Ober die Erwoiterung' von Gruppen. II. Von OTTO SCHREIER in Hamburg.

Wenn man versucht, alle Typen abstrakter zusammengesetzter Gruppen einer gegebenen endlichen Ordnung aufzustellen, so stO•t man alsbald auf das folgende Problem: zu zwei gegebenen abstrakten Gruppen ~I, !~ sollen alle Gruppen ~ bestimmt werden, die 92 als Normalteiler enthalten, derart~ da~ die zugeh6rige Faktorgruppe ~ / 2 mit !B einstufig isomorph ist. Wir bezeiehnen eine solehe Gruppe als eine Erweiterung yon 92 mit Hilfe von !8 und die Aufgabe, alle Erweiterungen yon 2 mit Hilfe yon ~ zu bestimmen, als Erweiterungs- problem. Mit diesem Problem beschi~ftigt sich der erste Teil 1) tier vorliegenden Arbeit. Es ergibt sich dabei unter Zugrundelegung ganzlich wi l lk t i r l i eher - endlieher oder u n e n d l i e h e r - Gruppen.92, ~ , dag sich das Erweiterungsproblem auf zwei Teilprobleme zuriickffihren l~t~t: a) die Bestimmung aller mit !~ ein- oder mehrstufig isomorphen Gruppen von Automorphismenklassen s) der Gruppe ~I; b) die Aufl6sung eines gewissen Systems von Gleichungen zwisehen invarianten Elementen aus 2s). Die Form dieser Gleiehungen hi~ngt dabei aussehliefllich von der Gruppe !~ ab, ist also unabh~ngig von der Gruppe 92. (Ist insbesondere 92 eine Gruppe mit einem Zentrum yon endlicher Ordnung, so ist ein Gleichungssystem zwischen invarianten Elementen aus 2 ersichtlieh mit einem System linearer Kongruenzen i~quivalent.) Werden nun fiber die Gruppe !B spezielle Voraussetzungen gemacht, so kann das auftretende Gleichungssystem wesentlich vereinfacht werden. Ein besonders ein- facher Sachverhalt ergibt sich, wenn ~ als Abelsche Gruppe von end- licher Ordnung angenommen wird. Die Ordnungen der Basiselemente yon !~ seien etwa nl, n~ , . - . , n,. Sicher kann jede Erweiterung von 92 mit Hilfe dieser Gruppe !~ durch Relationen tier Gestalt

(*) BT~ABi---- AB'; B ~ ' = Ai; BiBj = BjBiAi,j (i,j-----1, 2, . . . , s ; i ~-j)

zusammen mit den Relationen von 2 definiert werden. Und zwar bedeuten hierin die Ai und Ai.j gewisse Elemente aus 92, w~thrend

i) I~ber die Erweiterung yon Gruppen I erseheint in Bd. 34 der Monat~hefte f. Math. u. Phys.

~) Zwei Automorphismen yon ~I werden zur selben Klasse geziihlt, wenn sie sich durch Multiplikation mit einem inneren Automorphismus van ~I ineinander tiber- ftihren lassen.

'~ a.a.O 11 81.

322 O. Schreier.

A B, ftir jedes i ein dem willkfirlichen Element A aus ~/ zugeordnetes Element yon 2 ist. Im allgemeinen wird aber umgekehrt ein Relationen- system der Form (.) keine Erweiterung von 2 mit Hilfe yon ~ definiei'en, vielmehr sind dazu gewisse Beziehungen zwischen den Ai, A~,/ und A B' erforderlieh. Darfiber gibt nun der folgende Satz Aufschluf4):

Die Relationen (.) definieren zusammcm rail de~z Relationen do" Gruppe ~I stets und ~,ur dann eine Erweiterung yon ~ rail Hilfe der Abelschen Gruppe yore Typu,~ {n~, n ~ , . . . , ns}, wenn in 2I folgende Bedin, qungen erfOllt ,qind :

(a) {A--)A ~} is/ ein A~ttomorphismus" yon 7i, desse~ ni-te Potenz der

innere Aulomorphismus { A --* A~ -1A Ai } ist.

(b) A,,

.__ :t -1, 4"~) B, (e) (ABq L - i.j(- Ai, i; Ai, iAj, i = E,

(d) A~ ~ ~ aB' a ~ ' . "'i "~i,j "'i , j i,j Ai , j

B~ Bi Aj i 4B~ " (e) Ai d AI.:,j Ak:i , " j,k Ai,k = L ,

( i , j , k = 1 , 2 . . . . , s ; i g f j ; j ~ : k ; 1, '4i ).

B ~ Hierin bedeutet E die Einheit der Gruppe 2 und A ' ist rekursiv

dutch A B ~ = (ABe' ') E definiert. Aufler diesem Satz, tier die Grund- lage fiir das Folgende bildet, wird nichts aus dem ersten Teil der Unter- suchung bier verwendet werden.

Wir werden den Satz nach einer kurzen Vorbereitung, Kongruenzen zwischen Matrizen betreffend (w 1), ftir den Fall spezialisieren, daft auch 2 eine Abelsche Gruppe endlicher 0rdnung ist (Satz 1). Satz 2 gibt sodann ein Kriterium daffir, daft 9/ der kleinste Normalteiler der Erweiterung sei, dessert Faktorgruppe Abelsch ist, d.h. da~ 2 die Kom- mutatorgruppe von ~ sei. Diese Si~tze werden auf Gruppen yon Prim- zahlpotenzordnung (,,p-Gruppen") angewendet, und zwar werden zuni~chst einige, ffir diese Anwendungen wichtigen Eigenschaften der Automor- phismengruppe einer Abelschen p-Gruppe bewiesen (w 3), sodann die Beziehungen zwischen der Kommutatorgruppe und ihrer Faktorgruppe in einer p-Gruppe untersucht (w 4) und schliefilich als Beispiel spezielle Arten von metabelschen p-Gruppen klassifiziert (w 5). Insbesondere k(innen nun die Gruppen der 0rdnungen pS, p~, p~ in relativ iibersicht- lieher Weise behandelt werden (w 6).

') a. a. 0.') Satz ItI, ~ 3.

Cber die Erweiterung yon Gruppen. II. 323

w 1. Spalten und Matrizes nach einer Spalte als Modal. = ( m ~ 0 ) ( i ~ 1 , 2 , . . - , r ) sei eine feste Spalte aus yon 1 ver-

schiedenen natQrlichen Zahlen. Wir bezeichnen dann eine r-zeilige Matrix als ,Matrix m o d e , wenn die Elemente ihrer i-ten Zeile Rest- klassen mod,z ~'~ sind (i = 1, 2 , . . . , r).

Im folgenden werden nur quadratische Matrizes und einzelne Spalten m o d ~ betrachtet. Wir bezeiehnen die Elemente mit kleinen Buch- staben, deren obere Indizes die Stellung in der blatrix angeben, eine quadratische Matrix durch den gleichlautend~n groflen Buchstaben, eine einzelne Spalte durch den iiberstriehenen gleichlautenden groflen Buchstaben. Z.B.

(ao,x) a(1, ~ ) . . . . aO,") / ( r (1)

.( , ' , 1) ~(,', 2) . . . . ( , ' , r) ] ~ ;/~r)

Das Produkt A~" : a(~,~)~ ~) (i : 1, 2, . . . , r) tier Matrix A mit

der Spalte ,Y ist im allgemeinen keine Spalte modJ l . Unter einer regu_llLren Matrix rood ~/ verstehen wir ehle_ qua-

dratisehe Matrix mod M, deren Produkt mit jeder Spalte modMwieder eine Spalte m o d ~ r is t . Damit die Matrix A regul~kr sei, ist notwendig und hinreichend, da6 die Kongruenzen a (~.1~) m (~) = 0 (m (*) erfiillt sind. Eine Matrix ist bereits dann regul~Lr, wenn ihr Produkt mit einer ein- zigen Spalte mod,~/wieder eine Spalte mod~T[ ist. Die Summe und das Produkt regullrer Matrizes sind regul~Lre Matrizes. Diese S~Ltze folgen unmittelbar aus der Definition der r eguli~ren Matrix.

Mit E soll die Einheitsmatrix mod M bezeichnet werden; sie ist dureh �9 (i,k) ~ 1 oder 0 (mCi)), je nachdem i---~ oder ~= k, definiert. E ist regular.

