Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 1 Flusstal Aufgabenschwerpunkt: ganzrationale Funktionen Stichworte: Extrempunkte; Geradengleichung; Flchenbestimmung; Extremwertbestimmung; Tangente Das Schaubild K der Funktion f mit 3 21 3f (x) x x ; x8 4= + 0beschreibt zwischen dem Hochpunkt H von K und dem Punkt P(2 | f(2)) modellhaft das Profil eines Flusstales. Das Profil des angrenzenden Gelndes verluft von H aus horizontal, von P aus in Richtung der Geraden durch P und den Punkt Q(3 | f(3)). a)Bestimmen Sie den Hoch- und den Tiefpunkt von K sowie eine Gleichung der Geraden PQ. Zeichnen Sie das Profil des Tales mit dem angrenzenden Gelnde in ein Koordi-natensystem ein. Bei Hochwasser steigt das Wasser bis zum Punkt P. Berechnen Sie den Inhalt der Querschnittsflche des dann mit Wasser gefllten Tales. b)Von H soll eine unterirdische, gerade Leitung ausgehen und im Punkt B(u | f(u)) mit0 < u < 4 ins Tal mnden. Bestimmen Sie B so, dass die Leitung mglichst steil verluft. c)Bei Trockenheit ist der Wasserspiegel bis zum Punkt R(1 | f(1)) abgesunken. Ab welcher Hhe ber H ist dieser Punkt zu sehen? 1Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 1 Flusstal Lsungshinweise a)Tipps: Hinreichende Bedingung fr Hochpunkt 0 0H(x f (x )): |0 0f '(x ) 0; f ''(x ) 0. = 0 schlieen eine Flche mit dem Inhalt A(u) ein. Bestimmen Sie A(u). Untersuchen Sie, ob A(u) fr u einen Grenzwert besitzt. b)An einem Tag betrgt morgens um 6 Uhr die Lufttemperatur 5 Grad. Fr den Tagesverlauf bis in die spten Abendstunden hinein lsst sich die momentane nderungsrate der Tempe-ratur erfahrungsgem angeben durch 1 3d(t ) t .6 2= +(t in Stunden seit 6 Uhr; d(t) in Grad pro Stunde). Wie hoch wird demnach die Temperatur um 14 Uhr sein? Welche Maximaltemperatur wird an diesem Tag erwartet? Wie hoch ist der Mittelwert der an diesem Tag zwischen 8 Uhr und 16 Uhr erwarteten Temperaturen? 10Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 3 Lufttemperatur Lsungshinweise a)Waagrechte Tangenten: Nullsetzen der 1. Ableitung fhrt auf eine quadratische Gleichung. Beachten Sie, dass unter einer Wurzel kein negativer Term stehen darf. Flche: Tipp:Flche zwischen zwei Kurven: baA (f (x) g(x)) dx = b)Temperaturwerte: Beachten Sie, dass die Temperaturfunktion die Stammfunktion D der nderungsrate d ist, fr die D(0) = 5 gilt. Mittelwert: Tipp: Mittelwert der Funktionswerte einer Funktion f auf [a; b]: ba1m f (x) dxb a= 11Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 3 Lufttemperatur Lsung a)Fr jedes t 0 ist eine Funktion ft gegeben durch2tx x tf (x) ; x \ .4(x 1)+ += {1}+0Ableitung der Funktion ft: 22't2 2(2x 1)(x 1) (x x t) 11 x 2x 1 tf (x) .4 (x 1) 4(x 1)+ + + + + + = =+ + Punkte auf der Kurve Kt mit waagrechter Tangente: ' 2t 1, 2f (x) 0; x 2x 1 t 0; x 1 1 1 t 1 t . = + + = = + = Fr t < 0 gibt es keine Punkte, fr t > 0 genau zwei Punkte auf Kt mit waagrechter Tangente. Flcheninhalt: Der Inhalt der Flche, die von den beiden Kurven K4 und K 4 sowie den Geradenx = u und x = 2u (u > 0) begrenzt wird, ist [ ]2u4 4u2u2 2u2uu2uuu 0!(f (x) f (x))dxx x 4 x x 4dx4(x 1) 4(x 1)2dxx 12 ln | x 1|2 ln(2u 1) 2 ln(u 1).>= + + + = + + =+= += + +A(u)2u +1= 2 lnu +1 Grenzwert: ( )( )u u1u1uu1u1uu2u 1lim 2 lnu 1u 2lim 2 lnu 12lim 2 ln = .1+ = + + = + + = + lim A(u)2 ln2 12Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 3 Lufttemperatur b)Die momentane nderungsrate der Temperatur wird durch 1 3d(t) t6 2= +beschrieben (t in Stunden seit 6 Uhr; d(t) in Grad pro Stunde). Fr die Temperatur D(t) (in Grad) seit 6 Uhr gilt dann D'(t) = d(t), d. h. die Funktion D ist eine Stammfunktion der Funktion d: 21 3D(t) t t c.12 2= + +Wegen D(0) = 5 (Temperatur um 6 Uhr) gilt c = 5 und man erhlt: 21 3D(t) t t 