Trigonometrie

Geometrie

Kapitel 3, 4 & 5

MNProfil - Mittelstufe

Ronald BalestraCH - 8046 Zurich

www.ronaldbalestra.ch

25. Marz 2019

Uberblick uber die bisherigen Geometrie - Themen:

1 Ahnlichhkeit

1.1 Definition & Eigenschaft

1.2 Die Kongruenzabbildungen

1.3 GeoGebra in der Geometrie

1.4 Zentrische Streckungen & deren Eigenschaften

1.5 Ahnlichkeit im Dreieck

1.6 Die Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras

1.7 Ahnlichkeit im & am Kreis

1.8 Die Strahlensatze

1.9 Meine Zusammenfassung

2 Kreisberechnungen

2.1 Definitionen

2.2 Repetitionen geometrischer Figuren

2.3 Die Flache geradlinig begrenzter Figuren

2.4 Kreisflache

2.5 Kreisumfang

2.6 π

2.7 Anwendungen & erstaunliche Eigenschaften

2.8 Meine Zusammenfassung

I

Inhaltsverzeichnis

3 Trigonometrie 13.1 Warum Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . 33.3 Trigonometrie am Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Das Bogenmass &

die Graphen der trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . 183.5 Astrometrie - ein WebQuest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.5.1 Langen- & Winkelmessgerate . . . . . . . . . . . . . . . . 213.5.2 Die alten Griechen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.5.3 Kepler & seine Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.5.4 Sinus- und Cosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.5.5 Der Venustransit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.5.6 Radioastronomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Trigonometrie - 2. Teil 224.1 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2 Trigonometrie im beliebigen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2.1 Der Cosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2.2 Der Sinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2.3 Eindeutigkeit der Losungen bei der Anwendung des Sinus-

und Cosinussatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3 Durch unser Sonnensystem und etwas weiter . . . . . . . . . . . 37

5 Trigonometrie - 3.Teil 385.1 Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.2 Goniometrische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3 Meine Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

II

3 Trigonometrie

3.1 Warum Trigonometrie

In der Trigonometrie (von griechisch trigonon - Dreieck und metron - Mass)werden wir uns mit der Berechnung von Seiten und Winkeln in einem Dreieckbefassen.

Im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks lassen sich mit Hilfe des Satzes vonPythagoras schon einige Aufgaben exakt losen:

Beispiel 3.1 In einem rechtwinkligen Dreieck ∆ABC sind die Lange derHypotenuse c = 6 und die Lange einer Kathete b = 3.7bekannt.Konstruiere das Dreieck ∆ABC und berechne die Langeder zweiten Kathete und die Hohe des Dreiecks ∆ABC.

Doch schon fur die Bestimmung der Winkeloffnungen sind wir auf weniggenaue Hilfsmittel angewiesen:

1

Durch das Konstruieren mit Zirkel und Lineal und dem Bestimmen der Win-keloffnung mit Hilfe des Geodreiecks schleichen sich Fehler ein, die wir spaterdurch die Anwendung trigonometrischer Berechnungsmethoden werden verhin-dern konnen.Zu dem sind wir bei unseren bisherigen Berechnungen, um den Satz des Pytha-goras uberhaupt anwenden zu konnen, auf die Existenz eines rechten Winkelangewiesen und auch auf die Angabe der richtigen Dreiecksteile:

Beispiel 3.2 In einem rechtwinkligen Dreieck ∆ABC sind die Lange derKathete mit a = 5.5 und die Offnung des Winkels mit α =630 bekannt.Konstruiere das Dreieck ∆ABC und berechne die Langender ubrigen Seiten und die Grosse des fehlenden Winkels.

Mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen werden wir spater auch dieseAufgabe (und ahnliche) exakt losen konnen.

Vorerst noch einen Link zu Aufgaben (mit Losungsweg) zum Thema Satz-gruppe des Pythagoras:

https://smart.uni-bayreuth.de/

2

3.2 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

Wir beginnen mit den trigonometrischen Beziehungen im rechtwinkligen Dreieckund untersuchen dazu die folgenden Dreiecke auf Gemeinsamkeiten:

Was haben die folgenden Dreiecke gemeinsam ?