Wir nennen eine Matrix A e igen t l i ch - r egu l i~ r , wenn es eine regul~re Matrix A' gibt, so da6 AA"~= E(M). Die eigentlich-reguli~ren Matrizes bilden bei Komposition durch Multiplikation eine Gruppe . Zum Beweis gentlgt es, die Existenz einer reehtsseitig inversen eigentlich- regul~ren Matrix zu jeder eigentlich-regul~ren Matrix nachzuweisen. Denn die Multiplikation der Matrizes ist assoziativ; aus AA' ~ H(31) und BB' := E(M) folgt (AS)(S'A') ~ E(~r); E ist eigentlich-regul~Lr; demnach sind die tibrigen Gruppenpostulate ersiehtlich erfiillt. Sei also h

t2 A,k Ark+n, eige,tlich-regul~Lr und AA ~ E(3f). Wir bilden A,A ,. . . , ..., .... Da es nnr endlieh viele Matrizes rood k[ gibt, kommen in dieser Folge z~vei gleiche Matrizes vor, etwa A'k*n _-~: A'k(,~). [)ann ist aueh

324 0. Schreier.

A k A 'kd~ ~ A k A'k(il~), woraus dureh mehffache Anwendung des asso- ziativen Gesetzes A'n~ E(i~) folgt. Indem wir A '~-~--- (A')' setzen, erkennen wir, da~ auch A' eine eigentlich-regulttre Matrix ist. Damit ist unsere Behauptung bewiesen. Als unmittelbare Folgerung ergibt sich das'Kriterium: Eine Matrix ist stets und nur dann eigentlich- regular, wenn unter ihren Potenzen die Einheitsmatrix auftritt.

Durch eine regulare Matrix 8 wird jeder Spalte )~ rood ill die Spalte B ~" zugeordnet. Der Summe zweier Spalten wird dabei die Summe derzuge- ordneten Spalten zugeordnet; diese Eigenschaft ist kennzeichnend fiir diese Art der Zuordnung. Ist sie nRmlich erfiillt, so gentigt es offenbar, die Bild- spalten der r Spalten yon E anzugeben. Sei etwa (~:i,k)) das Bild der k-ten Spalte yon E. Nun ist m (~ (e (i,k)) ~- 2m ~k) (~a,k)) (rood M). Also muB auch re(k) (~(i.k)) ~__ 2m(~)(~(i,~)) (rood M) gelten, d.h.: ~(i,~m(~) ~-- 0 (ma)). Daher ist B ~ (~a,~)) eine regul~tre Matrix, die das Gewfinschte leistet.

Die Zuordnung {)s B.~} ist stets und nur dann eineindeutig, wenn 8 eine eigentlich-reguIare Matrix ist.

w 2. Erweiterung Abelscher Gruppen. Wir w~hlen jetzt fiir die Gruppe ~[ des in der Emleitung zitierten

Satzes eine Abelsche Gruppe mit den Invarianten m (1), m(~ ) , . . . , m ('). Ihre definierenden Relationen !auten:

- ' i = E ; A i A j ~ AjAi ( i , j ~--- 1 , 2 , . . . , r ) .

Es erweist sieh als zweekmt~l~ig, fiir die Elemente von ~ die abgektirzte Bezeichnung

A1 x!~'A2xf'~) �9 �9 �9 Arr(') : A ~

einzuftihren, wobei X ~ (x a~) eine Spalte rood M -~- (ma)) ist. Es ist dann A ~ A r ~ 4 x ~ r Durch einen Automorphismus yon 2 wird daher jeder Spalte mod _~ eineindeutig eine zweite Spalte mod ,~fzugeordnet, und zwar der Summe zweier Spalten die Summe der zugeordneten Spalten. Dies geschieht nach w 1 dutch Multiplikation mit einer eigent- lich-regularen Matrix. Demnach litfit sich jede Erweiterung !8 yon 2 mit Hilfe der Abelschen Gruppe vom Typus {n~, n~ , . . . , ns} durch Re- lationen der Gestalt

( -~) A x.4 r--~ A x+r," B~-XAXBi ~ .t eft," Bin' . ~ Aa,; B - 1 B - R ~ __ A-(,.~

definieren, wobei die hi, to., 8i Spalten bzw. eigentlich-regulare Matrizes rood M bedeuten. Durch Umschreiben der Bedingungen (a~, (b), (c), (d), (e) erhalten wit nunmehr den

I~ber die Erweiterung yon Gruppen. II, 325

Sa tz 1. /)/e Relationen (q-) definieren stets und nut dann eine Erweiterung ~3 der Abelschen Gruppe yore Typ,s {m (1), m(=),..., m (')} mit Hilfe do" Abelschen Gruppe vom Typus {hi, ~0., . . . , ns}, wenn folgende Bedingungen erfiillt stud:

(a) B;" :__ E (31),

(b) (Bi-- E)Ai ~ 0 (M),

(e) Bi Bj ~ B; Bi ( i ) , - - I ~ i _ t - - _ _ (d) (Si- -E)Ai ~ ( E + a i + . - . + S i )Fi,./(M); F i j + ~ ' , i -= 0(M),

(e) (Bk-- E)Vi,j-i-(Bi--E)i-~. k@ (Bj-- E)Vk, i ~- O ( i ) , (i , j ,k : 1 , 2 , . . . , s ; i : [ j ; j : [ k ; k 4 i ) .

Als Normalteiler der Gesamtgruppe ~ mit Abelscher Faktorgruppe enthalt 2 sicher die Kommutatorgruppe von ~. Wit wollen unter- suchen, unter welchen Bedingungen 9I se lbs t die Kommutatorgruppe yon !~ ist. Allgemein erhalten wir die definierenden Relationen der Faktorgruppe der Kommutatorgruppe einer beliebigen Gruppe, indem wir zu den definierenden Relationen der Gruppe noch die Vertausch- barkeit je zweier Erzeugenden hinzunehmenS). 0ffenbar ist abel' 9/ stets und nur dann die Kommutatorgruppe von !~, wenn die 0rdnung der maximalen Abelschen Faktorgruppe von ~ gerade n~. n~ . . . . n.~ ist. Die Ordnung dieser Abelschen Gruppe bestimmen wit nun folgender- mafien. Wir denken uns ihre definierenden Relationen auf die Foi'm gebracht, daft rechts die Einheit steht, und in irgendeiner Weise numeriert. Ebenso numerieren wit die (r-{-s) Erzeugenden A~, A~,... , A,., B~, B2, . . - , Bs der Gruppe iu irgendeiner Weise. Nunmehr bilden wit die Matrix, in deren 0-ten Zeile und a-ten Spalte die algebraischc 8umme der Exponenten der (,-ten Erzeugenden in der.(~-ten Relation steht. Dann ist die gesuchte Ordnung der Gruppe durch den grSI~ten gemeinsamen Teiler der (r~-s)-zeiligen Determinanten dieser Matrix gegeben6). Nun besitzen die Erzeugenden Bi nur in den Relationen

BI ~'A - A ' = E eine von Null verschiedene Exponentensumme. Daher enth~lt jede (r@s)-zeilige Determinante unserer Matrix explizit den Faktor n~ �9 n~ - . . n~. Soll also diese Zahl der gT(igte gemeinsam~', Teller dieser Determinanten sein, so mu~ Eins der grtlfite gemeinsame Teiler der r-zeiligen Determinanten der Untermatrix sein, die dutch Streichen der den Erzeugenden Bi entsprechenden Zeilen nnd der den Rel'ationen

B'i"A -A' ::: E entsl)rechenden ~ , palten entsteht, und diese Bedingung ist

~) G. A. ]~l[LL~:r. Am. Bull. 4 (1898), 8. 136. ~') G. FROBENIU~ Hlld L. STICKELIIERGER, Crelle 86 (1879), S. 253.

326 O. Schreier.

auch hinreichend. Dm'ch eine leichte Umformung dieser Bedingung erhalten wir

S a t z 2. Die Bedinqungen yon Satz 1 seien erfitllt. Damit dann ?1 die Kommutatorgruppe der dutch ( ~ ) definierten Gruppe sei, ist notwendig und hinreichend, daft jede Spalte rood 2J sich linear aus den Spalten der Matrizes (S i - -E ) und dcn~ Spalten ~,j zusammensetzen lasse.

Man kann dies Ergebnis auch so aussprechen: 2 ist stets und nur dann die Kommutatorgn~ppe der durch ( ~ ) definierten Gruppe, wenn die Kommutatoren B~ ~ B 9 B~ By und A~ ~ B~ -~ Aa B~ (i: j ~- 1, 2, . . . , s; ] , ' ~ 1, 2, . . . , r) die Gruppe 2 erzeugen.

w 3. Die Automorphismengruppe einer Abelschen Gruppe yon Primzahlpotenzordnung.

