Z. angew. Math. 3lech. Rd. 25/27 Nr. 2 Ma1 1047 60

berechnet wcrtlcn. Fintlct richen der Diffusion aucll nocli cin Warnit iibcrgang statt, so kann die Losung fur tlas I<onzc,nl ral ionsfeld mit gutcr Nalicrung auch nuf das Temperaturfcld angewandt wcrdcn. Ehvnso 1aUt sicli aus dcr Liisung fur das I(onzentrationsfe1d- aucli a d den Warmciibcrgang schl iehn , u-cnn an tfrr Platte Luft ausgc*l)lasen odcr abgesaugt wird mit (2uergeschwiIitligkcitcn an der Wand entsprechc r i d Gl. (16).

VI. Zusamnicnfassiing. In Anlehnung an die 1-iisung \’on 1:;. P n h I Ii a u s c n fi ir das l‘cin- pcraturfeld an dcr cbenen Platte wurden I.’ormcln angegthcn, wt’lclie es gestatlen, mit Hilfe. cincr Integralgleichung untl cincs auf diescr fullenden Iteratioiisverfalircns Geschwindigktits- und Temperaturfeld fu r veranrlerlirhc Stoffwerte zu bcrechncn. Es wurdcn damit folgende Falle gelost : Unter tlcr Annahmc, (la13 sich Icdiglirh die Zahigkcit mit tlcr Tcmperatur andert und die iibrigen StoTfwcrtc konstant bleiben, wurden fur d ie Pr-Zahl 12,5 und 100 (z ihe Fliissig- keiten) I)ei belicizlcr bzw. gekiihlter Plat tc Geschwindigkcils- und Tcmperaturfvld berechnet. Fur ein Gas der Yr-%ah1 0,7 (1,uft) wurdcn die Reclinungcn unter drr hnnahnic durchgefiihrt, daU sich siimllirhc Stoffwcrle niit der ‘l‘vrnperatur antlerri untl die (;c~scliwindigktitcn co klcin sind, da13 von tlcr Heibungs\varrnc ahgesehen werdtn kann. Es ergab sich eine Vcrdickung der Grenzschichtcn, jctloch ohne wesrntliche Anderung in dcr Schubspannung und Wiirniciiber- gangszahl. Es hahen namlich (lie Einfliissc von Dichte und Zahigkcit bzw. Dichte und Warme- leitfahigkeit hci Gcsrhwindigkeits- und ‘l’emperaturfcltl cntgrgcngesd z l e Wirkung und heben sich nahezu auf. I‘ornirln, \\clrhe auch die durch Ik ibung rrzeuglt \Viirmcmenge hcriicksich- ligcn, wurden angtgeben, alwr von ckr Ilurchfiihrung tlcr tlazugehorigcn liechnungcn in I-Iin- blick auf die bereits vorlicgcn‘dcn Ergebnisse der Arbcit von C r o c c o abgeschen. I)ie hier ent- wickelten IAijsungsrncLhotien wurtlcn schlicl3lich aurh auf den 1:all tlcr 1)iffusion von Btimengun- gen angcwandt, NO bci st arkercn Konzcntrationen cntllirhc (2uergcsch~indigkei t~n an der Wand auftreten.

[l] L. I’r a n d t 1: Ulwr ~IiissiRkcitshe~veaiin~ hci selir kleincr Hcihung. Vcrhanctl. d! 1.11. Intern. Math. Kongr. Hcidclherg 1904, S. 484.

[2] ,H. B 1 a s i u s : (:renzschichtcn in FliiRaigkeiten niit lileiner Iteibung. Z. Jlath. Phys. 153. 56 (1908), S. 1. L3] E. P o h 1 h i i 11 s c n: 1)er \Viirnieiiust~ausch zwischrii festen Korpmn urid Flussigkeiten init klririer Reibung

und kleiner \l’iirndeitung. Z. angew. Mat,h. Mech. l3d. 1 (1$121), S. 115. 141 N. A. V. 1’ i c r c y and J. H. 1’ r c s t o 11: A Siinple Solution of thc Flat l’htc l’roblunl of Skin Friction

and Hwt Transfrr. Phil. Mar. (7 ) . 21 (1936). S. 9!)S.

