Trägheitsmoment, Steiner’scher Satz

Torsionspendel zum Nachweis des Steiner’schen Satzes

Version vom 6. September 2012

Inhaltsverzeichnis

1 Drehscheiben-Torsionspendel 11.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Trägheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Der Steiner’sche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.4 Drehscheiben-Torsionspendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.5 Berechnung von Scheibenmasse M und Richtmoment D . . . . . . . 4

1.2 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Versuchsaufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Hinweise zu Protokollierung und Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 6

TM 1 Drehscheiben-Torsionspendel

1 Drehscheiben-Torsionspendel

1.1 Grundlagen

1.1.1 Begriffe

Drehmoment, Massenträgheitsmoment, Trägheitsmoment, Steiner’scher Satz

1.1.2 Trägheitsmoment

Das Trägheitsmoment J eines Körpers ist ein Maß für seinen Widerstand gegen die Än-derung seines Drehbewegungszustandes. Gemäß seiner Definition ist das Trägheitsmomentimmer auf eine bestimmte Drehachse bezogen und hängt von der Lage dieser Achse imKörper ab.

J =

∫V

r2 dm =

∫V

r2 ρ dV (1)

Formelzeichen Einheit BezeichnungJ kg m2 Trägheitsmoment bzgl. beliebiger Rot.-Achsedm kg Massenelementr m Normalabstand zwischen dm und RotationsachseV m3 Volumenρ kg m3 Dichte eines homogenen Körpers

Vergleichen Sie die Definitionen und Bedeutungen der kinematischen unddynamischen Größen bei Translations- und Rotationsbewegungen in der

Zusatzinformation auf der eLearning Seite des Anfängerpraktikums

1.1.3 Der Steiner’sche Satz

Der Steiner’sche Satz verknüpft das Trägheitsmoment JS des Körpers für Drehungen umeine Achse durch den Massenmittelpunkt mit dem Trägheitsmoment J bezüglich einerdazu parallelen Achse im Abstand d.

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TM 1 Drehscheiben-Torsionspendel

Der Steiner’sche Satz lautet:J = JS +mges · d2 (2)

Formelzeichen Einheit BezeichnungJ kg m2 Trägheitsmoment bzgl. beliebiger Rot.-AchseJS kg m2 Trägheitsmoment bzgl. || Schwerpunktachsemges kg Gesamtmasse des Systemsd m Abstand der beiden Drehachsen

1.1.4 Drehscheiben-Torsionspendel

Ein Torsionspendel führt Drehschwingungen mit der Schwingungsdauer T aus, wobei dieBewegungsgleichung -analog zu anderen Pendeln- aus dem Kräftegleichgewicht (ohne Be-rücksichtigung des Reibungsgliedes ergibt:

Jϕ̈(t)−Dϕ(t) = 0 (3)

Da die rücktreibende Kraft Dϕ(t) nicht vom Sinus eines Winkels abhängt (so wie bei denvon der Schwerkraft rückgetriebenen Pendeln), sondern D einer (Torsions-)Federkonstanteentspricht, ist für die Lösung der Differenzialgleichung ein analytischer Weg ohne Ein-schränkung auf kleine Winkel möglich.

Die Lösung der Differentialgleichung ergibt analog zu den anderen Pendelarten:

ϕ(t) = ϕ0 sinωt+ Φ wobei: ω =

√D

J= 2πf =

2π

T(4)

daraus folgt:

T 2 = 4π2 J

D(5)

Formelzeichen Einheit BezeichnungJ kg m2 TrägheitsmomentD kg m2 s−2 RichtmomentT s Schwingungsdauerϕ 1 (rad) Auslenkung (Winkel)t s Zeit (momentane)ω s−1 Kreisfrequenzf s−1 Frequenz

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TM 1 Drehscheiben-Torsionspendel

Abbildung 1: Drehscheiben-Torsionspendel: schematische Darstellung

Formelzeichen Einheit BezeichnungM kg Masse einer Drehscheibem kg Masse eines Zusatzgewichtesa m Schwerpunkts-Abstand von Scheibe und Zusatzgewichtr m ScheibenradiusR m Abstand von Hauptrotationsachse und Scheibenschwerpunkt

Tabelle 1: Definition der Größen in Abb. 1

Bei der Anordnung wie in der Abbildung 1 gezeigt, berechnet man bei unfixierten Scheibendas Trägheitsmoment Ju so, als ob die Scheibenmassen M im Punkt ihrer Aufhängungkonzentriert wären.

