Banib31 ?;it S c h m ild t , Enbwicklung einer willkiirbiohen Funktion nach der Poifaonschen 139

Uber die Charlier-Jordansche Entwicklung einer willkurlichen Funktion nach der Poissonschen Funktion

und ihren Ableitungen. Von Erhard Schmidt in Berlin.

Einleitung. Die P o i s s o n sche Funktion, die fur die Statistik sogenannter ,,seltener Ereignisse" grundlegend ist, wird gegeben durch die Gleichung

a* . . . . . . . . . . . . . . . . . y o (2) = 3 e-al z = 0,1,2, (1).

Nach C h a r 1 i e r ') definiert man die Funktionen y y (I.) durch die Rekursionsformel (vy (z) = 7 p v y - L ( . -- 1) - y y - 1 ( 5 ) , Y = 1,2, . . . . . . . . . . . . (2).

d - Aus der Identitiit

folgt durch (v - 1)-fache Differentiation nach a die Gtiltigkeit der Rekursionsformel (2) fiir die Y-ten Ableitungen von y o (x). So ergeben sich die J o r d a n schen Formeln

d a (Yo (4) = Yo (5 - 1) - Yo (4

n

Da hier die Summation rechts nur bis zur kleineren der beiden nicht negativen ganzen Zahlen n und x, mithin also bis zu einem bei Vertauschung von PZ und x sich nicht andernden Index erstreckt zu werden braucht, so ergeben sich die Symmetrierelationen

auf welche S z e g 8 zuerst aufmerksam gemacht hat. Ferner gelten die C h a r 1 i e r schen Orthogonalitiitsrelationen

. . . . . . . . . . . . . . (- l)n p , (x) = (- 1)"p, (n) (51,

m

fiir welche unten ein Beweis folgt.

2 = 0, I, 2, , . . nach den Funktionen yn (LE) entwickelt. Setzt man C h a r 1 i e r und J o r d a n haben nun eine willkiirliche arithmetische Verteilung v (s),

m

2, (2) = z a , y*x (5) . . . . . . . . . . . . . . (71, n=O

so liefem die Orthogonalitatsrelationen (6) den Ansatz m

. . . . . . . . . . . a, = rc! an ) 1 u (x> pn (2) (8)l X = O

Die erste, welche einen Beweis des Entwicklungssatzes (7,s) auf Grund eines hin- reichenden Systems von Bedingungen far die Funktion v (a) (unter Benutzung des Momenten- satzes) gegeben hat, ist Frau P o 11 a c z e k - G e i r i n g e r. Ihr Resultat ist durch S z e g 8 ver- bessert worden, welcher unter Heranziehung der H i 1 be r t schen Theorie der unendlich vielen Variablen die Giiltigkeit des Entwicklungssatzes unter der Bedingung der Konvergenz

der Reihe 2 (u (v))~ v ! a-" bewies. Das S z egosche Kriterium ist mit neuen sehr einfachen

Methoden noch von J a c o b verschiirft worden. Das schonste Resultat erzielte U s 11 e n s k y , der im Jahre 1931 .den Entwicklungssatz unter der Bedingung bewies, dab der Konvergenz-

radius der Potenzreihe 2 v (v) zy grbber als 2 ist.

Angeregt durch die mir vor ihrer Ver6ffentlichung bekannt gewordenen Untersuchungen von Frau P o l l a c z e k - G e i r i n g e r habe ich im Jahre 1928 in der Preubischen Akademie der Wissenschaften die nachstehenden Satze und Beweise vorgetragen ').

m

V = U

m

V = O

1) Die in der Einleitung erwiihnte Literatar sei hier zusammengestellt: C h a r l i e r : Uber das Fehlergesetz, Ark. f . Mat. 2, Nr. 8, und Uber die Darstellung willkurlioher Funktionen, ebenda Nr. 20. - Ch. J o r d a n : Sur la probabilite des Qprenves rephtQes, Bull. d. 1. 800. math. 54 (1926), 5. 1 bis 37. - H. P o 11 a c z e k- G e i r i n g e r: Die C h a r 1 i e rsche Entwicklung willkurlicher Verteilungen, Skandinavisk Aktuarietids- skrift 1928, S. 98 his 111. - M. J a r o b : Uber die Charl iersohe B-Reihe, Skandinavisk Aktnarietidsskrift 1932, S . 286 his 291. -- J. V. U s p e n s k y : On the J o r d a n s series of probability, Ann. of Math. (2), 32 (1931). S. 306 bis 312. - Die Ergebnisse von G. S z e g o sind nur brieflich mitgeteilt worden.

