ASTRONOMISCHE NACHRICHTEN. Band 158.

Ns 3774. 6.

Ueber den Einfluss der Parallaxe, der Aberration und der Eigenbewegung auf den Positionswinkel und die Distanx zweier Fixsterne.

Von Dr. L. dc Ball.

Die in den Bedingungsgleichungen zur Ermittelung der Parallaxe eines Fixsterns aus heliometrischen Distanz- und Positionswinkelmessungen vorkommenden Coefficienten der Parallaxe, sowie die durch die Aberration verursachte Aen. derung der Distanz zweier Fixsterne lassen sich, ausser durch die bekannten Bessel'schen Formeln, noch mit Httlfe anderer ermitteln, welche nicht nur die Moglichkeit einer theilweise unabhangigen Rechnung bieten , sondern auch mit etwas weniger Mtthe zum Ziele fUhren. Im Folgenden erlaube ich mir diese Gleichungen abzuleiten, und fuge der Vollstiindig- keit halber noch diejenigen hinzu, welche den Einfluss der Aberration auf den Positionswinkel und den Eintluss der Eigenbewegung auf den Positionswinkel und die Distanz zweier Sterne angeben.

I . P a r a l l a x e . 1st s der heliocentrische, s' der geo- centrische Ort eines Stems an der Sphare, n seine Parallaxe,

und ist t der Punkt, wo der verltingerte Radiusvector R der Erde die Himmelskugel trifft, so gilt die Gleichung:

ss' = R j r s i n s t . Es sei E der Pol der

Ekliptik, P der Nordpol, 'V der Frtthlings- Tag- und Nacht- gleichepunkt, o der Ort eines Sterns mit verschwindend klei- A s'

ner der Winkel Parallaxe. E s o Ferner mit II, werde der

Winkel Pso mit p , der Winkel P S ' G mit p', der Bogen c s ' mit A , der Bogen 6s' mit A'

bezeichnet. 1st o n = o s', so kann s' n = (p' - p ) A ge- setzt werden, und man erhiilt aus dem kleinen Dreieck s J' n :

R,

Y

A' - A = - ss' cos oss' = Rn sin s t c o s (Bst - n) A (p' -p) = ss' sin css ' = R n s ins i s in ( 6 s t - n) .

Bezeichnet man die L b g e und Breite von s mit R und @, so giebt das sphiirische Dreieck E s t :

sin s t c o s Esi = sin @ cos (0 - A ) sin s t sin Est = - sin (0 - R) . Folglich wird :

A' - A = R n [ c o s a s i n @ c o s ( a - R ) - sin n s i n ( a - 11 (1) A @ ' -p) = --Rn[sinIZsin@cos (0 - 2) + c o s I I s i n ( a - 2)] .

Bezeichnet man den Winkel ESP mit x , so ist:

n = x + p . ( 2 )

den, fttr Positionswinkelmessungen in Frage kommenden Po- sitionswinkel. sin @ ist bekanntlich das VerhYltniss der kleinen Axe der parallaktischen Ellipse zur grossen und bildet also ein Maass- dafttr, wie weit man die Vergleichsteme von dem vortheilhaftesten Positionskreise noch entfernt wfihlen kann, ohne fttr die Coefficienten der Parallaxe zu kleine Werthe zu erhalten. Zur Berechnnng von R , @ und x , welche ja in verschiedener Weise gefilhrt werden kann, bediene ich mich folgender Formeln, worin y den Winkel 'VsE bedeutet:

Die Berechnung des Winkels x und von sin @ ist schon fttr die Vorbereitung zu den Beobachtungen nothwendig ; sie lLs t sich also auch dann nicht umgehen, wenn man statt der Formel ( I ) die bisher allgemein angewandten benutzt. Es giebt nihnlich, wie aus ( I ) und ( 2 ) erhellt, 90° - x bez. 2 7 0 ° - x den Positionswinkel am Hauptsterne an, in dessen N&ihe die Vergleichsterne zu wlhlen sind, wenn man bei Distanzmessungen moglichst grosse Coefficienten der Parallaxe erhalten will, und 180° - x bez. 360° - x den entsprechen-

f sin I; = sin d f cos I; = cos d sin a

sin @ = f sin (P - E )

cos @ sin R = f cos (P - E ) (3) cos @ cos R = cos d cos a

sin 'Vs siny = sin 1 sin 'Vs cosy = - cos 1 sin @

sin 'Vs sin (y + x ) = sin a sin 'Vs cos (y + x ) = - cos a sin d

Fur die Bestimmung der Parallaxe eines Fixsterns aus Distanz- bez. Positionswinkelmessungen wendet man bekannt- lich zwei Vergleichsterne an , welche wom6glich gleichweit vom Hauptstern entfernt und im Positionswinkel, gerechnet von dem Declinationskreise des Hauptsterns, um 1 8 0 O von

