Über die Struktur der Differentialmoduln von diskreten Bewertungsringen

BERGBR, R., u. E. KUNZ

Math. Zeitschr. 77, 314--338 (1961)

Uber die Struktur der Differentialmoduln yon diskreten Bewertungsringen

Herrn FRIEI)RICH KARL SCItNIDT zum 60. Geburtstag am 22.9. t961 gewidmet

Von

ROBERT BERGER und ERNST KUNZ

Die Struktur der Differentialmoduln diskreter Bewertungsringe wurde zuerst von E. KXHLER (in seiner Arbeit [6~) studiert. Die K~ihlersche Theorie wurde von F. K. SCI~MII)T in unver6ffentlichten Untersuchungen weitergeftihrt und wesentlich verfeinert. Aufbauend auf Ergebnissen yon F. K. SCttMIDT und an seine Gedankeng~tnge ankntipfend soll im folgenden eine Struktur,untersuchung der Differentialmoduln diskreter Bewertungsringe vorgenommen werden, wobei im Unterschied zu KXHLER die Endlichkeit des Differentialmoduls nicht vorausgesetzt wird. Die Verfasser danken Herrn Professor F. K. SCHMII)T herzlich ftir die wertvollen Anregungen, durch die er ihre Arbeit gef6rdert hat.

W~thrend in der K~hlerschen Theorie die Berechnung bzw. Absch/itzung der Differenten im Vordergrurrd steht, wird im folgenden das Hauptgewicht auf die Zerlegung des Differentialmodills in eine direkte Summe von m6glichst einfachen Untermoduln gelegt. Die-Struktur eines Moduls wird a l sbekannt angesehen, wenn es gelungen ist, ihn in eine direkte Summe yon direkt unzerlegbaren Moduln zu zerlegen und wenn angegeben ist, wie oft-ein direkt un- zerlegbarer Modul eines gewissen Typs i nder direkten Summe auftritt. Die Struk- tur eines endlich erzetigbaren Moduls fiber einem diskreten Bewertungsring ist in diesem Sinne bekannt, wenn die E!ementarteiler des Moduls bekannt sind. Obwohl die in den meisten Anwendungen auftretenden: Differentialmoduln endlich erzeugbar sind, besitzen auch die nicht endlich erzeugbarerr Differential- moduln ein gewisses Interesse, vor allem, weil kein notwendiges und hinrei- chendes Kriterium dafter bekannt ist, wann ein Differentialmodul eines diskreten Bewertungsrings endlich erzeugbar ist.

Es sei R ein diskreter Bewertungsring (vom Rang t), P. ein beliebiger unit/irer Unterring. Wir bezeichnen den Differentialmodul von R tiber P mit M(/~/P). ~ sei das Primideal, ~ der Restklassenk6rper v o n R und ~= Q ( P / ~ P ) der Quotientenk6rper von P / ~ P . Anstatt den Differentialmodul M(R/P) direkt zu untersuchen, werden wir diesen Modtfl in den Modul M = R @R M(R/P) einbetten, wo /~ die Komplettierung von R bedeutet. Dies empfiehlt sich deshalb, weil ein Modul tiber einem kompletten diskreten Bewertungsring eine durchsichtigere Struktur besitzt als ein Modul tiber einem nicht kompletten diskreten Bewertungsring, z.13. gibt es nur 4 Typen von direkt unzerlegbaren Moduln tiber kompletten diskreten Bewertungsringen (man vgl. hierzu E8],

Struktur der Differentialmoduln yon diskreten Bewertungsringen ~1 ~

Cor. 2 zu Theorem 23): Die Struktur wird unter der Voraussetzung studiert,. dal3 der Differentialmodul M()/~) endlich erzeugbar ist. Diese Voraussetzung ist wesentlich schw~icher als die Voraussetzung, dal3 M(R/P) endlich erzeugbar ist. 3~r stimmt mit M(R/P) fiberein, wenn R schon komplett ist. Ist M(R/P) endlich erzeugbar, d'ann ist mit der Struktur yon 2~ auch die yon M(R/P) bekannt. Im Fall, dab M(R/P) nicht endlich erzeugbar und R nicht komplett ist, erh~ilt man aus den Strukturaussagen ffir M nicht unmittelbar aueh Strukturaussagen ffir M(R/P). Doch besitzt M(R/P) auf jeden Fall ein R-iso- morphes Bild in M.

Es wird zun~chst gezeigt, dab 2kr eine (bis auf Isomorphie eindeutige} Zerlezung

s

besitzt, we F ein endlich erzeugbarer freier R-Modul ist, T ein endlich erzeugbarer Torsionsmodul und D ein Divisionsmodul. Die weiteren Untersuchungen konzentrieren sich dann darauf, die minimalen Erzeugendenanzahlen yon F und T zu bestimmen. Sie werden durch arithmetische Invarianten der Ring- erweiterung R/P ausgedrfickt. (Im charakteristikungleichen Fall werden dabei ~Jber den Restklassenk6rper etwas scMrfere Voraussetzungen gemacht.)

Die Struktur von F ist durch die Angabe seiner minimalen Erzeugenden- zahl vollst~tndig bestimmt. T ist nach der Elementarteilertheorie eine direkte Summe y o n soviel zyklischen Summanden, wie der Rang yon T betr~igt. T)ie genaue Struktur yon T ist bekannt, wenn auch die Annullatoren der zyklischen direkten Summanden (Elementarteiler) bekannt sin& Diese Ele- mentarteiler k6nnen in ~ihnlicher Weise abgesch~ttzt werden, wie E. KXHLER bei endlich erzeugbarem Diffekentialmodul die Differenten abgesch~tzt hat. Darauf wird hier jedoch nicht eingegangen werden. D ist als Divisionsmodul

eine direkte Summe yon Untermoduln, die als/~-Moduln entweder zum Quo-

tientenk6rper ]{ _yon/~ oder zu/s isomorph sind. Die Anzahl der direkten

Summanden vom T y p / ~ kann sofort angegeben werden, wenn man noch den Differentialmodul M(K/P) des Quotientenk6rpers K yon R hinzuzieht.

Es I~il3t sich zeigen, dal3 direkte Summanden vom Typ K/R sicher nicht auftreten, wenn R die Charakteristik 0 besitzt und auch P ein diskreter Bewer-

tungsring ist: Im allgemeinen k6nnen solche Summanden jedoch auftreten. Die zum Beweis der Strukturs~tze ben6tigten Hilfsmittel werden teilweise

allgemeiner entwickelt, als es sp~iter notwendig ist, da sie auch selbst~tndiges Interesse besitzen. So enthfilt die Note auch einige S~itze fiber Differential- moduln yon StelIenringen und S~itze tiber die Ausdehnung yon Derivationen bei diskreten Bewertungsringen.

w 1. Eine exakte Folge ftir den Differentialmodul eines Stellenringes Unter einem Stelle~ring verstehen wir einen (nicht notwendig noe the r -

schen) kommutativen unit~iren Ring R, dessen Nichtgi~heiten ein Ideal bilden. Es sei P ein beliebiger unitgrer Unterring von R und M(R/P) der Differential-

316 ROBERT ~BERGER und ERNST KUNZ:

modul von R tiber P. (Ftir die Grundtatsachen tiber Differentialmoduln, die im folgenden als bekannt ,vorausgesetzt werden, vgl. man etwa [91). E s sei

das maximale Ideal yon R, ~ der Restklassenk6rper yon R. Ferner sei p=~3~P, l=Q(P/p) der Quotientenk6rper yon P/p und ~---p �9 R das Erwei - terungsideal yon p in R. Hat ~ die Charakteristik p > 0, so betrachten wir augerdem d e n Ring P+=P[RP~, das Primideal p + = ~ P + und das Ideal ~ + = p + . R. d bezeichne die Differentiation yon R fiber P,

D~rlNITION. Unter dem Rang eines endlich erzeugbamn R-Moduls'M verstehen wir die minimale A nzahl yon Erzeugenden yon M. Wit schreiben RangR(M) oder auch kurz Rang (M).

In [91 wurde unter der Voraussetzung, dab M(R/P) endlich erzeugbar ist, der Rang yon M(R/P) bestimmt. Diese Rangaussage liiBt sich al!gemeiner in die Form einer exakten Folge kleiden, wodurch die Endlichkeitsvoraus- setzung ftir M(R/P) entbehrlich wird. Es gilt

SATZ t. Unter den angegebenen Voraussetzungen werden durch die Folge R a_~ M(R/P) -+M(~/~) -+0 in nati~rlicher Weise ~-lineare Abbildungen. ~ bzw. ~§ und e induziert, so daft gilt:

a) Ist ~ iiber ~ separabel, so ist die Folge

0 ~ 9~/~ + ~ ~-~ M(R/P)/~. M(R/P) -~ M(~/~) --~ 0 exakt ~).

b) Hat ~ die Charakteristik p> O, so ist die Folge

0-+ ~3/~* + ~ - ~ M(R/P)/~ . M(R/P)-~ M(~/~)-+O exakt.

Alle in den Folgen au/tretenden Moduln sind dabei in nati~rlicher Weise als ~-Moduln au#uJassen.

Der Beweis von Satz t verlAuft weitgehend analog zum Beweis des Rang- satzes von [9~. Wir k6nnen uns daher an einigen Stellen ktirzer fassen.

BEWEIS. Da M(~/I)=M(R/P)/Rd?~ und ~3-M(R/P)<=Rd~ gilt, hat man eine exakte Folge ?on ~-Moduln und ~-Homomorphismen

(t) M(R/P)/9~. M(R/P) s M(~/~) -+ O,

wobei Rd~31~. M(R/P) der Kern von e ist. Wir betrachten nun die durch d: R--~M(RIP ) induzierte Abbildung ~-+M(RIP)/~3. M(RIP ). Wegen d~2~ ~ d ~ kann diese Abbildung als ~-lineare Abbildung yon ~/~2 in M(R/P)/

�9 M(R/P) aufgefal3t werden. Wir zeigen, dab das Bild bei dieser Abbildung gerade R d ~ / ~ . M(RIP ) ist. Dies folgt sofort aus der Gleichung d(~ riPi)~- ~, r~dp~+ Y, pf lr i, aus der man abliest, dab jedes Element aus Rd~/~3. M(R/P) Bild eines Elementes von ~ / ~ 2 ist. Augerdem zeigt die Gleichung, dab die

1) Die Aussage a) finder sich ffir den Fall, dal3 P ein ~K6rper iss schon bei GODElUENT, Localites simples II, Sere. Cartan-Chevalley 8 (t955/56). Fiir seinen diesbezfiglichen freundlichen Hinweis sei I-Ierrn A. ROSENBERG gedankt:

Struktur der Differentialmoduln yon diskreten Bewe~ungsringen ~17

Abbildung ~/,~---~M(R/P)/~. M(R/P) ~-linear ist. Wir k6nnen daher die exakte Folge (t) verl~ingern zu einer exakten Folge

(2) ~i~2 ~ M(R/P)/~. M(R/P) .d~ M(~/~) -+ O.

