189

rung unter verschiedenen Umstanden ein ; sie war eiiiige Ma1 von keiner Temperatur-Erhfihung, das andere Ma1 mit eiiier solchen im Betrage von 6 O bis 7 O C. begleitet.

Das von mir in rneiiier fr[ihern Abhandliing bereits her- vorgehobene gleichfilrmige Verhalten des Magnetismus und Dialnagnetismus gegen die Wzrrne, welches auf eine gleiche Natur beider hinweiset, findet sich durch die vollstandigere neobachtung der gegenwartigen Abhandlung vollkommen bestatigt.

Bonn, den 25. Juli 1848,

11. Ueber die Anrvendharkeit der Formeln f u r die Intensitaten der gatoanischen Striirne in einem Sy- steme linearer Leiter nuf Systernc, die zum T h e 2

uus nicht lincarcn Leitern bestehen; con G. K i r c h h o fJ

(?~%lgCIhCih dcr physikrlirchen Gescllsclirft zu Berlin am 4. Aug. 1848.) --

O h m hat aus den von ihm aufgestellten und nach ihm be- nannten Principien durch mathematische Betrachtungen fiir den Fall einer aus liuearen Leitern bestehenden, unver-

zweigten Schliefsung die bekannte Formel J= - abgelei-

tet und' die entsprecbenden Formeln fiir den Fall, dafs ein Theil der Schliefsung aus zwei oder mehrereu Zweigen be- steht; in grillserer Allgemeinheit habe ich spater die For- meln fur die Stromintensitsten in einem ganz beliebigen Systeme linearer Leiter entwickelt '). Der Fall cines Sy- steures, das nur aus Leitern besteht, welche als linear an- gesehen werdcn kihnen, kommt in der Wirklichkeit selten vor, da den Ketten meistens eine Gestalt gegeben wird, die sich au die lineare nicht im Entferutesten anschliefst; und fast in alleii Fallen, in denen man jeue Formeln angewandt

K R

1) Annal. Bd. 64. S. 513 u. Bd. 72. S. 497.

hat, hat man sie auf Systeine angewaudt, die zuin Theil aus nicht linearen Leitern bestehcn. Die Forlneln erlau- ben auch auf solche Sys t em eioe Anwendung; dafs sie diese erlaubeu, ist aber bis jetzt nicht aus den Ohm'schcn Principien rnit Strenge uod Allgemeinheit iiachgeiviesen '). Dieser Nachweis bildet deu Hauptgegensfaiid der vorlie- gendeii Abhandlung. Derselbe kaun allein atis den Glei- chungcn hcrgcholt wcrden, welche die Olim'scben Princi- pieu fur die StrOmungen liefern, die sich in eiiiem be- liebigen Sys tem sich beriihrcndcr KOrper bilden ; diese Gleichungen will ich dalier zuerst im Zusamineiiliangc her- leiten, und beweiseu, dafs dieselben zur vollst&ndigen uiid eindcutigeii Bestiinmung der Stromungeu ausrcichcn.

1st irgend eiii System voii Kfirpern vorhanden, dic sicli bertihren, mid durcli ihre Beriilirung galvaniscbe Strihne cr- zeugen, so liat iiacli dcr Ohm'schcn Vorstdlung ein jeder Punkt cincs jcdeu KOrpers ciiic gewissc elektrisclie Span- iiuug, 16, die, ivenn dic StrGme statioiilr geworden sind, voii dcr Zeit unabhzngi;; ist. Ich denkc mir in einciii dcr Kilrper 2 unciidlich nalic liegeiide Fllclien gleiclier Span- nung; in dcr einen von diescu, in derjenigcn, in wclchcr die Spannung die gri)fserc ist, denkc ich lnir ciii Elexnciit dw, von bcliebiger Gestalt, uud in alleu Punkten der Pc- riphie dcssclbeii Norxnalen errichtet; diesc schueiden von der zweiten Fliichc eiii Element aus, welclies dieselbe Gc- stalt als dw hat, und ich erlialte zwischen den beidcn FIa- chen eincn uiiendlich kleineii Cylinder, bei welcliem alle Puukte eines Querschnitts dieselbe Spannuug haben, und bei dein die Spannung von Querscliuitt zu Querschnitt gleicbmatig abnimmt. Ich neniie 14 dic Spaiinuug in dro, N cin uubestimmtes, unendlich kleines Sttick der Norrnale voii t lw, die nacli der zweiten Fleche gleiclier Spannung gerichtet ist; 'die Spanziung7 welche ein Querschnitt des Cy- linders hat, der d e n Wertlie von N entspricht, ist daun

u+-N (wobei- iiegativ seiii wird); es fliefst also, nach BU 821

bN 8N 1) To Berug hierauf s. Ohm's ,,galvanisclie Iiette" S. 125.

