TU Dortmund...TU Dortmund Fakultät Maschinenbau Institut für Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler Vorname: Nachname: Matr.-Nr.: Aufgabe 1 (Seite 1 von 2) a)

TU Dortmund

Fakultät Maschinenbau

Institut für Mechanik

Prof. Dr.-Ing. A. Menzel

Prof. Dr.-Ing. J. Mosler

Vorname:

Nachname:

Matr.-Nr.:

Aufgabe 1 (Seite 1 von 2)

a)

Das dargestellte Fachwerk ist in den Punkten A und B gelagert und wird, wie dargestellt,durch drei Einzelkräfte belastet.

3√3L1√

3L

L 1

2

3

45

6 7

√3F

FF

A B

60◦

x

y

Geben Sie sämtliche Auflagerreaktionen sowie sämtliche Stabkräfte in Abhängigkeit vonF als auch die Länge des Diagonalstabes 7 an. Dabei gelte die Konvention, dass Zugkräftepositiv anzunehmen und die Auflagerkräfte positiv in positiver Koordinatenrichtung zudefinieren sind. (7,0 Punkte)

Ax = Ay = B =

l7 =

S1 = S2 =

S3 = S4 =

S5 = S6 =

S7 =

TU Dortmund





Vorname:

Nachname:

Matr.-Nr.:


b)

Das folgende Fachwerk ist, wie dargestellt, durch fünf Einzelkräfte belastet.

L L LLL L

L

L

L

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28

29 30

31 32 33

2F√2

4F√2

3F

2F

F

A Bα α

α = 135◦

x

y

Berechnen Sie die Auflagerreaktionen in den Punkten A und B bezüglich der durch dasvorgegebene Koordinatensystem positiv definierten Richtungen. (3,0 Punkte)

A =

Bx =

By =

TU Dortmund





Vorname:

Nachname:

Matr.-Nr.:


Die nebenstehend abgebildeten Balken sindin den Punkten A und B gelenkig gela-gert und in Punkt C durch ein weiteres Ge-lenk miteinander verbunden. Auf den unte-ren Balken wirkt auf dem Abschnitt BD einekonstante Streckenlast q sowie eine Kraft Fin Punkt D.

A

BC D

l

l

2 l

q

F

x

z

a)Ergänzen Sie die folgenden Abbildungen zu vollständigen Freikörperbildern unter eindeu-tiger Bezeichnung sämtlicher Reaktionskräfte.Hinweis: Fassen Sie die Streckenlast dabei nicht zu einer Ersatzkraft zusammen.

(1,0 Punkte)

Berechnen Sie die Auflagerreaktionen in Punkt B. (2,0 Punkte)

TU Dortmund





Vorname:

Nachname:

Matr.-Nr.:


b)Die Balkenverbindung in Punkt C sei nundurch eine Schiebehülse realisiert. Zusätzlichsei das Auflager in Punkt A wie abgebildetdurch eine in vertikaler Richtung beweglicheEinspannung ersetzt worden.

A

BC D

l

l 2 l

q

F

x

z

Zeichnen Sie qualitativ den Normalkraft-, Querkraft- und Momentenverlauf des unte-ren Trägers in Abhängigkeit des angegebenen Koordinatensystems. Geben Sie darüberhinaus den jeweiligen Polynomgrad p der Schnittgrößenfunktionen sowie die Werte derentsprechenden Schnittgrößen an den Punkten B, C und D an. (6,0 Punkte)

B C D

N(x) →

Q(x) →

M(x) →

TU Dortmund





Vorname:

Nachname:

Matr.-Nr.:


Für beide Balken wird ein zulässiges Biegemoment Mb,max vorgegeben. Alle weiterenVersagenskriterien können vernachlässigt werden. Geben Sie für F = 0 den größtmöglichenWert qmax an, welchen die Streckenlast annehmen darf, damit das zulässige Biegemomentin keinem Punkt überschritten wird. (1,0 Punkte)

qmax =

TU Dortmund





Vorname:

Nachname:

Matr.-Nr.:


a)Das dargestellte Balkensystem wird durch ei-ne Einzelkraft F sowie durch die konstan-te Streckenlast q belastet. Die dehnstarrenBalken (Biegesteifigkeit EI, DehnsteifigkeitEA → ∞) sind durch ein Gelenk miteinan-der verbunden und durch eine Schiebehülsesowie ein Festlager gelagert. Die genauen Ab-messungen sowie die zu verwendenden loka-len Koordinatensysteme sind der Abbildungzu entnehmen.

F

l

l

ll

q

x1

x2

z1 z2

Geben Sie sämtliche kinematischen (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungenan, die zur vollständingen Bestimmung der Biegelinie erforderlich sind. Benutzen Sie diegegebenen Koordinatensysteme zur eindeutigen Zurordnung der jeweiligen Größen.

(4,0 Punkte)

TU Dortmund





Vorname:

Nachname:

Matr.-Nr.:


b)Der dargestellte abgewinkelte Balken (Bie-gesteifigkeit EI) ist in Punkt A durch einFestlager und in Punkt B durch ein Losla-ger gelagert und mit einer linear ansteigen-den Streckenlast (Maximalwert q0) belastet.In dem gegebenen x2, z2 Koordinatensystemwurde die Auflagerkraft B bereits mit

Bz2 =1

3q0 l

bestimmt. Die genauen Abmessungen sowiedie zu verwendenden lokalen Koordinatensy-steme sind der Abbildung zu entnehmen.

A

B

l

l

q0

x1

x2

z1

z2

Bestimmen Sie die Momentenverläufe MI(x1) im Bereich 0 ≤ x1 ≤ l und MII(x2) imBereich 0 ≤ x2 ≤ l.

(2,0 Punkte)

MI(x1) =

MII(x2) =

Bestimmen Sie für das obige System die Biegelinie wI(x1) für den Bereich 0 ≤ x1 ≤ l unddie Biegelinie wII(x2) für den Bereich 0 ≤ x2 ≤ l ohne die Integrationskonstanten zubestimmen. (2,0 Punkte)

wI(x1) =

wII(x2) =

TU Dortmund





Vorname:

Nachname:

Matr.-Nr.:


c)Ein Balken (Biegesteifigkeit EI) der Länge2 l ist durch eine konstante Streckenlast q0belastet und im Punkt A durch ein Festlagergelagert. Im Punkt B wird der Balken durcheine Pendelstütze (Dehnsteifigkeit EA) derLänge l gestützt. Die Kraft in der Pendel-stütze (Zugstab) beträgt

S = q0 l

und der Momentenverlauf im Balken ist ge-geben als

M(x) = −q0 x2

2+ S x.

AB

l

2 l

x

z

q0

Bestimmen Sie die vollständige Biegelinie w(x) für den Bereich 0 ≤ x ≤ 2 l unter Berück-sichtigung aller Integrationskonstanten. (2,0 Punkte)

w(x) =

TU Dortmund





Vorname:

Nachname:

Matr.-Nr.:


Bei dem dargestellten Motor wird die Kur-belwelle AB durch eine Pleuelstange BCsowie einen senkrecht geführten Kolben inPunkt C angetrieben. Im dargestellten Zeit-punkt ist die Geschwindigkeit des Kolbens vCbekannt. Die Bezeichnungen und Abmessun-gen können Sie der nebenstehenden Skizzeentnehmen.

l

2 l

ω

A

B

C

ex

ey

α

vC

a)Bestimmen Sie die Lage rM = r

yM ey des Momentanpols der Pleuelstange BC (M) auf

der ey-Achse. (2,0 Punkte)

ryM =

Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω für die dargestellte Konfiguration. BeachtenSie den eingezeichneten Drehsinn. (2,0 Punkte)

ω =

TU Dortmund





Vorname:

Nachname:

Matr.-Nr.:


Der Motor ist nun zu einem anderen Zeit-punkt dargestellt. Die weiteren Bezeichnun-gen und Abmessungen können Sie der neben-stehenden Skizze entnehmen.

l

2 lω2, ω̇2

A

B

C

ex

ey

α

vC , aC

b)Berechnen Sie die Geschwindigkeit vB sowie die Beschleunigung aB im Punkt B für diedargestellte Konfiguration. Geben Sie die Vektorkomponenten im {ex, ey}-Koordinaten-system an und nehmen Sie an, dass vC , aC , ω2 und ω̇2 bekannt sind. Beachten Sie deneingezeichneten Drehsinn. (2,0 Punkte)

vB = ex

+ ey

aB = ex

+ ey

TU Dortmund





Vorname:

Nachname:

Matr.-Nr.:


Der Motor ist nun zu einem anderen Zeit-punkt dargestellt wobei der Winkel α nunmit α = 45◦ bekannt ist. Die weiteren Be-zeichnungen und Abmessungen können Sieder nebenstehenden Skizze entnehmen.

l

2 l

ω2, ω̇2

A

B

C

ex

ey

α

vC , aC

c)Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω2 und den Betrag der Geschwindigkeit ‖vC‖im Punkt C für die dargestellte Konfiguration. Beachten Sie die eingezeichneten Rich-tungen/Drehsinne. Nehmen Sie dabei an, dass die Geschwindigkeit im Punkt B als vB =vxB ex + v

yB ey gegeben ist. (2,0 Punkte)

ω2 =

‖vC‖ =

d)Bestimmen Sie die Winkelbeschleunigung ω̇2 und den Betrag der Beschleunigung ‖aC‖im Punkt C für die dargestellte Konfiguration. Beachten Sie die eingezeichneten Rich-tungen/Drehsinne. Nehmen Sie dabei an, dass die Beschleunigung im Punkt B als aB =axB ex + a

yB ey gegeben ist. Darüber hinaus ist ω2 = ω̄ gegeben. (2,0 Punkte)

ω̇2 =

‖aC‖ =

TU Dortmund





Vorname:

Nachname:

Matr.-Nr.:


Ein Körper der Masse m1 weist in Punkt A eine Geschwindigkeit vA unter dem Winkelγ zur Horizontalen auf. Nach dem verlustfreien Auftreffen auf die zunächst glatte Bahnin Punkt B bewegt sich die Masse bis zum Punkt F, wobei nur in dem Abschnitt derLänge l1 von Punkt C bis D Reibung auftritt. Die genauen Abmessungen, sowie das zuverwendende Koordinatensystem sind der Abbildung zu entnehmen.

l1

l2

b

r

x

y

α

m1 h1h2

h3

h4

vA

g

µ=0

µ=0µ1

ϕ

γ

A

B

C

D

EF

a)

Berechnen Sie die Geschwindigkeit vA in Abhängigkeit der in der Abbildung gegebenenGrößen, sodass der Körper exakt in Punkt B auf die Bahn trifft. (2,0 Punkte)

vA =

b)

Berechnen Sie die Geschwindigkeit vB des Körpers in Punkt B. (1,0 Punkte)

Hinweis: Die Geschwindigkeit vA ist hier als gegeben anzusehen.

vB =

TU Dortmund





Vorname:

Nachname:

Matr.-Nr.:


c)

Berechnen Sie die Geschwindigkeit vD des Körpers in Punkt D. (2,0 Punkte)

Hinweis: Die Geschwindigkeit vB ist hier als gegeben anzusehen.

vD =

d)

Welchen Wert muss der Reibkoeffizient µ1 haben, sodass der Körper exakt in Punkt F(Beginn der horizontalen Ebene) zum Stillstand kommt? (2,0 Punkte)

Hinweis: Die Geschwindigkeit vB ist erneut als gegeben anzusehen.