3

Wir fassen zusammen:

Def.: In einem rechtwinkligen Dreieck ∆ABC mit den ublichen Be-zeichnungen werden die trigonometrischen Funktionen wie folgtdefiniert:

sinα :=

cosα :=

tanα :=

Bem.: • sinβ :=

• cosβ :=

• tanβ :=

. . . und wir konnen schon die ersten Beziehungen zwischen sin und cos (ineinem rechtwinkligen Dreieck) formulieren:

4

Aufgaben 3.1 Bestimme mit dem Taschenrechner die folgenden Werte:

1. den Sinus von 130, 76.50, 658290,

2. den Cosinus von 770, 43.90, −540,

3. den Tangens von 20, 37.880, −8120,

4. den Winkel mit dem zugehorigen Sinuswert0.8, 0.2, −0.6,

5. den Winkel mit dem zugehorigen Cosinuswert0.8, 0.2, 2.1,

6. den Winkel mit dem zugehorigen Tangenswert0.8, 0.2, 2.1.

Bestimme die folgenden Werte exakt und verifiziere deine Resultate mit demTR:

α 00 300 450 600 900

sin . . . . . . . . . . . . . . .

cos . . . . . . . . . . . . . . .

tan . . . . . . . . . . . . . . .

Die Ansatze zur exakten Berechnung:

5

zur Herleitung der exakten trigonometrischen Werte . . .

6

Standardaufgaben:

Fur die folgenden Aufgaben arbeiten wir wieder in einem rechtwinkligenDreieck ∆ABC mit den ublichen Bezeichnungen:

Aufgaben 3.2 Gegeben sind: c = 5.6 ∧ β = 38.50

Konstruiere das Dreieck ∆ABC und berechne die Seiten aund b.

7

Aufgaben 3.3 Gegeben sind: b = 4.8 ∧ α = 38.50

Konstruiere das Dreieck ∆ABC und berechne die Seiten aund c.

8

Aufgaben 3.4 Gegeben sind: a = 10.74 ∧ b = 6.48Konstruiere das Dreieck ∆ABC und berechne die Seite cund die Winkel α und β.

9

Aufgaben 3.5 Berechne die in den Beispielen 3.1.1 und 3.1.2 gemessenenGrossen.

Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 1(Zugehorige Losungen)

Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 2(Zugehorige Losungen)

10

3.3 Trigonometrie am Einheitskreis

In diesem Abschnitt werden wir den Einheitskreis einfuhren und an ihm dietrigonometrischen Beziehungen neu definieren. Wir werden ihn als praktischesHilfsmittel kennenlernen und festellen, . . .

• dass die bisherigen Definitionen (im rechtwinkligen Dreieck) auch weiter-hin Gultigkeit haben,

• dass wir die trigonometrischen Funktionen nicht nur auf Winkel zwischen00 und 900 anwenden konnen und

• dass es einige interessante Beziehungen zwischen den trigonometrischenFunktionen gibt.

Der Einheitskreis:

Def.: cosϕ := x-Koordinate von P

sinϕ := y-Koordinate von P

tanϕ := Quotient der y- & der x-Koordinate von P

Veranschaulichung:

11

Verwende zur Losung der folgenden Aufgaben den Einheitskreis:

Beispiel 3.3 Bestimme die folgenden Werte:

ϕ 00 900 1800 2700 3600

sin . . . . . . . . . . . . . . .

cos . . . . . . . . . . . . . . .

tan . . . . . . . . . . . . . . .

und beweise . . .

1. sin2 ϕ+ cos2 ϕ = 1

2. sinϕ = cos(ϕ− 900)

3. cosϕ = sin(900 − ϕ)

Als einen weiteren Zusammenhang wollen wir festhalten: tanϕ =sinϕcosϕ

12

Aufgaben 3.6

1. Verifiziere die Aussage 2 im 2. Quadranten,

2. Verifiziere die Aussage 3 im 3. Quadranten,

3. Verifiziere die Aussage 4 im 4. Quadranten

4. und die Definition des Tangens im 2. Quadranten.

13

Mit Hilfe des Einheitskreises lassen sich viele Beziehungen und Eigenschaf-ten der trigonometrischen Funktionen erkennen:

• Fur welche Winkel ist der sin-Wert negativ ?

• Fur welche Winkel ist der cos-Wert > 0, 5 ?

• Fur welche Winkel ist der tan-Wert positiv ?

14

• Fur welche Winkel erhalten wir den selben sin-Wert ?

und aus dem Verhalten der x-Koordinaten konnen wir schliessen:

• Fur welche Winkel erhalten wir denselben cos-Wert ?

und aus dem Verhalten der y-Koordinaten konnen wir schliessen:

Aufgaben 3.7 Uberprufe die Aussagen fur negative Argumente.

