I N o e h d r u c k I ZEITSCHRIF" FUR ANGEWANDTE MATHEMATIK UND MECHANIK

In halt : Seite

H;iuptr+ufsiitee. R. v. Yises: Ueberdie gegen-

I,. Pra'ndtl: Bemerknnaen Uber hie Entstehun~ wiirtige Krke der Mechanik. . . . . . 425

der Turbulenz . . .-. . . . . . . . 431 1.. Sohiller: Experimentello Untersuhungen

zmn Twbnlenaproblem . . . . . . . . 456 V. Mononobei Die ligenschwinffmgen ein- .

gespannter SMbe von verfinderl chem Quer- schnitt . . 444

H. Henck . 'Eip&he'rhkt' uha' A'chieibiidung ;in geacdssenen Kreisringen . . . . , . . 451

G. Doetsah: Ueber die graphische InGation YOU Differentialgleichungen erster Ordnung 464

W. Jung: Ueber Umsteuerungen . . m

Beits Z u sam m e n f 88 send e Be r i eh t 8. L. F6 p p 1 :

Neuere Fortschritb der techbischen a s t i - zitststheorb . . . . . . . . 466

Kurze Ausnf i 8. Fe&gk&l~hie . . . . . . 481 B 11 e h 13 e s p r e c% u n gem. E s B e 1 b n r n: 9hrbnoh

der Mathematik - Bach: ElaetkitPLt und ,

Fefitirkeit . . . . . . .. . . . . . . . 485 Kleine Mitteiluugen. Hotopp: hawenan-

ziehtmgiu einem Kreisringk6rper - Zimmer- mann: Tardl zur Bcstimmnn der Mwneht- Griidtwerts eines Balkena - Gerkmeister: Ermittlang der tansibelsten Geraden einer fehlyzeigenden &n!streihe . . . . .. . . . 487

Nachrichten . . . . . . . . . . . . . . 4BI

HAUPTAUFS ATZE

Uber die gegenwiiriige Krise der Mechanik. V o n R. v. MIS= in BerUn.!\

6 Bind erst wenige Jahmehnte her, ds galt die Mechanik der siohtbaren K6rper, die Mechsnik der wlrklich heohaqhtbaren Bewegongen und Krilfte, als der vollendetste, E jedentalls 01s ein vollkommen siohergestellter Teil unserea physikalieohefi Weltbflda.

So stark war das Vertrauen gu dem festgefugten Autbau der klassisohen Mechanik, da6 man einen beliebigen physikalisohen Vorgaog erst dann aln visllig geklilrt ansehen wollie, wenn er a& einen mechanisohen suriickgefiihrt war. Die Philosophen, die bekanntlioh gerne die bgebnisse einer Wiseensahaft, sobald sie siohergesteltt eraahetnen, zu iibrr- treiben pflegen,+taten auoh hier ein tibrigee, und SO setzte Wilhelm *undt an die Spitse seiner Axiome der Phyeik den Ausspruoh: Alle Ursaohen in der Natur mind Be- wepgsureaohen. Garade dieser enge Zusammenhang zwieohea den GrundbegriBen der Meohanik tmd der aestaltnng unseres UreaohbegriRes beriihrt sich mit dem, was urn bier besohllftigen wird.

1. Me Mechanik der Relativifgltrtbeorie. Den ersten ernstbatten Amto3 er- ielt die Mechanik, die man fillsohlich die Newtonnche nennt - dertn ste stutzt sioh a d rei unabhbgige Urundpfeiler, die Newtonache Mechanik freier Punkte, den Euler - agrangesahen Systembegriff and den Cauc hyschen Begriff der inneren Spanpung -, en ersten ,Anstofi erhielt die khsisohe-Mechaaik vor &ws swei Jahrzehnten von der lektrodynamik her, als man doh genistigt sah, Massen anzunehmen, deren GrBle von er Oeechwindigkeit sbhing. Bekanntlioh hat die weitere Verfolgurlg dieses Problem-

kreises naoh einigen Umwegen rur speziellen und danq zur allgemeinen R e 1 at iv i t P t a - theorie gefiihrt. Als doh vor rd. zehn Jahren die Omndgedanken der speriellen ]itelk tivftsllatheorie allmlhlich in weiteren Kreisen durcheetrton, begann man such vlel von

*) Vortrag, gehalten auf der Jahreuverepmmlung . der deutsalien ~rthematit~r-Vereiiiigung In Jena nm 20. September 1921.

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der nNenen Mechaniku zn reden, die dnrch jene Theorie bedingt mi. Und wenn ich hente einen Vortrag uber die gegenwtirtige Krise der Mechanik angekiindigt habe, bin ich vielleicht auch dem Midvept Phdnis auagesgtzt, als wollte icb van der Relatioitllts- Mechanik sprechen. Dem let aber nicht so. Von drm Standpnnkt, den ich hier mr Qeltong bringen mochte und der den nfimittelbaren Zusammenhang rein mecha- n i s c b e r Beobachtungen ml t best immten grnnds t i tz l ichen F r a g e n betrifft, von diesem Standpunkt aus erscheint die Mechanik der Relacivitlttstheorie durchaus nloht als revolutionfir; viel eher mochte ich sie a19 eine niiberklassieche Mechanik. bezeichnen, denn als eine fortsohrittlicbe Entwicklung der alten Mechanik. Wie das gemeint ist, sol1 gidch etwas ausfiihrlicher erlfiutert werden, da dies anch die paseendste Ueberleitnng eum eigentlichen Gegenstand meines Vortrages bildet.