191

O h m , durch einen jeden Querscbnitt des Cylinders in der Zeiteinheit in der Richtung von N eine Elektricitatsmenge, die

= -k.dw.- btl 8iV

ist, wo h. die Leituagsfahigkeit des betrachteten Kiirpers bczeicbnet.

Ich lege durch den Cylinder eine Ebene, die seine Axe unter einem scbiefen Winkel schneidet, und nenne dw’ den Tlieil dieser Ebene, der innerhalb des Cylinders liegt. Durch dieses Element do’ fliefst dann in der Zeiteiiiheit ebenfalls in der Kichtung von N eine Elektricitltsmenge, die den eben angegebenen Ausdruck hat. Denken wir uns in einein beliebigen Punktc von do’ eine Normale nach eiuer Seitc bin errichtet, neiinen ein unbestimmtes Stuck dcrselben N’ und den Winkel, den sie mit N bildet (N,”), so habeu wir:

IVO r=+l oder =-1 ist, jenachdem (N,N’) ein spilzer oder ein stunipfcr Winkel ist: ferner w id , da N die Nor-

dw =qcos( N,N’) dw’

male eiiier Flacbe gleiclier Spaiinuiig ist: 811 8u

C O I (N,K). ---- 8N - 8” Der husdruck der durch dw’ fliersenden Elektricitltsmeiige ivird daher

8 U -q.k.dw’. - 8 N’ Diese Elektricitatsmenge fliefst ’ durch dw’ nach der Seite, nach welcber N ’ gerichtet ist, wenn (A’,”) ein spitzer Win- kel ist, und danii ist q=+1; sie fliefst nach der entge- gengesetzten Seite, wenn ( N , N ’ ) ein stumpfer Winkel ist, uud.dann ist q=- l . Da wir nun, statt zu sagen, eine Elektricitltsmenge E fliefse durch dw’ von der eiiien Seitc nach der anderen, sagen konnen, die Elektricitatsmenge - E fliefse von der zweiten Seite iiach der ersten, so kiiiinen wir den Satz aufstellen, daCs durch dw’ nach der Seite, nach welcher N’ gerichtet ist, wlbrend der Zeiteiiiheit eine Elektricitatsmenge flieke, die

ist.

bU =-k.do’. - 8X’

192

Dieser Satz gilt offenbar fur eiii jcdes Fllcheuelenicnt, welches iu dem Kfirper angenommen werden kaiin, denn fiir ein jedes kann ein solcher kleiner Cyliiidcr, wie wir ihn betracbtet haben, gefunden werden.

Hieraus ist es leiclrt die Gleichiingeii abzuleiten, nus deiien die stationjiren Strihnungeu in iiiiserem Systcine 211

bestimmen sind. Dcnkcn wir uns eiii bclicbigcs Stiick von einem dcr

KtJrper, so mufs dic gcsamiirte Elelitricit~tsincngc, die durcli die Oberfliiche, welchc dassclbc begranzt, wv8lircud einer beliebigen Zeit in dasselbe hincinstriimt, = o scyii, ncniien wir also dw ein Element diescr Oberfliiche, N die nnch Iiinen gericlitete Normale von do, so inrifs dns Integral

nusgedchnt fiber die ganze Oberfliiclic vcrschwindcn. Druckcn wir dic Lagc eiucs Punktes iii dcin Kiirpcr

durch recbtwinklige Coortlinateii 5, y, a xis, und betrach- ten also 21 als Funktion dieser 3 Grillsen, so iat bekaniit- lich das Iiitcgral

ausgedehnt iiber die Oberfliclrc cines begrliizten Rnumes, - - dem Iiitegralc

ausgedehnt iiber diesen Raum sclbst. Dieses 3faclie Iute- gral, ausgedehnt uber eineii beliebigen Theil tinseres KUr- pers, mufs also verscliwindeil; das kann offenbar nur ge- schchen, weiin ftir jeden Punkt des KUrpers:

ist. Wir wollen nun ein Element der Oberfllche unseres

Korpers betraclrten; eili Tlieil dieser Oberflache ist frei, d. h. nur mit Luft in Ber[ihning, die %brigen Theile sind Beriihrungsfl8chen unseres Kbrpers init audero, zu dem Sy- sterne gehhigen Kbrpern. 1st d o ~ ein Element des freien

Thei-

193

Theiles der Oberfliiche, SO wird, weun wir annehmen, dafs in die Luft keine Elektricitat entweicht, durch dasselbe keine Elektricitlt fliefseu dfirfen, d. 11. es mufs fur dasselbe :

