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THERMODYNAMIK Alles begann mit einem Arzt aus Heilbronn …
Durch seine Beobachtung, dass die Farbe des Blutes wärme- und arbeitsabhängig ist, erkannte er als erster Wissenschaftler den Zusammenhang zwischen Energie, Wärme und Arbeit (damals: Kraft).
JULIUS ROBERT von MAYER
1814 - 1878
Auch im Wort „Thermodynamik“ verbirgt sich diese Erkenntnis …
Übersetzt aus dem Griechischem heißt es? Wärme-Kraft
Er war überzeugt, dass die Umwandlung von Wärme in „Kraft“, wie bei der Dampfmaschine, auch umkehrbar ist, in dem man durch Reibung Wärme erzeugt.
Fast zeitgleich mit dem englischen Physiker JAMES PERSCOTT JOULE …
... mit der sie in einem wärmeisolierten Gefäß Wasser warm quirlten.
JOULE verwendete: mG = 772 lb & mw = 1 lb
Seine Messergebnisse: Dh = 1 ft & DT = 1 °F
1 lb (libra) = 0,454 kg DT°F / DTK = 1,81 ft = 0,30 m
… entwickelten beide unabhängig voneinander 1842 eine Maschine …
Rechnen Sie um in SI-Einheiten! BRU
DAS MECHANISCHE WÄRMEÄQUIVALENT
Berechne daraus die spezifische Wärmekapazität cW von Wasser in 𝐽
𝑘𝑔 𝐾
und bestimmen Sie die prozentuale Abweichung vom exakten Wert bei 20°C und Normaldruck!
Die spezifische Wärmekapazität cW von Wasser war damals noch nicht bekannt !
𝑚𝐺 ∙ ∆ℎ
𝑚𝑊 ∙ ∆𝑇= 𝑐𝑊
𝑔= const
772 𝑙𝑏 ∙ 0,305 𝑚
1 𝑙𝑏 ∙ 5/9= 424 m/K
𝑐𝑤 = g const = 9,81 𝑚
𝑠² 424
𝑚
𝐾= 4160
𝑚²
𝑠² 𝐾
Einheitenbetrachtung: 1 J = 1 Nm = 𝑘𝑔 𝑚2 𝑠−2 𝑐𝑤 = 4160 𝐽
𝑘𝑔 𝐾
mG g Dh = mW cW DTEnergieerhaltung: Epot = Q
Berechnen Sie aus den historische Messwerten das Wärmeäquivalent für Wasser in m/K!
cwo (101 kPa, 293 K) = 4182 𝐽
𝑘𝑔 𝐾
D𝑐𝑤(%) = - 0,53%
James Prescott Joule
1818 - 1889
BRU
Grundgleichung der WL
Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik nach J. R. v. Mayer
Die innere Energie eines Systems U ist durch die Temperatur T, die Teilchenart und die inhärenten Bindungsenergien charakterisiert.
Bei einem idealen Gas ist die innere Energie die Gesamtheit aller kinetischen Energien des Systems i. e. Translation, Rotation, Schwingung. Bindungsenergien treten nicht auf.
1. HS im Laborsystem: Die einem System (Gas) zugeführte Wärme Q führt zur Erhöhung der innerer Energie U im Systems und/oder zur Verrichtung von mechanischer Arbeit vom System: Q = DU + W
1. HS im BZ Gas?
Die Erhöhung der inneren Energie U eines Systems (Gases) ist die Summe aus zugeführter Wärme Q und/oder der am System verrichteten mechanischen Arbeit: DU = Q + W bzw. dU = dQ + pdV
Qzu
U+ Wab
BRU
W =def 𝐹 𝑑ℎ = 𝑝 𝐴 𝑑ℎ = 𝑝 𝑑𝑉
Qauf
U+ Wauf
Die isochore Zustandsänderung V = const
dQ =
dW =
dU =
1. HS:
m cV dT
0 , dV = 0
m cV dT
dQ = dU
Gib für diese Zustandsänderung den 1. HS in differenzieller Form an:
Zeichnen Sie das Druck-Volumen-Diagramm p(V) für diese Zustandsänderung!
cV ist die spezifische Wärmekapazität des Gases bei isochorererErwärmung.
