Z angew. Math. Mech. Bd. 19 N,.. 3 Julli 1939 w u n d e r 1 i C h , thCr Pinc hlahsc zwarigiaufiger hbhewr 1<lrrncJntenpsare 177

Uber eine Klasse zwanglaufiger hoherer Elementenpaare. Von Wal te r Wunder l i ch in Wien.

3 I. In den Lehrbiichern der Kinematik tauclien anlafilich der Erwahnung cler hohe ren Elementen p a a r e immer wieder zwei klassische Beispiele auf, die sich bereits in den grund- legenden Werken von R e u 1 e a u x I) und B u r m e s t e r ?) finden :

1. Die Bewegung eines aus drei kongruenten GO gradigen Kreisbogen gebildeten ,,Gleich- dickes" in einem Quadrat, dessen Seitenlknge gleich dem Halbmesser der Bogen ist.

2. Die Bewegung einer aus zwei kongruenten 120.gradigen Kreisbogen gebildeten ,,Tinsel' in einem gleicliseitigen Dreieck, dessen Hiilie gleicli den1 Durchmesser der Bogen ist.

In beiden Fallen erscheint die (zwanglaufige) IJewegung aus e l l i p t iscl ien Be w egu nge n ,,gestUckelt". Die zugeliorigen P o l b a h n e n sind demnach r e g e 1 m ii fi i g e K r e i s b o g e 11 - v i e 1 e c k e , wobei anfeinander abrollende Bogen als Teile eines K ar d a n . K r e i s p a a r e s das &albrnesserverhaltnis 1 : 2 besitzen.

Hieran lakt sich nun eine V e r a 11 g e m e i n e r u n g knupfen, wenn man alle Bewegungen chtet, die durch das Abrollen von Kreisbogenvielecken aufeinander bestimmt sind, wobei

j'% vorau tzt wird, daFj aufeinander abrollende Bogen gleich lang sind und ihre Halbmesser sich wie 1 : 2 verhalten. In der vorliegenden Arbeit werden zwei v e r e i n f a c 11 e n d e , jedoch e i n s c h r a n k e n d e Annahmen getroffen, die iibrigens nuch in den beiden angefulirten Bei- spielen erfullt sind :

A. B i e Kreisbogenvieleclce seien r e g e 1 m a F i g . Dab es sich liierbei um eine Einsclirankung handelt, ersielit man aus den von Reu leaux ' )

auf 'l'afel 111, Fig. 3 bis 6, 7, 8 angegebenen Beispielen von in Quadraten bewegten Gleichdicken. B. Die E c k e n n, i n Ic e 1 v o n Rast- wnd Gangpolbahn seien g 1 e i c h. Dab diese Annalime einschrankeud ist, zeigt Bild 1, welclies ein Elementenpaar wieder-

gibt, das zur Rollbewegung eines Zweiecks aus 60-gradigen Bogen in einem Dreieck aus 30-gradigen gehort. Die Eckenwinkel betragen 60" bzw. '30" und die Bewegung enthalt drei reinc Drehungen um 30°. Das Elementenpaar ist im Verlauf der (zwanglaufigen) Bewegung abwechselnd ein hoheres und ein niederes. Der Punkt Q, verweilt in jeder der drei Ecken P I , P2, P, seiner Rahn wahrend eines endlichen Zeitabschnittes (Stillstandsmechanismus).

,

Bild 1. Bild 2.

Trotz dieser Einsclirankungen gelangt man zu einer recht formenreichen Klasse von hoheren Elementenparen, in der viele der bekannten Beispiele als Sonderfalle enthalten sind. Es handelt sich stets um ein von Krcisbogen berandetes Element, das unter Urnstanden in einem regelmabigen Vieleck eine zwanglaufige Bewegung auszufiihren imstande ist.