(z )

seyn. Gehart do der Berfihrungsfllclie zweier Korpcr des Sy-

stemes an, so tnuk durch dasselbe eben so vie1 Elektrici- t8t in den einen Kilrper hiiieinstrsmen, als aus dem ande- reu herausstrbmt; sind also u und u, die Spannungen in den beiden Kilrpern, k uiid k, die Leitungsfahigkeiten, ist ferner N die unch dein Innern dcs einen, N, die tiacli dem Iiincrn des anderea gerichtete Normale voii d w , so I d s

jetzt: . . 918 8u k KV+ k, DN, -1 = 0 . . . * . . . . . , .

seyn. Far dnsselbe Element mufs eiidlicli iiach O h m die Gleichu~ig :

u - r l = U . , . . . . . , . . , . . . . (4) bestehen, wo U die constante Spaiiiiuiigsdiffercnz d er sich beriihrendeu Kilrper bezeichnet.

Wendcn wir die Gleichung (1) und (2) auf alle ICilr- per 311, aus welchen das System besteht, die Gleichungen (3) und (4) auf allc BcruhrungsflSchen derselbcn, so cr- lialtcii wir alle 13ediiigungcn, welche sich aus deli Ohm- schen Principien zur Bestimmung der Strbmungeu ergeben. Wir wollen nun zeigen, dafs durch diese Bedingungen dic StrOmungen vollkommen bestiinrnt sind.

W i r iiehmen an, es giibe 2 vcrscliiedene Vertheiliiugs- arten der Elektricitat, welche den angegebenen Bedinguu- Sen genligen; wir bezeiclinen die Spannung in einem un- bestimmten Kbrper des Systemes fiir die eine Vertheilungs- art durch u, fur die andere durch u', und wollen bewcisen, dafs danu u-u' fiir alle Punkte desselbeu Kilrpers, und auch fur aIIe Karper einen und denselben Wer th hat. Hieraus wird dann folgen, dafs die StrBmungen, die in den beiden Fallen stattfinden, dieselben seyn miissen, d a t es

PoggendorPi r\nnrl. Bd. LXXV. 13

194

also nur eine Art der Stroinverbreitung giebt, die den an- gegebenen Gleichungen geniigt.

Urn den in Rede stehenden Beweis zu fuhren, stellen wir eine Yhnliche Betrachtung an, als G a u f s in der Ab- haiidlutig: ,,Uiitersuchungen uber die im verkehrten Ver- hlltnisse dcs Quadrats der Entfernung wirkendeii Anzie- hungs- und Abstotungskrafte” anstellt, uin zu beweisen, dafs der Werth dcs Potentials von Massen, die auterlialb eincr geschlossenen Oberfllche liegen, fiir jeden Punkt im Iunern derselben eindeutig bestimmt ist, wenn er fur alle Puiikte in ihr gcgeben ist. W i r setzen u-u’=u und un- tersuchen den Ausdruck:

bei dem die Integratiou iiber den gauzen Raum des ange- nommenen KBrpers auszudehnen, uiid die Summe in Bezug auf alle KOrper zu nehmen ist; von diesem Ausdrucke lafst sicli zeigen, d a t er den Bedingungcn zufolge, deuen u und u‘ geniigen, verschwiiidet; da er aber eiue Suinme lauter positivcr Glieder ist, so kann dieses nicht anders gesche- hen, als wenn die eiiizclnen Glieder verschwinden, d. h. innerhalb eines jeden Kbrpers massen die Groten

).

verschwindeu; innerhalb eiues jeden KBrpers mufs also v constant seyn ; hieraus, in Verbindung mit den Gleichungen, die sich aus ( 4 ) ergebeu, folgt, dab in dem ganzen Sy- stelne o constant ist.

Dafs der Ausdruck (5) wirklich verschwinden mufs, sieht man auf die folgende Weise ein: Die Graben u ubd u’ genUgcn innerbalb des Kbrpers, auf den sic sich bezielen, der partiellen Differentialgleichung (l), also geniigt aucb a derselben; hieraus folgt, wie Gaufs a. a. 0. gezeigt hat, dafs das Sfache Integral, welches in (5) mit B multiplicirt ist:

= - f d w . o g N 8 I1

ist, wo d o eiu Element der Oberfllche des betrachteten

195

Kbrpers, N die nach Innen gericbtete Normale von d w be- deutet, o sich auf den Ort von d w bezieht, und die Inte- gration tiber die ganze Oberflache ausgedehnt werden mufs. Fiir den freien Theil dieser Oberfliiche verschwindet aber 8v 8U' 6N, da fur diesen und ~ verschhnden miissen; wir 8N 8N durfen die Integration daher nur uber die Theile der Ober- fliiche unseres Kbrpers ausdehnen, die dieser mit andern Kbrpern gemeinschaftlich hat. Bieses Umstandes wegen ver- wandelt sich der Ausdruck ( 5 ) in cine Summe von Ink- gralen, die sich auf die BeruhrimgsflZchen, die in den1 Sy- steme vorhanden siiid, beziehen. In Rticksicht auf die Be- ruhruugsflaclien zweier KBrper, auf die sich die Grfifsen k, v, N und B , , v , , N, beziehen, liabcn wir i iWicb das In- tegral

zu bilden, iind d a m die Sumine in 13ezug auf alle Berlih- rungsflachen zu nehmen. Aus der Bediogung (d), der ?t und u' geniigen mUssen, folgt aber v=u,, und aus der Be- dingung (3):