Um die bisher gewonnenen Ergebnisse speziell auf p-Gruppen anwenden zu k0nnen, mfissen wir zun~chst einige Eigenschaften der Automorphismen~uppe einer Abelschen p-Gruppe feststellen. Als erstes ermitteln wir ihre O r d n u n g . Es sei also ~ eine Abelsche Gruppe der

�9 m m 2 pm~ (ml ~ ms ~ . . . 7> mr) , 0rdnung p,n mit den Invarlanten p 1, p , . . ", ~ ~-- _-- ~' , . . . , ~tt Invarianten und zwar mit ).1 Invarianten p , ~ Invarianten pm~

mt

i h ~ - . . ) ~ t ; 2 ~ - i t ~ . . . § r).

t ,t~

H H "4x.):~ (xi,k = O, 1, . . . , pm'-- 1) i ~ 1 k = l

sei eine Basisdarstellung yon 2. M,, sei die Anzahl der Elemente von ~, deren Ordnung ~ p'" ist. Diese Elemente sind dutch p~ x~,k ~ 0 (p~') bestimmt. (i ~ 1,2, . . . , t; k = 1,2, . . . , ~i.) Es sei etwa mh>u~mh+~; Dann besitzt die Kongruenz p~ xi,k = 0 (p") p~ inkongruente L0sungen ffir i ~ h, p,n~ inkongruente L6sungen fiir i > h . Daher ist

JL, = p()"+ ),2 +.. . + ).,) ,' + ),1, + ,-~J,., ~ .... + ~,~,

M,, gibt auch die Anzahl der Elcmente an, deren p"-te Potenz ein festes Element ist, das iiberhaupt als p~-te Potenz darstellbar ist. Nunmehr wollen wir die Anzahl der Basisdarstellungen yon ~ bestimmen; denn diese Zahl gibt ja auch die gesuchte 0rdnung der Automorphismengruppe yon ~[. Die Basiselemente A,.fl fiir u ~- 1, 2, . . . , / - - 1 ; fl - 1, 2, . . . , ).,: und a = i; /~ ~ l, 2, . . . . l . - - I seien bercits gew~hlt. M,,~.,sei die Anzahl der Llemcn.e, die daxm fill' Ai.k gew~thlt werden diirfen. Diese Element(' siud dadurch gekennzei(,hnet, dal~ ihre 0rdnungp"~ nicht iibersteigt und ihre i;"" ~-te Potenz ni('ht iu dcr durch die bereits gewiihlten Basis-

tJber die Erweiterung yon Gruppen. II. 327

elemente erzeugten Untergruppe 92i, liegt. Die lo~r-Lte Potenz eines Elements, dessen Ordnung p'~' nieht fibersteigt, hat eine Ordnung --< p ; 2i,k enthalt genau p~'+a'+"" + ~'-~+~-~ Elemente, deren Ordnung ~ p ist, und diese Elemente sind samtlieh als pm'-Lte Potenzen darstellbar. Daher ist

z~/[i,k : M~, - - p~'+ .... ~ ~'-' + ~- ~ M~,-~

und demnaeh die Ordnung der Automorphismengruppe yon ~I dureh

t ,t~

i -~- I - I H P (a'+'''+a')g'+'~'+'m'+`+'''*a'm'-l'+k-l(pa'-k + l - 1 ) i~l k = l

gegebenT). Daraus entnehmen wir insbesondere, daft die zur Primzahl p geh(Jrigen SYLow-Gruppen der Automorphismengruppe von 2 die Ordnung

t ~

I-I I-I p(a~+...+a)~,+~,+,~+,+...+a,~,-~,+~-~ i = l k : l

haben. Eine dieser Sylow-Gruppen ktlnnen wir leicht angeben. Sie besteht aus den Automorphismen, die das Basiselement Ai,k in ein Element tier Gestalt

i -- 1 ha k ~ t )~

--~ H ex' . H 1 - I . H Z~ a = t f l - 1 y = l y=kq-1 a = i + l /~=1

tiberfiihren. Zuni~ehst bilden diese Automorphismen ersiehtlich eine Gruppe. Ai,u kann auf p(~l+...+i,ym,+~,+,en,+,+...+a,~,-k Weisen gewahlt werden. Die Ordnung dieser Gruppe ist also:

11 1-Iv (~+' ' +~'~'+~''+~+'++~''~'-~

= I1 I b i = 1 k = l

womit unsere Behauptung bewiesen ist. Naeh S~'LOW ist jede Gruppe von Automorphismen yon ~1, deren Ordnung eine Potenz yon p ist, mit einer Untergruppe der eben betraehteten SYLow-Gruppe gleiehbereehtigt.

Es sei ein Automorphismus yon 2 gegeben, dessen Ordnung eifie Po- tenz vonp ist. Er fiihre das Element A ~- yon 2 in A B~ fiber, wobei B eine eigentlieh-reguli~re Matrix rood P = (p",) und X eine beliebige Spalte

7) Auf anderem Wege wird diese 0rdnung von A. RnsvM, Am. Trans. 8 (1907), S. 87, bestimmt.

328 0. Schreier.

mod P bedeutet. Nach dem soeben Bewiesenen k0nnen wir durch ge- eignete Wahl der Basis von ~l erreichen, daft B folgende Gestalt an- nimmt: alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonale sind dureh p teilbar, alle Elemente der Hauptdiagonale selbst z 1 (p). Dann sind in der Matrix (B- -E) r alle Elemente durch p teilbar, also in der Matrix (B--E)~, r alle Elemente dutch p=l teilbar, d.h.: (B--E)m, r ~ 0 (P), wobei 0 die aus lauter Nullen bestehende Matrix bedeutet, f v sei der kleinste Exponent, fiir den ( B - E)~ -~ 0 (_P) fiir alle eigentlich-regularen Matrizes B mod if, deren Ordnung eine Potenz von p ist. Die gr01ite der Zahlen fv, wenn p u n t e r Festhaltung von ,h, ms , . - . , mr die Folge der Primzahlen durchlauft, sei f ~ - f ( r ; ml, m2, -- . , mr). f i s t dann eine Funktion der Zahlen ml, ms, . . . , mr und es ist stets f ~ ml r.

Sa tz 3. J sei ein Automorphismus yon ~I, dessen Ordnung ei~e Potenz yon p ist, und es sei p >_ f ( r ; rex, ms, . . . , mr). Damit pn die Ordnung yon J sei, ist notwendig und hinreichend, daft J jedes Element yon ~[ mit einem Element multipliziere, dessen Ordnung p , nicht i~ber- steigt, daft diese Ordnung. aber mindestens einmal den Wert p" erreiche.

Es genfigt offenbar zu zeigen, daft unter der Voraussetzungp ~ f die beiden Kongruenzen (a) By" ~ E (P) und (b) p , (B-- E) ~ 0 (P) aquivalente Aussagen sind. Nun ist

By" ~ ,,=o (B-- E)" (P).

Da alle hierin auftretenden Binomialkoeffizienten bis auf den ersten durch p" teilbar sind, so ergibt diese Kongruenz unmittelbar, dag (a) aus (b) folgt. Wird umgekehrt (a) vorausgesetzt, so haben wir

f--I / ~,n \ (B- -E) k ~ ~;~( /~__ ) (B--E)" (_f) ( k = 0,1, 2, . . . f - - 2 ) .

r ~ k ~ k

Diese Kongruenzen ergeben der Reihe nach, yon der letzten beginnend:

p a ( B - - E ) 1-~ :--~ 0 (P); p '~(B--E) f-~ __~ 0 (/~); . . .

und schlieglich die Kongruenz (b). S a t z 4. J sei ein Automorphismus der Ord~o~g p" yon 2 und

J~> f ( r ; m~, m2, . . . , mr). Dann ist das Produkt der p~' Elemente, in die ein beliebiges Element dutch 0-, 1-, . . . , (pn __ l )-malige Anwendung vo~# J iiben'geht, d~e pn-te Potenz des Ausgangselements.

Sei niimlich By" ~ E (P) und p > f ; dann ist naeh Satz 3:

p"--1 ~ , (il:) f--i ( ~ ) ' ~ ,~ (B--E)" ~__~ ~;~ ( B - - E ) " ~ p"E (P).

/.:'~0 1"~0 r--~O }' 1

st aber die Behauptung.

Uber die Erweiterung yon Gruppen. II. 329

w 4. Die Kommutatorgruppe einer Gruppe yon Primzahlpotenz ordnung.