Ueberlegen wir UDE einmal, welchen Eigenschaften die klassische Mechanik ibre anSerordentlich starke Stellung innerhalb der Qesamlheit der physikalischen Wissen- rrbaften verdankt, so miissen wir 81 kennen, dafl die nrspriinglichen Anstitze sich nach rwei rntgrgengesehten Rlchtungen entwickelt haben und dafl demnaoh auch ewei ganz oerschiedene beiten an jhnen gewertet werden. Der P h y s i k e r hat eine Mechanik aus- pbildet, w ie sie allenthslben als erstes Kapitel in jedem Lehrgaag der thearetisohen Pbyeik auftritt, und die ich fiir den Augenblick etwa ale die *gebnndene(c Mechanik be- reichnen mocbte. Sie erblickt das Entscheidende und Wertvolle in den Anfst ellungen vgn Newton, E n l e r - L a g r a n g e nnd Cauchy darin, daS dnrch sie znm erstenmal die Zueammenfaesung e i n e s groSen E r s c h s i n u n g s g e b i e t e s in eine enge Gruppe von Differentialgleichungen oder noch besser die Unterordnung unter eln einziges V a- riarionsprineip geleistet wird, ein Vorgang, der dann zum Muster fur die Anebildnng der ubrigeri Teile der theoretischen Physik gefuhrt hat. Aber jene alten Aufstellnngen be- sitren noch einen ganz andersartigen Vorteil und man wird den &.rhi6ltnissen dnrchaus nicht gerecht, wenn man melnt, daB nur ein methodischer Untersohied beetiinde swischen der eben grkennzeichneten vgebundenena Mechanik nnd der andern, die ich jetst die *freie* nennen will. Fiir sie ist der hanptsEchlicbste Wert der klaasischen An- ellfee darin gelegeeo, da6 efe einen sehr lockeren, losen Rahmen bilden, bei des8en AosfMlong nooh sehr viel Freiheit bleibt: Man kann fiir das, waq Newton die vis impressa, die eingrprlgte Braft, nennt, fiir das, was in der Euler-Lagrangeschen Meohan& die Konsritution des mechanischen Systems ansmacht, endlich f ir die von Cauchy einge fiihrte SpannnngPdyade in weitestem Umfang wil lki i r l iche Funkt ionen einftlhren, um sich der groflen Mannigfaltigkrit der natiirlichen Ersoheinnngen ansupassen, nnd vermag damit inhaltlioh weit uber die ngebundenecc Mechanik hinausaugreifen. Um nur ein ltonkretes Beispiel zii nennen: Wenn man in einem System starrer Kiirper die gewohn- liohe Beriihrurgsreibnng mit den in der techniscben Mechanik tiblichen Anstltzen als wirksam ansiaht, so bleibt man noch im Rahmen der Newtonsohen Meohanik, aber weder die sog. Bewegnngsglelchnngen zweiter Art, noch daa Hamiltonsohe Prinzip liefern eine Losung. In auderen Ftillen, wenn man etwa die bleibenden Formtlnderungen einee riemenartigen Bandee oder dergleichen untersuchen will, spielen die schonen Va- riation~prinztps der agebnndenen Mechrnik die BoUe leer laufender RUder einer Ma- schine: sie drehen sich mit, wenn man sie nlcht auaschaltet, aber sie ftjrdern das Ziet der Untersochung nicht. Zch will also zusammmfassen: Die Oesamtheit der wirklioh beobachtbaren Bewegangs- und Kriifre Erschejnungen wird bei weitem nich t durch d i e Mechanik e r f a S t , die der Phyeiker als Einleitungskapitel der theoretisohen Phwik eu bgbandeln pflegt, aber der ursprtlngliche, durch Newton, E u l e r - L a g r a n g e mi(' Canchy geschnEene Rahmen i9t ein 80 weiter und dehnbarer, da0 man mit Recht biahc annahm, er wiirde .auareichen, urn eio Schema fiir die Erkltlrung aller beobachtbare:. meatmnischer Vorghge abzugehen. - Dieser i n h a l t l i c h e Unterschied zwischen de.1 beiden Ricbtungen Uvr rationellen Nechanik fst natiirlich nicht ganz unbekannt, aber ex wird nicht immer geniigend deutlich hervorgehoben.

