Math. Nachr. 73, 155-170 (1976)

uber den 3-Rang von quadratischen Zahlkorpern und den Rang gewisser elliptischer Kurven

Von REINHARD B~LLING in Berlin

(Eingegangen am 29.11.1974)

Es gibt bekanntlich unendlich viele imaginar-quadratische Zahlkorper, deren Klassenzahl durch eine gegebene naturliche Zahl teilbar ist ([I], [ 6 ] , [7], [9]). Ein entsprechendes Resultat fur reell-quadratische Zahlkorper wurde erstmals von Y. YAMAMOTO [17] bewiesen. Im AnschluB hieran ergibt sich die Frage, ob unendlich viele imagink-(bzw. reell-) quadratische Zahlkorper existieren, so dalj der p-Rang rp der Idealklassengruppe einen vorgegebenen M'ert nicht unter- schreitet (P-Primzahl). Bis auf den von C. F. GAUSS behandelten klassischen Fall p = 2 ist hieruber nichts von entsprechender Allgemeinheit bekannt. Eine Charakterisierung fur r 3 s 1 hat 0. NEUMANN [12] gegeben. In der zitierten Arbeit von Y. YAMAMOTO ist nachgewiesen, dalj es unendlich viele imaginar- quadratische Zahlkorper mit rp z 2 gibt. Daruber hinaus scheint nur etwas fur den 3-Rang rg bekannt zu sein. So ist in [17] ebenfalls bewiesen, daW r3z-2 auch fur reell-quadratische Zahlkorper unendlich oft auftritt. In Anwendung der Methoden von Y. YAMAMOTO erhalt M. CRAIG [3] die entsprechende Aussage fur imaginar-quadratische Zahlkorper mit r3 s 3 (ein Beweis fur r3 4 wird an- gekundigt).

Wir zeigen hier im AnschluO an [3] unter Anwendung der Klassenkorper- theorie (wodurch die Schwierigkeiten mit der Grundeinhejt umgangen werden) die Existenz von unendlich vielen reell-quadratischen Zahlkorpern mit r3 2 3 (nach dem Satz von A. SCHOLZ [I41 und H. REICHARDT [13] erhalt M. CRAIG das auch aus seinem angekiindigten Resultat). Ebenso ergibt sich ein weiterer Beweis fur das erwahnte Ergebnis von M. CRAIG.

Eine Reihe (mittels Computer bestimmter) numerischer Beispiele ist in [ 101 und weiteren dort zitierten Asbeiten angegeben (nls groljter Wert tritt dreimal r,=4 fur die imaglnar-quadratischen Zahlkorper Q(j1-d) rnit d= 83 309 629 817 (Primzahl); 87 386 945 207; 8 082 611 041 961 auf (fur die reell-quadratischen Zahlkorper &(I%) gilt r3= 3)) .

Zunachst sollen jedoch einige Beziehungen von Fragen dieser Art mit der Frage nach dem Rang gewisser elliptischer Kurven angefuhrt werden. So laljt sich ausgehend von dem Beweis des zitierten Satzes in [3] die Existenz von unendlich vielen (explizit angebbaren (vgl. die Bemerkungen in [15] p. 194))

156 Bolling, cber den 3-Rang ron quadratischen Zahlkorpern

uber Q definierten elliptischen Kurven niit der absoluten Invariante null nach- weisen, deren Rang niindestens drei betragt. >lit anderen Methoden hat A. N ~ R O N [ll] gezeigt, daB es unendlich viele uber Q definierte elliptische Kurven gibt, deren Rang iiiindestens 1 1 ist. Ferner beweisen wir, da13 der 3-Rang von qua- dratischen Zahlkorpern beliebig groB wird, falls die Range von gewissen ellipti- schen Kurven nach oben nicht beschrankt sind.

SchlieBlich niochte ich 0. NEUMANN danken, der inich auf den angesprocheiien Fragenlrreis unci die Arbeiten [3] und [17] aufinerksutn gemacht hat.

1. Die Punkte P(f)

Sei K/Q eine absolut-quadratische Erweiterung. Nach der Klassen- korpertheorie gibt es r3 Erweiterungen Li von K mit

(i) [hi: K ] = 3 (ii) L,/K ist galoissch und unverzweigt

Aus G ) und ( i i ) folgt (ebenfalls inittels Iilassenkorpertheorie), daB Li/Q eine galois- sche Erweiterung init der Galoisgruppe G3 ist. Daher ist Li Zerfallungskorper eines kubischen Polynoins f,CQ[T]. Die Diskriminante d(fi) von ,fi und die Dis- kriiniiiante von h’ haben dasselbe kanonische Bild in Q*/Q*2.