Daher verschwindet der Colfficient von d w uirter dem In- tegralzeichen, es verschwindet das Integral selbst, ebenso alle lhnlichcn Integrale, die sicli auf die anderen Beriih- rungsflichen beziehen, und rnithin auch der Ausdruck (5 ).

Aus den Gleichungen nun, aus denen, wie wir gezeigt haben, sich die Strbinungen iu einein beliebigen Systerne von Leitern eiudeutig bestimmeii lassen, wollen wir den Reweis fiir den folgenden Satz herleiten, aus dem die all- gemeinere Anwendbarkeit der Forineln hervorgeht, weIchc fiir Systeme, die aus liiiearen Leitern bestehen , bewieseu siud.

Es sey einSystem vou Leitern vorhanden, welches ails 2 Theilen besteht, die durcli 2 Drahte mit eiuander zusam- menhangen; wir denken uus in jedem dieser Drahte eincn

13 *

196

Qucrschnitt, und neiiiien die beiden Theile, i n die das Sy- stem durch dime beidcn Querscliiiitte zerlegt wird, A uud B; es bcstelie der Theil A aus einer eiiifachen Reihe ver- schiedener Kbrper, d. h. es sex von den Khperii , aus de- i ie~i A gcbildct ist ,. dcr erstc und letzte (also diejenigeo, deiicii jeiic beidcn Querscliiiitte angeIii)reii) nur init ciiieni, jcdcr der andercii iiur mit zweieii der iibrigcii in Beriihrutig; d a m kaiiii inan, olinc (lie Strilmuiig a n irgeiid eiiier Stellc voii B zii Bndern, fiir A eincn liucaren Leiter substituiren, in dcin cine elektromotorisclie I h f t ihrcn Sitz l int , dic gleicli ist der Suminc der Spannungsdi~fercnze~i in A , und der ciiieii Widerstand hat, der iiur abliiiigt voii der Ge- stalt uiid Leitungsfiiliigkeit der Kihper, aus dcnen A bestelrt.

W i r ~iciiiicii jeiic beideii Querschnitte a uiid 6 die Span- iiungcu in iliiien u, und t ib ; die Elektricitiitsineiigcn, die wllircnd der Zeitcinheit durch b von B iiacli A, und durch a voii A nacli B fliefscn, und die offciibnr eiiiniitler gleich sind, J, chdlich II die Suiniiie shmtlichcr Spannungsdiffe- renzcii in A, diese positiv gcrechnct nach ciner Wcisc, die im Folgendcn klar hcrvortretcii wird; d a m 1%Lt sich zci- gcn, d a b

(6) 111, - lln + K

J . . . . . . . . . . . . . .

eine G d s e ist, die iiur ablihgt yon dcr Gestalt und Lei- tungsftihigkeit der Karper, aus dcucii A besteht, also uii- ablihgig ist von den Spniinuiigsdifferenzeii in A iind von dcr Nntur und Gestalt der zu B geharigen Kbrpcr.

Die Kbrper, aus dencii A bcstefit, bezeichiien wir durch 1, 2, . . n, SO dafs 1 derjcnige ist, dcr init dein Querschnitte a anfiiiigt, n dejenige, dcr mit dcm Querschnitte b endigt; die Spaunungen in diesen Kbrpcrn nennen wir u,, iS, .. %. Diese Gri)fsen geniigen d a m den Bediugungeu , welche wir erhalteii, iiidem wir die Gleicliungeii (1) 'u i id (2) auf die K6rper 1, 2, . . n uiid die Gleicliunge~i (3) uiid ( 4 ) auf die Beriihrungsfllclien (1, 2), (2, 3 ) .. . . ( n - 1 , n ) anwendcn; durch' diesc Bedingungcii siiid die GrOfsen u noch nicht bestiinmt, sie werden es aber - WOVOII iuaii sich leicht

197

durcli eine dcr oben diirchgcflibrten aealogen Betrachtu~ig uberzeugt -, weiin wir die Bedingungen hinzufiigen , dafs

im Querschiiitte a im Querschnifte b

1 6 , = a, zc, = 21, werde.