Betracbten wir nuu von diesem Standpunkt aun die aNeue Mechanik. der Relaii- vitl[tstheorh, so kaon kein Zweifel bestehen, dafi sie noch agebundenera is$, als die bib herige Mucbenik der thenretisohen Phyaik. Solange nur die spezielle Relativit&tstheorie in Betracht kam. llefl sich noch, wie Minkowski g08efgt hat, die rneuea Mechanik gani auf die Form der alten bringen; man mu01e nor die Definitionen und Adome etwas ver- allgrmeinern. QewiS hat Minkowaki, was ja von seinem Standpunkt alls nahe lag, den Haupt\ orang der relativlstischen Meohanik darin ge€unden, daS ihre Herlettnng nooh ein- heitlicher geeohehern kann, indem anch die Kontinuittltegleichung aus dem verallgemeinerten

Hett B v . Mines, fiber die gegenw&rtige . - - Krise der Mechanik 421 ~-

Energiegesetz folgt ; aber es hat, denke ich, keine grundsiitzlichen Schwierigkeiten, die Minkowskische Mechanik in der Richtung auszubauen, wie ich sie friiher ale die der Sfreiena Mecbanik gekennzeichnet habe. Qanz anders steht es, wenn wir von der allge- meinen Relativittltstheorie ansgehen. Diese ist von vornherein auf die Schwerefelder zn- geschnitten, und wenn man anttlnglich das sog. Aequivalenzprinzip anch beliebigen Eriiften gegeniiber anssprach , so ist es heute doch zumindest sehr zweifelhaft, ob d i e s e nene Mechanik dieselbe Allgemeinheit von Kraftgeeetzen znll6t wie die alte. Es scheint, d.a5 die Mechanik der Relativitiitstheorie viel absoluter oder aabsolatistischer* ist als die gewohnliche, in unserer Ausdrucksweise Sgebundenerc ; sie ist weit weniger an- passnngsfghig, und dies mag in gewissem theoretischen Sinn auch eine Stiirke sein. Die ganze Frage iat natiiclich noch nicht im geringsten untersucht, hat man sich doch kanm eingehender damit beschMtigt, mlchen Einschriinkungen die zullssigen Kraftgesetre innerhalb der klassischen Mechanik unterworfen siud. Vielleicht liegt aber hier ein Teil der Griinde, die E r n s t Mach in seiner hinterlassenen DOpqika zu so entscbiedener Ab- lehnung der Relativitgtstheorie, auch vom Standpunkt der Erfahrung aus, veranlai3t haben. - Freilich darf man nie vergessen, d a l die Eins te insche Theorie die Anpassung der Mecbanik an das iilteste und bedentendste Erscheinungegebiet, die Bewegnng der Himmele- korper, erst vollendet hat, und alles, was ich hier gesagt habe, soll durchsua kein Urteil, noch weniger eine Aburteiiung der BelativitLtstheorie sein, sondern nar ihr Verhainis zu der Frage kennzeichnen, mit der ich mioh eigentlich beschtlftigen will.

2. EntwickIun& der Hauptproblems. Diese Frage, in deren negativer Besnt wortung ich das Kritische in dem heutigen Zustande der Mechanik erblicke, lautet, auf die kiirzeste Form gebracht, so: Konnen wir noch annehmen, da6 alle Bewegunga- nnd Glleichgewiohts-Erscheinungen, die wir an sichtbaren Korpern beobachten, s l oh i n dem Rahmen des N e w t o n s a h e n u n d der d a r a n a n k n i i p f e n d e n Anstltze e rk l t l r en l a s s e n ? Mit anderen Worten: LMt sich jede Bewegnng eines beliebig abgegrenzlen Massenteils in ihrem zeitllchen Ablanf dadurch eindeutig bestimmen, daS man den An- fangsenstand gibt und irgendwelche graft- oder Spannungsgesetze als wirksam ansiebt? Vor wenigen Jahren noch hiitte man kaum gezogert, die Frage mit einem glatten SJau zu beantworten. Auch heute sind wir nicht so weit, sie entschieden verneinen EU konnen, noch viel weniger konnen wir in allen Einzelheiten sehen, was zu den alten Begriffs- bildungen neu hinzusutreten hat. Allein ich will hier dooh zu zeigen versuchen, d d der Tatsachenbestand, den wir heute besitsen, es als in hohem Malle u n w a h r e c h e i n - l i c h erkennen I#&, d a l jenes Ziel der klassischen Mechanik je erreicht werden konnte, und daB ganz bestimmte andere, iibrigens nicht mehr ungewohnte Ueberlegungen den starren Kausalaufbau der klassischen Theorie abzdosen oder zu ergllnzen be- rnfen sind.