Fur einen endlichen algebraischen Zahlkorper L und ein beliebiges kc L* betrachten wir die elliptische Kurve

deren Punkte in bekannter A’eise eine abelsche Gruppe (mit dem einzigen un- endlich fernen Punkt o als Nullelement) bilden. >lit A(L) werde die Gruppe der L-rationalen Punkte von A bezeichnet.

Es wird r3 z 1 vorausgesetzt. Sei

(1 .1) A,: Y ‘ = X 3 + k ,

f i (T)=T3+u,T+bi (ai, biEQ) . Dieseni Polynom ordnen wir den Punk t

zu . Lemma I , Die Punkte P( fi) hnben unendliche Ordaung. Beweis. Yach eineni R,esultat von R. FUETER [4] (s. auch [S], chap. 26,

theorem 5 ) sii id J& - 24: j :Jg( i , dk, und Ag:, die einzigen iiber Q definierten elliptischen Kurven voni Typ (1. l), die Q-rationale Torsionspunkte besitzen (ihre Ordiiuiig ist ein Teiler von 6) . Die ersten beiden Falle scheiden aus, da sie K = Q bzw. K=Q(1/--3) nach sich ziehen wurden. Fur den dritten Fall konnen wir keQ*Z annehmen. Dann besitzt At3 genau einen von o verschiedenen Q-rationalen Tor- sionspunkt der Ordnung zwei. In diesein Fall ware aberf; reduzibe!.

Bolling, Uber den 3-Rang von quadratischen Zahlkorpern 157

Bemerkung. Der verwendetje Satz von R. FUETER kann auch leicht direkt unter Heranziehung von Lemma 7.2 und Theorem 22.1 aus J. 1%'. S. CASSELS Survey [2 ] bewiesen werden (in (7.24) ist dabei die Korrektur

2 2 1 I

2Y ~ 2 m = - - - V m { ~ m + 2 ~ r n - l - ~ r n - 2 ~ m + i /

vorzunehnien).

2. Die Korper LIP]

Teil 1

Sei L eine algebraische AbschlieBung von L. Einem Punkt P = ( p , q)Edtk(L) ordnen wir das Polynom

f p ( T ) = T3- 3pT - 2q

zu. Sei L[P] der Zerfallungskorper dieses Polynoms iiber L. Nit dieser Definition der L[P] wurden (und werden hier) die nachfolgenden

Lemmata des ersten Teiles dieses Abschnittes bewiesen. Die Ergebnisse gaben dann ihrerseits AnlaD zu einer neuen Definition der L[P] , die im Teil2 ausgefiihrt wird. Der Leser kann die Beweise des ersten Teiles ubergehen, wenn er von der zweiten Definition ausgeht.

\Tir stellen zunichst fest, daB

i2.1) L ( I X 3k)&L[P] __

gilt. Oberdies sei noch L[o] = L(1/ - 3k) gesetzt. Den weiteren Betrachtungen sei eine Motivierung vorangestellt. Wir wollen

dazu fur einen Moment L =& setzen. Sei ohne Beschrankung der Allgemeinheit , ~ E Z (Ring der ganzen rationalen Zahlen) und k frei von sechsten Potenzen voraus- gesetzt. Man sieht leicht, daD aus P= ( p , q ) Edk((?)

fur gewisse po, qo, tOEZ mit (p,,, qo, to ) = 1 folgt. &[PI ist der Zerfallungskorper des Polynoins T3- 3pnT - 2p,,, das die Diskriminante - 2Wkt: besitzt. Nehmen wir weiter an, daB f p irreduzibel (iiber &) ist, so besitzt eine kubische Erweiterung ron Q in &[PI die Diskriminante d+, wobei d die Diskriminante von (?() - 3k) ist uncl fur jeden Primteiler r von w init r =!= 3 gilt r 1 ( p O , 2q") (8 . auch den Beweis der Bemerkung in1 Abschnitt 4). Insbesondere folgt daher r f to. Aus

I-

dv:! j - 2233kt6 0

erhalten wir ( r = 3 kann, wie alle ubrigen Teiler von w, nur in einer beschrailkten Potenz (inasimal zwei) auftreten), daB nur endlich viele Diskriniinanten moglich

158 Bolling, Uber den 3-Rang von quadratischen Zahlkorpern

sind. Da nun eine ganze rationale Zahl nur endlich oft als Diskriminante eines algebraischen Zahlkorpers auftreten kann (etwa [ 5 ] , 0 30, 4.3)) gibt es nur endlich viele Zerfallungskorper &[PI. Andererseits besitzt jede Kurve A,, deren Rang wenigstens eins betragt, schon unendlich viele rationale Punkte P E d t k ( Q ) . So entsteht die Frage, wie sich die rationalen Punkte auf die Zerfallungskorper verteilen.

