Uber das Turbulenzspektrum der thermischen Konvektion in der Sonne

(Vcrof fen t l ichungen d c r S t c r n w a r t e Miinchen Bd. 5 Nr. 7) Von F. SCHMEIDLER, Miinchen (Eingcgangcn 1958 Dezember 22)

Das Turbulenzspektrum cincr infolge therniischcr Instabilitat konvektiven Casmassc weicht \-om Spcktralgesetz der lrydrodynamisclren Turbulenz ab, weil das Spektrum wesentlich durch die thermische Auftricbskraft bestimmt wird. Der Mechanismus der Konvektion bringt cs rnit sich, daO sich aus einem aufsteigenden heiOen Element durch Warmeabgabe an dic Umgebung ein grthBeres Element bildet, aus diesem wieder ein noch gr6Beres etc. Der Durchmesser der grth0ten Elemcnte 1st ungefahr glcich der Skalenhthhe der Tempcraturanderung. Die Ceschwindigkeit der Elcmente 1st proportional zum Quadrat ihres Durchmessers. Fur die klcinsten Elcmente ergibt sich das hydrodynamischc Spektral- gcsetz als Crcnzfall. Die Encrgiedissipation kann gegenuber der gesamten Turbulenzenergie vernachlksigt werdcn, solange die gr6Otcn Elemente sich in guter Naherung adiabatisch verhalten.

1. Der Mechanismus der thermischen Konvektion Es besteiit heute keiii Zweifcl mehr, daD die auf der Sonnenoberflachc beobachtetcn Granula die

Turbulenzelemente dcr Wasserstoffkonvektionszonc sind. Noch keine endgiiltige Klarheit ist jedoch iibcr die Frage erzielt, durch welche Umstandc die GroBe diescr Elementc bestimmt ist. AuOcr den beob- achtcten Granula von ctwa 1000 km Durchmcsser gibt es natiirlich, wie bei jedcr Turbulenz, auch kleincrc und kleinste Elcmente, die sicli nur der Beobachtung entzichen. Die wirkliche Frage ist also, warum Elcmente von etwa 1000 km Durchmesser so stark bevorzugt sind, wie es z. R. die Heobachtungen von 'rHIESSEN [IO] beweisen. Effektiv wird damit die Frage der theorctisch zu crwartcnden Form des Turbu- lenzspektrurns dcr Konvektion in der Sonne aufgeworfen.

Es liegt nahe, als Spektralgcsctz die von KOLMOGOROFF [6j ,OXSAGER [7j, v. WEIZSACKER [12] und HEISENBERG [5 ] unabhangig gcfundene Beziehung

us I-' = v i 1;' = const. (1)

anzunclimcn, in dcr u die inittlcre Geschwindigkeit der Turbulenzelcmente voin Durchmcsscr I bedeutet und der Index o sich auf die grontcn vorkomrncndcn Eleinente bezieht. Kiirzlich wurde vom Vcrfasser [a] gezcigt, daO (I) im Fall einer durch thermischc Stabilitat bchinderten Turbulcnz nicht melir gilt; einc nahcre Uberlcgung zeigt, daO es auch fiir cine durch thermisclie Instabilitat hervorgerufenc Konvektion nicht angewendet werdcn kann. \Vie v. WEIZSACKER [IZ] hcrvorgehoben hat, ist (I) gleichwcrtig mit der Giiltigkeit cines dem Quadrat der Geschwindigkcit proportionalen Widcrstandsgesetzes, d. h. rnit dcr Annahme, daB jedes Element in seiner Bewegung einen Widerstand von der GroDenordnung v2 1 crleidet. Nach WOOLLEY-STIBBS [13!, p. 215 lautet dann die Bewegungsglcichung des Elements

dv dv 3 v4 - = 1' = g y - -I ; dt dabei ist die Teinpcratur der warmen, aufsteigenden Eleincnte niit 7' (I + a, y ) uiid die Tcmperatur der kiihlen, absinkcndcn Elemcnte rnit T (I - a, 7) bczeichnet und a = 0.5 gesetzt, so daO y ein Ma0 fur den TernperaturiibcrschuO der aufsteigenden Granula gegeiiiibcr ihrcr Umgebung ist. A u k r d e m ist die bci den genannten Autoren auftretende GroI3e Q, die mit deni Ionisationsgrad ziisammenhangt, dcr Ein- fachheit halbcr gleich I gesetzt.

