert, daB nur die Stoffwerte E , Y, (3 und die Geometrie des Elementesin die Berechnung dieser GraBen eingehen. Ist also einmal die Einteilung des Korpers inElemente vorgenommen, so lassen sich die Matrizen [K] und [Q] fur jedes Element be­stimmen. Nun muf formuliert werden, daB in jedem Knotenpunkt die Summe der dortauftretenden Eekenkrafte gleich ist der gegebenen auBeren Kraft . Das mage aufgezeigtwerden am Fall des ebenen Dreieckselementes, Bei der in Abb. 15.6.7 dargestellten Situa­tion stoBen im Knoten 1 drei Dreiecke I, II und III zusammen. Es ist hier ein Knotenan der auBeren Korperberandung gezeigt, in dem eine Kraft PI mit den KomponentenXl und YI an greife. An einem innerenKnoten stoBen meist mehr als 3 Elemente zusammen,doch sind die Uberlegungen genau gleich . Die auf die 3 Elemente bezogenen GraBen wer­den durch Akzente gekennzeichnet, z.B. U~ , U~', U~". Die zu stellende Bedingung istoffenbar

15.6(48)

Die Matrixgleichung 15.6(47) liefert fur diese beiden Beziehungen folgendes :

K~IUI + K~2VI + K~gU2 + K~4V2 + K~5Ug+ K~6Vg - Q~IT' +

+ K~~UI + K~;VI + K~~ug + K~~vg + K~;U4 + K~~V4 - Q~~T" +

+ K~~UI + K~~VI + K~~U5 + K~~V5 + K~;'U2 + K~~V2 - Q~~T'" = Xl>

K;IUI + K;2VI + K; gU2 + K;4V2 + K;5Ug + K;6Vg - Q;2T' +

+ K;~UI + K;;VI + K;~ug + K;~vg + K ;;U4 + K;~V4 - Q;;T" +

+ K;~UI + K;~VI + K;~U5 + K;~V5 + K;~U2 + K;~V2 - Q;~T'" = YI ·

Diese Gleichungen konnen noch geordnet werden nach Verschiebungen U I , VI usw. Wenn

man no ch set zt

ents te ht die Form

15.6 Verfahren der finiten Elemente bei E lnst izitat

B XI - x, + Q{IT' + Q;;T" + Q;'{T'" 1B = Y + Q' T ' + Q" T " + Q'"T' '' Jy l - I 22 22 22 ,

171

15.6(49)

15.6(50)S nUI + S I2V I + S l3 U 2 + S l4 V2 + + S I .lOVS = B X 1 1S2JU I + S 22V I + S 23U 2 + S 24V 2 + + S 2.lOVS = B yl ' J

Ein solches Gleichungspaar exist iert firr jeden Knoten . F a3t man sie aIle zusammen , soentsteht ein Gleichungssystem , wie es in Abb. 15.6.8 schema tisch wiedergegeben ist. Dieschraffierten Felder mogen dab ei die Gleichungen fur Knoten 1 reprasentieren, die anderendiejenigen fur aIle iib rigen Knoten. Dieses System lii13 t sich wiedergeben durch die Matri­zengleichung

[S] {lj } = {B } . 15.6(51)

J ~2

=

Abb, 15.6.8. Struktur des G1eichungs­systems fU r die samtliehen Knotenver­schiebungen . J c zwei Gleichungen ent-

sprechcn einem K noten nL..- ___'

==

Hier ist [S] die Steifigk eit smatrix des ganzen K orpers, die sich zusammensetzt aus densamt lichen Koeffizienten S i i ' die im Gleichungssystem links erscheinen . Weiter ist {ij}gebildet aus den Ui und Vi der samt lichen Knotenpunkte und {B} au s den Bxi und Byi '

Die Losung dieses Gleiehungssyst emes liefert die samt lichen Verschiebungen . Sic erfolgtmeist nach del' Iterationsmethode von GaufJlS eidel : Man beginnt mit einer ersten Schat­zung der Unbekannten und rechnet dann aus der erst en Gleichung etwa u1 aus, indemman fur aIle anderen Unbekannten die geschatzten Werte verwendet. Ebenso verfahrtman mit del' zweiten Gleichung, au s der man V I berec hnet , dabei ab el' schon das obenbere chnete u1 mitverw endet usw. I st man so durch das ganze Gleichungssystem hindurch­gegangen , so hat man eine bessere Naherung fur {lj} und wiederholt das Verfahren mitdieser.

Mit den Verschiebungen hat man au ch die Dehnungen , mithin die Spannungen. F uraIle Elemente zusammengefa3 t , lauten die Gleichungen

{it} = [E] [ii] [q] - 1E {3 v {T } ,

{a} = [E] [ii] [q] - 1 ~2v {T },

15.6(52)

15.6(53)

die erste fur den ebenen Spannungszust and, die zweite fur den ebenen Verformungszu­stand . Das Zeichen - deutet st ets an, da3 in del' betreffenden Matrix die Gra3en aIlerElemente zusammengefa3t sind. - Die Grenzbedingungen gehen in diese ga nze R echnungso ein, da3 in gewissen Knotenpunkten an del' Kontur des K arpel's gewisse Verschie­bungen vorgeschrieben sind , meist Null.

172 15 Grundlagen der Festigkeitsrechnung

Hier ist von der Vorstellung des ebenen Dreieekselementes ausgegangen worden, dochsind die Uberlegungen beim Ringelement genau gleich. In {F} sind hier Produkte Ui l' i

und Viri zusammengefaBt, weshalb dann z.B. die erste der GIn. 15.6(48) die Form

U~rl + U~'rl + tr;», = Zlr1 15.6(54)

annehmen wurde, wo Zl die z-Komponente der Kraft pro Langeneinheit ist. Die weitereEntwicklung verliiuft aber genau gleich, und fiir die Spannungen gilt G1. 15.6(53). FurPunkte auf der Achse r = 0 versagt das Verfahren tibrigens nicht, da es fur die ProdukteUr, Vr eindeutige Werte liefert. Allerdings ist die gleichmiiBige Verteilung der Flanken­kriifte auf die Ecken im Falle des Ringes eigentlich nicht ganz korrekt. Liegt eine Eckein r v die zweite in r 2 , so miillte eine uber die Flankenfliiche gleichmiiBig verteilte Kraft Feigentlieh folgendermaBen aufgeteilt werden :

F [ r2 - r 1 ]F 2 =2 1 + 3h + r

1) .

Diese Korrektur ist aber offensichtlieh normalerweise sehr klein und um so eher vernach­lassigbar, als ja die Annahme konstanten Spannungszustandes in einem Element ohnehineine Naherung ist. Ist allerdings etwa r1 = 0, so folgt F 1 = F /3, F2 = 2F/3. Die Annahmegleicher Kraftaufteilung auf die Ecken beeinfluBt aber die GesamtlOsung nur sehr wenigund fuhrt hochstens im Bereiche des Zentrums zu kleinen lokalen Fehlern.

Da im FaIle des Ringelementes oft die Fliehkraft als iiuBere Kraft auftritt, moge hiernoch der Ausdruck fur die Radialkomponente R; der Knotenkraft pro Liingeneinheitangegeben werden. StoBen am Knoten i insgesamt n Dreiecke mit Flachen A v und Schwer­punktradien rv zusammen, so ist

15.6(55)

Die hier behandelten Typen von finiten Elementen erlauben die Behandlung einer sehrgroBen Zahl von Problemen. Ebene Dreieckselemente und ebener Spannungszustandkommen in Frage fur Kerper mit einer Symmetrieebene und maBigen Abmessungen hsenkrecht zu dieser. Im polaren Koordinatensystem konnen z.B. solche Probleme behan­delt werden wie Spannungsverteilungen an Scheibenradern mit axial eingesetzten Schaufel­fUBen. Bei groBem h ist der ebene Verformungszustand vorauszusetzen. Schaufelbefesti­gungen aller Art sind meist mit Dreieckselementen berechenbar. Ringelemente werdengegebenermaBen fur Rotoren, rotationssymmetrische Platten und Schalen benutzt, dieauch beliebig dickwandig sein dtirfen. Fur allgemeinste Korpergeometrie oder auch ganzwillkiirliche raumliohe Temperaturverteilung kommen tetraederformige .finite Elemente inFrage. Die Struktur der Theorie bleibt dabei grundsatzlich gleich, nur ist der mathema­tische Aufwand zur Beschreibung von Verformung und Steifigkeit des einzelnen Elementessehr viel groBer. Dementsprechend nahert man sich rasch den Grenzen der Leistungs­fahigkeit der Computer.

15.7 Verfahren der finiten Elemente bei Plastizitat

Sobald plastische Verformung auftritt, kann das Verfahren der finiten Elemente denSpannungs- und Verformungszustand nicht mehr in einem Schritt bestimmen, da es javon der linearen Algebra Gebrauch macht und das Werkstoffverhalten nichtlinear ist.Ein naheliegendes Vorgehen besteht dann darin, von der Vorstellung auszugehen, daBdie Belastung allmahlich in kleinen Schritten aufgebracht wird, jeden Teilschritt linearin einngemalser Abwandlung der im vorangehenden Abschnitt beschriebenen Methode zubehandeln und so Schritt fur Schritt an die gesuchte Endlosung heranzukommen. DieRechnung ist naturgemaf aufwendig.

15.7 Verfahren der finiten Elemente bei Pla stizitat 173

15.7(1)

Bei zeitunabhangiger Plastizitat (also maBiger Temperatur) geniigen fur die Bedurfnissedes Turbomaschinenbaues in der Regel einfachere Methoden. Sehr haufig ist die plastifi­zierte Zone innerhalb eines Bauteiles derart klein, daB die dort auftretende Spannungs­verminderungen gegeniiber dem theoretischen Idealfall des vollstandig elastischen Ver­haltens die Spannungsverteilung im iibrigen Bereich nicht merklich beeinfluBt. In diesemFaIle geniigt es, die Rechnung unter Voraussetzung der Elastizitat durchzufiihren undihr lediglich noch folgende Untersuchungen beizufUgen. Man wird ohnehin aus der rechne­risch erhaltenen Verteilung der Spannungskomponenten auch die Verteilung der Ver­gleichsspannung av nach GL 15.2(1) bestimmen. Wo o; die FlieBgrenze iiberschreitet, wer­den aus den Spannungen die ohne Warmedehnung entstehenden elastischen Dehnungenund daraus gemaB der Definition

Cv ~~ V(SI - C2)2 + (S2 - C3)2 +(S3 - Cl)2

eine totale Vergleichsdehnung Sv berechnet. Zu diesem Cv bestimmt man aus dem tatsach­lichen Spannungs-Dehnungs-Diagramm, Abb . 15.7.1 (oder aus einer Idealisierung des­selben gemaB gestrichelter Eintragung), das effektive zugehorige aveff ' Nun laBt sich aberleicht zeigen, daB fiir die plastische Vergleichsdehnung spv gilt

2(1 + v) o'veffspv = Cv - 3 E' 15.7(1')

vgL [13]. Damit kann im ganzen plastifizierten Bereich cp v berechnet werden und die sist alles, was zur Beurteilung des Beanspruchungszustandes benotigt wird. - Diese Rech­nung beruht auf der Voraussetzung, daB die totalen Dehnungen durch eine lokale Plasti ­fikation nicht verandert werden.

Abb.15.7.1. Reduktion der lokalen Span­nungsspitze durch ortliches FlieBen; nurkleiner Bereich der Plastifikation voraus-

gesetzt

Wo groBere Bereiche innerhalb eines Bauteiles plastifiziert werden, darf die Ruck­wirkung auf die Verteilung der Dehnungen nicht mehr vemaohlassigt werden. - In diesemAbschnitt mogen die Koordinatenrichtungen mit i , j, k bezeichnet werden, und es wirdvon Gleichungsgruppen immer nur die erste geschrieben, da sich die weiteren durchzyklische Vertauschung ergeben . - Da die gesamte Dehnung sich aus elastischer, plasti­scher und Warmedehnung zusammensetzt, gilt

15.7(2)

15.7(3)

174

Mit del' Abkiirzung

15 Grundlagen der Festigkeits rechn ung

Ecpve = - -o'veff

15.7(4)

fiihrt die Aufl osung diesel' Gleichungsgruppen nach o'i und i ii auf

o'i = E [(1 - v + ~) C ' +( e)2 ( e) . 2 l(1 + e)2 - 2 v +2" - (1 + e) v + 2"

+ (v + ~ ) (ci + Ck) - (1 + v+3; )PT],E

i ii = 2(1 + v) + 3e Yi i '

Bei ebenem Spannungszustand tritt an die Stelle von Gl. 15.7(5)

15.7(5)

15.7(6)

15.7(5 ')

Nach einer ersten Durchre chnung, die Elastizi tat voraussetzt, lassen sich also die cv' ausdiesen in plastifizierten Bereich (cv > cF) wie oben die o'vef f> aus 15.7(1') cpv und 15.7(4)e berechnen . Dann liefern 15.7(5) (bzw. (5' )) und (6) berichtigte Spannungen im plastifi­zierten Bereich. Die Spannungen in den samtliohen finit en Elementen nach erster Durch­rechnung mogen in {O'I} zusammengefaBt werden (Zeichen - bedeutet die Zusammen­fassung aller E lemente), diejenigen nach del' eben angege benen Korrekturrechnung in {a}.Dann sei

15.7(7)

am einzelnen Element Differenzeckenkrafte,Diesen Differenzspannungen entsprechenderen Betrag nach 15.6(20) oder (44)

{F'} = A h[aF {o" }, {F'} = AT [aF {o"} 15.7(8)

ist , die linke Gleichung fiir da s ebene, die rechte fiir da s ringfOrmige Element. In allenKnot enpunkten im plastifizierten Bereich sind nun von den dort angreifenden aulierenKraften, die durch {B} wiedergegeben werden , diese Differenzeckenkrafte zu subirahieren ,Das fiihrt auf einen Vektor {B*}, mit dem nun ern eut das Gleichungssystem

[8] {go} = {B*} 15.7(9)

zu losen ist, worauf 15.6(52) oder (53) neue Spannungen {an} liefert. DaB dieses Verfahrenzum Ziele fiihrt , erkenn t man folgendermalien. Durch {a'} und damit durch {F'} ist del'Ausfall an Tragkraft gekennzeichnet , del' dadurch entsteht, daf im plastifizierten Bereichdie effektiven Spannungen kleiner sind als bei elastischem Verhalten. Rechnet man gleich­wohl elast isch, so kann man den F ehler dadurch ausgleichen, daB man ein am Karpel'angreifendes Kraftf eld einfiihrt, das del' Differenz entspricht und die entgegengesetzt eRicht ung hat.

