Vol. XII, 1961 1

Uber die p-Unfergruppen endlidmr Gruppen

Von

WOLFG:A~G KRULL

Fiir den grundlegenden Sylowsehen Satz: ,,Fiir jede in der Ordnung o(G) der Gruppe G aufgehende Prim~ahlpotenz ~o r ist die Anzahl Za,~, aller UntergTuppen pr-ter Ordnung positiv" hat Herr WIELA~DT kiirzlich einen neuen Beweis angegeben, der an Einfachheit und Eleganz nichts zu wfinschen iibrig ls Im Folgenden wird gezeigt, dab durch Weiterentwicklung der WIELA~DTschen Grundgedanken fast ebenso einfach die schgrfere Formel Z~,p, - 1 (p) gewoimen werden kann. An- schliel3end wird untersucht, wie sich auf Grund dieser Formel die elementaren Sgtze fiber ~o-Gruppen (Uberaufl6sbarkeit der p-Gruppen, Sylowuntergruppen beliebiger endlicher Gruppen) mSglichst kurz und einfach herleiten lassen. Die Formulierungen sind dabei z. T. schgrfer als in den verbreiteten Lehrbfichern fiblich. Im iibrigen ist es ein Hauptziel der Note, die den Beweisen zugrundeliegenden Methoden in roller .M1- gemeinheit klar herauszuarbeiten.

Im Sinne des zweiten Programmpunkts begmnen wir mit der Formulierung yon einigen Begriffsbfldungen trod Sgtzen, die zwar nicht ,,elementar:' im klassischen Sinne sind, aber doch so einfaeh und wichtig, dab sie in keinem modernen Algebra- lehrbuch fehlen sollten.

Es sei G eine (zun/ichst nicht notwendig endliche) Gruppe mit den Elementen a, b . . . . ; ~D~ sei eine Menge mit den Elementen A, B . . . . . Darm soll G Operatorgrulype au]

heil3en, wenn folgende Bedingungen erffillt sind:

1. Jedem Paar a e G, A e ~ ist eindeutig ein Element B -~ a A aus ~ zugeordnet. 2. Es gilt das assoziative Gesetz, d. h. es wird stets a(bA) -~ (a. b)A. 3. G ist auf ~X unitgr, d. h. das Einselement e yon G geniigt der Bedingung eA ---- A

ftir alle A e !~ 2).

Ist G Operatorgruppe auf ~ , so bildet ffir festes A ~ ~3~ die Menge aller u ~ G mit u A -~ A eine Untergruppe FA yon G, die als Fixgruppe yon A (in G) bezeichnet wird.

z) Vgl. H. WZEZ~tNDT, Ein Beweis fiber die Existenz der Sylowgruppen. Arch. Math. 10, 401 bis 2 (1959).

40) Natiirlieh erzeugt jedes a ~ G eine Permutation ga yon ~ (also eine umkehrbar eindeutige Abbfldung yon ~ff~ auf ~R), und die Zuordnung a --> ga definiert einen Homomorphismus yon G in die Gruppe P aller Permutationen yon ~ . Man kann sieh also auf den Standpunkt stellen, es handle sich bei den im Text formulierten S~tzen fiber Operatorgruppen um Permutations- gruppens~tze, wie sie in jedem guten Algebralehrbuch zu iinden sind. Aber die Einffihrung der Operatorgruppen seheint mir grunds~tzlieh zweckmgBig. Denn sie gestattet es vielfaeh (z. B. hier im Text), durehweg mit einer festen Gruppe G zu arbeiten; man braucht nieht immer wieder zu einer neuen, passenden PermutationsgTuppendarsteUung Pq yon G iiberzugehen.

Arahiv der Mathematik XII 1

W. KRULL ARCH. MATH.

Die Elemente A, B aus !)~ heiBen relativ G konjugiert, wenn B = c A fiir ein c e G. Andererseits nermen wit wie iiblich die Untermengen U, V yon G in G konjugiert, wenn V = c . U- c -1 fiir ein c e G. Es gilt dann:

FuA ---- u . FA �9 u -1, d. h.: Die Fixgruppen zweier relativ G konjugierter Elemeute au~ sind in G ~onjugiert.