W i r iiehlnen nun nu, dnfs die Spa~i~iu~igsdi f fcre~~ze~i in A, und dafs B gelndert wiirde; die Spaniiungen in A wer- dcu d a m andere, jeiie Grfifse (6 ) bleibt aber, \vie wir be- weisen. wollen, dieselbe. W i r bczeichnen die neuen Span- nungen in A, durch u,', u2', .. u,,', die in deu Querschuit- ten a und b durch VL,', ub'; die Bedingungen filr die Grs- ken u' erhalteii wir dann aus den fur die Grbfse~i u gel- tenden, wenn wir in diesen fiberall fur uii und fiir die alteu Werthe der Spannungsdiflereiizeii die neiien setzen. Nun klinnen wir beweisen, dafs, wenii die Griifsen u bekaniit sind, den Gleichungen fur die Gri)fscii u' durcli die folgende Annahme geniigt wird:

11,) = c4 it, i- [ I l It,' = u l lL + p,

wo a, /I,, /I2,. . Constanten sind, die passend bestimmt wer- den mussen. Dell aus (l), ( 2 ) iind (3) abgelciteten Glei- chungeii wird durcli diese Annalrme geniigt , welches auch die Wertlic der eingefiihrten Constanten seyn m6gen; nen- lien wir die nlteii Wertlie der Spaniiungsdifferenzcn U,,*, Uz,3, ,. die neuen U',,*, U ' , , , ..., so erhalteii wir aus ( 4 ) die folgenden Bedingungen :

. . . . . . . . . . II.' = au. + / I , ,

fiir die Grofsen u, l ar dic Groten U' fiir (1,2) u, -us = Ui,a uI)- u,' = U'i,a (V) u1- U) = U2,J u1) - tlJ) = u;,s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( n - l , n ) Utbi - I l n = un4,,, ton- l - u: = u'u-l,u

11,) = U. ' Endlicb haben wir:

fir a u1 = 1.

b Un U b ua'= Ub'

Substituiren wir in diese Gleichuagen fur die Grbfsen u' die fur diese angenommenen Wer the und benutzen die Glei- chungeu ftir die GrOEseu u, so erhalteu wir die folgenden Gleichungen ftir cc, p,, PI . . . :

198

$1 -pa = v1,2 - a Ul? p2 -pa = U'zp - a u2,3

p-1- p m = uL,~ - u ~ m - 1 , n

11, = d. - all.

. . . . . . . . . . . . . . .

F m = U'b - U U b

Alleu diescii Gleicliungen kann durch eiue passelide Wnhl der Grlifsen a, P , , P2 . . geniigt werden; durch jene Aunahinc der Fuuktioncii u' erlialtcii wir also einc Bcstimniuug der Spannungen, die allcii Bcdingungen geniigt, und da cs nur einc einzige solcheBestimmung giebt, so ist sie ebcn dicse 'cinzige.

Aus der Form dcr Funktionen u' gelit Ircrvor, dat, wie aucli die Spaunungsdifferenzen in A und wie B verhdert wcrdcii mag, dic Stririnungscurvcii in A dicsclben blciben, uud dab clic Intcnsitiit dcr Stri)mung in allcn Punktcii in dcinsclbcii Vcrli~ltnissc w~clist. Das Vcrliiiltiiifs, in dcin die Str~inungcii iu unscrcin Falls gcwachscu sind, ist = a, so d a t ; wenn wir dic Stromintcnsitlt, dic wir fiir dic er- ste Vertheiluiig der die zweite durch J'

ist. Derechnen wir dencn Glcichungen, tipliciren, und dnnn

Spannmigen durch J bezcichueten, fur bezcichuen :

J' J

- = a

nun a aus den fur a, p,, p1 .. gefun- iiidem wir die vorletzte mit -- 1 inul- alle addiren, so findcn wir:

W i r haben aber:

gesetzt; maclieu wir entsprecheud

so ist:

also

Ui? + U53 f a . + Un-1,. = K

U ' i p + U ' 2 , a + . . + U ' ~ - q n = I C

k? + I l 'b - d a a = K f u b - Ua

K + u'b - U'a K+ u b -k 3 -- 3'- =

W i r seheu also, dafs die G r a t e ( 6 ) dieselbe bleibt, wciiii B uud die Syalwugsdifferenzen iu A geaudert

199

werdcn; sie kanu also nur von Gestalt und Leitungs- fgbigkeit der Kbrper in A abhlngeu. 1st A ein hea re r Leiter, so ist sie sein Widerstand; wir belegen sie auch in dein allgemeineren, von uns betrachteten, Falle mit die- Sein Namen, und bezeichneu sie durch R. Man sieht leicht ein, dafs R positiv seyn mufs; denn nehmen wir an, dafs sammtliche Spannungsdifferenzeu in A = 0 waren, so ist klar, dafs u, - u. uud J gleichzeitig positiv oder negativ seyn werden. Diese Bemerkuug werden wir splter ge- brauchen.

