94 A~Cm ~A~:~'

lSber d a s W a c h s t u m s v e r h a l t e n y o n l i n e a r e n F u n k t i o n a l t r a n s I o r m a t i o n e ~

Herrn Professor Dr. H~LLraVr~t K~ESER zum 60. Geburtstag gewidmet

Von HEINZ K6~m in Aachen

In einer in Kiirze erscheinenden Arbeit*) haben Herr J. MEIXNER und ich eine Klasse yon linearen Funktionaltransformationen untersucht, die in den Nachvcir" kungstheorien der Physik auftritt . In der Zwisehenzeit habe ich bem~rkt, dab sida ein Teil der Ergebnisse dieser Arbeit in umfassender und absehliel3ender Weise ver- allgemeinern li~l~t. Diese Verallgemeinerung ist der Gegenstand der vorliegendea Note. Ieh beginne mit der Zusammenstellung der zugrunde liegenden Definitione~ und der hierher geh6renden frfiheren Ergebnisse in Abschnitt 1. Die neuen Ergeb" nisse werden in Abschnitt 2 formuliert und in den Abschnitten 3 und 4 bewiesen.

1. E s sei Cm (m ~ 0, l, 2 . . . . . ~ ) der lineare Raum der auf der ganzen reelle~ Zahlengeraden definierten und m-mal stetig differenzierbaren reellwertigen Funk" tionen /, die in einem (von / abhiingigen) linksseitig unbeschr/~nkten Intervt~ll [-- oo, a] verschwinden.

Es sei L:/-->L] eine Funktionaltransformation, welehe jeder Funktion f eCr~ eine Funktion L / ~ Co zuordnet. L heiBt eine au/ Cm definierte lineare Trans/orraa" tion, wenn sic die folgenden drei Eigenschaften besitzt :

1. L ist linear: Fiir beliebige Funktionen /, g e Cm und reelle Zahlen a, b gill L(a] ~- bg) -= aL l -~ bLg.

2. L i s t translationsinvariant: Wenn die Funkt ionen/ , g e Cm durch

g(t) = / ( t -- ~) ffir alle t

mit festem 0 auseinander hervorgehen, dann gilt auch

Lg(t) = L/(t -- 0) f'tir alle t,

3. L i s t nicht riickwirkend: Wenn die Funktion / ECm im Intervall [-- oo, (r] vet" schwindet, dann verschwindet dort auch die Funktion L].

Eine auf Cm definierte lineare Transformation L heil~t stetiff yon der Ordnung (p = 0, I, . . . , m), wenn sie die folgende Eigenschaft besitzt: Wenn die Funktione~ ]1 ~Cm (j = 1, 2 . . . . ) in einem festen Intervall [-- 0% a] verschwinden, und werm fii~ jedes f e s t e r (r = 0, 1 . . . . , p) die Fm~ktionen ]~r) im Intervall [-- ~ , ~] gleiehmt~i]ig gegen Null konvergieren, dann konvergieren aueh die Funktionen L h im I n t e r v ~ [-- oo, T] gleichm~tl~ig gegen Null.

*) 14. K6~rG und J. MELX~ER, Linearc Systeme und lineare Transformationen. Erscheint io den Math./~Iachrichten (ira folgenden als LS zitiert).

Vol. IX, 1958 Wadlstumsverhalten von linearen Funktionaltransformationen 95

Irn Falle eines endlichen p (p = 0, 1, 2 . . . . ) ist diese Eigenschaft gleichbedeutend d~mit, des fiir jedes T > 0 die obere Grenze rl~ll~(3)

~-sup I LI(t)I : / ~ c , . ,nit /(t)----0 fiir t ~ 0, ]/("it)[--<1 ffir t=> 0}

endlich ist. H L 1] ~ (T) heist die Norm (der Ordnung p) der linearen Transformation L inn Punkte 3. Sie ist als Funktion yon ~ > 0 monoton waehsend.