Q 11. Wir nehmen also ein r e g e l m a f i i g e s K r e i s b o g e n v i e l e c k als R a s t p o l b a h n . Der Z e n t r i w i n k e 1 5' 5 n, unter dem jeder Bogen von der Polygonmitte aus ersclieint, steht mit dem E c k e n w i n k e l e nnd den1 B o g e n w i n k e l cr (Bild 2) in der Beziehung

. . . . . . . . . . . . . . 5 ' = n - - - e + c r (1). Eine entsprechende Beziehung besteht bei der gleichartig gebauten G a n g p o 1 b a h n zwischen den1 Zentriwinkel 5' 5 z, dem Eckenwinkel E' = E (Voraussetzung B!) und dem Bogenwinkel 0' = 2 u (Kardan-Kreisbogen !) :

t ' = n - c + 2 o . . . . . . . . . . . . . (1'). . .

1) F. It e u 1 e a 11 x : Lelirbuch der Kinematik, Bd. I (18i5). 2 ) T,. B iir m e t e r : 1,ehrbuoh der Kinematik, Leipzig (1888), Bd. 1.

12

Z. angew. Math. Mech. W u n d e r 1 i c 11 ~ Ubcr cinc Klasse zwangI&ufigcr hiiherer Elcmentcnpaare Bd. 19 N ~ . 3 jUIli 1939

GeBen, wir die positiuen, r a t i o n a 1 e n Verhaltniszalden m = 2 n/[ u n d n = 2 nit' vor,

178

so s ind vermoye (1) u n d (1‘) die G e s t a l t e n der Polbahnen festgelegt:

CJ und E konnen aucli negativ ausfallen. ’m und n sind naturlich stets verschieden zti

nelinien und unterliegen wegen 5,” I n der Beschrsnkung m, n 2 2. Zu ganzzahligen Werteri geh6ren _ * gewohnliche Vielecke, zu gebrochenen uberschlagene, sogenannte Sternvielecke.

111. Wir schreiben ‘m und n als gekiirzte Brilclie an:

wf n’ m = m,l, (m‘, m”) = 1; n = p , (n’, n”) = 1 . . . . . . . (3).

Mit t bezeichnen wir den grobten gemeinsanien Teiler der beiden Zshler:

(m’, n’) = t . . . . . . . , . . . . . . . (41. Die R a s t p o 1 b a 11 n besitzt dann m’ Ecken PI , P, , . . , P,I, die G a n g p o 1 b a 11 n n’ E C ~ G I I

Q,, Q,, . ., Qnl. Mit !JJ bezeichnen wir jene D r e h u n g voni Drehwinkel 5, welclie din Rast- polbalui Pi P, , . . P,, in sich, und zwar in die Lage l?, . . . P,,, P, iiberfuhrt. 0 ist die ent-

Hild :I. I3ild 4 .

2. angew. Math. Mecli. Bd. 19 N,.. 3 Juni 1939 W u n d e r 1 i c h , Uber eine Klasse zwsngltiufiger hoherer Elementenpaare 179

sprechende Drehung der Gangpolbahn Q, Q, . . . Q n p +- Q, . . . Q n p &,. Auch wiederholtc An- wendung dieser Dreliungen transformiert die Polbalinen in sich. Rastpolbahn bzw. Gang- polbahn ertragen mitlain die z y k 1 i s c h e n D r e h u n g s g r u p p e n pi (Ordnung m') bzw. Qi

(Ordnztng n)).

Wir wahlen nun in der den Bildern 3 bis 6 zugrunde gelegten Ausgangsstellung P, = Q, auf der Verlangerung des Bogens Q, Q, der GangpolbaEin einen beliebigen P u n k t A , und betrachten seine B a h n k u r v c . Diese beginnt mit einem g e r a d e n Stuck a,, das bei der Rollung von &, Q, auf Pi P, entsteht, und setzt sich mit n'- 1 Ellipsenbogen fort, dem Abrollcn des restlichen Teiles Q, . . . Qn* Q, entsprecliend'). Nun ist die Ecke Q, in Pnl+ i angelangt4) und es wiederholt sich das eben angegebene Bruchstuck der Bahnkurve.

Wir erkennen, dap alle B a h n - und H u l l k u r v e n der B e w e g u n g die Drehung .P)+ Pnl + 1 , das i s t py)' , and damit die zykliscke U n t e r g r u y p e !#rL'i von der Ordnung m'lt geslatten. Analog gestatten alle Bahn- und Hiillkzcrven der u m g e k e h r t e n B e w e g u n g die hehacngen Qna'i der U 12 t e r g rzcpp e von der Ordnung n'lt.

