Übungen - Gitterpunkte in konvexen MengenGitterpunkte in konvexen Mengen Institut für Algebra und Geometrie Prof. Dr. Martin Henk Dipl.-Math. Carsten Thiel Übung 2 WS 2011/2012

Gitterpunkte in konvexen MengenInstitut für Algebra und GeometrieProf. Dr. Martin Henk

Dipl.-Math. Carsten Thiel

Übung 8WS 2011/2012

Aufgabe 8.1 Sei P ⊂ Rn ein Polytop mit P ∩ Zn = vert(P ).Zeigen Sie, dass |vert(P )| ≤ 2n.

Aufgabe 8.2 Sei P ⊂ V ein rationales Polyeder. Zeigen Sie, dass P ∗ eben-falls ein rationales Polyeder ist.

Aufgabe 8.3 Sei u1, . . . , un reduzierte Basis von Λ. Beweisen Sie, dass

�u1� ≤ 2n−1

2 minu∈Λ\{ 0 }

�u� .

Aufgabe 8.4 Seien u1, . . . , un ∈ Zn linear unabhängige Vektoren. Weiterseien K = cone(u1, . . . , un) und

P =�

n�

i=1αiui

�� 0 < αi ≤ 1 für i = 1, . . . , n

�

.

Zeigen Sie, dass

�

w∈int(K)∩Zn

xw =� �

u∈P ∩Zn

xu� n�

i=1

11 − xui

und �

w∈int(K)∩Zn

x−w = (−1)n�

w∈K∩Zn

xw .

Besprechung: 08.12.2011 S. 1/1

Gitterpunkte in konvexen MengenInstitut für Algebra und Geometrie

Prof. Dr. Martin Henk


Übung 7WS 2011/2012

Aufgabe 7.1 Eine Menge S ⊂ V heißt Halbgruppe, falls für alle x, y ∈ Sauch x + y ∈ S gilt. Eine Teilmenge X ⊂ S heißt Erzeugendensystem von S,

falls es zu jedem s ∈ S Elemente x1, . . . , xk ∈ X und Zahlen λ1, . . . , λk ∈ Z≥0gibt, mit

s = λ1x1 + . . . + λkxk .

Beweisen Sie, dass jede Halbgruppe S ⊂ Z ein endliches Erzeugendensystem

hat und finden Sie eine Halbgruppe T ⊂ Z2, die kein endliches Erzeugen-

densystem hat.

Aufgabe 7.2 Sei Λ ⊂ R2ein Gitter. Beweisen Sie, dass es eine Basis u1, u2

von Λ gibt, für die der Winkel zwischen u1 und u2 zwischen 60◦

und 90◦

liegt.

Aufgabe 7.3 Sei Λ ⊂ V ein Gitter. Eine Menge von Vektoren u1, . . . , uk

heißt primitiv, falls sie eine Basis des Gitters

Λ ∩ lin { u1, . . . , uk }

bilden. Beweisen Sie, dass das für Λ = Zngenau dann der Fall ist, wenn

der größte gemeinsame Teiler aller Determinanten von (k × k)-Minoren der

Matrix U = (u1, . . . , uk) genau 1 ist.

Aufgabe 7.4 Seien �1, . . . , �n homogene lineare Formen, gegeben durch

�i(x) = ai1x1 + . . . + ainxn , mit aij ∈ R für 1 ≤ i, j ≤ n .

Sei A = (aij)ij die Matrix dieses Systems und sei det A �= 0. Weiter seien

τi ∈ R>0 für 1 ≤ i ≤ n mit τ1 · τ2 · · · τn ≥ |det A|.Zeigen Sie, dass es ein z ∈ Zn \ { 0 } gibt, mit

|�i(z)| ≤ τi , für 1 ≤ i ≤ n .





Übung 6WS 2011/2012

Aufgabe 6.1 Seien P1 und P2 Polyeder in V . Zeigen Sie:

P1 und P2 sind genau dann stark kombinatorisch isomorph, wenn es eine

Bijektion α : vert(P1) → vert(P2) gibt mit fcone(P1, v) = fcone(P2, α(v))

für jede Ecke v ∈ vert(P1).

Aufgabe 6.2 Sei P ⊂ V ein Polytop. Beweisen Sie

�

v∈vert(P )Φ

�[fcone(P, v)]

�= 0 .

Aufgabe 6.3 Drücken Sie das Volumen des Einheitswürfels C = [0, 1]n

in

Rndurch die Formel aus Korollar 8.2 ii) aus.

Aufgabe 6.4 Sei a = (α1, . . . , αn) ∈ Rnein Vektor mit paarweise verschie-

denen Koordinaten und sei P die konvexe Hülle der n! Punkte, die aus adurch Permutationen der Koordinaten hervorgehen.