(4)

einander verschieden sind. Die Werthe von A, d', p , p' und ZI , welche fUr die Verbindung des Hauptsterns mit den beiden Vergleichsternen gelten, m6gen durch die Indices I

und 2 unterschieden werden. Es ist dann L7, = x +PI, ZZ, = x +pa . Setzt man jetzt:

6

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dsin D = 2 sin '/a (Ill - &) cos (n1 + a,) dcos D = 2 sin 'la (0, - 0 2 ) sin (al + a,) sin /?

s sin S = 2 cos 'I2 (0, - 0 2 ) sin '/a (Ul + L&) s cos S = 2 cos '/z (al - 0,) cos (0, + a,) sin @

so wird der Einfluss der Parallaxe auf die Differenz der Distanzen gleich:

(Aa' - A2) - (A1' - A1) = R Z ~ C O S (0 - R - 0) (6)

und auf die Summe der Distanzen gleich: (Az'. - A,) + (A,' - A,) = RZS cos (0 - R + S) (7)

Setzt man weiter:

d' sin D' = - 2 sin (0. - n.) sin (0, + 112) a" cos D' = z sin 'la (0, - n,) cos (0, + 0,) sin /?

s' sin S' = 2 cos I/a (Ill - na) cos 'Ia (0, + 0,) s' cos S' = - 2 cos ' 1 2 (ll, - I&) sin 'Ia (0, + 0,) sin /?

so wird der Einfluss der Parallaxe auf die Differenz der Positionswinkel gleich:

Cp'L' - $2) A2 - ($1' - $1) A, = R z ~ ' cos (0 - R - D') und auf die Summe der Positionswinkel gleich:

($2' - $2) A2 + ($1' - $1) 81 = RZS' cos (0 - R + S') 2. Aberra t ion . Es seien s und 6 die wahren Oerter

zweier Sterne, A der Antiapex; ferner werde der Bogen A s mit hl, der Bogen Ao mit 4 und die Aberrationsconstante mit K bezeichnet. Verlangert man A s um das Stiick ss' = Ksinh, uber s hinaus, und A o um das Stuck

6o' = K sin h, uber o hinaus, so sind s' und 6' die mit Aberration behafteten Oerter der beiden Sterne. In dem spharischen Dreieck Aso werde der Winkel bei s mit 1 8 0 O - ul, der Winkel bei 6 mit u, und die Distanz so rnit A bezeichnet; eine ana lae Bedeutung sollen I 80 - u,', u2' und d' fiir das Dreieck As' 6' haben. Der Neigungswinkel von 3'6' gegen so ist verschwindend klein und kann gleich o gesetzt werden. Projicirt man nun s'o' auf s6, so ergiebt sich:

A' - A = k (sin 4 cos u, - sin hl cos ul) .

P

$ A

Ein durch A senkrecht zu dem durch s und CT gehenden grossten Kreise gezogener Rogen schneide diesen Kreis in Y, dann ist:

sin cos u2 = cos A Ysin 6 Y sin h1 cos ul = cos A Ysin s Y,

d'- A = kcosAY(s in6V- s i n s V ) , folglich :

Bedeutet m den Mittelpunkt des Bogens s6, und setzt man 2 sin '/ad = A , SO geht die vorige Formel tiber in:

A' - A = K A c o s A Y c o s n ~ Y = KAcosAnt .

Die Lange von A ist 90° + 0. Bezeichnet man die Lange und Breite von m mit 2, und @,, so ergiebt sich aus dem spharischen Dreieck, welches gebildet wird von A, m und dem Pol der Ekliptik:

cos A m = - cos j3, sin (0 - 2,) .

Folglich wird : A' - A = - K A cos 8, sin (0 - 2,) . ( I 1)

Bedeuten wieder ?. und die durch die friihere Rech- nung bereits bekannte L h g e und Breite des auf Parallaxe zu untersuchenden Sterns s, 2" und p' die Ltinge und Breite des Vergleichsterns, so kann man setzen:

( 1 2 ) P, = B + '/a (B'' -- 8) L, = I + (2' - 11) .

Es ist aber, wenn II wieder die unter ( I ) angegebene Bedeutung hat:

8" - = A cos ll (2'' - R) cos/3" = ds in IT. ('3)

0 ist nach (I) bekannt und d aus der fiir die Vorbereitung der Beobachtungen nothigen Berechnung der Distanz.