Wir interessieren uns nun ftir den Kern der ersten Abbitdung. Wegen Rd(fg+~2)(=~ .M(R/P) ist sieher ~ + ~ a / ~ im Kern enthalten. Ferner- gilt mit i?=R/~+~3 ~, t S = P / ( ~ + ~ 2 ) ~ P = P / p und ~ = ~ / ~ + ~ 2

M (D/(>)/~ . M (RI(~) ~_ ( M (R/P)/Rd (~ + $~) )1(~ . M (RIP)/R d (~ + ~ ) )

M(R/P)I?~. M(RIP).

Beachtet man noch, dab M(k/#)=M([T/I ) mit ~ = e ( I 5) =(R gilt, so sieht man sofort, dab man (2) ersetzen darf durch die exakte Folge

�9 . 2 ~ 5 (3) ~ = ~1~ ~ M(kf~)l~ . M(kt~)~ M(~I~) ->o. Es sei nun a) ~ fiber ~ separabel. /~ ist wegen 0 2 = 0 ein vollst~indiger iokaler Ring

im Sinne yon [10~. Daher gibt es in/} einen zu ~ isomorphen KSrper, der f umfaBt; wir bezeichnen ihn ebenfalls rnit ~. @ hat als ~-Modul eine Basis

{P~}~Ea. Man fibeflegt sieh sofort, dab /~ isomorph Zum Ring

(4)

ist, wo die 74 (J EA) Unbesfimmte sind und das Ideal it yon den Polynomen Y~," Y~, (~1, ~2 EA) erzeugt wird. Hieraus ergibt sich ffir den Differentialmodul

~E a

wobei ~ derjenige Untermodul yon @ RdY, ist, der yon allen Elementen ~EA

p~,dYa,+pa~dY~, (2~,,~cA) erzeugt wird. Mithin ist M(I~i~)/~.M(R[i)'--~. M(~/t) �9 @ ~dYz. Dies zeigt, dab die Abbildung ~: ~3-+M(R/t)/~3. M(k/*)

3.~A ein Monomorphismus ist. Daher ist die Folge

exakt. 0 -+ ~/~ + ~32 ~--~ M(R/P)/~3. M(R/P) ~ M(~/~) -+ 0

Es sei nun

b) Char. ~ = p > 0 . Dann hat auch/~ die Charakteristik p und somit gilt

M(/~/~) = M(/~/~ ~/~P]). Es sei ~ + = ~+ + ~32/~ + ~ . Dann ist ~+ = ( ~ ~ Ix@I). k und wird folglich yon Elementen aus f [/7 p] erzeugt. Es sei d die Differentiation von /~ fiber ~[/~]. Dann fo lg t /~d~+~M( /~ /~ [ /~ ] ) . Wit setzen R=R/~+---- RI~ + + ~3 ~, ~ = ~/~+ = ~/~+ + ~3 ~ und I 5+ =-~ [/~]/~+c~ ~ ~/~s,] ___ ~ [ ~ ] . Dann gilt

M(R/~ [~*])/~3. M(i~/t [~*]) _~M(k/t)/~. M([~/~)-~ M(R/P)/73 . M(R/P).

318 lc{OBERT BERGER und ~RNST KUNZ:

Es ergibt sich, dab ~ + + ~2/~, im Kern der ersten Abbildung der Folge (2) enthalten ist, woraus folgt, dab auch die Folge

(5) ~ . ~ M(Rfl [RP])/~. M(i~/f [~P]) --~ M(~fl) -+ 0 exakt ist.

enth~ilt wegen RP__(~E~P] einen zu ~ isomorphen K6rper, der ~[~PJ umfaBt. Er werde ebenfalls mit ~ bezeichnet. Ist {Pa}~Cx eine Basis des ~-Moduls ~, so folgt, dab/~ isomorph zum Ring (4) ist. Wie unter a) schlieBt man, dab die Folge

0 -+ ~-+ M(nfl [~P])/~. M(R/~ [~'Pl) -+ M(~fl) -+0

exakt ist. Dann ist auch die Folge

6+ 0--~ ~1~+ + ~--~ M(R/P)/?~. M(R/P) -~ M(~/k) --~ 0

exakt q.e.d.

FOL~ERUNG i. M(R/P)/~. M(R/P) ist dann und nut dann ein endlich erzeugbarer ~Modul (oder R-Modul, was au] das gleiche hinausltiu/t), wenn im Fall a) ~ / ~ + ~ 2 und M(~fl) endtich erz~ugbhr sind, im Fall b), wenn ~/~+ + ~2 und M(~fl) endlich erzeugbar sind.

Ist M(R/P)/~3. M(R/P) endlich erzeugbar, so folgt i .A. nicht, dab auch M(R/P) endlich erzeugbar ist, wohl aber, dab M(R/P)/~ ~. M(R/P) als R-Moduln endlich erzeugbar sind (v= t, 2 . . . . ).

FOLGERUNG 2. Ist M(R/P) als R-Modul endlich erzeugbar, so gilt im Fall a) RangRM(R/P) ~ Rang~ (?~/~ + ~3 ~) + Rang~M(~fl), im Fall b) RangR M(R/P) = Rang~ (~/~+ + ~ ) + RangaM(~/k).

w 2. S e p a r i e r t e r D i f f e r e n t i a l m o d u l u n d K o r n p l e t t i e r u n g ~) Wenn ein Stellenring R i m folgenden als topologischer Ring aufgefaBt wird,

clann immer hinsichtlich der durch die Potenzen seines maximalen Ideals gegebenen Topologie. Wird ein R-Modul M als topologischer Modul aufgefaBt, dann wird immer stillschweigend vorausgesetzt, dab seine Topologie die durch die Unteanoduln ~ �9 M (v = 1, 2 . . . . ) gegebene Topologie ist. R heiBt separiert, wenn N~ ~ = 0 ist, M heiBt separiert, wenn N ~ . M = 0 gilt. Die Begriffe

,,Komplettierung eine s Stellenrings" und ,,kompletter Stellenring" werden mit Hilfe des inversen Limes definiert (vgl. etwa E4J) : Fi~r einen beliebigen Stellen- ring R h e i l 3 t / ~ li_mR/~ ~ die Kornplettierung yon R; R heiBt komplett, wenn der nattirliche Homomorphismus yon R in /~ ein Isomorphismus von R auf

ist. Ffir einen beliebigen R-ModulM heil3t l~=l imM/~ ~. M die Kom- plettierung von M; M heil3t kornplett, wenn der nattirliche Homomorphismus

~) Anmerkung bei der tforrehtur. ]Die Theor ie der separ ie r t en Di f f e ren t i a lmodu ln wurde ausif ihr l icher als es hier geschehen wird in der kiirzlich e r sch ienenen Arbe i t y o n Y. NAKAI u n d S. SUZUKI: On m-adie differentials J. Sci. H i r o s h i m a 24, 459---476 (t960) entwickel t . Die fo lgenden SAtze i ibersehneiden sich teilweise m i t Sii tzen dieser Arbei t .

Struktur der Differentialmoduln yon diskreten Bewertungsringen 319

von M in 3~r ein Isomorphismus auf _~ ist. Einige Grundtatsachen tiber die Komplettierung yon Stellenringen werden im folgenden als bekannt vorausgesetzt.

D~I~tTION. Ein separierter R-Modul M' heifit separierter Differentialrnodul yon R ~ber P, wenn es eine Derivation d': R--~M' yon R i~ber P in M' gibt, so daft gilt: 1. M' wird yon den Elementen d' r mit r E R erzeugt. 2. Jede Deri- vation D : R --> N yon R i~ber P in einen separierten R-Modul N ist eine Speziali- sierung yon d', d.h. es gibt eine R-lineare Abbitdung h' : M ' - + N mit D-----h'o d" ~).

Es ist klar, dab ein separierter Differentialmodul M', wenn ein solcher existiert, bis auf stetige R-Isomorphie eindeutig bestimmt ist. Wit sprechen daher von dem separierten Differentialmodul und bezeichnen ihn mit M'(R/P). Es ist leicht zu zeigen, dab M'(R/P) immer existiert, denn der Modul M(R/P)/ N ~ . M(R/P) besitzt die in der Definition vorkommenden Eigenschaften t.

und 2 , wenn ftir d' die durch die Differentiation d: R-+M(R/P) induzierte Abbildung genommen wird. DaB 7. gilt, ist unmittelbar klar. Auf Grund der universellen Eigenschaft von M(R/P) gibt es eine Rdineare Abbildung h: M - + N mit D = h o d. Wegen h ( ~ . M) _ ( ~ - N ist h (N ~.V/) ~ N ~ ~. N = 0.

h induziert daher eine R-lineare Abbildung h*: M/A ~ . M--~N u n d e s gilt D = h ' od'.

ANMERKUNG. ISt R separiert, so ist die Derivation d' mit der Limesbildung vertauschbar.

Gilt n~tmlich r -- r~ C ~ 3~ ftir ein Element r C R und eine Folge {rv} (v-=-- ~, 2 . . . . ) yon Elementen aus R, so ergibt sich d ' r - - d ' r ~ C ~ - l d ' ~ = ? ~ - l . M ~ ( R / P ) . Folglich ist d' (~-,~o)lira r~ =}i_ mo~d'r~.

In vieten F~llen spielt tier separierte Differentialmodul M'(R/P) eine wieh- tigere Rolle als der Differentialmodul PJ(R/P) selbst. Es ist daher von Be- deutung, dab Satz t auch ffir den separierten Differentialmodul gilt:

SATZ 2. Die Aussagen yon Satz I und seinen Folgerungen ~ und 2 blaiben richtig, wenn M(R/P) und d durch M'(R/P) bzw. d' ersetzt werden.

Dies folgt sofort aus

M'(R/P) =M(R/P)/N ~ . M(R/P) und N ~ . M ( R / P ) ~ . M(R/P)(=Rd?~.

Ist R komplett (und daher auch sepafiert), so ist M'(R/P) schon endlich erzeugbar, wenn M'(R/P) /~ . M'(R/P) endlich erzeugbar ist, im Gegensatz zttrn Differentialmodul M(R/P):

SATZ 3. Ist R komplett, so gilt: M'(R/P) ist dann und nut dann endlieh erzeugbar, wenn M(~fl) und im Fall a) ~ / ~ + ~ , im Fall b) ~/~+ + ~ endlich erzeugbar sind.

3) Dabei bedeutet die Verkniipfung h'o d' zweier Abbildungen hier wie auch im folgenden das Produkt der Abbildungen im Sinne der Hintereinanderausffihk-ung:

h'o d'(,) = ,~'(a'(,)).