5.12 2= + +Temperatur um 14 Uhr, d. h. fr t = 8: 1 3D(8) 64 8 5 11, 67.12 2= + + Die Temperatur, die um 14 Uhr zu erwarten ist, betrgt ungefhr 11,7 Grad. Maximaltemperatur:Mithilfe des GTR erhlt man das Maximum der quadratischen Funktion D fr t = 9 . Die Maximaltemperatur wird um 15 Uhr erreicht und betrgt ungefhr 11,8 Grad. Mittelwert der Temperaturen: Die Zeitspanne von 8 Uhr (t = 2) bis 16 Uhr (t = 10) betrgt 8 Stunden. Die mittlere Temperatur ist: 10GTR21D D(t) dt 10, 56.8= Der Mittelwert der zu erwartenden Temperaturen zwischen 8 Uhr und 16 Uhr ist ungefhr 10,6 Grad. 13Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 4 Khlturm Aufgabenschwerpunkt: gebrochenrationale Funktionen Stichworte: Bestimmung von Funktionsgleichungen; Winkelberechnung; Flchenberechnung; Spiegelung von Kurven; Tangente Ein drehsymmetrischer Khlturm ist 100 m hoch. Die Skizze zeigt einen vertikalen Schnitt lngs der Rotationsachse (Maangaben in 10 m). Im ersten Feld wird die krummlinige Begren-zung der Schnittflche im Innern des Turms beschrieben durch das Schaubild K einer Funktion f mit f4f (x) ; x D .bx c= K verluft durch den Punkt P(2 | 4) undendet in Q(4 | 0,8). a)Bestimmen Sie f(x). Welchen Innendurchmesser hat der Turm in 100 m Hhe? Im Punkt Q hat die innere Begrenzung einen Knick. Bestimmen Sie den zugehrigen Winkel. 4Teilergebnis: f (x)2x 3 = b)Die uere krummlinige Begrenzung der Schnittflche im ersten Feld wird durch die Funktion g mit6g(x) ; 1,8 x 5, 252x 3=

beschrieben. Berechnen Sie den Inhalt der Schnittflche der Khlturmwand (vgl. schattierte Flche in der Skizze). c)Geben Sie eine Gleichung der Kurve C an, die man durch Spiegelung von K an dery-Achse erhlt. An der Turminnenwand soll eine kreisfrmige Schiene horizontal angebracht werden. Auf dieser Schiene soll eine Kamera fahren, die auf ihrem Rundweg jeden Punkt des Turm-bodens erfassen kann. Die Schiene soll mglichst hoch angebracht werden. Bestimmen Sie diese Hhe. 14Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 4 Khlturm Lsungshinweise a)Funktionsgleichung: Punktprobe fr die Punkte P und Q fhrt auf ein LGS fr b und c. Winkel: Berechnen Sie den Steigungswinkel der Tangente im Punkt Q. berlegen Sie anhand einer Skizze, wie Sie damit den Knickwinkel bestimmen knnen. Tipp:Zusammenhang zwischen Steigungswinkel und Steigung m:m tan( ). = b)Flche: Zerlegen Sie die Flche in drei geeignete Teilflchen. c)Kurve C: Tipp: Wird das Schaubild einer Funktion f an der y-Achse gespiegelt, so wird die Bildkurve durch g(x) = f(x) beschrieben. Hhe der Kameraschiene: Die Kamera muss den uersten Rand des Bodens erfassen. Wegen der Drehsymmetrie des Turmes gengt es, einen Punkt auf dem Rand, z. B.T(4 0) |zu betrachten. 15Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 4 Khlturm Lsung a)Die innere Begrenzung der Schnittflche wird beschrieben durch eine Kurve K mit der Gleichung: f4f (x) ; x D .bx c= (Eine Einheit auf den Achsen entspricht jeweils 10 m!) Bestimmung von b und c: Da K durch die Punkte P(2 | 4) und Q(4 | 0,8) geht, ergibt sich: 4f (2) 4 4 4 8b 4c 16 8b b 22b c; ; ; ; .4f (4) 0,8 0,8 4 3, 2b 0,8c ( 5) 4 3, 2b 0,8c c 34b c= = = = == = = = = (Alternativ kann man das Gleichungssystem mit dem GTR lsen.) Die Funktion f ist gegeben durch:.4f(x) =2x 3 Innendurchmesser des Turmes: Fr den Innendurchmesser d des Turmes in 100 m Hhe muss gelten (man beachte: 10 m1 Einheit!): rd 10 2 x = mit (siehe Skizze) rrrrf (x ) 104102x 34 20x 30x 1, 7.=== = Der Innendurchmesser in 100 m Hhebetrgt somit d = 34 m. Anmerkung: Die innere Begrenzung K wird somit durch die Funktion f fr1, 7 x 4 beschrieben. Winkel in Q: Im Punkt Q fhrt die innere Wand senkrecht zum Boden, d. h. die Begrenzung hat dort einen Knick. Um den zugehrigen Winkel zu bestimmen, berechnet man zunchst den Steigungswinkel der Tangente im Punkt Q an K. Ableitung von f: 2 24 2 8f' (x) .