Kleine Mit tdungen - . ..~..

VII. Schrifttum.

< . \ \ ,, [5]

[6]

r,. C r o c: (: o: Sullo strato liinitc lnmina.re nri gas lungo una pnretc piana. Itcnd. Circ. Mathrm. Paleriiio Bd. L S l l I (1940/41). Th. v. I( ii r in k n and H. S. T s i ( 2 11: I3oundary Lnycr in Cornprcssihle Fluids. Journ. of Acron. Sciences 5 (1938). No. 6. S. 2227. I I,

T i ] [ 8 ]

W. S 11 s s r I t : \Vlmieiihcrgang, Diffusion und Vcrtlunstung. Z. angew. Math. Brrch. 10 (1930), S. 105. E. 1.; c I< c r t und 0. 1) r e w i t z: Iler \Vii.rnieubergaiig an cine niit grol3er Oeschwindigkcit Iiings ange- striinitr F’httr. Forsell. Ing.-M’rs. Bd. 11 (1910), S. 116.

Eingegangeu: lugust 1 Y i 4 .

KLEINE MITTEILUNGEN tlber Stabilitat von Regelungen rnit Nachlauf- zeit. In1 folgenden sol1 als lkitrag zur Stabilitiitsfrapo hei Reglerprobleineii der EinfluB rincr Xachlaufzrit,, d. h. einer (grundsitzlich stcts rorhnndcnen, oft jedoch veniachliissigbar kleinen) &its aune T , die zwisclieii tlcr Stcurrung unct dcrlvirkung Jcr zugefiihrten Enegie vcrstreicht, niit elernentaren Methoden untersucht x-erden .

1 . A u f s t c l l u n g d e r G l e i c h u n g t l c s 1’ r o I) I r m s.

K s sci zur Fisicrung tier \’orstellung der Einfach- lieit halbcr a n ein sc.hwirigungsfahiges System von einem Freiheitsgraci mit geschwindigkeitsproportio- nalcr Dbmpfung gedaclit (Bild 1) nuf wclches eine Kraft P nirkt, die voni Ausschlage 2 dcs Systeins ab-

%- l l i l d 1.

hangt, die also durch deli Ausschldg L gesteuert wirtl, wobei aber - und das intrressiert uns jetzt haupt- siichlich - zwischen der Stcucrung und T\-irkung dor Jiraft cine konstantc Verziigerungszeit 7: licgt, d. h. die zur Zrit t auf das Systcni wirliende Ihaf t 1’(~) hangt von tleni Ausuclilag X ( t - 7 ) ab, den das System zur Zrit t--s Iinttc; dahei bezeichncn tiefgestellte ein- geklaninierte Zeiger t , t--t die Zeitaugenbliclic. %‘ir niachcn die nahcliegende Annahme einer linearen Skuerung (niit, p , q als Konstanten)

P(t ) = p + qr(t-7). Hat day System dic Massc m., Federkonstante c und Dlmpfungskonst~ante 2 x , 60 lautet die Uewcgungs- gleirliung drr 3lasse

?11.2((1) + ‘ ) X i ( t ) + C r ( t ) = - ’ p + q Z ( t - r ) * * ( I ) , bvoliei Punktc Ableitungen nach der Zeit bedeuten. Jlit, den Abkurzungen’)

. ’) Hirrbci ist c+q ;iirgviioinJiwii. Audi i l l 1 Ausiiahmcfull c = Q

kann innn (1) diircli einvii Aiisiitx z - f ( t ) = y in (2) iiberfiihren, iiidcm man ( t ) = a . t (Iiaw. - a (1’ odcr = a 1’ in den weiteren .4usnahmi~fiilicn 2 I; == - c 7 wid c = 2) setzt. Im Fallc c - ti blelbt selbst w m i i i l k iir hr. 2 zu besprertienden LBaungen ?#fur t kschiankt bleilien;.rnicht br.scbriin kt und dasBystexn ist iiistabil.

