Z. angew. Math. Meoh. H e i n r i c 11, uber die Komperlsation der Reibung durch Schwingbewegungen Bd. 2'2 Nr. 3 ~~~~i 1942

Um die Dehnung in z-Richtung zu bestimmen, bringen wir auf der 2-Achse in den Piinkten 0 mit x = 0 und 0' niit z=- S die Krlfte PIS wie vorher an und lassen S Peeen

136

null sich

n ach

" V

gchen. berechnen lafit:

Dann geht F, iiber in eine neue Spannungsfunktion Pi, die aus F, nach G1. (8)

r ) d .r: (9). F'=-- F, . . . . . , . . . . . . . .

Aus den Dehnungen lassen sich die Spannungen ermitteln :

Y 2 (1 -- p) %=-lTL- G

i" Urn den Aiisdruck F , + -- F~ einzugrenzen, bringen wir

Rild 3 im Punkte 0 die Kraft P / S in 2- 1 - P

---X

Richtung, im Punkte 0' die Kraft PIS in

negativer c-ltichtung, Bild 3. Zur Eingrenzung einer

Spannung in einem inneren Punkte.

die Kraft P/b in positivcr y-Richtung und im Punkte 0"' (x =0, y = 2 11 - ul , I I

Kraft P/ S in negativer yRic1itung an. Lafit man dann b + 0 iehen, so erhalt' man den ge- sucliten Ausdrnck. Man kann aber auch c, und fY getrennt eingrenzen und dann den be- treffcndcn Ausdruck bilden. 322

Uber die Kompensation der Reibung durch zusaitzliche Schwingbewegungen.

Von G. Heinrich in Wien.

Zur Kldrung d e r Frnge, rvierveit es mogliclb i s t , durch i;'berlugerung einer schrvingenden Bervegung die Reibung zu kompensieren, rvird der Einflzcp solcher kleinen Schrvingungen einer ebenen horizontalen Unterlage auf die als nicht geschwindi~keitsabhdngig angenommene Reibungskraft, die auf einem sich auf ihr bervegenden, schiveren Korper ruirkt, untersucht, so- wohl ft& den E W l , dap sich der Ii'iirper in Richtung der Schwingwngen, rvie fiir den, dap er sich awter einem beliebigen W'inkel yegen cliese bervegt.

Der Gedanke, die unvermeidliche Reibung, die bei der gleitenden Beruhrung zwischen zwei gegeneinander druckenden festen Korpern auftritt, durcli zusltzliche Bewegungen der Gleitflaclien in ilirer Wirkung nibgliclist auszuschalten, tauclit meines Wissens nur in der Patentliteratur auf, ist aber bislier riiclit zum Gegenstand einer wissenschaftlichen Unter- suchung geiriaclit worden.

So wird in tlem I). R. P. Nr. 349476') ein Erfindungsgedanke unter Schutz gestellt, der es erniogliclieri soll, drelibare Teile derart zn Iagrrn, dab das Reibungsmoment, das bei ilirer Bewegung uberwiinden werden niufi, ein miiglichst geringes ist. Die Einrichtung ist "dadurcl) gekennzeichnet, dab cler gessnite auf dem drehbaren Teil lastende Druck auf zwei getrennte Lager verteilt ist, die gleiche Reibungsmomente erzeiigen und derartig angeordiiet sind, da$ die stiitLcnden Gliedcr der beiden Lager w&hrend der Benutzung des Instruments dauernd ineinander eritgegerigesetzteni Sinri um ilire gerneinsame Achse gedreht werden konnen, und zwar niit je einer Winkelgeschwindigkeit gegeniiber dem drehbaren Teil, die stets wesentlich groher ist als die grbkte auftretende Winkelgeschwindigkeit des drelibaren Teils". Als An- wendungsgebiet ist vor allem an MelSinstrumente und feinmechanische Apparate gedacht. Das englisclie Patent Nr. 344 239 ?) stellt den gleichen Erfindungsgedanken fur die Lagerung von Kreise1ger;iten unter Scliutz.

