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4. fiber Stromverdrcltrzgzmg i m xylhdrischem Leiterm vow aZEgerne4ner Querschnittsform;

VON F. Noether

Die Stromverdrangurig in zylindrischen, von Wechselstrom durchflossenen Leitern ist in 2 Fallen ein so einfaches Problem, da8 es ringst in allen einschlagigen Lehrbiichern behandelt ist. Namlich im axialsymmetrischen Fall, wenn der Quer- schnitt ein Kreis ist, oder i m eindimensimalen Fall eines bandformigen Leiters, dessen Breite sehr groB ist gegen seine Dicke. Dagegen ist die Behandlung ungleich schwieriger, wenn ein Querschnitt von allgemeiner Gestalt vorliegt.

Den Weg, auf dem dsnn die Aufgabe zu formulieren und zulijsen is$ habe ich in dem eben im Erscheinen begriffenen Bd. 13 des Handbuchs der Physik (S . 96f.) dargestellt, und mijchte ihn hier noch einmal angeben, weil sich eine kurzlich an dieser Stelle erschienene Arbeitl) mit dem Fall des all- gemeinen rechteckformigen Querschnitts beschaftigt, deren Ansatz ich aber nioht fiir richtig ansehe.

Die Leiterachse falle in die z-Richtung und der Quer- schnitt sei ein beliebiges Flachenstuck f in der x-y-Ebene. Die Stromdichte (bzw. elektrische E'eldstarke) ist dann 8, (bzw. Q, und in der Querschnittsebene liegen die magnetischen Feld- komponenten Qs, 8,. Ferner sei a die Leitfiihigkeit, p die Permeabilitat des Materials, w die Kreisfrequenz des Wechsel- stroms, nnd zur Abkiirzung sei a2= 4 a w A . p gesetzt. Der Zeitfaktor wird fiir alle GrSBen mit e i W t angesetzt (i = I=).

Die Maxwellschen Gleichungen lauten nun:

1 as. -- impg?=, - -- = 1 as, 1 a Y d. h. - - - jl a s i w P F 1 y '

Aus (1) und (2) folgt fur 8, (wir lassen den Index z weiterhin weg): 1) M. J. 0. Strutt, Stromverdriingung in rechteckigen Leitern;

Ann. d. Phys. 83. S. 979. 1927.

7 76 Ii; Noether

(3)

Diese Gleichung gilt im Innengebiet des Leiterquerschnitts. Da aber keine weiteren Raridbedingungen fiir die Stromver- teilung vorliegen, auBer der Vorgabe des Gesamtstroms J , so ist hieraus S naturlich noch nicht eindeutig bestimmt. Das magnetische Feld muB daher hinzugenornmen und so bestimmt werden, daB es iiberall, auch an der Begrenzung des Quer- schnitts, den Stetigkeitsbedingungen entsprechend verlauft und im Unendlichen so zu 0 abnimmt, wie es dem AmpBreschen Gesetz entspricht (d. h. mit (s2 + yg)-'/~). Wegen der uberall

kann im Innen- und AuBengebiet gesetzt werden : acp

P & = K' 4) PQ8, =- ay' a c p .

woraus durch Vergleich mit (2) hervorgeht, daB die ,,FluB- funktion yi' im Innern des Querschnitts bis auf eine additive Konstante mit iS/i w h: ubereinstimmt. Wir setzen also hier:

1 $c? = -7 (47ZpS- C) 15) so!

(6) d m 2 d y

und erhalten damit fur das Iunere des Querschnitts aus (3): __ a z T + q. =- 4 m p S = iu2y + c,

fur das ganze AuBengebiet dagegen, wo kein Strom vorhanden ist ( A = 0): (7)

Endlich ist p im AuBengebiet nls 1 a,nzunehmen und am a 1 89, Rande -Y!- und - -- stetig. Wegen der Vorgabe des Ge- a s P d m

samtstromes ist ferner fur eine beliebige, um den ganzen Querschnitt herurn geschlossene Linie:

Die vollstiindige Durchfuhrung der Aufgabe wurde die Angabe einsr speziellen Form des Querschnitts voraussetzen und wird immer recht miihsam sein. Prinzipiell kommen in Betracht: Bei kleinem a eine Potenzentwicklung nach a (Neu- mannsche Entwicklung); bei groBem a eine asymptotische

Ober StromverdrZingung in zylindrischen Jeitern usw. 7 7 1

Niiherung; ferner auch allgemein eine Entwicklung nach zu- gehorigen Eigenfunktionen.