µ1 =

e)

Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit vE des Körpers in Punkt E, sodass dieserdie Bahn im folgenden Streckenabschnitt nicht verlässt. (2,0 Punkte)

Hinweis: Die Geschwindigkeit vD ist als gegeben anzusehen.

TU Dortmund





Vorname:

Nachname:

Matr.-Nr.:


Wie lang muss die Strecke l2 mindestens sein, damit dieser maximale Wert für vE nichterreicht wird? (1,0 Punkte)

l2 =

TU Dortmund

Fakultät Maschinenbau

Institut für Mechanik



Frühjahr 2016

TU Dortmund





Frühjahr 2016


Das dargestellte Fachwerk ist in den Punkten A und B gelagert und wird wie dargestelltdurch die zunächst nicht weiter spezifizierten Einzelkräfte F1 und F2 belastet. Für denWinkel α gilt 0 < α < π/2.

1 2 3 4

56

78 9

10

11 12

13

14

15

16

17

A

B

F1

F2

α

α

ll

l

l

ll

x

y

a)Nennen Sie sämtliche Nullstäbe, welche auf Grund gängiger Kriterien direkt als solcheidentifiziert werden können (keine Rechnung). (2,0 Punkte)

Hinweis: Das Nennen falscher Stabnummern führt zu Punktabzug.

TU Dortmund





Frühjahr 2016


b)Berechnen Sie sämtliche Auflagerreaktionen in den Punkten A und B in Abhängigkeitder Größen F1, F2 und α bezüglich der durch das vorgegebene Koordinatensystem positivdefinierten Richtungen. (3,0 Punkte)

c)

Es gelte nun für die angreifenden Kräfte F1 = F und F2 = 2F , der Winkel sei α = 0◦.

Die Auflagerreaktionen ergeben sich dadurch gemäß der durch das Koordinatensystemvorgegebenen positiven Koordinatenrichtungen zu Ax = 4F , Ay = 2F und Bx = −3F .Berechnen Sie die Kräfte in den Stäben 2, 3, 8, 10 und 16 in Abhängigkeit von F .

(5,0 Punkte)

Hinweis: Zugkräfte sind mit positivem Vorzeichen anzugeben.

TU Dortmund





Frühjahr 2016


Das nebenstehende Balkensystem ist in denPunkten A und B wie dargestellt gelagertund in Punkt B durch eine Einzelkraft Fsowie im Bereich BC durch eine lineareStreckenlast mit dem Maximalwert q0 bela-stet. Der System-Abschnitt DE ist in PunktD mittels eines Vollgelenks an das restlicheSystem gekoppelt, ferner sind beide Teilsy-steme über einen starren Stab verbunden.

AB

C

D

E

F

l

l

l/2

l/2

l/2

q0

xy

a)Ergänzen Sie die folgende Abbildung zu vollständigen Freikörperbildern unter eindeutigerBezeichnung sämtlicher Reaktionskräfte. (1,0 Punkte)

TU Dortmund





Frühjahr 2016


Berechnen Sie die Auflagerreaktionen in den Punkten A und E sowie die Stabkraft S.(2,0 Punkte)

b)Das nebenstehende Balkensystem ist in denPunkten A, B und D wie dargestellt gela-gert und im Bereich BC durch eine konstanteStreckenlast q0 belastet. Des Weiteren wirdder Bereich CD durch eine lineare Strecken-last (Maximalwert q0) belastet. Die beidenTeilsysteme I und II sind in Punkt C mit-tels eines Vollgelenks aneinander gekoppelt.Die Auflagerreaktion in Punkt D wurde be-reits gemäß des vorgegebenen globalen x, y-Koordinatensystems zu Dy = 1/6 q0 l be-stimmt. Die in Teilsystem II wirkende Ge-lenkkraft in Punkt C ist durch die beidenKomponenten Cx = 0 und Cy = −1/3 q0 lgemäß des globalen x, y-Koordinatensystemsvorgegeben.

A

B

C

D

I

II

l

lq0

q0

x

y

x1

z1

x2

z2

x3

z3

TU Dortmund





Frühjahr 2016


Spezifizieren Sie die Funktionen der Schnittgrößen Normalkraft, Querkraft und Biegemo-ment im Bereich 0 ≤ x3 ≤ l in Abhängigkeit der gegebenen Größen und unter Verwendungdes vorgegebenen x3, z3−Koordinatensystems. (3,0 Punkte)

N(x3) =

Q(x3) =

M(x3) =

Stellen Sie die Funktionen des Biegemomenten-Verlaufs für die Bereiche 0 ≤ x1 ≤ l und0 ≤ x2 ≤ l in folgender Vorlage unter Nennung der Werte in den Punkten A, B und Cgrafisch dar. Nennen Sie für jeden Bereich den Polynomgrad p der jeweiligen Funktion.

(4,0 Punkte)

Hinweis: Zur Lösung dieser Teilaufgabe sind gegebenenfalls Nebenrechnungen notwendig.

M

TU Dortmund





Frühjahr 2016


a)Das in der Abbildung dargestellte Systemwird durch eine linear verlaufende Strecken-last (Maximalwert q0) belastet. Der Balkenweist die Biegesteifigkeit EI auf und die Pen-delstütze eine Dehnsteifigkeit von EA. Diegenauen Abmessungen sowie die zu verwen-denen lokalen Koordinatensysteme sind derAbbildung zu entnehmen.

l

ll

α

q0

x1 x2 x3

z1 z2

Geben Sie sämtliche kinematischen (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungenan, die zur vollständigen Bestimmung der Biegelinie erforderlich sind. Wählen Sie dazugeeignete Bezeichnungen zur eindeutigen Zuordnung der jeweiligen Größen. (2,5 Punkte)

b)Für das in der nebenstehenden Abbildung ge-gebene System sind die Auflagerreaktionenentsprechend des x2, z2-Koordinatensystemsdurch

MB = −q0 a

2

3, Az2 = −

q0 a

2

vorgegeben. Der Balken weist die Biegestei-figkeit EI auf. Die genauen Abmessungen so-wie die zu verwendenen lokalen Koordinaten-systeme sind der Abbildung zu entnehmen.

l

q0

x1 x2

a

z1 z2

A

B

I II

TU Dortmund





Frühjahr 2016


Bestimmen Sie die Momentenverläufe MI(x1) für 0 ≤ x1 ≤ a und MII(x2) für 0 ≤ x2 ≤ l.(2,0 Punkte)

MI(x1) =

MII(x2) =

Geben Sie sämtliche kinematischen (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungenan, die zur eindeutigen Bestimmung der Biegelinien benötigt werden. (1,0 Punkt)

Bestimmen Sie vollständig die Biegelinie wI(x1) für 0≤x1≤a sowie die Biegelinie wII(x2)für 0≤x2≤ l. (2,0 Punkte)

wI(x1) =

wII(x2) =

TU Dortmund





Frühjahr 2016


c)Für das rechts dargestellte System ist dieBiegelinie aufgrund einer linearen Strecken-last (Maximalwert q0) und eines Momentesq0 ξ

2 durch

wI(x) =1

EI

[

5

12q0 ξ

2 x2 +1

120

q0

ξx5 − 17

40q0ξ

4

]

im ersten Abschnitt I, 0 ≤ x ≤ ξ, vorge-geben. Der Balken weist einen quadratischenQuerschnitt mit der Kantenlänge b auf. Diegenauen Abmessungen sowie die zu verwen-denen lokalen Koordinatensysteme sind derAbbildung zu entnehmen.

l

q0ξ2

x

ξz

A

B

C

I II

q0

Bestimmen Sie die Normalspannungsfunktion σ(x, z) des Bereichs I.(1,5 Punkte)

σ(x, z) =

Bestimmen Sie die maximale Streckenlast q0,max, sodass die zulässige Vergleichsspannungσzul nicht überschritten wird. (1,0 Punkt)

q0,max =

TU Dortmund





Frühjahr 2016


Dargestellt ist die Momentaufnahme eines ki-nematischen Systems zu einem bestimmtenZeitpunkt, in dem die Winkelgeschwindigkeitω1 bekannt sei. Die beiden Stäbe 1 und 3sind in Punkt B durch ein Gelenk miteinan-der verbunden, an dem zusätzlich die Rolle 2(Radius r) angebracht ist, welche schlupffreiauf einem kreisförmigen Fundament (RadiusR) abrollt. Das untere Ende von Stab 3 ist inPunkt C mit dem Körper 4 gelenkig verbun-den, welcher reibungsfrei in einer vertikalenFührung gleitet. Die weiteren Bezeichnungenund Abmessungen des Systems sind der ne-benstehenden Skizze zu entnehmen.

4

A

B

C

ex

ey

1

2

3

l1

l2

r

Rϕ

ϑ

ω1ω2

ω3

a)Bestimmen Sie den Zusammenhang zwischen den Winkeln ϕ und ϑ in der Form ϕ(ϑ).

