UBUNGSTEXTE

zu den Teilen A - D

AI. Matrizenprodukte

1) Berechne die Produkte AB und BA, falls

.) A ~ m und B ~ [1 2 31

b) und

Bestimme im Fall b) die Matrizen X E lR.2X2 so, dass AX = XA.

2) Berechne die Produkte [A, AJ, [2 := [[, J2 := J J , wobei

[00 1] [" b '" ]

[0 00 11 [= 010 , A= a'b'c'd' , J= 0010

100 a" b" C" d" o 100 1 000

3) Berechne das Produkt

1 0 0 0 0 1 0 000 1 0 0 00 10000 a 1 000 o 1 000 o 1 000 o 1 000 b 0 1 0 0 o e 100 o 0 1 0 0 00100 cOO 1 0 OjOl0 00kl0 00010 d 0 0 0 1 o gOO 1 o 0 i 0 1 o 0 0 j 1

4) Seien a E lR.n +l , b E lR.n und c E lR.n drei Spalten derart, dass die folgenden, induktiv definierten Zahlen

b·Ci d·+ l = a·+l - -'- 1 < i < n

'l, 'l. di ' - - ,

nicht verschwinden. Zeige, dass dann

al bl 0 0 .... 0 1 000 CI a2 b2 .................... . el 1 0

~ ···~~ .. ::·:::::::::·::::::::~~~l ~ ..... :···· ...... ····· .... :Cn-l an bn o ..... 0 0 Cn an+l

o e2 ...... .

o .......... : ......... : .......... 0

~ ... :::::: ..... ··.~ ... e~-l e~

o

o o o 1

d l bl 0 0 0 o d2 b2 ........................ .

~ ··~ ... :::::::::::::::::::::~:l: ~ · ... ······ ... ······ .. Odnbn o ......... 0·· 0 0 dn+l

wobei ei = Ci/di . Berechne di und ei , wenn ai = 2 und bi = Ci = 1 fUr alle i.

5) Bestimme X E lR.3X3 so, dass

[ ~ ~ ~l X = [~ ~ ~l Ojl 012

6) Zeige, dass die Bildmenge der Abbildung

lR.6 ---+ lR.2X2, X f-> [Xl 0 ] [X4 X5] X2 X3 0 X6

die folgende Vereinigung ist:

{MElR.2X2 1 Mll#0}U{MElR.2X21 Mll=MI2=0}U{MElR.2X21 Mll=M21=0}

536 Ubungstexte

7) Bestimme die Matrizen X E lR2x2 derart, dass X2 := XX = [88] . 8) Bestimme die Matrizen X E lR2X2 derart, dass X2 = lb . 9) Sei M E lRmxn , N E lRnxp , P E lRpxq • Wieviele Multiplikationen benotigst du im allgemeinen zur Berechnung von MN, (MN)P und M(NP)? Vergleiche diese Zahlen, wenn m = P = 1 und n = q.

10) Berechnung des Produktes von zwei Matrizen der Grosse 2 x 2 mit 7 Multiplikati­onen statt 8 (V. Strassen): Sei

A = [~ :], A' = [~; ~], AA' = [~;; :::] Prufe nach, dass a" = PI + P4 - P5 + P7, b" = P3 + P5, e" = P2 + P4 und d" PI - P2 + P3 + Pe , wobei PI = (a + d)(a' + d'), P2 = (e + d)a' , P3 = a(b' - d'), P4 = d( -a' + e'), P5 = (a + b)d' , pe = (-a + e) (a' + b') und P7 = (b - d)(e' + d'). 11) Berechne die Inversen folgender Matrizen:

[ ~ ~] , [~-~] , [~-~ ~], [-~ ~ -~] , [~-~ -~] , o 0 -1 -4 -6 3 1 -1 1

[ = ~ -~ -~ -~ 1 ' [-! ~ ~ -! ~ ~ 1 ' [-~ = ~ ~ ! 1 -1 0 0 2 -1 0 -1 4 6 -2 2 1

12) Zeige, dass die folgenden Matrizen nicht invertierbar sind:

[ -; -;] , [-i -~ =i] , [-~ ~~ -! ~~l ' [=~ -~ -~ -~ -~l -1 -1 2 -1 0 -1 2 -1 0 0 2 0

-1 0 0 0 2

13) Fur welche Werte der Parameter 8, t sind die folgenden Matrizen invertierbar? Berechne gegebenenfalls ihre Inversen.

[: :] , [: '~' 1 ' [l: :'] , [~ ,~~" + ] 14) Eine Matrix ME lRnxn heisst obere (bzw. untere) Dreiecksmatrix, wenn Mij = 0 fUr i > j (bzw. fUr i < j) gilt. Zeige: Eine obere (oder untere) Dreicksmatrix Mist invertierbar genau dann, wenn aIle Diagonaleintrage Mii von null verschieden sind. In diesem Fall ist M-I auch eine Dreiecksmatrix.

15) Seien M E lRnxn und N E lRnxn zwei invertierbare Matrizen. Zeige: MN ist invertierbar, und es gilt (M N)-I = N- I M-I .

16) Verwende die Aufgaben 4) und 15) zur Berechnung der Inversen von

2 1 0 0 0 1 2 1 '. '. 0 1 0 0 1 0

'. '. '. 1 2 1 '.

0 0 0 1 2

Ai. Matrizenprodukte

17) Berechne die Inversen der Matrizen

1 234 o 1 2 3 001 2 000 1

n-l n-2 n-3 n-4

n n-l n-2 n-3

o 0 0 0 ... 1 2 o 0 0 0 ... 0 1

537

1 t t2 t3 tnr-1 t n

0 1 t t2 t n- 2 tnr-1

0 0 1 t t n-3 tnr-2

0 0 0 1 tn-4 t n-3

....................... 0 0 0 0 ... 1 t 0 0 0 0 ... 0 1

18) Fur welche Werte der Parameter sind die folgenden Matrizen invertierbar. Be­rechne die Inversen, wenn die Matrizen invertierbar sind.

1+t1 1 1 1 1 1 0 0 0 81 1 1+t2 1 1 1 0 1 0 0 82 1 1 1+t3 1 1 0 0 1 0 83

• 0 ••••••••••••••••••••••••••••••••• .0 •••••••••• 0 •••••

1 1 1 .. . l+tn-1 1 0 0 0 ... 1 8 n

1 1 1 1 l+tn h t2 ta ... tn r

19) Berechne die Potenzen M2 := M M, M3 := M2 M , ... , MT, ... der Matrix

x y 0 0 0 Oxy ... OO

M= OOx ... OO E jRnxn

OOO ... xy OOO ... Ox

20) a) Berechne die Inverse von 8 und das Produkt P = 8-1 M8, wobei

M = [~ ~ ~ll 010

b) Berechne die Potenzen M n = 8pn 8- 1 , n = 1,2,3 .... c) Berechne die Folge reeller Zahlen Xo , Xl , X2 , ... derart, dass Xo = 1, Xl = 0, X2 = 3 und X n +1 = Xn + X n -1 - X n -2, 'lin 2': 2.

21)SeiM= [ps] und8= [s 8 ],wobeiP,q,r,SEN,r-lO-lsund rq x-pq-x

X := ~ (p + q) + h/(p - q)2 + 4rs. a) Berechne 8-1.

b) Zeige, dass 8-1 M 8 die Gestalt [~ ~] hat. Berechne A und J1,.

c) In der Figur unten gebe es r Pfeile von A nach B, s von B nach A, p von A nach A und q von B nach B . Ein Weg der Lange n bestehe aus einer Folge von n Pfeilen, wobei jeder der n - 11etzten Pfeile an der Spitze seines Vorgiingers startet. Wieviele Wege der Lange 2,3 und 4 gibt es? Vergleiche die Ergebnisse mit M2, M3 und M4.

~ ~A~B~ d) Verwende b) zur Berechnung der Anzahl der Wege der Lange n im Fall r -I 0 -I s.

538 Ubungstexte

A2. Der Fang-Cheng-Algorithmus

1) Sei Meine der folgenden Matrizen. Berechne die Stufenform S von M und eine

invertierbare Matri[X t ~' ;jass U M[ ~ ~ =! i j [~~ ~ ! 2] 3 4 2 4 -7 1 ~ 158 ~9 ~

[ ~;~;~] 4 2 123 2 1 732

6 6 10 9 12 12 8 6 4 5

5 18 20] 7 24 30 13 27 25 6 15 20 4 15 15

2) Bestimme die Losungsmengen folgender Gleichungssysteme:

3) Jetzt hat man folgende Aufgabe: 9 Tou Hanf, 7 Tou Weizen, 3 Tou Bohnen, 2 Tou Erbsen und 5 Tou Hirse kosten 140 Geldstucke. 7 Tou Hanf, 6 Tou Weizen, 4 Tou Bohnen, 5 Tou Erbsen und 3 Tou Hirse kosten 128 Geldstucke. 3 Tou Hanf, 5 Tou Weizen, 7 Tou Bohnen, 6 Tou Erbsen und 4 Tou Hirse kosten 116 Geldstucke. 2 Tou Hanf, 5 Tou Weizen, 3 Tou Bohnen, 9 Tou Erbsen und 4 Tou Hirse kosten 112 Geldstiicke. 1 Tou Hanf, 3 Tou Weizen, 2 Tou Bohnen, 8 Tou Erbsen und 5 Tou Hirse kosten 95 Geldstucke. Frage: Wieviel kostet je ein Tou? [Aus 'Neun Bucher Arithmetischer Technik', ein Chinesisches Rechenbuch fUr den praktischen Gebrauch aus der fruhen Hanzeit (200 v.Chr.)].

4) Sei Meine der Matrizen von Aufgabe 1). Suche invertierbare Matrizen S und T

derart, dass SMT = [~T ~] mit T = Rang M.

5) Seien M,N E lRmxn , P E jRnxp. Zeige, dass RangNP ~ min{RangN, RangP} und Rang (M + N) ~ Rang M + Rang N .

6) Seien M E jRmxn und N E jRmxp. Zeige, dass RangM = RangN, wenn M(jRn) =

N(jRP) (d.h., wenn die Bildmengen der assoziierten Abbildungen gleich sind).

7) Seien M E jRlxn und N E jRmxn. Zeige, dass RangM = RangN, wenn M- 1 {0} =

N- 1 {0} .

8) Zeige, dass eine Matrix M E lRmxn genau dann den Rang 1 hat, wenn sie sich in der Gestalt m = xy T mit 0 =1= x E jRm und 0 =1= y E jRn schreiben liisst.

9) Die Matrix M E jRnxn habe die folgende Blockgestalt

M=[~I~], wobei A und C quadratische Matrizen sind. Zeige, dass M genau dann invertierbar ist, wenn A und C es sind. Berechne dann M- 1 vermoge A-1 und C- 1 •

A2. Fang-Cheng-Algorithmus 539

10) Sei Meine invertierbare Matrix. Zeige: a) Aus M = MT folgt M- l = (M-l)T. b) 1st Mij = 0 , falls i + j ungerade ist, so gilt die entsprechende Eigenschaft auch fUr M- l .

11) Sei M E IRmxn. Zeige, dass die Abbildung M: IRn -+ IRm,x ....... Mx, genau dann injektiv ist, wenn ein N E lR.nxm mit N M = lIn existiert. Und Mist genau dann surjektiv, wenn ein P E lR.nxm mit MP = lIm existiert.

12) Sei r~h,n = {1, 2, 3, ... ,n} eN. Zu jeder Abbildung 0" : Nl,n -+ Nl,m gehOrt dann eine Matrix P(O") E lR.mxn derart, dass

P(O")ij = {01 falls i = O"(j) sonst

a) Fur jede weitere Abbildung T : Nl,p -+ Nl,n gilt P(O"OT) = P(O")P(T). b) Es existiert eine Bijektion p : Nl,m -+ Nl,m so, dass P(p)P(O") eine Stufenmatrix ist. c) Bestimme den Rang von P(O").

13) Eine Matrix M E IRmxn heisse dreiecksreduziert, wenn Mks(i) = 0, fUr aIle k > i und alle i mit O"(i) :::; n gilt (Dabei sei s = SM die Stufenfunktion von M). Ferner heissen zwei Matrizen M, N E IRmxn dreiecksiiquivalent, wenn es eine untere Drei­ecksmatrix D mit Dii = 1, Vi, und N = DM gibt. a) Bestimme aIle moglichen Formen von dreiecksreduzierten 2 x 3-Matrizen. b) Zeige, dass es fUr jedes N E lR.mxn genau eine dreiecksaquivalente dreiecksredu­zierte Matrix M E IRmxn gibt. c) Sei M E lR.mxn dreiecksreduziert. Zeige, dass es ein T : Nl,m ~ Nl,m und eine invertierbare obere Dreiecksmatrix E gibt so, dass EP(T)M eine Stufenmatrix ist (Notation wie in Aufgabe 12). d) Sei M E IRnxn dreiecksreduziert und invertierbar. Zeige, dass die Abbildung 0" : i ....... sM(i) bijektiv ist und dass P(O")M eine obere Dreiecksmatrix ist. e) Jede invertierbare Matrix N E lR.nxn hat die Gestalt N = DP{-rr)F, wobei F eine invertierbare obere Dreiecksmatrix ist und D eine untere Dreiecksmatrix mit Dii = 1 , Vi. Ferner ist die Bijektion 7r eindeutig bestimmt durch N . f) Sei p: Nl,n ~ Nl,n die Bijektion i ....... n+1-i. Zeige, dass P(p)EP(p)-l eine untere Dreiecksmatrix ist, wenn E eine obere ist. Schliesse, dass jede invertierbare Matrix L E lR.nxn die Gestalt L = DP(T)C hat, wobei C und D invertierbare untere Dreiecksmatrizen sind. Dabei ist T eindeutig bestimmt durch L. [Hinweis: Wende Teilaufgabe d) auf N = LP(p) an.]

14) Sei M E lR.mxn. Zu zeigen ist, dass es eine untere Dreiecksmatrix D mit Dii = 1, Vi, und eine Bijektion 0" : Nl,m ~ Nl,m gibt so, dass die Stufenfunktion von DP(O")M streng steigt (sp(u)M(i) < Sp(u)M(j) falls i < j). Dazu fUhre man eine Induktion nach m und nehme gleich an, dass m > 1 : a) Zunachst konstruiere man ein 0"' und ein D' mit D~l = 1 und D~i = ei fUr i ~ 2 derart, dass N := D'P(O"')M den Ungleichungen sN(1) < sN(i) , i ~ 2, genugt. b) Sei N E lR.m - lxn die Matrix, die man aus N durch Streichen der ersten Zeile erhalt. Die Induktionshypothese, angewendet auf N, liefert dann eine Bijektion 0"" : Nl,m ~ Nl,m mit 0""(1) = 1 und eine untere Dreiecksmatrix D" mit Dol = el und D~~ = 1 so, dass die Stufenfunktion von D"P(O"")N = D"P(O"")D'P(O"')M streng steigt. c) Schliesslich setze man D = D"P(O"")D'P(O",,)-l und 0" = 0""00"'.

540 Ubungstexte

15)a) Schliesse aus 14), dass jede Matrix M E JR.mxn sich in der Form P(r)CFS schreiben lasst, wobei r eine Bijektion ist, Seine Stufenmatrix, C eine invertierbare untere und F eine invertierbare obere Dreiecksmatrix. Insbesondere hat jede inver­tierbare Matrix die Gestalt P(r)CF. b) Sei u : N1,n ~ N1,n eine Bijektion. Zeige, dass P(u) sich nicht in der Form P(r)CF schreiben lasst, wobei C eine untere Dreiecksmatrix ist, F eine obere und r =I- u. [Hinweis: Betrachte P(u)F- 1 und P(r)C.]

16)* Sei n eine Folge natiirlichl'lr Zahlen no, nl ,n2, ... , np (p ~ 1). Eine zusam­mensetzbare MatrizenJolge der Grosse n ist ein Element M = (M(l), ... , M(P» der Produktmenge zn = JR.no xn l x JR.n l xn2 x ... x JR.np-1xn p .

Wir versehen Zn mit der Transformationsgruppe Gn, die aus den Bijektionen

(M(l), M(2), ... , M(P» f-+ (UoM(1)U1 1 , UIM(2)U2" 1 , •.. , Up_IM(p)U;l)

mit Ui E GLni (JR.) besteht. Zur Beschreibung der Normalformen definieren wir die direkte Summe von zwei Folgen M E Zm und N E Zn als die Folge P = M EEl N E Zm+n mit m+n= (mo + no, . .. ,mp + np) und

P(i) = [MJi) N~i)] E JR.(mi-l+ni-l)x(mi+ni).

Analog wird die direkte Summe von mehreren zusammensetzbaren Folgen erklart: L EEl M EEl N := (L EEl M) EEl N ... Zu zeigen ist, dass jede zusammensetzbare Matrizenfolge =I- (lIo, lIo, ... ,lIo) aquivalent ist zu einer direkten Summe von endlich vielen Summanden aus der folgenden Liste:

([1], [1], ... , [1]) ~

p

([1], ... , [1], I ,lIo, ... ,lIo), ............... ~ y z

(lIo, ... ,lIo,H, [1], ... , [1]), ~ ...............

x y

(lIo, ... , lIo,H ,[1], ... , [1], I ,lIo, ... ,lIo), ~ ............... ~

y z

y ~ 0, z ~ 0, x + y + 1 = P

x ~ 0, y ~ 0, x + y + 1 = p

x,Y,z ~ 0, x+y+z +2 =p

Die Anzahl der Summanden einer festen Gestalt ist eindeutig bestimmt. 1m Fall p = 3 etwa lasst sich jede zusammensetzbare Folge (M(l), M(2), M(3» auf die Form von Fig. 1 zuriickfiihren. (In den Matrizen M(i) sind die Blockgrenzen voll durchgezogen. Punktierte Striche verbinden 'gekoppelte' Blocke. Gleich gross gezeichnete Blocke konnen Matrizen verschiedener Grossen darstellen. Leer gelassene Blocke sind null. Vergleiche mit D1.11 und D2.9)

17)* Ein (elektrisches) Netz(werk) besteht aus Knoten(punkten) Ki und gerichteten (Strom)zweigen (Fig. 2). In jedem Zweig Zj ist ein Leiter mit Widerstand rj > ° und eine gleichstromige Spannungsquelle mit Spannung ej E JR. eingebaut. Dabei ist ej ~ 0, wenn der Pfeil vom Minus- zum Pluspol der Spannungsquelle weist; sonst ist ej :::; 0.

- /\ /\ /\ ~+ ----v Vr;V "'I~

J J -

A2. Fang-Cheng-Algorithmus 541

.//( IT

IT

IT M(3)

IT

.// IT

IT IT

IT M(2) IT Fig. 1

IT

M(l)

Zu bestimmen sind die Potentiale Ui in den Knoten Ki und die Stromstarken Sj in den Zweigen Zj. Dazu fiihre man die Inzidenzmatrix ME lRmxn des Netzwerkes und die Widerstandsmatrix Rein: mist die Anzahl der Knoten, n die Anzahl der Zweigej es gilt Mhj = -1 und Mij = 1, wenn Zj in Kh startet und in Ki i= Kh landetj die librigen Eintrage von M sind null. Ferner ist R E lRnxn eine Diagonalmatrix mit Rjj = rj . Die Potentialspalte U E lRm und die Stromspalte s E lRn werden durch die Gleichung

[! ~T] [ :] [~] bestimmt. Dabei ist e E lRn die Spannungsspalte. Die Teilgleichung Rs + MT U = e ist das Ohmsche Gesetz und M s = 0 das sogenannte Kirchhoffsche (Es wurde 1827 von Ohm publiziert, als Kirchhoff gerade 3 Jahre alt war!). a) Uberlege dir die physikalische Bedeutung des Ohmschen und des Kirchhoffschen Gesetzes.

b) Zeige, dass die Koeffizientenmatrix [! ~T] im Fall von Fig. 2 den Rang 16 = m+n-2 hat und dass man U3 und U7 frei wahlen kann. Drlicke u und s als Funktionen der Variablen U3, U7, rj und ej aus.

18)* Eine quadratische Metallplatte P der Seitenlange 1 sei so isoliert, dass der Warmeaustausch mit der 'Aussenwelt' nur an den Randseiten erfolgt. Die Tempe­raturen f(M) in den Randpunkten M seien bekanntj dabei soll f : oP -+ lR eine

542 Ubungstexte

stetige Funktion auf dem Rand {)P sein. Zu bestimmen ist die Wiirmeverteilung im

Inneren P von P.

Wir identifizieren P mit {x E 1R2 I 0::; Xl ::; 1 und 0 ::; X2 ::; I} und bezeichnen mit u : P -----> IR die gesuchte Funktion, die jedem X E P die Temperatur an der Stelle x zuordnet. Mit Fourier lehrt die Physik dann, dass die Gleichung

{)2U {)2U

<>2"+<>2"=0 uX l uX2

im Inneren der Platte gilt. Ihrerseits lehrt die Analysis, dass es genau eine stetige

Funktion u auf P gibt, die am Rande mit j iibereinstimmt und auf P der obigen Differentialgleichung geniigt. Zur numerischen Approximation dieser Funktion teile man P in (n + I? Quadrate der Seitenliinge h = n~l ein und ordne jedem Eckpunkt

U~] eine Zahl Vij zu. 1m Fall i E {O, n + I} oder j E {O, n + I} liegt U~] auf dem

Rand {) P, und wir set zen Vij = j ( [~~ ] ). Liegt [~~] hingegen im Inneren p, so

gelte VH1,j + Vi,j+l + Vi-l,j + Vi,j-l

Vij = 4

Damit erhiilt man n 2 Gleichungen in n 2 Unbekannten. 1m Fall n = 3 etwa erhiilt man das G leichungssystem

4vn -V21 -V12

-Vn +4V21 -V31 -V22

-V21 +4V31 -V32

-Vn +4V12 -V22 -Vl3

= j(t,O) + j(O, t) = j(~,O)

= j(~,O) + j(l, t) = j(O, ~)

-V21 -V12 +4V22 -V32 -V23 = 0

-V31 -V22 +4V32 -V33 = j(l, ~)

-V12 +4V13 -V23 = j(t, 1) + j(O,~)

-V22 -V13 +4V23 -V33 = j(~, 1)

-V32 -V23 +4V33 = jG, 1) + j(I,~)

Nun kann man zeigen, dass Vij fUr grosse Werte von n eine 'gute' Approximation von u(ih,jh) ist.

Hier begniige man sich mit der Berechnung der Inversen der Koeffizientenmatrix fUr n = 1,2,3, ...

19) Wie wir es in Aufgabe 18) angedeutet haben, fUhrt die numerische Lasung von Differentialgleichungen zu grossen Koeffizientenmatrizen (In der Praxis kannen 10'000 Spalten und Zeilen vorkommen). Als Mass fUr die Komplexitiit eines Rechenverfahrens verwendet man dann die Anzahl der benatigten Multiplikationen und Divisionen. Be­rechne diese Anzahl, wenn der Fang-Cheng-Algorithmus zur Lasung einer Gleichung Mx = b mit M E IRnxn beniitzt wird. Setze dabei voraus, dass die Rechnung keine spezielle Vereinfachung aufweist.

A3. Determinanten

A3. Determinanten

1) Berechne die Determinanten folgender Matrizen:

[

0 1 234 1 2 345 23456 34567 4 5 6 7 8

y'3010y'3 -3 e 0 e -3 -3 0 0 0 -2 -3 0 0 e -1 -3 0 0 0 5

[a b C d] bad C

C dab d C b a

[

0 1 2 3 4 1 2 340 2 340 1 34012 4 0 123

[

3 0 5+v'5 2+v'5 0 3v'5 4 18 2v'5 2 005 v'50 3 0 5+v'5 8+v'5 1 30v'5 20

2) Sei Dn+1 die Determinante der Matrix

a1 b1 0 0 0 C1 a2 b2······· .. ······· .. ······

~ ... ~~ .. :::::::::::::::::::::~~~~: ~ ..... :···· .. ...:····· .... :Cn-1· an bn 0" 0 0 Cn an+1

678 9 16 19 22 25 o 3 4 5 6 7 10 12 10 15 18 22

[1 1 1 1 cosu

cosu 1 cost coss

~t ] coss

1

[aOOb] o abO o b a 0 bOO a

543

Zeige, dass Dn+1 = an+1Dn -bncnDn-1 fUr n ~ 2. Berechne Dn in den folgenden drei Fallen: 1) a1 = 1, ai+1 = I-bi fUri ~ 2undCi = -1, Vi; 2) ai = 2, bi = Ci = 1, Vi; 3) ai = x + y, bi = x und Ci = y, Vi.

3) Sei a eine Permutation der Menge N1,m = {1,2, ... ,m} und J(a) die Anzahl ihrer Jnversionen, d.h. der Paare (i,j) E N 1 ,m X N 1 ,m so, dass i < j und a(i) > a(j) . Es bezeichne ferner Ti die Vertauschung von i und i + 1 (i < m). Zeige, dass a die Komposition von J(a) Vertauschungen der Form Ti ist. [Hinweis: Fiihre eine absteigende Induktion nach dem grossten r mit a(r) #- r.] Schliesse daraus, dass c:(a) = (_1)1(0').

4) Zeige, dass die Vertauschungen Ti von Aufgabe 3) den folgenden Gleichungen geniigen: a) T; = lI. b) (Ti+1Ti)3 = lI, falls i:S m - 2. c) {TjTi)2 = lI, falls j ~ i + 2.

5) Die Permutation ( von N1,m bilde m ab auf 1 und i auf i + 1, falls i < m. Sei ferner T := T1 (Siehe Aufgabe 3)). Beschreibe die Permutationen (TC 1, (2TC 2 := (2 T (-1(-1 , ... Folgere daraus, dass jede Permutation von N1,m eine Komposition von endlich vielen Permutationen der Form ( und T ist. Zeige, dass T und ( den folgenden Gleichungen geniigen: a) (m = lI. b) T2 = lI. c) ((TC 1T? = lI. d) ((iTCiT? = lI, falls 2 :S i < m.

6) Der Tatorl einer Permutation a von N 1,m sei die Menge der i E N 1,m mit a(i) #- i. Ferner nenne man Zyklus jede Permutation, deren Tatort weder leer ist noch die Vereinigung von zwei nichtleeren disjunkten Teilmengen P und Q mit a(P) = P und a(Q) = Q.

544 Ubungstexte

Zeige, dass jede Permutation i= IT eine Komposition von endlich vielen Zyklen mit disjunkten Tatorten ist. Zeige, dass jeder Zyklus mit Tatortkardinalitat p die Gestalt p(pp-l hat, wobei peine beliebige Permutation ist und (p vermoge (p(p) = 1, (p(i) = i + 1 fUr i < p und (p(j) = j fUr j > p definiert wird.

7) Fur jede Menge H C N1,m der Kardinalitat iHJ = p setze man H' := N1,m \ H und bezeichne mit IJ'H die Permutation von N1,m , die P := N1,p auf H abbildet und der Ungleichung IJ'H(i) < IJ'H(j) genugt, wenn i < j und (i,j) E (H x H) U (H' X H'). a) Zeige, dass c(IJ'H) = (-1)", wenn l/ die Anzahl der Paare (i,j) E H x H' mit j < i ist. [Hinweis: Siehe Ubung 3).] b) Zeige, dass jede Permutation IJ' von N1,m mit IJ'(P) = H die Form IJ' = TplJ'H = PTIJ'H hat, wobei der Tatort (Ubung 6) von p in H liegt und der von T in H'. Insbe­sondere lasst sich jeder Summand der Signaturformel von A3.9 wie folgt gruppieren:

c(IJ')MO'(1)lMO'(2)2 ... MO'(m)m = c(IJ'H) (c(p) II Mp(O'H(i))i) (C(T) II MT(O'H(j))j) . i:;p j>p

c) Sind I, J Teilmengen von N1,m , so bezeichne man mit M1,J die Matrix, die aus einer quadratischen Matrix M E IR.mxm durch Streichen der Zeilen Mi. und Spalten M.j mit i rt. lund j rt. J hervorgeht. Folgere aus b), dass

L c(IJ')MO'(1)lMO'(2)2'" MO'(m)m = c(IJ'H) . det MH,p . det M H, ,P' O'(P)=H

und folglich

detM = LC(IJ')MO'(1)lMO'(2)2'" MO'(m)m = L c(IJ'H) detMH,pdetMH',p' . rHJ=p

d) 1st K eine Teilmenge von N1,m der Kardinalitat p, so gilt die Formel von Laplace:

det M = c(IJ'K) L c(!J'H) det MH,K det M H, ,K' . rHJ=p

e) Sei m = 8 und p = 4. Verwende c) zur Berechnung der Determinante der Matrix

a 0 000 0 0 b o a 0 0 0 0 b 0 o 0 a 0 0 bOO o 0 0 abO 0 0 000 b a 0 0 0 o 0 bOO a 0 0 o bOO 0 0 a 0 bOO 0 0 0 0 a

8) a) Zur Berechnung der Determinante einer n x n-Matrix mittels der Signaturformel

det M = L C(IJ')Mo-(l)lMO'(2)2 ... Mo-(m)m

berechne man zunachst aile Produkte MO'(1)lMO'(2)2 , dann aile dreifachen Produkte MO'(1)lMO'(2)2MO'(3)3 , .... Zeige, dass fUr n 2 7 die Anzahl der erforderlichen Multi­plikationen im allgemeinen zwischen n! . 2,71 und n! . 2,72 liegt. [Hinweis: Welche bekannte Zahlliegt zwischen 2,71 und 2,72?] b) Zeige, dass die Berechnung einer n x n-Determinante mittels Zeilenumformun­gen im allgemeinen %(n2 + n + 3)(n - 1) Multiplikationen und Divisionen erfordert. Vergleiche diese Zahl mit n! . 2,71 fUr n = 10.

A3. Determinanten 545

9) Seien Mij : JR ---> JR differenzierbare Funktionen (i,j E I~h,n), MIj : JR ---> JR ihre Ableitungen, M(t) E JRnxn die Matrix mit den Eintragen M(t)ij = Mij(t) (t E JR) und D(t) = det M(t). a) Zeige, dass die Funktion t I--> D(t) differenzierbar ist und dass

j=n

D'(t) = L det[Mo1 ... Moj-1(t) M;j(t) M oj+1(t) ... Mon(t)]. j=l

Dabei erhalt man den j-ten Summanden, indem man die j-te Spalte von M(t) durch [Mij(t) M~j(t) ... M~j(t)F ersetzt. b) Schliesse aus a), dass D' (to) = .2::;~~ Mii (to) , wenn M (to) = lIn . c) Schliesse aus b), dass im allgemeinen Fall

D' (to) = Tr(M' (to)M(tO)-l) det M(to) .

Dabei ist M'(to) E JRnxn die Matrix mit den Eintragen MIj(to), und Tr N bezeichnet die Spur .2::;~~ Nii einer Matrix N E JRnxn .

10) Sei I die n x n-Matrix mit den Eintragen Iij = 1 , Vi, j . a) Zeige, dass

det(M + xI) = det M + x LMij ,-....,; i,j

fUr jede Matrix ME JRnxn. Dabei bezeichnet M die assoziierte Matrix (A3.7) mit den

Eintragen Mij = (-l)i+j detMjl\i. Insbesondere andert sich .2::i,jMij nicht, wenn man M durch M + yI , y E JR ersetzt. b) Berechne die Determinante der folgenden Matrix, indem du in a) die Zahlen -a und -b fUr x einsetzest:

a a

M=

Cl a a b C2 a b b C3

a a

a a

b b b ... Cn-l a

bbb ... b Cn

c) Fiihre die Berechnung der Determinante folgender Matrix auf b) zuriick:

d1 a2 a3 an-l an al d2 a3 ... an-l an al a2 d3 ... an-l an

al a2 a3 dn- 1 an al a2 a3 ... an-l dn

11) a) Sei Vn die Matrix von Vandermonde (A3.1O), deren Eintrage Xi = (Vn )n+1-i,2 wir als paarweise verschieden voraussetzen. Es seien ferner a, b Spalten so, dass Vna = b. Die Eintriige von a sind dann die Koeffizienten der einzigen polynomialen Funktion der Gestalt p : x I--> al + a2X + ... + an_1Xn- 1 so, dass p(x;) = bi ,Vi. b) Die polynomiale Funktion

(j) Ilk")x - Xk) P :XI-->

Ilk#j (Xj - Xk)

hat den Wert 1 in Xj , 0 in Xk fUr k =I- j . Somit liefem die Koeffizienten von p(j) die j-te Spalte von Vn- 1 . Schreibe VS- 1 auf.

546 Ubungstexte

12) Sei Q E JRnxn und q(j) : JR ----> JR, x f-+ Qlj + Q2jX + ... + QnjXn- 1 (1 :s: j :s: n). Zeige, dass

det [~(.l~ ~~~: ........ . q.(~~ ~~~? 1 = det Vn . det Q = det Q . II (Xi - Xj) . q(l) (xI) ... q(n) (Xl) i<j

Beniitze diese Formel mit Xi = COS ti zur Berechnung von

[ 11 cos t4 cos 2t4 cos 3t4]

cos t3 cos 2t3 cos 3t3 det 1 cos t2 cos 2t2 cos 3t2

1 cos h cos 2tl cos 3tl

13) Sei Q eine n x n-Matrix und i,j=n-l

q : JR x JR ----> JR, (x, y) f-+ L QHI,j+IXiyj . i,j=O

Zeige, dass

det [~~~~.' .~~) ......... ~~~~: ~~~ 1 = det Q. II (Xh - Xi) . II (Yi - Yk) . q(XI,Yn) ... q(XI,YI) h<i j<k

[Hinweis: Schreibe die Matrix als Produkt von Vn mit Q und einer transponierten Matrix von Vandermonde.] Verwende die Formel zur Berechnung von

det [ ~~~ .:. ~~~~~l ......... (~~ .~.~~).~~~ l. (Xl + Yn)n-l ... (Xl + YI)n-1

14)* Sei M E JRnxn. Mit M.Ji E JRiXi bezeichne man die Matrix, die man aus M durch Streichen der d - i letzten Zeilen und Spalten erhalt. a) Zeige, dass die zwei folgenden Aussagen aquivalent sind:

(i) M = LDU, wobei L eine untere Dreiecksmatrix mit Diagonalkoeffizienten Lii = 1 ist, D eine Diagonalmatrix mit Diagonalkoeffizienten Dii of. 0 und U eine obere Dreiecksmatrix mit Diagonalkoeffizienten Uii = 1 .

(ii) detM.JI = Mll of. 0, detM.J2 of. 0, ... , detM.Jn = detM of. o. b) 1st (i) erfiillt, so gilt Dll = Mll , Dii = (det M.Ji) (det M.Ji_I)-1 fUr i ~ 2 und

[ Mll . .. MI j-l Mlj]

L i . = 1 det ........................... . J det M.Jj Mj-l,l ... Mj-l,j-l Mj-l,j

Mil . .. Mi,j-l Mij

[ Mll . .. Ml,j-l Mli]

Uj. = det ~.Jj det M~~~:~ ....... Mj·~~,~~·l· Mj·~~,: MJl Mj,J-l MJi

fUr i ~ j. [Hinweis:Fiihre eine Induktion nach n und setze dafUr M = [~' ~ ]

mit M' E JRn-lxn-l, L = [f ~] ... Die Aussage a) und die Bestimmung vo~n D

folgen dann aus

{ M' = L'D'U' M = L'D'V M = !d.D'U' , Mnn = !d.D'V + Dnn

Ferner gilt etwa Ujn = (D'-l L'-l M)j = (U.J·i D.Ji L.Jjlx)j = (M.J-/x)j mit x [MIn . .. Mjn]T , weil die j-te Zeile von u.Ji gleich [0 ... 0 1] ist ... ]

A4. Eigenformen 547

A4. Eigenformen 1) Sei Meine der folgenden Matrizen. Bestimme die reellen Eigenwerte von M und

[~ ~ ;t[~R~ j: d[7 ~u~']~u[ ;7:n

j'" ,;,'[_ ~ ~ ~ j , l ~ ~ ~ : 1 ' l ~ ~ ~ ~ 1 b02 110 212 0004 0010

2) Bestimme die reellen Eigenwerte folgender Matrizen. Zeige, dass sie nicht reell diagonalisierbar sind.

3) Sei Meine der zwei folgenden Matrizen. Fur welche Werte von r, s, t ist M reell diagonalisierbar? Bestimme fiir diese Zahlen die reellen Eigenwerte von M und ein U E GL3(~) so, dass U- 1 MU diagonal ist.

[1 r 1] o 1 s , o 0 t

[OS S] sOt t t 0

4) Finde eine Permutationsmatrix P so, dass

P = [~l ~l] E9 [~2 ~2] E9 . .. .

5) Finde eine invertierbare Matrix U so, dass

U- 1 [-i i =~ ~ : 1 U = [Z 10] , 14 0 -2 2 7 0fS 2 -2 2 0 0

wobei Z invertierbar ist und S nilpotent (A4.8).

6) Bestimme die Eigenformen der Matrizen von Ubung 2).

7) Bringe die folgenden Matrizen auf zykloidische Gestalt. Bestimme dann ihre Ei­genformen.

[ ~ ~ -~l [-~ ~ ~l o 1 0 -1 0 2

l-~ =i ~ 1~] , -1 -4 0 8

[ 1 1 0 1] o 200

, -1 1 2 1 -1 1 0 3

o 0 0 0 1 1 0 0 0 0 o 1 000 o 0 0 0 0 00010

[ ~ -~ i =i] 1 -1 1 0 1 -1 1 0

o 1 234 00023 00003 o 0 002 o 0 0 0 0

, [-! -~ ~ -5~] -1 1-3

1 0 4 3 2 o 1 034 o 0 1 2 3 00014 o 000 1

548 Ubungstexte

o 0 1 234 5 6 1 1 o -1 -1 0 o 0 1 000 0 0 1 1 -1 2 -1 0 1 1 -2 -1 -1 o 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 -4 -1

0 1 1 1 1 1 1 1 -2 -1 -1 o 0 0 0 1 000

0 1 2 0 1 1 1 o -3 -3 -2 o 0 0 0 0 0 0 0

-1 -1 0 2 2 1 0 00000 1 0 0 o -3 3 -1

1 2 1 -1 0 1 0 000 0 0 o 1 o 0 0 0 0 000

8) Priife, ob die Matrizen M und N zueinander konjugiert sind:

M= [1000] [1001] 0201 N= 0200 0030 0030 000 1 000 1

9) Zu berechnen sei die Folge reeller Zahlen ao , al , a2 , ... mit ao = 1, al = 0, a2 = 3 und an+l = an + an-l - an-2, '<In 2: 2. a) Setze xn = [an+2 an+l an]T E JR3 fUr n 2: O. Zeige, dass die Folge der xn bestimmt ist durch die Anfangsbedingung X O = [3 0 I]T und durch Induktionsgleichungen xn+l = Mxn , wobei M E JR3X3 zu berechnen ist. b) Bestimme ein U E GL3(JR) so, dass

[1 0 0 1 M = U 1 lOU-I. o 0 -1

c) Verwende b) zur Berechnung von M n, xn = MnxO und an.

