H. BECKERT: ffber die klassischen Ra,ndwertaufgaben in der Theorie der Warmespannungen . . . 111

ZAMMB2, 111 -122 (1979)

uber die klassischen Randwertaufgaben in der Theorie der Warmespannungen in stiickweise stetigen, anisotropen Korpern unter Kopplungsbedingungen

Von H. BECKERT

I n der Arbeit werden die klassischen Randwertaujgaben der linearen Thernaoelastizitatstheorie fur Kiirper U mit stiickweise stetigem elastischen und thermischen Aufbau gelost und Regularitatsbeweise gegeben. Uubei werdea lungs ded geschlossenen Unstetigkeitsflachen St = aDi i m Innern des Korpers D = D, $- D, 4- . . . -1- U, zugelassen: (a): (b): (c): I n this paper the three classical boundary value problems in linear Thertnoelasticity for bodies D = D, f U , f . ' ' -1- + D, of piecewice continuous elastical and thermical structure are solved under three conditions nlong the cloaerl surfaces St = aD, of discontinuity bounding the different materiala Di: (a ) : all components of the strain vector cross LY~ continuously. (b): only the normal components of the strain cross Si continuously. (c): there are no conditions for the strain vector along Si at all Si. Regularity proofs up to the boundary are given.

B pa6o~e peluamcfi 06paasonne Kpaesne a a ~ a r ~ a nnHeirHo3 Teopm TepMoynpyrocm T ~ J I D c ~ O C T O H H H M M no oTpemaM ynpyrm H TepMmecmM cTpoemeM H IIPHBOASITCSI AonaaaTenbcma MHOI'O- ~ETHOCTII. I l p ~ TOM EonycKae-rcfi monb ~ ~ M K H Y T M X nonepxaoc'refi npepbmHocTn Sg = aD, B H Y T ~ E ~ Tena D = D 1 + D , + . . . + D , : (a) : HenpepmHoe npoxomneme Bcex CocTaBnmoumx cMeueHm sepes Bi ; (b) : HenpepnBHoe npoxowgemie Bcex HopManbHrsx C O C T ~ B J I ~ O I U E I X sepes St ;

Stetiger Durchgang aller Verschiebungskomponenten durch Si. Stetiger Durchgang de? Normalkomponenten des Verschiebungsvektors durch St. Lasung samtlicher Verheftungsbedingungen langrr Si.

(C) : OTCYTCTBIle ~ a ~ f i x - n & i o YCJIOBHfi HJIH COCTaBJIHIOl4HX BnOJIb 8%.

In dieser Untersuchung losen wir die drei klassischen Randwertaufgaben der linearen Thermoelastizitats- theorie fur Korper D mit stuckweise stetigem elastischen und thermischen Aufbau, bedingt durch Einschlusse D,, D,, . . . , Dz, D = Do + Dl + - - + D,, unterschiedlichen, aber bis zu deren Riindern stetigen, elastischen und thermischen Verhaltens. Die Probleme fiihren in bekannter Weise iiber den Energiesatz auf quadratische Variationsprobleme fur den Verschiebungsvektor u(z) = (%(x), u2(x), u&)) ; x = (zl, z,, xJ E D, die sich von den entsprechenden der linearen Elastizitiitstheorie, vgl. [5], [8], [lo], [la], nur um in den Ableitungen lineare Glieder unterscheiden. Die Konstruktion schwacher Losungen dieser Probleme uber die bekannten KoRNschen Ungleichungen bereitet keinerlei Schwierigkeiten. Wir wiihlen den Weg iiber die Unterhalbstetigkeit der Variationsintegrale, um so wenig wie moglich abzuschiitzen. Man kann die genannten Probleme unter ver- schiedenen Kopplungsbedingungen liings der Trennfliichen St = aDi betrachten, je nachdem ob (A) die ver- schiedenen Materialien dort fest verheftet sind, (B) entlang der Trennfliichen tangential gleiten, ( C ) sich von- einander abheben durfen, oder (D) als vollig frei angenommen werden. Es ist naheliegend, hierfur die schwachen Kopplungsbedingungen (1 l), (12) einzufuhren und die schwache Losungstheorie hierauf auszurichten, 5 2, Satz I . Nach dem Vorbild von G. FICHERA in [a] verwenden wir die zweite KoaNsche Ungleichung in der erwei- terten Form fiir die inhomogene zweite und dritte Randwertaufgabe, die sich den durch die schwachen Kopp- lungsvoraussetzungen bedingten erweiterten Ausgangsbereichen in naturlicher Weise anpaDt. Die notwendigen und hinreichenden Losbarkeitsbedingungen folgen dann aus der FREDHOLMschen Alternative, 5 2. Fur die numerische Approximation der Losungen nach RITZ, TREFFTZ, GALERKIN ist der Weg uber die klassische zweite KoRNsche Ungleichung vorzuziehen, auf welchem man von vornherein gleich in dem zu den Nullosungen komple- mentiiren Funktionalraum arbeitet, vgl. [5]. Da sich die Regularitiit der konstruierten schwachen Losungen unserer Probleme im Innern von Dt, i = 0, 1 ,2 , . . . , I , sowie liings S = aD auf die bekannte Regularitats- theorie der Losungen stark elliptischer Systeme reduziert, liegt der Schwerpunkt von 5 3 auf dem Nachweis des stetigen Anschlusses der Losungen und ihrer Ableitungen beiderseits der Unstetigkeitsfliichen Si, i = = 1 ,2 , . . . , l . Dieser gelingt unter natklichen Regularitiitsannahmen fur die Koeffizienten und Fliichen bei fester Kopplung sowie im Falle der Gleitung der Materialien entlang ebener Trennfliichenteile durch sinn- gern6.De Ausrichtung etwa des Beweises von G . RCHERA [4] fur die Regularitiit der Losungen stark elliptischer Systeme am Rande. Ebenso verhalten sich die Verschiebungen in den inneren Punkten der Ablosefliichen bei der Kopplung (11) regular.

Wir geben die Bedingungen an, unter denen sich die ubergiinge A -+ B -+ C +- D bei entsprechender Lockerung der Kopplung vollziehen und beweisen u. a., daD fur den ubergang B -+ C bei Lockerung der Gleit- bedingung im allgemeinen fehlende Regularitiit im Ablosebereich verantwortlich ist. I n diesem Zusammen- hang machen wir eine interessante Anwendung des Satzes von POINCARE-BROUWER. Die schwache Losbarkeit der thermoelastischen Probleme unter den Gleitbedingungen (12) liings der Trennfliichen ist sowohl vom Stand- punkt der Regularitatstheorie wie von der hieraus folgenden theoretischen Einsicht des Ablosevorganges her interessant.