Wir kehren nun zur allgemeinen Situation zuriick und beweisen das folgende

Lemma 2. Fur beliebige P’, P”Cdz,(L) g i l t L [P’+P”]SL[P’] L [ P ” ] .

Beweis. Offenbar ist L[ - P ] = L [ P ] . Die Behauptung ist daher damit aqui- valent, dalj aus

+ Pz f p3= 0 (piCr4k.L)) die Inklusion

h[p3lS L[Pd LIP21 folgt. Fur den Beweis konnen wir P i i o fur alle i annehmen. Sei Pi=(pi, qi). Fur gewisse E i € E moge

-

E: = pi - l /k

gelten. QTeiter werden ti (falls ti+ 0 ) durch t .t . = p .

6 : = g i f ) k ,

was zugleich die Definitionsgleichung fur Ei im Fall ti= 0 sein moge. Das Polynom fp hat die Nullstsellen lie+[ig’, (iez+[ip, wobei e eine primitive dritte Einheitswurzel ist.

1 . Var ian t e. Offenbar konnen wir den Fall p 1 = p 2 =p3 ausschlieDen. Die Punkte Pi liegen auf einer (eindeutig bestimnlten) Geraden, die durch eine Glei- chung

fur gewisse m, nCL gegeben sei. Dann genugen die q i dein kubischen Polynom

1 . 1 1

bestimnit. Es gilt / -

Y = m X + n

g(X)=(Y-n)3--1723Y:!+km3

g( y i) = ( f k - n)3 = - E&E3 .

5 1 t 2 5 3 =e” (n - 1% ~ 1 5 2 ~ 3 =e-” (n + VL)

=(Y-q1) (Y-9d ( Y - Q : d . Es folgt,

1 3 3

Also

(2.2)

Boilling, uber den 3-Rang von quadratischen Zahlkorpern 159

fur ein gewisses Y E Z . Ebenso leitet man zuiii Beispiel fur den Fall ti = 0

mit einem gewissen YEZ ab. Fur p I p 2 + 0 folgt aus ( 2 . 2 ) direkt oder inittels Galoistheorie

t 3 e - %’ + 53e” E L (tl+ 51 Y t 2 + 5 2 )

5 3 - ( ’+p+A) + E$”+ + A EL (t1Q” + E l @ - , E2QA + E g A ) und damit allgemeiner

fur beliebige p, ACZ. Falls p1p2 = 0 gilt, so konnen wir sogleich ohne Beschrankung der Allgemein-

heit p2*0 annehmen (man beachte dazu, da13 die Punkte mit pi=O 3-Tejlungs- punkte von A, sind). Sodann konnen wir t1 = 0 annehmen. Wenn wir noch beruck- sichtigen, da13

UPtI L[P2I =L(e7 E I , t 2 )

gilt, so folgt aus (2.2)’ ebenfalls die Behauptung. Damit ist das Lemma bewiesen.

2. Variante . Die Funktion Y -1z (als Element des Funktionenkorpers von A, aufgefal3t) besitzt den Divisor

(Y-1/;)=3(0, 1L)-30.

Dann folgt, aus der Theorie der abelschen Mannigfaltjgkeiten ([16], 5 VIII, cor. 2 zu th6orBme 30 und Q XI, prop. 32), da13 Y -YE nach eventueller geeigneter Multiplikation mit einer Konstanten einen Homomorphismus von d, (L(yk) ) in L(j’z)*/L(fL)*J liefert. Man sieht leicht, da13 hier

( d q N G * 3 1

~ kL(l/k)*3 2 I L (lk) *3

p=(P7 a)€.Ra(L(liG)- fur P= (0, V E ) fur P = o

genommen werden kann. Hieraus folgt, wenn wir Pi =k D fur alle i und ~ 3 1 ~ 2 ~ 3 =k 0 voraussetzen,

5 1 5 2 t 3 E ~ ( e , V k , . Also erhalten wir

~ r p 3 I ~ ~ L c p i I LIP21 (e) . Aus der Tatsache, daI3 L[P3] Zerfallungskorper eines kubischen Polynoms (uber L ) ist, folgt dann schon

L[P3IC, L[PiI . Damit ist das Lemma bewiesen.