10) Zu berechnen sei, bei vorgegebenen Anfangswerten ao und aI, die Folge reeller Zahlen ao ,aI, a2 , ... , die den Induktionsgleichungen an+l = ban - can-I, n 2: 1, geniigt. a) Schreibe die Induktionsgleichungen in der matriziellen Form

[ an+l ] = [b -c] [an ]. an 1 0 an-l

Zeige, dass die Koeffizientenmatrix M genau dann reell diagonalisierbar ist, wenn

b2 > 4c. Die Eigenform von Mist genau dann [~ ~ ] , wenn b2 = 4c. Berechne die

Potenzen M n und die Zahlen an in den Fallen b = 5, c = 4 und b = 2, c = 1 (vgl. Ubung 9). b) Sei nun b2 < 4c. Durch Konjugation mit

[ 01 -bl/2] und [ 1 0 ] o ~J4c- b2

bringt man dann M auf die Form

[ b/2 -~J4C-b2] =vc[cos¢ -sin¢] ~J4c - b2 b/2 sin¢ cos¢

mit b/2 = VCcos¢, 0 < ¢ < 7r. Berechne M n und an, falls b = c = 1.

A4. Eigenformen 549

11) Es seien x : R -+ R, y: R -+ R und z : R -+ R differenzierbare Funktionen, die den folgenden Differentialgleichungen geniigen:

{

X' = x + y - z y' =X ,

z' = y

wobei x', y', z' die Ableitungen von x, y, z bezeichnen. a) Zu zeigen ist, dass x, y, z eindeutig durch diese DifferentiaIgleichungen und die An­fangswerte x(O), yeO), z(O) bestimmt sind. Schreibe dafUr die Differentialgleichungen in matrizieller Form:

[::m] = [.~ ~ -~] [:~!~] =M [:m] z' (t) 0 1 0 z(t) z(t)

Bestimme dann ein U E GL3(R) so, dass

M~U[~ ~ ~] U- I ,

-1

und ersetze x, y, z durch Funktionen u, v, w so, dass

[U(t)] [X(t)] vet) = u- I yet) wet) z(t)

und [ u' (t) ] [1 0 0] [U(t)] v'(t) = 1 1 0 vet) w'(t) 0 0 -1 wet)

Berechne zuerst u, v, w, dann x, y, z. b) Seien Xi, Yi, Zi die Losungen der obigen Differentialgleichungen in x, y, z der­

art, dass [Xi(O) Yi(O) Zi(O)]T = ei (i=1,2,3; siehe A1.3). Zeige, dass die allgemeinen Losungen x, y, z die Form

haben, wobei die auftretende 3 x 3-Matrix invertierbar ist fUr jedes t E R . 12) Zu bestimmen seien die differenzierbaren Funktionen x, y : R -+ R so, dass

{ X' (t) = ax(t) - by(t) + tet y' (t) = bx(t) + ay(t) - cos t

fUr aIle t E lR., wobei a, b E R und b > 0 . a) Zeige, dass die Funktionen XI(t) = eat cosbt, YI(t) = eat sinbt, X2(t) = _eat sinbt und Y2(t) = eat cosbt den Differentialgleichungen

und

geniigen und dass die Matrix [:~ gj :~ gj] invertierbar ist fUr jedes t E R.

b) Zur Losung der obigen DifferentiaIgleichungen in x, y setze man nun

[ X(t)] = [xI(t) x2(t)] [u(t)] yet) YI (t) Y2(t) vet)

und suche statt x, y die Ersatzfunktionen u, v.

550 Ubungstexte

13) Zu bestimmen seien die zweimal differenzierbaren Funktionen x: lR ----> lR so, dass x" = bx' - ex. Zu diesem Zweck betrachte man die matrizielle Gleichung

[ ::g?] = [~ -~] [:g?] und verfahre ahnlich wie in 10) und 11).

14) Zwei Massenpunkte X und Y mit Masse 1 bewegen sich auf einer festen Strecke [AB] mit Lange d. Der Punkt X wird von A mit der Kraft x = IAXI angezogen und Y von B mit der Kraft y = IY BI. Ferner ziehen sich X und Y gegenseitig mit der Kraft d - x - y an. Zum Zeitpunkt t = 0 treffen sich X und Y im Ruhestand an der Stelle x = ~d, y = id. Was passiert danach?

15) Eine Zufallsmaus lebt im Kellergeschoss meines Hauses und wandert jede Nacht von einer Vorratskammer in eine der nachstliegenden. Die Wahl iiberliisst sie dem Zufall, wobei aIle Kammern gleich 'gut' sind. Mein Kellergeschoss:

1 2 3

4 5 61 .....

7 8 9

a) Eines Tages ist die Maus in der Kammer j . Bestimme die Wahrscheinlichkeit Wij , dass sie 'urn Mitternacht' in die Kammer i auswandert (durch eine Wand, nicht durch eine Ecke!). Stelle die Matrix W = [Wij] E lR9X9 auf. b) Sei Wj die Wahrscheinlichkeit, dass die Maus am 1. August 1995 in der Kammer j war. Berechne die Wahrscheinlichkeiten wi(2) und wi(5), dass sie am 2. und 5. August 1995 in der Kammer i war. Wie konnte man wi(31) berechnen? c) Sei a die Permutation 1 r-+ 7 r-+ 1,2 r-+ 8 r-+ 2,3 r-+ 9 r-+ 3,4 r-+ 4,5 r-+ 5,6 r-+ 6. Zeige, dass P(a)W = WP(a). Folgere, dass jede Eigenspalte x von W symmetrisch (P(a)x+ = x+), antisymmetrisch (P(a)x- = -x-) oder die Summe einer symmetri­schen Eigenspalte x+ und einer antisymmetrischen x- ist. d) Zeige, dass 0 ein Eigenwert von Wist und dass die entsprechenden Eigenspalten zueinander proportional sind und antisymmetrisch. Bestimme sie. e) Zeige, dass [1 1 ... I]T eine Eigenspalte von WT zum Eigenwert 1 ist. Folgere, dass 1 auch ein Eigenwert von Wist. Zeige, dass die entsprechenden Eigenspalten zueinander proportional sind und symmetrisch. Es gibt genau eine Eigenspalte W mit Wi ~ 0, Vi, und 2:i Wi = 1. Was ist die 'praktische' Bedeutung dieser Eigenspalte?

16) Seip: lR ----> lR eine polynomiale Funktion der Gestalt x r-+ Xl +Pl_IXl - I + .. ·+Po (Pi E lR). Die Begleitmatrix zu p ist ist die Matrix B(p) = S(O; £) T + R E lRlxl mit Rij = 0 fUr j < £ und Ru = -Pi-I. 1m Fall p(x) = xl - 1 etwa gilt B(P) = P((t), wenn (l : NI,l ----> NI,l die Permutation 1 r-+ 2 r-+ 3 r-+ ••• r-+ £ r-+ 1 bezeichnet. a) Zeige, dass jede Permutationsmatrix P(a) konjugiert ist zu einer direkten Summe von Matrizen P((l.) (Verwende die Ubung 6) zu Kapitel A3). b) (K. Bongartz) Zeige, dass die Matrix

[ B(P) 0 ] E lRlX1n

J B(q)

so, dass, Jll = 1 und Jij = 0 sonst, konjugiert ist zu B(pq).

17) (Eigenformen ohne Determinanten) Berechne die Eigenwerte einer zykloidischen Matrix direkt ohne Verwendung der Ergebnisse von Kapitel A3: 1st Y etwa die Matrix

A4. Eigenformen 551

von A4.7, so folgt leicht aus der matriziellen Gleichung Y x = ex mit e E lR und x E lR6 , dass

18) Sei M E lRnxn eine obere Dreiecksmatrix mit Ml1 = M22 = ... = Mnn = >.. Zeige, dass Rang (M - >.lIn ) ::; n - 2 , falls Mi,i+l = 0 fUr ein i < n. Folgere, dass die Eigenform von M genau dann S(>', n) ist, wenn M 12 M 23 ... M n- 1,n i= O.

19)* Sei Mm,n die Menge lRmxn x lRnxm und 9m,n die Transformationsgruppe von Mm,n , die aus den Bijektionen

(M,M') f---> (UMU'-I,U'M'U- 1) mit U E GLm(lR) und U' E GLn(lR)

besteht. Ferner definiere man die direkte 8umme von Matrizenpaaren (X, X') und (Y, Y') vermage

(X, X') EB (Y, y') = (X EB X', Y EB y') . Zu zeigen ist, dass jedes Paar (M, N) E Mm,n aquivalent ist zur direkten Summe eines Paares der Gestalt (Z, Z') E GLz(lR) x GLz(lR) und endlich vieler Paare der Gestalt

(lIp,S(O;p») EMp,p, (S(O;p) ,lIp) E Mp,p,

([0 lIq ], [~ ] ) E M q ,q+l oder ( [~ ] ,[0 lIq ]) E M q+ 1,q

mit p E :P"h , q EN.

Hinweis: Zur Reduktion von (M, M') auf eine direkte Summe verfiihrt man ahnlich wie in A4.8 und A4.9. Nur werden Zeilenumformungen von M mit Spaltenumformun­gen von M' 'gekoppelt' und Spaltenumformungen von M mit Zeilenumformungen von M' . Wir skizzieren die Ergebnisse der zwei erst en Schritte in Fig. 1, wobei die Trans­formierte von M jeweils unten links steht, die von M' oben rechts. Ferner sollen bei den Matrizen AI, A~, [N2 1 NIl, [M 1 Nil, [03 1021 und [O~ 1 O~l die Range mit den Zeilenzahlen ubereinstimmen (vgl. mit A4.8).

Die 1. Etappe fUhrt zu einem Paar von Matrizen der Gestalt

[-Ws-] und

wobei Z und Z' invertierbare Matrizen gleicher Grasse sind. 8 und 8' haben die Blockform von A4.9, Fig. 9 mit Blacken geeigneter Grassen; die Diagonalb16cke sind im allgemeinen nicht quadratisch, ihre Breiten durfen auch null sein.

N~ N{ O~ O~ O~

-<M' 0 0 A~ -<M'

0 0 0 0 0

N2 Nl 0 3 O2 0 1

-<M 0 0 Al -<M

0 0 Fig .1

0 0 0

552 Ubungstexte

... " .......... !----'r----, =/'

/=

Fig. 2

Die 2. Etappe verlauft ahnlich wie A4.9. Sie reduziert (8,8') zu einem Paar (1,1') , dessen Gestalt in Fig. 2 skizziert ist (Die nicht markierten Blocke sind nUll). Aus (/,1') erhalt man die gesuchte direkte Summe durch Permutation von Zeilen und Spalten.

20)* Sei n E lRr eine Spalte mit Eintragen in N, M die Menge der Folgen M von Matrizen

M(l) E lRn1 xn2 , M(2) E lRn2 xn3 , ... ,M(r - 1) E lRnr - 1 xnr , M(r) E lRnr xnl

und 9 die Transformationsgruppe von M , die aus den Bijektionen

M ........ (U(1)M(1)U(2)-1, U(2)M(2)U(3)-1, ... , U(r)M(r)U(l)-l)

mit U(i) E GLni (lR) besteht. Verallgemeinere die Ergebnisse des Spezialfalls r = 2 von Ubung 19).

21)* (L. Kronecker) Sei /Cm,n die Menge lRmxn x lRmxn und &m,n die Transformati­onsgruppe von /Cm,n , die aus den Bijektionen

(M,M') ........ (UMV-l,UM'V- 1) mit U E GLm(lR) und V E GLn(lR)

besteht. Zu zeigen ist, dass jedes Paar (M, M') E /Cm,n aquivalent ist zur direkten Summe (Siehe Ubung 19) eines Paares der Gestalt (T, T') E GLt(lR) x GLt(lR) und endlich vieler Paare folgender Gestalt mit pEN 1 und q EN.

N2

0

(S(O;p) ,ITp) E /Cp,p,

(ITp, S(O;p)) E /Cp,p

N1 M N{

0 IT 0 0

( [~] , [ ~] ) E /Cq+1,q,

oder (CO ITqJ ,[ITq OJ) E /Cq,q+1

03102 0 1 0; O2 o~

0 A1 0 I A~ 0 0

Fig. 3 0 0 IT 0 0

A4. Eigenformen 553

Z51Z4 Z3 Z2 ZI Z~ Z~ Z~ Z~ Zf C3 C2 CI li C~ C~ Cf

B2 BI IT B~ Bf

Al IT A~

IT

Fig. 4

Hinweis: Der von uns hier favorisierte Algorithmus stimmt im Fall M' = ITn mit dem von A4.8-9 iiberein. Wir skizzieren die zwei ersten Schritte in Fig. 3. Dabei sind die lliinge der Matrizen AI, [N2 N I) und [03 O2) gleich ihren Zeilenzahlen. Fig. 4 zeigt den Stand nach dem 4. Schritt (Die nicht markierten Felder sind nUll). Das Verfahren bricht ab, nach dem 4. Schritt etwa, wenn der Rang von Z5 gleich der Zeilenzahl ist. Mittels Spaltenscherungen aus Z5 und Zeilenscherungen aus den EinheitsblOcken k6nnen wir dann die Bl6cke Z4, Z~, ... , ZI, Zf der Reihe nach annullieren. Damit wird (M, M') reduziert auf eine direkte Summe (Z5 ,Z~) EEl (8,8') .

In der zweiten Etappe des Algorithmus wird (8,8'), ahnlich wie in A4.9, auf das Matrizenpaar von Fig. 5 reduziert. Nach zusatzlichen Zeilen- und Spaltenpermuta­tionen zerlegt sich dieses in eine direkte Summe von Paaren der Gestalt (S(Ojp) ,ITp) und ([ITq I O)T, [0 I ITq)T) . Zur Beendigung der Reduktion wendet man den besprochenen Algorithmus erneut auf (Z T , Z' T) an.

22)** (Verallgemeinerung von 19) und 20) Sei n E jRs etwa eine Spalte mit Eintragen in N und £. die Menge der Matrizenfolgen M = (M(i)h:;:;i:;:;S so, dass M(i) E jRn'+l xn,

-li

- r----IT

'------

IT IT

IT

Fig. 5

554 Ubungstexte

fUr i = 1,2,3,6, M(j) E JRnj xnj+l fUr j = 4,5,7 und M(8) E JRns xnl . Sei ferner :F die Transformationsgruppe der Bijektionen M f-+ N von .c derart, dass N(i) = U(i + l)M(i)U(i)-l fUr i = 1,2,3,6, N(j) = U(j)M(j)U(j + 1)-1 fUr j = 4,5,7, N(8) = U(8)M(8)U(1)-1 und U(k) E GLnk ,Vk. Zeige, dass jede Folge M E .c iiqui­valent ist zur 'direkten Summe' einer Folge mit invertierbaren Gliedern und einer endlichen Anzahl von Folgen aus einer Liste, die zu bestimmen ist.

A5. *Reelle Konjugationsklassen

1) Bestimme die Spektralformen folgender Matrizen:

[ 2 4 -1] [1 -1 -1 0 1 -1 -2 0 1 1 0-1 1 1 -1 1 0 -1 -1

o 1 1-1

-1 -2 0 1 1 00000 1

1 o 0 0 -1 1 0 000 2

0 -1 2 -2 -2 o 1 000 2

o -2 1 -1 -2 o 0 100 0

-1 o 0 1 1 o 0 0 1 0 -2 o 0 0 0 1 -2

2) Fur welche Werte von a, b, c, d E JR ist die Matrix [~ ~] reell diagonalisierbar, fUr

welche komplex diagonalisierbar?

3) a) Seien 0.,(3" reelle Zahlen mit (3 > 0 und S = S(w,p) ein Spektralblock. Zeige, dass Cor (S _ ll) = { 1 falls w = Cr,O) Cor ((S _ 0.1l)2 + (32ll) = {2 falls w = (0., (3) .

g , 0 sonst ,g 0 sonst

b) Sei M E JRnxn, E eine endliche Menge reeller Zahlen und F eine endliche Menge von Paaren (0., (3) E JR x JR mit (3 > O. Folgere aus a) und dem Spektralformensatz, dass L Corg (M - ,ll) + L Corg ((M - 0.1l)2 + (32ll) ~ n.

"lEE (a,{3)EF

Gleichheit besteht genau dann, wenn M komplex diagonalisierbar ist und E aIle Ei­genwerte von M enthiilt, FaIle (0., (3) mit (3 > 0 und det (( M - alI? + (32lI) = O.

4) Eine polynomiale Funktion P : JR -+ JR, t f-+ t m + 11"ltm- 1 + 11"2tm- 2 + ... + 11"m

heisse quadratfrei, wenn sie sich als Produkt n-2q q

(*) pet) = II (t - 'r)· II ((t - 0..)2 + (3;) r=l 8=1

mit ,r E JR, ,1 < ,2 < ... < ,n-2q, a. ,(3. E JR, (3. > 0 und (0.1,(31) < (0.2,(32) < ... < (o.q , (3q) schreiben liisst. a) Sei P quadratfrei und S = ~(w,p) ein Spektralblock mit p ~ 2. Zeige, dass

peS) := Sm + 11"lSm-1 + 11"2Sm- 2 + ... + 11"mll =I- o.

b) Folgere aus b) und dem Spektralformensatz, dass eine Matrix M E JRnxn genau dann komplex diagonalisierbar ist, wenn ein quadratfreies P mit P(M) = 0 existiert.

Bl. Vektorgeometrie 555

5) Es seien '/'1 < ... < ,/,q Eigenwerte von M E jRnxn und (a1 ,(31) < ... < (ap ,(3p) Zahlenpaare mit (3i > o. Gegeben seien femer Spalten xCi) i= 0, y(i) i= 0 und z(j) i= 0 so, dass Mx(i) = aix(i) + (3iy(i), My(i) = -(3ix(i) + aiy(i) und Mz(j) = ,/,jz(j). Folgere aus dem Spektralformensatz, dass der Rang der Matrix

[x(l) y(l) ... x(p) yep) z(l) ... z(q)]

die Spaltenzahl 2p + q ist. Gilt 2p + q = n, so ist M komplex diagonalisierbar.

6) Seien (n : I\::h,n ----> N1,n die Permutation 1 f-> 2 f-> 3 f-> ••• f-> n f-> 1, x(k) und y(k) die Spalten

x(k)=[1 COSCPk COS2CPk ... cos(n-l)CPk]T, y(k)=[O sincpk sin2cpk ... sin(n-l)cpk]T

mit CPk = 2k1r/n (1 ::::: k < n/2). a) Zeige, dass P((n)x(k) = coscpkx(k) + sincpky(k) und P((n)y(k) = -sincpkx(k) + cos CPky(k). Folgere aus Ubung 6), dass P((n) komplex diagonalisierbar ist. Bestimme die Spektralform Q von P((n) und ein invertierbares U so, dass U- 1P((n)U = Q. b) Schliesse aus a) und A4, Ubung 16a), dass jede Permutationsmatrix komplex dia­gonalisierbar ist. c) Folgere aus a), dass

d) Sei

{ (t -1) IT (t2 - 2 cos ':;t + 1)

tn _ 1 = 1:<:;k<n/2 (t 2 - 1) IT (t2 - 2 cos k: t + 1)

1:<:;k<n/2

fUr ungerade n

fUr gerade n

r:: ::-1 ::=~ ::: :~ 1

M = ~~ .... ~~ .... ~o .... :::. ~~ = aolIn +a1P((n)+a2P((n)2+ ... +an_1P((nr-1 .

an-1 an-2 an-3 ... ao

Zeige, dass u-1 MU quasidiagonal ist und M komplex diagonalisierbar.

7)* Bestimme Normalformen fUr die Transformationsgruppen der Ubungen A4.19-22.

Bl. Grundlagen der Vektorgeometrie ------7 ~ ----+ ----+

1) Fur je vier Punkte A, B, C, D gilt AB + CD = AD + CB.

2) In einem 'Dreieck' (A, B, C) liegt D auf[AC]und E auf [Be] so, dass IADI = ~IACI und ICEI = !IBCI. Sei F der Schnittpunkt von [BD] mit [AE]. Welchen Bruchteil macht IBFI bzw. IEFI von IBDI bzw. von IAEI aus?

3) Sei AB = DC. Es liege E auf [Be] und F auf [CD] so, dass IBEI = ~IBCI und ICFI = !ICDI. Zeige, dass [AP] und [DE] sich in einem Punkt G schneiden. Drucke IAGI bzw. IDGI als Bruchteil von IAFI bzw. von IDEI aus.

4) Sei AB = DC. Sei femer I bzw. J die Mitte von [Be] bzw. von [CD]. Zeige, dass die Geraden AI und AJ die Strecke [BD] in drei gleiche Teile aufteilen.

5) An einem Sommerabend urn 600 v. Chr. wirft die Cheops-Pyramide von Giseh einen Schatten, dessen iiusserste Spitze 188,5m von der nachstliegenden Basisseite entfernt ist. Die Sonne steht im Westen. Die Pyramidenbasis ist ein Quadrat, dessen

556 Ubungstexte

Seiten, den vier Himmelsrichtungen zugewandt, 227m lang sind. Ein von Thales auf­gestellter senkrechter Stab von 3m Hohe wirft einen Schatten von 6,3m Lange. Wie hoch ist die Pyramide?

6) (Strahlensatz) Seien A, B, C drei Punkte des Raumes, die nicht auf einer gemein---> -->

samen Geraden liegen. Sei B>. = A + AAB und CJ.' = A + pAC, wobei A =I 0 =I p,. Zeige, dass die Geraden BC und B>.CJ.' genau dann disjunkt sind, wenn A = p,.

- ~ 7) a) Sei eU : R -t R, P I--> P + i1, die Verschiebung des Raumes langs i1 E R und Q = P + ~i1. Zeige, dass eU = S~l oS~1 eine Isometrie ist und dass eUoev = eU+v .

) - A A--> b Zeige, dass die Komposition eUos>. : P I--> + AAP + i1 die Streckung mit Zentrum A + l~>' i1 und Verhaltnis A ist.

c) (Menelaos) Zeige, dass die Komposition s~ost von zwei Streckungen im Fall Ap, =11 eine Streckung ist. Bestimme ihr Zentrum und ihr Verhiiltnis. d) Zeige, dass sf/>. ost eine Verschiebung ist. Bestimme ihren Vektor.

e) (Strahlensatz) Zeige, dass stoeuost/>. = e>'u . f) Sei a E R fest gewahlt und Ss die Menge der Schubstreckungen, d.h. der Verschie­bungen und der Streckungen mit Verhiiltnis =I O. Zeige, dass jedes tESs sich eindeutig als Komposition t = eUos~ schreiben lasst und dass Ss eine Transformationsgruppe des Raumes ist.

8) Man nenne Metrik auf einer Menge Meine Funktion d: M x M -t ]R, (A, B) I-->

dCA, B) =: IABI, die dem Abstandsaxiom geniigt.

a) Zeige, dass die Setzung IxYI = l'i£:~;(Yi - Xi)2 eine Metrik auf]Rn bestimmt: die euklidische Metrik. b) Zeige, dass die folgende Setzung

{ J(YI - xI)2 + (Y2 - X2)2

IxYI = J xi + x~ + J yi + y~

falls Y = Ax mit A > 0

sonst

eine Metrik auf ]R2 definiert: die Pariser Metrik. Bestimme die 'Strecken' [xy] und die 'Strahlen' x[y in dieser Metrik. Zeige insbesondere, dass das Geradenaxiom nicht erfUllt ist. Bestimme fUr je zwei x, y E ]R2 die Mittelmenge {z E ]R2 I Ixzl = Iyzl} . c) ]R2 sei nun mit der durch Ixyl = max{IYI - xII, IY2 - X21} definierten Maximum­Metrik versehen. Bestimme fUr je zwei x, y E ]R2 die 'Strecke' [xy], den 'Strahl' x[y und die 'Mittelmenge'. 1st das Geradenaxiom erfUllt, das Streckungsaxiom? d)* Die Menge 1t := {x E ]R3 I x~ + x~ = 1 + xH sei versehen mit einer Metrik

derart, dass IxYI = JL.!~~(Yi - Xi)2. Sei femer a = [1 0 O]T E 1t. Bestimme die

Spalten bE 1t so, dass eine abstanderhaltende Abbildung g~ : ]R -t 1t mit g~(O) = a und g~(labl» = b existiert. e)* ]R2 sei mit der euklidischen Metrik versehen und mit einer Aquivalenzrelation so, dass x '" y genau dann gilt, wenn YI - Xl E Z. Zeige, dass die Setzung labl = min{lxyll x E a, y E b} eine Metrik auf der Restklassenmenge ]R2/ '" definiert und dass eine abstanderhaltende Abbildung g~ : [0, labl] -t ]R2/ '" existiert derart, dass g~ (0) = a und g~ (lab!) = b.

9) a) Eine Menge V mit drei Elementen sei mit einer beliebigen Metrik versehen. Zeige, dass es abstanderhaltende Abbildungen gibt von V in ]R2 versehen mit der Pariser Metrik CObung 8), der Maximum-Metrik oder der euklidischen Metrik.

Bl. Vektorgeometrie 557

b) Die Menge Nl,n = {I, 2, ... , n} sei mit der Metrik versehen, fur die Ixyl = 1, V'x =1=

y, gilt. Zeige, dass es fiir jedes n eine abstanderhaltende Abbildung von Nl,n in ]R2 , versehen mit der Pariser Metrik, gibt. 1st ]R2 mit der Maximum-Metrik versehen, so existiert eine abstanderhaltende Abbildung von N l ,4 in ]R2 , nicht aber von N l ,5. 1st ]R2 mit der euklidischen Metrik versehen, so gibt es keine abstanderhaltende Abbil­dung von N l ,4 in ]R2. c) Es gibt genau eine abstanderhaltende Abbildung f von Nl,n+l in ]Rn, versehen mit der euklidischen Metrik, derart, dass f(i)j::::: O,V'i,j, und dass f(i)j = 0 fiir j::::: i. Insbesondere gilt

1 1 1 1 1 ~]T f(n+ 1) = v'2[ VI. 2 V2· 3 v'3.4'" J(n -I)n vn .

Berechne f(i) fiir alle i. d) Die Menge M = {A, B, C, H} sei vermoge IBG! = IABI = lAG! = 6, IAHI = 4 und IBHI = ICHI = 3 mit einer Metrik versehen. Zeige, dass es keine abstanderhaltende Abbildung von M in ]Rn, versehen mit der euklidischen Metrik, gibt.

10) Sei c eine Zahl > 0 und WE: = {x E ]Rn I IXil < c, V'i}. Man nenne eine Teilmenge V C ]Rn ein Ovaloid, wenn die folgenden Bedingungen erfiillt sind: 1) V enthalt ein x =1= 0.2) x E V impliziert -x E V. 3) Aus x E V und y E V folgt ~(x+y)+WE: C V, wenn c klein ist. 4) Aus x 1. V folgt V n (x + WE:) = 0, wenn c klein ist. 5) V C WE: , wenn c gross ist (Fig. 1). a) Zeige, dass {x E ]Rn I alxf + ... + anx;, :s I} fiir alle al > 0, ... , an > 0 ein Ovaloid ist und dass We keines ist. b)* Zeige im Fall n = 2, dass {x E ]R21 IXllP + IX21P :S I} ein Ovaloid fiir alle p > 1 ist und keines fiir p = 1 . c) 1st V C ]Rn ein Ovaloid, so setze man Ixyl = min{A E]RI A::::: 0 und y - x E AV} fiir alle x, y E ]Rn . Zeige, dass Abstands-, Geraden- und Streckungsaxiom erfiillt sind. Zeige*, dass es fiir jede dreielementige Menge V mit Metrik eine abstanderhaltende Abbildung von V in ]Rn gibt (Hinweis: Streue etwas Analysis in den Beweis von Euklid; siehe B5.3(6)) .

Fig. 1 •........... . ::::::::::::::: ..... ::.:: . . ::::::::::::::JQ:J:::.

:::::::::o.::::Jn:::::: ..... :-:-:-:.:-:-:-:.:-:-:-: ...

11)* Sei 9 eine Menge der Kardinalitat ::::: 5 und T C 9 x 9 x g. Statt (x,y,z) E T schreibe man x)y(z und sage, dass y zwischen x und z liegt. a) Zeige, dass (i), (ii) und (iii) die Bedingungen (iv), (v) und (vi) implizieren:

(i) Aus x)y(z folgen x =1= y =1= z =1= x und z)y(x. (ii) Aus x)y(z und x)z(t folgen x)y(t und y)z(t. (iii) Fur je drei verschiedene Elemente x, y, z von 9 gilt genau eine der drei Aus-

sagen x)y(z, x)z(y, und z)x(y. (iv) z)x(t und z)y(t gelten nicht, wenn x)y(z und x)y(t gelten. (v) z)x(t gilt nicht, wenn x)z(y und x)t(y gelten. (vi) z)t(x und t)z(x gelten nicht, wenn z)x(y und x)y(t gelten.

b) Die Bedingungen (i), (ii) und (iii) gelten genau dann, wenn es eine tot ale Ordnung auf T gibt so, dass x)y(z aquivalent sei zu 'x < y < z oder x > y > z '. In diesem Fall gibt es genau zwei solche Ordnungen; diese sind zueinander entgegengesetzt.

558 Ubungstexte

B2. Von Geraden und Ebenen

1) 1m folgenden werden Punkte des Raumes durch ihre Koordinatenspalten in einer Ortsbasis (e1, e2, e3; A) dargestellt. Bestimme in den folgenden fUnf Fallen die aufge­stuften Ortsbasen und die abgestuften Gleichungsspalten der affinen Abschliisse der aufgelisteten Punkte.

a) m m b m m m c) [!] m nJ Hl [4] d) [-ll [-ll m m [=tl [!] e) m m [-lJ m Hl

Bestimme die einzelnen Durchschnitte dieser Mengen.

2) Es seien A, B, C drei Geraden, die sich paarweise nicht treffen und deren Rich---+ --+ --+ --+

tungsmengen die Bedingung A + B + C = n erfUllen. a) Zeige, dass es genau eine Ortsbasis (1,J, k; 0) gibt derart, dass

A={O+Xll XEIR.}, B={O+l+yJ+kl yEIR.}, C={O+J+zkl ZEIR.}.

b) Bestimme die Zahlen x, y so, dass die Gerade durch 0 + Xl und 0 + l + yJ + k die Gerade C schneidet. Bestimme dann den Schnittpunkt. c) Welcher Gleichung miissen die Zahlen X, y, z geniigen, damit der Punkt 0 + Xl + yJ + zk auf einer Geraden liegt, die A, B und C schneidet.

3) a) Seien 91 , ... 9n Geraden der Ebene [; . Auf der Menge M := [; \ Ul~19i sei eine Relation definiert vermoge

A rv B {=} [ABJ eM.

Zeige, dass die Relation rv eine Aquivalenzrelation auf Mist. Wieviele Aquivalenz­klassen gibt es fUr n = 1,2,3, 4? b) Seien H, P2, P3 , P4 vier Punkte, die nicht in einer gemeinsamen Ebene liegen. Sei [;i die Ebene durch die drei Punkte Pj =1= Pi . Wieviele Aquivalenzklassen hat die auf N:= n \ Ul~i[;i vermoge

A rv B {=} [ABJ C N

definierte Aquivalenzrelation?

4) Seien e = (e1, e2, e3; 0) eine Ortsbasis des Raumes und a, b, X, ... die Koordinaten­spalten von Punkten A, B, X, . .. in e. a) Fiir jede Zeile 9 E IR.1X4 mit (gl,g2,g3) =1= (0,0,0) ist {X E n I gx = O} eine Ebene.

B2. Geraden und Ebenen 559

b) Sind die Zeilen g, h E ]Rl x 4 nicht proportional, so ist {X E R I gx = 0 = hx} leer oder eine Gerade. c) Seien A, B zwei verschiedene Punkte und

dl = det [:~ :~], d2 = det [:: ::], d3 = det [:~ :~] .

Die Punkte X derart, dass

o = det [:: :: :: 1 1 1 1

o = det [:: ~: :: 1 1 1 1

o = det [:~ ~~ :~ 1 1 1 1

durchlaufen die Gerade AB , und die Koeffizientenzeilen

gl = [dl 0 -b3+a3 b2-a2] , l = [d2 -b3+a3 0 b1-al] , l = [d3 -b2+a2 b1-al 0]

genugen der Gleichung (b1 - al)gl - (b2 - a2)g2 + (b3 - a3)g3 = O. d) Seien A, B, C drei Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Die Punkte X derart, dass

durchlaufen die Ebene ABC.

5) Sei (1,J, k : 0) eine feste Ortsbasis des Raumes. a) Beschreibe die Fasern Ho = h-1{0} und HI = h-1{1} der Abbildung h : R --+ lR derart, dass h(0+x1+yJ+zk) = X2+y2_Z2. Zeichne insbesondere die Durchschnitte

Ho n t:t , Ho n F, HI n t:t , HI n F, wobei t:t = {O + x1 + yJ + tk I x, y E lR} und F={O+yJ+zkl y,ZElR}. b) Zeige, dass die Abbildung

g:R--+lR2X2, 0+x1+yJ+zk ~ [y:'z y~/]

injektiv ist und Ho auf {M E lR2X2 1 M2 = O} abbildet. c) Zeige, dass g(Hl) C W := {N E lR2X2 I N 2 = lb} und dass W \ g(Hl) aus 2 Matrizen besteht, die zu bestimmen sind. d) Zeige, dass die Abbildung

e: R --+ lR2X2 , 0 + x1 + yJ + zk ~ [~ :t] injektiv ist, dass e(Hl) C E := {P E lR2X2 I p2 = P} und dass E \ e(Hl) aus 2 Matrizen besteht, die zu bestimmen sind.

6) Sei ~n = {x E lRn +11 2:!~~+1 Xi = I}. Fur je n + 2 Punkte 0,A1 ,A2, ... ,An +1

bezeichnen wir mit On die Abbildung ~n --+ R, x ~ 0 + L!~~+l xiOA~ .

560 Ubungstexte

a) Zeige, dass 8n (x) = 0 + E:~~+l XiOA; nicht vom Punkt 0 abhangt. Man nennt 8n (x) das Baryzentrum der Punkte Ai zu den Gewichten Xi (Mobius). b) Sei 1::; m < n mit 0 =1= 9 = Xl + .. ·+xm =1= 1, P das Baryzentrum von AI, ... , Am zu den Gewichten XI/g, ... ,xm/g, Q dasjenigevon Am+ l , ... ,An+l zu den Gewichten X 7n+! / (1 - g), ... , X n + I / (1 - g) . Zeige, dass 8n (x) das Baryzentrum von P und Q zu den Gewichten 9 und 1 - gist. c) Sei n = 1, Al =1= A2 • Zeige, dass 81 eine Bijektion zwischen ~l und der Geraaen AIA2 liefert. Welche Spalte x entspricht dabei der Mitte von [A1A2J? d) Sei n = 2, wobei AI, A2, A3 nicht auf einer Geraden liegen. Zeige, dass 82 eine Bijektion zwischen ~2 und der Ebene AIA2A3 liefert (x heisst dann baryzentrische K oordinatenspalte des Punktes 82 (x) beziiglich (AI, A2, A3)). Sei Ii die Mitte der Strecke [AjAkJ (i =1= j =1= k =1= i). Zeige, dass 82m ~ ~)T) der Schwerpunkt des Dreiecks (AI, A2 , A3) ist, d.h. der gemeinsame Schnittpunkt der Mittellinien Adi . Zeige, dass die Punkte P, Q, X mit den baryzentrischen Koordinatenspalten p, q, x genau dann auf einer gemeinsamen Geraden liegen, wenn

det [~~ ~~ ~~ 1 = 0 . P3 q3 X3

Spezifiziere diese Gleichung, wenn PQ eine Seite oder eine Mittellinie des Dreiecks (AI, A2, A3) ist. e) Sei n = 3, wobei AI, A2, A3, A4 nicht in einer Ebene liegen. Zeige, dass 83 eine Bijektion zwischen ~3 und R liefert. Wie lasst sich 83([~' ~, ~, ~)T) geometrisch deuten?

7) Liegen drei verschiedene Punkte A, B, P auf einer Geraden, so ist ihr Teilverhiiltnis

(AIBIP) die Zahl A so, dass PH = APA (d.h. sf(A) = B). Es seien nun A, B, C drei Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Sei ferner 9 eine Gerade, die BC, AC, AB in drei verschiedenen Punkten A' , B', C' schneidet. Zeige, dass (BICIA')(ClAIB')(AIBIC') = 1 (Menelaos). Hinweis: [l~>' l~>' 0) mit A = (AlBIC') ist die baryzentrische Koordinatenspalte von C' beziiglich (A, B, C). Somit kann 6d) angewendet werden. Alternativer Hinweis: Wende Bl, Ubung 7c), an.

8) In einer Ebene E laufen vier verschiedene Geraden A, B, C, V durch den Punkt Z. Die Geraden 9 und g' von E schneiden A,B,C,V in den Punkten A,B,C,D und A',B',C',D'. a) Beweise im Fall A = A' die Gleichungen (AIBIC)(BIB'IZ) = (AIB'IC') und (AIBID)(BIB'IZ) = (AIB'ID') (Wende Ubung 7) an). b) Zeige im allgemeinen Fall, dass die Doppelverhiiltnisse

(AIBICID) := (AIBID)/(AIBIC)

und (A'IB'IC'ID') iibereinstimmen.

9) Sei S der Schwerpunkt (Ubung 6) des Dreiecks (A, B, C) von Ubung 7). a) Jedem P =1= S mit baryzentrischer Koordinatenspalte p beziiglich (A, B, C) ordne man die Gerade pl. der Punkte X E ABC zu, deren baryzentrische Koordinaten­spalten x der Gleichung p T x = 0 geniigen. Bestimme pl. und die baryzentrischen Koordinaten des Schnittpunktes von BC mit pl., wenn P E BC .

B3. Die afIine Raumgruppe 561

" -...x ............. -;/

Fig. 1

b) Sei P E BG, Q E AG, R E AB. Folgere aus a) und Ubung 7), dass AP, EQ, GR genau dann einen gemeinsamen Schnittpunkt haben, wenn

(BIGIP)(GIAIQ)(AIBIR) = -1.

(Ceva). Wann stOsst der Beweis auf Schwierigkeiten?

10) In einer Ebene E seien X, Y, Z drei Geraden mit gemeinsamem Schnittpunkt O. Gegeben seien ferner 6 Punkte A, A' EX \ {O}, E, E' E Y \ {O}, G, G' E Z \ {O}. Zeige, dass die Schnittpunkte X von A = BG und A' = B'G', Y von B = GA und B' = G' A', Z von C = AB und C' = A' B' auf einer Geraden 0 liegen, wenn sie uberhaupt existieren (Desargues).

11)* Zur Vermeidung von Spezialfallen spezifizieren wir die Daten von Ubung 10) wie folgt: A = O+i, B = 0+2J, G = O+i+J, A' = 0-2i, B' = O-J, G' = 0-1-J,

---> wobei i, J E E nicht proportional sind. Ferner set zen wir

P = {A,B,G,A',B',G',O,X, Y,Z} und G = {A,B,C,A',B',C',O,x,y,Z}.

a) Ein Pentagon IT = (IT', IT") bestehe aus Teilmengen IT' C P und IT" C G der Kar­dinalitat 5 derart, dass jeder Punkt aus IT' zu genau zwei Geraden aus IT" gehore und jede Gerade aus IT" genau zwei Punkte aus IT' enthalte. Ferner bestehe eine Konfi­gumtion aus zwei Pentagonen derart, dass die Punkte und Geraden dieser Pentagone P und G ausschopfen und dass jeder Punkt des einen auf genau einer Geraden des anderen liegt (Fig. 1). Zeige, dass es genau 6 Konfigurationen gibt. b) Gib eine Injektion I von puG in die Menge der Teilmengen von {I, 2, 3, 4, 5} an so, dass PEg stets I(P) C I(Q) impliziere (Cayley). c) Eine Defigumtion bestehe aus zwei Pentagonen, von denen man nur verlangt, dass ihre Punkte und Geraden P und G ausschopfen. Die Anzahl der Defigurationen ist > 6 (Sonntagsmaler).