Nine auf Cm (m = O, 1, 2 . . . . . o~) definierte und von der Ordnung p < m stetige lineare Transformation L liigt sieh auf genau eine Weise und unter Erhaltung der TNr~ [1L lip (3) zu einer auf C v definierten und yon der 0rdnung p stetigen linearen

ansformation LV fortsetzen (LS Absehnitt I, Satz 1).

pie so definierten linearen Transformationen/3 besitzen Integraldarstellungen vom baltungstyp. Dieser Satz li~St sich am einfaehsten mit Itilfe der Theorie der Distri- ntionen formulieren (LS Abschnitt 2, Satz 4) : Zu jeder auf Coo definierten und yon

der 0rdnung oo stetigen linearen Transformation L gibt es auf der reellen Zahlen- geraden eine eindeutig bestimmte reellwertige Sehwartzsehe Distribution S, deren ~rager im Intervall [0, co! enthalten ist, so dab fiir alle Funktionen ] e C~ gilt (1) L! = / , s .

~mgekehrt erzeugt jede auf der reellen Zahlengeraden definierte Sehwartzsehe istributioa S, deren Tr/~ger im Interval1 [0, co! enthalten ist, vermittels (1) eine auf

0 defiaierte und yon der Ordnung oo stetige lineare Transformation L. Die Trans- formation L ist genau dann stetig yon der endliehen Ordnung m (m = 0, 1, 2 . . . . ), Wean S im Sehwartzsehen Sinne eine Distribution der Ordnung m ist.

Eine auf C~ definierte und von tier Ordnung ~ stetige lineare Transformation Lis t hiernaeh i n allgemeinen von keiner endlichen Ordnung m (m = 0, I, 2 . . . . ) Stetig. Diese Eigenschaft h/ingt viehnehr auf des engste mit dem Verhalten yon L 1re Unendlichen (bei der Bewegung t ~ oo) zusammen. Ein charakteristisches Bei- i Piel hierftir liefern die linearen Transformationen L yon langsamem Wachstum L8 Absehnitt 3) :

Eine auf Cm (m ---- O, 1, 2 . . . . . oo) definierte lineare Transformation L heist yon langsctmem Wachstum, wenn sie jede auSerhalb eines besehr/inkten Intervalles [0, v] versehwindende Funktion [ e Cm in eine langsam waehsende Funktion L / iiberftihrt: F/Jr einen (von / abhiingigen) Index r (r = 0, 1, 2 . . . . ) gilt

L/(t) = 0 (t r) fiir t --> co.

l~s gelten die beiden folgenden S/~tze: Eine auf C~ definierte und vonder Ordnung Stetige lineare Transformation L i s t genau dann von langsamem Wachstum, wenn

es einen Index m (m = 0, 1,2, ...) gibt mit der Eigenschaft, daB.die Transformation L v~ der Ordnung m stetig und ihre stetige Fortsetzung L "~ auf Cm ebenfalls yon lang- sanlera Waehstum ist (LS Absehnitt 3, Satz 5 und 6). Eine auf Cm (m = 0, 1, 2 . . . . ) definierte und yon der Ordnung m stetige lineare Transformation L i s t genau dann Yon lan �9 _ 1~- gsamem Waehstum, wenn ihre Norm 1[ L lira (v) als Funktion von v ~ 0 von

ugsaraem Waehstum ist (LS Absehnitt 3, Satz 6).

96 H. KSmc~ aRCH. MAa~l.

Die beiden le tz tgenannten S~tze sollen in der vorliegenden Note weitgehend ver- allgemeinert werden. Als Haupt resu l t a t wird sich dabei eine notwendige und hinrei- chende, das Wachs tumsverha l ten yon L im Unendlichen betreffende Bedingung dafiir ergeben, daft eine auf Coo definierte und v o n d e r Ordnung ~ stetige lineare Transformat ion L v o n einer gewissen endlichen Ordnung m (m -- 0, l, 2 . . . . ) stetig is~.

2. Unter einer Vergleichs/unktion verstehen wir eine im Interval l [0, co] definier~e und mono ton wachsende reellwertige Funk t ion H mit H (0) ~ I. Unte r einer Ver- gleichsskala verstehen wir eine Schar (H~) von Vergleichsfunktionen H~ (:r > 0) mi~ der Eigenschaft , daft fiir 0 < cr ~ fl gilt

H~(t) <= H~(t) fiir t ~ 0.