112 H. BECEERT: ffber die klassischen Randwertaufgaben in der Theorie der Warmespannungen . . .

Mein Mitarbeiter L. JENTSCH fiihrt in [7] - [ 101 die Randwertaufgaben der Wiirmespannungstheorie stuckweise homo- gener KBrper unter den festen Kopplungsbedingungen (10) im AnschluB an [l], [lll-[13] auf die Theorie stark singuliirer Integralgleichnngen zuriick, konstruiert die zugehorige singulare Grundlosungsmatrix und gelangt erstmels zu strengen Existenz- und Regularitiitsbeweisen sowie in einem interessanten Spezialfall zur explizit,en Lijsungsdarstellung [9]. Durch ihn wurde ich auf die physikalische Problemstellung der Ablosung aufmerksam, vgl. aurh die Arbeiten von G. FICHERA zum Problem von SIQNORINI [3], in der Elastizitiitstheorie.

Bezeichnungen: L2(D) sei der HnBERTraum aller uber dcm Gebiet D E Rn quadratisch integrablen Vektorfunktionen u(z) = (uI(z)) . j = 1, 2, . . . , r, x = (z,, z2, . . . , 2,) mit der HILBERTnorm:

ax = axl a x 2 . . . ax,,. a

(D + S ) ist der BANAcHraum der pmal H-stetig nach dem Exponenten v , 0 < v < 1, iiber dem abgeschlossen Gebiet D + S differenzierbaren Funktionen mit der ublichen Norm.

Verwendet man die bekannte Multiindizesschreibweise fiir die Ableitungen

so bezeichnet H,,,, 2(D) den SoBoLEwraum der uber D quadratisch summierbaren Funktionen, deren verall- gemeinerte Ableitungen bis zur Ordnung m einschlieBlich uber D quadratisch summierbar sind, mit der HILBERT- norm

SinngemiiB ist Hk,2(D) definiert als AbschluB der Cm(D)-Funktion mit kompaktem TrLger; supp. u(z) E D, in der Norm (*). Analoges gilt fur Funktionenvektoren.

S E CPsv bedeutet, dal3 die lokalen Parrameterdarstellungen fiir S zu CN.' gehoren. Starke bzw. schwache Konvergenz bezeichnen wir durch -P bzw. 7.

Uber doppelt auftretende Indizes ist zu summieren.

§ 1 Sei D der in der Einleitung betrachtete thermoelastische Korper mit den Einschlussen Df und den zuge- hiirigen Trennflkichen St, i = 1,2, . . . , 1 ,

sowie u(z) = { %(x), a&), %(x) } der Verschiebungsvektor, dann ist bekanntlich das elastische Potential/Volu- meneinheit eine positiv definite quadratische Form der VerzerrungsgroSen:

D = Do + Dl + D2 + * - * + Dl 9

f,'i, j = - - + -

@#,, u) = - ai,j, h, &) ~ i , j Eh, k .

:: 2) 1 2 (1)

Entsprechend unserer Annahme setzen wir die Koeffizienten ai, h, j, k(x) uber den abgeschlossenen Teilgebieten

Dl, D2, . . . , Dl, Do = D - 2 Dt als hinreichend regulkir, etwa 2

j = 1

a i , j , k , t ( x ) E C@J ) r 2 1 , s = o ) l , . . , , z voraus. Bei homogenem Aufbau der Einschliisse sind die Funktionen ai,j, k, l (x) stuckweise konstant. Die Zahl der nichtverschwindenden Konstanten hiingt bekanntlich von der jeweiligen Kristallklasse ab. In der Thermo- elastostatik hat man zu dem Ausdruck (1) noch den Beitrag hinzuzufugen, den ein vorgegebenes Temperatur- feld T(x) zur ErhBhung der inneren Energie des gespannten Zustands beisteuert. Wir erhalten dann fur das thermoekstische Potential/Volumeneinheit eine quadratische Form (2), in der auch in den ~ 6 , h lineare Terme auftreten:

dabei bezieht sich der Tensor ai, h,j , ~ ( x ) auf die feste Bezugstemperatur To. Die Koeffizienten bi,h(x) hiingen bekanntlich mit dem Verzerrungstensor pi, h ( X ) der , ,Raumstelle x" im Falle einfacher Wiirmeausdehnung bei Abwesenheit iiuJ3erer Kriifte

Ei , h = p i , h ( x ) (T - To) (3) zusammen. Im einfachen Deformationszustand (3) diirfen keine Spannungen auftreten, d. h.

H. BECKERT: ttber die klaasischen Randwertaufgaben in der Theorie der Wlrmespannungen . . . 113

oder - a i , h , j , k ( z ) Pi,h(.) (T - To) = bj,k(x) (T - To) - bj,dz) = a i , h , j , k ( z ) /%,h(Z) -

Bei isotropen Korpern, die sich nach allen Richtungen gleich ausdehnen, gilt b i , h = 6 i , h const. Hieraus folgt sofort der bekannte Ausdruck fur das thermoelastische Potential/Volumeneinheit eines isotropen KBrpers (bei sinngemaI3er Erweiterung der Summationsvereinbarung) :

(2‘) - K a (T - To)

unter Beachtung von

im isotropen Fall, R = Kompressionsmodul, p = Torsionsmodul und a = Warmeausdehnungskoeffizient. Bczeichnen

B(u, U ) = J a2(z, U ) dx D

das thermoelastische Potential von D und A = A , + A , , A, = J U l f i

A2 = J G ( n ) ui(0)

=flu) = 4 ( 4 Y C2(4, CAO)

= (u,f)o 9 D

= (y, U ) S 9 S

(du = Oberfliichenelement von 8) die Arbeit der Volumenkriifte f = (fl, f2, f3) und Randspannungen liings S:

(4)

unter den Verschiebungen u, d a m erhalten wir unter den jeweiligen Randbedingungen im Gleichgewicht aus der Energiebilanz 6B = 6A das Variationsproblem

B - A + % . (6) Die zugehcrigen LAaRANaEschen Variationsgleichungen bilden ein stark elliptiaches System fur u = ( ~ ( s ) ~ ug(x), u3(x))

(6) a a

axk aEi,k L ( U ) = - - - @&, u) - fi(z) = 0 , i = 1 , 2 , 3

auf Grund der KoRNschen Ungleichung (7). Bei der ersten Randwertaufgabe zu (6) , (6) sind aul3er dem Temperaturfeld T(r) die Verschiebungen

%(a) = g&) llngs X vorgeschrieben, bei der zweiten die Spannungen (4) und bei der dritten llngs ekes Teils S, von S die Randspannungen und liings des Komplementiirteils die Verschiebungen. Diese Aufgaben entsprechen in der schwachen Form den Variationsproblemen: (1) B(u, u) - (f, --f Min lLngs S: u&) = gr(a) , i = 1 ,2 , 3 ; u(z) E H1,z(D) , (11)

(111)