Ju = 2 ·M ·R2 (6)

Bei fixierten Scheiben bildet die Apparatur einen starren Körper. Nach dem Steiner’schenSatz muss gelten: das Trägheitsmoment einer Scheibe um die Achse der Drehschwingungist gleich dem Trägheitsmoment der auf ihren Aufhängungspunkt konzentrierten Scheiben-masse um die Drehachse plus dem Trägheitsmoment der Kreisscheibe um ihre Symmetrie-achse r. Das Trägheitsmoment bei fixierten Scheiben Jf ergibt sich nun zu:

Jf = 2 ·M ·R2 +M · r2 (7)

Wobei 12Mr2 das Trägheitsmoment einer Kreisscheibe mit Radius r ist.

Für die Schwingungsdauer folgt aus Gleichung 5:

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TM 1 Drehscheiben-Torsionspendel

T 2u =

4π2M

D· 2R2 (8)

T 2f =

4π2M

D· (2R2 + r2) (9)

und weiters:

T 2u

T 2f

=2R2

2R2 + r2(10)

1.1.5 Berechnung von Scheibenmasse M und Richtmoment D

In die Löcher der Scheiben mit Abstand a vom Scheibenzentrum werden symmetrisch zuden Drehachsen der Scheiben gleiche Massen m eingesetzt (2 Massen pro Scheibe, insgesamtalso 4). Das Experiment kann mit fixierten oder unfixierten Scheiben durchgeführt werden.

Unfixierte ScheibenBei unfixierten Scheiben braucht zur Bestimmung des Trägheitsmoments J nur die vergrö-ßerte Masse der belasteten Scheiben berücksichtigt zu werden:

J1 = 2R2(M + 2m) (11)

Daraus ergibt sich die Schwingungsdauer T1 aus Gleichung 5:

T 21 = 4π22R2(M + 2m)

D(12)

und aus dieser und Gleichung 8 folgt für M und D:

M =2mT 2

u

T 21 − T 2

u

(13)

D =8π2R2M

T 2u

(14)

Fixierte ScheibenBei fixierten Scheiben verhält sich das Torsionspendel bei Drehungen wie ein starrer Kör-per. Das Trägheitsmoment JS der belasteten Scheibe um ihre eigene Symmetrieachse ist

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TM 1 Drehscheiben-Torsionspendel

gemäß des Steiner’schen Satzes gleich der Summe aus Trägheitsmoment der unbelastetenScheibe plus Trägheitsmoment der Zusatzmasse im Abstand a vom Scheibenzentrum plusTrägheitsmoment der Zusatzmassen um ihre eigene Symmetrieachse, also:

JS =1

2Mr2 + 2ma2 +ms2 (15)

Formelzeichen Einheit BezeichnungJS kg m2 Trägheitsmoment belastete Scheibe um eigene AchseM kg Scheibenmassem kg Zusatzmasser m Radius der Scheibena m Abstand Scheibenmittelpunkt - Zusatzmassenmittelpunkts m Radius der zylindrischen ZusatzmasseR m Abstand von Hauptrotationsachse und Scheibenschwerpunkt

Das gesamte Trägheitsmoment der Aufhängung ist:

J2 = 2(M + 2m)R2 + 2JS (16)

Die Schwingungsdauer T2 der fixierten Anordnung ergibt sich nach Gleichung 5 dann zu:

T 22 =

4π2

D[M(2R2 − r2) + 2m(2R2 + 2a2 + s2)] (17)

Daraus und aus Gleichung 8 errechnet man M und D:

M = 2m2R2 + 2a2 + s2

2R2(

T 22

T 2u− 1)− r2

(18)

D =8π2R2M

T 2u

(= Gleichung 14)

1.2 Aufgabenstellung

1. Zeigen Sie die Gültigkeit des Steiner’schen Satzes durch Überprüfung des Zusammen-hanges zwischen Schwingungsdauern und Radien (nach Gl. 10 beim Drehscheiben-Torsionspendel).