Wenn man die Anfangsbedingung u = o fiir x = o zugnindelegt, lautet das Integral der Gleichunp (2)

I 1 s\

I und daraus folgt v2 + - g 1 y fur x + 00, d. h. das Turbulenzelenient wiirde niemals zur Rulie kommen.

3 Drr standige Energieverlust durcli den Widerstand ist zwar vorhanden, abcr ihm steht cin Gewinn an kinetischer Energic durch die thcrmische Auftriebskraft entgcgcn. Da aber die Bcobachtung zcigt, daD die Granula nur cine cndliche Lebcnsdauer bcsitzen, mu0 ein zusatzlicher Effekt vorhanden scin, durch dcn sie a n Impuls verlieren. Aus dicscm Grund kann auch das Spcktralgcsctz ( I ) keine Giiltigkcit be- anspruchen, weil es nur den Impulsverlust infolge des hydrodynamischcn Widerstandcs bcriicksichtigt.

Aslron. Nackr. Band 285 5

66 F. SCHMBIDLER: Obcr das Turbulcnzspektrum dcr thermischen Konvektion in der Sonnc

Tatsachlich darf man, wie VITENSE [XI] betont hat, den Warmeverlust der Granula an ihre Lm- gcbung nicht vernachlbsigen. Eine kurzc Abschatzung zeigt, daB er wahrend der Lebcnsdauer eines Elcments crhcblich ist. Nach WOOLLEY-STIBBS [13], p. 214 ist die Wiirmemenge q, die ein Turbulenz- element bei gutcr innerer Durchmischung pro Sekunde und pro Gramm an die Umgebung abgibt, gegeben durch

12 u T4 q=T-y. (4)

I 2

Da der WirmciiberschuD dcs Elements pro Gramm gegeniiber dcr Umgebung glcich - cp T y ist, kann man abschatzen, daD d a . Element in einer &it von der GroBenordnung

cine Wiirmemenge abgibt, die etwa seinem WirmeiiberschuB gegeniibcr der Umgebung entspricht. Sctzt man die nach BIERMANN [z] in 500 km Ticfe untcr der Photosphiire giiltigen Zahlenwerte

cp e = z 103 erg cm-s grad-', I = xoe cm T r= 1.2 - xol grad und u = 5.67 . I O - ~ erg cm-2 sec grad4

in ( 5 ) ein, dann erhdt man T = xoosec, also eine Zeitdauer von dcr beobachtetcn GroDcnordnung der Lcbensdaucr dcr Granula. Es ist dahcr sicher, daD die Turbulcnzelemcnte warend ihrer Lebcnsdauer erhebliche Warmemengcn an ihre Umgebung abgeben.

Aus diescr Rechnung folgt sclbstverstandlich nicht, daB die Granula sich innerhalb der gefundmen Zeitdaucr auf die Tempcratur der Umgebung abkiihlen. Der Wirmeabgabe stcht ein stindiger Wiirmc- gcwinn entgegcn, da die Elemcnte sich durch einc iibcr-adiabatisch gcschichtete Atmosphare bewcgen. Die Warmeabgabc bewirkt nur, daD der TemperaturiibcrschuD und damit auch die Geschwindigkeit dcr Granula geringer sind, als cs ohne Warmcabgabe der Fall warc.

Dcr Unterschicd gcgeniibcr der gewohnlichcn hydrodynamischcn Turbulcnz ist lcicht zu erkenncn. Im hydrodynamischen Fall geht die Energie jedes Turbulenzelements wahrend seiner Lebcnsdauer infolge dcs quadratischen Widcrstandsgesetzcs auf kleinere Elemente, von diescn auf noch klcincre iibcr und tragt schlieBlich zur VcrgroDcrung der molekularen Bewegung, also zur Erwirmung der Fliissigkeit bei. Eine uiimittelbare Folge diescs Vorgangs ist die Giiltigkeit des Spcktralgesctzes (I). Im Fall der thermisch bedingten Konvcktion tritt dicser Encrgievcrlust an immcr kleinere Elemcnte zwar auch cin, ist aber nicht hinrcichend, um die Bewegung zum Stillstand zu bringen, weil durch die thermisclien Auftriebs- krafte dauernd ncue kinetische Encrgie nachgeliefcrt wird.

