Über die Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von Ranggrößen

Ober die Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von Ranggrogen

Von HANS- JOACHIM ROSSBERQ in Berlin

(Eingegangen am 22. 10. 1958)

Es seien xl, x2, . . . , x,, unabhlngige ZufallsgroDen mit derselben Ver- teilungsfunktion P {xi < x} = F ( x ) (i = 1, 2, . . ., n). Fur' jedes System moglicher Werte xi = X, sei & = Rk ( X , , . . . , X,) der k-te Wert unter den Xi, wenn man diese der GroBe nach anordnet (z. B. ist t1 = min (X, , . . . , XJ, t,, = max (X,, . . . , X,,)). Somit ist stets t1 5 t2 5 - - I 6,. Die & (k = 1, 2, . . ., n) heiDen RanggroBen (order statistics) und bilden eine Variationsreihe mit der Grundverteilung F (2) . Die Verteilungsfunktion F ( x ) hat in dieser Arbeit stets diese Bedeutung.

Mit den RanggroBen t k kann man die Differenzen d k h = [ k - t,, und

die Quotienten q k h = !! (k > h ) bilden, deren Verteilungsfunktionen in dieser

Arbeit untersucht werden sollen. Ich bin Herrn Prof. B. W. GNEDENKO fur die Aufgabenstellung zu grol3em Dank verpflichtet und verdanke ihm und Herrn Prof. A. N. KOLMOCIOROPF wertvolle Hinweise.

t k

§ 1 Grenzwertsatze Wir stellen uns zuerst die Frige nach den moglichen Grenzverteilungen

fur dkh und q k h , mit denen man wenigstens bei sehr groBen n die exakten Verteilungen approximieren kann. Dabei gehen wir &us von einigen Er- gebnissen von GNEDENKO und SMIRNOFF~), von denen wir ausgiebig Ge- brauch machen werden.

Die genannten Autoren haben bewiesen : Bei passender Wahl der Konstanten a, > 0 und b, konnen als Grenz-

verteilungen fur { t k < an f bn)

1) GNEDENKO, Ann. of Math. 44 (1943); SYIRNOFF, Arbeiten des Stekloff-Instituta

*) Dissertation Universitiit Leipzig 1968 in etwas veranderter Form, Ref.: Prof. Dr. (1949) (russisch)

E. H~LDER, Prof. Dr. F. BTJRCKHARDT und Prof. Dr. B. W. GNEDENKO.

38 Roaaberg, Verteilungafunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggraDen

nur drei eigentliche Verteilungstypen2) auftreten. Fiir k = 1 sind dies die Typen

A (x) = 1 - e-e",

Pa (x) = 1 - e-",

-m<z< m,

x;L 0,

250.

(1)

Notwendig und hinreichend fur das Auftreten jedes dieser Grenztypen sind bzw. die in Satz 1 angefuhrten Bedingungen I, 11, 111.

1 (2) = 1 - e-(-Z)-'

Weiter ist notwendig und hinreichend dafiir, da13

(2) (wo Qi (x) eine beliebige Verteilungsfunktion ist), die Bedingung

(3) (falls @(x) = 1, so gilt n F (a, x + 6,) -, m).

P {& < a, 2 + bn} = 1 - (1 - F (a,x + b,))" + @ ( X I

n F (a,.x + b,) -, -log ( 1 - @(x)) .

Fur das Weitere fiihren wir noch die Abkiimung y(x) = -log ( 1 - @(x))

ein. In den drei Fallen (1) ist bzw.

- m < x < m ,

Satz 1. Bei wsender Wahl der Konstanten a, > 0 konnen ab Brenz- gesetze far

p { t k - 6 h < a n x} ( k und A sind natWliche Zahlen) die folgenden Verteilungen auftreten (a > 0, a >O):

m

0 (u + a 2)' - ua

a) Eine Verteilungsfunktion gehort zum Typ 6(z), wenn sie die Gestalt @ (a z f b)

*) Eine wesentliah einfaohere Darstellung dieser Funktion gewinnt man aus Satz 2, hat (a > 0) .

denn es ist Ak (2) = 1 - A;: (z ,O) (r < h < k) .

Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggriiBen 39

die far k = h + 1 die etwas einfachere Qestalt e - h a z 1'. ' n h + l , h ( a z ) = l - 3

00

2'. ~ + ~ , h ( a z ) = I - G J 1 d(u*a)e- (u+azP, 0

m

3'.

annehmen. Hinreichende Bedingungen far dm Auftreten jedes dieaer G e n z - gesetze sind bzw. die folgenden:

I . limn F (a,x + B,) = e' far alle x, n-wa

wo Bn der kleinste Wert bt , der den Ungleichungen

F (z - 0)s; r;F ( x + 0 )

und a, der kleinste Wert ist, der den Ungleichungen 1

P ( B n - x ( 1 + 0 ) ) s , S F ( B n - z ( 1 - 0 ) ) genagt.

jedea E > 0 , und es gilt far jedea t > 0 11. Es ezistiert eine Zahl X,, so dap F ( X o ) = 0 , F ( X o + E ) > 0 far

Bemerkung. Wenn y{ = -zf (i = 1, 2, . . ., n) , also P {yi<Y) = G ( Y ) = 1 - F ( - Y ) ,

und (qi) die entsprechende Variationsreihe ist, so ist & = - q, + - h

(h = 1, 2, . . ., n) und

[ k - t h =qn+l-h-%+l-k . Die oben angegebenen Grenzgesetze treten daher auch bei den Differenzen qn+ 1-h - q, + l - k auf. Druckt man die Bedingungen I, 11, 111 mit Hilfe der Verteilungsfunktion G ( y ) der ZufallsgroBen y{ aus, so erhlilt man

1'. limn (1 - G (a, 2 + p,)) = e-' fur alle x , n+==

wo Bn der kleinste Wert ist, der den Ungleichungen 1 1 - G ( X + O ) S n S l - G ( 2 - 0 )

Auf S. 34 ist ftir einige wichtige Verteilungsfunktionen angegeben, welcher dieser Bedingungen sie geniigen.

40 Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von Ranggr6I3en

und a, der kleinste Wert ist, der den Ungleichungen

1 - a (z (1 +O) + A) 2 &s 1 - a (z (1 - 0) + Bn) genugt.

jedes E > 0, und es gilt fi ir jedes z > 0 11'. Es existiert eine Zahl X,, so daB Q ( X , ) = 1, G ( X , - E ) < 1 fiir

111'.

Das Grenzgesetz fur ts - &# wird also durch die Weise bestimmt, in der P (z) gegen Null geht, wiihrend das Grenzgesetz fiir 9% - h - l;ln + -k nur davon abhiingt, wie G(y) gegen Eins geht. Das ist sehr plausibel, denn fur groae n Eegen die ZufallsgroBen, welche die DifTerenz &. - t,, bilden, in einem Intervall, in dem F ( z ) nahe 0 ist, wiihrend die ZufallsgroBen, welche die Differenz q,+l-h - ~ , + ~ - k bilden, in einem Interval1 liegen, in dem G(y) nahe 1 ist.

Wir unterteilen das Intervall (A, B + z) mit iiquidistanten Unter- teilungspunkten p ,

Mit Rucksicht auf spiitere Verallgemeinerungen verzichten wir bei den folgenden Summierungen darauf, Summationsindizes zu verwenden. Die Variablen u, w (spiiter auch w, 8, t usw.) sind bei den folgenden Betrach- tungen, solange die Bildung des entsprechenden Integrals nicht vollzogen ist, stets gleich einem der p i ; ferner ist u' = u + 6, w' = v + 6, .-. .. Zur Abkurzung setzen wir F (a, u' + a,) - P (a, u + b,) = dF (a, u + 6,).

Mit Hilfe von kombinatorischen Betrachtungen findet man auf Grund der Unabhangigkeit der ZufallsgroBen zf (i = 1,2 , . . . , n) fur w 2 u'

- p , = 6).

(h lb P - 1 (a, 21 + 4%) (12 - + 1) d p (a, u + b,) x ( n - h ) d F ( ( a , v +b , ) ( l - -F(u ,v '+b , ) )" -h- '

( 5 ) I; P {us t p < u', w l &Pi,< w') s ( h : l ) F h - 1 (a, u' +b,) (n--h. + 1) d p (a,u +b , )

X (n - R ) d P (a, w + b,) ( 1 - F (a, w + b,) n - h - l . Die rechte dieser Ungleichungen gilt ubrigens auch ftir w = u. Wir

bilden nun C mit der linken Ungleichung, schiitzen die dabei gewonnene

Wahrscheinlichkeit ab und bilden schliefilich c' mit der rechten Un-

gleichung. Setzen wir noch zur Abkiirzung N h = ( - 12 ) ( n - h + l ) ( ? - R ) ,

U

U

Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggroDen 41

so ergibt sich fiir x > 6

(a u, + b,) d F (a,& + b,) d P (a, 2) + b,) U I d V < U + 2-8

x (1 -P(a,v'+b,))"-*-l

5 P {u 5 tp < %I, tp41< u + x} 5 P { u s g< uI, 5& - 5 p < x} S P {us ty < ul, '!&< u1 + x}

x ( 1 -P (a, 2, + bn))n-A- l ,

~NAP"l (a ,u$b , )dP(a ,u+b , ) c' dP(anv+bn) U ~ V < U + Z

wo 2, alle p j durchliiuft, die in den angegebenen Intervallen liegen. Wir summieren jetzt gleichzeitig uber das nuttlere und die beiden luBeren Glieder dieser Ungleichungen :

Nh c ph- l (anu+b, )dP(n,u+b, ) C d P ( a , v + b , ) A'u<B uI$v<u+z-d

x ( 1 - P (a, 2,l + b,)) ' ' -h-I

(6) 5 P { A 5 '$r' < B, dpi 1, h < x} S N h C F h - ' ( ~ , u 1 + b , ) d F ( ~ , ~ + b , ) C' d P ( a , ~ + b , )

A S u < B u g v = a, (u7 - P) (u))

Die mittleren Glieder dieser Ungleichungen sind unabhiingig von unserer Zerlegung des Intervalls (A, B + z), die aul3eren konvergieren fur 6 --f 0 gegen ein und dasselbe Stieltjes-Integral. (@(u) kenn ja nur einer der Typen (4) sein und ist daher stetig.) Wir erhalten so

(7) l i m P { A ~ ' ! ~ ) < B , d ~ i , , , < x } = & / d a , h ( u ) J da , ( v )e -q (V) .