320 I~OBERT BERGER und ERNST KUNZ:

BEWEIS. DaB die Bedingungen notwendig sind, ergibt sich aus Satz 2. Sind sie erfiillt, so ist nach Satz 2 jedenfalts M'(R/P)/~3. M'(R/P) endlich erzeugbar. DaB M'(R/P) dann selbst endlich erzeugbar ist, ergibt sich aus

HILFSSATZ t . ' M sei ein separierter Modul i~ber einem kompletten Stdlen- ring R mit dem maxima!en Ideal ?~. Ist M/?~ �9 M endlich erzeugbar, dann ist M setbst endlich erzeugbar und komplett.

BEWEIS. Da M/?~. M endlich erzeugbar ist, folgt M = E + ~ .M mit einem endlich erzeugbaren Untermodul E yon M, daraus M=E+?~. E+ + ~ 2 . E + - . - + ~ . E + ~ ~+1 �9 M ftir v~0 , t . . . . Ist E=Re%+ ... +Re%,

so besitzt jedes m C M eine Darstelhng m = ~. ( ~ P,k)ok +m~+l mit P,k C ~! oo

( k = l . . . . . n; ~~ und m,+IC~3"+I.M. ' Ist rk=~pik, SO folgt sofort n i = 0

m = ~. r k cok EE. Mithin ist .M=E endlich erzeugbar und folglich auch kom-

ptet t SATZ/4. R sei ein separierter Stdlenring, dessen maximales Ideal ?~ endlich

erzeugba~ ist. R sei die Komplettierung yon R und M'(R]P) endlich erzeugbar. Dann gilt: M'(R[P)~--limM(R/P)]?~'. M(R/P).

BEWEIS. Da R separiert %t, igt der natiirliche Homomorphismus R--~R ein Monomorphismus; daher kann R und folglich auch Pals Unterring von /~ aufgefaBt werden. Somit ist M'(R[P) definiert. Es sei ~ das maximale Ideal von /~. Da M'(R]P) endlich erzeugbarist und /~ koml~lett, ist auch M'(R]P) komplett: M'(R]P)_~li<_mM'(/~/P)/~. M'(R]P). Wegen :M'(R[P) =

M(~]P)/Q~ "- M(R/P) ist M'(R/P)/~ ~. M'(R/P)=M(R/P)/~ ~. M(/~/P). Es sei d: R-+M(R/P) die Differentiation von/~ fiber P. Dann gilt

(1) ~"+~. M(/~/P) _(_~+1== ? ~ M(R~/p) (v = 1, 2 . . . . )

und folglich li<m M (/~/P)/~. M(R/P)~_liln M (/~/P)/t) ~ ~ lira M (R]~]P]~ ~ P). Da ~ endlich erzeugbar vorausgesetzt istl gilt R/~'~R/?~ ~ (v= 1, 2 . . . . ). Es folgt M(R/~/P/~'~P)=M(R/~/P/?~/P)=M(R/P)/Rd~ ~, wenn alle Moduln in natfirlicher Weise Ms R/~-Moduln aufgefal3t werden. Da (t) auch mit R und d an Stelle yon R und d richtig ist, folgt li_mM(R/P)/Rd?~=limM(R/P)/ ?~. M(R/P). Damit ist Satz 4 bewiesen.

w 3. Einbettung des Dif f e r en f i a lmodu l s in e inen Modu l fiber der K o m p l e t t i e r u n g

De r folgende Satz bildet die Grundlage fiir die in der Einleitung behauptete direkte Summenzer!egung des Moduls ~I=RQRM(R/P). Wit ben6tigen ihn n u t ftir diskrete Bewertungsringe R, beweisen ihn jedoch gleich allgemeiner ffir separierte Ste.llenfinge mit endlich erzeugtem maximalem Ideal.

Struktur der DifferentiMmoduln yon diskreten Bewertungsringen ~ L

SATZ 5. R sei ein separierter Stellenring mit endlich erzeugbarem maximalem

Ideal ~, R seine Komplettierung, ~----~. R ihr maximales Ideal. M(~fl) sei

endlich erzeugbar. Dann gilt mit ~I----R@RM(R/P ) und D----A ~' . M:

M'(R/P) = MID.

BEWEIS. ES gi!t im Sinne kanonischer Isomorphie:

i/~3", i = R @RM(R/P)/~3 ~. (R@RM(R/P))

= R@RM(RIP)/(R@ ~". M(R/P) + ,@@M(R!P))

-~ (RI~ ~) | (M(RIP)/~ ~" M(R/P)) ~ (RI~')| (M(RIP)/~'. M(RIP))

~_ M(RIP)/~3 ~. M(R/P ).

Auf Grund der Voraussetzungen fiber ~ und M(~fl) ergibt sich aus Folgerung t yon Satz t, dab M(R/P)/~ �9 M(R/P) endlich erzeugbar ist. Wird MI=~I/D

gesetzt, so ist Mj/~3 ~. M I = M / ~ ' . M wegen D_(_~ ~. M. Nach Hilfssatz t folgt, dab M 1 endlich erzeugbar und komplett ist:

M 1 = li_mM1/~ ~. MI = l imM/~' . M = li_mM(R/P)/~ ~. M(R/P).

Da andererseits M'(R/P) ,nach Satz 3 endlich erzeugbar ist, folgt nach Satz 4, dab der letzte inverse Limes mit M'(R/P) fibereinstimmt.

FOLGERUNG t. Es gilt M ~ E + D mit einem endlich "erzeuebaren R-Modul E,

der denselben Rang wie M'(R/P) hat.

FOLGERUNG 2. Ist M(R/P) endlich erzeugbar, so gilt

M ' (RIP) ---- R @R M (RIP) = F'I.

BEWEIS. Ist M(R/P) endlich erzeugbar, dann ist auch 2~ endlich erzeug-

bar. Weil R komplett ist, folgt D = 0 (s. [4 t, Chap. 0, Cor. 7.2.6.).

Ffir den Rest der Arbeit machen wir nun die folgenden VORAI;SSETZUNGE~. Es sei R ein diskreter Bewertungsring (vom l~ang t)

mit dem maximalen Ideal ~, dem Restklassenk6rper ~ und dem Quotienten- kSrper K. P sei ein beliebiger unitdrer Unterring yon R mit d~m Quotienten- kSrper k, und ~= Q (P/~3~ P) sei der QuotientenkSrper yon P/~3~ P. M(~/~) wird endlich erzeugbar vorausgesetzt, d.h. hat ~ die Charakteristik O, so hat ~ i;ber endlichen Transzendenzgrad, hat ~ die Charakteristik p ~0 , so hat ~ i;ber t

endlichen p-Grad. R sei die Koraplettierung von R, M=R@RM(R/P). K sei der QuotientenkSrper yon R.

Satz 5 kann nun versch~rff werden zu

SATZ 6. Unter den angegebenen Voraussetzungen gilt."

1. M = E @D, wo E ein endlich erzeugbarer, zu M'(R/P) isomorpher R-ModuI ist und D = A ~ . M der gr6flte in M enthaltene Divisionsmodul ist, d.h. der

V

grSflte Untermodul yon M mit D = ~ �9 D.

322 ROBERT ~ERGER u n d ERNST J~UNZ :

2. Der Rang von E wird durch Satz 2 gegeben. E besitzt eine Zerlegung

E----F O T in einen endlich erzeugbaren ]mien R-Modul F und einen endlich erzeugbaren Torsionsmodul T.

3. D ist isomorph zu einer direkten Summe von Divisionsmoduln D~, D~,

der /olgenden beiden Typen: Da_~K /i~r ~ CA (torsions/reie Divisionsmoduln),

D,_~K/R /~r # C M (Torsionsdivisionsmoduln): D : @ D~O @ D ~. ,~EA #EM

ANMERKUNGEN. ]. Ftir die modultheoretischen Begriffe Divisionsmodul, Torsionsmodul usw. vgl. man KAPLANSKY [81 .

2. Durch Satz 6 wird die Untersuchung der Struktur yon 3I zurtic!~geftihrt auf die Untersuchung der Struktur yon F, T und D. I m folgenden wird der Rang yon F best immt; dann ist auch der Rang von T bekannt als Differenz der R~nge von E und F.

3. Genau dann, wenn M(K/k). endlich erzeugbar ist, ist auch die Anzahl

der D~ (die isomorph zu /~ sind) endlich und es gilt: Anzahl der D ~ = Rang~: M(K/k) -- Rang2~ F.

BEWEIS. Es gilt einerseits nach Satz 6: K @~ R @R M~--- K @~ F E3 @ K @~ D a,

andererseits K Q~ R QR M ~ K QR M_~ K QK K QR M ~-- K QK M(K/k) und

Rangp, KQgM(K]k)=RanggM(K/k). Daraus liest man die B e h a u p t u n g sofort ab.

BEWEIS yon Satz 6. Nach der Folgerung t von Satz 5 gilt M = E + D

mit einem endlich erzeugbaren R-Modul E. Wir zeigen anschliel3end in einem Hilfssatz, dab daraus folgt, dab D der gr6Bte Divisionsuntermodul von ~r

ist und dab deshalb FI=EEDD mit einem endlich erzeugbaren R-ModulE

gilt. Nach Satz 5 ist 2~/D=M'(R/P), daher E isomorph zu M'(R/P). Die direkte Summenzerlegung von E ergibt sich unmittelbar aus der Elementar- teilertheorie. Die direkte Summenzerlegung yon D folgt aus dem Analog6n zu [8], Theorem 4 fti~ Moduln tiber diskreten Bewertungsringen (vgl. [8], w und Cor. 2 zu Theorem 23).

DEI~INITIOI~. Ein Element m eines R-Moduls M hat die H6he h(m)=v in M, wenn m.E ~ " M, mE ~+1. M. Es hat unendliehe H6he, wenn mC A ~3 ~. M (vgt. E8~, w

HILFSSATZ 2. Ist M ein R-Modul mit M = f f + U, wo f f endlich erzeugbar ist und alle Elemente yon U unendliche HShe haben, dann gilt M----E E~ D mit einem endlich erzeugbaren R-Modul E und einem Divisionsmodul D.

BEWEIS dutch vol!st~ndige Induktion nach der Anzahl n d e r Erzeugenden

von E. t. Ftir n = 0 ist M = U. Jedes Element yon M hat dann unendliche H6he

in M. Folglich ist M = D ein Divisionsmodu!.

2. Der Hilfssatz sei nun ftir alle Moduln bewiesen, bei denen s i ch /~ yon n - - t Elementen erzeugen liil3t. Es sei M=~yl , ..., y~)+U. D sei der gr6Bte Divisionsmodul, der in M enthalten ist; seine Existenz ergibt sich

Struktur der I)ifferentialmoduln von diskreten Bewertungsringen ~ 3

aus [8], Theorem 3- Es sei/~r =_ M/D = ( ~ . . . . . . ~ ) + ~r. Da (I homomorphes

Bild von U ist, haben die Elemente yon ~) unendliche HShe in _~r. Wir unter- scheiden nun zwei F~ille:

a) ll~ r sei torsionsfrei. Ist I}r die Menge aller Elemente yon 1l)/, die unend-

liche H61he in M haben, so ist D ( tPr Wir zeigen, dab 1~ ein Divisionsmodul ist.