Insbesondere wird die betraclitete Bahn von A , nicht nur von dieseni Punkt beschrieben, sondern gleichzeitig von eiriem ganzen System von n'lt Punkten

§ IV.

A m p i + l = Q m ' i . A l ( i=1,2, . . ,n ' / t ) . . . . . . . . . . 6% welche er im Verlnuf der Bewegung erreicht.

Die B a h n g e r a d e 6, von A, wahrend der Rollung von Q, &, auf P, P, geht durch den Mittelpunkt M I des Kreisbogens P, P,. Im Gesamtverlauf der u m g e k e 11 r t e n B e w e g u n g umhiillt der Strahl a, ein von K r e i s b o g e n b e r a n d e t e s G e b i l d e O,, das in den Punkten Awhii+ 1 (5) E c k e n aufweist. Wiederum wird 9, nicht von a, allein beschrieben, sondern von einem System Ill von m'lt Geraden

al,li+l='pn'i-a, ( i=l12 , . . ,m ' / i ) . . . . . . . . . . (61,

die einzelrte Lagen von a, darstellen. - Die Mittelpunkte der Kreisbogen, die walirend der Rollung von P, P, auf &, &, entstehen, erlialten wir in den zweiten Sclinittpunkten der durch

m

2

5 /2

512

8/ 3

3

3

3

4

4

5

5

6

3

2

3

2

2

51 2

4

3

5

3

4

4

0

- 60'

36 O

- 240

450

600

24 O

- 30'

30 O

- 18'

48 O

18"

30

&

- 60'

720

120

900

120 O

840

30 O

1200

720

156

126O

1500

Anmerkung

Bogendreieck im 60°-Rhombus. Re ul e a u x l ) , Tafel 111, Fig. 1.

Linse bzw. unregelm. Bogenviereck im regelm. Fiinfeck (Bild 4; Q, beschreibt ein regelm. Funfeck).

Bogendreieck bzw. unregelm. Bogensechseck im regelm. Fiinfeck.

Gleichdick im Quadrat.

Linse im gleichs. Dreieck ($1, 2). R e u l e a u x l ) , S. 120ff. F u j i w a r a u. K a k e y a K ) .

Bogenfiinfeck int gleichs. Dreieck.

Bogenviereck im gleichs. Dreieck (Bild 3). K a k e y a 6 ) , S. 103.

Bogendreieck im Quadrat ($1, 1). R e u l e a i i x l ) , S. 13iff.

Bogenfiinfeck irn Quadrat. R e u l e a u x l ) , Tafel 111, Fig. 2.

Dreiblatt im Pentagramm (Bild 5).

Bogenviereck im regelm. Fiinfeck.

Linse im gleichs. Dreieck (Bild 6).

Re u l e a u x l), Tafel 111, Fig. 6.

P u j i w a r a und

3) Von diesen Bdgen kann noch einer in eine Strecke ausarten, wenn namlich A , noch auf der Verlangernng

4 ) Gegebeneofalls ist der Index mod 111' zu reduzieren: Pi=P[c , wenn i s k (modm'). 6 ) M. F u j i w a r a und 8. K a k e y a : ,,On some Problems of Maxima and Minima for the Curve of Constant

Breadth arid the In-revolvable Curve of the Equilateral Triangle"; T8hoku Math. Journ. Rd. 11 (191i). Hier ist die Lime eine Parallelkurve jener von R e u l e a u x ; sie hat Bogen- und Eckenwinkel yon 600 und ist insofcrn bemerkens- wert, a h ihre Ecken im Laufe der Bewegung bis in jene des Dreiecks gelangen.

12.

cines zweiten Bogens der Gangpolbahn liegt, wie etwa in Rild 0.

.MI gezogenen Parallelen zu an’2+ ~(l i ) mit dein Kreis, der den Bogcn &, &, tragt; sie bilden demiiach ein regclmiihiges ?n‘/t-Kck.

