I'ber ciiiv Inte,gralgleielrung in der Theorie der. koii\-exeii Korper

Von ROLF ~ C H X E I D E R in Bochuiii

1. Einleitung

In der Theoric der horivexen Korper hat man biswcilen Gelegenlieit. Aussagen uber Iiitegralgleichungen f i r Funktionen auf der enklidischeii Sphare ZII benutzen, deren Kern iiur voni spharischeii Abstand der Ar- gumentpunkte abhangt. Fur die Behandlung derartiger Integralgleichungen Lictcn sich naturgenibl3 Kugelfunktionen i) als besonders geeignetes Hilfs- mittel an, und sie sind auch, zumindest in drei Dimensionen, schon haufig verwendet 11 ordeii. Im folgenden sollen mit Hilfe von Kugelfunktionen einige, zuin Ted bckannte. Eindeutigkeits- und Existenzaussagen, die sicli a i r f Iiitegralgleichuiigen der genannteii Art beziehen, verallgemeinert iind einheitlich hergeleitet M erden.

Im 3. Abschriitt wird zunichst ein Hindeutiglieitssatz bewiesen, der ver- sc~liicdcme Resultate voii BL~SCHKE [4], FEIUXIT 1121, AI.KKSANDRO\ [I] UXGAR 1231 11. a. zusamrnenfaBt und verallgemeinert. Die Funktionen. tlereii eiiidentigc, Bestimmtlieit durch eiiie gew isse Integralgleichuiig dabei bcwiesen wird, siiid o-additive Mengenfunktioncn, die auf' den Borelmerigen der cuklidischen Sphare erklart sind. Diese Allgemeinheit dcr betrachteteii V'rmktionen i\t voii Bedeutung fur eiiiige der geometrischeii Anwendungen. \'on diesen Anwendungen, die im 4. Abschnitt zirsarnmeiigestellt werden. s c k i riur die folgenden crwahnt : Hat Pin Punkt eines konwxpn Korpers d ie Eigc Iisclzrijt. dc$ jede c l m Yunlct enthaltende Hyperebene die Oberfluche des Korpers hnlhiei t , so isf d e r Punkt Xi t te tpnlct des Kdrpera. Hat ein konvezcy Rorper d ie Eigcnschaft, dafl j e d e seimer Xchnttenyrenzm die Oberf luche hal- hier t . so hat der Rorpe? e in~n Nittelpunkt.

Der 5 . und 6 ilbschnitt befassen sich mit E'ragen, bei d e i m die Existenz eiiier L O S L I I ~ ~ fur eiiie Intcgralgleichung der betrachteteri Art V O K ~ Interesse ist. Es handelt sich unter anderem um Bemerkungen zu der lilasse der- ]enloen konvexen Korper, die durch endliehe Snnimeii ~7on Strecken . .

56 Schiieider, Eine Jritegrelgleichring in drr Theorie der kunvexen K6iper

approxiniierbar sind. Fur solchc Korper (bzw. Verall~enicinerungen davon) wird in] 5. Abschnitt ein Kriterium hergelcitet, das zwar im allgeineinen mehr formalen Charakter ha t , aber zusammen rnit den Betraehtungen des 6. Abschiiitts etwa folgende Aussage ergibt : Bin konwxes Polytop, das durch cndliche Streckensummen approximierbu!r is t , ist selbst Pine Sumine evdl ich vieler Btrecken.

2. Bezeicthniingen

E” sei der wdimensionale euklidische Raum (?z ;- 3). Punkte clcs E” mid die sie darstellenden Ortsvektoren werden mit den gleichen Bnchstaben be- zeichnet. Fur das Slialarprodukt der Vektoren u, v scllreibeii u-ir u . u

~ = ( u E E ” : u - u = 1)

ist die euklidische Einheitssphare. Fur u E JL’ und eiiie reelle Zahl o! mit - 1 < u. < 1 bezeichnet

a ; = ( V E a : u . v > f x j

die offene spharische Kappe rnit Mittelpunkt ? L und Radius arccos cx. Fur B C 9 sei B* die durch Spiegclung von B am Nullpunkt entstehendc Menge. 3 bezeichnet den o-Ring der Borclmengen auf 12. ,M sei die Mengc der reellwertigen, o-additive11 Mengen funktionen auf 3. Eine Mengen- funktion p E M heifit gerade, wenn p ( B ) = p(B*) , und ungerade, wenn p ( B ) = - ,u (B*) fiir alle U E 3’ gilt. 1st p 3 und f eine bezuglich p iiitegrierbare reell~vertige Funktion auf Q. so wird das Integral voii f iiber B bezuglich p mit

X , H

J f (u) dp (26 ) 1I

bezeichnet. 1st kein Integrationsbereich angegehen, so ist das Integral uber ganz 9 erstreckt. &lit (r) wird das LERESCUESC~W MaB auf 12 bezeichnet.

3. Ein allgcmeiner Eindeiitigkeitssatz

Im folgenden bezeichnet f ( t ) stets eine fur - I 5 t 1 erklarte reell- wertige Funktion. Fur integrierhares f setzen wir

I

(3.1) 1°K [ f ] = J f ( t ) c;;l ( t ) ( 2 - f ” ) ” dt, WL = 0, 1, 2, . . . - I

Darin ist, wie stets im folgenclen, v = (n - ?)I2 gesetzt; und

Srhneider, Eine Integralgleichung in der Theorie der konvexen Kiirper 57

ist das GEGENHAUERsche Polynom der Ordnung v vom Grade m (es ist d,i, 4 0: siehe ERDELYI u. a. [9], S. 236, fiir einen expliziten Ausdrucli).

Satz 3.1. A e i f ( t ) stuclcweise stefig fur - 1 5 t 5 1. Sei p E iV. Gilt (3.3) [f(u . v) d p ( v ) = o fiir aZZe u E Q,

so ist p --= 0, falls p d i p folgende Beclingung erfullt:

(3.4) F ~ L T j e d e Zahl rn E (0, 1, 2 , . . .} mit ILl, [ f ] = 0 ist J AS,, (u) dp (a) = 0

fw j e d e Xugei&nlction 8, der Ordnung m.

dcw Systeiiis der Kugelfunktionen : Der Bew eis benutzt die FUNK-HECKE-Formel und die Vollstnndigkeit

Leinma 3.1. (s. ERUSLYI 11. a. 191. 8. 247-248). S e i f ( t ) sfick?i*cis~ sfetig L t 5 1. Dun?$ gilt fGr j ede ~uge~u~zlction S,, cler Ordnung m f u T -

(3.5) rnit 0 + b:it = const.

J f ( . l c . e ) S,,'(V) dw ( V ) b;,L 4 , t [fl 4% (u)

Leirirria 3.2. Sei p E M . Gilt J ,Y(u) dp(tc) = 0

fur jede Kzcgei&nktio?z 8, so i s t p == 0. Dies folgt daraus, daI3 sich jede stetige Funktion auf Q gleichrnaflig

approximiereri lafit durch (endliche) Linearkombinationeii von Kugel- fuiiktionen und da13 das Bestehen der Gleichuiig

j" g (ZL) dp (u) = 0 fur jede stetige Funktion g auf 9 das identische Verschw inden der Nengen- funktion p ziir Folge hat.

Beweis von S a t z 3.1. Sei X,,, eine Kugelfunktion der Ordnung m. Multiplikation voii (3.3) mit AS, (u), Integration und (wegen der stuckweisen Stetigkeit von f zulassige) Vertauschung der Integrationsreihenfolge ergibt

0 = .f,Tf(u . v) (% (v) 8, (u) do (u) = J . / -mc . v) K,, (u) do (u) dP (v) = b;i, 4% [f 1 ,T S,l, (v) dP (v)

nach Lemma 3.1 . 1st nun die Bedingung (3 .4) erfullt, so folgt

1 s,,, (u) clp (u) = 0 .

