N e u b e r , Uber dae Kerbproblem in der Plattentheorie 199 Z. augew. Math. Mech. Bd. 20 Nr. 4 Aog. 1940

Uber das Kerbproblem in der Plattentheorie. Von H. Nezcber in Braunschweig.

1. Einfuhrung. Die bisher vorliegenden Lbsungen des Kerbproblenis') haben die Mbglich. keit gegeben, die Verteilung der Spannungen in verschiedenartig geformten Bauteilen rech- nerisch zu erfassen. Es fehlt jedoch noch bezilglich plattenartiger Bauglieder an Rechnungs. grundlagen. Urn Miherstandnissen vorzubeugen, sei hier ausdriicklich erwahnt, dafi mit der Hezeichnung ,,Platte" ein flaclier Kbrper mit ebener Mittelfllche gemeint ist, der - im Gegen. satz zur ,,Scheibe' - niir durch solche Krafte belastet id,, die senkrecht zur Mittelebene wirken, bzw. durcli Momente, deren Drehachsen der Mittelebene parallel laufen. Vorliegende Arbeit bringt strenge Grundlbsungen des Problems der gekerbten Platte und sol1 dazu bei. tritgen, die in der Kerbspannungstheorie bezuglich der Platten nocli bestehende Liicke aus- zuftillen. Im Ergebnis werden Reziehungen zwischen Randform und Spannungsverteilung gewonnen, welche zur Beurteilung der Kerbwirkung bei Platten aufsclilufireiclie Grundlagen liefern.

11. Ableitung einer Plattentheorie aus dem Dreifunktionenansatz. Die meist angewandte Plattentheorie ist die Ki rchhoffsche ' ) ; sie geht von der Annahme aus, dafi die Biege- spannungen uber die Plattendicke linear verteilt sind. Eine genauere Formulierung, welche den elastischen Grundgleichungen genugt, gab M i c h e 11 '); hiernach sin'd die Biegespannungen nicht proportional dem Abstand z von der Plattenmittelfl&che, sondern enthalten aufier z noch zs. Bei Aufstellung der Ausdriicke fiir Biegemomente und Schermoment durch Integration der mit z multiplizierten Spannungen ox, crtl und rxa/ iiber die Plattendicke 6 tritt aufier dem Faktor Ss nocli S5 auf. Das Auftreten von z3 bei den Spannungeu und d5 bei den Momenten bringt in zweifacher Hinsiclit eine Abweichung von der K i r c h h o f f schen Theorie rnit sich, und es ist in der M i c h e 11 schen Darstellung nicht klar zu tibersehen, von welcher Grljfien- ordnung diese Abweichungen sind, da das Glied mit d6 bei den Momenten rnit in die Rand- bedingungen eingeht. Es erscheint mir deshalb angebracht, an Stelle der M i c h el lschen Lbsung eine andere aufzustellen, welche den Vorzug besitzt, dafi b e i d e n Mom e n t e n d' n i c h t m e h r a u f t r i t t . Das Auftreten von d' in der Michel lschen Lbsung liegt in der Verwendung der Durchbiegung der Plattenmittelflache als Spannungsfunktion begriindet. Wie ich nachsteliend zeigen werde, lafit sich rnit Hilfe des Dreifunktionenansatzes eine den elastischen Grundgleichungen entsprechende Formulierung derart angeben, dab bei den

- Momenten nur nocli der Faktor 6' allein auftritt. Diese Darstellungsart hat den Vorteil, dafi bei den Spannungen die Anteile mi t z unmittelbar den Momenten entsprechen, wlhrend' die zusfitzlichen Anteile mit z' und 6'2 fiir sich inaerhalb der Seitenflache eines Platten- elementes ein Gleicl~gewichtssystem bilden, dessen Einfluh auf die Spannungsverteilung der Umgebung nach St. V e n a n t nicht wesentlich sein kann. Die so vereinfachte Theorie der dicken Platte stellt sich mittels des Dreifunktionenansatzes wie folgt dar.

