433

4. ifi5e!P &e BymrnetrYCe der E&talZ-R6mtgsogramme;

vorc H. v. Lazce.

$ 1. In der Literatur findet r5ich vielfach die wohl auf Fried ell) zuriickgehende Behaqtung, die Rontgenstrahl- interferenzen an Kristallen besiS&n ebenso wie der Vorgang der Lichtfortpflanzung an sich eip riSumliches Symmetrie- zentrum, sodaS man unter keinen Umstiinden an ihnen er- kennen konnte, ob der Kristall ein solches Zentrum hat oder nicht, und daB es infolgedessen dafiir nicht 52, sondern nur wie fi i r die Optik 11 unterscheidbare Kristallsysteme gtibe. Die uberlegungen, durch welche Fried e 1 dies erweisen will, lauten :

,,Dane une sym6trie holoddre, donc centrke, Za tout plan de symbtrie correspond un axe binaire (ou en genkral pair) qui est lui normal, et rbciproquement. Lorsque on passe de holo- &rie ti une hbmikdrie, de ces trois 616ments, axe, plan et centre, deux disparaissent nhessairement ensemble. Or ima- ginons deux rayons diffrmt& A et A’ symbtriques par rapport 8. un plan de symbtrie, dans la diffraction produite par un cristal holoklre convenablement orient& Ces deux rayons sont aussi trim symdtriques l‘un (ae l’gutre par rapport d l‘am bi7taire ~zomnal au plun. Par cmtre, chacwn est son p o p e s y d - trique par rapport au centre. Supposons maintenant, que b cristal, au lieu d’dtre holo&lre, ait l’une des deux h6miMdries non centrbs, c’est-Za-dire l’holoasie ou, l‘antihemi6drie. En ce cas, il subsiste toujours de l’holodrie, soit l’axe binaire, soit le plan de symbtrie. C& suffit pour que les deux rayons A et A’, identiques par symbtrie dam le ees de l’holo&rie, restent forcement identiques par sym6trie dans le cas de l’hbmi- Bdrie. Par suite, en aucun cas, lea radiogammes ne pourront relever l’absence de centre .?:‘

Dieser Beweis scheint uns in mehr sls einer Hinsicht an- fechtbar. Schon der Anfangssatz schlieBt das trikline System

1) G. Friedel, Compt. rend. 167. p. 1633, 1913. Annslen der Physik. 1V. Folge. 60. 29

454 M . v. Laue.

von der Betrachtung aus, da es bei seiner Holoedrie keine Symmetrieebene oder -achse gibt. Die beiden kursiv ge- druckten SBtze sind sodann m m mindesten unklar, weil darin von der Richtung de$ einfallenden Strahles nicht die Rede ist; hiilt man letztere Richtung fest, so sind sie felsch, wie der erste Blick auf die Vermchsergebnisse zeigt. Aber setzen wir einmal den f i i r Hrn. Fr iedel giinstigen Fall, daf3 er den gebeugten Strahl und seinen Gegenstrahl bei umgekehrter Richtung des einfallenden miteinander vergleicht (in diesem Fall treffen die kursiv gedruckten Siitze tatsachlich zu), so bleibt immer noch der durch das ,,forcement" bekriiftigte SchluS unversthdlich. Er lie& sich gerade so gut auf irgend zwei kristallogrephische Richtungen A und A' anwenden und zeigte dann, daS es uberhaupt keine Kristallsysteme ohne Symmetriezentrum geben kann.

Wir wollen im Gegensatz hierzu zeigen, daB die Richtig- keit des Satzes : ,,Der Vorgang der Rontgenstrahlbeugung hat ctn sich ein Symmetriezentrum" von einer Voraussetzung physi- kalischen Inhaltes abhiingt, die, nach den vorliegenden Ver- suchen zu urteilen, zwar immer erfiillt ist, sich aber ihrem ganzen Wesen nach nicht geometrisch beweisen liiBt. Die mathematisch genaue Form dieses Satzes aber scheint uns zu lauten : Unterwirft man bei festgehaltener Richtung und Inten- sitiit des einfallenhn Strahles den Krktall einer Inversion, so bleibt Richtung und Intmsitat jedes gebeuqten Strahles erhalten. Oder, was dasselbe sagt: Kehrt man in einern und demselben Kristcrll dis Richtung des einfallenden Strahles bei glekhbleibender Ini!t?nsitiit urn, so kehrt auch jeder gebeugte Strahl seine Rich- tung ohm Intsnsitlitsandmng urn.

