Übungsaufgaben Einführung in die Geometrie,mathematische Grundlagen II, Serie 8 SoSe 2013

Gieding

17.06.2013 - 23.06.2013

Aufgabe 8.01

Wenn der Mathematiker von einer Fahne spricht, dann meint er ein Element ausder Menge F, die aus allen Tripeln (A|AB|AB,Q+) mit nKoll(A,B,Q) besteht.

a) Aus was für drei geometrischen Objekten besteht jede Fahne?

b) Ikonisieren Sie den Begriff der Fahne.

c) Erläutern Sie wie der Begriff der Fahne auf enaktiver Ebene mit Schülern derSI erarbeitet werden könnte.

Lösung von Aufgabe 8.01 S SoSe 13

a) Aus dem Punkt A, der Geraden AB und der Halbebene AB,Q◦+

b) Zeichnen Sie eine Halbgerade AB+ und eine Halbebene, die AB als Trägergeradehat. Fertig ist die Fahne.

c) Blatt Papier falten und auf der Faltgerade eine Halbgerade zeichnen.

Aufgabe 8.02

Die Definition des Begriffs entsprechend Aufgabe 8.01 entspricht der üblichen Vor-stellung der Mathematiker von einer Fahne. In der Übung am Donnerstag (13.06.)hatte ich den Begriff unzulässig modifiziert. Hier hatten wir den Begriff der Fahneder üblichen Vorstellung einer Fahne angepasst: Gerade mit einer an ihr befestig-ten Viertelebene. Wir wollen diesen Begriff der ab sofort offiziell als HeidelbergerÜbungsfahne bezeichnen.

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Hier eine Ikoniserung des Begriffs Heidelberger Übungsfahne.

Die Darstellung ist so zu verstehen, dass die Vereinigungsmenge aller grafisch dar-gestellten Objekte eine Heidelberger Übungsfahne darstellt. Die Schraffur meintdabei den Teil einer Ebene.

a) Formulieren Sie eine Definition des Begriffs Heidelberger Übungsfahne.

b) Mit der Formulierung dieser Aufgabe zeigt der Autor (*m.g.*) mangelnde ma-thematikdidaktische Kenntnisse. Warum?

c) Insbesondere ist die ikonische Darstellung der Heidelberger Übungsfahne bezüglichder Aufgabenstellung ungünstig. Warum?

Lösung von Aufgabe 8.02 S SoSe 13

a) Es seien AB+ und AC+ zwei verschiedene Halbgeraden. Unter der HeidelbergerÜbungsfahne HÜF versteht man die folgende Punktmenge:HÜF := AB,C+ ∩ AC,B+ ∪ AB.

b) Mittels eines einzigen Beispiels kann man kaum einen Begriff einführen ...

c) und das schon gar nicht, wenn es sich bei dem Beispiel um einen ausgesproche-nen Spezialfall handelt (Die beiden Strahlen stehen senkrecht aufeinander.).

Aufgabe 8.03

Was haben Halbgeraden und Halbebenen gemeinsam?Ergänzen Sie:

a) Eine Gerade wird durch einen ............ in zwei ............ eingeteilt.

b) Eine Ebene wird durch eine ............ in zwei ............ eingeteilt.

c) Eine Gerade ist ein .....dimensionales Objekt.

d) Eine Ebene ist ein .....dimensionales Objekt.

e) Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometri-sches Objekt.

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f) Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrischesObjekt.

g) Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird,dann hat der Trenner die Dimension ..... .

Lösung von Aufgabe 8.03 S SoSe 13

a) Eine Gerade wird durch einen Punkt in zwei Halbgeraden eingeteilt.

b) Eine Ebene wird durch eine Gerade in zwei Halbebenen eingeteilt.

c) Eine Gerade ist ein eindimensionales Objekt.

d) Eine Ebene ist ein zweidimensionales Objekt.

e) Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein nulldimensionales geometri-sches Objekt.

f) Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein eindimensionales geometri-sches Objekt.

g) Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird,dann hat der Trenner die Dimension n− 1 .