B3. Die affine Raumgruppe

1) Sei (i,J, k; 0) eine feste Ortsbasis des Raumes. Beschreibe das Bild und die Fasern der affinen Abbildung I : n --> R mit Darstellungsmatrix

[1 2 3 0] 202 0 2240 . 000 1

2) Sei (i,J, k; 0) eine feste Ortsbasis des Raumes.

a) Sei E = {O + xi + yJ + zk I x - 2y + z = 2}. Berechne die Darstellungsmatrix M E lR~f3 der Projektion I auf E langs lR(2i-J+k). Bestimme die affine Normalform M' von M und ein T E AG3 (lR) so, dass T- 1 MT = M' .

562 Ubungstexte

b) Berechne die Darstellungsmatrix N der Projektion 9 auf die Gerade 9 = 0 + 'i + lR('i-J+k) langs --&. Bestimme die affine Normalform N' von N und ein U E AG3(lR) so, dass U- 1 NU = N' . c) Zeige, dass die Matrizen P E lR~f3 mit p2 = P vier affine Konjugationsklassen bilden. Deute sie geometrisch.

3) Die Bezeichnungen seien die von Ubung 2).

a) Berechne die Darstellungsmatrix K E lR~f3 der Spiegelung A f-t A + 2A](A) an [;

langs lR(2'i - J + k). Bestimme die affine Normalform von K. -----+

b) Berechne die Darstellungsmatrix L der Spiegelung A f-t A + 2Ag(A) an 9 langs ----> [; . Bestimme die Normalform von L. c) Zeige, dass die Matrizen Q E lR~f3 mit Q2 = ~ vier affine Konjugationsklassen bilden. Deute sie geometrisch.

~ ----> 4) Eine Funktion ¢ : R ---> lR heisst affin, wenn eine lineare Funktion ¢ : R ---> lR

~ ----> ~

existiert so, dass ¢(A + if) = ¢(A) + ¢(v), \IA E R, \Iv E R. Dabei heisst ¢ linear, -+ -+ -+ ---+

wenn ¢()..u + /-Lv) = )..¢(u) + /-L¢(v), \I).., /-L E lR, \Iu, v E R. a) Sei (1,J, k; 0) eine Ortsbasis. Zeige, dass die affinen Funktionen auf R die Gestalt

o + x'i + yJ + xk f-t ax + by + cz + d mit a, b, c, d E lR

haben. ---->

b) Seien ¢ eine affine Funktion und v E R. Zeige, dass die Abbildung

f : R ---> R, A f-t A + ¢(A)v

affin ist. Berechne die Darstellungsmatrix von f, wenn ¢ etwa die dritte Koordina­tenfunktion ist und v = J. c) Die Abbildung f von b) heisst Scherung, wenn ($ =I- 0 und ($( if) = O. Zeige, dass Scherungen bijektiv sind und dass jede affine Selbstbijektion des Raumes die Kom­position einer Streckung s~ mit endlich vielen Scherungen ist.

5) Es seien (1,J, k; 0) und ('i',]', k'; 0') zwei Ortsbasen, wobei 'i' = 'i, ]' = 'i+J, k' = 'i + J + k und 0' = 0 + 'i + 2J + 3k. a) Berechne die Koordinaten x', y', z' des Punktes M = 0 + x'i + yJ + zk in der Ortsbasis ('i',]', k'; 0'). b) Sei :F = {M E R I x 2 + y2 + Z2 - X - Y - z = O}. Durch welche Gleichung wird :F in der Ortsbasis (1',]', k'; 0') beschrieben? c) Sei (1", J", k"; 0") eine dritte Ortsbasis, wobei 1" = k', J" = ]' + k', kIf =

l' + ]' + k' und 0" = 0' + 'i' + ]' + k' . Berechne die Transitionsmatrix von (1, J, k; 0) nach ('i", J", k"; 0").

6) Sei T eine Teilmenge von lRmxn. Zwei Matrizen M,N E Theissen wegaquivalent in T, wenn es reelle Zahlen a < b und eine stetige Abbildung "( : [a, bJ ---> lRmxn gibt so, dass "((a) = M, "((b) = N und "((t) E T, \It. a) Zeige, dass die 'Wegaquivalenz' eine Aquivalenzrelation auf T liefert. Zeige, dass GLn(lR) und AGn(lR) je aus zwei Wegaquivalenzklassen bestehen. Beschreibe diese mittels Determinanten. b) Sei Tn die Teilmenge von GLn(lR), die aus den Produkten LU besteht, wobei L die unteren Dreiecksmatrizen durchlauft und U die oberen. Zeige, dass lb und -lb wegaquivalent in GL2(lR) sind, aber nicht in 'h .

B3. Die affine Raumgruppe 563

c) Sei M E ~nxn . Zeige, dass es hi:ichstens n(n + 1)/2 Werte von t E ~ gibt so, dass M - tlIn <t- Tn [Hinweis: Verwende A3, Ubung 14.] d) Zeige, dass Tn aus 2n Wegaquivalenzklassen besteht. e) Sei A E ~2X2 . Bestimme die Anzahl x(A) der Wegaquivalenzklassen der Teilmenge

{X E ~2X21 X2 = A}

von ~2X2. Zeige, dass x(A) die Zahlen 0,1,2,3,4 durchlauft. [Hinweis: Fiihre die Bestimmung auf den Fall zuriick, wo A eine Spektralform ist.]

7) Sei f eine Selbstabbildung des Raumes. Eine Teilmenge T von R heisst stabil unter f, wenn f(T) cT. Bestimme die stabilen affinen Teilmengen, wenn f affin ist und eine affine Normalform (B3.8, 3.11) als Darstellungsmatrix in einer gegebenen Ortsbasis hat. Zeige, dass es immer eine Gerade gibt, die von f in eine par allele Gerade abgebildet wird. Andererseits gibt es eine affine Normalform so, dass keine affine Teilmenge ausser R stabil ist.

8) Berechne die affinen Normalformen folgender Matrizen:

[1230] [3121] [3 2 0 2 0 -1 0 -1 -1 2 2 2 4 0 ' -2 -1 -1 0 -1 0001 0 0 0 1 0

3 3

-2 o

7 -2] 6 -1 -3 1 o 1

[-7 1 12 8]

2 2 -4 -1 , -3 1 5 2

o 0 0 1

9) Seien (1,), kj 0) eine Ortsbasis des Raumes und A = 0 + r, B = 0 +), C = 0+ k. Zeige, dass es genau eine Kollineation f gibt derart, dass f(A) = B, f(B) = A, f( 0) = C und f( C) = O. Bestimme die Darstellungsmatrix von f in (r3, kj 0) , ihre affine Normalform und die Fixpunkte M (f(M) = M) .

10) Die Notationcn seien dieselben wie in 9). Zeige, dass es genau eine Kollineation 9 gibt mit g(O) = A, g(A) = B, g(B) = C und g(C) = O. Bestimme die Dar­stellungsmatrix von 9 in (r,), kj 0), ihre affine Normalform und den Fixpunkt G. Benenne G.

11) Die Bijektionen (X, Y) t--+ (Uxv-I, UYW- l )

mit U E AG3(~), V E AGp(~) und W E AGq(~) bilden eine Transformationsgruppe von ~~? X ~~fq . Zeige, dass es bei fest em (p, q) nur endlich viele Bahnen gibt. Deute diese geometrisch.

12)* Sei [ eine Ebene und AGE die Gruppe der affinen Bijektionen 9 : [ '::::, [. Die Abbildungen

P = (H, P2 , P3 , P4 ) t--+ gP := (g(H), g(P2 ), g(P3 ), g(P4 » mit 9 E AGE

bilden eine Transformationsgruppe der Menge [4 der ' Vierpunktkonfigurationen' von [. Zu beschreiben sind die affinen Aquivalenzklassen von [4, d.h. die Bahnen der eingefiihrten Transformationsgruppe. a) Ein P E [4 heisse Vierfiisser, wenn je drei der Pi nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Zeige, dass die Menge V der Vierfiisser stabil unter der betrachteten Transformationsgruppe ist (gP E V, VP E V, Vg E AGE). Beschreibe die affinen Aquivalenzklassen von [4 \ V . b) Sei .0.~ = {x E .0.2 I Xi i- 0, Vi} C .0.2 = {x E ~3 I Xl + X2 + X3 = I}. Sei femer w : V --> .0.2 die Abbildung, die einem Vierfiisser P die baryzentrischen Koordinaten von P4 beziiglich (PI, P2 , P3) zuordnet (B2, Ubung 6). Zeige, dass w(V) = .0.~ und dass zwei Vierfiisser P, Q genau dann affin aquivalent sind, wenn w(P) = w(Q).

564 Ubungstexte

c) Durchlauft a die Permutationen der Menge {I, 2, 3, 4}, so bilden die Bijektionen

av: (PI,P2,P3,P4) i-+ (Pu-l(I),Pu-l(2),Pu-l(3),Pu-l(4)

eine Transformationsgruppe Sv von V . Zeige, dass es fUr jedes a genau eine Bijektion at::. : ~~ ~ ~~ gibt so, dass w(av(P» = at::. (w(P» , VP E V. Bestimme at::., wenn a eine Vertauschung ist. d) Die Bijektionen at::. bilden eine Transformationsgruppe von ~~. Zeige, dass die Kardinalitat des Stabilisators

Stab(x) = {a I at::.(x) = x}

eines x E ~~ gleich 1, 2, 6 oder 8 ist. Bestimme die x mit rStab(x)J :::: 2. e) Der affine Stabilisator einer Teilmenge V C £ ist die Transformationsgruppe

StabAG(V) = {g E AGe I g(V) = V}.

Zu untersuchen sei der Stabilisator im Spezialfall, wo V = UP := {PI, P2, P3, P4} die Viererpunktmenge zu einem Vierfusser P ist. Zeige, dass es dann zu jedem a E Stab(w(P» genau ein gu E StabAG(UP) gibt so, dass gu(Pi) = PU(i)' Vi. Die Abbil­dung Stab(w(P» --+ StabAG(UP), a i-+ gu ist bijektiv. f) Folgere aus e): Die Kardinalitat des Stabilisators ist 8 bei einem Parallelenviereck, 6 bei einem 'Dreieck mit markiertem Schwerpunkt', 2 im Falle eines 'allgemeinen Trapezes' oder eines 'allgemeinen schiefen Drachenvierecks', 1 sonst. g) Die Parallelenvierecke und Dreiecke mit Schwerpunkt bilden je erne Bahn unter der Transformationsgruppe {V i-+ g(V), 9 E AGe}, die Trapeze und schiefen Dra­chenvierecke bilden unendlich viele.

13)* Sei f eine Selbstbijektion des Raumes, die Geraden auf Geraden abbildet. Zu beweisen ist, dass f affin ist. Zeige: a) f bildet Ebenen auf Ebenen ab und zueinander parallele Geraden auf zueinander parallele Geraden.

---+ ---t ----+ --4

b) Aus AB = CD folgt die entsprechende Gleichung A' B' = C'D' fUr die Bildpunkte A' = f(A), B' = f(B) , ... - ~ ~ c) Es gibt eine durch f eindeutig bestimmte Abbildung f : n --+ n so, dass

f(A+if) = f(A) + f(if) , VAEn, VilE n. - - - ~ d) f(il + iJ) = f(il) + f(if), Vil, if En.

~

e) Sei A E n und 0 f= if En. Dann liegt f (A + til) fur jedes t E JR auf der Geraden durch f(A) mit llichtungsvektor f(iJ). Somit gilt f(tif) = a(t)f(if), "It E JR, fill ein geeignetes a : JR ~ JR. f) a hiingt nicht ab von A und if und genugt den Gleichungen a(s + t) = a(s) + a(t) und a(st) = a(s)a(t), "Is, t E lR.. g) t :::: 0 impliziert a(t) = a(.fil :::: O. Folglich ist a stetig. h) Aus a(l) = 1 folgt a(q) = q, Vq E Q, und schliesslich a(t) = t, "It E lR.. Also ist f linear und f affin.

B4. Der Hypothenusensatz

1) Seien A f= B Punkte einer Ebene £ . Zeige, dass die Mittelsenkrechte

{P E £ I IPAI = IPBI}

B4. Der Hypothenusensatz 565

von [AB] in £ die Gerade ist, die durch die Mitte von [AB] Ui-uft und senkrecht auf AB steht.

2) Seien A, B, C drei Punkte einer Ebene £ , die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Sei 0 das Zentrum des Umkreises des Dreiecks (A, B, C) (der gemeinsame Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von [Be] , [Ae] und [AB]).

a) Sei H = 0 + OA + DB + OC. Zeige, dass AN = DB + OC senkrecht steht auf BC. Schliesse, dass die Hohen des Dreiecks (die Geraden durch A bzw. B bzw. C, die senkrecht stehen auf BC bzw. AC bzw. AB) sich in H schneiden.

b) Zeige, dass 0 + ~ AN die Mitte der Strecke [BC] ist.

c) Zeige, dass 0 + rOH der Schwerpunkt (B2, Ubung 5) des Dreiecks ist.

3) Seien (A, B, C) drei Punkte einer Ebene £ , die nicht auf einer gemeinsamen Ge­raden liegen. Sei P E [Be] der Schnittpunkt von BC mit einer Winkelhalbierenden von AB und AC. Sei B' das Spiegelbild von B an der zweiten Winkelhalbierenden von AB und AC. a) Zeige, dass IPBI/IAB'I = IPCI/IAC!. Schliesse daraus, dass

IACIPB+ IABIPC=O.

b) Sei a = IBCI, b = ICAI, c = IABI, p = a + b + c. Zeige, dass das Zentrum des Inkreises (der Schnittpunkt der 'inneren' Winkelhalbierenden) des Dreiecks (A, B, C) die baryzentrischen Koordinaten alp, b/p, c/p bezuglich (A,B,C) hat (B2, Ubung 5).

4) Seien A, B, C, D vier Punkte des Raumes. Zeige, dass

---+ --+ -;-:::t --+ --+--+ ABoCD+AuoDB+ADoBC=O.

5) Sei (A, B, C) ein rechtwinkliges Dreieck (A, B, C liegen nicht auf einer Geraden, -----> -----> -

und AB 0 AC = 0) . Sei H der Lotpunkt von A auf BC. Zeige, dass

und

Bilow = (fut+AN)oOO = futofut

HAoHA = HAofut = liCofut = -liCoIiB. 6) Seien A, B, C drei Punkte und M die Mitte von [Be]. Zeige, dass

IABI2 + IACI2 = 21AMI2 + ~IBC!2 .

[Hinweis: IAMI2 = AMoAM = ~(AB + JIG?] Beschreibe den 'Ort'

{P E R I IPBI2 + IPCI2 = r2}, wobei r E IR eine Konstante ist.

7) Seien B =1= C Punkte des Raumes, M die Mitte von [Be], H der Lotpunkt eines Punktes A auf BC. Zeige, dass

IABI2 -IAC!2 = 2MH oW . Bestimme den Ort {P E R I IPBI 2 -IPC!2 = c}, wobei c E IR konstant ist.

8) Sei G der Schwerpunkt des Dreiecks (A, B, C) und PER beliebig. Zeige, dass

IPAI 2 + IPBI 2 + IPCI 2 = 31PGI2 + IGAI2 + IGBI2 + IGCI2 .

9) Seien I, .:7, K- drei Strahlen mit Spitze 0, die nicht in einer gemeinsamen Ebene liegen. Sei U (bzw. V, bzw. W) die 'innere' Winkelhalbierende der Geraden .:7 und

566 Ubungstexte

K (bzw. K und I, bzw. I und J). Zeige, dass die Ebenen 'I u u, J U V und K U W sich in einer Geraden schneiden. - ~ 10) Seien 0 ein Punkt, (1,J, k; 0) eine orthonormierte Basis von n. a) Baue die Basen (1+ 2J - k, J, k) und (1+ 2J - k, 21 - J + 3k, k) gemass Satz B4.8 zu orthonormierten Basen urn. b) Sei 9 die Gerade durch 0 + 1 - J mit Richtungsvektor 1 + 2J - k. Bestimme die Ebene durch 0 + 21 + J + 3k, die senkrecht steht auf 9 . c) Sei £ die Ebene durch 0 + 1-J mit Ebenenbasis (1+ 2J - k, 21 - J + 3k) . Bestimme die Gerade durch 0 + 21 + J + 3k , die senkrecht steht auf £ .

11) a) Zeige, dass 111 + vl2 + 111 - vl2 = 211112 + 21V12, V11, v E R (Benutze B4.6, Korollar). b) Schliesse aus a), dass

111+v+wI2 = HI11+v+wI2 + 111+v-wI2) - ~(I11+v-wI2 + 111-v-wI2)+ +HI11 - v- wl2 + 111+v+ w1 2)

= lV+wl2 + Iw+1112 + 111+vI2 _11112 -lvl2 -lwl2 . c) Folgere aus b), dass 11· (v + w) = 11·v + 11·w.

B5*. Zur Geschichte der Geometrie In den Ubungen dieses Kapitels setzen wir die Kenntnis der Winkelfunktionen und der komplexen Zahlen voraus (Siehe dazu C2 und C4). Wir identijizieren einen Punkt [x y]T E 1t der Poincareschen Halbebene mit der komplexen Zahl x+yi (y > 0). Zur Bezeichnung nichteuklidischer Begriffsbildungen in 1t verwenden wir AnjUhrungszei­chen.

1) Sei C = CU{ oo}. Jeder Matrix A E GL2 (C) ordne man eine Abbildung /-tA : C -+ C ZU so, dass:

IIA(Z) = Allz + A12 , falls z ~ 00 und A 21 Z + A22 ~ 0, ,.. A 21 Z + A22 -r- -r-

= 00

A =]G = 00

, falls z -# 00 und A 21 Z + A22 = 0,

, falls z = 00 und A21 -# 0 ,

, falls z = 00 und A21 = 0 .

Zeige, dass /-tA °/-tB = /-tAB, VA, B E GL2(C) . Bestimme die A so, dass /-tA = ITe· 2) Fur je vier verschiedene 'Zahlen' x, y, z, tEe definiere man das Doppelverhaltnis vermoge

III) x-z ~ x-z u-=-1 tr' (x Y z t = x=t : --y-:::::T = y _ z . x=1 ' falls x, y, z, t E \1....,

=11....:::...1 fallsx=oo y-z ' =;=1 ,faIIsy=oo,

=u-=-1 x=1 x-z = y-z

, falls z = 00,

, fallst=oo.

Zeige, dass (/-tA(x)I/-tA(y)I/-tA(Z)I/-tA(t)) = (xIYlzlt) fUr aIle x, y, z, t und aIle A E GL2(C) . [Hinweis: Reduziere die Aussage auf die FaIle, wo A eine Scherungs- oder eine Dia­gonalmatrix ist.]

B5. Zur Geschichte der Geometrie 567

3) Sei 1t = {z = x + yi Eel y = ~z > O} die Poincaresche Halbebene. a) Zeige, dass /LA(1t) C 1t, wenn A E SL2(lR) . b) Bestimme die Matrizen A E SL2(lR) so, dass /LA(i) = i. c) Zeige, dass {/LA (i) I A E SL2(lR)} = 1t.

d) Sei y E lR, y > 0, und D( '!?) = [~f~ ~ - ~~~ ~]. Bestimme das Bild der Abbildung

lR --; 1t, '!? f-+ /LD(t9) (y i) .

4) FUr je zwei z, t E 1t setzen wir

'Iztl' = { 0 , falls z = t lIn (zltlplq)1 , falls z "I- t

Dabei werden die Zahlen p, q wie in Fig. 1 bestimmt (p = 00 wenn Rs = Rt; rechter Teil von Fig. 1).

i'L11 i·

Fig. 1

o p 1 q o 1 q

a) Zeige, dass 'Iztl' = In(tan V tan~), wenn Rz "I- Rt, und 'Iztl' = Iln(~t/~z)l, wenn Rz = Rt. b) Zeige, dass 'I/LA(Z)/LA(t)I' = 'Iztl', wenn A E SL2(lR). c) Sei IC ein Halbkreis mit reellem Zentrum (Fig. 1) und A E SL2(lR). Zeige, dass /LA (IC) ein Halbkreis mit reellem Zentrum oder eine 'senkrechte' Halbgerade ist. d) Zeige, dass die Abbildung 1t x 1t --; lR, (z,t) f-+ 'Iztl' dem Abstands- und dem Geradenaxiom geniigt. Bestimme die 'Strecken' und 'Geraden' dieser Geometrie. [Hinweis: Fiihre den Beweis der Ungleichung 'Izvl' ::; 'Izul' + 'Iuvl' auf den Fall z = i, v = Ti mit T > 1 zuriick.)

5) In Fig. 2 liegen a E 1t und e E 1t auf einem Kreisbogen (='Strecke' von 1t) mit Zentrum h E lR, b E 1t und e E 1t auf einem mit Zentrum z E lR . Eine 'Winkellinie' von 1t sei ein Paar (SI, S2) von zwei 'Strecken' mit 'Langen' > 0 und gemeinsamem Endpunkt. Sind iit "I- 0 und V2 "I- 0 zwei Tangentialvektoren zu SI und S2 in diesem Endpunkt, so definiere man das 'Bogenmass' L'(SI,S2) als das euklidische Bogenmass L ( VI, V2) .

b

e

Fig. 2

z

a) Zeige, dass f3 .- L'('[ba]', '[be]') ! L(-;h,;b) und 'Y .- L'(' [ea]', '[eb]') !

-+ -+ L(eh,ez).

568 Ubungstexte

b) Schliesse aus Ih - Zl2 = Iz - cl2 + Ih - cl2 - 21z - cllh - cl cos, und Iz - cl2 = Iz - hl 2 + Ie - hl 2 + 21z - hllc - hi cos ¢, dass cosh'labl' = cos,/ sin/3 und tan/3 = tanh 'Iacl' / sinh 'Iabl' . c) Zeige, dass die Abbildung (/3,,) ....... (cos /3/ sin" cos, / sin /3) eine Bijektion liefert von

~={(/3,,)Elle, 0</3,0<" /3+, < 7r/2} auf

~;1={(b,C)EIR?11<b, 1<c}.

6) a) Zeige, dass sin ¢ = sin, / cos /3 (Notationen wie in 5). Berechne cos ¢, sin 0, cos 0,

tan(0/2) = sin 0/(1 + coso) und e'lbcl' = tan(f3!2)/ tan(0/2) als Funktionen von /3". b) Zeige, dass in jedem 'rechtwinkligen Dreieck' (a, b, c) von 1i mit 'rechtem Winkel' in a der Hypothenusensatz cosh 'Ibcl' = cosh 'Iabl' cosh 'Iacl' gilt.

7) a) Sei p ein 'Punkt' und 9 eine 'Gerade' von 1i. Zeige, dass durch p genau eine 'Lotgerade' liiuft, die mit 9 einen rechten Winkel bildet. b) Sind d =I- e E 9 fest und t E ~ variabel, so gilt cosh 'lpg~(t)I' = dcosh(t - h) fUr geeignete reelle Zahlen d ~ 1 und h (g~ : ~ ---+ 1i ist die in B1.3 definierte Abbildung mit Bild 9). Geometrische Interpretation von d und h ?

8) Sei 91 = {yi IYE~} und 92 = {x+yi E 1i I x2 +y2 = 1}. Beschreibe die Menge Ki der 'Punkte' von 1i, deren Abstand zu 9i gleich d ist (d fest; i = 1,2).

Cl. Drehungen und KreisUinge

1) Der Punkt 0 sei fest gewiihlt in der Ebene [; . ---->

a) Sei h : [; ---+ [; eine Isometrie. Zeige, dass es genau einen Vektor v E [; und eine Isometrie f von [; mit Fixpunkt 0 gibt so, dass h = eV 0 f . b) 1st f ein Drehung =I- lIe, so auch h. Bestimme dann den Fixpunkt von h mit Hilfe von fund v. [Hinweis: Sei v =I- 6. Schreibe f als Komposition ugoU;F von Spiegelungen an zwei Geraden :F, 9 durch 0, wobei 9 senkrecht steht auf v. Setze 1i = 9 + ~v und bemerke, dass eV = UHoU9 .] c) 1st f = Ug die Spiegelung an einer Geraden 9 durch 0, so gilt h = eVo f = eWouH ,

----> -wobei 1i parallel ist zu 9 und W E 1i . 1m Fall W =I- 0 heisst f Schubspiegelung an 1i ----> ----> -

liings w. [Hinweis: Setze v = il + w mit w E 9 und ill. 9 . Dann gilt eU = UHOU9 mit 1i = 9 + ~il.]

2) Sei AOe die Transformationsgruppe der Isometrien einer Ebene [; . Fur festes f E AOe betrachte man die Abbildung ¢ : AOe ---+ AOe, g ....... fgf-1 . a) Zeige, dass ¢ bijektiv ist und fUr aIle g, hE AOe die Gleichung ¢(gh) = ¢(g)¢(h) erfUllt. b) Was ist ¢(g) , wenn 9 eine Verschiebung, Drehung, Geradenspiegelung oder Schub­spiegelung ist?

3) Der Punkt 0 sei fest gewiihlt in der Ebene [; . Nach 1) liisst sich jedes h E AOe in eindeutiger Weise als Komposition eVoho mit ho E AOe und ho(O) = 0 schreiben. a) Zeige, dass ho die einzige Isometrie mit Fixpunkt 0 und Richtungsabbildung h ist und dass (hk)o = hoko, Vh, k E AOe . b) Sei P ein weiterer Punkt von [; . Vergleiche ho und h p .

4) Nach 1) ist jede Isometrie der Ebene [; eine Verschiebung, eine Drehung, eine Geradenspiegelung oder eine Schubspiegelung. In der vorliegenden Ubung untersuchen wir den Typ einer Komposition fog, wenn fund g bekannt sind. Dabei betrachten

C1. Drehungen und KreisUinge 569

wir nur Verschiebungen und Drehungen =1= lIe und fassen Geradenspiegelungen als Grenzfalle von Schubspiegelungen auf. Da die Inversion h f-+ h- 1 den Typ von h nicht andert, die Faktoren einer Komposition aber vertauscht, durfen wir uns auf die folgenden 6 Falle beschriinken: a) f = eil , g = eV : Dann ist fog = eil+v eine Verschiebung. b) f = eV , g = Drehung: Siehe Ubung Ib).

--+ c) f = eV , g = Schubspiegelung an 9 langs w: Setze v = i1 + v' mit i1 J.. 9 und

--+ v' E 9 . Sei femer w' = v' + w und H = 9 + ~i1. Dann ist fog die Schubspiegelung an H langs w'. d) f = Drehung urn 0, g = Drehung urn P: Setze f = G'F°G'g und 9 = G'g0G'1i , wobei 9 eine Gerade durch 0 und P ist. Dann ist fog = G'F°G'1i eine Drehung oder eine Verschiebung (wenn :F und H parallel sind). e) f = Drehung urn 0, 9 = Schubspiegelung an H langs w: Setze f = G'F°G'9 und 9 = G'goS~1' wobei 9 die Senkrechte zu H durch 0 ist und P E H n (9 - ~w). Dann ist fog = G'FoS~1 eine Schubspiegelung an der Senkrechten zu :F durch P. f) f = Schubspiegelung an :F langs i1, 9 = Schubspiegelung an 9 langs v: fog ist eine Verschiebung, wenn :F und 9 parallel sind. Sei sonst H die Senkrechte zu :F durch P = 0 + ~i1 und I die Senkrechte zu 9 durch Q = 0 - ~v, wobei 0 E :F n 9 . Dann gilt fog = G'1i°G'X •

5) a) Seien A, B, G drei Punkte einer Ebene £, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Sei 8A (bzw. 8B, bzw. 8C) die Geradenspiegelung, die den Strahl [AB mit Spitze A durch B mit dem Strahl [AG (bzw. [BG mit [BA, bzw. [GA mit [GB) vertauscht. Zeige: 8C8B8A ist die Spiegelung an der Senkrechten zu AG durch das Zentrum des Inkreises. b) Sei PA (bzw. PB, bzw. pc) die Drehung urn A (bzw. urn B, bzw. urn G), die [AG in [AB (bzw. [BA in [BG, bzw. [GB in [GA) verwandelt. Zeige, dass PCPBPA die Spiegelung am Lotpunkt des Zentrums des Inkreises auf AG ist.

6) Sei G+ die Menge der Verschiebungen des Raumes, G- die der Punktspiegelungen und G = G+ U G- . a) Gist eine Transformationsgruppe von R. b) Fur je zwei Punkte 0, PER existiert genau ein f E G+ mit f(O) = P und genau ein 9 E G- mit g(O) = P. c) Fur je drei 81,82,83 E G- gilt 838281 = 818283 .

d) Jedes f E G+ ist die Komposition von zwei Bijektionen aus G- . e) Fur je zwei f, h E G+ gilt fh = hf. f) Fur jedes f E G+ gibt es genau ein h E G+ mit f = h2 .

7) In den Ubungen 7) und 8) bezeichnet Reine totalgeordnete Menge der Kardinalitat ~ 2. Ein Ende von R wird definiert wie im Anhang El.12. Wir setzen voraus, dass das Zwischenzahlaxiom und das Vollstandigkeitsaxiom von El.12 gelten. Beweise: a) Fiir jedes Ende Evon R existiert ein e E R so, dass eine der vier folgenden Gleichungen gelten:

E = [e -> [ := {x E R Ie:::; x} ,

E=J<--e]:={xERI x:::;e},

E=Je->[:={xERI e<x}

E=J<--e[:={xERI x<e}.

b) Die Menge MeR besitze eine obere (bzw. untere) Schranke in R, d.h. ein 8 E R mit x :::; 8 (bzw. 8 :::; x), 'ix EM. Dann existiert ein kleinstes (bzw. ein gr6sstes) 8

mit dieser Eigenschaft.

570 Ubungstexte

c) Eine Abbildung f : R --+ R heisse steigend (bzw. fallend), wenn x < y die Unglei­chung f(x) < fey) (bzw. f(x) > fey)) impliziert. Eine surjektive fallende Abbildung f : R --+ R besitzt genau einen Fixpunkt.

8) Sei G eine Menge von Selbstbijektionen f : R ~ R (Notationen wie in Ubung 7). Wir setzen - neben den Bedingungen von Ubung 7) - voraus, dass das Gruppenaxiom und das Spiegelungsaxiom von El.12 erfiillt sind. Beweise: a) Jedes fallende fER hat genau einen Fixpunkt und geniigt der Gleichung f ° f = IIR . b) Gist eine Transformationsgruppe. c) Fiir je zwei a, b E R existiert genau ein fallendes Uab E G mit uab(a) = b und U ab ( b) = a. Der Fixpunkt m von U ab, die Mitte von {a, b}, liegt zwischen a und b; ist etwa a ~ b, so gilt a ~ m ~ b. d) Fiir jedes b E R existieren ein a E R und ein c E R so, dass a < b < c. e) Jedes steigende f E Gist die Komposition von zwei fallenden g, hE G. Fiir je zwei Elemente a, bE R gibt es genau ein steigendes Tba E G mit Tba(a) = b. f) TebOTba = Tea und Tb-:1 = Tab, "ia, b, c E R. g) Fiir jedes f E G und alle a, b E R gilt fOUabo f- 1 = U f(a)f(b) und fOTba o f- 1

Tf(b)f(a). Ferner bildet f die Mitte von {a,b} ab auf die Mitte von {j(a),f(b)}. h) Fiir je drei fallende Ul, U2, U3 E G gilt U30U2°Ul = Ul°U2°U3. i) Fiir je zwei steigende Tl, T2 E G gilt T2°Tl = TI 0T2. j) 1st m die Mitte von {a, b} , so gilt Tbm = T ma .

9) Sei Zo = 2, ZI = v'2, Z2 = yIzl = {12, ... ,Zn = v'Zn-l = 2(2-n) , .... Zeige:

a) Es gibt genau eine Abbildung ( : ZToo --+ IR. so, dass ((r/2n) = (Znr, "ir E Z, "in EN. Es gilt insbesondere ((0) = 1, ((x) > 0, "ix, und ((x) < ((y) , falls x <yo b) ((x + y) = ((x)((y) und ((~(x + y)) ~ !(((x) + ((y)) , "ix, y E Z2-00 •

c) ~Ixl ~ I((x) -11 ~ lxi, wenn Ixl ~ 1. d) Die Funktion ZToo \ {O} --+ IR., X f-+ (((x) - 1)/x ist steigend. e) Die aufsteigende Folge (1 - (( - zo) ) / Zo , ... , (1 - (( - Zn)) / Zn , ... und die absteigen­de (((zo) - 1)/zo, ... ,(((Zn) - 1)/zn, ... haben einen gemeinsamen Limes f. Zeige insbesondere, dass

(1 - (( -Zl1))/Zl1 = 0,6930 ... < f < (((Zl1) - 1)/Zl1 = 0.6932 ....

C2. Winkelfunktionen und Bogenmass

1) Beweise die Formeln cos 2T = cos2 T - sin2 T = 2 cos2 T - 1 = 1 - 2 sin2 T sin2T = 2 sin T· COST COs3T = 4cos3 T - 3COST sin 3T = 3 sin T - 4 sin3 T COST· COS, = ~ COS(T + ,) + ~ COS(T - ,) COST· sin, = ~ sin(T + ,) - ~ sin(T - ,) sin T· sin, = -~ COS(T + ,) + ~ COS(T - ,) cos3 T = ~ cos 3T + ~ cos T cos2 T sin T = ~ sin 3T + ~ sin T cos T sin2 T = -~ COS3T + ~ COST sin3 T = - ~ sin 3T + ~ sin T

2) Seien A, B, C drei Punkte einer Ebene [; , die nicht auf einer gemeinsamen Geraden

liegen. Sei a = L(AH, AC), (3 = L(Be, BA) und , = L(GA, cB).

02. Winkelfunktionen und Bogenmass 571

a) Zeige, dass sina/IBG! = sin,B/ICAI = siwy/IABI. - -----,-+ -----,-+-+

b) 1st A' der Lotpunkt von A auf BC , so gilt tan,B A B + tan'Y A C = 0 . c) Die baryzentrischen Koordinaten des Hohenschnittpunktes beziiglich (A, B, C) (B2, Ubung 5) sind cot,B . cot'Y, cot'Y· cot a, cot a . cot,B . d) Berechne die baryzentrischen Koordinaten des Zentrums des Umkreises (Beniitze B4, Ubung 2).

----> 3) a) Fiir je drei Einheitsvektoren a,v, ill E R gilt L(a,ill) :::; L(a,it) + L(v, ill). [Hinweis: Man setze voraus, dass die drei Vektoren verschieden sind und dass beide Seiten der Ungleichung < 7r sind, da der Beweis sonst leicht fillit. Die Richtungsebene lRa + lRv enthillt dann genau einen Einheitsvektor ill' so, dass L(v, ill') = L(v, ill) und L(a,ill') = L(a,v) + L(v,ill'). Sei 0 E R, U = 0 + a, v = 0 + v, W = O+ill, W' = O+ill' und v' der Schnittpunkt von UW' mit OV . Schliesse aus IUWI :::;

--+ --t ---+ --+ IUV'I + IV'WI = IUV'I + IV'W'I = IUW'I , dass L(OU, OW) :::; L(OU, OW').J b) Folgere aus L(a, ill) :::; L(a, -v)+L( -v, ill), dass L(v, ill)+L(a,ill)+L(a, v) :::; 27r. c) Die Abbildung (a,v) 1-+ L(a,v) ist eine Metrik auf der Menge Saller Einheits­vektoren (BI, Ubung 8). Bestimme die 'Strecken' und 'Geraden' dieser Metrik. Zeige, dass es 'Punkte' a, v E S gibt so, dass '[aVJ' = S.

4) Sei Meine Menge und Reine .Aquivalenzrelation auf M x M mit den folgenden zwei Eigenschaften:

E 1 : Fiir je drei x, y, z E M existiert genau ein t EMmit (x, y) rv (z, t) . E2 : Aus (x, y) rv (z, t) folgt (x, z) rv (y, t) .

a) Jede .Aquivalenzklasse K liefert eine Abbildung JK : M --+ M , die ein x E M auf das einzige y mit (x, y) E K abbildet. Die Menge G = UK IKE (M x M)/R} ist eine 'fransformationsgruppe von M. Diese ist einJach tmnsitiv, d.h., dass es zu je zwei x, y E M genau ein 9 E G mit y = g(x) gibt. Gist auch kommutativ: goh = hog, Vg, hE G. Umkehrung? b) Bestimme G in den folgenden zwei Fallen:

M = R, R = .Aquipollenz . Mist die Menge der Einheitsvektoren einer orientierten Ebene, und (a, it) rv (ill, x)

gilt genau dann, wenn L(a, it) = L(ill, x).

5) Sei £ eine orientierte Ebene, (i,J; 0) eine direkte orthonormierte Ortsbasis. a) Berechne die Darstellungsmatrix der Drehung urn P = 0 + 'i + 2J mit Bogenzahl 7r/4.

----> b) Sei a E £ der Einheitsvektor mit L(i, a) = 7r/12. Berechne die Darstellungsmatrix der Schubspiegelung langs - 2a an der Geraden durch 0 + 'i - J mit Richtungsvektor a. c) Bestimme die Isometrie J von £ mit Darstellungsmatrix

in ('i,J; 0). Berechne die Darstellungsmatrix von J in C-:;'i - ~J, ~'i+ ';;J; 0 + 'i+ J).

6) (Fortsetzung von CI, Ubung 9). a) Die Abbildung ( : Z2-oo --+ lR hat genau eine stetige Fortsetzung (IR : lR --+ lR.

572 Ubungstexte

b) Es gilt (0) = 1 und (x+y) = (x) .(y), 'ix,y E JR. Ferner ist (differenzierbar, und ('(0) = f. c) Sei e(x) = (x/f). Dann gilt e(O) = 1 und e(x+y) = e(x) ·e(y), 'ix,y E JR. Ferner ist e differenzierbar, und e'(O) = 1. d) Zeige, dass 2.7176 < e:= e(l) = (l/f) < 2.7189.

7) Eine Abbildung E : JR ~ JRnxn heisse exponentiell, wenn E(O) = lIn und E(s+t) = E(s)E(t) , 'is,t E JR. Zeige, dass die wie folgt definierten Abbildungen exponentiell sind:

E(t) = [eat cos bt _eat sin bt ] E(t) = [COSh t sinh t ] eat sin bt eat cos bt ' sinh t cosh t '

E(t) = [ cos t+sin t 2sint

[e-tcost -e-tsint 0 1

- sint ] cos t-sin t ' E(t) = e- t sin t e- t cos to.

e- t sin t e- t cos t - et et

[Hinweis: Mit E ist, bei festem U E GLn(JR), auch t f-+ UE(t)U- 1 exponentiell.]