15

• Was fur Beziehungen zwischen sin und cos lassen sich mitHilfe des 3. Quadranten bestimmen ?

Aufgaben 3.8 Formuliere eigene Beziehungen zwischen sin und cos.

16

Wir wollen uns abschliessend noch mit dem Tangens beschaftigen:

Nach Definition gilt fur den Tangens: tanψ :=sinψcosψ

im 2. Quadranten:

tanψ =

im 3. Quadranten:

tanψ =

im 4. Quadranten:

tanψ =

Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 3, 1. Seite(Zugehorige Losungen)

(zugehorige Losungen mit Weg von Cyrill Puntener)

17

3.4 Das Bogenmass &die Graphen der trigonometrischen Funktionen

Neben der Darstellung der Argumente der trigonometrischen Funktionen imGradmass ist auch die Darstellung im sog. Bogenmass ublich. Wir verwendenals Grundlage den Zusammenhang zwischen dem Umfang des Einheitskreisesund der zugehorigen Winkeloffnung:

. . . und definieren:

Aufgaben 3.9 Stelle die Aufgabe im Bogenmass dar und berechne exaktden zugehorigen Funktionswert:

1. sin 300

2. cos 1200

3. tan 900

Aufgaben 3.10 Stelle die Aufgabe im Gradmass dar und bestimme exaktden zugehorigen Funktionswert:

1. sin π2

2. cos−π6

3. tan 2π3

Aufgaben 3.11 Verifiziere deine Resultate mit dem TR.

18

Die graphischen Darstellungen von sin, cos & tan:

• fur den Sinus:

• fur den Cosinus:

19

• fur den Tangens:

Aufgaben 3.12 Untersuche den Einfluss der Parameter in

fx = a · sin(bx− ϕ)

auf die Sinuskurve.

Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 3, 1. Seite(Zugehorige Losungen)

(zugehorige Losungen mit Weg von Cyrill Puntener)

20

3.5 Astrometrie - ein WebQuest

Die Astrometrie beschaftigt sich mit den geometrischen Methoden der Distanz-bestimmung in der Astronomie.In diesem WebQuest werdet ihr euch dazu in Gruppen mit den folgenden The-men auseinandersetzen:

3.5.1 Langen- & Winkelmessgerate

Die Entwicklung und Anwendung verschiedener Messgerate.

3.5.2 Die alten Griechen

Das Wissen uber die Entfernungen in unserem Sonnensystem vor der Zeit Kep-lers.

3.5.3 Kepler & seine Gesetze

Seine Gestze und die Anwendung auf die Entfernungsbestimmungen

3.5.4 Sinus- und Cosinussatz

Die Verallgemeinerung der trigonometrischen Bezieheung auf beliebige Dreiecke.

3.5.5 Der Venustransit

Die Bestimmung der Distanz Erde-Sonne

3.5.6 Radioastronomie

Moderne Methoden der Entfernungsbestimmung

21

4 Trigonometrie - 2. Teil

Wir werden im 2. Teil der Trigonometrie mit einer kurzen Repetition der bishe-rigen trigonometrischen Beziehungen beginnen und uns anschliessend mit dentrigonometrischen Beziehungen im beliebigen Dreieck befassen. Dies wird unsauf den Sinus- und Cosinussatz fuhren, dessen Anwendungen wir an Beispielenbesprechen werden und uns inbesondere auch die Eindeutigkeit von Losungenbei deren Anwendungen diskutieren.Wir werden uns mit weiteren trigonometrischen Beziehungen auseinanderset-zen, den sog. Additionstheoremen.Abschliessend werden wir noch die Goniometrischen Gleichungen diskutieren.

4.1 Repetition

22

..

Geometrie-Aufgaben: Repetitionsserie zur Trigonometre I(Zugehorige Losungen)

23

4.2 Trigonometrie im beliebigen Dreieck

4.2.1 Der Cosinussatz

In einem beliebigen Dreieck ∆ABC gilt:

Beweis: (fur den Winkel α)

1. Fall: α ist spitz

2. Fall: α ist stumpf

24

3. Fall:

25

Aufgaben 4.1 In einem beliebigen Dreieck ∆ABC sind folgende Grossengegeben:

a = 8 , b = 5 , γ = 750

Konstruiere das Dreieck ∆ABC und berechne c , α & β .