Es se i /7 ein Primelement yon R. Ist 2 E I;V u n d / / r vorgegeben ' so gibt

es ein } C/I)/ mit 2___//r. ~.. Zu beliebigem nattirlichen s existiert femer ein

~) C/Q Nit 2~/-/ '+*. ~). Es folgt I-I ~ (~--/-/'-~) = 0 und hieraus, well/Q torsions- Irei ist, ~ = / / s . ~. Da s beliebig war, hat mithin auch ~ unendliche H6he in

/~r und lie~t daher in 1~.

Da D der grSBte Divisionsmodul yon M war, enth~ilt M keinen Divisions-

modul, der y o n 0 verschieden ist (vgl. [8], Theorem3). Daher is t ' I~-=0, folglicli I t = 0 und U(=D. Nach [8], Theorem 2 ist D ein direkter Summand yon M: M = ( y z , . . . , y , } + D ~ E O D . Es folgt E ~ M / D = ( ~ . . . . . ~,~}. Folglich ist E endtich erzeugbar, q.e.d.

b) ~;/ sei nicht torsionsfrei. Da /Q reduziert ist, d.h. keinen Divisions-

modul :4:0 enth~ilt, besitzt M nach [8], Theorem 9 einen direkten zyklischen

Summanden: ' 3)I = ~2} @/~r. Man sieht sofort, dab 2 die H6he: 0 in /~f hat.

Es sei k=c t l~ l+ .-. +cr mit c~iCR, ~C[/ . Es k6nnen nicht-alle ~i

dutch /7 teilbar sein, denn sonst h~itte ~ mindestens die H6he i in /"~r, da

als Element tmendlicher H6he in/7 . /1) /enthal ten ist. Eines der Elemente,

etwa ~,, ist also Einheit in R. Es f61gt.~,E(~;,x . . . . . ~ , ,_I ,~)?-D, daraus

0' besteht als homomorphes Bild yon ~r aus Elementen unendlicher H6he

in/~/. Nach Induktionsvoraussetzung fo lg t /~r=/~O/) , wo E endlich erzeugbar ist und D ein Divisionsmodul. Es ergibt sich weiter /1)/'=~_(i)@E@D.

Well /~/ reduziert ist, folgt /9=0. Mithin ist M endlich erzeugbar. D ist

als Divisionsmodul direkter Summand yon M: M----E@D. E~--_~M/D=Y/I ist endlich erzeugbar. Damit ist Hilfssatz 2 bewiesen.

FOLGERUNG. Es sei M : E + U, E endlich erzeugbar, U= N ?~ . M. Dann v

/olgt : U stimmt "mit dem gr6~ten Divisionsmodul D von M iiberein.

BEWEIS. U ist der Untermodul, der yon allen Elementen unendlicher H6he in M gebildet wird. Daher ist D in U enthalten. Nach Hilfssatz 2 ist M : E | D, wo E endlich erzeugbar ist. Fiir ein Element der Folxr~ x + d mit xEE, dCD, gilt h ( x + d ) : h ( x ) < o o . Es folgt U(=D und damit U : D .

Mit Hilfssatz 2 und seffler Folgerung ist nun auch Satz 6 vollst~indig bewiesen.

Wit zeigen nun noch SATZ 7. Die kanonische Einbettung M ( R / P ) - g M : R G R M ( R / P ) ist ein

Monomorphismus.

324 ROBERT BERGER und ERNST KUNZ:

Es gilt n/imtich allgemeiner HILI~SSATZ 3. Es sei R ein nullteiler#eier Elementarteilerring (De/. in [7]),

K sein Quotientenk6rper. S sd ein Oberring yon R, so daft kein Element von R Nullteiler von S ist, und es gelte S ~ K = R (ira Quotientenring von S mit den yon 0 verschiedenen Elementen von R als Nennermenge). M sei ein R-Modul. Dann ist die kanonische Einbettung yon M in SQRM ein Monomorphismus.

BEWEIS. Wir denken uns M in der Form M ~ N / Q dargestellt, wo N einen freien R-Modul m i t einer Basis {ya} und Q einen Untermodul 'von N bezeichnet. Dann ist SQRN=N'/Q' , wo N'-den von den y~ erzeugten freien S-Modul und Q' den von den Etementen yon Q in N' erzeugten S-Untermodul von N' bedeutet. Der Kern der kanonischen R-linearen Abbildung von M=N]Q in N'/Q' ist Q N]Q. W i r haben also Q'~N<=Q zu zeigen.

Es sei x=szql+...+smq,, (siC S, ?iC Q) ein Element yon Q'~N. N 1 sei der endlich erzeugte, freie Teilmodul von N~ der von d e n endlich vielen Ya aufgespannt wird, die man zur Darstellung-von x und den qi mit Koeffizienten aus R ben6tigt. Ferner sei Q1 der von denqi erzeugte R-Modul. Mit N ' 1 bzw. Q'x bezeichnen wir die~ von N 1 bzw. Q1 erzeugten S-Untermodu!n yon N'. Danll gilt .xCQ'I~NIo N1 ist ein endlich erzeugter freier R-Modul, Q1 ein endlich erzeugter Untermodul, Re in Elementarteilerring. Daher gibt es Basis- darstelluffge-n yon N 1 und Q1 yon folgeader Form:

N , = O R . Z , , Q I = @ R r , . Z ~ mi t r, CR ftir i = t . . . . ,n .

Es folgt ~=1 ~=1 N ~ = @ S . Z , , Q ' I = ~ S r , . Z , .

i = 1 i = 1 t n

Als Element yon Q,~N1 besitzt dann x einerseits eine Darstellung x = ~ a~Z i *;=1

rnit a~ CR,..andererseits eine Darstellung x = ~, b~riZ~ mit b i E S. Durch Koef- i = 1

fizientenvergleich folgt bird= ai ( i= 1, . : . , n). Im Quatiente, nfing von S mit den yon 0 verschiedengn Elementen yon R als Nennermenge erfiilit auch

a~ die Gleichung a~'r~=ai(wenn riCO ist), folglich ist f b ~ - - ~ ) ~ i = 0 . Da r i r i " , i ~

r i nicht Nullteiler in S isL folgt bi = a-t~ C K ~ S = R. Mithin ist x C Ql-<_ Q. r i

w 4. Bes f immung des Ranges yon F Die Bestimmung, deg Ranges von F wird fiir diskrete Bewertungsringe

der Charakteristik0 und flit diskrete Bewertungsringe der Charakteristik p 4 = 0 getrennt vorgenommen. Wir 3etrachten zun~ichst

i. Diskrete Bewertungsringe yon Primzahlcharakteristik + P Es sei also R vonde r Charakteristik p 4= 0._ Wir bezeichnen mit K ---- k ( K )

d~s K6rperkompositum v0n k und K p, mit R + den diskreten Bewertungsring R + = R ~ K § sein maximales Ideal mit ~+, Seinen Restklassenk6rper mit ~+.

/~ und /~§ seien d{e Kompleftierungen yon R und R +, und P+ sei die abge-

schlossene Hiille von P+= P [RP] in/~. Wit zeigen

Struktur der Differentialmoduln yon diskreten Bewertungsringen ~25

SATZ 8. Es ist M'(/~/P)=M(R/P+)_~M(R/R § O/?@k~M(/~+/P'). M(R"/R +)

ist ein [reier R-Modul, der isomorph zu F i s t , und R@bM(R+/P +) ist ein Torsionsmodul, der isomorph zu T ist. Es gilt:

Rang~ F = p-Grad ~ .~- + Rang R ~3/?~ § R,

Ran~?e T = p-Grad ~ + Rang m ~+/(~+ c~ p+). R +.

ANMERKUNG. RangR~/~ § ist 0 oder 1, je nachdem R § ein Primelement von R entMlt oder n~cht. Entsprechend ist Rangm~+/(~+~ P+) -R § gleich 0 oder 1, je nachdem P+ ein Primelement yon R + enth~ilt oder nicht.

BEWEIS von Satz 8. Zun~ichst ist klar, dab M'(R/P)=M'(R/P[RPl) gilt.

Die Elemente yon P§ sind Grenzwerte yon Elementen aus P§ P [RP]. Wegen

der Vertauschbarkeit der Derivation d': R--->M'(R/P) mit der Limesbildung

folgt M'(R/P)=M'(R/P§ Wir zeigen, dab /~ ein endlich erzeugbarer Ober-

ring yon P§ ist. Dann folgt, dab M(R~P +) endlich erzeugbar ist, folglich ~ . M(R/P+)-- O und daher M'(R/P +) =M(R/P+).

Der RestklassenkSrper yon P+ stimmt mit dem RestkIassenk6rper ~(~P)

yon P+ iiberein; R hat den Restklassenk6rper ~. Es sei ~ = ~ (~P) [~ . . . . . ~tl.

Wir w~hlen ffir die Elemente von f(~P) Vertreter in P'+, ftir"die Elemente

gl . . . . . ~ Vertreter xl . . . . , x t in/~. H sei ein Primelement von/?. Dann kann

jedes Element von R in eine Potenzreihe nach H entwickelt werden, deren Koeffizienten Polynome in x~, . . . , x~ mit Koeffizienten aus dem Vertreter-

system ,:on ~(~P) in P§ sind. Wegen/~P ~ P+ und wegen der Abgeschlossenheit von P+ in R foIgt sofor t /~=P+[xl . . . . . xf, HI . Damit ist -~'(/?/P)=M(/?/P +) bewiesen.

Wir bezeichnen mit S den Bewertungsring /~Q(P§ des Quotienten-

k6rpers Q(P§ von P+. Es gilt P§ und R§ +. Daher haben S und/~ +

denselben Restklassenk6rper ~+ und S enth/ilt ein Primelement von 1}% Da

ein endlich erzeugbarer Oberring yon P+ ist und wegen /~P (__ P+ sogar ein endlich erzeugbarer P+-Modul, ist/~erst recht ein endlich er~eugbarer S-Modul. Es folgt, dal3 far die Erweiterung /~ tiber S die Gradrelation [t~:Q(S)~=-

[@:~+]. e s gilt, wo e s den Verzweigungsexponenten yon /~ tiber S bedeutet (vgl. [12], S. 60). Dann gilt die Gradrelation auch ftir alle diskreten Bewer- tungsringe zwischen R und S. Es folgt S =/?+.

Es sei nun @=~+[~ . . . . . ~] mit einer p-Basis ~ . . . . . ~ yon @ aber g~.