~9 sei eine p-Gruppe, ~ ihre Kommutatorgruppe. Es sollen hier einige Bedingungen abgeleitet werden, denen ~ geniigen muff, wenn ~ / ~ gegeben ist. Wir beschr~nken uns dabei zun~chst auf den Fall, daft ~I Abelsch ist. Nach Satz 2 m u f f - in der Bezeichnung yon w 2 - die Matl~x, deren Spalten die F~,j und die Spalten der Matrizes (Bk--E) sind, modp den Rang r haben, also mindestens eine nieht durch p tefl- bare r-zeilige Determinante enthal~en. Die Matlizes Bk k0nnen dabei in der in w 3 angegebenen Normalform angenommen werden. Da die ~l,h) ix, h)s~mtlich durch p teilbar sind, muff also eine der Zahlen

(I) (i) Yi,j ZU p relativ prim seinS), etwa ~il,Jl. Die zweite Zeile unserer Ma- trix muff gleichfalls ein zu p relativ primes Element enthalten, und zwar in einer yon ~,,i, verschiedenen Spalte. Dieses Element kann nun ein

fl(k2'a)--J 2,h) sein oder auch ein ~,~,~), wobei ( i , j ) 4- (i1,/1). Analoges gilt ftir die weiteren Zeilen. Es seien etwa in den einzelnen Zeilen folgende Elemente zu p relativ prim:

(i) (2) JC) ,

�9 . . l a k ~ "~ ~ v ~ ~ i # + ~ , j # + ~ "~

wobei ie ~ e und fiir e ~: a nicht gleichzeitig i e ---- i~, Je = f l ist. Wir nehmen nun an, dal~ p ~>f ist, und wenden Satz 3 und Satz 4 an. Nach Satz 3 ist

pn~, (Bk - - E) = 0 (P)

und nach Satz 4 pnr _ 1

B~ :___ p"' E (P).

Aus Gleiehung (d) yon Satz 1 folgt daher

p,,+nj V~,j ~ 0 (P) .

Soll also r~.~J ~ 0 (p) sein, so muff n~ + nj ~ m v sein; analog muff, wenn p(v,a)_~(~,a) ~ 0(p) sein soll, n k ~ m~ sein. Wir erhalten so

Sa tz .5~ Es sei ~ eine nicht-Abelsche p-Gruppe mi t Abelscher Kommutatorgruppe ~ . Die Invar ian ten van ~I seien p "~'' ~ p " ' ~>.. . ~ p'~', die l nvar ian t en von !~ /91 aber p"' n~ ,~. , p , . . . , p . Ferner sei p ~ f (r ; ml, m2, .. ., mr). D a n n l~iflt sich aus den Zahlen n~ eine r-gliedrige Folge bilden:

s) Hieraus folgt, dafi !D/2 abgesehen yon dem triviaIen Fall ~ [ = E nicht zyklisch sein kann. Vgl. J. W. Young, Am. Journal 15 (1893), S. 132.

3 3 0 0.8ehreier.

n~,-t-nj,, n~,q-n~',, . . . , n~:-t-n~r nk,+,, . . . , m,,~, n ~ + , + % ; + , , . . .

( i e < j e und fi2r O ~- ~ nicht gleichzeitig i e ----- i , und jr ---~j~), so daub

[ + ~' = -L 2, . . . , ~, ,~ + ~, . . . , a, . . . ,

~, ---= ~,-t-1,. . . , ~, , , ~ + 1 , . . . , ,, . . . .

Es ergeben sich hieraus tibrigens auch im Fall p ~ f im allge- meinen Einschrttnkungen flir die my. Sei nitmlich 2g die Untergruppe yon 2, die aus allen Elementen besteht, deren 0rdnung i~ nicht tiber- steigt. Ist m~. die letzte unter den Zahlen m~, die yon g uicht tiber- troffen wird, so ist 2 / 2 g yore Typus {p'*~-g, iv '~-~, . . . , p'~"-g}. Indem man g geeignet wahlt, kann man nun im allgemeinen erreichen, dal~ f ( r ' ; m l - - g , raw--g, . . . , m~,--g) ~ p . ~I o ist aber als charakteristische Untergruppe yon 2 Normaltefler yon !~; daber ist 2/~tg die Kommu- tatorgruppe yon $9/I~g und Satz 5 kann demnach auf die Zahlen m~- -g angewendet werden.

Vollstandig l~t~t sich fiir ungerades p die Frage beantworten, welche zyklischen Gruppen ftir 2 in Frage kommen, wenn !O/2 ge- geben ist:

Sa tz 6. Damit es eine Grugpe ~ gebe, deren Kommutatorgruppe ~t zyklisch van der Ordnung ~ ist (p ~ ungerade Primzahl), wiihrend ~ /~I die vargegebenen Invarianten p,*t, . . . , pn. (s ~ 2; n x ~ . - . _~ns) hat, ist notwendig und hinreichend, daft nx ~ m sei.

Angenommen, es g/tbe eine solche Gruppe mit nx < m. Ihre delinierenden Relationen dtirfen in der Form angenommen werden:

A p" ---- E , B f f ' = A ' , B ( ' IA B ~ = A I+p'p, B- i - lB71BiBj = A 7''j

( i , j = 1, 2 , . . . , s; i < j) .

Nach (a) yon Satz 1 ist ~iio --~ 0 (p,~-~,)9) und daher

Nunmehr ergeben (b) und (d) yon Satz 2 ffir jedes Paar i , j (i <3):

#ipai ~ 0 (p"), ~ P ~ i ~-- Pn'(l + J~P)ri.j (P=),

Sei a~ Pz'~i, ~i /P,B~, / ' i , j - -1 , r~.j, wo die a~, , relativ prim sind. Dann gilt iti-{-t~,~% l ~ m , itj~-t,j% l ~ m , also auch

o) Dies k(innte ftir p = 2 nicht geschlossen werden.

I3ber die Erweitetung yon Gruppen. II. 331

mindestens eine der Ungleiehungen iti + #j + 1 ~" m, ~tj + # i + 1 "" ~ m , etwa die erste. Dann aber ist notwendig h i + vi,j => m, d.h. ~,i,j ~ 1 ; folglieh wiiren alle Kommutatoren der Gruppe Potenzen yon Ap; dies ist ein Widerspruch und die Bedingung des Satzes ist damit als not- wendig erkannt.

Den Beweis daftir, daft die Bedingung auch hinreicht, fiihren wir in zwei Schritten: 1. Wir konstruieren eine p-Gruppe, fiir die s = 2, n, = m, n~ = 1. 2. Wir zeigen, wie man zu j e d e r m e t a b e l s c h e n p - G r u p p e e ine neue k o n s t r u i e r e n kann , in der die K o m m u t a t o r - g r u p p e d i e se lben I n v a r i a n t e n ha t wie in der u r sp r f i ng l i chen , w ~ h r e n d die I n v a r i a n t e n der zugeh t i r i gen F a k t o r g r u p p e du rch i r g e n d w e l c h e m i n d e s t e n s ebenso g ro$e e r s e t z t sind.

1. Eine solche Gruppe ist durch folgende Relationen gegeben:

B ~ ' = E, B2 E , -1 1-v = B~ B~ B~ - - B 2

oder, mit einer fiberttfissigen Erzeugenden geschrieben:

,a - -1 --1 A f ' = E , B~ = E , B ~ = A , B1 B2 B I B 2 = A , B-i-1ABI=A 1-~', B21A B2 --- A.

2. Es sei !~ eine p-Gruppe mit Abelscher Kommutatorgruppe ~I. Die Invarianten yon 2 seien p" ' , p , . . . , p , die yon !8/~I aber

n I ~ 1 ~ p , , . . . , p"'. Die definierenden Relationen yon ~ seien:

- -1 --1 AXA ~ - - A X§ Bi f ' ' ~ A A', B~-~AXBi= A s'x, Bi B~ BiBj -~ A r:''~ ( i , j = 1, 2 , . . . , s; i~-j).

Dann definieren die Relationen

AXAY= AY~+~, --iR'f'+V'=APV'A', B'-IAs --i ~- A'Bj'~, ~n~-lnf-ln! nf__ ~r,. j ~ , j ~ ~ - - ~

( i , j = 1, 2 , . . . , s; i~-j)

eine Gruppe ~', deren Kommutatorgruppe mit der yon !~ fibereinstimmt,

wiihrend die zugehtirige Faktorgruppe die Invarianten p'*'+'q, pn,+,,.,... �9 ..,p'~'+"" hat. (vi ~ 0). Bilden wir noch das direkte Produkt von !~' mit einer Abelschen Gruppe vom Typus {p~'+', . . . , p~'}, so erhalten wit eine Gruppe, die auch ~/ zur Kommutatorgruppe hat; die Invarianten

der Faktorgruppe sind aber jetzt p"'§ p'~+"~, . . . , p"+~', p'"+', . . . , p",. Damit ist Satz 6 vollstitndig bewiesen.