I)a AS,,, eine beliebige Kugelfunktion war, folgt ,u = 0 aus Lemma 3.2.

Beinerkung. Die Bediiigung (3.4) ist naturlich nicht entbehrlich: Fur cine Zahl n z gelte 4,[f] = 0. Sei S,,% eiiie nicht identisch verschwindende

58 Schneidcr, ]<:in? Integralgleichung iii dcr 'I'licoric dcr konwscn Korpev

Kugelfunlition der Ordiiung m Dann ist nach Lemina 3 1

ti t' Q; J f (u . v) X,,(v) dro(v) = o fur alle

also ist dss unbcstiiiimte LEuEsGcEschc Integral voii AS,,, einv nicht iden verscliwindende Mengenfunktioii p E N . die (3 .3 ) erfullt.

Die folgcnden Spezialfiille von Sat,z 3.1 sind in der Thcwrie der Ironvexen Korpcr von Interesse .

Wir wlahlen f ( f ) = I t l . Uaiiii ist A;,, I f ] - 0 gciiau fur gcrade m , w i c mail ails ( 3 1) i d ( 3 . 2 ) durch partiellc Integration findet; iind weiin /L als ocradtl i\leiigeiifunktioii vorauspesetzt wird, so gilt

1

/S, ,L (tc) dp (u) -- 0 fur ungerade ?n , dx d i e K ngelfiinktion S,,, fur ungerade m eirie uiigerade Funktion 1st I )ie I3edingring (3 .4) ist somit erfullt; es gilt also:

Korollar 3.1. ,Yei ,u E M Pine qerade .SI~ngerLficnktio~~. Qilf

[ zc . ~ C Z ~ ( V ) = o LO U Z Z P I L c Q

so i.st ,u = 0. Fur vine filengeiifunktion 8p tier Form

( 3 6) lL(u) = .j ~ ( u ) ~ ~ ~ ( z ~ ) . B w. Ji

mit geeigiicbtcr Fimktron 9 finder1 sich fur n = 3 zu ei Bev eisr cliesr5 $;iii-

deutigkeitssatzcs bei BLASCHKE 141. S . 152, 1 54-155. Ti i der allgerneineii Form ist Borollar 3.1 uach der olnigeii Methocle (in spczicller geometrischt.r IGnklcidung) voii -4LEKSAsDRoT [I]. 4 8 . beiT iesen worden ; niitii verpleicht, nitch P E T T ~ [17], 8 . 1545--2546.

0. I>ann ist f ( 7 c . 7,) bei festcni zc die charakteristisr.he Piinktion der offenrii Halhphare l2:: m it Mittelpunkt E 9. Mit ( 3 . 2 ) ergibt sicli i n dicreiri Fall A;,? [ f ] 0 fiur t i ) ~ 0 1, 3, 5, . . . iiiid A:,L [f] - 0 fur m - 2. 4. 6. . . . Setzen nir 11 J I al i uiigerCide RIciigeiifunktion Y O ~ - R U R , so 1st

2 . Wir \iahleii f ( f ) = 1 fur t > 0 iind = 0 fiir t

(u) d;t (u) -= 0 fiir gerade ni

TYir e r l ~ l t e n also :

Korollar 3.2. S e i p E V I ~ ~ L P z L n g e i d p , l i r n g c n f u n k f i ~ ? ~ Gilt

/ i ( Q : : ) == O fzi? ul le zc t 9 .

~ 3 iind deli Sp'czialfall ( ' 3 6 ) ist ciieser Satz \-on F t - 1 ~ [I.'] im Kahmen eirier allgerneineren Cntersiichuiig durch Zuruckfiihrimg unf eiiie Ae~r , sche Lntegralgleicliuiig TOCM icseri m-ordrn Ziir Beiiiitzuiio von Kitgel- f'unktiorieii veryleiche maii K i HOT 4 [14].

SO int r ' L : 0

Fur n

Sehneicler. Eirie Iritegralgleirhiing i n tier Throrie der kotivesen K6rper 59

UNGAR [23] mid vorher (im Kahmeu spezieller geonietrischer Fragta- stellungen) K A I ~ ~ J I M Y [ I61 haben (fur n = 3 uncl unter der Voraussetziing (3 6)) den Pall betrachtet, wo die Halbspharen Q: durch spharische Kappen \on festeni Radius ersetzt sind Auch diese Fragestellung lal3t sich 1111 all- ?ememen Pall mit Satz 3 I sofort uberblickeri, man findet, wenii niit S die Ptlenge der Nullstellen allcr Polynorne C ~ ~ ~ - ’ l ( t ) ( m = 1. 2

<ill ( - 1,l) bezeiclinet wird

Korollar 3.3. S p i p E JI Gilt

( 3 7 ) p ( q ) = 0 f l u f l l l P 26 E f>

f i i i r i ~ Zahl u mit - 1 < w < 1 w i d K 6 LV. so i s f p = 0. Ist i/ E S, so qabt es Pine nicht identisch cerschwiwlendp JIenycii ftitiktioti

Zuni Btxmeis sei f ( t ) = 1 fur t > K und = 0 fur t E ,I/. d i e (3.7) erfullt.

K, so daI3 also

ist. Aus (3.1) id (3.2) crgibt sich 2 i i [ f ] =+ 0 und I

A;,l [ f ] = /- qL ( t ) (1 - t j ) ’ - dt rx

- - - n ; ) L ( u ~ , ~ l l ) - l ( ~ - C C ’ ) ” ~ ~ 1 C ; 7 : - ’ , ( ~ ) , m = I. 2, . . . 1st also K cf S, so folgt p = 0 nach Satz 3.1. Uer zweite l‘eil von Korollar 3 . 3 ergibt sich iius der Bemerkung nacli dem Beweis von Satz 3.1.

Es sei noch bemerkt. dal3 (wie im Fall n = 3, sielie UXGAR [ 2 3 ] ) sowohl clic PtIenge S als auch ihr Koniplcinent (bezuglich des Intervalles ( - 1,l)) dicht in ( - 1,l) liegen: 1v ist abzshlbar; und dalJ N dicht in ( - 1,l) liegt. zeipt man leicht etwa durch T’erallgemeincrung der PtIethode in SAYSOSE [I91 s. 188.

In diesem Ahschriitt stcllcn wir cinigc Anwendungen voii Satz 3.1 in t l c ~ Theorie der konvexen Korper zusanimcn. M7ir e m ahrien bcikannte Anuwidungen, geben ziim Teil Verallgemeinerungen uiid beweisen einige iiciie I-tesultatc. Q” bezeichne die ICTmgc der konvexen Kiirpcr (kompakte. konvexe Mengen) mit iiineren Punkteii im E” .