(1,0 Punkte)

ϕ(ϑ) =

b)Bestimmen Sie die kinematischen Zusammenhänge vB(ω1) = vBx ex + vBy ey, ω2(ω1),ω3(ω1) und vC(ω1) = vCx ex+vCy ey unter der Voraussetzung, dass ϕ und ϑ gegeben sind.Hinweis: Der oben bestimmte Zusammenhang zwischen diesen Größen soll hier NICHTberücksichtigt werden. (5,0 Punkte)

vB(ω1) = ex + ey

ω2(ω1) = ω3(ω1) =

vC(ω1) = ex + ey

TU Dortmund





Frühjahr 2016


b)Das nun gegebene System besteht aus zwei in Punkt C durch ein Gelenk miteinanderverbundenen starren Stäben und ist wie dargestellt in den Punkten A und B gelagert.Der Betrag der Geschwindigkeit des horizontal und reibungsfrei geführten Punktes B istdabei in der dargestellten Konfiguration des Systems durch vB gegeben. Die Winkelge-schwindigkeiten ω1 und ω2 sind als bekannt vorauszusetzen.

A

B

C

2 l√3 l

l

l

1

2

ex

ey

vB, aBω1, ω̇1

ω2, ω̇2

Berechnen Sie die Winkelbeschleunigungen ω̇1 und ω̇2 der Stäbe 1 und 2 für die abge-bildete Konfiguration des Systems in Abhängigkeit der gegebenen Größen für den Fall,dass die horizontale Komponente der Beschleunigung in Punkt B Null ist, d.h. aB = 0.(4,0 Punkte)

Hinweis: Die unbekannten Winkelbeschleunigungen sind gemäß des durch das gegebeneKoordinatensystem definierten Drehsinns — wie eingezeichnet — positiv anzunehmen.

ω̇1 =

ω̇2 =

TU Dortmund





Frühjahr 2016


Gegeben ist das unten dargestellte System, dessen Bestandteile und Abmessungen derZeichnung zu entnehmen sind. Die Scheiben rollen schlupffrei auf den jeweiligen Oberflä-chen (Haftreibungskoeffizient µ0,1 und µ0,2) ab. Das Massenträgheitsmoment der abgesetz-ten Rolle bezüglich des Schwerpunktes kann mit Θ1 = 1/2M1R

21angenommen werden.

Das System unterliegt dem Erdschwerefeld g.

x1

ϕ1

R1

r

µ0,1µ0,2

g

x2M2, R2

M1

ϕ2

F

α

a)Vervollständigen Sie das Freikörperbild für das statische Gleichgewicht. (1,0 Punkte)

TU Dortmund





Frühjahr 2016


b)Wie muss das Verhältnis der Massen M2/M1 unter Verwendung der gegebenen Größenlauten, damit statisches Gleichgewicht vorliegt? (1,5 Punkte)

M2

M1=

c)Bestimmen Sie die Bedingung für den Haftreibungskoeffienten µ0,1 unter Verwendunggegebener Größen, sodass statisches Gleichgewicht vorliegt. (1,5 Punkte)

µ0,1

Das Massenverhältnis M2/M1 ist nun so gewählt, dass sich das System in positive x2-Richtung bewegt. Die Haftbedingung für schlupffreies Abrollen ist weiterhin erfüllt.

d)Das System wird aus der Ruhe heraus zum Zeitpunkt t0 losgelassen. Spezifizieren Sieden Energieerhaltungssatz des Systems für einen Zeitpunkt t1 > t0 in Abhängigkeit dergegebenen Koordinaten. (2,0 Punkte)

TU Dortmund





Frühjahr 2016


e)Geben Sie die Geschwindigkeiten ϕ̇1, ẋ1 und ϕ̇2 als Funktion von ẋ2 an. (2,0 Punkte)

ϕ̇1(ẋ2) =

ẋ1(ẋ2) =

ϕ̇2(ẋ2) =

f)Für nicht näher spezifizierte Abmessungen und Massen lässt sich die Energiebilanz zu

ẋ2 − Ax = 0

bestimmen. Die Größe A ist hierbei eine nicht näher spezifizierte, positive Konstante.Bestimmen Sie die Zeit-Weg-Funktion t(x) für x > 0, wenn zum Zeitpunkt t0 = 0 dieKoordinate x den Wert x0 = 0 aufweist. (2,0 Punkte)

TU Dortmund





Herbst 2015

TU Dortmund





Herbst 2015


Das dargestellte Fachwerk ist in den Punkten A und B gelagert und wird wie gezeigtdurch die Einzelkräfte F1, F2 und F3 belastet.

lll

l

l

l

1 2

3 4 5 6

7 8

9 10 11 12

13

14 15

F1

F2

F3

A Bα

45◦

x

y

a) Geben Sie die Nummern der Stäbe an, die auf Grundlage gängiger Kriterien direkt alsNullstäbe identifiziert werden können. (1,5 Punkte)Hinweis: Die Angabe falscher Antworten führt zu Punktabzug.

b)Berechnen Sie die Auflagerreaktionen in den Punkten A und B in Abhängigkeit der KräfteF1, F2 und F3 bezüglich der durch das vorgegebene Koordinatensystem positiv definiertenRichtungen. (4,5 Punkte)Hinweis: Die Richtung von A ergibt sich aus der Zerlegung in die einzelnen Komponentenentsprechend der positiven Richtungen des vorgegebenen Koordinatensystems.

A = Bx = By =

TU Dortmund





Herbst 2015


c)Die gleiche Stabkonstruktion ist nun wie dargestellt gelagert. Die externe Belastung istebenfalls verändert worden. Die Auflagerreaktionen sind bezüglich der durch das vorge-gebene Koordinatensystem positiv definierten Richtungen als

Ax = −1√2F1 − F2 , Ay = −

1√2F1 −

2

3F3 , B = −

1

3F3

vorgegeben.

l

l

l

lll

1 2

3 4 5 6

7 8

9 10 11 12

13

14 15

F1

F2

F3

A

B

45◦

x

y

Berechnen Sie die Stabkräfte S3, S4, S5 und S6 sowie S8, S11, S13 und S14 unter derVorraussetzung, dass Zugkräfte positiv sind. (4,0 Punkte)

S3 = S8 =

S4 = S11 =

S5 = S13 =

S6 = S14 =

TU Dortmund





Herbst 2015


Der unten dargestellte Balken (Massendichte ρ, Querschnittsflächeninhalt A) ist linksseitigfest eingespannt und wird ausschließlich durch sein Eigengewicht belastet. Die Abmessun-gen des Systems sind der Zeichnung zu entnehmen.Hinweis: Eine homogen verteilte Masse verhält sich wie eine konstante Streckenlast.

x1z

1

x2

z2

l

2 l

α

g

P

x̃

ỹ

ρ, A

a)Berechnen Sie die Funktionen der Normalkraft-, Querkraft- sowie Biegemomentenverläufeim gesamten System entsprechend der vorgegebenen lokalen Koordinatensysteme {xi, zi}in Abhängigkeit der gegeben Größen. (6,0 Punkte)

N1(x1) =

Q1(x1) =

M1(x1) =

N2(x2) =

Q2(x2) =

M2(x2) =

TU Dortmund





Herbst 2015


b)Das folgende Balkentragwerk ist wie dargestellt gelagert und belastet. Dessen Abmes-sungen sind ebenfalls der Zeichnung zu entnehmen. Bezüglich der vorgegebenen, lokalenKoordinatensysteme wurden folgende Werte für externe und interne Reaktionskräfte und-momente berechnet:

Ax̃ = −1/6 q0 l , Aỹ = −4 q0 l , Bx̃ = −1/3 q0 l , Bỹ = 8 q0 l ,

Q(x1 = l) = −5 q0 l , M(x1 = l) = −9/2 q0 l2 .

x1

z1

x2

z2

l

l

3 l

A

B

G

q0

q0

x̃

ỹ

Zeichnen Sie für das gesamte System die Verläufe der Querkraft und des Biegemomentesin die auf der nächsten Seite gegebene Vorlage ein. Geben Sie dabei den im jeweiligenAbschnitt gültigen Polynomgrad p sowie die Werte der Schnittgrößen an relevanten Stellenan. (4,0 Punkte)

TU Dortmund





Herbst 2015


Q

M

TU Dortmund





Herbst 2015


a)Der wie dargestellt gelagerte Balken wirddurch eine linear verlaufende Streckenlast(Maximalwert q0) sowie durch eine Einzel-kraft F belastet. Die Abmessungen sind derZeichnung zu entnehmen. x

q0F

l2 l2 l

Geben Sie die kinematischen (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungen an, diezur vollständigen Bestimmung der Biegelinie w(x) erforderlich sind. Geben Sie dabei ein-deutige Zuweisungen hinsichtlich der jeweiligen Bereiche unter Verwendung der vorgege-benen x-Koordinate an. (3,0 Punkte)

b)

Für das nun gegebene System sind die Aufla-gerreaktionen gemäß des vorgegebenen x̃, ỹ-Koordinatensystems durch

MA = −q0 l

2

6, Bỹ =

q0 l

2

vorgegeben. Der Balken weist die Biegestei-figkeit EI auf. A B

x̃

ỹ

x1 x2

ll

q0

TU Dortmund





Herbst 2015


Bestimmen Sie die Biegelinie wI(x1) für 0 ≤ x1 ≤ l sowie wII(x2) für 0 ≤ x2 ≤ l ohneBerechnung der auftretenden Konstanten. (3,0 Punkte)

wI(x1) =

wII(x2) =

Geben Sie sämtliche kinematischen (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungenan, die zur Berechnung der oben aufgeführten Konstanten benötigt werden. (1,0 Punkte)

Berechnen Sie abschließend die Werte der oben aufgeführten Konstanten. (3,0 Punkte)

TU Dortmund





Herbst 2015


a)Gegeben ist das folgende U-Profil mit denAbmessungen a und b sowie der Profildicket. Die Lage des Profil-Schwerpunkts ist durchden Abstand |zS| vorgegeben. Die Profildicket ist hier nicht zu vernachlässigen.