Es sei F, (2, y) eine nur von den Koordinatcn 5, y der Plattenmittelebene abhlngige biharmonische Funktion, die sich aus zwei ebenen harmonischen Funktionen l y o und y, in der Form

F, = Vo + 2 yi . . . . . . , . . . . . . . (1)

zusammensetzen mbge. Dann ist

eine harnionisclie Funktion. Weiter uberzeugt man sich leicht, dafi

2' Po -y AF, und ZFo-

rluniliche harmonische Funktionen sind, also der Potentialgleichung A @ = 0 geniigen. Man erhalt nun mit Hilfe dieser Funktionen in einfacher Weise die geforderte allgemeine Lbsung ftir die dicke Platte, wenn uber die vier liarmonischen Funktionen aOl aI, Q3, welche in meinem fur alle Probleme der Elastostatik geltenden Dreifunktionenansatz 4, auftreten, ___.__

1) H. N e ube r: T(erbspariniirircs1ehre. Berlin 1937, Verlag Julius Springe+. 21 0. KirchhoPP: Crellrs Journ., Bd. 4 0 (18511). S. 51; siehe auch A . u. L. FBppl, Drang und Zwaog, Bd. I .

Y ) J. H. M i c h e l l : Proc. Math. Soc. Londoti, Bd. 31 (15991, S. 100; ferner A. E. H. L o v e : A treatise on the

4 ) Siehe 1); ferner H. N e u b e r : 2. augew. Math. Mech. Bd. 14 (1934). S. 203 bis 212.

Miincheii uud Berlin 1924, $ l i .

mathematical theory of elasticity, deutsch vori A. T i m p e . Leipzig 1907, gg 803 u. 304.

2. angow. Math. Mech. Bd. W Nr. 4 Aug. 1940 200 N e u b e r , Uber das Kerbproblem in der Plattentheorie

folgendermafien verfugt wird:

!D1=0, G2=0, } . . . . . (3).

Die Konstante a h h g t mit der P o i s s o n schen zusammen und berechnet sich aus

. . . . . . . . . . . . . . . (4).

Entsprechend der Theorie des Dreifunktionensnsatzes') bestimmt man nun zunbhst eine biharmonische Funktion F aus der Gleichung

F = Go t x + y @ * + B @a . . . . . . . . und erlialt die Komponenten des elastischen Verschiebungsvektors aus

aF 2 G 5 = - - - + 2 n @ P , , a x aF 2 Gtj =---+2 a .Q2, aY aF 2 G C = - - - - f 2 a @ , a 2 I

\

. . . . . . . . .

Fur die Spannungen uz, T~~ usw. gelten andererseits die Bezieliungen

. . . . .

Hier ergibt sich durch Einsetzen von (3) in (5)

. . . . . . . Far die Verschiebungskomponenten fold

2 G C = F o + [ ( & - & ) 8 z + ( $ - ~ ) ~ z ] ATo

Schliefilich ergeben sicl: folgende Ausdriicke filr die Spannungen :

.

1 d' 2

1 8' 2

0% = B { $ [.. + (i + ;) (m - g) A Po] -a A F o ) ,

2 { & [ po + (+ + y) (z-g) F n ] -7 A g o ) 9

Uz=O,

1 81 t x u = - B & [ Fo + (+ +a) (s - $ A F,] ,

1 8 2 a tXZ = ; (I' - x) A Fo

. . . . .

I

' * (5)

. . (6).

. . (7).

. . (8).

. . (9).

. . (10).

N e u b e r , Uber das Kerbproblem in der Plattentheorie 20 1 2. angew. Math. Mech. Bd. 20 Nr. 4 Aug. 1940

Man erkennt, dafi es sich in der Tat um den Spannungszustand einer Platte handelt: heider. 6 seits lastfreie Oberflache; denn fiir z r= f. 2 verschwinden die Schubspannungen T , ~ und T ~ ~ ,

ferner tritt az nicht auf (bei belasteter Oberfliiche kilmen noch weitere Glieder hinzu). Die Spannungen u, und uu liefern die Biegemomente, die Schubspannung z,.~ das Schermonient, schliefilich die Schul~spannungen r X Z und zyz die Querkrtifte. Weiterhin erkennt man, da6 die Glieder mit za und dlz von der Michel lschen Lbsung abweichen; sie treten hier in der Form

2 11 a

0, = z { [P] - - A Fv},

auf. Man erkennt, dafi die zur Bildung dcr Moniente erforderliche Integration der mit z multiplizierten Spannungen a,, ay und z x 9 fur diese Anteile keinen Beitrag liefert. D i e G l i e d e r h t i l i e re r O r d n u n g b e e i n f l u s s e n a l s o b e i d e r h i e r g e g e b e m e n D a r . s t e l l u r i g n i c h t d e n K r a f t f l u f i , d i l m i t a u c l i n i c h t d i e R a n d b e d i n g u n g e n . Mit. hin gehen sie aucli niclit in die fur die Konstantenermittlung niafigebliclien Gleichungen ein.