Korollar 3.1 ist wohl zum erstenmal von HE,RQLOTZ (sirhe BLAWHKE [4]. 9 152) auf eiiie geometrische Fragestellung angewendet worden. Eine anders artipe Anwendung findet sich PETTY [l’i], S. 1545. Naeh ALEKSANDROV [ I ] . 9 8. i a R t sich aus ICorollar 3.1 der folgende Satz herleiten: 8eieyL K , ET E 9’’

60 Sehiicicler, Eine lntegralgleicliung in dei Theone cler konr exeii Korper

zcntmlsymmetrische konceoe Koryer. Fur ein E {O. 1, . . . , n - 2) gelte, dcrJ f u r jede Rich fung u E Q d ie orthogonulen Projektionez con li und K a i r f eine xu u senkrechte Hypewbcne glcichp k-te QuerntoJintegrale (der Dimen- nion ? L - 1 ) hnben. D m n geht i? dzcrch cine Trnnslutioi~ nus R hervor.

llieser Satz mid sein Beweis lassen sich in der folgenden Weise ver- trllgerneirierii : Fur IC t fi” sei F, ( K , B ) ( B E 3) die k-te Krlimmungs- funlition ( k = 0. 1, . . . n - 1). also speziell F,,+, die Oberfliichenfunktion iind F , , -= (1) das L ~ i m s ~ u ~ s c h e U auf Q (beschrankt auf 3). Die Fuiik- tioilen F , siiid Jlengenfrrnktionen aus X.

Satz 4.1. S e i f ( t ) f i i r - 1 < t 1 cine stuckweise stetige, gcrade Funk- [ f ] + 0 f u r gerrrde nz. S e i e n I<, if € &“ ~eiitmlsymnzetrische k o i ~ - t ion rnit

W . Y P Kdrper. Fur cin k E {I. . . . , 71, -- 1) g e l t e

Dunn geht R durch eine Trnnslntiow nus K hprvor. Im Fallf(t) = 1 t 1 ist das (auf Gruiid eirier bekannten Integraldarstellung

der QuerinaBintegrale der Projektionen) der oben zitierte Satz von ALEK-

SANDROX. Der Beweis von Satz 4.1 ergibt sich sofort aus Satz 3.1, indeni inan ,u ( B ) 7 P’, (li, R) - F,b ( K . R) fiir B E 8 setzt ; aus ,u 3 0 folgt danii belianntlich iiach dem Satz von ALEKSANDROV-FENCHEL-<JESSEN, daB i? e in Trailslat von K ist.

Von dem bewiesenen Satz wollen wir noch eiiien Spezialfall hervor- Iiebeii, in welchem das vermoge f defiiiierte richtungsabhangige Funktional f f ( u . v) CZF,~ , ( K , v) eine einfache geoinetrische Bedeutung besitzt. Fur K E fi” und eine Hyptrcbene E bezeichne V: , -3 (K n E ) den (n - 2)- dimensionalen Oberflaclieninhalt voii R n E (mit V;l+ ( K n E ) : = 0 falls K Ti h’ = 0). Fur u E Y sei B, die Parallelschar der zu u serikrecliten Hyperebelien uud dE die Translationsdichte der H yperebenen der Schar

y ( K . U ) -= 1. Vi ,+ l (K (1 E ) d E . 8 u

Uanii ist. wie sogleich gezeigt wird.

(4 1) ~ ( l i , ~ ) = (n - I) ’ J(I - l ~ . ~ l ~ ) ” d F , , , ( K , v ) . Tm Fall f ( t ) = (1 - f ? ) ’ ’ lakit sich das Intcgral, durch das &[fl definiert wird, durch eine verallgenieinerte hypergeometrische lhiiktion ausdrucken (s. ERDELYI u. a. [ lo], S. 281, Gleicliung (4)). urid man findet (mit Hilfe von E R D ~ L Y I u. a. [S], S. 189, Gleichuiig (6)), daD Ib; , , [ f l = 0 nur‘ fur ungerade rn gilt. p ist also ein Hiclituiigsfunktional der Art, auf die sicli Satz 4 1 anwendeii liUt.

Schneider, Eine Integralgleichung 111 cler Theorie der konvexen Korper 61

Zum Beweis voii (1.1) stellen wir p(K, u) als gemischtes Volumen dar: Fur konvexe Korper K , . . . . , K,, des E” sei V ( K , . . . ., K7() das gemischte Volnmen. Sei D, = {x E E”: x . ,r 5 1, x . 26 = O}, u E Q. Fur E E 6 , schreiben wir

v ; ( K n E ) = V ’ ( K [ ) E , . . . , K r ; E , D ; , . . . , 0:). - --./-A

I , 7 1 - I - h

k = 0 , 1,. . ., “iL - 1.

wobei der rechts stehende Ausdrnck eiii gemischtes Volumeii der Ilimensioii n - 1 ist und Df eiii in E liegendes Translat von D, bezeiohnet. Man erhalt dann fur das T701umen des Korpers K + 71 D, (q 2 0) :

;f 71

Lu

V ( K + D,) = Jv;+ I ( ( K + 91 D,) n E ) dE

= / T i : , _ I ( ( K Ti E ) + 91 0,)

,4ndererseits ist

rind ein Vergleich der Koeffizieiiteii voii ii ergibt

Die Stutzfunktion p ( D f l , v ) des Korpers D,, fur v Q wird gegeberi durcli

p(D,,, v ) = (1 - Iu. vlz)I’?>

iind eine bekannte Integraldarstelluiig des gemischten Volumeiis liefert die Gleichuiig (4.1). -

Nehmen wir an, die Funktion f mit den Eigeiischnft#en aus Sat,z 4.1 uiid der konvexe Korper Ir‘ seien so beschaffeii, dal3 fur ein

E E {I>. . . ) n - I}

(4.2)

gilt. Setzen wir fiir B € 8 J f ( u * v) dFk(K, v ) = c = const.; u E .I,,,

p ( B ) =1 F,(K, B) +- F k ( K ; B*) - 2 c (6; 1”; [ f ] ) ’ t . ( B ) ,

u E 52.

so folgt aus (4.2) und ( 3 . 5 )

j - f ( u . v) d p ( v ) = 0 ,

a Schncider, Eirie Integralgleichung in tlcr Theorie der Ironvexen Korper

J)a nach Voraussetzung ?(ii [ f ] =+ 0 fiir gera.de m uiid da ,U gerade ist,, folgt a i i s Satz 3.1

F,(K, B ) + P,(h’, B*) = 2 c (6; 2;; [f])-’ m(B), H E 2. I)iese Heziehung ha t umgekehrt zur b’olge, J f (u . w) dF,(K, v) un- abhiingig von u ist, falls f eine gerade Funktion ist. Das bedeutet spezielI: 1st J f ( u . v) dP,(K, c) konstant fiir eine Vunktionf, die die Vorausseteungen voii Sate 4.1 erfullt, so fur alle derartigeri Funktionen. Insbesondere gilt also: Die Korper, f i i r d ie das oben erkbtirte Funktional cp konstant i s t , .sin,d identisch !mit den Kiirpern kcnstanter Helligkeit. Diese Tat’saohc ist fiir 1% = 3 auf anderem Wege von BEKWALD [3] hewiesen wordeii.

\Vir wenden uns den Aiiwendungen voii Iiorollar 3.2 zu : Eine brkannte Konsequenz ist der folgende Satz 2 ) : Hat ein Punlct o eines konvexe7b K i i 7 p ~ s K die Eigenschaft, daJ jede durch o gehende Ii-yperebene das Volunien con K hnlbiert, so i s t o Jli t telpunkt vvn K . Fur n = 3 ist’ cier Satz in eirier Unt,cr- suchnng von P’L‘NK [ 2 2 ] ciithalten ; ein Bewcis, der Kugelfnnktionen ver- wendet,, ist von KOBOTA [14], S. 361 - 362, angegeben worden. Bur beliebiges u, vergleiche man die Bemerkung in GR~;TNJ<ACN [13], 8. 251. - Der Satz crgibt sirh ails Korolla’r 3.2, iiidern inan K so verschiebt~, dafi o im Nullpunkt liegt; und dann

,U ( B ) = J [riL ( u ) - l.” ( - ?&)I dP) (?L) /<

n-iihlt., wo r (u) = sup ( 0 : I, u E K } . ti E f2; iet’.