Von dem so berechneten {all} ausgehend, kann erneut mit 15.7 (4)-(6) del' korrigierteSpannungszustand im plast ifizierten Bereich bestimmt werden . Eigentlich ware nun dieR echnung zu wiederholen , doch wird diese Iteration in Anbetracht del' gefordertenGenauigkeit selten notig sein . I st {a"} del' zweite korrigierte Spannungszustand, so ist

15.7(10)

del' Restspannungszustand, del' im Karpel' nach del' Pl astifikation iibrigbleibt , wenn dieauBere Belastung auf Null reduziert und del' ausgeglichene Temperaturzustand wieder -

15.7 Verfahren del' finiten Elemente bei Plastizitat 175

hergestellt ist. - Das grolste aus del' zweiten Spannungsrechnung sich ergebende cpv istdie maBgebende GroBe zur Beurteilung des Beanspruchungszustandes.

Bei viskoplastischem Zustand (Kriechen) geht man iiblioherweise von del' Vorstellungaus, daB im Zeitpunkt t = 0 Belastung und Temperaturzustand hergestellt werden. Dar­aus ergibt sich unter Voraussetzung del' Elaatizitat ein Spannungszustand {aI } . Bei zeitlichkonstanter auBerer Beanspruchung und Temperaturverteilung strebt del' Spannungs­zustand, ausgehend von fa-I} asymptotisch einem Grenzzustand zu, welcher del' gesuchteviskose Spannungszustand ist. Er wird aufgefunden, indem man urn Zeitintervalle LItweiterschreitet und jeweils die Veranderung des Spannungszustandes berechnet.

Da del' Spannungszustand in t = 0 in jedem Element bekannt ist, kennt man aus15.5(5) auch die samtlichen Kriechdeformationsgeschwindigkeiten eci und Yeii' WennIndex eden elastischen Anteil del' Verformung kennzeichnet, sind die totalen Deforms­tionsgeschwindigkeiten (Warmedehnung ist zeitlich konstant)

15.7(11)

ist auch

Leitet man nun die Gin. 15.3(2') und (5') nach tab, so folgt

ai = (1 + v)~1 _ 2v) [(1 - v) (Bi - Bei) + V(B} + Bk - Be} - Bek)] , 15.7(12)

iii = 2(1~ v) [Yii - Ycii]' 15.7(13)

G1. 15.7(12) ist gegebenenfalls durch die entsprechende Form fur den ebenen Spannungs­zustand zu ersetzen. In Matrizenschreibweise erhalt man also in jedem Falle

{a} = [E]({B} - {Be}). 15.7(14)

Hier ist [E] gegeben durch 15.6(17), (31) oder (41), wahrend die {e} und {Be} genau wie die{c} gebildet sind und ebenso {iT} wie [o}. Da nun abel'

{s} = [a] {rj}, 15.7(15)

{ci'} = [E] ([a] {q} - {Be}) . 15.7(16)

Von hier aus gewinnt man die zeitlichen Ableitungen del' Eckenkrafte analog 15.6(21)oder (47) aus

15.7(17)

wobei R = Ah fur das ebene, R = Ar fur das ringformige Element. Wie unter 15.6ebeschrieben, sind diese {F} in allen Knoten zusammenzusetzen und gleichzusetzen denAbleitungen del' dort wirklich angreifenden Krafte, die abel' verschwinden. Trotzdemwird das so entstehende Gleichungssystem inhomogen, denn es enthalt ja die von denbekannten fee} herruhrenden Konstanten. Das Vorgehen nach Abschn. 15.6e fiihrt alsoauf ein Gleichungssystem del' Form

[S] {q} = {O}, 15.7(18)

wobei die Kolonnenmatrix {O} aus den {se} hervorgeht. Die Losung {II} diesea GIeichungs­systems liefert vermoge del' 01. 15.7(16), die fiir die Gesamtheit del' Elemente die Form

15.7(19)

annimmt, die zeitlichen Ableitungen del' Spannungen in allen Elementen, die in {~}zusammengefaBt sind. Damit findet sich abel' del' Spannungszustand {an}, del' sich nacheinem Zeitintervall ,dt einstellt, aus

15.7(20)

176 15 Grundlagen der Festigkeitsrechnung

Ausgehend von {all} wird das gleiche Verfahren wiederholt, woraus der Spannungszustandnach einem weiteren Zeitintervall folgt, bis schlieBlich der asymptotische Zustand prak­tisch erreicht ist. Ist dieser {iT oo} , so ist

15.7(21)

der Restspannungszustand, wenn die Beanspruchung des Bauteiles verschwindet und erwieder auf Umgebungstemperatur gebracht wird.

15.8 Kriechen unter variablen Bedingungen

Unter 15.5 wurden die Gesetze des viskoplastischen Verhaltens unter der Voraus­setzung zeitlich konstanter Bedingungen angegeben. Im praktischen Betriebe werden sichaber Temperatur und Spannungszustand zeitlich verandern. Daraus entsteht das Problem,wie die Lebensdauer eines Bauteiles in diesem FaIle vorausgesagt werden kann, indemman sich auf Versuchsresultate stiitzt, die bei konstanten T und (1 gewonnen wurden.Diese Frage kann nur aufgrund einer Hypothese beantwortet werden, deren es mehreregibt, vgl. etwa [14-17]. Von Extremfallen abgesehen, liefern sie ahnliche Ergebnisse,und da man ohnehin groBe Sicherheitsfaktoren einrechnen muB, ist es zweckmafsig, mitder "strain hardening"-Hypothese zu arbeiten, die aussagt, daB die Werkstoffschadigungwesentlich von der Kriechdehnung abhangt. Die Hypothese ist plausibel und scheint mitder Beobachtung gut iibereinzustimmen, kann allerdings Relaxationsvorgange bei Ent­lastung (Riickkriechen) nicht wiedergeben. Dieser Fehler liegt auf der sicheren Seite;wiirde man dies in die Betrachtung einsohliellen, so mulste man auch bei Wiederbelastungbis zu einem gewissen Grade ein erneutes Primarkriechen einfuhren, was unvertretbareKomplikationen ergabe. - Nachfolgend sollen unter den Spannungen und Dehnungenimmer sogleich die Vergleichswerte verstanden werden.

Ist der Werkstoff im Zeitpunkt t einer Temperatur T und einer Spannung (1 unter­woden, so kriecht er im Zeitintervall dt urn

de; = ec((1 , T) dt. 15.8(1)

Ist nun B;B die in Abb . 15.5.1 angegebene ideelle Kriechbruchdehnung, und setzt man dieWerkstoffschadigung der Kriechdehnung proportional, so ist die durch folgende Beziehungdefinierte GroBe D ein unmittelbares MaB fur die Werkstoffschadigung :

dD = dBc = Bcdt = dt 15.8(2)- B~B Bc tB((1 , T) tB((1 , T) .

Offenbar ist die Lebensdauer aufgebraucht wenn die so definierte GroBe den Wert 1erreicht. Wenn man tB aus dem Ansatz 15.5(4) berechnet, folgt

tB = tn [(1B~T) r<Tl, 15.8(3)

mithin

f t ( (1 )m dtD- --- (1B3 tn'

o15.8(4)

Mit bekanntem zeitlichem Verlauf von (1 und T, somit auch (1B:l und m, laBt sich diesesIntegral berechnen, und die Lebensdauer tL ist gegeben durch die Bedingung

tL

j ( (1 )m dt- --1(1B3 tn - .o

15.8(5)

15.8 Kriechen unter variablen Bedingungen 177

Es werde ein von 0 bis 1 variierender Zeitparameter x eingefiihrt und angegeben, daBwahrend eines anteiligen Zeitintervalles dx die Temperatur T und die Spannung (J betrage.Die Kurven T(x) und (J(x) (Abb . 15.8.1) konnen also aufgefaBt werden als die durchschnitt­lichen Verteilungen von T und (J iiber der Zeit bei der vorgesehenen Betriebsweise. Dannist 15.8(4) auch in folgender Form darstellbar:

1

J J C,:Jm

dx,o

15.8(6)

Da (JB3 und m von T abhangen, ist der Integrand berechenbar, sobald die Funktionen T(x),(J(x) gegeben sind, mithin also auch J. Damit laBt sich angeben, wie iiber langere Betriebs­perioden D mit t zunimmt.

Abb. 15.8.1. Darstellung der Haufigkeitdes Auftretens von Spannungen a undTemperaturen T wahrend des Betriebes:dx ist die Zeitdauer, wahrend der a undT herrschen, wenn die gesamte Betriebs-

zeit durch x = 1 gekennzeichnet wird o

dx

x

15.8(7)

Ein besonderes Problem ist das der Verkiirzung der Lebensdauer eines Bauteilesdurch die Spannungspitze an einer Kerbe. Abb. 15.8.2 zeigt die Situation. Es wird an­genommen, daB die Zonen erhohter Spannung derart klein seien, daB die Kriechgeschwin­digkeit praktisch allein durch die konstante Spannung (Jo diktiert werde. Es seien CeO undCemax die eIastischen Dehnungen, die sich entsprechend den Spannungen (Jo und (Jmax

sofort einstellen. Dann setzt das Kriechen ein und zwar steigt nach Voraussetzung dieGesamtdehnung in Funktion der Zeit fUr alle Fasern gIeich rasch an und wird daher imDiagramm durch zwei paralleIe Geraden dargestellt. Die Kriechgeschwindigkeit Be derurspriinglich mit (Jmax beIasteten Faser ist

. C:B 1 doCe = tBO - E dt .

Abb. 15.8.2. Schematische Darstellung der Verhaltnissebeim viskosen Abbau einer Spannungsspitze t

178 15 Grundlagen der Festigkeitsrechnung

Das erste Glied ist die Kriechgeschwindigkeit im Gesamtquerschnitt, das zweite - daspositiv ist, wei! daldt < 0 - die zusatzhohe Kriechgeschwindigkeit durch allmahlichesZurlickgehen des elastischen Anteils ee' Es mage gesetzt werden

aS =-,

aotT=-,

tBO15.8(8)

wo tBO die Lebensdauer entsprechend ao ist. Wenn man beachtet, daB sco = ecB tBO, laBtsich Gl. 15.8(7) auch schreiben

q; = 1 _ ~ da = 1 _ aotBO !:.- (.!!-.-) = 1 _ eeO dSEe:B dt Ee:B dt 0'0 e:B dT .

Anderseits fiihrt das Gesetz Gl. 15.5(3) auf

q; = S" ,

Aus del' Gleichsetzung von 15.8(9) und (10) entsteht

dS + e:Bsn _ e:B =0.dT eeO eeO

15.8(9)

15.8(10)

15.8(11)

Es sei weiter*ecB = /- ,

eeOfJ =/T. 15.8(12)

Dann geht die Differentialgleichung libel' in

dS + sn _ 1 = 0dfJ

mit del' AnfangsbedingungS(O) =~ ,

15.8(13)

15.8(14)

wo ~ = o'maxlao del' Formfaktor del' Kerbe ist. Ihre Losung ist III implizierter Formgegeben durch

IX dfJ

fJ=.f sn-1's

denn dann wird in del' Tat fJ = 0 wenn S = ~.

Nun ist weitel' unter Verwendung von 15.8(3)

/:0 = (~!r =s-m,

so daB 15.8(2) auch geschrieben werden kann

smdD = -t- dt = 8 m da.

BO

Den Wert D = 1 erhalt man bei einem Wert T = TL, del' gegeben ist durch

15.8(15)

15.8(16)

15.8(17)

15.8(18)

Die GraBe TL = tLltBo ist nichts anderes als die relative Verkurzung del' Lebensdauer,die dadurch eintritt, daB ursprimglich eine Spannungsspitze vorhanden war, die erst all­mahlich abgebaut wurde; TL = 0,7 bedeutet also z.B., daB die Lebensdauer auf 70%vermindert wird. Gl. 15.8(15) liefert den Zusammenhang S(fJ), libel' 15.8(12) also auchS(T) und damit 15.8(18) TL ' Die in die Rechnung eingehenden Parameter sind ~, m, nundf. Abb. 15.8.3 stellt so erhaltene Ergebnisse dar.

15.8 Kriechen unter variablen Bedingungen 179

Man beachte, daB eine Spannungskonzentration in eng begrenztem Bereich voraus­gesetzt wurde. Beglinger [18] fiihrt eine allgemeinere Untersuchung aus iiber den Abbauvon Spannungsspitzen in stabfOrmigen Korpern bei Biegebeanspruchung, die diese Vor­aussetzung Iallenlalst.

Jz

f-10

s

f-sm «:

0,2

O,·'----'-----::----'---!.s 1~--'-----::----'---:!J1~~-~-~-~

a- a- (X-

3

m-'fn-S

f-10f=sm-I;f-1

0,2

0, J 1 J ,:------'--;,-~~~

(X- (X--- a-

Abb.15.8.3. Faktor T, der die Verminderung der Lebensdauer durch asymptotischen Abbau einer Spannungs­spitze kennzei chnet

Ein verwandtes Problem ist das der Relaxation, wie sie insbesondere bei vorgespanntenBolzen in erhohter Temperatur auftritt. Der Korper verandert dabei seine Lange nicht,doch sinkt die Vorspannung infolge des Kriechens allmahlich ab o Es gilt wiederumGl. 15.8(7), doch ist i:: = 0, folglich

15.8(19)

Fiir Be benutzen Odqvist und Hult [19] eine gegeniiber dem einfachen Potenzansatz erwei­terte Formel. Es ist in diesem Zusammenhang notwendig, das Primarkrieohen zu beriick­sichtigen, denn die Spannung fallt infolge dieses Effektes rascher abo Die Formel lautetdaher

15.8(20)

Dieser Ansatz entspricht der Dehnungsverfestigungshypothese. Mit fl ist ein zusatzlicherExponent eingefiihrt, der die Anpassung an die Versuchsergebnisse erlaubt. - Nun istdie Gesamtdehnung die Summe aus elastischer und Kriechdehnung, diese letztere also

(J

Ce = 10 - E' 15.8(21)

15.8(22)

Da aber 10 konstant gleich der Anfangsdehnung ao/E ist, schreibt sich 15.8(21) auch

1Ce =Jjf(ao - a) .