$ 2 . Wir gehen aus von den Gleichungen fiir die Lage eines gebeugten Btrahles. Sind a,, a,, a, die Kanten des Elementarpsrallelepipeds des Raumgitters, go und 5 zwei Einheitsvektoren in der Richtung des einfallenden und eines gebeugten Strahles, die ganzen Zahlen h,, h,, h, die Ordnungs- zshlen des letzteren, und ist 1 die Wellenllinge, so gehorcht b den drei Gleichungen l) :

1) Vgl. M. v. Laue, Festschrift der Dozenten der Universitiit Ziirich 1914 oder Jahrb. d. Radioakt. u. Elektr. 11. p. 308. 1914. G1. (8); oder Enzykl. d. mathem. Wiss. 6., 24 (,,Wellenoptik" von M. v. Laue und P. S. Epstein), G1. (177).

Ober die Symmetrie der Kristallrontgenogramme. 435

(1) (a1, 5 - 5,) = h,A, (a2, 5 - 5,) = h,A (a3, 3 - 5,) = h3A Bei gleichzeitiger Umkehr von 5 und 5, bleiben diese Glei- chungen bestehen, nur daS die Zahlen h ihr Vorzeichen wechseln. Achten wir also nur auf die Richtung, nicht auf die Intensitiit des gebeugten Strahles, EO trifft die in Rede stehende Behauptung ohne weiteres zu. Ds durch die Vek- toren a a2, a3 nur ein einfaches Raumgitter gegeben ist, das

1: selbst em Symmetriezentrum besitzt, so ist das keineswegs zu verwundern.

8 3. Im allgemeinen sind aber nicht nur die Eckpunkte der soeben genannten Elementarparallelepipede mit Atomen besetzt, sondern es finden sich solche der gleichen oder einer anderen Art auch in deren Inneren. Wie a. a. 0. denken wir uns eine ,,ehgestrichene" Atomart in ihrer Lage durch den Vektor r' bestimmt, der von einem ,,ungestrichenen", in einem Eckpunkte befindlichen Atom zu einem benachbarten ein- gestrichenen hinfuhrt, ferner eine ,,zweigestrichene" Atomart durch den entsprechend definierten Vektor r" bestimmt, usw. Jeder Atomart ist ein Beugungsfaktor P, W . . . zugeordnet, in dem Sinn, das jedes Atom unter dem EinfluS der ein- fallenden Welle Mittelpunkt einer Kugelwelle :

2 n i 2 n i --Tc - - r

P--, e ' !P--.., , e

wird. (Diese Darstellung gilt f i i r den Hertzschen Vektor, Bus dem man die Feldstarken durch gewisse Differentiationen findet, und auberdem nur fiir hinreichend groI3e Abstiinde von dem Atom; doch diskutieren wir ja uberhaupt nur fiir solche). Die Intensitkit des Strahles ist dann proportional zum ,,Strukturfaktor" l) :

1) Vgl. die vorhergehende Anmerkung. Es handelt sich in den zuerst erwiihnten Veroffentlichungen urn (Gl. 30) und (31), in dem Enzykl.- Artikel um G1. (202) und (203). Der Temperatureinflu0 zeigt sich nach P. Debye (Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 16. p. 678) und nach M. V. Laue (Ann. d. Phys. 42. p. 1561. 1913. G1. [S]) darin, da0 zu jedem YJ noch ein Faktor X T 2n54 - (T) (8 - # O Y

e hinzutritt, wenigstens soweit die klassische Statistik gilt. Wir denken un8 diesen fiir das Folgende belanglosen Faktor mit in das einbezogen.

29 *

436 M. v. Laue.

Es fragt sich, ob auch er bei einer gleichzeitigen Umkehr von ii und (3, seinen Wert behiilt.

Die Antwort auf diese Frage hangt offenbar ganz wesent- lich von den Beugungsfaktoren W ab. Von vornllerein 1aBt sich uber sie nur sagen, daB sie im allgemeinen komplexe, von den Richtungen I und 5, sowie von der Wellenliinge K abhiingige GroBen sind. Man macht nun wohl immer die Annahme, daB wenigstens fiir den BeugungseinfluB auf Rontgen- strahlen jedes Atom zentrische Symmetrie besitzt, ja, daB es sich dabei sogar als Punkt, also wie mit Kugelsymmetrie begabt, verhiilt. Dann mu13 Vr von den Richtungen 5 und B, unabhangig sein.l) Das ist keineswegs selbstverstiindlich. In mechanischer Beziehung z. B. konnen die im KC1 vertretenen Atome nicht beide kugelsymmetrisch sein ; sonst gehorte dieser Kristall, wie das nach Bragg2) ebenso gebtiute NaCl, zur holoedrischen Klasse des reguliiren Systems, was nach den Atzversuchen von B r a u n s und Linck3) nicht zutrifft. Aber fur die Beugung wird cliese Annahme theoretisch durch die heutige Vorstellung vom Bau der Atome sehr wahrscheinlich gemacht, nach der die Rontgenstrahlen uber- haupt nur durch den innersten Kern der Atome beeinfluBt werden, der in seinen Abmessungen gegen den mechanisch gemessenen Atomdurchmesser SiuBerst klein ist ; und auBerdem hat sie sich bei den kristallographischen Untersuchungen der Hrn. Bragg , denen sie stets zugrunde liegt, trefflich bewiihrt. Wir wollen sie im folgenden stets beibehalten.