Berechnen Sie das FlächenträgheitsmomentIy bezüglich des gegebenen Schwerpunktsko-ordinatensystems. Fassen Sie die einzelnenTerme nicht zusammen. (2,0 Punkte)

t

t t

a

b b

|zS|y

z

S

Iy =

b)Der auf folgender Seite dargestellte Balken der Länge 3 l wird wie im linken Bild dargestelltdurch eine konstante Streckenlast q0 und eine Einzellast q0 l belastet. Der Balken weistden rechts im Schnitt A–A gezeigten Querschnitt auf, wobei t ≪ b gilt. Die Lage desSchwerpunktes ist durch

|zs| = 2/3 b ,

das Flächenträgheitsmoment Iy bezüglich des gegebenen Schwerpunktkoordinatensystemsdurch

Iy =4

3b3 t

vorgegeben.

TU Dortmund





Herbst 2015


q0

x

3 l

t

t

b

2 b

|zs|

q0 l y

z

A

A

S

Schnitt A–A

Geben Sie den Wert des betragsmäßig größten Biegemomentes sowie die zugehörige Posi-tion bezüglich der x-Koordinate an. (2,0 Punkte)

Bestimmen Sie den Verlauf der Normalspannung σxx(z) in dem Querschnitt, welcher dasoben berechnete, betragsmäßig größte Biegemoment aufweist. (2,0 Punkte)

σxx(z) =

TU Dortmund





Herbst 2015


c)Die relevanten Werte der Schnittgrößen in obigem Querschnitt aus Aufgabenteil b) sindnun durch

My = −q0

2l2 , Nx = −3 q0 l

vorgegeben.

An welcher Stelle P(y, z) des Balkenprofils befindet sich die betragsmäßig größte Spannung|σxx,max|? Welchen Wert hat |σxx,max| an dieser Stelle P? (2,5 Punkte)

P =

|σxx,max| =

Wie groß darf q0 höchstens sein, damit der betragsmäßig größte Wert für σxx den zulässigenSpannungswert σzul an keiner Stelle des Balkens überschreitet? (1,5 Punkte)

q0,max =

TU Dortmund





Herbst 2015


Das dargestellte System besteht aus einer Masse m2, einer masselosen Umlenkrolle, einerschlupffrei auf einer rauhen Ebene abrollenden Stufenrolle (Masse M), einem masselosen,abgeknickten Balken sowie einem daran starr verbundenen, dreieckförmigen Körper derMasse m1. Die Abmessungen des Systems sind der Zeichnung zu entnehmen.

x

rR

M

ϕ

m1

m2

y

l

g

µ0, µ

a)Vervollständigen Sie die folgende Zeichnung unter der Annahme statischen Gleichgewich-tes zu einem Freikörperbild des Systems. (1,0 Punkte)

TU Dortmund





Herbst 2015


Berechnen Sie die Reaktionskräfte des Systems, die an den Kontaktstellen zwischen Sy-stem und Ebene auftreten. (3,0 Punkte)

Nennen Sie die Bedingung für das Verhältnis zwischen den Massen m1 und m2, so dassan der Kontaktstelle zwischen dem Dreieckskörper und der Ebene in vertikale Richtungeine Druckkraft übertragen wird. (1,0 Punkte)

Nennen Sie die Bedingung für das Verhältnis zwischen den Massen m1 und m2, so dassHaftung besteht. (1,0 Punkte)

TU Dortmund





Herbst 2015


Im Folgenden gilt die Annahme, dass die Haftbedingung verletzt wird und sich das Systemsomit in Bewegung setzt. Des Weiteren gilt die Annahme, dass zwischen dem Dreiecks-körper und der Ebene stets Kontakt herrscht. Die Koordinaten x, y und ϕ sollen zunächstals unabhängig angesehen werden.

b)Stellen Sie den Impulssatz (Kräftesatz) für die Stufenrolle auf. (0,5 Punkte)

c)Stellen Sie den Drehimpulssatz (Drallsatz) für die Stufenrolle bezüglich deren Schwer-punktes auf. Das auf diesen Punkt bezogene Massenträgheitsmoment der Rolle ist durchΘM gegeben. (1,0 Punkte)

d)Geben Sie abschließend die Koordinaten x und y als Funktion von ϕ an. (1,0 Punkte)

x(ϕ) =

y(ϕ) =

e)Berechnen Sie die vertikale Reaktionskraft an der Kontaktstelle zwischen Dreieckskörperund Ebene. (1,5 Punkte)

TU Dortmund





Frühjahr 2015

TU Dortmund





Frühjahr 2015


Das unten dargestellte Fachwerk ist in den Punkten A, B und C gelagert und wird in denKnoten III und VIII durch Einzelkräfte F1 und F2 belastet. Zudem ist das Fachwerk inden Punkten I und II mit einem Balken der Länge l verbunden, welcher durch eine unter45◦ geneigten Einzelkraft F3 in dessen Mitte belastet wird.

l

l

l

l/2 l/2

x

y

F1

F2

F3

45◦

I II

III IV V

VIVII VIII

A B

C

1 2

3 4 5 6 7

8 9

10 11 12

a)Nennen Sie für den Fall F2 = 0 sämtliche Nullstäbe, welche auf Grund gängiger Kriteriendirekt als solche identifiziert werden können (keine Rechnung). Dies gilt auch für Nullstä-be, die sich eventuell erst als Konsequenz anderer identifizierter Nullstäbe ergeben.Hinweis: Das Nennen falscher Stabnummern führt zu Punktabzug. (2,5 Punkte)

TU Dortmund





Frühjahr 2015


b)Berechnen Sie für den allgemeinen Fall F2 6= 0 die Auflagerreaktionen in den PunktenA, B und C bezüglich der durch das vorgegebene Koordinatensystem positiv definiertenRichtungen. (1,5 Punkte)

c)Für nicht näher spezifizierte Kräfte F1(F ), F2(F ) und F3(F ) ergeben sich die Auflagerre-aktionen gemäß des vorgegebenen Koordinatensystems zu

Ay = 2F , By = −3

2F , Cx = 2F .

Berechnen Sie die Stabkräfte S10, S11, S12 sowie S1, S5, S9 in Abhängigkeit der GrößenF , F1, F2 und F3 unter der Voraussetzung, dass Zugkräfte positiv sind. (6,0 Punkte)

TU Dortmund





Frühjahr 2015


a)Das dargestellte Balkentragwerk besteht aus zwei Teilelementen (je ein Balken zwischenden Punkten A und C sowieD und E) und wird im Bereich BE mit einer konstanten sowieim Bereich AB mit einer linear veränderlichen Streckenlast beaufschlagt. Das System istwie dargestellt in Punkt A gelagert und die beiden Teilelemente sind in Punkt B gelenkigmiteinander verbunden. Darüber hinaus ist in den Punkten C und D ein Stab gelenkigan das jeweilige Balkenelement angeschlossen.

A

B

C

DE

x

y

l

l

l/2

l/2

q0

q0

TU Dortmund





Frühjahr 2015


Ergänzen Sie die folgende Abbildung zu einem vollständigen Freikörperbild.(1,0 Punkte)

Bestimmen Sie die in Punkt A wirkenden Auflagerreaktionen, die in Punkt B wirkendeninneren Reaktionskräfte sowie die im Stab CD wirkende Stabkraft S. (3,0 Punkte)

TU Dortmund





Frühjahr 2015


b)Der horizontale Balken des Tragwerks wird nun zusätzlich zu der konstanten Streckenlastin Punkt E durch eine Einzelkraft F belastet. Die zuvor wirkende linear veränderliche Li-nienlast zwischen den Punkten A und B ist in diesem Aufgabenteil nicht mehr vorhanden.Die Abmessungen des Systems sind unverändert.

A

B

C

DE

F

x

z

x

y

l

l

l/2

l/2

q0

Die Auflagerreaktionen in A sowie die Kraft S im Stab DC sind bezüglich des vorgegebe-nen x, y-Koordinantensystems und unter der Annahme, dass Zugkräfte in Stäben positivsind, wie folgt vorgegeben:

S = −3√2 q0 l , Ax = 0 , Ay = 2 q0 l , MA =

3

2q0 l

2 .

Darüber hinaus gilt F = q0 l. Bestimmen Sie die Biegemomentenfunktion für den ho-rizontalen Balken im Bereich l/2 ≤ x ≤ 3/2 l bezüglich des vorgegebenen lokalen x, z-Koordinatensystems. (2,0 Punkte)

TU Dortmund





Frühjahr 2015


Zeichnen Sie qualitativ die Verläufe des Biegemomentes M(x) und der Querkraft Q(x) fürden horizontalen Balken unter Angabe der jeweiligen Werte an den Punkten D, B und Ebezüglich der Koordinate x in die folgende Vorlage. Nennen Sie zudem für jeden Bereichden Polynomgrad p der jeweiligen Funktion. (4,0 Punkte)

M©

Q©

TU Dortmund





Frühjahr 2015


a)Das dargestellte System besteht aus einemstarren Balken der Länge 2 l, welcher miteiner konstanten Flächenlast q0 beaufschlagtist. Das rechte Ende des Balkens ist inPunkt D durch ein Loslager gehalten, daslinke Ende ruht wie dargestellt auf demKnoten C eines Fachwerks bestehend ausden Stäben 1, 2 und 3, welches in denPunkten A und B gelagert ist. SämtlicheFachwerkstäbe weisen die DehnsteifigkeitEA auf.

q0

l

l 2 l

A

BC

D

23

1

x

y

Berechnen Sie die Kräfte in den Stäben 1 und 2 unter der Voraussetzung, dass Zugkräftepositiv sind. (1,0 Punkte)

S1 = S2 =

Bestimmen Sie die Längenänderung der Stäbe 1 und 2. (1,0 Punkte)

∆l1 = ∆l2 =

Bestimmen Sie die Komponenten der vektoriellen Verschiebung uc = u ex + v ey desPunktes C. (2,0 Punkte)

u = v =

TU Dortmund





Frühjahr 2015


b)Gegeben sei nun das nebenstehend abgebil-dete System bestehend aus einem mit einerFlächenlast q(x) beaufschlagten Biegebalken,welcher in Punkt A durch eine Schiebehülseund in Punkt B mittels eines Festlagers ge-halten wird. Der Balken weist die Biegestei-figkeit EI auf und ist als dehnstarr anzuneh-men. Die Funktion der Flächenlast ist durch

q(x) = q0

[x

l+ 1

]

vorgegeben, die zugehörige Funktion des Bie-gemoments lautet

M(x) = −[

q0

6 lx3 +

q0

2x2 − 2

3q0 l

2

]

.

