&bath. Nachr. 84.185-194 (lD78)

uber Multiplikatoren starker Konvergenz fur Fomma-Entwieklungen in BmAcH-Raumen

Von H. J. MERTENS und R. J. NESSEL in Aachen

(Eingegangen am 26.4. 1976)

1. Einleitung

Es sei C2, der Raum der 2n-periodischen, auf der reellen Achae R stetigen Funktionen mit Norm 1lfIJczZ : = m&G. Rlf(s)l. Ordnet man in ublicher Weise jedem f € C,, die (trigonometrische) FOURIER-Reihe

n

--n

zu, so sei

Fur 8 S O sei der (erste) Stetigkeitsmodul von f €Can definiert durch

1st o(6) eine auf [O, m) definierte Funktion mit den Eigenschaften

~ < c u ( S ~ ) s ; o ( d ~ ) fur O < S , S ~ ~ , lim 0 ( 6 ) = 0 , 6-O+

(1.4)

so setzen wir

(1.5) Eine Folge A: = {Ai};= _ _ von komplexen Zahlen heiBt dann ein Multiplikator starker Konvergenz (fur (C2,)w bez. CzX), und wir schreiben A€M[(C2,),, (CzZhl, falls zu jedem f c (C2,Ja eine Funktion fa€ (C2,),, esistiert, so daB fur die FOTJRIER- Koeffizienten die Relation (By (j) =i l f ( j ) gilt, mit anderen Worten: Fur jedes

f~ (C2n)w konvergieren die Partialsummen (j) e i j z (der 1.-Transformierten

von f ) gleichmiil3ig fur n - 03. (siehe [15]), die den Auegangspunkt dieser Srbeit bildet :

(Q,,),:={fEC*,; 4; @ = O ( w ( W , S-+O+) *

n

j= -n

Fur &we K l m e von Multiplikatoren gilt die folgende Charakterisierung

(1.6) Sei il quasikonvex (d. h. i lc6v2, a g l . (2.5)). Damn g i l t :

il<LW[(C&$ ( C z , ) o ] 4 & 4 l / n ) log n = o ( l ) .

186 Mertens/Nee~sel, uber Multiplikatoren starker Konvergenz

Dieses Ergebnis entspringt einer nun schon klassisch zu nennenden Problem- stellung und hat (nebst den Beweismethoden) eine lange Vorgeschichte, die insbesondere mit Arbeiten von ALJANCIC, BOJANIC, DEVORE, GOES, HARSI- L A ~ S E , KARAMATA, KATAYAMA, TELJAKOWSKII, TOME verkniipft ist (siehe auch [3; 4, p. 259; 6 ; 151 und die dort angegebene Literatur, vgl. auch [7] fur gewisse punktweise Aussagen). Abgesehen von ABELscher partieller Summation und einer JACKSON-Ungleichung fur die Partialfiummen (vgl. (2.8)) beruhen die Beweifie fiir die Hinliinglichkeit von (1.6) bzw. ahnlicher Aussagen im wesentlichen auf der (CESARO-) (C, 1)-Summierharkeit des (eindimensionalen) trigonometrischen Systems. Will man nun iiber entsprechende Aussagen z. B. im melirdimensionalen Fall verfugen. etwa fur die radialen trigoriometrischen Yartialsnmrnen (3. l ) , so inuB inan berucksichtigen, daIJ dann eine (C, x)-Beschranktheit (hzw. eine RIESZ- Beschranktheit entsprechender Ordnung) nur ah einem gewissen Index x vor- liegt, der von der Dimensionszahl (und vom Raum) abhangt (vgl. 0 3.1). Ent- sprechendes gilt fur alle anderen klassischen Ort!iogonalentwickliangen.

Das Ziel dieser Note ist es deshalh, eine Diskussion der vorliegenden Frsge- stellung fiir beliebige Orthogonalsysteine zu beginnen. Dazu werden wir fur Null- folgon in $ 2 ein erstes hinreichendes Kriterium fiir Multiplikatoren xtt~rlter Iconvergenz untcr der Voraussetzung herleiten, daB das System (C, il)-beschriinkt fur ein gewisses (ganzzahliges) x =-0 ist und die entsprechenden Partialsummen eine JAcKsoN-Ungleichung erfullen. Als Anwendungen werden wir dann in 3 3 mehrdiniensionalo trigonometrische FOURIER-Reihen und Entwicklungen nach JAGOBI-Pol ynomen un tersuchen.