Als unmittelbare Folgerung aus Satz 6 erhalten wir noch: S atz 6a. Ist ~/~.I yore Typus {pn,,.. ", p,,o} (p-~_ ungerade Prim-

m, _ _ , . . > ~ l = zald), ~ yore Typus {pro,, "", P }, nl ~ n~ >~ .... is, ml > m~ >~ ... > mr und Yl die Kommutato~qruppe yon ~, so ist ml--m~. < nl.

332 o. Schreier.

Ist 2 selbst nicht-Abelsch, so sei 23 die Kommutatorgruppe von i~i. Da dann ~I/2~ die Kommutatorgruppe von !~/9.I2 ist, mfissen die Invarianten von 2 / 2 , den in den S~ttzen 5, 6 und 6a angegebenen Bedingungon gentigen.

Es ist aber darauf hinzuweisen, da~ die hier abgeleiteten Be- dingungen, denen die Kommutatorgruppe einer p-Gruppe bei gegebener Faktorgruppe geniigen mu~, mit4.usnahme yon Satz 6 nur n o t w e n d i g , keineswegs aber hinreichend ftir die Existenz der betreffenden Gruppen ist, wie sich an Beispielen leicht zeigen li~fit~~

w 5. Konstitution spezieUer p-Gruppen. Wir wollen nunmehr an Beispielen zeigen, wie sich die im vor-

stehenden bewiesenen Si~tze zur Konstitution von p-Gruppen anwenden lassen, wie sich insbesondere mit ihrer Hilfe die Aufstellung aller Typen nicht-Abelscher Gruppen der 0rdmmg~n p3, p~, p5 gestaltet; der Einfach- heit halber werden dabei die kleinsten Primzahlen, soweit sic eine Sonder- rolle spielen, nicht betrachtet. Es sind dies in den behandelten Beispielen stets nur die Zahlen 2 und 3. Als Einteilungsprinzip dienen uns dabei nicht, wie sonst iiblich, die Typen des Zentrums ~ der Gruppe !~, des Zentrums ~ / ~ 1 von ~/~L usw., sondern, wenn !~, ~g, ~/~, . . . die Reihe tier abgeleiteten Gruppen yon !~ ist, die Typen yon !~/~/, ~1/~[~,---. Es wird sich dabei iibrigens durchaus um Gruppen handeln, fiir die ~ ~ E ist. Der Vorgang ist der folgende. Zun~tchst wird mit Hilfe von Satz 1 und 2 die M6glichkeit einer Gruppe der in Frage stehenden Kategorie untersucht. Erweist sich die Gruppe als m6glich, so werden durch naheliegende einfache Umformungen die durch Satz 1 und 2 noch nieht festgelegten, in den Ai, B~, r~.j auftretenden Konstanten bis zu einem gewissen Grade vorl~tufig normiert. Dann werden auf die all- gemeinste Weise neue Erzeugende A~, - . . , A*, B~', . . . , B*s eingeffihrt, so da~ die vorli~ufige Normierung erhalten bleibt; dabei ergibt sich, in- wiefern die noch tibrigen Konstanten normiert werden k(innen, d.h. zu wievielen abstrakt verschiedenen Gruppen jede der vorli~ufig uormierten Gruppen ftihrt. Bei diesem Vorgang hat man hi~ufig die pn-te Potenz eirres Elements B~:' . . - B~ ~ A t/auszureehnen, wobei p'~ die 0rdnung yon

B~' . . . B:' ?1 in ~ / 2 ist. Es ergibt sieh dabei

( B f ' . . . = ' " x '

vorausgesetzt, dab p gr(ifier als eine jeweils leicht zu bestimmende Zahl ist, Es wird geniigen, die Behauptung fiir s - . 2 zu beweisen, fiir

1,,) Vgl. ~ 6, IX und X.

~ber die Erweiterung yon Gruppen. II. 333

s > 2 ergibt sie sich dann durch vollsti~ndige Induktion. Wir setzen B [ ~ B~ -~ B~2= B~' = A ~. Nun la6t sich (B~ ~ B~ ~ .40) k eindeutig auf

die Form B~' B ~ ~ A ~ bringen. Dann gilt:

d . h . -- (k - - ' gx l~ ~(k- -1)x : l

Daher ist

Nach Voraussetzung ist

(B~ ' ) f__ z E (P) und (B 2) __ E (P ) .

379 Nach Satz 3 ist daher p" (B~ ~ - E) ---- 0 (P) und p" (B2"--Iz) ~---0 (P) (flit hinl_anglich grofles p). Wir entwickeln nun die Matrizes, mit denen U und [" multipliziert erscheinen, nach Potenzen yon (B~'--E) und (B2~--E). Da (fiir hinli~nglich grofles p) alle Koeffizienten in dieser Entwicklung durch f teilbar sind, so haben wir nur die (}lieder 0-ter 0rdnung beizubehalten:

_ f ( f - - 1 ) r ( P ) . 2

Damit ist die Behauptung bewiesen und U* fiir s ~ 2 ausgerechnet.

A.) 2 vom Typus {p}, !B/92 vom Typus {p'*,p'*L...,p"}.

8

Die definierenden Relationen haben die Form:

p~ A p ~ E, B - ( 1 A B i ~ A, B~ -= A"', B T X B } - I B i B j = Ar,.s

( i , j ~ 1, 2 , . . . , s; i < 3 ) .

Satz 1 ergibt fiir die a und y keine Einschr~nkungen, Satz 2 lehrt, daft nicht alle r~,j durch p teilbar sein dtirfen. Sei etwa r ~ 0 ( p ) . Durch

{B2- - )B~ . , } elTeichen wit y1,2----- 1. {BiJ~I~,,B2Y~. ---> Bi} (i = 3,4 , - . - )

bewirkt, dab B~, B~ mit den Bs, B , , . . . vertausehbar werden. Sind die Bs, B4, ..- untereinander noeh nicht vertauschbar, so sei etwa Ys,~ ~ 0 (p). Wie zuvor en'eichen wir, dab Y8.4 ~ 1 und daft Bs, B4 mit /75, Be , . . . vertauschbar werden. Durch Fortsetzung dieses Prozesses ergebe sich

334 O. Schreier.

schliel31ich Y~.2 ~ ~'8.4 . . . . . ~'2t-L2t ~- 1, wi~hrend alle iibrigen r~.j ~--- 0 sind. Die Zahl t i s t dutch die Gruppe eindeutig festgelegt, denn die Zahl der inwr ian ten Elemente ist pS,+~-2t. Sind a~, a2 , - - . , ~2t nicht si~mtlich ~---- 0 (p), so seien etwa a~, az nicht beide ~ 0 (p). Wir bestimm~n dann die Zahlen x~, xz, yz, yz so, dal~ a~x~ -t-a~x~ ~ 1 (p), a~ y, + a~ y, ~ 0 (p), x~ y~ - - x, y~ ~ 0 (p). Durch {B~ ~ B~2 ' ~ B1, B u ' " U ' ~ B 2 } wird dann at = 1, a~ = 0 erreicht, wobei der in den y willkfirliche Faktor so bestimmt werden kann, dag r~,~ = 1 bleibt. Analog verfahren wir mit den fibrigen Paaren B2~-~, B.)~, fiir die a2e-~, a2~ nicht beide ~ 0 (p ) sind. Ist dann etwa as = 1, a~ =- 0, so bewirken wir dutch {B~B4-*B2, B-~Ba- 'B~} , dal~ as ~ 0 wird, wahrend alle tibrigen Konstanten ungeandert bleiben. Durch wieder- holte Anwendung dieses Verfahrens erreichen wir endlich a~ = 0 oder 1, aa . . . . . a2t - - O. Ist 2 t < s , so erreichen wir in analoger, aber einfacherer Weise, daft a2t+~ ~ 0 oder 1, a~t+2 . . . . . aa = 0. Is t u~ = a2t+l = 1, so bewirkt { B I B ~ 4 - . B ~ } , dag a~ = 0 wird. Es ergeben sich daher ftir 2 t-~.s 3 Gruppen, die durch das Schema

il 1 o i o ]

charakterisiert und zu je zweien ersichtlich nicht isomorph sind. Fiir 2 t ~--- s haben wir 2 Gruppen: at = 0,1. Ziehen wir noch die Will- ktirlichkeit von t (t => 1) in Betracht, so ergeben sich insgesamt

( s - - l ) Typen ftir ungerades s, ~ s - - 1 Typen fiir gerades s.

n I n $ B.) ~I vom T y p u s {p,p}, ~ /~ I vom T y p u s {p ,p } (n~ > n~).

Nach dem in w 3 Bewiesenen kOnnen wit die definierenden Re- lationen in der Form annehmen:

.4~ -- E, A~' = E, A1A2 --~ A~AI, Bi lAIB i ~ AIA~', BTXA2Bi = A~,

p.. ,ta(i~) m B - 1 . "', .ym ~,t~. B i ' - - ~ 1 - ~ 2 , B ( 1 , /51/5,, = A 1 A2 . ( i ~ - 1 , 2).