q(x)

l

A B

x

Nennen Sie alle kinematischen Randbedingungen, denen der Balken unterliegt.(1,0 Punkte)

Bestimmen Sie die Biegelinie w(x) zunächst mit Angabe aber ohne Berechnung derIntegrationskonstanten. (2,0 Punkte)

TU Dortmund





Frühjahr 2015


Berechnen Sie nun die Integrationskonstanten zur eindeutigen Bestimmung der Biegeliniedes Systems. (2,0 Punkte)

Weisen Sie durch Rechnung nach, dass der Zusammenhang zwischen M(x) und q(x) fürdie angegebenen Funktionen gültig ist. Tragen Sie dazu die wesentlichen Schritte derRechnung in das nachfolgende Kästchen ein. (1,0 Punkte)

TU Dortmund





Frühjahr 2015


a)Gegeben ist der unten dargestellte, symmetrische Querschnitt eines Hohlkastenprofils mitden angegebenen Abmessungen. Die Lage des Gesamtschwerpunktes S ist durch die Ab-messungen |z1| und |z2| vorgegeben (Punkt S ist nicht maßstäblich eingetragen). Diestrichpunktierten Linien stellen Hilfslinien dar, welche die Lösung der nachfolgenden Auf-gabe erleichtern sollen.

a

a

aaa

a

a

9 a

9/2 a

2 a

a/2

|z1|

|z2|y

z

S

Berechnen Sie das Flächenträgheitsmoment Iy bezüglich des angegebenen x, y-Schwerpunkt-Koordinatensystems. Fassen Sie dazu die relevanten Terme nicht zusammen, sondernnennen Sie jeden Summanden einzeln. (3,0 Punkte)

Iy =

TU Dortmund





Frühjahr 2015


b)Gegeben ist nun der unten abgebildete, symmetrische Querschnitt eines Balkens. DasFlächenträgheitsmoment ist durch

Iy =19

4a4

bezüglich des angegebenen Schwerpunkt-Koordinatensystems vorgegeben.

a

a

a

aa 3 a

y

z

S

P

Der dargestellte Querschnitt ist durch eine Normalkraft N sowie das Biegemoment Mybeansprucht. Es gilt dabei der folgende Zusammenhang:

N =9

38 aMy

Berechnen Sie die in Punkt P vorhandene Spannung σP in Abhängigkeit der Größen Myund a. (1,5 Punkte)

σP =

Berechnen Sie die im Querschnitt vorliegende betragsmäßig größte Spannung σmax inAbhängigkeit der Größen My und a. (1,0 Punkte)

σmax =

TU Dortmund





Frühjahr 2015


c)Gegeben ist das unten dargestellte und aus den Stäben 1 bis 3 bestehende Fachwerk, wel-ches durch eine Einzelkraft F = 150 kN belastet wird. Sämtliche Stäbe weisen kreisrundeQuerschnitte mit den jeweiligen Radien r1, r2 und r3 auf.

30◦30◦

60◦

y

x

A

B

F

1

2

3

Geben Sie die Werte sämtlicher Stabkräfte in der Einheit kN an. (1,5 Punkte)

S1 = S2 =

S3 =

Die maximal zulässige Spannung σzul des Materials aller drei Stäbe weist im Zugbereich250 MN/m2 und im Druckbereich 150 MN/m2 auf. Berechnen Sie die Radien r1, r2 undr3 der Stäbe derart, dass die jeweils vorhandene Spannung exakt dem jeweils zulässigenWert entspricht. Geben Sie die Ergebnisse in der Einheit Meter (m) als Dezimalzahl mitvier Nachkommastellen an. (3,0 Punkte)

r1 = r2 =

r3 =

TU Dortmund





Frühjahr 2015


Die dargestellte Punktmasse (Punkt C, Masse m) gleitet reibungsfrei in einer kreisförmi-gen Führung (Radius r). Die Punktmasse ist über zwei gelenkig in Punkt B miteinandergekoppelten, masselosen Stäben 1 und 2 mit dem Lager in Punkt A verbunden. Stab 1weist eine zeitlich konstante Winkelgeschwindigkeit ω1 auf. Für den gezeigten Zustand desSystems gilt ϕ3 = π/4. Das System steht nicht unter dem Einfluss des Erd-Schwerefelds.

1

2

b

a

rω1 = const.

ω2, ω̇2

ω3, ω̇3

ϕ3

A

BC

m

~ex

~ey

~er~et

Hinweis: Sämtliche Lösungen zu dieser Aufgabe sind bezüglich der in obiger Skizze vor-gegebenen Koordinaten-Basisvektoren ex, ey oder er, et anzugeben.

a)Berechnen Sie in Abhängigkeit von ω1 die Winkelgeschwindigkeiten ω2 des Stabs 2 und ω3der Punktmasse um den Mittelpunkt der Kreisbahnführung sowie die Komponenten derGeschwindigkeit ~vC = vCr er + vCt et in Punkt C bezüglich des ~er,~et-Koordinatensystemsoder ~vC = vCx ex + vCy ey bezüglich des ~ex,~ey-Koordinatensystems für die dargestellteLage. (4,0 Punkte)

Lösung in Kästchen auf der nächsten Seite eintragen!

TU Dortmund





Frühjahr 2015


ω2(ω1) = ω3(ω1) =

vCr = vCt =

oder

vCx = vCy =

b)Berechnen Sie die Winkelbeschleunigungen ω̇2 des Stabs 2 und ω̇3 der Punktmasse um denMittelpunkt der Kreisbahnführung. ω2 und ω3 sind nun in allgemeiner Form vorgegeben.Verwenden Sie NICHT die in Aufgabenteil a) berechneten Werte.

(3,0 Punkte)

ω̇2(ω1, ω2, ω3) =

ω̇3(ω1, ω2, ω3) =

c)Für andere geometrische Abmessungen des Systems gilt ω3 = 2

√2ω1 und ω̇3 = [8 −

2√2]ω2

1. Berechnen Sie basierend auf diesen Vorgaben den Betrag der Auflagerreaktion

in Punkt C sowie die Stabkraft S2 in Stab 2 für den dargestellten Zustand des Systems.(3,0 Punkte)

C =

S2 =

TU Dortmund





Herbst 2014

TU Dortmund





Herbst 2014


a)Gegeben ist das folgende, in den Punkten A und B gelagerte und durch eine Kraft F wiedargestellt belastete Fachwerk.

A

B

l

l

l

ll

F

F

1

2 3

4 5

6

7

8

9 10

11

Nennen Sie sämtliche Nullstäbe, welche auf Grund gängiger Kriterien direkt als solcheidentifiziert werden können (keine Rechnung). Das Nennen falscher Stabnummern führtzu Punktabzug. (2,0 Punkte)

TU Dortmund





Herbst 2014


b)Das unten dargestellte Fachwerk ist in den Punkten A und B gelagert und wird wie gezeigtdurch Einzelkräfte belastet.

x

y

A B

llllll

l

l

l

F

2F

2F

3F

4F1 2 3

4 5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22

23 24

25 26 27

Berechnen Sie die Auflagerreaktionen in den Punkten A und B bezüglich der durch dasvorgegebene Koordinatensystem positiv definierten Richtungen. (3,0 Punkte)

Ay =

Bx =

By =

TU Dortmund





Herbst 2014


c)An dem selben Fachwerk greifen nun die aus nachfolgender Zeichnung zu entnehmendenKräfte an.

x

y

A B

llllll

l

l

l

1

2F

1

3F

√2F

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22

23 24

25 26 27

Die Auflagerreaktionen sind dabei gemäß des vorgegebenen Koordinatensystems zu

Ay =3

4F , Bx = −

1

2F , By =

7

12F

vorgegeben. Berechnen Sie die Stabkräfte S1, S13, und S18 sowie S11 und S17 unter derVoraussetzung, dass Zugkräfte positiv sind. (5,0 Punkte)

S1 = S13 = S18 =

S11 = S17 =

TU Dortmund





Herbst 2014


Die dargestellte homogene Lochscheibe A (Gesamtmasse m, Radius r = a) ist auf derlinken Seite fest gelagert, während die rechte Seite reibungsfrei (µ0 = 0) auf einem alsmasselos anzusehenden Keil B aufliegt. Der Keil selbst ruht auf einer reibungsbehaftetenEbene (Haftreibungskoeffizient µ0).

2a

3a

4a 5a

6a

a

A

B

r

µ0 = 0

µ0

x

y

α

g

a)Bestimmen Sie die Koordinaten xS und yS des Schwerpunktes der abgebildeten Lochschei-be A bezüglich des angegebenen Koordinatensystems. (2,0 Punkte)

xS =

yS =

TU Dortmund





Herbst 2014


b)Die Lochscheibe wird nun durch einen massiven, homogenen Körper (Gesamtmasse m)mit identischen Außenabmessungen ersetzt. Gleichzeitig greift eine horizontale Kraft F inder unten dargestellten Weise an dem Keil an. Ergänzen Sie die unten gegebene Vorlagezu einem vollständigen Freikörperbild. (3,0 Punkte)

F

Bestimmen Sie die von Ihnen im Freikörperbild definierten Kraftkomponenten zwischendem Körper und dem Keil sowie dem Keil und dem Fundament. (3,0 Punkte)

Wie groß muss die Kraft F > 0 sein, sodass sich der Keil nach rechts zu bewegen beginnt?(2,0 Punkte)

F

TU Dortmund





Herbst 2014


Das dargestellte Balkentragwerk besteht aus zwei Teilelementen und wird durch eine KraftF sowie eine linear veränderliche Streckenlast im Bereich 0 ≤ x2 ≤ L belastet. DieTeilelemente 1 und 2 sind im Punkt B gelenkig miteinander verbunden und im Punkt Aund D wie dargestellt gelagert. Die Ecke im Punkt C ist als biegestarr anzusehen.

A

BC

Dx1

z1

x2z2

q0

2 q0

L

L

LL

L

2

F

1

2

a)Ergänzen Sie die folgende Abbildung zu einem vollständigen Freikörperbild. Ersetzen Siedie Streckenlast durch eine noch nicht näher zu spezifizierende Resultierende. (1,0 Punk-te)

TU Dortmund





Herbst 2014


b)Bestimmen Sie die aus der veränderlichen Streckenlast resultierende Gesamtkraft Fres undgeben Sie den Angriffspunkt x∗2 der Resultierenden auf dem Balken an. (2,0 Punkte)

Fres = x∗

2 =

c)Das zuvor gezeigte System ist nun hin-sichtlich Geometrie und Belastung geän-dert worden. Der abgewinkelte Balkenwird nun mit einer konstanten Linienlastq0 belastet wohingegen der horizontaleBalken einer linear veränderlichen Lini-enlast

q(x2) = q0

(

1− x2L

)

ausgesetzt wird.