Die asymptotische Niaherung erhiilt man durch folgende Uberlegung: J e grij6er der Parameter a, desto mehr wird die Striimung an die Oberflache des Leiters gedrangt, das Innere also nach (2) auch vom magnetischen Feld frei. Der Stetig- keit wegen mu8 dann auch auBen langs der Leiteroberflache die Normalkomponente des magnetischen Feldes verschwinden, wahrend die Tangentialkornponente wegen der Stromschicht langs der Oberflache nach dem Ampkreschen Gesetz unstetig werden kann. Nach (2) fofgt daher, daB die Stromdichte lings der OberKiiche selbst konstant wird, da die Oberflilche eine magnetische Kraftlinie wird, die mit den Kurven konstanter Stromdichte ubereinstimmen. (Aber die ,,Dicke" der Strom- schicht wird nicht konstant.) Man kann also im Falle groBer a2 die Stromverteilung aus der Gl. (3), mit der Randbedingung S = const. langs der Oberflache und vorgegebenem Gesamt- strom, ermitteln, ohne das Feld im AuSengebiet zu beruck- sichtigen. F u r diese Aufgabe existieren bekannte LSsungs- methoden, wie jra auch die eingangs erwahnten einfachen Falle so behandelt werden.

Die Potenzentwicklung bei kleinem a (oder auch die all- gemeine Eigenfunktionsentwicklung) erhalt man am ubersicht- lichsten durch die Formulierung der Aufgabe als einer Inte- gralgleichung. Diese lafit sich prinzipiell immer aufstellen ; wir begniigen uns jedoch der Kiirze halber mit dem Falle, daD p B 1 sei auch im lnnern des Leiters, also kein eiserner Leiter vorliegt. Dann ist auch am Rande cp und a y / a n stetig und nach (61, (7) liiBt sich y als ein uber die Punkte C, 17 des Querschnitts f erstrecktes Integral darstellen:

(Im Falle des eisernen Leiters miiBte an Stelle des Logarith- mus ein komplizierterer [aber gleichfalls symmetrischer] ,,Kern" treten, der die Ubergangsbedingungen am Rande befriedigen mute.) Also ergibt sich fur die Stromverteilung S selbst mittels (5) die im Querschnitt f giiltige Integralgleichung:

AnndeD der Physik. IV. Folge. 84. 50

178 i? Noether. #her Stromverdrangung in zylindr. Leitern usw.

Die Konstante h auf der rechten Seite (= C l i a 2 p ) macht die Aufgabe zu einer inhomogenen und ist so zu bestimmen, dab der Gesamtstrom im Querschnitt = J wird.

Bus allgemeinen Satzen geht hervor, daB diese Integral- gleichung fur jeden physikalisch moglichen, d. h. positiven Wert aZ lijsbar ist. Denn dies gilt fiir jede symmetrische Integralgleichung, wenn der Faktor vor dem Integral nicht reel1 ist. Insbesondere ergibt sich fur u2 = 0 (Gleichstrom) die gleichformige Verteilung S = k = J/if. Indem man diesen Wert unter dem Integral fur 8(& 1) einsetzt, bekommt man fur kleine a2 eine zweite Naherung und so fortfahrend die Losung in Form einer Potenzreihe (N eumannsche Reihe) nach a2, die fur hinreichend kleine a2 konvergent ist.

Den beim Kreisquerschnitt ublichen Potenzentwicklungen der B e s s el schen Funktionen wurde hier die LSsung der Integral- gleichung mittels Fredholmscher Reihen entsprechen, die im Prinzip immer anwendbar ist.

In der oben zitierten Arbeit von S t r u t t ist nicht das auBere Magnetfeld zur Berechnung herangezogen, sondern statt dessen eine Randbedingung: S = const. langs der Querschnitts- berandung eingefuhrt. Wie man sieht, ist dies von unserem Standpunkt nur als asymptotische Naherung berechtigt. Denn im allgemeinen bekommt man zwar aus dieser Bedingung eine bestimmte Stromverteilung; wenn man aber dann nach GI. (9) und (4), d. h. mittels des B io t - Savartschen Gesetzes, hieraus das Xagnetfeld berechnet, so geniigt dieses nicht direkt der G1. (2) (dem Faradayschen Gesetz). Um vielmehr ubereinstimmung zu erzwingen, miiBte man a m h au6erhalb des gegebenen Leiters noch eine bestimmte felderzeugende Stromdichte annehmen, also die G1. (7) fallen lassen. Eine solche Formulierung er- scheint aber der naturlichen Fragestellung nicht angemessen.l)

Bres l au , September 1927.

I) Nachtriiglich wurde ich auf die Arbeit von H. Schwenkhagen: Stromverdriingung in rechteckigen Querschnitten; Archiv f. Elektro- technik 17. S. 537. 1927 aufmerksam. Die Arbeit enthiilt keine exakte Formuliernng des Ansatzes, fiihrt aber in der Hauptsache ein Naherungs- verfahren durch, das etwa darauf hinauuakommt, unsereIntegralgleichung(l0) durch eine Summengleichung zu ersetzen, sowie ausfuhrliche Vergleiehs- mesuaungeu.

(Eingegangen 30. September 1927)