160 Bolling, Uber den 3-Rang von quadratischen Zahlkorpern

Lemma 3. Fur jeden Punkt PEUZJL) giZt I- L[3P] = L( ]’ - 3k) .

Beweis . Zuntichst betrachten wir einige Ausnahmepunkte PEA@). Fur 3 P = o ist nichts zu zeigen. \Venn 2 P = (0, k@) gilt, so mu13 3P ein L-rationaler 2-Teilungspunkt sein, 3P= ( - a, 0). Dann ist L[3P] =L(1/-) = L ( d z ) , wenn noch beriicksichtigt wird. daI3 offensiclitlich ac L*z gilt.

Allgemein sei P = ( p , q)cAk(L) . Falls iP*o ist, setzen wir iP=(p(’)’, Q ( ~ ) ) .

Fur gewisse lip, Eipt L sei wieder

fur gewisse vn, fi,cZ. Auf Grund unserer und erhalten

l J P , t,:,EL(o, I’L) . Daher ist

L [ ~ P ] C L ( Q , ]’I.-) . Auu (2.1) folgt dann schon

_ _ L[3P] =L(]’ - 3 k ) .

findet man aus ( 2 2 ) durch vollstandige

Vorbetrerhtung konnen wir n = 3 setzeri

2. V a r i a n t e . Entsprechend den Beiiierkungen in der 2 . Variante des Be- weises zu Lemma 2 folgt

* ( 3 ) - 1 & q ~ X . ) * 3 .

Der Rest verliiuft wie oben. Daniit ist clas Lemma. bewiesen.

Lemma 4. Sei PCd, (L) . Donu g i l t

L[nP]=L[P] far 31 11. ( I L E Z ) . Beweis. Nach Lemma 2 gilt

L [ n P ] & L [ P ] .

Sei n= 312.‘ + 1. Dann folgt ebenso nnch Lemma ,“

L[ PI 5 L[nY] L[ - 3n’P]

Bolling, tfber den 3-Rang von quadratischen Zahlkorpern 161

und nach Lemma 3 dann

L[P]&L[rtP] L ( 1 X ) , also nach (2.1)

L [ P ] S L [ n P ] .

Damit ist das Lemma bewiesen.

Teil 2

Die ini ersten Teil dnrgestellten Eigensrhaften der L[P] legen nalie, da13 diese Korper mit der Division der Punkte von A, durch 3 zusammenhlngen (diese Anregung verdanke ich 0. NEUMANN). I n der Tat, betrachten wir nlmlich die uber 1; definierte Isogenie vom Grad drei

9: "R_,,,+J*.

Y - IZ== ( U - V1/%)3

Explizit kann p durch X = u2-kV2

(3.3)

I l l i t

y?-x3 33k 1 - 1-

gegeben werden (die Gleichung (24.21) in J. W. S. CAMELS Survey [3] ist ent- sprecliend (2.3) zu korrigieren).

Fur einen Punkt PcAR,(L) sei L ( P ) der durch Adjunktion der Koordinaten voii P (fur P + 0) entstehende endliche Erweiterungskorper von L (ebenso fur eirie Menge von Punkten) sowie L(o)=L. Wir erhalten damit eine andere Be- schreibung der L[P] . Fur das volle Urbild p-l(P) cines Punktes PEd,(L) g i l t

L[P]=L(y - l (P) ) .

L(Y- ' (o ) ) sL (v - ' (P ) )

Dazu beachten wir

und

also L(y-'(o))=L(V%) ,

L ( 9 - W ) = L( u, v, 1/ -312) .

L[P]=L(U, v1/--3k) ,

Bus der Kenntnis der Nullstellen vonfP erhdt man fur L[P] andererseits

also wegen (2.1) das Gewiinschte. Aus (2.3) entniinmt man unmittelbar die .I1 Math. Naehr. Bd. 73

162 Bolling, f h e r den 3-Rang von quadratischen Zahlkorpern

B e 111 e r k u n g. Sei P EAk(L). Es gi l t ,-

W I = - w -3k)-PEI1n Y ( J z - 3 3 k ( L ) )

(Im p: = Bild von 9).

Lemma 2 folgt aus der Tatsaclie, daB y ein Homoniorphisrnus und die Addition auf ,-I 3 , J k uber L definiert ist .