(2x 3) (2x 3) = = 16Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 4 Khlturm Steigungswinkel :28tan f' (4) 0, 32;(2 4 3)162, 26 . = = = Damit folgt fr (siehe Abbildung): 360 90 107, 74 . = Der Knickwinkel ist ungefhr 108 gro. b)Die uere krummlinige Begrenzung der Schnittflche wird im ersten Feld durch die Funktion g mit 6g(x) ; 1,8 x 5, 252x 3= beschrieben.Es gilt: 6g(1,8) 10 f (1, 7);2 1,8 3= = = 6g(5, 25) 0,8 f (4).2 5, 25 3= = = Inhalt der Schnittflche: Betrachtet man zunchst die schattierte Flche im ersten Feld, so kann man sie aus drei Teilflchen zusammensetzen: Die erste Teilflche wird begrenzt durch die Gerade y = 10 und die Kurve K ber dem Intervall [1,7; 1,8]. Die zweite Teilflche liegt zwischen dem Schaubild von g und der Kurve K ber dem Intervall [1,8; 4]. Die dritte Teilflche ist die Flche unter dem Schaubild von g ber dem Intervall [4; 5,25]. 17Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 4 Khlturm Die schattierte Flche im 1. Feld hat daher den Inhalt: 1,8 5,25 41,7 1,8 41,8 5,25 41,8 4 1,71,8 5,25 41,7 1,8 4GTRA (10 f (x))dx (g(x) f (x))dx g(x)dx4 6 4 610 dx dx dx2x 3 2x 3 2x 3 2x 34 2 610 dx dx dx2x 3 2x 3 2x 33,526.= + + = + + = + + Bei dem gewhlten Mastab entspricht 1 Flcheneinheit 100 m2. Der Inhalt der gesamten Schnittflche betrgt daher 2 22 3, 526 100 m = 705, 2 m .2. Mglichkeit zur Berechnung von A:Man berechnet zunchst den Inhalt des Rechtecksmit der Breite (5,25 1,7) und der Lnge 10.Davon zieht man den Inhalt der Flche unterder Kurve K ber dem Intervall [1,7; 4] und denInhalt der Flche zwischen der Geraden y = 10und dem Schaubild von g ber dem Intervall[1,8; 5,25] ab. Man erhlt so: 5,25 41,7 1,85,25 41,7 1,8GTRA 10 (5, 25 1, 7) f (x)dx (10 g(x))dx4 635, 5 dx 10 dx2x 3 2x 33,526.= = c)Gleichung von C: Die Kurve K ist gegeben durch die Funktion f mit der Gleichung 4f (x) .2x 3= Bei der Spiegelung an der y-Achse geht K in die Kurve C ber. C ist das Schaubild einer Funktion h mit der Eigenschaft: 4f ( x) .2x 3= = = 4h(x)2x + 3 18Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 4 Khlturm Hhe der Kameraschiene: Die Kurve C beschreibt im 2. Feld die Begrenzung der Schnittflche im Innern des Turms. Da der Khlturm drehsymmetrisch ist, gengt es, den hchsten Punkt H auf der Kurve C zu bestimmen, von dem aus der Punkt T(4 | 0) gerade noch zu sehen ist. Der Sehstrahl von H nach T liegt dann auf der Tangente t an K, die durch T geht. In der Hhe von H muss dann die kreisfrmige Schiene angebracht werden. Gleichung einer Tangente im Punkt B(u | f(u)) auf K: 2t: y f' (u)(x u) f (u)84(x u) .(2u 3) 2u 3= += + Damit t durch den Punkt T(4 | 0) geht, muss gelten: 2840 (4 u)2u 3 (2u 3)0 8(4 u) 4(2u 3)0 44 16u11u 2, 75.4= + = + = += = (Alternativ kann man die Gleichung mit dem GTR lsen.) Die gesuchte Tangente durch T hat somit die Gleichung: t: y 1, 28x 5,12. = +H ist nun der Schnittpunkt von t mit C, dessen Abszisse negativ ist: 41, 28x 5,12.2x 3 = ++ Mithilfe des GTR erhlt man: H(1,77 | 7,39).Die Kamera muss in einer Hhe von 10 7, 39 m = 73, 9 mangebracht werden. 19Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 5 Industrieroboter Aufgabenschwerpunkt: gebrochenrationale Funktionen Stichworte: Herstellungskosten; Gewinn/Verlust; nherungsweise Bestimmung von Summen mithilfe der Integralrechnung; Grenzwerte; Extremwerte Eine Firma beabsichtigt einen neuen Industrieroboter auf den Markt zu bringen. Fr die Kalkulation der Herstellungskostengeht man von einer Funktion f mit a x 1000f (x) ; x 0x b += + aus. Dabei gibt f(n) die Herstellungskosten in 1 000 fr den n-ten Roboter (n 7) an, wobei die Roboter nacheinander produziert werden. a)Die Herstellungskosten fr den 10. Roboter betrugen 60 000 , fr den 15. Roboter52 000 . Bestimmen Sie a und b. Was kostet der 100. Roboter in der Herstellung? Begrnden Sie durch Rechnung, dass die Herstellungskosten im Laufe der Produktion stndig abnehmen. Skizzieren Sie den Verlauf des Schaubildes von f und interpretieren Sie es anwendungsbezogen. Bei welchem Roboter liegen die Herstellungskosten erstmals unter 35 000 ? Mit welchen Kosten pro Stck muss man nach diesem Modell langfristig rechnen?