.HAUM [13]; S. 2 5 2 , erwaihnt,es Problem gelost:

do8 jede d‘urch o gehende Hyperehcne die Oberf dfi t telpunkt 21011. K .

Durch das folgende Gegenstuck zum Sat,z voii FLIYK wird ciii in G R ~ s -

Satz 4.2. H a t e i ~ a Purskt o eines konvezeu Kiirpers K E $” die Eiyenschrzlt, e mrz, hT Idh ie r t , so ist o

Beweis . O h m Bcschriinkung der AlIgcnieinhr4t sei o der Xullpunlit. des E” . J h o innerer Purikt von I< seiii muI3. gelioreii zu jedem u E r? eiii eindeutig bestimmter Yuiikt z (u ) E kK (Kand von K) und eine reelle Zahl r ( u ) mit ~ ( u ) = r ( u ) ZL. Fur B E 8 bezeichne F ( K ? R ) den (n - l)-diiiicw sioiialeri Flachenirilialtj der JJeiige

z ( K ; B ) = {x E c‘K: z = ~ ( u ) u niit, zc E H}. Dann ist F eine o-additive Xlengenfixnkt~ioii auf 8. F ( K j Q) ist die Obcr- &idle V O l l fi.

Scliiieider, Eine Iiitegralgleirh~ing in der l'heorir der koiivexen Korper AS

Sach Voraussetzuiig ist P ( K : BE) = F ( R , 9'1,) fur alle u € i2; setzen ivir also p ( B ) = F ( K , B ) - F ( R , I?*) fur B E 3, so verschwindet nach Korollar 3.2 die ungerade Mengenfunkt,ion p identisch. Sei K* der zu li' beziiglich des Nullpunktes sgmrnetrische Korper. Die Beziehurig ,u 0 liiRt' sich dann auch in der Form

(4.3) P ( K , B ) = F ( K * , B) fiir B €8 achreibrn. Setzeii wir

v , = (?A EL?: T ( U ) 5 T ( - u)}, B, = Q \ Ql, so ist,

.2: ( K fl K*, Q I ) = R: ( K , a,) ~

R: ( K n K*, a) = .2:(K*, Q,).

P ( K rI K*, Q) = F ( K n K*: Q,) + F ( K n K*, B?) 1)aher ergibt sich

= F ( K , Q l ) + -F(K*, 0 2 )

= F ( K , Q,) + F ( K , Q2)

Aus K n K* C K uiid der Ebereinstirnmung der Oberfliichen beider Korper f d g t K n K* = K und damit R* = K ; der Punkt o ist also Mittelpuiikt von X, wie behauptet.

Uiiter besonderen Regularitatsvoraussetzungen an den Rand des koiivexen Korpers K lassen sich auch Gegenstueke zu Satz 4.2 angeben, in deneii voii den Hyperebeneii durch einen fester1 Punkt ein gewisses Ober- tliichenintegral an Stelle der Oberflache halbiert wird. Der konvexe Korper K E 9" IieilJe regular, wenii seine Stut,zfunktion zweimal stetig differeiizier- bar ist und wenii die Randfliiche aK uberall endliche Hauptkriimmungen besitzt. Da.nii gilt heispielshalber : Ein Punkt o des reguldren konvexcn Koerpeers K E .Q", wiit der Eigenschaft, daJ jede Hyperebene durch o die T o t d kriimmung der Randf liiche won K hulbiert, i s t Xittelpunkt von K . Dies ist pill Rpezialfall (@(xI , . . . , x I t - , ) = xL . . . x,,- , ) des folgendeii Sntzes:

8at,z -1.3. S e i dj (x, , . . . , x,, - ,) eine stetig diffeerenzierbare reelle Punktioih rler ereellen Veranclerlichen T~ > 0 (i = 1, . . . , n - 1). @ sei positiv laomogen ~ " 1 Grade rL - 1, und es qelte im Definitionsbereich

wegen (4.3) = F ( K , 0) .

Sei K whuf t daJ jrdp durch o gehende Hypeerebene das IrLtegrul

&" ein reguliirer konvexey Korper. Hat ein Punkt o t K c l i p Eiqeu-

1' @ ( l e , . . . . . k,, , ) d o i ii

64 Srhneider, Eine Integralgleichung in der Theorie der konvesen Korper

( k , , so ist o Xi f t e lpunk t von K .

. . , k,, I Hauptkrummungen ron aK, do Oberflachenelement) hnlbiert

Be w e 1 s. Sei o der Nullpunkt des E" . Fur B E 3 la13t sich das uber die Merige x ( K . B ) c EK erstreckte Oberflachenintegral der Funktion

@ ( k , , . . .. k / ( - l )

auch als 1iitegral uber B ausdrficken; man findet leicht

J' @(h>" .>k , , - l ) d ( ) = J @ ( ( k . l ( Z L ) , . . . , k , , - , ( u ) ) ?(I< , /I) ii

x Y" (u) d - J (u) d(o (u).

1)arin siiid k I (u), . . , k,, , (u) die Hauptkrummungen von ? K in1 Punkt 7' ( Z L ) ; d (u) ist der (positive) Abstand des Nullpuiiktes von der Tangential- ebcne an K in x ( u ) . Aus den Voraussetaungen dcs Satzes und aus Iio- rollar 3 . 2 folgt, da @ ( k l , . . . , E , b - , ) r" d-1 stetig ist.

@ ( k , (u), . . . , k,, -, (u)) r" (u) tl-1 (u)

- @ (ILL ( - u), . . . , k,, I ( - a)) Y" ( - U ) d- 1 ( ~ U ) . u E l2. M'egen der Hornogenitatsvoranssetzung an @ ist die Funktion

@ ( k , , . . ., k,,_ I ) r" d-1

invariant gegen Streckungen des Korpers K aus den1 Punkt o ; d a h r ergibt ein Satz von ALEKSANDROV [a], S. 346, da13 K und der dazn bezuglich o synimetrische Korper ahnlich sind. Daraus folgt die Behauptung.

A18 weitere Anwendung von Korollar 3.2 verallgemeinern wir ein fur I L - 3 und hinreichcnd glatt herandete Korper von KUUOTA [I41 gefun- dews Ergebnis. Sei K ein konvexer Korper und u E 9 Cntcr dem in Richtung ZL beleuchtefen Teil won K verstehen wir die Menge aller Rand- punkte von K , in denen ein aulJerer Nornralenvektor u rnit u . r! < 0 existiert. Die Menge der Randpunkte, in deiien ein Normalriivektor Q rnit I L . ([ = 0 cxistiert, lieifit die zur Richtung u gehorige SchnttPngrenze. Hat cler in Richtiing u beleuchtete Teil von K den gleichen Flacheninhalt wie der in Richtung - u beleuchtete Teil, so sagen wir, die zur Richtung u gehorigc Schattengrenze halbiere die Oberflache von K .

Satz 4.4. Hat ein Eonvexer Kfirper K E %01 d ie Eigenschnft, daJ j ede Bcha t t enpnzc von K die Oberflache kctlbiert, so hat K e inen Ll.Iittelpzinkt.

Reweis . Uer li'lbchcninhalt des in Richtung u beleuehteteii 'l'eils von K ist (nach Definition der Oberfl~tclieiiflunktiori FIf ,) gleich F,, - , ( I< , Rt,) ; Korollar 3.2 ergiht daher, dafl dir ungerade Mengenfunktion

FIL- I ( K , B ) - P ( K , B") ( B E 8)

Schneider. Eine Integralgleichiiiig in der Theorie der korivexen Kurper 65

jdentisch verschwindet. Daraus folgt die Behnuptuiig nach dein Satz von ALEKSANDROV-FENCHEL-JESSEN.