Iin Hinblick auf die zu y d u d e Isogenie ergibt sich 3dk(L)&Im p1( Jz-33k(L)) (in1 weiteren rnit l i nyL abgekiirzt) und damit erneut Lemma 3 und daraus Lemma 4.

3. Lnabhangigkeit der Y(f , )

IYlr kehren nun zur Situation des Abschnittes 1 zuriick. Lenirna 5. W e m die d( f,) nicht uon i abhangen, das heibt alle P( f,) auf einer

liegen, so sind P( fi), . . . , P( f,) uber Z eiizzigejt elliptischeih Ktcrve '4 =,4

uit abhan gig.

an, es gabe eine Relation

- 2433d( j , )

Beweis . Auf Grund von Leinma 1 sei r = r . , z 2 vorausgesetzt. Wir nehmen

,,P(f*)+...+m,P(f,)=o, wobei nicht alle m,EZ verschwinden. Da LR keine Q-rationalen Torsionspunkte besitzt (s. Beweis zu Lemma l ) , konnen wir ohne Beschrankung der Allgemeinheit insbesondere 3fm, annehmen. Aus Lemma 2 und Leniina 4 (mit I;=&) folgt

Andererseits ist, Q[P(f , ) ]=L, ( I s i ~ r ) ,

wonach sich ein \TXerspruch zu (ii i) ergibt. Daniit ist das Lemma bewiesen.

Satz 1. Es gibt unendlich viele uber Q definierte elliptische Ktirven mit nbsoluien Invariante mi l l , dere,L Rang miudestens gleich drei ist.

der

Bewe is. JZ. CRAIG [3] hat die Existenz von unendlich vielen absolut-qua- drat ischen Zahlkorpern gezeigt , deren 3-Rang mindestens gleich drei ist. Bei seiner lionstruktion liangen die d( fi) nicht von i ah (s. nuch Abschnitt 5 ) .

1. Eiri Fall yo11 hoheiii 3-Rang

I lk beweisen clas folgende

Lemma 6. Tl'e,tn die Ranp der A,., ruobei k alle qttndratfreien galaen Elemente voji L dzirchlut@ (dn.s heipt 0 z w ( k ) s 1 f u r nlle normierten additiven di.sl;reteit

Bolling, Ober den 3-Rang von quadratischen Zahlkorpern 163

Bewertungen w von L) , nach oben nicht beschrankt sind, so gibt es auch unendlich oiek q~radmtischp Zahlkorper naif beliebig hohem 3-Rang.

Beweis. Wir nehmen an, da13 die Voraussetzung erfullt ist. Dann wachst wenigstens einer der Indizes ( cRk(L) : Im pL) , ( c4-33k (L) : Im p L ) unbegrenzt. Sei dies fur den ersten der beiden erfullt (der andere Fall lBuft analog). Dann wachsen ebenfalls die Grade

PEA&) c n L[PI:Ll

(das Kompositum wird uber alle P EdZ,(L) gebildet) unbegrenzt. Andernfalls gabe es fiir geeignete k hinreichend viele P EA,(L), die paarweise verschiedenen Neben- klassen nach Irn pL angehoren init

und P=p(P*)

P * E ~ / ~ _ ~ ~ ~ ( L ( ’ ) ) fiir L(’)= L [ P ] . PE dZk(L)

Man wende dazu die Bemerkung des Abschnittes 2 (Teil 2) mit L(k) als Grund- korper an. Da einerseits die Ordnungen der Galoisgruppen der Erweiterungen L(k)/L fur alle in Betracht gezogenen li: unterhalb einer festen Schranke bleiben, andererseits p einen endlichen Kern besitzt, gibt es fur geeignete k wenigstens zwei Punkte P,=p(Pp), i=1, 2 , mit

aP: - PF = aP: - P; fur alle acGal (L(’)/L) . Damit wiirden Pi und P , derselben Nebenklasse nach Im y L angehoren.

Beinerkung. Sei PEcRk(L). I n L [ P ] / L ( I - - 3 k ) sind hochstens die Teiler von 3 verziueigt.

Zum Beweis gehen wir von der ersten Definition fur L [ P ] (Teil 1, Abschnitt 2 ) aus. Wir haben fur den Fall, da13 fp (uber L ) irreduzibel ist, die in einer kubischen Erweiterung von L in L [ P ] vollverzweigten undzu 3 primen endlichen Prim- divisoren p von L zu betrachten. Sei 0) die entsprechende Bewertung von L

Fur w ( p ) z O (und soinit o ( q ) z O ) folgt in bekannter Weise (f, inodulo p betrachten und HENSELS Lemma anwenden) o(p) und o ( q ) 2 1, im Iliiderspruch zur \Vahl von k .