Dcr entscheidende Unterschied gcgeniiber der hydrodynamischcn Turbulenz bestcht darin, daD bci thermisch bedingter Konvektion die von einem heinen Graiulum an die Umgebung abgegcbene Warme zur Bildung eines groDeren Turbulenzelements beitragt, wahrcnd bci nichtthermischer Turbulenz dic gesamtc Energie jedcs Elemcnts verbraucht wird, um kleinere Elcmentc in Bewegung zu setzen. Wenn cin aufsteigendes Granulum nach ciner gewissen %it cine merkliche Warmrmengc abgegebtii hat, weist ein Raumgebict von ctwas groBercm Durchmesscr einc Obertcmperatur gegcniibcr der noch weitcren Umgebung auf und wird infolgc der thermischen Auftricbskraft zu steigen beginnen. Das urspriinglichc Granulum ist dann nur mehr ein Tcil eincs groBercn; seinc kinetische Energie ist auf ein groDeres Elcment iibergegangen und wird von diesem durch den glcichen ProzeI3 auf ein noch groDcres iibergehcn usw. Selbstverstandlich geltcn die gleichen uberlegungen fur die absinltenden Elemcnte, wclchc durch Warme- ausgleich ihre Umgebung abkiihlen und dadurch fiir die Bildung immer groBercr kirhler Elemcnte sorgen.

Das auf vollig anderen Voraussetzungen bcruhende Spektralgesetz (I) kann daher fur die thermische Konvektion keinc Giiltigkeit beanspruchen. Es mu0 aber giiltig bleibeii als Grenzfall f i i r sehr kleine Elemente, deren TemperaturiiberschuD gegcniiber der Umgebung vcrnachlbsigbar klein ist. Die Enter- suchung des allgemcinen Spcktralgesetzcs der thcrmischcn Konvekt ion wird also zwischen groDcn und geniigend kleincn Elementen untcrschciden miissen.

Man konntc versuchen, das Spcktralgcsetz der thcrmisch bedingten Konvektion einfach dadurch aufzustcllen, daL3 man in dcm vom Verfasscr [8] aufgcstellten Spektralgesetz eincr durch thermische Stabilitat behinderten Turbulcnz das Vorzcichen der Differcnz zwisclicn dcm wirklichen Temperatur- gradientcn und desscm adiabatischem Wert umkehrt. llann wiirde man abcr wiedcrum dcn Warmc- austausch zwischen den Granula und ihrer Umgebung ignoricrcn, dcr nach den vorangcgangencn Aus- fiihrungen von entscheidcnder Wichtigkeit ist. Aus diescm Gruiid ist das erwihntc, vom Verfasscr friihcr aufgestellte Spcktralgcsetz eincr durch thcrmischc Stabilitat behinderten Turbulcnz unvollstandig und es wird sich zcigcn, daB das wahre Spcktralgcsetz voin hydrodynamischen Fall (I) noch stirkcr abweicht als das in [6] aufgcstelltc Cesetz.

F. SCHHEIDLER : USer das Turbulenzspektrum der thermischen Konvektion in der Some

2. Die Eigenschaften der groaten Turbulenzelemente Die Ableituiig eiiics Spektralgesetzes der thcrmischcn Konvektion mu0 von der im vorhergehendcn

Abschnitt gezeigtcn Tatsache ausgehcn, daL3 sich durch Warmeabgabc an die Umgcbung aus einem Granulum cin groL3ercs bildet, aus diescni wieder ein noch grol3ercs usw. Das wirft zunachst die Fragc auf, wo die obere Grenze der Entstchung von immer groI3ercn Elementen licgt. Nach der Bcobachtung hat sic in der Sonnenatniosphare etwa die obere Grenzc I , L- 1000 km. Diese Zahl hat offensichtlich nichts mit der Tiefe der Wasserstoffkonvektionszone zu tun, fur die etwa 0.1 Sonncnradius angcnommen wird. Sie entspricht abcr ungefahr dcr unter der Photosphfire geltendcn Aquivalent hiihe, was sich durch folgendc Oberlegung auch als sinnvoll erkcnncn laL3t.