B(u, a) - (f, u)o - (3, U ) S + Min

B(u, 4 - (f, 4 0 - (f, u)s, + M-in u(4 E H 1 , z P ) 9

%(a) = gz(4 5

u(u) frei ,

U(Z) E Ei1,2(D) , (freies Problem)

0 E S - 8, 2

u E S, . (I) konnrn wir auch in der homogenen Form (1’) schreiben. Sind g&) regulLire Funktionen mit den Randwerten gt(u), und setzt man w = u - g, so erweist sich (I) als iiquivalent mit dem Variationsproblem

(I’ 1

(III’)

B(w, w) + 2 4 9 , 4 - (f, w)o --f Min 3

B(w, W) + 2 4 9 , w) - (f, w)o - (3, w ) ~ , + M-in 2

w E G,Z(D) * Ebenso formen wir die dritte Randwertaufgabe urn:

wobei g ( x ) einen reguliiren Funktionenvektor mit den Randwerten g{(u), i = 1 , 2 , 3 liings 8 - S, bezeichnet und w(x) den SOBOLEWraUm H$,(D) durchliiuft, der durch AbschlieSung aller duroh die Einschrlnkung w(u) = 0, u E S - S, charakterisierten Cm(D)-Funktionen in der H1,z(D)-Norm entsteht.

Die erste KoBNsche Ungleichung lautet :

H. BEOKERT: uber die klassischen Randwertnufgaben in der Theorie der Wiirrnespanniingen . . . ~ -~ ~~~~~

114

(7)

und die zweite hat die Form

unter den zusatzlichen Xebenbedingungen

/ ( z - $ ) d z = 0 , i, k = 1 , 2 , 3 .

D Zu den Voraussetzungen an das Gebiet vergleiche man [5], [6], [20]. Man kann (8) durc.. ie Ungleiohung

ersetzen, bei welcher die Nebenbedingungen nicht mehr zu beriicksichtigen sind. Daher ist diese Ungleichung von Nutzen, wenn wir zu allgemeineren SoBoLEwriiumen iiber D iibergehen [a].

Die schwache Losungstheorie der Variationsprobleme I', 11, I11 griindet sich im Falle I' auf die erste KoxNsche Ungleichung, und im Falle 11, 111 auf die zweite KoRNsche Ungleichung (8) bzw. (9) und bietet bei Vorhandensein der Einschliisse Di und des Temperaturgliedes keine zusiitzlichen Schwierigkeiten. Stillschwei- gend haben wir in den Formulierungen bereits dariiber verfiigt, daB die Verschiebungen uc(x) stetig durch die Trennflilchen hindurchgehen sollen, d. h. die Substanzen dort fest verheftet sind:

u;(5) = uT(z) , 5 E s, . (10) u+ bezeichnet den Grenzwert von u auf s k , k = 1 , 2 , . . . , 1 bei Anniiherung von Dk aus und u- denjenigen bei Anniiherung von Do aus.

Es entsteht die Frage, ob thermoelastische Gleichgewichtszustiinde in der linearen Theorie existieren, bei welchen (10) nicht mehr zutrifft, sondern die Verschiebungen liings der Trennfliichen Spriinge erleiden, sei es, daB die verschiedenen Materialien in der Trennfliiche aneinandergleiten oder sich unter Bildung von Hohl- riiumen abheben. Wir erfassen diese Probleme im Rahmen der schwachen Lijsungstheorie, indem wir statt (10) entlang S, die lineare Relation

(11) -

J (UL(O) - ui(u)) nk(o) +,(a) du 2 0 , y(a) 2 0 , fur alle +(a) E L2(S1) , sj

vorschreiben. n(a) = (nl(a), %,(a), %(u)) bezeichnet den nach Do hineingerichteten Einheitsvektor der Nor- malen in u E S,.

Verlangt man

% J (ui(a) - u;(a)) nr(a) @,(a) do = 0 fiir alle @(o) E L,(S,) , (12)

so liegt offenbar der Fall des Aneinandergleitens der Materialien vor. Wir wollen hier einen einheitlichen Esungsweg zur Konstruktion schwacher Losungen von (I'), (11),

(111') im Hinblick auf die verschiedenen Kopplungsbedingungen (lo), ( l l) , (12) verfolgen, der im Rahmen der modernen Beweistechnik verliiuft.

§ 2 Am der positiven Definitheit von (1) iiber Di, i = 0, 1 ,2 , . . . , 1, und den beiden KoRNschen Ungleichungen folgen sofort die Hauptgleichungen

Bi(u, u) = J @1(z, U ) dz L klllull: , k, > 0 (13) D

a) u E El! ,@) , b) fur u E B1,2(D) unter den Nebenbedingungen

oder

J Ei, t (Z) = 0 9

D

oder die erweiterte Komsche Ungleichung

Bl(% u) + Il4l: 2 kzllull? 2

fur alle u E H1,z(D) . Im folgenden bezeichnen k,, s 2 1, feste, nur von den vorgegebenen Daten abhangige Konstanten.

H. BEOEERT: ober die klassischen Randwertaufgaben in der Theorie der Warmespannungen . . . 116

Zur Abschatzung der vorkommenden Fliichenintegrale notieren wir noch die wichtige Ungleichung

und erhalten hieraus

Indem wir ebenso in 1', 11,III' auf die Terme, welche in den DeforrnationsgrijSen linear sind, die ScHwmzsche Ungleichung anwenden, (2) und die KoaNschen Ungleichungen beachten, schlieI3en wir auf die Abschatzungen

(3, u)s 5 k4llull1,z *

Jl@, u) = B(u, u) + 2 B(g, u) - (f, u)o 2 klllull; - ~ 6 1 1 ~ 1 1 1

Ja(u, u) = B(u, u) - (f, u)o - (3, u)s + (u, u)o 2 kzllull? - kJIulI1

(16)

(17)

(18)

fur alle u E H;,z(D) bezgl. I' und (10) ;

fiir alle u E HI,@) bzgl. I1 und (10).

Entsprechende Abschlitzungen ergeben sich fiir die dritte Randwertaufgabe. Daher erhalten wir in allen Fallen i = 1,2,3: J(u, u) = J@, u)

sofern

zutrifft. Wir haben daher entweder

oder

Dieselben Abschiitzungen folgen auch, wenn w, l h g s der Trennflichen lineare Randrelet-men vom Typ (Y, u)sc zum Variationsintegral J(u, u) hinaufiigen.

Aus den Hauptungleichungen und dem quadratischen Charakter der Veriationsprobleme folgt sofort die schwache Unterhalbstetigkeit der Integrale Jl(u, u) bzw. Jz(u, u), Js(u, u) iiber H!,z(D) bzw. HI,@).

E x i s t e n z schwache r Li jsungen d e r P r o b l e m e J @ , u) + Min .