8) Sei t: eine Ebene, AOe ihre Isometriegruppe. Man definiere den euklidischen Sta­bilisator einer Teilmenge V von t: vermoge

StabAO(V) = {g E AOe I g(V) = V}

a) Bestimme den euklidischen Stabilisator eines VierfUssers (B3, Ubung 12). Zeige, dass die Kardinalitat eines solchen Stabilisators 1, 2, 4, 6 oder 8 ist und dass es fUr

jeden VierfUsser Vein 9 E AGe mit gStabAG(V)g-l = StabAG(9(V)) :1: StabAO(9(V)) gibt. Beschreibe die VierfUsser V mit rStabAO(V)J ~ 2. b) Sei (Z,Ji 0) eine orthonormierte Ortsbasis von t: und

Rn={0+COS21l"~z+sin21l"~JI kEN1,n}, nEN\{O,l}.

Zeige, dass die Diedergruppe StabAO(Rn) aus den n Drehungen urn 0 mit Bogenzahl 21l"k/n und aus den Spiegelungen an den Geraden durch 0 mit den Richtungsvektoren

~ k~. k~ k 1M vn=cOS1l"-z+sln1l"-), E1'Il,n, n n

besteht. c) Zwei Elemente j, 9 einer Transformationsgruppe G heissen konjugiert in G, wenn ein h E G mit 9 = hjh-1 existiert. Finde Elemente j, gin AOe (bzw. in StabAO(Rn ) ,

n gerade), die konjugiert sind in AGe (bzw. in AOe) aber nicht in AOe (bzw. nicht in StabAO(Rn)).

9) Die Transformationsgruppe G einer orientierten Ebene t: bestehe aus Isometrien (G C AOe) und sei endlich. a) Die Isometrien 9 E G haben einen gemeinsamen Fixpunkt O. [Hinweis:Betrachte eine Bahn B von G in t: und das Baryzentrum 0 ihrer Punkte zur konstanten Ge­wichtsfunktion mit Wert l/IBI.] b) Sei G+ die Menge der orientierungstreuen 9 E G. Jedes 9 E G+ ist eine Drehung D(21l"~) urn 0 mit kEN (C2.7). c) Gilt D(21l"~) E G+ und ist k teilerfremd zu n, so liegt D(21l"~) in G+. [Hinweis: Beniitze die Existenz von Zahlen a, b E IE so, dass ak + bn = 1. Siehe dazu etwa C5.11(2).] d) Liegen D(21l"~) und D(21l"~) in G+, so auch D(21l"~), wenn r = am + bn der grosste gemeinsame Teiler von m und n ist. [Hinweis: Beniitze wieder C5.11(2).] e) 1st n = rG+J, so besteht G+ genau aus den n Drehungen D(21l"~) mit k E l'~h,n.

C2. Winkelfunktionen und Bogenmass 573

J~ o

J~ o ~ o

Fig. 1

f) 1st G i= G+, so besteht G- = G\ G+ aus n Geradenspiegelungen. Liegt die Spiegelung an einer Geraden mit Richtungsvektor 'i in G-, so auch die Spiegelungen an den n Geraden mit den Richtungsvektoren i5(11"~)cD, k E {G, 1, ... , n - I}. Also ist G eine Diedergruppe.

10) Teilmengen r i , r 2 , r 3 , r 4 einer orientierten Ebene £ seien durch die Aus­schnitte von Fig. 1 beschrieben. Insbesondere bilden die Punkte von r3 ein - allseits unendliches - Quadratgitter, und die 'Dreieckszellen' von r 4 sind gleichseitig.

SeiGk={gEAOsl g(rk)=rk}, Gk={§1 gEGk}, Hk={gEGkl g(O)=O}. Sei femer (J die Spiegelung von £ an der Geraden 0 + JR.'i, (,' die an 0 + JR.J.

--+ --+ a) Gk, G k und HI;: sind Transformationsgruppen von £ oder £ . b) Bestimme Hi .

Jedes 9 E G i lasst sich eindeutig schreiben als exz+Y)h mit hE Hi und x, y E Z. c) Bestimme H 2 .

G2 enthiilt Isometrien, die sich nicht als eXZ+Y) h mit h E H2 und x, y E Z schreiben lassen.

Bestimme die Verschiebungen aus Gz. Zeige, dass G 2 = {ITs, 5, (, 50 . Sei H' = {lls,(,',eZ/ 2 (J,eZ/ 2 (J(,'}. Jedes 9 E G2 lasst sich eindeutig schreiben als 9 =

exz+yh mit hE H' und x,y E Z. Aus h, k E H' folgt nicht allgemein hk E H' . d) Sei {j die Drehung urn 0 mit Bogenzahl 11"/2. Zeige, dass H3 die Diedergruppe {{ji liE N i ,4} U {{ji(J liE N i ,4} ist und dass sich jedes 9 E G3 eindeutig als

9 = exz+Y)h mit hE H3 und x, y E Z schreiben liisst. e) Sei p die Drehung urn 0 mit Bogenzahl 11"/3. Zeige, dass H4 die Diedergruppe {{ji liE Nl,6} U {bi(J liE N1,6} ist und dass sich jedes 9 E G4 eindeutig als

9 = exz+yh mit hE H4 und x, y E Z schreiben liisst.

574 Ubungstexte

C3. Die Isometrien des Raumes

In den Ubungen dieses K apitels ist der Raum mit einer fest en Orientierung versehen. (r,y, k; 0) bezeichnet eine direkte orthonormierte Ortsbasis.

1) Sei ii, V, ill eine Basis von n und a = L.(v, ill), fJ = L.(iI, ill), "! = L.(iI, v). a) Zeige, dass [iii v I illJ2 = det ~, wobei

~= [~:~ ~:g ~:~] = [Igllgl ~] [co~,,! co~,,! ~~:~] [Igllgl ~] illoiI ill· v illoill 0 0 I ill I cosfJ cosa 1 0 0 I ill I

und

d t A 41-1 21-1 21-12 . a+fJ+"! . -a+fJ+"! . a-fJ+"! . a+fJ-"! e L..> = U v w sm 2 sm 2 sm 2 sm 2 .

b) Schliesse aus a), dass a < fJ + "! und 00+ fJ + "! < 27r (Vergl. C2, Ubung 3).

c)SeiiI'=[vlillJ, v'=[illliIJ, ill'=[iIlvJ.Zeige,dass

[v'lill'J=[iIlvlillJiI und [iI'lv'lill'J=[iIlvlillJ2.

d) Sei a' = L.(v',ill'). Schliesse aus c), dass

sinfJ sin,,! sin a' = VI + 2cosa cosfJ cos,,! - cos2 00- cos2 fJ - cos2 "! .

e) Berechne [ ill I iIJ • [ iii vJ. Schliesse, dass sin fJ sin,,! cos a' = cos fJ cos,,! - cos a .

f) Sei a = xii + yv + zill. Zeige, dass

iI'oa=x[iIlvlillJ, v'oa=y[iIlvlillJ, ill'.CZ=z[iIlvlillJ.

----> 2) Seien ii, v E n mit liIl = 1. Zeige, dass

v= (iIov)iI-[iIl[iIlvJJ,

wobei (iI o v)iI E ~iI und -[ iii [iii vJJ E (~iI).L .

3) Sei P bzw. Q der Punkt mit Koordinatenspalte [-1 0 1 I]T bzw. [3 - 1 2 I]T in (r,y, k; 0). Sei E bzw. :F die Ebene der Punkte 0 + xz + yJ + zk derart, dass 2x + y - z = 3 bzw. x - 3y + 2z = -1 . a) Bestimme die Lotpunkte von P auf E , von Q auf :F, von P und Q auf 9 = En:F. b) Bestimme die Darstellungsmatrizen der Spiegelungen an E, :F und g.

4) Sei 1i die orientierte Gerade mit Richtungsvektor iI = 2Z - Y + k durch den Punkt B mit Koordinatenspalte [2 - 2 3 I]T. Bestimme die Darstellungsmatrizen: a) der Schraubung urn 9 llings 2iI mit Bogenzahl 7r / 4 . b) der Drehspiegelung urn 9 mit Bogenzahl 7r / 4 und Fixpunkt B.

5) Eine Schraubung f : n --+ n, M f-> M' wird definiert vermoge

M' = 0 + V2oX1+ V3 [iii oMJ+ 2 - V2 (iIooM) iI + Y 2 6 12

(iI wie in Ubung 4). Bestimme die Schraubungsgerade und den Verschiebungsvektor.

6) Sei 9 die Gerade durch B = 0 + z mit Richtungsvektor Y + k, 1i die Gerade durch Omit Richtungsvektor k, s die Schraubung urn 9 llings J + k mit Bogenzahl 7r /6, t die Schraubung urn 1i llings k mit Bogenzahl 7r /3.

C3. Die Isometrien des Raumes 575

a) Bestimme sot. [Hinweis: Stelle s und t dar als Kompositionen von je zwei Geraden­spiegelungen, wobei die 2. Spiegelungsgerade von t mit der 1. von s iibereinstimmt.] b) Sei (T die Spiegelung an der Ebene £ durch O+i, die senkrecht steht auf1+.1+k. Bestimme (Tot. [Hinweis: Stelle t dar als Komposition von zwei Geradenspiegelungen, wobei die 2. Spiegelungsgerade in £ liegt.]

7) Sei seine Schraubung urn die Gerade g. Man ordne jedem Punkt P die Ebene £p durch die Mitte von [Ps(P)] zu, die senkrecht zur Geraden Ps(P) steht. Zeige, dass die Abbildung P I--t £p injektiv ist und als Bild die Menge der Ebenen hat, die nicht parallel zu g sind.

8) Sei g(t), t E JR., die Gerade mit Richtungsvektor cos (27rt) .1 + sin(27rt) k durch O+ti. Sei Wet) die Drehung urn get) mit Bogenzahl7r/2. Bestimme die momentane Schraubenbewegung der Bewegung W zum Zeitpunkt t .

9) Sei

[1 0 0] RI(O) = 0 C?SO -sino

o smo coso [

COSO -sino 0] und R3(O) = sino coso 0 .

o 0 1

a) Zeige, dass jedes R E S03(JR.) := 03(JR.) n SL3(JR.) sich in der Gestalt R R3(W)RI(V)R3(p) mit 0 ..:; w < 7r, 0":; v < 27r und 0":; p < 27r schreiben lasst. [Hinweis: Bestimme w so, dass (R3( -w)Rh3 = O. Dann konnen cos v, sin v, cos p, sinp in der 1. Zeile und der 3. Spalte von R3( -w)R abgelesen werden.] b) Bestimme die Fasern der Abbildung

[0, 7r[ x [0, 27r[ X [0, 27r[ ----> S03(JR.), [w v p]T I--t R3(W)RI(V)R3(P).

Zeige insbesondere, dass w, v, p 'im allgemeinen' eindeutig bestimmt sind durch R. (w ist die Priizessionszahl von R, v die Nutationszahl, p die Rotationszahl.)

~ ~

c) Sei (u, V, w) eine Basis von R und R die Transitionsmatrix von (1,.1, k) nach (u, V, w) . Zeige, dass R E S03(JR.) genau dann gilt, wenn (u, V, w) eine direkte orthonormierte Basis ist. d) Sei R = R3(W)RI(V)R3(P). Die Matrizen R3(W) und R3(W)RI(V) sind die Tran­sitionsmatrizen von (1, .1, k) nach zwei Basen (UI, VI, WI) und (U2, V2, W2). Was sind die Transitionsmatrizen von (UI,VI,WI) nach (U2,V2,W2) und von (U2,V2,W2) nach (u, V, w)? 10) Berechnung der Blickrichtung zu einem Satelliten (E. Gutknecht). Wenn man an einem bestimmten Ort P auf der Erdoberflache eine Parabolantenne auf einen Satelliten S ausrichten mochte, so benotigt man die Blickrichtung vom Punkt P zu S. Diese Richtung ist trotz der Erdrotation konstant, da die betreffenden Satelliten in der Aquatorebene, im Abstand r = 42050 km vom Erdmittelpunkt, synchron mit der Erde rotieren und daher von einem festen Punkt der Erde aus immer am selben Ort erscheinen (geostationare Satelliten). Die Positionen der Punkte P und S in bezug auf die Erde seien gegeben durch die iiblichen Langen- und Breitengrade:

Punkt P (Zurich) S (Astra)

Langengrad 8.55 Grad ostlich 19.2 Grad ostlich

Breitengrad 47.38 Grad nordlich o (Aquatorebene)

576 Ubungstexte

a) Berechne die Transitionsmatrix von (i,J, k; 0) nach (iI, il, w; P) . Dabei ist 0 der Erdmittelpunkt, 0 + Hi (bzw. 0 + R1) der Punkt auf der Aquatorebene mit Langen­grad 0 (bzw. 90 ostlich), R = 6370 km der Erdradius, 0 + Rk der Nordpol, iI der Einheitsvektor entlang dem Meridian durch P gegen Sliden, il entlang dem Breiten­kreis nach Osten, w vertikal nach oben. b) Berechne die Koordinaten von S in (iI, il, w; P) . c) Gib die Losung mit den fUr die Praxis wichtigen Grossen Elevation und Azimut an:

Elevation: Bogenzahl der Blickrichtung zur Horizontalebene Azimut: Bogenzahl zwischen il und der Normalprojektion der Blickrichtung

auf die Horizontalebene, d.h. die Abweichung von der Richtung gegen Sliden

(Losung: Elevation 34.54 Grad, Azimut 14.34 Grad ostlich)

11) Stelle eine vollstandige Liste von Normalformen affiner Matrizenpaare mit Zeilen­zahl 4 auf. Geometrische Interpretation?

12) Sei AOn die Transformationsgruppe der Isometrien des Raumes. Sei femer A = O+i, B = 0+ ~i+ ¥J, G = 0+ ~i+ '{;J+ ~k und T = {O,A,B,G} (Siehe Bl, Ubung 9c). a) Bestimme den euklidischen Stabilisator

5tabAO(T) = {g E AOn I geT) = T}

und den 'Typ' eines jeden g E 5tabAO(T). b) Zeige, dass zwei Elemente des Stabilisators, die konjugiert sind in AOn , auch konjugiert sind in 5tabAO(T) (C2, Ubung 8). Beschreibe die 5 Konjugationsklassen. c) Sei 1/ : {I, 2, 3, 4} ~ T eine beliebige Bijektion. Zeige, dass es fUr jede Permutation a: {1,2,3,4} .c::; {1,2,3,4} genau ein a' E 5tabAO(T) gibt so, dass a'ol/ = I/oa.

Insbesondere gilt lI{I,2,3,4} = lIn . d) Sei 54 die Transformationsgruppe aller Permutationen von {I, 2, 3, 4},. Zeige, dass die Abbildung 54 -+ 5tabAO(T), a f-t a' bijektiv ist und dass (a7)' = a'7', Va, 7 E

54.

13)SeiA=0+r, B=A+J, G=O+J, M'=M+k, VME{O,A,B,G},und W = {O,A,B,G,O',A',B',G'}. a) Bestimme den Stabilisator 5tabAO(W), beschreibe seine 48 Elemente. b) Zeige, dass die Geradenspiegelungen und die Spiegelungen an Ebenen je zwei Kon­jugationsklassen in 5tabAO(W) bilden. c) Sei V die Menge der vier 'Diagonalen' {O,B'},{A,G'}, {B,O'}, {G,A'} und w: {I, 2, 3, 4} ~ Veine Bijektion. Flir jedes a E 54 gibt es genau ein orientierungstreues a~ E 5tabAO(W) so, dass w(a(i» = a~(w(i», Vi. d) '¢ : 54 x {I, -I} -+ 5tabAO(W) bildet (a, 1) ab auf a~ und (a, -1) auf soa~ , wobei s die Spiegelung an der gemeinsamen Diagonalenmitte ist. Zeige, dass '¢ bijektiv ist und dass ,¢(a7, crt) = '¢(a, c)'¢(7, rt).

14) (Das Ikosaeder) Betrachte die 12 Punkte N = 0 + k, Al = 0 + 21r + 1 k,

A2 =0+21 cos 2571" 1+21 sin 2; 1+ 1k, A3 =0+21 cos 4; 1+21 sin 4; 1+¥k, A4 =0+2v'5 cos 271" r-2v'5 sin 271" J~+ v'5k A5 =0+2v'5 cos 471" r-2v'5 sin 471" J~+ v'5k

55555' 55555'

---t ---+ S = 0 - ON und Bi = 0 - OAi , i E {I, 2, 3, 4, 5}. Die Menge 'I dieser 12 Punkte nennen wir Ikosaeder (Fig. I).

C3. Die Isometrien des Raumes 577

N

Fig. 1

S

a) Verifiziere: min{IPQII P, Q E 'I, P =1= Q} = v;o J5 - y'5. b) Fur jeden Punkt P E 'I gibt es genau 5 Punkte Pi E 'I so, dass IPPil = ~J5-y'5. c) Die 6 Punkte P, P1 , ••• , P5 bilden 5 gleichseitige Dreiecke mit gemeinsamem Eck­punkt P. Variiert P, so erhiilt man auf diese Weise 20 gleichseitige Dreiecke (die Seitenfliichen des Ikosaeders), die insgesamt 30 Seiten haben (die Kanten von 'I). d) Die Matrizen

[

COS 271" - sin 271" 0 1 R - sin 2~ cos 2~ 0

- 5 5 ' o 0 1

[-1 021] T = 0 -1 0

2 v'5 0 v'5 5 5

sind die Richtungsteile der Darstellungsmatrizen von zwei orientierungstreuen Isome­trien p, T E 5tabAO('I) . Beschreibe p und T.

15)* (Die Ikosaedergruppe) Jedes 9 E 5tabAO('I) induziert vermoge g([MN]) = [g(M)g(N)] eine Selbstbijektion der Kantenmenge von T (Ubung 14). Wir farben die 30 Kanten in 5 Farben wie folgt

Ft := {NA1,SB1,A2B5,B2A5,A3A4,B3B4} in blau, F2 := {NA2,SB2,A3Bl,B3Al,A4A5,B4B5} in grun, F3:= {NA3,SB3,A4B2,B4A2,A5Al,B5Bd in rot, F4 := {N A4, SB4, A 5B3, B5A3, A 1A2, B 1B 2} in schwarz, F5 := {NAs,SB5,A1B4,B1A4,A2A3,B2B3} in violett.

Die Farben sind so gewiihlt, dass jede Kante [M N] dieselbe Farbe triigt wie die Seiten [RSJ und [TU] der Dreiecke {M, R, S} und {N, T, U} , die [M N] entgegengesetzt sind (Fig. 2): a) Zeige, dass es fUr aIle 9 E 5tabAO('I) und aIle i genau ein j gibt so, dass g(Fi) = Fj . b) Sei 55 die Transformationsgruppe aller Permutationen von {I, 2, 3, 4, 5}. Definiere x: 5tabAO('I) -> 55 durch F)«g)(i) = g(Fi) . Beschreibe X(P) und X(T) (Ubung 14).

c) X(gh) = X(g)x(h), Vg, hE 5tabAO('I)·

d) X-1{1I{1,2,3,4,5}} = {lIn, S~l} und x(5tabAO('I)) = A5 := {w E 55 1 c(w) = I}.

578 Ubungstexte

Fig. 2

e) Sei StabAOCI) die Menge der orientierungstreuen Isometrien aus StabAO(I) . Die Abbildung X induziert eine Bijektion StabAo(I) ~ As.

[Hinweise zu d): Betrachte die blaue Kante [NA I ] zusammen mit den anliegenden Dreiecken {N,AI,As} und {N,AI ,A2 }, sowie deren Bilder unter 9 E StabAO(I). 1m Fall X(g) = JI{I,2,3,4,S} ist g([NAI]) E ([NAI ] , [SBI ]} , und g([NAI ]) = [NAI ] impliziert 9 = JI3 , g([N AI]) = [SBI ] impliziert 9 = S~l .

Zeige, dass jedes W E As eine Komposition von zyklischen Permutationen von {I, 2, 4} und {I, 3, 5} ist und dass diese im Bild von X liegen. Also ist A5 in diesem Bild enthalten. Sei H die Menge aller Kompositionen von p und T und G = {g E StabAO(I) I g(N) = N}. Verifiziere, dass I = {h(N) I h E H} . Schliesse daraus, dass StabAO(I) = {hg I h E H, 9 E G} . Beschreibe aIle 9 E G und leite daraus die Inklusion X( G) C As abo Somit ist das Bild von X in As enthalten.]

Weiterfiihrende Literatur: Siehe etwa 'Paul B. Yale, Geometry and Symmetry, 288 p., Holden-Day (1968)'.

C4. Imaginare Zahlen

1) Bestimme Real- und Imaginarteile cler komplexen Zahlen:

1 1 1 (l_i)3 1 - i' 3 + v'5 i' (V2 - i)3' 1 + i

( 2 + is ) 2 (1 + i)S 1 + p9 '(1 - i)3 .

2) Es bezeichne viz eine komplexe Zahl u mit u 2 = z. Berechne die folgenden Aus­driicke:

v'2i, v=Bi, V -15 + 8i, V8 - 6i, V8 + 6i, V 4 + i + V 4 - i, J ,b -V12 i.

3) Bestimme die komplexen Losungen x, y, z, t des Gleichungssystems mit komplexen Koeffizienten:

{

X + iy + z + iz = 0 ~x+iy+ ~z+ it=O .

-IX - Y + 21Z = -31 (1 + 3i)x + z - t = 3i

4) Berechne Stufenform und Rang der folgenden Matrix mit komplexen Eintragen:

l i 1 + 2i 2 - i 2i 1

-V3 - i V3 + V3i V3 - V3i V3 + 2i -4 - V3 i 1 + 4i 4 - i 1 + 2V3 i .

1 2i 2 i

5) Berechne die Determinanten der zwei folgenden Matrizen mit komplexen Eintragen:

C4. Imaginiire Zahlen

3 1 + i1 7~i ~

3i 1 - i

[ 1: i 2 + 2i

-1 + i 3i

1- i

6 [

0 4i ¥ 3+2i 4i ¥ 3+2i 4i ¥-2i

o 4i ¥

579

-e 1 e

2e 1· -e+ 81

6) Zeige, dass

(1 + i)25 = 212(1 + i), C 7.!;irO= 29 (1- V3i), (1 - v'32- ir4= (2 - V3)12 .

[Hinweis: Beniitze die 'trigonometrische Form' Izi (cos ( + sin (i) einer komplexen Zahl z.J 7) Bestimme die Losungen folgender Gleichungen:

6 27 3 2 . 5 2 3' 6 1 - i z=- ,z= +1,Z= +1,Z=~. y3+i

8) Zeige, dass sin2n+I x = * 2:~~~(-l)nHcn:l) sin(2(n - f) + l)x.

[Hinweis: Entwickle ((exi - e-xi)/2i)2n+l .J 9) a) Berechne 1 + exi + e2xi + ... + enxi .

) . m\ '7J' 1 sin(n+")x b Sel x E ll'Io. 27r IU. Zelge, dass 2 + cos x + cos 2x + ... + cos nx = 2'~ . SIn "2

C) Schliesse aus b), dass sin x + 2sin2x + ... + n sin nx = (n+l)sin4n~-2n:in(n+l)x . SIn '2

d) Berechne cos3 X + cos3 2x + ... + cos3 nx.

10) In dieser Ubung setzen wir (~) = 0, falls r > n. a) Zeige, dass 1 + G) + G) + (~) + ... = 2n .

b) Zeige, dass (~) + (~) + G) + ... = 2n - 1 •

c) Sei j = cos 2; + isin 2; . Zeige, dass

1 + (~) + (~) + (;) + ... = !(1 + l)n +!(1 +j)n +!(1 +j2)n =?

(~) + G) + (~) +... = !(1 + l)n + !j2(1 + j)n + !j(l + j2)n =?

(;) + G) + G) +... = !(1 + l)n + !j(l + j)n + !j2(1 + j2)n =?

d) Zeige, dass

1 + (~) + G) + (~) + ... = i(1+1)n + i(1+i)n + i(1+i2 )n + i(1+i3 )n =?

(~) + G) + (;) +... = i(l+l)n + ii3(1+i)n + ii2(1+i2)n + ii(1+i3)n =?

e) (;) + (~) + (~) + ... =?

11) Gegeben sind a, bEe. Driicke die komplexen Zahlen c, d, e, j, g, h mittels a und b aus. (Fig. 1 stellt 3 Quadrate dar.) f

e

Fig. 1 c

d

12) a) Bestimme die komplexe Zahl j mit ~j > 0 und j2 + j + 1 = O. Zeige, dass j2 = J und j3=1.

580 Ubungstexte

b) Jede komplexe Zahl kann eindeutig in der Form 0 + ,8 j mit 0,,8 E ~ geschrieben werden. Zeige, dass die Abbildung

A.. If"' T1J)2x2 f-IO [0 -,8] 'I-' : 'L- -> 11'1> , Z = 0 + fJJ ~ ,8 0-,8

den Gleichungen ¢(z + z') = ¢(z) + ¢(z') und ¢(zz') = ¢(z)¢(z') fUr alle z, z' E C genugt. c) Zeige, dass a2 + b2 + e2 - be - ae - ab = (a + bj + ej2)(a + bj2 + ej), Va, b, c E C. d) a, b, e sind die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks genau dann, wenn a -# b und a2 +b2 +e2 = be+ae+ab. Interpretiere in diesem Fall die Gleichung in c) geometrisch.

13) Zeige, dass Iz+z'12+lz-z'12 = 2IzI2+2Iz'12 und Izl+lz'l = Iztz' _ul+lzy' +ul fUr alle z, z' E C, falls u2 = zz' . Geometrische Interpretation?

14) a) Seien e E ~ und bE C mit e < IW . Dann ist {z E C I Izl2 + liz + bz + e = O} ein Kreis. Bestimme Zentrum und Radius. b) Die Gleichung eines Kreises von C, der durch drei nicht auf einer Geraden liegenden Punkte Zl, Z2, Z3 E C liiuft, kann geschrieben werden als

det r :;~~~ ;1 ~1 i 1 = 0 . IZ21 Z2 Z2 1 IZ312 Z3 Z3 1

15) Sei 0 E JO, 1 [ fest und w E ~ variabel. a) Fur jede Losung A E C \ {O} der Gleichung A2 - WOA + W - 1 = 0 liegen A, 1/ A und 0 auf einer gemeinsamen Geraden der komplexen Zahlenebene. b) Mit A(W) und A'(W) bezeichne man die Losungender Gleichung A2 -woA+w-l = 0, wobei RA(W) < RA'(W) gilt, oder RA(W) = RA'(W) und ~A(W) S ~A'(W). Beschreibe die Variation von A(W) und die von A'(W), wenn W die reelle Zahlengerade durchliiuft. Zeige, dass UWER.{A(W),A'(W)} die Vereinigung von ~ \ {I/o} mit einem Kreis ist, der zu bestimmen ist. c) Bestimme W so, dass max{IA(w)l, IA'(w)l} minimal seL Berechne dieses Minimum.

16) a) Beschreibe die Menge der z E C, fUr die eine der folgenden Gleichungen gilt (a> 0):

R~ - ~ R Z - a = 0, ~~ = a. z-a' z+a z

b) Es seien a, b, c drei verschiedene komplexe Zahlen. Zeige, dass ~=: : ~=: genau dann reell ist, wenn a, b, c, z auf einem gemeinsamen Kreis oder auf einer gemeinsamen Geraden liegen. [Hinweis: Deute geometrisch die Argumente der komplexen Zahlen

~=: und ~=: .] 17) Sei C = C U {oo}. Die Bijektionen /-LA : C ~ C, die wir in B5, Ubung 1, den Matrizen A E GL2(C) zugeordnet haben, bilden eine Transformationsgruppe PGL2(C) vonC. a) Fur jede Gerade 9 der Ebene C setze man 9 := 9 U {oo} C C und nenne 9 eine gerade Linie von C. Eine Kreislinie von C sei ein Kreis von Coder eine gerade Linie. Zeige, dass /-LA Kreislinien in Kreislinien verwandelt. [Hinweis: Verwende Ubung 16).] b) Zeige, dass jedes 9 E PGL2(C) konjugiert ist in PGL2(C) zu genau einer der fol­genden Bijektionen:

SA : 00 ~ 00 und z ~ AZ, falls z E C, wobei 0 -# IAI < 1 oder 'IAI = 1 und ~A ~ 0').

04. Imaginare Zahlen 581

v : (Xl f-+ (Xl und z f-+ z + 1 , falls z E C . c) 1st 9 konjugiert zu sA, so hat 9 zwei Fixpunkte und ist eindeutig bestimmt durch diese Fixpunkte und das Verhiiltnis A: (g(z)lzlalb) = A bei geeigneter Wahl der Rei­henfolge der Fixpunkte a, b, wenn z E C \ {a, b} . d) 1st 9 konjugiert zu v, so hat 9 einen Fixpunkt a und ist eindeutig bestimmt durch a und ein Paar (m,g(m)), m =I a: 1st z E C verschieden von a und wird z' durch (zlg(m)lz'la) = -1 definiert, so gilt (g(z)lmlz'la) = -1. IS) Bestimme die Losungen folgender Gleichungen:

Z3 + 12z + 63 = 0 [Losung: -3, H3 ± 5V3i)]

Z3 + 6z + 2 = 0 [Losung: {12 - .if.!, H.if.! - {12 ± V3( .if.! + {I2)i)]

z3+3z2-6z+4 = 0 [Losung: -1- ~-W, ~(-2+~+ W±V3( W- ~)i)] Z3 + 3z - 2i = 0 [Losung: - 2i, i]

Z3 - 6iz + 4(1 - i) = 0 [Losung: -1- i, 2 + 2i] Z4 - 2z3 + 2Z2 + 4z - 8 = 0 [Losung: ±-v-'2, 1 ± V3i] Z4 - 4z3 + 3z2 + 2z - 1 = 0 [Losung: ~(1 ± y'5), ~(3 ± y'5)] z4-6z3 +lOz2 -2z-3=O [Losung: 1,3, 1±-v-'2]

19) (Ferraris Losung) Uberprtife, dass

Z4 + az3 + bz2 + CZ + d =

(Z2 + ~z + ~? - ((a; + t - b)Z2 + (¥ - c)z + (~ - d)) . Der Ausdruck (a; + t - b)Z2 + (¥ - c)z + (~ - d) ist das Quadrat eines Terms vom Grad 1 in z , wenn

at 2 a2 t 2 ("2 - c) - 4( 4 + t - b)( 4" - d) = O.

Die Losung dieser Gleichung in t reduziert eine Gleichung 4. Grades in z auf zwei Gleichungen 2. Grades. Teste das Verfahren anhand der Beispiele von Ubung 18.

20) Sei z E C eine L6sung der Gleichung zn + CIZn- 1 + ... + en = 0 mit komplexen Koeffizienten Ci . Zeige, dass a) Izl ~ 1 + maxelcel. [Hinweis: Izn + CIZn- 1 + .. ·1 ~ Izln(1- m/lzl- m/lzl 2 _ ... ) , wenn m = maxelcel.] b) Izl ~ (+ maxe!cel/(l-l, V( > O. c) Izl ~ 2 maxe {foi. d) Izl ~ x, wenn x die einzige Losung ~ 0 der Gleichung xn -ICllxn-1_ ... -Ienl = 0 ist. [Hinweis: Zum Nachweis der Eindeutigkeit untersuche man die Variation von l-Icll/x - ... -Ienl/xn fUr 0 < x < (Xl.]

21) Sei IHI die Menge der komplexen Matrizen der Gestalt

q:= [~-~] = U~~~ -~~~n =tK+xe+y!+zg

mit u, vEe, t, x, y, z E lR und

K = un, e = [~ -6] , ! = [~ -~] , 9 = [~ ~] .

a) Aus p, q E IHI folgen p + q E 1HI, pq E IHI und Aq E 1HI, VA E lR. Jede Matrix q E IHI \ {O} ist invertierbar, und die inverse Matrix q-l liegt in 1HI.

~ ~

b) Sei (i, J, k) eine direkte orthonormierte Basis von R und J.L die Bijektion

582 Ubungstexte

~ x R ~ 1HI, (t,xi+ yJ+ zk) f-t tll + xe + yf + zg.

Zeige, dass p,(s+t, v+'Iii) = p,(s, iJ)+p,(t, 'Iii) , p,(st~.'Iii, tii'tsw+[vlw]) = p,(s, v)p,(t, 'Iii) -+

und p,(),.t, )"'Iii) = ),.p,(t, 'Iii), YV, 'Iii E R, VA E ~ (Siehe dazu C3, 3.9).

c) Fur jedes q:= [~ -~] = tll + xe + yf + zg setze man

q:= [_~ ~] = tll - xe - yf - zg E 1HI.

Zeige, dass p+q = P + q, pq = q p und ),.q = Aq, Vp, q E 1HI, V)" E ~ .

d) Mit den Notationen von c) setze man Iql = v't2 + x2 + y2 + Z2 . Zeige, dass qq = (det q) II = Iql2ll, dass Ipql = Ipllql und dass q-l = ~q, falls q I- O.

e) Sei u E 1HI mit lui = 1. Zeige, dass die Bijektion 1HI ~ 1Hl, q f-t uqu- 1 , die Teilmenge {xe + yf + zg J x, y, z E ~} von IHl in sich abbildet. Somit kann eine Abbildung

du : R --> R vermoge p,(O,du(v)) = up,(0,v)u- 1 definiert werden.

f) Zeige, dass du linear ist. Bestimme die Darstellungsmatrix Du von du in der Basis (i,1, k).

-+ g) Man definiere eine Zahl iJ E [0,7r ] und einen Einheitsvektor 'Iii E R vermoge u = cos iJ II + sin iJp,( 'Iii). Zeige, dass du die Richtungsabbildung einer Drehung mit Bogenzahl 2iJ urn eine Gerade mit Richtungsvektor 'Iii ist. Insbesondere gilt

Du E S03(~) = {U E 03(~) I detU = I}.

h) Sei SU2 := {u E IHlJ lui = I}. Zeige, dass die Abbildung SU2 --> S03(~), U f-t Du, surjektiv ist. Bestimme ihre Fasern.

CS. Korper und Polynome

1) Bestimme die Stufenform der Matrix

[211000] 120 2 I 2 Q Q ! ~ ~! E (Zj3)5X6 . 2 1 2 2 0 0 122 I I 2

3) Berechne die Determinante folgender Matrix:

[4 I 4] ~ ~ Q E (Zj5)3X3 230

3) Das Spielbrett eines kleinen Computers bestehe aus 9 Tasten und 9 Lampchen (Fig. 1). Beim Drucken der Taste Start leuchten gewisse Lampchen auf, z.E. 1,2,4,7. Durch Drucken einer Taste werden verschiedene Lampen beeinflusst: Die Ecktasten beeinflussen die vier benachbarten Lampen, Taste 9 etwa die Lampen 5,6,8,9. Die Tasten 2,4,6 und 8 beeinflussen die Randseite, auf der sie liegen, Taste 6 etwa die Lampen 3,6,9. Schliesslich wirkt Taste 5 auf die Lampen 2,4,5,6,8.

05. Korper und Polynome 583

I I

[IJ-(0.- []] -(0.- [lJ © , I ' , I '

~ I

[I] -:©:- []] © [£] © I

Fig. 1 I

[l] -:©:- w © W © I

Beeinflussen oder Wirken bedeutet hier, dass brennende Lampen erloschen und erlo­schene Lampen aufleuchten. Nach Driicken der Taste 5 leuchten in unserem Beispiel 1,5,6,7,8. Ziel des Spiels ist, aile Lampen ausser der 5. zum Leuchten zu bringen. In unserem Beispiel (1,2,4,7 brennen beim Start) geschieht das durch Driicken der Tasten 1,3,4 und 8. a) Versuche das Ziel von der Startposition aus zu erreichen, wo nur die Lampen 4,5,6 brennen. b) Wieviele Startpositionen gibt es? 1st das Ziel von jeder Startposition zu erreichen? Gib, wenn moglich, eine Losungsformel. [Hinweis: Deute einen Zustand des Spielbretts als eine Spalte in (Z/2)9 und das Driicken einer Taste als Addition einer geeigneten Spalte.)

4) Von folgenden Matrizen sind Konjugierte zu berechnen, die sich als direkte Summen einer invertierbaren Matrix und einer nilpotenten Eigenform 'prasentieren'. Verwende dafiir das Verfahren von A4.8:

[ ~ ~ !] E (Z/7)3X3, [~~ !] E (Z/7)5X5, 42242 2

[01002] a 2 a a 2 ! ! Q ~! E (Z/3)5X5 o 0 0 0 1 10120

I 100 I I a a I I a a a a a a I I 100 a a I a a I a a I a a a I a a a I a I a I a a 100 I a

E (Z/2) 7x7

5) Zeige, dass die folgende Matrix triangulierbar ist. Bestimme ihre 'Eigenform'.

I I I a a [11000] ! Q Q ! Q E (Z/2)5X5 1 1 100 I I I I I

6) Bestimme die 'Eigenformen' folgender Matrizen mit Eintragen in Z/p: a a I a a a I a

102211 01010000

[210141 020010 00010100 03011 000121 00010010 ~O=- ~O--- 0o! 3

02_- 04Q- ' p = 5; a a a I I a ' p = 3; a a a a a a a I ' p = 2.

000020 00000010 a a a a a I a a a a a a I a

a a a a a a a a

584 Ubungstexte

7) Sei peine Primzahl. Zeige, dass die Matrizen [b -!] mit a, bE Zip einen Korper

der Kardinalitat p2 bilden, wenn die Gleichung X2 + 1 = 0 keine Losung in Zip hat. FUr welche Werte von pin {2, 3, 5, 7,11,13, 17} trifft dies zu?

8) 1m folgenden sei C X l'\h so angeordnet, dass (z,p) < (z',p') gilt, wenn einer der drei folgenden Falle vorliegt: 1) 'Sz < 'Sz' i 2) 'Sz = 'Sz' und lRz < lRz' i 3) z = z' und p < p' (vgl. A5.2).

) D· k l E· £ [ cos'!9 - sin '!9] . t d· D· 1 t· . d D· a Ie omp exe 1gen orm von sin'!9 cos'!9 IS Ie lagona rna nx mIt en la-

gonaleintragen e19i und e-19i . Suche ein U E GL2(C) so, dass

[ :~:: -:::~] = U [e~i e~19i] U- 1.

b) Bestimme die komplexe Eigenform E des Spektralblocks S(.X,tLiP) von A5.2. Be­rechne ein U E GL2p(C) so, dass S(>',tLiP) = UEU- 1 •

c) Bestimme die komplexe Eigenform F der Matrix M von A5.10. Berechne ein V E GL6(C) so, dass M = VFV- l . Gehe zunachst aus von der Spektralform Ui1MU4 von A5.1O. Versuche es danach mit einer Ubertragung des Verfahrens von A4.8-10 von lR auf C.