Das nmfassendste und gelgufigste Erscheinnngsgebiet, das man mit den Difieren- tialgleichungen der Mechanik bisher nicht in Emklang zu bringen vermocht hat, stellt die B e w e g n n g d e r F l i i s s i g k e i t e n in zahllosen, der unmittelbaren Beobachtung zn- gtinglichen Fallen dar. Wenn wir Wasser dnrch ein zylindriaches ltohr gleichiormig flie0en lassen, 80 miissen wir dabei, je nach den Abmessungen, zehn-, hundert- oder tausendmal mehr Druck adwenden, als dem Poiseui l leschen Oesetz entspricht, daa eine nnmittelbare Folgerung der Theorie etlher Fliissigkeiten ist. Man we10 schon seit P o n c e l e t und S a i n t - V e n a n t , da6 diese Unstimmigkeit daher ruhrt, dafi die Bewegmg des Wassers gar keine gleichformige iut,. sondern sich zahllose kleine, unregelmtlf3ige Pulsationen iiber eine verhtlitnismafiig ruhige Orundbewegung lagem. Die meehanischrn Di~erentialgleiohungen konnen aber ihrem ursprtinglichen Sinn nach nur fur die wirk- lichen Bewegnngen aller Eineelteilchen gelten und besagen nichts iiber die S c h e i n werte von Druok und Qeschwindigkeit, die durch eine unbeabsichtigte Mittelwertbildung nach Ort nnd Zeit zustande kommen. Vom praktischen Standpunkt aus lag es nahe, zu nnter- suchen, ob sich nicht unmittelbar Gesetze fur die Qrundbewegung aiiffinden lassen. Dier hat zuerst B o u a s i n e s q onternommen, indem er ein System von Differentialgleichungen gab, das sioh von dem klassischen fur aghe Fliissigkeiten d d u r c h unterschisd, da6 an Stelle des konstanten Reibnngskoeffizienten ein passend veriinderlicher DTurbulenz koefflziente trat. Die Integrale dieser Qleichungen sollten Druck und Oeschwinoigk4t der Qmndbewegung darstellen, doch sind sie, der mathematisohen Sob wierigkpiten wrgeo, kaum anch nur in e i n e m entscheidenden Fall aufgefunden worden. Eine weit einfaahere

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Thaorie babe ioh im Jahre 1908 entwickeltl) und glanbe, dafl sie duroh alle bisherigen Erfahrungen nur bbstllttgt worden ist. I b r 5randgedanlre iat der: Die Gesohwindlgkeits- Verteilung der Grundbewegnng eines turbulenten Znstandes geniigt dem Difterential- gleichungssystem, das man aus dem Enlersohen Ansate fib ideale Fliibsigkeiten whglt, Venn man darans den Druck eliminiert (nnd das man das Helmholtzsohe nennen kann, d s 0s iqhaltlich mit den He 1 mhol t z sohen Wirbelsittzen iibereinstimmt). DaB dieses Gleichnngstystem nicht eindentig ist und d d fiir die Druukverteilnng nooh weitere An- nrbmen erforderlich sind, gibt nnr die willkommene Gldegenheit zur Anpaasung der Theorie an die Beobaohtungen. Ich moohte von neueren Ergebnissen besondere die mit der Beobachtang so gut fibereinstimmende Lehre vom Tragflliohenauftrieb und die von der Wirbelbildung hinter einem in eine Str6mmg eingetauehren Kgrper 81s BestllMgungen meiner Auffassung in Anspruch nehmen.

Aber wie dem anch sei, ob die Boussinesqsohe Theorie oder meine - eioe dritte ist bisber nicht bekannt geworden - die Erscheinmgen besser wiedergibt, rnit der eigentlicben Meohanik im klsssischen Sinne hat das nichts za tun. Denn diere erhebt den Anspruch, gerade die vielfgltig verwirrte Bewegung der E i n e e l t e i lohen erkl%ren, also vqr allem in ihrem zeitlicben Ablaut daretellen zn kiinnen; der Verlau! der verhlilt- niamll6ig rnhigen Qrundbewegung miif3te sich daneben von selbst, jedenfalls ohne weitere Annahmen, wie sie die vorgenannten Theorien brauchen, ergeben. Er ist bekannt, in weleher Weise sioh hier, da man ja in erster Linie station8re oder quasi stationitre Zu- s m d e nnt ersuohen will, das urspriingliche Anfangswertproblem der Integration in ein Rmdwertproblem verwandelt, dessen mathematisohe Behandlung llni?erst schwierig ist, desren Elledtgnng noch in weiter Ferze zn liegen scheint. . . . Zwei Znghge hot man ennitahst zu babnen versnoht. Lord Kelv in , dann Lord R a y l e i g h l nnd znletzt Som- m er fe ld haben die Methode der kleinen Schwingungen berangezogen, das Ergebnis war, wie man weifl, ein negatives. Uod P r a n d t l meinte, wenigstens i n dem Randgebiet der turbulenten Bewegung in der NElhe der begrenzenden festen Ksrper, der sog. nC;renr- sohiohte, in der die Cfeschwindigkeit der Grundbewegung fast unvermittelt aut null her- abfgillt, die VerbHltniese mit den klsssirohen DifterentialClleiohun~en der zihen Fliirsigkeit beherrsohen zn kiinnen; aber auoh hier zeigte doh, dati man quantitative Uabereinstim- mnng nioht erhEUt, ohne zn Annahmen zu greifen, wie sie das Wesen der beiden ange- falbrten, ph%nomemologisoben Theorien ausmaohan. Es steht heate 80, nnd die nooh nicht obgerchlossenen Arbeiten 0 seens diiiften daran kanm etwas gindarn: die kleinen, rnit treiem Aage beobaohtbaren, auflerordentlioh wechselvollen, unregelmE6ig schwankenden, fast zitternden Bewegongen der Elnrelbilchen einer im ganeen rnhig stsmenden Fliissig. keit en te iehen sioh der Verfolgnng u n d D a r s t e l l n n g i m S i n n e d e r k lass i sohen Meohanik. Sie weisen gebieterisch hin auf eine ganz andere, in den leteten Jahrrehnten auf vielen Qebleten der Physik immer mebr zur Gteltnng kommende Betraohtungsweise: anf die sog. phyaikalisobe oder, wie wir hier sagen wollen. die meohanisohe Stat is l ik .