A

B

C

Dx1

z1

x2z2

q0q0

L

LL

x̄

ȳ

z̄

I©II©

Die Auflagerreaktionen sind bezüglich des {x̄, ȳ}-Koordinantensystems wie folgt vorgege-ben:

Ax̄ =1

6q0L , Aȳ =

1

6q0L , MA = −q0L2 , Dx̄ = −

7

6q0L , Dȳ =

4

3q0L

Geben Sie die Funktion M II(x2) für 0 ≤ x2 ≤ L sowie die Werte der Schnittgrößen fürdie folgenden Positionen an. (4,0 Punkte)

M II(x2) =

N I(x1 = 0) = NII(x2 = L) =

QI(x1 = 0) = QII(x2 = 0) =

QI(x1 =√2L) = QII(x2 = L) =

TU Dortmund





Herbst 2014


Zeichnen Sie qualitativ die Schnittgrößenverläufe unter Angabe der jeweiligen Werte anden Punkten A, B, C und D bezüglich der Koordinaten xi, yi und unter Angabe desjeweiligen Polynomgrades p. (3,0 Punkte)

N(xi) →

Q(xi) →

M(xi) →

TU Dortmund





Herbst 2014


a)Der dargestellte, in A und C gelagerte Balken wird durch eine Streckenlast q0 sowie eineEinzelkraft F belastet. Im Punkt B befindet sich ein Vollgelenk.

x

z

A

B C

q0

lll

F

I II III

Geben Sie die kinematischen (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungen an, diezur vollständigen Bestimmung der Biegelinie w(x) erforderlich sind. Geben Sie dabei ein-deutige Zuweisungen hinsichtlich der jeweiligen Bereiche I, II und III unter Verwendungdes vorgegebenen Koordinatensystems an. (3,0 Punkte)

TU Dortmund





Herbst 2014


b)Für das nun gegebene System sind die Auf-lagerreaktion gemäß der angegebenen x- undz-Koordinate durch

Ax = 0 , Az = −q0 l

24, Bz = −

5 q0 l

24

vorgegeben. Der Balken weist die Biegestei-figkeit EI auf.

x1

z1

x2

z2

A B

q0

l/2 l/2

I II

Bestimmen Sie die Funktionen des Biegemomentes MI(x1) für 0 ≤ x1 ≤ l/2 sowieMII(x2)für 0 ≤ x2 ≤ l/2. (2,0 Punkte)

MI(x1) =

MII(x2) =

Geben Sie die sowohl die Verdrehung des Balkens w′II(x2) als auch die Biegelinie wII(x2)für den Bereich II (0 ≤ x2 ≤ l/2) ohne Berechnung der Integrationskonstanten an. (2,0Punkte)

wII(x2) =

w′II(x2) =

TU Dortmund





Herbst 2014


c)Der dargestellte, linksseitig eingespannte Balken (Biegesteifigkeit EI ) wird durch ein lini-enhaft verteiltes Moment m belastet. Das Biegemoment ergibt sich bei dieser Belastungzu M(x) = m(l − x).

x

z

AB

m

l

Berechnen Sie sowohl die Verdrehung des Balkens w′(x) als auch die Biegelinie w(x) fürdas System inklusive der Bestimmung aller Integrationskonstanten. (2,0 Punkte)

w′(x) =

w(x) =

Bestimmen Sie die Durchbiegung wB und die Verdrehung w′

Bdes Balkenendes B. (1,0

Punkte)

wB =

w′B=

TU Dortmund





Herbst 2014


Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Körpern, welche durch dehnstar-re Seile miteinander verbunden sind. Die jeweiligen Massen und Abmessungen sind derZeichnung zu entnehmen, wobei das Massenträgheitsmoment der gesamten abgesetztenRolle 4 bezüglich des zugehörigen Schwerpunktes D durch θ4 gegeben ist und die Rolle2 als masselos angesehen werden soll. Der Kreisring 1 rollt dabei zu jedem Zeitpunktschlupffrei ab und die Seile sind stets gespannt.

µ0

m1

x1

M0

ϕ1

r1

ϕ22 r2

ϕ3

m3

x

y

r3

r4

R4

4

g

1

2

3

m4, θ4ϕ4

α

β

A

B

C

D

Erweitern Sie die folgenden Skizzen der Teilkörper 1, 3 und 4 zu vollständigen Freikör-perbildern (inklusive etwaiger Auflagerreaktionen). (2,0 Punkte)

TU Dortmund





Herbst 2014


a)Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) des Kreisrings 1 bezüglich der x1-Koordinate an.(1,0 Punkte)

b)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) des Kreisrings 1 bezüglich des Schwerpunktsund der ϕ1-Koordinate an. Spezifizieren Sie das zu verwendende Massenträgheitsmomentmittels der gegebenen Größen. (1,0 Punkte)

c)Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Rolle 3 bezüglich der y-Koordinate an. (1,0Punkte)

d)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 4 bezüglich des Schwerpunkts undder ϕ4-Koordinate an. (1,0 Punkte)

TU Dortmund





Herbst 2014


f)Geben Sie die folgenden kinematischen Bindungen zwischen den Geschwindigkeiten dereinzelnen Koordinaten und der Geschwindigkeit des Freiheitsgrades x1 an. (2,0 Punkte)

ϕ̇1(ẋ1) =

ϕ̇2(ẋ1) =

ϕ̇3(ẋ1) =

ϕ̇4(ẋ1) =

Berechnen Sie die von dem Moment M0 vom Zeitpunkt t = 0 bis zum Zeitpunkt t =t1 verrichtete Arbeit WM0 . Das System befindet sich anfänglich in Ruhe (x1(t = 0) =0, ẋ1(t = 0) = 0) und es gilt x1(t1) = a. (2,0 Punkte)

WM0 =

TU Dortmund





Frühjahr 2014

TU Dortmund





Frühjahr 2014


Das unten dargestellte Fachwerk ist in den Punkten A und B gelagert und wird wie ge-zeigt durch Einzelkräfte F1, F2 und F3 belastet. Die Länge der schrägen Stäbe beträgtjeweils l.

x

y

A

B

F1F2

F3

l

l

l

l

l

1

8

9

10

11

2

3 4

67

5

a)Berechnen Sie die Auflagerreaktionen in den Punkten A und B bezüglich der durch dasvorgegebene Koordinatensystem positiv definierten Richtungen. (4 Punkte)

Ax = Bx =

Ay = By =

TU Dortmund





Frühjahr 2014


b)Geben Sie die Nummern aller Stäbe an, die auf Grundlage gängiger Kriterien direkt alsNullstäbe identifiziert werden können (keine Rechnung). (2 Punkte)Hinweis: Die Angabe falscher Stäbe führt zu Punktabzug.

c)An dem selben Fachwerk greifen nun die aus nachfolgender Zeichnung zu entnehmendenKräfte an.

x

y

A

B2F

F

F

l

l

l

l

l

1

8

9

10

11

2

3 4

67

5

TU Dortmund





Frühjahr 2014


Die Auflagerreaktionen sind dabei gemäß des vorgegebenen Koordinatensystems zu

Ax = 0 , Ay = −1

2F , Bx = F , By =

3

2F

vorgegeben. Berechnen Sie die Stabkräfte S2, S3, S4 und S8. (4 Punkte)

S2 = S3 =

S4 = S8 =

TU Dortmund





Frühjahr 2014


a)Das dargestellte System besteht aus einemBalken (Masse m1), welcher im Punkt Cgelenkig mit einem weiteren Stab (Massem2) verbunden ist und sich im Punkt Aan einer reibungsbehafteten Wand (Haftrei-bungskoeffizient µ0) abstützt. Des Weiterenist am oberen Ende des Balkens eine drei-eckförmige Scheibe (Masse m3) starr mitdiesem verbunden.

Berechnen Sie die Lage rS = xS ex+yS ey desMassen-Schwerpunktes des Systems bezüg-lich des vorgegebenen Koordinatensystems.(3,0 Punkte)

m1

m2

m3g

a

b b

b

b

b

xy

A B

Cµ0

xS = yS =

b)Das vorherige System ist nun dahingehendgeändert worden, dass eine Kugel der Massem3 mittels einer Bohrung über das Ende desBalkens geschoben wurde. Die Lage des Mas-senschwerpunktes der Kugel kann dabei alsidentisch mit ihrem Mittelpunkt angenom-men werden. Die Masse m2 ist in diesem Fallals vernachlässigbar gegenüber m1 und m3anzusehen (m2 ≪ m1, m3).

Erweitern Sie die nachfolgende Zeichnungzu vollständigen Freikörperbildern unter derVoraussetzung, dass sich das Balkenende ander Kontaktstelle A bei Verlust der Haftungnach oben bewegen würde. (1,0 Punkte)

m1

m2 ≈ 0

m3

g

b b

b

b

x

y

A B

Cµ0

TU Dortmund





Frühjahr 2014


Berechnen Sie die von Ihnen angetragenen Reaktionskräfte. (3,0 Punkte)

Geben Sie die Bedingung für die Masse m3 an, so dass sich das Balkenende an der Kon-taktstelle A nicht nach oben bewegt. (2,0 Punkte)

m3

Lässt sich für diesen Fall eine Bedingung für Selbsthemmung ableiten und falls ja, wielautet diese? (1,0 Punkte)

eja

enein

TU Dortmund





Frühjahr 2014


a)Der dargestellte Rahmen ist in den PunktenA und B wie dargestellt gelagert und wirddurch die veränderliche Flächenlast mit derFunktion

q(x1) = q0

[

1 +2 x1l

]

belastet. Die Rahmenecke im Punkt C istbiegestarr und der Winkel α ist als α = 45◦

gegeben.

l l/2

x2

y2

z2

x1

y1

z1

A

B

C

α

q(x1)

Die vertikale Komponente der Auflagerkraft im Punkt A ist bezüglich des angegebenenKoordinatensystems durch Az1 = −119 q0 l gegeben. Berechnen Sie die Funktionen derSchnittgrößen Q(x1) und M(x1) im Bereich 0 ≤ x1 ≤ l. (2,0 Punkte)

Q(x1) =

M(x1) =

Berechnen Sie die Auflagerreaktion Bz1 im Punkt B in Richtung der vorgegebenen z1-Koordinate. (1,0 Punkte)

Bz1 =

TU Dortmund





Frühjahr 2014


b)Das rechts dargestellte System besteht auseinem geraden und einem abgewinkeltenBalken, wobei die Ecke im Punkt D als bie-gestarr anzusehen ist. Das System ist in denPunkten A und B wie dargestellt gelagertund die beiden Balken sind im Punkt C ge-lenking miteinander verbunden. Der geradeBalken wird mit einer konstanten Linienlastq0 belastet wohingegen der abgewinkelteBalken einer linear veränderlichen Linienlastmit dem Maximalwert q0 ausgesetzt wird.