Beweisen Sie, dass P ein einfaches Polytop der Dimension n − 1 ist, dass in

der affinen Hyperebene

A = { (x1, . . . , xn) ∈ Rn | x1 + . . . + xn = α1 + . . . + αn }

liegt.

Drücken Sie außerdem das Volumen von P als Polytop im (n − 1)-dimensi-

onalen Raum A mit Hilfe der Formel aus Korollar 8.2 ii) aus.

Besprechung: Mittwoch, 23.11.2011 S. 1/1



Übung 5WS 2011/2012

Aufgabe 5.1 Beweisen Sie Satz 6.4.Hinweis: Kombinieren Sie die Beweise von Satz 5.4 und Satz 6.3. BeweisenSie die Aussage zunächst für das Simplex und wenden Sie schließlich einegeeignete Projektion an.

Aufgabe 5.2 Sei P ⊂ V ein unbeschränktes Polyeder der Dimension n, daskeine Gerade enthält. Sei f0

i (P ) die Anzahl der beschränkten i-dimensionalenSeiten von P , sei f∞

i (P ) die Anzahl der unbeschränkten i-dimensionalen Sei-ten von P und sei fi(P ) = f0

i (P )+f∞i (P ) die Gesamtzahl der i-Seiten. (Wir

betrachten P als n-Seite von sich selbst.) Beweisen Sie

n−1�

i=0(−1)if0

i (P ) = 1 ,n�

i=1(−1)i+1f∞

i (P ) = 1 undn�

i=0(−1)ifi(P ) = 0 .

Aufgabe 5.3 Sei P ⊂ V ein Polytop der Dimension n. Beweisen Sie

(−1)n[int P ] =�

F ⊆PSeite

(−1)dim F [F ] .

(Wir betrachten P als Seite von sich selbst.)

Aufgabe 5.4 Sei P ⊂ V ein unbeschränktes Polyeder, das keine Geradeenthält. Beweisen Sie χ([int P ]) = 0.





Übung 4WS 2011/2012

Aufgabe 4.1 Wir ersetzen die Funktion Gε aus dem Beweis von Satz 4.3

durch

�G(x, y) =

�1 falls �x, y� ≤ 1,

0 sonst.

Sei �D diejenige Abbildung, die durch

�D(f) = h für h(y) = χ�

�G(x, y)f(x)

�

definiert wird. Beweisen Sie, dass �D : C(V ) → Bild( �D) eine lineare Abbil-

dung ist und berechnen Sie �D([B]), wobei B ⊂ V eine Kugel vom Radius 1

um den Nullpunkt ist.

Aufgabe 4.2 Seien f und g Linearkombinationen von Indikatorfunktionen

polyedrischer Kegel in V . Sei D die Abbildung aus Satz 4.3 iii). Zeigen Sie,

dass D(f · g) = D(f) ∗ D(g).

Aufgabe 4.3 Sei P = { x ∈ V | �i(x) ≤ αi , i ∈ I } und für v ∈ P sei wie

gehabt Iv = { i ∈ I | �i(v) = αi }. Beweisen Sie

tcone(P, v) = { x ∈ V | �i(x) ≤ αi , i ∈ Iv }und

fcone(P, v) = { x ∈ V | �i(x) ≤ 0 , i ∈ Iv } .

Aufgabe 4.4 Sei P ⊂ V , P �= ∅, ein Polyeder, das keine Gerade enthält

und seien Q die konvexe Hülle der Ecken und CP der Rezessionskegel von

P . Beweisen Sie, dass für jede Ecke v von P gilt

tcone(P, v) = tcone(Q, v) + CP .

Aufgabe 4.5 Sei P ⊂ V , P �= ∅, ein Polyeder, das keine Gerade enthält

und sei CP der Rezessionskegel von P . Beweisen Sie, dass�

v∈vert(P )[fcone(P, v)] ≡ [CP ] modulo Polyeder mit Geraden.

Aufgabe 4.6 Sei P ⊆ V ein Polyeder, F ⊆ P eine Seite von P und sei

v ∈ rel int(F ). Beweisen Sie, dass tcone(P, v) und fcone(P, v) nicht von der

Wahl von v abhängen.

Man kann also von Tangentenkegel tcone(P, F ) und Kegel der zulässigenRichtungen fcone(P, F ) einer Seite F von P sprechen.

Besprechung: Dienstag, 08.11.2011 S. 1/1



Übung 3WS 2011/2012

Aufgabe 3.1 Seien P1, P2 ⊆ V nicht-leere Polyeder und sei Q = P1 + P2ihre Minkowski-Summe. Beweisen Sie, dass jede Seite F von Q in der FormF = G + H geschrieben werden kann, wobei G Seite von P1 und H Seitevon P2 ist.