180 15 Grundlagen der Festigkeiterechnung

Wenn man dies in G1.15.8(20) einsetzt und die so entstehende Beziehung wieder in 15.8(19),erhalt man

~; = - KEI-'+lan( l1o - a)-I-'.

Dies fiihrt auf die Integralform

15.8(23)

a.f (aD:: (1)1-' dl1 = KEI-'+lt .a

15.8(24)

Links steht ein in Funktion von a berechenbarer Ausdruck, die rechte Seite ist proportio­nal t. Damit ist der gesuchte Zusammenhang zwischen 11 und t aufgefunden.

15.9 Zyklische Beanspruchung ohne Kriechen

Bei zyklischer Beanspruchung tritt eine Ermiidung des Werkstoffes ein , die man heutezuriickfiihrt auf wiederholte plastische Verformungen. Im Gebiet mafliger Temperatur,wo das Material noch nicht kriecht, besitzt man besonders nach den grundlegendenArbeiten von Manson und seinen Mitarbeitern einen verhaltnismaliig guten Uberblickiiber die Erscheinungen, vgl. daruber die zusammenfassende Darstellung in [6], an diewir uns im wesentlichen halten.

Es werde zunachst einachsiger Spannungszustand vorausgesetzt und eine zyklischeBeanspruchung betrachtet, bei der plastische Verformung auftritt. Abb . 15.9.1a veran­schaulicht den Beginn des Vorganges im Spannungs-Dehnungs-Diagramm. Der Vorgangkann zunachst nicht streng zyklisch sein, selbst wenn die von aullen aufgepragten Bedin­gungen es sind, was schon dadurch gegeben ist, daB die Charakteristika des Werkstoffes- insbesondere seine FlieBgrenze - unter dem EinfluB der plastischen Verformungensich verandern . Gegliihte Stahle und auch austenitische Werkstoffe haben im allgemeinendie Eigenschaft, sich bei wiederholter plastischer Verformung zu verfestigen, d.h. I1F wirdgroBer . Kaltgereckte Stahle zeigen ein gegenteiliges Verhalten. - Wird der Bean­spruchungszyklus sehr oft wiederholt, so stellt sich asymptotisch auch ein bestimmterSpannungs-Verformungs-Zyklus ein (Abb. 15.9.1b) . Er hat bei zahen Werkstoffen (gleichesI1F fiir Zug und Druck) stets den in der Figur dargestellten Charakter, d. h. die Spannungbewegt sich zwischen - aA und +aA (Amplitudenwert), denn die plastische Verformung

N

d

L1E:

c

0' 11 ,111

I1A

III

0 IE:

1.10'

I1A -L1-;dJ·0

a b

Abb. 15.9.1. a) Spannungs-Dehnungs-Diagramm der Anfangsphase bei zyklischer, iiberelastischcr Beanspru­chung; b) Spannungs-Dehnungs-Diagramm im asymptotischen Grenzfall; c) Spannungsbereich Aa in Funktiondes Dehnungsbereichea AE: fur den asymptotischen Zyklus; d) Lla fur festes LIE: wahrend des Uberganges zum

asymptotischen Zustand

1!l.9 Zyklische Beanspruchung ohne Kriechen 181

muf ja bei Stauchung und Streckung gleich groB sein. Bevor dies erreicht ist, ist derasymptotische Ubergang nicht abgeschlossen, in dessen Verlauf sich im allgemeinenplastische Verformungen aufsummieren, derart, daB der Mittelpunkt des Zyklus schlieB­lich nach e = (j zu liegen kommt.

Der sich einstellende Zyklus ist gekennzeichnet durch einen Spannungsbereich Lla = 2aA

und einen Dehnungsbereich Lis. Dieser letztere zerfallt in einen elastischen Anteil LIse undeinen plastischen Anteil sp gemaB

15.9(1)wo

15.9(2)

Man beachte, daB bei Plastizitat Dehnung und Dehnungsbereich identisch werden, sodaB nur sp geschrieben werden mull.

Abb. 15.9.1c stellt Lla in Funktion von Lis dar. Das Diagramm ist folgendermaBenaufzufassen. Fiihrt man Versuche mit verschieden starker zyklischer Verformung Lisdurch und tragt einander zugeordnete Lis und Lla auf, so erhalt man das dargestellteDiagramm, das nicht identisch ist mit einem iiblichen Spannungs-Dehnungs-Diagramm.Dabei ist zunachst vorausgesetzt, der Versuch werde so durchgefiihrt, daf eine Variationder Dehnung zwischen -Lls/2 und + Ll s/ 2 erzwungen werde, so daf also (j = 0 (Lis istkonstant) .

Abb . 15.9.1d veranschaulicht den Ubergang, d.h. sie gibt Lla in Funktion der Anzahl Nder Zyklen. Der Anstieg der Kurven kennzeichnet die Verfestigung. N B ist die Zyklen­zahl bis zum Bruch. Bei N = N B/2 und oft schon sehr viel friiher ist der asymptotischeEndwert Lla praktisch erreicht.

Wichtig ist nun offensichtlich die Kenntnis der Zyklenzahl N B' Dariiber konnten auf­grund umfangreicher systematischer Messungen Unterlagen beschafft werden . Fiir jedenVersuch sind gemaB Abb. 15.9 .2 links LIse und sp mit dem gesamten Lisbekannt und ebenso

oAbb. 15.9.2. Elastischer Dehnungsbereich LIce und plastische Dehnung lop in Funktion der Zyklenzahl N B

bis zum Bruch. Naeh Manson [6]

das zugehorige N B' Tragt man nun fur sich die sp und LIse in Funktion von N Bin doppelt­logarithmischem MaBstab auf, so ordnen sich die Punkte auf Geraden, wie in Abb. 15.9.2dargestellt. Das bedeutet, daf man Potenzansatze der Form

Gsp = 1I1NiJ, LIse = -Nlfl 15.9(3)

E

machen kann mit 111 und Gals Koeffizienten und z und y als Exponenten, die aus denVersuchen folgen . Zwischen der Lage dieser Geraden und konventionellen statischen

182 15 Grundlagen der Festigkeitsrechnung

F estigkeitswerten eines Werkstoffes konnte eine Korrelation gefunden werden. Es seien(JB und (JBO die Zugfestigkeit und die effektive Bruchspannung gemali Abb. 15.4.1 und(Jw die Dauerwechselfestigkeit , d .h. die Spannungsamplitude, die der Werkstoff bei reinerWechselbeanspruchung unbesohrankt aufnehmen kann. Diese Grenz e wird etwa bei einerZyklenzahl von N B = 107 erreicht. Schliel3lich sei D die Duktilitat des Werkstoffes,definiert durch

15.9(4)

wo fo der urspriingliche Stabquerschnitt, fB derjenige beim Bruch im elementaren Zug­versuch ist. Dann gelten folgende Korrelationsgleichungen:

oder

Llse(NB = 0,25) = 2,5(JBO/E,

Ll se(NB = 105) = 0,90'B/E,

Llse(NB = 107) = 2(Jw/E.

15.9(5)

15.9(6)

15.9(6')

Durch 15.9(5) und (6) oder (5) und (6') ist die Gerade Llse(NB) (doppeltlogarithmisch)festgelegt. Die Verwendung von 15.9(6') ist vorzuziehen, wenn man gute Unterlageniiber o'w hat. Wo nicht, implizieren die GIn. 15.9(6) und (6') eine Relation, die zusammenmit den nachfolgenden Angaben iiber sp die Dauerwechselfestigkeit (Jw abzuschat zengestattet. Die Korrelationsgleichungen fiir sp lauten

sp(NB = 10) = 0,25Do.75,

(N = 104) = 0,0132 - Llse(104)

sp B 191',

15.9(7)

15.9(8)

Dieses Verfahren laBt sich auch gleichungsmallig ausdriicken . Bei Verwendung von 15.9(5)bis (8) erhalt man

G _ 9 ((JBO)0.9--(JB - ,4 (JB

Y = -0,083 _ 0,166 log (0':;),

M = 0,827D [1 - 82 (C;;) (:e;fI79f I/3,

Z = -0 52 - ~log D + ~log [1 _ 82 ((JB) ((JBO)0.179], 4 3 E (JB '

wahrend die Verwendung von 15.9(5), (6'), (7), (8) auf

((J )0.92

G = 2,5 0'w :: '

y = -0,013 - 0,13 log ((JBO) ,(Jw

M = 0,827D [1 - 166(0'; ) (:~:t:194rI/3 ,

_ 1 1 [ ((Jw) ((J BO )0.394]z =- 0,o2 - 4 Iog D+ g log 1- 166 Iff" (Jw

fiihrt . Stets folgt dann aus

LIs =MN~ + ; N~

15.9(9)

15.9(10)

15.9(11)

15.9(12)

15.9(13)

15.9(14)

15.9(15)

15.9(16)

15.9(17)

15.9 Zyk lische Beanspruchung ohne Kriechen 183

der gesuchte Zusammenhang ,1e(NB), der in N B = 107 ubergeht in ,1elV = 2a1V1E. Furgrolseres N B halt zls diesen Wert konstant bei. Als GroBenordnungen findet man Z R:j -0,6,'Y R:j -(0,06 -;-0,16). Ein Anhaltspunkt ist auch ,1e(NB = 104 ) R:j 0,01. Abb . 15.9.3 zeigtein Beispiel einer so gefundenen Kurve. - Uber die Genauigkeit der Korrelation magZahlent afeI15.9.1 eine Vorstellung geben. Es sei zls, das nach dieser Rechnung N B zu­geordnete zls und ,1em der Wert nach Messung. Dann ergibt sich folgendes Bild :

Zahlentafel15.9.1

102 1()3 104 105 106

0,63-1,4 0,87-1,3 1,0-1,3 0,9-1,4 0,8-1,5

10'

~~

~

LI c. r\ Llc

~2

I'\. ,- 0-

f\, cp

J 11

1,-70-'

Abb . 15.9.3. ElastischerDehnungsbereich LIE.,plastische Dehn ung Ep und Gesamtdeh­nungsbereich LiE in Funktion der Zyklenz ahlN B bis zum Bruch; ausgezogen einachsiger,gestrichelt dre iachsiger Spannungszustand.

Nach Munson. [6]

15.9(19)

15.9(18)

Diese Unterlagen setzen an sich die Mitteldehnung b = °voraus. Die Messungenzeigen aber, daB fur N B > 102 der Ei nfluB dieser GroBe verschwindet, d .h . er ist im ganzenpraktisch interessierenden Bereich unwesentlich.

Bemerkenswert ist, daB diese Ko rrelation auch erlaubt, die Kurve ,1a = 1(,1e) zurekonstruieren. Aus 15.9(3) folgt durch Elimination von N B

ep = M (,1ee ~ty•

Wenn man beachtet, daB zls, = ,1alE und einsetzt in 15.9(1), folgt

_ ,10' (,1a )z/yzls - E + MG '

Zur Ubertragung dieser Ergebnisse auf den mehrachsigen Spannungszustand gibt Manson[6] das folgende Verfahren an , das zwar begriindet wird, abe r nicht ohne hypothetischeAnnahme auskommt. Wahrend einachsig gilt zls, = ,1alE , ist mehrachsig

2 ,10' ,10',1e. =3(1 +v)E = 0,867 E ' 15.9(20)

Die K urve ,1e.(NB) ist also zu ersetzen durch eine , die urn den Faktor 0,876 tiefer liegt,und demgemaf korrigiert sich auch die Kurve ,1e(NB), vgl. die gestrichelte Eintragungin Abb. 15.9.3. Die maBgebende Verg leichsdehnung, auf die diese berichtigte zls-Kurveanzuwenden ist , betragt

zls = V: V[,1 (e1 - e2)]2+ [,1(e2 - e3)]2 + [,1(e3 - e1)]2 . 15.9(21)

184 15 Orundlagen der Festigkeitsrechnung

Die unter der Wurzel in eckiger Klammer erscheinenden GroBen sind die groBten wahrendeines Zyklus auftretenden Hauptdehnungsdifferenzen, von denen vorausgesetzt werdenmuB, daB sie alle gleichzeitig auftreten.