Ist aber auch !P nur von der Wellenliinge und der Atomart abhlingig, so b n n es doch eine komplexe GroBe (= lWyl et6) sein; 6 ist dann die Phasendifferenz zwischen der einfallenden Welle und der von ihr irn Atom erzwungenen Schwingung.

1) Hiitten wir die ly nicht auf den Hertzschen Vektor, aondern auf eine der Feldstirken bezogen, so miifiten wir ly proportional zu sins y setzen, wo 1 den Winkel zwischen der elektrischen Schwingung in der einfellenden Welle und der Richtung I mi&.

2) W. L. Bragg, Roc. Roy. Soc. Am. 89. p. 248. 1913; deutsch Zeitschr. f . anorg. Chem. 90. p. 186. 1914.

3) G:Linck, Tschermaks mineralog. Mitteil. 12. p. 82. 1891; R. Brauns,"Neues Jahrb. f. Mineralogie 1886. Teil I. p. 224.

Uber die Symmetrie der Iiristallrontgenogramme. 437

3 4. Hat der Kristall selbst ein Symmetriezentium, so zeigt sich dies natiirlich ohne weitere Voraussetzung auch bei der Beugung der Rontgenstrahlen. In diesem Fall muB der Strukturfaktor (2) eine Umkehr aller r,%" . . . ohne Wert- anderung zulassen, weil diese die Kristallstruktur nicht ver- Bndert. Die Umkehr von B und b, wirkt aber auf jenen Faktor genau so wie die Umkehr aller t' . . .; es wechseln die Ex- ponenten in (2) ihr Vorzeichen, doch bleibt der Faktor selbst unverandert.

Man sieht dies mehr im einzelnen, wenn man bedenkt, dal3 bei der Inversion eines zentrisch-symmetrischen Kristalls jedes im Inneren eines Elementar parallelepipeds gelegene Atom in ein ihm gleiches, aber anders gelegenes ubergeht, was sich in

Yr' = W', r" = a, + n, + a, - r' ausdruckt. AuBerdem kann es vorkommen, daB dabei Atome in gleichgelegene ubergehen, dann namlich, wenn die zuge- horigen Vektoren

sind. Der Strukturfaktor nimmt so die Form an: t(n) = +(a l (n )a , + ctP)a, + a3(nJag), (alCn1, a,(n) = 0 oder 1)

an i 2 n i - (r', B - B0) (a, + as -I. a) - r', % - go)

+ e ) + ...

I n Rucksicht auf die Gleichungen (1) kann man dafur schreiben:

Eine Umkehr von 3 und go iindert die Kosinusse nicht, und auch der Faktor ( - l)[al(n)k+ a*(n)b + bleibt dabei erhalten, weil die Ordnungszahlen h nach 0 2 nur ihr Vorzeichen wechseln.

Es konnte vielleicht Verdacht erregen, dal3 wir hier zum Nachweis der Unveriinderlichkeit des Strukturfaktors die Glei- chungen (1) fiir die Lage der Interferenzmaxhna benutsen; denn das Zusammenwirken der von den einzelnen Atomen gebeugten Wellen ergibt ja nach allen Richtungen eine zerstreute Strah- lung, die freilich gegenuber den genannten Maximalstellen urn so schwacher ist, je groBer der durchstrahlte Teil des

438 M . v. Lam.

Raumgitbers ist. Zur Ableitung des Strukturfaktors (2) sind die Gleichungen (1) nicht benutzt; er gilt also fi i r alle Rich- tungen. So konnte die Forderung berechtigt erscheinen, daS der Strukturfaktor auch ohne Riicksicht auf (1) bei zentrisch- symmetrischen Anordnungen gegen eine Umkehr von 3 und 8, unveriinderlich ist, was tatshchlich ohne eine Annahme uber die Beugungsfaktoren Fnicht der Fall ist. Gegen diesen Ein- wand ist zu sagen, daB man bei einem endlichen Kristall die Unverhderlichkeit der Beugungserscheinung gegen Inversion nicht mit mathematischer Strenge fordern kann, solange nicht auch seine Abgrenzung bei der Inversion in sich selbst iiber- geht. Solange man uber die Begrenzung nichts voraussetzen will, gelten alle unsere Betrachtungen nur f i i r unendliche Ausdehnung, und in diesem Fall tritt abgebeugte Strahlung schlechterdings nur in den durch die Gleichungen (1) ge- kennzeichneten Maximalrichtungen auf. Das erkennt man durch Grenziibergang aus unseren Betraohtungen oder viel- leicht noch mathematisah genauer an einschliigigen Unter- suchungen von E w e Id .l)