8, bildet zusnmmcn wit 11, ein E 1 e w ~ en t e n p a ar, das allerdings nicht immer praktisch ausfulirbar ist, aucli niclit zwangliinfig sein mub. In den Eildern 3 bis ci finden wir eiiiige Elemcntenpaare ohne derartige Mangel, die auf die auseinandergesetzte Weise gefnnden wurden. Angaben iiber weitere - zum Teil bekannte - brauchbare Elementenpaare enthalt die umseitige Zusaniiiienstellung. Zu jeder Zeile gehort eine ganze S c h a r von Eleinentenpaaren, da ja die Walil von A , noch willkiirlicli ist; bei dgemeiner Lage von A , (Bild 3) gestattet 8, blob die Drehungen der Untergruppe )3”&’ i , wiilirend bei besonderer Wahl von A , noch achsiale Symrnetrien hinzutreten kiinnen. Die Annierkungen beziehen sich durchwegs auf derartige Sondcrfiille, da anch nur solche in der Literatur Erwalinung finden.

Analog ergeben sicli die ubrigen.

$j V.

Selbstiinclige Zwtcngliiufigkeit id sicher n u r d a n n vorhanden, ruenn

Es sol1 kurz etwas nilher auf dic Z w a n g l a u f i g k e i t der Bewegung des Ele- mentenpaares eingegangen werden.

nt’jt >- 3 . . . . . . . . . . . . . . . . (71, da andernfalls das .Stiitzgebildc I7, (6) nur aus einer oder zwei (parallelen) Geraden besteht.

Das 1. Beispiel der Tabelle ist wegen rn’lt = 2 bei allgemeiner Wahl von A , nicht zwang- ldufig. 1,Sht man jedoeh A, mit &, zusammenfallen, so weist nun die Balm von A , zwei weitere geradlinige Stucke auf3); vervollstandigt man mit deren Hilfe U , zu einem R h o m - b u s , so ist 8, in demselben zwanglaufig beweglich.

1st t > 1, so komrnt noch eine andere Mbglichkeit zur Herbeifulirung von Zwanglaufigkeit in HetmcEit. Wir konnen namlich in diesem Falle, ausgehend vom Punkt A , = ) 3 . A A , und seiner Bdingert~dcn a, = !$. a, zunachst zu einerri zweiten Elenientenpaar IT, = !@ D, , 8, = 8, gelangcn und, solcherart fortfahrend, insgesamt t kongruente Elementenpare 17i = !$- 1 ’ TI, , Oi = 5 i - 7 .0, (i = 1 , . . , t ) herleiten. Denken wir uns dieselben in t ubereinanderliegenden Ebenen ausgefiihrt, so storen sie einander niclit und konnen sogar die bei m ’ j t g 2 jedeni einzelnen Paare felilende Zwanglaufigkeit gemeinsarn herbeifiihren, wenn nur m‘ >= 3 .

Ein Beispiel hierfur ist etwa m = 4, n. = 6 . Hier crgeben sich zwei ubereinanderliegende Kreisbogendreiecke ( Q J , I), die in zwei ubereinanderliegenden, zueinander senkrecliten Parallel- streifen gleiten.

Bei m = 6 , n = 4 (Bild 6) ist Zwanglaufigkeit schon in jedem, aus einer Linse in eineni Dreieck bestehcnden Paare vorhanden.

$j VI. Die Frage nach der p r a k t i s c 11 e II A 11 s f ii h r b a r k e i t eines Elementenpaares liikt sich niclit so olirie weiteres entscheiden.