Zur Behandlung von Kerbproblemen ist die Verwenduug kruiiimliniger Koordinaten erforderlich; iiur bei Durchfuhrung der Rechnung mit einem Bezugssystem, welches dem Rand nngepatit ist, besteht die M(igliclikeit, den Krum. mungsparanieter allgemein mitzufuhren. Das Bezugssystem sei festgelegt durch die Gleichungen

111. Ubergang auf krummlinige Koordinaten.

5=x(u1v) , ?J=3(u,vJ, z=w . . . . . . . . . (11).

Den Koordinaten u, v, n, m6igen die Indizes 1, 2, 3 entsprechen, dann erhlilt man die neuen Spannungskomponenten entsprechend den fur den Dreifunktionenansatz in gekriimmten KO. ordinaten geltenden Beziehungen 6, in folgender Form :

. . . . . . . . T , 2 = - 2 [ F "112 , T , ~ =' a (z2-: ) [AFo] , 1 a3 = 0 J

Hierin wurde zur Abkurzung

gesetzt. Fur die in (12) auftretenden Operatoren gilt

i a , h, a u

. . . . .

. . . . .

wobei

. . . (12).

. . . (13)

. . . (14)s

. . . (16).

14

2. angew. Math. Mcch. Bd. 20 Nr. 4 Aug. 1!)4U 202 N e u b e r , Ober das Kerbproblem in der Plattentheorie

IV. Vereintachte Darstellung der Randbedingungen. Fiir die Durchfiihrung der Rechnung bei strenger Einhaltung der Randbedingungen bedeutet es e i m wesentliche Erleichterung, wenn sich eine Vereirifachung jener Gleichungen vornehmen laht, welche die Randbedingungen darstellen. So laht sicli z. R. der ebene Spannungszustand der Sclieibe in einfacher Weise als Randwertaufgabe der A i r y schen Spannungsfunktion auffassen, derart, dah in deli Rand- bedingungen nur melir die ersten Ableitungen der Spannungsfunktion auftreten. Diese Ver- einfachung berulit auf einer Integration der betreffenden Gleichungen langs des Raiides. Wie ich nachstehend zeigen werde, laPt sich eine tilinliche Vereinfachung aucli in der Platten- theorie durchfiihren.

Bild 1 zeigt eine Plattenecke , welclie langs der neuen Koordinaten- fliichen herausgeschnitten ist. Die rechte Schnittflache (v = konst.) sei zugleicli Begrenzung der Platte. Hier muP, da sich die Randbedingungen bei Kerb- problemen in der Regel auf die Span- nungen und nicht auf die Form- anderungsgrotien beziehen, das Biege- moment

S 2 -

M , = { ; , z d z . . . . (16)

Bild 1. Kriiltespiel an einer Plattenecke. einen vorgegebenen Verlauf annehmen. Andererseits haben aucli die tibrigen,

am Plattenrand angreifenden Spannungen eine Bedingung zu errtillen. Man erhll t diese zweite Bedingung, indem man aus dem ltings hi d u wirkenden Schernioment

T , ~ z d z h, du. jeweils ein Krtiftepaar bildet, wobei die zugeliorigen Ersatzkrafte in dcr z-

Richtuug wirken (Bild 1) ". Durch Zusammen fassung dieser Ersatzkrafte fiir benachbarte

Elemente mit der Querkraft 1 tzs d z hi du. ergibt sich schliehlich eine auf die Liingeneinheit

des Randes bezogene resultierende Querkraft vom Betrage

-~ I

d 2

IS _ _ 2

8 2

d 2

-

_-

a d

- _ _ - 2 2

Bei Anwendung von (12) und (14) gehen (16) und (17) iiber in

(1% M*=;{ [..I -;dF,). 2 * . . . . . . . . . . . 11

. . . .