Z. augew, Math. Yoch. Kleine Mitteilungen 61 .__ ~. Bd. 25127 Nr. 2 Xai 1917

nimmt die GI. (I) die Clest.alt an:

y(t) + 2 k $ ( t ) + w2 ~ ( t ) -a ~ ( t - 7 ) = 0 * * (2).

Uicse im folgcnden niiher zu untersuchende Glcichung ist eine ,,FunktionalJifferentialgl~ichung"~); infolge des zu einein friiheren Zeitaugenblick zu nehmciiden Oliedes a y(t-7) ist sie keine gexiihnliche Differen- tialgleichung mehr und hat cine wescntlich griiBcrc Mannigfaltigkeit von Losungen als nur eine zweipara- inetrige Schar, wie sie einc gewiihlirhu Differential-. gleichung 2. Ordnung aufweist. Man kann den Ver- lauf, r o n y ( t ) in eincm Interval1 der Lknge T als be- liebige stet,ige, am Endpunkt differenzierbare Funk- t.ion vorgeben und dann y ( t ) f i i r allc weiteren Zeiten als Msung von (2) forsetzeu.

2. 1) i e c h a r alr t e r i s t i s c h e G l e i c 11 u ng. Bei einer gewohnlichen Diffcrentialgleiehung niit

konstantcn Koeffizienten niaeht man fur die Losunp y ( t ) einen e-Ansabz

und crhiilt fur I. eine algebraische Gleichung. Dcr gleichc Ansatz e g i b t jcdoch bei der Funktionaldiffe- rentialgleichung wegen

z e l l . . . . . . . . . . (3)

- T = d(f--s) -.= (a ic -a-s

fur 1. die trarlszendente Gleicung 1 2 + 2 k , ? + w 9 - a e - - l + = O . 4 * * (4).

Bild 2.

Diem Gleichung hat 0, 1, 2 oder 3 reelle Wurzeln je nach den Rerten von k, w2, a, T und im allgemeinen uncndlich viele lromplexe Wurc.cln. Yiir den Spezial-

fall T = 1, w = - gibt Bild 2 zur Xrliiutcrung in eincr

k-a-Ebene die Bereiche mit 0, 1, 2, 3 reellen Wurzeln, und zwar ist zugleicb in jedem Bereicli angegeben, ob die \l'urzcln positiv oder negativ sind, z. B. bedcutet % zwei negative und cine positive Wurzcl.

Besitzt bei fest gewahltcn Werten ron I:, 02, a, t die GI. (4) einc positive M'urzel oder ein kompkxes Wur- zelpattr mit positivem Kealteil und damit unbegrenxt anwachuende Yttrtikularlosungen, so ist das zugehorigc mechanische System instabil. Zur Untersurhung der JVurzeln der , ,charakteristisches GI." (4) konnen wir zunachst z = 1 setzeu. Das hedeutet keine Beschriin- kung der Allgemeinhcit, sondern lediglich Festlcgung des Gitmal3staEes; die Verzogerungsxeit w i d als %it-

*) Eine iilinliche Glcichung (mit Vcrzijgerungsglied s/ ( t - T) . in der Ableitung:) nvrde von 1'. R e i n h a r d t . Der Parallelbetrieb

72

4

vou Syuchroigeneratoren mit Krrrftmaschinenreglern korlstanter Verzijgeruugszelt, Wiss. Verijff. Sfernens-Werk, M. 18 (1939) S. 24 bfs 44. aufrrestellt. rrber mit andown Hethoden behaldolt. l m Urgensatz zuaiescr Arbeit braucheu h&r sur Brrichnung der benijtigten Kurvrq kriiie~~~urzc.hi von transzendenten Glcichungen hrechnet zu werden.

cinheit gwviihlt. Fur einen festen Wart von w hilngen dann die Wurzeln 1 nur noch yon den Werten k, a ab und konnen in ciner k-a-Ebene dargestellt werden. Insbesondere kann man in ciner solchen Ebene die- jenigen, in Bild4 fiir die Werte

schraffic*rtcn Bereiche aufsuchen, fur deren xugehiirigr k-a-W'erte die eharakteristische (4leichung nur \Vur- zeln 2. mit negativem KealteiI besitzt.

