Results in Mathematics Vol. 22 (1992)

0378-6218/92/020545-15$1.50+0.20/0 (c) 1992 Birkhauser Verlag, Basel

TYPENHALBGRUPPEN UND FAKTORISIERUNGSPROBLEME

Franz Halter-Koch

In dieser Arbeit fiihre ich den Begriff der Typenhalbgruppe (iiber einer abelschen Gruppe) ein. Ich systematisiere damit den von W. Narkiewicz [17] eingefiihrten Begriff des Typs eines Ideals (im Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkorpers) und mache ihn algebraischen Untersuchungen zugiinglich. Gemeinsam mit den ebenfalls von W. Narkiewicz in [18] eingefiihrten Blockhalbgruppen erweisen sich die Typenhalbgruppen als der geeignete kombinatorische Rahmen fiir das Studium von Nicht-Eindeutigkeits-Phiinomenen bei der Faktorisierung ganzalgebraischer Zahlen in algebraischen Zahlkorpern ohne eindeutige Primzerlegung.

Nach einigen (hauptsiichlich notationellen) Vorbereitungen in § 1 kliire ich in § 2 die algebraische Struktur der Typenhalbgruppen und vergleiche die Arith­metik einer beliebigen Halbgruppe mit Divisorentheorie mit der Arithmetik der Typenhalbgruppe iiber ihrer Divisorenklassengruppe. In § 3 zeige ich, wie man die Faktorisierungseigenschaften beliebiger Krullhalbgruppen mit Hilfe von Typen beschreibt. In § 4 stelle ich den Zusammenhang zwischen Typen und Blocken her, ordne die kombinatorischen Resultate von W. Narkiewicz und J. Sliwa [18], [20] in den Rahmen der Typenhalbgruppen ein und ergiinze sie durch weitere Ergebnisse. In § 5 verwende ich das analytische Resultat aus [17] zur Herleitung einiger neuer quantitativer Resultate iiber Faktorisierungen auf der Grundlage der Theorie der Typenhalbgruppen.

§ 1. VORBEREITUNGEN

Unter einer Halbgruppe H verstehe ich in dieser Arbeit stets eine multiplikative kommutative Halbgruppe mit Eins 1 E H und Kiirzungsregel. Ich verwende die Begriffe der Teilbarkeitslehre in H wie in [9, 1.6] und [15, ch.2.14]. Unter einer Faktorisierung eines Elements a E H verstehe ich eine Darstellung der Form a '" UI ..... U r mit r E N und unzerlegbaren Ui E H. Zwei Faktorisierungen a '" UI . . ... U r , a '" VI ••••• V6 von a heiBen nicht wesentlich verschieden, wenn r = s und es ein a E 6 r gibt mit Ui '" Vu(i) fiir alle i E {l, ... ,r} j £(0') sei die Anzahl der wesentlich verschiedenen Faktorisierungen von a . Fur a E H x

sei £(0') = 1 .

Sei Heine Halbgruppe, a E H, m, r EN und D = (dji)j=I, ... ,m E Mm,r(No) i=l, ... ,r

eine (m, r )-Matrix mit Komponenten dji E No. Ich sage, a gestattet das Fak-torisierungsschema D, wenn es paarweise nicht-assoziierte unzerlegbare Elemente

546 Halter-Koch

U1, ... , Ur E H gibt derart, daf3 fur alle j E {I, ... , m} gilt:

r

II d·· a f"V u/'.

i=l

1ch sage, D ist das volle Faktorisierungsschema von a, wenn a das Fak­torisierungsschema D gestattet, und wenn fur alle fEN mit f ~ r und alle Matrizen

- ( D I 0 ) D = E Mm +1,,.(No) C1 ••• Cr Cr+1 ..• c,.

gilt: Gestattet a das Faktorisierungsschema jj, so ist entweder f = r oder c r+1=···=cr =O, und (c1, ... ,cr)=(dj1, .•• ,djr) fiirein jE{l, ... ,m}.

Satz 1. Sei Heine Halbgruppe, in der jedes Element aus H \ H X eine Fak­torisierung besitzt, und sei a E H. Genau dann besitzt a ein volles Fak­torisierungsschema, wenn a in H bis auf Assoziierte nur endlich viele irreduzible Teiler besitzt. In diesem Falle ist das volle Faktorisierungsschema von a bis auf Zeilen- und Spaltenvertauschungen, mehrfach aufgeschriebene Zeilen und Nullspal­ten eindeutig bestimmt.