Dieses Integral existiert auch fur A --f - 00, B + 00. Nun gilt

.

B U + Z

i n - w U

P I,,, < x} = P {&i I ,h< 2, tp'< A} + P {dpi 1, *< 2, A I; tp< B) + P { d r i , , h < x , B 2 '!c)),

42 Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von Ranggriillen

B,= P{dFjl,h<z} dq!"'u) ( e - 9 ( ' ' ) - - e-V('+') -m

Fiir geniigend grol3e n is1 ferner

so daB gilt

Daraus folgt

I p {tr)< A } - &(A)

<

wegen (7) das erste Glied rechts kleiner als E ,

B

P{d1:+i,h<~, ASEr'< B ) - - ' I 'dvh(u)(e-P(U) - e - 9 ( u + 4 h ! i

m

Diese Formel liefert die im Satz fiir k = 1 + A angegebenen Grenzvertei- lungen, wenn man fiir ~ ( u ) die Typen (4) einsetzt. Im Fall 3. existiert jedoch ein Punkt X, , so daB @(XI) = 1, @(XI - E ) < 1 (E > 0 ) . D a m brauchen die Integrale in (7) und (8) nur so weit erstreckt zu werden, wie der Integrand groBer als 0 ist.

Wegen 1 - z< e-' (z > 0 ) 1tiBt sich nlimlich die Obersumme in (6) abschtitzen durch

C [nP (a, uf + b,)]*-' n d P (a, u + b,) 1

x C nAF(a,v+b, )e 9

- (n- A - 1) P (oau+ b,)

U ~ W X,.

Im allgemeinen Fall gehen wir aus von den Ungleichungen ( v 2 u f )

( h : 1) P - 1 + b,) (n- h+ 1)dP (u,u + b,) (k - n - h h - 1 1 x (P (a, w + b,) --P (a, u' + b , ) ) k - h - l (n- k + 1)dP (a,v+b,) x ( 1 --P (a, 21' + b , ) ) " - k I P l u s

x (-P(a,v'+b,) --P(a,u+b,))k-h--'

u', 215 ty< 213

5 ( h 1) "-' + br3) (n - + '1 + b,) (k - n - h h _. 1 1 x (12 - k + 1) AF ( a , ~ + b,) ( 1 - - P ( ~ , v + l ~ , ) ) " - ~

Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggrijSen 43

Die rechte Ungleichung gilt wieder auch fiir v = u *); in derselben Weise wie fiir k = k + 1 erhalten wir nun, indem wir uns auf die Notierung der Obersummen beschrlnken,

x c (F(a,v'+b,) -F(a,v+b,))'-*-'

x AF (a, 2) + b, (1 -P(a, 2) + bn))n-k U ~ V C U t Z

und daraus folgt durch Grenziibergang n +. 00 1

* - 5 l imP{A 5 p< B, a r k .} s m j 7 J h q

x C y"-' (u) A ~ ( u ) ( ~ ( v ' ) - y ( ~ ) ) ~ - * - - ' A e , ( v ) e - I @ ) . A S u < B U S V < U + Z

So erhalten wir mit denselben Schliissen wie fiir k = k + 1 m U+Z

1 lim P {ah)< $1 ='(k-hh)lhI J'dV*((u) J' e - v ( v ) d ( V W - V ( W *

= I - J' d q h ( w ) e - p ( u ) f e - w d w k - h .

-m n+m

U

(10) m

(k - h ) ! h ! -on r(u+z) -I (u)

Wenn ein Punkt X, existiert, so daD @(X,) = 1, @(Xl - E ) < 1 ( E > 0), so ergibt sich wie friiher

J d V h ( u ) e - q ( u ) f e - v d w k - h . (1 1) lim P {dpi < x} = 1 - ckziFh-

Aus (10) und (11) ergeben sich die im Satz behaupteten Grenzverteilungen, wenn man die drei Typen (4) einsetzt. Z. B. ergibt sich aus (11) im Fall 3. wegen X, =

-_ b 2 -

x1-2 1

-m I (U+Z) -I (u) n+-

b

lim P {ah) < z} = 1 - ____ (- aw - b ) - h . e - ( - a ~ - b - ' (k - l j h ) ! h ! -m

X s e - v d 21k - h

( - 5 ( W + Z ) - b ) - - ( I - ( - 5 W - b)-'

d ( u - h - ( I ) e - u - - ( I f e - ~ d v k - h . (k - h ) ! h !

= I - +-

Damit ist Satz 1 bewiesen. (u - a 2) --(I - u - =

') Diem Umstand wird auch in der Folge immer wieder auftreten. Wir machen darauf nioht mehr beeondera aufmerkeam.

44 Rosaberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggroSen

Da die Bedingung I fur das Auftreten der Grenzverteilung Akh (a z ) fur die Anwendungen ungeeignet ist, sind noch zwei SMze von GNEDENKO und v. MISES nutzlich, welohe weitere hinreichende Bedingungen fur die Konvergenz von P(@' < 2) gegen die erste der Verteilungen (1) liefern5). Diem Bedingungen sind nach dem Bewiesenen auch hinreichend fur das Auftreten der Verteilung

Korollar 1. Damit bei gewisser Wahl der Konstanten a > 0 der Aus- druck

gegen A, ( z ) konvergiert, ist hinreichend, daB

(a z) , so daB folgendes gilt :

P { l k - 6 h < a z}

= t@ F (- lg (4) 2 3 m F (- 1g (7%)) lim

fur alle t >0, wo a a = 1.

x < X, . Dann konvergiert Korollar 2. Es sei F ( x ) > O fiir alle x und zweimal differenzierbar fur

(12)

1 1 Dabei ist a,, =

( X o , XI). Dam konvergiert (12) gegen Abh(z), wenn

bn die kleinste Wurzel von F (- x) = ;. nF'(- bn) '

Es sei F ( X , ) = 0, P ( X , + E ) > 0 und P ( x ) zweimal differenzierbar in

Die hier dargelegte Methode gestattet es auch, zweidimensionale Ver-

Satz 2 . Bei passender Wahl der Konstanten a,, > 0 konnen als Grenz- teilungen zu berechnen. Es gilt

gesetze far

auftreten (a > 0 , a > 0) : p{dkh r a n x , dlk (h < k: < I )

1 1. A i : ( a x , a y ) = ~ k . h ! (k - h - l)! (1 -3j!

m e - a ~

x J e-uduk 7 e-vdv1-k [ (1 -w)k-*-ldWh

s 0 u ( c " l - 1 ) 6

1 2* u y ~ f ( a x ~ 'y) = k . h ! (k - h - 1)! (2 - k)!

00 (!$)U

e - w dwl-h x J' e- "du

6) GNEDENKO, a. a. O., 8 6.

(1 - v )k -h- ldvh az 0 (u+ay)' -u4

Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von Ranggr8Den 45

A h Grenzgesetze fur

k6nnen auftreten: 1 1. A;: (ax, ay) = k. h ! (k - h - l ) ! ( I - k)! (rn - Z)!

1 2. 'Y;: (ax, a y ) = k . h ! (k - h - l ) ! ( I Z)! (m - I ) !

3. a hk 1 @lm(ax,ay) = k h ! (k- h - l)! (1 - k)! (m- I ) !

m U

m

, - t d t m - I s 0 (u- a y) - a - u-a

Die hinreichenden Bedingungen fur das Auftreten dieser Grenzgesetze sind beziehungsweise dieselben wie in Satz 1.

Beweis. Wir gelengen zu den angegebenen Formeln ganz lihnlich wie zu denen von Satz 1 und konnen uns deher auf die Notierung der Ober- aummen beschriinken.

46 Roesberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggrBDen

Es ist

(13) * - * 5 P {U S tp’< u’, v 5 @’< v’, w < Ep)< w’} n - h 5 (h: 1) F*-l(an u‘ + bn) ( n - h + 1 ) dP(anu + bn) (b - h - 1)

x (F@, w’ + b,) -P(an u + b , ) y - *-l (rc - k + 1 ) d P (a,v + b,)

x ( 1 14 if 1 ) (F(anw’+ ba)-P(anv + hn))’-’-l ( n - l + 1)

x dP(a,w+b,) ( l -P (a ,w+b ,y - ’ ) und &her

* - * S P { A 9 tp’ n !

* ( h - l ) ! (k - h - l)! (2 - k - l ) ! (n-Z)! dP(an 21 + bn)

x , c F”-I(a,u‘+b,)dP(a,u+b,)

x (P(a,v’+b,)-P(a,u + b n ) ) k - n - l

x ( 1 -P(a,w+b,))+’.

A S u < p

x c d F(a, w + b,) (P(a,w’ + b, -F(a,v + bn))z -k- q - d S w < B

Daraus folgt wie beim Beweis von Sat2 1

lim P { A SErk p , v 5 Ep)< v’, q 5 E?)< B} n + m

X A 9J (4 (h - l)! (k - h - l)! (2 - & - l)!

-

--m

Nun gilt

Rossberg, Verteilungefunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggroBen 47

Kiirzt man die mittlere dieser Wahrscheinlichkeiten mit P, ab, so liefert der Grenziibergang (14)

v - 2

c v ( 4 J' d v h (4 (v(v') - v(u))---' x 1 h!(k - h - l ) ! ( I - k)! R g u <

-00

m

x J'd (v(w) - e-P(U)

V ' + Y

U'--z 00

Bildet man nun noch das Integral uber v, so gewinnt man die gesuchte Grenzverteilung, die sich auf die Form

X 1

k * h! (k - h - l)! ( 2 - k ) ! L;:(Z, zy) = -

bringen I&&. Aus ihr ergeben sich die im 1. Teil des Satzes angegebenen Formeln. Im Fall 2 beachte man: Es ist ip (u) > 0 nur fiir a u + b > 0 . Im Fall 3 vgl. S. 7.