Dann ist R=R+[yl . . . . . y , ,H~, wo Yl . . . . . Ys Vertreter ftir ~h . . . . ,~, in sind. I s t / ? tiber/~§ verzweigt, dann bilden Yl, :.., Y,, H wegen der Gtiltigkeit der Gradrelation eine p-Basis yon /? tiber R+, ist ~ tiber /~+ 'anverzweigt, dann darf Hc/~§ angenommen werden; dann bilden .Yl, . . . . y, eine p-Basis

326 ROBERT BERGER u n d ]~RNST K U N Z :

von R fiber R+. Somit ist R~R+[Z 1 . . . . . Zo ] / r t , wo rt=(Z~--z~ . . . . , Z ~ - - z ~ )

und ~ = p-Grad ~ -~ Rang R ~ / ~ +. R ist. Die Differentiation d+: R+ ---> M(R§ § ~ 2 +

yon R + fiber P§ kann fortgesetzt werden zur Diffe)entiation d: R-+M(R/P+), "con /~ fiber P%, da d+z~=0 ist, wegen z{EP + ( i : t . . . . . 0). Es folgt

M(-~I ~+) = R | M(R+IP +) | (D R dz,~-- R | M(R+IF't~ | M(~,I~+). i =1

M(R/R +) ist ein freier R-Modul vom Rang ~r. M(R+/P § ist ein Torsionsmodul, da

-~+ und [~§ denselben QuotientenkSrper besitzen, daher ist auch RQ~M(R +/P§ ein Torsionsmodul. Es folgt F~M(R~/R§ T~RQ~M(R+/P +) und die Rang-

aussage ffir F. Der Rang von M(R§ § ergibt sick aus Satz t , Folgerung 2 zu

p-Grad ~ +-Rang~+ ~§ P+) �9 R+

~+ RangR+~+/(~+~p+) R +, ---- p-Grad ~ +

wobei ~+ das Primideal yon /~+ ist. T hat denselben Rang, wie sich auch

durch Differenzbildung der R~inge von M(R/~ +) und F ergibt. Damit sind alle Aussagen von Satz 8 bewiesen.

Wit gehen hier I/icht auf die Frage nach der Anzahl der Da=K/R ein, die in der direkten Summenzerl.egung yon 37 in Satz 6 auftreten. Im Fall yon diskreten Bewertungsringen der Charakteristik 0 wird ffir eine weite Klasse yon Grundringen P gezeigt, dab keine solche Moduln auftreten. Daft sie im allgemeinen jedoch vorkommen kSnnen, zeigt das folgende

BEISPIEL. Von F. K. SCHMIDT wurde in einem Beispiel gezeigt (vgl. [11~), dab es diskrete Bewertungsringe R und P der Charakteristik p ~ 0 gibt, die folgende Eigenschaften haben: P ist in R enthalten, R ist fiber P unverzweigt und R und P haben den gleichen RestklassenkSrper; der Quotientenk6rper K von-R ist fiber dem QuotientenkSrper k von P rein inseparabel vom Grad p.

Sind P und R zwei solche diskrete Bewertungsringe, so folgt M(R/P)/ ?~. M(R/P ) ----0 nach Satz 1, Folgerung t. Daher ist M(R/P)= ?~. M(R/P) ein Divisionsmodul. Es ist M(R/P)~O, denn M(K/k):--KQRM(R/P ) ist y o n 0 verschieden, da Kik rein inseparabel vom Grad p ist. Es sei K~k(y) mit y CR. Dann gilt MIR/P [y]) =M(R/P)/Rdy :4: O, denn sonst w~re M(R/P) =Rdy endlich erzeugt, Was nicht der Fall sein kann, da M(R/P) ein Divisionsmodul ist. Wegen K| ist M(R/P[y]) ein nicht ver- schwindender Torsionsdivisionsmodul.

II. Diskrete Bewertungsringe der Charakteristik Null

Es gelten weiter die Voraussetzungen, die in w angegeben wurden. Zu- sdtzlich setzen wir voraus, da~ R die Charakteristik Null besitzt. Dieser Fall erfordert wesentlich andere Methoden als der Fall der Primzahlcharakteristik. Wir beweisen daher zun~ichst in zwei vorbereitenden Abschnitten einige Fort- setznngssAtze ffir Derivationen.

Struktur der Differentialmoduln yon diskreten ]3ewertungsfingen ~ 7

1. Ausdehnung einer Derivation eines diskreten Bewertungsrings der Charakteristik Null auf seine Komplettierung

Das Ziel dieses Abschnittes ist der-folgende Satz.

SATZ 9. Es sei D eine Derivation yon R, D die universdle Ausdehnung

yon D auf R. Dann gilt:

a) I3 ist tensoridle Ausdehnung yon D au[ R (s. [2~, Def. 5).

b) RD R/RD R ist ein torsions]reier Divisionsmodut.

Zum Beweis des Satzes ben6tigen wit einige tells modultheoretische, teils die Struktur der Ringerweiterung betreffende Hilfsbetrachtungen, die wir in sechs Hilfss~tzen voranstellen.

HILlCSSATZ 4. Es sei S ein Integrit~tsbereich mit der Eigenschafl, daft ]eder endlich erzeugbare, torsions[reie S-Modul ]rei ist. Ferner sei T ein Oberring yon S mit der Eigenschafl, daft. kein Element yon S Nullteiler in T ist, M ein_ S-Modul, N ein Untermodul. Dann gilt)

Der kanonische Homomorphismus T@sN--~ T Q s M ist ein Monomorphis- ffr~ U S .

Weft T nach Voraussetzung ein torsionsfreier S-Modul ist, ist Hitfssatz 4 eine unmfftelbare Folge yon: '

HILFSSATZ 5. E s sei S ~n Integrit~tsbereieh rnit der Eigenscha]t, daft ~ed, er endlich erzeugbare, torsions]reie S-MOdul frei ist, L ein torsions/reier S-ModuZ, N (=M zwei beliebige S-Moduln. Dann gilt:

Der kanonische Homomorphismus L@s N-+ L@s M ist ein Monomorphis- m U S .

BEWEIS. t . Fall: L ist endlich erzeugbar. Nach Voraussetzung abet S ist L als torsionsfreier Modul dann frei und die Behauptung des Satzes ist trivial.

2. Fall: L i s t nicht endiich erzeugbar. Es ist zu zeigen: Gilt ft~r Elemente l~ E L und n i G N ~ t iQn ~ = 0 in L Q s M , so gilt diese Relation scl:on in L@sN.

i

Es sei also ~ l;.@n~ = 0 in L@sM. Dann gibt es nach [3~, w t, Prop. 8 einen endlich i

erzeugbaren Untermodul L' = L mit I i G L' und ~ t i@ n~ = 0 bereits in/Y @s M. i

Da L' endlich erzeugbar ist, gilt nach Fall t Z l, Qn~=0 schon in L 'QsN, also erst recht in L @ s N .

ANMERKUNG. HilJssatz 4 garantiert die Transitivi~'t tier tensoridlen Aus- dehnung yon Derivationen bei diskreten Bewertungsringen (s. [2~, w

Wit werden im folgenden yon dieser Transitivit~t Gebrauch machen, auch wenn es nicht ausdrticklich erw/ihnt wird.

HILF$SATZ 6. ES sei S ein kommutativer unitdrer Ring, A dne mutt@likativ abgeschlossene Menge yon Elementen von S, t E A, 0 ~ A, S A der Quotientenring yon S 5eziiglich A, M ein S-Modul, N ein Untermodul. Dann gilt:

Mathematische Zeitsckrift. Bd. 77 2~


Der kanonische Homomorphismus S ~ Q s N-+ SA Q s M ist d n Monomorphis- m r

BEWEIS. Weil S A Quotientenring von S ist,-liil3t sich jedes E l e m e n t

y ~ S a Q N in der Form schreiben t y = y . ( t @ x), aE A, x C N. Liegt nun y im

Kern des kanonischen Homomorphismus Sa @ N-+ S A ,~ M, so ist ~ (t Q x) = 0 a .

in S A Q M , also t Q x = O in SA@M. Das bedeutet, dab ese in Element bCA gibt mit b. x=-0 in M. Daraus folgt wiederum t Q X - ~ 0 in S A ( ~ N , also

t ( l @ x ) = 0 in SA@N. auch y = ~-.

HILFSSATZ 7. Es sei I eine vollstiindige geordnete Indexmenge mit erstem Element O, {Si}i~ I eine Familie unit~rer Ringe mit derselben Eins, /iir die gilt S~(=S~, /alls i<=k, S = U S~. D o sei eine Derivation yon So, D i die universelle

i E I

Ausdehnung von D o au/ Si, D die universelle Ausdehnung yon D o au/ S. Dann gilt,"

a) Ist D i tensorielle Ausdehnung von D O au/ S~ fiir alle i C I, so ist D tensoridle Ausdehnung yon D o,au/ S.

b) Ist S~DiSi/S~DiS o torsions/rei /i~r alle i C I , so ist auch S D S / S D S o torsions/rei.

c) Ist SiDiSi/S~D~So v-dividierbar b ezi~glich eines Elementes v C So, fi~r alle i C I, so ist auch SD S /SD S o v-dividierbar. Dabei nennen wir einen Modul M v-dividierbar, wenn # l t M-= v �9 M.

BEWEIS. Es se iMi=S~D~S , flit alle iCI . Wegen der Transitivff~it der universellen Ausdehnung ([21, w t) "ist D k ftir i _ k universelle Ausdehnung von D i auf S k. Die zugeh6rige Si-lineare Abbildung von,M/in M~ bezeichnen wir mit ~0i~. Es gilt dann: Dk=gikoD~ auf S i und daher 9ikogi i=q~k auf M i ftir alle i--< / =< k.

Zu der Familie der M i und 9i~ gibt es einen S-Modul M, den direkten Limes, mit folgenden charakteristischen Eigenschaften:

t . Ftir jedes /C I gibt es eine Sj-lineare Abbildung Zj von Mj in M. mit Zi=Zkogik fiir alle i<=k.

2. M = U Zi (M~). ' �9 r

3. Ist M' eifi S-Modul mit einem System yon Si-linearen Abbfldungen Zi yon Mi in M' mit Z'i = Z~ o ~ik ffir alle i =< k, so gib t es eine S-lineare Abbildung A yon M in M' mit I'~ = A 0 Zi ftir alle i ~ I.

M i s t durch die Eigenschaften 1. bis 3- bis auf S-!ineare Isomorphie eindeutig bestimmt. Ferner g i l t : Kern (Zi) = U Kern (9~).

Wir definieren eine Abbildung D von S in.M folgendermaBen: Jedes x ~ S liegt in einem S,. Wir setzen Dx=z~oD~x. Gilt auch x~S~ mit i < k , so gilt : z~D~ x =Z~ o ~% ~ o Di x ---- Z~ o D~ x. Also h~ngt die Definition nieht yon dem gew~thlten i a b .

D ist eine Derivation yon S und verm6ge D'--=ZooDo auf S O eine: Aus- dehnung yon D O auf S. Ferner ist S D S = M . Wir zeigen, dab D universelle Ansdehnung yon D O auf S ist.