Beweis. Sei D = (dji) E MmANo) ein volles Faktorisierungsschema von a, und sewn U1, ... , Ur E H paarweise nicht-assoziierte unzerlegbare Elemente derart, daB

r

II d·· 0' "" u/'

i=l

fur alle j E {I, ... , m}. 1st nun Ur+1 E H unzerlegbar, Ur+1 I a und Ur+1 f Ui

fur alle i E {I, ... , r} , so besitzt a eine Faktorisierung

r

II c· Q' f"V u/

i=l

mit f ~ r + 1, Ci E No, Cr+1 > 0 und unzerlegbaren Elementen Ur+2, ... , Ur E ii derart, daB U1, ... , Ur paarweise nicht-assoziiert sind. Dann gestattet a aber das Faktorisierungsschema

jj = C1 .~. cJ Cr +1 ~ .. cJ ' ein Widerspruch! Folglich ist jeder irreduzible Teiler von a in H zu emem Ui (i = 1, ... ,r) assoziiert.

Sei nun umgekehrt U1, ... , Ur ein maximales System paarweise nicht-assoziierter irreduzibler Teiler von a und ~ die Menge aller (d1 , ••. , dr ) E No mit a "" II=l uti. Da die Elemente von ~ paarweise unvergleichbar sind, ist ~ nach [2, Theorem 9.18] endlich. 1st ~ = {(dj,l, ... ,djr) I j = 1, ... ,m}, so ist D = (dji ) E Mm,r(No) ein volles Faktorisierungsschema von a. Die Eindeutigkeit ist offensichtlich. 0

Halter-Koch

Fur eine Diskussion der Voraussetzungen von Satz 1 siehe [13].

Sei Heine Halbgruppe und S C Heine Unterhalbgruppe. Ich definiere die Kongruenz modulo S durch a == b mod S, falls as n bS =I 0, und ich bezeichne mit H / S die Faktorhalbgruppe nach dieser Kongruenzrelation. 1st <p : H -4 H ein Halbgruppenhomomorphismus und S = <p-l(l), so induziert <p

einen Halbgruppenhomomorphismus if!: H / S -4 H . Fur eine Halbgruppe H bezeichne H X die Gruppe der invertiblen Elemente von

H; H heiBt reduziert, wenn H X = {I}. In jedem Falle ist H / H X eine reduzierte Halbgruppe. Da H und H / H x dieselben Faktorisierungseigenschaften besitzen, kann ich ohne Einschriinkung im folgenden H stets als reduziert voraussetzen.

Fur eine Menge P bezeichne F(P) das multiplikative freie abelsche Monoid mit Basis P; jedes s E F(P) hat eine eindeutige Darstellung in der Form

mit vp(s) E No und vp(s) = 0 fur fast alle pEP. 1st H c F(P) eine Unterhalbgruppe, so ist H reduziert, und jedes a: E H hat nur endlich viele Teiler in H .

1m folgenden verwende ich den Begriff der Divisorentheorie wie im [21] und [11]; fur die Theorie der Krullhalbgruppen verweise ich auf [1], [12] und [7].

Abelsche Gruppen schreibe ich stets additiv und bezeichne ihr neutrales Element mit O.

Satz 2. Sei Peine Menge, G eine abelscbe Gruppe, <p: F(P) -4 G ein Haibgruppenbomomorpbismus und H = <p-l(O) C F(P). Dann gilt:

i) H ist eine Krullbalbgruppe.

ii) Ist <p-l(g) n P unendlicb fur aile 9 E G, so ist die Einlagerung H'-t F(P) eine Divisorentbeorie, und H besitzt die Approximationseigensebaft.

Beweis. i) Offensichtlich ist Heine saturierte Unterhalbgruppe von F(P) , d. h., aus a, b E H und a = be mit c E F(P) folgt e E H; daher ist Heine Krullhalbgruppe nach [7, Theorem 1].

ii) Nach [11, Satz 4] ist die Einlagerung H '-t F(P) eine Divisorentheorie und nach [21, 3.4] sogar eine ,81-Divisorentheorie. Daher besitzt H die Approxima­tionseigenschaft [12, Satz 3]. 0

§ 2. TYPENHALBGRUPPEN: STRUKTUR- UND VERGLEICHSSATZ

Sei G eine abelsche Gruppe, 0 =I Go c G und

t = II (g, n)t,." E F(Go X N); (g,n)EGoxN

ich nenne

a(t) = L L tg,n E No gEGo n~l

547

548 Halter-Koch

die Grofte von t und

den Inhalt von t; die Unterhalbgruppe

heiBt Typenhalbgruppe iiber Go .

Satz 3 (Struktursatz fUr Typenhalbgruppen). Sei G eine abelsche Gruppe und 0:1 Go c G . i) £: F(Go x N) -t Gist ein Halbgruppenhomomorphismus, und T(Go) ist eine

Krullhalbgruppe.

ii) Sei Go = G. Dann hat T(G) die Approximationseigenschaft; die Ein­lagerung T( G) '--+ F( G x N) ist eine Divisorentheorie, und £ induziert einen Gruppenisomorphismus £*: F(G x N)/T(G) ~ G. Fiir jedes 9 E Gist £*-I(g) n (G x N) = {(g,n) I n E N} die Menge der Primdivisoren in der Divisorenklasse £*-I(g) .