(Teillsung: a = 20, b = 10) b)Die Firma produziert 200 Roboter.Bestimmen Sie die durchschnittlichen Herstellungskosten pro Stck.Als Verkaufspreis fr einen Roboter lassen sich 45 000 erzielen. Welchen Gewinn wrde die Firma machen, wenn sie alle hergestellten Maschinen zu diesem Preis verkaufen kann? Wie viele der produzierten Maschinen mssen mindestens verkauft werden, damit bei diesem Verkaufspreis kein Verlust fr die Firma entsteht? Wie hoch wre der kleinstmgliche Verkaufspreis, wenn die Firma bei 200 verkauften Robotern einen Gewinn von mindestens 1 Million machen will? Um mglichst viele Kunden zu werben, wird der Verkaufspreis auf30 000 gesenkt.Ab welcher produzierten und verkauften Stckzahl kommt die Firma damit in die Gewinn-zone? c)Nach Fertigung des 49. Roboters steht eine neue Technologie mit neuen Materialien zur Verfgung. Die Herstellungskosten pro Maschine werden bei dem neuen Verfahren fr x 50 nherungsweise durch 18xg(x)x 30= beschrieben (g(n) Kosten fr den n-ten Roboter in 1 000 ).Ab welcher Stckzahl wrde die neue Technologie zu gnstigeren Herstellungskosten fhren?berprfen Sie, ob sich die Einfhrung der neuen Technologie lohnt, wenn die Firma davon ausgeht, dass sie nur 200 Roboter herstellen wird. 20Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 5 Industrieroboter Lsungshinweise a)Bestimmung von a und b: Aus f(10) = 60 und f(15) = 52 ergibt sich ein LGS fr a und b. Abnahme der Kosten: Untersuchen Sie f auf Monotonie. Interpretation des Schaubildes: Suchen Sie Grnde, welche die Abnahme der Kosten erklren knnten. Herstellungskosten unter 35 000 : Lsen Sie mit dem GTR die Gleichung f(x) = 35. Entwicklung der Kosten pro Roboter: Untersuchen Sie den Grenzwert von f fr x . b)Durchschnittliche Herstellungskosten Die Gesamtkosten fr 200 Roboter kann man entweder durch Aufsummieren der Einzelkosten oder durch die Nherung 2000f (x) dx erhalten. Eine bessere Nherung ist hier: 200,50,5f (x) dx. Beispiel zur Veranschaulichung:Das nebenstehende Schaubild stelle eine Kostenkurve dar. f(3) gibt die Kosten fr das Stck Nummer 3 an. Wegenf (3) 1 f (3) = knnen diese Kosten als Inhalt des Rechtecks mit der Breite 1 und der Hhe f(3) gedeutet werden. Die Gesamt-kosten fr das 3., 4. und 5. Stck entsprechen dann der Summe der drei Rechteckinhalte und knnen durch den Inhalt der Flche unter der Kurve ber [2; 5] angenhert werden. Eine bessere Nherung erhlt man hier, wenn man die Flche unter der Kurve ber [2,5; 5,5] heranzieht (s. Figur). Gewinn/Verlust: Geben Sie zunchst die Gesamteinnahmen fr die fragliche Stckzahl an. Ziehen Sie davon die Herstellungskosten ab. c)Neue Technologie: Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Schaubilder von f und g. Welche Bedeutung hat er? Vergleichen Sie die Herstellungskosten der Roboter mit den Nummern 50 bis 200 nach beiden Verfahren.21Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 5 Industrieroboter Lsung a)Fr die Kalkulation der Herstellungskosten pro Roboter geht man von einer Funktion f mitax 1000f (x)x b+=+ aus (f(x) in 1 000 ).Bestimmung von a und b: Ausf (10) 60 =folgt 10a 10006010 b+=+ und daraus10a 1000 600 60b. + = +Ausf (15) 52 =folgt 15a 10005215 b+=+ und daraus15a 1000 