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TM 1 Drehscheiben-Torsionspendel

2. Diskutieren Sie das Ergebnis, indem Sie die Unsicherheiten berechnen und verglei-chen.

3. Bestimmen Sie die Masse M der Drehscheibe (und geben Sie die Unsicherheit an).

4. Bestimmen Sie das Richtmoment D des Drehscheiben-Torsionspendels (und gebenSie die Unsicherheit an).

1.3 Versuchsaufbau und Durchführung

Ermitteln Sie die alle nötigen Abmessungen bzw. Massen der Anordung und ihre Unsi-cherheiten.

Zur Überprüfung des Steiner’schen Satzes nach Gleichung 10 bestimmen Sie die Schwin-gungsdauern der unbelasteten Anordnung im unfixierten und fixierten Zustand. ErinnernSie sich an die Praktikumsinheit M1 - Messen und Messfehler in der Mechanik und be-rücksichtigen Sie die gelernten Richtlinien zur Bestimmung von Schwingungsdauern.

Für die Berechnng der Scheibenmasse M und des Richtmoments D entscheidetder Betreuer / die Betreuerin, ob diese im Versuch mit fixierten oder unfixier-ten Drehscheiben ermittelt werden! Hierfür müssen Sie die Zusatzmassen im Abstanda an den Scheiben anbringen.

1.4 Hinweise zu Protokollierung und Fehlerrechnung

Wenn Sie zur Berechnung der Unsicherheiten bei M und D kein Computerprogramm (wiez.B. Mathematica od. ähnl.) zur Verfügung haben, so ist eine exakte Fehlerfortpflanzungs-rechnung nicht zwingend notwendig. Stattdessen genügt eine vereinfachte Abschätzung(welche Unsicherheiten liefern die Hauptbeiträge zur Gesamtunsicherheit, welche könnenvernachlässigt werden) oder eine Größtfehlerabschätzung. Sie sind aber trotzdem herzlicheingeladen die exakte Fehlerrechnung zu Übungszwecken durchzuführen.

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Fakultät für Physik

WINTERSEMESTER 2012

Physikalisches Praktikum 1

PROTOKOLL

Experiment (Nr., Titel):TRÄGHEITSMOMENT, STEINER’SCHER SATZ

Datum: 01.10.2012

Namen: MAXIMA MUSTERFRAU

Kurstag/Gruppe: Mo/1

Betreuer: NAGEL

Inhaltsverzeichnis

1 Aufgabenstellung 3

2 Grundlagen zum Experiment 3

3 Material und Methoden / Versuchsaufbau 3

4 Durchführung des Experiments 5

5 Ergebnisse 6

6 Diskussion 8

ANMERKUNG: Das Inhaltsverzeichnis ist (besonders bei kurzen Protokollen < 20Seiten) optional.

TM 1 Aufgabenstellung

1 Aufgabenstellung

Mit Hilfe eines Drehscheiben-Torsionspendels wird die Gültigkeit des Steinsch’schen Sat-zes überprüft. Dazu wird die Beziehung der Schwingungsdauern zu den Radien genutzt.Zusätzlich wird mit Hilfe bekannter Zusatzmassen die Masse der Drehscheiben und dasRichtmoment des Pendels bestimmt.

2 Grundlagen zum Experiment

TrägheitsmomentDas Trägheitsmoment J eines Körpers ist ein Maß für seinen Widerstand gegen die Ände-rung seines Drehbewegungszustandes. Das Trägheitsmoment ist immer auf eine bestimmteDrehachse bezogen und hängt von der Massenverteilung des Körpers um diese Achse ab(wobei r der Abstand des Massenelements dm von der Drehachse ist bzw. V das Volumendes Körpers und ρ seine Dichte).