Am l a s t f r e i e i i R a n d gilt demnach

. .

. . . (21).

Die nun folgende Umformung dieser Bedingungen beruht auf geometrischen Zusaniinen- hangen zwischen den Ableitungen nach x und y einerseits und den Operatoren [ I,, Eli i USW. andererseits, welche sich daraus ergeben, dah sich die ersten Ableitungen wie Vektor-

8 ) Die Zullissigkeit einer solchen Umwandlung von Torsiousschubspannungen in zuslt+he Qnerkrfifle am Plattenrand wurde erstmalig von T h o m s e n uud T a i t uachgewieeen; vgl. Handh. d. theor. Pbys., Bd. 1, T. 2, Art. 645 ff.

Z. angew.Math. Mech. 203

komponenten, die zweiten wie Tensorkomponenten transformieren. Wird der jeweilige Winkel zwischen den Richtungen x und 1 bzw. y und 2 mit q~ bezeichnet, so gilt:

N e u b e r , Ober das Kerbproblem in der Plattentheorie Bd. 'dU Nr. 4 Aug. 19411

cos q~ = [XI, = [y], . sin g~ = - [xis = [y], . . . . . . . . . (22),

a v av B aY Ferner bestehen zwischen A F, = 2

R i e m a n n schen Gleichungen

und der konjugierten Funktion - 2 die C a u c h y -

[ 4 , = - 2 [ 2 ] * , [ A F0]2=2[g]1. . . . . . . . . (2%

so dab @l) Ubergeht in

[ [F,],, + ; $I1= 0 . . . . . . . . . . . . (26)

oder nach Integration llings des Randes

(27). 4 BY [Fa]12 = - - 2 + c, . . . . . . . . . . . . a aY

Andererseits folgt aus (20)

4 BY, . [Folll=-- . . . . . . . . . . . . . . (28). a ax Setzt man diese Ausdriicke in (24) ein, so ergibt sich

I

a Fo [-a>], = $ rs cos v

r$Jl =% (!! sin v

. . . . . . . . (29),

. . . . . . . . (30) oder wegen (22) und (23)

. . . . . . . . . . . > (3119

. . . . . . . . . . . . (32). i

Hierbei ist die neue Funktion y z die zu yl konjugierte Funktion, erfiillt also die Gleichungen

Die Beziehungen (31) und (32) lassen sich, wie man sieht, ebenfalls lgngs des Randes integrieren. Dann ergibt sich

d F 0 - __-- 4 y l = - C l y + A i . . . . . . . . . . . (a),

aFo 4 ys=C,~+B,.

ax a

3Y a . . . . . . . . . . . (W

Hieraus folgen

ax ay d V a v + A , - + B l - . . . (37).

14.

2. angew. Math. Mech. Bd. 20 Nr. 4 Ang. 1940 204 N e u b e r , Ober das Kerbproblem in der Plattentheorie

Diese einfachen Bezieliungen, welche in derselben Form auch fiir eiiien Rand u = konst. gelten, erm6glichen die Anpassung der L6sung an die vorgeschriebenen Randbedingungen, oline zunaclist die Aufstellung der meist verwickelteren Ausdriicke fiir die Spannungen er- forderlich zu machen. Dadurch vereinfacht sich die Ermittlung der im Lbsungsansatz ent- lialtenen Konstanten ganz wesentlich, wie insbesondere aus den nachstehend behandelten Kerbprobleinen hervorgeht. Zuvor sei auch fur den KraftfluD eine vereinfach te Darstellungs- form angegeben.

V. Autlosung der KraftfluDintegrale. Es handle sich um den Kraftflufi, der durch eine Schniltflache u = konst. hindurchgeht, welche zwei lastfreie R h d e r (Parameter v = u, und v = t~,) miteinander verbindet. Unter Berticksichtigung der a n den lastfreien Rgndern nocli ubrig gebliebenen Restkrafte (Bild 1) wird das urn die mAchse drehende Moment der Schnittkrafte

6 d 2 v, '?

6 2 2

- -

M~ = j6 { ( 0 , z sin q - rl , z cos p, + zI9 y> h, dv d z + j {(rl, y>u, -- (tI2 y)v,) a d e . (38) ,-- v1 _ -

oder

Mit Hilfe von (24) und (25) 1Bht sich der Auidruck auf folgende Form bringen:

oder mittels ('23)

Entsprechend (27) und (34) gilt far den lastfreien Rand v =v,:

aFo 4 . . . . a . . . . (42).