Nach Satz 2 mug y(1)~0(p) sein und B1, B~ diirfen nicht beide ~ 0(p)

sein. Satz 1 ergibt a~ I) ~ a~ ) =- 0 (p). Ist B2~0(p), so erreichen wi t durch

{B~I"Bi -fl~-~ B1}, dab B1 ~ : 0(p) wird. Es sind daher die Fitlle zu unterscheiden: 1. B ~ 0 , B~ ~- 0(p) ; 2. B~ ~ 0, f l ~ 0 ( p ) . Ffir n~ ~-- n_. sind 1. und ..~ gleichbedeutend, fiir n~ "~ 'n._ fiihren die beiden Annahmen dagegen ersichtlich zu verschiedenen Gruppen.

F a l l 1.

a ) ~ 1~ u ~--- 0,

~ ; ~ R~ad Yt ]:~Y~ A ~

Cber die Erweitertmg yon Gruppea. II.

..,t) ~.(:) "~17 (1) Dutch {A~ A~ ~ A1, A2 -* A~} wird bewirkt, daft

~ 1 = 1.

* A x, v, A"" A1 ~ 1 2 ' $

A2* .4 xlY~

= max (nl--n~, 1); x~y~ ~ O(p).

335

Der often gelassene Exponent von At bedeutet ein bestimmtes Polynom in den x, y, u, v, auf das es aber welter nicht ankommt. Dies ist die allgemeinste M0glichkeit, neue Erzeugende so einzuftihren, daft die bisherige Normierung erhalten bleibtt~).

a) nl = nt.

R , f ~ A~2y ~ �9 t ~ 2 ~ ~ A ~ 2 ~I~?2 - * ~ u ~ ( p ) . a2 Yg. ~-- a2

Durch geeignete Wahl der x, y erreichen wir demnach eine yon folgenden Normalformen:

a* 0 0 1 0

a* 1 v 0 0

Dabei bedeutet v einen festen quadratischen Nichtrest modp. b) nl > n~.

~ A .~ 1 XIY~I ~ 1 A~ ix'

2 R * P ~ ~ AalYt+a~Y~ ~ Aa~xtY~ ""2 "*2 " 2

Daher erhalten wir als Normalformen:

Or ~ " ~ X l 2y2 ( ~ ) '

a~ Yl + a~ Y2 ~ a~' ~ Y2 (i~

* 1 0 0 0 a 1

a~' 0 1 v 0

F a 11 2. Hier dtirfen wir n~ > n~ annehmen. wit r a ) ~ - l , f 2 ) = 0 , $ ~ = 1 .

* * - - A~ x'~' A~'" B 1 ----- B~' B~' Av, A1 ,

B ; ~ R p"l-n~yl Y~ -1 B, a v, 4" =

x, v, ~ o (p);

n) Dasselbe gilt yon den Elementen A*, B* in allen folgenden Beispielen.

Wie bei 1. erreichen

336 0. Schreier.

Xl~ 2 --ll~*~O'*' A2 ix' --2~ 2 , ~ Xl ~____ "~ Xl Y22 (P), $ ft

B 2 f , = #,~, ,+. ,y , ---_ ~. ,x,y, * x~ y~ (p) . --2 ""-' , a t Yt + a2 Y2 ~ a2

* 1 ~' 0 0 (gl

* 0 0 1 0 ~2

Insgesamt erhalten wir daher 4 Typen ftir n~ ~ n~ und 8 Typen ffir n~ ~ ns.

w 6. Die Gruppen der 0rdnungen f , p4, f . C) ~ ] i c h t - A b e l s c h e G r u p p e n der O r d n u n g ps.

Es mul~ 21 yore Typus {p}, ~/21 vom Typus {p,p} sein. Die Gruppen fallen daher unter die bei A) betrachteten und wir erhal ten

2 Typen. D) N i a h t - A b e l s c h e G r u p p e n der O r d n u n g p4.

Die nach w 4 noch m0glichen Kategorien sind:

I II HI

!~/~[ p~, p p, p, p p, p

21 p p p, p

I. Die definierenden Relationen dfirfen in der Form angenommen werden :

p~ A p ~ - E , B[~AB~----A ( i ~ 1,2), B~ ~ .4"', B ~ A %,

B1-1 B2 -1 BI B2 z At.

Nach Satz 2 muff ; / ~ 0 (p) sein, Satz 1 gibt keine Bedingung. bewirkt r ~ I.

{A ~'--, A}

lI. subsumiert unter A), ergibt also 3 Typen. HI. subsumiert unter B), ergibt also 4 Typen.

B~ = JBT1 B~ 2 J v, x 1 y~ ~_ 0 (p) ;

2 ~ A",~x,y.. % x 1 --- *xly~ (p) B*P ~ A~, x, .... a 1

B*P = AalY~+%Y~_~ A~..,rly.~, alyl2va2y,,-~- a 2 xlY2 (P).

~ - - ~ 1 I 0 0 ] Normalformen : I ~ ~ - -1 - ~ - 1 .

t3ber die Erweiterung yon Gruppen. H.

E) N i c h t - A b e l s c h e G r u p p e n de r 0 r d n u n g p S .

Nach w 4 sind folgende Kategorien in Betracht zu ziehen:

337

I

~ / 2 f , p

!~Is 1

H

ps, pS

P

1

III

i f , P,P

P

1

IV

P, P, P, P

P

V

p~, P

pl

1

VI

pl, p

i0, P

1

VII

P,P, P

P, P

1

IX

P, P

pt, p

1

VIII

T , P

p , p , p

1

X

P, P

P,P

P

1. wird vollstiindig analog zu D I. behandelt und el~ibt die Gruppen: pt

A ~ =- E , B ~ I A B i -~ A (i = 1, 2), B~ = A "~, B~ = A "~, --1 --1

B1 B~. B I B 2 = A .

al 1 0 0

as 0 1 0

II. subsumiert unter A) und ergibt 2 Typen.

m . ~" = E, B~ -lAB, = A, B~' = a",, g = a%

B ~ . a B f l B i B j --~ A r'.s ( i , j , = 1,2,3; i < 3 ) .

Die Zahlen ri, j diirfen nieht aUe ~ 0 (iv) sein, im iibrigen unterliegen die a und r keinen EinsehrAnkungen. Wir unterscheiden die beiden Fiflle: 1. r~,8 ~--0 (p), 2. r2,8 ~ 0 (4o).

Fall 1. r~,v rl,a sind nicht beide ---- 0 (p). Sei etwa ra,2 ~ 0 (p).

Durch {A r', ' -~ A} wird u = 1, sodann durch {B. B~ -7'. ' -~//8} rx,. ---- 0 erreicht.

B~ = ~ , . B.". Bp a ~

B ; = B f " ~ . a '~,

B~P' B;,

Bffp

A* ~ A xltt2,

Xl y, zs ~ o (p);

A~ xt ~ Arh Xl u%

~__. AatYt+a~th+a*tts_~_ A~xlYJ

= AeqZt + % z , = Aa, Xlvt

* 1 0 0 0 a 1

* 0 0 1 0 a 2

u~ 0 1 0 0

338 0. Schreler.

Fall 2. {A r'.' ~ A} bewirkt r2,8 = 1, sodann {B 1 B ~ 7',' ]~s'"' ~ Bt}:

~1 ,2 = Y1,8 = 0 ,

B t = B~IJ ' A* = A v~zs-ySz2 ,

B'; = Bp Bp, x, (y, zs - - Ys zz) ~ 0 (3)); B:=

B * p ' = A",~, __ A",*(v"+'-u' "),

B~ p = A",v,+",Y,+",~, = Ad;(v,~,-v,'. ),

B*r - - +4",",+",*,+".". = Ao:(v,',-v,",).

* 1 0 0 a 1

a~' 0 1 0

a~' 0 0 0

IV. subsumiert unter A) und ergibt 5 Typen.

V. A ~" = E, B ~ A B , = A ~+~+p ( i - 1, 2), B~L' -= A a', B~ = A ~', B-[ 1 B ~ 1 B t B2 -= At . r ~- 0 (p). Satz 1 ergibt folgende Bedingungen:

~lpa~ =-- 0 (p"),

, 82pa . --- 0 (p ' ) ,

& p a~ - - 0 (pS),

,8, pa~ ---- - - p r (pJ).

Daher ist a~ = a l p , B*. = O, $1az ~ - - r (p). {Ar ~ A} bewirkt r = 1.