26

Aufgaben 4.2 Leite den Cosinus-Satz her, fur β, mit β = spitz.

27

Aufgaben 4.3 Berechne die Winkel in den Dreiecken ∆ABC mit folgen-den Seiten:

1. a = 1, b = 2, c = 3

2. a = 1, b = 2, c = 4

3. a = 1, b = 2, c = 2.5

28

4.2.2 Der Sinussatz

In einem beliebigen Dreieck ∆ABC gilt:

Beweis: (fur den Winkel α)

29

Aufgaben 4.4 In einem beliebigen Dreieck ∆ABC sind folgende Grossengegeben:

α = 250 , a = 4 , b = 6

Berechne c , β & γ und konstruiere zur Kontrolle dasDreieck ∆ABC.

30

Aufgaben 4.5 Leite eine Flachenformel fur ein beliebiges Dreieck ∆ABC,mit γ = stumpf, her.

Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 4(Zugehorige Losungen)

31

4.2.3 Eindeutigkeit der Losungen bei der Anwendung des Sinus- undCosinussatzes

Wir wollen nun der Frage nachgehen, unter welchen Bedingungen eine odermehrere Losungen existieren und wir wie viele Losungen gebrauchen.

Grundsatzlich gilt, das bei Dreiecksaufgaben die Losungen eindeutig be-stimmt sind, wenn die Kongruenzsatze erfullt sind:

1. . . .

2. . . .

3. . . .

4. . . .

Bei der Umkehrung der Sinus- und Cosinusfunktion (sin−1 und cos−1) ent-stehen aber mehrere Losungen:

• Ist der Cosinuswert bekannt, so liefert uns der TR einen zugehorigen Win-kel, wahrend die Anwendung des Einheitskreises und die Periodizitat un-endlich viele Losungen liefert:

Bsp.: cosϕ = 0.7 · der TR liefert:ϕ0 = . . .

· der Einheitskreis liefert :ϕ0 = . . .ψ0 = . . .

· die Periodizitat des Cosinusliefert:ϕ1 = . . .ϕ2 = . . ....ϕk = . . .

ψ1 = . . .ψ2 = . . ....ψk = . . .

32

• Ist der Sinuswert bekannt, so liefert uns der TR einen zugehorigen Winkel,wahrend die Anwendung des Einheitskreises und die Periodizitat unend-lich viele Losungen liefert:

Bsp.: sinϕ = 0.4 · der TR liefert:ϕ0 = . . .

· der Einheitskreis liefert :ϕ0 = . . .ψ0 = . . .

· die Periodizitat des Cosinusliefert:ϕ1 = . . .ϕ2 = . . ....ϕk = . . .

ψ1 = . . .ψ2 = . . ....ψk = . . .

Welche Losung/ Losungen sind nun zu verwenden und unter welchen Bedin-gungen ist es uberhaupt notwendig, eine zweite Losung zubestimmen?

• Im Fall Cosinus:

· die zweite Losung ist immer

· ⇒· ⇒

• Im Fall Sinus:

· die zweite Losung ist immer

· ⇒· ⇒

33

Aufgaben 4.6 In einem beliebigen Dreieck ∆ABC sind die folgendenGrossen gegeben:

b = 14.1, c = 26.4, γ = 105.30

Berechne α, β & a.

34

Aufgaben 4.7 In einem beliebigen Dreieck ∆ABC sind die folgendenGrossen gegeben:

b = 6.5, a = 8.7, β = 14.00

Berechne α, γ & c.

35

Aufgaben 4.8 Beweise folgende Aussage:

”In jedem beliebigen Dreieck teilt die Winkelhal-bierende die Gegenseite im Verhaltnis der anlie-genden Seiten. “

Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 5(Zugehorige Losungen)

36

4.3 Durch unser Sonnensystem und etwas weiter

wir haben in den Aufgaben schon ”fruhe“Anwendungen der Trigonometrie inder Entfernungsbestimmung kenngelernt.Mit einem Auszug aus folgendem Unterrichtsprojekt wollen wir diese Anwen-dungen etwas vertiefen:

Von der Tannenspitze zumAndromedanebel

Entlang der Distanzbestimmung in derAstrometrie durch die Trigonometrie

ein Blended-Learning Projekt in der Mathematikmit Bili - Klassen-SOL - Charakter

und Moglichkeiten interdisziplinarer Beteiligungen

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17. Marz 2019

37

5 Trigonometrie - 3.Teil

Im letzten Teil unserer Trigo-Triologie befassen wir uns mit den Additionstheo-remen, damit wir wissen, warum z.B. sin(α + β) 6= sinα + sinβ gilt und wiedie rechte Seite angepasst werden muss, damit doch noch eine Gleichung ent-steht. Abschliessend werden einen neuen Gleichungsytp, die goniometrischenGleichungen kennen & losen lernen.