Sei u&) eine Minimalfolge (wir lassen den Index i weg):

Ji(u,, u,,) + m i , i = 1, 2 ,3

fur i = 1: U n ( 4 E H;,z(a Y

fur i = 2,3: u&) E Hi,z(D) bzw. @z(D) . Aus der Alternative entnimmt man sofort die gleichmiil3ige Beschrtinktheit der Folge un(z) :

sowie mi > - 00 nach Anwendung von (19) und der Scnwmzschen Ungleichung. Wegen der Schwachkom- paktheit der Funktionalkugel (20) im HILBERTraUm existiert eine Teilfolge n' von n, so daD

u,@) - u(5) in H!,Z(D), . . . u,,,(a) -t u(a) in H,(S)

konvergiert. DaD der nach dem Satz von RIESS existierende schwache Limes der Folge (b) mit u(a) iiberein- stimmt, ergibt sich leicht aus (la). Wegen der schwachen Unterhalbstetigkeit von Ji(u, u) liist der Grenzvektor u(z) in allen Fallen die Variationsprobleme I' bzw. I1 bzw. 111' im schwachen Sinn:

Wir konnen wie soeben auch die Existenz schwacher Losungen der Variationsprobleme J&, u) + Min unter den allgemeineren Kopplungsbedingungen (ll), (12) nachweisen. Der wesentlichste Unterschied besteht jetzt darin, daB wir an Stelle Hi,z(D) - den H m m m a u m Hi,@) zugrunde legen, der als AbschlieBungaller Cm(&)-Funktionen: u(z) = u(zt) E C-(ol), z = zf E Dt, i = 0, 1,2, . . . , 1, unter den jeweiligen Randbedingungen liings 8 in der Hi, z(D)-Norm entateht. Wir verwenden bier auch bei i = 1 daa Nebenproblem mit der zweiten Komschen Ungleichung (la), die wir bei dieser Erweiterung beniitzen diirfen, und beachten die Ungleichung (16) iiber Dt, um die schwache Konvergenz (21 b) in L,(&) zu sichern. Daher er- fiillen die Grenzfunktionen u&), i = 1,2,3, jeweila die gesbllten Kopplungsbedingungen (11) bzw. (12).

116 H. BECKEET: Uber die klassischen Randwertaufgeben in der Theorie der Wtirmespannungen . . . Sat z I: Bei vorgegebener Temperatur- und Kraftverteilung hat das Variationsproblem (a): Jl(u, u) + Min yur jedes Verschiebungsfeld g(x) E C1 eine Ldsung w(x) E H;,,(D) unter den Kopplungs-

bedingungen (10). Ebenso existieren (b): Ltisungen u ( x ) E Hl,z(D) der erweiterten VariathprobZeme: J i ( u , u) -+ Min, i > 1, unter (10) und

L&ungen u(x) E H1,2(D) bzw. uber .@,*(D) unter den allgemeineren Kopplungsbedingungen (ll), (12), sowie im Fd le , daJ uber

Zur Konstruktion der Losungen der Probleme 11,III' in den Fallen (b) und I' unter (ll), (12) verwenden wir wie in [4] die RIEss-S~anoER-Theorie. Die in Satz I(b) konstruierten Losungen sind verallgemeinerte L6sungen des Differentialgleichungssystems

2(D) keine Bedingungen kings der Trennflcichen gestellt werden.

L(u) = -

Die zusatzlichen Absolutglieder qi(x), i = 1, 2, 3, ergeben sich nach partieller Integration der in den &i,h

linearen Temperaturterme im Variationsintegral B(u, u) :

I / -

ui(n) cos ( n , x,,) hi,,, (T - To) do - [bi,h(x) (T - T o ) ] U L ( X ) dx +J S D I

= 7 (U:, bT,h (T - TO)' COS (n', xh))sj - ( U T , b L h (T - To)- COS (n', X h ) , y j + d

1

+ (Ui b i , h (T - To) cos X d ) S - ui(x) dx (24) u J'

mit evidenter Bedeutung von qf(x); nj bedeutet hier den orientierten Einheitsvektor der Normalen an S,.

die Trennflachen hindurchgeht, wenn wir die Kopplungsbedingungen ( lo) , ( l l) , (12) stellen: Aus (24) konnen wir entnehmen, daI3 der Spannungsvektor der Thermoelastizitatstheorie stetig durch

h h

T t ( U ) - T T ( U ) = T t ( U ) - T,(U) + bth((T) (T - To)' COS (n', Zh) - bzh(a) (T - To)- COS (n', X h ) = 0 , i = 1 , 2 , 3 .

T,(u) bedeutet den Spannungsvektor in der Elastizitatstheorie liings S, :

Im spannungsfreien Fall gelten liings S die freien Bedingungen der Variationsrechnung :

T i ( U ) $. bi,tl(o) (T - To) COS (n, xh) = 0 , i = 1, 2, 3 . Natiirlich trifft alles nur bei hinreichender Regularitat der L6sungen zu.

daher kann man auf das Eigenwertproblem Die Transformation L-l f = u in (23) ist offenbar als Transformation von H,(D) in Bo(D) vollstetig ;

L(u) + 1 u = f (25) die RIESS-SCHAUDER-Theorie anwenden.

Fall besitzt bekanntlich das homogene Eigenwertproblem Wir wollen zuniichst die zweite Randwertaufgabe bei fester Verheftung (10) ins Auge fassen. In diesem

L(u) - 2 u = 0

.c;i = a: + yi, j r, ;

(26) als das klassische freie homogene Problem der Elastizitiitstheorie die 6-dimensionale Losungsmannigfaltig- keit V , :

yi , j, ai beliebige Konstant e.

L(u) - 2 u = f ;

y ' , I J . - - - y ' 3 ~ 1 ' . 9 (27 )

Daher ist die inhomogene Aufgabe

T,(u) = 0 , i = 1 , 2 , 3 langs S genau dann durch u ( x ) E Hl,2(D) losbar, wenn die 6 Integrabilitatsbedingungen

H. BECHERT : tfber die klctssischen Randwertaufgaben in der Theorie der Warmespannnngen . . . 117

Zur Ermittlung der Losbarkeitsbedingungen fur die inhomogene zweite Randwertaufgabe der Thermo- elastizitiitstheorie bestimmen wir iiber Satz I (b) die Losung G(z) E HI,@) des freien Problems:

I

1 Bi(% U ) (U, U)o - (y, u)s + 2 (Ut, b l h ( O ) (T - To)' COS (n', %))s, -

1

1 - 2 (ui, b i l d u ) (T - To)- cos (n', ~ 1 , ) ) s ~ + (w, b i h b ) (T - To) cos (n, ~ h ) ) ~ + Min , (30)

vgl. die Beinerkung im AnschluB an (19a), (19b), und erhalten hierfur die erste Variationsgleichung:

&(;? v, f 2 (G, v)o - (y, 2))s + (vi, bi, h (T - To) cos (n, % ) ) S + 1 1

1 1 f 2 (vi, bd h (T - To)' COS (n', S ) ) s , - 2 (vi, bi, h (T - To)- COS (n', %))sj = 0

Bl (w + 2, w + G ) + (w + $ 9 w + q o - (f + 9, w +

(31)

fur alle v E H I , 2(D). Wir ersetzen u(z) durch w(z) = u(z) - %(z) und losen iiber H I , 2 ( 0 ) das freie Problem

- (3, w + $s + 1

1 + 2 (Wi + &, b t h ( T - To) + COS (n', zn) )~ , - . . . + (wf + iii, b , h ( T - To)- COS (n, z/,))s -+ Min .

