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(Anpassung im Folienmaster über «Ansicht» > «Folienmaster») 29.03.2021 1

Thermodynamik II – Übung 4

Marco Semeraro


(Anpassung im Folienmaster über «Ansicht» > «Folienmaster») 29.03.2021Marco Semeraro 2

Themen von Heute

▪ Instationäre Wärmeleitung

▪ 0D

▪ 1D – Halbunendliche Wand

▪ Strömungsabhängige Konvektion

▪ Tipps für die Serie



Repetition: Biot – Zahl

▪ Die Biot-Zahl ist definiert als

▪ L ist die charakteristische Länge (Radius bei einer Kugel, Dicke bei einer Platte) über

die der Temperaturgradient abfällt

▪ Die Biot-Zahl sagt aus, welche Art der Wärmeübertragung dominant ist:



Instationäre Wärmeleitung – 0D

▪ Liegt gute Wärmeleitung vor oder ist der Körper sehr klein, so ist die Temperatur im

instationären Fall innerhalb des betrachteten Körpers nur eine Funktion der Zeit und nicht

vom Ort

▪ Die Temperatur innerhalb des betrachteten Körpers kann also als uniform betrachtet werden

▪ Dazu muss die Bedingung erfüllt sein (überprüfen!)

▪ Dies ist also erfüllt wenn entweder 𝛼 ∗ 𝐿 ≪ 1, also sehr kleine Körper oder wenn λ ≫ 1, also

für Körper mit sehr guter Wärmeleitfähigkeit (Metalle)




▪ Energiebilanz für gegebenen Körper:

𝑑𝐸𝑑𝑡 =

ሶ𝑄𝑒𝑖𝑛− ሶ𝑄𝑎𝑢𝑠+ ሶ𝑄𝑞𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛

▪ Unter der Annahme dass keine Quellen im System sind und der heisse Körper nur konvektiv Wärme

abgibt, reduziert sich die Energiebilanz auf:

𝑑𝐸𝑑𝑡

= − ሶ𝑄𝑎𝑢𝑠 = −𝐴 ∗ 𝛼 ∗ (𝑇 − 𝑇∞)

▪ Die innere Energie ist gegeben als 𝐸 = 𝑀 ∗ 𝑐 ∗ 𝑇

▪ Damit lässt sich die instationäre Wärmeleigleichung

umschreiben zu:

𝑑𝑇

𝑑𝑡= −

𝐴 ∗ 𝛼

𝑀 ∗ 𝑐∗ (𝑇 − 𝑇∞)

Konvektiver Wärmeübergang




▪𝑑𝑇

𝑑𝑡= −

𝐴∗𝛼

𝑀∗𝑐∗ (𝑇 − 𝑇∞) lässt sich durch Separation der Variablen

lösen mit folgenden Randbedingungen:

▪ 𝑇 𝑡 → ∞ = 𝑇∞▪ 𝑇 𝑡 = 0 = 𝑇𝑖

▪ Damit folgt für das Temperaturprofil im betrachteten Kontrollvolumen:

𝑇 = 𝑇∞ + (𝑇𝑖 − 𝑇∞)𝑒−𝐴∗𝛼𝑀∗𝑐𝑡

▪ Oder in kompakter, dimensionsloser Schreibweise:

𝑇 − 𝑇∞𝑇𝑖 − 𝑇∞

= 𝑒−𝐴∗𝛼𝑀∗𝑐𝑡 = 𝑒−

𝑡𝜏

▪ Hierbei bezeichnet 𝜏 =𝑀∗𝑐

𝐴∗𝛼𝑠 die Zeit, bis der ursprüngliche Wert auf

1

𝑒zusammenfällt




▪ Ist die Forderung nicht erfüllt, liegt im Körper auch kein homogenes

Temperaturprofil vor

▪ Wir beschränken uns im Folgenden auf die eindimensionale Wärmeleitung (gute Näherung

für Objekte mit grosser Ausdehnung orthogonal zur Dickenrichtung)




▪ Startpunkt ist die Energiebilanz innerhalb des betrachteten Körpers:

▪ Annahmen:

▪ Keine Quellen

▪ 𝜆, 𝜌, 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

▪ Eindimensional

▪ Damit folgt für die Wärmeleitungsgleichung:

1

𝑎

𝜕𝑇

𝜕𝑡=𝜕2𝑇

𝜕𝑥2

Wie die Lösung des Problems aussieht ist

abhängig von der Geometrie des Körpers. Man

kann beispielsweise die Lösung für eine endlich

dicke Platte herleiten (siehe Skript). Dies wird

an dieser Stelle nicht weiter ausgeführt, da

Lösung ungeeignet zum rechnen ist und auch in

keiner Übung thematisiert wird. An dieser Stelle

betrachten wir den Spezialfall der Wärmeleitung

innerhalb einer halbunendlichen Wand



Instationäre Wärmeleitung – 1D – Halbunendliche Wand

▪ Die halbunendliche Wand ist ein Spezialfall und ist für viele technische Fragestellungen

sehr hilfreich

▪ Wenn an einer Wand, die ursprünglich im thermischen Gleichgewicht ist, auf einer Seite eine

plötzliche Störung vorliegt, kann diese als unendlich dick behandelt werden für Zeiten, wo

die Störung die Rückseite noch nicht erreicht hat.

▪ Die reduzierte Wärmeleitungsgleichung lautet wie folgt:

1

𝑎

𝜕𝑇

𝜕𝑡=𝜕2𝑇

𝜕𝑥2

▪ Die Randbedingungen lauten:

Reminder:

Temperaturleitfähigkeit

𝑎 =𝜆

𝜌𝑐




▪ Mit Hilfe der Ähnlichkeitsvariable 𝜂 =𝑥

4∗𝛼∗𝑡lässt sich die partielle Differentialgleichung

1

𝑎

𝜕𝑇

𝜕𝑡=

𝜕2𝑇

𝜕𝑥2überführen in eine reguläre Differentialgleichung:

𝑑2𝑇

𝑑𝜂2= −2 ∗ 𝜂 ∗

𝑑𝑇

𝑑𝜂

▪ Die Lösung dieser komplexen Differentialgleichung lautet wie folgt:

𝑇 − 𝑇𝑆𝑇𝑖 − 𝑇𝑆

=2

𝜋න0

𝜂

𝑒−𝜂2𝑑𝜂 = erf(𝜂)

▪ Um konkrete Aufgabenstellungen so lösen zu können, muss man die Werte des Fehler-

integrals kennen (werden gegeben) → Gleiches Vorgehen wie Diffusionsaufgaben aus WuF




▪ Fallunterscheidungen für halbunendliche Wand:



Instationäre Wärmeleitung – 1D – Diffusionslänge/-zeit

▪ Die Diffusionslänge 𝑥𝐷 bezeichnet die Stelle innerhalb der Wand, wo erfc 0.5 = 0.48erreicht wird und ist formal definiert durch:

𝑥𝐷 =𝜆

𝜌𝑐∗ 𝑡𝐷 = 𝑎 ∗ 𝑡𝐷

▪ Die Diffusionszeit 𝑡𝐷 beschreibt die vergangene Zeit, bis zu der der Wert erfc 0.5 = 0.48erreicht wird. Durch umformen der obigen Gleichung bestimmt sich diese zu:

𝑡𝐷 = 𝑥𝐷2 ∗

𝜌𝑐

𝜆= 𝑥𝐷

2 ∗1

𝑎



Strömungsabhängige Konvektion

▪ Bisher haben wir für den konvektiven Wärmeübergang immer mit

gearbeitet, wobei wir 𝛼 als Konstant betrachtet haben.

▪ In der Realität hängt der konvektive Wärmeübergang jedoch stark von der Strömung ab

▪ Wir müssen also ein Grenzschichtmodell annehmen, um 𝛼 bestimmen zu können




▪ In erster Linie müssen Ausdrücke für die Temperatur- und die Geschwindigkeitsgrenzschicht

gefunden werden. Diese können unter Zuhilfenahme der Kontinuität, Impuls- und

Energieerhaltung hergeleitet werden (siehe Skript)

▪ Geschwindigkeitsgrenzschicht:

▪ Temperaturgrenzschicht:

Unterschiedliche

Lösungsmethoden

möglich

Annahmen:

stationär,

quellenfrei,

inkompressibel, 2D



Strömungsabhängige Konvektion – Reynoldszahl

▪ Um eine quantitative Aussage zum Wärmeübergangskoeffizienten 𝛼 zu machen werden eine