2) Sitzungsberiohte der PreuD. Akad. d. Wiss. 1928, S. 148.

Ztschr. f . angew. 1 40 S c h m i d t , Enhwicklung einer willkurliahen Flunktion nach der Potissonschen Math. und Meoh.

I. F u r 2) (z) 1 0 (dem in der Walirscheinlichkeitsrechnung allein interessierenden Falle) i s t d i e n o t w e n d i g e u n d h i n r e i c h e n d e B e d i n g u n g f u r d i e G t i l t i g k e i t d e s E n t - w i c k l u n g s s a t z e s (7, 8) d a s B e s t e h e n d e r L i m e s g l e i c h u n g e n

lim w (v) 2” vk = 0 . . . . . . . . . . . . . . (9) v=ff i

fiir alle ganzen k 2 0.

l u n g s s n t z g u l t i g , w e n n d i e d u r c h d i e G l e i c h u n g 11. L a b t m a n Z e i c h e n w e c h s e l d e r F u n k t i o n ~ ( 2 ) z u , so i s t d e r E n t w i c k -

ffi

F(z ) = \l?? (Y) 2” . . . . . . . . . . . . . . (10) Y

v = o

g e g e b e n e a n a l y t i s c h e F u n k t i o n F ( z ) i m I n n e r n d e r b e i d e n K r e i s e I z j < 1, 1 z - l l < 1 r e g u l g r u n d e i n s c h l i e l i l i c h d e r b e i d e n P e r i p h e r i e n m i t a l l e n i h r e n A b l e i t u n g e n n o c h s t e t i g i s t .

8 1. Beweis des Entwicklungssatzes 11.

Diflerentiiert man die beiderseits mit e” multiplizierte Identitat (1) k-ma1 nach u, so er- gibt sich nach der L e i b n i z schen Regel wegen c3)

b

s ( z - - l ) . . . ( z - - k + + ) = a h ’ Y(;)P”(2)* . . . . . . . . . . . (11). b v = 0

Aus der fur den Entwicklungssatz notwendigen Konvergenz der Reihe (8) fur alle ganzen n 2 0 folgt nunmehr wegen (11) die Konvergenz der Reihen

m

&J(..).:(x 1) . . .( 2 k t - 1 ) . . . . . . . . . . . (12) X = O

fur alle ganzen k 2 0 (wobei fur k = O der Faktor von w (5) naturlich gleich 1 zu setzen ist) und wegen (4) das Umgekehrte. Aus (12) folgt die Konvergenz der Reilien

m

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2) (2). zk (13) X = o

fur alle ganzen k 2 0 und umgekehrt. Aus der Konvergenz der Reihen (13) ergeben sich die Gleichungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . lim 2) (z) ~k = 0 (14) X = m

fur alle ganzen k z 0 . Ersetzt man in den letzten Gleichungen k durch k + 2 , so ergibt sich aus ihnen umgekehrt sogar die absolute Konvergenz der Reihen (13) und mithin auch die absolute Konvergenz der Reihen (12) und der Reihen (8) fur alle w . Wir sehen also, dab die sieben Aussagen der Konvergenz der Reihen (8) fur alle ganzen n 2 0 , ihrer absoluten Kon- vergenz, der Konvergenz der Reihen (12) fur alle ganzen k 2 0, ihrer absoluten Konvergenz, der Konvergenz der Reihen (13) fur alle ganzen k z 0 , ihrer absoluten Konvergenz und der Limesgleichungen (14) fur alle ganzen k 1 0 in dem Sinn miteinander gleichwertig sind, dab aus jeder die sechs ubrigen folgen. Endlich sagt die absolute Konvergenz der Reihen (12) (15) aus, dafi die Potenzreihe (10) mit allen ihren gliedweise gebildeten Ableitungen noch auf dem Einheitskreise absolut konrergiert. Also muti die analytisclie Funktion F (z) im Innern des Einheitskreises regular und dort einschlie~lieh der Peripherie mit allen ihren Ableitungen (16) stetig sein, wobei an der Peripherie des Einheitskreises die Ableitungen naturlich nur nach Innen gesichert sind.

1st umgekehrt die letzte Aussage erfiillt, so ist fur alle v

. . /w ( v ) v (v 1)

lim w (v) - vk = 0

(Y - k ) 15 & + I = Max IF (z)@+ l) I v (v - 1). ( v - - k) - 1 0 (v) yh’ + 1 1 . _ _ _ _ - _ _ ~ - . . . . 121 51 y k + 1

und mithin

%’ = w

fur alle ganzen k 2 0. Also ist auch die Aussage (16) rnit jeder der sieben Aussagen (15) gleichwertig. Die Aussage (16) ist mithin eine notwendige Bedingung fiir den Entwicklungssatz.