Erinnern wir nns zunachst, dak ai als Bahngerade von Ai beim Abrollen von Qg Qi + 1 auf Pi Pi + 1 durch den Mittelpunkt Mi des Kreisbogens Pi Pi + 1 geht (Q IV). Unterwerfen wir an Stelle von u, eine dazu p a r a l l e l e G e r a d e iil, die keinen der Mittelpunkte Mi ent- halt, der umgekehrten Bewegung, so erhalten wir eine eckenfreie P a r a 11 e 1 k u r v e 8, des friiheren Profils 0,. 0, rvird eon n’jt kongruenten Ziigen gebildet, die wieder aus j e m’ K r e i s bCigen eon% Z e n t r i w i n k e l 0 ausamrnengesetxt sind. Letzteres erklart sicli daraus, dab sich die Richtnng von 6, beim Abrollen von Pi Pi +- 1 anf &i Qi +. 1 um den Winkel o (2) iindert. Diese Randkurve kann k e i n e W e n d e p u n k t P enthalten, da die Drehung der Geraden stets ini selbcn Sinn erfolgt, und sie besitzt auch k t? i n e R ii c k k e hr p u n k t e , wenn a, h i n r e i c h e n d w e i t von den Polbahnen entfernt ist. Verschieben wir nun W, parallel auf die I’olbahnen zu, so werden sanitliche Radien von 8, um die Schubstrecke verkleinert; schliehlich wird einer der Halhmesser verschwinden, namlich dann, wenn die Gerade Zuni erstenmal einen Mittelpunkt Mi erreicht. Die Hullkurve besitzt nun an Stelle des zugehorigen Kreisbogens eine E c k e mit dem Innenwinkel 7c - 0, ja infolge der Automorpliiengruppe D m ’ i sogar n’lt solcher Ecken. Wiirden wir die Verschiebung noch weitertreiben, so erscheint wieder ein Kreisbogen, der sich aber an seine beiden Nachbarn rnit S p i t Y, e n anschliebt.

Rs kotnmen mithin xur Erseacgung b r aac c h b a r e r Formen von 0 fiir ui nur S t ii t z - g e r a d c n des Vielecks (Mi) in Retracht’). _____

8 ) Das d l uiaht heiDen, daD die vorhin betrachteten Parallelkurven von 8, fur welche die Erzeugenden ai das Vieleck ( M i ) iiberhaupt uieht trenen, uieht aurh ,,brauchbar“ w h e n ; uns beschhftigen indes begreiflieherweise nur die (irenzfulle.

2. angew. Math. Mech. Hd. 19 N ~ . 3 ~~~i 1939 TY u n d e r 1 i c h ~ Uber eine Klltsse zwanglaufiger hijherer Elfmentenpaare 181

Acl i s i a l symmet r i sche Formen von 0 erhalten wir dann, wenn die Stutzgerade a1 eine S e i t e der konvexenHiille von (Mi) ist oder einen A u k e n w i n k e l h a l b i e r t ( @ i n Bild4,5). Im ersten Fall geht a, durch zw-ei Mittelpunkte Mi, so dah 0 2 n'/t E c k e n aufweist. Diese liegen g e t r e n n t , wenn m">l ist (0" in Bild 4). Sie v e r e i n i g e n sich jedoch zu n'lt Ecken voni Innenwinkel n - 2 u , falls m" = 1 ist (@, und 0, in Bild 6), da dann die beiden Mittelpunkte aufeinanderfolgende Indizes haben.

Zu parallelen Stiitzgeraden gehoren zwei Elementenprofile 0, die Parallelkurven sind (0 und 0" in Bild 4, 0, und 0, in Bild G).

Die eine Schwierigkeit - das Auftreten von Spitzen - haben wir beseitigt. Es konnen aber noch storende 8 b e r s c h n e i d u n g en an 0 aufscheinen. Wir haben vorhin festgestellt, dab sic11 a, wahrend des Abrollens entsprechender Bogen um den Winkel o (2) dreht; das @bt im Gesamtverlauf der umgekehrten Bewegung

mf n" - 92' m'' (8) 7 2\:.')&. t . . . . . . ta0=-- t ( _ _ - ~ n'

m'n' m'n' 2 n n "

ein Vielfaches des vollen Winkels. Entscheidend ist die g a n z e Zal i l

m' 12'' - 12' ypj,''

19). . . . . . . . . . . . . . 8= t

1st ndrnl ich I g I = I , so is t 0 k o n v e x und demnach prakt isch ausfiihrbar. Die Be- dingungen fur die Zwanglaufigkeit (§ V) sind gesondert zu priifen. 1st die Seitenzahl m'/t von 11 g e r a d e , dann ist 0 ein G l e i c h d i c k .