Diese lfereirhc werden von den lkreichen, i n denen l$'urzeln i. mit positiwni Kealteil existieren, getrcnnt durch dics Grenzkurven, fur deeren k-a-\Verte l\ urzeln L rnit den1 Realteil 0 vorhandtzn sirid. Fiir 1. = 0 erhiilt inan die Gerade u = 0 1 2 (Bi!d 3). Fiir 1 := it, wird die Grenzkurve Eei Aufspaltung r o n (4) in Ht.aI- und Imnaginiirteil durch

- v? -!- UJ2 - 0. ( '0s v == 0, 1 . . . . . ( ' r ) ) J 2 kv + u sinv = 0

ksc.hrieben oder durch, - y2

0 = -. V 2 - w2

Y cou I, ?k=- +'g 11,

L a B t man hier v von - cn bis + a, (oder der Sym- metric w g e n von 0 bis + cc) laufen, so beschreibt die zugehorigc k-a-Kurvc eine uncndliche Anxahl von

hyperbcliihnlichen~sten, vosdenen Bild 3 fiir w = -- 4 dic erstcu beitlen darstellt, und von denen die weiteren

?L

Bild 3.

Aste die q-Achse iinmer weiter auBen schneiden; diem weiteren Aste sind bier ohm Interesse; denn man stellt leicht fest, daB yon den -Gebieten, in die die Grenz- kurve die k-a-Ebcne zcrlegt, nur das in Bild 3 schraf- fiert.c Uebiet frei ist von Wurzeln xnit Fositivem Heal- teil. Diews Gcbiet wird von dem crsten Ast der Grenekurrc und von der Geraden a. = w2 begrcnzt. Man fiillt diesc Xntscheidung durch Hetrarhtung der Spezialfiille u 2- 0 und k = 0s).

Besonders betont sei, da13 da.s schraffierte Getrict mit nur \l'urzrln von negativem Healtcil aueh einen Zipfel unterhalb dcr a-Achse , also fur negatives k @ei Anfachung) besitzt. I'mgekehrt stcllt n i m fest, daB nur cin ziendieh kleiner sektoriihnlicher Tcil der oberen Halbebcne k > 0 zunI schrafficrten I3erc.ic.h gehort.

') Il'iir u i.7 0 hat man deu bpkanuten Full ohnc Varriigariing~- zeit; hier bedrutet positives k Dinipfung und Stabilitiit uiid nega- tives X- Anfnchung und Instabilitiit. Fiir k = 0 un? a > 0 zeigt. eine einfache graphische Durst.t,lIung von A' + w* u11d a e-l. ale Bunkt.ionen vou 2.. dnO fur a > w' viiw positive rec.lle Wurzrl sxistirrt und daniit Instabilitit hestc.lit. Fiir k = 0 und (I < 0 1st zwdr kcine ri'elic\yurzei vorhand:~n;nbcr dieQeradenl.=. coust.

2 - -1- -) und dringen in jedes der Iiy~~erbeliilinlrclien Qebietc der Orenzkurve I i l u ~ ~ i u .

h !ttr k-a-Ebene werden fur l.-+ 1 - w beliebigflach

2. nngew. Xath. Meoh Bd. 26/27 Kr. 2 Ma1 1947

Es kann also cintrctcn, dafl gcdiimpfte Systcnie n'ritcr sri jetzt la\ < to2 < k2. Diese Cngleicliungen (k> 0) bei &rucksicht.igung der Sachlaufzeit in- beschreiben die in Uild 4 engschraffierten ins G'nend- stabil werden. , liche gclicndcn Halbstreifcn. Jctzt, ist r > 0. Es sei