Bei Berucksiclitigung der Symmetrierelation (5) lassen sich die Gleichungen (7) folgender- maDen schreiben:

W

. . . . . . . 2) (v) = (- 1 ) Y y o (v)Z (-- 1)” u,p, (92) v = 0,1,2, (17). n=U

Ba2:$l git 141

Wie oben ergibt sich jetzt, dah die durch den Entwicklungssatz postulierte Konvergenz der letzten Reihen fur alle ganzen v >= 0 - gleichwertig ist mit jeder der sieben Aussagen, der

absoluten Konvergenz dieser Reihen, der Konvergenz der ReihenL1(- I), a, n k fur alle ganzen

Ic 2 0 , ihrer absoluten Konvergenz, der Konvergenz der Reihenx(- l)n a,n (n- 1). . . (n-lc + 1)

fur alle ganzen lc 2 0 , ihrer absoluten Konvergenz, der Limesgleichungen lirn a, n/c = 0 for alle

ganzen k 2 0 nnd endlich mit der Aussage, dah die durch die Gleichung G (5) =2'(-- I)% a,, 5% gegebene analytische Funktion im Einlieitskreise regular und mit allen ihren Ableitungen (18) noch einschlietilich der Peripherie stetig ist, wobei an dieser, wie in (16), die Ableitungen natiirlich nur nach den1 Irinern des Einheitskreises gesichert sind. Die letzte Aussage (18) ist mithin ebenfalls eine fur die Gultigkeit des Entwicklungssatzes notwendige Bedingung, (19) freilich eine in dieser Form zunlchst nicht brauclibare.

Wie hangen nun die analytischen Funktionen F ( z ) und G (5') miteinander zusammen? Zur Beantwortung dieser Frage gehe man von der Le ibn iz schen Formel aus:

S chlm i d t , Entwiclklang einer wilkiirlicihen Fhnktion nach der Paissonsohen

m

n = o W

n=U

n = m m

n=O

Setzt man hier z = 1 und berucksichtigt, dah wegen (16) die in das Innere des Einheitskreises gerichteten Ableitungen von F (2) an der Stelle z = 1 durch gliedweise Differentiation der Reihe (10) gebildet werden konnen, wobei die SO entstandenen Reihen noch absolut konver- gieren, so ergibt sich

= e- 11 ;tElr v (v) p n (v) = e- (1 a,, an 2 * = O

Man mache nun die Voraussetzung, dah der Punkt z = 1 kein singularer Punkt der Funktion F ( z ) ist. Dann ist z = 1 auch kein singularer Punkt der Funktion e-ax F (2) . Die Differentialquotienten auf der linken Seite von (20) sind die regularen, und man erhalt als analytische Fortsetzung der Funktion e-(dZF(z) in der Umgebung des Punktes 1, wenn z=1-5

gesetzt wird, die Reihe e - a z ( - 1)" a, ttL= e-" G (5') . Aus (18) und (19) folgt nunmehr, dah die analytische Fortsetzung e- a G (5 ) im Innern des

ganzen Kreises 1 5 I = I z - 1 1 < 1 regular und einschliehlich seiner Peripherie mit allen Ab- leitungen stetig sein muQ. Unter der Voraussetzung, dah z = 1 keine singuliire Stelle der Funktion F ( z ) ist, ergibt sich also zunaclist als n o t w e n d i g e Bedingung fur die Gultigkeit des Entwicklungssatzes die Bedingung 11.

Diese Bedingung ist aber auch h i n r e i c h e n d. Denn man erhalt etwa fur 0 < z 5 1 , z reel1

W

71 = 0

e-a F (z) = e r a G (5') , z = 1 - 5 ; e- G (5) = F (z) . Da die Funktion G (t) denselben Voraussetzungen genugt wie F ( z ) und die Stelle 5 = 1,

z = 0 regular ist, so ergibt sich wie in (20)

n=o also die G1. (17), welche mit der zu beweisenden G1. (7) gleichbedeutend ist.

Damit ist der Satz I1 bewiesen, und es ergibt sich als allerdings naheliegendes Korollar, dab im Falle der Gultigkeit des Entwicklungssatzes die Reihen auf den rechten Seiten von (7) und (8) nicht nur konvergieren, sondern sogar absolut konvergieren miissen.

Beim Beweise des Entwicklungssatzes I1 sind die Orthogonalitiitsrelationen (6) nicht benutzt worden. Sie ergeben sich aber naturlich unmittelbar aus dem Entwicklungssatz. Man setze dazu F(z) = zt oder mit anderen Worten

(21). v ( v ) = l fur v = t , v(v)=O fur v + t . . . . , , . . . .