Die Autoren mochten die Gelegenheit henutzen, den Herrn Professoren DEVORE, Oakland, und MEYER-KONIG, Stuttgart, fiir hilfreiche Diskussionen und Helm G. WILMES fur eine kritische Durchsicht des Nanuskripts recht herz- lich zu danken. Weiterhin gilt der Dank des erstgenannten Autors der Deutschen Porschungsgemeinschaft fur die Unterstutzung, die ihm irn Rahrnen des For- schungsvorhabens DFG Bu 166123 zuteil geworden ist.

2. Ein hinreicheiides Briterium fur Qrthogonalentwicklungen in BANACH-R&llllen

Sei X ein beliebiger BANACH-Raum und [XI die BANACH-dgebra aller be- schrankten linea,ren Operatoren von X in sich. Weiterhin bedeute Z, P bzw. N die Menge aller ganzen, aller nichtnegativen gaiizen bzw. aller naturlichen Zahlen. Es sei { P i ) i c p c [XI ein vorgegebenes System von Projektoren, die paarweise orthogonal und total sind, d. 11. (i): PiPn=di,P,, wobei 6 , das KRONECKER- Symbol ist, (ii): &us Pjf=O fur a l l e j ~ P folgt, f=o. Datin kann jedem /EX’ die Ii’ouRIER-Ent,wickhng

bkrtens/Sebsel. rber Bfult iplikatoren starker Konvergenz 187

ir; eincindeutiger Reise zugeordnet werden. Wir setzen

X(,: ={!EX; lim I l . ~ f - ~ l l . ~ = O ) . (2.2) )z --

n wohei s,, : = 2 ?, del* .rL-te Yartia:summeiioi)er.ator von (2.1 ) ist. Fur kf P wien

die (C, E)-Mittel yon (2.1 ) gegeberi durch , =I1

Eiiw wichtige Annahme im spiiteren Satz w i d soin, daB fur ein gewisses, festes k c P die Operatofen (C. k ) , c [ X ] gleichnibflig in n beschrankt sind. d. 11.: Es existiere eine Konstaiite Ck, so daB (2.4) gIeichmiifiig fiir alle fcX, a e P gilt.

Sei 8 die Jlenge aller Folgen 3L:=(A,},Ep von Skalaren, P'cs die Jlenge aller hesellrankten Folgen irnd c o c I" die Menge nller Nullfolgen (d. 11. : lini 2, = 0).

Dann ist

IliC. k)>! f ; ' s SCk Ilf"-y

3 -0

wobei ALi: =i-ij41, gk": = A(gk) hedeutet. Fiir zwei Teilmengen A , B c X bezeichnet M [ A . B] die Menge aller Mult,ip!ikatoren vom Typ fA , B] , d. h.:

X [ A , B ] : = ( i . ~ s ; zu jedem f e A existiert f ' ~ B , so da13 P,fj-=i,P,f fur

Fiir. einei: linearen Vnterrauin I 'cX init Halbnorm I i r wird das K-Funktional fiir f cX, f > O durch

(2.6)

definiert, das in T'erallgemeinerung des 8tetigkeitsmoduls (vgl. (1 3) . (3.3)) a19 JInB fur strukturelle Eigenschaften des Elements f dient. Fur elementare Eigen- schaften des ~-Punldionals siehe [ l? p. l67ff.l. 13%- setzen (vgl. (1.4), (1.5))

Sei y c c O monot,on fallend. U'ir sagen, daB die Partia1surnmenope~~t;toren is,) eine J~c~so~-Ung1e ichung (bez. f', (c) erfiillea, falls

fur alle gC Y folgt. Danii gilt

Satz 1. Dm Syslent { P j ) genilge der Bedingung (2.4) fur ein kfP, wobei die zu- gehdrigen Prrrtiabirmme.tz die JACKSON- Cngkeichung (2.8) erfallett Pollen. Sei I,~c,rlbv,+,. Daiin folgf ( 7 % ~

12.9)

alle j c P gilt) .

K ( S . l': f , f ) : = inf (I!f-giis+t lglJ-) BEY

(2.7) S",:={fEx; K ( X , P; f , t )=O(m(t) ) , t - @ + ) *

(2.8) /Ismg-gjjs 2 2y,, l j ~ ~ l l I s ~ (g1-y

k - l

ma'x [ ' I S ~ J ~ ~ ~ , 049,)lC A: \ A ~ I . ~ + ~ I =o( l ) 0 sm 5n j =o

far n-, amp I . C N [ X ~ , x,] ist.