Man kann innerhnlb der sc.liraffiertrn Gebiete Teil- die Zeit 1, > t , 7- t und Jf eine obcre Schranke f i i r gebicte aiifsuahen, in tleiien alle \\7urzeln 1, einen Real- den .Betrag ~ o n y ( t ) in1 hitcrvnll -t st sta - 7 , teil kleiner als - JL habvn, wobti p einc rorgegebcne also dort, 1 y ( 1 ) 1 SX. J)ann 1;ann 111n11 in (9) ab- Xahl ist. Uie Grcnzlturrc wird dsnn mit tlrni Ansatz schktern: 3. = - / i 4- i 1 1 durch die C~lrichungrn

Kleine Mittcilungen -

62

I' - - f( tg r

1

J 1, 0

(L.-r) (I-.-) - p . - ( k - ! - r ) (1-s); (1 .S

1 ?-(&++)I p - ( k - - r ) t 2 r k - ) , k 2 - 1 " ! , : : r A: - - r (riL

- - - + R , 1

wobei t,cr

2 V ( / l - k ) r - p [L =z -- sin 1'

beschrie be n . -. -. - 3. 1) i r c 1; t e r S t a b i 1 i t ii t s n a c' 11 w e i s.

Fur Tcilgabirtr dcr in Eild 1 schrafficrtcn Brreiche IkBt sieh rin direktrr St,abilit~tsnnc~lin-r.is erbringen, (,--(t?i 7 ) t p - ( k - r ) t

Losung dcr GI. (4) bcschrankt blcibt fiir 1 + m. IXCSC. Teilgcbiete Rind in I3i1d 4 cng scI1raffiri.t.

indem man zeigt, daB unter gcwissrn Hedingungen jedc <. ist., sofclm niir / gc~n<i~ci i~l q o l i , ct1r.a / > 1, ist. Es svi

Bild 4.

Die Methode der Variation der Kenstanten ergibt4) zunachst die allgcnieine Losung drr inhon~ogrncxi l)ifferentialgleieh~ii~g

in der Gestalt ; , ' , k I + W 2 ; : f ( f ) . . . . . . ( 7 )

+ C , p - ( P 7 ) t -I c, p - ( k - r ) 1

w o h i r = 1/ P -- UJ' <cs:tzt i q t , 1, cin bc.Iirbiger Zeit- uugenblick und cl, y2 Intrgrotionshonstaiit~ii bedeuten. \Yir setzcn weiterhin f, -, 0. Nit S ( t ) =-= Q y(t-7) er- halt man fur y ( f ) tlir Init ( 2 ) glcirhuertige ,,Funk- tionalintegralglciel~iin~"

J _-

mit. h ( 1 ) - . = c , e - ( k + l ) t 1- c , a - - ( L - ~ ) t ,

S u n denken a i r uns den Verlauf r o n y ( t ) in1 Inter- V a l 1 --- T st 5 0 vorgcgeben. I)ntlurcli ist. vine Punk- tion y ( 1 ) fiir alle t fest,gclegt. \Vir zcigen, daU unter gewissen Zusatzvornussetzunpen y ( t ) Ix~scliranlit blribt. Es sei k > u, dann haben tlic Zahlen - (k -1- r ) untl

- - ( k .- r ) ncgatir.c ftealteile, undder &~st.andteil /L ( t ) lclingt init ~v;ichsentlc~n t ab. EY gibt h i gegcbcnem E > 0 rine Zeit t,, so daB

j h ( t ) j < E ist f u r t > t, .

\Vir brtrachten nur noch &ten t > 1,. . . . . . -

') VgI. z . 13. E. K s ni k c : I ~ i i f c r c n t i s l p l c i c h ~ i ~ l ~ ~ ~ n rct~IIrr Funktionen, Ixipzig 1930, S. 243. &n iibcrzeugt sieli imi schucll- stcu von der Bicht lgkcit dcr Lijsung @), illdcm malt sie ilk ( i ) ein- B C t Z t .

t , die g r b h r e der bridcn Zahlen t,, 1, rind t* eine be- liebiyc %ah1 drs Intervallcs

d a m folgt t , - - 7 s/* <t4;