Ebenso, jedoch mit einer anderen Konstante, gilt fiir den lastfreien Rand v = v,:

Denmach folgt aus (41) die einfache Beziehung 8

- 12 M -- ( A , - A , ) . . . . . . . . . . . . . (44).

In derselben Weise lafit sich nachweisen, dafi folgende einfache Beziehung fur das um die y Achse drehende Moment gilt:

Mu = - (B, -B1) . . . . . . . . . . . . . . (46). 69 .

12

Schliefilich ist nocli die irn Schnitt iibertragene Gesanitquerkraft anzugeben, die niit P, bezeichnet sei. Bei Berlicksichtigung, der RestkrBfte ergibt sich

Nun gilt gemfib (27) am Rand v = v l : 4 B W i - [IP,],* + - - - c, . . . . . . . . . . . . . (47). a a Y

N e u b e r , Uber daa Kerbproblem in der Plattentheorie 205 Z. angew. Math. Meoh. Bd. 'LO Nr. 4 Aug. 1910

Am Rand v = v, besteht dieselbe Beziehung, jedoch rnit einer anderen Konstanten, die mit C, -bezeichnet sei. Dann folgt aus (46):

6s P 2-12( -- C , - C , ) , . . . . . . . . . . . . (48).

Durch die G1. (%), (37), (44), (45) und (48) sind die Randbedingungen und der Kr&fluD der Platte in einfacher Form festgelegt, und ich glaube, hierinit far das Randwertproblem der Platte allgemein eine betrlchtliche Vereinfachung erzielt zu haben, zunial es nunmehr - wie beim ebenen Spannungszustand - moglich ist, die Spannungsfunktion zu bestimmen, ohne zunachst die meist unubersichtlichen Ausdrucke far die Spannungen aufstellen zu miissen. Dieser Vorteil tri tt bei den nachstehend behandelten Kerbproblemen besonders hervor.

VI. Die Grundprobleme der gekerbten ' Platte. Urn fur die Berechnung der Spnnnungen in gekerbten Platten eine Grundlage zu schaffen, ist es erforderlich, jene Grundlbuungen auf- zustellen, die auch bei der Scheibe (Zug oder Biegestab) den Ausgangspunkt der Kerbspannungs- theorie bildeten: B e i d e r s e i t i g e A u f i e n k e r b e (A) und L a n g l o c h (B). Die Lbsungen wurden durch Idealisierung zur hyperbolischen bzw. elliptischen Randform gewonnen, und ihre Anwendung auf praktische Falle mit beliebigen Abmessungen durch Interpolationsformeln sichergestellt '), die auf der Grundlage des Abklingungsgesetzes entwickelt wurden. Nachdem die Gtiltigkeit dieser Interpolationsformeln in gleicher Weise auch fur die Platte vorausgesetzt werden darf, handel t es sich ausscliliefilich um die Aufstellung der strengen Lbsungen dieser Grundprobleme fur die Platte (Bild 2 und 5). A19 Bezugssystem dienen die elliptischen KO- ordinaten niit

y = Qoi usin w , I x=Binu cosv,

Hei Berechnung der Spannungen sind in den folgenden Abschnitten die fiir dicke Platten in Betracht kommenden hblieren Glieder noch unberucksichtigt geblieben (d. h. es wurde rnit 3, statt F" gerechnet), um mbglichst einfaclie Endformen zu gewinnen. Die Durclifiilirung der zugelibrigen Er6'Lnzungsrechnung ist jedoch im Rahmen der Behandlung weiterer Platten- probleme zu eineni sptiteren Zeitpunkt beabsiclitigt.