~~

und P= ( p , 4 ) .

Fur w(p) -= 0 folgt w ( p ) = - 2 e , o ( q ) = -3e

fp(T’)=xdJefp(T) mit T‘=neT mit einem positiven e €2. Oanach fuhren dieselben Uberleguilgen fiir das Polynoin

und irgendeinem xc L init w(n)= 1 zum Beispiel auf den \Viderspruch ~ ( p ) =- - 2 e . Damit ist die Beinerkung 2 bewiesen.

Die Zalil der moglichen Fuhrer der kubischen Erweiterungen L [ P ] / L ( 1 i%) bleibt daher unterhalb einer nur von L (von der Zerlegung der 3 in L ) abhangigen 11’

164 Bolling, uber den 3-Rang von quadratischen Zahlkorpern

Schranke. Jeder derartigen Erweiterung entspricht nach der Klassenkorper- theorie eine abgeschlossene Untergruppe voin Index 3 in der Idelklassengruppe von L ( l i - 3 k ) . \yenn nun fur alle zugelassenen k die Zahl der unverzweigten kubischen Erweiterungen beschrankt ware, so bliebe auch die Zahl aller ab- geschlossenen Untergruppn vom Index 3 der Idelklassengruppe von L(1/-) unterhalb einer festen Schranke (man hat dazu die Indizes der Einseinheiten- gruppen von p bis zu einer beschrankten Stufe in den Einheitengruppen von .p fur die Teiler p von 3 zu betrachten). Das widerspricht aber der oben bewiesenen Tatsache, daB die Grade [L‘k’: L] unbegrenzt wachsen. Also wachst auch die Zahl der unverzweigten kubischen Erweiterungen unbegrenzt, womit nacli der Klassenkorpertheorie das Lemma bewiesen 1st.

__

Anmerkung. Ein anderer Beweis, der von der Einlagerung einer Faktor- gruppe von dzk(1,) in eine entsprechende SELMER-GrUppe ausgeht, ergibt sich rzus Resultaten. die Gegenstand einer weiteren Arbeit sein sollen.

5. Ein direkter Beweis fiir Satz 1

M. CRAIG [3] gibt Paare [Ai, BJ von ganzen rationalen Zahlen an, fiir die D = B:! - 4A:!

nicht von i abhiingt, namlich

[m, 5.3 + 23 - wq [XU, 5 3 - 23 + 2031

[yz, y3 + 23 - w3] [ y ~ , p - 2 3 + w Z ]

[zw, - 39 + 23 + w3] [zw, - y:’ + 23 + w3] ,

wobei x, y, z , we2 der Gleichung

5 3 +y:J= 2 (23+ w3)

geniigen, die eine Losung

;c = SI’ , Y = S ( 1 8 t 3 - . ~ 3 ) ,

Z = lSt’, w=3t (~3-66t3)

besitzt. \Tir crhslten dariiit unter Beibehnltung der obigen Rcihenfolge die sechs Punkte

Bolling, Uber den 3-Rang von quadratischen Zahlkorperii 165

Wir zeigen, daD unter entsprechenden Bedingungen PI, P2, P3 uber 2 unabhangig sind. Wie beim Beweis zum Lemma 5 genugt es hierfiir zu zeigen, da13 kein &[Pi], i= 1 , 2 , 3, im Koinpositum der ubrigen beiden enthalten ist.

Um & [ P , ] ~ & [ P , ] &[P3] zu erreichen, genugt es, die Existenz einer Primzahl hl zu gewahrleisten, die in &[PI] und &[P3] voll zerlegt ist, in &[P2] jedoch nicht. Jede Primzahl hl hat diese Eigenschaft, wenn die folgenden zwei Bedingungen erfullt sind :

(5.1)

(die kleinste Primzahl mit dieser Eigenschaft ist 3 7 ) . Wir wahlen s, tcZ mit

6 ist kubischer Rest modulo hi 21 ist kein kubischer Rest niodulo hi

(5.2) (t)- 6 (modulo h,) .

Dann gilt D E 263872t24 (modulo hi), also fur das LEGENDRE-SYmbOl

Daher sind die f p i ( T) modulo hi genau dann in Linearfaktoren zerlegbar, wenn sie wenigstens eine Nullstelle modulo h, besitzen.