Beweis. i) Offensichtlich ist t ein Halbgruppenhomomorphismus; nach Satz 2 ist T(Go) eine Krullhalbgruppe.

ii) Sei C = F(G x N)/T(G) , und sei £*: C -t G der von £ induzierte Halbgruppenhomomorphismus; fur t E F( G x N) sei fEe die Klasse von t. Fiir n E N definiere ich On : G -t C durch On(g) = ~; dann ist £*oOn = idG . Fiir t E F(G x N) ist (On 0 £*)(t) = (£*(l), n) = (£(t), n), aber aus

t· [(£(t), n)· (-£(t), n)] = (£(t), n)· [t. (-£(t), n)]

folgt t == (£(t), n) mod T(G) , also f = (£(t), n) und daher On 0 £* = ide. Folglich ist £* ein Isomorphismus und £*-1 = On fiir aile n EN.

Offensichtlich ist £*-1 (g) n (G x N) = {(g, n) I n E N}; daher ist nach Satz 2 die Einlagerung T(G) '--+ F(G x N) eine Divisorentheorie, und T(G) besitzt die Approximationseigenschaft. D

Der folgende Vergleichsatz stiitzt sich auf die in [11, Definition 5] eingefiihrte Klassifikation von Halbgruppen mit Divisorentheorie hinsichtlich ihrer arithmetis­chen Komplexitiit.

Satz 4. H sei eine reduzierte Krullhalbgruppe mit Divisorenklassengruppe G.

i) H ist arithmetisch einfacher als T( G) .

ii) Enthiilt jede Divisorenklasse von H unendlich viele Primdivisoren, so ist H arithmetisch iiquivalent zu T(G) .

iii) Enthiilt jede Divisorenklasse von H abziihlbar unendlich viele Prim divisoren , so folgt H ~ T(G) .

Bewei8. Nach Satz 3 ist T(G) '--+ F(G x N) eine Divisorentheorie mit Divi­sorenklassengruppe C = F( G x N)/T( G), jede Divisorenklasse gEe enthiilt

Halter-Koch 549

abzahlbar unendlich viele Primdivisoren, und es gibt einen Gruppenisomorphismus f) : G ..:+ C. Damit folgen i) und ii) aus [11, Satz 8], und iii) folgt aus [11, Satz 3]. 0

§ 3. TYPEN UND FAKTORISIERUNGEN

In diesem Paragraphen beschreibe ich die Faktorisierungseigenschaften einer be­liebigen Krullhalbgruppe mit Hilfe von Typen.

Sei zunachst G eine beliebige abelsche Gruppe, 0 =I- Go C G und

t = n (9, n)t •. n E F(Go x N); (g,n)EGoxN

t heiBt normiert, wenn es zu jedem 9 E Go ein Ag(t) E No derart gibt, daB tg,n = 0 fiir n > Ag(t) , und 1 ~ tg,l ~ tg,2 ~ • • • ~ t9,A.(t) , falls Ag(t) > 0 . Zu jedem t E :F( Go x N) gibt es eine Familie von bijektiven Abbildungen (t/Jg : N ---+ N)9EGo derart, daB das Element

t* = n (9, n)t •. ",.<n) E F(Go x N) (g,n)EGoxN

normiert ist; t* ist durch t eindeutig bestimmt, u(t*) = u(t), t(t*) = t(t) , und (t/J9)9EGo induziert einen Automorphismus t/J von F(Go X N) mit t/J(t) = t* und t/JT( Go) = T( Go); insbesondere haben im Falle t E T( Go) die Typen t und t* dasselbe Faktorisierungsverhalten in T( Go) .

Sei nun Heine reduzierte Krullhalbgruppe, 0: H ---+ D = F(P) eine Divi­sorentheorie, G = D / aH die Divisorenklassengruppe und 0 =I- Go c G. 1st a E D und t E F( Go x N) normiert, so sage ich, a hat den Go -Typ t, T( a, Go) = t , falls

mit verschiedenen Pg,n E P n 9. 1m Falle Go = G nenne ich T(a) = T(a, G) den Typ von a ; im FaIle Go = G \ {O} nenne ich To(a) = T(a, G \ {O}) den reduzierten Typ von a . Fiir a E D ist a E aH gleichwertig mit T( a) E T( G) und mit To(a) E T(G \ {O}). Fur ex E H ist T(aex) = 1 genau dann, wenn

r

ex = 1, und TO(aex) = 1 genau dann, wenn ex = n 7r; mit rENo und ;=1

Primelementen 7r; E H .