Aufgabe 8.04

Beweisen Sie mittels eines direkten Beweises:Wenn zwei Mengen M1 und M2 konvex sind, dann ist auch ihre Schnittmengekonvex.

Lösung von Aufgabe 8.04 S SoSe 13

Es seien M1 und M2 zwei konvexe Punktmengen.Es seien A und B zwei verschiedene Punkte aus M1 ∩M2.Entsprechend der Definition einer Schnittmenge gilt jetzt:

(I) A ∈M1 ∧B ∈M1

(II) A ∈M2 ∧B ∈M2

(III) Wegen (I) und wegen der Konvexität der Menge M1 gilt AB ⊆M1.

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(IV) Wegen (II) und wegen der Konvexität der Menge M2 gilt AB ⊆M2.

(V) Zusammengenommen sagen (III) und (IV) nichts anderes aus, als dass mitzwei Punkten aus M1∩M2 die gesamte Verbindungsstrecke der beiden Punk-te in M1 ∩M2 liegt.

Aufgabe 8.05

Beweisen Sie mittels eines indirekten Beweises:Wenn zwei Mengen M1 und M2 konvex sind, dann ist auch ihre Schnittmengekonvex.

Lösung von Aufgabe 8.05 S SoSe 13

Wir beweisen die Kontraposition:Wenn M1 ∩M2 nicht konvex ist, dann sind auch M1 und M2 nicht konvex.

(I) ∃A,B ∈M1 ∩M2 : AB 6⊆M1 ∩M2 (M1 ∩M2 ist nicht konvex)

(II) Sollte AB ⊆M1 ∧ AB ⊆M2 gelten, müsste auch AB ⊆M1 ∩M2 gelten.

Aufgabe 8.06

Formulieren Sie die Umkehrung der Implikation aus Aufgabe 8.05 und untersuchenSie den Wahrheitswert dieser Umkehrung

Lösung von Aufgabe 8.06 S SoSe 13

Umkehrung: M1 ∩M2 konvex ⇒M1 konvex und M2 konvex.Die Umkehrung ist nicht wahr. Man kann zwei nicht konvexe Menegen derartschneiden, dass die Schnittmenge konvex ist.

Aufgabe 8.07

Es sei ABCD ein konvexes Viereck. Definieren Sie den Begriff Inneres von ABCDmittels des Begriffs Vereinigungsmenge.

Lösung von Aufgabe 8.07 S SoSe 13

I(ABCD) := I(ABC) ∪ I(CDA)

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Aufgabe 8.08

Begründen sie, warum die folgenden Implikationen keine Sätze sind:

a) Die Vereinigungsmenge zweier konvexer Mengen ist konvex.

b) Die Schnittmenge zweier nicht konvexer Mengen ist nicht konvex.

Lösung von Aufgabe 8.08 S SoSe 13

Zeichnungen helfen.

Aufgabe 8.09

Definieren Sie den Begriff regelmäßiges n-Eck.Hinweis: Der Begriff des Kreises hilft.

Lösung von Aufgabe 8.09 S SoSe 13

Es sei k ein Kreis und P1, P2, . . . , Pn eine Menge von Punkten auf k mit|PiPi+1| = |Pi+1Pi+2| = |Pi+2Pi+3| = . . . |Pn−1Pn| = |PnP1|.Die Vereinigungsmenge P1P2∪P2P3∪ . . . Pn−1Pn∪PnP1 heißt regelmäßiges n-Eck.

Aufgabe 8.10

Es sei g eine Gerade der Ebene ε. Ferner seien A,B,C drei nicht kollineare Punkteder Ebene ε. Keiner dieser drei Punkte möge zu g gehören. Es gelte: B ∈ gA+.Beweisen Sie:

a) C ∈ gA+ ⇒ C ∈ gB+

b) C ∈ gA− ⇒ C ∈ gB−

Lösung von Aufgabe 8.10 S SoSe 13

Axiom von Pasch hilft.

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