Hieraus sielit man w g c n jal < w2 Ixwits die &- schrknktlicit von ?I ( t ) . lm ririeelnen kanii inan dies zcigrn, intleni niaii Rich zunic,list t' so klcin grwilhlt denlit, tlall tlir Znlil

/I21 ! / / . ! . F ; = 1 .~.. - c, ,L 2 ,'

positir. aiisfiillt. \\'c.itc.r sei S die g r & p dcr bcidcn Zahlcn

a1a.x l y ( t ) ; und $. - ? <15f,--+ 5 -

l)ir%alil N ist also eine obew Sc*hranlie fiir \z/I auch in1 Interval1 t , - z st 5;tn und genau so owdi in jcdcm tlcr folgentlen Intervalle

\vtnxus die J~eachriinkheit yon y ( I ) fiir alle t folgt. 1 ni Falle 0 2 k 5 OJ ist r rein iniugiiiiir, und inun kann

init dcrselben alct81iotle init Hilfe der Absehitzung

t , st r ; t , -J-t, ts+ z 5 t I t , 4- 4 t, . . .,

t J 1 e - ( k - r j (I-s) - ~ - ( L + T ) ( t - s ) Icls 0

= . ~ J ~ - ~ ( 1 - ~ ) 1 s i n ~ ~ ( t - - ~ ~ ) Ids

< 2 J e - k ( 1 - s ) d s 2 - - -1- H mit I R I < E

t

0 t 2

0 h

Sachrichtcn 63 7.. angew. Math. ?.lech. €Id. 25/'27 Nr. 2 Mai 1047 -~ .. -

-~ tlic Ikschriinkheit yon y ( 1 ) fur I u j < k 1/ d - k' hwsiscn. A w h die sich so ergcbenden hreiche i n dor k-u-Ehenc sind in Bild 4 cng schrafficrt.

\Vir fnssen die Krgebnisse ziisamnicn: In den nicht- schraffiertcn Gt:bicten in Bild 4 hsteht Instabilitlt. insbesolidore aucli fur die groI3en 'l'cilbereiche dcr oberpri I-Ialtwbene I; > 0, die ohnc Saehlaufzeit stabil wiirt.11. I n den cngschraffierten Uchieten bestcht, Bta- bilitiit . 111 den ~~~,it.sc.hraffiertcln (kbietcri ist tlic St.abi- l i t l t tlurch die vorstehendcn Uberlegungen noch nicht gcsichctrt, sondern nur ~vahrschcinlich; dort klinpcn alle elt-lijsungen nb.

I )ie htra.chtungen lassen sich ohne Schwicrigkcit auf komplizicrtere Yystcmc mit mehreren Freiheits- pr:idon iikrtragen; man erhiilt dann Punktionaldiffc- reiitialgleichu~iyen entsprechend hoherer Ordnung.

Hannovcr. 1,. C o l l a t z .

Herleitung der Losunpen linearer homogener Differentialgleichungen mit konstanten Koeffi- zienten im Falle mehrfacher Wurzeln der charakteristischen Gleichung mittels der Ope- ratotenrechnung.

I>cr liomogenc lincare Differentialausdruck n-tcr Ordnune

in welchem die ai Konstanten, 1 die unabhangigc Vari- able und y eine Funktion TOR t bedeuten, lii5t sich be- kanntlieh als l'rodukt von n linearen Differentialope- ratoren 1. Ordnung schreiben:

Hierbei l~edcuten die s i die 7~ Wwzeln der charakteristi- sohen Ulcichung 211 2- ( 1 u 2'1 - 1 + ($ :c1l -- 2 + . . . + u f l - l x + a n = O (3). Die lleihenfolge d.er \Vurzeln z, in (2) is t willkiirlich, dic F'alrtoroperatorcn

sind also niiteiiiander v c r t a u s II 11 b a r. Aus ( 2 ) folgt, dall fur das Erfulltsein der niffereiitialgleichung:

* ( 5 ) L(")y L, L* L3 . . . . Ln y :: 0 . . . . . . clurch cine Funktion y ( t ) h r c i t s hinreichcnd ist, dalJ die S c h 1 u D o p c r a t i o 11 Xu11 ergibt, dall also:

(C, eine Integationskonstante) Da wegen der Vertauschbarkcit j e d e r Paktoropcra- tor Li in (2) an 1 e t z t e r Stelle raugiererl kann, so ist jeder Ausdruclr

z i t yi = C'i-e , . i = 1, 2, 3 . . . .n . . . . (7)

cine partikuliire Liisung voii (4).