9) Sei K ein Korper und P E K nxn eine Matrix mit n (verschiedenen) Eigenwerten. Sei ferner M E K nxn so, dass MP = PM. a) Zeige, dass M diagonalisierbar ist und dass die Eigenspalten von P auch Eigen­spalten von M sind. b) U ntersuche folgendes Beispiel: Kist der komplexe Zahlkorper, P die Matrix der Permutation 1 ...... 2 ...... 2 ............... n ...... 1 und M = aoll+a1P+a2p2+ .. ·+an_lpn- 1. Bestimme die komplexen Eigenwerte von P und M, sowie gemeinsame komplexe Eigenspalten (vgl. A5, Ubung 6). 10) Sei M E cmxn und

IMII = max{2::~~ IMij11 j = 1, ... , n} (Spaltensummennorm von M)

IMloo = max{2:;~~ IMij II i = 1, ... , m} (Zeilensummennorm von M) .

a) Sei s E {I, oo} . Zeige, dass 1M +Nls::; IMls + INls, VM,N E c mxn , I>'MI. = I>'IIMls, VM E c mxn , V>' E c, IMNls ::; IMlsINI., VM E c mxn , VN E Cnxp.

b) 1>'1 :5 IMI. fur jeden komplexen Eigenwert >. von M E c nxn . [Hinweis: Wende die letzte Ungleichung von a) auf die Sakulargleichung an.] c) Vergleiche b) mit C4, Ubung 20), wenn Meine Begleitmatrix ist. d) (Gerschgorin) Sei >. E C ein Eigenwert von M E c nxn . Dann existiert ein iso, dass I>' - Miil ::; 2:#i IMijl· [Hinweis: Wahle iso, dass IXil = maxk IXkl, wenn x eine Eigenspalte zum Eigenwert >. ist.]

11) Berechne in den folgenden Fallen die Koeffizienten des PolynOlns p(z + X) in X. Verwende dafiir die in C4.8 empfohlene Aufstellung der Rechenoperationen.

p = X 5 , Z = 1

p = X4 + 2X3 - 3X2 - 4X + 1 , z = -1

p = X4 - 8X3 + 24X2 - 50X + 90 , z = 2

p = X4 + 2iX3 - (1 + i)X2 - 3X + 7 + i , z = -i

Dl. Lineare Riiume

12) Bestimme die Polarteile folgender Polynombriiche: 1

X(X2 _ 1)3 an den Stellen 0,1, -1;

X an den Stellen -1, i, -i;

(X + 1)(X2 + 1)2

1 d S II 1 1 V3. 1 V3. (X3 -1)3 an en te en '-"2 + 2 1, -"2 - 2 1 ;

585

X5 + 4X4 + 7X3 + 9X2 + 5X + 3 1 V3 . 1 V3 . (X2 + X + 1)(X + 1)3 an den Stellen -1, -"2 + 2 1, -"2 - 2 1 .

13) Bestimme in den folgenden Fallen den ganzen Teil von p/q und den Rest von p modulo q:

p = X 3 - 1, q = X + 1 ; p = X5 - 2X3 + X-I, q = X2 - 3X ; p = X 6 - 1, q = X 2 + X + 1 .

14) Bestimme die Partialbruchzerlegungen folgender Polynombriiche:

X5 X5 + X3 + X X 5X2 + 6X - 23 (X - 1)(X + 2)(X + 3)' (X - 1)(X2 + 1)' (X2 - 1)2' (X - 1)3 (X + 1)2(X - 2) .

15) Die Zahlen al, ... , an E C seien paarweise verschieden, die Zahlen al, ... , an beliebig. Zeige, dass

f(X) = al (X - a2)'" (X - an) + ... + an (X - at}··· (X - an-t) (al - a2) ... (al - an) (an - al) ... (al - an-I)

das einzige Polynom vom Grad :s; n - 1 ist so, dass f(ad = ai, Yi.

16) Sei (~) = 1 und (~) = ~X(X - 1) .. · (X - n + 1) fUr n E NI . a) Zeige, dass der Wert (~) von (~) an einer Stelle x E Z ebenfalls ganz ist. Kombi­natorische Interpretation? b) Zeige, dass (~ti) - (n~l) = (~) . c) Sei p E qX] ein Polynom so, dass p(z) E Z, Yz E Z. Zeige per Induktion nach dem Grad n von p und mit Hilfe von b), dass

p = Co (~) + el (~) + ... + en (~) mit Ci E Z, Yi.

17) Sei p E R[X] so, dass p(x) ~ 0, Yx E R. a) Zeige, dass vu(P) = Vu(p) , Yu E C, und dass vu(p) E 2Z, falls u E R. b) Schliesse aus a) und C5.4, dass p sich schreiben liisst als p = (q+ir)(q-ir) = q2 +r2 mit q, r E R[X]. Schreibe etwa 1 + X2 + X4 als Summe von 2 Quadraten.

Dl. Lineare Raume 1) Welche der folgenden Teilmengen von Rn sind linear?

{xERnl Xl>O}, {xERnl Xl+2x2+ .. ·+nXn=0}

{x E Rn I Xl = xn , {x E Rn I Xl + 2X2 + ... + nXn = I}

2) Welche der folgenden Teilmengen von (Z/3)3 sind linear?

{[a b e]T I a = e}, {[a b e]T I a = e2}, {[a b e]T I a = e3}

3) Untersuche, ob die folgenden Spaltenfolgen aus Rn frei sind: a) [1 I]T, [-3 2]T (n = 2) ;

586 Ubungstexte

b) [~ 5 171 T , [2 0 31T , [3 10 371 T (n = 3);

e) [1T ~ - 2 OlT, [0 0 1 51 T , [1T ~ - 1 51 T (n = 4) .

4) Fur welche Werte der Parameter sind die folgenden Spaltenfolgen aus en frei?

a) [x ylT, [z tl T (n = 2);

b) [1 + x 1 - xl T , [1 - x 1 + xl T (n = 2) ; e) [0 1 1 xl T , [x 0 lIlT [1 x 0 11 T , [1 1 x OlT (n = 4) .

5) Sei Meine der folgenden reellen Matrizen:

[10102] [111 1] [102] [220] 1 0 0 1 2 1 2 3 -1 2 1 4 1 1 0 1 0 -1 2 2 ' 1 4 9 1 ' 3 1 5 ' 10 1 1 1 0 -2 3 2 1 8 27 -1 4 1 6 -9 0 1

a) Bestimme fUr jedes M die Erkerbasen von 1m M und Ker M , sowie die Stufenbasen von (ImM)=. b) In welchem der 4 Riiume ImM liegt [1 2 2 21T? e) Wie sind diese vier Riiume dureh Inklusion geordnet?

6) Sei

[11111]

M= 12000 , 4 7 1 1 1

[1 2 3] N= 243

489 Bestimme Basen der Riiume 1m M , 1m N , 1m M n 1m N und 1m M + 1m N .

7) Sei

[2 -1 -1 0 0]

M = 1 0 -1 2 -2 , 5 -2 -3 2 -2

[1 2 0 -1] o 2 -2 -1 N = 1 2 0 -1 .

o -1 1 2 1 -1 3 2

Bestimme Basen der Riiume Ker M , 1m N , Ker M n 1m N und Ker M + 1m N .

8) a) Es seien d,n E N mit O:S d:S n und M E ocnx(n-d). Zeige, dass ImM genau dann ein Supplement von OC:I in OCn ist, wenn die Matrix

invertierbar ist. b) Sei .c ein linearer Teilraum von OCn der Dimension d und U eine invertierbare Matrix so, dass U.c = OC:I . Die Zuordnung

Ml--+lmU- 1 [ M ] ][n-d

liefert eine Bijektion von OCdx(n-d) auf die Menge der Supplemente von .c in OCn .

9) Sei OC = Q, ~, e oder Zip mit p =I- 2. a) Sei M E ocnxn so, dass M2 = ][n. Sei ferner V+ = {x E OCn I Mx = x}. Zeige, dass es genau ein Supplement V- von V+ in OCn gibt so, dass MV- c V- . Bestimme V+ und V- , wenn Mi,n+l-i = 1, Vi, und Mij = 0 sonst.

b) Sei L = [a ~] E (Z/2?X2. Zeige, dass L2 = ][2, dass {x E (Z/2? I Lx = x}

aber kein Supplement X in (Z/2? mit LX c X hat.

e) Sei N E ocnxn so, dass N 4 = ][n. Sei ferner

Dl. Lineare Riiume 587

Zeige, dass OCn freie Summe von W+, W- und W O ist. Bestimme diese Raume, wenn N i,n+1-i = (_l)n-i, Vi und N ij = 0 sonst.

10) a) Seien £ und M lineare Teilraume von OCn . Zeige, dass

(£ + M)= = £= n M= und (£ n M)= = £= + M= .

b) Sei M E ocmxn . Zeige, dass

(ImM)= ={yEOC1Xm l yM=O}=(KerMT)T,

(Ker M)= = {yM lyE OC1Xm} = (ImMT)T .

11) Sei pEN prim und n EN. a) Bestimme die Anzahl der Spalten von (7L/p)n, der Folgen N 1,d -; (7L/p)n, der freien Folgen, der Basen. b) Wieviele lineare Teilraume der Dimension d enthiilt (7L/p)n? c) Sei £ ein linearer Teilraum von (7L/p)n . Wieviele Supplemente hat £ in (7L/pt?

12) Sei n eine Folge no, nl ,n2 , ... , np naturlicher Zahlen (p 2: 1) und

(M(l), ... , M(p)) E ocnoxnl X ocnlxn2 X ... x ocnp-lxnp

eine zusammensetzbare MatrizenJolge der Grosse n. Folgere aus (A2, Ubung 16), dass die Raume OCni Basen ei1 , ei2 , ... ,eiti mit den folgenden Eigenschaften besitzen:

a) Fur jedes i 2: 1 und jedes jist M(i)eij null oder eine Basisspalte e(i-1)k. b) Aus M(i)eij = M(i)eit f= 0 folgt j = £.

13) Sei {O} = £0 C £1 C ... C £q eine aufsteigende Folge linearer Teilraume von OCm . Konstruiere eine Basis e1, ... ,em von OCm so, dass jeder Teilraum £i von einer 'Teilbasis' e1, ... ,ed(i) erzeugt wird.

14) Sei q E N 1 . Eine q-filtrierle Matrix (n,N) der Grosse mxn bestehe aus einer q-Folge naturlicher Zahlen nl, ... ,nq und einer Matrix N E OCmx Inl (Inl = nl + ... + n q ). Die Menge Mm,n dieser Matrizen werde mit einer Transformationsgruppe Gm,n versehen, die aus Bijektionen (n, N) f--> (n, U NV- 1 ) besteht. Dabei durchlauft U die Matrizen aus GLm(OC) und V die Matrizen der Blockgestalt

[

Vll V12 .,. V1,q-l v 1q 1 ~ .... ;~~. ::: .~2.'~~.1. ~:: mit Vii E GLni (OC) .

Entsprechend geben wir N die Blockform [N(l) ... N(q)] mit N(i) E ocmxni . a) Zeige, dass jede Bahn von Gm,n in Mm,n genau ein (n, T) mit

enthalt (Wie ublich haben wir Blocke unterschiedlicher Grosse gleich gross gezeichnet, und nicht markierte Blocke sind null).

588 Ubungstexte

b) Schliesse aus a), dass es fUr jede aufsteigende Foige {O} = £0 C £1 C ... C £q von linearen Teilriiumen von OCm ein U E GLm(OC) gibt so, dass jedes U Lei) die Form OC;;(i) hat (Vgl. Ubung 13).

15)* Seien p, q E f:h. Eine p x q- bifiltrierte Matrix (m, n, M) der Grasse m x n be­stehe aus zwei Foigen natiirlicher Zahlen m = (m1, ... , m p), n = (n1, ... , n q) und

aus einer Matrix M E OC1ml x Inl. Die Menge Mm,n dieser Matrizen wird mit einer Transformationsgruppe Gm,n versehen, die aus Bijektionen der Form

(m,n,M) ....... (m,n,UMV- 1 )

besteht. Dabei durchliiuft U die Matrizen der Blockform

[ Ul1 U 12 ... U 1,p-1 u1p 1 : .... ~~~.::: .~.2.'~~~ . ~:: mit Uii E GLmi (OC) .

und V die Blockformmatrizen von Ubung 14. Entsprechend schreiben wir M in Block­form mit Blacken Mi,j E OCmi Xnj .

a) Zeige per Induktion nach p, dass jede Bahn von Gm,n in Mm,n genau ein (m, n, S) mit

; . ,1+ I . i. !I~ I .. :: 'I": : '~ :::iJ:· : ... i.i· f:.·-i·

.. ..

. . . . I· .. · . . . ' 1' e ;. "T" ( . ~ ,-

enthiilt (Vgl. Ubung 14a).

\ jo.1':: ·L·: ·f · " ·t.,

b) Seien K1 C ... C K p- 1 C OCm und £1 C ... C £q-1 C OCn lineare Riiume. Sei femer M E OCm xn. Konstruiere Basen e = (e 1 , ... , em) und j = (11, ... , jn) von ocm

und OCn so, dass: - Jeder Teilraum von OCm (bzw. OCn) wird erzeugt von einer Teilbasis e 1 , ..• ,ec(i)

von e (bzw. j1, . .. , jd(j) von 1). - Fur jedes jist M jj null oder von der Form ei .

- Aus M ej = M ek =I 0 folgt j = k.

16)* Sei n = (n1, ... , n q) und 0 = (01, . .. , Op-1). Die Bijektionen

((n,M),(o,O» ....... ((n,UMV- 1 ),(0,UOW-1»

derart, dass (n,M) ....... (n,UMV- 1 ) zu Gm,n gehart und (0,0) ....... (0,UOW- 1 ) zu Gm,o, bilden eine Transformationsgruppe G auf der Produktmenge Mm,n x Mm,o

(Ubung 14). Zur Beschreibung der Bahnen definiere man die direkte Summe

((n + n' , P) , (0 + 0', Q) = ((n, M) , (0, 0» Ell ((n', M') , (0', 0'»

von zwei Paaren aus Mm,n x Mm,o und Mm',n' x Mm"o' vermage p(i) = M(i) EIlM,(i)

und Q(j) = O(j) Ell 0' (j) , 'ii, j .

D2. Affine Riiume 589

a)Bei festen p, q enthalt jede Bahn von G eine endliche direkte Summe von Paaren folgender Gestalt:

((8i , [1]), (8 j , [1))) ((0, ][0), (8j ,H ))

((0, I), (8 j , [1))) ((8i,H), (0,][0))

((8i, [1]), (0, I)) ((0, I), (O,I )

Dabei ist 8i definiert vermoge 81 = 1 und 8~ = 0 fUr i -I- k . [Hinweis: 1st ((n,M), (0,0)) gegeben, so reduziere man zunachst (0,0) auf die Nor­malform von Ubung 14a). 1st mi die Zeilenzahl der i-ten Blockzeile dieser Normalform und m die Folge der mi , so liefert die Matrix M', die sich bei der Reduktion aus M ergibt, ein (m, n, M') E Mm.n . Man reduziere diese bifiltrierte Matrix gemass 15a).J

b) Seien Ml C ... c Mq und 0 1 C ... C Op-l zwei aufsteigende Folgen von linearen Teilraumen von ][{m . Dann existiert eine Basis e1 , ••• , em von][(m so, dass jeder Teilraum Mi und jeder OJ von geeigneten Basisspalten ek erzeugt wird.

17)* a) Seien C, M, N lineare Teilraume des ][{m. Zeige, dass die 'Distributivgesetze'

und

cn (M +N) ~ (CnM) + (CnN)

C+(MnN) ~ (C+M)n(C+N) im allgemeinen nicht gelten, dass sie aber gelten, wenn einer der drei Raume C, M, N einen anderen enthalt. b) Seien Ml C ... c Mq und 0 1 C ... C Op-l zwei aufsteigende Folgen von linearen Teilraumen von ][(m . Sei M die kleinste Teilmenge von 2IRm, die aIle Mi, OJ enthalt und mit je zwei Raumen M, N deren Durchschnitt M nN und deren Summe M + N. Folgere aus Ubung 16b), dass die Distributivgesetze von a) gelten, wenn C,M,NE M.

Kapitel D2 1) Seien Ai, i E {a, b, c}, die affinen Abschliisse folgender Spaltenmengen von ]R3:

i = a: [2 0 O]T, [1 2 O]T, [2 1 3]T

i=b: [1 23)T, [32 lr i = c: [1 1 I]T, [1 -5 4)T, [2 -1 2]T

a) Bestimme die aufgestuften Ortsbasen der Ai und die Stufenbasen ihrer Glei­chungsraume. b) Bestimme die Normalform des affinen Teilraumpaares (Aa,Ab) sowie die des Tri­pels (Aa, A b , Ac).

2) Seien Ci , i E {a, b}, die linearen Teilraume von ]RIX6, die von den folgenden Zeilen erzeugt werden:

. { [4 2 5 7 1 -8), z = a: [3 9 7 1 8 -16],

i = b: [3 2 1 4 6 - 2],

[1 4 1 1 5 -4),

[7 1 1 6 1 -9J

[4 1 1 5 7 -10) ,

[2 3 4 5 6 -3)

[1 9 3 1 1 -7) a) Bestimme die Stufenbasen der Raume Ci sowie die aufgestuften Ortsbasen ihrer Nullraume in ]R5.

b) Bestimme die Normalform des affinen Teilraumpaares (Nul(Ca ), Nul(Cb».

3) Seien At, Bt , a) [1 1 O]T,

b) [2 0 I]T,

Ct die affinen Abschliisse folgender Spaltenmengen aus ]R3:

[1+t 1-2t I-t]T, [1-2t l+t I-tJT

[3-t 2+3t 2_t]T, [4+t 4-2t 3-2tJT

590 Ubungstexte

c) [2t 3t 1+2t]T, [l-t -2t 1+2t]T

Bestimme die Normalform des affinen Teilraumtripels (At,Bt,Ct ) und beschreibe ihre Variation, wenn t die Zahlengerade JR. durchlauft.

4) Seien Ai, i E {a, b}, die affinen Abschlusse folgender Spaltenmengen von JR.5:

. _ . { [1 3 2 1 2] T, [2 1 2 3 1] T, [0 5 2 -1 3] T, [-2 1 -1 2 0] T Z - a. [--2 -4 -3 3 _3]T, [-4 0 -3 -1 _l]T, [3 -2 1 5 _3]T

i = b: [1 -3 2 1 _2]T, [--2 1 -2 -3 l]T, [4 -7 6 5 _5]T, [3 2 1 -5 3]T

Sei ferner

Ac = {x E JR.5 1 Xl +X2+X3+X4+X5 = 1 und Xl-X2+X3-X4+X5 = -I}

a) Bestimme die aufgestuften Ortsbasen der Ai und die Stufenbasen ihrer Glei­chungsraume. b) Bestimme die Normalform des affinen Teilraumpaares (Aa,Ab) sowie die des Tri­pels (Aa, A b, Ac).

5) Stelle eine Liste von Normalformen der Punkteviertupel im JR.n auf.

6) Seien 'HI, ... , 'Hp affine Hyperebenen von JR.n (d.h. affine Teilraume der Dimension

n - 1) und 'H = U~~i'Hi ihre Vereinigung. Zeige, dass man vermoge

X rv y ~ [xy] n'H = 0

eine Aquivalenzrelation auf JR.n \ 'H definiert. Fur je zwei Spalten x f= y aus JR.n bezeichne man dabei mit [xy] die Strecke mit Endpunkten x, y:

[x,y] = {(1- t)x+ty I t E JR., 0::; t::; I}.

Bestimme die Anzahl der Aquivalenzklassen in den folgenden Fallen: a) n = 3, p = 8, 'Hi = {x E JR.3 I Ci1Xl + Ci2X2 + Ci3X3 = I}. Dabei durchlauft Ci E JR.3 die Spalten mit Eintragen ±1 . b)p=n, 'Hi={XEJR.nl Xi=O}. c) p = n+ 1, 'Hi = {x E JR.n I Xi = O}, falls i ::; n, 'Hn+l = {x E JR.n I E:~~ Xi = O}. d) p = n+1, 'Hi = {x E JR.n I Xi = O}, falls i::; n, 'Hn+l = {x E JR.n I E:~~ Xi = I}. e)* n = 4, p = 6, 'Hi = {x E JR.4 1 Xi = X4} und 'Hi+3 = {x E JR.4 1 Xi = -X4} , 1 ::; i ::; 3. [Hinweis: Schneide 'H mit den Hyperebenen R t = {x E JR.4 I X4 = t} . Untersuche, wie dieser Durchschnitt variiert, wenn t die Zahlengerade JR. durchlauft.]

7)* Auf der Produktmenge OCmxk X OCmxe x Mm •n (Dl, Ubung 14) betrachte man die Transformationsgruppe H der Bijektionen

(K,L,(n,N)) f-+ (UKS-I,ULT-I,(n,UNV- l ))

derart, dass (n,N) f-+ (n,UNV- l ) zu Gm •n gehort, S zu GLk(OC) und T zu GLe(OC). Zeige, dass jede Bahn von Heine endliche 'direkte Summe' von Tripeln der folgenden Gestalt enthtilt. Dabei gilt i, j E Nl •q , i < j, 81 = 1 und 15k = 0 fUr k f= i.

(I ,I , (0, I )) , ([1],1, (0,1)),

(H ,lIo, (0, lIo)) , (I , [1], (0, I )) ,

([1], I ,(8\ [1])) , (I, [1], (8\ [1])),

([i] , [~] ,(8i +8j , [6 ~])).

(lIo,H, (O,lIo)), (I ,I ,(8i , [1])),

([1], [1], (8\ [1])) ,

(lIo,lIo, W,H)), ([1], [1], (0,1)),

([i], [~], (8\ [6])),

D3. Konvexe Polyeder 591

[Hinwei8: 1st (K, L, (n, N)) gegeben, so reduziere man zunachst das Paar (L, (n, N)) auf Normalform gemass D1, Ubung 16. Die Einteilung dieser Normalform in Blockzei­len lasst sich auf die Transformierte K' von K iibertragen. Beschreibe, welche Zeile­numformungen von K' mit der Erhaltung der Normalform von (L, (n, N)) vertraglich sind. Zeige insbesondere, dass man durch Transposition eine Zusammensetzung K'T von Blockspalten bekommt, die man gemass D1, Ubung 16, auf Normalform reduzie­ren kann.]

8) Seien K,.c zwei lineare Teilraume von ][{m und Nl C ... C N q eine aufsteigende Folge solcher Teilraume. Folgere aus 7), dass

][{m = Vl EEl ••• EEl Vs

sich als freie Summe linearer Teilraume Vi der Dimension :S 2 schreiben lasst so, dass jedes X E {K, .c,Nl , ... ,Nq-l} die freie Summe der Durchschnitte X n Vi ist.

D3. Konvexe Polyeder

1) Bestimme, wenn sie existieren, die Kanten der asymptotischen Kegel und die Ecken der Losungsmengen folgender U ngleichungen: a) 2Xl + X2 ~ 1, 2Xl - 4X2 :S 1, -Xl + 2X2 :S 2, Xl + X2 ~ ~, 4Xl + X2 ~ 1 .

b) 2Xl + 3X2 ~ 4, -3Xl + X2 ~ 5, Xl - 4X2 ~ 2 .

c) -2Xl+X2:S 1, xl-2x2+X3:S 0, -X2+2x3 ~ 1 Xl+X3:S 1 -2Xl-4x2+6x3:S 5.

d) Xl + X3 :S 1, -Xl + X2 - X3 :S 1, -Xl + 2X2 - X3 ~ 2, -Xl + 3X2 - X3 :S 4.

e) -xl+2x2-3x3 :S1, 2Xl+X2-X3 ~2, -3Xl+X2-X3 :S3, -7Xl+4x2-6x3 :S2, -16xl + 7X2 - 9X3 :S 10.

f) Xl +X2 +2X3 +3X4 ~ 1, Xl +X3 +X4 :S 1, X2 +X3 +2X4 :S 1, Xl +2X3 +2X4 ~ 1, Xl - X2 + X3 - X4 :S 1, Xl + X2 + 3X3 + 5X4 :S 1 .

g) Xl + X2 + 2X3 + 3X4 ~ 1, Xl + X3 + X4 :S 1, X2 + X3 + 2X4 :S 1, Xl + 2X3 + 2X4 ~ 1, Xl - X2 + X3 - X4 :S 1 .

h) -2Xl + X3 :S 1, 2X2 - X3 ~ 1, Xl + X2 - 2X3 + X4 :S 2, X4 - 2X5 :S 1, -Xl - X2 + X4 ~ 1, -X3 + 2X4 - X5 ~ 1, 2Xl + 2X2 - 4X3 + 6X4 - 4X5 :S 3.

i) 1 :S 2Xl - X4 :S 2, -1 :S 2X2 - X3 :S 1, 2:S -X2 + 2X3 - X4 :S 3, -3:S -Xl - X3 + 2X4 - X5 :S -1, O:S -X4 + 2X5 - X6 :S 1, -2:S X5 + 2X6 :S 3.

2) Beschreibe die folgenden konvexen Polyeder (pl, ... ,pT) + L:;~~ ffi.+ w j als Losungs­mengen linearer Ungleichungen.

a) r = 5, pi = [~] , [~] , [;] , [~] , [i] ; 8 = 3, w j = [-n ' [i] , [~] b)r=7, pi= U], [-~], [1], [~], [~], [1~]' [=~]; 8=0.

c)r=7, pi= [n, [!], [J], [~], [-~], [~], [-i] 8=0.

d)r~l,p'~m ;,~8,uJ~,',,',,',,', nl' [-!l' [-il' Ul 3) Seien a, b, c, d, e Spalten aus ffi.4 und ¢> die Funktion

592 Ubungstexte

a) Wir set zen voraus, dass IR4 der affine Abschluss von {a, b, c, d, e} ist. Zeige, dass dies zur Bedingung ¢(e) 1= 0 aquivalent ist. b) Wir setzen auch voraus, dass ¢( e) > 0, d.h. dass die Basen e1 , e2 , e3 , e4 und b-a, c-a, d-a, e-a von IR4 'gleichorientiert' sind. Beschreibe den konvexen Abschluss (a,b,c,d,e,J) mit f = -a+Hb+c+d+e) als Losungsmenge linearer Ungleichungen. [Hinweis: Eine dieser Ungleichungen ware etwa ¢(x) 20.J 4} (C. Caratheodory) a) Sei A c IRm und x E ~aEA IR+a eine positive Linearkombi­nation von Spalten aus A. Dann ist x eine positive Linearkombination von hochstens m Spalten aus A, d.h. es gibt Zahlen Si E IR+ und Spalten ai E A mit 1 :S i :S £ :S m

d ",i=l i un x = L..i=l Sia .

[Hinweis: Sei x = ~!~~ Siai mit Si E IR+ und a i E A, wobei r > mist. Dann ist das konvexe Polyeder

P = {z E IRT I x = 2:ziai und Zi 20, \til i=l

nichtleer und ausspringend. In einem Eckpunkt Z E P sind mindestens r - m Eintrage Zi null.] b) Sei B C IRn und y E (B) eine Konvexkombination von Spalten aus B. Dann ist y eine Konvexkombination von hochstens n + 1 Spalten aus B .

5} Sei M' E IRmn die Spalte, die man aus einer Matrix M E IRmxn erhalt, indem man die zweite Spalte M.2 von Munter die erste M.1 schreibt, M.3 unter M. 2 ,

... Man sagt dann, dass eine Teilmenge P von IRmxn ein konvexes Polyeder ist, wenn P' = {M' I M E P} ein konvexes Polyeder in IRmn ist. Man sagt M sei ein Eckpunkt von P, wenn M' ein Eckpunkt von P' ist ... a} MEIRnxn heisst bistochastisch, wenn Mij 2 0, ~~~~ Mkj = 1 und ~~~~ Mil = 1, \ti,j. Zeige, dass die bistochastischen Matrizen von IRnxn ein Poly top Bn der Dimen­sion n 2 - 2n + 1 bilden, deren Eckpunkte die Permutationsmatrizen der Grosse n x n sind. [Hinweis: In einem Eckpunkt M gilt Mij = 0 fUr mindestens n 2 - 2n + 1 Paare (i, j). Folglich existiert eine Spalte mit einem einzigen Eintrag Mij 1= O. Es folgt, dass Mik = 0 fUr k 1= j ... J b) In Wunschland leben n Junggesellen und n Junggesellinnen. Jede Junggesellin ist mit m Junggesellen befreundet und jeder Junggeselle mit m Junggesellinnen. Die Re­lation 'Freundschaft' ist symmetrisch. Zeige, dass man die Heiratsplanung so gestalten kann, dass n freundschaftliche Bunde fUrs Leben geschlossen werden. [Hinweis: Be­trachte die Matrix F E IRnxn so, dass Fij = 11m, wenn i mit j befreundet ist, und Fij = 0 sonst. Drucke aus, dass F eine Konvexkombination von Permutationsmatrizen ist.]

6} n Uberschusslander haben Uberschusse von U1, ... , Un Tonnen Weizen. m De­fizitlander melden Fehlbetrage von d1 , ... , dm Tonnen, wobei ~i di = ~j Uj. Die Transportkosten von einer Tonne Weizen vom Uberschussland j zum Defizitland i betragen Cij Euros. Die Liefermengen Xij von j nach i sind so zu bestimmen, dass alle Defizite gedeckt werden und dass der Transportkostengesamtbetrag ~i,j CijXij

minimiert wird. Gesucht ist also das Minimum der Funktion x f-t ~i,j CijXij auf dem konvexen Polyeder

D3. Konvexe Polyeder 593

P .. = {x E TIJ)mXn I > 0 " "d w··} IN. Xij _ 'L Xkj = Uj, LXii = i, v2, J . k i

a) Zeige, dass das gesuchte Minimum in einem Eckpunkt von P erreicht wird. b) Sei etwa m 2: n. Fiir jeden Eckpunkt x E P gibt es dann ein Defizitland i, das nur von einem Uberschussland j beliefert wird (Xij = di, Xii = 0 fUr f i= j). [Hinweis: Vergleiche mit Ubung 5a).) c) Zeige, dass der folgende Verteilungsmodus einen Eckpunkt von P liefert: Uber­schussland 1 liefere moglichst viel an Defizitland 1, dann moglichst viel vom ver­bleibenden Betrag an Defizitland 2, dann 'solang's hatt' an 3, .... Danach liefere Uberschussland 2 moglichst viel an das erste Defizitland, dessen Bediirfnisse Uber­schussland 1 nicht mehr decken konnte ....

7)* a) Sei P C lR.n ein konvexes Polyeder und f : lR.n --> lR.m, X f-+ M x + c eine affine Abbildung. Zeige, dass f(P) genau dann ausspringend ist, wenn Poe n Ker Meine Facette des asymptotischen Kegels Poe ist. [Hinweis: Verwende Satz D3.10.) b) Seien K C lR.n ein ausspringender konvexer polyedrischer Kegel der Dimension n und A C lR.n ein affiner Teilraum so, dass AnK beschrankt ist. Dann liegt A in einem affinen Teilraum B der Dimension n - 1 so, dass B n K beschrankt ist. [Hinweis: Fiihre den Beweis auf den Fall dim A = n - 2 zuriick, indem du K mit linearen Teilraumen schneidest, die A enthalten. Wahle dann ein Supplement S von --,> --,>

A in lR.n und projiziere auf Slangs A. Zeige, dass das Bild von K ausspringend ist, weil An K beschrankt ist.)

8)* Seien P c lR.n ein ausspringendes konvexes Polyeder mit m :S n Facetten der Dimension dim P-1, Kn = {x E lR.n I Xi 2: 0, Vi} und \7n = {x E K I ~:~~ Xi :S I}. a) Zeige, dass es ein U E AGn(l~.) gibt so, dass UP = UP n Kn. b) 1st P C lR.n beschrankt und hat m :S n + 1 Facetten der Dimension dim P - 1 , so existiert ein V E AGn(lR.) so, dass VP = VP n \7n .

[Hinweis: Sei etwa m = n + 1. Identifiziere lR.n mit lR.;-:+1 = {x E lR.n+11 Xn+l = O}. Nach a) gibt es ein U E AGn+1(lR.) so, dass UP = UpnKn+1 . Nach Ubung 7) gibt es einen affinen Teilraum B :::> UP der Dimension n mit beschranktem B n Kn+1 . Fiihre nun B n K n +1 auf \7 n zuriick.)

9)* Sei Meine endliche Menge, etwa M = N1,m, und :F die Menge der Funktionen d: M x M --> lR. so, dass d(i, i) = 0 und d(i,j) = dU, i), Vi,j EM. a) Zeige, dass die Abbildungen

v: {(i,j) EM x M I i < j} --> N1,m(m-l)/2, (i,j) f-+ m(i - 1) _ i(i~l) + j und :F --> lR.m (m-l)/2, d f-+ d" , mit dk = d(v-1(k» , Vk E N1,m(m-l)/2, bijektiv sind. In der Folge sagen wir, dass eine Teilmenge K C :F ein konvexer polyedrischer Kegel ist, wenn dies fUr K" := {d" IdE K} gilt. Entsprechend heisst £. eine Kante von K, wenn £." eine Kante von K" ist .... b) Eine Funktion d E :F heisst Priimetrik auf M, wenn d( i, k) ::; d( i, j) + dU, k) , Vi, j, k EM. Zeige, dass die Prametriken einen ausspringenden konvexen polyedri­schen Kegel Km von :F der Dimension m(m - 1)/2 bilden. Beschreibe K und seine Kanten, wenn m = 2, 3 . c) Zu jeder Zerlegung Z = {X,Y} von M in zwei nichtleere Teilmengen X und Y und zu jedem t E lR.+ gehOrt eine Prametrik df auf M so, dass d( i, j) = t fUr (i,j) E X x Y u Y x X und d(i,j) = 0 sonst. Zeige, dass £.Z := {df I t E lR.+} eine Kante von Km ist.

594 Ubungstexte

d) Jede Kante von lC4 hat die Gestalt £.Z fUr ein geeignetes Z. Zeige, dass je zwei Kanten von lC4 eine SeitenfHiche beranden. Beschreibe diese im einzelnen. e) Zu jeder Zweierteilmenge {i, j} C M und jedem t E lR.+ gehOrt eine Prametrik d~,j auf M so, dass d~,j(i,k) = d~,j(j,k) = t und d~,j(i,j) = d~,j(k,£) = 2t, falls k i- £ und {k, £} n {i, j} = 0. Zeige, dass £.i,j := {d:,j I t E lR.+} fUr m ~ 5 eine Kante von lCm ist. f) (C. Schaepman) Zeige, dass jede Kante von lC5 die Gestalt £.Z oder £.i,j hat. Berechne die Anzahl der Kanten von lC5 •

[Hinweis: Die Kante £. sei nicht von der Form £.Z . Als Kante wird £. durch 9 Gleichun­gen bestimmt, die aus den 30 Dreiecksungleichungen gewonnen werden, indem man das Zeichen ::; durch = ersetzt. Zu diesen 9 Gleichungen liefert jede Dreierteilmenge {k, £, n} C M hOchstens eine Gleichung. Somit gibt es genau ein {k, £, n} , das keinen Beitrag zu den 9 Gleichungen liefert. Setze {i, j} = M \ {k, £, n} und bemerke, dass die 9 Gleichungen Seitenflachen von Prametriken auf den Mengen {i, j, £, n}, {i, j, k, n} und {i, j, k, £} bestimmen. Wende dann die in d) gewonnene Beschreibung der Seiten­flachen an.] g) Jede Permutation (J" von N 1,5 liefert eine Bijektion (J"' : lC5 :::::!t lC5 so, dass (J"' (d) (i, j) = d( (J" -1 (i), (J" -1 (j)) . Dabei werden Kanten auf Kanten abgebildet. Beschreibe die Bah­nen der somit erhaltenen Transformationsgruppe der Kantenmenge.

10) (Simplex-Algorithmus: Ein gutmutiger Fall) 1m folgenden bedeute eine Unglei­chung x ::; y zwischen zwei Spalten x, y E lR.n , dass Xi ::; Yi, Vi E N1,n' Unter allen x E lR.3 , die den Ungleichungen x ~ 0 und

[ 3 -1 2] [ 7 ] -2 4 0 x::; 12 -4 3 8 10

geniigen, sei ein x mit minimalem [1 -3 2]x = xl-3x2+2x3 gesucht. DafUr setze man Yi = Xi und fUhre drei 'Puffervariable' Y4, Y5, Y6 ein, so dass ein neues 'normiertes' Problem entsteht: Gesucht sei y E lR.6 mit y ~ 0 ,

[ 3 -1 2 1 00] [ 7 ]

Ay:= -2 4 0 0 lOy = 12 =: b -4 3 8 0 0 1 10

und minimalem cy := [1 -3 2 0 0 O]y = Y1 - 3Y2 + 2Y3 .

a) Die Ungleichungen y ~ 0 und Ay = b definieren ein konvexes Polyeder P C lR.6 .

Die Setzung x = [Y1 Y2 Y3] = 0 liefert einen Eckpunkt yO = [0 0 0 7 12 lO]T von P mit cyO = O. Bestimme die Kanten von P durch yO .

[Hinweis: Die Variablen Y1, Y2, Y3 sind null fUr y = yO . Lass eine davon variieren, Y2 etwa. Dann gilt Y1 = Y3 = 0, -Y2 + Y4 = 7, 4Y2 + Y5 = 12 und 3Y2 + Y6 = 10. Wegen Y2 ~ 0 bleibt Y4 ~ O. Die Bedingungen Y5 ~ 0 und Y6 ~ 0 erfordern aber, dass Y2 ::; 12/4 = 3 und Y2 ::; 10/3 = 3.33 .... Somit erhalt man eine beschrankte Kante, deren Eckpunkte yO und y1 fUr Y2 = 0 und Y2 = 3 erreicht werden.]

b) 1m Eckpunkt y1 gilt cy1 = -9 < 0 = cyO . Ersetze deshalb yO durch y1 und die

Puffervariable Y5 durch Y2. Forme die Koeffizientenmatrix [ ~1-8] urn mit Hilfe von

Zeilenscherungen, die die 2. Spalte in e2 verwandeln, die 4. Spalte e1 und die 6. Spalte e3 aber festlassen. Somit erhalst du

D3. Konvexe Polyeder 595

5 021 1 o -10 "2 4

[*J 1 100 1 0 -3 -"2 4 5 080 3 1 -1 -"2 -4 1 020 3 0 -9 -"2 4

Zeige, dass P auch durch y 2 0 und A' y = b' beschrieben werden kann und dass auf P die Gleichung cy = e'y + d' gilt. c) Bestimme die Kanten von P durch yl . Die erste Kante, bei der Yl zwischen 0 und 4 variiert, wird durch einen Eckpunkt y2 mit ey2 = e'y2 + d' = -11 berandet.

d) Ersetze die Puffervariable Y4 durch Yl und die Koeffizientenmatrix [ ~'I-~:] durch

die Zeilenumformung 1 0 4 2 1 0 -4 "5 "5 10

[*] o 1 2 1 3 0 -5 "5 "5 10

o 0 10 1 1 1 -11 -"2

00 ¥ i 4 o -11 "5

Zeige, dass P durch y 2 0 und A" y = bIt beschrieben werden kann und dass auf P die Gleichung cy = e"y + d" gilt. e) AIle Eintrage e;' sind 2 O. Das Minimum von e"y+d" auf den Kanten von P durch y2 wird deshalb in y2 erreicht. Schliesse daraus, dass -11 = e"y2 + d" das Minimum von cy auf P ist.