Der 2. Teil des Beweises geht in volliger Analogie zum ersten vor sich, Zuniichst gilt entsprechend zu (13)

* * - Sly8 sty< a', t s;p< t ' , u s ; p < u ' , U S [ < v'} n - h n - k

2 (h: 1) (n -' + ') (k - h - 1 ) ( n - k + '1 (2 - k - 1) (n-z + '1 x n - 1

x (m - 1 - 1) (n-m+ 1)Ph-l(u, 8' + b,) d-P(u,s + b,)

x ( P ( U , t' + b,) -P(U,8 + b , ) )k -h - l dP(U,t + b,) x (P(a, u' + b,) -P(a,t + b,))l+l d P(a,u + b,)

x (P(a, v'+ b,) -P(a, u+ b))m-I- d P (a, v+ b,) ( 1--P (a, v+b,))"-m,

fim P {tr) < p , t I ,$)< t ' , u I 5;'") < u', t$r p.}

Daraus folgt entsprechend zu (14)

n+w

1 I - k - 1 (16) = - h ! (k - h - I ) ! (2 - k - I)! (m - 2 - 1)! p ( t ) (q(u')-q(t)) v(.') x

x p a @ (8 ) (v (t') - pl(8))-1 f ( v (u) -lp(u))rn-J-l e - w h p (v) . I -00

48 Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggrBBen

An Stelle von (16) tritt jetzt eine Doppelsumme auf:

Fur die Grenzverteilung ergibt sich daher mit Hilfe von (16) ein vierfaches Integral, dem wir die folgende Gestalt gaben konnen:

Satz 3. Die Differenzen d k h und dm,(h < k 5 1 < rn) aim? im Limes unabhiingig, wenn F ( x ) der Bedingung I d e r der Bedingung I1 mit a = 1 von Satz 1 gen.llgt.

In allen anderen dort betrachteten Fdllen aind dime Differenzen im Limes

Beweis. Der erste Teil des Satzes ergibt sich unmittelbar aus Satz 2. abhiingig.

Den zweiten Teil beweisen wir auf indirektem Wege. Es sei

" W ( X , 9) = H(Y). Dies bedeutet analytisch wegen Q(0) = H ( 0 ) = 1

(!)" e - w d w l - k f f e - u u auk" J a d ( 1 - V ) k - h - l

2 0 (U+U)" -1"

2 0

In jedem Intervall O < Y , 5 y 2 Y , hat der Integrand der linken Seite - wir nenen ihn kurz f (u, x , y) - eine stetige Ableitung fv(u, x , y) nach y, und die Integrale

00 00

J d u k " f @ , x , Y) und J duk"fu(u, 2, Y) 2 2

konvergieren gleichmaBig bezuglich y im oben ctngegebenen Intervall. EntsprechendeR gilt fur H(y), und wir konnen daher nach y differenzieren.

Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggroBen 49

Wir wiihlen y so, da13 0 > H ' ( y ) > - 00 und erhalten

(18)

(?<))"

Te-uaduka / dv( l - v )k -h - lM ( u ) = O X 0

mit

M ( u ) = e- [ ( U + ~ ) u - U u I [(u + 9)" - u ' ] ' - ~ - ~ ( u +y)"-' + ( I - k - l ) ! W(y).

Die Gleichung (18) mu13 f i i r alle x 2 0 gelten. Wir unterscheiden nun die beiden folgenden FQlle :

a) a > 1: Y Dann ist fiir groI3e u wegen I+, - 1 > a u ( ")"

M ( u ) < a e - a y ua - 1 [ a y z ~ " - ' ] ' - ~ - ~ ( u + y y - l + ( l - k - l ) ! H ' ( y ) < O .

b) O < a < 1:

(2 2 0) wegen e - z Z I - k - l 5 e - ( z - k - l ) ( I - k _. l y - k - l

gilt hier fur grol3e u

N(%)< e - ( l - k - u (1- k - l)'-k-l (u + y ) " - ' + ( I - k - l)! H ' ( y ) < 0.

In beiden Fiillen kann (18) nicht fur alle x 2 0 gelten. Wir sind also auf einen Widerspruch gestooen.

Entsprechend folgt BUS der Annahme

)"!c: (x, y) = G (2) ' H (9)

durch Differentiation nach y

(19) 7 d u k u e-"d(v" - ~ ) " ) 1 - ~ d s h ( 1 - s ) ~ - ' - ~ . N ( u ) = 0

mi t

m (!!)a

X U 0

N ( u ) = ,-rcv+r,)" -u'l [(v+y))"- v u ] m ~ ' ~ l ( v + ~ ) u ~ l + ( m - Z - l ) ! H ' ( y ) .

Die Funktion N ( u ) IiiBt sich wie M ( u ) abschatzen. Daher kann auch (19) nicht identisch in x gelten.

In derselben Weise fuhrt der Ansatz

"@:: (x, Y) = G (2) * H ( h < k I l < m)

durch Differentiation nach x fur alle a > 0 zu einem Widerspruch. Damit ist Satz 3 bewiesen.

Satz 4. Bei passender Wahl der Konstanten a,, > O konnen als Grenz- gesetze fiir

P { d k h k a n x , d { h > any> und p {dlk r a n x , dlh 4 Math. Naehr. 1960, Bd. 21, H. 1-2

50 Roesberg, Verteilungefunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggrBDen

Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differe'nzen und Quotienten von RanggroRen 51

und

x J de-'(w) J dph (u) / (p (v) - p (u))k-h-l d (p (w) - p (v)'-' (z < y) .

Aus diesen Formeln ergeben sich unmittelbar die im Satz angegebenen Verteilungsfunktionen.

Satz 5. Bei passender Wahl der Konstanten an > 0 kdnnen ah Grenz- gmetze far

P(drh 2 a n x , d m k >any}

auftreten ( a > 0, a > 0, z = min (2, y))

-m -03 u

(h< k< l < m)

X 1 -

k. h ! (k - h - l ) ! (1 - k)! (on - Z)! 1 . A;', (ax, a y ) =

m u

5'2 Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von Ranggr6Sen

Die hinreichenden Bedingungen far das Auftreten dieser Grenzgesetze sind bzw. diuelben wie in Satz 1.

Beweis. Es sei z = min (2, y ) . Wir gehen aus von der Zerlegung P { d l h ~ x ~ d m k ~ ~ ) ~ P { d l h ~ x ~ d l k ~ z ~ d m k k y ) + + p{dlh 2 x, alk 2 2 , dmk 2 y )

Dabei ist der zweite Summarid gleich

seine moglichen Grenzfunktionen sind in Satz 4 angegeben. p(dlk 2x3 dm, k y ) (X< y ) bzw- p{dlk >Y, dlh 2x1 ( x > Y ) ;

Der erste Summand ist gleich C C P {dlh 2 2, d,k< 2, 5 6 k < t', U 5 tg< U', dm, 2 y }

--m<t<m u 5 t ' + r

2 P{th<U'-x> t<'!k<t', uAtl<u', Em>t+y)* -w<t<m t ~ U < l ' + X

Wir haben uns hier wiederum darauf beschriinkt, eine Abschgtzung nach oben anzugeben. Durch Anwendung von (16 ) ergibt sich nun als Limes des ersten Summanden

W 1 + L

v W-2)

P (4 x .I d s h ( l - s)""-' dwm-le-w.

9 c (t+ ui-P (U)

Hieraus ergeben sich die im Satz angegebenen Grenzverteilungen.

reichend dafzlr, dap (bei festem k) far alle Linearkombinationen Satz 6. Die in Satz 1 angegebenen Bedingungen sind notwendig und hin-

k

(ck $. O) 1

(bei pmsender Zentrierung u n d Normierung) eine Qrenzverteilung existiert, welche nicht ausgeartet ist. Es treten im einzelnen folgende Grenztypen auf:

I k-2

c i

~ __ 2- C I U I 2-c1u

k k 1

$ ci Ck- l +'k

1* Hk(z )= dq(ul) J dv(u2) I"* d v ( u k - l ) X

-m u1 ua Uk-2 k-1

I I- 2 CiUi


(s= 1 , . . . , k - 1 ) k

( $ c , > O , t = s + l , ..., k ; z c , = O ) S

S I- z c i u i

1 k z

S + l C i

k - I

1 I- C i U i __.

l - H k ( - z ) C C i < 0 , t = l , . . . , i lk , k , 4.

k k

S t

k 1

5 . l - K k s ( - z ) ( 8 = 1 , . . . , k - 1 ) ( c c i = O , C c i < O , t = s + l , ...,

6. l - L k s ( - z ) ( s = 1 , ..., k - 1 ) ( c c i > O , cci<O, t = s + 1 , ..., 8 t

Dabei ist far @(u) und v(u) jeweils eine der Funktionen ( 1 ) bzw. (4) ein- zusetzen je nachdem, ob die Bedingung I , I I oder III von Satz 1 eritillt ist.

Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten yon RanggrBBen 54

1.

2.

3.

Beweis. Wenn c k >0, so sind folgende FHlle zu unterscheiden: k

C C i > 0 ( t = l , ..., k). I

k

Es existiert ein 8 (1 5 8 2 k- l), so daB c t = 0 8

k c ci > 0 ( t = 8 + 1, . . . , k) . 6

k

Esexist iertein8(12;8k-l) , sodaB c c < O 8

k c c < 0 (t = 8 + 1, . . . , k) . 6

Diese Falle mussen wir einzeln untersuchen. 1 a. Wir mussen hier unser Abschiitzungsverfahren verallgemeinern. Es

ist stets zu beachten, daI3 alle Variablen u1 5 u, 5 . - S u k gleich einem der Punkte p , sind, mit denen wir das Intervall (A, B) unterteilen. Ferner ist u; = u1 + 6, , . . , uL = u k + 6 .