+

ll l/2

x̄

ȳ

x1

y1

z1

x2

y2

z2

A

B

C

D q0

q0

Die Auflagerreaktionen sind bezüglich des {x̄, ȳ}-Koordinantensystems wie folgt gegeben:

+

ll l/2

x̄

ȳ

x1

y1

z1

x2

y2

z2

Ax̄

MA

Bx̄

Bȳ

C

D q0q0

Ax̄ =5 q0 l

6

MA = −q0 l

2

2

Bx̄ = −1 q0 l

3

Bȳ = q0 l

Geben Sie die Randwerte der Schnittgrößen im Punkt D bezüglich beider Bereiche an.(3,0 Punkte)

N I(x1 = 3/2 l) = NII(x2 = l) =

QI(x1 = 3/2 l) = QII(x2 = l) =

M I(x1 = 3/2 l) = MII(x2 = l) =

TU Dortmund





Frühjahr 2014


Zeichnen Sie qualitativ die Schnittgrößenverläufe unter Angabe der jeweiligen Werte anden Punkten A, B, C und D bezüglich der Koordinaten xi, yi und unter Angabe desjeweiligen Polynomgrades p. (4,0 Punkte)

N(xi) →

Q(xi) →

M(xi) →

TU Dortmund





Frühjahr 2014


a)Das dargestellte Balkensystem (Biegesteifigkeit E I) ist in Punkt A mit einem Festlagerverknüpft und in Punkt C fest eingespannt. Die beiden Teilsysteme sind in Punkt B ge-lenkig miteinander verbunden. Zudem greift in Punkt B eine Einzelkraft F in vertikaleRichtung an. Die axiale Verformung der Balken sei im Folgenden vernachlässigbar (dehn-starr E A→ ∞).

x1

z1

x2z2

l

l

2l

F

A

BC

Geben Sie sämtliche kinematische (geometrische) Rand- und Übergangsbedingungenan, die zur vollständigen Bestimmung der Biegelinie w(xi) erforderlich sind. Tragen Siezur eindeutigen Indizierung die Biegelinienbereiche in obige Skizze ein und verweisen Sieeindeutig auf diese. Verdeutlichen Sie zudem, auf welches Koordinatensystem sich IhreAngaben beziehen. (3,5 Punkte)

TU Dortmund





Frühjahr 2014


b)Der dargestellte, linksseitig eingespannteBalken (Biegesteifigkeit E I) wird mit derlinear veränderlichen Streckenlast q(x) =q0 [2−x/l] belastet. Das Biegemoment ergibtsich bei vorliegender Belastung zu

M(x) = q0

[

x3

6 l− x2 + 3 x l

2− 2 l

2

3

]

.

x

zl

q0

2q0

Berechnen Sie sowohl die Verdrehung des Balkens w′(x) als auch die Biegelinie w(x) für dasgegebene System inklusive der Bestimmung aller Integrationskonstanten. (2,0 Punkte)

c)Der dargestellte, linksseitig eingespannte Balken (Biegesteifigkeit E I) wird mit einer kon-stanten Streckenlast q(x) = q0 und einer Einzelkraft F belastet. Die Biegelinie w(x) ergibtsich bei vorliegender Belastung zu

w(x) =1

E I

[

q0x4

24− q0

x3 l

6+ q0

x2 l2

4+ F

x3

6− F x

2 l

2

]

.

x

z

l

q0

F

TU Dortmund





Frühjahr 2014


Wie groß muss die Kraft F sein, damit die Verschiebung des Kraftangriffspunktes von Fgleich Null ist? (1,0 Punkte)

Wie groß muss die Kraft F sein, damit die Tangente der Biegelinie am Kraftangriffspunktvon F horizontal verläuft? (1,0 Punkte)

Geben Sie für diese Kraft die Durchbiegung des Kraftangriffspunktes an. (1,0 Punkte)

An welcher Stelle tritt die betragsmäßig größte Durchbiegung für F = q0 l auf und welchenWert hat diese? (1,5 Punkte)

TU Dortmund





Frühjahr 2014


Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Körpern, die durch dehnstarreSeile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigungg) befinden. Die jeweiligen Massen, Massenträgheitsmomente und Abmessungen sind derZeichnung zu entnehmen. Rolle 2 wird von dem konstanten DrehmomentM0 angetrieben.Der Haftreibungskoeffizient zwischen der Rolle 1 — welche zu allen Zeitpunkten schlupffreiabrollt — und der schiefen Ebene (Neigungswinkel α) beträgt µ0. Das Massenträgheits-moment der gesamten abgesetzen Rolle 3 ist durch θ3 gegeben.

µ0

m1

x1

M0

ϕ1

r1

ϕ2

m2

r2

ϕ3

m3, θ3

x3

r3

R3

m4

x4

g1

2

3

4

α

a)Tragen Sie im nachfolgenden Bild sämtliche fehlenden Kräfte bzw. Momente ein. Die Auf-lagersymbole sollen in der Zeichnung beibehalten und nicht freigeschnitten werden. (1,5Punkte)

TU Dortmund





Frühjahr 2014


b)Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Rolle 1 bezüglich der der x1-Koordinate an.(1,0 Punkte)

c)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 1 bezüglich des zugehörigen Mo-mentanpols und der ϕ1-Koordinate an. Spezifizieren Sie θ1 mittels der gegebenen Größen.(1,0 Punkte)

d)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 2 bezüglich ihres Schwerpunktes undder ϕ2-Koordinate an. Spezifizieren Sie θ2 mittels der gegebenen Größen. (1,0 Punkte)

e)Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Rolle 3 bezüglich der x3-Koordinate an. (1,0Punkte)

f)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 3 bezüglich ihres Schwerpunktesund der ϕ3-Koordinate an. (1,0 Punkte)

TU Dortmund





Frühjahr 2014


g)Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Masse 4 bezüglich der x4-Koordinate an. (1,0Punkte)

h)Geben Sie die (Winkel-)Geschwindigkeiten ẋ1, ϕ̇1, ẋ3, ϕ̇3, ẋ4 in Abhängigkeit von ϕ̇2 an.(2,5 Punkte)

ẋ1 =

ϕ̇1 =

ẋ3 =

ϕ̇3 =

ẋ4 =

TU Dortmund





Herbst 2013

TU Dortmund





Herbst 2013


Das unten dargestellte Fachwerk ist in den Punkten A und B gelagert und wird wiegezeigt durch Einzelkräfte F1 bis F2 belastet. Die vertikale und horizontale Einheitslängedes Fachwerks beträgt l.

F1

F2

l

l

ll ll

1

2 3 4

5 6

78 9

10 1112

13

14 15 16 17

45◦

A B

x

y

a)

Berechnen Sie die Auflagerreaktionen in den Punkten A und B für F1 = F2 = F bezüglichdes vorgegebenen Koordinatensystems. (4 Punkte)

Ax = Ay =

Bx = By =

TU Dortmund





Herbst 2013


b)

Geben Sie die Nummern aller Stäbe an, die auf Grundlage gängiger Kriterien direkt alsNullstäbe identifiziert werden können (keine Rechnung). (2 Punkte)Hinweis: Die Angabe falscher Stäbe führt zu Punktabzug.

c)

Die äußeren Kräfte sind nun zu

F1 = F, F2 = 2F

sowie die daraus resultierenden Auflagerreaktionen zu

Ax = −1

2F, Ay = −

1

2F, Bx = −

3

2F, By =

3

2F

vorgegeben. Berechnen Sie die Stabkräfte S5, S6, S9 und S15. (4 Punkte)

S5 = S6 =

S9 = S15 =

TU Dortmund





Herbst 2013


Die dargestellte Lochscheibe mit den Radien r1 = 0.2 cm and r2 = 0.15 cm besteht auszwei unterschiedlichen, jeweils homogenen Werkstoffen A und B. Die Massen sind fürWerkstoff A mit m und für Werkstoff B mit 2m angegeben. Die schiefe Ebene weist denReibungskoeffizienten µ0 auf, während die andere Ebene links als reibungsfrei angesehenwerden kann (µ0 = 0).

2 cm2 cm

α

x

y

A B

0.5 cm0.5 cm

µ0

µ0 = 0

1 cm

1 cm

0.4 cm

g

r1r1

r2

a)

Berechnen Sie die Lage des Schwerpunktes SA von Teilkörper A unter Verwendung desvorgegebenen Koordinatensystems (2 Punkte)

xSA =

ySA =

Berechnen Sie die Lage des Schwerpunktes S des gesamten Körpers unter Verwendungdes vorgegebenen Koordinatensystems. (2 Punkte)

xS =

yS =

TU Dortmund





Herbst 2013


b)

Die Lochscheibe wird nun durch einen massiven Körper (Gesamtmasse m) gleicher Geo-metrie und homogener Masseverteilung ersetzt. Zudem lagert dieser Körper zum einenreibungsfrei (µ0 = 0) auf einem als masselos anzunehmenden Klotz, zum anderen befin-det sich nun links ein Festlager. Der Klotz ruht auf einer um den Winkel α geneigten,rauhen Ebene (Haftreibungskoeffizient µ0) und wird wie gezeigt durch eine Einzelkraft Fbelastet.