Die Abbildungen T und TO sind potenzentreu, d. h., T(ar ) = T(ay und To(a r ) = To(ay fiir alle a E D und rENo, sie sind jedoch keine Homomor­phismen. Sie gestatten aber die Beschreibung von Faktorisierungseigenschaften in H mit Hilfe von Typen. Sei dazu ex E H ,

A.(t)

aex = IT IT P~~;;' gEG n=l

550 Halter-Koch

mit verschiedenen Pg,n E P n g, und sei

A, (t)

t = T(8a) = II II (g, n/,·n E T(G). gEG n=l

1st a' E H ein Teiler von a in H und

A, (t)

8a' = II II p!~'nn gEG n=l

(mit 0 ~ t~,n ~ tg,n), so setze ich

A, (t)

Ta(a') = II II (g, n)t~ . n E T(G). gEG n=l

Diese Konstruktion hat die folgenden Eigenschaften:

Satz 5. Sei Heine reduzierte Krullhalbgruppe, 8: H ~ D eine Divisorentheorie, G = D / oH die Divisorenklassengruppe, a E H und t = T( oa) E T( G). Dann gilt:

i) Ta ist eine Bijektion von der Menge der Teiler von a in H auf die Menge der Teiler von t in T( G). 1st a' ein Teiler von a in H , so ist T( 8a') = Ta(a')*, Ta(a') = 1 genau dann wenn a' = 1, Ta(a') = t genau dann wenn a' = a, und aus a' = ala2 mit al,a2 E H folgt Ta(a') = Ta(adTa(a2) .

ii) Ein Teiler a' von a in H ist genau dann irreduzibel in H, wenn Ta(a') irreduzibel in T( G) ist.

iii) a besi tzt nur endlich viele Teiler in H, und f( a) = f( t) < 00 .

iv) 1st D E Mn,r(t~o), sogestattet a das Faktorisierungsschema D genau dann, wenn t das Faktorisierungsschema D gestattet, und D ist genau dann das volle Faktorisierungsschema von a, wenn D das volle Faktorisierungsschema von t ist. Insbesondere besitzt jedes a E H ein volles Faktorisierungsschema.

Bewei.s. i) ist unmittelbar nachzurechnen; ii), iii) und iv) folgen aus i), und die Existenz eines vollen Faktorisierungsschemas folgt aus Satz 1. 0

Der nachste Satz zeigt die Bedeutung der reduzierlen Typen.

Satz 6. Sei Heine reduzierte Krullhalbgruppe, 8: H ~ D eine Divisorentheorie, G = Dj8H t- {O} die Divisorenklassengruppe, a E H und to = To(8a) E T(G\{O}). Dannist f(a)=f(to).

Bewei.s. Sei D = F(P) ,

A,(t)

.( II II pt,.n) Y,n

gEG\ to} n=l

Halter-Koch

mit verschiedenen Pg,n E P n g, und sei

Ag (t)

to = To(8a) = II II (g,n)t •. n E T(G\ {O}). gEG\{O} n=l

Dann ist a = 7Tl ' ... ' 7T.ao mit s E No , Primelementen 7Tt, ... , 7T. E H , so dafi

8(7Tl ..... 7T.) = II pvp(a)

pEPn8H

und ao E H derarl, daB T(8aO) = To(8a) = to E T(G \ {O}) c T(G). 1st aO=ul· ... ·U r eine Faktorisierung von ao in H, soist a=7Tl· ... ·7T.Ul· .. ··Ur eine Faktorisierung von a in H, und jede Faktorisierung von a entsteht auf diese Weise. Daraus folgt f( a) = f( ao) = f( to) nach Satz 5. D

§ 4. TYPEN UND BLOCKE

In diesem Abschnitt stelle ich die Verbindung zur Theorie der Blocke und ihrer Faktorisierungen in [18] her.

Sei G eine abelsche Gruppe, 0 =I- Go c G und

S = II gVg(S) E F(Go) j gEGo

ich nenne a(S) = L Vg(S) E No

gEGo

die Grofle von S und

t(S) = L Vg(S)g E G gEGo

den Inhalt von S j S heiBt Block, falls t(S) = 0, und

8(Go) = t-l(O) c F(Go)

heiBt Blockhalbgruppe iiber Go j 8(Go) ist eine reduzierle Krullhalbgruppe (nach Satz 2). Blockhalbgruppen wurden in [18] eingefiihrt und in [4] und [7] systematisch untersucht. Die Invariante

D(Go) = sup{a(B) I B E 8(Go) irreduzibel} EN U {oo}

heiBt Davenport-Konstante von Go; siehe hierzu [4] und [8].