€bt der Kristall kein Symmetriezentrum, so konnen wir fur alle Atome in ihm

f 5 .

r' ' , 8 , ' a , + P , ' a , + P S ' % 9 r" = /I,'' a, + ,pa'. a, + ,9: a,

usw. setzen, wobei die. /I beliebige echte Bruche mit den Grenz- fiillen 0 und 1 sind. Unter Riicksicht auf (1) nimmt der 'Strukturfaktor (2) denn die Form t2a) I 'y+ CY, znUA'hi+&'ktbt'lra) + w'' an i (h"h ,+81"~+B,"h* ) + . . .12

+n, wobei die Exponenten ebenfalls gebrochene Zehlen sind. Bei der Umkehr von i% und I , wechseln nach f 2 die ganzen Zahlen h ihr Vorzeichen. Dafur, daB debei (2a) unveriindert bleibt, wie man auch die Zahlen h wiihlen mag, ist notwendig und hinreichend, dab alle Beugungsfaktoren

V = 1WId6, V c ' p I W ' I e l w , W" = I P''lei6"

usw. entweder dasselbe 6 haben, oder daB sich die verschie- denen 9 nur urn n voneinander unterscheiden. Denn aus

1 ) P. P. Eweld, Physik. Zeitachr. 14. p. 485. 1913; Ann. d. Phys. 49. p. 117. 4 7. 1016.

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . sein; danach sind alle @-Differensen gleich 0 oder n.

Dieser SchluS bleibt auch dann zwingend, wenn die Lege einiger der vorhandenen Atome mit einem Symmetrieeentrum vertriiglich ist, d. h. wenn die augehorjgen Vektoren dn) der einen oder anderen der in 8 4 erwlihnten Bedingungen ge- niigen. Zwar verschwinden in (S), wie eine einfache Rechnung zeigt, elle Sumanden, welche von einem Paar derartiger Atqme herriihren; aber unter den Gleichungen (4) finden sich abch solche, die sich auf eh Atom der genannten Art und auf ein anderes beziehen, so dal3 sich nichts wesentliohes Lndert.

D m i t also ohne Riiclcsic7t.t auf die Symmetriedes Kriatalla tilt. die R6ntgenstrahlbeugung edn Synnnetriezentrurn v o r h h ist, ist (abgesehn von der vorawgesetzten Punktfomigkeit der Atome fur diesen Vorgang) notwendige und binreichen.de Bedingung, dap alle Atome auf eine aufiallende Riintgenwelb entweder mit der gleichen

440 M. v. Laue.

Phusendifferenz ampechn, oder dap nur xwei urn 7t verschkdene Werts bei diesen Phusendifferenzen vorkorrnen. Die Herren Bragg haben be1 ihren so erfolgreichen Untersuchungen uber den Kristallbau stets gleiche Phasendifferenzen stillschweigend vorausgesetzt. Ob nicht auch Phasendifferenzen n vorkommen, muS dahingestellt bleiben.

0 6. 1st die einfallende Welle nicht einfarbig, sondern von einem kontinuierlichen Spektrum, so wird die Intensitiit, abgesehen vom Strukturfaktor, noch zum ,,Loren tzschen Faktor" proportional, der sich im wesentlichen aus den Ord- nungszahlen k und den Grundvektoren

6a - (a, as as) [a, %I [as a11 [a, ap1 6, = ~

(a, ap 4) '3 = ~ (a, as as)

des reziproken Raumgitters nach der Formel , 1

(hi bi + 4 bi + h, bd* ' zusamrnenset2;t.l) Da eine Umkehr von 5 und so nach 0 2 nur das Vorzeichen der Ordnungszahlen h veriindert, bleibt er dabei ungeaindert, spielt also fur unsere Betrachtungen uberhaupt keine Rolle.