A. E r s t e s G r u n d p r o b l e m : P l a t t e m i t b e i d e r s e i t i g e r t i e f e r A u f i e n k e r b e b e i B iegung . Gemiih Bild 2 handelt es sich urn eine bicgebearispruchte Platte mit tiefer beiderseitiger Aufienkerbe. Der Rand soi durch die Hyperbel v = & v,, d. h. v,= v,, v, = - v, festgelegt. Die Randbedingungen

die Form (mit v = & v,):

p 7 7 1 (36) und (37) liaben fur das gewahlte System rn

Bild 2. Oebogene Platte mil beiderseitiger AuOenkerbe.

a F, 4 ---+-$y,,&o~ZGcosv, a '1c - I y2 Gin zc sin 8,)

(501, . . . . . i - - ~- C, sin v, cos v, -t A , Qof t~ cos v, + B, Gin u sin v,,

a E ; 4 ~~ + - (- y ~ , &of u cos v, + y, Bin u sin v,) du a

aF, 4 -- + - (y, Bin u sin u,, - y, Qof u cos u,) a v a

= C , sin v , cos v, + A , Qof u cos v, - B, Bin ZG sin v,

= C, Bin ?L &of zc + A , Bin ZG sin a, + B, &of u cos v,,

+ - (-yl Bin t c sin u, - y, Qoi ZL cos u,)

= C, Bin vc &oj i~ -- A , Gin t~ s in v, + B, Qof u cos v,

a F , 4 a v u

Von den fur den Kraftfluh mahgeblichen Grofien Al,, My,, P, ist nur Mu Entsprecliend (44), (45) und (48) wird

A , - A , = O , B , - B B , = ~ . 12 M C , - C , = O .

7) Kerbspannungslehre, S. 5.

von Null verschieden.

(52). . . . . . .

2. angew. Math. Mech. Bd. 20 Nr. 4 Aug. 1940 206 N e u b e r , Ober das Kerbproblem in der Plattentheorie

Die LSsung fir F, mu& gem%&

aus zwei harmonischen Funktionen yo und y, hergestellt werden, wobei obige Bedingungen erfiillt sein mussen. A ~ e r yo und y, tritt auch die zu y, konjugierte Furiktion yp auf. Als geeignete Usung kommt allein die folgende in Betracht:

Po= yo + 2 yi . . . . . . . . . . . . . (63)

. . . . . . (54). y , = C z c , y p = c w

~,=&ofw(Acosw+Bwsinw)+(C-BB)u.6inwcosw . . . . . . (55).

I yo= A Qof wcos w + B(u Qof zc sin w -zc Gin zc cos w ) ,

Es wird hiermit

Die Erfllllung der Randbedingungen verlangt, wie man unmittelbar erkennt, dab die Kon- stanten A,, A,, C , , C , verschwinden und B, =- B , = 6 MISs zu setzen ist. G1. (50) ver. langt ferner

Ginzc(Acosw, tBw,sinv,)+(C-B)(zcQo~w+Ginzc)cosv, 4 6 M (56). +a C (- 11. Qoi w cos w , - w , Gin zc sin w,) = 7 Gin M sin w ,

Hieraus folgen

(571, C - B = - c . . . . . . . . . . . . .

(68). 6 M

4 a

( A + C - B ) c o s w , + w , s i n w , = ~ s i n w , . . , , . . Andererseits folgt aus (51)

4 6M . . . . (59). I Qoi u (- A sin w, + B (w, cos w , + sin w , ) ) - ( C - B) w Gin zc sin w,

+ 2 C (zc Gin zc sin w, - v , &of zc cos w,) = Qof zc cos w, 6

Demnach miissen folgende Gleichungen erfIlllt sein :

(601, 4 C - B = - C . . . . . . . . . . . . . a

4 6 M - A sin w, + B (v, cos w , + sin u,) - - C u, cos w , = 7 cos w, . . . . (61). a

GI. (60) ist mit (57) identisch. Die Aufl6eung der drei G1. (57), (58) und (61) ergibt ftir die drei Konstanten A, B, C folgende Werte:

12 M . . . . . . . . . (62).

Durch Einftihrung der elementaren Biegespannung

(63) p = s . . . . . . : . . . . . . . 3 M

wird wegen a = sin w, :

. . . . . . . . . . (64).