St ruk tu r der Different ialmoduln yon diskreten Bewertungsr ingen ~ 9

Es sei D ' eine beliebige Ausdehnung von D o a af S, M ' = S D ' S. Da die Einschr~nkung von D' auf S t eine Ausdehnung von D o auf S i i s t , gibt es ffir

! r P jedes i E I e i n e Scl ineare Abbi ldung :gi von M i ill M ' mi t D ----Zi o D i auf Si; denn D i i s t die universelle Ausdehnung yon D O auf S t. Zusammen mi t D~ = 9i~ o D i auf S~ fiir i<--k e ih~l t man :g~ = :g~ o 9ik. Also gibt es nach Eigen- schaft 3. von M eine S-lineare Abbi ldung A v o n M in M ' mit :g~-=Ao:g i ffir

t O atle i E I . Das ergibt D = A D, d.h. D ist universelte Ausdehnung yon D o a u f S.

Zu a): Is t D i tensorielle Ausdehnung von D o, so bedente t das, dab die So- l ineare Abbi ldung 90i universelle S c E i n b e t t u n g des So-Moduls M o i s t . Es sei ~o: M o - + M ' eine beliebige So-lineare Abbi ldung yon M o in einen S-Modul M'. ~o ist dann auch ftir alle i C I e i n e S c E i n b e t t u n g yon M o, weil M ' auch ein ScModul ist. Also gibt es eine Scl ineare Abbi ldung ~o~ yon S i �9 %i(Mo) in M ' mit w----wiogoi. ~i sei die Einschr~nkung von :g~ auf Si" 90 ~ (Mo)- Wir zeigen : Y~i (Kern (Zi)) = 0:

Es sei yCKern (~ i ) . Wegen Kern(z~.)= U Kern(9~k ) gilt dann fiir ein

passendes k>=i: 9 i ~ ( y ) = 0 . Wegen yJ=~o~og0i:-- ~kOgok nnd % ~ = 9 i k O ~ o i folo L, weil das Bild von "M o bei 9o~ den Modul S t �9 9oi(Mo) erzeugt: y ~ - - ~ o 9 ~ auf . S , . 9o, (M0), "also-~, (y) =~ok (9,~ (Y)) = 0.

F olglich induzier t ~v~_ in nattirl icher Weise eine Scl ineare Abbi ldung ~ von S t �9 :g~ o 9o ~ (Mo) = St ":go (Mo) in M ' mi t ~v = ~o; o :gd. Ffir i < k ist S t . :go (Mo) (= S~.:g o (Mo) und ~o; For t se tzung vonw~. Daher induzieren die Abbildungen ~ in nattirl ieher Weise e ine ,Abbi ldung ~ yon U S i �9 :go (Mo) = S �9 :go (Mo) in M ' m i t ~0 = ~ o ;go. ~g ist S-linear.

D a m i t ist gezeigt, daft :go universelle S -E inbe t tung von M o ist, also S .:go(M~) = S @ s ~ q.e.d.

Zu b) : Es set SiD~ S~/S~D~ S O ft~r alle i C I torsionsfrei, s ~ S, s ~, O, x ~ M---- S D S und s . x ~ S . Zo (Mo) = S D S o. Wir zeigen, dab daraus folgt: x ~ S. Zo (Mo). Beweis. F a r hinreichend groges i ha t man" s ~ Si, x=:g~ (z), z ~M~ und Zi (s �9 z) -~ 2 st" Zo (Yr mi t s t ~ Si, y~ ~ M o. Das bedeute t : Zi (s. z - - ~ . s~ ; 9 o i (Yt)) - - 0.

t Wegen Kern (g~) = U Kern (9,:~) folgt daraus : 9i~ (s . z) = ~, s~- 9i~ o % i (yr ffir

i .~ h t

e.in k ~ i, Mso s . 9i~ (z) = ~ s~. 9o~ (Yt) ~ S~ �9 9o ~ (Mo) = S~D~ S o. Wegen der vor- t

ausgesetzten Torsionsfreiheit v0n M~/S~D~ S O ~olgt daraus: ~ (z) ~ S~. 9o,~(~), also

x = Z~ (z) = X~ o 9 ~ (z) ~ S~. Z~ o 9o~ (?do) (= S . Zo(Mo), q.e.d.

Zu c) : I s t x ~ M, so ist x = Zi (z) mi t z ~ M~ ffir hinreichend groBes i ~ I . MdS~" 9o~ (3/o) ist n a c h Voraussetzung v-dividierbar. A l so gibt es ein y ~M~ mi t z ~ - �9 y rood S t �9 9o i (Mo). Die Anwendung von Z~ liefert :

x --~ v- :g~ (y) rood S . :go (Mo), q.e.d.

HILFSSATZ 8. Es Sei A ein Ki~rper, B = A (x) ein OberkSrper,. x transzendent iiber A, T ein diskreter Bewertungsring mit dem QuotientenkSrper B und dem

23*

~30 ROBERT BERGm~ und ERNST KUNZ:

Primideal ~3, S = T ~ A , T unverzweigt iiber S und T]~3=S+~3]~3. Ferner sei A eine Derivation yon S, D die universdle Ausdehnung yon A au] T. Dann gilt: D ist tensorielle Ausdehnung yon A au] T und TDT[TDS ist ein torsions- ]reier Divisionsmodul.

B EwEIs. Wit k6nnen o.B.d.A, annehmen, dab x in T liegt, u E S sei ein Primelement yon T. Wit definieren rekursiv eine Folge yon Elementen xi E T wie folgt" x 0 = x; ist x ,_ l schon definiert, so gibt es wegen T[~3 = S + ~3]~3 ein Element a ,_ lC S mit x,_l--a,~_lC ~3. Wir definieren dann x~ durch x~_ 1 -- a ._ 1-- u �9 x, . Die Folge der x i genfigt den Voraussetzungen des Satzes 9 in [1], angewandt auf den Fall eines einstufigen diskreten Bewertungsringes. Setzt man also T/= S [xi], so bilden die T~ eine aufsteigende Folge yon Ringen,

undesgi l t : T = ( i ~ 0 T / ) = {Y; y, zE~OT~,zE~3}.Fernergiltoffenbar:B=Aix~)

ffir alle i, also sind alle xi transzendent fiber A. D i bezeichne die universelle Ausdehntmg yon A auf Tr Nach [2], Satz 4 gilt: TiD i To= TiQ s S A S �9 To. Dix~, wobei Dix i als Unbestimmte zu behandeln ist. Also ist D i tensorieUe Aus- dehnung von A und TIDiTdT~DiS ist torsionsfrei. Nach Hilfssatz 7 fibertragen sich diese beiden Eigenschaften auf die universelle AusdehnungD' y o n A

CO

auf T'---- UoT/..= T ist Quotientenring yon T'. Nach ['21, Sa tz6 gilt: T D T =

T@T,T'D'T' . Nach Hilfssatz6 enth/itt dann T D T im Sinne kanonischer Monomorphie den Modul TQT, T'D'S, und, well D' tensorielle Ausdehnung von A is• gilt T'D'S----T'QsSA S. Beachtet man noch die kanonische Iso- morphie T @T, T' Qs S A S = T @s S A S, so sieht man, dab D tensorielle Aus- dehnung von A auf T ist. Ferner ist T D T [ T D S = T @ r , ( T ' D ' T ' / T ' D ' S ) torsionsfrei, weil T'D'T' /T 'D'S torsionsfrei ist und T Quotientenring yon T' ist.

Ist schliegtich y E T, so gibt es wegen T]~3= S+~]~$ ein z ES und ein v E T mit y = z + u , v. ES folgt wegen uCS: D y - ~ u . Dv m o d T D S , also ist TD T/TD S ein Divisionsmodul.

HILFSSATZ 9. Es sei A ein K6rper, B eine endliche, separabel algebraische K6rpererweiterung yon A, T ein diskreter Bewertungsring mit dem Quotienten- k6rper B und dem Primideal ~3, S = Tr~A, T unverzweigt iiber S und T[]3= S+~/~3. Ferner sei d eine Derivation yon S, D die universelle Ausdehnung yon A au] T. Dann gilt: D ist tensorielle Ausdehnung yon A au] T und T D T / T D S = (0).

BEWEIS. Well B eine endliche, separabel algebraische K6rpererweiterung von A ist, gibt es ein Element x E T mit B=A(x) . Wie beim Beweis v o n Hilfssatz 8 definieren wit eine Folge y o n Elementen xiE T mit xo=x, x~_ 1 - -a~_l=u �9 x,, wobei u ein Primelement von S ist und die a i in S liegen.

( ~ ) mit Man hat dann wieder nach [1], Satz9: T = iUoTi T~ = S [xi]. Es sei

gi (X) C S IX] ein Primpolynom yon S IX] mit gi (Xi) = 0. Man hat dann nach dem Gau~schen Satz: Ti-= S [xi] ~ S [X]/(g~(X)). Aul3eraem gilt g,'. (xi)=t= 0 wegen der Separa.bilit~it yon x i tiber A. Aus [2] , Satz 7 tolgt daher, dab

Struktur der Differentialmoduln yon diskreten Bewertungsringen 3~1

die universelle Ausdehnung yon L] auf T i tensoriell ist. Nach Hilfssatz 7 und [2 i, Satz 6 ist dann auch D tensorielle Ausdehnung yon zJ.

Schliel31ich hat man nach E21, Amnerkung 10, dab TDT/TDS=M(T/S) ist. Andererseits ist aber wegen der Unverzweigtheit von T fiber S zusarnmen mit T/U= S+~3/.~ nach Satz I M(T/S)/~3. M(T/S)= (0), also M(T/S)= (0), well M(T/S).endlich erzeugbar Jst, q.e.d.

BEWEIS yon Satz 9. Wit betrachten die diskreten Bewertungsringe R' mit

R(R 'CP, und der Eigenschaft, dal3 die universelle AusdehnungD' yon D auf R' tensoriell und R'D'R'/R'D'R torsionsfrei ist. Nach Hilfssatz 7 fibertragen sich diese Eigenschaften dann auf die Vereinigung einer aufsteigenden Folge solcher Ringe (die wieder ein diskreter Bewertungsring ist). Also gibt es nach dem Lemma yon ZoRN einen im Sinne der 'durch die Relation __(

gegebenen Anordnung maximalen diskreten Bewertnngsring ~' mit R ( R ( R , so dab ffir die universelle Ansdehnung D von D auf R--dig angegebenen Eigen-

schaften gelten. Es ist R = R . W/ire n~mlich R q=R, so g~tbe es ein Element

xC2~, xE*~. Es sei /7 der Quotientenkfrper von ~R, R"=Rc~K(x). x ist entweder transzendent oder, well R die Charakteristik Null hat, separabel aigebraisch fiber K. AuBerdem ist R" fiber R unverzweigt und beide Ringe

haben denselben Restklassenk6rper wegen R ( R ( R " ( = R . Nach HiKssatz 8 bzw. Hi l f ssa tz9 ist daher die universelle Ausdehnnng D" von D auf R" tensoriell und es gilt: R"D"R"/R"D"ig, ist torsionsfrei. Wegen der Transi- tivit/it der universellen Ausdehnung ist D" auch universelle Ansdehnung yon D auf R" und wegen Hilfssatz 4 ist D'" sogar tensorielle Ausdehnnng yon D auf R" (s. [2], w Hat man nun ein Element y CR"D"R" und ein Element r C R", r 4= 0 mit r �9 y E R"D"R, so folgt aus der Torsionsfreiheit von R"D"R"/

I t t / - - I ! I I - - " R D R, dag y CR D R gilt. y ist also Torsionselement von R"D"R/R"D"R R" @~ R D R/R"@_~DR ~- R"@~ (R D R/R D R). Nach Voraussetzung fiber ist RD R/RD R torsionsfrei, also ist nach [!], Satz 5 auch R"@2 (R D R/R D R) torsionsfrei, also gilt y ER"D"R. Damit ist aueh die Torsionsfreiheit yon R"D"R"/R"D"R gezeigt. R" hat also die Eigenschaften, denen gegenfiber

maximal ist, was den gesuchten Widerspruch liefert.