Sind ron den Wurzeln xi versehietlene einander g 1 c i c h , so gibt (7) noch nicht das vol ls thdigr Sy- stem der partiliularcn Liisungen an. Fiir eine m-fachc Wurzel xi, ist abcr dnnn bekanntlieh

(8) init, b e 1 i e b i g e n Koeffizirnten Ci Wsung der IXffe- rcntialglcichung. Aueh diesc Liisungen, die durch die Schreibucise ( 5 ) nielit ohne w5tcrrs in Kvidenz gesetzt. wcrden, lassen sich inittels der O ~ ~ e r a t ~ r c n r c ~ c h ~ i ~ ~ ~ i ~ rascli herleiten. E:s ist nimlieh:

U i ' f yi'- - (/&-I .tm-' + c-2. P--2 + * * - + c,) e

(f eine belicbigc differcnzierbare Funktion VOII I ) . Damit komnit:

Lie@ nun eine m-fache Wurzel von (3) vor, so kbnnen wir, da cs auf die Reihcnfolge der zi in (!I) nicht an- kommt,

" , L - - n + 1 - ~ n - , n + 2 = . . . . = ~ n (11) annehinen. Damit erhulten wir unter Zusammenfassung

der letzten ?it Differentialoperationen zu -- wegen

p( . . * r / i -m, 2-zvt-m r I)L= e ( ~ t t - n a + 3 - . r n - m 1 p ) t

d m d t m

. . . - 1 : -

Die 1)ifferentialgleichung L(") y = 0 wird aber bereits erliillt, wenn die Schlunopcration Xu11 liefcrt:

dna dx ( e - 'n t - y ) = 0 . . , . . (13),

d. h. wenn e-'nt * y ein Polynom (mi-I)-ten Grades in t mit beliebigen Koeffizientcn oder wenn

m-1 m - 2 y =: (Cm- I t + C m - 2 t . . + C,) * eZnt mit beliebigem Cist.

Damit is t auch der Fall der Mchrfachwurzeln init. Hilfe der Operatorenrechnung nach dem gleichcn Prin- zip behandelt wie der der einfacheii Wurzeln. Dresden, ini Juli 1945. W. 13 u c h h e i m.

NACHRICHTEN Mathematikertagung in Karlsruhe.

Pragen der angewandtcn Vathematik gewidmete Ta- gurig dcutscher *Mathcmatikcr in Karlsruhe statt. Be- reits dort anwcsende Herren trafen sich am Mittwoch zu cinezn BcgriiBungsabend. Die Tagung war von etwa 80 Teilnehmern bcsucht. Sic begaim. nach kurzen 13cgruI3ungsansi)rachen cines Hcrrn der Landesvcrwal- tung und ties Herrn Oberburgermeisters der Stadt lhrlsruhe a u Donnerstag friih mit folgonden Vor- tragen a m dem Qebiete der angewandten Nathematik:

C o 1 1 a t z (Hannover), Eigenwertaufgaben bci cincr Voin 10. bis 12. April fnntl cine, insbesondere den Xlasse von linearcn 1ntegro-l)iffere~ltiaIgIei-

E: ni d o (Pretzfeld), Divergenz und Rotor in nieht-

W i t t 1 c h (GBttingen), lionforme Abbildung einfach

U11 r i c h (GieOen), u b e r die Abbildung cines Kreis-

Mei x n e r (Aaohen),,Neuere Ergebnisee iiber Sphiiroid-

uhungen.

flachennormalen Vektorfeldern.

zusamnicnhLngendcr Gebiete.

bogenpolygons.

funktionen.