Unter der Konjugiertenserie ~A von A relativ G verstehen wir die Menge aller zu A relativ G konjugier ten Elemente u A ~ ~ (u ~ G). Offenbar ist ~A ---- ~uA, d. h. eine Konjugiertenserie ist durch jedes ihrer Elemente emdeutig bes t immt; also ist !)~ Ver- einigung yon paarweise elementfremden Konjugiertenserien. F e m e r sieht man miihelos: Die Menge aller u e G, die der Bedingung u A -~ c A geniigen, bfldet die Linksnebenschar c �9 FA yon FA. Die Elemente der Konjugiertenserie ~A entspreehen also umkehrbar eindeutig den Linksnebenscharen c �9 FA yon FA. Is t demnach speziell G endlich und bedeutet i (G:FA) den Index yon FA in G im iibliehen Sinne, so gilt der Satz :

Die Elementezahl von .KA ist gleich i ( G :FA).

Bei den folgenden Anwendungen ist ~ stets eine Menge von Untermengen einer festen endlichen Gruppe G. I m iibrigen aber sind zwei F~lle zu unterscheiden:

1. Methode. (Hier besehr~nken wir uns auf den Fall, dab ~ aus Untergruppen yon G besteht.) Das Kompos i tum a U (a e G, U e !~J~) wird durch a U ~ a �9 U �9 a -1 definiert. Hier ist F v der Normalisator N ( G : U) von U in G im Sinne der tibliehen Terminologie, ~ ] eine Serie kon ju~er t e r UntergTuppen in G, und wir haben wegen F u D= U den Satz :

Die Gliederzahl einer Ko~jugiertenserie ~ in G i s t stets ein Teiler yon i (G: U).

Gelegentlich beschrs wir uns auch darauf, dab wit nicht die volle Gruppe G, sondern nu t eine Untergruppe H als Operatorgruppe (mit der Vorschrift a U - ~ ---- a �9 U �9 a -1) auf die Menge ~ wirken lassen. Dann nennen wir ~v eine Serie yon relativ H in G konjugier ten Untergruppen. Hier wird offenbar F u -~ N ( G : U) n H UntergTuppe yon H, und es gilt daher :

Die Gliederzahl einer Konjugiertenserie Ru in G relativ H ist stets ein Teller von o (H).

2. MethodeS). (Hier wird Y)~ eine Menge yon passenden Untermengen, nieht nu t Untergruppen, yon G sein.) Wir definieren a A (a e G, A e ~ ) durch das Komplex- produkt im iiblichen Sinne : a A ---- a �9 A . Es gelten darm die S~tze:

1. I n jeder Konjugiertenserie RA gibt es mindestens ein Ao m i t e e Ao (trivial).

2. A ist stets Vereinigung einer gewissen Menge yon Rechtsnebenscharen FA �9 c yon FA; es ist also o(Fa) stets ein Teller der Elementezahl z (A ) yon A : z (A ) ---- t . o(FA), und die Gliederzahl yon RA ist gleich t . o (G) �9 z (A) -1. (Man beachte : Aus c e A folgt F A ' c C A w e g e n F A ' A = A . )

s) Wahrend die Anwendung der I. Methode in der Gruppentheorie iiberall fiblich ist, ist die Auwendung der 2. I~lethode zum Beweis des p-Gruppen-Existenzsatzes der entscheidende neue Gedanke yon Herrn WIEL~NDT.

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3. Is t o(FA) = z(A), also t = 1 in den Formeln yon 2., und ist e e c . A = Ao, so ist F A. ----- Ao, und es besteht ~A = ~'A~ gerade aus der Gruppe F Ao der Ordnung z ( A ) und ihren Linksnebenscharen. (Beaehte: Wegen o (FA~ ---- o (-hA) ---- z (A) ist Ao gleieh der einen, e enthal tenden Rechtsnebenschar yon FAo. Die iibrigen Elemente yon ~A haben die Gestalt c . Ao = c . FAo.)

Es sei jetzt p eine Pr imzahl ; Z~,l sei die Anzahl aller UntergTuppen/- ter Ordnung yon G. Dann beweisen wit zuerst :

Satz 14). Is t o(G) = pr . q durch pr teilbar, so gilt stets Za,p, - 1 (p).