Haufig tritt auch der Fall einer zyklischen Beanspruchung auf, die zwar die Dauer­wechselfestigkeit iiberschreitet, aber doch im elastischen Bereich bleibt. - Streng­genommen miiBte man von einem quasielastischen. Bereich reden, denn die reine Tatsachedes Bruches nach einer endlichen Zyklenzahl beweist schon das Vorhandensein von wennauch sehr kleinen plastischen Verformungen. - Abb. 15.9.4 stellt den allgemeinen Falldieser Art dar. Der Mittelspannung (Jm iiberlagert sich eine Spannungsamplitude (JA'

o e Abb. 15.9.4. Spannungs-Dehnungs-Dia­gramm fiir zyklische Beanspruchung im

elastischen Bereich

AuBerdem kann eine einmalige anfangliohe Plastifikation auftreten, wie die mittlere Deh­nung () zeigt. Ausgangspunkt fiir die Behandlung dieses Falles ist das Dauerwechsel­festigkeitsdiagramm, auch Goodman-Diagramm genannt (Abb. 15.9.5) . In der Darstel­lungsweise links zeigt es in Funktion von (Jm diejenigen Grenzwerte der Oberspannung(Jrnax = (Jm + (JA und der Unterspannung (Jrnin = (Jm - (JA, die eben noch wahrend einerbeliebig groBen Zyklenzahl auftreten konnen, Die diinn eingetragenen Kurven entsprechenden Versuchsergebnissen. Ublioherweise schneidet man aber den praktisch ohnehin nichtverwendbaren Bereich iiber (JF ab und ersetzt die Linien durch einen entsprechendenPolygonzug, wie mit dickem Strich angegeben. Oft bevorzugt man heute die rechts an­gegebene Darstellungsart, die unmittelbar (JAin Funktion von (Jm wiedergibt. Die dickdurchgezogene Linie entspricht dem Polygonzug links. Auf der Ordinatenachse erscheint

~ ---- - - ----- ~

O'max

/

;: r~S0 - - - - --

Abb, 15.9.5. Dauerwechselfestigkeitsdiagramm (Goodman-Diagramm) in zwei verschiedenen Darstellungsarten

15.9 Zyklisehe Beanspruehung ohne Krieehen 185

die Dauerwechsel£estigkeit aw. Verbindet man diesen Punkt gradlinig mit aB auf der Abs­zisse, so entsteht die gest richelte Grenzlinie, durch die man oft die wirkliche erset zt , eineVereinfachung, die auf der sicheren Seite liegt. In dieser Naherung kennzeichnet dannfur positive am die schraffierte Flache den Bereich von Beanspruehungsfallen , bei denenunbegrenzte Leb ensdauer gewahrleist et ist.

rr,,{OJ

~o --------------A-:;CI --- - - -I, I ·_ ·_ ·-O'wI tI II II[ 1[' B

0'8

15.9(22)

Abb.15.9.6. Diagramm zur Best immung der Zeitweehselfestigkeit naeh Manson [6J

Dieses Diagramm benutzt Manson [6] als Ausgangspunkt, urn daraus auf intuitivem"Vege ein Verfahren zur Behandlung von Fallen hoherer Beanspruchung zu gewinnen.Abb. 15.9.6 zeigt rechts ein solches Diagramm, in dem Punkt A einen Beanspruchungs­fall am, aA represen tiert, der iiber der Grenzkurve liegt. Der Strahl BAG liefert dann in Geinen Spannungswert, der offensicht lich das Analogon zu aw ist und interpretiert wirdals die aquivalente Spannungsamplitude aA(O) , die bei am = 0 die gleiche Werkstoff­anstreng ung liefert wie der wirkliche Beanspruchungszustand am, aA ' Triigt man alsolinks die Spannungsamplitude aA(O) in Funktion der Zyklenzahl N B bis zum Bruch auf,so liefert der Linienzug GDE in E das gesuchte N B ' - Die Kurve aA(O) in Funktion vonN B ergibt sich unmittelbar aus der Darstellung Llee(N B) na ch Abb. 15.9.3, denn es ist

aA(O) = Lla = E Llee(N B) .2 2

Man beachte, wie die gleichc Konstruktion im Falle am < 0 verlauft ; von Punkt A'kommt man so auf Punkt E ' , und es ergibt sich in Ubereinstimmung mit der Erfahrung,dali die Lebensdauer hierb ei wesentlich grofser wird als bei positiver Mittelspannung. Beimehrachsigem Spannungszustand sind in dieser Konstruktion die Vergleichsspannungenzu verwenden. - Liegt der gegebene Punkt A unterhalb der Grenzlinie des Dauerwechsel­festigkeitsdiagrammes, so hat man den Fall unbegrenzter Lebensdauer vor sich. Liegt eriiber der Verbindungsgerade der ap auf Abszisse und Ordinate, so wird die Pl astifikationso groB, daf die Ausgangsvoraussetzungen zerstort sind. Die Dehnung £5 (Abb .15.9.4)ist nur insofern von Belang, daB die Werkstoffgrollen ap und aw im allgemeinen durcheine vorgangige Plastifizierung beeinfluBt werden .

Alles dies set zt vorau s, daf der Werkstoff nicht zusatzlich durch korrosive Einwir­kungen versprodet. Das ist z. B. der Fall bei Nal3dampfturbinen unter dem Einflul3 derKorrosion durch das Kondensat. In Abb. 15.9.7 gilt etwa der Linienzug a fur den unge­schadigten Werkstoff, das Kurvenband b fur den Werkstoff unter Betriebsbedingungenim NaBdampf, vgl. Haa s [20]. Man erkennt, daB aw um den F aktor 0,31-0,41 abnimmt.Allerdings bezieht sich a auf die Biegewechselfestigk eit bei kleinen Probenabmessungen,was etwas hohere Werte liefert, vgl. die Ausfuhrungen unter 15.11. Trotzdem wird manfur den reinen Korrosionseinfluf vorsichtigerweise einen F aktor 0,35 einse t zen miissen.

186 15 Grundlagen der Festigkeitsrechnung

Zweckmallig wird man in einem solchen FaIle die ganze Kurve e(NB) (z.B. Abb. 15.9.3)um diesen Faktor herabsetzen, was im doppeltlogarithmischen MaBstab auf eine Parallel­verschiebung hinauslauft .

Abb . 15.9.7. Dauerwe chselfestigkeitsdia­gramm fiir Biegespannung eines Stahlesfur ND-Dampfturbinenlaufer, a neuwer­tiger Werkstoff, b bei korrosivem EinfluJ3

von NaJ3dampf200 O'm_1,00 N/mm2 600

2__

K

----.b=-. b ~

~

100

1,00

N/mm300

t 200

"'"\;>

o

AbschlieBend sei noch eine grundeatzliche Bemerkung beigefiigt. Da Ermiidung aufwiederholte plastische Verformung zuriickgefiihrt wird, ware die Annahme naheliegend,daB unterhalb O"w keinerlei Plastizitat mehr auftritt. Indessen beweist die Erscheinungder Werkstoffdampfung, die zwar sehr klein ist aber doch eindeutig beobachtet wird, daBauch im Bereich sehr kleiner Spannungen eine Hysteresis auftritt, die bei reiner Elastizitatnicht vorhanden sein konnte. Man muB sich also vorstellen, daB auch in diesem Gebietkleinste plastische Verformungen stattfinden, die mikroskopische Werkstoffschiidigungenherbeifiihren. Diese verschwinden aber allmahlich wieder durch einen intermolekularenAusheilungsprozeB. Die Dauerwechselfestigkeit wird dann iiberschritten, wenn der Aus­heilungsprozeB mit der Neuentstehung von Fehlstellen nicht mehr schrittzuhalten vermag.

15.10 Zyklische Beanspruchung mit Kriechen

Im Bereich hoherer Temperatur, wo das Kriechen auftritt, sind die Unterlagen zurBeurteilung der Lebensdauer unter zyklischer Beanspruchung unsicherer. Abschn. 15.4behandelt das zeitunabhiingige plastische Verhalten, Abschn. 15.5 das zeitabhiingigeviskoplastische, und es geht aus diesen Ausfiihrungen hervor, daB die beiden Erschei­nungen eine vollig verschiedene theoretische Struktur aufweisen. Trotzdem ist z. B. vonTilly [17] vorgeschlagen worden, auch im Bereich hoher Temperatur nur eine Art an­elastischer Verformung einzufiihren und diese als Kriechen zu bezeichnen. Franklin [21]ubernimmt diese Betrachtungsweise, unterscheidet aber zwei Typen, namlich natiulichesKriechen (wie unter 15.5 besprochen) und Zwangskriechen (forced creep) . Letzteres betrach­tet er als eine dem Primarkriechen verwandte Erseheinung, wobei die Spannungsumlage­rungen innerhalb der mikroskopisehen Werkstoffstruktur zu einer hoheren Kriech­gesehwindigkeit fiihren als beim stationaren normalen Kriechen . Diese Interpretation istinsofern fragwiirdig, als die Gesehwindigkeit des Zwangskrieehens um Zehnerpotenzenhoher liegen kann als die des normalen, was mit dieser Vorstellung kaum vereinbar ist.Die praktische Verwendbarkeit dieses Konzeptes wird indessen durch diese Interpreta­tionsfrage nicht beriihrt.

Der theoretisch richtigste Weg besteht wohl darin, anelastisehes Verhalten aufzu­fassen als ein sehr komplexes Phanomen, das in Grenzfallen iibergeht in die zeitunabhangigePlaatizitat einerseits, die reine Viskoplastizitat anderseits. Bei malsiger Temperatur hatman den Grenzfall der zeitunabhangigen Plastizitat vor sieh, wahrend bei hoherer derallgemeine Fall vorliegt, der mit dem Zwangskrieehen zu identifizieren ist und unterquasistatisehen Verhaltnissen in die gewohnliche Viskoplastizitat iibergeht. Nun kann aberder allgemeine Fall sieher naherungsweise aufgefaBt werden als eine Uberlagerung derbeiden Grenzfalle, die theoretisch iibersichtlicher sind.

15.10 Zyklische Beanspruchung mit Kriechen 187

Zur Vorbestimmung der Zyklenzahl N B bei hoher Temperatur hat Manson [22]zunaohst die 10%-Regel angegeben, die darauf hinauslauft, die fur tiefe Temperaturgiiltige Relation sp = f(NB) (z.B. Abb . 15.9.2 und 3) zu ubernehmen, die Kurve aber urneine Zehnerpotenz nach links zu schieben, so daB also ein gegebenes sp einem N B ent­spricht, das nur 10% des Wertes bei tiefer Temperatur betragt, Dieses Verfahren hatsich aber doch als etwas zu grob erwiesen.

Einfach die unter 15.8 angegebene Methode zur Lebensdauerberechnung auf den ein­zelnen Zyklus anzuwenden, ist deshalb ungeniigend, weil diese Betrachtungsweise quasi­statisch ist. Spera [23-25] hat sie daher entsprechend zu erganzen versucht. Eine ent­scheidende Verbesserung brachte die von Manson und seinen Mitarbeitern starnmendeMethode der Unterteilung des Dehnungsbereiches (strain range partitioning method) vgl.[26-29]. Zu ihrem Verstandnis betrachte man die in Abb. 15.10.1 dargestellten Zyklen(stets ist e die Abszisse, (J die Ordinate). Der Einfachheit halber stelle man sich einenProbestab vor, welcher der jeweils dargestellten zyklischen Beanspruchung unterworfenwird. Die Dehnungsbereiche Lis sind durch zwei Indices gekennzeichnet; dabei verweist pauf zeitunabhangige Plastizitat, c auf Viskoplastizitat (creep). Der erste Index charak­terisiert die anelastische Verformung bei Zug, der zweite bei Druck. In den Diagrammensind die viskoplastischen Vorgange stets durch gestrichelte Linien angegeben.

Abb.15.10.1. Spannungs-Dehnungs-Diagramme verschiedener Zyklen a)-h), bestehend aus elastischen,plastischen und viskoplastischen Anteilen

Im FaIle a wird dem Stab ein dehnungskontrollierter Zyklus ohne Haltezeiten auf­gezwungen, derart schnell, daB kein merkliches Kriechen auftritt, d. h . die Verformungist in beiden Richtungen vom Typus p, daher Bezeichnung Lispp-

Fall b ist ein spannungskontrollierter Zyklus mit Haltezeiten auf der hochsten undtiefsten Spannung, derart, daB gleich groBe Kriechdehnung und Kriechstauchung auftritt,ohne Verformung vom Typus p ; so entsteht Lisee-

Beim Zyklus c findet eine Kriechdehnung bei konstanter Spannung statt, die dannrasch durch eine Verformung des Typus p wieder ruokgangig gemacht wird, daher Liscpo

Umgekehrt wird beim Zyklus d rasch eine plastische Dehnung aufgezwungen, die mandurch Kriechen unter Druck langsam wieder ruekgangig macht, daher Lispc'

188 15 Grundlagen der Festigkeitsrechnung

Zyklus e ist rein dehnungskontrolliert und hat Haltezeiten bei der graB ten positivenund negativen Dehnung. Letztere sind so klein, daf keine p-Vorgange auftreten. Wahrendder Haltezeiten tritt dann Relaxation durch Kriechen auf. Es entsteht Jeee.

Zyklus f entspricht einem technisch haufigen Fall: Ein Kerper (z. B. Trommellaufer)werde an seiner Oberflache rasch erhitzt. Da die Warmedehnung der auBeren Fasernaber durch den noch kalten Innenteil praktisch verhindert wird, werden diese Fasernplastisch gestaucht. Wenn der Innenteil auch im stationaren Zustand wesentlich kalterbleibt, findet jetzt in den AuBenfasern ein allmahlicher Spannungsabbau durch Kriechenstatt (Relaxation). Beim Abstellen und Wiedererkalten werden die auBeren Fasern pla­stisch gestreckt, ohne Kriechen, da die Temperatur tief ist. Der ganze Dehnungsbereich zlszerfallt damit in zwei Anteile Jepe und J epp, wie dargestellt. Damit ist die Unterteilungdes Dehnungsbereiches gewonnen, der fiir die Methode typisch ist.

Die Zyklen g und h stellen allgemeine Falle dar, bei denen die Vorgange c und pje in beiden Richtungen auftreten. Der Unterschied besteht nur darin, daf bei g dasDruckkriechen starker als das Zugkriechen ist, bei h umgekehrt. Es ist im Falle g

Jepp= P2' Jeee = cI ' Jepe = c2 - CI ,

in FaIle h

15.10(2)

15.10(1)

Zum Verstandnis dieser Relationen beachte man, daB die Werkstoffsohadigung wahrendeines Zyklus stets aus einer Integration iiber alle Teilvorgange folgen mull, wobei ihreReihenfolge unmaBgeblich ist. Die Jepe oder Jeep ergeben sich also daraus, daB man diebeiden Kriechdehnungsanteile voneinander subtrahiert und zwar stets den kleineren vomgrolseren. Ist der graBere der Zuganteil, so muf er teilweise durch plastischen Druckruckgangig gemacht werden, und man erhalt Jeep und umgekehrt im entgegengesetztenFalle. Die Jeee und Jepp ergeben sich stets als die kleinere der beiden Verformungen vorngleiehen Typ.