Fiihren wir noch die Abkurzungen P(a, u; + b,) - P(a, ui + b,) = d P(a,ui+b,) und ivk = n (n - 1) - . . (n- k+ 1) ein, so gilt fur u.; 2 up, U'z 2 u, I * * *

k


Dabei durchliiuft uI.

Hieraus folgen zwei verschiedene Bedingungen fur u k - 1 : Die Ungleichungen (21) entstehen ja nicht durch eine einzige Summation iiber die Unglei- chungen (20); sondern es wird zuerst C uber die linke Ungleichung (20)

gebildet, dann die so entstehende Wahrscheinlichkeit abgeschiitzt und darauf iiber die rechte Ungleichung (20) (in anderen Grenzen) summiert (c'). In (21) betrachten wir weiterhin nur die beiden auBeren und das mittlere Glied. Dann haben wir also wie in (20) wieder zwei Ungleichungen vor uns, und es mu13 nach (b,) in der linken Ungleichung

"k

"k

(22) und in der rechten Ungleichung k-1 k-2

gelten.

Ungleichungen von (21) ebenso verfahren. Man erhiilt Beim zweiten Schritt wird mit den beiden uns allein interessierenden

k-2

N k n A (an ui f bn) c A (an uk-l + bn) c A uk + bn) x "k-1 " k

x ( 1 -F (an u; f b n ) ) n - k s p (n) * * , u k - 2 5 6 k - 2 < uL-2,

56 Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von Ranggr6Oen

Dabei durchliiuft u , , ~ wegen (22)

und wir finden fur die linke bzw. rechte Seite von (23) die Bedingungen

Benutzt man noch, daB das mittlere Glied in (23) gleich

ist, so erhiilt man durch Fortsetzung des angegebenen Verfahrens nach insgesamt k - 1 Schritten eine Abschiitzung fiir

(Der rechte Endpunkt B des Intervalls, in dem die Zerlegung 2 vorgenom- men wurde, sei so pol3 gewiihlt, dal3 er den Summationen keine BeschrBn- kung auferlegt.) Mit Hilfe der Zerlegung

erhiilt man daraus mit denselben Schliissen, die wir schon mehrfach benutzt haben, auf Grund der Bedingungen (bl) , (b2) , . . .

k - 2 I- ciui

1 I I-C1 u1 -- -

k k Fi Qi ck-1 + C k

dv(ul) s dv(u2) s." s d v ( u k - l ) U 1 " k - 2 -Do U l

k - 1

1 8- z c f q

x f d q ( u k ) ( l A @ ( u k ) )

U k - l

Dieses uneigentliche Integral existiert, denn es existiert f i i r z-t 00.

nicht alle Koeffizienten c,>O sind, sondern nur gilt 1 b. Wir iiberzeugen uns nun, dal3 dieselbe Formel auch dann gilt, wenn

k k

1 2 2 cf > 0, cf > 0 , . . - 3 Ck-1 + > 0 , c) > 0 *

Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggriiBen 57

Dazu betrachten wir den Fall ck-l < 0, c k > - Ck-1 > 0 , alle ubrigen

Um analoge Abschatzungen wie in (21) vornehmen zu konnen, mussen wir unser Verfahren geringfugig abandern. Ebenso, wie (21) aus (20) folgt, ergeben sich hier vier Ungleichungen, von denen wir nur die mittleren Glieder aufschreiben :

c i 2 0 (Ck >o) -

In den auBeren Gliedern lindern sich gegenuber (21) nur die Summations- grenzen. u k durchliiuft

An Stelle von (22) erhalten wir daher wegen uk-, = u k - l + 6

bzw.

Es ist klar, daB die weiteren Schritte wie unter l a durchgefuhrt werden konnen. Der Unterschied in den Summationsgrenzen (b,) und (bi), sowie in den Grenzen, die sich bei den folgenden Schritten ergeben, verschwindet beim Grenzubergang 6 --f 0, d. h. bei der Bildung des Stieltjes-Integrals. Es ist auoerdem klar, daB die hier vorgenommene Abiinderung (Ver- tauschung von u k - 1 und ui-l an gewissen Stellen) des Verfahrens l a auch dann anwendbar ist, wenn ein oder mehrere andere Koeffizienten ci

negativ sind, aber dennoch C ci > 0 , C ci > 0, . . . , Ck-1 + c k > 0 , c k > o ist. Damit ist die Untersuchung des ersten der eingangs unterschiedenen Fiille abgeschlossen.

2. Zur Behandlung des zweiten Falles machen wir zuniichst die zusatz- liche Voraussetzung c1 2 0, . . . , c k - 2 2 0, ckw1 + c k = 0, c k > 0. Dann ver- liiuft uner erster Schritt wie unter 1 b. Hier bringen aber die Bedingungen (bi) keine Einschrankung fur u k - 1 mit sich. Das lauft am Ende darauf hinaus,

k k

1 2

58 Rossberg, Verteilungefunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggrijBen

daB die Integrationsvariable uk-1 sich im Interval1 (Uk-Z', co) bewegt. Fur die ubrigen Integrationsvariablen folgt aus (bi) die Bedingung :

zu der noch die selbstverstiindliche Forderung

(28) u 1 < u , s . - *<uk-2

kommt. Es ergibt sich daher

Uk--2 uk-l

und es ist nach dem unter l b angegebenen Verfahren klar, daB sich dieselbe Grenzfunktion ergibt, wenn die Koeffizienten cl, c2, c3, . . . , Ck-2 beliebige Zahlen sind. Dabei ist jedoch noch folgendes zu beachten: Wenn

ci + 0 , so gibt es bei beliebigem z ein Gebiet im Raum der lTariablen

ul, . . ., Uk-2, in dem die Ungleichungen (27) und (28) zugleich erfiillt sind. Setzt man niimlicb u1 = u2 = . - * = 241-2 = u, so ist (28) erfult, und (27)

k-2

1

Dann kann man ja u, =L u,+, -- - . - = Uk-2 = u setzen und (27), d. h. I-1 k-2

2 c i u i + u c ci<z , 1 t

durch geniigend groBe Wahl von u befriedigen. Sind aber alle Summen

c i 2 0 ( t = 2 : ..., k - 2 ) , 2 cf=O,so kannEc,u,unterderBedin- k-2 k-2 k-2

t 1 1

gung (28) nur dchtnegative Werte annehmen: Dann ist namlich

wo u1 + E , = u2, u2 + E~ = ug, . . .; hier sind aber alle k - 2-Summanden nichtnegativ. In diesem Fall folgt daher aua (22) z > 0 5).

b, Das tritt z. B. ein bei den sohon in Satz 1 behandelten Differenzen. Hier ist el = c, = . . . = ck-2 = 0 zu setzen, und man erhalt durch partielle Integration iiber u1 aus (29) die Formel (8) (mit k - 1) an Stelle von k.

.~

Rossberg, Verteilungsfunktioeen der Differenzen und Quotienten von RanggroBen 59

k k

Wenn allgemeinCcj = O,Cci > O (t = s + 1, . . ., k), so ergibt sich 8 1

nunmehr leicht die Funktion K k d ( z ) des Satzes.

Auch hier iindern sich gegenuber den bereits behandelten FiiUen nur die Integrationsgrenzen. Wir richten daher unsere Aufmerksamkeit nur noch auf sie. Nach l b wissen wir, wie die unter l a gewonnenen Abschiitzungen abzuiindern sind, wenn die Koeffizienten c l , . . . , ct-l negativ sind. An Stelle von (b; ) finden wir daher die Bedingungen

3. Fall. ES Sei ZUn8;chst C1< 0, . . ., c k - 2 < 0, C k - l < - c k , c k > 0.

k-1

U k - l f d = U ; - l g u k < & 2-C c{ui - - 6 Y 1 ) u k - 1 s u k < G ( 2 - +;) 1 k-2

(by)

I I

Darrtus fold

Nach dem Grenziibergang 6 + 0 ba t man also, da auch noch u k - 2 S u k - 1

gelten mu&

max u~-~,---- ck-1 1 + ck ( z -- .y ci U i ) ) i ( 30)

als untere Integrationsgrenze fiir u k - 1 . Fur die Variablen ul, u2, . . . , u k - 2

folgt aus (bi') keine Bedingung. In der Tat lki13t sich unter unseren Voraus- setzungen bei beliebiger Wahl von u, I up ,S - - - 5 U k - 2 die Variable u k - 1

grooer als (30) wiihlen, und dann ist, wie aus (b,") folgt, u k so wiihlbar, daB k

C C i U i < 2 . 6 ) 1 Wir finden daher

m m m

"k-1

O) Dies ist der wesentliche Unterschied in unseren drei Flillen: (b,) konnten wir durch (22) nur erfiillen, wenn auch (b,) erfiillt war usw. Im zweiten Fall gab (bi) keine Ein- schrankungfiir u k - 1 , und wir muaten daher noch die Bedingung (27) fiir ul , u ~ , . . ., U k - 2 aufstellen.

60 Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggroDen

Es ist klar, daI3 man zur selben Formel gelangt, wenn die Koeffizienten c l , c 2 , . . ., C k - 2 beliebige Zahlen sind. Wenn augemein

k k

so tritt unser Fall 3 erst beim (k - 8)-ten Schritt ein. Es folgt dann nach Fall 1 und 3 die Funktion Lks (2) des Satzes.

Damit sind die eingangs unterschiedenen drei Falle untersucht. Wenn

c k < 0, so gehort - c ci [I"' zu einem dieser Falle, so daB sich die weiteren

in Satz 6 angegebenen Grenzverteilungen unmittelbar ergeben.