Nun wollen wir zeigen, d a t die StrBmungen in B voll- komlnen bestimmt sind, wenn von A nur K und R gege- bell ist; hieraus folgt dann, dafs wir, dine die Strbmungen in B zu kidern, fur A einen andern Leiter substituiren kbnneu, der den iiber A gcmachten Voraussetzungen ge- niigt, in dem die elektromotoriscbeKraft K ihren Sitz hat, und dessen Widerstaud = R ist. W i r kOnnen fur A also auch einen linearen Leiter, bei dem diese Bedingungen er- fiillt sind, substituiren.

Sind K und R gegeben, so kommt zu den Bedingungen, die sich zur Bestimmung der Spannuugen in B aus den Glci- chungen (I), ( a ) , (a), ( 4 ) crgebeu, wenn diesc auf alle KBrper und alle Beriihrungsflachen iu B angewandt wer- den, noch die Bedingung

w , - u . = J . R - K . . . . . . . . . . . . ( 5 ) W i r nehmen an, dafs allen diesen Bedingungen durch zwei Vertbeilungsarten der Elektricitat genugt werde, und be- zeicbnen die Spannung bei der einen durch @, bei der an- deren durch d ; dann lafst sich wiederum zeigen, d a t @-up in dem ganzen Systeme constant seyn rnut, woraus dann die Bestimmtheit der Str6mungeu folgt. Betrachtcn wir den Ausdruck (5), bei dem wir die Summe iiber alle KBrper ausgedehnt denken, die zu B geh6,ren, so kbnnen wir von diesem auch hier beweisen, dafs er verschwindet; durch die- selbe Transformation, die wir oben angewandt haben, ver- wandelt sich derselbe in eiue Summe von Integralen, die tibcr die Bertihrungsfllchen in B auszudehnen eind, und

'

200

zweier Integralc, die sicli auf die Qncrschittc n und B bc- zielieii; jene Iiitegralc siiid hier, wie obeii, = 0, die Suinine dieser ist:

oder wcgen der Bcdiiiguug (7) :

Atis der ursprijnglichen Gestalt des Ausdrucks (5) ist er- sichtlicli, dah derselbe nie ncgativ se in kann, aus der eben abgeleiteteu folgt, da R positiv ist, dafs er nicht positiv seyii kann ; er murs also vcrschwiiidcii.

Hiermit haben wir die Riclitigkeit des S. 19.5 u. 19G ausge- sprocheiieii Satzes bewicsen; es ist von selbst klar, wic nus diesem die Giiltigkeit dcr fur Systeme linearer Leiter a l - geleitetcii Fornicln fiir solclie Fiillc folgt, wic sie ain hiiu- ligsten bei Versuclicn vorkommen.

= ( J - J ’ ) K u . - I ~ ’ J - ( u ~ - u ’ ~ ) ] - - - ( J - J’)’. R

Ich erlaubc mir einige Dcmerkungeii hier aiizukniipfen, die init deli angestcllten Bctraclitungcn in naheiii Zusain- lneiihaiige stehen.

Die Glcichungeii (1 ), (2), (3), (a), aus denen die Span- niingeii in ciiiein beliebigen Sgsteme von Leiterii zu be- stiininen sind, ki)nncn in e i n c Bcdingung zusaininengefafst werden, dcr zufolgc eiiie gewisse, von deii Spaiinuiigen nb- filiigigc Crirfsc den klcitisten Wcrth erlialtcn mufs, deii sic bci den gegcbcncii Spaunuugsdiffcrenzcu der Kiirpcr an- nehincn kann. Niinmt man das Joule’sche Gesetz fiir die Wsrnicwirkung eines galvankchen Stromes in eiiieiii Lei- tcrele~iieote als richtig an, so ist jene Grirke der Ausdrtick dcr gesaininten, walirend ciiier gewissen Zcit von den Strii- ineii iii dem Sgstenie erregten Wlrmemenge. Diese Be- inerkung ist es, welch icli zuerst beweisell will.