Die grundlegende Hypothese des Verfahrens, die durch Messungen hinreichend be­statigt wird, ist nun, daB fur die ,reinen FaIle' Jepp, Jeee, Jepe, Jeep, je ein einfaches Potenz­gesetz zls = f(NB) angegeben werden kann. In grober Naherung kann dies sogar in uni­verseller Weise geschehen, entsprechend

Jepp "'" 0 75N-o.6 Jeee "'" 0 75N-o.8D """ pp' D """ ee'

p e

Jepe 1 25N-o 8 Jeep 0 2-N-o RD >=:::! . , pe . , D >=:::! ,D ep',p e

vgl. Abb. 15.10.2. Dabei ist Dp die aus dem konventionellen Zugversuch nach Gl. 15.9(4)berechnete Duktilitat, De die aus dem Kriech-Bruch -Versuch bei der maBgebenden

10-1 ,...-------,-,---r-..,----,--,

t '~-l ~----'l""'k-----"-o,e-+---+---i~"'

"'I /O-31-------1r-----''k--~~d-----f''''<;~

5

5 /0 3 5 10'Npp.Ncc.Npc.Ncp -

15.10 Zyklische Beanspru chung mit Kri echen 189

Temperatur berechn ete. Das einem gegebenen Llepp zugeordnete N B wird hier mit N ppbezeichnet und analog fur die anderen LIe.

Hat nun ein gegebener Zyklus einen gesamte n anelastischen Dehnungsbereich Llea, soliiBt sich set zen

F =Llepppp - Ll e

a

F = Lleeeee - Ll e

aF

Ll epepc = ---;;-- ,

LJea

F = Ll eepep - Ll e

a15.10(3)

15.10(6)

Diese F sind offenbar typisch fur die Art des Zyklus. Die Zyklenzahl N B bis zum Bruchist dann je nach Fall durch eine der folgenden GIeichungen gegeben :

1 _ F pp + Fcc + F pc ~ _ F pp + F cc + Fep 15.10(4)N B - N pp N ee N pe ' N B - N pp N ee s.;

Die N pp, Nee usw. sind au s den GIn. 15.10(1) und (2) bzw. den entsprechenden Kurvenzu bestimmen, indem man dort stets die gesamte anelastische Dehnung Llea einsetzt, denndie Unterteilung ist mit den F bereits durchgefUhrt.

Der gesamte Dehnungsb erei ch LIe, dem dieses N B zugeordnet ist, betragt

LI e = Llea + zls,, 15.10(5)

wo Llee = Ll u/E im ein achsigen F all , bzw. der Ausdruck G1. 15.9(20) bei mehrachsigemSpannungszustand, wobei dann auch LIsa und seine K omponenten als Vergleichsdehnungenaufzufassen sind.

In dieser Untersuchung tritt die Temperatur nicht explizite in Erscheinung, do chbeeinfluBt sie einerse its Ir.; anderseits aber in hohem MaBe den Charakter des Zyklusund damit die F. Die Linie Llepp(N ) ist grundsat zlich identisch mit der Linie ep(N) desvoran gehenden Abschnitt es, wird also eigentl ich ri chtiger so bestimmt wie dort angegeben,anstat t nach G1. 15.10(1), doch sind die Unterschiede meist nur gering . Es ist ein wesent­licher Vorteil des Verfahrcns, daB es bei abnehmender Temperatur ganz von selbst indasjenige iibergeht , das unter 15.9 dargestellt wurde, da F pp gegen 1 st rebt, aIle anderenF gegen Null. - Wenn der anelas t ische Dehnungsberei ch Llea sehr klein wird - et waunter 10-4 - st iit zt. man sich zweckmaflig auf Llee(N B), d .h. auf die zweite der Gin . 15.9(3).Dabei ist G am beaten aus 15.9(13) zu bestimmen mit Y R::i -0,12 und dem reduziertenWert O'w, welcher der hohen Temperatur entspricht; O'w sinkt mit zunehmender Tempe­ratur ahnlioh ab wie O'p, vg1. et wa die Beispiele bei [30] und [31].

Franklin [21] schlagt ein grundsat zlich anderes Verfahren vor, das auf dem schonerwahnten Begriff des Zwangskriechens beruht. Es sei BNc die Geschwindigk eit des nor­malen Kriechens, Bpc diejenige des Zwangskriechens (d. h . der allgemeinen anelas t ischenDehnung), BT die totale Dehnungsgeschwindigkeit. Dann ist

. . 0-eT < er o + E

oder in normierter Schreibw eise. , .eT _ epc + a

iNC - eNC EeNC '15.10(7)

iT /eNC ist das Dehnungsgeschwindigkeitsverhiiltnis, Bpc/eNc das Kriechqeschuiindiqkeits­verhiiltnis . E s wird nun postulier t , daB zwischen diesen beiden Geschwindigkeitsverhalt­nissen ein Funktionalzusammenhang bestehe:

15.10(8)

K ennt man also lan gs des Verlaufes ein es Zyklus BT und BNC' so ist das links stehendeVerhaltnis berechenbar. Die Auswertung umfangreichen Versu chsmaterials ergab weiter

190 15 Grundlagen der Festigkeits rechnung

die empirische Relation

Lebensdau er Normalkriechen = (6FG)O.777 15.10(9)Lebensdau er Zwangskriechen eNG

Aufgrund dieser Unt erlagen kann nun die Werkstoffschiidigung pro Zyklus berechnetwerden durch einen IntegrationsprozeB, der die sinngemalse Abwandlung des unter 15.8angegebenen ist. Leider hat aber die Funktion f einen auBerst komplizierten Aufb au undlaBt sich derzeit nicht universell an geben , so daB das Verfahren noch nicht praktischeinsatzfahig ist.

Oegenwartig diirfte die Methode der Unterteilung des Dehnungsbereiches die fiir diepraktische Verwendung geeignets te sein. Sie setzt zwar streng geschlossene Zyklen vora us,wobei die Zerlegung in Verformungskomponenten entweder durch Schematisierung (wieAbb. 15.10.1) erfolgt oder durch verfeinerte Methoden, vgl. [29]. Ein entscheidender Nach­t eil ist dies ab er aus folgendem Grunde kaum. Man wird einen Maschinentyp nicht fiireine ganz bestimmte Betriebsweise auslegen konnen, sondern muf vielmehr voraus­set zen , daB er in sehr verschiedener Weise betrieben wird. Daher muf man bei der Ab­schatzung der Lebensdauer der Bauteile ohnehin vereinfachende Annahmen treffen ,welche die tatsachliche Betriebsweise nur schemat isch wiedergeben. Im Rahmen einersolchen Untersuchung sind also Vereinfachungen ohnehin unvermeidlich. Die Gewahr­leistung der Betriebssicherheit gestat tet auch nicht, zu nah e an die Grenzen heranzu­gehen, so daf eine allzu grofse P erfektionierung der Th eorie ni cht sinnvoll ist. Hingegenkonnte z.B . die Methode von F ranklin gut dazu verwendet werden, an einzelnen typisehenBeispielen quas i eine bessere Ei chung der Methode der Unterteilung des Dehnungs­bereiches vorzunehmen. E in Verfahren, das von der Vorstellung der Bruchm echani k aus­geht, ist un t er 15.12 beschrieben .

15.11 Kerbeffekte

Berechnet man die Spannungsverteilung in K onstruktionsteilen , so erha lt man regel­maBig an den Randern von Nuten , Lochern usw ., kurz an Kerben , mehr oder wenigerausgepragte Spannungsspitz en , denen hohe lokale Dehnungen entsprechen . Fur eine groBeZahl haufig wiederk ehrender Konstruktionselemente wie gelocht e und gekerbte Stabe,abgesetzte Wellen usw., vgl. Abb . 15.11.1, ist es aber nicht notig, die Spannungsverteilungim Einzelfalle auszurechnen . Man rechnet vielmehr mit den Gleichungen der element arenFest igkeits lehre und multi pliziert mit einem F ormfaktor (x , d. h . man setzt z. B. fiir Zug,Biegung und Torsion

A M(]= ~- ,

W15.11(1)

Das Zeichen A weist hier stets darauf hin, dall es sich um die Spannungssp itze handelt.Die ~ wurden durch elastizitatst heoretische Berechnung oder spannungsoptische Versucheein fiir allemal bestimmt ; es bestehen dariiber umf assende Unte rlagen in den einschlagigen

a b c d

Abb. 15.11.1. Typische Faile von Kerben an Bauteilen, bei denen Spannungsspitzen durch Formfakto renberiicksichtigt werden. a) Loch in Flachstab ; b) Kreiskerbe in F lachstab ; c) Hohlkehle ; d) abgesetzte Welle

15.11 Kerbeffekte 191

Handbuchern oder Spezialwerken, z.B. [3, 31-33]. - Wahrend die Bestimmung solcherSpannungsspitzen im allgemeinen hinreichend genau moglich ist, vollends mit den moder­nen Rechenhilfsmitteln, erweist sich ihre Beurteilung als ein auBerst komplexes Problem.

Bei rein statischer Belastung und zahem Werkstoff sind die Spannungsspitzen fur die'I'ragfahigkeit des Bauteiles keineswegs maBgebend, denn bevor del' Bruch eintritt, mu/3ja del' Werkstoff iiber den gesamten tragenden Querschnitt plastifiziert sein, wobei sichein Ausgleich del' Spannungsverteilung ergibt. Betrachtet man etwa die elastische Span­nungsverteilung im engsten Querschnitt eines Rundstabes mit einer Kerbe, so erhalt mandas in Abb. 15.11.2 dargestellte Bild fur die Axialspannung az , die Umfangsspannung <If}und die Radialspannung a. . Sie sind alle positiv, weshalb die Vergleichsspannung

1a; = V2 V(<Iz - (Jf})2 + (af) - <Ir)2 + ((Jr - <Iz )2

uberall kleiner ausfallt als (Jz. Die vollstandige Plastifizierung fiihrt zwar auf eine andereVerteilung diesel' Spannungen, doch b iben sie positiv, so da/3 also ein Volumenelementunter allseitigem Zug steht und o; kleiner wird als del' Mittelwert von <Iz• Das bedeutetumgekehrt, daB einer gegebenen Werkstoffanstrengung ein grofserer Mittelwert von <Izentspricht, mithin also ein gekerbter Stab eine hohere Tragfahigkeit besitzt als ein glatterStab mit dem Querschnitt del' Engstelle des gekerbten (vgl. daruber etwa [31]). Diesel'Effekt diirfte zwar selten technisch ausnirtzbar sein, ist abel' jedenfalls theoretisch ver­standlich .

Abb . 15.11.2. Verteilung der Axialspan­nung, Radialsp annung undUmfangsspan-nung im engsten Querschnitt bei einer

Kcrbe hyp crbol ischer Form in einemRundstab

Sehr viel undurchsichtiger ist das Problem del' Wechselbeanspruchung . Theoretischware zu erwarten, da/3 die Amplitude del' (zeitlich variierenden) Spannungsspitze unmittel­bar mit del' z.B. in Abb. 15.9.5 angegebenen Grenze verglichen werden miisse. Wird dieseSpannungsspitze von vornherein als Vergleichsspannung definiert, dann diirfte also ihrAmplitudenwert hochstens die dort angegebene Grenze erreichen. Indessen ist seit langembekannt, daB je nach Spannungsverteilung in unmittelbarer Nahe del' Spitze Dauer­wechselfestigkeit noch gewahrleistet ist bei einem Rechnungswert del' Spitze, del' tiberjener Grenze liegt. Diesel' Effekt hangt ab von den Absolutabmcssungen des Bauteilesund verschwindet mit del' Zunahme del' Abmessungen asymptotisch. Ein solches Ver­halten ist mit del' Grundvoraussetzung einer Mechanik des isotropen Kontinuums unver­einbar und laBt sich nur erklaren aus del' kristallinen und letztlich molekularen Strukturdes Werkstoffes.

Neuber [3] berichtigt daher die Theorie durch die Annahme, daB die theoretischeSpannungsspitze nicht wirklich auftrete. Vielmehr stellt er sich am Kerbgrund einenkleinen Raumteil VOl', innerhalb dessen die Spannung konstant bleibt (gewissermalsenein Kristallit) . Rechnerisch lauft das darauf hinaus, mit einem ideellen Ausrundungs-

192 15 Grundlagen der Festigkeitsrechnung

radius der Kerbe zu rechnen, der um einen Betrag B groBer ist als der wirkl iche. Die GroBe B,

welche die Dimension einer Lange hat, ist eine Werkstoffkonstante. N euber gibt dafurdie Grolsenordnung 0,3 mm an. Es sei daher empfohlen, den wirklichen Kerbradius erechnerisch stets zu ersetzen durch den ideellen Radius

e' = e + B . 15.11(2)

Man vermeidet damit von vornherein die physikalisch nicht reelle unendliche Spannungs­spitze bei scharfer Kerbe, also e = 0.

Das genugt aber allein noch nicht zur Erklarung der beobachteten Effekte. Als mali ­gebender Parameter wurde insbesondere der bezogene Spannungsgradient X erkannt.Bedeutet n die an der betrachteten Stelle nach auBen gerichtete Oberflachennormale,so ist

15.11(3)1 ocrX - -;; on '

Der Ausdruck ist mit dem Spannungsverlauf am art der Spannungsspitze zu bilden. Erhat die Dimension Ir", wird also um so groBer je kleiner die Absolutabmessungen. Fureinen glatten Biegestab vom Durchmesser d wird X = 2jd, fur einen gekerbten Stab mitKerbradius e wird X R:::I 2je' bei reinem Zug, X R:::I 2jd + 2je' bei Biegung, X R:::I 2jd + l Ie'bei Torsion, wo o' stets durch Gl. 15.11(2) gegeben ist. - Von den vielen Berechnungs­verfahren, die vorgeschlagen wurden, vgl. z. B . [31], werde nachfolgend dasjenige vonPetersen [34] angegeben, das einen einfachen Aufbau hat und Werte liefert , die auf dersicheren Seite liegen . Ist am art der Spannungsspitze - also im Kerbgrund - am dieMittelspannung, aA die Spannungsamplitude, so bere chnet man eine ideelle Spannungs­amplitude

15.11(4)crA

1 + Ve *xHier ist e* ein fur den Werkstoff typischer Langenparameter, vgl. auch Sigwart [35] undAbb. 15.11.3. Im Dauerfestigkeitsdiagramm Abb. 15.11.4 ist alsdann der Punkt P mitden Koordinaten am, aA i einzutragen. Liegt er unter der dick gezeichneten Grenzkurve,die der dynamischen Grenzbeanspruchung Zug-Druck (nicht Biegung!) entspricht, soist Dauerfestigkeit gewahrleistet.