Wiihlen wir die Konstanten b, und a, > 0, mit denen wir die Rang- groI3en t k zentriert und normiert haben, so, daI3 in (2) (je nachdem, ob die Bedingung I, I1 oder I11 von Satz 1 erfullt ist) genau eine der Funktionen (1) als Grenzfunktion avftritt'), so haben wir damit bei einer speziellen Wahl

der Konstanten 7, > 0 und 6, (nlmlich 7, = a,, 6, = b, ci) die Grenz-

verteilungen von

k

1

k

1

berechnet. Nach einem Satz von CHINTSCHIN konnen dann bei beliebiger anderer Wahl der Konstanten 7, > 0 und 6, nur Funktionen derselben Typen auftreten.

c1 = c2 = * + . = ck-, = 0 , ck = 1 liefert (26) die Grenzverteilung fur Die Bedingungen des Satzes 1 sind auch notwendig, denn fur

P ( p < 2) : I I

I

') GNEDENKO, a. a. 0.. 86 4-6.

Rbssberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggrBDen 61

Satz 7. F ( x ) sei stetig. Bei pamender Wahl der Konstanten yn > 0 und 6, treten a h Crenzgesetze far

folgende Verteilungstypen auf :

lo

I1 ( x > 1 ) :

(X'S 1) 3

v 00 2

-

[ de-va J d U h a ( v a - u a ) k - h - l ( x < 1 ) . 1 1+--- h ! ( k - h - l ) ! . IO 0 0

3. @;h(X) =

Hinreichend far das Auftreten der unter l . , 2., 3. angegebenen Verteilungen sind bzw. die Bedingungen I , 11, I I I von Satz 1. Dabei sind noch folgende Falle zu unterscheiden:

Z u 1. A,(x) tritt auf, wenn F ( x ) > 0 far alle x oder wenn ein X o < 0 existiert, so dap F ( X o ) = 0 , F ( X o + E ) > 0 ; AZh ( x ) tritt auf, wenn ein X, 2 0 ezistiert, so dap F (X,) = 0 , F ( X , + E ) > 0.

Z u 2. !Pi; (x) und !Pit (2) treten auf j e nachdem, ob X , < 0 oder X o > O id. X , = 0 ist hinreichend far !P:: (2) . Die Funktionen !Pi:(x) und @:: (2)

finnen bei Vorliegen der entsprechenden hinreichenden Bedingungen mit der speziellen Wahl yn = 1, 6, = 0 der zur Normierung und Zentrierung dienenden Konstanten erhalten werden.

62 Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von PanggrBDen

I m Fall k = h + 1 ergeben eich folgende Typen:

m

Bemerkung. Mit derselben uberlegung wie in der Bemerkung zu Satz 1 folgt hier : Die angegebenen Verteilungsfunktionen treten auch als Grenz- verteilungen fiir die Quotienten

q n + l - h

q n + l - k

ad .

Be wei s. Es sei zunlchst k = h + 1. Wir leiten zunachst den analytischen

Ausdruck fur P -< x her.

Es ist-< 1 dann und nur dann, wenn &,+l > 0 . Wir mussen daher

die Falle x < 1 und x > 1 unterscheiden.

Dann ist

( l h t l ) 6 h

t h + 1

Wir beginnen mit der Voraussetzung 0 2 x < 1. Es sei 0 < v < u'.

Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggriiDen 63

Mit einer Unterteilung des Intervalls (A, B) mit A > 0, wie wir sie bereits beim Beweis von Satz 1 eingefuhrt haben, folgt

A S u < B - 8 p { & < ~ , v ~ 6 ~ + 1 ( v ' } ~ P { ~ ~ + l , h < x , A ~ 6 h + ~ < B }

5 PI$< x, v<Eh+l< v'} * A g u < B

Wegen

p { 6 h < u, v < 6 h + l < v'} = - (p ( u ) [ ( l - F ( v ' ) ) " - h - ( l -F(v ) )" -h]

(u 5 v) bedeutet das analytisch

-(I) c Fh(vr ) Ix1 - F ( v ' ) ) " - ~ - ( 1 - P (v))-h] A g v 

Fh (v' 2) [( 1 - F(v'))"-h - ( 1 - F(v))*-h], * - ('1 A g z B

falls v' x = (v + 6) x < v. Das laflt sich aber durch Wahl eines geniigend kleinen 6 erreichen. Da P { q h + l , h < x, A 5 < B unabhlingig von der Zerlegung des Intervalls (A, B) und F ( u ) stetig ist, folgt mit 6 --f 0 (wenn man nachtriiglich noch den Limes A -+ 0 bildet)

B

( 3 1) p {qh+l, h < 2, 0 6 h + 1 < B} = (') PA (v x) d ( - p (v))"-h 0

zuniichst fur 0 5 x < 1. Fur x < 0 kehren sich in den obigen Abschlitzungen nur die Ungleichheitszeichen um, und man erhiilt schliefllich ebenfalls die Formel (31 ) .

Wenn x > 1 , so gewinnt man mit ganz lihnlichen Abschiitzungen die Formel

( 3 2 ) { q h + l , h 2 x, * E h + l < O} = - (1) { F h F ( v x ) d ( l -F(v))"-h. C

Aus (31) und (32 ) folgt mit v = a, u + b,, B = a, W + b,, C = a, V + b,

{ q h + l , h < Yn + 6n 5 E h + l < w f bn> W

= - (I) 1 ph ((an u + bn) ( ~ n x + 6,)) d ( 1 --F (an u + b ) ) n - (7% x + 6, s 1) 3

an . On

- _

64 Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggroBen

Wenn eine der Bedingungen von Satz 1 erfullt ist, so existieren, wie wir wissen, Konstante a, > O und bn, so daB (34) -Pn(w) = 1 - ( 1 --P(a,w +b,))"+@(v) (-m<v< CO),

wo @(v) eine stetige Verteilungsfunktion ist. Um in (33) zum Limes n -+ 00

ubergehen zu konnen, brauchen wir noch die Grenzfunktion von

n-P ((an 21 + bn) (yn x + dn)) = n-P (an (yn 5 + 6,) 2) + bn (7% 2 + 6,)) oder nach (3) von

(35) -Pn (anv + Bn) = 1 - ( 1 --P (an (ynx + 6n)v + bn (ynx + Sn)))".

Nach (34) und (36) bestimmen sich die Konstanten an und Bn aus der Gleichung

die fur alle v gelten mu13. Daher ist a n (anv + Bn) + bn = a n (ynx + dn)V + bn ( 7 s ~ + dn),

Wir wlhlen jetzt die Konstanten yn > 0 und 6, so, da13 an und fin endliohe Limites haben. Dabei unterscheiden wir drei Fllle:

+ 00. bn an

-- 1.

+ 00. bn

an -- 2.

3. Man kann bn = 0 setzen.

In den beiden ersten Flllen muB wegen (36) an+ 1 gehen, wenn /?, einen endlichen Limes haben 8011. Wir setzen daher

an I?! y = - , S , = l - n lbnl

also an a n = y n x + d n = 1 + - ( ~ - 1 ) + 1 (37) I b n I

Bn = T (x - 1)- Im dritten Fall ist uberhaupt keine Normierung und Zentrierung notwendig. Es kann yn = 1, Sn = 0, also

a, = 2,

Bn = 0 gesetzt werden.

(38)

Aus (34) folgt nun, wenn allgemein lim a, = A, lim Bn = B gesetzt wird lim F, (a, w + B,) = @ ( A v + B ) .

n + m

Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von Ranggr88en 65

Wegen lim (a, v + p,) = A v + B ist ja fiir genugend groDe n

Av + B - E < a, v + pn < A v + B + E ,

und daher

(34) liefert daher

@ (A v + B - E ) 5 !& F, (a, v + &I 5 Da @(u) stetig und E > 0 beliebig ist, folgt (38).

Fn (Av + B - & ) S F , (an + p n ) S F n (Av + B + E ) .

B', (a, v + pn) 5 @ A( v + B + E ) .

Nach (3) gilt daher

(39) n F ((an + bn) (Ynz + 6,)) + -log ( 1 - @ ( A + B ) ) = F ( A + B ) . In unseren drei Fallen ist:

1 . A = 1 , B = - ( z - 1 ) .

2. A = l , B = X - l .

3. A = x , B = O . Fall 1 : Wenn x< 1 , so ist auf Grund von (37) auch a, = yn x + 6, S; 1 .

Es ist daher fur z L 1

{qh+l , h < Yn + sn} = {qh+l.h < Yn + sn? < t h + l <

= P { q h + l , h < j n X + S n , 0 < 6 h + l < a n w + b n } + + {%+I, h < Yn + 6n 9 an + bn 2 t h + l }

bn an

Fiir genugend groI3e n ist rtber - - > W und daher

P(qh+l,h<YnX+6n, O < t h + l < a n w + b n } = O .

Daraus folgt

und dieser Ausdruck kann durch Wahl eines genugend grol3en W beliebig klein gemacht werden; d. h. es ist

(40) lim {qh+l ,h < Yn f dn} = ( x . 5 1 ) . n+m

Es sei nun x > I, d. h. yn x + 6, > 1 . Dann gilt wegen (33), (34) und (39) W

(41) limp { q h + l , h 2 Yn 5 + sn vs t h y ! < w} = [ Q]' ( A u + B, d@(u) * i

Hier ist der Grenzubergang unter dem Integral berechtigt, weil 1. der Integrand stetig und monoton und seine Grenzfunktion stetig

ist im abgeschlossenen Intervall ( V , W) und die Konvergenz daher gleichmaI3ig ist.

2. die Totalvariation der integrierenden Funktion beschrankt (I 1) ist. 5 Math. Nachr. 1960 Bd. 21. H. 1-2

66 Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggrolJen

Mit Abschktzungen, die denen von S. 6 und 6 ganz ahnlich sind, erhdt man daher (42)

Fall 2: (A = 1, B = z - 1). Zunlichst sei wieder x 5 1. Dann llil3t sich wie in (41) der Grenziibergang

(43) l imp{qh+l,h<ynz+6n, V S ~ ~ ! , " : , C w> =

vollziehen, und wir erhalten

W

v * ~ w + ~ ) d @ ( u ) V

I1 (x> 1). In der Tat gilt nlimlioh lim P Gleichung beweist man iihnlich wie (40).