Der eindeutig bestimmte Halbgruppenhomomorphismus f3: .1'( Go x N) -t F(Go) mit f3(g,n) = 9 fiir alle (g,n) E Go x N heiBt Blockhomomorphis­mus. Fiir t E F(Go x N) ist a(f3(t» = aCt) und t(f3(t» = t(t) j insbesondere induzierl f3 einen surjektiven Halbgruppenhomomorphismus

f3:T(Go)-t8(Go)j

dieser hat die folgenden Eigenschaften:

551

552 Halter-Koch

Satz 7. Sei G eine abelsche Gruppe, 0 -I- Go c G und t E T(Go). Dann gilt:

i) f3(t) = 1 E 8(Go) genau dann, wenn t = 1 E T(Go).

ii) 1st f3(t) = BIB2 mit B 1 ,B2 E 8(Go) , sogibt es Typen t 1 ,t2 E T(Go) mit f3(t 1 ) = BI,f3(t2) = B2 und t = tlt2 .

iii) Genau dann ist t irreduzibel in T(Go), wenn f3(t) irreduzibel in 8(Go) ist; insbesondere [olgt

D(Go) = sup{u(t) It E T(Go) irreduzibel}.

Beweis. Klar. 0

Sei Heine Krullhalbgruppe, 8: H -t D = F(P) eine Divisorentheorie und G = D/8H. Fur 0' E H heiBt

f3a(O') = f3 0 T 0 8(0') E 8(G)

r

derBlockvon 0'. 1st 80'=Pl· ... ·Pr mit piEP, soist f3a(O') = TIpi·8HEG, ;=1

d. h., f3a(O') ist genau der 0' zugeordnete Block irn Sinne von [18] und [6]. Dieser ist das geeignete Werkzeug zum Studium von Langen von Faktorisierungen. Auf Grund obiger Konstruktion konnen die Typen als Verfeinerung der Blocke angesehen werden.

Als nachstes interpretiere ich die Faktorisierungsbegriffe von W. Narkiewicz [18] in den Halbgruppen 8(G) und T(G) .

Sei G eine abelsche Gruppe, 0 -I- Go c G und BE 8(Go); dann nenne ich

v.(B)

tB = II II (g,n) E T(G) gEGo n=1

den zu B assoziierten quadratfreien Typ; es ist f3( t B) = B. 1st B = gl ..... gn mit n E N und gi E G, so versteht man unter einer Narkiewicz-Faktorisierung von Beine surjektive Abbildung 1jJ: {I, ... , n} -t {I, ... , t} mit tEN derart, daB fur alle j E {I, ... , t} gilt:

Bj(ljJ) = II gil E 8(Go) ist irreduzibel. IIEr/>-l (j)

Zwei Narkiewicz-Faktorisierungen 1jJ: {I, ... , n} -t {I, ... , t} und 1jJ' : {I, ... , n} -t {I, ... , t'} von B heiBen iiquivalent, falls t = t' und es ein u E St gibt, so daB B j ( 1jJ) = B u(j) ( 1jJ') fur alle j E {I, ... , t}. IjJ und 1jJ' heiBen streng iiquivalent, wenn t = t' und es ein u E St gibt mit 1jJ' = u 0 IjJ •

1st B = gl ..... gn E 8(Go) mit n E N und gi E G, so ist tB = (gl, d1 )· . .• ' (gn, dn), wobei d; = 1 , falls gi tJ. {gI, . .. , gi-d , und d; = dj + 1 , fallsjE{I, ... ,i-I} maximalistmit gj=gi. 1st nun 1jJ:{I, ... ,n}-t{I, ... ,t}

Halter-Koch 553

eine Narkiewicz-Faktorisienlllg von B und tB,j( </» = IT (gil, dll ), so ist IIE~-l(j)

tB,j(</» E T(Go), {3(tB,j(</>)) = Bj(</», und

t t

tB = II tB,j(</» bzw. B = II Bj (</» j=1 j=1

ist eine Faktorisierung von tB in T(Go) bzw. von B in B(Go). Jede Faktorisierung von tB in T(Go) bzw. von B in B(Go) entsteht auf diese Weise. Sind </> und </>' Narkiewicz-Faktorisierungen von B, so sind </> und </>' genau dann iiquivalent, wenn die davon induzierten Faktorisierungen von B in B( Go) nicht wesentlich verschieden sind; </> und ¢/ sind genau dann streng iiquivalent, wenn die davon induzierten Faktorisierungen von tB in T(Go) nicht wesentlich verschieden sind.

Fur eine abelsche Gruppe G"# {OJ und kEN definiere ich die kombinatorische Konstante ak(G) durch

ak(G) = sup{u(B) I B E B(G\ {OJ), Fak(tB) ~ k} E NU {oo};

auf Grund der obigen Ausfuhrungen uber Faktorisierungen ist ak( G) genau die von Narkiewicz in [18] eingefuhrte Konstante. Uber sie ist sehr wenig bekannt; siehe [18] und [20]. Ich beweise zuniichst einige einfache Abschiitzungen.