Von den zu Satz 4.4 moglichen Gegenstucken mit andereii Oberflacheii- integralen an Stelle der Oberflachc erwahnen wir nur das folgende:

gn die Eigenschuft, d u , jcde Schnttenqrmze die A ffinoberflache J) halbiert, so hut I< einen Mittelpunkt.

B e w ei s. Die durch gleichsinnig parallele Tangentialebenen vermittelte spharische Abbildung cr von %K auf 9 ist untcr den getroffenen Voraus- setzungen umkehrbar. Sei B C 9 eine offene Menge; d a m laI3t sich die Affinoberflache des Flachenstucks (T- I ( B ) ausdrticken durch

Satz 4.5. Hat e i n regularer konvexer Korpw K

I l l + I ~ -~

[ X I L - ? d o = [ x ( u ) d w ( u ) . .-'ti$ ri

1)arin 1st x (u) das Produkt der (euklidischen) Hauptkrumniungen von ?K im Puiikt mit auI3erern Normalcnvektor u Fur die durch

I I I l 1 + I

p ( B ) = J Ix(u) / l + ? - % ( - u) 'i+ii d r o ( u ) , B € 2 . I:

erklarte iingerade Mengenfnnktion p E Jf gilt also naeh Yoraussetzuiig ,u(Qtt) = 0. ZL c f2, woraus iiacli Korollar 3 2 wegcn der Stetigkeit von I?

die Gleic-hung x ( u ) = x(- u), u Q, folgt Nach dein von MINKOWSKI starrimenden Spezialfall cles Satzes 17011 ALEKSANDROT -FENCHEL-JESSEN hefert das die Hehauptung

5. Konvexe Kiirper, dip tlrircli Sniiiruen iihnlicher Rotatioilskorper approsimierbar sind

l m folgendcn befasseii nir uiis mit Fragen aus der 'I'heorie der lion- vexen Korper, bei dcnen die Existenz einer Losung voii 1ntey;ralgleichungeii der Form

j".m . v) dP (v) = Y) (u) eine Rolle spielt. Es haudelt sich in diesem Abschnitt urn einen Spezialfall des folgenden Approximationsproblems : Sei eine Menge von konvexen Korpprnh) des E" . Ein konvexer Korper K C E" heiI3t iiacli SHEPHARV [21] (vpprozimierbor durch die X e n g e 9, weiin es eine Folge (KJ von Korperii mit K , + K (im Sinne der ublichen H A u S D O R F F - & ~ ~ ~ ~ ~ ) fur i > 00 gibt,

{) ZiIirl &grlff dt,r Affinoberflachc Slchc BIz.4bCHKE [5]. 4) 111 diesem und dcin folgcndrn Absclinitt brauchc n dic bctrac 1itctc.n konrcxen K O I ~ I r

1 1 1 ~ ht notnendig innerc Yunkte zii haben 5 Math. Nachr. 1970, Bd 44, €1. 1-6

ti (i Rchncider, Emc Integralgleichunp 111 der Tlieorie dei horivesen Korper

wobei jeder Korper li', eiiie ~'[lNKouisKTsche Summe von (endlich vielen) Korpern ilus fi ist. Ein A~~ro~rima-tionsprot,nut~onspro~lem bestelit dann darin, not- weiidige urid hinreicheiide Bedingungen dafur zu bestimmen, daB I< durch eine gegebene Menge & von konvexen Norperii approximierhar ist. Voii diesem Problem wird hier der sehr spezielle Fall betrachtet, da13 s8mtliche Korper w i s 9 iihnlich zu eiiiem festen !&otationskiirper lvestirnmter Art sind. Haiidelt es sich bei diesem Rotationsliorper insbesondere uni eine Strecke. SO bezeichnen wir die diirch 2 approximierbaren Hiirper als Strecken- summen. Auf die Streckcnsummen hat sehon BL~SCHKE ([4], S. 157, [51, S. 250; s. a. BONNESEK-FEKCHEL [S], S. 29) die Aufmerlssamkeit gelenkt, und er hat nach einfacheri Kennzeichnuiigen derartiger Kiirper gefragt. Notwendig dafur, da13 K Streckensumme ist, ist die Zen tralsymmetrie voii K , uiid fur n = 2 ist dies auch hinreicheiid DaB es fur n 2 3 uberhuupt zmtralsymnietrische konvcxe Kiirper gibt, die nicht Streckensunimen sind. Iiabeii erst SHEPHXRT) [21] und ~ S P L U N D (vgl. [21] Fullnote 8. 9) gezeigt. SHEPHAICU hat eine notwendige Bedingung dafiir angegeben. daIj eiri gegebenes konvexes Polytop durch eine gegebene abgeschlossene JIenge $? lionvexer Korper approximierbar ist ; daraus ergah sich etwa insbesondere, daI3 ein konvexes Polytop, dessen zw eidiniensionale Seiteri sihmtlich Dreiecke sind, nicht Streekensumme sein kann. - Aus (ohiie Keweis aiigegebenen) Kesixltateii von LIXTWCIST [ I51 folgt daB der kon- vexe Korper K niit dem Mittelpunkt im Nullpunkt genau darin Streckeii- sumine ist. wenri seine Stutzfimktion p ( K , u) (u E Q) sirh darstelleii lsBt in der Forir~ (5.1) p ( R . u) = /- [u. . [ d p ( u ) , 21 EL?. niit einer nichtnegativen, geraden i\lengenfunktioii p & ,I/.

Daa auf der Existenz einer nichtnegativen Losung der Gleichutng (5.1) beruliencie Kriterium fur Streckensummen sol1 nun verallgemeiiiert n-erden auf den ohen erwahiiten Fall der Approximation diirch Sunimen gex-isser iihiilirlier Rotationskorper. IVir betrachten n ix zeritralsynirnetrische Korper des El' urid zwar, da die Lagr drr Korper liier unxesentlich ist, n u r diejcnigen mit dem Jfittelpunkt im Nullpnnkt. f~ sei die Menge diescr Korper. 1st KO E 2: eiri Rotationskorper, so ist seine Stutzfunktion von cler Form

p (I<,) > u) = f (2L . ?I), 'lc E Q,

init rineni festen Vektor u E L2, der parallel zur Aclise von K,, ist. Mit $I,, C 31; bezeichnen wir die Rlenge aller Kdrper, die cturch Ihehnng urn den Xullpunkt imd Strechkutng aub diesern Punkt &us I<,) liervorgchen.

In1 folgeridcn a-ird von dem Kiirper I<,, vorausgesetzt, clalj k;,L[j] * 0 f t i r . perade m ist Uiese Bedingung ist naturlich srhr ungrometrisch , iriinier-

Schnc~der, Kine Inteeralyleichiing 111 dcr Theoric der konvexcn Korper 67

hi11 fallen aber einige geometrisch iiiteressante Rotationskorper, insbesondere die Strecke, unter die hier betrachteten Korper.