2 cm 2 cm

α

x

y

µ0

µ0 = 0

1 cm

1 cm

g

m

F

c)

Ergänzen Sie die folgende Abbildung des Klotzes unter der Bedingung, dass dieser dieschiefe Ebene hinauf zu gleiten droht, zu einem vollständigen Freikörperbild. Geben Siedes Weiteren sämtliche Reaktionskräfte dieses Teilsystems rechts neben der Skizze an.(2 Punkte)

TU Dortmund





Herbst 2013


Geben Sie die Bedingung für die Kraft F in Abhängigkeit der Größen m, g, µ0 und α an,damit das System im Gleichgewicht verweilt und der Klotz die schiefe Ebene nicht hinaufgleitet. (2 Punkte)

F

Geben Sie die Bedingung für die Masse m in Abhängigkeit der Größen F , g, µ0 und αan, damit das System im Gleichgewicht verweilt und der Klotz die schiefe Ebene nichthinunter gleitet. (2 Punkte)

m

TU Dortmund





Herbst 2013


Der dargestellte Rahmen bestehend aus den Teilelementen 1 und 2 ist statisch bestimmtgelagert und wird durch zwei konstante Streckenlasten mit Betrag q0 wie dargestellt be-lastet.

q0

q0l

l

l/2

α

A

B

1

2

C

D

x1z1

x2

z2

a)Ergänzen Sie folgende Abbildung zu einem vollständigen Freikörperbild zur Bestimmungaller Auflagerreaktionen.

0,5 P.

Stellen Sie die Momentensumme bezüglich des Punktes C für den abgewinkelten Teilstab1 auf. Einzelne Summanden müssen nicht zusammengefasst werden.

1,5 P.

TU Dortmund





Herbst 2013


b)Die Belastung des Systems und die Länge des horizontalen Teilstücks von Teilelement 1werden nun geändert. Im Bereich 0 ≤ x2 ≤ l greift nun eine linear-veränderliche Strecken-last q(x2) = q0(1− x2l ) an.

q0

q0l

ll

l/21

2A

α

B C

D

x1z1

x2

z2

Geben Sie für die gegebene Belastung den Zusammenhang (keine Werte) zwischen denSchnittgrößen im abgewinkelten Teil und der Querkraft im horizontalen Teil des Rahmen-teils 1 im Punkt B (Ecke) an. Geben Sie ebenfalls für diesen Punkt den Zusammenhangzwischen den Biegemomenten im abgewinkelten und horizontalen Teil des Rahmenteils 1an.

Q(x2 = 0) = (x1 = l) M(x2 = 0) =

1,0 P.

TU Dortmund





Herbst 2013


c)Die aus der geänderten Belastung resultierenden äußeren Auflagerreaktionen des obigenSystem sind nun wie folgt vorgegeben:

q0

α

1

4√

3q0 l

1

8√

3q0 l

2

5/12 q0 l7/6 q0 l

x1z1

x2

z2

Geben Sie die Randbedingungen zur Lösung der Schnittgrößen-Differentialgleichungen inForm von konkreten Werten für die folgenden Stellen an:

N(x1 = 0) = N(x2 = 0) =

Q(x1 = 0) = Q(x2 = 2l) =

M(x1 = 0) = M(x1 = l) =

3,0 P.

Komplettieren Sie schließlich die folgenden Graphiken zu vollständigen Verläufen derSchnittgrößenfunktionen über den gesamten Rahmen. Geben Sie auch die Polynomgradep der Verläufe sowie die Funktionswerte an markanten Stellen an.

Verwenden Sie dabei die vorgegebenen lokalen Koordinatensysteme sowie die Ergebnisseaus den vorherigen Aufgabenteilen b) und c).

TU Dortmund





Herbst 2013


, ω̇

ll

x1

x1

x1

z1

z1

z1

x2

x2

x2

z2

z2

z2

N(xi)

M(xi)

Q(xi)

4,0 P.

TU Dortmund





Herbst 2013


Der dargestellte Rahmen (BiegesteifigkeitEI) ist in den Punkten A, B und C gelagertund wird durch eine Einzelkraft F belastet.Am Angriffspunkt der Kraft befindet sich einVollgelenk, der waagerechte Rahmenteil istmit dem senkrechten Träger biegestarr ver-bunden.

Die Dehnsteifigkeit des Rahmens ist gegen-über der Biegesteifigkeit als unendlich großanzunehmen.

1©

2©

3© 4©F

A

B

C

l

l

l/2 l/2

x1

z1

x2

z2

a)Bestimmen Sie sämtliche kinematischen Randbedingungen, welche zur Berechnung derBiegelinie w(x) in den angegebenen 4 Bereichen notwendig sind. (3.5 Punkte)

Hinweis: Verwenden Sie zur eindeutigen Indizierung der Biegelinienbereiche bitte dieeingekreisten Bereichsnummern, also z.B. w2(x1 = ...) = ....

TU Dortmund





Herbst 2013


b)Der nebenstehende Balken (BiegesteifigkeitEI) ist mittels eines Stabs (Dehnsteifig-keit EA) gelagert und mit einer paraboli-schen, zur Mitte des Balkens symmetrischenStreckenlast q(x) beaufschlagt. Die Funktionder Streckenlast ist mit

q(x) = 4 q0

[

x2

l2− xl+

1

4

]

gegeben. Es soll die Biegelinie des Balkensbestimmt werden.

q(x)

EI

l

l/2EA

A

x

z

Berechnen Sie zunächst die Resultierende FR der Streckenlast sowie die vertikale Kompo-nente Az der Auflagerkraft im Punkt A und die Stabkraft S. (2 Punkte)

Hinweis: Schneiden Sie dazu die Stabkraft als Druckkraft frei und berücksichtigenSie im Punkt A die positiv angenommene z-Richtung!

FR =

Az = S =

Geben Sie nun sämtliche zur Lösung der Biegelinien-Differentialgleichung vierter Ordnungnotwendigen kinematischen und dynamischen Randbedingungen an. (2.5 Punkte)

TU Dortmund





Herbst 2013


Geben Sie ausgehend von der Biegelinien-Differentialgleichung vierter Ordnung die fol-genden Funktionen unter Verwendung allgemeiner, nicht spezifizierter Integrations-konstanten an. (2 Punkte)

EI w′′′′(x) =

EI w′′′(x) =

EI w′′(x) =

EI w′(x) =

EI w(x) =

TU Dortmund





Herbst 2013


Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Körpern, die durch dehnstarre,schlupffrei abrollende Seile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld der Erde(Erdbeschleunigung g) befinden. Die jeweiligen Massen und Abmessungen der Körpersind der Zeichnung zu entnehmen. Es wird davon ausgegangen, dass die Massen 1 und 6auf rauhen schiefen Ebenen gleiten.

g

x1

x3

x4

x6

ϕ2

ϕ3

ϕ5

m1 m2

m3

m4

m5 m6

R2

r2

R3

r5

β

α

C

TU Dortmund





Herbst 2013


a)Zeichnen Sie ein vollständiges Freikörperbild (2 Punkte)

b)Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Masse 1 bezüglich der x1-Koordinate an.(1 Punkt)

c)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 2 bezüglich ihres Schwerpunktes undder ϕ2-Koordinate an. Das Massenträgheitsmoment der Rolle 2 ist dabei als θ2 vorgegeben.(1 Punkt)

d)Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Rolle 3 bezüglich der x3-Koordinate an.(1 Punkt)

TU Dortmund





Herbst 2013


e)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 3 bezüglich des Punktes C und derϕ3-Koordinate an. Spezifizieren Sie θ3 mittels der gegebenen Größen. (1 Punkt)

f)Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Masse 6 bezüglich der x6-Koordinate an.(1 Punkt)

g)Es sei nun das folgende modifizierte System gegeben. Geben Sie ϕ̇2, ϕ̇3 und ẋ3 in Abhän-gigkeit von ẋ1 für das modifizierte System an. (3 Punkte)

ϕ̇2 =

ẋ3 =

ϕ̇3 =

g

x1

x3

x4

ϕ2

ϕ3

m1 m2

m3

m4

R2

r2

R3

β

TU Dortmund





Frühjahr 2013

TU Dortmund





Frühjahr 2013


Das dargestellte Fachwerk mit gegebener Einheitslänge l ist in den Punkten A und Bstatisch bestimmt gelagert und wird durch zwei Einzelkräfte F1 und F2 wie dargestelltbelastet. Es gelte die Konvention, dass Zugkräfte positiv sind.

F1

F2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1415l

l

l l lA

B

x

y

a)Geben Sie die Nummern aller Stäbe an, die auf Grundlage gängiger Kriterien direkt alsNullstäbe identifiziert werden können (keine Rechnung).Hinweis: Die Angabe falscher Stäbe führt zu Punktabzug.

Geben Sie für weiterhin die Nummern derjenigen Nullstäbe an, welche aus der Kon-struktion entfernt werden können, ohne die kinematische Bestimmtheit des Fachwerks zubeeinträchtigen.

TU Dortmund





Frühjahr 2013


b)Berechnen Sie die Auflagerreaktionen in den Punkten A und B sowie die Stabkraft S3 inAbhängigkeit von F1 und F2 bezüglich des vorgegebenen Koordinatensystems.

Ax = Bx =

Ay = S3 =

c)Die äußeren Kräfte sind nun zu F2 = 3F1 =: F sowie die daraus resultierenden Auflager-reaktionen zu

Ax = 2F , Ay = F , Bx = −7/3Fvorgegeben. Berechnen Sie die Stabkräfte S6, S7 und S8.

S6 = S8 =

S7 =

Als Ingenieur vom Fach(werk) wissen Sie, dass auf Zug belastete Stäbe bei gleichem Pro-filquerschnitt stets “stabiler” sind als Druckstäbe, da bei letzteren die Gefahr des Knickensbesteht.Welcher der drei obigen Stäbe wird dementsprechend unter der Gegebenheit identischerQuerschnitte bei zu großer Belastung F des Fachwerks zuerst versagen?

TU Dortmund





Frühjahr 2013


a)Bestimmen Sie die Koordinaten xS und yS des Schwerpunktes S der abgebildeten gelochtenhomogenen Scheibe (Gesamtmasse m) bezüglich des angegebenen Koordinatensystems.

x

y

Documents

TU Dortmund...TU Dortmund Fakultät Maschinenbau Institut für Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler Vorname: Nachname: Matr.-Nr.: Aufgabe 1 (Seite 1 von 2) a)