Zum B e w e i s sei 9)2 die Menge aller Untermengen der Elementezahl pr yon G, es bedeute Z,~ die Elementezahl yon ~ , u n d e s werde G nach der 2. Methode zur Operator- gruppe au f ~ gemacht . Aus den Bemerkungen 2 und 3 zur 2. Methode folgt dann so- fort : Eine Konjugiertenserie ~A aus ~ relativ G hat entweder eine Gliederzahl t - q, wobei t ein yon 1 verschiedener Teller yon z(A) = pr, also t ---- ps ftir ein s mit 1 --~ s --~ r. Oder aber es hat ~A genau die Gliederzahl q, und es besteht dann ~A gerade aus einer Untergruppe i~r-ter Ordnung und ihren Linksnebenscharen. Da ferner jede Unter- gruppe pr- ter Ordnung mit ihren Linksnebenseharen eine Serie aus ~A bildet, erhalten wit :

(1) Z ~ - Zc,~, �9 q (p" q).

Andererseits ist

(;:) ( ' r ' g - - l / _= 1 Z , ~ = p q - - - -q ' \ pr__l ] und \ pr__l ] =

Da ferner k hSchstens dutch pr-1 teilbar ist, ergibt sich bei gekiirzter Darstel lung: p r . q . k-1 ~ p �9 q~ �9 l~l mit l~ • 0 (/9). Die Ausmult ipl ikat ion der rechten Seite fiihrt

a l s o z u e i n e r G l e i c h u n g f i i r ( P r ' q - - l ~ ( p r ' q - - 1 1 \ pr__ 1 ] yon der Fo rm : \ pr__l ] = (- - 1)p'-I ~ p . m 1 -I,

wobei m u n d l t e i l e f f r emdund 1 ~ 0(p). Da abet (pr. q _ l l ganzzahlig ist, mul~ l ----- 1 pr-1 / sein; d. h. wir haben / ~(pr 'q-- l~ - (--1)P "-I - 1 (p). Das bedeute t :

\ pr- -1 ]

(2) Z ~ - q (p- q) .

Vergleieh yon (1) und (2) liefert: Z~,p, . q =- q(p �9 q), Za,~" =-- 1 (p).

1. Korollar zu Satz 1. Is t pr ein Teiler von o (G), so gibt es stets mindeste~av eine Untergruppe der Ordnung pr.

2. Korollar zu Satz 1. Is t pr ein Teller von o (G), so gibt es minde~tens eine Serie (U1 . . . . . Us} in G konjugierter Untergruppen (ira Sinne der 1. Methode), bei der s �9 o (p).

4) Vgl. FROBENIUS, S.-Ber. Preu~. A.kad. Wiss. Berlin 981--993 (1895).

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Satz 2- 5) Es sei o (G) -~ ps, al~o G eine p-Gruppe; Z(~!pr sei die Anzahl der invarianten Untergruppen pr-ter Ordnung yon G (r ~ s). Dann ist Z(~!p~ ~- 1 (p).

Zum B e w e i s maehen ~4r G nach der 1. Methode zur Operatorgruppe auf der Menge ~ aller UntergTuppen pr-ten Grades yon G, wir teilen also ~l in Serien ~v in G konjugierter Gruppen ein. Aus den Bemerkungen zur 1. Methode folgt sofort: I s t nicht die Gliederzahl yon ~v gleieh 1 - - ein Fall, der dann und nur dann eintritt, wenn U in G invariant ist - - , so ist die Gliederzahl yon ~u eine positive p-Potenz. Das heil3t, wir haben fiir die Elementezahl Z~,~r yon 9~ die KongTuenz Zc,9, ~ Z (0 G, 7~ r

(p); aus Satz 1 folgt also Satz 2.

Satz 3. Ist o(G) -~ ps* U C G und o(U) ~--1 or/iir ein r ~ s*, so gibt es stets ein V mit G ~= V ~ U, o (V) ---- io r+l.