Wir erhalten im einzelnen fur 1

U = - T , 6t4

8 q - - (modulo hl ) , ~ 3 = 1, e + 1 (modulo h l ) ( e € Z ) die Kongruenzen

t 6-3t--12fpl(T)f U 3 - 9 y U - 3 3 (modulo hi)

r ( U - 3 - 9 1 ) ( U - ~ Q - V Q ~ ) ( U - 3 ~ 2 - y e ) (modulo hi), 6-3tt-12fp,(T) f U3- 18qU - 75 (modulo hi)

= (U - 3 - 217) ( U - 3p - 2@) ( U - 3 ~ 2 - 2re) (modulo hi) , wo h ingegen

6-3t-12fpg( T) = U3f 21 = irreduzibel (modulo h,) ist.

Fur den Nachweis von &[P,]+&[P,] ist die Existenz einer Primzahl h2 hin- reichend, die in &[P,] voll zerlegt ist, jedoch nicht in &[PI]. Jede Primzahl h2 hat diese Eigenschaft, wenn die folgenden Bedingungen erfullt sind :

(5.3)

(die kleinste Primzahl niit dieser Eigenschaft ist 19). Wir wahlen s, tcZ niit

7 und 18 sind kubische Reste modulo h, 2 ist kein kubischer Rest modulo h2

(5.4) k)3= 1s (modulo h,) .

166 Bolling, Uber den 3-Rang yon qusdratischen Zahlkorpern

Dann gilt D = 2 6 3 ' 2 7 ~ $ (modulo h2), also wieder

(-i-D)=1.

s 18-W'y ( T ) = ' c T 3 - 3 - - ~ V - l l (modulo h,) .

pi t

Es ist leicht zu sehen, daB , fP,(T) ~noclulo h, genau dann in Linearfaktoren zer- legbar ist, wenn 2 kubischer Rest modulo h, ist,. Andererseits ist.

18-Wly (T)r b'3+ 7 (modulo h,) . p3

Falls nun [Q[P:J : &(I - 3 0 ) ] = 3 giit', so folgt aus den angegebenen Betrnc.ht,ungen \ -

[&rP,l Q [ P d QtP31: &(I' - 3 u ) l = 33 und damit sind P , , P,, P3 uber 2 unabhlngig. Die angefiihrt'en Schliisse zeigen, da13 diese letzte Bedingung gilt, falls fur eine Primzahl h3

18 ist kubischer Rest modulo h3 7 ist kein kubischer Rest modulo h3 (5.5)

gilt und s, t € Z mit

(5.6) (:YE 18 (modulo h3)

gewiihlt werden (die kleinste Primzahl mit dieser Eigenschaft ist 13). II-ir be- schliefien diesen Abschnit.t i n i t der folgenden

B e m e r k u n g . Es g i l t 6 n &[Pi1 =&[pi1 a p 2 1 &[P:11 '

fl &[Pi] (el =&(e, I ' F Y I , 72, Y 3 )

i = i

Beweis . \Vir haben niimlich 3

i - I

fur gewisse yi (i = 1 , 2, 3) mit

Bolling, Uber den 3-Rang yon qiiadratischen Zalilkorpern 1 6 i

Weiter seien p, durch

bestimmt. Wjr zeigen

(5.7)

yITL=ZZ, y272=zw, y3y3=yYx

3

&[P4If fl&LPiI ( @ I * i = l

Es ist Q[P4]=&(1-3D, y4+74) fur irgendein y4 mit

und y 4 mit y4y4= yw. Eine kurze Rechnung ergibt, daB wir 72y3 xyzw

Y4= -~ = -~ YI YIY'Y3

setzen konnen. Also ist 3

Y4E &[Pi1 (e) . i= 1

Aus (5.7) folgt dann auch 3

Q[Pd S 17 &[Pi1 . i = I

Andernfalls liefern die zwei Aussagen 3

- fl&[l'ilnQ[P41=&(dy3D) i- I

-&[P4]/&( )'I 3.6) ist eine normale Erweiterung den Grad

irn Widerspruch zu (5.7). Wir zeigen

Q[P~IG&&[PII &[Pd (Q) . ___

(5 .8 )

Es ist &[P5] =Q(l/ - 30, y5 + j i 5 ) fur irgendein 75 mit 1 1 - 2 2

y;=- (-z23+23+w3)--l/D

und Y5 mit y575=zw. Eine kurze Rechnung ergibt, daB wir

7172- xzw - -- Y5= -~ X YIY2

setzen konnen. Aus (5.8) schlieBt man wie oben wjeder

&[pdC,&[P11 & [ P 2 1 -

SchlieBlich ist &[PSI =&[P5]. Damit ist dm Bemerkung bewiesen.