Verlangert man den Bogen Am iiber m hinaus, bis dass er s'o' in m' schneidet, so kann m' als der durch die Aberration geanderte Ort von m und als der Mittelpunkt von s'6' betrachtet werden. Es sei P d e r Pol, ferner werde der Winkel A m P mit 1 8 0 O - x, der Winkel Am'P mit 1 8 0 O - x', der Winkel Pm6 rnit p,, der Winkel Pm'6' mit $,' bezeichnet. Da der Neigungswinkel von s' 6' gegen s 6 zu vernachlassigen ist, so erhalt man p' - p = x' - x. Wird nun P m mit 90° - d,, Pnz' rnit 90° - d, - Ad und der Winkel mPnt' rnit Aa bezeichnet, so ergiebt sich:

sin (6 , + Ad) cos 'I2 Ad

tang */, (x' - x) = - tang 11% A a ,

statt dessen man mit hinreichender Genauigkeit schreiben kann :

x' - x = A a sin d, . Da mm' = K sin A m ist, so wird:

da = K sin Am sin x sec d,, somit folgt :

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9,’ - p, = x’ - x = K tang dm sin x sin A m . Bezeichnet man mit A und D die Rectascension und

Declination des Antiapex, rnit a, die Rectascension von m, so ist:

sin x sin Am = cos D sin (a, - A) , folglich erhalt man:

p m I - p , = k tang 6, cos D sin (a, - A), (14)

(151

wo A und cos D berechnet werden aus: c o s D s i n A = C O S E C O S ~

cos D cos A = - sin 0 . 3. Eigenbewegung . Es seien s, s’, s” die Oerter des

auf Parallaxe zu untersuchenden Sterns zu den Zeiten t, t’ und t’ + dt, wobei das Jahr als Einheit der Zeit gedachl ist; G sei der Ort des Vergleichsterns, dessen Eigenbewegung zunachst gleich Null ange- nommen wird. Mit Hiilfe der fiir die Epoche und das Aequinoctium zur Zeit t gultigen jiihrlichen Eigenbewegung in Rectascension und Declination (Astr. Nachr. Nr. 3622) des Hauptsterns ergeben sich die Werthe der

Positionswinkel dieses Kreises Pss” = y. Eigenbewegung im grossen Kreise g und der

A - A = - Q (t’ - t) cos (p

Es ist dann s’s“ = edt. Werden nun die Bogen s6, S‘B, s“c mit A, A’, A’ + dA, der Winkel S S ‘ G rnit 1 8 0 O - v’ und der Winkel s s ” ~ rnit 1 8 0 O - v‘ - dv bezeichnet, so giebt das Dreieck 6s’s’‘ :

dd- - - e cos v’, d t

und hieraus folgt: dv

~ - Q sin v’ - . d2A dta d t -

dv kann dem Winkel s’bs‘‘, der mit z bezeichnet werden mtige, gleich gesetzt werden, und da

s’ s” sin v‘ A’

g sin v’ d t A‘

- - z = __-

ist, wird dad gasinav’ dt2 - A .

Bedeutet wieder p den Positionswinkel Ps6, so ist zur Zeit t:

V’ = y -p, A’ = A . Folglich wird :

Bezeichnet man den Positionswinkel Ps’6 mitp‘, P s ” ~ Diaerenzirt man, und setzt fur - dv und dA - die fruheren rnit p’ + dp, so kann man setzen: df d t I Werthe ein, so wird:

d p - . e sin v’ d t A’ - --- 9- ga sin 2 v’

dt2 d ’ a I

-

Es ergiebt sich dernnach, wenn fur v‘ und A‘ ihre Werthe zur Zeit t substituirt werden:

A t)a sin z (P - y ) . Q a (t‘ - pr -p = ~-

2 A2 e (t’ - t, sin ( p - y ) +

Hat der Vergleichstern eine kleine Eigenbewegung von r Secunden in einem grossten Kreise, dessen Positionswinkel mit g bezeichnet werden moge, so ist auf der rechten Seite von (16) noch + r (t’ - t) cos ( p - g) und auf der rechten

r A Seite von ( I 7) noch - - (t’ - t) sin (p - g) hinzuzufugen,

um die vollstandige Reduction wegen Eigenbewegung zu er- halten.

Wien-Ottakring, 190 I December. L. de Ball.

Ueber den Einfluss der Refraction auf die Distanz zweier Sterne. Von Dr. L. a2 Ball,

Es seien s und 6 die wahren,‘ s’ und 6’ die schein- baren Oerter zweier Sterne; A bedeute ihre wahre, A’ ihre scheinbare Distanz. Bezeichnet man rnit Ci und &, die wahren Zenithdistanzen Z s und 26, und rnit ri und ra die Bogen s i und GG’, so ist:

wo a,’ und aa’ aus der zweiten Bessel’schen Refractionstafel mit dem Argument : wahre Zenithdistanz entnommen werden ktinnen.

ri = ai‘ tang &, r, = a2’ tang g2 ,

In dem Dreieck Zs6 mogen die Winkel bei s und 6 rnit yi und 1 8 0 O - y2 bezeichnet werden, dementsprechend sol1 in dem Dreieck Z s ’ d der Winkel bei s‘ rnit yi’ und der Winkel bei 6’ mit 1 8 0 O - 72’ bezeichnet werden. Schreibt man noch y, statt (yip + ya’), so kann man y, - y, ’ als Neigungswinkel von A gegen A betrachten. Werden nun durch s’ und 6’ senkrecht zu A Bogen gezogen, so erhalt man rnit Vernachliissigung von Gliedern, welche fur die grossten, rnit dem Heliometer mess-

(y, + A) und 7,’ statt

6”