(32)

(33)

Subtrahiert man von den hierzu gehorigen ersten Variationsgleichungen die Gleichungen (31), so folgt

2 B,(w, v) + 2(w, v ) ~ - (f + q ~ , w ) ~ = 0 fur alle v E Hl,2(D) , oder w(x) lost das freie Variationsproblern

Bl(W, 4 + (w, 4 0 - (f + q J 9 w)o -+ Min

4 w ) = f + 9 , uber fZ1,2(D), d. h. im verallgemeinerten Sinn:

w E H1,2(D) 9

Tt(w) = 0 langs S , Tf(w) = T;(w) liings

Wir wenden jetzt die FREDHOLMsche Alternative

auf das inhomogene Problem

an, das zum Variationsproblem

gehort. Es folgt dann namlich

S,, j = 1 , 2 , . . . , I .

(2 %i f fi + qij 2i) = 0 % E v 6

L(w') - 2 w' = f + qJ + 2 i i , w' E H , , 2 ( 0 )

Bl(w', w') - (f + 9, w ' ) ~ - 2 (ii, w ' ) ~ -+ Min , w' E HI, AD)

2 B1(w', v) - (f + qJ, v)o - 2(k 2110 = 0

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

9

H. BECKEBT: tfber die klassischen Randwertaufgaben in der Theorie der Wiirmespannungen . . . 118

Dies ist die zu erwartende notwendige und hinreichende Losbarkeitsbedingung fur die inhomogene zweite Randwertaufgabe der Thermoelastizitatstheorie, welche das Verschwinden der Gesamtkrafte und deren Ge- samtmoment zum Ausdruck bringt.

Die schwachen Losungen der dritten Randwertaufgabe unter (10) werden wie soeben konstruiert, nur daB wir von H??(D) statt H I , .)(D) ausgehen. Da jetzt das Oberflachenstuck S, festgehalten wird, besitzt offenbar das homogene Eigenwertproblem (37) nur die triviale LBsung. Dcshalb ist die dritte Randwertaufgabe unter (10) unbeschrankt losbar. Bei Losen der Verheftung im Sinne ron ( 1 l ) , (12) konnen beim zweiten Randwert- problem uber (42) hinaus weitere Lijsbarkeitsbedingungen hinzutreten, welchc von den Freiheitsgraden der Einschlusse unter ( l l ) , (12) herriihren. I m Falle vdlstiindiger Aufhebung der Kopplung bei Satz I(b) ergeben sich offenbar 6 (1 +- 1) linear unabhangige Bedingungen.

-

3. Regularitiitsbeweise Nach bekannten Regularitatssatzen sind die soeben komtruierten schwachen Losungen des stark elliptischen Systems (6) in allen Fillen im Gebietsinnern beliebig oft differenzierbar, wenn dies fur die Koeffizienten uj, k, h , l (z) bj,&) sowie I,(%) zutrifft. Sie erfullen dann in Di (6) im strengen Sinn, vgl. etwa [lS]. Hiernach folgt aus

u,,P,n,r(z) E C0'T1). W t ) , b,,*(s) E C ( ~ ~ + ' ) ~ "D,) , (43) f,(4 E cnsp(D,) I

u(z) E C(n+Z)*qDi) , fur n 2 0:

Die Losungen der ersten und zweiten Randwertaufgabe sind weiter bis zum Rand X einschlieBlich regular, die der dritten langs der inneren Teile von S, und S - S,, wenn entsprechende Voraussetzungen bzgl. S und der Randdaten gemacht werden, 2.B. folgt beim DIRIcHLETproblem aus

i = 0, 1 , 2 , . . . , I .

g(o) E C('1-I WqS) , S E C ( n + 2 ) , ~ ,

daB u(z) die Randwerte g(a) in C(n+z),p annimmt, vgl. [18]. Entsprechendes trifft sinngemiiB auch auf die zweite Randwertaufgabe zu. Das Hauptinteresse beansprucht in unserem Fall das Losungsverhalten beiderseits St bei regularem AnschluB der Koeffizienten an die Trennflachen, Si. Wir zeigen, daB sich unter natiirlichen Vor- aussetzungen unter (10) und bei (12) im ebenen Fall die Verschiebungen einschlieBlich ihrer Ableitungen bei- derseits S, stetig anschliel3en. Zu diesem Zweck richten wir den Regularitiitsbeweis in [a] fur die Losungen des stark elliptischen Variationsproblems m-ter Ordnung :

(a) DIRIcHLETproblem: u(z) E Hit , 2 (D) , (b) freies Problem: u(z) E H,N, 2(D) t

B(w, U ) = J 2 aJ:f(~) D"u, DPu, dx I ) 0 6 l U l l I I I

05181 StJl

auf den hier zu untersuchenden Fall aus ; die Koeffizienten u;,'f(z) seien demzufolge stuckweise regular:

u;,,f(z) E e(oi), i = 0, 1 , 2 , . . . , I . Der Regularitatsbeweis liings der Unstetigkeitsfliichen Si zerfallt in die beiden Teile :

(a) Stetiger Durchgang der Tangentialableitungen der Losungen durch Sd, (44') (b) Stetiger AnschluB der Normalableitungen beiderseits Si, wobei wir zunlchst die Kopplungsbedingungen (10) zugrunde legen.

Each [4] erfolgt der Nachweis rekursiv. Seien Q ein beliebiger Punkt auf St und Kr(Q) eine kleine Kugel um Q mit dem Radius r. Zum Beweis von (a) denken wir uns K,(Q) durch eine regulare topologische Transformation zj = zj(yl, . . . , yn-l, t ) , j = 1,2, . . ., n auf die Einheitskugel R, = K + + K - : y: + y% + . - . + + t2 5 1, mit den Halbkugeln K + : t 2 0 ; K - : t 5 0, transformiert, so daB der Fliichenteil 81 n K,(Q) in den Bquatorkreis t = 0 iibergeht. Zum Nachweis von (b) transformieren wir enschlieBend K + bzw. K - topologisch im Innern regular auf den Quader

so daD der Grundfliiche t = 0 wieder &(Q) n St entspricht. Die maximale Differenzierbarkeitsordnung der beiden Trans- formationen hiingt von derjenigen des Fliichenstiicks & ab und daher auch die Differenzierbarkeitsordnung der auf K , bzw. R transformierten Koeffizienten von (a), welche wir der Einfachheit wieder mit a;;{(y, t ) bezeichnen. Man kann so Kanten auf Si, Iangs deren regulare Teile anschlieDen, beim Regularitiitsbeweis in Rechnung stellen.