J =

∫V

r2 dm =

∫V

r2 ρ dV (1)

[J ] = kg m2

Steinersch’scher SatzDer Steiner’sche Satz verknüpft das Trägheitsmoment JS des Körpers für Drehungen umeine Achse durch den Massenmittelpunkt mit dem Trägheitsmoment J bezüglich einerdazu parallelen Achse im Abstand d.

J = JS +mges · d2 (2)

Periodendauer von PendelschwingungenFür die Schwingungsdauer T von Pendelschwingungen eines Pendels mit dem Trägheits-moment J bezüglich der Rotationsachse und dem (auslenkungsabhängigen) RichtmomentD gilt folgender Zusammenhang:

T 2 = 4π2 J

D(3)

[D] = kg m2 s−2

3 Material und Methoden / Versuchsaufbau

Beweis des Steiner’schen SatzesFür den Beweis der Gültigkeit des Steiner’schen Satzes bedient man sich eines Drehscheiben-Torsionspendels. Das Drehscheiben-Torsionspendel ist an einem starren Wandstativ frei

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TM 3 Material und Methoden / Versuchsaufbau

hängend an einem 3,3 mm dicken Torsionsdraht mit einer Länge von 69 cm aus Stahlbefestigt. Eine Skizze des Pendels ist in Abb. 1 gegeben. M bezeichnet die Masse derDrehscheiben mit dem Radius r, die wahlweise befestigt oder im Abstand R von der Torsi-onsachse frei drehbar angebracht sind. m bezeichnet die Masse der 4 optional im Abstanda von der Drehachse der Drehscheiben anfügbaren Zusatzmassen.

Abbildung 1: Drehscheiben-Torsionspendel: schematische Darstellung

Bei unfixierten Scheiben berechnet man das Trägheitsmoment Ju so, als ob die Scheiben-massen M im Punkt ihrer Aufhängung konzentriert wären, da sich diese im Punkt ihrerAufhängung frei drehen können und so keinen Beitrag zum Trägheitsmoment liefern. Damitergibt sich durch Einsetzen in Gl. 2 für das Trägheitsmoment des Pendels mit unfixiertenScheiben (und ohne Zusatzmassen) Ju:

Ju = 2 ·M ·R2 (4)

Bei fixierten Scheiben bildet die Apparatur einen starren Körper. Nach Gl. 1 und demSteiner’schen Satz (Gl. 2) muss für das Trägheitsmoment des Pendels mit fixierten Scheiben(und ohne Zusatzmassen) Jf gelten:

Jf = 2 ·M ·R2 +M · r2 (5)

Wobei 12Mr2 das Trägheitsmoment einer Kreisscheibe mit Radius r ist.

Setzt man Ju und Jf nun in die Gl. 3 ein und bildet das Verhältnis der der (quadrierten)Schwingungsdauern, so kürzt sich der Faktor mit Masse M und Richtmoment D weg undman erhält die einfache Beziehung:

T 2u

T 2f

=2R2

2R2 + r2(6)

Damit kann die Gültigkeit des Satzes von Steiner nachgewiesen werden.

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TM 4 Durchführung des Experiments

Berechnung der Scheibenmasse und des RichtmomentsFür die Berechnung der Scheibenmasse M und des Richtmoments D müssen bekanntezylindrische Zusatzmassen m mit Radius s in die dafür vorgesehenen Löcher im Abstanda zur Scheibenmitte eingesetzt werden (vgl. Abb. 1). Die somit veränderten Trägheits-momente im fixierten Fall (Jz,u) und unfixierten Fall (Jz,f ) müssen in den Gl. 4 und 5berücksichtigt werden. Im fixtierten Fall muss erneut der Steiner’sche Satz angewendetwerden. Durch Umformung auf M bzw. D erhält man:

für den unfixierten Fall:

M =2mT 2

u

T 2z,u − T 2

u

(7)

D =8π2R2M

T 2u

(8)

und für den fixierten Fall:

M = 2m2R2 + 2a2 + s2

2R2(

T 2z,f

T 2u− 1)− r2

(9)

D =8π2R2M

T 2u

(= Gleichung 8)

GeräteDie Bestimmung aller erforderlichen Messgrößen (Zeiten, Längen, Massen) erfolgt direktmittels geeigneter Messgeräte, wie im folgenden Kapitel näher erläutert wird.