Es sei L eine auf Cm (m --- 0, 1, 2 . . . . . or) definierte lineare Transformation. Eine Vergleiehsfunktion H heifJt eine Ma]orante yon L, wenn fiir a]le aufterhalb eines be- schrankten Intervalles [0, ~] verschwindenden Funkt ionen / ~Cm gilt

L[ (t) = 0 (H (t) ) f i i r t --> ao,

Eine Vergleichsskala ( H J heil]~ eine Ma]orante von L, wenn es zu jeder aufterbMb eines beschr~nkten Intervulles [0, T] versehwindenden Funkt ion / ~ Cm ein 0r ~ 0 gibt mit

L/(t) = O(It~(t)) fiir t -~ a~.

Dann gilt zuni~chst der folgende

Satz 1. Eine au/ Cm (m -- O, 1, 2 . . . . . ~ ) definierte und yon der Ordnung m stetige lineare Trans/ormation L werde durch die Vergleiehsskala (H~) majoriert. Dann gibt es ein ~ > 0 mit der Eigenscha/t, daft die Trans/ormation L bereits dutch die Vergleiehs" /unktion H~ majoriert wird.

Dureh diesen Satz 1 wird der Fall e]ner majorierenden Vergleicl~sskala (Ha) atlf den einer majorierenden Vergleichsfunktion H zuriickgeffihrt. I n diesem Falle gelte~ weiterhin die beiden folgenden S~ttze:

Satz 2. Eine au/ C~ definierte und vonder Ordnung ov 8tetige lineare Trans/ormation L besitze die Majorante H. Dann gibt es einen Index m (m : 0, l, 2, ...) mit der Eige~v scha]t, daft die Trans]ormation L yon der Ordnung m stetig ist und ihre stetige Fort" setzung L m au/ Cm eben]alls die Ma]orante H besitzt.

Satz 3. Eine au/ Cm (m ~ 0, I, 2 . . . . ) definierte und yon der Ordnung m stetige lineare Trans/ormation L besitze die Ma~orante H. Dann gilt

(2) [IL1]m(t) = O(tm+lH(t)) /iir t ~ ao.

Diese AbschStzung kann nicht verbessert werden. Es ist in der Tat sofort einzusehen, dab die Absch/~tzung (2) nicht verbessert werden kan-n.

Denn die dutch t

L/(t) = f ](u)du fiir alle / ~ Co und alle -CO

auf Co definierte und yon der Ordnung 0 stetige lineare Transformation L besitzt die Konst~nLe 1 als Majorante und fiir jedes m (m = 0, 1, 2 . . . . ) die Norm

VoI.Ix, 1958 Wad~stumsverhahen yon linearen Funktionahransformationen 97

I[Ltl'*(t) ~ (m + ii! flirt > 0,

so dab die Relation (2) in diesem Falle in eine Proportionalitit iibergeht.

Andererseits besitzt, eine auf Cm (m ~ 0, 1, 2 . . . . ) definierte und yon der Ordnung ~n Stetige lineare Transformation L stets eine Majorante H, nimlich die durch

H(t) = max (1, I1Lllm(t)) fiir t > 0

definierte Vergleichsfunktion H. Aus Satz 2 ergibt sich daher der folgende

Satz 4. Eine au/ C~ definierte und vonder Ordnung oo stetige lineare Trans/ormation L i~t .ffenau dann yon einer gewissen e~llichen Ordnung m (m ~ O, 1, 2 . . . . ) stetig, wenn 8ie eine Majorante H besitzt.

M.it anderen Worten : Eine auf Coo definierte und yon der Ordnung oo stetige lineare Transformation L i s t genau dann yon einer gewissen endlichen Orchmng m stetig, Wean es eine Vergleichsfunktion H gibt mit der Eigenschaft, da[~ fiir alle auf~erhalb eines beschr~nkten Intervalles [0, T] verschwindenden Funktionen ] e C~ gilt

L/(t) ---- 0 (H (t~) f i i r t -+ oo .

I)ies ist die im vorangehenden Abschnit~ angekiindigte, das Wachstumsverhalten der Transformation L im Unendlichen bet,'effende notwendige und hinreichende Be- dingung.