780 52b. + = +Zu lsen ist also das LGS: 10a 60b 400 a 6b 40 a 20; ;.15a 52b 220 38b 380 b 10 = = = = = = (Statt von Hand kann man die Lsungen des LGS auch mit dem GTR bestimmen! ) Der Funktionsterm von f hat daher die Form: 20x 1000f (x) .x 10+=+ Anmerkung: An sich werden die Herstellungskosten durch die Folge ( )20 n 1000n 10(f (n)) ++= beschrieben. Dies erlaubt auch alternative Lsungen bei den folgenden Aufgabenteilen (Monotonie, Gesamtkosten, ). Kosten fr den 100. Roboter: GTRf (100) 27, 27. Die Herstellungskosten fr den 100. Roboter betragen ungefhr 27 300 . Abnahme der Herstellungskosten: Es gilt fr alle x 0: 2 220 (x 10) (20x 1000) 1800f '(x) 0.(x 10) (x 10) + + = = 24Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 5 Industrieroboter c)Die Herstellungskosten werden nach dem neuen Verfahren durch die Funktion g mit 18xg(x)x 30= beschrieben. Vergleicht man die Schaubilder von f und g,so findet man an der Stelle x 79,3 einen Schnittpunkt der beiden Kurven. Fr x > 79,3gilt g(x) < f(x). Somit erhlt man: Ab dem 80. Roboter fhrt die neue Technologie zu gnstigeren Herstellungskosten. Die Einfhrung der neuen Technologie lohnt sich dann fr die Firma, wenn die gesamten Produktionskosten fr den 50. bis zum 200. Roboter geringer sind als nach dem alten Ver-fahren.Kosten (in 1 000 ) bei altem Verfahren: 200,549,5A f (x)dx 4 030,81. = Kosten (in 1 000 ) bei neuem Verfahren: 200,549,5N g(x)dx 3 888,89. = Wegen N < A rechnet sich die neue Technologie fr die Firma. 25Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 6 Mischungstemperatur Aufgabenschwerpunkt: gebrochenrationale Funktionen Stichworte: Bestimmung einer Funktionsgleichung; nderungsrate; Extremwerte;Verkettung von Funktionen a)Wird Wasser der Masse m1 und der Temperatur T1 mit wrmerem Wasser der Masse m2 und der Temperatur T2 gemischt, so gilt bei guter Isolierung fr die Mischungstemperatur T: 1 1 2 2m (T T ) m (T T) = Berechnen Sie die Mischungstemperatur, wenn 1 000 g Wasser von 20 C mit 300 g Wasser der Temperatur 70 C gemischt werden. In einem Isolierbehlter befinden sich 1 000 g Wasser der Temperatur 20 C. Dazu lsst man Wasser der Temperatur 70 C flieen, das mit dem vorhandenen Wasser vermischt wird. Der Behlter fasst maximal 4 000 g Wasser. b)Bestimmen Sie fr die Funktion T:Zugeflossene Wassermasse x (in g) der Temperatur 70 C Mischungstemperatur T(x) (inC) einen Funktionsterm. Skizzieren Sie das Schaubild von T. Welche Mischungstemperatur ergibt sich bei vollem Behlter? Bei welcher Masse x betrgt die nderungsrate der Temperatur im Behlter 0,02 C pro Gramm?Bestimmen Sie die grtmgliche nderungsrate. c)Die Zuflussrate des heien Wassers wird bis zur vollstndigen Auffllung des Behlters durchz(t) 60 t = beschrieben(t in Minuten seit Beginn des Mischungsvorganges, z(t) in Gramm pro Minute). Wann ist der Behlter vollstndig gefllt? Zu welchem Zeitpunkt ndert sich die Temperatur im Behlter am schnellsten? 26Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 6 Mischungstemperatur Lsungshinweise a)Setzen Sie die angegebenen Werte ein und lsen sie nach T auf. b)Funktionsterm: Lsen Sie die angegebene Gleichung aus Teilaufgabe a fr 2m x g =nach T auf. Temperatur des vollen Behlters: Beachten Sie, dass bereits 1000 g Wasser im Behlter sind. Grte nderungsrate: Untersuchen Sie T ' auf Monotonie. c)Vollstndig gefllter Behlter: Beachten Sie: Gibt x(t) die zum Zeitpunkt t zugeflossene Wassermenge an, so ist die Funk-tion x eine Stammfunktion von z. Schnellste nderung der Temperatur: Die FunktionT,die den zeitlichen Temperaturverlauf beschreibt, lsst sich als Ver-kettung zweier Funktionen darstellen. 27Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 6 Mischungstemperatur Lsung a)Fr die Mischungstemperatur T (in C) ergibt sich aus den Angaben der Aufgabe: 1000 (T 20) 300 (70 T)1000 T 20 000 21000 300 T1300 T 41000. = = =T 31, 5 b)Funktionsterm: Flieen x g Wasser der Temperatur 70 C in den Isolierbehlter, so giltjetzt fr die MischungstemperaturT in (in C): 1000 (T 20) x (70 T)1000 T 20 000 70 x x T(1000 x) T 70 x 20 00070 x 20 000T .x 1000 = = + = + +=+ Die Funktion 70 x + 20 000T: xx +1 000