Eine Abschatzung der GroDc dcr groL3tmoglichen Granula 1aiOt sich erhalten, wcnn man die Tcm- peraturschichtung in der Sonne in Bctracht zieht. Die Temperatur nimmt nach auL3cn ab und ist daher an der oberen Seite cines Granulums niedrigcr als an dcr unteren Seite. Der Einfacliheit halber werde angenommen, daD uberall im Innern des Granulums der gleichc Tcrnpcraturuberxhufl d T gegenuber der jeweiligcn Umgebung gleichcn Siveaus hcrrscht. Wenn die Temperatur dcr Umgebung im mittleren Siveau dcs Granulums gleich 1' sci, an dessen obcrcr Grcnze glrich T, iind an d r r untcrcn Grenze glcich 2 * , dann gilt

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- 1 d T 1 d l '

2 dr 2 dr T - T + - -+. . . l * - T + . . . ,

I 2 - 1 -

AT T Da allgcrncin dcr Auftricb gleich g - - (g = Schwcrebcschlcunigung), wirkt wegen Tl < 2; und AT

= const. auf den oberen Teil dcs Granulums ein groOerer Auftricb als auf den unteren Teil. Infolge dieses Unterschiedes der an der oberen bzw. unteren Scitc wirkenden Auftriebskrafte wird das Granulum w a r e n d sciner Bcwcgung in vertikaler Richtung auseinandcrgezogen.

Es crscheint plausibel anzunehmen, d d durch dicsen Dchnungseffekt dicjcnigrn Granula ausein- andergerisscn und in mindestcns zwei kleincre gcspaltcn werden, fur die im Lauf der Lcbcnsdaucr die vcrtikale Erstreckung verdoppelt wird. Das ist dann der Fall, wenn an dcr obercn Grenzc des Elcmcnts die doppelte Auftricbskraft wie an dcr untercn Grenze wirkt. Fur den Durchmesscr lo der groL3ten Granula mu13 daher die Beziehuug TI = z TI gelten, aus der man nach (6) fur 1, die Abschatzung

erhalt. Die Priifung von (7) an dcr Erfahrung ergibt gutc Gkreinstinimung. Verwendet man die nach BIERYANK [2] in etwa 500 km Tiefe untcr der Photosphare giiltigen Werte T = 1.2 104grad, dT d r

tler Aauivalent hohc

- - - 0.8. Io-Ogradcm-', dann findet man 1, = 1000 km, was mit den Beobachtungcn ubereinstimmt. . .

VITENSE 1111 hat die GroI3e der (von ihr ausschlieBlich betrachteten) groL3tcn Granula als Funktion

('3 = Gaskonstante, p = Molekulargewicht) !R T RP

H = - -

angesehcn und die bciden Moglichkcitcn I , = ZI und I , = 2 H offcn gclasscn. In einer spatcrcn Bearbeitung des Problems [3] crgab sich 1, = H als die vcrnunftigcrc Annahme. Man kann aus (7) einen Ausdruck fur I , als Funktion von H gcwinnen, wenn man adiabatische Schichtung voraussctzt ; allerdings ist diese Voraussetzung nur in einiger Ticfe unter der Photosphare zuliissig. Wcnn man untcr x das Verhaltnis dcr spezifischen Warmen bei konstantcm Druck bzw. Volumen verstelit, gilt nach bekannten Formeln

Sctzt man das in (7) ein, dann e r h d t man die Resultate

3 4 1 8 3

1 , = - H mit x = - .

Danach ist die Annahine 1, = 211 eine bcsserr Approximation an dic \Virklichkcit als 1, = H , aber zwcifel- 10s sind einige in dicscr Abschatzung vcrwendcte Faktorcn unsichcr. Es sind auch dic von VITENSE [II] hctrachtrten Elcmcnte die durchschnittlichcn, fur den Encrgictransport maBgcblichcn Elementc, die urn cinen Faktor bis 0.5 kleiner sein konncn a l s dic grol3ten uberhaupt vorkommcmlcn Gramla.

5'

68 F. SCXMEIDLER : uber das Turbulenzspektrum der thermischen Konvektion in der Sonnc

Es ist bcrnerkenswert, daB der Ausdruck (7) fur I , bis auf den Zahlenfaktor gleich der Aquivalent- hohe der Ternperatur, d. h. gleich derjenigcn Strccke ist, langs wclcher die Tempcratur sich um den Faktor G andert. Demgegenuber ist die mit H bezeichnete GroOc gleich dcr Aquivalenthohe des Druckes. Es ist schon von TEMESVARY [9] darauf hingewiesen wordcn, daO untcr gewissen Umstanden die Aqui- valenthohe der Tcmperatur ein besseres MaB fur die Schichtung darstellt als die des Druckes. Auf jcden Fall ist durch den Ausdruck (7) einc erste Naherung fur den Durchmcsser der groBten Turbulcnzelemente gegeben.