Ioh mu6, ehe ich zu einer genaneren Umgrenznng dieses Begriffes komme, kurz einen Pnnkt berahren, der d o h selbst lange Zeit gehindert hat, die allgemeine Beden- tang der hier vorliegendeu Verhllltnisse zu erkennen. Es sieht so ans, a l e wiirde es sich bei der eben besohriebenen Ersoheinung der Turbulenz um einen ganz vereinzelt da- ateheaden Fall innerhalb oder im Gegensstz sm der ganzen iibrigen Mechanik handeln. Man denkt qnwfllktirlich an die vortreffliohe Uebereinstimmnng der E l s s t iz i t i i ts theorie mit dem wirklloben Verhalten der meisten festen Kijrper. UnB gewii? sind an den Lei- stungen dieser Theorie die Forderungen erwaohsen, die man an die Lehre von den Fliissigkeiten stellt, ohne sie dort befriedigt zu finden. Aber, wenn man n&her znsieht, erkennt man, dal3 die Dinge hier gar nicht so sehr andere liegen. Desn die wirkfiohen Xlirper verhalten aioh dooh nur in gewissen Cfrenzen elastieoh, bis zu begtimmten, ibnen eigenttimliohen Hhhstspannungen - darin liegt eine, wenn auoh unvollkommene Ana- logie an jener vielgesuohten, noch wenig aufgeklgrten kritischen Grenee, bei der die laminare Fiiissigkeitsbewegung in die turbulente amaohllgt. Das wssentliche aber soheint mir dies m sein: 1st die sog. Elastizittirsgrenze beim featen K6rper iiberschritten, tritt der sog. FlieBznstand ein, den wir mit eioem von S a i n t - V e n a n t begriindeten Qlei- ohmgsansatz nooh einigermalen zn beherrsohen glauben, da zeigt sioh dooh dem Beob-

I) Verg. meinen Vortrag auf der ~ n t u r f o r u c h e r r e r s a m ~ l ~ ~ in KUlii 1 9 O S , duhresber. d. deuibclr. Msthem Ver. 17, I Q l U , 8. 519--526, sowie Zeftqchr. t. d, P ~ S . Torbinenweeen 1909; ferner Elernente der t e c h EyQremechenik, I, LeipEig 1914, S. 29-35.

Heft 6 v. Mibes, uber die gegenwartige Kriae der Meohanik 499

aohter, dafl -innerbalb der zahllosen, endlioh ausgedehnten und unter dern Mikroskop deutlioh erkennbaren Krisbllen oder Kristalliten des Klirpers Lagen- und Biuhtungs- Cnderungen vor &oh gehen, die nioht a n d e r s als s ta t ia t i soh zu erfassen eind. Die S a i n t - V en a n t sohe Plastizitlltstheorie spielt also hier eigentlioh nnr die Bolle der beiden friiher genannten phtlnomenologisohen4 Theorien fiir die Qrundbewegopg einer turbulenten Strlimung. Und diese Kdstallite eind nioht etwa hypothetisohe Atoms oder MolekHle oder gar nur die Bausteine von solchen, wie die moderoe Physik ale germ und erfolgreioh handhabt, sondern durohaus siohtbare Klirper mit dorohkegs endliohen, betimnibaren Massen. Kein Mensch denkt daran, drfl sich die Bewegungen dieser Kristalle beim FlieBen des festan K6rpers eindeutig nach den Qpetzen der Meohanik, etwa aus Rand- bedingnngen und Anfangsznetand bestimmen laseen. Und was ist 6s echlieSlich anderes mit der vieldurchforschtgn, seit bald hundert Jahren bekannten Bro wnsohen Bewegang? Wir haben uns lllnget damit abgdnnden, bei d i e m offenkundig meobanisohen Ermhei- nung die Forderung des eindeutig kausal bestlmmten &sohehens !allen en Iass6n nnd uns mit einer Theorie zufriedeng6geben, bei der die Qesetze der klaseisoben Meohanik zwar nioht vlillig ausgerohaltet, aber dooh rm einer sehr besoheidenen Xolle von be- aohrt4nkter Tragweite verurteilt ersoheinen. In der Tat st& ea also so, dafl nicht mehr die Rage, ob ubwrhanpt statistische Betraohtungsweieen z n ~ Erklllrnng grobeinnfioh wahr- cehmbarer Bewegungen heranznziehen seien, erartrrt werden mu%, sondern das weit sohwierigere Probletn erliffnet siob. Wo iet d h Grenze zwisohen den Qeltungsbereiohen der beiden Anrohauungeweiaen und in welohem Verhtlltnis stehen die Voransaetznogsm und die Ableitungen der meohanisohen Statistik zu den GtrundlaRen, S&taen mii Ergeb- nhsen der Newt on -E nl e r -L a g r ange - Can o h y sohen Meohanik?