0 7. Das Bisherige zusammenfassend konnen wir sagen : Der Satz, daS der Vorgang der Rontgenstrahlbeugung an sich ein Symmetriezientrum besitzt, ist keineswegs geometrisch abzu- leiten. Tatsachlich scheint er nach den bisher vorliegenden Ver- suchen durchweg zuzutreffen. Die Rontgenogramme von H a g a und Jaeger ", wdche bei den rhombischen Kristallen nicht die danach zu erwertende Symmetrie aufweisen, konnen nicht ah Gegengrund angefiihrt werden. Denn sieht man von der Intensitlit der gebeugten Strahlen einmal ab, so folgt aus den Gleichungen (1) ohne weitwe Voraussetzung, daI3 fur die Lage der gebeugten Strahlen ein solches Zentrum stets vorhenden ist; in Fig. 6 der vorletzten und in den Figg. 18 und 16 auf Tafel IV der letzten der genannten Veroffentlichungen aber gehorcht sohon die Lage der Interferenzpunkte nicht dem zu erwsrtenden Symmetriegesetz, ein sicheres Zeichen, dab - wie auch die Verfasser schlieben - die Durchstrahlung des

1) M. v. Laue, Enzykl.-Artikel (vgl. die Anmerkung auf p. 434)

2) H. Hag& u. F. M. Jaeger, Proc. Amsterdam 17. p. 1204. 1916; GI. (193).

18. p. 642 u. 669. 1915.

Uber die Symmetrie der lil.istallrontgenogramme. 441

Raumgitters tatstichlich nicht in der beabsichtigten Richtung geschah.

Wenn sich also jener Satz in der Erfahrung bestlitigt, so ist daraus zu schlieben, daB alle Atome auf 'Riintgen- strahlwellen mit der gleichen Phasenverzogerung ansprechen; oder daB doch nur zwei um a verschiedene Phasenverzoge- rungen vorkommen. Es fragt sich, ob wir hierin eine Eigen- tiimlichkeit der Atome oder lediglich eine Wirkung der Raum- gitteranordnung sehen sollen; es ist nlimlich zu bedenken, daS die Beugungsfaktoren ZY fiir das einzelne und fiir das dem Gitter angehorende Atom nicht ubereinzustimmen brauchen.

8 8. Eine bestimmte Antwort auf diese Frage l6Bt sich zurzeit mangels einer hinreichend sichergestellten Atorndynamik wohl nicht geben. Ersetzen wir die Atome durch Dipole, welche nach der klassischen Dynamik unter dem EinfluB emer quasielastischen &aft reibungsfrei um eine Ruhelage schwingen, so lliBt sich aber zeigeri, daS die erwlihnte Eigentumlichkeit der Beugungsfaktoren allein aus der Anordnung hervorgeht. Wir werden die gegenseitige Beeinflussung der Atome im h u m - gitter am einfaohsten ermitteln, wenn wir uns m i h EwaldJ) den Kristall nach allen Richtungen hin unendlich ausgedehnt denken. Ewald hat zwar nur ein einfaohes rhombisches Rrtumgitter untersucht, doch werden wir s e b Ergebnis, dab in ihm ein System ebener Wellen moglich ist, die in der Rich- tung mit dem einfallenden und dem gebeugten Wellen unserer Betrachtungen ubereinstimmen, unbedenklich auf beliebige kompliziertere Gitter iibertragen konnen ; spricht doch auch der Grenzubergang von unserer Theorie des endlichen Kristalls dafiir, dal3 bei uber alle Grenzen wachsendem Kristall nur in den genannten Richtungen Strahlen ubrig bleiben. Nun l66t sich bekanntlich an den Maxwellschen GIeiohungen fur den leeren Raum zeigen, dal3 zu jedem elektromagnetischen Vor- gang seine Umkehrung moglich ist, die sich von ihm lediglich in der Richtung der magnetisohen Feldstlirken und im Ab- laufssinn der Zeit unterscheidet ; die Strahlrichtungen sind dabei gerade die entgegengesetzten wie zuvor. Ebenso liil3t die New tonsche Mcchanik w jedem reibungsfreien mecha. nischen Vorgang die Umkehrung zu, die sich von ihm im Ab- laufssinn der Zeit unterscheidet. Daraus folgt, daI3 in unserem

442 M. v . Laue.

Raumgitter aus reibungsfreien Dipolen zu dem genannten Wellenvorgang auch die Umkehrung moglich ist, die aus ihm durch Umkehr aller Strahlrichtungen unter Aufrechterhaltung der zugehorigen Intensitiiten hervorgeht. Damit ware wohl auf die einfachste und tiefgehendste Weise geseigt, daS der Vorgang der Rontgenstrahlbeugung an sich ein Symetriezen- trum hat, wenn man die Atome als reibungsfreie Dipole auf- fassen konnte.