O'Wb

9"b

O'Ai 9"

45° I

0 (JF (Jm300 1,00 500 N/mm 2 700

O"w -200

\

\\

\

'" t---..l-I-- -

~oo

mm0.2

Abb.15.11.3. Werkstoffabhangiger Langen­parameter (!* zur Abschatzung des Ein­flusses des Spannungsgradienten am Ort derSpannungsspitze auf die hochstzulassige Span­nungsamplitude, in Funktion der Dau erwech-

selfestigkeit <1w (Zug-Druck)

Abb. 15.11.4. Zur Reduktion der Dauer­Biegefestigkeit auf die Dauerfestigkeit

Zug-Druck.

15.11 Kcrbeffckte 193

Die GroBe 12* wird oft als Radius einer ideellen Ersatzkerbe bezeichnet, welche diegleiche Wirkung hat, wie die Gefuge-Inhomogenitaten, vgl. [35], was abel' begrifflichnicht sehr befriedigend ist; bessel' redet man einfach von einem werkstofftypischen Langen­parameter, del' in del' kristallinen Struktur begriindet ist. Die Bruchmechanik (vgl. 15.12)bringt iibrigens eine bessere Klarung dieses ganzen Problemkomplexes. Dort wird gezeigt,daB bei gegebener geometrischer Situation und Spannung unabhangig von den Absolut­abmessungen des Korpers eine kritischc Rililange a existicrt, von del' ab sich ein RiBinstabil ausbreitet. Dringt nun ein RiB von del' Lange a von del' Oberflache aus in denKo rper ein, so ist die lokale Spannung an seinem Ende offenbar

a ~ 0-(1 - ax), 15.11(5)

was fur kleine Abmessungen, also groBes X, giinstiger wird als fur groBe, womit del' uber­raschende GroBeneffekt eine Erklarung findet .

Liegt Iur den gegebenen Werkstoff das Dauer-Biegefestigkeitsdiagramm VOl', so bestehtdas konsequenteste Verfahren darin, dieses zuerst in das Zug-Druck-Diagramm umzu­rechnen. Mit O'Wb als Wechselbiegefestigkeit ist

O'Wb

aw = 1 + V212*/d '15.11(6)

wo d del' bei del' Bestimmung des Diagramms verwendete Probendurchmesser ist. Imgleichen Verhaltnis ist die ganze Grenzlinie gb des Diagramms herabzusetzen, so daB sienach g kommt , vgl. Abb . 15.11.4. - Wenn mit Nennspannungen (Index n) und Form­faktoren gerechnet wird, so ist

{3 = 1X •

1 + Ve*x15.11(7)

w

rx:0 r>. ~/; I I I~~ ~ I

:0/,,0, [/'A geg/iihle Siohle _V:0 W~

~ /) V~~

'\ /;: \::V"Ax;v:: W/~

l/; :>. ~~I, I;A :0 >"

I'\W~ I'V ;;;Io/~~ 0 i\'V:% ~

_ lIergutefe SlONe/\ :;';1/; W~'\;:0r0. ~

'V;;f:0 '\'\ :0 '%

'\U'% /;:J,.

'< ~m~

'\

ia

0,9

z ,,(; 8 10 to "0(;080100JW1Z00Rauhlfefe R

Abb . 15.11.6. Oberf lachcnfaktor b fiir Zug­Schwell-Beanspruchung. Nach Siebel und

Gaier [36]

V~ ?>. ,"",,< I/; I I I"<;~ 1"< ~ gegliJlife StoNe _~~ ~ ;>,.,.~:0~ '" ;;;~

'«:;:1/; ~ -/,?~ 0>- '</:/

W ~ 0>-."0:~ ~

f-- mgiitefe Stohle ):W~ "01'<:0 01

"<0~y~ ~

~I~

a7, s "C 8 10 to "0 CO801t70JW1lt'0Rauhlfefe R

Abb. 15.11.5. Oberfliichenfaktor b fiir Zug­Dru ck-Wechselbeanspruchung (auch Wech­

selbiegung) . Nach Siebelund Gaier [36]

1,0

194 15 Grundlagcn der Fcstigkeitsrechnung

15.11(7')A' {J'aAi = (fAn'

Hierbei ist vorausgesetzt, daB das Zug-Druck-Dauerfestigkeitsdiagramm benutzt wird.Will man direkt das Biege-Dauerfestigkeitsdiagramm benutzen, so ist mit

{J' =1 +V~ tX

1 + Ve*xzu rechnen ; das so bestimmte <r~i ist dann mit del' Grenzkurve zu vergleichen. Die {J und {J'werden auch als Kerbwirkungszahlen bezeichnet.

Die Unterlagen tiber die Dauerfestigkeit werden in del' Regel fiir glatte Oberflachenangegeben. Bei rauhen Oberflachen. sind die hoohstzulassigen Amplitudenwerte um Fak­toren b zu vermindern, die fur Zug-Druck-Beanspruchung bzw . fur Zug-Schwell-Bean­spruchung aus Abb. 15.11.5 und 6 entnommen werden konnen (nach Siebel und Gaier [36]).Del' Zug-Druck-Beanspruchung entspricht in Abb. 15.11.4 Punkt A, del' Zug-Schwell­Beanspruchung Punkt B . Durch Verschiebung diesel' Punkte entsprechend den zugeho­rigen b erhalt man die berichtigte Grenzkurve. Eine sehr starke Herabsetzung del' Dauer­festigkeit ergibt sich unter dem EinfluB del' Korrosion, wie schon unter 15.9 erwahnt.Sehr oft existiert dann iiberhaupt keine Wechselbeanspruchung mehr, welcher del' Werk­stoff unbeschrankt lange standhalten konnte.

15.12 Bruchmechanik

Die Bruchmechanik ist ein neuer Zweig del' Festigkeitslehre. Sie geht davon aus, daBin einem Bauteil Risse oder allgemeiner Fehlstellen vorhanden seien und behandelt dieFrage, unter welchen Bedingungen sich ein solcher RiB weiter ausbreitet. Fiir genauereDarstellungen sei auf [37-40] verwiesen, eine knappe Zusammenfassung findet sich auchin [31].

Abb. 15.12.1 veranschaulicht einen RiB von del' Lange 2a, dessen Ebene senkrechtauf del' Richtung del' Spannung a steht. Das Vorhandensein eines solchen Risses verklei­nert offenbar die im Karpel' aufgespeicherte Verformungsenergie gegeniiber dem FaIle

rr:- 2a -=j

L Abb . 15.12.1. Ri13f6rmige FehlstelIc, Ril3lange 2a

des unbeschadigten Karpel's . Das wird sogleich klar, wenn man beachtet, daB man Arbeitaufwenden miiBte, um die leicht klaffenden RiBufer wieder zusammenzubringen. DieseVerminderung del' Verformungsenergie ist offenbar proportional a2 , denn je graBer a, destograBer del' Flachenbereich, innerhalb dessen del' Spannungszustand gegeniiber dem un­gest6rten merklich verandert ist.

Nun stelle man sich VOl', del' RiB werde beidseits um oa verlangert. Es wird postuliert,daB hierzu eine Arbeit oA notwendig sei, die oa proportional ist. - Damit verlaBt dieTheorie die Grundvorstellungen del' Mechanik del' Kontinua, denn diese liefert keineGrundlage zur Berechnung einer Arbeit, die nul' gerade zur Riliverlangerung notwendigware. Eine solche kann nur bedingt sein durch intermolekulare Feldkrafte kleiner Reich­weite (Kohasionskraftc), die beim Trennvorgang, del' sich iiber einen mikroskopischen

15.12 Bruehmeehanik 195

Weg erstreckt, iiberwunden werden miissen. - Der Rifsverlangerung ~a entspricht eineVerminderung der Verformungsenergie urn ~E. Diese Energie wird bei dem Vorgang frei­gesetzt. Ist ~E < ~A, so geniigt die Energie nicht, urn den Arbeitsaufwand zur RiB­verlangerung zu decken; der RiB ist stabil . Bei ~E > ~A steht sogar mehr Energie zurVerfiigung, als die Rillverlangerung benotigt ; der RiB wird sich instabil ausbreiten. Bei~E = ~A liegt offenbar die Stabilitiitsgrenze .

Es laBt sich zeigen , daB eine GroBe vom Aufbau

K = yO' y;:Z 15.12(1)

fiir das Verhaltnis ~E/~A maBgebend ist. Hier ist Y ein von der Geometrie der Anordnungabhangiger Faktor. Die Stabilitatsgrenze ist erreicht, wenn diese GroBe einen kritischenWert K 1c erreicht. Index c steht fur ,crit ical' , Index I besagt, daB ebener Verformungs­zustand vorausgesetzt wurde, was der ungiinstigere Fall ist als ebener Spannungszustandund deshalb stets als Basis genommen wird. K 1c wird als Ri[3zahigkeit bezeichnet. Sie isteine Werkstoffeigenschaft, zu deren Bestimmung eine besondere Versuchstechnik ent­wickelt werden muBte, vgl. die angegebenen Literaturstellen . Es lauft. also alles wiederdarauf hinaus, daB aus makroskopischen Versuchen ein phanomenologischer Werkstoff­kennwert bestimmt wird, nur ist er so gebildet, daB er theoretisch tiefer begriindet ist.

In Abb. 15.12.2 ist der Geometriefaktor Y fUr einige typische Situationen angegeben.Stets ist die RiB£lache in der Bildebene, die Spannung senkrecht dazu; der tragendeQuerschnitt ist schraffiert, die Rillflache leergelassen. Die Abmessung B ist groB gegen­iiber a. Die in den Formeln auftretende GroBe Q kann der Abb. 15.12.3 entnommen werden.Setzt man also

15.12(2)

1»0

y= 1,95

a

y= yU;n'b c

y= 1)3

d

Abb. 15.12.2. Typische Formen von Fehlstellen . a) Ausgcdehnter Langsrif) an Oberflache ; b) halbelliptisehcrRil3 an Oberflach e ; e) ellipt isehcr l~i13 im Inneren ; d) kreisformiger Ril3 im Innercn

2.2 I---t--+--+--+-

f 1.8

"" 1,4 J-t-+--+--t-?"Zs-<;j,Lo.,t--o-:+-+-J

Abb . 15.12.3. GroBe Q zur Bereehnung desGeometriefaktors Y

196 15 Grundlagen del' Fest igkeiterechnung

so sind damit diejenigen Wertekombinationen a, a gegeben, bei denen der RiB instabilwird. Es ist demgemafs

a < (~~r 15.12(3)

15.12(4)

die Bedingung, der bei gegebenem a die Rilllange zu genugen hat, damit inst abiles An­wachsen vermieden wird. Umgekehrt muf die Spannung die Bedingung

Ka <~

Yya

erfullen, wenn die Ril3lange gegeben ist.Typische Werte der Rillzahigkeit einiger fur Dampfturbinenrotoren gebrauchlicher

Stahle zeigt Abb. 15.12.4, vgl. Diskussionsbeitrag zu Haas [20]. Typisch ist die starkeTemperaturabhangigkeit von K I c, die ubrigens zusammenhangt mit der Lage der Uber­gangstemperatur, wo der Steilabfall der Kerbzahigkeit auftritt. Die Streuung ist iibrigensgroB, vgl. etwa [41]; die Kurven Abb . 15.12.4 geben Untergrenzen der Streubander, Beigrofsen Schmiedestiicken konnen die Werte stark abhangen vom Ort, wo die Probe ent­nommen wird. K I c ist ein sehr aussagekraftiges Werkstoffcharakteristikum, das zu denklassischen GroBen, wie FlieBgrenze usw. hinzukommt und durch sie allein noch nichtbestimmt ist. So sind die im Diagramm mit 2,3 und 4 angegebenen Werkstoffe dem alterenRotorwerkstoff 1 deutlich uberlegen.

Abb. 15.12.4. RiI3zahigkeit X I c enugertypischer Stahle fur Dampfturbinenro­toren: 1 Stahl 35 CrMo 13 5; 2 Stahl26 Ni Cr MoV 8 5; 3 Stahl 26 Ni Cr MoV 11 5; 4 Stahl 26 Ni Cr MoV 14 5. Kur­ven 2- 4untere Grenzen des Streubereiches

'C 100oT-

-100

~1 1/ 3

/ /V 2

/ V // V V

~~::e------ -

/ / //"" / /

~~V

/"V V " ~

~ t::-v ~~

o

2000

t 1,000

~

6000

Die Tatsache, daB die Bruchmechanik auf eine kritische Ril3lange fiihrt, unabhiingigvon den Korperabmessungen, hangt damit zusammen, daB bE,..., ba2 , bA ,..., ba. Sie laBtverstehcn, daB die Dauerwechsel£estigkeit gekerbter Bauteile von ihren Absolutabmes­sungen abhangt.

Bruchmechanische Untersuchungen konnen u. U . auch herangezogen werden, um dieLebensdauer zyklisch beanspruchter Teile zu bestimmen. Aus der Schwingbreite zlrr = 2aAund der GroBe K Gl. 15.12(1), die auch Spannungsintensitatsjaktor bezeichnet wird, laBtsich

LlK = Y Lla y~

berechnen. Dann setzt man mit N als Zyklenzahl

da = 0 LlKndN '

15.12(5)

15.12(6)

wo 0 und n Materialkennwerte sind. Nach [41] ist z.B. bei den fur Dampfturbinenrotorengebrauchliohen Werkstoffen 0 = 2 . 10-13, n = 3, wobei K in Njmm3/2 einzusetzen ist.