4 Durchführung des Experiments

Um die Gültigkeit des Steiner’schen Satzes zu zeigen, wird das Verhältnis der Schwin-gungsdauern Tf im fixierten und Tu im unfixierten Fall bestimmt und mit den in Relationstehenden Radien r und R wie in Gl. 6 verglichen. Zur Bestimmung der Schwingungsdau-ern werden Messreihen mit mit Stichprobenumfang von n=15 aufgenommen. Dabei wirdpro Zeitmessung nicht die Dauer von einer sondern von zehn Schwingungen gemessen, daso die relative Zeitdauer der menschlichen Unsicherheitskomponente beim Messvorgangkleiner ist. Gemessen wird mit einer digitalen Stoppuhr der Auflösung ±0, 01s. Die Radienwerden mit einem Maßstab mit der Auflösung von ±1mm bestimmt.

Für die Bestimmung vonM und D im fixierten bzw. unfixierten Fall werden die Massen mder Zusatzmassen, die vom Betreuer / von der Betreuerin gewählt wurden, mit der Waage

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TM 5 Ergebnisse

des Typs Sartorius (Messgenauigkeit: ±0, 1g) bestimmt. Ihr Durchmesser 2s wird mit derSchiebelehre bei einer Auflösung von ±0, 05mm gemessen. Es werden ebenfalls Messreihenfür die Schwingungsdauern mit Zusatzmassen im unfixierten (10 Tz,u) und fixierten Fall(10 Tz,f ) mit n=15 bestimmt.

Da das rücktreibende Drehmoment beim Torsionspendel direkt proportional zur Auslen-kung ist, muss die Anfangsauslenkung nur derart erfolgen, dass die Torsion des Drahtesim elastischen Bereich erfolgt und möglichst keine anderen Schwingungsarten die Torsi-onsschwingung überlagern.Während der Messungen blieb die Raumtemperatur konstant auf TR = 23, 2 ◦C.

5 Ergebnisse

Tabelle 1 zeigt die Messreihen für 10 Tu und 10 Tf sowie 10 Tz,u und 10 Tz,f .

n 10 Tu (s) 10 Tf (s) 10 Tz,u (s) 10 Tz,f (s)1 19,23 21,87 22,10 24,942 19,19 22,09 22,09 25,133 18,99 22,00 21,48 24,694 19,07 21,79 21,72 25,225 19,07 21,91 21,62 25,246 19,10 21,83 21,50 25,167 18,99 21,97 21,57 25,278 19,04 21,98 22,08 25,139 19,11 21,96 22,00 24,8710 18,85 21,84 21,92 25,0911 19,10 21,77 22,03 25,4912 19,19 21,66 21,92 24,8713 18,93 21,96 22,23 25,0714 19,03 21,84 21,92 25,0015 19,09 21,99 21,81 25,29

10T 19,06 21,90 21,87 25,10T 1,906 2,190 2,187 2,510uT 0,003 0,003 0,007 0,006

Tabelle 1: Messwerttabelle für Tu, Tf , Tz,u und Tz,f

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TM 5 Ergebnisse

Die Ergebnisse der Schwingungsdauern lauten:

Tu = (1, 91 ± 0, 01)s (10)Tf = (2, 19 ± 0, 01)s (11)Tz,u = (2, 19 ± 0, 01)s (12)Tz,f = (2, 51 ± 0, 01)s (13)

(14)

Die Messunsicherheit der Schwingungsdauern ergeben sich aus der Zeit-Auflösung derStoppuhr, da die Standardabweichungen der Mittelwerte in allen Fällen kleiner war.