Man bestatigt auch leioht, daB dann nur Phasenverzoge- rungen 9. auftreten konnen, die einander gleich sind oder sich um n unterscheiden. Der einzelne Dipol hlitte trotz seiner vorausgesetzten Reibungsfreiheit eine Dampfung als Folge der Ausstrahlung elektromagnetischer Energie ; infolge dessen wiirde er periodische erzwungene Schwingungen mit einer Phasenver- zogerung gegen die erregende Kraft ausfiihren, die alle mog- lichen Werte swischen 0 und m haben kann. Im Raumgitter von unendlicher Ausdehnung flillt die Ausstrahlung und die damit verbundene Diimpfung aber fort; oder in anderer Aus- druoksweise, die elektromagnetjsche Dlimpfungskraft des ein- aelnen Dipols wird durch die Einwirkung der anderen Dipole eufgehoben. Dann aber spricht er auf eine periodische er- regende &aft entweder mit der Phasenverzogerung 0 oder n an, je nachdem deren Frequenz kleiner oder groSer ist, als seine Eigenfrequens. Im Raumgitter mussen also alle Phasenver- zogerungen 0 oder n sein, wes rnit dem Satz von $ 5 iiber- einstimmt. I m reibungsfrekn Dipolraumgitter ist es also led$- lich eine Folge der Gitteranordnung, dap ein Symmetriezentrum ~ U T die R6ntgenstrahlbeugung auftritt und dap dk Phasenver- zogerungen nur z w 4 am n verschiedene Werte annehmen ktinnen, die ReibungsbsigMt scheint dabei aber notwendige Voraussetzung. Bei wirkliohen Atomen, bei denen wir freilich diese Folgerung aus der klassischen Mechanik nicht ohne weiteres anwenden diirfen, haben wir steta Absorption der Rontgenstrahlen. ER wiire eine interessante Frage f i i r dcn Versuch, ob sich nicht, namentlich bei stark absorbierenden Kristallen, und wenn die Frequens der ehfallenden S trahlung nahe einer Eigenfrequenz des Atomes liegt, doch Ausnahmen von beiden Siitzen fest- stellen lawn. ')

1) Die Theorie der Riintgenstrahlinterrenzen setzt bisher in jeder ihrer versehiedenen Fassungen absorptionsfreie Kristalle VOI~US ; die

Uber die Symmetrie der Kristallrontgenogramme. 445

Q 9. Zum SchluB mochten wjr, ohne auf dies Bedenken ein- zugehen, auf eine Folge des Satzes, dal3 ein Symmetriezentrum vorhanden ist, sufmerksam machen, die eigentlich fast trivial ist, aber doch wohl &ma1 ausgesprochen werden muf3. In Fig. 1 sol1 0s der einfallende Strshl sein, der ein kontinuierliches Spektrum enthalten mag, und OS,, OS,, OS, drei beljebige (nicht in einer Ebene liegende) gebeugte Strahlen, die sioh in der Wellenliinge und der Intensitiit untersoheiden werden. Die Punkte Sly S,, S, liegen in einer zu 0s senkrechten Ebae , stellen also einen Teil der Interferenzfigur dar, wie wir sie auf einer zum einfallenden Strahl senkrechten photographischen Platte

Wenden wir nun den einfallenden Strahl, so wenden sich, wie gezeigt, auch alle ge- beugten Strahlen ohne sonstige hderung und es entsteht Fig. 2. Das Dreieck S,, S,, S,, das wieder die Interferenzfigur dax- stellt, ist dabei dem entsprechenden Dreieck in Fig. 1 kongruent; such stimmen die S, Punkte S, in beiden in Wellenliinge und Intensitlit uberein, ebenso die Punkte S2 und S,. Veriindert hat sich aber der Umkufs- Fig. 2. sinn des Dreiecks S,, S,, S, um den ein- fallenden Strahl. Bsi jedem Kristall entstehen abo bei der 0Urchstrahlun.g C entgegengesstzten Richtungen kongruente In- terferelzzbilder. die sich aber int Umlaufssh urn den ehfdh-

t 4 S1

S,

auff angen konnten. Fig. 1.

Absorption zu beriieksichtigen wilre xiicht leicht, weil debei die Ab- gremung dee Kristalls weuentlich in Fmge klme. Man kann aber mit Sioherheit sagen, da6 an den Gleichungen 1 dabei nichts geilndert wiirde, denn deren Aussage: ,,Die Ganguntersohiede zwiechen je me i der in- terferierenden Wellen r n b n ganee Welledngen betragen", behillt ihre Bedeutung. Und ebenso wiirde wohl der Strd+mfaktor (2) seine Bedeu- tung behalten; denn er gibt den hterfereneeffekt zwieohen den Atomen desaelben Elementarpardlelepipedee an, und euf Strecken, die mit desaen Abmessungen vergleichbar eind, kamn auch bei stiirkster Absorption kein merglioher AMdl der Intedti4t eintmten. Damit aber bleiben die Vorauseetzungen fur die oberlegwen der 5s 2-5 unverlndert.