15.12 Bruchmechanik 197

Ist a der Anfangswert der Ril3lange, o., der kritische Wert, so lautet die Integraldarstellungvon 15.12(6)

ac N Bf da = C f iJKn(N) dN,a 0

15.12(6')

15.12(8)

15.12(7)

was auf folgendes Ergebnis fiihrt :

N B = C(Y iJo'):(n _ 2) [a- n~2 - a; n~21 wenn n =1= 2,

1 I (ac )N B = C( Y iJa)2 n a wenn n = 2.

Hier wie ganz allgemein treten die inharenten Schwierigkeiten der bruchmechanischenBetrachtungsweise in Erscheinung : Es muf schon von einer vorhandenen RiBlange aus­gegangen werden, und die Beschaffung der empirischen Unterlagen erfordert eine um­standliche, schwierige Versuchstechnik. Auch erfordert die Berucksichtigung komplizierterGeometrien und Spannungsfelder Schatzungen, da solche Angaben, wie in Abb. 15.12.2und 3 dargesteIlt, praktische Falle meist nur in grober Naherung wiedergeben. Dem­gegeniiber ist festzuhalten, daB die Bruchmechanik insbesondere folgendes leisten kann :1. Sie bietet mit K 1c ein zusatzliohes Kriterium bei der Auswahl geeigneter Werkstoffe.2. Sie gestattet zu beurteilen, ob durch Priifverfahren aufgedeckte Fehlstellen an aus­

gefiihrten (neuen) Bauteilen toleriert werden konnen.3. Werden bei Inspektionen Risse entdeckt, so Hint sich beurteilen, ob bzw . wie lange

der betreffende Konstruktionsteil noch weiter verwendet werden kann.4. Sie gestattet u .U . mindestens qualitativ eine bessere physikalische Interpretation von

Versuchsergebnissen, die mit anderen Mitteln gewonnen wurden .

Werden zusatzliche Annahmen herangezogen, so lassen sich u .U . Beanspruchungs­kriterien auffinden, die physikalisch besser begriindet sind als solche, denen keine solcheModeIlvorsteIlung zugrundeliegt. Auf dieser Grundlage haben Majumdar und Maiya[42, 43] das unter 15.10 besprochene Problem der Ermudung beim Kriechen behandelt.Es sei lOa die gesamte anelaslische Dehnung, die also Kricchen und sonstige PlastizitatumfaBt. Dann wird fur das Anwachsen der RiBlange a folgender Ansatz gemacht :

~; = aT Icalm IBalk, ~; = aC Icalm IBalk. 15.12(9)

Hier ist T ein werkstoffabhangiger Parameter, der im FaIle plastischer Streckung gilt,wahrend bei plastischer Stauchung der Parameter C zu verwenden ist. Weiter sind kund m empirische Exponenten. Hier wird also nicht zwischen zeitunabhangiger undViskoplaatizitat unterschieden, wohl aber gehen Verformung und Verformungsgeschwin­digkeit gesondert in den Ansatz ein . Wenn man nun setzt

_ 2~C 2G = (TIC) + 1 fur Zug, G - (TIC) + 1 fur Druck,

kann man den Ansatz 15.12(9) in der Form

2 da _ G I 1m I' Ik dT + C a - lOa lOa l

15.12(10)

15.12(11)

15.12(12)

schreiben, denn lost man dies auf nach da ldl, so hat man offensichtlich wieder die Form15.12(9). - Nun sei ao die durchschnittliche Rililange der Fehlstellen des neuen Bau­teiles, ac die kritische Rilllange, bei der infolge Instabilitat der Bruch stattfindet. AlsdannlaBt sich die linke Seite von l5.12(11) integrieren, und zwar werde gesetzt

2 I (ac ) 1T + C n ao A '

198 15 Grundlagen der Festigkeitsrechnung

15.12(13)

T und C sind als Festwerte betrachtet, und die maBgebende zusatzliche Annahme derTheorie ist nun, daB A ein empirisch bestimmbares Werkstoffcharakteristikum sei (damitwird die Kenntnis von ao uberfltissig l) . Somit kann 15.12(11) in die Integralform

IB 1J G IBaimJSalkdt =­o A

gebracht werden; die obere Integrationsgrenze ist in der Tat die Zeit bis zum Bruch,die durch diese Gleichung fur einen gegebenen Verformungsverlauf Ba(t) bestimmt ist,sobaId man die n6tigen Unterlagen tiber A, G, m , k besitzt. Uber diese, bei deren Beschaf­fung man starke Vereinfachungen machen mull, liegt noch nicht viel vor. Abb . 15.12.5zeigt Angaben aus [43], und die Verfasser geben auch an, auf welche Weise man sichpraktisch solche Unterlagen beschaffen kann.

10-6 5.1 10-6 5. 1

1£0/-

m=0.61 1<=0.80__!.=Q.3.i__ ---e:=

---l m=0,72TIC =4 1<=0.60

304 Stainless

480-600'C

A=J.7r----II TIC =4

I m=1

1<=0.5411<=0.85___ J

A=D.7• I

Incoloy - 800

540 -760'C

TIC =4

A=U2---'1-;0,89~

m=0.6

2114Cr-1Mo-St(gegluhtJ

480 -600'C

1<=0.78~

316 Stainless(gegluhtJ

560-650'C

__~1£~__

TIC =4

Abb, 15.12.5. Werkstoffparameter zumVerfahren nach [42] und [43] fUr vier

typische Werkstoffe

15.12(14)

Ftir den Fall einer zyklischen Beanspruchung mit gleichem, je konstantem IBal aufZug und Druck, kann 15.12(13) geschlossen integriert werden, und aus tB ergibt sich dannsogleich auch die Zyklenzahl bis zum Bruch zu

N = m + 1 (Llea)-<m+l) I ' 11- kB 4A 2 Ba ,

wo Llea der anelastische Dehnungsbereich ist. - Wie aus der Darstellung Abb. 15.12.5hervorgeht, ist A allerdings, tiber ISa I aufgetragen, u.U . nur bereichsweise hinreichendgenau als konstant zu betrachten. Deshalb entsteht bei der Anwendung von 15.12(13)eine Schwierigkeit, sobald Ba in einem Bereich variiert, der die Sprungstelle von A tiber­schreitet. Wenn nun A' und A " die A-Werte zu beiden Seiten der Sprungstelle sindund LIt' bzw. LIt" die aufsummierten Zeitintervalle, wahrend denen IBaI auf der einen oderanderen Seite der Sprungstelle ist, muB man die Integration in die beiden Anteile auf­spalten und setzen

ill' ill" 1 LIt' LI"/ G JealmJSalkdt' + I G IBaimISai kdt" < LIt' + LIt" [A' + At,,], 15.12(15)

wobei die dt' und dt" die Zeitdifferentiale sind, wahrend denen der eine oder andereZustand herrscht. Gilt Zeichen <', so tritt kein Bruch ein, wahrend bei Erreichen derGleichheit mit dem Bruch zu rechnen ist. Die Autoren bemerken noch, daB bei rein mono­tonem Zug, die Konstante T nicht den gleichen Wert hat wie bei wechselnder Beanspru­chung. - Es scheint jedenfalls, daB damit ein Formalismus gegeben ist, der bei Vorliegengenugender Unterlagen sich als leistungsfahig erweisen k6nnte, insbesondere, da er nichtnotwendig zyklische Vorgange voraussetzt.

15.13 Beurteilungskriterien , Sicherheitsfaktoren

15.13 Beurteilungskriterien, Sicherheitsfaktoren

199

a) Allqemeines

Aufgrund der unter 15.8-11 dargestellten Zusammenhange mogen hier festigkeits­teehnisehe Beurteilungskriterien in Form von praktisehen Anweisungen zusammengefaBtwerden. Diese sind stets so formuliert, daB der Weg zur Bestimmung eines Sicherheits­faktors angegeben wird. Wie groB dieser im Einzelfalle sein muB, kann nieht in allgemein­verbindlieher Weise angegeben werden, denn dies hangt ab von der Genauigkeit derWerkstoffunterlagen, aueh fertigungsbedingten Streuungen derselben, von der Genauig­keit der Vorausreehnung des Spannungs- und Verformungszustandes und der Schatzungentiber die zu erwartenden Betriebszustande und gegebenenfalls aueh von korrosiven Ein­wirkungen, die in den Werkstoffeharakteristika (wie Weehselfestigkeit) stets von vorn­herein zu berucksichtigen sind. In den naehfolgenden Anweisungen ist vorausgesetzt, daBdiese Korrektur der Werkstoffdaten bereits vorgenommen sei ; sie ist aber naturgemafoft sehr unsieher. Aueh mussen die Maximalspannungen und Verformungen, auf die Bezuggenommen wird, die effektiven Maximalwerte sein, die nieht etwa ortlieh dureh Nuten,Locher oder dgl. noeh zusatzlich erhoht werden.

Es sind zwei Arten von Sieherheitsfaktoren angegeben, namlieh Faktoren Sb' welehedie tatsaohliche Beanspruchung mit derjenigen vergleichen, bei der das Versagen des Bau­teiles zu erwarten ware und Faktoren St, welche die bei der gegebenen Beanspruchungtheoretisch zu erwartende Lebensdauer zur verlangten ins Verhaltnis setzen. Nun sei yeine BeanspruchungsgroBe (Spannung, Dehnung), x ein MaB fur die Dauer der Bean­spruchung (Zeit, Zyklenzahl). Dann lassen sich die Gesetze, die Beanspruchung undLebensdauer miteinander verknupfen, mindestens bereichsweise dureh die Form

y = Ax-k 15.13(1)

wiedergegeben . Es laBt sich nun leieht verifizieren, daB in diesem FaIle Sb und S, gemaB

15.13(2)

miteinander zusammenhangen. Ist etwa k = 0,3 (ein typischer Wert fur O'B(t) bei Krie­chen) und verlangt man Sb = 2, so fUhrt dies auf S, = 10. Die S, miissen also meistsehr groB sein . Bei nicht zeitabhangigen Vorgangen strebt S, gegen Unendlich.

b) Statische Tragfahigkeitsgrenze

Um auf einfache Weise die auBerste Grenze der statischen Tragfahigkeit eines Bau­teiles zu bestimmen, legt man meist das vereinfachte Spannungs-Dehnungs-Diagrammnach Abb. 15.13 .1 zugrunde, d .h . man nimmt an , daf der Werkstoff bis zur FlieBgrenze O'p

linearelastisches Verhalten zeige, von dort an idealplastisches. Diese Vereinfachung liegtauf der sicheren Seite, da ja effektiv hohere Spannungen als O'p auftreten konnen . - Die'I'ragfahigkeit eines Bauteiles ist dann erschopft, wenn die Plastifizierung den ganzentragenden Querschnitt erfaBt hat. Diese Betrachtungsweise ist allerdings nur zulassig,wenn der Werkstoff das notige Verformungsvermogen wirklich besitzt. Man wird daherversuchen, durch geeignete Wahl und Behandlung des Werkstoffes die Ubergangstempe­ratur, wo der Steilabfall der Kerbzahigkeit eintritt, nach Moglichkeit tief zu legen, daunter dieser die Gefahr des Sprodbruches raseh zunimmt.

Im allgemeinen dreiaehsigen Fall und unter Zugrundelegung der v . Mises-Hypotheseist die Bestimmung dieses Grenzzustandes vollstandiger Plastifizierung eine komplizierteAufgabe . Das ist schon an dem unter 15.11 erwahnten Problem der Tragfahigkeit einesgekerbten Rundstabes zu erkennen. Einfaeh wird das Problem beim ebenen Spannungs­zustand und unter Zugrundelegung der Sehubspannungshypothese, denn naeh dieser ist

200 15 Grundlagen der Festigkeitsrechnung

15.13(3)P max =fUF'

fiir die Werkstoffanstrengung nur die graf3 t e Hauptspannungsdifferenz maf3gebend. Dadie Schubspannungshypothese in ExtremfiiJIen eine urn 13% klein ere Tragfahigkeit liefertals die v. Mises-Hypothese, in keinem F alle eine hohere, ist es oft zweckmalsig, von dieserVereinfachung Gebrauch zu ma chen .

Abb. 15.13.2a zeigt als Beispiel einen gezogenen gelochten Flachstab und eine Folgevon Spannungsverteilungen im engst en Querschnitt, die einer immer weitergehendenSteigerung der Kraft P entsprechen . Im Grenzfall herrscht im ganzen Querschnitt UF ,

wobei der Stab die hochstmogliche Kraft Pm 3 X ubertragt. Ist P die tatsachlich auftretendeKraft, so ergibt sich der Sicherheitsfaktor Sb aus

S _Pmax _fUFb - P - P .

(J

(JRechnung

I

-(fr B

a b

Abb . 15.13.1. Idealisiertes Spannungs-Dehnungs­Diagramm

Abb, 15.13.2. Spannungsverte ilungen bei ansteigenderBelastung bis zur voIIen Plastifizierung. a) Gelochte r

Fl achstab; b) gebogener Stab

15.13(4)

Ahnlich verhalt es sich beim gebogenen St ab na ch Abb. 15.13.2b, wo bei immer weitererSteigerung des Biegemomentes schlief3lich ein Spannungsverlauf gemaf3 ABeD erreichtwird, womit die Tragfahigkeit des Elementes erschopft ist. - Dies ist zwar insofern ver­einfacht, als dieser Verlauf ja eigentlich eine unendliche Krummung voraussetzen wiirde.Da aber die Fasern in der Nahe der Mittelebene zum Moment wenig beitragen und daszugrundegelegte Spannungs-Dehnungs-Diagramm Abb . 15.13.1 die Spannungen in denwirksamen auBeren Fasern etwas unterschatzt., ist die Naherung trotzdem gut brauchbar,denn das so berechnete M max kann mit malsiger Krummung effektiv aufgenommen werden .Ist M das wirklich aufzunehmende Biegemoment, so ist

S _Mmaxb-~'

Mm ax ist aus einer Integration des Spannungsverlaufes iiber den Quers chnitt zu gewinnen .Es ist z.B. mit W als Widerstandsmoment

M max = 1,5 aFW fur rechteckigen Querschnitt,

M max = 1,7 UF W fur kreisrunden Querschnitt.