Zu den Radieii d, B (0 ( 3 <c< 1) mogen die Kugeln Ka E K, E Kl gehoren; ~ ( y , t) bezeichnet eine Testfunktion in Cm:

R: I~tl < n , O < t < n ,

ebenso bzgl. H. A = (h,, h,, . . ., h n - l , 0) , 0 < Ihl < (1 - a)/2, sei ein willkiirlicher Vektor parallel der Ebene t = 0.

€I. BECKEBT: uber die klasaischen Randwertaufgaben in der Theorie der Warmespannungen . . . 119

Nach Konstruktion liegt der schwacheJAsungsvektor u(z) von(44), also auch q(z) u(z) E in Hm,z(K,) bzw. in Htn,2(RQ), Hm, 4 R 0)

Man setzt wie in [4] U(y, t ) = $(p u), wo $ eine beliebige k-te Ableitung in der (y,, y,, . . ., yn-l)-Ebene bedeutet und beweist

Die Behauptung ist fiir 8 = 0 richtig, daher ist dieselbe fiir k + 1 zu beweisen unter der Voraussetzung, daB sie fur 0 8 4 k richtig ist. Mit einem beliebigen Funktionenvektor v E Hm, z(K,), welcher aulerhalb dea Kreises K(1 +,,)/z verschwinden SOU, formen wir nie in [4] den Ausaruck

R i : lvrl 5 U , 0 5 t 5 U ; R,: l~t l 5 U , - u ~ t ~ O .

Di u E Hm,z(Kd) f k 8 2 0 . (45)

' B ( u (Y + h9 t ) - WY, t )

lhl unter Beachtung der Induktionsvoraussetzung durch partielle Integrationen in Richtung y,, . . ., p - 1 um. In [4] wurden die entsprechenden Betrachtungen uber K + durchgefiihrt (dort ist St = S die Randflliche), und dabei muB 2) Iangs t = 0 den transformierten Randbedingungen geniigen. DaB sich die Umformungen aus [4] hier iibertragen Iassen, folgt daraus, daB die Richtungen h, y zur Trennfliiche t = 0 parallel verlaufen und demzufolge auch alle partiellen Integrationen, Dif- ferenzenbildungen und Abschatzungen in R+ und K - die Unstetigkeit der Koeffizienten nicht beriihren. Wie in [4] uber K + erhalten wir hier iiber Kl

und weiter nach (44)

nach einem bekannten Lemma und der verallgemeinerten ScHwARzschen Ungleichung. Wir diirfen zumindest bei fester Kopplung (10) und bei volliger Losung der Kopplung

(48) u (Y + h, t ) - u(y,t)

Ihl v(y, t ) = -

einsetzen und erhalten aus (46), (47) und der GaBDmoschen Ungleichung

woraus wieder nach dem bekannten Lemma q ' , u E Htn,z(&)

folgt, und (45) ist fiir beliebig p o l e 8 unter der Voraussetzung r = 00 und beliebiger Regdaritiit der Trennfliichen bewiesen. Den Beweis von (44') (b), daB iiber R; und R; der transformierte Vektor u(y, t ) * D; u E La( R:) bzw. L4( R;) , 8 > 0 , i > o (50) ati+l

erfiillt, zeigt man wortlich wie in [4] unter Venvendung des letzten Resultats. Der Nachweis wird einmal iiber R,+ zum an- deren iiber R; gefiihrt, indem man beliebige Variationen u c C r ( R+) bzw. v c e( R-) in (46) einfuhrt. Alle Umformungen und Abschlitzungen iiber R$ nehmen keinen Bezug auf den Losungsverlauf und die Daten iiber R; und umgekehrt, so daB sich die beiden getrennten Probleme (b) jeweila genau auf den in [a] durchgefukn Teil des Regularititsbeweises der Lo- sungen stark elliptischer Systeme 2 rn-ter Ordnung am Rande reduzieren. Aus (45), (50) und den klassisohen Einbettungssatzen erhalten wir daher

Sa tz 11: Die Ldsungen der stark elliptischen Variationsprobleme m-ter Ordnung (44) a , b erfiillen unter den dortigen Vorawrsetzungen bei r = 00 die Bedingung des stetigen Durchgangs der Ableitungen in tangentieller Rich- lung durch die Unstetigkeitsfliichen, wcihrend die Nornuclableitungen bis zu einer beliebig hohen Ordnung beider- seits S4 stetige Grenzwerte M e n . Bei vorgegebenen Differenzierbarkeitsordnungen der Koeffizienten und der Flcichen S, folgt eine entsprechende der fisungen iiber &, i = 0, 1 ,2 , . . . , 1 .

I n Satz I1 sind offenbar die erwarteten Regularitiitseigenschaften der Losungen unserer thermoelastischen Randwertprobleme I, 11, I11 liings der Trennfliichen Si fur den Spezialfall m = 1 enthalten. Aus den Umfor- mungen in (46) ergibt sich z. B. bei

noch aj,k,h,z(x) E cB(Di), st E G a s i = 0, 1, 2 , . . . , I?

a' Di Hls2(Kd) 9 -D~uELS(R:);LS(BJ at$ fiir Osi+~S3 , i > O , s > O ,

woraus sich &us den Einbettungssiitzen der stetige AnschluD der Verschiebungen und deren ersten Ableitungen beiderseits S, ergibt. DaD die Verschiebungen unter (10) stetig durch die Trennfliichen hindurchgehen, ist eine leichte Folge der Stetigkeit der Linearformen

J (u](u) - uT(.)) @(a) du , j = 1,2 ,3 , i = 1,2, . . . , 1 St

iiber H,,@), vgl. (15).

____ 120 H. BECEEBT: uber die klassischen Randwertaufgaben in der Theorie der Wiirmespennungen . . .

Zur Anwendung von Satz I1 auf unsere thermoelastischen Probleme bemerken wir noch, daB man beim Eigenwertproblem (25) den Zusatzterm Au(x) zum Absolutglied f(x) zu schlagen hat, und auf die in den ersten Ableitungen linearen Temperaturterme wenden wir zur Sicherung des Schlusses (49) die elementare Ungleichung : o2 aa + (1/& ba) >= 2 ab mit geeignetem 0 an. In iihnlicher Weise beriicksichtigt man bei der inhomogenen zwei- ten Randwertaufgabe uber die Ungleichung (15) den EinfluB des Randintegrals (P, u ) ~ beim Regularitltsbe- weis (a) langs S, oder man benutzt die Umformungen (24).