Die W:irineinenge, die in eiiiein L)rahteleinentc voii einein Stroine, der dasselbe diirchflielst , wlhrend ciner gewisseii Zeit erregt wird, ist iiacli J o u l e gloicli dein Produkte aus dcin VIrider*staode dcs Elemeutes in das Quadrat der In- tensitiit des Stroines. Um liernach die in eiuein KOrper voii beliebigcr Gestalt erregte Wlirlneinenge zu bcrechneu,

201

betraclitc icli eiri cylinderfilriniges Element in demselbeii, &sen Axe die Richtung des Stroines ail diesein Ortc bat. Die in dieseni Elementc erregte Wamemenge wird cben- falls glcich dem Produkte BUS dern Widerstande dcssclbeii in das Quadrat der liitcnsit%t sein.es Stroincs seyii; ist die I,%nge des Eleineiitcs d s , scin Quersclinitt d w , so ist der -

d s at1 und die Intensi t~t = - iidw -- dic BS'

Widerstaiid = k dw i n dein betrachteten Elenicnte erregte Wzrmeinenge ist also :

= k . d o i . d 8 . ( ~ ) '

Beriicksiclitigt iiinn nun, clafs:

untl dafs dw ds das Voluincn des betrachteten Eleinentes ist, so fiiidet inan fiir die in deiu ganzcn Kilrper erregte Wgrmciuengc den Ausdruck:

wo die Integration iiber dcii voii dem Kilrper eingenoni- ineneii Rauin nusziidcliiicii ist. Ncliineii wir die Suinnie in Bczug auf alle Kilrpcr des Systemes, so crhalteii wir die gesaininte WBrineineiige:

W i r suchen nun die Bedingutigen daflir, dafs W ein Miiiiiiiriiu werde, w;ilirend die Spaiinungsdiff~rcnzen der sich berubrenden Kilrper fest bleiben. W i r erlialten diese Be- dingungen durch die Gleichuiig

d W = Q d. h. dadurch, dafs wir die Griifseu u ain unendlich kIeine Funktioiien E vernieiireii, von dem Werthe, deu dadurch W erhslt, deiijenigen, den es friiber hatte;. abziehen, nur die uiiendlich kleineti Gri l ten crster Ordnung beriiclrsichtigen, und das Resultat = 0 setzeo. Die Griifseii E sind hierbei ganz beliebig bis auf die cine Bedingung, daL, wenn E und E , sicli auf zwci Kilrper beziehen, die sich beriihrcn, fur

202

jedeii Punkt der Beriihrungsfllache derselbeii e--8, = 0 ist. Wir erhalten:

oder. mit Hiilfe einer bekannten Transformation:

In dem, dem Scheine nach, einfachen Integrale bedeu- let do ein Element der Oberflache des betrachteten K6r- pers, N die nach Innen gericlitete Normale dieses Elemen- tes, e bezieht sich auf den Or t VOII do, und die Integration ist iiber die gaiizc Oberfllche des Kilrpers auszudelrnen. Da iin Inuern eiues jeden Kihpers E ganz beliebig ist,

so kann die Gleichung 3 W = 0 our bestehen, weiin im 111-

nern eines jeden Kihpers:

ist. Aucb fur jcden Punkt der freieii Oberfllche eiucs jc- den dcr Kilrper ist E ganz beliebig; es m u t daher fiir einen jeden solcheu Punkt:

seyn. Hiernach verwandelt sich 6W in eine Summe von Integralen, die in Bezug auf die einzelnen Beriihrungsfllchen des Systemes zu nehlnen sind; beriicksichtigen wir die Be- dingung, der die Groten e unterworfen scyn sollten, so wird:

wo dw ein Element eiuer Beriihruugsflache bezeichnet, k, u, N sich auf den einen, k,, u, , N, sich auf den anderxi der beiden Kilrper beziehen, welche dieselbe bilden, E ganz be- liebig ist, die Integration iiber die ganze Beriihrungsflache, die Summation iiber alle Beruhrungsflachen ausgedebnt wer- den soll. Die Gleichung 3W=O erfordert daher, d a t ftir jeden Punkt der Bertihrungsfldche zweier Karper

203

ist. Fiigen wir zu den erhaltenen Bedinguiigen uoch die- jenige hinzu, welche wir von vorn hereiu festgesetzt haben, und die durch die Gleichung

u - u l = u ausgesprochen wird, so haben wir also dieselben Bestim- mungen, welche sich uiiiuittelbar aus den Ohm'schen Prin- cipien ergaben.

Es ist noch zu beweisen iibrig, dafs W wirklicli ein Minimum wird, wenn 6 W verschwindet; es ist dieses der Fall, da die zweite Variation, b' W, stets positiv ist; es ist namlich :

Dcr fur W gefuiidene Ausdruck hat einc, iu die Augen fallende, Aehuliclikeit mit dein oben gebrauchten Ausdrucke (5); dieselbe Transformation, die wir dort benutzten, wer- den wir auch hier anwenden kilnnen. Durcli diese redu- cirt sich W auf cine Summe von Integralen, die sicli auf die Bertihrungsflacheu, die in dem Systelne vorkommen, he- ziehen; es wird:

Nun war aber

und u - u , = U daher wird

oder, wenn wir die Elektricitltsmenge, die in der Zeitein- heit durch die betrachtete Beriihrungsfllche aus dem Kdr- per, auf den sich u, bezieht, nach dem, auf welchen sich u bezieht, fliefst, durch i bezeichnen:

Die gesammte in dem Systeme erregte Wlrmemenge ist also gleich der Summe der sammtlichcn Spannuugsdilfe-

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reiizcii, eine jedc niultiplicirt iiiit der Elektricitiitsmengc, die wiihrend der Zeiteinheit durcli die entsprecheude Beriih- rungsflzche in der bezciclineteii Riclitung fliekt.