3. Die mechanische Shdlrfik. Es ist aut3erordentlich sohwierig, tlber dfesen Punkt etwas Hinreiohendes und zugleich Versttlndliohes zu sagen. Denn hider ist die Entnioklung der Wahrsoheinliahgeitstheorie in den letzten Jahrzehnten sehr vernaoh- ltissigt oder zumindest auf hliohst abwegige Bahnen gelenkt worden. Man i a t , teilweise nnter dem Eioflnese PoinoarBs, der in seinem sohtinen Buohe, dem beriihmten *ooum de probabilit6. eine Fiille hiibeoher Anfgaben in geietreioher Weise behandelte, allrnilh- lioh dahin gelangt, die Wahrsoheioliohkeitsreohnung beinahe In daa Qebiet der .Matbe matieohen Unterhaltungen und Spielea zu verweisen, und hat ganz das G)efabl dafiLr ver- loren, da6 es sich hier urn eine ernsthafte naturwisseneohaltliche Tbeorie fiir eine b e ntimmte Klasse beobaohtbarer Ersoheinungen handelt. Die Wahrsohdinliahkeitsrrohnnng ist ein T e i l d e r theore t i sohen P h y e i k , ebengo wie die kl8eninahe hfedanik oder die Optik, sie ist eine vtillig in sioh gesohlossene Theorle gewisser Phtlnomcne, der sog. Maesenersoheinungen, gleiohgiiltig qb diese nun meohaniecher, elektrisohrr oder andemr Natur sind; aie arbeitet, genau wie jede andere phyiikalisohe Theorie mlt bestirnmten Voraussetznngen, die doh in Mar formuEerbare, die Gtrundhegrifte definierende Axtom& zusammmfassen lassen, nnd leitet an8 diesen deduktiv fhre Scbliisie ab. Zwei entsohef- dende Grundtatsaohen mufl ioh hier hervorheben : Erstens, die Wahrscheinlichke~tsreuh- nuog vermag ibre Resultate immer nur BUS g e g e b e n e n Wehreohein l ichkei ten en errechnen, so wie etwa die Meohanik nnr &us gegebenen Anfangsgesohwindigkeiten dle epslteren Oeschwhyligkeiten eines Korpys bestimmt ; dirse Ansganpswerce der Beohnnng ersoheinen in der Regel, aber nioht immer, in der Form von Aimahmen iiber sog. *gleiohmogliobe Flllle.. Zweitens, die Wahrsoheinllohkeitstheorie kann aus den Daten, die ihr in einem konkreten Falle geboten werden, nieqnals e twas anderes als W@hr- s c h e i n l i o h k e i t e n ableiten, also Qrenzwerte von relativen Riinfigkeiten ianerhslb nn- begrenrt gedaohter Folgen von Vorgbgen oder ErBoheinmgen ; inkbeeondere ffihrt sje niemrsls zu einer bes t immten Ausaage iiber den zeitliohen Ablaut eines Einzelvorgsnpw und kann so niemals in mmiltelbare Eonkurrene treten mit einem Ergrbnis d w Me- ohanik oder der iibrigen deterministisohen Physik. Ulre Reohrtei tigang erhWt die Wabr- soheinliahkeitsreohnang durch die Uebereinstimmnng ihrer Folgernagen mit der Effah- rung, eine Uebereinstimmang, die in allen bisher durobgefiihrten Fllllen mindeatens 80 gnt id wie die irgend einer smstigen phpsikaliechen Theorie.

Es fragt sioh nun, in weloher Weise diem Gmdsfltee einer rationellen atrtiaU: sohen Thcorie aul mechanisohe Vorgllnge anzuwenden slnd. Ic' will dabel ausdriloltlloh betonen, da6 ioh nioht an hypothetisohe Molekfile, Elrktronen, ,lohen od. dgl. denke, rondern nur Bewegangs- und Qleiohgewiohta-Ersohninnagen a g;mLio\ iahrnebmbrren Maseon irn Auge hahe. Wir kdnnen iinR die Verh%ltnlsse en a bekenoten Bdlphl