Die Spannungskomponenten ergeben sich aus (12) bis (15). Bei Berticksichtigung der fiir -die Konstanten gewonnenen Werte erh&lt man :

N e u b e r , Uber das Kerbproblem in der Plattentheorie 207 2. angew. Math. Mech. Bd. 20 Nr. 4 Aug. 1940

(COSZ f f - cosz f f , )

1 &ofu,cosff '7, = c - 2 -- -r- (COSZ w - cos2 w,),

U h

7 , = c z @inws inu[4 - - - 4 - 1 (cos2 'W - COR2 w,) 1 , } . . . . . (65). hz a a h2

2 ( ;)&ofusinv

(1 h2 7z3 = ~- c 2 2 - - -__

Die Glieder mit z d' und zs bei u,, u2 und t I 2 , die den Kraftflufi nicht beeinflussen (s. Abschn. II!), sind hierbei unterdruckt.

Man uberzeugt sich leicht, dafi die gewonnenen Spannungskomponenten in der Tat die Randbedingungen erfiillen. Die Spannungsverteilung zeigt die fur Kerbprobleme typischen Erscheinungen (starkc Sparinungsspitze im Kerbgrund, die rnit cler Krtirnmung der Kerbe zunimmt, Spannungsabfdll nach dem Inneren und kings aes Randes). Bild 3 erlautert den Verlauf der Spannungen im Symmetrieschnitt und langs des Randes fur tgv, = 0. Mit Einfuhrung des Krumniungshalbmessers e ergibt sich fur die Hrichstspannung folgender Ausdruck :

Die Abhangigkeit von ist in Bild 4 ersichtlicli.

"1

Rild 4. Die Bikhstspannung i n gebogenen Platten mit beider- seitiger Au5enkerbe in1Abbaogigkeit von der Kerhkriimmung.

Bild 3. Spannungsverlonf i n einer gebogenen Platte rnit beidersei tiger A u5enkerbe.

Rild 3.

Vergleiclit man das Ergebnis niit dem entspreclienden S~heibenproblem~), SO zeigt sicli, 1

dafi die Formzahl der Platte im wesentlichen gleich der mit -- - 1 -

plizierten Formzald der Scheibe ist. Bei dem nnchstehend beliandelten zweiten Griindproblem werde ich zeigen, dafi derselbe Zusammenhang besteht.

B. Z w c i t e s G r u n d p r o b l e m : D i e P l a t t e n i i t L a n g l o c h b e i B i e g u n g . Ent- sprechend Bild 6 liandelt es sich jetzt urn einc gehogene Platte niit Langlocli, wobei cbllip.

tisclie Lochform vorausgcsctzt wird. Ferner ist angenommen, dafi der Abstand voii den aufieren Begrenzungen cler Platte geniigend grof3 ist, so dafi die Kerbspaiinuiigei~ am Aufienrand niclit mehr in Erscheinung treten. Die Lrisung enthalt zunlchst jene Glieder, welclie einer ungelochten Platte bei reiner Biegung entsprechen:

' t m "+m

c,- Bild 3. Gebogene Plattc in i t Langloch.

8 ) Rerbspaniiungslehre, S. 36.

Z. angew. Math. Mech. Bd 50 Nr. 4 Aug. 1941) 208 N e u b e r , Uber daa Kerbproblem in der Plattentheorie

Der Spannungsbezugswert p entspricht der Biegespannung in der iiufjersten Faser. Die Llisung fiir die gelochte Platte wird erhalten, indem dieser Ansatz in den elliptischen Koordinaten geschrieben wird und geeignete Zusatzfunktionen herangezogen werden, welche fur grofie Ent- fernung vom Loch verschwindend kleine Werte liefern. Auf diese Weise erhiilt man:

a { (- 2+ a) Qof 2 u cos 2 v - 3 + A u. + B (1 - e-a ' cos 2 v) + C eh2 ' cos 2 v Y u = 2 ( 4 - - a ) S

- 2 a G i n ~ - 4 B e - ~

1 ,1 a a F - " - 2 ( 4 - a ) 8 ( - - & 0 j 2 u + A u + B e - ~ ~ + 2 & o f 2 u + f ~ - B + + e - ~ ~ cos2v

Die Randbedingungen (36) und (37) verlangen, dab die Konstanten A , , B, , C, verschwinden tmd fiir die Randellipse w, folgende Gleichungen erfiillt sind :

( 4 - a ) & 0 f 2 u u + 4 - a + 2 B - 2 C e e - 2 U ~ = 0 . . . . . . . (70).