Irl den gegenwi~rtigen Bezeichnungen heil~t eine auf Cm (m '~ 0, 1, 2 . . . . . oo) deft- aierte lineare Transformation L yon ]angsamem Wachstum, wenn sie durch die Vergleichsskala (H~) der durch

H~(t) ~ max (1, t ~) fiir ~r ~ 0 und t ~ 0

defiaierten Vergleichsfunktionen H~ majoriert wird. In diesem 'Falle gewinnt man ~us den S~tzen 1, 2 und 3 die beiden in Abschnitt 1 angefiihrten S~tze (LS Abschnitt 3, ~atz 5 und 6) zurfick. Eine andere wichtige Vergleichsskala (H,) ist die der durch

H:~(t) ~ max (e, e t~Ir ffir 0r ~ 0 und t :> 0

defiaierten Vergleichsfunktionen H~. Es ist leicht zu sehen, da~ sich die fl'iiher ge-

i~ nPenen Ergebnisse (LS Abschnitt 7 und 8) auf die durch diese Vergleichsskala

-'~--~mauo len;n~!?r'lertlen'/~ aus(le nenlassen a u f C'~hdefin'ierten und von der Ordnung oo stetigen linearen

Im ubrl e atz 4 m dm S rache der Theorm der b" "" "g n ist es nicht ohne Interesse, den S ~ ' " p iStributionen zu fibersetzen. Man erh~lt dann den folgenden, im Rahmen der bisher

V~ The0rie neuartigen' und offensichtlich stark verallgemeinerungsf~higen

8atz 5. Eine au/ der reeIlen Zahlengeraden definierte redlwertige Schwartzsche Di- ~ rib. ution S, deren Trdger im IntervaU [0, oo] enthalten ist, ist genau dann eine Distri. Ut,on endlicher Ordnung, wenn es eine Vergleichs/unktion H gibt mit der Eigenschafl,

daft liar alle auflerhalb eines beschrSnkten Intervalles [0, ~'] verschwindenden Funk- tionen / ~ C~ gilt

( / , S)(t) = O(H( t ) ) /~r t ~ o o .

3. In diesem Abschnitt handelt es sich um den Beweis der beiden folgenden ttilfs- S~tze, die die Aussage yon zwei friiher bewiesenen verallgemeinern (LS Abschnitt 3,

Archly der ~Iathenmtik IX

H i l f s s a t z 2 u n d 3). D i e d o r t g e g e b e n e n B e w e i s e i i b e r t r a g e n s i eh o h n e wesent l iche

~ n d e r u n g e n . W i t w e r d e n u n s d a h e r i m f o l g e n d e n a u f d e n B e w e i s y o n Hi l f s sa tZ 1

b e s c h r ~ n k e n .

H i l f s s a t z 1. Eine au/ Cr definierte und yon der Ordnung ~ stetige lineare Trans]or" mation L werde durch die Vergleichsskala (H~) ma~oriert. Dann gibt es zu ]edem v ~ 0 einen Index m (m ~ O, l , 2 . . . . ), ein M > 0 und ein ~ > 0 mit der Eigenscha/t, da~ /iir aUe Funkt ionen / ~ Cr mit

gilt

/(t) = o I/(m)<t)l 1

{L/(t)[ < MH~(t)

/iir t ~ 0 und t ~ ~,

/i~r t ~ O.

t I i l f s s a t z 2. Eine au] Cm (m = O, 1, 2 . . . . ) definierte und vonder Ordnung m steti~e lineare Trans/ormation L werde durch die Vergleichsslcala (It~) ma]oriert. Dann gibt es zu ]edem ~ > 0 ein M > 0 und ein :r > 0 mit der Eigenscha/t, daft liar alle Funk" tionen / ~ C m mit

/(t) = 0

I t <= 1 gilt

/igr t ~_ 0 und t ~ ~ '

/~r 0 <= t ~ ~

nnd mi t (4) (5)

ILh(O [ < StHpj (t) f i i r t ~ O,

I Lh(tj)[ > MjH~j (0). I m Fa l le ] ~ 1 sei m 1 = m(T), M 1 = 1 o n d ~1 = ] . D a n n k o n n e n w l r d ie ~ l l n k t i o E l / 1 und dOJ1 P u n k t tl auf Grund unserer Annahme so w~h~en, dab (3) und (5) erfiillt sind. Hierauf werden ~1 und fll so best immt, dal3 aueh (4) erfiillt ist. Es sei nun ?' ~ 2, und die be t raehte ten GrSl]en seiell fiir /c = 1 . . . . . ~ -- 1 bereits festgelegt. Dann w~.hlen wir einen Index mj :> mj-1 mi t mj ~_m(tk) + j (k-~ 1 . . . . . ] - - 1) und ein u t _~ ? 'mit uj ~ f l ~ ( k = 1 . . . . . ] - - 1) und setzen

(6) M ~ S ~ + . . . +S~-~+2 i + e ~.