I( > y% z + 6,) = 0 fiir z > 1. Diese

Fall 3: (A = z, B = 0). Hier gilt nach (33) W

p{qh+,,h< x, O < t h . + l < a n W } = -i (;)SF* (anuz)d(1--~(anu))"-* 0

(zS1), 0

p {qn+1, h > 2, an V c &+l< 0) = - (;) J P (a, 5) d ( 1 - a (an u) )" - V

(x > I), und mit ganz entsprechendenuberlegungen wie in den Fallen 1 und 2 folgt

m

J vh (u 4 d @ W ($5 1) , 0

0

1 - ; p ( U z ) d @ ( u ) (z>1). I -00

(45) lim%*+1,*<3C) =

In diesem Fall kann es vorkommen, daB @(v) = 1 fur v2 0 . Dann gilt, wie man durch partielle Integration und Anwendung der Ungleichung 1 - a< e-" findet, fur z< 1

- (;)s F b ( a n u z ) d ( l -F(a,u))"-*< ( ; )Fh(0)e- (n-r )a(o) m

0 m

Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differeneen und Quotienten von RanggriiDen 67

falls O I ) . IO

Wir untersuchen nun, wann diese Fiille im einzelnen auftreten. Dabei wiihlen wir die Konstanten an > 0 und b, so, da13 als Grenzfunktion @(v) in (34) eine der Funktionen (1) (und nicht nur der Typen (1)) auftritt, wie wir es schon beim Beweis von Satz 6 getan haben.

1. Es gelte die Bedingung I von Satz 1. Dann ist

@(v) =LI(V) = I - e-ev, v ( v ) = ev.

I n diesem Falle kann F ( s ) > 0 sein fur alle x, es kann aber auch eine Zahl X, existieren, so daB P ( X , ) = 0, P ( X , + E ) > 0 fiir jedes E > 0 *). Nach (3) gilt dann

(47)

Daraus folgt entsprechend den beiden eben angegebenen moglichen Flllen fur alle u entweder

n F (a, u + b,) + e" fur alle u.

(48) U,U + b, + -00

oder

(49) an u + b, + X,.

Fur genugend groBe n gilt nach (48) a, u + b, < 0, also - > u. a, Da u beliebig groB sein kann, folgt

+ w . bn

an --

Fur u $: o folgt aus (49) an (u - v)+ 0, d. h. an+ 0. Wenn X o < 0, er-

gibt sich daher weiter &us (49) u + 5 + - 00, d. h. wieder (50). an

bn

a n Wenn X, > 0, folgt aus (49) ebenso u + - --f 00, d. h.

Wenn X, = 0, so kann (47) nur gelten, wenn f i i r geniigend grol3e n

a, u + b, > 0, d. h. u > - - fur alle u. Daher gilt ituch in diesem

Falle (51).

bn

an

e, GNEDENEO, a. a. O., 5 6. 6.

68 Roesberg, Verteilungefunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggriiDen

Wenn also F (x) > 0 fur alle x oder X, < 0, so liegt unser Fall 1 vor, und es gilt (42). 1st X, 2 0, so haben wir den Fall 2, und es gilt (44). (42) und (44) liefern die beiden Grenzfunktionen (x) bzw. A$+l,h (x).

2. Es gelte die Bedingung I1 von Satz 2. Dann ist

@(u) = YQ (u) = 1 - e-"', q(u) = uu ( u ; ~ o ) , und es gilt daher

nF (anu + b,) -, u" ( u 2 0) .

Daraus folgt wieder

anu+bn+Xo, diesmal aber nur fur u k 0. Wie unter 1 erschliegt man nun: Es gilt (60), wenn X,, < 0 ; es gilt (Eil), wenn X, > 0. Es liegen dann also wieder die Fiille 1 bzw. 2 vor. (42) und (44) liefern daher die Grenzfunktionen c;l,h (x) bzw. !P:Zl,* (a). Wenn X, = 0, so kann b, = X, = 0 gesetzt werden 8 ) , und es liegt Fall 3 vor. (46) liefert daher Y:!l,h (z). (NB : Fiir x < 0 und x > 1 ist u x < 0 im Integrationsintervall und daher der Inte- grand gleich 0.)

3. Es gelte die Bedingung I11 von Satz 1. Dann kann b, = 0 gesetzt werdenl,), und es ist

@(u) = @" (u) = 1 - e-(-")-" , v(u) = (-u)--" (21.5 0).

Hier liegt wieder Fall 3 vor, und zwar mit @(u) = 1 fur u 2 0 und O < P ( 0 ) 2 1. Daher ist Formel (46) anzuwenden. Sie liefert @;;l,h (2).

Im allgemeinen Fall ergeben sich gegenuber dem eben behandelten Spezialfall k =. h + 1 nur wenige technische Erschwerungen. Wir skizzieren daher nur den Beweis. Ausgangspunkt sind die Formeln

B

0 d ( 1 - -P(v))"-k+'

n

9) GNEDENKO, a. a. O., Q 5. 10) GNEDENKO, a. a. O., Q 4.

Roasberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggrBDen

oder (mit B = a, W + b,, C = a, V + b,)

69

x J' d(1-F( (anv+b , ) )" -k+1 1 dPn(a,u+b,)(...)k-" +'.

-V -m

Fur die zweimal auftretende obere Grenze g,(v) gilt dabei 1

g n (v) = [(a, + b,) ( ~ n x + 6,) - b n l = an + Bn -+ A + Bs

wenn wir die oben getroffene Wahl der Konstanten yn > 0 und 6, bei- behalten.

Fe l l 1: Hier gilt a d Grund von (52) an Stelle von (41) fur x > 1 W

lim P {qkn > 7, x + 6,, V < tr) < W} = h ! ( k - h - l ) ! f d @ W i

A v + B

x 1 d d w ( d v ) - v(U))k-h-' - -m

Mit ganz analogen Abschitzungen wie fur k = h + 1 finden wir daher an Stelle (42)

(63)

--m -m

(x > 1). Fall 2: Die Verallgemeinerung von (43) lautet (z< 1)

lim P{qkn < yn + 6,, V< #')< W}

h ! ( k - h - l ) ! .

W o+z-l

I 'd@@) J d97h(u)(Q)(~)--Q)(u))k-h-1. 1 - -

V -m

Deher folgt wie an Stelle von (44)

(54)

70 Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggrbDen

Fal l 3: Die Gleichungen (52) liefern hier (mit y, = 1, 6, = 0, b, = 0)

(56)

lim P{qkh<a}= 0 V 2

mi-W-l)! f d @ (v) i d p . (21) (p (v) - ( U ) y - 1 (XSl), 0 --m

~ J d @ ( v ) J d ~ * ( u ) ( p ( v ) - p ( z c ) ) k - h - - ' (a > 1). 1 W ! (k - h - l)! 11- -00 -m

a+-m

Die Anwendung der Formeln (53), (54) und (55) geht ebenso vor sich wie die der entsprechenden Formeln im Fall k = h + 1 .

Damit sind die im Satz angegebenen Verteilungsfunktionen unter den dort angegebenen Bedingungen hergeleitet, und zwar mit einer speziellen Wahl der Konstanten y n < 0 und 6,. Nach dem schon friiher benutzten Satz von CHINTSCHIN konnen (unter den genannten Bedingungen) bei beliebiger anderer Wahl der Konstanten nur eigentliche Verteilungsfunktionen auftreten, die zu den angegebenen Typen gehoren.

Damit ist Satz 7 bewiesen. Wir geben zum SchluB dieser Untersuchungen uber Grenzwertsiitze

noch fur einige wichtige Verteilungsfunktionen an, welcher der drei in Satz 1 angegebenen Bedingungen sie genugen :

Verteilungsf unktion genugt Bedingung :

1. GauB:

2. Exponential- a) F (2) = e-(-')' ' (a 5 0 , p > 0) , I.

verteilung: b) P ( z ) = 1 - e-" ( x > O , p > O ) , I1 mit a = p .

4. f -Verteilung : .I

t9 -- 6. Maxwell: P(2) = - 4 pe b'dt (2ro), I1 mit a = 3.

1"8(j

2

6. Cauchy:

Roaaberg, Verteilungafunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggrdDen 71

7. Student (t-Verteilung) :

@ 2. Variationsreihen mit einer endlichen Anzahl n von Gliedern Wir untersuchen zuniichst die Konsequenzen, welche die Bedingung

& = a (1 < IS n) nach sich zieht. Die unabhiingigen ZufallsgroBen xl , . . . , xn mit der Verteilungsfunktion

P {xi< z} = P ( x ) (i = 1, . . ., n) bilden in einer gewissen (zufiilligen) Per- mutation & = xik (k = 1, . . . , n) die Variationsreihe V

El<t2S*** S t n -

Es sei bekannt, daB = a. Dabei setzen wir voraus, daB F ( a ) > 0. Dann sind I - 1 ZufallsgroBen xi, = &, . . . , xil-l = kleiner als a ; in der natiirlichen Anordnung der Indizes mogen sie

Xj1,** . ~ ~ , l ~ l ~ i l ~ i z ~ ~ ~ ~ ~ i r - l ~ heiBen. Wir definieren nun neue ZufallsgroBen 2; durch die Gleichungen 2; = x,, (i = 1, 2 , . . . , 2 - 1 ) . Sie haben die Verteilungsfunktion

F (4 P {z; < Z} = F’ (2) = P {xji< x / z , ~ < a} = - (W F (a)’

P {3c;< 2, z;< y} = P {2,{ < 2, qk< y/Z,{< a, xjk < a}

und sie sind unabhiingig:

h i < z, % < y) - F (4 F (Y) (% * a, - - ________ - P {qi < a, 5, < 4

Diese neuen ZufallsgroBen geben AnlaB zu einer Variationsreihe V’

und es ist ti = & , . . . , ti-l =

. Die Wahrscheinlichkeiten P {d;h< x/El =a} (k< I ) und P {li< z/El = a} (k< I) sind dann unbedingte Wahrscheinlichkeiten, denn die Bedingung t1 = a ist keine Ein- schriinkung fiir die .$ , . . . , &l. Diesen Umstand kann man benutzen, um auf einfache Weise die analytischen Ausdriicke fiir P {& < x/& = a} und P {dk& x/& = a} zu finden. Wir verwenden dabei die Formeln

F (2)

F (a) F (a)

6; <& 5 s . . L L , .