Reihe von unterschiedlichen dimensionslosen Zahlen verwendet

▪ Die Reynoldszahl gibt die Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung an und ist

definiert als

𝑅𝑒 =𝑢∞ ∗ 𝜌 ∗ 𝐿

𝜂=𝑢∞ ∗ 𝐿

𝜈

Dynamische

Kinematische𝜂

𝜌



Strömungsabhängige Konvektion – Prandtlzahl

▪ Um eine quantitative Aussage zum Wärmeübergangskoeffizienten 𝛼 zu machen, werden

eine Reihe von unterschiedlichen dimensionslosen Zahlen verwendet

▪ Die Prandtlzahl Beschreibt das Verhältnis der Dicken von Strömungsgrenzschicht zu

Temperaturgrenzschicht und ist definiert als

𝑃𝑟 =𝜂 ∗ 𝑐𝑝

𝜆

Dynamische



Strömungsabhängige Konvektion– Nusseltzahl

▪ Um eine quantitative Aussage zum Wärmeübergangskoeffizienten 𝛼 zu machen, werden

eine Reihe von unterschiedlichen dimensionslosen Zahlen verwendet

▪ Die Nusseltzahl Beschreibt den konvektiven Wärmeübergang zwischen einer festen

Oberfläche und einem strömenden Fluid und ist definiert als

𝑁𝑢 =𝛼 ∗ 𝐿

𝜆

Achtung: Obwohl 𝑁𝑢 formal identisch

ist wie 𝐵𝑖, beschreibt 𝑁𝑢 die

Eigenschaften des strömenden Fluids




▪ Was ist denn jetzt überhaupt unsere Aufgabe?

▪ Energiegleichung der Konvektion nach wie vor gültig:

ሶ𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣′′ = ത𝛼 ∗ 𝑇 − 𝑇∞

▪ Wir müssen nun ത𝛼 mithilfe eines Grenzschichtmodells berechnen. ത𝛼 bezeichnet den

gemittelten Wärmeübertragungskoeffizienten auf einer Fläche (a), während 𝛼 den lokalen

Wärmeübertragungskoeffizienten an einem infinitesimal kleinen Element beschreibt (b)




▪ Um ത𝛼 zu berechnen, integriert man alle lokalen 𝛼 − Werte über die Oberfläche des Körpers

und mittelt das Ergebnis:

ത𝛼 =1

𝐴𝑠∗ න𝛼 ∗ 𝑑𝐴𝑠

▪ Das Flächenelement lässt sich je nach Objektgeometrie bestimmen:

▪ Platte/Würfel: 𝑑𝐴𝑠 = 𝑑𝑥 ∗ 𝑑𝑦

▪ Zylinder: 𝑑𝐴𝑠 = 𝑟 ∗ 𝑑𝑧 ∗ 𝑑𝜑

▪ Sphäre: 𝑑𝐴𝑠 = 𝑟2 ∗ cos 𝜃 ∗ 𝑑𝜑 ∗ 𝑑𝜃

▪ Der lokale Wert für 𝛼 lässt sich durch Umformen der Nusseltzahl allgemein als Funktion von

𝑥 berechnen zu:

𝛼(𝑥) =𝑁𝑢(𝑥) ∗ 𝜆

𝑥→ was setzen wir für 𝑁𝑢(𝑥) ein?




▪ Zu Beginn muss entschieden werden, ob die Grenzschicht turbulent oder laminar verläuft:

▪ 𝑅𝑒 < 𝑅𝑒𝑐𝑟𝑖𝑡 → Grenzschicht laminar

▪ 𝑅𝑒 > 𝑅𝑒𝑐𝑟𝑖𝑡 → Grenzschicht turbulent

▪ Kritische Reynoldszahl

▪ Für Strömung über ebene Fläche: 𝑅𝑒𝑐𝑟𝑖𝑡 = 1 ∗ 105…2 ∗ 105

▪ Für Rohrströmung: 𝑅𝑒𝑐𝑟𝑖𝑡 = 2300

▪ Berechnungsweise der Nusseltzahl unterscheidet sich je nach Geometrie,

Grenzschichtmodell und Art der Strömung sehr stark, wird aber gegeben sein

Exakter Wert abhängig von

Rauheits- und Turbulenzgrad

der ungestörten Strömung



Strömungsabhängige Konvektion – Laminare Grenzschicht

▪ Erzwungene Konvektion an ebener Wand:

▪ 𝑃𝑟 ≪ 1: 𝑁𝑢 ≈ (𝑃𝑟 ∗ 𝑅𝑒)1

2

▪ 𝑃𝑟 ≫ 1: 𝑁𝑢 ≈ 𝑃𝑟1

3 ∗ 𝑅𝑒1

2

▪ 𝑁𝑢 = 0.289 ∗ 𝑃𝑟1

3 ∗ 𝑅𝑒1

2

▪ 𝑃𝑟 ≥ 0.6: 𝑁𝑢 = 0.332 ∗ 𝑃𝑟1

3 ∗ 𝑅𝑒1

2

▪ 𝑃𝑟 ≤ 0.6: 𝑁𝑢 = 0.565 ∗ (𝑃𝑟 ∗ 𝑅𝑒)1

2

▪ 𝑅𝑒 ∗ 𝑃𝑟 > 100: 𝑁𝑢 =0.3387∗𝑃𝑟

13∗𝑅𝑒

12

1+0.0468

𝑃𝑟

23

14

Grössenordnungslösung

Integrale Lösung: lineares Grenzschichtprofil (Vereinfachung)

Integrale Lösung: exaktes Profil → Beste Lösung



Strömungsabhängige Konvektion – Turbulente Grenzschicht

▪ Erzwungene Konvektion an ebener Wand:

▪ Für den Fall einer turbulenten Strömung verkompliziert sich das Problem erheblich,

analytisch exakte Beschreibung der Grenzschichten nicht mehr möglich

▪ Semi-empirische Verfahren schlagen folgende Näherungslösungen vor:

Lokaler

Widerstandsbeiwert



Strömungsabhängige Konvektion – Laminare Grenzschicht

▪ Erzwungene Konvektion im Rohr:

▪ Nusselt-Zahl:

▪ Falls Wandtemperatur 𝑇𝑠 fixiert:

▪ Falls Wandwärmestrom ሶ𝑞′′𝑤 fixiert:



Strömungsabhängige Konvektion – Turbulente Grenzschicht

▪ Erzwungene Konvektion im Rohr:

▪ Nusselt-Zahl:

▪ Mit dem hydraulischen Durchmesser

▪ 𝑑ℎ,𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠 = 4 ∗1

4𝜋𝐷2

𝜋𝐷= 𝐷

▪ 𝑑ℎ,𝑅𝑒𝑐ℎ𝑡𝑒𝑐𝑘 = 4 ∗𝑎𝑏

2(𝑎+𝑏)= 2

𝑎𝑏

𝑎+𝑏

𝑑ℎ,𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠 = 𝐷

𝑎

𝑏



Serie 9 – Aufgabe 3



Serie 9 – Aufgabe 3

▪ Annahmen:

▪ Stationär

▪ Wärmeleitung eindimensional

▪ 𝜆 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

▪ Strahlung vernachlässigbar

▪ Keine Quellen in Deckfläche

▪ Äussere Strömung beeinflusst Ofeninneres nicht, d.h. Innentemperatur konstant

Prinzipskizze

• 𝑢 = 20𝑚

𝑠

• 𝜈 = 15.89 ∗ 10−6𝑚2

𝑠

• 𝑃𝑟 = 0.707• 𝑅𝑒𝑐𝑟𝑖𝑡 = 5 ∗ 105

• 𝜆 = 0.0263𝑊

𝑚𝐾



Serie 9 – Aufgabe 3 Berechnen Sie den Wärmefluss ሶ𝑄2 und die Temperatur 𝑇𝐷2, welche

sich bei laufendem Ventilator einstellen.