DaB schliel31ich R D R / R D R ein Divisionsmodul ist, ergibt sich wie beim

Beweis yon Hilfssatz 8 aus der Tatsache, d a b / ~ fiber R nnverzweigt ist mad beide Ringe denselben Restklassenk6rper haben.

Damit ist Satz 9 in allen Teilen bewiesen.

2. Ausdehnung einer Derivation yon P au/

VORAUSSETZURGEN. Zus~tzlich zu den in w angegebenen Voraussetzungeu und Bezeichnungen sei i'm/olgenden:

Rein diskreter Bewertungsring der Charakteristik Null, P=Rc~k (also eben-

falls ein diskreter Bewertungsring oder P = k), ~ eine Derivation von P, 1~ die


unwerselle Ausdehnung yon ~ aul R_ d die Di/lerentiation von R i~ber P, ~ i~ber f endlich inseparabd.

Dabei definieren wit:

DEFINITION. Sind A C=B zwei K6rper, so heiflt B ,,endlich inseparabel" i~ber A, wenn es einen ZwischenkSrper C zwischen A und B gibt, der i~ber A eine endliehe separierende Transzendenzbasis besitzt und i~ber dem B eine endliche, rein inseparable algebraisehe Erweiterung ist.

(Daraus folgt insbesondere, daB B endliche Dimension fiber A besitzt. Ferner folgt, wenn B Primzahlcharakteristik p hat, daB B tiber A endlichen p-Grad besitzt, jedoch gilt im allgemeinen nicht die Umkehrung).

Wir zeigen unter den angegebenen Voraussetzungen, daB D tensorieUe Ausdehnung yon c3 ist. Dabei verwenden wir eine Konstruktion, in deren Verlauf wir fiir die i3berlegungen des n/ichsten Kapitels im Spezialfall, daB

die triviale Derivation von P ist, wichtige Untermoduln von RdR gewinnen. Es seien t 1 ; . . . , t~E R Repr~isentanten einer separierenden Transzendenz-

basis des nach Voraussetzung existierenden tiber ~ separablen Zwischenk6rpers | zwischen ~ und ~, tiber dem ~ eine endliche, rein inseparable Erweiterung ist.

Well die Restklassen m o d ~ tier t 1 . . . . . t~ algebraisch unabh/ingig tiber P + ~ t ~ = ~ sind und P ein ]3ewertungsring oder ein K6rper ist, sind d i e t I . . . . . t m algebraisch unabh~ingig fiber P. Ferner gilt wegen der algebraischen Unabh~ingigkeit der tl . . . . . t,~ mode?: ~?~P[t~ . . . . . tin] = ( ~ P ) - P[tt, . . . , t~].

1. Fall: ~ P 4= (0), also P ein:diskreter Bewertungsring. In diesem Falle

ist 2 J= f~ - ; a,b~P[tl , . . . , tm], b~3} ein diskreter Bewertungsring, der in

R liegt, also Z = R ~ Q ( 2 J ) .

2. Fall: ~}~ P = (0). In diesem Falle ist k trivial bewertet, also P = k ein K6rper und folglich der ganze K6rper P (t~, . . . , t,~) in R enthalten und daher trivial bewertet. Es sei u 'e in Primelement von R. Weil P (t I . . . . , trn ) trivial bewertet ist, u dagegen einen yon Null verschiedenen Wert besitzt, ist u transzendent tiber diesem K6rper und folglich

Z = P ( t , . . . . . t~)[u](~)={~-; a, bqP(, 1 . . . . . t~)[u], b~u:;P(t,,.;.,t,~)[u]}

ein diskreter Bewertungsring, der in R enthalten ist, also 27=R~Q(2J) . Setzen wir u=t~+ 1, so kann man auch in diesem Falle schreiben

~ 7 = { ~ " a, bCP[t~, ...,t,~+l], b ~

analog zu Fall t.

In beiden F~illen ist der Restklassenk6rper ~ ' ,+~/~=~(t~ . . . . . tm), wenn

i i die Restklasse von t i rood ~ bezeichnet, und daher ~ separabel aigebraisch f iber .Z+ ~/~.

Struktur der Differentialmoduln yon diskreten Bewertungsringen 3 ~

A bezeichne die universelle Ausdehnung yon d auf ~'. Nach [2], Satz 4 und 6 gilt 27A Z = ~@p P d P �9 27- A t 1 �9 .... �9 Z . A t~, wobei die A t i als Unbestimmte

[dim ~_ zu behandeln sind, mit r = ~ , , falls P ein diskreter Bewertungsring ist,

/ dim ~ + !, falls P ein K6fper ist.

Man hat daher: zl ist tensorielle Ausdehnung von d auf Z, und ZA Z/Zzl P ist ein freier Z-Modul v o m Rang r.

Wir betrachten nun die diskreten Bewertungsringe S' mit folgenden Eigen-

schaften: t . 2J< S' (/~, 2. S' ist komplettl 3. S' + ~3/~ _( | 4. S' ist unverzweigt fiber Z, 5. die universelle Ausdehnung D' von A auf S' ist tensorielle A(ts- dehnung, 6. S'D'S' /S'D'Z ist torsions!rei, 7. S'D'S'/S'D'Z ist ein Divisions- modul.

Nach Hilfssatz 4, Hilfssatz 7 und Satz 9 fiber.tragen sich diese siebe'n Eigen- schaften sofort auf die Komplettierung einer aufsteigenden Folge solcher Ringe. Nach dem Lemma yon ZoR~ gibtes also einen bezfiglich der dutch die Relation _(_ gegebenen Anordnung maximalen diskreten Bewertungsring S mit den Eigenschaften t. bis 7. Wir zeigen: S + ~ / ~ = ~.

BEWEIS. Ware S+~]~=t=| so g~ibe es eln Element J~C | Jc(~S+~3/~. Well ~? Ms Element yon | separabel algebraisch fiber S+~3/~ ist, genfigt es fiber diesem K6rper einer irreduziblen normierten Gleichung ohne mehr- fache Nullstellen. Da S .komplett ist, gibt es nach dem Lemmk yon HENSEL

in /~ ein in der Restklasse k liegendes Element x, das fiber S einer normierten

Gleichung desselben Grades genfigt, ~de k fiber S + ~?/~. Sei S" -=R~ Q (S)(x). Aus der Gradrelation fotgt: S" ist unverzweigt fiber S und hat den Rest- klassenk6rper (S+?(3/?~)(~?). Ferner ist S " komplett, weii S komplett u n d ' Q (S") endlich algebraisch fiber Q (S) ist. Ein Repr~tsentantensystem ffir eine Basis des RestklassenkSrpers yon S" fiber dem yon S bildet daher eine Basis ffir S" fiber S. Man hat also S " = S Ix 1. g(x) sei das nol-rnierte Minimal- polynom ffir x fiber .S. Aus Gradgrfinden ist dann das beim ~bergang zu Restklassen m o d $ en{stdhende Polynom das Minimalpolynorn fiir ~ fiber S + ~ /~ . Well ~ fiber diesem K6rper separabel algebraisch ist, hat man daher g'(x)~O m o d e , d.h. g'(x) ist Einheit in S".

D" sei die universelle Ausdehnung yon D auf S", D die universeile Aus- dehnung yon A auf S. Nach [2~, Satz 7 ist D ') wegen g'(x)~0 tensorielle Ausdehnung yon D. Also ist D" wegen Hilfssatz 4 auch tensorielle Ausdehnung yon z]. Ferner folgt aus g(x)=0: g'(x) �9 D " x ~ O mod S"D"S, also, weft g'(x) Einheit in S" ist, D" x C S"D"S nnd damit S " D " S " = S"D"S = S"@s SD S. Es ist daher S " D " S " / S " D " Z = S"@s (SDS/SDZ) torsionsfreier Divisions- modul, well das ffir S D S / S D Z gilt (s. a. ~1~, Satz 5). Also erffitlt S" die Eigenschaften t. bis 7. im Widerspruch zur Maximalit~it yon S bezfiglich dieser Eigenschaften. Daher gilt S + ~3/~.~ |

Wir betrachten nun die Struktur von R fiber S. Der Restklassenk6rper

yon R ist nach Voraussetzung endlich algebraisch (und rein inseparabel) fiber

334 ROBERT BERGER und ERNST KUI~IZ:

dem Restklassenk6rper ~ yon S. Ist u ein Primelement von R, ~ ein Prim- element von 2] und e der Verzweigungsexponent von R fiber Z, so bilden die W e r t e der Elemente { ~ . u i; i = 0, I 2, �9 0 <I'--< e -- t) ein vollst~ndiges

Reprlisentantensystem flit die Werte der Elernente yon R. Ist schliefllich ,noch t =Yl, Y~,..:, Y~ ein Repfitsentantensystem einer Basis yon ~ fiber 6 , so sieht man dutch Reihenentwicklung der Elemente yon R nach ~ , u i mit

Koeffizienten der Form ~, Sz.yz, s i ~ S, und passende Umordnung, daB die I = 1

Elemente {y~.ui; 1<l<_n, o < i < _ e ' l } eine Basis yon R fiber S bilden.

Als0 ist der QuOtientenk6rper yon R eine endliche, separabel algebraische Erweiterung des Quotientenk6rpers yon S. (Falls P ein K6rper ist, hat man

~ = u mad ~ = | also R----S.) 6 .

/~ bezeichne die umverselle Ausdehnung yon D auf-R. Nach [2], Satz 11

gilt: 13 ist tensorielle Ausdehnung von D auf R, und RDR]RD S is t endlich

erzeugbar. Wegen Hilfssatz 4 i s t / ~ dann auch tensorielle Ausdehnung Yon A und 8. Ferner ist D wegen" der Transitivititt der universelten Ausdehnung

auch universelle Ausdehnung yon/ ] u n d 8 auf R.