Durch die angegebene Mafiiialime ist eine vollstiiridige Aussclialtung der Reibungswirkung moglich, so1anb.e nian in eineni Gesc1iwiiidigkeitsbereic:Ii ai beitet, in dern die Reibung sich praktiscli riicht andert urid solange die beiden entgegeng~riclitete11 Reibungsniome~ite genau

1) Firma C a r l Z e i D in Jeua. Einrichtung zur reibuupsfreierl Lageruiig van drehbaren Teilen. (25 . April 1925.) 2) Iniprovciiieiits i n Gyroscope Suspeiisious. (March 5 , 1931 .)

Z. aogew. Math. Mech. Bd. N ~ . 3 ~~~i 1946 H e i n I' i c h , Vber die Kompknsation der Reibung rlurch Schwingbewegungen 1 37

entgegengesetzt gleicli sind. Es ist aber besonders die letzte Redingung niclit imnier zu er- fullen, auch wenn man, wie beim angefuhrteri D. R. P., das Reibungsmoment des einen Lagers einstellbar macli t. Wenn sich namlich waihrend des Betriebes die Lagerdrucke und dainit die Reibungsmomente andern, wie dies z. B. bei Kreiselgeraten moglich ist, so ist eine dauernde Kompensation der Reibung auf den1 angegebenen Weg nicht moglicli.

Es besteht aber die Moglichkeit, auf die stutzenden Glieder der beiden Lager eine schwingende Bewegung zu ubertragen '). Da die Reibungsmomente in den beiden Dreli- richtungen praktisch keine Verschiedenheit aufweisen, so ist zu erwarten, dab dadurcli die Reibungswirkung weitgehend kompensiert werden kann.

Es soll ini folgenden die Frage nach der Kompensation der Reibung durch Uberlagerung einer schwingenden Bewegung in verallgemeinertcr Form untersuclit werden. Auf einer hori- zontalen Ebene befinde sic11 ein scliwerer Kdrper uud es wirke zwischen Korper und Unter- lage, entgegen der Relativgeschwindigkejtsrich tung eine Reibungskraft, die in dein mafjgeb- licheii Geschwindigkeitsbereich nicht geschwindigkeitsabhangig sein soll. Die Unterlage voll- fuhre eine gerndlinige liin- und hergeliende Bewegung und zwar sei die Zeit fur den Hingang genau gleicli rler Zeit fur den Ruckgang. Reibungskraft iind Frequenz der Schwingung seien so bemessen, dat5 der Kiirper trotz der schwingenden Unterlage keine merkliclie hin- und hergehende Bewegung ausfuhrt. 1st T die Schwingungsdauer der hin- und hergehenden Be- wegung der Unterlage, so ist, bei Giiltigkeit des C o 11 1 o in bschen Gesetzes, wenn f den Reibungskoeffizienten and wa die Masse des Korpers bedeuten : m . x = f . m . g und daraus :

x = - . f . g . t2 ; x ist dann die Ablenkung der Masse m wahrend eines Hingaiiges (oder Ruck- - ganges) in Richtung der Schwingbewegung, wenn zu Beginn die Geschwindigkeit der Masse gleich Null war. Es soll also f und T so gewahlt werden, dat5 der Wert x unnierklicli klein wird.

Bewegt sich nun der Kdrper in Richtung der hin- und licrgehenden Rewegung durcli aut5ere Einwirkung niit dcr Gescliwindigkeit v, so entstelit die Frage, welche Wirkung hierbei die Reibung austibt. &a der von der Reibung bei einein Hin- oder Ruckgnng ubertragene Impuls nach Voraussetzung eine vernachlassigbnr kleine Wirkung ausubt, kommt also fur die Reibungswirkung nur der uber eine langere Zeitdauer gcmittelte Inipuls in Betraclit. Die diesem mittleren Iinpuls entsprechende Kraft soll :tls Sclieinreibung bezeichnet werden. Sie ist deninach der Mittelwert der von der Unterlage ausgeubtcn Reibung, genommen uber ein

. Zeitintervall, das grofj ist im Vergleich zur Schwingungsdauer der hin- und hergehenden Be- wcgung.

Es sei Wt der Augenblickswert der Reibung und Wl der Betrag der Scheinreibung. Die Schwingbewegung der Unterlage sei harmoniscli, ihre Kreisfrequenz sei w und ilire Geschwin- digkeit zur Zeit t sei a.