444 M . v. Law.

&n Strahl unterschiden, falls sich ein Umlaufssinn iiberhaupt eindeutig fatstellen EPt.1)

Dies erscheint zuniichst merkwuraig, weil wir doch beim Vorhandensein eines Symmetriezentrums Rich tung und Gegen- richtung als gleichwertig bezeichnen miissen. Da fur die Rontgenstrahlbeugung ein solches stets da ist, konnen wir zur Veranschaulichung auf den einfacheten Fall, ein nur in den Eckpunkten mit Atomen besetztes Raumgitter, zuruckgreifen.

Wir legen dazu die drei Vektoren a,, 4, a, in beliebige Punktreihen des Gitters so, daB sie alle mit dem einfallenden fjtrahl 3,, spitze Winkel bilden; als Grenzwerte lassen wir auch die Winkel 0 und )n zu. Die Numerierung 1 2 3 wtihlen wir so, daB sie in dieser Reihenfolge e i n Rechtssystem bilden. Sie stellen dann in derselben Reihenfolge eine Rechtsdrehung um den .einfallenden Strahl vor. Drehen wir jetzt den ein- fallenden Strahl um, und wiihlen wir die Grundvektoren des Raumgitters wieder so, daB keiner einen stumpfen Winkel mit 1, bildet, so gelangen wir zu den Vektoren

a; = -a,, a,' = - up, ad = - a, . Die Reihenfolge al' as'.a,' bildet d a m aber ein Linkssystem, oder anders gesagt, eine Linksdrehung urn den einfallenden Strahl. Dieser Unterschied ruft nach den Gleichungen (1) unmittelbar den verschiedenen Drehsinn im Interferenzbild her- vor. Man weist auf ihn hin, wenn man sich der Ausdrucks- weise bedient: ,,Der Kristall wird nach der Fliiche ( p q r ) durchstrahlt" falls der einfallende Strehl auf ihr senkrecht steht; denn dann lautet der Satz: Durcbtrahlung nach ( p q r ) und @ q F ) ergibt Interferenzbi2der von verschiedenem Umlaufs- sinn, wenn iiberhacupt ein solcher da hi!.

Ausgeschlossen ist ein Drehsinn und damit ein Unter- schied zwischen den beiden kongruenten Interferenzbildern, wenn eine Symmetrieebene durch den ebfallenden Strahl geht oder e k e geradziihlige Achse auf ihm senkrecht steht. Beides kommt auf dasselbe hinaus, weil fiir diese Vorglinge ein Symmetriezentrum immer vorhanden ist und damit - fiir diese Vorgiinge - zu jeder geradztihligen Achse eine ihr

1) F.Rinne, I3er.d. Kgl. Siichs. Akad. 67. p. 303. 1916, beweist auf anderem Wege m d in anderer Ausdrucksweise dasselbe, aber unter Be- schriinkung auf die Lage der Interferenzpunkte.

Ober die Symmetrie der Kristallriintgenograrrcme. 445

senkrechte Symmetrieebene und umgekehrt gehort. Jeder solche Achse oder Ebene entspricht im Interferenzbild eine Symmetrielinie, und damit ist keine eindeutige Festlegung eines Umlaufssinnes vertriiglich. Sonst aber h n n auch bei hoher Symmetrie des Kristalls sehr wohl ein Drehsinn auf- treten, das zeigt sehr deutlich die Durchstrahlung des Aprttits parallel seiner sechsziihligen Hauptachse.l) Durchstrahlung in entgegengesetzten Richtungen hat Rinn o 2, am Cyanit und Diopsid vorgenommen. Seine Figuren zeigen aufs deutlichste den verschiedenen Drehsinn .

Quarz hat infolge seiner drei zweizlihligen Nebenaohsen drei Symmetrielinien bei Durchstrahlung llings der Haupt- achse, und eine, wenn der einfallende Strahl senkrecht zu (1011) oder (1010) ist.s) Bei Durchstrahlung l h g s einer Neben- achse liegt hingegen kein Grund zu eher Symmetrielinie vor. Vergleicht man die entsprechende Aufnahme von F. R i m e 4 ) mit einer von Haga und Jaeger6) veroffentlichten und einer eigenen Aufnehme des Verfassers, die zwar nicht veroffentlicht, aber gelegentlich auf wiseensohaftlichen Kongressen gezeigt wurde, so findet man zmlichst m e i ausgesprochene Sym- metrielinien fiir die Lage, aber in der Tat an einigen sym- metrisch gelegenen Flecken in allen Aufnahmen uberein- stimmend Spuren verschiedener Intensittit, also einen Drehsinn.