Hierauf kSnnen wir, wieder auf Grund unserer Annahme, die F u n k t i o n / 1 und den ponk~ t] so withlen, dab (3) und (5) erfiillt sind. U nd sehliel~lich werden $t und fl~ wieder so bestim ~ ' daft auch (4) erfiillt ist.

] L~ (t) ] < _~IJ~ (t) /~r t ~ O.

B e w e i s y o n t I i l f s s a t z 1.1)ieser :Beweis be ruh t auf der folgenden Tatsache (LS Abschni t t 1): Zu jedem ~ ;> 0 gibt es einen lndex m (m ~ 0, 1, 2, ...) mi t der Eigenschaft, dab fiir alle Funl~" t ionen ] E O~ mi t

/(t) = 0 f~r t ~ 0,

[ ](m)(t)l <~ 1 f i i r t ~ ~ gilt

I L/(t) I --~ 1 f i i r t 5 v''

FOr jedes �9 >- 0 sei m(~) der kleinste Index m m i t dieser Eigensehaft. Wir nehmen an, dab die :Behauptung des Hilfssatzes fiir ein gewisses • :> 0 falseh ist. Wir

wi~hlen rekursiv eine Folge yon Indizes m I (j = 1, 2 . . . . ), zwei Folgen yon Zahlen MI, $t ~ O, zwei :Folgen yon Zahlen ul, fll > O, ein Folge yon Funkt ionen )~j e C~o und eine :Folge yon Punkte9 t~ ~ v mi t

]1(t) : 0 f t i r t ~ O u n d t ~ ~'

Vol. IX, 1958 Wachstumsverhahen yon linearen Funkt ionahransformat ionen 99

Wit betrachten nun die dutch k

Fk(t) = ~/~(t) i=1

detlaierten Funktionen F~ ~ Cr (k ~ 1, 2, ...). Aus (3) folgt i~tir p < k < l

l

j = k q - 1 ]=k-t-1

Fiir jedes feste p (p = 0, 1, 2 . . . . ) konvergieren mithin die Funktionen FJ p) gleichm~Big gegen die ~-te Ableitung der duroh

F (~) = ~ h (t)

defirtierte ~Funktion F ~ Coo. I)aher gilt auch

(7) LF(t) = ~ L/~(t). i=1

VCegen $'(t) ~ 0 fiir t <: 0 und t ~ v gibt es ein M :> 0 und ein ~ 3> 0 mit

(8) [ LF(t)[ ~ MHa(t) fiir t ~_ 0 .

&adererseit8 hat man ftir } > k auf Grund von (3)

z (mj -

Uad daher nach der Definition yon m (tk) 7:(mj-m(tk))

ILh(tDI g (m 1 - - m ( t ~ : ) ) !

~iir k _~ 2, 3 . . . . folgt hieraus und aus (4), (6) und (7)

I LF(te) -- L/k(tDI <= S~Ha~(ta.) q- ... § Se-~Hfl~_~ (tD § ~ ~. <= ~ ' = k + l

< (S~ + . . . + S~:~ + e~) H% (tD = (M~ -- 2~) Ha~ (tD

~ad danait aus (5)

(9) ILF(t~:)I :> 2kHa~(t~).

~ : s ~Clat man nun (9) mit (8), so erhi~lt man 2k < M ftir Mle hinreichend grol~en k. Damit sind r zu einena Widerspruch gelangt, der die l~ichtigkeit des ttilfssatzes 1 beweist.

4. Ir~ diesem A b s c h n i t t f t ih ren wir die ]3eweise der S~tze 1, 2 u n d 3 zu E n d e . A u f rt~ad der tIilfssi~tze 1 u n d 2 s ind alle B e h a u p t u n g e n dieser Siitze in d e m fo lgenden ilfssatz e n t h a l t e n :

l t i l[ssatz 3 Es sei L eine au] C~ definierte lineare Trans]ormation und Heine Ver- ~leicl~funktion. Es sei ]erner ein a ~ O, ein Index m (m -~ O, 1, 2 . . . . ) und ein M > 0 ~eYeben mit der Eigenschaft, daft/iZr alle ~unktionen ] e C~ mit

gilt

t ( t ) = o /i~r t ~ O u n d t ~ (r ,

I/c~)(t) l < 1 t~r 0 ~ t < a

]L/( t i l < M a ( t ) t > O. 7*

I 0 0 H. K6NI~ ARCH. MAT~L

D a n n ist die Trans /ormat ion L stetig yon der Ordnun9 m, und ihre stetige Fortsetzunr D n a u / Cm besitzt die Ma~orante H. Ferner gilt

(10) I1L I1 m (t) = I[ Lm il m (t) = 0 (t m+l H (t)) ]iir t ~ a~.