Die 4 Zusatzmassen haben folgende Massen:m1 = 501,0 gm2 = 500,2 gm3 = 500,9 gm4 = 500,6 g

Es wurde der Mittelwert aller vier Zusatzmassen für die Berechnung der Scheibenmasseherangezogen. Als Unsicherheit der Zusatzmasse wurde jedoch kein Streuparameter oderdie Messgenauigkeit der Waage gewählt, sondern ein Toleranzbereich, der unter Berück-sichtigung der Messgenauigkeit der Waage alle vier Ergebnisse der Zusatzmassen geradeumfasst.

m̄ = (500,7 ± 0,5) g

Die Werte der Radien bzw. Abstände lauten:

R =(135 ± 2) · 10−3m (15)r =(110 ± 2) · 10−3m (16)a =(81 ± 2) · 10−3m (17)s =(15, 9 ± 0, 1) · 10−3m (18)

(19)

Die Messunsicherheiten der Längen ergeben sich aus der Auflösung der Messgeräte, dieaber verdoppelt wurde auf Grund der Tatsache, dass die Mittelpunkte der Aufhängungen,Bohrungen etc. nur geschätzt werden konnten und es keinen festen Ansetzpunkt für dieMessskalen gab.

Zum Beweis des Steiner’schen Satzes werden beide Seiten der Gl. 6 berechnet:

T 2u

T 2f

= 0, 761 ± 0, 011 (20)

2R2

2R2 + r2= 0, 751 ± 0, 035 (21)

Die Unsicherheiten wurden mit dem Gauß’schen Fehlerfortpflanzungsgesetz berechnet.

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TM 6 Diskussion

Die Berechnung von D ergibt für den unfixierten Fall:

D = (1, 254 ± 0, 065)kg ·m2 · s−2

Die Berechnung des Richtmoments wurde nur für den unfixierten Fall vorgenommen. Sei-ne Unsicherheit wurde mit dem vereinfachten Gauß’schen Fehlerfortpflanzungsgesetz fürrelative Fehler bestimmt.

Die Berechnung von M für den unfixierten Fall ergibt:

Mu = (3, 18 ± 0, 13)kg

Die Unsicherheit der Scheibenmasse aus der Berechnung im unfixierten Fall ergibt sichwieder aus dem Gauß’schen Fehlerfortpflanzungsgesetz, wobei der Unsicherheitsbeitragder Zusatzmassen unberücksichtigt bleiben kann, weil ihr relativer Wert mehr als drei Malkleiner ist als jener der Zeitmessungen.

Die Berechnung von M für den fixierten Fall ergibt:

Mf = (3, 47 ± 0, 17)kg

Die Berechnung der Scheibenmasse im fixierten Fall ist komplexer als im unfixierten Fall.Die relativen Unsicherheitsbeiträge der Zeitmessungen, der Zusatzmassen sowie des Durch-messers der Zusatzmassen sind um mehr als das Dreifache kleiner als die anderen undwurden daher in der Bestimmung der Gesamtunsicherheit vernachlässigt. Die sich darausergebende - für die Fehlerrechnung vereinfachte Funktion - wurde für das Gauß’sche Feh-lerfortpflanzungsgesetz herangezogen.

6 Diskussion

Die Gültigkeit des Steiner’schen Satzes konnte eindrucksvoll gezeigt werden, da die Ergeb-nisse für beide Seiten der Gl. 6 im 1σ-Vertrauensbereich des jeweils anderen liegen undsomit nicht unterscheidbar sind.

Bei den beiden Berechnungsarten der Scheibenmasse ist eine Abweichung festzusetellen,da Mf nicht im Bereich der Unsicherheit von Mu liegt und umgekehrt. Die Abweichungkann vorerst auf die schwierigere Messsituation im unfixierten Fall mit Zusatzmassen zu-rückgeführt werden, da es zu deutlich sichtbaren Reibungsverlusten kam. Das hat in Folgedazu geführt, dass die Scheibenmassen im Lauf der 10 gemessenen Schwingungsdauernunerwünschterweise begonnen haben, um Ihren Aufhängepunkt eine Drehbewegung aus-zuführen. Ebenfalls unberücksichtigt bleibt an dieser Stelle die Tatsache, dass die beidenScheiben im Torsionspendel selbst auch leicht unterschiedliche Massen haben könnten.Die 1σ-Vertrauensbereiche von Mf und Mu überlappen sich jedoch. Daher kann ohne wei-terer Messungen nicht davon ausgegangen werden, dass dass die Ergebnisse der beidenBerechnungsarten signifikant unterschiedlich sind.

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