1 8

Es gilt dann:

W:rd v in Riclitung digkeit des Ki5rpers gilt also :

1c = u, cos U) t . . . . . . , . . . . . . . * (1). des positiven zc positiv gezahlt, so ist nrrl= v - zc die Relativgescliwin- in bezug auf die Unterlage. Nnch cler Definition der Scheinreibung

T

wobei T eine Zeit bedeutet, die grot5 ist gegen die Schwingungsdauer r . Man kann T als ganzzahliges Vielfaches von t einfuhren, da es auf Zeitintervalle in der Grokenordnung von t nicht ankommt.. Man kann also setzen:

. . .

wobei 'YL eine grole ganze Zahl bedeutet. Durcli Einsetzen von (1) und (3) in (2) erhiilt man:

Setzt man : u

t u t = p l . . . . 9 . . , . * . . 3) Vgl. K. K i l l i a n : Verfahren zur Auftiahine von Luftbildern, Allg. Vermess.-Nachr. 5 1 . Jahrg. ( I W I ) , S. 21

10 bis 29 (siehe S. 2 i n. 28).

Z. atigew. itlath. blech. Jjd. y 2 N ~ . 3 ~ , , , , i 1942 138

so kann man aucli schreiben :

H e i n r i c h , Uber die Kompensation (lev Reibiing d i i w l i 8[.liwinRbcwe~~ngen -

l l

wenn man zur Abkurzung:

setzt, wobei zc, als wesentlicli positiv zu bet:acliten ist. Es wird nun vorausgesetxt, dak die Anderungen von 1 Wtl und v" wghrend der Inte-

grationszeit T vernaclilassigbar sind. Dann ist der Integrand von (5) eine periodisclie Funktion von q mit der Periode 2n. Man kann also etwa r t = l setzen iintl ei.halt:

Der Wert von (5) ist also fiir jedes ganzzahlige n. gleich.

. ll

Man kana nun zwei Fiille unterschciclen. 1. Fall: Iv*I > 1, oder nach (6): [ v > %to. Dann wccliselt der Integrancl von (5a) sein

Vorzeichen im Integrationsintervall nicht. Man erhllt also: kpt = 3 Wt, wobei clas obere Vor- zeichen fur v* > 0, das untere fur v*< 0 gilt. 1st demnacli die Geschmindigkeit des Korpers gr6iPer als die maxiinale Gei;chwindigkeit der Unterlage, so stimmt die Sclieinreibung niit der . wirklichen Reibung uberein.

2 Fall: Jv*l < 1 , also: Iv/ < zb,. Nun rindert der Integrmd voii (.',a) ini Integrations- interval1 das Vorzeiclien, und zwar an der Stelle : cp = arccos v-. Ferner kann man das Integral in (5 a) folgendermahen uniforincn :

Man kann also (5 a) schreiben : arccw 1 * -I

l '* -- 005 y I I ? - - cos TI1

u nrrros 7.'

Die Iiitegration liefert : 2

arccos t ( i l . . . . . . . m, wobei das Minuszeiclien sowolil fur v" > O als auch fur 7**. < 0 gilt. Man sielit aus (7), daR die Scheinreibung nur von dem Gescliwiiidigkcitsverlialtnis (6) ablisrigt Da insbesondere die Scheinreibung fur kleine Rorpergescliwindigkeiten (v" < 1 ) interesriert, sol1 (7) i n eine Potenzreihe entwickelt werden. Man erhalt :

(7a).

Aus (7 a) erkennt man, dab fiir selir kleiiie Korpergescli\l.indigkeiteii die Sclieinreibung der Geschwindigkeit proportional ist. Fur v*= 0 verschwindet sie vollstantlig, sie wirkt sicli also, in1 Gegensatz zur C o u 1 o iii b sclien Reibung in der Gleicligewichtslagc niclit melir storend aus.

Deutet man Wt als Reibungsmoiiieiit, so liiibt sich dieses Ergebnis in gleicher Weise auf das Scheinreibungsmoment einer scliwingenden Lagerung iibertragen. Ordnet man zwei Lager an, deren Schwirigungen der Phase riacli entgegengesetzt sind uncl deren Reibungs- nioniente Wt, und W, ungefahr ubereinstimiiicn, so gilt .aucli liierlur die G1. (7), wenn inan I Wt I = [ Wt, I + I Wt,] setzt ; iiberdies wwden auf diese Weise die Wirkungen der einzelnen Lagerschwingurigen weitgcliencl lioinpensiert. Fur sehr langsaine Bewegiiriyen erscheirit also die Reibungswirkung praktisch ausgesclialtet.