11)* (Simplex-Algorithmus: Die Regel von Bland) Sei A E JRmxn mit RangA = m, bE JRm, e E JR1xn, dE JR. Unter allen x E JRn, die den Bedingungen x 2 0, Ax = b geniigen, wird ein x mit minimalem ex + d gesucht. Sei A der affine Raum {x E JRn I Ax = b} , P das konvexe Polyeder {x E A I x 2 O} , das wir als nichtleer voraussetzen. Wir nennen eine Teilmenge I C N 1 ,n statthaft, wenn die Funktionen A -> JR, X f--+ Xi mit i E I die Koordinatenfunktionen einer Ortsbasis von A sind und der Ursprung dieser Ortsbasis ein Eckpunkt von P ist. Wir sagen dann auch, dass die Ortsbasis statthaft ist. a) Zeige, dass jeder Eckpunkt a E P sich zu einer statthaften Ortsbasis erganzen liisst. Fiir das Transport-Problem etwa CObung 6) ist die Konstruktion einer statthaften Indexmenge damit sichergestellt. b) Sei I C N 1,n statthaft und P = N 1,n \ I. Wir nennen die Koeffizientenmatrix

[ ~ I-~] I-normieri, wenn [~:P J = eU(p) fUr eine geeignete Bijektion (]" : P ~ N 1 ,m

und fUr jedes pEP gilt. Zeige, dass es stets ein U E GLm+1 (JR) mit U.m +1 = em +1

gibt so, dass U [ ~ I-S] I-normiert ist.

c) Der Simplex-Algorithmus startet mit einem statthaften I C N 1 ,n und einer 1-normierten Koeffizientenmatrix. Als Beispiel diene uns die Matrix

[ 0.5 -5.5 -2.5 9 1 0 0 0]

[AI-S] _ 0.5 -1.5 -0.5 1 0 1 0 0 e - 1 0 0 0 0 0 1 -1

-10 57 9 24 0 0 0 0

mit I = {I, 2, 3, 4}. Hier ist e "l. O. 1m Simplex-Algorithmus versucht man deshalb, I durch eine 'bessere' statthafte Indexmenge II zu ersetzen. 1m Verfahren von Bland

596 Ubungstexte

wahlt man zu diesem Zweck das kleinste i E [ mit Ci < 0 und das kleinste j (j. [ mit Au(j)i > 0 und bu(j)/Au(j)i = min{bu(p)/Au(P)i I p (j. [ und Au(p)i > O} (0" wie in b) . Danach setzt man [I = (I \ {i}) U {j} und formt die Koeffizientenmatrix zu einer [1-normierten urn. Priife im Falle unseres Beispiels nach, dass [I = {2, 3, 4, 5} gilt und dass

[ 1 -11 -5 18 2 0 0 0 ]

A l _b1 0 4 2 -8 -1 1 0 0 [%J = 0 11 5 -18 -2 0 1 -1 o -53 -41 204 20 0 0 0

die neue Koeffizientenmatrix ist. Diese hat noch den alten Ursprung: Der Wert von ex + dim Ursprung ist nicht kleiner geworden. d) Es gilt aber wieder c1 l O. Aus [I konstruieren wir deshalb eine neue statthafte Indexmenge [2 gemass der Vorschrift von Bland, nach [2 dann ein [3 .... Priife nach, dass man nach dem fiinften Schritt die Indexmenge [5 = {I, 2, 3, 6} und die folgende Koeffizientenmatrix erhliJt:

[ -4 8 2 0 1 -9 0 0 ]

[A: I-b:] _ 0.5 -1.5 -0.5 1 0 1 0 0 c d - 1 0 0 0 0 0 1 -1

-22 93 21 0 0 -24 0 0

e) Nach 2 weiteren Schritten ist man am Ziel: Die Indexmenge ist [7 = {2, 4, 6, 7}, die Koeffizientenmatrix

A7 _b7 1 0 0 0 0 0 1 -1 [ 0 2 0 4 1 -5 0 0]

[%J = 0 3 1 -2 0 -2 1 -1 ' o 30 0 42 0 18 1 -1

der Ursprung [1 0 1 0 0 0 O]T. Der Wert von ex + d ist -1; zeige, dass dies das gesuchte Minimum ist.

[Bemerkung: Die Vorschrift von Bland fiihrt stets zum Ziel nach endlich vielen Schritten (Siehe dazu V. Chvatal, Linear Programming, Chap. 3, Freeman and Com­pany, NY (1983)). Ihre Bedeutung ist vor allem eine theoretische, denn sie ist anfallig auf Rundungsfehler. Beim Ubergang von [ zu [I wahlt man in der Praxis, anstelle des kleinsten i mit Ci < 0, ein k mit Ck < 0 und einem moglichst grossen ICkl. Diese Praxis scheitert aber beim Ubergang von [5 zu [6, weil sie aus [5 das urspriingliche [ mit der urspriinglichen Koeffizientenmatrix konstruieren wiirde. Das Beispiel geht auf K.T. Marshall, J.W. Suurballe und V. Chvatal zuriick.]

12)* (Die DualiUitssiitze der Linearen Optimierung) 1m primiiren Problem sei ein A E IRmxn gegeben, ein b E IRm und ein C E IRlxn; gesucht sei ein x E IRn mit x :2: 0, Ax = b und kleinstmoglichem ex. Zu diesem Zweck setzen wir

P = {x E IRn I x:2: 0 und Ax = b},

und wir vereinbaren, dass min{ ex I x E P} = +00 , wenn P = 0. a) Sei JL E IR. Zeige, dass die Ungleichung JL < min{ ex I x E P} aquivalent ist zu (I) :

:3z E 1R1xn , :3y E 1R1xm , :3, E IR so, dass z :2: 0, ,:2: 0 und

-1 = zx + y(Ax - b) + ,( -ex + JL), "Ix E IRn

[Hinweis: Verwende D3.13, Kor. zu Satz 2.] b) Zeige, dass (I) aquivalent ist zu (II) :

D4. Quadriken 597

3y E 1R1xm, 3')' E IR so, dass ')' 2: 0, yA:::; ')'C und yb > ')'1"

c) 1m dualen Problem wird ein y E 1R1xm mit yA :::; c und grosstmoglichem yb gesucht. Zeige, dass I" < max{yb lyE 1R1xm und yA :::; c} aquivalent ist zu (III):

3y E 1R1xm , 3')' E IR so, dass ')' > 0, yA:::; ,c und yb > ')'1"

d) Schliesse aus a), b) und c), dass

max{yb lyE 1R1xm und yA:::; c} :::; min{cx I x E IRn , x 2: 0 und Ax = b}.

e) Existiert ein z E 1R1xm mit zA :::; c, so gilt

max{yb lyE 1R1xm und yA:::; c} = min{cx I x E IRn , x 2: 0 und Ax = b}.

[Hinweis: Zeige, dass (II) =? (III): Aus (II) mit')' = 0 folgen namlich (l-c)yA+czA :::; cc und (1- c)yb+czb > EI", wenn 0 < c < 1 und (1- c)yb/c > I" - zb.] f) Zeige 'in dualer Weise', dass

max{yb lyE 1R1xm und yA :::; c} = min{cx I x E IRn , x 2: 0 und Ax = b},

wenn P =I- 0.

D4. Quadriken

In diesem K apitel bezeichnet K einen K orper so, dass 1+1 =I- 0 .

1) Bestimme die Matrizen der folgenden quadratrischen Formen in den natiirlichen Basen von IRn :

a) q(x) = xi + x~ + x~ + x~ - XIX2 - X2X3 - X3X4 - X4Xl (n = 4) . b) q(x) = xi + x~ + x~ + x~ + xg - XIX2 - XIX3 - XIX4 - XIX5 (n = 5) . c) q(x) = xi + x~ + x~ + x~ + xg + x~ + x? - XIX2 - X2X3 - XIX4 - X4X5 - XIX6 - X6X7 (n = 7).

2) Bestimme Rang und Tragheitsindex folgender quadratischer Formen auf IRn :

a) q(x) = xi + x~ - 3XIX2 . b) q(x) = xi + x~ + x~ - X2X3 - XIX3 - XIX2 . c) q(x) = xi + x~ + x~ + x~ - XIX2 - XIX3 - XIX4 . d) q(x) = xi + x~ + x~ + x~ + xg - XIX2 - X2Xa - XaX4 - X4X5 . e) q(x) = xi + x~ + x~ + x~ + xg - XIX2 - X2X3 - X3X4 - X4X5 - X5Xl . f) q(x) = xi + x~ + x~ + x~ + xg - XIX2 - X2X3 - X3X4 - X3X5 . g) q(x) = xi + x~ + x~ + x~ + xg - XIX2 - XIX3 - XIX4 - XIX5. h) q(x) = xi + x~ + x~ + x~ + xg + x~ - XIX2 - X2X3 - XIX4 - X4X5 - XIX6 . i) q(x) = xi + x~ + x~ + x~ + xg + x~ - XIX2 - XIXa - XIX4 - XIX5 - XIX6 . j) q(x) = xi +x~ +x~ +x~ +x~ +x~+x? -XIX2 -X2X3 -XIX4 -X4X5 -XIX6 -X6X7.

k) q(x) = L!~~ xr + Li<k XiXk . 1) q(x) = Li<k XiXk .

3) Es seien a > 0, b> 0, E die Ellipse ([x y]T E 1R2 1 (x2/a2) + (y2/b2) = I} und q : C3 -+ C die quadratische Form [x y z]T f-t (x2/a2) + (y2/b2) - Z2 . Zeige, dass [u v]T E 1R2 genau dann ein Brennpunkt der Ellipse E ist, wenn die Einschrankung von q auf qu v l]T Eli q1 i O]T eine quadratische Form vom Rang 1 ist.

4) Eine harmonische Teilung von K2 ist eine Folge (~h, (h, 93, 94) von 4 verschiedenen linearen Teilraumen der Dimension 1 so, dass 93 und 94 orthogonal sind beziiglich der quadratischen Formen q mit ql91 = 0 und ql92 = O.

598 Ubungstexte

a) Sei ~h = OC[!f] , Vi. Fur welche Werte der gi ist (~h, Q2, Q3, Q4) eine harmonische

Teilung? b) Zeige, dass mit (Ql, Q2, Q3, Q4) auch (Q3, Q4, Ql, Q2) eine harmonische Teilung ist.

5) Seien z\ ... , zs+t E lRlxn. Zeige, dass die quadratische Form x ~ l::!:::~(ZiX? -l::;:::i(zs+jx? auflRn einen Tdigheitsgrad S that. [Hinweis: Siehe D4.5, Beweis der Eindeutigkeitsaussage.]

6) Sei q eine quadratische Form auf OCn , Q die Matrix von q in der naturlichen Basis und V E ocnxn . a) Zeige, dass die folgenden Bedingungen aquivalent sind: (i) q(Vx) = q(x) , "Ix E OCn .

(ii) qp(Vx, Vy) = qp(x, y), "Ix, y E OCn . (iii) VT QV = Q. b) Hat q den Rang n, so implizieren die Bedingungen (i)-(iii) von a), dass det V = ±1. Insbesondere ist V dann invertierbar. c) Sei r der Rang von q und {x E OCn I Xr+i = 0, Vi E N1,n-r} der Kern. Zeige, dass

Q die Blockform [~ 8] mit P E GLr(OC) und pT = P hat. Schreibt man V in der

Blockform [~ Z] mit A E ocrxr , so gelten die Bedingungen (i)-(iii) von a) genau

dann, wenn AT P A = P und B = O. Die Bedingungen implizieren, dass det A = ±l. d) Die Spalte v E OCn sei nicht isotrop: q( v) i= O. Zeige, dass die' Spiegelung'

a v :ocn---+ocn , x~x- q(2v )qp(v,x)v

mit Richtungsspalte v die Matrix ~v = ][n - q(2v) vv T Q in der naturlichen Basis hat.

e) Eine Matrix V E ocnxn heisst q-orthogonal, wenn sie invertierbar ist und den aquivalenten Bedingungen (i)-(iii) von a) genugt. Zeige, dass die 'Spiegelungsmatrix' ~v von d) q-orthogonal ist und dass ~~ = ][n .

f) Sei x i= y E OCn . Es existiert genau dann eine Spiegelung a v mit a( x) = y, wenn q(x) = q(y) i= qp(x, y). [Hinweis: Versuche es mit v = x - y.] g) Sei x i= y E OCn mit q(x) = q(y) i= O. Dann existiert eine q-orthogonale Matrix V so, dass y = V x. Dabei ist V eine Spiegelungsmatrix ~v oder ein Produkt von zwei Spiegelungsmatrizen.

7) a) Zeige, dass On(lR) fUr n ~ 1 aus zwei Wegaquivalenzklassen besteht (B3, Ubung 6). Die eine davon ist die spezielle orthogonale Gruppe SOn(lR) = On(lR) n SLn(lR). [Hinweis: Benutze etwa Korollar C3.13.] b) Beschreibe die einzelnen Elemente von 02(lR) . Zeige, dass die Spiegelungsmatrizen zu q : [x y]T ~ x 2 + y2 eine Wegaquivalenzklasse von 02(lR) bilden. c) Zeige, dass es fUr je zwei x, y E lR2 eine Spiegelungsmatrix ~v (Ubung 6) mit y = ~vx gibt.

8) Sei q : lR2 ---+ lR die quadratische Form x ~ xi - x~ und O2(1,1) die Menge der q-orthogonalen Matrizen. a) Zeige, dass die Matrizen

[ cosh t sinh t ] sinht cosht ' t E lR,

eine Wegaquivalenzklasse von O2(1,1) bilden. Bestimme die einzelnen Elemente der drei anderen Wegaquivalenzklassen. Zeige, dass die Spiegelungsmatrizen zwei solche Klassen bilden.

D4. Quadriken 599

b) Zeige, dass q(x) = q(y) =f. 0 die Existenz einer Spiegelungsmatrix Ev mit y = Evx impliziert.

9) Sei q : ~2 -+ ~ die quadratische Form x f-+ x~ und O2 (1,0) die Menge der q­orthogonalen Matrizen. a) Beschreibe die 4 Wegaquivalenzklassen von O2 (1,0) . Zeige, dass die Spiegelungs­matrizen CUbung 6) in einer dieser Klassen liegen. b) Fur jedes x E ~2 gibt es unendlich viele y E ~2 mit q(y) = q(x) so, dass keine Spiegelungsmatrix Ev mit y = Evx existiert.

10) Sei q : ~n -+ ~ die quadratische Form

x f-+ x~ + ... + x; - X~-t+l - ... - x~ , (n 2: 1, O:S S + t :S n) ,

und On(S, t) die Menge der q-orthogonalen Matrizen. a) Zeige, dass On(S, t) aus den Matrizen der Grosse n X n mit folgender Blockform

besteht. b) Die Bijektionen

[A 0 B] {A E ~'x', F E GLn-.-t(~), EFG, ATA-CTC=lI.,

D T D - B T B = lit , COD ATB=CTD,

~nxp ~~nxp, M f-+ UMV- 1 , mit U E On(S, t), V E GLp(~)

bilden eine Transformationsgruppe G von ~nxp . Uberprufe die folgenden Gleichungen und zeige, dass die Matrizen der Grossen 4 x 4 und 3 x 3 in 0 4 (2,2) , 0 4 (2,1) und 0 3 (1,2) liegen:

c) Zeige, dass jede Bahn von G eine Matrix der in Fig. 1 dargestellten Form enthiilt.

Fig. 1

600 Ubungstexte

[Hinweis: Fiihre eine 1nduktion nach n: Enthalt ME lRnxp eine Spalte x E lRn mit q(x) > 0, so diirfen wir, modulo Spaltenstreckung und Spaltenpermutation, anneh­men, dass q(M.d = 1. Mittels einer oder zweier Spiegelungen verwandeln wir dann M.l in el (Ubung 6) und annullieren die Eintrage M lj , j ?: 1 , vermoge Spaltensche­rungen. Somit ist das Problem auf Mll\l zuriickgefiihrt. Analog verfahrt man, wenn q(x)<O. 1st jede Spalte isotrop, liegt aber x = M. l etwa nicht im Kern von q, so annulliert man die Eintrage Xs+l, ... , Xn-t mittels Zeilenscherungen (siehe a) und reduziert [Xl ... Xs 0 ... O]T auf e l , [0 ... 0 Xn-t+l ... ,xn ] auf en mittels Spiegelungen. Da­nach annulliere man Mnj , j ?: 2. Werden damit auch alle M lj annulliert, so ist man auf die Matrix M' zuriickgefiihrt, die sich aus M durch Streichen der erst en Spalte sowie der erst en und der letzten Zeile ergibt. Sonst erhalt man wieder eine Spalte y mit q(y) > 0 ... ] d) Sei JC der Kern von q, Ln die Menge aller linearen Teilraume von lRn . Die Bijektio­nen ,C f--+ V,C , V E On (S, t), bilden eine Transformationsgruppe von Ln . Folgere aus c), dass zwei lineare Teilraume ,C und M genau dann in derselben Bahn liegen, wenn dim'c = dim M, dim'c n JC = dim M n JC und wenn Range und Tragheitsindexe von q!,C und q!M iibereinstimmen. e) Folgere aus d), dass die Matrizen unserer Figur eine vollstandige Liste von Nor­malformen bilden. Bestimme die Normalformen der Matrizen der Grosse 4 x 2 von Abschnitt b).

11)* Sei q : lRn ~ lR die quadratische Form von Ubung 10. a) Bestimme die Matrix T E Symn+l (lR) so, dass q(x) = [x T 1] T [x T I]T, \:Ix E lRn .

b) Sei [A b] AOn(s, t) = { OlE AGn(lR) I q(Ax + b) = q(x) , \:Ix E lRn}.

Zeige, dass lIn+1 E AOn(s, t), dass V E AOn(s, t) '* V-I E AOn(s, t) und dass U, V E AOn(s, t) '* UV E AOn(s, t) . c) Zeige, dass V E AOn(s, t) «=} VTTV = T. Schliesse, dass AOn(s, t) aus den Matri­zen V der folgenden Blockgestalt besteht:

[ ~ ~ ~ ~l {A E lR[S~s '0 FEE] GLn-s-t(lR) V = COD 0' V = E F G E On(S, t)

0001 ..J COD

d) Die Bijektionen

lR;t P ~lR;tP ,N f--+ VNW- l , mit V E AOn(s, t), WE AGp(lR)

bilden eine Transformationsgruppe Gaf von lR;t p . Zeige, dass jede Bahn von Gaf

eine Matrix der folgenden fiinf Typen enthalt.

D4. Quadriken 601

Fig. 2

Dabei ist d > 0, und e bezeichnet jeweils eine Spalte der Gestalt [1 0 ... O]T. [Hinweis: Sei N E ~:tP. Zunii.chst reduziere man den Richtungsteil N.J auf Nor­

malform CObung 10). Danach bearbeite man die letzte Spalte. Dabei verwende man Ubung 8a) und die Gleichungen von lOb).] e) Zeige, dass die Matrizen der Figur in d) in verschiedenen Bahnen liegen. Liste alle moglichen Falle auf, wenn n = 2, q(x) = xi-x~ und wenn n = 3, q(x) = xi+x~-x~. Geometrische Interpretation?

12)* Sei ¢ : ~n+l -> ~ die quadraffine Funktion

X I--> xi + ... + x~ - X;-t+l - ... - x; + 2Xn+l , (n ~ 0, 0::; s + t ::; n). a) Bestimme die Matrix R E Symn+2(~) so, dass ¢(x) = [x T l]R[x T l]T, \Ix E ~n+l. b) Sei

AO(¢) = {[ ~ ~] E AGn+l(~) I ¢(Ax + b) = ¢(x), \Ix E ~n+1} . Zeige, dass U E AO(¢) {:? UT RU = R. Schliesse, dass AO(¢) aus den Matrizen U der folgenden Blockgestalt besteht:

[AOBOij E F G h j

U= CODOk , f 0 mIn o 0 0 0 1

c) Die Bijektionen

~:txp ~~:txp, PI--> UPW- 1 , mit U E AO(¢), W E AGp(~)

bilden eine Transformationsgruppe G( ¢) von ~:t xp . Zeige, dass jede Bahn von G( ¢) eine Matrix der folgenden Liste enthalt.

602 Ubungstexte

Dabei gilt c E lR, und e bezeichnet eine Spalte der Gestalt [1 0 ... O]T .

13) Die Raume lRn , n = 4,5,6, seien mit den folgenden positiv definiten Formen qn = q versehen:

q4(X) = x~ + x~ + x~ + x~ - X1X2 - X2X3 - X3X4 (n = 4) q5(X) = x~ + x~ + x~ + x~ + x~ - X1X3 - X2X3 - X3X4 - X4X5 (n = 5) q6(X) = x~ + x~ + x~ + x~ + x~ + x~ - X1X2 - X2X3 - X1X4 - X4X5 - X1X6 (n = 6)

Konstruiere mit den beiden folgenden Verfahren obere Dreiecksmatrizen D E lRnxn ,

n = 4,5,6, mit Diagonaleintragen Dii > 0, deren Spalten orthonormierte Basen von lRn beziiglich qn bilden. Vergleiche die Verfahren. a) (8chmidt) Konstruiere die Spalten D.j per Induktion nach j: Setze zunachst D.1 = (1/ y'q(e1 )) e1 . Sind Dol, ... , D oj - 1 bereits konstruiert, so setze

Doj = 6Do1 + ... + E;,j- 1D oj - 1 + 'f/ej .

Berechne E;,i, i < j , aus 'f/ vermoge 0 = qp(Doi, Doj) = E;,i + 'f/ qp(D.i , ej ) • Berechne 'f/ aus

. 2 ( j",", . 2) 1 = q(Doj) = 'f/qp(Doj,e'l) = 'f/ q(e) - ~qp(D.i,eJ) . i<j

b) (Cholesky) Sei 8 die Matrix von q in der natiirlichen Basis: Die Spalten von D bilden genau dann eine orthonormierte Basis, wenn DT 8D = lin. Setzt man C = D-1, so ist diese Gleichung aquivalent zu C T C = 8, d.h. zum Gleichungssystem

C;l = 8u , Cu C12 = 8 12 , Cu C13 = 8 13 , ...

C;2 + C~2 = 822 , C12C13 + C22C23 = 823 , ••.

C;3 + C~3 + C~3 = 833 , ...

Berechne der Reihe nach Cu , C12 , C13 , ... , C22 , C23 , ... , C33 , ... und invertiere C.

14) Nach Satz D4.ll lasst sich jedes N E GLn(lR) in eindeutiger Weise als Produkt N = VC schreiben, wobei V orthogonal ist und C eine obere Dreiecksmatrix mit Diagonaleintragen > O. Berechne V und C , falls

[ 260] N= 133 . 371

Verwende dabei die drei folgenden Verfahren: a) Beniitze 'Zeilendrehungen' wie in D4.ll (Siehe insbesondere das numerische Bei­spiel von D4.ll). b) (Householder) Ersetze 'Zeilendrehungen' durch 'Zeilenspiegelungen' (Siehe Ubung 6). c) (Cholesky) Definiere eine positiv definite Form q auflRn vermoge q(x) = x T NT Nx. Schreibe dann NT N als Produkt C T C, wobei C eine obere Dreiecksmatrix mit Dia­gonaleintragen > 0 ist (Ubung 13b): NC- 1 ist orthogonal.

15) Sei M E lRmxn eine Matrix mit Rang r. a) Zeige, dass es orthogonale Matrizen U E Om(lR) und V E On(lR) gibt so, dass

UMV = [~I~] , wobei L E lRrxr eine untere Dreiecksmatrix mit Diagonaleintragen > 0 ist. [Hinweis: Konstruiere zunachst U so, dass U Meine Treppenmatrix sei.l b) Die Lange einer Spalte x aus lRm oder lRn sei definiert als Ixl = ";x T x (Siehe D4.I0). Zeige, dass die Gleichung Mx = b fUr jedes b E lRm eine 'kleinste bestmogliche

D4. Quadriken 603

Losungsapproximation' hat. Diese ist eindeutig bestimmt durch M und b. [Hinweis:

Sei Ub =: [~:,] mit c' E lR.r . 1st y E lR.r die Losung von Ly = c' und Xo = V [ g ] , so

gilt IMxo - bl ::; IMx - bl, "ix E lR.n , und Ixol < Ix'i fUr alle x' i- Xo mit IMxo - bl = IMx'-bl·] c) Berechne die kleinste bestmogliche Losungsapproximation der Gleichung

[!t~]x=[!]. 16) In einer orthonormierten Ortsbasis des Raumes n werden vier Quadriken durch die folgenden Gleichungen beschrieben:

x2 + 2xy - 3y2 = 1 , 5x2 + y2 + Z2 - 2xy + 2xz - 6yz = 1 , (x + y)(y - z) + 3x - 5y = 0, x2 - 2y2 - Z2 - 4yz + 2xz + 3 = 0

Bestimme die Hauptachsen dieser Quadriken.

17) lR.n sei versehen mit dem Skalarprodukt (x, y) 1-+ X T y. Sei femer q eine der folgenden quadratischen Formen auf lR.n . Bestimme eine orthonormierte Basis von lR.n , deren Spalten auch orthogonal seien beziiglich q. Berechne die Werte von q auf den gefundenen Basisspalten.

a) q(x) = xi - XIX2 + x~, q(x) = xi - 3XIX2 + x~ (n = 2); b) q(x) = xi+x~+x~-xlx2-x2x3, q(x) = xi+x~+x~-xlx2-x2x3-x3xl (n = 3); c) q(x) = xi + x~ + x~ + x1- XIX2 - XIX3 - XIX4 (n = 4); d) q(x) = xi + x~ + x~ + x1 + x~ - XIX2 - XIX3 - XIX4 - XIX5 (n = 5);

18) In einer orthonormierten Ortsbasis (1,J, k; 0) des Raumes n wird ein Ellipsoid £; durch die Gleichung x 2/9 + y2 /4 + Z2 = 1 beschrieben. Man projiziere £; auf die Ebene 0 + lR.J + lR.k Uings v = ; + 2J + 3k. Bestimme die Hauptachsen des Umrisses des Bildes von £; , sowie die Hauptachsen der Bilder der Durchschnitte von £; mit den Ebenen 0 + lR.; + lR.J und 0 + lR.; + lR.k.

19) Sei q eine quadratische Form auf lR.n . Es existiert dann ein linearer Teilraum V der Dimension n - [~] von lR.n so, dass qlV proportional sei zur positiv definiten Form V ----> lR., X 1-+ J x T x. Mit [m] wird hier der ganze Anteil einer reellen Zahl m bezeichnet; so gilt z.B. [2] = 2 = [~l . Kann der Proportionalitatsfaktor auch null sein, wenn q den Rang n hat?

20) Die Bijektionen

lR.mxn ----> lR.mxn , M 1-+ UMV- 1 mit U E Om(lR.) , V E On(lR.)

bilden eine Transformationsgruppe von lR.mxn. Zeige, dass jede Bahn genau eine Ma­

trix der Gestalt [ ~ ~] enthalt, wobei D E lR.rxr eine Diagonalmatrix mit Diagonal­

eintragen dr ~ .•• ~ d1 > 0 ist. [Hinweis: Konstruiere zuniichst V E On(lR.) so, dass VMT MV- 1 diagonal mit Dia­gonaleintragen d~ , ... , di , 0 ... sei (D4.12; die Eintrage sind ~ 0 , weil x T M T M x ~ 0, "ix). Die Spalten von MV- 1 sind dann paarweise orthogonal beziiglich x 1-+ x T x und haben die Langen dr , .•• , d1 , 0 .... Nach D4.1l existiert ein U E Om(lR.) so, dass U MV- 1 die gewiinschte Form hat. Geometrische Interpretation des matriziellen Ver­fahrens?]

21) Die Bijektionen

604 Ubungstexte

IRnxl x IRnxm --> IRnxi x IRnxm, (L, N) >-t (U L8- 1 , U NT- 1 )

mit U E On(IR), 8 E GLI(IR), T E GLm(lR) bilden eine Transformationsgruppe von IRnxl x IRnxm . Zeige, dass jede Bahn genau eine direkte Summe der Gestalt

F((}t) E9 F((}t-d E9 ..• E9 F((}2) E9 F((}d

mit (}i E ]0, ~ [U{2, 3, 4, 5, 6, 7} und (}1 ::; (}2 ::; •.. ::; (}t-1 ::; (}t enthiilt (Notationen von C3.14). [Hinweis: Reduziere (L, N) zunachst auf die Gestalt

-

M

lId

lI"

von D1.11. Achte darauf, dass du dabei nur orthogonale Zeilenumformungen wie in D4.11 vornimmst. 1m Gegensatz zu D1.11 kannst du den Block M dann nicht annullieren. Du kannst ihn aber umformen gemass Ubung 20.]

22) Beweise C3.14, Satz 2. Verwende dabei Ubung 21.

23) Sei

ein reelles Polynom mit den (komplexen) Nullstellen V1, ... , Vn . Sei ferner 'Wk ",i=n k L."i=l Vi .

a) Zeige, dass die quadratische Form i=n

IRn --> IR, X >-t L(X1 + ViX2 + V;X3 + ... + V;'-lXn)2

i=l

als Rang die Kardinalitat r {V1 , ... ,vn} j = n hat. b) Stelle die Matrix M von q in der natiirlichen Basis von IRn auf. Driicke ihre Eintrage mit Hilfe der Koeffizienten bi aus (n = 1,2,3, ... ). Entwickle det M als 'Polynom' in den bi . Was bedeutet die Gleichung det M = 0 fUr die Nullstellen von p? [Hinweis: Aus den Gleichungen

p' (t) d ~ 1 ~ 1 Vi vl pet) = dt lnp(t) = L.... t - Vi = L....(t; + t2 + t3 + ... )

.=1 .=1 1 1 1

= 'Wo - + 'W1 - + 'W2 - + ... t t2 t3

und

ntn- 1 + (n -1)b1tn- 2 + ... + bn- 1 = (tn + b1tn- 1 + ... + bn)('Wo~ + 'W1~ + ... )

erhalt man durch Koeffizientenvergleich die famosen Formeln von Newton:

0= 'Wk + b1'Wk-1 + ... + bk-1'W1 + kbk (0::; k ::; n)

0= 'Wk + b1'Wk-1 + ... + bn'Wk-n (k 2: n)]

c) Sei I>, die Anzahl der nichtreellen Vi. Zeige, dass 1>,/2 der Tragheitsindex von q ist. d) Schliesse aus c), dass p genau dann n (verschiedene!) reelle Nullstellen hat, wenn

Lineare Algebra 605

> a, ....

Schreibe diese Ungleichungen fUr n = 1,2,3, ... als polynomiale Ungleichungen in den Koeffizienten bi von p .

D5. Lineare Algebra 1) Sei V = ]R]O,I] der reelle Vektorraum aller reellwertigen Funktionen auf dem In­tervall )a,I) = {t E lR I a < t ::; I}. Welche der folgenden Teilmengen von V ist linear?

{fEVI f(~)~l}, {f E V I fist differenzierbar und !' - 2f = a} , {f E V I fist differenzierbar und !' (t) - 2f(t) = t, 'tit E)a, II} , {f E V I f(t) strebt gegen einen Grenzwert, wenn t -+ a}.

2) Sei V der reelle Vektorraum aller stetig differenzierbaren reellwertigen Funktionen auf ]R. Welche der folgenden Abbildungen von V nach V ist linear?

f I---> f2 (wobei f2(t) = (f(t))2); f I---> !' - 2f; f I---> !' - 2f + f(a) + foI f(t) dt; f I--->!' - 2f +3. 3) SeienU, V zwei Vektorraume tiber][( und UEBV ihre direkte Summe, deren Vektoren wir mit den Paaren (u, v), u E U, v E V , identifizieren. a) Ftir je zwei lineare Abbildungen f : W -+ U und W -+ V ist die Abbildung h: W -+ U EB V, WI---> (f(w), g(w)) linear. Umkehrung? b) Ftir je zwei lineare Abbildungen f : U -+ W und 9 : V -+ Wist die Abbildung h: U EB V -+ W, (u, v) I---> f(u) + g(v) linear. Umkehrung? c) Beschreibe Kerh im Fall a), Imh im Fall b).

4) Seien U, V, W Vektorraume tiber ][( und f : V -+ W eine lineare Abbildung. Wir setzen voraus, dass W endlichdimensional ist. Zeige: a) 1st f injektiv und 9 : V -+ U linear, so existiert eine lineare Abbildung h : W -+ U derart, dass hf = g. Insbesondere existiert eine lineare Abbildung r : W ----> V derart, dassrf=lIv. b) 1st f surjektiv und 9 : U -+ W linear, so existiert eine lineare Abbildung h : U -+ V derart, dass fh = g. Insbesondere existiert eine lineare Abbildung s : W -+ V derart, dass fs = lIw.

5) Sei Vein Untervektorraum des Vektorraums W. a) Die Abbildung p I---> Ker p liefert eine Bijektion zwischen

{p E £(W, W) I p2 = P und p(W) = V}

und der Menge aller Supplemente von V in W . b) Sei 8 ein Supplement von V in W . Zeige, dass die Abbildung

fl--->{s+f(s)lsE8}

eine Bijektion von £(8, W) auf die Menge aller Supplemente von V in Wist.

6) Die Menge ][(mxn sei mit der in A2.1 und A2.3 definierten Vektorraumstruktur tiber dem K6rper ][( versehen. a) Bestimme die Dimension von ][(mxn sowie, im Fall m = n, diejenige folgender linearer Teilraume:

Symn (][() , {A E ][(nxn I AT = -A}, {M E ][(nxn I i < j =} Mij = a}.

606 Ubungstexte

b) Seien V und W Vektorraume der Dimensionen m und n. Bestimme dim £(V, W). c) Seien V' C V und W' C W lineare Teilraume der Dimensionen m' und n'. Zeige, dass J( = {j E LeV, W) I V' C Ker f} und I = {f E LeV, W) I Imf C W'} lineare Teilraume von LeV, W) sind. Beschreibe die entsprechenden Teilraume von IKmxn, wenn V = IKm, W = IKn, V' = 1K;;:" W' = 1K~,. Bestimme die Dimensionen von J(

und I im allgemeinen Fall.

7) a) Sei U ein komplexer Vektorraum und UIR der reelle Vektorraum, den man aus U durch Einschrankung der Skalarmultiplikation C xU -+ U auf lR xU erhalt. Zeige, dass dim UIR = 2 dim U . b) Sei nun Vein reeller Vektorraum und p : V -+ V eine lineare Selbstabbildung so, dass p2 = -llv. Zeige, dass V zu einem komplexen Vektorraum gemacht werden kann, indem man die Addition iibemimmt und die Skalarmultiplikation vermoge (x+y i)v = xv + yp(v) definiert.

8) Seien IK ein Korper, M = {Xl, ... , Xm} eine Teilmenge der Kardinalitat m und f : IK[X] -+ IKm die Abbildung, die einem Polynom P die Funktion PM : Xi I-t P(Xi) zuordnet (C5.3). a) Zeige, dass f linear und surjektiv ist und dass die Einschrankung fllKm- 1 [X] von f auf den Teilraum der Polynome vom Grad ::; m - 1 ein Isomorphismus ist. b) Beschreibe die Umkehrabbildung von fllKm- 1[X]. Bestimme insbesondere die Po­lynome Pi E IKm-I[X] so, dass PiM(Xi) = 1 und PiM(Xj) = 0, falls j =I- i. [Hinweis: C5, Ubung 14.] c) Sei n eine Primzahl und IK = M = '!lIn. Bestimme dann Ker f. 9) Betrachte C als Vektorraum iiber Q (Addition und Multiplikation wie iiblich). a) Zeige, dass die Zahlen 1 und V2linear unabhangig iiber Q sind. Die Zahlen a+bV2 mit a, b E Q bilden einen Korper Q( V2) der Vektorraumdimension 2 iiber Q . b) Zeige, dass y'3 tf- Q( V2) . Schliesse daraus, dass 1 und y'3 linear unabhangig iiber Q(V2) sind. c) Folgere aus b), dass die Zahlen 1, V2, y'3, v'6 eine Vektorraumbasis des Korpers

Q(V2, v'3) := {a + bV2 + cv'3 + dv'61 a, b, c, dE Q}

iiber Q bilden (vgl. A2.13, C5.1b).

10) a) Es seien h, ... , fm E IKM linear unabhangige Funktionen auf der Menge M und gl, ... ,gn linear unabhangige Funktionen auf N. Sei femer fiogj die Funktion M x N -+ 1K, (m, n) I-t h(m)gj(n). Zeige, dass die Funktionen

hog1, ... , hogn, hog1, ... , hogn, ... , fm og1, ... , fmogn

linear unabhangig sind. b) Sei nun ][{ ein unendlicher Korper, Y und Z die Projektionen][{2 -+][{, X I-t Xl und X I-t X2, yi zj die monomiale Funktion X I-t xix~ . Zeige, dass die Folge

yOZo, ... , yOZm, y1 Z 0, ... , y1 Z m, ... , ymZO, ... , ymZm

frei ist. c) Eine polynomiale Funktion von zwei Variablen und vom Grad::; mist eine Linear­kombination monomialer Funktionen yP zq mit P + q ::; m . Bestimme die Dimension des Vektorraums ][{m [Y, Z] dieser Funktionen. d) Verallgemeinere b) und c) auf Funktionen von n Variablen.

11) a) Sei ][{ ein Korper so, dass 1 + 1 =I- o. Sei Vein Vektorraum iiber ][{ und u : V -+ V eine lineare Selbstabbildung so, dass u 2 = lIv. Zeige, dass die linearen Teilraume

Lineare Algebra

V+ = {v E V I CT(V) = v} und V- = {v E V I CT(V) = -v} supplementar sind in V .

607

b) Sei nun OC = lR und C = {a E lR2 1 ai +a~ = I}. Seien ferner x,y E lRc die Funktionen a f--> a1 , a f--> a2 , und xO = yO die konstante Funktion mit Wert l. Zeige, dass die Formel (CTp)([a1 a2]T) = p([a1 -a2]T) eine lineare Selbstabbildung CT

des Raumes V = {~i+j$n CijXiyj I Cij E lR} definiert und dass CT2 = lIv .

c) Zeige, dass XO,x,x2, ... ,xn eine Basis von V+ ist und y,xy, ... ,xn- 1y eine von V- . 12) Der Untervektorraum W von V = lRn[Y, Z] (Ubung 10) werde von den p E V erzeugt so, dass ai - a~ = 1 =? p(a) = O. Berechne dim W (vgl. Ubung 11).

13) a) Es seien Vein reeller Vektorraum und p : V -+ V eine lineare Abbildung mit p3 = lIv. Zeige, dass es zu V+ := {v E V I p( v) = v} genau ein Supplement V- gibt derart, dass p(V-) c V- . b) Sei V = lR3 und p(x) = [X3 Xl X2]T. Bestimme V+ und V-. Geometrische Interpretation? c) Sei nun V = lR2[Y, Z] (siehe Ubung 10). Wir setzen

(pp)(a)=p([-~a1-1a2 1a1-~a2]T), \fPEV, \fa ElR2 •

Bestimme V+ und V-.

14) a) Sei q = xn + qn_1xn-1 + ... + q1X + qo ein Polynom mit Koeffizienten im Korper OC, Xi E OC[Xl/qOC[X] die Restklasse von Xi modulo q (i = 0, 1,2, ... ), p(x) die Restklasse von p E OC[X]. Bestimme die Darstelhmgsmatrix der Abbildung p(x) f-->

xp(x) in der Basis x· = (XO, X, x 2, ... , xn- 1) von OC[Xl/qOC[X]. b) Bestimme die Darstellungsmatrix der Abbildung

OC2X2 -+ OC2X2 , [~~] f--> [~ ~] [~ ~] [1 ~] in der Basis Ell, E12, E21, E22 .

15) Sei A = S(>';p) E9 S(JL;q) E OCp+qxp+q (>',JL E OC = Korper). Bestimme eine Basis von OCp+qxp+q, in der die Darstellungsmatrix der Abbildung

OCp+qxp+q -+ OCp+qxp+q, M f--> AM - MA

eine Eigenform ist. Bestimme diese Eigenform.