Fiir s* ~- 1 ist die Behauptung trivial, wir diirfen also ihre Richtigkeit fiir alle

Gruppen G mit o(G) = ps*-i voraussetzen. Enth~ilt nun U eine invariante Unter- gruppe I yon G der 0rdnung p, so folgt Satz 3 ftir U dureh Induktion nach Uber-

gang zu G -- G/I, ~7 -~ U/I . Enth~lt aber U kein in G invariantes I mit o(I) = p, so sei I irgendeine (nach Satz 2 existierende) invariante Untergruppe p- ter Ordnung yon G. Wegen der Invarianz von I in G wird das Komplexprodukt I �9 U eine Gruppe, und wit haben

o ( I . U) ~-- o ( I ) .o (U) . o ( I n U) -Z -~ pl+r wegen o ( I n U) ---- o((e}) ~- 1.

Satz 4. Ist G ~= Iz ~ Ie, wobei I1 und Ie in G invariant sind, und hat man

o ( G ) ~* = ; = = = p , o(I~) prk ( l c ~ - l , 2 r l - - 2 ~ r 2 > O ) ,

so gibt es stets eine in G invariante Untergruppe I mit I1 ~ I ~ I2, o (I) ---- p~,-1.

Beim B e w e i s dtirfen wir I~ = {e) annehmen, da andernfalls Ubergang zu G/I2, I1/I2 m6glich w~re. Wir diirfen also die Bedingung I ~ 12 vernachl~ssigen. Es sei

= { U1 . . . . . Us} die Menge aller Untergruppen pr ' - l - te r Ordnung voh I1. Dann gehSrt wegen der Invarianz yon 11 in G fiir jedes U~ die ganze Serie ~u~ der zu U~ in G konjugierten Gruppen zu ~)~J~. Da ferner s --- 1 (P), folg~ genau so wie bei Satz 2 die Existenz eines in G invarianten Ui.

~Tennen wir eine Ket te G ~ Io ~ I1 ~ .. . ~ I t ---- {e} eine Hauptreihe yon G, wenn alle I~ in G invariant sind und wenn sich ffir kein k ~ t zwischen I~_~ und Ik eine echte, in G invariante Zwisehen~uppe einschieben ls so folgt aus Sa~z 4 sofort:

Korollar zu Satz 4. Ist o (G) ~ 1o ~*, so ist bei jeder Hauptreihe G ~- Io ~ I~ ~ .. . I s - ~ {e} stets s : s*, o ( I~ - z / I~ )=1~ (k = 1 . . . . . s).

G i s t also in der iiblichen Terminologie nicht nur auflSsbar, sondern sogar iiber- au/16sbar. (Man beachte, da~ zur Herleitung des Korollars weder der BegTiff des Zentrums eingefiihrt noeh auf die aUgemeine Theorie der Hauptreihen zuriick- ge~iffen werden muBte.)

5) Vgl. BURNSIDE, Theory of Groups of finite order, 2 nd ed. Cambridge 1911, p. 129�9

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W i r wenden nns j e t z t wieder der Un te r suehung yon Gruppen G beliebiger Ordmung zu. Das folgende Theorem h a t mehr den Charak te r eines Hiffssatzes 6):

Satz 5. Es sei {U1 . . . . . Us} irgendeine Serie in G konjugierter Untergruyopen mit s �9 0 (p); V sei eine weitere Untergruppe mit o(V) ~ pt. Dann gibt es mindestens ein Ui derart, daft N (G : U~) ~ V, daft also v . U~ . v. --1 = U~ fiir allev e V wird.

Nach der vera l lgemeiner ten 1. Methode te i len wir {U1 . . . . . Us} in Serien relativ "V in G kon jug ie r t e r Gruppen ein. Aus den Bemerkungen zur 1. Methode folgt ana log wie bei Sa tz 2: E n t w e d e r es b e s t e h t ~u~ nur aus e inem Element , oder es is t d ie Gl iederzahl yon ~u~ eine posi t ive p -Po tenz . Wegen s ~ 0 (p) muB fiir mindes tens ein U~ der ers te F a l l e in t re ten . Dann aber wi rd v - Ui �9 v -1 ~ . U~ ffix a l l e v ~ V naeh Definit ion.

Wie i ibl ieh nennen wir die U n t e r g r u p p e S der Ordnung ps* eine p-Sylowgrulgpe yon G, wenn ps* die h6ehste in o(G) = ps*q aufgehende p -Po tenz , also q ~ 0 (p) ist .