▪ Das Ofeninnere wird nicht beeinflusst, wir können den Fokus also nur auf die Wand und die

Umgebung legen. Da keine Quellen vorliegen und alles eindimensional und stationär

verläuft, können wir mit Widerständen arbeiten:

▪ Bevor der Ventilator installiert wurde, waren folgende Beziehungen massgebend:

1. 𝑇𝑈 − 𝑇∞ = ሶ𝑄 ∗ 𝑅𝑔𝑒𝑠 = ሶ𝑄 ∗𝑑

𝐴𝑠𝜆+

1

𝐴𝑠𝛼2

2. 𝑇𝐷 − 𝑇∞ = ሶ𝑄 ∗ 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 = ሶ𝑄 ∗1

𝐴𝑠𝛼2

3. 𝑇𝑈 − 𝑇𝐷 = ሶ𝑄 ∗ 𝑅𝑙𝑒𝑖𝑡 = ሶ𝑄 ∗𝑑

𝐴𝑠𝜆





▪ Nachdem der Ventilator installiert wurde, gelten folgende Beziehungen:

4. 𝑇𝑈 − 𝑇∞ = ሶ𝑄2 ∗ 𝑅𝑔𝑒𝑠,2 = ሶ𝑄2 ∗𝑑

𝐴𝑠𝜆+

1

𝐴𝑠𝛼2

5. 𝑇𝐷2 − 𝑇∞ = ሶ𝑄2 ∗ 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,2 = ሶ𝑄2 ∗1

𝐴𝑠𝛼2

6. 𝑇𝑈 − 𝑇𝐷2 = ሶ𝑄2 ∗ 𝑅𝑙𝑒𝑖𝑡,2 = ሶ𝑄2 ∗𝑑

𝐴𝑠𝜆

▪ 𝐴𝑠 = 𝑙2 ist die Oberfläche des Ofens

▪ Die Reynoldszahl der Strömung berechnet sich mit 𝑢 = 20𝑚

𝑠zu 𝑅𝑒 =

𝑢∗𝐿

𝜈= 6.3 ∗ 105

▪ 𝑅𝑒𝑐𝑟𝑖𝑡 = 5 ∗ 105

▪ Setzen wir die gegebenen Grössen in die Nusselt-Beziehung ein, so erhalten wir 𝐴 = 871.32und schliesslich 𝑁𝑢𝐿 = 660.86





▪ Die Nusseltzahl ist definiert als 𝑁𝑢 =𝛼∗𝐿

𝜆. Durch Umstellen finden wir den über die

Oberfläche gemittelten Wärmeübergangskoeffizienten ത𝛼:

ത𝛼 =𝑁𝑢𝐿 ∗ 𝜆

𝐿= 34.76

𝑊

𝑚2𝐾= 𝛼2

▪ Da das Innere des Ofens durch den Ventilator nicht beeinflusst wird und die

Umgebungstemperatur invariant ist, muss Gleichung (1) exakt Gleichung (4) entsprechen:

𝑇𝑈 − 𝑇∞ = ሶ𝑄 ∗𝑑

𝐴𝑠𝜆+

1

𝐴𝑠𝛼= ሶ𝑄2 ∗

𝑑

𝐴𝑠𝜆+

1

𝐴𝑠𝛼2



Serie 9 – Aufgabe 3 Berechnen Sie den Wärmefluss und die

Temperatur 𝑇𝐷2, welche sich bei laufendem Ventilator einstellen.

▪ Da die Eigenschaften der Ofenwand konstant sind, kann der Wärmeleitwiderstand der Wand

sowohl mit Gleichung (3) als auch mit Gleichung (6) bestimmt werden:

𝑅𝑙𝑒𝑖𝑡 =𝑑

𝐴𝑠𝜆=𝑇𝑈 − 𝑇∞

ሶ𝑄= 2.575

𝐾

𝑊

▪ Setzen wir die gefundene Grösse für dem Wärmeleitwiderstand in Gleichung (4) ein, können

wir nach dem Wärmestrom ሶ𝑄2 auflösen:

𝑇𝑈 − 𝑇∞ = ሶ𝑄2 ∗ 𝑅𝑔𝑒𝑠,2 = ሶ𝑄2 ∗𝑑

𝐴𝑠𝜆+

1

𝐴𝑠𝛼2= ሶ𝑄2 ∗

𝑇𝑈 − 𝑇∞ሶ𝑄

+1

𝐴𝑠𝛼2

ሶ𝑸𝟐 =𝑇𝑈 − 𝑇∞

𝑇𝑈 − 𝑇∞ሶ𝑄

+1

𝐴𝑠𝛼2

= 𝟒𝟗. 𝟒𝟒𝑾



Serie 9 – Aufgabe 3 Berechnen Sie den Wärmefluss und die

Temperatur 𝑇𝐷2, welche sich bei laufendem Ventilator einstellen.