Satz 8. Sei G #- {OJ eine abelsche Gruppe und kEN. Dann gilt:

i) ak(G) ~ D(G)

ii) Sei G endlichund N(G) die Anzahl derirreduziblen Blockein B(G\{O}). 1st dann r E N mit r! ~ k, so folgt ak(G) ~ rD(G)N(G) < 00 .

Bewei.3 . Ich setze Go = G \ {OJ . i) 1st B E B(Go) irreduzibel, so ist wegen {3(tB) = B nach Satz 7 auch tB

irreduzibel, also Fak(tB) = 1 ~ k. Darausfolgt ak(G) ~ sup{u(B) I B E B( Go) irreduzibel } = D( G) .

ii) Nach [4, Prop.2] ist D(G)N(G) < 00 . Sei B E B(Go) mit u(B) > rD(G)N(G); dann gibt es einen irreduziblen Block A E B(Go) mid Ar+1 lB . Nach Satz 7 gibt es ein t E T(Go) mit {3(t) = Ar+l und tltB. Dann ist Fak(tB) ~ Fak(t) , und es genugt, Fak(t) > k zu zeigen. 1st A = gl ..... g. mit 9 j E G , so folgt

• r+l

t = II II(gj,n;j) j=1 ;=1

mit s ~ 2 und nij E N derart, daB fur alle j,j' E {I, . .. , s} und i, i' E {I , . . . , r + I} gilt: Aus gj = gj' und nij = ni' ,j' folgt i = i' und j = j'. Jedes s-tupel von Permutationen P = (PI, . . . , P.) E 6:+1 induziert eine Faktorisierung

r+l

t = II ti(p) i=l

8

mit ti(p) = II(gj,np;(i),j). j=l

554 Halter-Koch

Damit erhalte ich (r + 1)!8-1 wesentlich verschiedene Faktorisierungen von t, und wegen (r + 1)!8-1 > r! 2': k folgt die Behauptung. 0

Fiir eine weitere Interpretation der Konstanten ak(G) benotige ich den auf W. Narkiewicz (17) zuriickgehenden Begriff der Tiefe eines Typs.

Sei G eine abelsche Gruppe, 0 # Go C G und

t = II (g, n)t"n E F(Go x N); (g,n)EGoxN

dann heiBt bet) = #{(g,n) E Go x N I tg,n = 1}

die Tiefe von t. Die arithmetische Bedeutung der Tiefe ist die folgende: Sei Heine Krullhalb­

gruppe, 8: H -t D = F(P) eine Divisorentheorie, G = Dj8H, 0 # Go C G, a E D und t = T(a, Go) E T(Go). Dann ist bet) die Anzahl der Primdivisoren p aus Klassen von Go mit vp(a) = 1 .

Der folgende Satz ist eine abstrakte Version der Propositionen 6 und 7 in (18).

Satz 9. Sei G eine endliche abelsche Gruppe und kEN. Dann ist

ak(G) = max{b(t) It E T(G\ {O}, f(t) ~ k}.

Beweis. Sei Go = G \ {O}. Fiir BE B(Go) ist b(tB) = u(B) und folglich

ak(G) ~ sup{b(t) It E T(Go), f(t) ~ k}.

Fiir die umgekehrte Ungleichung geniigt es zu zeigen, daB f(t) > k fiir aIle t E

T(Go) mit bet) > ak(G) .

Sei also t E T(Go) mit bet) = r > ak(G) ,

r 8

t = II(gi,ni)' II (gi,ni)"' i=1 i=r+l

mit s 2': r, paarweise verschiedenen (gi, ni) E Go x N, ei 2': 2, und sei

r

to = II(gi' ni) E F(Go x N). i=1

1st nun to E T(Go) und B = f3(to), so folgt t~ = tB und u(B) = u(to) = r > ak(G), also k < f(tB) = f(t~) = f(to) ~ f(t) .

1st to ~ T(Go) , so ist 9 = 2::=r+l eigi E Go; sei n E N mit (g, n) ~ {(gl,nl), ... ,(gs,ns)} und t1=to·(g,n). Dannist tlET(Go); setztman Bl = f3(tt} , so folgt tBl = ti' und U(Bl) = u(tt} = r + 1 > ak(G) , also f(tBJ = f(tn = f(td > k. Ersetzt man nun in jeder Faktorisierung von tl das

Halter-Koch

s Element (g, n) durch IT (gi, ni)ei , so erhiilt man f(td wesentlich verschiedene

i=r+l

Faktorisierungen von t; daraus folgt f( t) > k. 0

Fur eine endliche abelsche Gruppe G =f. {O} und kEN sel

a~( G) = max{ c5( t) It E T( G \ {O}), f(t) = k} ;

offensichtlich ist

ak( G) = max{ a~ (G), ... ,a~( G)} .