Satz 5.1. Der Korpw K E 9; ist genau dann approxinzierbay durch @,, iwnn seine S tu tz funk t ion p ( K , u ) sich darstellen IaJt in der Form

( 5 . 2 ) p ( l < , u ) = Sf(.. v) dp(v) , ‘1.5 E 9, ) ) i i t p i n w nichtneguticen, gewden illengenfunktion p E $I

Beweis. Ein Korper K 9: ist genau dann eine endliche Summe voii Korpern aus ftO, wenn seine Stutzfunktion sich darstellen I&Bt in der Form

(5 3 )

mit positiven reellen Zahlen xl, . . . , uh und Ejnheitsvektoren v l , . . . , vL. Gilt nun die Darstellung ( 5 . 2 ) mit p 2 0, so gibt es fur i = 1, 2, . . .

eine Zerlegung der Sphare 9 in Borelinengen B,, , . . , . B,,, sowie Vektoren ? a i J E B,, derart, daB

h

P ( K , u ) = c .,f(u - vJ , u E Q, J - 1

p ( K , u ) = J fC . . v) clp(z.)

fiir u E R gilt; dabei ist jede der Funktionen p ( K t , u ) die Stutzfunktion rines Korpers K , E .It: , der eine endliche Summe von Korpern aus fti, ist. Die Beziehung lim p ( K , , zc) = y ( K , u ) ist gleichbedeutend mit der Kon- vergenz der Folge {K,} gegen K im Sinne der iiblichen Metrik. Also ist K approximierbar durch %,, .

naiiii gibt es fur i = 1, 2 , . . . Einheitsvektoreii z’, , . . . . , v , ~ , und positive reelle Zahlen v. , , , . . . , q L L , so dafl m i t

Sei nun K approxiniierbar diirch

(6 .4) ,=I

die Bcziehung

( 5 . 5 )

gilt. Da die y ( K I , u ) Stiitzfunktionen sind, ist die Konvergenz gleich- ni8Big auf Q.

Sei c, (Q) der BANACH-him der geraden, stetigeii, reellen Funktionen i i U P 9 mit der PI/Iaximumsnorm. Zum Vcrstiindnis des Folgenden beachte man, dal3 man den koiijugierten Raurn G, (Q)* nach deiii Rmszschen

lim p ( K t , u) = p ( K . u), u E Q, I + -

j*

68 Schneider, Eine Integralpleichung in der Theorie cler konvcstn Korper

Darstellungasatz identifiziereii kann mit den] ails den eeraden ?tlengen- funktionen bestehenden Uiiterraurn voii J I

Wir erklaren fur i = 1, 2 , . . . eine Menpeiifuiiktion p, E. X durcli

Offenbar ist p, gerade und nichtnegativ. Pnr g C', (C) haben n ir I .

J' 9 (v) 4% (v) = c a, , Y (v!J 1-1

( 5 . 6 )

Sei S,,, C,(Q) eine gerade Kugelfuiiktioii der Ordiiung ni. Sacli Yoraus- setzung ist & , , [ f ] + 0 fur gerade m, daher crpibt sich init (5 6) uiid ( 3 5)

J", .r xi,, (v) 4% (v) ~ c 5, s,,, ( v / J 1 - I

~. (5.7) -

= (4/( % [ f l ) r1 j- P(K, > u) s,,, (u) Ch (zc)

Es existiert dlso lini [ AS?,, (v) dp, (v). Daher konvergiert aucli die Polge

{ (I (v) d p , ( v ) } , wenn g eiiie (endliche) Liiiearliorlibiiiatioii +on gernden Kugelfunktionen ist; ferner folgt aus (5.7) fur m = 0, dal3 die Folge p U , ( S ) beschrtinkt ist. Hieraus und aus der Tatsache, dalS die Linearkoinbinationen der geraden Kugelfunktioneii in C, (0) dicht liegen, dalS fcrner alle Mengen- funlitionen p t nichtnegativ und gerade sind, folgt die Existenz einer nicht- negativen, geraden Mengeiif~ml~tioii p E -31 mit

e + - .

lirn .I'Y (v) 4% = J' I l (v) dp (!'I y E C,(f4 I + = =

( 5 8)

Fur jedes u E 12 ergibt sich daher, drt die Fuiihtioii q ( c ) = f f u . v) gerade ist.

1' ( K , u) = liiii p (R, , a ) nach (5.5) l + - =

1,

b + - , = 1 = liiii C K , , ~ ( z L . v/,) 11acl1 ( 3 4)

= JfC.. . v) dpcu) iiacli (5.8) . Damit ist Satz 5.1 bewicsen.

Sstz 5.1 gibt in Verbiiidung mit der in Sutz 3.1 enthalteiieii Eindeutig- keitsaussage die Moglichkeit, in konkreten Fallen uiiter Urnstanden z u entscheiden, ob eiii Korper K E $!: diircli $!(, approximierbar ist oder nicht :

Schiieidrr, Einc Int,egrnl~leichr~ng in der Tlreorie der konvesen Kijrper 69

Gibt es fur die Stutzfunktion p ( K , u ) eine Darstellung

P (I<> u) = Jfcu . v) dP (v) 7 U E Q ,

mit eiiier geraden Mengenfunktion ,LL E 31, so folgt aus Satz 3.1, dafi es genau eine derartige Funktion p gibt. Nimmt also p negative Werte an, so kann K nach Satz 5.1 nicht durch 9, approximierbar sein. Ob K durch &,, approximierbar ist, ist also bekannt, falls die Mengenfunktion p explizit bekannt ist. Dies ist etwa der Fall, wenn es gelingt, die Integralgleichung

p ( K , u ) = J f ( u * w) h(c) dw (v)

durch eine explizit bekaiinte, gerade, LEBESGUE-integrierbare Funktion h zu losen.

,41s einfache Beispiele betrmchten wir im Ej die speziellen Falle, wo der Rotationskorper KO eine Strecke der Lange 2 oder eine Kreisscheibe vom Radius 1 ist. I m ersten Fall ist f(u . v) = 1 u . 'u 1, im zweiten ist

f(u. w) = (1 - ju. .I?)' ';

in beiden Fallen gilt ?,;,,[f] =t 0 f ~ r gerade m. Sei K E: 9; der Rotations- korper mit der Stutzfunktion

(6.9) p ( h ' , u ) = I + a C _ j ' ( e . u ) , ~ E Q

Dabei ist Cl ' ( t ) = (3 t 2 - 1)/2 das zweite LECENDRE-P01YnOm, e ein fester Einheitsvektor und a ein reeller Parameter mit - 2/5 5 a 5 l / 2 (genau fur diese Parameterwerte ist (6.9) die Stutzfunktion eiiies konvexen Kor- pers). Unter Beiiutzung von (3.5) findet man

p (R, u ) = (2 z)-' j" I u . v1[1 + 4 a C;/'(e . v)] do (v), u E Q.

Die Funlition 1 + 4 a Ci ' ( t ) ist nichtnegativ im Intervall - 1 2 t 4 1 genau fur - 1/4 5 r~ 5 1/2. Fur a E [- 114, 1/21 ist also der Korper K im ersten Fall approximierbar durch go, d. h. K ist Streckensumme, und fur a E [- 2'5, - 1/4) ist K zwar konvex, aber nicht Streckensumme. Damit hat man explizite Beispiele reguliirer zentralsymmetrischer kon- vexer Korper mit analytischer Berandung, die nicht durch endliche Strecken- summen approximiert werdeii konnen. Ferner findet man

p ( K , u) = z-1 j" (1 - / u . vI2)"[1 - 8 a Ci ' ( e e v ) ] du,(v), ZL E 0. Die Funktion 1 - 8 M Cy'(t) ist nichtnegativ im Interval1 - 1 5 t 5 1 genau fur - 1/4 5 a 5 I j 8 . Fur a E [- 1/4, l / S ) ist also K approximierbar durch Summen von Kreisseheiben, und fur a E [- 2 / 5 , - 1/4) und

a E (I,@, 1,2]

ist dies nieht der Fall.