Satz 6. Jede la-Untergrupyoe yon Gis t Untergruppe einer lo-Sylowg~'ulope yon G. Alle p-Sylowgruppen yon G sind in G konjugiert.

B e w e i s . Naeh dem 2. K o r o l l a r zu Satz 1 ~ b t es eine Serie {$1 . . . . . Ss} in G kou- jug ie r te r Sy lowgruppen mi t s �9 0 (/9). I s t V eine p - U n t e r ~ u p p e yon G, wobei e twa o (V) = io r, so exis t ie r t nach Satz 5 ein S~ derar t , dal3 v �9 St �9 v -1 ---- S~ fox a l l e v e V. Daraus folgt (/~hnlich wie bei Sa tz 2) : V - St is t eine Gruppe , und m a n h a t

o ( V . Si) = o(V) . o(S,) , o(V n S~)-1 = p~+~*, o(V n S~)-1.

Wegen o (G) �9 0 (pl+**) e rg ib t sieh wel te r :

o ( V n S ~ ) = p ~ = o ( V ) , V = V n S i , VC=S~.

I s t schlieBlieh spezieU V = S e i n e p-Sylowgamppe yon G, so haben wir :

r----s*, o(V~S~)----o(Si); S t = V ~ S i ~ - - V .

K o m b i n i e r t m a n Satz 6 u n d Satz 3, so erh/flt m a n :

Koro l l a r zu Satz 6. Ist U C G, o(U) ~_ pr und r < s*, so gibt es stets ein V mit G D= V D U u n d o (V) = pr+l.

$atz 7. Es sei G ~ In D In-1 D ... D I1, wobei I~-1 invariant in I~ und

o ( Ik / I~_ l ) ~ 0 (p) (~ = 1 . . . . . n ) .

Dann sind (]iir o(I1) = 0 (iv)) die sdmtlichen p-Sylowgruppen $1 . . . . . Ss von I1 gleich- zeitig auch die sgmtlichen p-Sylowgruppen yon G.

Es geni igt offenbar, die B e h a u p t u n g fi ir n = 2 zu beweisen. Wegen o (I~/I1) �9 0 (lo) s ind 81 . . . . . Ss nieh t nu r in I1 sondern auch in I2 Sylowgruppen . Aus u . I1" u -1 =

6) Die Herleitung der Satze 1 bis 4 samt ihren Korollaren war das Hauptziel der ~ote. Im folgenden sol] nur gezeig~ werden, dab der anschlieBende Beweis der noch ausstehenden Sylow- gruppens~4tze noch etwas einfacher und durchsichtiger gestal~et werden kama als es z. ]3. in dem Lehrbuch yon ZASSElrE~VS schon der Fall war.

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= I1 {u e I9) folgt ferner, d a b ffir i ---- 1 . . . . . s s te t s u - St �9 u -1 ebenso wie S~ eine p -Sy lowgruppe yon Iz und d a m i t ein E l emen t yon {$1 . . . . , Ss) sein muB. Das heiBt also, die S~ b i lden n ich t nur in l z sondern auch in I2 eine voile Serie kon jug ie r t e r Untergwuppen; nach Satz 6 g ib t es also auBer ihnen in I2 keine weitere p - S y l o w g u p p e .

I . Koro l la r zu Satz 7. Is t G = In ~ In - z ~ . . . ~ Iz, wobe~ I~-1 in Ig invariant, o(I ;JI~-z) �9 0 (p), o(Iz) ~- 19 s* (k : 1, . . . , n ) , so ist I1 die einzige p-Sylowgruppe

von G und damit in G invariant.

2. KoroUar zu Satz 7. Ist S e i n e p-Sylowgruppe von G und T -~ N (G : S), T1 = = N(G : T), so ist T -~ T1.

(Man beachte die Defini t ion des Normal i sa to r s N (G : U) und die Tatsache, dal3 S nach dem 1. Koro l l a r in Tz inva r i an t ist.)

Eingegangen am 15. 7. 1960

Anschrift des Autors: Wolfgang Krull Bonn, Meckenheimer AUee 81