188 Mertens/Nessel, uber Multiplikatoren starker Konvergenz

Beweis. Da das System {PJ die Bedingung (2.4) erfullt, folgt aus 1 c c 0 f l nb'Uk+l, da13 AEX[X, X ] c M [ X , , X ] ist; insbesondere gilt fur jedes f c X die Darstellung (siehe [2], [lo])

j=O j = O

Es bleibt also AEN[X,, X,] zu zeigen. Dazu benutzen wir eine in [I21 angegebene Form einer k-fachen ABELschen partiellen Summation :

Somit folgt aus (2.10)

so da13 man fur S3 die Abschiitzung

erhalt. Insgesamt ergibt sich also mit (2.11) k - l

OSmS'n j=O (2.13) II%f-Pllx~ max ll%f-fllx c 4 I A ~ L i l + 4 1 ~ Ilfllx -

Mertens/Xessel, tiher Multiplikatoren starker Konvergenz 189

Nun liefert die JACKSON-Ungleichung (2.8) fur fCx, gC Y lI~nf-fllx41~m ( f - ~ ) / ! x $ . / ! ~ ~ - ~ l l ~ + I l f - g l i x

( I I ~ I [ x ~ + 1) ‘;f-gllx + 2 ~ m IIsrnlllx] 1gIr s 2 Il~mllfx] (llf-Qllx+99n 19114

Da gC Y beliebig war, folgt hieraus (vgl. (2.6))

Somit ergibt sich aus (2.13), dafj fur f EX, l l % d - h - ~ 2 H ~ m l l [ x ] w , y: f , Fm) *

II~J’--fdiix~2 max c ~ i ~ , i ~ ~ . ~ ~ w(yrn)I 2 -4 IA ’L+~ I +o( l ) IIfIIx k - l

j =o 0 e n a s s

gilt, was auf Grund der Voraussetzung (2.9) die Behauptung liefert.

zumindest (2.14)

ist, so gehort jedes ZCconbe,+, zur Klasse M[X,, X,] (vgl. (2.11)). 1st anderer- seits die linke Seite yon (2.14) unbeschriinkt, so ist zumeist A IIsnll[sl s(cp,) mit einer gewissen Konstanten A eine Majorante, so daB in diesem Falle

Bemerkung 1.Ist die durch w gemessene Struktureigenschaft von f so gut, daB

(n -+a) lnax liSmll[xl w(p?,A =O( 1) Osrnsn

hinreichend fur ACM[X,. X,] ist. Wie man im Zusammenhang mit der Ah- schatzung von S3 unmittelhar sieht, gilt dies auch immer fur solche Orthogonal- entwicklungen, fiir die (2.4) fur k= 1 erfullt ist (wie z. B. fiir HERMITE-Funktionen in LY(R), 1 ~p S - ) .

Bemerkung 2. Es sei C,[O, m) der Raum der auf [0, -) stetigen Funktionen g mit lim g( t ) = O . Des weiteren seien AC,,,,(O, -) hzw. BV,,,(O, -) die Mengen der

Funktionen, die lokd auf (0, -), d. h. auf jedem kompakten Teilintervall von (0, -), absolut stetig bzw. von beschrankter Variation sind. Der Raum BVk+l sei dam fur k = O als Menge aller Funktionen, die auf [ O , -1 von beschriinkter Va- riation sind, und fur kC N als

t --

gECo[o, -); g, . . . , g(k-i)EAC,,,(o, -j, ~(*)EBV, , , (O , - ) ,

f l

erklart. Existiert nun fur eine Folge iZEs eine Funktion LC BVIS+, mit Ai=L(j), 80 folgt ilEbw,+, (vgl. [2]). Weiterhin gilt wieder B V k + L ~ BVj+l fur alle osjzk, so da13 uber (2.11) insbesondere (vgl. [16, p. 27))

190 Mertens/Nessel, Uber Multiplikatoren starker Konvorgenz

folgt. In diesem Fall kann also die etwas uniibersicktlicli wirkende Eedingung (2.9) nlittels der in den Anwendungen leicht zu handlidmiden Abschiitzung (2.16) diskutiert werden.

Bemerkung 3. Es sei daran erinnert, daB insbesondere JACKSO~-ungleiC~iUilgen vom Typ (2.8) im vorliegenderi, abstrakten Rahmen iiber die Multiplikatoren- klasseii hv,,, bzw. SV, sehr eingehend mit vielen Anwendungen diskutiert werden konnen (vgl. [ 161).