7 0 Schneider. Eine I iltegrnlgleichiirig in der Tlieorie der konrexen K6rper

6. Einr iiotwendige Hediugoiig fiir die Usharkeit eirrer spezielleii Intcgralgleiehung

In diesern Ahsclinitt befassen mir uns niit der speziellen Integral- gleichung

(6.1) 131%) = J 1 % ?Jlh(vf dm(?J). 26 E fi

(bzn . einer Verallgemeinerung davoii). wo p (zc) eine gerade Funktioii anfQ i s t und iiach einer ebenfalls geraden Losuiig h (die jetzt auch negative Werte annehmen darf) gefragt ist. I m Falle, da13 23 die Stutzfunktion eincs bcziiglich des Nullpunktes symmetrischen koiivcxcii Korpers ist, ist dic Darstellung (6.1) grlegentlich von Nutzeii (s z B. FIREY [Ill, PETTY [l8], SCHNEIDEK [ Z O ] ) . Fur die Existenz eiiier (integrierbaren oder stetigen) Losung h sind geeignete Differenzierbarkeitsvoraussetzuiigen an die (ge rade) Funktion p hinreichend, aber niclit eiitbehrlich (wic cine Be merkung in BONNESEN-FENCHEL [GI, S. 29. verniuten lassen kdimte) . Inr folgenden wird an Haiid einer eiiifachen iiotweiidigen Bedingung gezeigt, dalJ fur gewisse zentralsymmetrische koiivexe Korper R die Sttit z- funktion p ( K , u) nicht cinmal in der Foriu

(6.2)

init eiiier geraden Mengenfuiiktion ,u E M darstellbar i s t . Als Folgerungerr ergeben sich notwendige Bedingungen dafiir, daR eiii Korper Streckcn- sunime ist.

Fiir einen konvexen Korper K C E” und eiiieii Vcktor c E R bezeichne K , die Stutzmenge von K in Richtuiig e, d. 1.1. deli Durchsclinitt von R mit der Stutzhyperebene an K mit aufierem Kormalenvektor e ; p ( K ( , 71.)

sei die Stutzfunktion voii K,. Fur e E 9 sei w p = (v E R : e . v : O}.

Lemrna 6.1. Wird die Stutzfunktion des konvexeiz K o r p e m K durch ((i 2 ) (mit gerudern p E &I) qeg~beuz, so gilt f h P f fl

p ( l i , u) = j” 124. ? J l d p b ) , 2c E n.

(6.3) p ( K , , u) = 2.1. v, + j” l zc * .Id(U(U),

?J, = 2 J 21 d p ( 2 7 ) .

u E l-1 we

iy)7 it

Q;

Beweis. Wir betrachten die Stutzfunktion p ( K . u) jetzt uls voii crstcr Ordnung positiv homogene Punktion in1 gniizen Rauiii ElL ; die vorsuy- gesetzte Darstellung

(6.4) P(K, u) = j” lu * ?JIdp((r.)

Schneider, Eine Integralgleichung in der Theorie tler konvexcn Korper ‘71

gilt dmn also fur beliebige Vektoren u E En. Die Stutzfuiiktion der Stutz- rnenge K , erhalt man bekanntlich als Richtungsableitung der konvescn k’unktion p ( K , u) (BONNESEN-FENCHEL [6], s. 26) :

p ( K , . u) = lim t - l [ p ( K , e + E Z L ) - p ( K , e ) ] . *-+ - I1

I m folgenden sei stets E > 0, e und u sind fest. Grenzwerte beziehen sicli immclr aiif E p ( K , e ) ist Lemma 6.1 fur u = e offenbar richtig; wir konnen daher u und e als linear unabhaiigig nnnehmcn JVir setzen

+ 0 Wegen p ( K ? , + e ) =

B , = { w E Q : r . v > O , ( e + & u ) . v > O } , B, = (v E Q e w 5 0, (e + E a) . v > O) ,

B: : {v E 9 . e . 2: > 0, ( e + 8 u) . v 5 01,

so dafi also Q:,,, = BI u B1 uiid Q: = BI u B: ist. nilit Beiiutzung der Integraldarstellung

P(K,, u)

i2 Srhnrider, Eine Integralgleirhung in der Theorie der konvexen Kbrper

Zusainmen erhalt maii

= 2 u * J v d p ( v ) + J lu . v ] d p ( v ) , 1,o 11) - -e

wotnit Lemma 6.1 bewiesen ist. Verschwiiidet fur jeden Vektor e E .Q da,s Integral iiber m, (z. B. wenn p

beziiglich OJ absolut stetig ist), so besteht jede Stutzmenge nur aus eiiiem Punli t , die Stutzfunktion p ( K , u) ist also s te t ig differenzierbar, und iim- gekehrt. Fur dieseii Spezialfall findet sich (6.3) im wesentlichrn bei BLASCHKE [4], S. 155.

A m Lemina 6.1 ergibt sich nun eine riotwendige Bediiigung fur die Existenz einer Darstellung (6.2). Der aus Re durch Translation um den Vektor - v, hervorgehende Korper hat iiach (6.3) die Stiit<zfunktion

J 1 % . vldPL(V), U J ,

die sich tiicht gndert bei Ersetzung von u durch - a. Es ergibt sich also:

Satz 6.1. Notwendig f u r die Darstellbarkeit der Stiitzfunktion p ( K , u ) des konvexen Korpers K in der Form (6.2) is t , daJ3 jede Stutzmenge von K e i n Xymmetriezentrum hat.

Korollar. Ist ein konvexes Polytop eine Streckensumnae, so ist es e i n e Summe endlich vieler Xtrecken.

1st namlich der konvexe Korper K eine Streckensurnme, so ist seine Stutzfunktion nach Satz 5.1 in der Form (6.2) darstellbar; falls K a,uBer- dem ein Polytop ist, so mu13 also jede Seite (der Dimension d, 2 5 d 5 n - 1 ) voii K eiti Symmetriezentrum haben. Dal3 dann K eine Suiiime von (cnd- lich vielen) Strecken sein mul3, ist fur n = 3 ohne Beweis bei BLASCHKE [ 5 ] , S. 250, erwBhnt (vgl. auch COXETER 1171, S. 27f . ) . Wir geben einen Beweis fur beliebiges n 2 2; es genugt dabei, nur von dcn zweidimeiisioiialen Seiten zu wisseii, dal3 sie zentralsymmetrisch sind :

Lemma fi.3. Ist K C E” ein konvexes Polytop, dessen zi.~~eidirnensionale Seiten sumtlich sentralsymmetrisch sind, so ist K eine Xumme von endlich vielen. Xtrecken.

Beweis. Sei k eitie Kaiite von K niit der Liinge jkl. Wir zeigen zu-

Jede zu k parallele Gerrrde, d ie K t u f f t , hnt niit K eine Strecke der Liinge 2 jkj gemeinsani.

a%tchst :

(6.5)

Schneider, Eine Integralgleichung in der Theorie der konvexen KOrper 7 3

Nit z bezeichnen wir die auf K beschrankte Orthogonalprojektion auf eine feste, zu E senkrechte Hyperebene. ~ ( k ) ist ein Eckpulikt des Polytops z ( K ) . Sei p ein beliebiger Eckpunkt von n ( K ) und (ki, . . . , kqn) ein ge- richtet'er Kantenzug auf n ( K ) , der ~ ( k ) mit p verbindet. Da das Urbild (beziiglich n) des Anfangspunktes von k , die Kante E ist, ist z - l ( k t ) eine zweidimensionale Seite von K . Diese hat nach Voraussetzung ein Symme- t,riezentrum, enthalt also eine zu k parallele Kante gleicher LLnge, die durch x notwendig auf den Endpunkt von kL, also den Anfangspunkt von k2 abgebildet wird. So weiter schlieDend, erhiilt man, daI3 die Urbilder der Endpunkte aller Ka,nten k,i (1 5 i 5 m) und damit auch n - j ( p ) zu k pa,i-a,llele Kanten gleicher Lange von K sind. Da p ein beliebiger Eckpunkt von n ( K ) war und da das Polytop z ( K ) die konvexe Hiille seiner Eak- punkte ist, hat jede zu k parallele Gerade, die K und daher n ( K ) trifft, auch mit der konvexen Hiille aller Kanten n - - l ( p ) ( p Eckpunkt von n ( K ) ) Punkte gemeinsam. Der Durchschnitt einer derartigen Geraden mit der konvexen Hiille der genaiinten Kanten ist aber eine Strecke der Lange 3 l k l , woraus die Behauptung (6.5) folgt.