Qzu
U+
BRU
Berechnen Sie den Innendruck vor dem Einschalten und die Wärmeaufnahme des Schutzgases!
AMONTONS: 𝑝1𝑇1=𝑝2
𝑇2𝑝1 =
𝑇1
𝑇2 𝑝2 =
293
423 400 Pa =
1. HS: Q = DU Q = m cV DT = 17,6 µg 0,74 µ𝐽
µ𝑔 𝐾 130 K =
Gasmasse unter Normalbedingungen: mo = 28 g 55
22400= 6,88 mg
277 Pa
Allgemeine Zustandsgleichung für ideale Gase: p V = m R* T p/T m
m = mo 0,4 𝑘𝑃𝑎
101 𝑘𝑃𝑎273 𝐾
423 𝐾= 17,6 µg
1,7 mJ
Übungsaufgabe: Eine E27-Glühlampe (V = 55 cm³) erwärmt die Schutzgasfüllung (N2) im Nennbetrieb von 20°C auf 150 °C und erzeugt dabei einen Innendruck von 400 Pa. BRU
Die isobare Zustandsänderung p = const
dQ =
dW =
dU =
1. HS:
m cp dT
p dV
m cV dT
dQ = dU + pdV
Gib für diese Zustandsänderung den 1. HS in differenzieller Form an:
Zeichnen Sie das Druck-Volumen-Diagramm p(V) für diese Zustandsänderung. Kennzeichnen Sie im Diagramm die vom Gas verrichtete mechanische Arbeit.Geben Sie die zugehörige Berechnungsgleichung an!
cp ist die spezifische Wärmekapazität des Gases bei isobarerErwärmung.
Wab = p (V2 – V1)
BRU
Wab
Qzu
U+ Wab
B
RU
Es gibt einen fundamentalen Zusammenhang zwischen den spezifischen Wärmekapazitäten cV und cp bei isochorer bzw. isobarer Erwärmung und der speziellen Gaskonstanten R* eines Gases …
R∗= cp − cV
Leiten Sie diesen Zusammenhang mit Hilfe der allgemeinen Zustandsgleichung für ideale Gase (ZG) und dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik (1.HS) her!
1.HS: dQ = dU + pdV ZG: p dV = m R∗dT
Einsetzen von ZG in 1.HS: dQ = dU + m R∗dT
Betrachten wir o. B. d. A. einen isobaren Vorgang …
Änderung der innere Energie: dU = m cV dT
Zugeführte Wärme: dQ = m cp dT
Die Änderung der inneren Energie lässt sich immer mit der GleichungDer isochoren Wärme berechnen, dadabei stets dU = dQ ist.
Einsetzen in den 1.HS: m cp dT = m cV dT + m R∗ dT :𝑚 : dT
cp = cV + R∗ q. e. d.
Die MAYERsche Gleichung
*
Wichtige Konstanten*
BRU
T = constDie isotherme Zustandsänderung
dQ =
dW =
dU =
1. HS:
m c? dT
p dV
0 , da dT = 0
dQ = p dV
Gib für diese Zustandsänderung den 1. HS in differenzieller Form an:
Zeichnen Sie das Druck-Volumen-Diagramm p(V) für diese Zustandsänderung. Kennzeichnen Sie im Diagramm die vom Gas verrichtete mechanische Arbeit.Um welchen Funktionstyp handelt es sich bei dem Graphen p(V)?
Hier – isotherme Expansion z. B. Dampfmaschine
Qzu
Wab
BRU
Wab
Hyperbel p 1/V
Die isothermen Arbeit
Um die isotherme Arbeit zu berechnen, müssen wir die Fläche unter der p(V)-Kurve bestimmen.
W = 𝑝 𝑑𝑉 # 𝑝 ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
Um integrieren zu können benötigen wir die Funktionsgleichung p(V).
ZG : p V = m R∗ T p = m R∗ T 1
𝑉m R∗ T = const
Woher bekommen wir diese Gleichung ?