Urn die iibrigcn charakteristischen Angabcn fur die groOten Elementc zu finden, sollcn alle zcit- lichen Anderungen der ZustandsgroOen wahrend der Lebensdauer eines Granulums auBer Acht gelassen und nur die Mittelwerte betrachtet werden. Dann miissen nach WOOLLEY-STIBBS [13], p. 215 folgende drei Bedinguiigen erfullt werden

v z = L g l y . 3

Die bei den genannten Autoren benutzte optische Tide d r ist durch - k e dr ersetzt. Die Glei- chung (9) druckt aus, daO im statistischen Mittel ein aufsteigendes Granulum infolge des uberadiabati- schcn Gradienten ebenso vie1 Warme gewinnt, wie es durch Warmeabgabc an die Umgebung verliert ; Gleichung (10) bcsagt, daO der gesamte Energietransport in jeder Schicht gleich der Summe drr Transporte durch Strahlung und durch Konvektion ist; schliel3lich bedeutet Gleichung ( IT) , daB im Mittel der Widerstand gleich der thermischen Auftriebskraft ist. Wenn man in den Gleichungen (9), (10) und (11) die GroOen v , 1 und y durch die fur dic grontcn Elcmentc giiltigcn Wcrte v,, 1, und yo ersetzt, hat man zusammcn rnit Gleichung (7) vier Gleichungen fur die vicr Unbekannten u,, 4, yo und den Temperatur- gradienten; es konncn also sh t l i che GroBen berechnct werdcn, die fur das Vcrhaltcn der groBten Tur- bulenzclemente mangeblich sind. Der Temperaturgradicnt weicht in dcn ticfcren Schichten dcr Wasser- stoffkonvektionszone nur noch scht wenig von seinem adiabatischen Wert ab, weil dort dcr konvektivcl Energietransport wesentlich groBer ist als der Strahlungstransport ; dagegen ist in dcn oberen Schichtcn der Wasserstoffkonvcktionszone noch ein Gebiet nichtadiabatischcr Schichtung [II].

3. Dae Spektralgeeetz Fur diejenigen Turbulenzelernentc, deren Durchmcsser kleiner als 1, ist, gilt Gleichung (10) nicht

inehr, da der konvcktive Energietransport ausschlieBlich durch die gro0ten Elemente gclcistct wird. Dagegen miissen die Gleichungen (9) und ( X I ) ihrer physikalischen Bedeutung nach ftir Elementc beliebiger GroOc gelten und konncn, wcnn man 1 als unabhangigen Pararnetcr betrachtet, als Ausdruck des Spektral- gesctzes angesehen wcrdcn. Der Tcmperaturgradient, der in (9) auftritt, ist dabci von dcm nun als Para- meter betrachtctcn 1 unabhangig und folgt aus Gleichung (IO), in der v = u, und y = yo zu setzen ist. Dann lautct die Gleichung (9)

uiid durch Kombination mit (11) folgt das Spektralgesetz

d. h. die Geschwindigkeit nimmt mit dcm Quadrat und dic fur den TeniperaturuberschuB maflgebliche GroOc y mit dcr dritten Potenz der Elementgrolle 1 ab.

Das Spcktralgesetz (13) gibt die einfache Erklarung der eingangs gestclltcn Frage, warum Granula vom Durchmesser etwa 1000 km so stark bevorzugt sind, daB weder wesentlich groflere noch wesentlich kleinere beobachtet werden. GroOere Elemente kann cs nicht geben, dcnn sic wiirdcn durch den Unter- schied der an ihrer oberen bzw. unteren Seite wirkenden Auftriebskrafte zerrissen werden ; kleincrc Granula gibt es ewar, aber sie sind unauffdlig, weil schon bei Verkleinerung des Durchmessers auf die Halfte die fur den Kontrast rnaogebliche GroBc y auf den achten Teil sinkt. Das Spektralgesetz (13) hat also eine ganz starke Bevorzugung der groBten Turbulenzelcmentc zur Folge, die man sich auch an- schaulich dadurch klar machen kann, daO groOe Elemente einen langercn Weg durch dic ubcradiabatisch gcschichtete Sonnenatmosphare zuriicklegen. Sie gewinnen daher grol3cre Obertemperatur und damit starkere Heschleunigung als kleine Elemente.