SchlieBlich genfigt jedes Element x E2~ einem Minimalpolynoln [(X) fiber S mit ]'(x):4=0 wegen der Separabilititt der Erweiterung. Es folgt:

]'(x) �9 D x ~ 0 rood R D S, d.h. R D R/R D S ist ein Torsionsmodul.

SATZ t0. Mit den oben erkl~rten Bezeichnungen und Voraussetzungen gilt." fede Derivation yon P besitzt eine tensoridle Ausdehnung au[ R.

BEwEIs. Nach dem soeben gezeigten besitzt jede Derivation yon P eine

tensorielle Ausdehnung auf/~. Aus H. i!fssatz 4 und [2~, Satz 2 folgt, daB die Einschr~inkung dieser Ausdehnung auf R die gesuchte tensorielle Ausdehnung der Derivation yon P auf R ist.

ANMERKUNG. Man i~berlegt ldcht, daft Satz t0 auch ohne die Voraussetzung, daft ~ endlich inseparabd aber t ist, richtig ist.

Ffir den Spezialfall, daB 8 die triviale Derivation yon P und daher dann D-----d ist, erhlilt man aus der obigen Konstruktion:

SATz t l . Mit den oben erkliirten Bezeichnungen und Voraussetzungen gilt: Es gibt in M(RI# ) Untermoduln H~RQ~M(Z/P) und N_~R| ) mit ]6lgenden ,Eigenschaflen :

id /atl P 4: k H ist e!n ]reier R-Modut vom Rang i m -

dim -~'- + l ]alls P -~ k,

N/H ~-~ R | M ( S /X) ist ein torsions]reier Divisionsmodul, M(R/P)]N~--M(R/S) ist ein endlich erzeugbarer Torsionsmodul (=(0) liar P~k) .

Struktur der Differentialmoduln yon diskreten Bewertungsringen ~ 5

3. Folgerungen ]i~r die Struktur von R @RM(R/P)

SATZ 12. Zus~tzlich zu den Voraussetzungen in w 3 sei : Die Charakteristik von R gleich Null,

P = R ~ k , ~ der Restklassenk6rper yon P,

E, F, T, D die in Satz 6 einge/i~hrten ModuIn.

Im Falle p> 0 setzen wir noch voraus, daft ~ iiber ~ endlich inseparabd im Sinne der zu An/ang yon Abschnitt 2 gegebenen Definition ist.

Dann gilt: dim ~ , ]alls P ~ k a) Rang F =

d i m ~ + t , /alls P = k.

b) R@RM (R/P) =C M (R/P) in nati~rlicher Weise, und R@RM (R/P) enthdlt die Torsion yon M (R/P).

c) Im Falle P = P ist die Torsion yon R@RM(R/P) endlich erzeugbar und isomorph zur Torsion yon M'(R/P).

Zur Vorbereitung des Beweises zeigen wir zun~chst folgenden Hilfssatz (s. a. [1], Satz 7}:

HILFSSATZ t0. ES sei S ein diskreter Bewertungsring, M ein S-Modul, H ein ]reier Untermodul endlichen Ranges. Ferner gelte: M - ~ F O T O D , M/H= TO D, wobei F ein ]reier Modul endlichen Ranges, T und T endlich erzeugbare Torsiommodul.n, D und D torsions]reie Divisionsmoduln sin& Dann gilt: Rang F = Rang H.

BEwEIs. I. Rang F ~ Rang H: Wir setzen zur Abktirzung F' : M / ( T + D ) , H ' = (H+ T+D)/(T+D). Dann ist F'_~F und "/t' ist als homomorphes Bild yon H endlich erzeugba.r mit Rang H'<= Rang H ,

Man hat dann einerseits:

M/(H -F T + D) ~ (M/(T -[- D))/((H + T + D)/(T + D)) = F / H '

ist endlich erzeugbar ads homomorphes Bild von F ' Andererseits gilt :

M/(H+ T+D)_~(M/H)/((H+ T+D)/H)

ist homomorphes Bild von M / H ~ T O D .

Als endlich erzeugbarer Modul ist M/(H+ T+D) direkte Summe zyklischer Moduln, enth~lt also kein yon Null verschiedenes Element unendlicher H6he. Da alle Elemente von /~ und daher auch ihre Bilder in M / ( H + T + D ) unendliche H6he haben, liegt ganz/~ im Kern des Homomorphismus, und'daher ist M / ( H + T + D ) homomorphes Bild von T, also ein endlich erzeugbarer Torsionsmodul. Es gibt also ein Element x 4= 0, x C S, das den ganzen Modul -

336 ROBERT.]~ERGER und ERNST KUNZ:

annulliert . Wegen der Isomorphie mi t F'/H' bedeute t das: x. F'(__H', Well F ' frel ist, gilt x.F'_~F' und daher;. RangF=RangF'=Rangx.F'~ Rang H' ~ Rang H.

2. RangF_>_RangH: Yi . . . . . y, sei eine Basis von H. Dann ist r = R a n g H . I n M = F O T O D ges ta t ten die Yi eine eindeutige Zerlegung y,=/i+t~+di mi t ]i E F, t i C T , d~ C D. Wir zeigen, dab die /1 . . . . . ], l inear unabh~ngig sind. D a n n enth~lt also F mindestens r linear unabhAngige Elemente und es ist daher Rang F ~ Rang H.

Well die Torsion von M/H nach Voraussetzung endlich erzeugbar ist, enth~lt sie kein yon Null verschiedenes E lement unendlicher H6he. Daher gilt: H ~ D = ( 0 ) ; denn w~re z~-O, zCH~D, so g~be es, well z in dem endlich erzeugbaren Modul H eine endliche H6he hat , in D abet unendliche H6he, ein E lement z'ED, z'EH und ein s C S mi t s. z '=z~H, z' repr~sentier te dann ein Torsionselement von M/H. Dieses h~t te abe t als h0mom~rphes Bild eines Elementes aus D unendliche H6he in M/H im Widerspruch zu dem oben festges~ellten.

l , = 0 , nuo

s ~ 0,'s F'S ein E lement mff s �9 t i = 0 ~tir alle i = t . . . . . r. Dann gilt : s �9 s i �9 Yi----

s . s i . d i. Da raus sieht man, dab das E lemen t y= s . s i . y ~ in HAD

li'egt, also Null i s t . Wegen der l inearen U n a b h ~ n g i g k e i t d e r y, folgt daraus s . s~=0 und weiter S~----0 ftir alle i = l . . . . . r. Dami t ist die Iineare Unab- hiingigkeit der ]1 . . . . , ]~ nachgewiesen.

BEWEIS von Satz t 2. I s t d die Different iat ion von R tiber P, d die Diffe-

rent ia t ion yon /~ tiber P, so ist d ~ die universelle Ausdetmung von .d auf

und m a n ha t daher nach Sate '9: d ist tensorielle Ausdehnung yon d auf /~

und R~IR/RdR ist torsionsfrei. Das bedeute t : ~QRM(R/P)(M(/~SP ) in nadi r -

licher Weise und iedes Torsionselement yon MIR/P) liegt bereits in R@R M(R/P). Dami t ist b) gezeigt.

W i t be t rach ten nun zun~chst den Fall P - - P .

T' sei die Torsion von M(R/P) und dami t nach b) auch die Torsion von

RQRM(R]P). N sei der in Satz 11 vo rkommende ModuL N ist torsionsfrei,

also gilt Nr~T'=(O). Daher ist ein zu T' i somorpher Modul in M(R/P)/N enthal ten. M(R/P)/N ist aber nach Satz t l ein endlich erzeugbarer Modul, also ist auch T' endlich erzeugbar. Is t D der maxlmale Divis i0nsuntermodul

von R@RM(R/P), so folgt: T'~D=(O); denn sonst enthielte T' Elemente unendticher H6he, was dei~ endlichen Erzeugbarkei t widerspricht.

Es sei t = e + d die Zerlegung eines Torsionselementes t in RQR M(R/P) -~ EGD, eCE, dCD,~r:~O,r~R sei ein Annul la tor von t. Es folgt r �9 e--~ - - r �9 d, a l s o liegt r . d in EnD=(O). Well D kein Torsionselement enth~lt, folgt daraus d ~ 0, also t = e. Dami t ha t man : T' ~ E, also T' = T.

St ruk tu r der Dif ferent ia lmoduln yon diskreten Bewertungsr ingen ~ 7

Wegen E~M'(R/P) ist damit c) bewiesen.

Zum Beweis yon a) betrachten Wir zuerst wieder den Fall P = P. Nach

Satz 6, angewandt auf R fiber P bzw. R fiber P hat man: RQRMiR/P)=E @D mit E_~M'~R/P) und auch M(R/P)----~7OL) mit ~7~M'(R/P), also E~/~ . Es

genfigt also, den Rang des freien Bestandteils yon E zu bestimmen.

Sei etwa ~7----F | T, F freier Modul, T endlich erzeugbarer Torsionsmodul. Wit betrachten mit den im Abschnitt 2. eingeffihrten Moduln H und N den

Modul M"=M(R/P)/H. Er enth/ilt den Untermodul N"=N/H, der als Divisionsmodul direkter Summand ist. Der komplement~re Summand in

einer Zerlegung yon M " ist isomorph zu M(R/P)/N, also ein endlich erzeugbarer

Torsionsmodul. Well N" torsionsfrei ist, folgt aus Hilfssatz i0: Rang F = Rang H.

.

[ dim -~, falls P =b: k f NachSatz 1 ! hat man ferner Rang H = .

dim =- + t, falls P = k.

Damit ist a) ffir den Fall P = P bewiesen.

Im Fall P =~ P sei d die Differentiation yon R fiber P, d die Differentiation

yon R fiber P. Man hat dann nach [2~, Anmerkung t0: RdR=RdR/RdP. Well P im Quotientenk6rper yon P liegt, gibt es zu jedem Element x E P ein

Element y: O, YEP mit y,. xCP. Es folgt: y.dx=O, also ist RdP ein

T0rsionsmodul. Man hat also RQRM(R/P)=RQnM(R/P)/RQRdP, wo

RQRd~P ein Torsionsmodul ist, well RdP ein Torsionsmodul ist. Sei D" die Torsion yon D. Dann gilt D=D'OD", D' torsionsfrei nnd

daher R(~RM(R/P)=FOD'GT', wo T' die Torsion yon RQRM(R/P) ist.

Wegen R@RdP(=T' folgt: R@RM(R/P)_~FOD'O(T'/R@RdP). Da

T'/R@RdP ein Torsionsmodul ist, ist damit der allgemeine F~ll auf dell

Fall P = P zurfickgeffihrt. Damit ist Satz t 2 in alien Teilen bewiesen.

~OLGERUNG. Es sei dim ~-K = n , P = P'. Dann gilt."

R@RM(R/P) ist genau dan~ endlich erzeugbar, wenn

~_ { n, /c~lis P 6= k dim = n--t , /aIls P = k

4St. Li teratur

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Über die Struktur der Differentialmoduln von diskreten Bewertungsringen