Einsetzen in (#): W = 𝑝 𝑑V = m R∗T 12 1
𝑉𝑑V = m R∗ T ln 𝑉2 − 𝑙𝑛 𝑉1
W = m R∗ T 𝑙𝑛𝑝1𝑝2
bzw. mitp 1/VW = m R∗ T 𝑙𝑛
𝑉2𝑉1 BRU
dQ = 0Die adiabatische Zustandsänderung
U+
Wzu
dQ =
dW =
dU =
1. HS:
0
p dV
m cV dT
dU = - p dV
Gib für diese Zustandsänderung den 1. HS in differenzieller Form an:
Hier – adiabatische Kompressionz. B. Alpenföhn
Zeichnen Sie das Druck-Volumen-Diagramm p(V) für diese Zustandsänderung. Kennzeichnen Sie im Diagramm die vom Gas verrichtete mechanische Arbeit.Vergleichen Sie den Graph mit der isothermen Hyperbel.
Wab BRU
Steilere Hyperbel
p 1 𝑉𝜅mit 1 < k < 2
Eine anderes Wort für „adiabatisch“ ist „isentropisch“ d. h. „ohne Änderung der Entropie S“ dS = dQ/T = 0
Die POISSONsche Gleichung BRU
Für einen adiabatische Vorgang gilt dQ = 0 1. HS
dU = - p dV
m cV dT = - p dVGemäß Betrachtung zur isochoren ZÄ dU = ? GWL
Substitution von p = f(V,T) = ? ZGm cV dT = -
mR∗ T
VdV
Trennen der Variablenlineare DGL 0. Ordnung CV
TdT = -
R∗
VdV
Substitution von R* = ? MAYER CV
TdT = -
Cp− CV
VdV
Simeon Denis Poisson
1781 - 1840
Poisson konnte als
Bürgerlicher Dank der
französischen
Revolution
Mathematik an der
École Polytechnique in
Paris studieren …Adiabaten-Koeffizienten k = ?
k =def cp /cV-
dT
T= (κ − 1)
dV
V 1
2
Seitenweise Integration Logarithmen-Gesetze lnT1
T2= (κ − 1) ln
V2
V1
Umkehrfunktion e-Funktion T1
T2=
V2
V1
κ −1
Umformung mit T = f(p;V) ZG: pV T p1 V1
p2 V2=
V2
V1
κ −1p1 V1
κ = p2 V2κ
Die adiabatische Arbeit
Allgemein gilt für die Arbeit in thermodynamischen System … W = 𝟏
𝟐𝒑 𝒅𝑽
Da es sich hier um eine Kompression handelt, wird das Volumen kleiner und die verrichtete Arbeit wird von außen am Gas verrichtet.Das heißt das Ergebnis der Integration wird negativ sein.
Nach POISSON folgt mit p1 ∙ V1κ= p ∙ V
κfür beliebiges
oberen Druck p:
W =
1
2𝑝1𝑉1
𝜅
𝑉𝜅𝑑𝑉 = 𝑝1𝑉1
𝜅
1
2
𝑉−𝜅𝑑𝑉 =𝑝1𝑉1
𝜅
1 − 𝜅𝑉1−𝜅 1
2
W =𝑝1𝑉1
𝜅
1 − 𝜅𝑉21−𝜅 − 𝑉1
1−𝜅 = −𝑝1𝑉1𝑉1
𝜅−1
𝜅 − 1
1
𝑉2𝜅−1 −
1
𝑉1𝜅−1
W = −p1V1κ − 1
𝑉1𝑉2
𝜅−1
− 1 =p1V1κ − 1
1 −𝑉1𝑉2
𝜅−1
W =𝑚 R∗ T1κ − 1
1 −𝑉1𝑉2
𝜅−1
< 0ZG
aufzuwendende Arbeit
Adiabate
Isothermen
2
1 BRU
Übungen zum 1. Hauptsatz1. Übung:
Komprimiert man 3 m³ 27°C warme Luft von 110 kPa
auf 500 kPa ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung,
so besitzt die Luft nach der Verdichtung ein Volumen von
1 m³ und erreicht eine Temperatur von 189 °C (Prinzip
„pneumatisches Feuerzeug“).
Der Betrag der Verdichtungsarbeit beträgt 446 kJ.
Freiheits-grade der Moleküle f
Adiabaten-koeffizient
k = 𝑓+2
𝑓
Einatomig(He, Ar, Kr) 3 1,67
Zweiatomig(H2, N2, O2) 5 1,4
Dreiatomig(H2O, CO2) 6 1,33
2. Übung: Luftpumpe 3. Übung: Zylinder