F. SCHYEIDLER : Cber das Turbulcnzspektrum der thermischen Konvektion in der Sonnr 69

An Hand des Spektralgesctzes (13) kann man nachtraglich verifizieren, d d der Energictransport ausschlieOlich durch die groOten Elementc geleistet wird. Allgemein gilt fur den konvektiven Energie- transport H,, der Ausdruck cp e u y T und aus (13) ergibt sich, d d dieser Betrag proportional zu l6 ist. Also tragen schon Elementc, die nur wenig kleiner als die grofitcn Elemente sind, beinahe nichts mchr zum Energietransport bei.

,Man kann das Spcktralgcsetz (13) auch durch die Unterteilung der Turbulenzelemente in verschie- dene Klassen erhalten, durch welche v. WEIZSACKER [12] das Spektralgesetz der hydrodynamischcn Tur- bulenzelemente abgeleitet hat. Es werdcn verschiedene Klassen von Elementen der Durchmesser I, , l , , I,, . . ., I , , . . . betrachtet derart, daD von Klasse zu Klasse der Durchmesser um den Faktor S < I abnimmt. Dann muD fur die Elemente jedcr Klasse die Bilanz sowohl der Warme als auch der kinetischen Energie aufgcstcllt werden. Die Elemente dcr Klasse n verlieren Warme durch Abgabe an die Umgebung im Betrag (4) ; sic gewinnen Warme cinnial dadurch, daD sic von den Elementen der nachstklcincren Klasse (also n + I) den durch (4) gegebenen Betrag ubernehmen und zweitcns dadurch, daD sie sich in ciner iiberadiabatisch gcschichtctcn Atmosphare bewegen ; die Glcichsetzung von Warmeverlust und Warmegewinii crgibt die Glcichung

An kinetischer Energie vcrlieren die Elcmente der Iilasse n dcn Betrag u:+~ l;tl infolge der Keibung, die durch die Elcmentc der Klasse n + I auf sie ausgciibt wird; an kinetischer Energie gewinnen sie crstens dadurch, daD sie den Elementen dcr nachstgroficren Klasse, fur die sic sclbst als Rcibung wirken, kinetischc Energie entziehen und zweitcns durch die thermischc Auftriebskraft ; die Clcichsetzung von Geuinn und Verlust an kinetisclicr Energie ergibt die Gleichune

Setzt man die forinalen Potetizgesetze u,, r- Vo 1: und y,, == Co I f : an und crsetzt in den Gleichungen (14) und (15) die GroDe I n + l durch dl,,, dann findct man

Da in beiden Gleichungen auf beiden Seiten die gleichen Potenzen von 1, stehen miissen, ist notwendig p - I = q und 3 q - I = p + q und daraus folgt p = 3 und q = 2. Man findet also wieder das Spek- tralgesetz (13), nach welchem die Geschwindigkeit wie die zweite und die Kontrastgrofie 'y wic die dritte Potenz des Elcmentdurchmessers 1 variiert.

Es ist bereits anfangs hervorgehoben worden, dafi das gefundene Spektralgesetz nur ftir diejenigen Granula gelten kann, die groD genug sind, daD infolge ihres Tcmperaturunterschiedes die thermischen Krafte eine wescntliche Rolle spielen. Fiir kleine Elemente nehmen nach (13) die GroBen u und y schr rasch ab und man miiDtc schlicBcn, daD bei genugend kleinen EIementdurchmessern die Geschwindig- keiten verschwindend klein werdcn, d. h. daD sehr kleine Granula nicht mchr existieren. Das ist natiirlich nicht der Fall. Kleine Turbulenzelemente passen ihre Temperatur fast augenblicklich der Umgebung an und erleiden dahcr keine adiabatische Zustandsanderung ; fur sic mu0 der normale Vorgang der hydro- dynamischen Turbulenz, d. h. dcs Ubergangs der kinetischen Energie in immer kleinere Elcmcntc bis zu molekularen Dimensionen herunter eintreten. Die Kombination der beiden Grenzfalle zu eincm ein- heitlichen Gcsctz kann in der glcichen Weise durch einfache Addition ausgcfiihrt werden, wie cs voni Verfasscr [8] fur den Fall des (wegcn Vernachlbsigung des Warmcaustauschs unvollstandigen) Spektral- gesetzes einer durch thermische Stabilitat behinderten Turbulenz angenommen wurde ; man erhalt

fur die groDcn Elemente nach (13)