Kehrt inan wieder zur ursprtinglichcn Anordnung zuriick, so eigibt sicli dic Fragt., wie sic11 die Sclieinreibung verhllt, wenn (lie Gescliwindigkeit 11 uiiter eineni beliebigen Winkel gegen die positive u- Riclitung geneigt ist. Auf' das Lager angewendet bedeutet dies, da6 man auch axiale Verschiebungen zulafit.

Sie verhiilt sicli also \vie eine Fliissigkeitsreiburig.

S. BII~PIV. Math. Mech 1 ~ ~ 1 , zd N,.. :I ,lurll 194; H P i n I i 1 2 1 1 , t'lwi- (lip Konipenfiation tlw Reibung tltii-cli Sclirvin~lrrwegiiiigen 139

Legt uian die x-ilclist. cines ebeiten Koordinatensystems in die positive zc-Riclitung, die ?j.Aclise senkreclit d m ~ , so sintl die Komponenten der Rcllativbewrgting vr , , , des Kiirpers y q y n div ITntc.rlagv:

. . . (8).

-

: ' , t , * = I' ? I , , ('0s '1 1 / ' 1 , 1 1 / = - ~ * 1 / I " " ' " '

I)itl Koinlmit(~iiten tler Svlioitireibung sintl tlwiii i gegeberi durcli : T

M i t den A1)kiirzungeii :

cTllalt m;in a11s (!)) uud

. . . . .

. . . . . . . . . . (11)

(10) durcli Eirisetzen volt (8), (4) und (3) : 2 77 ?I

Maclit t n i m wieder (lie Voraussetzung, dali die h l e r u n g e i i von I Wfi, P; und w$lirentl tlcr Zeit 1' vernacliliissighar kleiri bleiben. so lsssen sicli die Integrale in gleiclier Art wie f r i i l i c ~ transfonnieiwi urid iiinn crliglt:

Die Integrltle voii (9h) und (10 b) sind elliptiscli. psiiclit werden. da ,is vor allem (lie Tiisuug fur kleine v; und 71; interessiert.

i i i i t l 1 1 ; ~ . Sie 1 i ; t h c ~ n clahei. tlio Forin :

Ihre gesclilossene Liisung sol1 liier riiclrt

erscliciiien i t a c l i (9,) und (1011) ah F'uoktioncn der heiden Variabeln v~ 1?tx untl k/ I

. . . . . . . . . . . Ill/ , - ' ni/ "7 ' J , (v;, ?I;,). (gel,

J i j ()*:, t%;j . . . . . . . . . (10 c). 1 \I't I ,7

11 r/ I/

Die Funktionrn J , uric1 J , solleri nu11 versucltsweisc iiacli Poteiizieilten entwickelt werden, die riacli den linearen Gliedetn algebroclien werdetr solleti :

. . (10rl).

Man erhiilt :dso aus (!I 11) urid (!) c) :

k k i d deninacli : .FA (0 ,O) = lim (x 2 ;trccos P ; ) - 0 . . . . (12).

11; + I1

Ferner ist:

Dies l&kt sicli uniformen zu:

Setzt irian zur Abkiirzuiig : 1

UIld . . . . . . . . . (1s)

. . . . . . . . . (13a),

Setzt niaii zur Abkiirzung') :

J

so ist also: a Jx (0'0) = lini 2 k ' 2 \ . Wird A nacli k' entwickelt, so folgt nacli Ausfuliruiig a h '+ l l I1

mit der Abkurzurig :

. . . (16).

Es ist also

Das dritte Glied von (913) ist nacli (9b) und (9c) definiert durcll:

T 7

2. angew. Malh. Mech. Bd 22 N ~ . :i ,~,][,i 1942

I)as erste Glied von (lOd) ergibt sich aus (1Oc) und ( lob) zu :

H P i 11 r i r h , f'ber die Kornptmation tler Reibung tlurch Sc.liwiugbe\l.egurigerl 14 1

n 7

oder :

Setzt man

i

wobei k und k' durch (lS), ( H a ) und (13b) gegeben sind, so erhalt man:

(19).