Zur Abkiirzung setzen wir d i n = & -

(67) { l k < = (l) f ( 1 - u y auk 11)

d l1) SIIRNOFF, a. a. 0.

72 Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggroBen

und (f i i r stetiges F ( x ) )

(58 ) { d k h 2 m Do

= (;) (;I:) s d F h ( u ) ~(l-F(v+~))"-~d[F(v+x)-P(u)]~-~. --m U

Die letztere ergibt sich leicht aus den Betrachtungen von S. 7. Setzt man niimlich in den Ungleichungen (9) a, = 1, b, = 0 und bildet lim, so folgt

d - t 0

p { A < t h < B, dkh< x } B y

= (;) (;I:) J d F h ( 4 j ( 1 - F(v))"-k a [F(v) -P(U)]'-h, A U

da wir hier F ( x ) als stetig voraussetzen. Nach dem obigen gilt @ < I )

und fur stetiges F ( x ) (k < I ) a-z

-ca

a-2

x J ( 1 - F' (v + x) ) ' -~ - ' d [B" (v + x ) - F' (u)]"" U

a-z

d F h ( u ) X 2-1 z - 1 - h 1 =( h I ( k - - h )Y=G s

--m

(1-2

x ( F ( a ) - F ( v + ~ ) ) ' - ~ - ' d [ F ( v + x ) - F ( ( u ) ] ' - ~ .

In der Formel (59), die fiir eine beliebige Verteilungsfunktion F (2 ) gilt, -00

spielen die Werte uj gar keine Rolle, die von den RanggroBen

angenommen werden. Diese GroBen konnen daher beliebig fixiert werden. Es gilt

6j (i = I + 1, * *, 4

P ( ~ k < x 2 / t l = a , t ~ + 1 =a'+,, . . . ,E ,=a , } = p { t k < x / & = U } (k<I). Ebenso, wie in (59) eine eindimensionale Verteilungsfunktion angegeben wurde, kann man auch die Verteilungsfunktion fur den Vektor (& , . . ., unter der Bedingung E, = a aufstellen, indem man zunlichst unbedingte Wahrscheinlichkeiten fiir die Variationsreihe V' aufschreibt und dann mit

Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von Ranggr6,Ben 73

(56) die Funktion F ( x ) und dieKonstante a einfiihrt:Auch hier spielen die Werte a, + , . . ., a, der RanggroBen .$ + , . . ., [, keine Rolle. Es gilt daher

p {tl< z1, * * - 9 61-1 < x2-1 I 52 = a, & + l = a,+, , . . ., t, = a,}

= P { & < x 1 , . * . , E 2 - 1 < x , - 1 / 5 1 = a } .

Daher konnen aber auch die Werte der Differenzen d,, f l , dSa ,a , . . . keinen EinfluB haben, die man in irgendeiner Weise aus 5, , . . ., 6, bilden kann:

P {tl < xl, . . ., L1 < x2-l / t, = a, d,,,, = rl, . . .} = P (51 < 5 1 , - . ., L< z,-1 / tI = a} .

Daraus folgt ebenso

P {d,,l, <

Da mit den Quotienten q k h ebenso wie mit beliebigen Borel-meBbaren Funk- tionen f (11, . . ., &) und g ( & , . . ., &) dieselbe Uberlegung angestellt werden kann, gilt der in der Folge mehrfache Anwendung findende

Satz 8. Unter der Bedingung 5; = a (1 < 1 < n) sind die folgenden Vek- toren unabhiingig:

, dSafs < x2, . . . / b = a, d,,,, = r l , . . .}. =P{dall l<xl , . . . / & = a } .

1. 2. ( d k 1 hl7 - * a ) 3 ([,+I,

3. (51 9 * * - 9 L l ) , (dSlfl, * * .)

6. ([I, . - *, L), ( q , , t , , - - .) *

7. ( q E 1 h1 ' - * -1 ( l l + l 3 * - - 7 6,) - 8. f (51 , - * > 511, g ( h , - - *, 6,).

* * - 3 &-I) , (52+1, * * *, 5,) *

* * Y tn) *

4.

5* ( q k l 11 I * - -1. ( q q t , 9 * * *) - - - *) 3 (a,,,, 9 * * -1

d,,.h,, . . .) und dSlll , . . . sind dabei irgendwelche Differenzen, q k l h , , . . . und qSl f l , . . . irgendwelche Quotienten, f und g beliebige Borel-mepbare Funktionen, die man aw tl, . . ., 5; bzw.

Satz 9. F (x) sei stetig; unter dieser Vorawsetzung sind die Zufallsgropen , . . ., [,, bilden kann12).

d k h = 6 k - 5 h und 5'1

dann und nur dann unubhiingig, wenn

la) Die Unabhangigkeit der unter 1 angegebenen Vektoren wurde erstmals von A. N. KOLMOGOROFF bewiesen. Sie bedeutet, dafl die Glieder einer Variationsreihe eine Markoffsche Kette bilden.

18) Dieser Satz wurde fur den Fall k = 1 bzw. h = 2 m. W. erstmalig von A. RENY bewiesen; ioh erhielt auf miindlichem Wege Kenntnie davon.

74 Roaaberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von Rsnggr6Ben

Beweis. Die Bedingung des Satzes kann man in der Form (61) ausdrucken, wo a eine beliebige Zahl ist, die keinem Konstanzintervall von F (2) angehort ; daher ist auch F (a) > 0.

Es sei zuniichst k=Z. Dann lautet diese Bedingung wegen (59) analytisch

P { d t h > x! 6 = a} = P {dth >x}

F(a--2) -_ F (a) (62) ~ i t , < a - x / t , = a } = ( k - 1 ) (l--U)L-h-'du"={(dth>x},

0

wo P {dkh > x} durch (58) angegeben ist. Wir leiten daraus eine notwendige Bedingung fur F ( x ) her. Wenn kein Punkt X, mit F (X,) = 1, F ( X , - E ) < 1 existiert, so kann man eine Folge uy --f 00 von Zahlen finden, von denen keine einem Konstanzintervall von F ( z ) angehort. Man kann daher in (62) bilden lim und erhlilt

Y + - I

(y) j- (1 - U)k-h--l d U h = 1 = P {dk* > z}, 0

was sicher nicht fiir alle x > 0 richtig ist. Daher existiert ein Punkt X, mit den genannten Eigensohaften. Setzt man in (62) n = X,, so folgt

so daD man als notwendige Bedingung fur P ( z ) erhlilt F(X,-Z) -- F(a--2) - lE-(l - U ) t - h - l du h = 7" (1 - U),-*-ldUh.

0 0

Daraus folgt F ( a - x) = F (X, - x) F ( a ) , oder mit a = X, - y (y > 0)

(63) fur alle x > 0; y > 0 ist jedoch noch der Einschriinkung unterworfen, die daher riihrt, daD a keinem Konstanzintervall von F ( x ) angehoren dad. Aus (63) ersieht man aber, daB Konstanzintervalle f i i r x< X, nicht existieren konnen. Da F ( x ) eine stetige Verteilungsfunktion sein soll, folgt nun aus (63) eindeutig

Diese Verteilungsfunktion genugt in der Tat der Bedingung (62), wie man mit (58) und (59) leicht feststellt.

Fiir die ZufallsgroDen yi gelte nun P {yi < y} = G(y) (i = 1, . . ., n ) ; (qi) sei die zugehorige Variationsreihe. Es gelte

F ( X , - 2 - y) = P ( X , - X ) F ( X 1 - y)

(B > o , x 5x1)- p@) = @(-XI)

{%+l -h - % + 1 4 > x / %+1--1 = b> = {r]n+l-h - % + l - k >

Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von Ranggr8IJen 75

mit h < k I I 5 n . Dies ist nichts anderes als die Bedingung dee zweiten Teils des Satzes im Fall von Reny. Mit xi = - yi , also

P {xi < Z} = F (z) = 1 - G ( - x), und b = - a folgt dann

P {tk - 6 h > x / 5'2 = a} = P {tk - 6 h > x} *

Die beiden Bedingungen des Satzes lassen sich also auf diese Weise auf- einander zuruckfuhren. Nachdem bisher Bewiesenen folgt

F ( x ) = $(z-xl) = 1 - G ( - x) (z 5 XI), d. h. G(z) = 1 - e-pcz-xo)

(x 2 X, = - X,). Damit ist der Fall von Reny bewiesen. Es sei nun I5 1 < h. Sind g und q irgendwelohe stuckweise stetige

Funktionen, so sind auch g (&) und q (dkh) unabhangige ZufallsgroBen, und fiir ihre mathematischen Erwartungen gilt, .wenn sie existieren,

(64) [g (€2) (dk h ) ] = M g (51) M q ( d k h ) *

Wegen Satz 8 konnen wir dafur auch schreiben

J f [ M { g ( t z ) / A+, = 4 M { d d k * ) I &+1 = u>I = [M{g(Ez) I 6 + 1 = 41 Jfq (CE,,) *

0 ( O I u < z )

1 (u 22 2) Dann ist Es sei q(u) =

Die willkurliche Funktion g ( v ) laBt sich so wiihlen, daB U

P (u) = J 9 (v) dF2(v ) -00

in einen beliebigen Intervall (A, B) positiv, sonst aber gleich null ist. Aus Gleichung (65), der wir nun die Form

m

r p ( c ) H ( u ) (1 - F(u))"-'-' d F ( u ) = 0 --m

geben konnen, folgt dann H ( u ) = 0 , d. h. und dkh sind voneinander unabhiingig. In dieser Weise konnen wir schrittweise weiterschlieBen und

76 Roeeberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggroBen

dabei den Parameter Z jeweils um eins erhohen. So la& sich der allgemeine Fall auf den von Reny zuriickfuhren.