Sei K + k der konvexe Korper, der aus K durch Translation um einen zu k parallelen Vektor k der Lange 1 k I hervorgeht, und sei sk die Strecke, dereii Rndpunkte die Ortsvektoren o bzw. - E haben. Aus (6.5) folgt

[K n ( K + k)] + s k = K . Es ist leicht zu sehen, dal3 die Kantenrichtungen des Korpers K n ( K + k) genau die Kantenrichtuiigen von K auBer der Richtung von k sind; ferner hat wieder jede zweidimensionale Seite von K n ( K + k) ein Symmetrie- zentrum. Falls also der Korper K ( K + k ) mindestens zweidimensional ist, kanii man ihn wieder als Summe einer Strecke und eines andereii (mindestens eindimensionalen) lionvexen Korpers darstellen, und so fort. Das Verfahren bricht nach endlich vielen Schritten ab; dann ist K als Summe endlich vieler Strecken dargestellt. Damit ist Lemma 6.2 bewiesen.

1st die Stutzfunktion eines konvexen Korpers in der Form (6.2) dar- gestellt, so ist offenbar

(6.6) p ( K , u ) = p ( & , u ) - u . 21, f- j- [ u * vl d p ( v ) , u € 9 . a\oJe

Ist! p 2 0, so ist a.uch der letzte Summand in (6.6) die Stiitzfunktion eines konvexen Korpers (der moglicherweise nur den Nullpunkt enthllt). Es er- gibt sich also :

Satz 6.2. Ist der konvexe Korper R eine Streckensumme, so i s t jede Stiitz- lnenge von K ein Summand 5 ) von K .

74 Srhneider, Eine Integralgleichung in der Thporie der konvexen Kiirper

Dwaus lliBt sich xum Beispiel folgern, daD bei einem Korper, der Streckensumme ist, nicht unendlich viele Strecken vorschiedener Hich- tungen, deren Liingen groBer als eine positive Konetmte sind, als Stiitz- mengen auftrcten konnen. Insbesondere kann eine Streckensumme nicht Kappenkorper eince reguken Korpers oder eines Korpem mit nur re- gulhen Stutzebenen sein. Ein Spzialfall dieser Aueeagc (fiir Projektionen- korpcr im ES, unter Differenzierbarkeitsvoraussetzungen) ist von Suss [22] ausgesprochen worden.

Zusatz bei der Korrektur. Inzwischen ist mir ein noch unveroffent- lichtes Manuskript von ETHAN 1). BOLKER, A class of convex bodies, be- kuiint. geworden, in dem unter vielen snrleren Egebnissen uber Strecken- nimmen auch einige Resultate der vorliegenden Arbeit (Satz 6.1 init zuisclilielhndem Korollar, Lemma. 6.2, Satz 6.2), und zwar auf anderein Wcge, bewiesen werden .

Literater

1.13 A. 1). AT~EKSANDROV, Zur Theorie der gcmischtm Volumina von konvexen Korptm.

[2] - , Uniqucncea thcoremfl for surfaccs in the large. 1. (ruw.). Vi.stnik Lmingrad. Unit-. 11, no. 19, 5-17 (1966); e q l . ttbrn. in Amrr. Meth. Roc. Transl., Ser. 2, el, 341-354

13’1 L. BJCRWATJ), I n t e p a l g i ~ o ~ n ~ ~ r i ~ 25. Uher div Korper k o ~ t a n t c ~ Helligkrit. Math. X.

[4] \v. lkAB(!HKIC, %cis und Kugcl. 2. h f i . Berlin 19%. [S] ..-, Vnrlmungm ubcr l ) i f f~ ,~~nt ;~g~~mrt . r i t . . 11. Affint- Diff~.~.nti~~comc.tric.. Bidin

[a] T. Hoxnlcsxr unti W. PIKCRICL, Theorie dcr konvrxrn K6rprr. nerlin 1934. [‘i] H. 8. M. COSETER, Hcgular polytopes. London 1948. [8] A. Ee ih~ul , W. MAOXUS, F. OBEREETTIJOER und E. G. ’Ihco~r, BATEMAX msnu-

script proj&. Higher transccndcntal functions. I. ?Sew York-‘romnto-London 1858. 191 -, Higher transcendwhal fiinirtinnn. 11. Sew York-Toronto-London 1953.

11. (ma.) B b t . Sbornik h’. S. 2, 1205-1238 (1937).

(196.2).

42,737-738 (1937).

1925.

[lo] -. Teblc~ of integral transforms. 11. Xew York-Toronto-London 19-54. [ll] \V. J. FIB=, BLASCHKE sums of convex bodies and mixed bodies. l’mc. Colloquium

[ 121 P. JWKE, t%er einc gcornctrische ,bwtmdung der h x u c h e n lntegralglc4chung.

[ la] B. GR~~XBAUM, Measuros of symmetry for convex bodies. h c . 8~mpofl. Puri- Math.

[ 141 T. K l J m T A , Einigc h b l e m e ubcr korivcx-gi.wchloeamc Kurven und Flichen. ‘I6hoku

[15] X. F. LINDQUIST, Approximation of onnvvx bodicR by finite iumi of line wcgmc.ntR

[I61 8. NAKAJIMA, On mmc chamc*viBt.ic! proptrrtirs of c.urvea and siirfa~r~. TOhoku Blntll.

[ l i ] C. M. PETTY, Ckntroid surfmi. Pacific 6. Math. I I , 1535-1547 (1961).

on Cbnvexity (Copc.nhegen 1966), 94-101. Kopenhagcn 1967.

Yath. Ann. 75, 129-136 (1916).

7, 238-270. Providcmcc 1968.

Math. J. 17, 3.51363 (1820).

(Prdirninery report). Noticrs Amm. Math. Sou. 15, 138 (1968).

J. 18, 272-2437 (1920).

.

-- Schneider, Eine Intogrdgleichnng in dcr Theorie der konvesen Kijrper 1 0

[is] C'. 41. PETTY, Projection bodies. Proo. Colloquium on Convexity (Copcnhagen 1965).

El91 U. SANYONFR, Orthogonal functions. New York 1959. PtO] H. SCHNEJDER, Xu einem Problem von SHEYHARD iibw dic Projektionen konwrcsr

[Pi J G. C. SHEPHARU, Approximation problems for convex polyhvhcrdra. Jiat11ernat.ikn 1 I .

1:2P1 IT. Siiss, Zu MINKOWSKIS Thwrie von T70lum~n und Oberfliiche. 31atl.1. Atin. 181,

[23] P. UN~AR, Freak thtmcm obout functions on B splirre. J. London 31ath. Sou. LV,

234-241. Kopenhagen 1967.

Korper. Xath. Z. 101, 71-82 (1987).

9-18 (1964).

253-260 (1929).

100-103 (1964).