Die WYrinemenge, die in eiueni Theile des Systenies erregt wird, erhalten wir, weiin wir in dew Ausdrucke (8 ) die Integrationen nrir iiber diesen Theil ausdelineu; nuch fiir diescu Fall 15fst sicli die eben beiiutztc Transformation anwenden, und wir erhalten durcli sic fiir die in eiuein Theile des Sys tems erregte WBrmemenge eineu Ausdruck, wclclier

1) aus der Sunime der Elektricitltslnengen besteht, welche wzhrend der Zeiteinheit durch die Beriihruiigsfl~- clien stri)men, so weit diesc innerlialb des betrachteten Tliei- les liegea, cine jede Elektricitatsinenge inultiplicirt init der eiitsprecliciiden Spaiiiiuiigsdiffereiiz, und iii der Weise nls positiv oder ncgntiv gereclinet, wie es oben nngegebeu ist; und 2) der Suinme der Elektricitlitsinellgcll, welclic wiih- relid dcr Zeiteinlieit diirch dic cinzelnen Eleinente der FIZ- cheu, durch welclie der betraclitete Theil des Systems von dein iibrigen gescliiedcn wird, in den betrachteten Tlieil hineinstriimen, eine jede Elektricit2tsmcngc inultiplicirt init dcr Spanuung des entsprechenden Elementes.

W i r wollen uiis ein System denken, wie es oben S. 195 11.

196 angegeben worden ist, und wolleii die WBrineinciige berechnen, die in dein Thcile A entwickelt wird. W i r be- halteii liierbei die Bezeichnungeo, die dort eingefubrt wor- den sind, bei. Die Elektricitiitsmeugen, die wahrend der Zeiteinheit durcli die einzelnen Beriihruogsflzchen fliefsen, siud hier offenbar alle eiuander gleich, uud = J ; hieraus ergiebt sich die in A erregte Warmemeuge

= K. J + l l h J - t ta J = ( t l h - U. + K ) J

=J‘. R Hierdurch ist der Satz, der flir lineare Leiter durcli das

Joule’sche Gcsetz uuinittelbar ausgesprochen ist, auch fur Leiter der Art, wie A , nacb der Ohm’schcn Theorie be- wiesen.

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Schliefslicli will ich iiocli bemerkcii, dafs aus dcm all- gemciiieli Satze, deli icli Iiier bewiescn habc, nacli dcm der Ausdruck der gesaminten in cinein beliebigen Systeme von Leiterii crregteii WPrincinengc cin Minilnuin w i d , wcnn inan die SpaiiiiuIigsdifferenzen der sich beruhrenden I b - per als gcgebcn betrachtct, - dafs aus diesem Satze, wcun man iliii auf ein System h e a r e r Leiter anwendct, die Glei- cliungen fur die Inteiisiliiten der dicse durclifliefsendeii Stri)ine sich ergeben, melche icli (Ann. Bd. 64, S. 514) abgeleitet habe. Bestelit das System atis n Drahteii, dereii Widcr - stande w , , w , .. 0, sind, und dercii Strihne die kitensitaten J,, J , . . Jn habcn, so ist dcr Ausdruck der gcsainniten Wir- mcmciigc:

W = o1 Jl'+ wa J,'+ . + wn J.' Stclleii wir die 13edinguiigcn dafur auf, dafs die Span-

nungsdifferenzcu in deli Beriiliruiigspuiikten je zweier sich beriilirender Drllite glcicli den gegcbeiien seyen, so crlial- ten wir, wic icli a. a. 0. gezcigt habe, Gleichuugcn, welche aussagen, dafs iiiiincr, wenn die Drahtc 1, 2, .. T cine ge- schlosseiic Figur bildcii,

gleich dcr Sumine aller Spaniiungsdifferenzeii ist, die sich auf dem W c g e 1, 2, .. r befinden. Stellt man die Bedin- gringen darur auf, d a b jener Ausdruck W ein Minilnuin werde, wlhreiid diese Gleicliungen bestelicn, so findet inan niit leichter Miihe die iibrigen dcr Gleichungen, welche ich dort gegeben habe, iilinlicli die Gleichungen, welche aus- sageii, dafs. immer, wenn die Driihte 1,.2, . . p in einein Punkte zusauimenstofscn:

ist.

6J1 J I + w a J a + . s + ~ Jr

J l + Ja+ . . 51, = 0