I s t h h g e g e n I g I > I, so is1 0 n i c h t k o n v e x zcnd es finden sicher Uberschneidtwyen statt. Eine praktische Azcsfiihracng des Elementenpaares is t d a n n m e i s t , a b e r n i c h t .imm e r , awgeschlossen. Als Gegenbeispiel diene Bild 5, die Ausbildung des Falles m = 5 , n = 3; hier ist g = 2, und das Elementenpaar lafit eine durchwegs zwanglaufige Bewegung nach Art eines Hohlzahnraderpaares zu.

5 VII. Es seien noch zwei Bemerkungen gestattet, die sich zwanglos a n unsere AUY- fuhrungen anschlieken lassen. Verwenden wir statt unserer aus Kardanbogen gestiickelten Polbahnen zwei K r e i s e p iind y mit den Halbmessern m und n , von denen der eine den anderen umschliebt, SO kbnnen wir unsere Uberlegungen auf doppelte Weise wiederholen. m und n seien positive, g a n z e , r e l a t i v p r i m e Zahlen.

1. Wir wahlen auf y einen beliebigen P u n k t A , und bestimmen seine Bahn beim Rollen von y in p . Es ergibt sich eine maspitzige H y p o x y k l o i d e 17, die nicht nur von A , allein beschrieben wir'd, sondern gleichzeitig von n Punkten A,, A , , . . , A , auf Q, die ein regelmahiges n-Eck bilden.

Bei der umgekelirten Bewegiing geht 11 stets durch diese n Puiikte und besitzt uberdivs eine gewisse Hiillkurve. Ein Bestandteil dieser Hiillkurve ist eine Z y k 1 o i d e 0 mit den Spitzen A , , A , , . . , A , (ff und 0 konnen mittels eines Hilfspolkreises vom Halhmesser m - n hergestellt werden).

Ist m 2 3 und m - - = I , so erhalten rvir ein z w a n g l a z c f i g e s , h o h e r e s E l e - m e n t e n p a a r Il, 0, das aus zwei Hypoaykloiden besteht, v o n denen die kleinere wit ihren n Spitzen standig auf der groperen gleitet, sie iiberdies a n einer lveiteren Stelle b e r i i h r e ~ d ~ j .

2. Wir denken uns eine beliebige G e r a d e a, mit p fest verbunden (Zentralabstand z) und bestimmen ihre Hiillkurve 0 beim Rollen von p in bzw. um 4. Es ergibt sich eine P a r a l l e l k u r v e jener n- oder 2 n-spitzigen Z y k 1 o i d e , die als Hiillkurve des zu a, parallelen burchmessers entsteht. 0 wird nicht von-a, allein beschrieben, sondern gleichzeitig von m Seiten a,, a, , . . , am eines regelmakigen m-Eckes D.

Ist m 2 3 , m - n = f l u n d z 2 m f m T 2 ) , so erhalten ruir e in z r v n n g l a u f i g e s h o h e r e s E I e m e n t e n p a a r , das aus einem regelmapigen m-Eck n acnd einer k o n v e x e n

919 Par allelkmcrv e 0 einer Hypozgkloide bestehts). ~~ ~

7 ) Wir sind hier zu ,,adjustierbareri Zykloiden", einer besonderen Zykloidenverzahnung, gelangt. F. M o r 1 e y : ,On Adjustable Cykloidal and Troehoidal Curves". Amer. J . Math. Bd. 16 (1894).

8 ) Vertreter dieser Klasse von hoheren Elementenpaaren finden sich ofters in der niathcmatischen Literatur. ZU rti = R , n = 2 , z = 5 gehort die ,,Linse im Dreieck", zu m = 4 , r ( = 4 , z=15 das ,,ahgeriiridele Quadrat im Dreiech"; beide bei E. Me I f iner: ,,Uber die Anwendung von Fowier-Reihen auf einige Aiilgabeii der Geoinetrie und Kinernatik", Viertcljschr. d. NaturP. Ges. in Zurich, Jg. 54 (1909).