16)* Sei M E lRnxn. a) Schliesse von A4.8-4.10 auf die Existenz einer Matrix [UWIW] E GLn(C) mit U, V E cnxs und WE lRnxn-2s so, dass

[UWIWr1 M [UWIW] = P E9 Q E9 R,

wobei R E lRn-2sxn-2s eine direkte Summe reeller Eigenbl6cke ist, Q E csxs eine direkte Summe komplexer Eigenblocke S(>',p) mit'S>' < 0 und P E csxs eine Matrix ohne Eigenwert JL mit r;JJL ::; O. b) Sei V die komplex konjugierte Matrix zu V. Zeige, dass [VWIW] E cnxn invertier­bar ist und dass [VWIWr1 M [VWIW] eine direkte Summe (reeller und komplexer) Eigenblocke ist. [Hinweis: Verwende D5.7.] c) Sei 8 E lRnx2s die Matrix mit den Spalten 8.2i-1 = ~V.i und 8.2i = C;SV.i (Die Eintrage sind die Realteile bzw. die Imaginarteile der Eintrage von V.i). Zeige, dass die Matrix [8IW] E lRnxn invertierbar ist und dass [81Wr 1 M [8IW] eine direkte Summe reeller Spektralblocke (A5.2) ist. d) Teste das oben skizzierte Verfahren zur Berechnung der Spektralformen reeller Matrizen anhand von A5, Ubung 1). Vergleiche mit dem 'reellen' Verfahren von A5.6-5.9.

608 Ubungstexte

17) a) Die Menge M sei beliebig. Zeige, dass eine Funktionenfolge /1, ... , fn aus ]KM genau dann frei ist, wenn M Elemente ml, ... , mn enthalt derart, dass det[h (mi)h:5i,j:5n "10. [Hinweis zur Notwendigkeit: Nimm an, du hattest bereits Elemente ml, ... , m n-l so, dass det[h(mi)h:5i.i:5n-l "I O. Betrachte dann mn als Variable und entwickle det[h (mi)h:5i.i:5n "I 0 nach der letzten Zeile. In der erhaltenen Linearkombination der h(mn ) ist der Koeffizient von !n(mn ) nicht null. Also ist die Linearkombination nicht null und bleibt "10 bei geeigneter Wahl von mn in M.] b) Sei Vein Vektorraum uber ]K und <I> eine Menge von Linearformen auf V so, dass n</>E<I> Ker cf> = {O}. Zeige, dass eine Folge /1, ... ,!n aus V genau dann frei ist, wenn det[cf>i(h )h:5i.i:5n "10 fUr geeignete cf>i E <I>. [Alternativer Hinweis zur Notwendigkeit: Sei W der Untervektorraum von V, der von den h erzeugt wird. Zeige, dass Linearformen cf>1, .. . , cf>n aus <I> existieren so, dass Wn (niKer cf>i) = {O}, d.h. so, dass die Abbildung W -+ ]Kn, ! f--+ [cf>I(f) ... cf>n(f)]T injektiv sei.]

18) Sei U eine unendliche Teilmenge von C, CU der komplexe Vektorraum aller komplexwertigen Funktionen auf U und qX]u der Vektorraum aller komplexen Poly­nombruche ohne Pol in U. Fur jedes r E qX]u bezeichnen wir mit r(.) E CU die in C5.6 definierte Funktion x f--+ rex) ; mit .n E V meinen wir die Funktion x f--+ xn , mit .~A die Funktion x f--+ X~A (A E C \ U). Zeige, dass die Abbildung qX] u -+ CU , r f--+ r(.) linear ist und injektiv. Insbesondere ist jede Funktionenfolge .nl, ... , .nr, (._~lll1 , ... , (._~s)ls mit Aj E C \ U frei, wenn

die ni einerseits, und die Paare (Aj, Rj) andererseits, paarweise verschieden sind.

19) a) Seien nl < ... < nr und al "I 0, ... , ar "I 0 reelle Zahlen. Zeige per Induktion nach r, dass die Gleichung alxn1 + ... +arxnr = 0, x > 0, hochstens r -1 Losungen hat. b) Schliesse aus a), dass die Funktionen {x E lR I x > O} -+ lR, t f--+ tni linear unabhangig sind.

20) Die Funktion f: lR-+lR sei definiert vermoge !b,n(t)=lt-bln , (b,nElR,n"lO). Zeige, dass jede Folge !bl,nl , ... , !br,nr mit paarweise verschiedenen Indexpaaren (bi, ni) frei ist. [Hinweis: Vergleiche das Verhalten der Funktionen !bi,ni und ihrer Ableitungen in der Nahe einer Zahl bj .]

21) Die Funktion limn : {x E lR I x > O} -+ lR sei definiert vermoge ftmn(t) = lIn tlitmen (R, m, n E lR). Zeige, dass jede Folge ftl,ml,nl"'" ftr,mr,n r mit paarweise verschiedenen Indextripeln (Ri , mi, ni) frei ist. [Hinweis: Vergleiche das Wachstum der Funktionswerte !ii,mi,ni (t) , wenn t -+ 00.] 22) Sei U der komplexe Vektorraum CN und F : U -+ U die vermoge (Fu)(n) =

u(n + 1) definierte lineare Selbstabbildung. Wir definieren eine Folge J>.,r E C N fUr jedes A E C und jedes r E Nl vermoge !A.rCn) = (r~I)An-r+l, falls A "I 0, und !o,r(r - 1) = 1, !O,r(n) = 0 fUr n "I r - 1 .. a) Zeige, dass F!A,1 = A!A,1 und F!A,r = A!A,r + !A,r-l fUr r > 1. b) Zeige, dass Ker (F - Alfu) = C!A,1 und 1m (F - Alfu) = U. c) Sei r E Nl . Schliesse aus a) und b), dass

Ker (F - Alfu r = CJ>.,1 EB ... EB CJ>.,r und 1m (F - Alfu r = U .

d) Schliesse aus c) und aus Korollar D5.7, dass die Funktionen !Al,rl"'" !A.,rs linear unabhangig sind, wenn die Indexpaare (Ai, ni) paarweise verschieden sind.

Lineare Algebra 609

e) Sei dr,p,o: E U die Folge n f-t nrpncosna, t s,u,{3 E U die Folge n f-t nSansinna (r,s E N; p,a > 0; 0 ~ a ~ 71",0 < fJ < 71"). Zeige, dass die Folge dr1 ,P1,0:1 , ... , drp,pp,O:p, t s1 ,u1,{31 , ... , t Sq ,Uq,{3q frei ist, wenn die Tripel (ri' pi, ai) einerseits, und die (s j, a j, fJj) andrerseits, paarweise verschieden sind. f) Seien AI, ... ,Ar paarweise verschieden und

p(F) = (F - A1liV t1 ... (F - ArliV tr mit ni ~ 1 .

Zeige, dass Imp(F) = U und dass die Folgen f>'i,r mit r ~ ni eine Basis von Kerp(F) liefem. g) Sei Uoo der Untervektorraum von U, der durch aIle Folgen h,r erzeugt wird. Konstruiere einen Isomorphismus ¢: qX)/qX] !::::'tUoo so, dass ¢(Xr) = F¢(r) , Vr E qX) (r bezeichnet die Restklasse von r modulo qX]). h) Zeige, dass die Setzung F(u) := F(u) eine lineare Selbstbijektion von U/Uoo be­stimmt (u bezeichnet hier die Restklasse von u modulo Uoo ) . Zeige ferner, dass U /Uoo genau eine Vektorraumstruktur tiber dem Korper C(X) tragt so, dass (AXO)U = AU, VA E C, und xj = F(u). 23) Sei V = Coo(l~, C) der komplexe Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren komplexwertigen Funktionen auf 1R. Sei D : V -> V die lineare Selbstabbildung f f-t 1', wobei f'(t) = limh ..... o(f(t + h) - f(t))/h. Ftir jedes A E C sei schliesslich e>',n E V die Funktion t f-t (tneAt)/n!. a) Zeige, dass De>.,l = Ae>.,1 und De>.,n = Ae>.,n + e>.,n-1 fUr n > 1 . b) Zeige, dass Ker (D - AliV) = Ce>.,1 und 1m (D - >'liv) = V. [Hinweis: Zur Losung der Differentialgleichung Df - Af = 9 setze man f = he>.,1 und suche hE V.] c) Sei n E N1 . Schliesse aus a) und b), dass

Ker (D - AliV)n = Ce>.,1 EEl· .. EEl Ce>.,n und 1m (D - >'liv t = V.

d) Schliesse aus c) und aus KoroIlar D5.7, dass die Funktionen e>'1,nll ... ' e>'r,nr linear unabhangig sind, wenn die Indexpaare (Ai, ni) paarweise verschieden sind. e) Sei Cm,p,o: E V die Funktion t f-t tmept cos at, Sn,u,{3 E V die Funktion t f-t

tneut sin fJt (m, n EN; p, a E 1R; 0 ~ a , 0 < fJ). Zeige, dass die Folge Cm1 ,P1 ,0:1' ••• ,

Cmr ,Pr ,O:r' Sn1 ,u1 ,{31 , ••• , Sns,u s ,{3s frei ist, wenn die Tripel (mi' pi, ai) einerseits, und die (nj, a j, fJj) andrerseits, paarweise verschieden sind. f) Seien AI, ... ,Ar paarweise verschieden und

p(D) = (D - A1liVt1 ... (D - Arlivtr mit ni ~ 1.

Zeige, dass Imp(D) = V und dass die Funktionen e>'i,m mit m ~ ni eine Basis von Kerp(D) liefem. g) Sei Voo der Untervektorraum von V, der durch aIle Funktionen e>.,r erzeugt wird. Konstruiere einen Isomorphismus 'If; : C(X)/qX]!::::'t Voo so, dass 'If;(Xr) = D'If;(r) , Vr E qX) (r bezeichnet die Restklasse von r modulo qX]). h) Zeige, dass die Setzung D(f) := D(f) eine lineare Selbstbijektion von V /Voo bestimmt (f bezeichnet hier die Restklasse von f modulo Voo ). Zeige ferner, dass V /Voo genau eine Vektorraumstruktur tiber dem Korper C(X) tragt so, dass (>'XO)j = Af, VA E C, und xj = D(f) .

24) Sei V der reeIle Vektorraum aller unendlich oft differenzierbaren reellwertigen Funktionen auf 1R. Zeige, dass die folgenden Linearformen ¢o, ... ,¢n, 'If;o, . .. ,'If;n auf V linear unabhan.gig sind: ¢o(f) = f(O) , ¢1(f) = 1'(0), ¢2(f) = f"(0), ... , 'If;o(f) = I: f(t) dt, 'If;1(f) = 101 tf(t) dt, 'If;2(f) = I: e f(t) dt, ....

610 Ubungstexte

[Hinweis: Seien Ao, ... , An E JR. und p E JR.[Xj. Zu zeigen ist, dass Ao = ... = An = 0 und p = 0, wenn Jo1 p(t)f(t) dt + Aof(O) + ... + Anf(n)(o) = 0, Vf E V. DafUr setze man zunachst f(t) = t2np(t) .j

25) Sei V die Menge der Potenzreihen a = EnEZ anXn E JR.((X)) , fUr welche Zahlen p, A E JR. mit 0 < A, 0 < p < 1 und Ian I :S Apn, Vn E Z, existieren. a) Zeige, dass Vein reeller Untervektorraum von JR.((X)) ist, dass das Produkt ab von a, b E V wieder in V liegt, dass V aber kein Korper ist. b) Sei 0 < x :S 1. Zeige, dass die Partialsummen En<N anxn fUr jedes a E V einen Limes a(x) E JR. haben, wenn N ----> 00. -

c) Ftir jedes a E V sei a(.) E JR.]0,1] die Funktion x f-7 a(x) . Zeige, dass die Abbildung V ----> JR.]0,1] , a f-7 a(.) linear und injektiv ist, aber nicht surjektiv. d) Sind die Mengen V und JR.]0,1] gleichmachtig?

26) Sei Vein Vektorraum tiber dem Korper ][( mit 1 + 1 # 0, b eine Bilinearform auf V, bp : V ----> VT die Abbildung v f-7 b(., v) (D5.8). a) Sei e eine Basis von V. Zeige, dass die Matrix von bin e die Darstellungsmatrix von bp in den Basen e und e v ist. b) Sei '" : V ----> VTT die kanonische Abbildung (D5.lO). Zeige, dass die Komposition b; 0", mit b)" : u f-7 b(u,.) tibereinstimmt. c) Schliesse aus b), dass dimKerbp = dimKerb)", wenn dimV < 00. Zeige, dass diese Gleiehung nicht gelten muss, wenn V nicht endliehdimensional ist. [Hinweis: Sei V C ][(N der Vektorraum der Folgen u so, dass Un = 0, wenn n gross genug ist. Setze b(u, v) = U1V2 + U2V3 + .... j d) Ftir jede Teilmenge M von V setze man

bM:=bp(M)=I={uEVI b(u,v)=O,VVEM}, Mb:=b),,(M)=I={vEVI b(u,v)=O,VUEM}.

Zeige, dass Mb=(EmEM][{m)b:JVb und bM=b(EmEM][{m):J~ lineare Teilraume von V sind. Gib ein Beispiel an, wo dim V = 2 und Vb = Ker bp # Ker b)" = bV. e) Zeige, dass dim bM = dim V - dimM + dimM n Vb und (bM)b = M + Vb, wenn V endliehdimensional ist und M linear. f) Zeige, dass (bV)= = 1m bp , wenn V endliehdimensional ist.

27)* Sei Vein Vektorraum tiber einem Korper ][( mit 1 + 1 # 0, U ein linearer Teilraum und q eine quadratisehe Form auf V . Wir nennen eine Abbildung f : U ----> V q-orthogonal, wenn sie linear und injektiv ist, wenn q(j(u)) = q(u) , Vu E U, und wenn f(U n vq) = f(U) n vq. a) Zeige, dass f(U n vq) = f(U) n vq aus q(j(u)) = q(u) , Vu E U folgt, wenn U = V gilt und f bijektiv ist. In der Folge bezeichnen wir mit O(q) die Menge der q--orthogonalen Sebstbijektio­nen V ~ V. Zu zeigen ist, dass jede q--orthogonale Abbildung f : U ----> V die Ein­sehrankung glU eines 9 E O(q) ist (E. Witt; vgl. D4, Ubung lOe). Zu diesem Zweek fUhre man eine Induktion naeh 8(V,U) := 2 dim V - dimU. Der Induktionssehritt unterseheidet versehiedene FaIle: b) Es existiere ein u E U mit q(u) # 0 und f(u) = u. Es gilt dann V = ][{uEB{ u}q , U = ][{u EBU n {uP und 8({uP,U n {uP) = 8(V,U) -1 ... e) Es existiere ein u E U mit q(u) # 0 und q(j(u) - u) # O. Man betrachte dann die 'Spiegelung' s: v f-7 v - 2(qp(w,v)/q(w))w mit w = f(u) - u: Die Komposition sf ist q-orthogonal, hat den Fixpunkt u, hat also nach b) die Form sf = hlU mit hE O(q) . Setze 9 = sh ...

Lineare Algebra 611

d) Es existiere ein u E U mit q(u) i= 0 und q(f(u)-u) = O. Wegen q(f(u)+u)+ q(f(u) - u) = 4q(u) ist x := I(u) + u nicht isotrop. Also ersetze man das s von c) durch r : v f--> -v + 2(qp(x, v)/q(x»x und wende die Induktionshypothese auf r I an. e) Sei qlU = 0 und u E U \ vq . Sei dann S ein Supplement von IKu in U so, dass U n vq c S. Beweise die Existenz eines v E sq mit qp (u, v) = 1 CObung 25f). Erzwinge zusiitzlich die Gleichung q(v) = 0, indem du gegebenenfalls v durch ein v + AU ersetzest. Finde analog ein isotropes v' E I(S)q mit qp(f(u), v') = 1 und q(v' ) = O. Erweitere I auf U EEl IKv mit der Setzung I(v) = v'. Es gilt dann 6(V,U EEl IKv) = 6(V,U) - 1 ... f) Betrachte schliesslich den Fall U C vq.

28) Sei v f--> IIvll eine Norm auf dem endlichdimensionalen Vektorraum V tiber IK (= IR oder q. a) Zeige, dass die Setzung I I I = maxllvIl911/(v)11 eine Norm auf £(V, V) liefert, dass 11/(v)11 ~ I I I IIvll, \Iv E V, dass

I I I 2 max{IAII A ist ein Eigenwert von J},

unddass Ig/I ~ Igll/I , \l1,gE£(V,V). b) Sei V = IKn und Ilvll = Ivh := L::~; IVil (Summennorm; siehe C5, Ubung 9). Zeige, dass dann i=n

IMI =IMh:=max{EIMijll j=l, ... ,n} i=l

fUr alle ME IKnxn (Spaltensummennorm). [Hinweis: Zum Nachweis der Ungleichung I M I 21MII berechne man IMemh, falls L:i IMiml = IMll.] c) Sei V = IKn und IIvll = Ivl oo := max{lvill i = 1, ... , n} (Maximumnorm; loc.cit.). Zeige, dass dann

j=n

I M I = IMloo:= maxiE IMij11 i = 1, ... ,n} j=l

fUr alle M E IKnxn (Zeilensummennorm). [Hinweis: Sei IMloo = L:j IMmj I. Zum Nachweis der Ungleichung I M I 2 IMloo berechne man I(Mv)ml, wobei Vj = Mmj/IMmjl falls Mmj i= 0 und Vj = 1 sonst.]

29) Seien U, V zwei Vektorriiume tiber IK, u ein Vektor aus U, v einer aus v. Mit u 0 v bezeichne man die lineare Abbildung UT --> V, die durch ¢ f--> ¢(u)v definiert ist. a) Zeige, dass

(u+u' )0v = u0v+u' 0v, u0(v+v' ) = u0v+u0v', (Au)0v = U0(AV) = A(u0v),

fUr alle u, u' E U , v, v' E V und A ElK. b) Sei U 0 V der von den u 0 v mit u E U und v E V erzeugte Untervektorraum von £(U T, V). Zeige, dass U 0 V = £(U T, V) , wenn U endlichdimensional ist. c) Seien Ul, ... , Um eine Basis von U, VI, ... , Vn eine von V. Zeige, dass

Ul 0 VI,···, Ul 0 Vn , U2 0 VI, ... , U2 0 vn ,···, Um 0 VI, ... , um 0 Vn

eine Basis von U 0 V ist. d) Seien W ein Vektorraum tiber IK und 'lj; : U X V --> W eine Abbildung so, dass

'lj;(u + u' , v) = 'lj;(u, v) + 'lj;(u' , v), 'lj;(u, v + v') = 'lj;(u, v) + 'lj;(u, v')

und 'lj;(AU, v) = 'lj;(u, AV) = A'lj;(U, v) fUr alle u, u' E U, v, v' E V und A ElK. Zeige, dass es genau eine lineare Abbildung X: U0V --> W gibt so, dass 'lj;(u,v) = X(u0v) fUr alle u E U und v E V .

612 Ubungstexte

30) Sei K ein Unterkorper von C, P = xn + Pn_1Xn- 1 + ... + Po ein Polynom mit Koeffizienten in K und x E C eine Nullstelle von p: p(x) = O. a) Zeige, dass K(x) := {q(x) = qO+qlX+-' ·+qn_lxn-11 qi E K, Vi} ein Unterkorper von C ist. [Hinweis: Zeige, dass der K-Untervektorraum K(x) von C stabil ist unter der Multiplikation y f--> xy mit x, also auch unter der Multiplikation mit r(x), r E K(x). 1st q(x) i= 0, so ist die K-lineare Abbildung K(x) -+ K(x) , y f--> q(x)y injektiv, also surjektiv. Das Urbild von 1 ist das gesuchte Inverse von q(x) .] b) Zeige, dass die Folge 1, x, x 2, ... , x n- 1 genau dann eine Basis von K(x) tiber K ist, wenn p K -irreduzibel ist, d.h. nicht von der Gestalt p = qr mit q, r E K[X] und 1 :::; d(q) < n. [Hinweis. Die Bedingung ist hinreichend: Ware niimlich q = Xm + qm_1Xm- 1 + ... E K[X] ein Polynom minimalen Grades m < n mit q(x) = 0, so hatte man p = K,q + p mit d(p) < m (05.8) und p(x) = 0, also p = 0 und p = K,q ... ] c) Sei n eine Primzahl und e E K so, dass zn = e => z ri. K. Zeige, dass Xn - e

K -irreduzibel ist. [Hinweis: Sei wEe mit wn = e und ( = e27ri/ n . In qX] gilt dann xn - e = n:::~-l(X - (iW). Ware nun xn - e = qr mit q,r E K[X] und 1 :::; d(q) < n, so hatte der 'konstante Term' von q die Gestalt qo = ±d mit d = (lWm

und 1:::; m < n. Nach 05.11(2) gabe es m',n' E Z mit m'm+n'n = 1. Foiglich ware I I I I , ,

dn = wmn = em und e = em men n = dm nen n hatte eine n-te Wurzel dm en in K.] d) Sei p K-irreduzibel und x i= y E emit p(y) = O. Zeige, dass der K-Vektorraumiso­morphismus cfJ : K(x) -+ K(y) mit cfJ(xi ) = yi fUr 0 :::; i < n multiplikativ ist: cfJ(uv) = cfJ(u)cfJ(v) , Vu, v E K(x) .

31) Seien K C L C M Unterkorper von C. Zeige, dass der Vektorraum M tiber K genau dann endlichdimensional ist, wenn M endlichdimensionsal ist tiber Lund L tiber K. Es gilt dann auch dimK M = dimK L dimL M (Notation selbsterklarend!).

32) (Wiirfelverdoppelung) Gegeben sei eine Strecke [AB] der Lange l.

a) Konstruiere aus [AB] mit Zirkel und Lineal eine Strecke der Lange 3v'2 - V3 + ~v'I7 . b) Eine Quadratwurzelkette von lR. sei eine aufsteigende Folge Q = Ko C Kl C

K2 C '" C Kh von Unterkorpern von lR. derart, dass jeder Nachfolgekorper die Form Ki = Ki-1(y!Ci) mit 0 < ei E K i- 1 und y!Ci ri. K i- 1 hat (0 < i:::; n). Zeige, dass das Ende Kh der Kette die Vektorraumdimension dimlQ! Kh = 2h hat. [Hinweis: Ubung 31] c) Zeige: Die Lange einer Strecke, die du mit Zirkel und Lineal aus [AB] konstruieren kannst, liegt jeweils im Endkorper einer Quadratwurzelkette von lR. . d) Zeige: dimlQ! Q(~) = 3. Lage ~ in K h , so galte 2h = dimlQ! Kh = 3dimlQ!(~) Kh. Schlussfolgerung?

33)* (Winkeldreiteilung) a) cos(7I-j3) = 1/2. Zeige, dass die Gleichung 4x3 - 3x = 1/2 die Losungen cos( 7I-j9) ,cos(77r /9) und cos(137r /9) hat. b) e:= cos(7r/9) ri. Q. [Hinweis: Ware e = p/q mit teilerfremden p, q EN, so wtirde aus 8x3 - 6x - 1 = 0 folgen, dass q die Zahl 8 teilt und dass p = 1 ist.] c) Zeige, dass dimIQ!Q(e) = 3, dass cos((7r/3)/3) also nicht die Lange einer Strecke ist, die man aus der Einheitsstrecke mit Zirkel und Lineal konstruieren kann (Ubung

31). d) c' := cos(77r/9) = -1 + 2e2 E Q(e) und e = - cos(287r/9) = 2e,2 - e' -1 E Q(e'). e) Eine Wurzelkette von lR. sei eine aufsteigende Folge Q = Ko C Kl C K2 C ... C Kh von Unterkorpern von lR. derart, dass jeder Nachfolgekorper die Form Ki =

Lineare Algebra 613

K i- 1 ( n{lCi) mit 0 < Ci E Ki-l und n{lCi rt K i- 1 hat (0 < i :'S n). Zeige, dass cos(7r/9) nicht im Endkorper Kh einer Wurzelkette liegt. [Hinweis: Sonst diirfte man annehmen, dass C E Kh, dass crt K h- 1 und dass aile ni prim sind. Es galte dann nh = dimKh _ 1 Kh = 3dimKh _ 1 (C) Kh und folglich nh = 3 sowie Kh = Kh-l(C). Nach Ubung 30d) gabe es eine multiplikative Kh_l-lineare Bijektion </J : K h ~ K h mit </J( c) = c' # c. Somit ware </J(~) E K heine dritte Wurzel von Ch, ware aber verschieden von ~ und deshalb nicht reell .... J

Personen- und Sachregister

Abbildung, 469 Abel, N., 89, 91, 287, 454, 458 abgestufte Gleichungszeile, 126 Ableitung, 499 absoluter Betrag, 270, 480 Abstand, 97, 168, 450 abstanderhaltend, 100 Abstandsaxiom, 97 Abszisse, 115, 123 Adad-Guppi, 264 Addition, 295, 430 Adelard von Bath, 189, 231 adjungierte Matrix, 509 affin aquivalent, 150, 344, 345 affin konjugiert, 145 affine Abbildung, 135, 149, 337 affine Gruppe, 145, 337 affine Kombination, 362 affine Konjugation, 145 affine Matrix, 140, 337 affine Normalform, 145 affine Punktmenge, 109 affine Quadrik, 415 affine Raumgruppe, 148 affiner Abschluss, 109, 338 affiner (Teil)raum, 338 affines Matrizenpaar, 257, 344 affines Matrizentripel, 345 affin-orthogonale Matrix, 252 affin-orthogonale Gruppe, 256 Ahlfors, L.V., 457, 458 ahnlich, 74 Aiton, E.J., 51, 53, 54, 132 al-Biruni, 230 al-Chwarismi, 19, 34, 230, 284 Alexander (Konig von Mazedonien),

181, 188, 229 Alfons X. (Konig von Kastilien und

Leon), 231 al-Hayyam, 130 al-Kasi, Gamsi ibn, 214, 215 allgemeine Lage, 153 al-Mamun (Kalif), 189 aI-Mansur (Kalif), 189, 229 al-Marwari, 230 al-Qifti, Abu-I-Hasan, 230

Amalia (Kaiserin), 53 Amann, H., ix, 507 Amasis (Pharao), 188 Anaxagoras, 216 Anschauungsraum, 97 antisymmetrisch, 508 Apelt, E., 334 Apollonios, 77, 130, 188, 190, 214, 229,

355, 418, 419, 421, 423 Approximation, 530 iiquidistant, 182 iiquipollent, 102 iiquivalent, 474 Aquivalenzklasse, 474 Aquivalenzrelation, 32, 474 Arago, D., 90 Archenholz von, J.W., 88 Archimedes, 130, 158, 188, 194, 214,

215, 229, 418-420, 422, 423, 480 Archytas von Tarent, 420 Argand, J.R., 279, 285, 293 Argument, 270 Aristaios der Altere, 418 Aristarchos, 229 Aristoteles, 188, 190, 420 arithmetisches Mittel, 479 Aryabhatha, 230 Assoziativgesetz, 7, 20, 22 assoziierte Abbildung, 3, 4 assoziierte Matrix, 45 asymptotischer Kegel, 367 Attalos Soter (Konig von Pergamon),

423 aufgestufte Ortsbasis, 125, 342 aufspannen, 432 Ausderau, U., vii Austauschsatz von Grassmann, 319,

438 ausspringende (konvexe Menge), 364

Bach, J.S., 425 Bahn,32 Ball, W.W. Rouse, 218, 310, 311 Ballmann, W., 103 Baltzer, R., 334, 355 Banach, S., 455, 459 bar Hiyya, A., 231

616

Bartels, J., 194, 197 Baschmakowa, I.G., 292 Basis, 115, 319, 436 Basisvektor, 119 Basiswechsel, 321 Baustein, 345 Beattie, J., 262 Begleitmatrix, 64, 488 Bekannte(nspalte), 3 Belhoste, B., 90 Bell, E.T., 16, 313 Bellavitis, G., 104 Beltrami, 185, 186, 199 ben Moses ha-Kohen, J., 231 Bernoulli, Daniel, 310, 311 Bernoulli, Jakob (Ururgrossvater von

Jakob I), 310 Bernoulli, Jakob (Grossvater von Jakob

I), 310 Bernoulli, Jakob I, 50, 55, 310, 311 Bernoulli, Johann I, 52, 55, 258, 285,

308, 310, 311, 424 Bernoulli, Johann III, 192 Bernoulli, Niklaus (Vater von Jakob I),

310 Bessel, F.W., 195 Betti, E., 309, 311 Bewegung, 253 Bezout E., 52 Bidualraum, 448, 449 Biermann, K., 91, 160, 312 bijektiv, 7, 470 Bild, 469, 470 Bildmenge, 4, 470 Bildraum, 317, 434 bilinear, 309 Bilinearform, 309, 446 Billmann, A., viii Binet, J., 53 Binomialgesetz, 22 Binomialzahl, 22 Bipolarkegel, 380 Bland, R.G., 595 Block, 21 Bogenmass, 228, 407 Bogenzahl, 224, 227 Bolyai, F., 185, 191, 193, 195, 197-199 Bolyai, J., 158, 185, 191, 194-199 Bombelli, R., 130, 267, 284, 291

Bongartz, K., 550 Borelli, 424 Bortolotti, E., 290 Borwein, J.M.+P.B., 219 Bourbaki, C., 459

Register

Bourbaki, N., vii, 263, 286, 426, 459, 460

Boyer, C.B., 54, 132, 158, 159 Brahe, T., 423 Brauer, R., 355 Breite(ngrad), 527 Brodmann, M., ix Bronstedt, A., 389 Briistle, T., ix Brouwer, L., 312 Bruno, G., 288 Buee (Abbe), 293 Biihler, W.K., 194 Bunjakowski, W.Ja., 420 Biirgi, J., 423

Cajori, F., 51, 54, 218, 219, 233 Campanus von Novara, 189, 231 Cantor, G., 283, 312, 313 Cantor, M., 55, 286, 288, 290-292, 310,

311 CaratModory, C., 592 Cardano F., 288, 290 Cardano, G., 260, 266, 267, 283-285,

287-292, 419 Carnot, L., 89, 158, 267, 388 Caroline von Ansbach (Konigin von

England), 53, 311, 425 Cartan, E., 334 Cartan, H., 459, 460 Cartier, P., viii Casar, J., 160, 188, 198, 388 Cassini, G.D., 355 Cauchy, A.-L., 16, 77, 89-91, 94, 156,

160, 222, 263, 279, 285, 388, 420, 454,457

Cayley, A., 10, 16, 18, 55, 157, 561 Cayley-Hamilton (Satz von), 49 Ceva, G., 191, 561 Ceva, T., 191 Champollion, J.J., 388 Chang Ts'ang, 10, 14, 15, 19, 330 charakteristische Funktion, 62 charakteristische Gleichung, 58

Register

charakteristisches Polynom, 301 Charlotte (Tsarewitschin), 53 Chasles, M., 157, 160, 258, 259 Chavannes, E., 15 Ch'in Shih Huang-ti (Kaiser von

China),15 Cholesky, 602 Christian III. (Konig von Danemark),

288 Chvatal, V., 386, 389, 596 Ciariet, P.G., 287 Cicero, 143 Clausen, T., 214 Clavius (Schlussel), Chr., 185, 190, 191 Clebsch, R., 334 Coleridge, S.T., 259, 261 Collins, J., 215 Condorcet, A., 426 Coolidge, J.L., 164, 179, 259 Corang,58 Corneille, P., 127 Cosinus, 222 Cosinus Hyperbolicus, 200 Cotes, R., 286 Cournot, A., 384, 387, 388 Coxeter, H.S.M., 191 Cramer G., 36, 52, 53 Crelle, A., 458 Cremona, L., 334 Crowe, M.J., 260, 261, 293

d'Alembert, 77, 88, 89, 93, 258, 285, 293, 309, 389

Daniliewskij A., 75 Dantzig, G.B., 380, 385, 384, 387, 389 Darboux, G., 199, 263, 264 Darnley, H. Stuart, 289 Darstellung, 532 Darstellungsmatrix, 140, 150, 439 Darstellungssatz, 141 Dase, Z., 214 Dasypodius (Rauhfuss), C., 190 Daun (Graf von), L.J., 88 da Vinci, L., 290 Davidenko, D., 132 Deckabbildung, 479 Dedekind, R., 309, 311, 312, 355, 356 Definitionsbereich, 469 Dehnungsfaktor, 99

Delambre, J., 355 Delessert, A., 477 della Nave, A., 290 del Vasto (marchese), 290 Demetrios von Phaleron, 181 de Moivre, A., 273, 274, 286, 293 de Morgan, A., 263, 334 de Rohan, Henri, 292 Desargues, G., 157-159, 561

617

Descartes R., 52-54, 127-133, 155, 158, 160, 258, 260, 267, 285, 292, 331, 384, 419, 422

Determinante, 37, 41 Determinante einer affinen Abbildung,

148 Determinantenfunktion, 42 de Vere, Aubrey, 260 DeVito, C., 457 Dezimalzahl, 466 Diagonale, 475 diagonalisierbar, 443 Diagonalmatrix, 6 Diagonalprodukt, 38 Dieterich, E., ix Dieudonne, J., 53, 263, 460 Differenz, 468 Differentialquotient, 499 differenzierbar, 254, 499 di Gonzaga (Don Ferrante),291 Dimension, 318, 340, 363, 436 Dimensionsaxiom, 109 Dimensionsformel von Grassmann, 322,

438 direkte (Orts) basis, 149 direkte Summe, 61, 258, 346, 348, 432 Dirichlet (Lejeune-), P.G., 259, 311, 312 Distributivgesetz, 20, 21 Divisionskette, 483 Dodgson, C. (Lewis Carroll), 334 Doppelfolge, 14 Drehschnelle, 254 Drehspiegelung, 245 Drehung, 208, 243 Drehungsmatrix, 208 Dreieck, 167 'Dreieck', 187 Dreiecksmatrix (obere, untere), 44 Dreiecksungleichung, 97 duale Basis, 445

618

Dualraum, 445 Dunnington, G.W., 194 Du Pasquier, L.G., 311 Durchschnitt, 431, 468 DUrer, A., 289, 290

Ebbinghaus, H.-D., 477 Ebene, 109,340 'Ebene', 182 Ebenenbasis, 119 Ecke,363 Eckmann, J., 287, 289 Eckpunkt, 369 Edgeworth, M., 260 Eigenblock, 61 Eigenblockbasis, 443 Eigenform, 62, 302 Eigenformensatz, 61 Eigenspalte, 58 Eigenvektor, 443 Eigenwert, 58,443 einfach transitiv, 148 Einheitsgesetz, 22 Einheitskreis, 206 Einheitsmatrix, 7 Einheitsvektor, 227 Eins, 295, 478 Einschrankung, 471 Einstein, A., 90, 127, 199, 388 einschaliges Hyperboloid, 400 Eintrag,3 Eisenstein, F., 16, 91 Element, 465 Elisabeth (Kaiserin), 53 Elisabeth (Pfalzgriifin), 53 Ellipse, 397 Ellipsoid, 399 elliptisches Paraboloid, 415 Ende,478 endlich, 472 endlichdimensional, 436 Endpunkt, 99 Engel, F., 191, 197, 199, 333, 334 entgegengesetzt, 20, 105, 295, 430, 480 enthalten, 467 Eratosthenes von Kyrene, 420 Erkerbasis, 328 Erkerform, 124, 328 Erkermatrix, 132, 328

Erkerzeilen, 328 erzeugen, 319, 432, 436 Eudoxos, 420, 480

Register

Euklid, 113, 130, 158, 164, 181, 182, 184-186, 188-191, 193-195,216,249, 259,260,418,419,421,424,429,557

euklidisch, 184 euklidischer Raum, 406 euklidischer Algorithmus, 305 Euler, J.A., 425 Euler, L., 16, 89, 155, 158, 192, 194,

216, 249, 250, 258, 273, 284-286, 293, 309-311, 354, 355, 384, 390, 419-421, 424-426

Eumenes I. (Konig von Pergamon), 423 Eutokios von Askalon, 132, 229,

419-421 Existenzkriterium, 29 Exponential, 272, 501 Exponentialabbildung, 272, 501

Facette, 363 Faddeew, D.K., 336 fallend, 479 Familie, 471 Fang Cheng, 19 Fantet de Lagny, T., 214 Farkas, G., 384, 387, 388 Faser, 4, 470 Faulhaber, J., 292, 293 Ferdinand II. (Kaiser), 423 Fermat, P., 130-132, 134, 155, 160 Ferrari, L., 284, 290, 291, 581 Ferro, Scipione dal, 16, 284-285, 287,

290 Fibonnacci, L., 77 Fior, A.M., 284 Fixpunkt, 169 Fitting, H., 356 Fluchtgerade, 156 Flum, J., 477 Folge,471 Foncenex (Daviet de), 285, 286, 309 Foucher de Careil, A., 54 Fourier, J., 387 Fourier, J.J., 333, 384, 385, 387-389,

452-454, 457 Fourier, P., 387, 388 Franz I. (Konig von Frankreich), 289

Register

Fh~chet, M., 433, 455, 457, 459 Frederike (Konigin in Preussen), 425,

426 Fredholm, I., 455, 458 freie Folge, 319, 436 freie Summe, 325, 438 freie Unbekannte, 29 Friedrich II. (Kaiser), 231, 291 Friedrich II. (Konig in/von Preussen),

88, 89, 193, 194, 425 Friedrichsdorf, 477 Friedrich-Wilhelm I. (Konig in

Preussen), 425 Frobenius, G., 16, 91, 334, 483 Fuchs, L., 160, 199 Fulton, W., 507 Fundamentalsatz der Algebra, 80 Funktion, 471 Fuss, N., 425 Fuss, P.H., 310, 425

Gabriel, F., ix Galilei, G., 127 Galois, E., 33-35, 89, 160, 309, 311, 312 ganze Potenzreihe, 297 ganze Zahl, 466 ganzer Teil eines Polynombruchs, 306 Gauss, C.F., 19, 34, 91, 185, 186,

193-199, 260, 267, 285-286, 293, 309, 312, 355, 423, 424, 426

gebundene U nbekannte, 29 gekoppelte Umformungen, 63, 64 Gelfand, I.M., 356 gemeinsame Senkrechte, 247 Gen Souchang, 14 Georg I. (Konig von England), 311, 425 Georg V. (Konig von Hannover), 194 Georgios von Trapezunt, 231 Gerade, 99, 338 'Gerade', 183 gerade Funktion, 286 Geradenabbildung, 101 Geradenaxiom, 97 Geradenspiegelung, 169, 246 Gergonne, J., 157, 159, 311, 355 Gerhard von Cremona, 189, 231 Gericke, H., 165, 179, 218, 420 Gerthsen, C., 218 geschlossen, 360, 386

geschlossener Halbraum, 365 geschlossenes Intervall, 359 Gewichtsfunktion, 521 Gillings, R.J., 420 Girard, A., 285, 292, 388 Glaukos, 420 gleichgelegen, 120 gleichmachtig, 472 gleichorientiert, 148, 150 Gleichungsraum, 343 Gleichungszeile, 126, 343 Glied,471 Gonzalez, D., 231 Gordan, P., 388 Gottschalk, F., 88 Grad, 298, 302 Gram, J., 179 Graph,469

619

graphische Darstellung, 165 Grassmann, H., 89, 104, 163, 250, 261,

316, 319, 322, 330-335, 355, 456 Grassmannsche Varietat, 332 Gregory, J., 215, 311 Grienberger, 214, 215 Grosse einer Matrix, 3 grosser gleich, 359 grosster gemeinsamer Teiler, 310, 483 Grotefend, G., 164 Grundstein, 345 Grunert, 334 Gruppenaxiom, 479 Gsell, C., 425 Guidotti, P., ix Guidon, T., ix, 561 Gulik van, R.K., 15 Gundling, J.P., 425 Gutenberg, J., 419 Gutknecht, E., ix, 575

Haar, A., 388 Haarmann, H., 163 Hadamard, J., 455, 458, 459 ha-Hazzan, I., 231 Halbebene, 121 halboffene (Strecke), 360 Halbraum, 120 Halley, E., 424 Hamilton, J. (Erzbischof von St.