Die Invarianten a~(G) zeigen ein sehr irreguliires Verhalten. Fur G = C2 ~ Z/2Z findet man:

Satz 10. Sei G =f. {O} eine endliche abelsche Gruppe und kEN; dann ist a~(G) ~ 1 .

B eweis. N ach [18, Prop.g] ist a~ (G) = al (G) ~ 2. Sei daher k ~ 2 und 9 E G mit ord(g) = n ~ 2 .

Fur a E N, a ~ n sei

t = (g, 1)(g, 2t( -g, 3)a+l E T(G \ {O};

555

es gibt genau 5 irreduzible Typen, welche t teilen, niimlich tl = (g, 1)(g, 2)n-l, t2 = (g, 1)( -g, 3), t3 = (g, 2)( -g, 3), t4 = (g,2)n und t5 = (-g, 3)n. Daher hat jede

5

Faktorisierung von t die Form t = IT t~i mit Exponenten ai E No, so daB i=1

al + a2 1, (n-l)al + a3 + na4 = a,

a2 + a3 + na5 = a + l.

Dieses Gleichungssystem hat

A( a) = [~] + 1 + [a: 1 ]

Losungen, und folglich ist f( t) = A( a) .

1st nun k = 21 + 1 ungerade, so ist A(ln) = k; ist k = 21 gerade, so folgt A(ln-l) = k. In jedem Falle gibt es einen Typ t mit ret) = k und c5(t) = 1. 0

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§ 5. QUANTITATIVE RESULTATE FUR

FAKTORISIERUNGEN ALGEBRAISCHER ZAHLEN

Halter-Koch

Sei K ein algebraischer Zahlkorper, R sein Ganzheitsring, I die Halbgruppe der von (0) verschiedenen Ideale von R, 1{ die Halbgruppe der von (0) ver­schiedenen Hauptideale von R und P die Menge der maximalen Ideale von R. Dann ist I = F(P), 1{ ist eine Krullhalbgruppe, die Einlagerung 1{ '-+ I ist eine Divisorentheorie, die Divisorenklassengruppe G = I/1{ ist die gewohnliche Idealklassengruppe des Dedekindringes R und h = #G ist die Klassenzahl von K. Wegen 1{ ~ (R \ {O})/ R X hat 1{ dieselben Faktorisierungseigenschaften wie R und wird manchmal auch als Teilbarkeitshalbgruppe von K bezeichnet. Fiir ein Ideal a E I sei N(a) = (R : a). Der folgende Satz wurde (in etwas anderer Terminologie) in [17] bewiesen (Theorem 1 und Bemerkung 3.( a) ):

Satz 11. i) Sei 0 =f:. X c T(G) eine Menge normierter Typen, so daB

1:::;; d = sup{5(t) It E X} < 00.

Fur x > 1 sei A( x ) die Anzahl der Hauptideale a E 1{ mit T( a) E X und N(a) :::;; x. Dann folgt

A(x) '" Cx(1og x )-l(log log x )d-l

mit einer Konstanten C> 0 .

ii) Sei h > 1 und 0 =f:. X c T ( G \ {O}) eine Menge normierter Typen, so daB

o :::;; d = sup{ 5(t) It E X} < 00.

Fur x > 1 sel A(x) die Anzabl der Hauptideale a E 1{ mit To(a) E X und N(a) :::;; x. Dann folgt

A( x) '" Cx(log x )-1+ t (log log x)d

mit einer Konstanten C > 0 .

1m folgenden verwende ich Satz 11 zur Herleitung quantitativer Resultate iiber Faktorisierungen. Ich beginne mit einer Neubegriindung von [17, Theorem 2] und einer Variante dieses Resultats.

Satz 12. Sei h> 1 und kEN. Fur x> 1 sei Fk(x) bzw. FHx) die Anzahl der Hauptideale a E 1{ mit N(a):::;; x und f(a):::;; k bzw. f(a) = k. Dann folgt

Fk(x) '" Cx(logx)-1+t(loglogxt k (G) und FHx) '" C'x(logx)-Ht(loglogxt~(G)

mit positiven Konstanten C, C' .

Beweis. Sei X die Menge aller normierten Typen t E T(G \ {O}) mit f(t) = k . Fur a E 1{ ist f( a) = f( TO (a» nach Satz 6, und daher folgt aus Satz 11

F~(x) '" C'x(1ogx)-Ht(loglogx)d

mit C' > 0 und

d = sup{ 5(t) It E T(G \ {OJ normiert, Fak(t) = k} .