Us

1 const = B fur die kleinen Elemente nach (I)

und durch Addition das cinhcitliche Spcktralgesetz

welches die bcidcn Crenzfalle richtig wiedergibt und daher im Ubcrgangsgcbict auch cinigcrmaDen richtig sein sollte. Der ubergang ist nach dem Kriterium von COWLING [4] und BIERMIINN [I] bei Elementen

70

solcher GroBc zu erwarten, daB die dimensionslose Zahl

F. SCXHEIDLSR: Ubcr das Turbulenzspcktrirm der thermisclren Konvektion in der Sonne

dcn Wert I hat ; dabei bcdeutct If, dcn Strahlungsstrom der Energie, der natiirlich neben dem konvck- tiven Energiestrom immer auch vorhanden ist.

4. Die Energiedissipation Das Spcktralgesetz (13) gilt fur die grol3en Elemente auch, wcnn bei thermisch stabiler Schichtung

cine Konvektion von auOcn her erzwungen wird. Es untcrscheidet sich von dem in cincr friihcren Arbeit dcs Verfassers [8] fiir diesen Fall abgeleitetcn Spektralgesetz v - 1. Wie schon crwahnt, ist der Untcr- schied dadurch begriindet, daB bei dcm fruher abgeleiteten Gesetz v - 1 dcr Warmeaustausch mit der Um- gcbung vcrnachlassigt war. Von dem hydrodynamischen Gesetz (I) ist aber das hier gcfundene Spektral- gesetz v - l a noch weiter entfernt als der Ausdruck v N I , so daB der seinerzeit gezogene SchluB auf die vollige Vcrnachlassigbarkeit der Energiedissipation richtig bleibt ; vorausgesetzt wcrden mu0 aber, daO die dimensionslose Zahl (17) fur dic grBBten Elemcnte schr groI3 ist, d. h. daI3 die groOtcn Elemcnte sich in sehr guter Naherung adiabatisch verhaltcn. Dies 1aOt sich allgcmein auf folgcnde Weise zeigen.

Der Betrag der pro Massen- und Zeitcinheit dissipierten (d. h. in Warmc vcrwandeltcn Energic) ist bei beliebigem Spcktralgesetz durch den Ausdruck

v3 - lim . -

S e I + ~ 1 _ -

gegebcn, ist also im Fall dcs Spektralgcsetzcs (16) glcich der Konstanten U. Einc Abschatzung fur U kann man erhalten, wcnn man annimmt, daB die beidcn Termc in (16) glcich groO sind fur solchc Elcmcnte, fur wclche die Zahl (17) den Wert I hat. Bczeichnet man die auf solche Elemente beziiglichen GroDcn mit dem Index I, dann hat man

V 1 = I . (18) CP,e = H,

Betrachtet man, was nicht ganz strcng ist, den Durchmesser dicser Elemente als durch (13) gegeben, dann ist vo 1: = vI 1; und da fur Elemente diescr GroOc die beiden Termc in (16) gleich scin sollen, findet man

als Betrag der Energiedissipation. Dicse ist also, wie oben bchauptet, gegenuber dem ,,hydrodynamischen" Betrag vo I-' stcts dann vernachkssigbar, wenn u, < vo ist, d. h. wenn die groaten Turbulcnzelcmente sich in gutcr Naherung adiabatisch vcrhalten.

Natiirlich ist diesc Bedingung adiabatischen Verhaltens der groaten Elemente bei nahezu adiabati- scher Schichtung stets erfiillt; man kann also in diesen Fallen immer die Energiedissipation ganz ver- nachliissigen. Es ist bekannt, daB die Bcdingung der Adiabasic in der Wasscrstoffkonvektionszone der Sonne von einer gewisscn Tiefe an erfdlt ist ; in den oberstcn Schichten dcr Sonne gilt sie nicht und un- mittelbar untcr der Photosphare herrscht sogar reincs Strahlungsgleichgewicht. In diesen Gebieten mufl also, im Gegcnsatz zum Sonncninncrn, dic Energiedissipation bcriicksichtigt wcrdcn. Aber schon die Heobachtung zcigt, daO ihre Wirkung keineswegs in einer Unterbindung der von unten her angeregten Konvektion besteht, die tatsachlich in voller Lebhaftigkcit erhalten bleibt; nur ist der Bcitrag der Kon- vclction zum gesamtcn Energietransport hicr geringfiigig.

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