430 Zpitschrit‘t ftir angwandte hlatijnrnatik unrl Jleclianik Hand 1

aus der Mechanik der stamen Biirper veranschaulichen. Das sog. G a l t o n s c h e Brett be-steht aus einem durch Nagel gebildeten, YegelmaEigen Oitrer, i n dem Kngeln, oder befiser krpiwunde Schelbchm, deren Gro6e gerade dem Nagelabstand entspricht, herab- fallm. LSD1 man alle Scheibchen aus a i n e r Zelle der obersten Reihe aus fallen, so kommen sie hekanntliuh i n der letzten Reihe in einer Verteilung an, die mehr oder we- niger gcnan drm QauBschPn- Fehlergesetz emtspricht. Dieses Ergebnis lBDt sich aus den S#iz@n der kiass,sc:hen Mrtcbariik in keiner Weise folgem, ja es fehlt uns jede Vorstellung da on, wie eiue solcbe Ableifnng aiissehen konnte. Man kann votn Standpunkt der Me- obanik nur zaeie(1l.i versurhen. Entweder man idealisiert die Anfgabe 60 weit, daD man alle Ahsiande als tollig cxakt, alle Scbeiben als ideal kreisformig ansieht u. s f., dann erhslt man uberhaupt g a r keine Auskiinft dariiber, wie ein solcher Korper sich bewegt, jpder der geomerrisch moglichen Wege liefert auch eine Losung der Differentialglei chnngen Oder man ju th t seinen Trost darin, daO beim Einschlagen der Nagel, bei Herstellung der einzelnen Srheibchen usw. UnregelmM3igkeiteu vorkommen und daD dicse, zusamrnen mit aul3wPn Storungen, wie Luftbewegungen od. dgl. die Babnen eindeutig bes imman. Der Trost ist eln niir scbwacber, d m n praktisch bleiben die Bahnen nacb F i e vor unhestimrnt, da es kein Mittel gibt, die einfluDnehmenden Elemente zu bestimmei. PS ist ganz gleichgiiltig, ob wir an der Annahme festhalten, die Bahnen w; i ren be- stimmt, wenn wir die genanen Anfaugsbedingungen und slle Einfliisw kennten; denn da wir keine Aussicht haben, die Kenntnis je zn erlangcn, so ist es eine Annahme, von der sich nie entscheiden last, ob sie richtip ist oder nicht, also eine nicht wissenschaft- liche. Das allein wesentliche ist : Die Methoden der klassischen Mechanik versagen dem Problem gegeniiber vollstandig, die der Wahrscheinlichkeitsrechnung liefern hin- p g e n ein zanz klares, mit der Erfahrung iibereinstimmendet; Resultat. Dieses hat nicht etwa die Form ciner Aussage tler Mechanik oder iiberhaupt der deterministischen Physik, d. h. cs legt nicht den Ablauf der Erscheinung eindeutig fest, sondern lautet nur : 1st die Zahl der Einzelkorper nnd die Zahl der NBgelreihen hinreichend gro6, so ist i n d e r i i b e r g r o D e n M e h r h e i t d e r F a l l e eine Verteilung nach dem G a u g s c h e n Oesetz zu er- warten. Dies Resultat gewinnt man natiirlich nur aof Grund bestimmter Annahmen iiber die Ansgangs-Wabrscheinlichkeiten, Annnhmen, die in der statistischen Theorie dieselbe Rolle spielezi wie die )) willkiirlichen. Kraftgesetze oder die Artfangsbediogxngen der N e w t o n s c h e n Mechanik. Es sei nur nebenbei bemerkt, da6 man im Falle des G a l t o n - schen Breltes keineswegs shier so engen Voraussetzung bedarf, wie der in elernentaren Ableituogen zngrunde gelegten, es bestznde jedesrnal die Wahrscheinlichkeit fiir das Answeichen nach der einen oder andern Seite - diese Vorausfietzang ist in der Regel gar nicht erfiillt.

Nach diesem Schema des G a l tonschen lirettes habe ich zunlchst eiiie vollstdindige Theorie der B r o w n schen Bewegung durchgefiihrt’). Sie gelangt zu Ergebniasen, die allerdings nicht identisch sind, aber leicht iri Einklang Eebracht werden konnen mit den Ergebnissm der Blteren Theorien von v. S t o o l n c h o w s k i und E i n s t e i n . Der Unter- echipd bestcht hanpts%chlich darin, daD bei mir ausdriicklich ganz bestimmte, explicite ausgepproche_ne Annabmen uber Ansgangs-Wahracbeinlichkeiten an die Spitze gestellt werden - Annabmen, die, wie gesagt, die Rolle der Kraftgesetze in den Problemen der grw6hnlichen Mechanik spielen -, da6 ferner in keiner Weise, auch nicht versteckt, von der beruchtigten Ergodenhypothese Oebrauch gehnacht wird, und daD endlioh die SchluO- sltze eine Form annehmen: in der sie niclit ale determifiistische Anssagen in der Art der klassiscben Physik erscheinen. Darin lag ja, wie E i n s t e i n selbst hervorgehoben hat, ein unertraglicher Widerspruch der friiharen Theorie, dafl man den Ablanf der Erschei- nungen eiomal durch physikalische oder mechanische Gesetze als eindeutig bestimmt an- sah, dann aber von ganz anderer Seite her zu dussagen iiber diesen Ablauf gelangen zu koonen meinte. Besonders offen triit dieser Widerspruoh in der Bo l t z m a n n schen Fassnng der Ctastheorie zutage (die sllerdings mit den hypothetischen Molekulen und nioht mit beobaohtbaren Massen zn tun hat., hier also nur als Analogie herangezogen werden kann), KO man zuerst die Qeschwindigkeits-Aenderungen nach den Oesetzen des elastischen Stofjes berechnet und dann durch Ueberlegungen rein stat,ist,ischer Art diese Reoh- nnngen darchkreuzt.