(B-_.-(~')~,r B-,,- -~ B A ~ : ~ A} bewirkt sodann ~1 : - - 1 , a 1 ----- 0, t 1 2 1'

az : 1. Also gibt es nur e ine Gruppe dieser Kategorie. VI. subsumiert unter B) und ergibt 8 Typen. VII. Wir unterscheiden die beiden Fttlle: 1. 2 ist im Zentrum

yon ~9 enthalten. 2. 2 geh0rt nicht ganz zum Zentrum yon !~. F a l l 1. Nach Satz 2 enthMt die Matrix (V1,2, rl,8, r-2,8) eine zu p

relativ prime zweizeilige Determinante. Durch Wechsel der Basen yon und !~/?I erreichen wir, daft die Relationen der Gruppe die Form

annehmcn: ~(t) ~(~)

A ~ = E , A~----E, +41A 2--A. ,A1, B i + kBi A k, B i = A 1 A s , - -1 - -1 ---- __--

B 1 B._, B 1B. 2 = AI , B11B-[ 1B 1B s A~,, B~ ~ B ; ~ B 2 B s AI "(~ A2 #'>,

(i = 1 , 2 , 3 ; k = 1,2) .

{B~-rt-+)B2 ~ B2, B~'~ ~ Bs} bewirkt: r (~) = r (2) = 0.

Uber die Erweiternng yon Gruppen. II.

~1+ = ~ . ~ . ~ , . a ~,

B* 2 $

B e

B~ u' B~' A v, A z* = A~"" A z~':.,

B~' ~; ' AII; Xl(Y2zs--ye.9) r 0 (p);

B: p = Ax,A,+x~A,~+x'A.

B;" = A ";''+'i'', B : p ~ A z~AI+~.A*.

339

Fttr die Identiti~t zweier derartigen Gruppen ergibt sich daher als not- wendig und hinreichend: Co o)I/ X 1 Y' (A: X~ XS") =- (A1 A2 As) P �9 _ �9 x~ y~ +2 �9

Ys z.~ xe Ye ze P

Zur Normierang yon A~ und Ae erhalten wir hieraus durch Weglassen der ersten Spalte:

Ist die Determinante I ~ he l ~ 0 (p), so k0nnen wit durch Wahl yon x~ und x~ stets A~ zu 0 maehen, tmd es gentigt daher in diesem Fall, die Spalten ~ , he zu nomieren. Wir betrachten zu diesem Zweek die lineare Transformation

t* ~-- ail) t -~- a(1)

.i')t + . i ~) (P). Je nachdem diese Transformation die Identitat, paraboliseh, hyperbolisch oder elliptisch modp ist, erhalten wir fiir (A* ~ ) folgende Normalformen:

Identit~t: (10 0 1)" 1 1

Parabolisch: (0 1)"

Hyperboli~ch: ( ~ 0 1)" ~ 0 Q

k = 1,2. . , p - - 1 ) 2

1 (1 = 1 , 2 , . . . , . . . . . . .

Dabei bedeutet g eine primitive Kongruenzwurzel rood p und q ist eine

primitiveWurzel yon ~ p ' - l ~ 1 (p) im GALOISSehen Feld der Ordnungp*. 1")

z2) Normalformen ohne Verwendung GALOISsCher Imagin~en geben G. BAGNERA, Ann. di Mat. (3) 1 (1898), S. 137 ft. lind J.-A. de S~aumR, El6ments do la th6orie des groupes abstraits (Paris 1904), 8. 135 if. Der hier eingeschlagene Weg ist dafttr wohl tibersichtlicher und leichter auf die h6heren F~lle zu tlbertragen.

340 O. Schreier.

Ist aber die Determinante [Az As [ dutch p teilbar, so ergeben sieh ffir (A* A*2 A~) mfihelos folgende Normalformen:

0 0 0 0 1 0 1 0 1 0) ; ( 0 0 10), (1 0 0 ) ; ( 0 0 O 0 0 0 ) ' 0 0 0 ) , (100 0 00) ' ( , 0 0 0

Insgesamt ergibt demnaeh der Fall 1 p + 8 Typen von Gruppen der Ordnung ps.

F a l l 2. In /~hnlicher Weise wie bei B) erreichen wir, dal3

B1 -z AlB1 = A1 A2, --1 B1 A2B1 ~ A2,

--1 B2 A1 B2 -~- B 8 "1 A1 B8 -~- AI, --1 B., A2B2 = B8 -1AuB8 = Au.

Satz 1 ergibt dann: a~ 1) ----- a(~ 1) ~ a(81) --= ~'(21,)8 ~ 0 (p). Nach Satz 2 diirfen a) (1) ~'1,2 und ri.a nicht beide 0 sein. Sei etwa ~,]1,) ~ 0 (p). Dureh

(1) {Ar1,'--*A1; Ar2"~A2} erreichen wir: (1) (2) ~,1,~ = 1, Y~,2 = 0, sodann dureh

_70) 70) . (11 (2) {B~ " 'BaAI":oBa}:~ , j .a - - ~'1,8 = 0. Indem wir dann noch /?3 dureh

..(2) eine geeignete Potenz ersetzen, k6nnen wir noch bewirken, dag J~,8 = ~, wo �9 = 0,1. Diese beiden M0gliehkeiten ffihren sieher zu verschie- denen Gruppen; denn for e = 0 ist Bs ein nieht in 2 liegendes in- variantes Element, wRhrend ffir ~ = 1 ein solches nieht vorhanden ist.

* R u~ R y' A v, B2 = --2 --a

B: =

2 Falls , ~--- 1 :x ly2 -~ y2zs (p).

2 * A~1 y2 A 2 ----

X l y s Z a ~ 0 ( p ) .

B ; = = A ,Xiv.

B ; p = A%Yl t%Y.~ = 4% xly~

B ; , ~____ - A~SZ8 .[ INS. 1~2 ~2

2

*

0 0 1 1 1 1 0 0 1

1 0 0

0 0 0

0 0 1

0 0 0 0 0 1 0

0 1 v 1 v 0 0

1 0 0 0 0 0 0

,, befleutet einen festen quadratisehen Nichtrest mod p.)

t~ber die Erweiterung yon Gruppen. II. 341

VIII. Um s~tmtliche Gruppen dieser Kategorie aufzustellen, haben wir zuni~chst die si~mtlichen mit der Gruppe ~ / 2 ein- oder mehrstufig isomorphen Gruppen yon Automorphismen der Gruppe ~[ aufzustellen.

a) Gruppen tier Ordnung p. Ein Automorphismus der Ordnung p la~t, wie aus w 3 folgt, die Elemente mindestens einer Untergruppe tier Ordnungp yon ~/ lest. Je nachdem er noch weitere Elemente fest lal]t oder nicht, kann durch Wahl der Basis yon ~[ die ihm entsprechende Matrix auf eine der Formen gebracht werden:

1 1 , 1 1 .

0 0 0 1

b) Gruppen der 0rdnung p~. Zwei Matrizes

:/'~l 1 0 , Y.~l 1

\xst x~ 1 Y3L Y3_~

sind dann und nur dann vertauschbar, wenn x~ ys~ :--xs,_y~t (p). Ill einer Gruppe der 0rdnung p2 kommen notwendig auch solche Auto- morphismen vor, ffir die x2~, xs~. nicht beide --= 0 (p) sind. Dutch unsere Kongruenz sind dann genau p~ Automorphismen festgelegt. Unter ihnen kommen auch die Automorphismen

(1 0 ! ) (v) o 1

x 0

vor. Dureh Potenzieren erreiehen wir, dai] x~l ~--- 0 oder 1 (p) (lurch Multiplikation mit einem der Automorphismen (v), da~ x.~---~ 0 und endlich, indem wir As durch eine passende Potenz ersetzen, dal] x~ ~--0 oder 1.

Zusammenfassend k6nnen wir also sagen: Alle mit ~ / 2 ein- oder mehrstufig isomorphen Gruppen yon Automorphismen yon 2 sind durch o !/ (1 ~

el 1 , 1 0 e~ ~3 0

gegeben, wobei die. e~ folgende Werte annehmen:

1. ~. 3. 4. 5. 6.

El 0 [ 1 1 1 0 - ~ -

~2 0 0 1 0 1 1

0 0 () 1 1 1

342 0. Schreier.

Von diesen 6 Gruppen sind keine zwei innerhalb der Automorphismen- g~uppe yon YI gleichberechtigt. Zunitchst sind ni~mlich 1., 2, 3. er- sichtlich untereinander und yon 4 , 5 , 6. wesentlich verschieden. Die Verschiedenheit yon 4., 5., 6. untereinander aber ergibt sich folgender- maflen: Alle Automorphismen yon 4. lassen die Gruppe {A,, As} element- weise fest. Jeder einzelne Automorphismus yon 5. laflt zwar eine Unter- gruppe der 0rdnung p* elementweise fest, alle zusammen aber blo~ die Gruppe {Aa}. 6. endlich enth~tlt Automorphismen, die keine Untergruppe der 0rdnung p~ von 2 elementweise festlassen.