Q 10, Der Satz von 8 9 gestattet nun auch die Entschei- dung dariiber, ob sich enantimorphe Kristalle im Rhtgeno- gramm unterscheiden. Denken wir uns beide Kristalle neben- einander in der Lage, wie sie durch Inversion ausehander hervorgehen, und durchstrahlen wir sie dann mit m e i einander parallelen, gleichger ich t e ten S trahlen [also nach derselben

1) F. Rinne, 1. c. Taf. XVI, 2. Aptit hat a&r der Hauptachse’als

2) F. Rinne, 1. c. Tafel III und IV. 3) F. Rinne, 1. c. Trtfel XII, 1, 2; XIII, 1. - H. Haga u. F. M.

Jaeger, Roc. Amsterdam 18, p. 642, Tafel VII, Fig. 16. Text p. 650, meinen, an ihrem nicht veraffentlichten EUintgenogramm nach (1070) ge- legentlich zwei Symmetrielinien gesehen zu haben. Dae diirfte ein Be- obachtungafehler sein; bei Rinne iet nur eide verthle derartige Linie vorhanden.

einziges Symmetrieelement eine zu ihr senkrechte Ebene.

4) 1. c. Tafel XIII, 2. 5 ) H. Haga u. F. M. Jaeger, Proc. Amsterdam 18. p. 542, 1915.

Tafel IV, Fig. 13. Die anomala,Fig. 14 ist wohl durch Zwillingsbildung zu erkliiren; vgl. weitet unten im Text.

446 M . v. Law. Obsr die Symmetric der Kristallriintgenogramme.

Fliiche ( p q r ) ] , SO miissen vollig, auch im Umlaufssinn um den einfallenden Strahl uberehstimmende Bilder entstehen. Denn man konnte es am Interferenzbild gar nicht merken, wenn beide Kristalle mitebander vertauscht wiirden.

Bei diesem Versuch wiiren aber die Durchst'rahlungs- richtungen nicht physikalisch gleichwertig. Wiire z. B. der eine Kristall ein Rechtsquarz, und wiese der einfallende Strahl bei ihm parallel zu einer Nebenachse vom pyroelektrisch- analogen zum antilogen Pol, so geschiihe die Durchstrahlung beim anderen in der Richtung vom antilogen zum analogen Pol. Um beide Krktalle in physikalisch gleichwertigen, d. h. durch Inversion auseinander hervorgehenden Richtungen zu durohstrahlen, miissen wir vielmehr im einen den einfallenden Strahl wenden, und dabei erhiilt das Interferenzbild nach 3 7 den entgegengesetzten Drehsinn. Durchstrahlt man also enantio- morph Kristalle in Richtungen, die beim Obergang vom Rechts- zum L4nhkrista21 ineinander ubergehn [oder anders ausgedriickt , nach den Fliichen ( p q T ) und @ 45)], so enntstehen Interferenz- bilder von verschiedenem Drehsinn um den einfallenden Strahl - falls iiberhaupt .ein eindeutiger Drehsinn da ist. 1st die in

7 angegebene Beobachtung an den Interferenzbildern des Quarzes nach (1210) richtig, so ist es demnach moglich, zwisohen Reohts- und Linksquarz zu unterscheiden, indem man beide vom pyroelektrisoh analogen zum antilogen Pol hin durohstrahlt. Durchstrahlt man aber zwei ineinander ge- waohsene Quarze liings der gemeirisamen Nebenachse, so mussen sioh die Unterschiede der Intensitat, die den Dreh- sinn bodingen, zum Teil oder auch ganz aufheben.l)

Trotzdem bleibt bestehen, daJ3 sich enantiomorphe Kri- stalle infolge des Hinzutretens ekes Symmetriezentrums durch Rontgenstrahlbeugung allein nicht unterscheiden lassen ; denn zur Feststellung der physikalisch gleichwertigen Richtungen bedarf 'es notwendig einer anderen Beobachtung, wie beim Quarz z. B. ekes pyroelektrischen Versuches; nur in Ver- bindung damit gelingt die Unterscheidung.

1) Vgl. H. Hagsu. F. M. Jaeger, Proc .Amsterdam 18. p. 642.1916. Tafel IV, Fig. 14. DeB hier Zwillingsbildung der Grund sein kann, haben diese Autoren schon gesehen.

F r a n k f u r t a. M., Institut f. theoretische Physik, Mai 1916. (Eingegangen 6. Mai 1916.)