Fur tET(G\{O}) ist f(t) = f(t*) und 5(t)=5(t*)j darausfolgt d=a~(G). Die Formel fur Fk(x) beweist man genauso. 0

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Satz 13. Seien m,r,n E N, D E Mm,r(No), und sei t E T(G) mit b(t) ~ 1 derart, daB t n das Faktorisierungsschema D gestattet. Dann ist

d = sup{b(t) It E T(G), t n gestattet D} < 00,

und fur die Anzabl AD,n(X) aller 0: E 1i mit N(o:)::; x derart, daB o:n das Faktorisierungsschema D gestattet, gilt:

AD,n(X) '" Cx(logx)-1(loglogx)d-1

mit einer Konstanten C > 0 .

Beweis. Sei t E T(G) derart, daB t n das Faktorisierungsschema D = (d ji )

gestattet. Dann ist t n insbesondere Produkt von do = L:~=1 d1i unzerlegbaren Typen und daher aW) ::; doD(G). Daraus folgt b(t)::; a(t) ::; ~doD(G) . 1st 0: E H und t = r( 0:), so folgt t n = r( o:n), und o:n gestattet das Faktorisierungsschema D genau dann, wenn auch t n das tut (Satz 5). Da ferner fur ein t E T(G) der Typ t n genau dann D gestattet, wenn t*n das tut, folgt die Behauptung aus Satz 11. D

Beispiel 1. Sei e der Exponent von G und 2::; n ::; e. Nach [10, Theorem 1] gibt es paarweise nicht-assozierte irreduzible Elemente Uo, U1, . .. ,Un E R mit u~ '" U1 ... . . Un, und der Beweis zeigt, daB man Uo so wahlen kann, daB das Hauptideal uoR Produkt von n oder n + 1 verschiedenen Primidealen ist, d. h., b(r(uo») ~ n. Anwendung von Satz 13 mit

liefert das folgende Resultat:

Sei An(x) die Anzahl der 0:0 E 1i mit N(o:o)::; x und 0:0 = 0:1 .... ·O:n derart, daB 0:0,0:1, ... , O:n paarweise verschieden und unzerlegbar sind; dann folgt

mit C > 0 und dEN, d ~ n. Ferner sieht man leicht: 1st G zyklisch und n = h, so folgt d = n .

t

Beispiel 2. Sei G = ED G i mit zyklischen Gruppen G; der Ordnungen n; ~ 2 . ;=1

Dann zeigt der Beweis von Lemma 6 in [3]:

Es gibt paarweise verschiedene unzerlegbare Elemente 0:0,0:1, ... , O:t+! E 1i mit t

o:~ = 0:1 .... ·O:t+! derart, daB 0:0 ein Produkt von do = 2: [¥ 1 + 1 paarwelse ;=1

verschiedenen Primfaktoren ist. Anwendung von Satz 13 mit

D = (2 0 o 1

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liefert das folgende Resultat:

Sei An ( X ) die Anzahl der derart, daB 0'0, QI, ..• , Qt+1

folgt

0'0 E 1{ mit ./If(Qo)::; x und Q~ = 0'1 •.... Qt+1

paarweise verschieden und unzerlegbar sind; dann

An(x) '" Cx(logx)-l(loglogx)d

mit C > 0 und dEN, d ~ do .

Bemerkungen. 1) Satz 13 ist zahlreicher Variationen fiihig. Anstatt n E N und ein Fak­

torisierungsschema D vorzugeben, kann man auch endlich viele Exponenten n1, ... , nk und Faktorisierungsschemata D1"'" Dk vorgeben und die 0' E 1{

ziihlen, wo fur mindestens ein i E {I, ... , k} Qni das Faktorisierungsschema Di gestattet. Damit kann man dann in den Beispielen auf die Bedingungen "0'0, ... ,Qn paarweise verschieden" und "0'0, ... , Qt+1 paarweise verschieden" verzichten und erhiilt analoge Aussagen. Ferner gelten analoge Aussagen fur das volle Faktorisierungsschema.

2) Die Formel fur Fk(x) aus Satz 12 wurde bereits in [17] gezeigt. A. Geroldinger [5, Theorem 2] zeigte F~(x) '" C'x(1ogx)-l(loglogx)m mit einem Exponenten mE No.

3) Die Methoden aus [16] erlauben in jedem der Siitze 11, 12 und 13 eine genauere Bestimmung der Restglieder.

4) Die Siitze 11, 12 und 13 haben Analoga in Holomorphieringen algebraischer Funktionenkorper, welche mit den Methoden aus [14] bewiesen werden konnen.

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FRANZ HALTER-KoCH,

INSTITUT FUR MATHEMATIK,

KARL-FRANZENS-UNIVERSITAT,

HEINRICHSTRASSE 36/IV, A-8010 GRAZ, OSTERREICH.

Eingegangen am 16. August 1991

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