Pbyrikdische Zeitachrift 2 1 . 19’20, 6. 225 bis 2 3 2 iiad 8 5 6 h i d ?R2

lleft 6 Praticl t l . Bernt.rkruigt*ii Ulmr t l i r Eiibtehriiiu ~ I v r T i i 1 4 ~ u l t * 1 1 / 93'

Ich will nun aut Einzelheiten nicht weiter eingeheu imd auoh nicut auf die Frsge zuriiokkommen, in weloher Weiee in den fruher erwilhoten Problemen der Turbulenz nod dee FlieBens fester Stoffe die statietische Theorie aufzubauen wlre. Was ich mit meioen bisherigen Verliffentliohungen I) angestrebt habe, war nur. die bepriffliohen Sohwierig- keiten aus &em Wege zu raulnen nnd ein logisoh megliohee Sohema machanisoher &a- dstik anzngeben. QewiB erhebrn eich noch gro8e und mannigfaliige Sobwierigkeiten an- derer Art nnd vor allem werden uns, davoo bin ioh iiberzengt, gewisse Enttiuachunpn nicht erspart bleiben: Viela Fragen, die nns hente ganr natiirlich und selbatvers~tludlioh zn eein echeinen, werden sich ale endgiiltig unbeantwortbrr herausstellen, so etwa wie seinerzeit die Newtonsche Himmelemeohanilc die Yrage Eeplers nach der QrliSe der Radien der Planetenbabnen nicht beantwortet, sondern ausgeeohaltet hat. Aber wie dem anoh mi, mag der Verzioht grot3 oder klein sein, uns schwer oder leioht fallen, es sobien mir unausweiohlich, einmal offen nnd klar auszarprechrn, da8 e d innerhalb der rein em- piriecben Mechanik Bewegnngs- nnd Qleiohyewichtsvorglnge giht, die eich einer Erkll- rnng aul Qrund der m e c h a n i s c h e n D i f f e r e n t i a l g l e i o h n n g e n an! d q Daoer ent- ziehen nnd den Aufbau einer geschlossenen Theorio der mechan ieohen S i a t l e t i k ver- langen. 108

Bemerkungen uber die Entsfehung der Turbulenz. Von L. PRANDTL in GOttingen').

ie bisherigeu malhematischen Untersucbungen fiber d i e Entstehung der Tnr bulenz haben zu der Ansioht gefiihrt, daB die k l e i n e n Sohwingungen einer durvh Zilbig- D keitswirkungen zwiechen zwei Wilnden entsiandenen Larnii a* strlimnng immer ,ge-

dampft verlaufen 3. Die brobaohtete Turbnlenz liollte desbalb das Ergehnis von Stijmngen mit e n d l i c h e r Amplitude seio. Die bei den Versuchen gefwdene Abhilngigkbit dre kritisohen Zustandes von der QrOBe der EintritIsstBrung (vergl. den nachfolyendrn Auf- sat2 Ton L. S c h i l l e r ) sohisnen fur diese Ansicht zu sprecben.

Um PU erlahren, wie denn die Tnrbulenz in Wirklichkeit enteteht, l i d ich In Gottingen einen 6,s m langen offenen Kana1 von recbteakigem Qurreohnitt (15 om wcit, 25 am tief) herstellen und beobaohtete die Stromung darin natih der Ahlbarnsohen Methode (anfgestrentes Lykopodium). Die Erwartnng, da6 ee nunmchr sofort ofhibar werden wiirde, wie die Turbulenz entsteht, wurde aber fiira m a t e enttrueoht. Ee war zunYchet nnr festzustellen, daB file eotstebt. Piotzlich, ohne erketinbare Vorbareitung, tauohten in der NIlhe einer Wand kleine Wirbelchen ad, die sicb nun schnell vermehrren. -1uBerdem sah man manchmal wellige Formen mit langnam eunehmender Amplittide, die aber nioht immer zu einer eigentlichen Turbulenzeraoheinnng fiihrten. Diem Wellen mit zunehmender Amplitude widersprachen aber gaoa dem Dogma von der Slab littlt der Laminarbewegong gegeniiber kleinen Sohwingungen, so da9 ioh zueret darn neigte, zu glauben, dat3 ich diese nioht sehr hZiuiige Er- soheinnng nioht ganz riohtig geeehen hillte

Wir warfen uns nun an! die theoretisohe Behandlung, und um es gleioh vorweg zu neh- men, wir fanden entgegen dem Dogma eine La- bilitEt der kleinen Sohwingungen.

Der Plan der Reohnnng war zunlohst ein anderer gewesen. Wir, d. h. wesentlioh Herr 0. T i e t j s n s , der unter meiner Leitung die Reohnangen machte, untersuohten die Stcrbilitilt Abb. 1

I) Vgl. insbesondere die oben engetllhrte Arbeit in der Phyafk. Zeitschr ; fwner: Grnnrllagen tler Wshrscbeinlichkeitareohnung, Math. Zeits.hr 5. 19 19, S. 52 bls 99 und eine lekbt vwrtlliidliche Darstellunp in: DieNaturwiesenschuften, 7 , 1919. S. 1 6 8 bie 175, 186 bis 192 und 205 ble 209

yJ Vorgetragen auf der J&hreavereammlQng der Deutechen MuthematikerverelnignK in J e w am 20. September 1921.

*I Der von Herrn F. N o e t h e r fn don Gbttinuer Nachtlohten 1917, math.-phis. Kl., S. 199. untereuohte Full, der bei Rqibungaloaigkeit wie bet kleiner Reeibung Instabllltllt ergiht, snheldet hier 8118, we11 die dortige Beechwlndigkeltaverteilung in den hter in Betrrcht zu ziehenden PUIlen niemtlP entotehen kann.