▪ Um schliesslich noch die neue Oberflächentemperatur 𝑇𝐷2 zu bestimmen, können wir ganz

einfach Gleichung (5) auflösen:

𝑇𝐷2 − 𝑇∞ = ሶ𝑄2 ∗1

𝐴𝑠𝛼2

𝑻𝑫𝟐 = 𝑇∞ + ሶ𝑄2 ∗1

𝐴𝑠𝛼2= 𝟐𝟐. 𝟔𝟕℃



Bonusaufgabe – Sessionsprüfung 2016



Tipps für die Serie

▪ Aufgabe 1

▪ Herleitung des Temperaturverlaufs vom Feststoff und der Flüssigkeit für 0D-System

▪ Kopplung über konvektiven Wärmeübergang

▪ Stelle instationäre Wärmeleitungsgleichung für beide Stoffe auf. Es ergibt sich ein

Differentialgleichungssystem mit zwei Gleichungen. Versuche eine Unbekannte zu eliminieren, um auf

eine reguläre Differentialgleichung zu kommen und verwende die Substitution 𝑛 aus dem Hinweis, um

diese zu Lösen. Für die Randbedingungen sind die Anfangstemperaturen bekannt und im Gleichgewicht

sind die Temperaturen gleich gross.

▪ Aufgabe 2

▪ Werte einsetzen in Formel für Diffusionslänge und Diffusionszeit

▪ Aufgabe 4

▪ Im Gegensatz zur Aufgabe 3 wird hier nicht mit der gemittelten, sondern mit der lokalen Nusseltzahl

gerechnet. Die charakteristische Länge ist dann auch als 𝑥 zu setzen und so erhält man den lokalen

Wärmeübergangskoeffizienten 𝛼(𝑥). Der gemittelte Wärmeübergangskoeffizient, mit dem wir

standardmässig rechnen, finden wir, indem wir das Flächenintegral über den Chip auswerten.

▪ Ansonsten analog zu Aufgabe 3




▪ Aufgabe 5

▪ A) Einsetzen in Formel für Biot – Zahl und argumentieren, ob die Annahme einer mittleren Temperatur

sinnvoll ist oder nicht

▪ B) Wenn Annahme einer mittleren Temperatur in Ordnung ist, kann raumunabhängige instationäre

Lösung der Wärmeleitungsgleichung verwendet werden. Hinweis: In diesem Kurs ist es für analytische

Lösungen entweder immer Raumunabhängig, also 0D oder der Spezialfall «halbunendliche Wand».

Alles andere ist analytisch nicht lösbar.

▪ C) Finde Extremalstelle für Temperaturdifferenz

▪ Aufgabe 6

▪ Zusammenhang zwischen Strom und Wärme notwendig: ∆ ሶ𝑄 = 𝐼2 ∗𝜌Δ𝑥

𝑆

▪ Verwende die Skizze rechts für eine Energiebilanz

▪ Aufgabe nicht sehr repräsentativ im Sinne einer Prüfung

▪ Aufgabe 7

▪ A) Balken sind ähnlich: Vorgehen analog wie in Fluiddynamik

▪ B) Balken sind ähnlich: Vorgehen analog wie in Fluiddynamik

▪ C) Überlege, welche Grössen wie beeinflusst werden




▪ Aufgabe 8

▪ A) Aufgabe könnte auch aus einer Fluiddynamik Serie stammen → Finde plausible Annahmen wie in

Fluiddynamik. Um das Geschwindigkeitsfeld zu bestimmen, kann die Kontinuitäts- und die

Impulsgleichung in differenzieller Schreibweise verwendet werden. Um das Temperaturfeld zu

bestimmen, muss die Energieerhaltungsgleichung (=Wärmeleitungsgleichung) in den Segmenten

«ruhende Platte» und «Öl» aufgelöst werden. Hinweis: Die analytische Lösung ist an dieser Stelle

möglich, aber aufgrund des Umfangs kaum repräsentativ für eine realistische Prüfungsaufgabe.

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