Aufgabe 3.2 Seien P1, P2 ⊆ V nicht-leere Polyeder und sei Q = P1 ∩ P2.Beweisen Sie, dass jede Ecke v von Q in der Form v = F1 ∩ F2, geschriebenwerden kann, wobei Fi Seite von Pi ist und dim F1 + dim F2 ≤ dim V .

Aufgabe 3.3 (Satz von Birkhoff–von Neumann) Im Raum der n × n Ma-trizen X = (xij) sei P die Menge derjenigen Matrizen, die die Gleichungen

n�

j=1xij = 1 für i = 1, . . . , n und

n�

i=1xij = 1 für j = 1, . . . , n

sowie die Ungleichungen

xij ≥ 0 für alle i, j

erfüllen. Beweisen Sie, dass P ein Polytop der Dimension (n − 1)2 ist unddass dessen Ecken genau die Permutationsmatrizen X sind, die genau einenEintrag „1“ und n − 1 Einträge „0“ in jeder Zeile und jeder Spalte haben.Hinweis: Beweisen Sie, dass unter den Einträgen jeder Ecke von P mindes-tens (n − 1)2 Nullen auftreten.

Aufgabe 3.4 Seien r1, . . . , rm und c1, . . . , cn positive ganze Zahlen mitm�

i=1ri =

n�

j=1cj .

Im Raum der m × n Matrizen X = (xij) betrachten wir das Transportati-

onspolytop P , bestehend aus denjenigen Matrizen, die die Gleichungenn�

j=1xij = ri für i = 1, . . . , m und

m�

i=1xij = cj für j = 1, . . . , n

sowie die Ungleichungen

xij ≥ 0 für alle i, j

erfüllen. Beweisen Sie, dass eine Ecke X von P nur ganze Einträge hat.




Übung 2WS 2011/2012

Aufgabe 2.1 Finden Sie Beispiele für abgeschlossene konvexe MengenA, B, C ⊆ V und eine lineare Transformation T : V → W , sodass

T (A) und B + C

nicht abgeschlossen sind.

Aufgabe 2.2 Seien V und W Vektorräume und T : V → W eine lineareAbildung und sei �T : P(V ) → P(W ) wie in Satz 2.2.Zeigen Sie, dass �T (f ∗ g) = �T (f) ∗ �T (g).

Aufgabe 2.3 Sei I := { (ξ1, ξ2) | 0 ≤ ξ1, ξ2 ≤ 1 } das Quadrat in der Ebene.Zeigen Sie, dass

[I] ∗ [− int I] = [0]gilt, wobei − int I = { (ξ1, ξ2) | −1 < ξ1, ξ2 < 0 }.

Aufgabe 2.4 Zeigen Sie, dass die Indikatorfunktion [P ] eines unbeschränk-ten Polyeders P ⊆ V ein Nullteiler ist, d. h. finden Sie ein f ∈ P(V ) mitf ∗ [P ] = 0.

Aufgabe 2.5 Wie viele Seiten hat der d-dimensionale Würfel

C = { (ξ1, . . . , ξd) | 0 ≤ ξi ≤ 1 für i = 1, . . . , d } ?




Übung 1WS 2011/2012

Aufgabe 1.1 Seien a und b teilerfremde positive Zahlen und sei

S := { m1a + m2b | m1, m2 ∈ Z+ }

die Menge der Linearkombinationen von a und b mit nicht-negativen Koef-fizienten. Zeigen Sie, dass

�

m∈S

xm = 1 − xab

(1 − xa)(1 − xb) für |x| < 1 .

Geben Sie eine Interpretation der Formel

11 − x

− 1 − xab

(1 − xa)(1 − xb)und vereinfachen Sie diese für a = 3 und b = 7.

Aufgabe 1.2 Sei P ⊂ R2 ein allgemeines Gitterpolygon, also die Vereini-gung von endlichen vielen einfachen Gitterpolygonen die selbst Gitterpoly-gon ist. Beweisen Sie zunächst die kombinatorische Eulercharakteristik

χ(P ) = F − E + V ,

dabei F die Zahl der Flächen, E die der Kanten und V die der Ecken.Beweisen Sie dann den Satz von Pick

vol(P ) = G(int P ) + 12 G(bd P ) − χ(P ) .

Aufgabe 1.3 Beweisen Sie die Inklusions-Exklusions-Formel�

n�

i=1Xi

�

=�

I⊂{ 1,...,n }I �=∅

(−1)|I|−1�

�

i∈I

Xi

�

für Mengen Xi ⊂ V , i = 1, . . . , n.

Aufgabe 1.4 Sei

C := { (ξ1, . . . , ξd) | 0 < ξi < 1 für i = 1, . . . , d }

der offene d-dimensionale Würfel im Rd.Zeigen Sie [C] ∈ P(Rd) und χ([C]) = (−1)d.


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