15.13(5)

15.13(6)

Fur andere Querschnittsform en , wie ub erh aupt fur andere elementare Festigkeitsproblemefinden sich die entsprechenden Angaben in der einsehlagigen Handbuchliteratur. - InAbschn. 17.11 ist an gegeben, wie sich die Grenzdrehzahl berechnen laf3t, bei der eine

15.13 Beurteilungskriterien, Sicherheitsfakto ren 201

rotierende Lauferscheibe vollstandig plastifiziert wird und infolgedessen die Rotorexplo­sion zu erwarten ist. Da die Fliehkrafte dem Quadrat der Drehzahl proportional sind,gilt in diesem FaIle

s, _ (np )2- n ' 15.13(7)

wo np die genannte Grenzdrehzahl, n die hochste im Betriebe au ftretende Drehzahl ist.Bei hoher Temperatur, wo Kriechen. auftritt , ist auch rein statisch mit dem sproden

Bruch zu rechnen, so daB also nicht die gleiche Uberlegung zugrundegelegt werden kann.Ist hier <Tmax die graBte lokale Spannung, <TB(t) fiir die gegebene Temperatur und diegeforderte Lebensdau er t die Bruchspannung gema B dem Dauerstandversuch, so ist

Sb = <TB(t) , S, = S~, 15.13(8)<Tmax

wo m der Exponent im Ansatz 15.5(4) ist .

c) Zykli.sche Beansp ruchunq ohne K riechen.

Zyklische Beanspruchung ma ge hier in einem verallgemeinerten Sinne verstandenwerden und bedeutet einfach die ub liche Beanspruchungsart fast aller Maschinenteile.Diese ist mindestens durch das Anfahren und Abstellen, oft auch durch regelmallig wieder­kehrende schroffe Belastungsanderungen gekennzeichnet. Diese transienten Vorgange sindfur die Festigkeit der Bauteile von entscheidender Bedeutung. Sie haben zwar nicht imst rengen Sinne zyklischen, also periodischen Charakter, werden aber doch bei der Voraus­berechnung durch gedachte zyklische Vorgan ge approximiert. So sind die nachfolgend alsvorgeschrieben betrachtet en Zykl enzahlen N zu verstehen. - Zur Beurteilung der Bean­spruchung miissen in diesem F alle fur den verwendeten Werkstoff bekannt sein das Dia­gramm zls = f( N B) (Beispiel Abb . 15.9.3) lind das Dau erwechselfestigkeit sdiagramm, ambesten in der Form Abb. 15.9.0 mit dem Diagramm <TA(O) = f (NB) links beigefiigt.

Vorgehen bei lokaler uberelastischer Beanspruchung. Die R echnung liefert lokal einelastisch gerechnetes <Tv > <TF und daraus au ch das Llev, vgl. z.B . die Ausfuhrungen unter15.7. Wenn der lokale Verformungsgradient groB ist, kann daraus in Analogie zu 15.11(4)der ideelle ,wirksame' Wert

15.13(9)

gebildet werden, eine meist nur kleine Korrektur. Dieses Ll evi wird beim vorgeschriebenenN ins Diagramm Llev = f( N B), Abb. 15.13.3, eingetragen , siehe Punkt P . Dann ist

S b = LleV B , S _ N B(Llevi ) 15.13(10)Llevi t - N '

Bezeichnungen siehe Figur.

L1evi - -p

Abb . 15.13.3. Diagramm zur Best immungvon Sb und S t bei uberelasti scher Bean­

spru chung

202 15 Grundlagen der Festigkeitsrechnung

Vorgehen bei quasielastiecher Beanspruchung uber der Dauerschwingjestigkeit: DieRechnung liefert fiir die kritische Stelle eine Mittelspannung a;" und eine Spannungs­amplitude a~, wobei a' = a;" + o'~ die Spannungsspitze ist , alle als VergleichsspannungenaufgefaBt. Man tragt den Punkt A' mit den Koordinaten 0';",

15.13(11)

15.13(12)

ins Diagramm Abb. 15.13.4 ein und findet mit der angegebenen Konstruktion BA'CDmit dem vorgeschriebenen N

A'c

110 t----t--=?--..

11

\

11:(0)

\\ 11:(0)

11/0) \\

\"-"-

I1t.'JO)0 -,

103 N Ne 10 7 No ° 11~ 11~ I1F B 11m

Abb, 15.13.4. Diagramm zur Bestimmung von Sb und St bei quasielastischer zyklischer Beanspruchung ober­halb der dynamischen Dauerfestigkeit

Bezeichnungen siehe Figur. Die gestrichelte Spannungskurve hat ideellen Charakter, dennjene Spannung ist definiert durch

a~(O) = Lla* = E Lle(NB) 15.13(13)2 2

(vgl. den Unterschied gegeniiber 15.9(22)), ist also ein MaB fur die Dehnung. Sie muB ver­wendet werden, weil sonst der Wert Sb nicht mehr in allen Fallen sinnvoll ware (Sb sagtz.B. aus : Beim gegebenen N diirfte man ohne Gefahr stark plastisch verformen) . Punkt BmuB nicht notwendig an die Stelle aB gelegt werden, wie im Diagramm Abb. 15.9.6, son­dern einfach so, daB die Kontur des effektiven Dauerschwingungfestigkeits-Schaubildesrichtig erhalten wird. - Diese Kriterien sind allerdings nicht anwendbar im Inneren sehrgroBer Werkstiicke (z.B . einteiliger Rotoren), die herstellungsbedingt praktisoh stetsmakroskopisohe Fehlstellen aufweisen. Dort stiitzt man sich zweckmalsig auf die Bruch­mechanik. Man berechnet ausgehend von der Abmessung a der Fehlstelle und ihrer nachGl. 15.12(2) zu bestimmenden kritischen GroBe ac nach Gl. 15.12(7) die Zyklenzahl N B

bis zum Bruch. Bei Vorausberechnungen ist a aufgrund der Erfahrung zu schatzen. Amausgefiihrten Werkstiick ist a aus der Ultraschallpriifung naherungsweise auffindbar, vgl.etwa [41]. Bei groBen Werkstiicken ist man so meist auf wesentlich tiefere Beanspruchungs­grenzen gefuhrt, als sie die klassischen Zeitfestigkeitsuntersuchungen ergeben.

Vorgehen bei schwingender Beanspruchung, wobei N = 00 verlangt ist : Spannungs­zustand ist gekennzeichnet durch Mittelspannung a~ und Amplitude a~ mit Spitzeo" = 0';'; + a'l (stets Vergleichsspannungen). Man tragt im Diagramm Abb. 15.13.4 denPunkt AU mit Koordinaten o'~ ,

o''li = a~!(l + Ve*x)ein . Dann ist Sb = aD!o''li, siehe Abbildung.

15.13(14)

15.13 Beur teilungskriterien , Sicherheitsfa ktoren 203

Eine alte re Anweisun g besagt , daf bei nicht schwingender Belastung rechnerischeSpannungsspitzen bis 20"F zugelassen werd en durfen . Dem liegt das vereinfac hte Span­nungs-Dehnungs-Diagramm Abb. 15.13.1 zugrunde. Wie dort gezeigt, fuhrt die ent­sprechende Dehnung LIe bei Entlastung auf eine Dru ckspannung - O"F' Bei erneut erBelastung gelangt man von Punkt B zum Punkt A zuriick , Naeh dieser vereinfachtenTheorie wurden also weit ere plasti sehe Verformungen eben noeh vermieden. Priift mandiese Regel im Lichte der neuen Ergebnisse, so ergibt sieh folgendes Bild. In eine mtypisehen Beispielliefert die Kurve Lle(NB ) fur dieses LI e ein N B = 105. Verlangt man abe rSb = 2, setzt also das doppelt e LIe ein, so ist man auf N = 4000 gefiihrt. Fur eine Masehine,bei der taglich ein Zyklus auftritt, ents pricht dies einer Lebensdau er von 11 J ahren. Manversteht also, daB diese Regel in vielen Fallen eine brauchbare Ri chtlinie sein konnte.

d) Qllasizyklische Beanepruchunq mit Kriechen

Als Werkstoffunterlagen mu ssen bekannt sein die Dauerstandfestigkeit des Werk­stoffes, also O"B in Funktion von t und T , d.h. in G1. 15.5(4) O"B3(t) und meT ), fern er derExponent neT) des Nortonschen Gesetzes, G1. 15.5(3), und im maBgebend en Temp eratur­bereich das Goodman-Diagramm (Abb. 15.9.5). Diese letztgenannte Unterlage wird haufigfehlen . Als Schat zung kann ma n dann setzen O"JV ~ 0,40"F und das Diagramm von dieserAngabe aus rekonstruieren . Im obersten Temperaturbereieh, in dem der Werkstoff ein­setzbar ist, liegt man damit meist auf der sioheren Seite. Ferner werden die Zusammen­hiinge Lleii = f eN B) fur die verschiedenen Typen von Zyklen benoti gt. Wo sie nieht vor­liegen , kann man sich an die quasiuniversellen Zusammenh ange naeh Abb. 15.10.2 halt en .Bei den relativ sproden Sonderlegierungen fur extrem hohe Temperaturen ist die Genauig­keit dieser Unterlagen allerdings unbefriedigend ; die Zusammenhange werden dann au ehdeutl ieh temperaturabhangig.

Da s Vorgehen ist dadureh gekennzeichnet, daf man den Ablauf der Vorgange gedank­lich zerlegt. Die im Laufe der Zeit sehr kompliziert variierende Beanspruehung bewirktstandige Veranderungen im Werkstoff, und der ganze Prozell hat an sieh nicht periodisehenCharakt er . Man zerlegt ihn nun in Zeitintervalle quasistatiseher Beanspruchung, in denennur .nat iirliohes Krieehen' auft rit t und Zyklen , - beim Anfahren und Abstellen und all­Ialligen sonstigen sehroffen Anderungen - die dureh zwangsweise plastisehe Verformungeharakt erisiert sind. Die quasistatisehe Beanspruchung wird behandelt nach Abs chn . 15.8,d .h . man firhrt den dort angege benen Zeitparam eter x ein und kennzeichnet durch T(x)und O"(x) die relative Haufigkeit des Auftret ens der Temperaturen und Spannungen (alle 0"

und e sind die Vergleichswerte nach der v. Mises-H ypothese) iiber der Zeit. Die Zyklenfuhrt man durch rechnerische Abscha tzungen auf einfaehe, idealisierte F alle zuruok wiein Abb. 15.10.1 dargestellt . Schlielilioh ist im allgemeinen noch zu beriicksichtigen , da Ban der betrachteten St elle eine zunachst auft retende Spannungsspitze durch Krieehenasymptot iseh verschwindet , wodurch die Lebensdau er urn den F aktor T L vermindert wird.

Wenn man sich die Lebensdau er t und die Zyklenzahl N vorschreibt , kann man sovorgehen, daB man naeh 15.8 zunachst TL best immt und dann folgendes berechnet :

1_J[ O"(x) ] m(T)J - O"B3(T) dx,

o

tD8 = - J .

tn15.13(15)

Da T (x) bekannt ist , kann dieses Integral bereehnet werden . Na ch un serer Normierungist tn = 103 h und aB3 bezieht sieh auf diese Zeitdauer . - Der gegebene Zyklus wirdunterteilt, wie unter 15.10 beschrieben, worauf die N]Jp, Nee, N pCl Nrp bestimmt und aus15.10(4) N B bereehnet werden kann. - Bei sehr kleinem anelast ischem Dehnungsbereieh(GroBenordnung 10- 4) kann N B aus der Relation Llea = feN B ) bestimmt werd en ,wie unter

204 15 Grundlagen der Festigkeitsrechnung

15.10 erwahnt. - Dann set zt manN

D z = - ·NB

Daraus ergibt sich sogleich der Zeit-Sicherheit s-Faktor

TLS t=D +D'

8 z

15.13(16)

15.13(17)

Die Bestimmung von Sb ist umstandlicher. Man muf diese GroGe zunachst annehmen,einen ideellen Spannungsverlauf O"(x ) = SbO'(X ) best immen und mit diesen die angegebeneUntersuchung ausfiihren. Man erhalt so D; und D; und muf nun fordern

D; + D; = TL' 15.13(18)

Dasjenige Sb' das diese GIeichung erfiillt, ist der wahre Wert.Kommt noch schwingende Beanspruchung mit der Schwingungsamplitude 0'A hinzu,

so sind noch zwei erganzende Schritte notig . Erstens ist der Punkt mit den Koordinaten O'm,

15.13(19)

ins Goodman -Diagramm einzutragen (wie Punkt AU, Abb. 15.13.4), und es ist der Sicher ­heitsfaktor gegen oszillierende Beanspruchung

15.13(20)

15.13(21)

15.13(22)

Zweit ens ist bei der Bildung von J die Span nung 0' zu erse t zen durch

a =O'm [1 + ~ (:~in ·Dieser Ausdruck entsteht durch Integration ub er die Schwingungsperiode mit m = 3,was die t ypische GroGenordnung ist.

Das hier angegebene Verfahren geht bei abnehmender Temperatur, also immer mehrverschwindendem Kriechen , von selbst in das iiber, das ohne Kriechen gilt . Bei aus ­gesprochenen Hochtemperaturteilen, wie Gasturbinenschaufeln, muf man sich oft mitrelativ kleinen Sb-Werten begniigen, z.B. Sb = 1,4. Dem sind die Inspektionsintervalleanzupassen. Aufserdem gehoren zu den Uberwachungsgeraten der Gasturbinen solche, diedurch Integration der Temperatur iiber der Betriebszeit ein MaG dafiir geben, wie weitdie Werkstoffschadigung fortgeschritten ist. Sehr haufig ist es allerdings die Korrosion,welche die Schaufeln unbrauchbar macht, lan ge bevor sie mechanisch nicht mehr dienotige Sicherheit bieten.

Will man sich auf die Th eori e nach [42] und [43] st iit zen, die durch die GIn. 15.12(9)bis (15) wiedergegeben ist , so hat man, wenn J' und J U die beiden Integralau sdriicke in15.1 2(15) sind

1 [L1 t' L1 tU

]

S, = (J' + JU) (L1 t' + L1 tU) A ' + AU .

Fur Sb laGt sich etwa setzen Sb ~S~,3 , da 0,3 ein typischer Wert des Exponenten ist , derSb und S, miteinander verkniipft .

Literatur zu Kap. 15

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