Sie enthalten drei Bedingungen fiir die Konstanten A , B, C. Die Ausrechnung ergibt

1 (2 a - 8) (4 - a) e-"n 601 26,

8 - a A = -_ ( 4 - ~ ) B i n 2 t * . , ,

. . . . . . (71). i I ( 4 - n ) euo &of u, (a e' "u + 8 - a)

2 ( 8 - a ) ____ C = -

Die Spannungsverteilung am Lochrand kann in einfacher Weise angegeben werden ; dort ver-

schwindet ui, mithin kann

. . (72) L G - d 1 ?

2 B a &of2 tho - ~ e-" &of u,

gesetzt werden 9 Nach Umformung ergibt sich 1 4 - c1 c-'* + d ' o cos '2 v . . . . . . . (53). -

(0,)' =uu = 1 - 7- &of u, ~- ___-- d b - (1 Gin' U,'+ cos' v z=-

?

9) Bei Unterdriickung deu Gliedes mit ds.

Z. angew. Math. Mech. N e u b e r , Ober dae Kerbproblem in der Plattentheorie 209 Ed. ?It Nr. 4 Aug. 19111

Platte niit Kreisloch.

Rild 7 (rechts). Spaniiungsverlauf in einer pebogeneu Platte mit Laogloch.

Der Spannungsverlauf am Lochrand ist in den Bildern 6 und 7 ersichtlicli. Es handelt sich um die Falle u, = 00 (kreisfbrmiges Loch) und Ctgu,=2. Es zeigen sich ahnliche Vertei- lungen wie beim gelochten Stab. Am Ende der kleinen Achse tritt unabhangig vom 7 I<rummungsniafi stets die gleiche Spannung

1 I---- w a 1 y =O,212p fiir -=0 ,3 m l )

-_-- ( 3 + m

auf, wahrend am Endpunkt der grofien Achse sich - wie zu erwarten war - die Hbchst- spannung ausbildet, welche mit zunehmender Krummung zunimmt. Nach Einfuhrung des I(rilmmungsha1bmessers e ergibt sich fur die Hbchstspannung die einfache Formel

3

t

5 8 7 8

"max _- - ( l+l:-l/; 3 * . . . (74).

v 3+; Bild 8. Die HBchstspannung in gebogenen Platten mit Langloch in Abhlngigkeit von der Eerbkriimmunp.

Wieder zeigt sich gegenuber dem entsprechenden Scheibenproblem (gelochter Zugstab lo) )

eine geiiiafi dem Faktor -_ geringere Spannungserh6hung. Demnach liegen die Kerb-

spannungen in der gebogetien Platte offenbar stets um sOo/lo (ftir l/m = 0,3) niedriger als beim Zugstab.

VII. Zusammenfassung. Es wird zunachst eine Theorie der dicken Platte aus dem Drei- funktionenansatz abgeleitet, welche den Vorteil besitzt, dab die Glieder h6herer Ordnung den Kraftflulj nicht beeinfliissen. Ferner werden fur die Randbedingungen, sowie fur die Kraft- flufiintegrale vereinfitclite Darstellungen gegeben, mit deren Hilfe die Lbsung von Platten- problemeti gefunden werdcn kann, ohne auf die in der Regel verwickelten Ausdrucke fur die Spannungskomponenteri eingehen zu mussen. Nach dem so gewonnenen Lbsungsverfahren werden die beiden Grundproblenie der gekerbten Platte: G e b o g e n e P l a t t e m i t b e i d e r -

1

1 ' +nz 3+;

s e i t i g e r A u k c n k e r b e - u n d g e h o g e n e P l a t t e m i t L a n g l o c h einer strengen Lbsung zugefiihrt. Die Ergebnisse weisen darauf hin, dafi die Spannnngserhbhung infolge Kerbwirkung bei der gebogenen Platte um etwa 6 O 0 / o geringer ist als beim Zugstab. Die gewonnenen Form- zalilen . sind in Diagrammen uber dein Kruniniungsmah aufgetragen und bilden die Grundlage fur die Berechnung der Formzahl ftir beliebige Abmessungen nach meinem in ,,Kerbspannungs- lehre'( gegebenen Interpolationsverfahren. 131

10) C. E. I n g l i s : Trans. Instn. Naval Arcbit.. London Bd. 60 (1913). S. 219; Kerbapannungslehre. S. 50.