5.1 Additionstheoreme

Wir werden uns in diesem Kapitel mit exakt berechenbaren Sinus- & Cosinus-werten beschaftigen und beginnen mit den uns schon bekannten Werten imrechtwinkligen Dreieck:

Uber den Einheitskreis konnen wir nun auch die folgenden Werte exakt be-rechnen:

Die Periodizitat liefert noch unendlich viele weitere, aber mathematisch nichtweiter interessante, exakt berechenbare trigonometrischen Werte.

38

Da die trigonometrischen Funktionen nicht linear sind,

lasst sich z.B. sin(300) nicht einfach durch 12 sin(600) berechnen:

oder z.B. sin(300) + sin(600) 6= sin(300 + 600) = sin(900):

Wir wollen nun Formeln entwickeln, welche u.a. einen Zusammenhang zwi-schen sin(α+ β) und sinα und sinβ herstellt. Dies fuhrt uns auf die sog:

Summenformeln / Additionstheoreme

39

Aufgaben 5.1 Analog lassen sich die folgenden Beziehungen herleiten:

sin(α− β) = sinα cosβ − cosα sinβ

cos(α− β) = cosα cosβ + sinα sinβ

Fur den Fall, dass α und β spitz, die Summe α+β aber stumpf ist, hilft diefolgende Figur:

40

Die Gultigkeit der Aussage im Fall, dass α und β nicht mehr spitz sind, lasstsich durch geschicktes Umformen und Anwenden der Additionstheoreme auf diebewiesenen Situationen zeigen:

Aufgaben 5.2 Berechne exakt die folgenden Werte:

• sin 750

• cos 750

• tan 750

41

Wir wollen noch das Additionstheorem fur den Tangens herleiten und seineAnwendung im Bestimmen von Schnittwinkeln zwischen Geraden untersuchen:

Beispiel 5.1 Bestimme den Schnittwinkel, unter welchem sich die folgen-den Geraden schneiden:

g(x) =52x+ 6 und h(x) = −7

3x− 4

42

Aufgaben 5.3 Leite die Doppelwinkelformeln her:

sin 2α = 2 sinα cosα (1)cos 2α = (cosα)2 − (sinα)2 (2)

= 1− 2(sinα)2 (3)= 2(cosα)2 − 1 (4)

tan 2α =2 tanα

1− (tanα)2(5)

. . . und Veranschauliche an folgender Figur die Gleichung(1), (3) & (4):

43

Fur die Herleitung von sin 360 (und der exakten Berechnung weiterer Werte)verwende, fur ein selbstandiges Durcharbeiten, den folgenden Link:

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/cos36.shtml

44

Verschaffe Dir einen Uberblick uber die weiteren Formeln (Halbwinkel-Formeln,Produkt-Summen-Formeln, Summen-Produkt-Formeln, . . . )

und lose die folgenden Aufgaben:

Aufgaben 5.4 Berechne die folgenden Winkel exakt:

• sin 150 = 12

√2−√

3

45

• cos 30 = 14

√8 +√

3 +√

15 +√

10− 2√

5

• tan 270 =√

5− 1−√

5− 2√

5

46

5.2 Goniometrische Gleichungen

Wir schliessen unsere Trigonometrie mit einem kurzen Einblick in die

Goniometrische Gleichungen.

Das sind Gleichungen, in welchen die Unbekannte in mindestens einem trigono-metrischen Term vorkommt.Ein einfaches Beispiel:

cosx =12

Wir wollen im Folgenden uns mit vier ausgewahlten Beispielen befassen, wel-che durch geschicktes Umformen einfach zu losen und interessant zu diskutierensind:

• (tanx)2 = tanx

• cos 2x− cosx = 0

47

• 3 sinx− 4 cosx = 0

• 3 sinx− 4 cosx = 5

Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 6(Zugehorige Losungen)

5.3 Meine Zusammenfassung

48