Ztsohr. f . angew. 142

Die Bedingung fur die Giiltigkeit des Entwicklungssatzes ist fur diese Funktion erfullt. ergibt sich also aus (5) und (8)

und aus (17), (22) und (3)

S c h m ifd t , Enhwicklmg einer wilhkurlichen Punktion nach der PoliEGsonschen Math. und hlech.

Es

n ! a,, = a7,plL ( t ) = (-- l )n an (- l ) t p t (n) . . . . . . . . . . . (22)

Das sind wegen (21) die Orthogonalitatsrelationen (6).

8 2. Beweis des Entwicklungssatzes I. Die Bedingung I ist, wie bei der Herleitung von (16) gezeigt, gleichwertig mit der Aus-

sage, dali die Funktion F(z) fur [ z I < 2 regular und einschliefilich der Kreisperiphcrie [ z 1 = 2 noch mit allen Ableitungen stetig ist. Also enthalt die Bedingung I die Bedingung I1 und ist mithin ohne jede Voraussetzung uber das Vorzeichen der Funktion v (z) fur den Ent- wicklungssatz hinreichend.

Es handelt sich also nur noch darum, zu zeigen, dafi fur v (z) 2 0 die Bedingung I not-

wendig jst. a, (- 5')" fur J ( 1 5 1 und die Potenz-

reihe e -0 c= 2 absolut konvergent sind, SO kann man sie

gewohnlich ausmultiplizieren und erhalt

m

Da wegen (18) die Potenzreihe G (0 = n=O

m

fur jeden Wert von @=n P !

m m k m

-. ak 7 'I ['k - /. e-oc G ( C ) = ~ ( t)k); @--- al =L7(- ()"& J ( k __ 2 ) ! 1 J ~ ( v ) p~ (v) wegen (8)

e--nc (i (5') = J T(-i-)'" ~- I c ! L J - w ( ~ ) a k ~ ~ ~ j ~ l ( Y ) = ~ ~ ~ ~ - w ( ~ ) v ( v - - 1) . . . (v k + 1 ) k=O Y = I) A = 0 k=U 1 = O wegen (11).

Setzt man hier - ( = r u t O < w s l , w reell, so ist der letzte Ausdruck rechts eine Doppelreihe mit lauter nichtnegativen Gliedern. Mithin lassen sich die beiden Summationen vertauschen, und es ergibt sich

h=U I = U k = 0 A = U v = o W m k m m

m

enw G ( 11') = x u (v) (I + m)'. 1 = o

m

Fur w = 1 folgt hieraus zunachst die Konvergenz der Reihe 2' v ( Y ) 2'.

falls die Potenzreihe (10) fur /zI < 2 regular sein.

Also mu& jeden- v = o

Wegen (18) existiert aber auch der Grenzwert m

g k = lirn ' ~ d k ( e a w G (- w ) ) = lim w = l d wk ? u = l A

(v) Y (v - 1) . . . (v - k + 1) (1 + nt),'- k .

Mithin ist li + m lim 5' w = l %Efi

(Y) v (v - 1) . . . (v -- Ic -1 1) (1 + Y U ) I ' - ~ 5 g k ,

k + ))1

2 ' w ( v ) 2 Y v ( v - 1) . . . ( v - L + 1 ) 1 2 k g h : . w=k

m

Da diese Ungleichung fur jedes m gilt, so folgt die Konvergenz der R e i h e r w (v) 2' v (v - 1) . . (v - k + 1) . Daher ergeben sich wegen (15) die Limesgleichungen (9), womit der allein noch ausstehende Beweis der N o t w e n d i g k e i t der Bedingungen I gefuhrt ist.

Zum SchluG sei noch bemerkt, dab in den Satzen I und I1 keinerlei Voraussetzungen uber den Parameter a gemacht werden. a darf also beliebige positive, negative oder komplexe Werte annehmen.

Endlich mtichte ich noch auf folgendes hinweisen : Da die hinreichenden Bedingungen 11, wie oben gezeigt, auch notwendig sind, wenn z = 1 eine regullre Stelle der analytischen Funktion F ( z ) ist, so lassen die oben ausgefuhrten Ergebnisse allein die Frage noch offen, ob uberhaupt und wann der Entwicklungssatz noch gliltig sein kann, wenn z = 1 eine singulare Stelle der Funktion F ( B ) ist. M 23

*=k Diese Konvergenz findet aber fur alle ganzen positiven Zahlen k statt.

Ebenso darf im Satze I1 die Funktion w (z) komplex sein.