Fur k<Z I n bedient man sich wieder der Transformation xi = -- yi (i = 1, . . ., n).

MitHilfevon(60)verifiziert manleicht dieBedingung (61), fallsF(x)= eS('-'l).

Damit ist Satz 9 bewiesen. Bemerkung. Bei der hier angewandten Methode dient die Formel (60)

nur dazu zu zeigen, daS P(x) = eB(z-xl) hinreichend fur die Unabhangig- keit von dk,, und &(Z > k) ist. Aber auch die umgekehrte Behauptung 1aBt sich mit (60) beweisen: Man setzt (60) in die Bedingung (61) ein und multi- pliziert mit P'-'(a). Schreibt man die so erhaltene Gleichung noch einmal mit a + d a an Stelle von a auf, subtrahiert die eine von der anderen, dividiert durchP(a + d a) - P ( a ) > 0 und bildet lirn , so erhglt man (61) mit 1 - 1 an Stelle von 1. Auf diese Weise kommt man also schrittweise auf den Fall 1 = k zuruck, allerdings mit etwm umstiindlichen Rechnungen.

Satz 10. F (x) sei stetig. Unter diuer Voraussetzung sind die Zufallsgroben

Aa+O

dann und nur dann unabhZingig, wenn (a > 0 , j3 > 0)

oder

Beweis. Die Bedingung des Satzes kann man entsprechend zu der von Satz 9 in der Form

ausdrucken. a liege dabei in keinem Konstanzintervall von P(x). Wir fuhren neue ZufallsgroSen

(67) z, = log P (xi) und z; = log ( 1 - P (xi))

Ci=logP(Ef) bzw. C;=log(l--P(S,+,-i))-

(i = 1, . . ., n)

ein. Fiir die entsprechenden Variationsreihen gilt dam

Es sei A(z ) = min y , also log P(A(z)) = z ( z < 0) l o g F ( v ) - r

also (z< 0) .

Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggGDen 77

Dann ist

P{z,<z} =P{logP(sf )<z} = P { x i < A ( z ) } = P ( A ( z ) ) = e ' ( z < O ) , P {z;< z} = P (log (1 - - - P ( Z i ) ) < z} = P {xf 2 p(z)} = 1 -P ( p ( 2 ) )

= e" ( z 5 0 ) . Fiir die RanggroDen Ci und C; (i = 1, . . ., n) ist daher die Bedingung des Satzes 9 erfullt, und &us (61) ergibt sich daher

w o j die an den benutzten Stellen stetige Umkehrfunktion von 3''s) ist. Die angegebenen Verteilungsfunktionen erfiillen daher die Bedingung des Satzes.

Umgekehrt folgt &us (66), wenn F ( 0 ) = 0,

P {logt& -log & >logs/ log & = loga} = P {log& - log 5* >logz} (s2l).

I 2 k die Grundvetteilung P {zi < z} = P {si < e'} = ea(r-zl) ( z 5&), bei

1 5 h die Grundverteilung P {zi < z} = P {sf < e'} = I - e-"'*-Zo) (2 2 2 0 )

haben. Daraus folgt

P{si< s} = P ( x ) = (/I xy (B = e-'l) bzw. F ( x ) = 1 - (!)' (B = ezo) .

Nach Satz 9 muB daher die Variationsreihe Cf = log ti (i = 1, . . ., n) bei

SchlieDlich folgt &us (66), wenn P ( 0 ) = 1,

q o g lt*l - log I l k ] < - logx / log l t l l = log la[} =P{log15',1 -logI&I< -logz} ( O < x < 1) .

Nach Satz 9 mu13 daher die Variationsreihe Cf = log I & + l - i l (i = 1, . . ., n ) bei 12 k: die Grundverteilung

P{zi< z) = P {lxi l < e'} = P {s, > - ed) = 1 - P {x i< - e'}

(2 2 2 2 0 ) - - 1 - e-"('-zo)

bei 1 5 h die Grundverteilung P{zi< z} = 1 - P {Ixfl < - e'} = ea('-zl) (2 5 Z I )

haben. Daraus folgt

P { x i < x} = P ( x ) = (- j3x)-" (B = e p z 0 ) bzw. P ( x ) = 1 - (- Bx)'

Dabei haben wir noch die Voraussetzung P ( 0 ) = 0 bzw. P ( 0 ) = 1 gemacht, d. h. daD alle xi (i = 1, . . ., n ) mit der Wahrscheinlichkeit 1 positiv bzw. negativ sind. Man sieht aber leicht, daD in allen anderen Fallen die Zufalls- grofien q & h und abhangig sind: Es sei 0 < F ( 0 ) < 1. Fur das Ereignis

(B = e-'') .

78 Rossberg, Verteilungefunktionen der Differenzen und Quotienten von RanggrliDen

P c i c 11 ist notwendig und hinreichend, dab & > 0 , d. h.

(vgl. (67)). Aus demselben Grunde ist aber fi ir 1 2 k

P - < 1 / & < 0 = o . t: > Wenn 1 LA, gilt Entsprechendes.

Damit ist Satz 10 bewiesen. Satz 11. Wenn F ( x ) = ea(z-xl) (x 5 X,) oder F (x) = 1 - e-a(z-xO’

( X 2 X,J, 80 eind alle Differenzen d k l h 1 7 d k a h , 7 . - - (A,< k , S < k 2 S h3 < ” * ?

die mun awr &, . . ., 5, bilden kann, inageaamt unabhilngig.

h < k < l L t < e S n )

also auch

d. h. es sind in diesem Fall irgendzwei sich nicht uberschneidende Diffe- renzen unabhiingig. Ebenso gilt aber nach den Siitzen 8 und 9 auch

Beweis. Wehn F ( x ) = ea(z-xl) , so gilt nach den Siitzen 8 und 9 (fiir

p { d k h < X / = a7 d,, = r} = p { d k h < x / 61 = a} = p { d k h < x} ,

P { d k h < % / d , , = r } = P { d k h < % } 7

(2 5 ti < 81 t2 < 8 2 )

p x/ 61 = a, da1tl = r17 daat, = r2} = { d k h < / (2 = a} = { d k h < .}7 also auch

d. h. d k h und der Vektor (d,,,, , d,,,,) sind unabhiingig. Da aber unter unseren Voraussetzungen irgendzwei solche Differenzen unabhiingig sind, sind hier- nach auch irgenddrei DifFerenzen unabhiingig. So gelsngt man in endlich vielen Schritten zum Beweis des ersten Teas des Satzes.

Der zweite Teil ergibt sich wieder durch Einfiihrung der ZufallsgroSen yi = - xi (i = 1, . . ., n).

die man a w El , . . ., &, bilden kann, sind insgeaamt unabhilngig, wenn F (x) eine der vier in Satz 10 angegebenen Verteilungefunktirmen iat.

Beweis. Die Variationsreihen (5,) und (c) der ZufahgroSen (67) erfiillen die Bedingung des Satzes 11. Dieser Satz liefert daher die Glei- chungen

{ d k h < / d8111 = rl > d ~ 2 1 p = T2) = { d k h <

s&tZ 12. Die Quotienten q k l hl , q k P h , , . . . (A, < k1 5 < k2 5 h3 < * * .),

und

aus denen die Behauptung sofort folgt.

Rossberg, Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotbnten von RanggrBBen 79

Satz 13. F ( z ) aei stetig. Dann aind aowohl

unubfingig, wo f und g beliebige Borel-rnepbare Funktionen aind.

Siitzen 8 und 9 Beweis. Fiir die Transformation (67), ai =logP(zI), folgt nach den

P{ck - c h < / c k = a k , c k + I = a k + l , - * 5, = an} = P{ck - c h < z} 2

d. h.

Hieraus folgt der erste Ted des Satzes; der zweite ergibt sich ebenso mit Hilfe der Tramformation 2: = log (1 - E ) ( q ) ) .

Mit Hilfe von Satz 11 liiI3t sich Satz 9 verallgemeinern: Satz 14. F (x) aei stetig. Dann aind (far hl < k, 2 h, < k, 5 - - .) der

Vektor (dklhl , . . . , d k p h p ) und die Ranggrope t, far kp 2 1 dann um? nur dann unabhiingig, wenn F (2) = ea(z-xl) (xS X , ) , far 12 h, dann und nur dann unabhtlngig, wenn F (z) = 1 - e-a(z-xO) (z> X, ) .

Beweis. Im Fall kP& 1 ist F ( z ) = ea('-*l) nach Satz 9 notwendig, denn unter der Bedingung des Satzes sind auch die ZufallsgroDen d k l h l und [ unabhiingig .

Umgekehrt gilt aber fur F (2) = ea(z-xl) P

(68) P { d k l h l < r l > " " d k p h p < r/tl=aa) = np{dkIh ,<t i } : f - 1

Fuhrt man wieder die Variationsreihe V' ein (vgl. S . 36), so gilt ( 4 1 h1 = - 6i13 * *)

{ d b l h l < rl 9 * * * J d k P P h < r p / 6 =a } = P { d i l h l < * - - h p < rp / [ I = a} - - { d i l h l < r1 3 * * . Y hp < r p } ;

da hier F'(z ) = ea(z-a) , gilt nach Satz 11 P P

Nach Satz 9 ergibt sich daraus (68). Der zweite Teil des Satzea ergibt.sich wieder mit Hilfe der Transformation - yI = zI .

Documents

Über die Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von Ranggrößen