Bemerknng 4. Das Ergebnis von Satz 1 (hzw. ( 1 A)) knnn im Zusammenhang mit dem folgenden Satz von SCHUR aus der Theorie der divergenten Reihen ge- sehen werden (vgl. 11’7, p. 1051 und &e dort angegebene Eiteratur):

gcnuu d m n j e d e Reihe 2 a)

(von Skalaren) rnit besdriinkten ( C , x j -Jf i f te ln in cine (C . ~)-sumrn ierbwe Reihc

C 1.,ai iiber, f d s ?.EEF,,, mit A , = ~ ( j ‘ - ~ ) , j + m , gilt.

- Ist 0 50: z x , so fuhrt die Fuktorfolge A =

j - 0

m

J = o Unrjere Situation wurde cr = 0 und (vektorwertigem) crj = P,f cntfiprechen.

ZunBcIist einmal urnfatit Satz 1 irn wesentlichen (vgl. (2.15) fiir k=1) die liinreickende Richtung in (1.6), falls man X = C1, und

pj/(x): = f - ( j ) eiiz+f^( -j) e- i jz ( j m setzt ( ~ 7 ~ 1 . ( i .1)) . Bekanntlich verhiilt sich I \ S ~ \ \ ~ ~ ~ , ~ wie log n, und es gilt die JAcKsos-Ungleichung

also (2.8) rnit pN=n-1 und Y=Ci , , dem Raum der ste-tig differenzierbaren Funktionen. In diesem Ball verhiilt sich K(C,,, Cl,; f , t ) wie to(/ ; t ) (vgl. (1.3), (3.3)).

3.1. Mehrdinieiisionale trigonornetrisebe Poonr~,~-Reiheri

Es sei R-” der N-dimensionale EuKLIuische Raum und Fv die Menge aller ganzzahligen Gitterpunkte des R-’. Bezeichnet, Q N : = {ZCR‘; --TG sx .<n, I 1 sjs GN] den N-dirnensionalen Torus, so sei L:n, 1 z p s ~ , der Raum der in jeder VarialAen 2n-periodkchen Funktionen f , die fur 1 s p -= zur p-ten Potenz integrierbar iiber QN bzw. fur p = 00 stetig auf kV sind:

?riertons/Xessel, ffber Multiplikatorrn starker Honvergenz 191

Fur f E L:z und j E P, m C 2' seien Projektoren Pj definiert durch

1 P,f(.c). = 2 f A ( w b ) e'n'z, ~ ( m ) : = - if(.) e-im' ciu

W d Z = , (22)s , Q-v

(mit der trivialen Interpretation von Pj , falls zu einem jCP kein nzz~Z" mit. 1~ ,?=j existiert). Die zugehorigen Partialsummen (I$. (2.2)) sind a h jetzt die radialen Partialsummen

s,f(r) : -= c f^(nl) eimx: = f * D,(.r) Im ? c r h

(3.1)

mit DrEiCHLErr-Kern D,t(x) : = e"'". Daun gilt (vpl. [8 : 131) ;m 261

\I'eiterhin ist Fekannt (x-gl. [16, p. 791 mid die dort angegebene Literatur), daB die Bedinyung (2.4) fur k > ( N - 1 ) ii/p-1/21, 1 %p-- - . erfiillt ist.

Nit heR-', r ; N sei (vgl. (1.3))

der r-te raciiale Stetigkcitsmodul von f E LT7 und

(3.2) Lip ( p , r , ~ ) . - ( f ~ L ~ ~ : c ~ , , ( f ; t ) = U ( t ' ) , t - . . O + ) .

I>:iiin exiqtieren Knnstanten C:, Cy, so dal3 (vgi. [ I 1). SSS])

(3.3)

gilt. mobei I-: = 117: der SoEoLEv-ltaum (mit disiributioiientheoretischerl par- t d l w Al?leitungen Dm)

c; * K(&, 1 y ; f , f)so,,(f; t'")zc;m K(LTX,. Vf:;f, t )

192 Mertens/Nessel, vber Multiplikatoren starker Konvergenz

Existiert Bemerkung (2.16)), falls

eine Funktion LEBVk+,, 80 daB Lj=L( j ) fur alle j€P gilt (vgl. 2), so ist Bedingung (3.4) insbesondere dann erfullt (vgl. (2.11),

3.2. Entwicklungen naeh Jacom-Polynomen

Der Einfachheit halber wollen wir uns hier auf Parameterwerte ct s/?z - 112, a=- - 112 beschranken. Es sei jetzt Lp, 1 a p i-, der Raum der Funktionen, die fur 1 s p < - hez. des Gewichts w(6) : = (sin 6/2)'"+' (COB 6/2)28+1 zur p-ten Potenz LEBESGUE-integrierbar iiber (0, n) bzw. fur p = 03 stetig auf [0, n] sind:

(die Abhiingigkeit von a, wird im Folgenden in die entsprechenden Bezeich- nungen nicht aufgenommen). Sei R&) : = Tj(x)/Tj(l) das (modifizierte) JACOBI-

Polynom der Ordnung (a , /?) vom Grade j , wobei TJl) = (j f a) und Tj(x) uber

gegeben ist. Die Polynome Ri(cos 6) bilden auf [O, n] ein orthogonales System bez. des Gewichts w(6), und es gilt

Es folgt dann, daB die Projektionen n

Pi/(@): = h f ( j ) R i ( C 0 S @), f ^ ( j ) : = j- f(@) Rj(COS 6) w(6) a79 0

paarweise orthogonal und total auf Lp sind. Nach Arbeiten von R. ASKEY, ST. WAINOER und G . GASPER (siehe z. R.

[5 , Chap. 1111) kann man nun auf L" einen (verallgemeinerten) Translations- operator T,, 0 2 9 sn, durch

(T,f)* ( j ) : = q c o s 9) f%) (j€P)

IlTflIg ~ l l f l l p , lim llTJ-& = 0 *

erklaren. Fur f c L P gilt dmn

, - O f

Xerteos/l2’essel, rber M~~ltiplikatoren starker Konvergenz 193

Die Faltung f * g zrveier Funktionen f , g e L p ist nun uber

f * d@): = j%,f) (6) dP) N Y ) @

erklrirt und hat die Eigenschaften

“f * gllp ?Ilf!i, M i t 3 (f * g)^ Cj) = f ( j ) q 7 j ) .

>lit DIRXCHLET-K~~ n,(@ : = 2: hjRj(eos 8) ist dam

(3.5)

Es folgt (siehe [14], vgl. auch [9])

n

1 =o n

(sf) (8) : = 2’ h,f^(j) R~(COR 6) = ( f * U,,) (8) . j =U

I!<9Bli[L”1 s~p~lll~ =o(n”+i’?) (n -0) . Weiterhin ist Bedingung (2.4) fur k=- (a+1 /2 ) jl-2/p[, 1 s p s - . erfiillt (siehe 1141, vgl. Ltuch [16, p. 581 und die dort angegebene Literatur).

Fur f c L” k m n nun ein (verallgemeinerter) Stctigkeitsrnodul

OJ, ( f : (T) := SUP !:T,f-fjl, 0 5 q I 0

und eine entsprechende LIPscHITz-Klasse iiber

Lip ( p , y):=(fEL”; w,,(f; (T)=O(oY), o 4 f )

Q: = (w(8))-1 (d/dt9) [w(@) (did@)]

eingefuhrt werden. Sei der Operator J2 durch

definiert. Fur ihn gilt fiir jedesjEP

QRj(~os6)= - j (j+a+B+i) R j ( c 0 ~ 6 ) .

Set.zen wir also

D ( 1 2 ) : = { g c I , ~ ; existiert GEL”, so daS fur allejcP:

-jc.i+.+p+l)q^(j)=c;-(j,) 3

so ist l2 auf D ( Q ) c /? ein abgeschlossener Operator, wobei Og=G ist. hIit 1’: = =n(Q) und iglu(u,: =\!Qy, esistieren nun Konstanten Ci, C?, sc) da13 gilt (siehe 1111)

CI * K(L1’. ! I @ ) : 1, f ) “-wp(f; t ” 2 ) sc, * K ( P , D(,rz); f , t ) . L)es weitere11 folgt, daiS fiir yc u(a) die Par~ialSUIlllnen (3.5) die JACKSON-Un-

gleirhung (vgl. [11 ; f ( j 1) I&! - gj’p f Cn -

erfiillen. Somit crhalten wir

Korollar2. Es sei fcT,ip(p,y), wobei 1 2 p i - , O < y ~ 2 (und a ~ B s - i / ~ , ~ = - - 1 / 2 ) Rei. I.ut dnnn iEc,Tlbv,+, f u r ein k > ( a + 1 / 2 ) Il--Z/p; unrl; gilt far ein 13 Nlath. Saclii. h i . 84

194 Mertens/Nessel, tfber Multiplikatoren starker Konvergenz

O-=yS;Cr+l/2

(3-6)

80 fok? A€”Lip ( p , y ) , (L901.

k-1

p i ~ & & + , ~ = 0 ( 1 Z y - ~ - ” 2 1 @--a) 9

j = o

Zum Nachweis von (3.6) sei wieder auf Bemerkung 2 verwiesen.

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Lelwstuhl A fiiv Mathematit Bheinisch- Westfalische Technische Hochschule Aachen D - 51 Aachen Teviplergruben 55