Sat z I I I: Die erste Randwertaufgabe der Wdrmespannungstheorie uber einem Kbrper D mit stiickweis

stetigem eht ischen und thermischen Aufbau, bedi,ngt durch Einschlusse Di , 2 D, = D, ist unter den Kopplungs- 1

i = n bedingungen (10) eindeutig reguldr lbsbar.

Bei { aj, k, h , l ( z ) , b, k (z), .fj(X), g$(s) } E C'?Oi) ; S f E c" Y

folgen u(2) E C"(D,) , i = 0, 1 , 2 , . . . , l .

Die Tangentialubleitungen gehen stetig durch S, hindurch, wdlarend die stetigen Grenzwerte der Normalableitungen beiderseits der Trennflchen springen. Fur die Lbsung der zweiten inhomogenen Randwertaufgabe unter ( 10) sind die Bedingungen (42) notwendig zlnd hinreichend. Die wie oben regulciren Lbsungen sind mod V,, eindeutig be- stimmt. Die Ldsungen der dritten Randwertaufgabe verhalten sich innerhulb D und en flung der inneren Teile von S,, S - S, wie die der ersten und zweiten Randwertaufgabe und sind eindeutig bestimnat.

Analoge Ergebnisse folgen bei Vorgabe endlicher Differenzierbarkeit, z. B.

aus : { aj,P,h,l(Z), b,,k(z) } E c2(*t) ; St E c2 , fj(z) cl(ot) 9

+ u(2) E C 1 q B t ) , 0 < / A < 1 . Die Unitatsaussagen in Satz I11 folgen sofort daraus, daB fur zwei verschiedene Losungen %(z), u2(z) der drei Probleme 1', 11,111 in allen Fallen die zweite Variation B,(w, w ) fur w = u, - u2 verschwindet und w ( z ) jeweils die homogenen Randbedingungen der linearen Elastizitatstheorie erfullt : Ad I w ( a ) = O , U E S ,

Ad I1 T,(w) = 0 , i = 1, 2 , 3 , (T E S ,

Ad 111 T ~ ( w ) = 0 ; CJ E S, , w(a) = o , fJES-S,.

Bei viilliger Aufhebung der Kopplung erfiillen die Losungen des Satzes I langs Si die homogenen freien Bedingungen der Variationsrechnung, d . h. die Gesamtspannungen verschwinden beiderseits S,. Die gesamte potentielle Energie J f ( u , u) nimmt ihren kleinsten Wert an. Die Losungen sind wie in Satz I11 regular und brauchen im allgemeinen nicht physikalisch sinnvoll zu sein.

Die schwachen Losungen von I', 11, I11 in Satz I unter den physikalisch sinnvollen Kopplungsbedingun- gen (ll), (12) erfiillen Iangs S, fast uberall

bzw . (u;(u) - u,'(u)) n,i (a) 2 0 ,

(u;(u) - uj'(u)) n$a) = 0 .

(51)

(52) Gilt liings eines Teilbogens S; E S, fast uberall

oder (u;(u) - uj'(u)) nj(a) > o

J (u?(u) - $(a)) n$a) du > o , SC

(53)

dann diirfen wir offenbar uber Di und Do beiderseits S; beliebig klein variieren. Daher erfiillen die Losungen beiderseits S; im schwachen Sinn die freien homogenen Bedingungen der Variationsrechnung und sind dem- zufolge in den inneren Punkten beiderseits S; regular.

.Insbesondere erfullen die dort stetigen Grenzwerte (53) im strengen Sinn. S a t z IV: Bei der Abliisung von der Trennflrche unter (11) schlieJen sich die Verschiebungen in den inneren

Punkten beider Ufer regulcir an, es gilt dort Tt(u) = T;(u) = 0. Entlang des Komplementdrteils Si - 8; = Sr, wo sich die Materialien nicht abheben, trifft fast iiberall(52) zu. Die Materialien bleiben entweder dort fast iiberall verheftet oder gleiten'awinander 16ngs der Trennfldche.

1st bei einem bestimmten Thermospannungsproblem Sf leer, dann tritt offenbar langs S, eine uberall regultire Trennung ein. Wir wenden uns jetzt der Frage des regularen ~Qnschlusses der L6sungen von 1', 11, III' unter den Gleitbedingungen (12) zu und beweisen:

A I\

H. BECKERT: Uber die klassischcn Randwertaufgaben in der Theorie der Warmespannungen . . . 121

S a t z V : Beiderseits ebener Trennpchenteile S: schliejen sich die Liisungen unserer thernaoelastischen Probleine unter den Gleitbedingungen (12) wie bei fester Verheftung stetig an. Im Falle gekriimmter Trennflachen- stucke ist dieses Resultat allgemein wohl nicht herleitbar. Bes eis : Sei E ein ebenes Teilstuck von St, Q E E ein beliebiger Punkt, und Ke(Q) E R,(&), bzw. R, E R, die vorhin genannten Kugeln bzw. Zylinder nach einer einfachen Drehung in das (y. t)- Koordinatensystem. Der Regularititsbeweis (44') b fiir die Normal- ableitungen nach t laBt sich sortlich auf den Fall der Kopplungsbedingungen (12) iiber E ubertragen. Die Variationen w(y, t), SUPP. w(y, t ) E R+ bzw. R- storen (12) nicht. Dagegen scheitert die SchluBweise bei (44') a bei gekriimmten Flachenstucken, d. h. variablen q(u) an der Stelle, wo wir in (46) zur Sicherung des Induktionsschlusses fur w(y, t ) den Differenzenquotienten (48) einsetzen. Handelt es sich aber um ein ebenes Fliichenstiick E, dann ist offenbar die Bedingung (12) translationsinvariant in jeder zu E' parallelen Richtung wegen der Konstanz von n,(a) liings E. Bei einer Zylinderflache ist nur die Verschiebung langs der Mantellinie invariant, doch nicht die Drehung um die Zylinderachse. Man erkennt weiter, da13 llngs der Induk- tionskette k = 0, 1, 2, . . . auch (12) sich beziiglich der Ableitung @j(p u) als translationsinvariant in E erweist. Denn aus

~~~ ~ ___ - - ____

f ( q . r U;(o) - Ut(U)) ?z&) @(u) da = 0 (54) B

fur alle @(u) E L,(E), von 0, 1, . . . , k' = k folgt beziiglich einer beliebigen zu E parallelen Richtung h

4 ((05 u i (y + h, t ) - q Ui(?/, t ) ) - (D$ u:. (Y + h, t ) - q Ut(y, t ) ) ) nc(u) @(u) du = 0 , +(u) E L, . (55)

Daher ergibt die SchluBweise zu (44') a : D p l u E Hm, z (K& woraus man bekanntlich, vgl. (15) auf')

schlieoen kann. Von (55) gelangt man jetzt iiber ein bekanntes Lemma hinweg zu (54) fib k' = k + 1. Wir sehen hieraus, daD im

ebenen Fall der InduktionsschluB in (44') a unter den Gleitbedingungen (12) durchfiihrbar ist, q. e. d.

Sei jetzt Sl eine geschlossene reguliire Trennflache vom topologischem Typ der Kugel, liings der wir die Gleitbedingungen (12) vorschreiben. Nehmen wir weitcr an, fiir ein bestimmtes thermoelastisches Problem wiirde der Verschiebungsvektor beiderseits S, die stetigen Grenzwerte u-(a), u+(a) annehmen, dann bestimmte die Differenz

(56) ein stetiges tangentielles Vektorfeld auf S,. Wenn u(a) $: 0 a E S,, d. h. die Materialien in keinem Punkt von S, fest verbunden sind, ergibt sich sofort ein Widerspruch zum Satz von POINCARI~BROUWER, wonach kein iiberall stetiges nirgends verschwindendes, tangentielles Vektorfeld langs einer geschlossenen Fli;che vom topologischen Typ der Sphare 8" (n gerade) existiert. Der vorige RegularitZ5sbeweis entlang ebener Trennflachenstiicke wird natiirlich durch dieses Gegenbeispiel nicht beriihrt, vielmehr in das richtige Licht geaetzt. Da die topologische Bedingung u(0) + 0 , (T E S,, in einen lokalen Regularitiitsbeweis eingebaut werden miiBte, wird offenbar fur gekriiinmte Flachenstiicke ein so allgemeines Resultat wie im ebenen Fall schwerlich hergeleitet werden konnen.

Wir bezeichnen mit @, bzw. @, bzw. Q3 die potentielle Gesamtenergie eines festen thermoelast,ischen Problems I , 11, I11 unter der Kopplungsbedingung (10) bzw. (12) bzw. (11) mit den Losungen u(z) bzw. v(z) bzw. ui(z) und stellen die Frage, unter welchen Umstanden Losungen iibereinstimmen.

%u diesem Zweck ziehen wir aus den freien Bedingungen liings der Trennflachen noch einige Folgerungen. Sei S E Si ein Teilstiick, entlang dessen sich beiderseits die Spannungsgrenzwerte T-(u) , T + ( u ) fast iiberitll so anschlieflen, daB fur alle C1-Funktionenvektoren V(z), supp. V(z) c Ke(Q), Q E 3, die Umformung

DV1 u E L,(E') , E' E E ,

u-(a) - U+(O) = u(a)

3

J(u, V) = 2 B(u, V ) - (1, 2))o = -

!?:(u) = T t ( u ) fast iiberall. (58)

- 2 2 G ~ ( ( T ) ( ! ~ Y ( U ) - 3 ( u ) ) do = 0 (57) K@(Q) n Si i = l

mog1ic.h ist, dann folgt offenbar

Liegt derproblemtyp (11) oder (12) vor, dann miissen die Spannungsvektoren fast iiberall auf s senkrecht stehen. Andernfalls ergibt sich bei geeigneter Wahl von regularen Verschiebungsvektoren v+(a), --(a) zu beiden Seiten von S

mit regularen Fortsetzungen v(z) in K,(Q), supp. V ( X ) E Ke(Q), derart, daS hierfiir unter Beachtung von (58) die erste Variation

h

vj'(a) n,(a) - v;(a) n,(o) = 0 (59)

ausfallt, sofort ein Widerspruch zur Extremaleigenscheft von u(z) unter (11) oder (12). Indem man (60) fiir allgemeine, im Sinne von (11) liings 3 sprungheft unstetige Variationen, betrachtet,

wird ersichtlich, daB Fllichenteile vom Typ unter den Kopplungsbedingungen (11) nur dann vorkommen konnen, wenn der von Da nach Do weisende Normelenvektor an S in jedem Punkt mit dem Spamungsvektor !?i(u) gleichgerichtet ist.

Der Zusammenhang zwischen den Kopplungsbedingungen (lo), (12) wird durch Satz V erhellt. _____

1) Nach einem bekannten Satz ist diese Randabbildung von H,,z (K) in Hm-1,~ (K n E) stetig.

122 H. BECKERT: Uber die klassischen Randwertaufgaben in der Theorie der Wiirmespannungen . . .

S a t z V I : Bei Lockeruitg der Kopplung won (10) zu (12) bleibt u(z) = v(2) ; (u) = @&)

dann und nur dann bestehen, wenn der Spannungsvektor der LBsungen unter (10) in jedem Punkt won Sr, i = = 1, 2, . . . , 1 auf Xi senkrecht steht. I m allgemeinen gilt daher u(z) + v(z), al(u) > Q2(w).

Aus u(z) = v(z) folgt nach Satz I11 auchAdie Regularitat von a(z) und daber nach der obigen Bemerkung sofort die Behaup- tung unseres Satzes. Steht umgekehrt T(u) uberall auf Is;, i = 1,2, . . ., 1, senkrecht, dann miissen in der Entwicklung von

die Glieder erster Ordnung verschwinden, da bei den zu l i i gen partiellen Integrationen iiber Dt, i = 0 , 1 , 2 , . . ., I, nach (59) jeweils die Randintegrale wegen

verschwinden. Es gilt deshalb

und wegen

Beweis:

@A4 - @ A 4

((qd - %(a)) - (q.) - Ud")) nj(4 = 0

@&) - Q1(u) = Bl (v - u, v - u)

@&) - @AU) 5 0 @*(u) - @,(u) = Bl (a - U , 2' - U ) = 0 ,

oder wie behauptet: u(z) = v(z) bzw. u(z) = a(z) mod VS. Beim Ubergang von der Energiestufe Oa(v) zu @,(to) bei weiterer Lockerung der Kopplung spielt offenbar

die fehlende Regularitat der Losung v(z) liings gewisser Teile der Trennfllchen eine erhebliche Rolle. Aus unseren Bemerkungen folgen fur diesen Ubergang die beiden Mijglichkeiten :

a) Langs eines Teils Seiner Trennflache Si gestaltet sich der AnschluB der Spannungswerte @+(w) bzw. ?-(w) starker singular als im Sinne von (57) .

Bereits bei dem in (57) definierten schwachen AnschluB der Spannungsgrenzwerte @(w) und $-(w) beider- seits der Trennflachen mussen dieselben nach der vorigen Bemerkung unter den Kopplungsbedingungen (12) fast uberall auf Si senkrecht stehen.

Eine zweite Miiglichkeit fur den Ubergang liegt vor: b), wenn bei dem in (57) definierten AnschluB die Spannungswerte &(w) bzw. !?+(?I) lings des AuDen-

ufers bzw. Innenufers von S fast uberall mit der AuDennormalen bzw. Innennormalen von S, gleichgerichtet sind, also die Materialien langs 3 auseinanderziehen.

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