' Dieses Integral esistiert nicht zufolge der Singularitat des

lntegranden fiir p=,. Die Funktion . I , (u;, 1 ) ; ) ist also fur kleine und in erster

Nalierung von unabligngig, verliiilt sich aber fiir P $ = O niclit regulh. Sie besitzt, wie 11ia11 aus obigem, niclit konvergenten Integral ersieht, an der Stelle u; = 0 ejne logarithmische SingularitBt.

J , ( v ; , u ; ) =a. In I u , ~ , + hiihere Glieder . . . . . . . . (20)

3 .J, (0,O) -= 1 3 /Cosv/ ' daher ist: -

0 3-6

d

Es muFj also tler AnsatL gelteii :

mit nocli zu bestininlendem ( I . Aus (eo), (lob) und (10c) folgt:

naraus ergibt sic11 fur a der Wert: i

/I; + 0

oder, nach einfacher Umforrnung : n

Mit der Abkuraiing (14) erliiilt iiiaii: 1

Nun ist'): 7

wobei E iind .K rliircli (15) und (18) gegeben siiid.

Frihrt man dies in @l) ein, so crliiilt mail bf4 Vcrwendung von (l2a)

oder iiiit Benutmng von (15) und (18):

n = - 2 . . . . . . . . . . . . . . . . (22).

Mail erliiilt also aus (!te), (!)(I), (LJ), (16) und ( t i ) :

hus ('20) unit (22) folgt: 2 W,,, = + ;r I ~ ~ 1 1 . a;, . In I t : ; j i . I - . . . . . . . . . . . (2.l).

Ails @) iiiid C2.l) crkeiiiit iiiaii, dat die Sclieinrt!ibiiiig fur klcinc! I~iirpcr~cscliwindig kciteii in tlcr x-Komimnente niir voii tq.;, in dcr y-Koiiipoiieiitc nur von t$) abli#ngt. Die Gc- setzc diesor Ablikriyigkcit sintl jedocli verschiedcii. Wiilireiitl G I . (23) eiiic lineare Abliiingig- keit darstcllt und fiir kleinc t i ; iiiit GI. (7 a) Ill>erciiistii~init, wo CJio Bcwegung ausscliliclilich in dcr Scliwingiiiigsriclrtung crfolgt, ist n;icli GI. (24) die AbhLigigkcit nielit niclir linwr. Es iat xwar liiii = 0, (1. 11. dio Reibiirig wird ftir belicbig kleinc (;cscli\\.iiicligkcit.eii in

dcr y-R.iclitiing selbst belidjig kloiii. Docli diw Aii~vnclistxi voii Wl, , / a i i cler St.cbllc! -. 0 ist .I$ + II

uiiendlicli grofi, (la lirii I ''wtg'---? -- IWll lim 1(1+1ii ; ~ , ~ 1 ) 1 = = . liiuiierliiii ist C'H bcdeiituiigs- t . ;+u:a'u . ;I n *!;+n

voll, dab aucli in der Riclitung sciikreclit xur Scliwingbcwegiiiig dic 8clieinrc:ibung niit gcgeii null geliender Qncrbewogung verschwindet, wenn diw aiicli nicht iiiit dcrselben Qrfiliciiortlnung geschieht, wic hei Hcwcgungcn I h g s der Schwingun~sriclstung.

Zuletgt sc!i tlarrruf hingewiesen, dah die rcsiiltierendc! Scliciiiroibiiiig dcr C:cscliwintligkcit, clcs K6rpers iiii allgciiicinen niclit entgegctigcsetzt gcriclikt isL, soridcrn sclirQ m i ilir lit@. Sind a und /; die Wiiikcl der h'~rpergcschwindigkcit uiid der Schciiircibung gcgcn die x-AcIise, so gilt:

Die ol)igw IJiitersucliungen diirften vor dleiii bci dcr hgcrU1ig voii KreiselgeriLten prek- tiselic Redwitting I)t!sit.zen, dn Iiierbci dic der Tlieorie augriiridc liegendcn Voriwssetzungcn gut erfiillt sind. 3 b