168 Bolling, Uber den 3-Rang von quedretischen Zahlkorpern

6. Eine Folgerung fur den 3-Rang

In1 SnschluB an die durchgefiihrten fiberlegungen ergibt sich die Frage, ob die Erweiterungeri Q[Pi]/Q(]' - 30), i = 1, 2 , 3, unverzweigt gewiihlt werden konnen. Das ist in der Tat moglich. Wjr beweisen den

Satz 2 . Es gibt unendlich viele reell-qtiadrat,ische Zahlkorper, deren Idealklassen- gruppe m indestens den 3-Rang drei besitzt.

Beweis. \Tir wahlen s , t E Z , die deli Bedingungen (5.1) - (5.6) sowie

" t

et ist quadratischer Rest, modulo 7 (6.1) (s, 6f)= 1

geniigen . Behaupt 'ung. Die so ge,w&hlfen kubischen Erweiterungen QIPi]/Q(l - 3 0 )

sind unverzweigt. Auf Gruiid der Bemerkung irn Abschnitt, 4 haben wir nur die in 3 aufgehenden Prinidivisoren zu betrachten.

__-

Aus 31 D folgt., da13 die Yrinizahl 3 in Q(v - 3 0 ) verzweigt ist 3 = p ' .

p = ' $ 3 3 .

Kir nehiiien nun an, dnf3 1.1 in &[PI] ve,rzweigt ist, also

Die zii $ gehorige (addit,ive) Bewertung sei 0). Seien 6, 9.', 8" die drei Nullstellen von f p , (T + x) und o ~ ( a ) = e . Dann gilt

,B G 6' = 6" (modulo pe+ ') . Daher

w ( d ( f P l (T+.z.)))zCi (e + 1) .

\Tegeii d(fpl ( T + x ) ) = d ( f P i ( T ) ) erha'lteii wir

1 8 2 6 ( e + 1)

oder

(6.2) e s 2 .

Andererseits folgt, aus

0 = f p l (.a + s) = 6 3 + 3x,t9'+ 3.2. (. -2) 6 - 3x% - 23 + w3

zunachst e =- 0 und daniit

3e = ~(83) = oj ( - 32% - 23 + w3) ,

Bolling, ifber den 3-Rang von quadratischen Zahlkorpern 169

was nach (6.2) jm Widerspruch zu 9 I - 3x%-z3+W3 steht. Daher ist p in &[Pi] unverzweigt. Analoge oberlegungen fuhren fur &[P2], &[P3] zu demselben Er- gebnis. Damit ist die Behauptung bewjesen.

Offensichtlich lassen sich so, toEZ so finden, daB unendlich viele vEZ existieren (die eine endliche Zahl von Kongruenzbedingungen zu erfullen haben), fur die

.~=2.7h,h,h,~fsa t = 7hlh2h3~ + to (6.3)

gleichzeitig den Bedingungen (5.1) - (5.6) und (6.1) genugen. Fur hinreichend groBe lwl ist dann D=D(s , t ) negativ, da D(2, 1)-=0 ( D ist homogen vom Grad 24 in s und t ) . Schliel3lich erhalt man wie in [3], Section 4 mittels eines Resultates von C. L. SIEGEL, daB durch (6.3) unendlich viele quadratische Zahlkorper Q(1/-%) bestiinmt werden.

Nach der Klassenkorpertheorje ist daniit der Satz bewiesen.

Bemerkung. Aus der Bemerkung des Abschnittes 5 ersieht man, daB die MindestgroBe fur den 3-Rang auf dem hier beschriebenen Weg nicht weiter heraufgesetzt werden kann.

Weiter erhalten wir ein Ergebnis von M. CRAIG 1131. Korollar. Es gibt unendlich viele imaginar-quadratische Zahlkorper, deren

Beweis. 1. Varian te . Man ersetze in den obigen Uberlegungen (6.3) durcli

Idealklassengruppe rnindestens den 3- Rang drei besitzt.

S = 7hlh2h38 + s g

t = 7hl h?h,v + to . Fur liinreichend groBe /v/ ist dann wegen D(1, 1)>0 auch D=D(s, t ) positiv.

2 . Vnrian te . Wenn&( V d ) ein reell-quadratischer Zahlkorper aus Satz 2 ist. so besitzt & ( ~ ~ ~ d ) nach einem Resultat von A. SCHOLZ [14] und H. REICRARDT [13] jedenfalls keinen kleineren 3-Rang.

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