Satz 2 lehrt, daft e~ ~--- 1 sein mull und e~, e, nicht zugleich ver- schwindea dtiffen. Daher kommen fiir uns nur noch die Fitlle 3, 4., 6. in Frage.

F a l l 4. Satz 1 ergibt a~ ~) ---- a~ ~) ~ 0 (p). Wit k6nnen annehmen:

Bz -z Az Bz = A~ A2, --1 Bz A.~ B~ = A~

B~ -~ As B1 = .48

Bz -~ B~ -~ B~ B~ ~)~') a r(') 1 ~/'~

B2 -1 A1 B2 : AI As, B2 -1 A2 B2 ----~ A2,

B2 -zAs B2 = A~, a(~) a(~)

r (1) ~ o (p).

. A 7(~) ~ .4~ '(') As} bewirkt, AC (''-* A,, - *

r(,~ = fs) - - 0.

(i = 1, 2),

dal] r a ) = 1,

A 1. = ._~4 ~'"'-':y' A ~ A ; A.*) ~ A'rl(xlY'2--x2Yz) /'~Jc2(xlY~'--'r~'YO

. ~-2 " - a �9 ;

�9 ~ A Y d a q Y ~ - - x 2 Y O 4y:ja'dJ..-.r:yO A3 "'2 "'3 xly~--x2yl ~ 0 (p);

. -*.'. , ~a ~s)• a (a)

B"*P, "-2 ~:)• (~) "43" ~(s)~_o, #s).

Zur Normienmg der "k-('~ erhalten wit demnach die Bedingung:

(Xl~2__3t.2~l).(J:[ y l ) [ 0 ~ (2) [g*(2~ .--/a~2)(02 1 (X 1 yl) (~).

Analog zu VII. Fall 1 erhalten wir, je nach dem Charakter der Trans- formation

a~ 2) t (2) t* - - + ~'' (p)

- . ? ' t + . ~ '

~ber die Erweiterung yon Gruppen. II.

folgende Normalformen ftir die Matrix (a~r

Identitat:

(1o I); (~o ;), Parabolisch:

(i ----- 2, 3; k -~ 1, 2):

343

u) vgl. ~).

B~ = ~ . ~ . a ~,

B; = B~'.A ~, $

A8 ._$

~ v , ~ o (~);

* $

Bg p - - - A",u, ---- l", "' u,

BI -I AI B1 ----- A1 A,, B ; 1 Ax B~ = AI,

B~ -1 A~ B1 = Au/h, B ; x As B, = -42,

B~ -I As BI = As, B~ -1Aa B , ---- As,

-;- ' B; ~ B~ B, = .4~" a~" a.,"

~, g und O ~s) haben dieselbe Bedeutung wie in VII. Fall 4 fiihrt demnach zu p + 7 Typen yon Gruppen der Ordnung p6. F a l l 3. Nach Satz 1 muff a~) ---- a~ x) ~ a(~ 2) ~ %a) ~ 0 (p) sein.

(r (" ~ o (p)),

{A~')A2 ~', A~"--*A. v A~'A~"~A~., As/"-,As} bewirkt, daft r a ) : 1, r(2) _-- ~,(8)~ 0.

, ~ a~ = a~',', ..q" Ai",

a; = A ? , a ; ,

..erbol~oh ~ 0) ~,O) (k=i,~, , [~ ] ) , ' ~ (.=1,~, ,["+~]),

~ ~ (~ ~/(~"O" J " t (~ ~/-~

(~ ~t (~'+/ ~21,/(~ ~t -~ (~=~ �9 [~,+--~1 t

~ '"~ (00 ~) (~ 00) (~ ~t (00 ~

344 O. Schreier.

Wir erhalten daher

5 Typen ftir p = 1 (3): o I . : l l l g ,. o o-' (g ist eine Primitivwurzel modp.)

al 0 1 0 3 Typen ftir p = 2 (3): a~' 1 10 0

F a l l 6. Nach Satz 1 mul3 a~ I) ~ a~ ') ~ q~2) ~ a~) __ 0 (p) sein.

BFX A1B1 = A1A~, B~I A1B2 = A l A s ,

BF 1 A~. B1 = Au .48, B~ 1 A.2 B2 = A2,

B ~ 1 A3 B1 = A3, B~ 1 A ~ B.~ ---= As,

- -1 - -1 y(1) y(~) ),(a) B1 B2 BI B2 = A1 A., A~

B~I=A,, ~ = ,4,-.

( /1 ,~ o (p)),

Wie bei Fall 3 elreichen wir, daii ~(1) = 1, F ) = fs) = 0.

B* = u, A V, 2 B2

xly2 ~- 0 (p),

A 1 = A~' y-'A 2 'As",

= A x,.~2 A~", A* 2 2 "*'2

8 * A x , Y._, Aa = -~a �9

8 2 2 xly2 -~ xlyu (p), d. h. y2 = : X l (p) .

~2 'TI B ; ' = .4~=, = A~ .

Wir erhalten daher:

8 Typen fiirp ~ 1 (12): [ ~ - ] 0 0 0

1 g g~

g g2 gS

0 0 0 ~ I 0

6 Typen fiirp ~ 5 (12):

Ij r g g~

0 0

Ober die Erweiterung yon Oruppen. H.

6 Typen f f i r p ~ 7 (12): a* 0 0 0 1 - - 1 0

7 a~ 1 g gS 0 0 0

345

i 4 Typen f i l r p ~ 11 (12): I

al 0 1 - -1 0 .

a2 1 0 0 0

(g ist eine Primitivwurzel rood p.)

IX. Die definierenden Relationen die Form haben:

pz A1 = E, A~ = E,

einer solchen Gruppe mS, ten

A1 A2 ----- A, A1, ,~a(l, I)., a,~t, l)

B~ -1AtB, = Ai T~'' ~'A~' ,

f,.,,p B-taA.2Bx = A f ~''~)v A.,, B-21A~Bz == AI '

B-[ -1B-21BI B2 = A1 A2 ,

B~ = A~ ~ A ~ ' , B~ = A7 ~ A72" .

air, l) B~ 1.41 B2 - - A1 +f'' ''p .4~' ,

A%

Nach Satz 2 miiflte r(n~_O(p) sein und #2,~), ~2,~) dfirften nicht beide durch p teilbar sein. Satz 1 ergibt folgende Bedingungen:

~(12, I, f~il) ~ - 0 (p) , ~2 2' 1' 0r ~ 0 (p) ,

~2(1'1) j) g(1)l "~ ~21' 2)~0 0~12) ~ P r(l) (~'2) ' ~(1 I 'I)p 0~(1)2 + ~(1' 2)~/~12)1 ~ --~O ~t(1) (P2) '

~ , 1 ' - I 1) _-- o @), .la(~'~'"(1)~ --= o (v).

Aus der Einschr&nkung ffir die /~2.1) folgt a(11~ := a~ 1) ~ - O ( p ) , daher welter

~i', '-) . i , ) ~ o (p), ~1,:, . i , , _ = o ~p),

~i,~, "7' ~- Y(" (p), ~i ''~' "~'~ --- - r (1)(P)"

Diese Kongruenzen stehen aber mit r(t)@ 0(p) im Widerspruch. Es gibt daher keine Gruppe dieser Art.

X. Auch eine Gruppe von dieser Kategorie ist unm0glich. Denn die bciden nicht-Abeischen Gruppen der 0rdnung p~ haben zyklische Zentren und k0nnen daher nieht Kommutator-Gruppen yon p-Gruppen

346 O. Schreier.

seinl'). Aber auch ohne Berufung auf diesen BURNSIDESChen Satz litl~t sich die UnmOglichkeit einer solchen Gmppe leicht einsehen, iudem man die Automorphismengruppe der beiden Gruppen C) bestimmt und dann den eingangs la) erw~thnten Erweiterungssatz anwendet.

Als Gesamtzahl der Gruppen yon tier Ordnung pS(p ~ 3) - - die 7 Abelschen Gruppen mitgerechnet - - ergibt sich demnach in Uberein- stimmung mit G. BAGNERA l , ) :

2 p + 6 5 , 2p-}-67, 2p-]-69, 2 p + 7 1 ,

je nachdem p ----- 11, 5, 7, 1 (12).

I~) W. BURNS:D]r Proc. Lond. Math. 8oc. (2), 11 (1913), S. 241. 16) Vgl. S. 322. ~*) L ~ 0 12).