Andrews), 289

620

Hamilton, P. (schottischer Martyrer), 289

Hamilton, A. R., 263 Hamilton, W., 263 Hamilton W. R., 53, 104, 163, 250,

259-263, 286, 334 Hammurapi, 214, 417 Han (Dynastie), 14, 15 Hankel, H., 332, 334 Harnack, 0., 193 Harris, J., 507 Hassler, U., ix, 561 Hauptachse einer quadratischen Form,

411 Hauptsatz der Trigonometrie, 222 Hawkins, T., 88 Hawlitschek, K., 293 Heath, Th.L., 189-191,423 Heaviside, 0., 261 Hebert, J., 387 Heiberg, I.L., 189 Heinrich II. (Konig von Frankreich),

289 Heinrich III. (Konig von Frankreich),

292 Heinrich IV. (Konig von Frankreich),

292 Heinsohn, G., 264 Heitzinger, W., 287 Helmholtz, H., 91, 160 Helly, E., 455, 459 Henrici, P., 287 Henry, C., 132 Herder, J.G., 192 Herivel, J., 388 Hermann von Dalmatien, 231 Hermite, Ch., 90, 91, 216, 311, 514, 523 hermitesch, 509 Hieron (Tyrann von Syrakus), 422 Hilbert, D., 161, 182, 184, 190, 191,

199, 312, 313, 388, 454, 455, 458, 459 Hindenburg, K.F., 192 Hipparchos, 229 Hippokrates von Chios, 420, 421 Hiram, der Phonizier, 214 Hitler, A., 160 Hohe, 115, 123 Homer, 286 homogen vom Grad 2, 400

Homometrie, 99 Hooke, R., 424

Register

Horner, W., 282, 287, 299, 305, 519 Householder, A.S., 602 Hsiao-Ching (Kaiser von China), 15 Hsiao-Wen (Kaiser von China), 15 Hulsewe, A.F.P., 15 Huppert, B., 16 Hurwitz, A., 388 Huygens C., 54, 215 Hypatia, 190, 419 Hyperbel, 397 hyperbolische Ebene, 185 hyperbolisches Paraboloid, 416 Hyperboloid, 400, 401 Hyperebene, 449 Hypothenusensatz, 171

Ibn al-Haitham, 130 Ibn Yuni, 230 Identitat, 7, 470 Imaginarteil, 268 Immersion, 434 induzierte Abbildung, 434 injektiv, 7, 470 Inklusion, 470 Innere, 386 interne direkte Summe, 332 interner Punkt, 362 Internum, 362 Intervall, 360, 478 inverse (Orts)basis, 149 inverse Matrix, 8 inverser Skalar, 295 Inversionsformel, 45 invertierbar, 8 isometrisch, 257 Isometrie, 102, 205 Isometrieklassen, 257 isomorph, 184, 434 Isomorphismus, 434 isotrop, 402 Iwan III, der Schreckliche, 197

Jacob, S., 190 Jacobi, C., 91, 194, 426, 528 Jeanne d'Arc, 388 Jeiler, I., 313 Johannes von Sevilla, 231

Register

Jordan C., 75, 76, 78, 91, 92, 160, 258, 263, 264, 309, 483

Jordansche Normalformen, 75 Julian Apostata (romischer Kaiser),

190 Juschkewitsch, A.P., 34, 218, 233 Justinian (Kaiser), 419

Kampfer E., 54 Kanada, Y., 219 Kane, R., 263 K'ang-hsi, 52 kanonische Abbildung, 448 kanonische Projektion, 433 Kant I., 192, 261, 262 Kante,363 Kantenvektor, 369 Kao-Tsu (Kaiser von China), 15 Kardinalitat, 472 Karl IV. (Konig von Spanien), 387 Karl V. (Kaiser), 287, 289, 290 Karl Wilhelm Ferdinand (Herzog von

Braunschweig), 194, 197 Kastner, A.G., 185, 193, 197 Katharina II. (Tsarin), 88, 356, 424 Kegel, 366 Keill, J., 310 Keller, B., ix Kepler, J., 127, 157, 159, 262, 292, 419,

423,424 Kern einer linearen Abbildung, 434 Kern einer Matrix, 317 Kern einer quadratischen Form, 402 Kielmansegge (der 'Elefant'), 311 Kirchhoff, G., 91, 541 Kleber, J.-B., 388 Klein, F., 91,158-161,197,199,219,

263,264,334,355,388,456,458 kleinste Facette, 364 Kleopatra, 181 A.U. Klimuk, 532 Kline, M., 15, 132, 160, 197, 218, 286,

311, 419, 421, 423, 426 Klugel, G.S., 193 Kneser, A., 287 Kneser, H., 287 Kneser, H.O., 218 Kneser, M., 279, 281, 285, 287

Knobloch, E., 53, 55 Koch, N. von, 454 Koeffizient, 75, 296 Koeffizientenmatrix, 3 Kollineation, 141 kombinatorisch aquivalent, 386 kommutativ, 296 Kommutativgesetz, 20 Komplement, 468 komplex diagonalisierbar, 79 komplexe Ebene, 267 komplexe Zahl, 267 komplexer Vektorraum, 430 komplex-konjugiert, 271, 300, 509 Komponente, 468 Komposition, 471 Konfiguration, 121, 150 kongruent, 224, 295 Kong-suen Tch'en, 15

621

Konigsmarck (Graf von), Ph.Chr., 425 Konjugation, 57 konjugiert, 57, 256 konstante Potenzreihe, 296 kontragredient, 23 konvex, 166, 359 konvexer Abschluss, 361 konvexes Polyeder, 369 Konvexkombination, 361 Koordinate, 115, 123, 319, 341, 436 Koordinatenfunktion, 445 Koordinatenspalte, 115, 123, 319, 341,

436 Kopernik, N., 191, 283, 287, 288, 290,

292, 423 Koplenig, H., 423 Korowa, T., 352 Korper,295 Kotransponierte, 327 Kowalewskaja, S., 91, 160, 312 Krivine, J.-L., 477 Kronecker, L., 91, 160, 286, 287, 294,

309, 312, 313, 334, 552 Kugelfunktion, 526 Kugelpolynom, 529 Kummer, E., 312, 313, 334 Kyrillos (Patriarch von Alexandria),

190 Lacroix, S., 259

622

Lagrange, L., 77, 88, 89, 158, 192, 194, 285, 286, 293, 309, 387, 426

Laguerre, E., 157, 515, 523 Lahire, P., 160 Lambert, J.H., 112, 185, 191-196, 200,

216,456 Lame, G., 90 Lange (eines Kreisbogens), 214, 225 Lange (eines Vektors, einer Spalte),

104, 406, 509, 530 Lange(ngrad), 527 Laplace P., 53, , 77, 92, 158, 387, 388 Laurent, P., 90 Lebesgue, H., 91 leere Menge, 466 Legendre, A., 185, 193, 194, 355, 522,

523, 525 Leibniz, G. W., 10, 17, 50-55, 132, 195,

215, 285, 289, 308-311, 388, 425 Leuzinger, E., ix Le Verrier, U., 90 L'Hospital (Marquis de), 50, 310 Lhuillier, S., 311 Lichtenberg, G.Chr., 193 Lie, S., 91, 258, 263, 264, 333, 334, 532 Lindemann, C., 216, 219, 220 linear aquivalent, 349 lineare Abbildung, 23, 115, 135, 149,

433 lineare Gruppe, 8, 317 lineare Ordnung, 475 lineare Vektormenge, 116 linearer Abschluss, 118 linearer Anteil, 365 linearer (Teil)raum, 317, 326 Linearform, 445 Linearkombination, 23 linear unabhangig, 319, 436 Liouville, J., 89, 90, 91, 309, 311, 454,

458 Liselotte ('La Palatine'), 53 Liu Hui, 14, 19, 214 Lobatschewski, N.L, 158, 185, 186,

194-197, 199 Lorch, E.R., 163, 179 Losung(smenge), 4 Lotpunkt, 168, 177, 408, 450 Louis XIV. (Konig von Frankreich),

54, 355

Register

Louis XVIII. (Konig von Frankreich), 91, 387

Louis-Philippe (Konig von Frankreich), 90

Lowe, K., 333 Lukan, M., 388 Lurje, S., 423 Luther, C., 355 Luther, M., 288, 289, 355

MacDuffee, C.C., 55 Machin, J., 214 machtiger, 473 MacLaurin C., 52 Magas (Kronprinz von Agypten), 420 Mahavira, 231 Mann, G., 54, 262 Manuel, E., 424 Maria-Magdalena, 160 Mary Stuart (Konigin von Schottland),

289 Marie-Antoinette von

Habsburg-Lothrin-gen (Konigin von Frankreich), 89 Marshall, K.T., 596 Martzloff, J. -Cl., 14 Mathieu, E., 311 Matrix, 3 Matrix einer Bilinearform, 400 Matrix einer quadratischen Form, 391 Maupertuis, P.L., 419, 426 Maximilian L (Kurfiirst von Bayern),

262 Maxwell, J., 261 McMullen, P., 380, 384, 386, 389 Mehmed II. (Sultan), 419 Meiji Tenno (Kaiser von Japan), 163 Menaichmos, 132, 418, 420, 421 Menelaos, 536, 560 Menge, 465 Meschkowski, H., 313 Michelangelo (Buonarotti), 289 Mikami, Y., 14, 51, 163, 179, 218 Minkowski, H., 91, 92, 384, 388 Minos (Konig von Kreta), 420 Mittag-Leffler, M., 90, 91, 160 Mitte, 101 Mittellinienaxiom, 109 Mittelsenkrechte, 218

Register

Mneime, R., 507 Mobius, A., 157, 161, 334, 354, 355 modulo, 295 momentane Schraubenbewegung, 255 Monge, G., 89, 156-160, 355, 387, 388 Monna, A.F., 457, 458 More, L.T., 424 Moritz von Oranien, 292 Mote, F.W., 54 Motzkin, T.S., 384 Mourey, C.V., 293 Multiplikation, 295

Nabonid (Konig von Babylon), 264 Nagy, B.Sz., 457 Napier, J., 423 Napoleon 1., Bonaparte, 89, 189, 194,

197, 387, 388 Napoleon III. (Kaiser der Franzosen),

90, 159 Nasir ad-Din, 185, 191 natiirliche Basis, 319 natiirliche Basisspalte, 5 natiirliche Ortsbasis, 341 natiirliche Zahl, 466 Nazarowa, L. A., 332, 356 Neuenschwander, E., ix Neumann, C.G., 458 Nevanlinna, R., 264 Newton, 1., 127, 194, 215, 230, 260,

310, 311, 419, 423-425 Ney, M., 156 nichteuklidisch, 184 Nickel, K., 287 Nightingale, F., 15 Nikiforov, A., 522 Nikulin, V.V., 200 Nilikantha, 215, 230 nilpotent, 75 Norm, 450 Normalform,33 Normalformensatz, 145 normiert, 450 Nostradamus, M., 289 Null eines Korpers, 295 Null (Zahl), 478 Nullmatrix, 10, 20 Nullmenge, 118 N ullraum, 343

Nullstelle, 299, 302 nullstellenfreier Faktor, 300 Nullstellengebilde, 126 Nullvektor, 105, 430

obere Halbkreis, 210 O'Donnell, Sean, 260, 262, 263 offen, 386 offene Halbgerade, 360 offene Strecke, 360 Ohm, G., 541 Omar 1. (Kalif), 188 Ordinate, 115, 123 Ordnung, 296, 299, 302 Ordnung(srelation), 475 Ore, 0., 288, 289, 291 Oresme, N., 130 orientiert, 149, 150 Orientierung, 149,150 orientierungstreu, 148, 206 Orieux, J., 88 Ortelli, C., ix orthogonal, 176, 401, 405

623

orthogonale Abbildung, 205, 251, 408 orthogonale Gruppe, 409 orthogonale Matrix, 252, 408 orthogonale Summe, 405 orthogonale Zeilenumformung, 409 orthogonales Polynom, 521 orthogonal konjugiert, 413 Orthogonalraum, 333, 401, 407, 451 orthogonal zeilenaquivalent, 409 orthonorniert, 174, 176, 251, 397, 408 Ortsbasis, 123, 341 Osiander, A., 288, 289 Ostrogradski, M.W., 387, 388 Ostrowski, A., 293 Oughtred, W., 217

Paar,468 Pacioli, L., 284, 290 Pappos, 77, 130, 132, 188, 419, 421 Parabel, 397 Paraboloid, 415, 416 Paracelsus (Theophrast von

Hohenheim), 289, 291 parallel, 118, 340 Parallelenviereck. 238 Pare, A., 288

624

Parent, A., 310 Pascal, B., 160 Pasch, M., 183, 190 Peano, G., 334, 335, 455, 459 Pemberton, H., 310 Permutation, 46 Permutationsmatrix, 46 Perron, 0., 16 Pestalozzi, J.H., 456 Peter III. (Tsar), 88 Petreius, J., 288 Petrus, 160 Peyrard, F., 189 Pfaff, J.F., 193, 194, 197, 293 Pheidias, 422 Piazzi, G., 194 Pincherle, S., 455, 459 Pipin der Kurze (Konig der Franken),

19 Pitiscus, B., 233 Planck, M., 215 Plato von Tivoli, 231 Platon, 190, 384, 417, 419 Plucker, J., 157, 159, 160, 264, 355 Plutarch, 422 Poincare, H., 91, 156, 160, 185, 199,

200, 311, 33, 331, 333, 334, 454 Poincare, R., 199 Poincaresche Halbebene, 186 Poinsot, L., 250, 258, 259, 264 Poisson, S., 89, 387, 454 Pol einer Gerade, 157 Pol eines Polynombruchs, 302 Polare, 157 Polarform, 399 Polarkegel, 380 Polarraum, 329, 448 Polarteil, 303-305 Polraum, 448 Polybios, 422 Polygon, 370 Polynom, 298 Polynombruch, 302 polynomiale Funktion, 75, 299 Poly top , 385 Pompeius, G.M., 388 Poncelet, J.-V., 89, 156-160, 162, 199,

200, 311, 355, 356, 384 Ponomarew, V.A., 356

Pont, J.el., 191 Pontrjagin, L.S., 264 Poseidonios, 193 Positivbereich, 383 positiv definit, 405 positive Zahl, 466 positives Erzeugnis, 369 Postulat, 182 Potenz, 11 Potenzreihe, 296 Prausnitzer, F., 312, 313 Prestel, A., 477

Register

Produkt, 6, 21, 268, 430, 480 Produkt (von Mengen ... ), 432, 469,

471 Projektion, 135, 138, 325, 434, 471, 473 Projektionsgerade, 135 projektive Ebene, 156 projektive Gerade, 157 projektive Gruppe, 158 Proklos, 132, 185, 189-191, 419 Psammetisch I. (Pharao), 188 Ptolemaios (Astronom), 185, 191, 214,

215, 229, 230 Ptolemaios Euergetes, 420 Ptolemaios Philadelphos, 188 Ptolemaios Philipator, 420, 423 Ptolemaios Soter, 181, 188, 189 Pudu-Hepa, 264 Puiseux, V., 90 Punkt,97 'Punkt', 183 Punkt im Unendlichen, 157 Punktspiegelung, 102 Puschkin, A.S., 196 Pyrrhos (Konig von Epirus), 422 Pythagoras, 51, 163, 164

quadraffin, 415 quadratische Form, 391 quadratische Matrix, 6 quadratischer Kegel, 398 Quadrik, 391 quasi-diagonal, 79 Quaternion, 250 Querschnitt, 33

Rabelais, F., 289 Radikal einer quadratischen Form, 402

Register

Raimund I. (Erzbischof von Toledo), 231

Rang einer linearen Abbildung, 438 Rang einer Matrix, 26 Rang einer quadratischen Form, 392 Rangform,31 Rangformel, 329, 438 rationale Funktion, 303 rationale Zahl, 466 rational irreduzibel, 34 Raum,97 Rayleigh (Lord), 261 Realteil, 268 reell diagonalisierbar, 57 reelle Zahl, 466 reeller Vektorraum, 430 Regiomontanus (Muller, J.), 233 Reid, C., 191 reine Gleichung, 274 Rest einer Division, 298, 306 Rest einer Potenzreihe, 298 Restfunktion, 530 Restklasse, 473, 474 Restklassenmenge, 473, 474 Restklassenraum, 432 Rhaeticus (Georg J. von Lauchen), 233,

288,289 Ricci M., 52, 190 Riche de Prony, 231 Richelieu, 132 Richtungsabbildung, 136, 149, 376 Richtungsgerade, 119 Richtungsteil einer affinen Matrix, 140,

340 Richtungsvektor, 119 Richtungsmenge, 117, 339 Richtungsraum, 104, 339 Riemann, G.F., 195, 311, 334 Riemannsche Sphare, 396 Riesz, F., 455, 458 Riesz, M., 457 Ring, 296 Robert von Chester, 231 Roberval (Personne de), G., 155, 156 Robespierre, M., 387 Roiter, A. V., 332, 356 Rosenhain, J., 91 Roth, P., 292, 293 Rothman, T.R., 34

Rudakow, A.N., 292 Rudolf II. (Kaiser), 423 Ruffini, P., 282, 287, 299, 305, 519 Rutherford, 214

Saccheri G., 185, 191-193, 196 Saint-Venant, A., 90 Salomo, 189, 214 Sakulargleichung, 57

625

Sargon (Konig von Akkade, Kisch und des Landes), 417

saturiert, 373 Scall von Bell J., 52 Schablone, 385 Schaepman, C., 594 Schang Kao, 163 Scherungsmatrix, 37 Schmidt, E., 454, 455, 458, 602 Schneider, I., 423 Scholz, E., 311, 312, 333 Schonberger, L., 189, 190 Schraubenbewegung, 254 Schraubung, 248 Schreiber, P., 190 Schreier, 0., 335 Schrijver, A., 333, 387-389 Schubbewegung, 255 Schubschnelle, 254 Schubspiegelung, 245 Schumacher, H.C., 195 Schwartz,L., 458 Schwarz, H.A., 160, 312, 420 Schwarz, H.R., 287, 523 Schweikart, F.K., 185, 195, 196 Schwerpunkt, 167, 354 Scott, J.F., 132 Seitenfiache, 363 Seki Kowa, 51, 52 senkrecht, 168, 169, 176, 259 Sesiano, J., 132 Seyffer, C.F., 193 Shafarevich, I.R., 200 Shakespeare, W., 289 Shanks, W., 214, 215 Sharp, A., 214 Shen, Y., ix Signatur einer Permutation, 46 Signaturformel, 47 Simonov, D., 197

626

Simplex, 361 Sinus, 222 Sinus Hyperbolicus, 200 Skalar, 295 Skalarmultiplikation, 430 Skalarprodukt, 172, 406, 451 Small, W., 215 Smith, H., 15, 483 Snell, W., 215 Sophie (Kurfiirstin von Hannover), 53,

311 Sophie-Charlotte (K6nigin in

Preussen), 53 Sophie Dorothea (K urprinzessin von

Hannover), 425 Sophie Dorothea (K6nigin in

Preussen), 425, 426 Spalte,3 spaltenlinear, 44 Spaltenumformung, 31 Spat, 236 Spatprodukt, 235 Spektralblock, 78 Spektralform, 79 Spektralformensatz, 79 Spektralraum, 326, 443 Sperner, E., 335 speziell affin-orthogonal, 256 spezielle affin-orthogonale Gruppe, 256 spezielle Gruppe, 38 spezielle orthogonale Gruppe, 532 spezielle Matrix, 37 Spiegelbild, 169, 238 spiegelkonvex, 168 Spiegelung, 169, 238, 479 Spiegelungsmatrix, 208, 510 Spiegelungsaxiom, 479 Spitze eines Strahls, 99 Spitze cines Vektors, 105 Ssu-ma Ch'ien, 15 Ssu-ma T'an, 15 stabil, 241 Stackel, P., 191, 196-198 Standardsphare, 398 Staudt (von), K., 384, 388 steigend, 479 Steiner, J., 157, 429, 456, 458 Steinitz, E., 309, 313, 334, 335, 456 Stevin, S., 292

Stifel, M., 289 Stobaios, 189, 190 Strahl, 99, 359, 478 'Strahl', 183 Strecke, 99, 360 'Strecke', 183 Streckung, 101, 480 Streckungsaxiom, 98 streng konvex, 451 Stufenbasis, 326 Stufeneintrag, 25 Stufenform, 26 Stufenfunktion, 25 Stufenmatrix, 25 Stufenspalte, 25 stumme Koordinate, 123, 341 Sturm, J., 518, 519 Sturmsche Kette, 517

Register

Summe (von Bogenzahlen), 225 Summe (von konvexen Polyedern), 362 Summe (von Matrizen), 19 Summe (von Punkten und Vektoren),

105 Summe (von Untervektorraumen), 322,

431 Summe (von Vektoren), 105, 430 Summe (von Zahlen), 268, 480 Supplement, 324, 438 supplementar, 324 surjektiv, 7, 476 Suurballe, J.W., 596 Sylvester, J. J., 2, 10, 15, 16, 75, 158,

161, 334, 426 symmetrische Funktion, 399 symmetrische Matrix, 391 Szeg6, G., 522

Tangens Hyperbolicus, 200 Tangentialraum, 403 Tangentialvektor, 254 Tannery, P., 132 Tartaglia, N., 265, 284, 285, 287, 290,

291 Taurinus, F.A., 185, 191, 195, 196, 200 Taylor, B., 215, 308-311 Teilmenge, 467 Testard, F., 507 Thabit ibn Qurra, 130 Thaer, C., 181

Register

Thales von Milet, 556 Theon, 189, 190, 419 Theophilos, 188 Thorn, A., 165, 420 Thomas, W., 477 Thrall, R.M., 355 Titus Livius, 422 Tobies, R., 160 Toeppel, M.-M., 190 totale Ordnung, 475 Triigheitsindex, 397 Transformationsgruppe, 32 Transitionsmatrix, 143, 150, 321, 342,

440 transitiv, 148 transponiert, 23, 447 Transposition, 23 Treppenform, 409 Treppenmatrix, 409 Tribout H., 200 tridiagonal, 510 Troch, 1., 287 Tropfke, J., 34, 290 Tschebyschow, P.L., 513, 522, 523 Tschou-Kung, 163 Tsu Ch'ung-chih, 214 Thdhaliyas IV. (Grossk6nig der

Hethiter), 264

Umkehrabbildung, 7, 472 Unbekannte(nspalte), 3 unbestimmte Potenzreihe, 296 'Unendlich', 296 unendliche Folge, 471 ungerade Funktion, 286 Ungleichungskegel, 381 unitiire Gruppe, 509 unitiire Matrix, 509 unitiir( es) Polynom, 34, 483 Unterk6rper, 295 Untervektorraum, 431 Urbild, 317, 470 Urpunkt, 105 Ursprung, 123 Uvarov, Y., 522

Valentin, G., 287 van Ceulen, L., 214,215 Vandermonde A., 51, 52, 457

627

Vandermonde (Matrix von), 48, 453, 457

van der Waerden, B.L., 219, 232, 233, 286, 420, 457, 459

van Roomen, 292 van Schooten F., 52 Varus, 160 Veblen, 0., 184, 191 Vega (Freiherr von), G., 214 Vektor, 104, 430 Vektorraum, 430 Vektorfeld, 254 Vektorprodukt, 237 Veblen, 0., 191 Verbiest F., 52 Vereinigung, 467 Verhiiltnis einer Streckung, 101 Veronese, G., 309, 313 Verschiebung, 137, 340, 479 Verschwindungsgerade, 156 vertauschbar, 22 Vertauschung, 46 Vertauschungsmatrix, 46 Vesal, A., 283, 287, 288-290 Viete, F., 130, 233, 273, 285, 286,

291-293, 331 Vilenkin, N.Ja., 532 Vinberg, E.B., 532 Vogel, H., 218 Vogel, K., 14, 34, 179, 420 Vollstiindigkeitsaxiom, 478 Voltaire (F.M. Arouet), 53, 90, 426 Volterra, V., 91, 454, 455, 457 von Moerbeke, W., 231 Vorstufenform, 41 Vorstufenmatrix, 41 Vossieck, D., ix

Wachter, 195 Wallenstein, A., 262, 423 Wallis, 293 Wallis, J., 185, 191, 217, 219, 454 Walter, W., 219, 233, 420, 456, 457 Wantzel, P.L., 216 Warren, J., 293 Wawilow, S.L, 424 Weber, H., 309, 313 Weber, W., 194

628

Weierstrass K., 56, 77, 78, 9{}--92, 160, 161,199,312,313,450,483,531

Weil, A., 264, 458-460 Welles, C.B., 188 Wert einer Abbildung, 5, 469 Wert einer polynomialen Funktion, 75 Wert einer rationalen Funktion, 303 Wert eines Polynoms, 298, 299 Wertevorrat, 469 Wessel, C., 293 Westfall, R.S., 424 Weyl, H., 312 Wieland, Chr.M., 193 Wieleitner, H., 130 Wiener, N., 455, 459 Wilde (Lady), 260 Wilde, 0., 260 Wilhelm von Moerbeke, 231 windschief, 122 Winkel,227 Winkelhalbierende, 170 Winkelungleichung, 407 Witt, E., 610 Wordsworth, W., 259 Wussing, H., 288

X,458-460

Y, 459, 460 Yaglom, I.M., 264 Yale, P.B., 578

Yoshii, T., 356 Yosida, K., 457

Z,460 Zach, F.X., 194 Zahl,478 Zahlengerade, 478 Zahlenkreis, 225 Zahlen modulo n, 295 Zamperti, 189 Zeile, 3 Zeilendrehung, 409 zeilenlinear, 42 Zeilenscherung, 24 Zeilenstreckung, 24 Zeilensummennorm, 516 Zeilenumformung, 25 Zeilenvertauschung, 25 Zelle, 85 zellenweise, 86 Zentralprojektion, 156 Zentrum einer Streckung, 101 Zerlegung, 473 Zeuthen, H.G., 292 Zurmiihl, R., 287 Zusammensetzung, 471 zweischaliges Hyperboloid, 401 zwischen, 182 Zwischenzahlaxiom, 478 zykloidisch, 65

Register

Verzeichnis der Symbole Die folgenden Symbole 0, C/, 1><1, \7, tft, • sind als 'Platzhalter' zu verstehen.

Balkenschrift

C, 267 Co, 395

C,446 C" 296 C"'~'" 296 qX1"", 485 qX1'" X'" , 485 C ... {X} , 431 lE,206 lE+ ,210 IT ... , 7, 8, 470 lK,317 N, 466, 468 NI ,466 NI,,,,, 471 Q, 295, 466 lR,465 lR+,465 lR"', 296 lR"' x "" 296 lR/27rZ, 224 lR ... [X, Y, Zl , 529 §, 396, 526 § ... ,398 11' , 527 1[J, 521 Z,466 ZlO,466 Z2- 00 , 211 Z[1O- 11, 296 Z/0,295

Fettschrift

0,295 1,295 2"',467 e= 2,718281828 ... , 286 e"', 272, 501 d,279 i, 267 0,105 v ... (0) ,254 v ... (O, C/), 254 z(0),268

Fraktur

'SO, 268, 499 ~o£ ... 0, 303, 304 ~o£oo 0 , 305 0", , 399 RO, 267, 499

Griechische Schrift

~(O), 38 ~ ... , 361, 475

~"""', 25 E'(0),46 ", 433, 470 0', 362 A ... , 515, 523 v(O,C/), 74 7r, 214 7r ... , 212 1f ... ,213 v:J, 434 rr::t 0 ... , Produkt der Faktoren 0 ... ,

1-:; ... -:; ... rr ... E ... 0 ... , 432, 471 P ... ( 0) , 298 p ...... ,209 U, 303, 527 U", , 169, 209, 238, 337 :L::t 0 ... , Summe der Summanden

:L0C/,432 :L ... lR+O"', 373 r"', 299, 303

Grotesk

A:(0),344 Oaf, 337 O~f' 145 O"'x", 145 337 af ' , AG ... (O) , 145,337 AGn , 148 AGt, 148 AGS ,148

0 ... , 1 -:; ... -:; ...

630 Symbole

AG~, 148 Gle(~), 343 AO",,(JR.) , 256 H"", 514, 523 Asym",,(JR.) , 508 Im~, 317, 434 B,148 K"",., 529 G:,332 Ker~, 317, 434 GL",,(~), 8, 296, 485 L"",522 Her"",509 L"",., 525 IsO (R),253 Nul(~), 343 K"",., 150 P:, 135, 138 L:(~), 349 P(~), 46 O",,(JR.) , 256, 409 P"",301 PG., 158 p""., 25 5AO",,(JR.), 256 P",,(~), 62 503 (JR.) , 531 Pos(~), 383 5L",,(~), 38, 296 s"",25 5ym",,(K),392 s:,101 U"",509 sin~, 222

sinh~, 200

Kursive Schrift S., 513, 523 S(~, CV), 78

B(~), 346 S(~; CV) , 61, 301 C(~), 236 S(~,~; CV), 78 D(~), 226 tanh~, 200 E(~), 257 Ugl(~), 381 F(~), 257 v(~), 296 G"",346 v.(~), 299, 302 R(~), 226 vol ~, 236 X, 296 S.,509 ~[Xl, 298 Z"",327 ~(X), 302

~[[Xll, 297 ~((X)) , 296

ROmische Schrift ~[Xl., 303

B(~), 488 cos~, 222

Schreibschrift cosh~, 200 Co, 522 C,268 C",,(~, CV), 38 Coo (JR.) , 431 Corg~, 58 C",,(~,JR.), 431, 437, 526 d(~), 298, 302 C6 (JR., q , 444 det ~, 37, 53, 148 1i, 186 det",,~, 37, 41 f2(~), 431, 446 dim ~ , 318, 340, 363, 436 ~£, 365 D",,(~), 531 .c"",504 e"", 5, 340 .c(~, CV) , 434 ei ,137 .c~(~,JR.), 431 exp~, 501 N,185 E""·, 24 R,97 g:, 100, 101 S"",531

Symbole

Zeichen

0,466 :3,467 \;j,466

==?,467 -{==?, 467 00,296 III ,347 f---t-+--+---i, 14 -(), 20, 430, 480 ()! , 473 L(), 226 [(), 101 ()J, 101 ,()J, 58, 472 I()I , 270, 406

1<>1, 104, 108 II()II , 450 1I()1I°o , 516 I () I , 452, 509, 530 ()),361

<>,45 ()-I, 7,8,472 Q, 109, 158, 295, 300, 338, 434, 509 (), 136 --> (), 117,339

(),224 . (),499 ()* , 509 () 0, 296 () T, 23, 445, 447 () TT, 448 ()-L, 176, 407, 447 ()', 300, 303 ()~, 306 ()t>, 319, 434 ()D, 341 ()=, 329, 363, 448 ()==, 330 ()=l, 448 ()V,446 (»,363 ()2:, 380 ()2:2:, 380 ()OO, 367 Q, 4, 299 ()oo , 158

()-, , 140, 340 I ... , 14 H ... ,14 ()\) , 99 ----4 ()\) , 104 I()\)I, 97, 185 'I()\)I' , 187 (), \)) , 468 [ ()\)J, 99, 360 ]()\)[, 360 [()\)[, 360 [(),\)], 101,478 ](), \)[, 478 [(), \)[,478 ](), \)J, 478 [<>10J,237 ()[\), 99 () E \),467 () c \),467 () u \),467 () n \),468 () \ \), 468 () ::S \), 473 () + \), 19, 322, 430, 480 () EEl \) , 61, 325 () -L \), 168 () x\), 3, 469 (). \), 163, 172, 406, 451 () 0 \) , 6, 471 ()I\), 471 ()/\), 432, 474 () V\), 483 L(), \)),407 L( <>,0) , 228 L(<>, 0),227

o (\)) , 499 ()-1(\)),470 ()-I{\)}, 4, 470 ()"', 11, 296, 391,401,469 () ... , 3, 303, 364, 432 (!) , 22, 440, 473 () .... , 3, 488 () .... , 3 () < ... \), () < \), 475 () ::; ... \), ()::; \) , 475 () "' ... \), () '" \) , 475 [<>101~J, 235 () )\)(~, 183

631

632

{~IQ} .. , 238 ~"., 296 ~"t\., 42, 49 ~:, 318 ~ ... ,3 (~, Q) rv (~, \7),102 (~, Q) ~ (~, \7),182 {~IQIV} .. , 236

U<>E.~' 467 n<>E. ~, 468 U .. E • ~ .. , 432 ~Q ~ ... ,109 (~, Q, ... ,~), 361 {~, Q, ... ,~} , 465 ~ EEl QEEl ~ ... , 325, 432 { ... I ... }, 465

Symbole

Verzeichnis der Bildnisse

JAMES JOSEPH SYLVESTER (aus Juschkewitsch/Kolmogorow, 'Matematika 19wo wjeka', Moskwa, 1978) .............................................. 2

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (aus Kruger, 'Gottfried Wilhelm Leibniz', die Hauptwerke, Leipzig, 1933) ............................................ 17

ARTHUR CAYLEY (aus 'The Collected Mathematical Papers', vol. VII, Cambridge, 1894) ......................................................... 18

EVARISTE GALOIS (aus Kollros, 'Evariste Galois', Birkhauser, 1949) ........... 35

GABRIEL CRAMER (aus Fueter, 'Grosse Schweizer Forscher', Zurich, 1939) 36

COLIN MACLAURIN (aus 'Matematitscheskij Enzyklopeditscheskij Slowar', Moskwa, 1988) ................................................... 55

KARL WEIERSTRASS (aus 'Mathematische Werke', Band VI, Berlin, 1915) ..... 56

CAMILLE JORDAN (aus McCleary/Rowe, 'The History of Modern Mathe-matics II', Academic Press 1989, Coutesy of Springer-Verlag Archives) 76

PIERRE-SIMON LAPLACE (aus 'Oeuvres Completes', Gauthier-Villars, 1878-1912) ............................................................... 92

JEAN D' ALEMBERT (Pastell von de la Tour, Louvre, kopiert aus Wilson, 'Diderot', Oxford, 1972) .................................................. 93

AUGUSTIN LOUIS CAUCHY (aus Belhoste, 'Cauchy', Belin, 1985) ............... 94

DAVID HILBERT (aus 'The Polya Picture Album', Birkhauser, 1987) ........... 96

JOHANN HEINRICH LAMBERT (aus Lowenhaupt, 'Johann Heinrich Lambert', Miilhausen/Mulhouse, 1943) .............................................. 112

RENE DESCARTES (aus 'Lexikon bedeutender Mathematiker', H. Deutsch, 1990) ......................................................... 133

PIERRE DE FERMAT (aus 'Oeuvres de Fermat', Gauthier-Villars, 1891) ........ 134

FELIX KLEIN (aus 'The Polya Picture Album', Birkhauser, 1987) .............. 161

JEAN VICTOR PONCELET (aus Tribout, 'Le General Poncelet', Paris, 1936) .... 162

CARL FRIEDRICH GAUSS (aus Buhler, 'Gauss', Springer-Verlag, 1981) ......... 180

NIKOLAJ IWANOWITSCH LOBATSCHEWSKIJ (aus Juschkewitsch, 'Istoria Matematiki w Rossiji', Moskwa, 1968) .................................... 201

JANOS BOLYAI (aus Jaglom, 'Felix Klein and Sophus Lie', Birhauser, 1988) 202

CHARLES HERMITE (aus 'Oeuvres Completes', vol. II, Gauthier-Villars, 1908) ................................................... 204

CARL LOUIS FERDINAND VON LINDEMANN (aus 'The Polya Picture Album', Birkhauser 1987) ......................................................... 220

JOHANNES MULLER REGIOMONTANUS (aus 'Lexikon bedeutender Mathematiker', H. Deutsch, 1990) ......................................... 233

WILLIAM ROWAN HAMILTON (aus O'Donnell, 'William Rowan Hamilton', Boole Press Dublin, 1983) ................................................. 234

634 Bildnisse

LOUIS POINSOT (aus 'Matematitscheskij Enzyklopeditscheskij Slowar', Moskwa, .................................................................. 264

NICCOLO TARTAGLIA (aus 'Lexikon bedeutender Mathematiker', H. Deutsch, 1990) ......................................................... 265

GERONIMO CARDANO (aus Scholz, 'Geschichte der Algebra', Bibliog. Institut, 1990) .................................................... 266

FRANQOIS VIETE (aus 'Opera Mathematica', Georg Olms Verlag, 1970) ....... 293

LEOPOLD KRONECKER (aus 'Matematika 19wo wjeka', Moskwa, 1978) ......... 294

RICHARD DEDEKIND (aus 'Matematika 19wo wjeka', Moskwa, 1978) 314

HERMANN GRASSMANN (aus 'Hermann Grassmanns Gesammelte Mathematische und Physikalische Werke', Teubner, 1894) ................. 316

GIUSEPPE PEANO (aus Kennedy, 'Giuseppe Peano', Birkhiiuser 1974) ......... 335

AUGUST FERDINAND MOBIUS (aus 'Gesammelte Werke', Leipzig, 1855) ........ 336

GASPARD MONGE (aus P.J. Mobius, 'Uber die Anlage zur Mathematik', Leipzig, 1900) ............................................................ 357

JOSEPH FOURIER (aus Herivel, 'Joseph Fourier', Clarendon Press, 1975) ....... 358

HERMANN MINKOWSKI (aus 'The Polya Picture Album', Birhiiuser, 1987) ..... 389

LEONHARD EULER (aus 'Leonhard Euler 1707-1783', Birkhauser, 1983) ....... 390

LUIGI LAGRANGE (aus Burzio, 'Lagrange', Torino, 1942) ...................... 426

ISAAC NEWTON (aus Westfall, 'Never at rest', a biography of Isaac Newton, Cambridge, 1980) .......................................... 427

JOSEPH LIOUVILLE (aus Belhoste, 'Cauchy', Belin, 1985) ...................... 428

HENRI POINCARE (aus 'Oeuvres de Henri Poincare', vol. IX, Gauthier-Villars, 1954) ................................................... 461

NIELS ABEL (aus 'Lexikon bedeutender Matematiker', H. Deutsch, 1990) 462

VITO VOLTERRA (aus 'Matematitscheskij Enzyklopeditscheskij Slowar', Moskwa, 1988) ........................................................... 462

IVAR FREDHOLM (aus 'Oeuvres Completes de Ivar Fredholm', Malmo, 1955) ............................................................. 462

STEFAN BANACH (aus 'Lexikon bedeutender Mathematiker', H. Deutsch, 1990) ......................................................... 462