B e w e i s y o n H i l f s s a t z 3. Wir withlen eine feste F u n k t i o n h r Coo mi t 0 < h (t) < 1 fOr tdle t,

h(t) = 0 fo r t ~ 0 ' h(t) ~ 1 FOrt ~ 1 ,

und se tzen K = m a x (Ih(t)l . . . . . Ih(,~)(t)l).

Mit Hilfe dieser F u n k t i o n h spal ten wi t e ine beliebige F u n k t i o n / e C~ mi t

/(t) = 0 f l i r t ~ 0 , (11) I / ( ,o ( t ) l < 1 f l i r t ~ 0

in einzelne S u m m a n d e n ]j e Coo (j ~ 0, 1 , 2 . . . . ) auf, yon denen jeder auflerhalb eines gewisse~ Intcrval les der L~nge a ve r schwinde t :

1))

Dtmn gilt

und fOr [ = 1 , 2 , . . .

also insbesondere

lo(t) = o

4 /j (t) = 0 for t ~ -~- a

Fe rne r gil t fOr k = 1 , 2 , . . .

(12) / ( t ) = ~ Ij( t l + l ( t ) h . . . . (k + II . j=O

Aus (11) fo |g t nun ftir p = O, 1 . . . . . m tv

II~m-p)(t)l < V~

und hieraus fiir ?" = 0, 1 , 2 . . . . naeh der Produkt rege l

_ \ - -2-- )

Auf Grund unserer Vorausse tzungen h a b e n wir daher fiir ~ ~ 0, 1 , 2 . . . .

(13) I L/j(t) , ~_ 2 K M (?---T2~4-)mH (t)

Wie w~hIen nun ein testes v > a und den Index k (k = 2, 3 . . . . ) so, dat]

k k + l - - a ~ r < a

for j = 1 , 2 , . . "

for t ~ a

f ~ t < J ~ + ~ ~' = 2

- - 2

u n d t ~ J - - ~ a"

~ r t ~ 0

fiir t ~ O.

fiir t ~ 0,

VoI. IX, 1958 Wad~stumsverhalten yon ]inearen Funktionaltransformatio~en 101

~ird. Wegen

/~+~3~- ~ , -~- _39~ a

erh~lten wir da~u, d~ der letzte Summand in (12) fiir t ~ ~ verschwinde~, fiir alle :Funktionen leU~ nait (11)"

ILl(t)[ < 2KMH(t}~Z~o.~ ~ 2 . 3 n ' § H(t) fiir 0 ~ ~ =< 7.

~Iieraus fi �9 ~ . olg~, da~[l die Transformation L yon der Ordnung m stetig is~. Und zwar gilt fiir di~ Norm

~m(,) yon/~ die Ungleichung / T hm+l

tlad daher die Relation (10). Wens wir inshesondere annehmen, dab die Funkt iou / ~ C~ auBerhalb des Intervalles [0, z]

~e~ehWhadet, dana verschwinde~ der letzte Summand in (12) fiir alle t, und aua (13) folgt

{la) iLl{t)) ~ 2. am+X KM H (t) f~r t >= 0 .

~j~ Transformation/~ wird also dureh die Vergleiehsfunktion H majoriert. Die Ungleiehung (14) ~e~tr~gg.sich abet sofort auf alle auBerhalb des Intervalles [0, z] ~,erschwindenden Fuuktionen

-~m mtt (11).

,L,'nl(t)[~2.3m+~l(,M(:)m~H(t) fi~r t ~ ( } ,

l$Iithin wird aueh die stetige Fortsetzung L m yon L a~uf Cm durch die Vergleiehsfunk*do~ H naa~oriert. Datuit ist der Hilfssatz 3 vol ls~ndig bewiesen.

Eingcg~ngen ~m 10.11. i~5~