beschreibt fr 0 x 3 000 die Mischungstemperatur im Behlter. Temperatur des vollen Behlters:Der Behlter ist voll, wenn 3 000 g heies Wasser hineingeflossen sind. Die Mischungstemperatur (in C) betrgt dann: T(3 000) = 57,5. nderungsrate:Die nderungsrate der Temperatur wird beschrie-ben durch die Ableitung: 2270 (x 1000) (70 x 20 000) 1T'(x)(x 1000)50 000.(x 1000) + + =+=+ Die Gleichung T '(x) = 0,02 kann man von Hand oder mit dem GTR lsenund erhlt die (positive) Lsung x 581. Die nderungsrate betrgt 0,02 C proGramm, wenn ungefhr 580 g heiesWasser in den Behlter geflossen sind. nderungsrate mit GTR: oder 28Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 6 Mischungstemperatur Grte nderungsrate: T ' ist fr x 0 streng monoton fallend, denn es gilt:3100 000T''(x) 0(x 1000)= d. h. an der Stelle x1 = 0 liegt ein Tiefpunkt vor. 2g''(2) 8 e 0,= 0 die Funktion fa durchxaxaef (x) ; x .a e= +0Monotonieuntersuchung: Es gilt fr allex : 0x x x x2 x'ax 2 x 2a e (a e ) ae ea ef (x) 0.(a e ) (a e ) + = = >+ + Somit ist fa streng monoton wachsend. Asymptoten: Waagrechte Asymptote ist die Gerade y = a fr x + , da xx xx xae alim lim a.a e ae 1+ += =+ + Waagrechte Asymptote ist die Gerade y = 0 fr x , da xxxaelim 0.a e =+ Wendepunkt: 2 x x 2 2 x x x 2 x x''ax 4 x 3a e (a e ) a e 2 (a e ) e a e (a e )f (x)(a e ) (a e ) + + = =+ + '' x xaf (x) 0; a e 0; e a; x lna = = = =lna 2alnaa e a a a af (lna) .a a 2a 2 a e = = = =+ + Der Wendepunkt ist aaW lna .2 Ortskurve C aller Wendepunkte: x xx lna1a a e ; y e ;y22== == d. h. C:.x1y = e ; x2 0b)Die von der Schimmelpilzkultur bedeckte Flche (in dm2) nach t Tagen wird durch tt2eh(t)a e=+ beschrieben. Bestimmung der Konstanten a: Nach 12 Tagen betrgt der Flcheninhalt 0,5 dm2. D. h. es muss gelten: 1212 1212122eh(12) 0, 5; 0,5; 2 e 0, 5a 0, 5 e ;a e1, 5 e 0, 5a; 488 264.= = = + + = = 12a 3 e 55Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 12 Schimmelpilzkultur Somit lautet das Wachstumsgesetz der Schimmelpilzkultur:tt2e.488 264 e=+h(t)Maximale Zuwachsrate: Zu bestimmen ist das Maximum der Ableitungs-funktion h'. Mit dem GTR erhlt man dieses fr t 13,1. Nach 13 Tagen wuchs die Kultur amschnellsten. Bestimmung des Zeitpunktes, zu dem der Flcheninhalt 0,7 dm2 betrug: Die Gleichungh(t) 0, 7 =lsst sich mit dem GTR lsen, indem man das Schaubild von h mit der Geraden y = 0,7 schneidet. Nach etwa 12,5 Tagen war die vom Schimmel-pilz bedeckten Flche 0,7 dm2 gro. MittelwertA (in dm2) fr die von der Kulturbedeckte Flche fr den Zeitraum von 12 bis 72 Tagen: 721272GTRtt121h(t) dt601 2edt .60 488 264 e.......= = +A1, 954 56Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 13 Keplersche Fassregel Aufgabenschwerpunkt: Exponentialfunktionen Stichworte: Monotonie; Verschiebung von Kurven; orthogonaler Schnitt; Keplersche Fassregel; Bewertung der Nherung Gegeben ist fr jedes t > 0 die Funktion ft durchx xt1f (x) e 2te ; x4t= 0Ihr Schaubild ist die Kurve Kt. a)Berechnen Sie den Schnittpunkt von Kt mit der x-Achse.Untersuchen Sie ft auf Monotonie.Skizzieren Sie die Kurven K1 und K3.Zeigen Sie, dass jede Kurve Kt mitt 1 aus der Kurve K1 durch Verschiebung inx-Richtung um 0x ln t =entsteht. b)Begrnden Sie, dass keine Kurve Kt die zweite Winkelhalbierende senkrecht schneiden kann. c)Die Kurve K1 schliet mit den Koordinatenachsen und der Geraden x = ln 2 eine Flche ein. Berechnen Sie einen Nherungswert fr ihren Inhalt mit der Keplerschen Fassregel.Bewerten Sie die Gte dieser Nherung. 57Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 13 Keplersche Fassregel Lsungshinweise a)Monotonie: Lsst sich mithilfe der Ableitung von ft untersuchen. Verschiebung: Tipp: Bei Verschiebung um x0 in x-Richtung geht das Schaubild von f in die Kurve mit der Gleichung 0g(x) f (x x ) = ber. b)Orthogonaler Schnitt mit der zweiten Winkelhalbierenden: Die zweite Winkelhalbierende hat die Gleichung y = x. berlegen Sie, welche Steigung das Schaubild von ft bei orthogonalem Schnitt an der Schnittstelle haben msste. berprfen Sie, ob dies mglich ist. Tipp: Zwei Geraden y = m1x + c1 und y = m2x + c2 sind genau dann orthogonal, wenn gilt: m1 m2 = 1. c)Vergleichen Sie den Nherungswert mit dem exakten Wert des Inhalts. Tipp: Keplersche Fassregel: b a a bA f (a) 4 f f (b)6 2 + = + + 58Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 13 Keplersche Fassregel Lsung a)Gegeben ist fr jedes t > 0 die Funktion ft durchx xt1f (x) e 2te ; x .4t= 0Schnittpunkt des Schaubildes Ktmit der x-Achse: tx xx 2 x2xx2x 222f (x) 01e 2te 04te 8t e8teee 8t2x ln(8t )1x ln(8t );2= ====== . 2t1N ln(8t ) 02 Monotonie: Wegen t > 0 gilt fr allex : 0' x xt1f (x) e 2te 0.4t= + >Die Funktion ft ist somit fr jedes t > 0 streng monoton wachsend. Verschiebung um x0 = ln t: Fr alle x 0 gilt: x ln t (x ln t) ln t x ln t x1x xt1 1f (x ln t) e 2e e e 2e e4 41e 2te f (x).4t = = = = Somit geht Kt durch die beschriebene Verschiebung aus K1 hervor. b)Schnitt mit der zweiten Winkelhalbierenden: Schneidet eine Kurve Kt die zweite Winkelhalbierende y = x senkrecht, so muss an dieser Stelle die Ableitung von ft den Wert 1 haben. Man versucht daher zunchst, eine solche Stelle zu finden: ' x xt1f (x) 1; e 2te 14t= + = x 2 x x2x 2 xe 8t e 4t 0 ee 8t 4te 0.+ = + = Die Substitution u = ex fhrt auf die quadratische Gleichung 2 2 2 21,20u 4tu 8t 0; u 2t 4t 8t ,< + = =

die unlsbar ist.Keine Kurve Kt kann daher die zweite Winkelhalbierende senkrecht schneiden. 59Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 13 Keplersche Fassregel c)Die Kurve K1 schliet mit den Koordinaten-achsen und der Geraden x = ln 2 eine Flche ein, die unterhalb der x-Achse liegt. Fr ihren Inhalt ergibt sich nach der Keplerschen Fassregel mit den Inter-vallgrenzen a = 0 und b = ln 2 der Nherungs-wert: 1 1 11 1 1b a a bf (a) 4 f f (b)6 2ln21f (0) 4 f ln2 f (ln2)6 2 + = + + = + + nA Kepler mit GTR: 1 12 2ln2 ln2ln2 ln2ln27 1 14 e 2e e 2e6 4 4 4ln27 8 12 16 4 2 2ln293 26 4. = + + = + + = + 0, 75006 Zum Vergleich: der exakte Wert fr den Flcheninhalt ist: ln210ln2x x0ln2x x0ln2 ln2 0 0f (x)dx1e 2e dx41e 2e41 1e 2e e 2e4 41 11 22 4.= |= \ (= + ( | |= + + + \ \ = + +=eA3= 0, 754 Die Abweichung des Nherungswertes vom exakten Wert ist sehr gering. Die prozentuale Abweichung betrgt nur n eeA A0, 000060, 00008 .A 0, 75= = a = 0, 008 %D. h. die Kepler-Regel liefert hier einen sehr guten Nherungswert. 60Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 14 Krpertemperatur Aufgabenschwerpunkt: Exponentialfunktionen Stichworte: begrenztes Wachstum; Differenzialgleichung; nderungsrate Die Krpertemperatur eines Menschen wird mit einem Fieberthermometer gemessen. Dabei sei T(t) die vom Thermometer zum Zeitpunkt t (t in Minuten) angezeigte Temperatur in Grad.Whrend der Messung ist die nderungsrate der Temperatur zu jedem Zeitpunkt proportional zur Differenz zwischen der Krpertemperatur und der angezeigten Temperatur. Geben Sie fr T eine Differenzialgleichung an. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Krpertemperatur 37,0 Grad betrgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute der Messung von 17,0 Grad auf 34,3 Grad an.Bestimmen Sie einen Funktionsterm von T. Die Messung wird automatisch beendet, wenn die nderungsrate der Temperatur 0,1 Grad pro Minute unterschreitet ist. Wann ist dies der Fall? Welche Temperatur wird am Ende der Messung angezeigt? 61Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 14 Krpertemperatur Lsungshinweise Tipp: Begrenztes Wachstum: Differenzialgleichung: f '(t) = k (G f(t)); Wachstumsgesetz: k tf (t) G a e = 62Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 14 Krpertemperatur Lsung Differenzialgleichung: Die Kpertemperatur des Menschen sei T0. Nach Aufgabenstellung ist die nderungsrate T'(t) proportional zur TemperaturdifferenzT0 T(t), d. h. es gilt fr T die Differenzialgleichung: T'(t) = k (T0 T(t)),k = konst. Funktionsterm von T: Die Krpertemperatur des gesunden Menschen ist T0 = 37 (Grad). Somit gilt fr die Differen-zialgleichung : T'(t) = k (37 T(t)). Ihre Lsung hat die Form: T(t) = 37 a ekt. Die Temperatur (in Grad) zum Zeitpunkt t = 0 ist T(0) = 17.Nach einer halben Minute gilt: T(0,5) = 34,3. Dies fhrt auf die Gleichungen: 00,5 k37 a e 17 (1).37 a e 34,3 (2) = = Aus Gleichung (1) folgt a = 37 17 = 20. Eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt dies: 0,5 k 0,5kln(0,135) 34,3 3737 20 e 34, 3; e 0,135; k 4, 005.20 0, 5 = = = = Die Temperatur wird demnach beschrieben durch die Gleichung: . = 4,005 tT(t) 37 20 eFr die nderungsrate gilt: ' 4,005 t 4,005 tT (t) 20 ( 4, 005)e 80,1e . = =Das Ende der Messung ist erreicht, wenn gilt: 0,180,1' 4,005t 4,005 tln0,1T (t) 0,1; 80,1e 0,1; e ; t 1, 67.80,1 4, 005 = = = = Also wird die Messung nach ungefhr 1,7 Minuten beendet. Die Temperatur (in Grad) nach dieser Zeit ist 4,005 1,67T(1, 67) 37 20 e 37 0, 02 36, 98 37, 0. = = Am Ende der Messung zeigt das Thermometer recht genau die Krpertemperatur von 37,0 Grad an. 63Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 15 Wassertemperatur Aufgabenschwerpunkt: Exponentialfunktionen Stichworte: Bestimmung einer Funktionsgleichung; beschrnkte Abnahme; Grenzwerte; Mittelwert; Wertemengen a)Ein Glas Wasser der Temperatur 70 C wurde zum Abkhlen in einen Raum der konstan-ten Raumtemperatur T0 gestellt. Zu bestimmten Zeiten t wurde die Temperatur T des Wassers gemessen, wobei sich die folgenden Messwerte ergaben: t in min010 20 30 4060 80 100 120 T in C70,059,1 51,9 46,7 42,637,0 33,5 31,1 29,4 Man geht davon aus, dass eine beschrnkte Abnahme der Temperatur vorliegt.Bestimmen Sie aus den Messdaten fr t = 0, t = 40 und t = 120 eine Funktion f, die den zeitlichen Verlauf der Temperatur beschreibt. Um wie viel Prozent weicht die gemessene Temperatur nach 20 Minuten von dem mit f berechneten Wert ab? Welche Raumtemperatur T0 ergibt sich nach diesem Modell?Wie gro war die mittlere Temperatur des Wassers whrend der zweiten Stunde der Messung? b)Zwei Wasserbehlter mit unterschiedlichen Temperaturen berhren sich. Dabei geht Ener-gie vom wrmeren Behlter zum klteren ber. Die zeitlichen Verlufe der Temperaturen werden beschrieben durch btf *(t) 20(1 e )= +und btg *(t) 20(1 e ); t 0, b 0,= >wobei t die Zeit in Minuten seit Beobachtungsbeginn und f*(t) und g*(t) die Temperaturen in C angeben. Welche Temperaturen knnen in den Behltern beobachtet werden? 5 Minuten nach Beobachtungsbeginn wird in einem Behlter die Temperatur 5 C gemessen. Bestimmen Sie b. Nach welcher Zeit hat sich der anfngliche Temperaturunterschied halbiert? 64Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 15 Wassertemperatur Lsungshinweise a)Bestimmung von f: Machen Sie den Ansatz k tf (t) G a e . = + Mithilfe der drei Messdaten finden Sie ein Gleichungssystem fr G, k und a. Eliminieren Sie zunchst G aus zwei Gleichungen. Formt man diese zwei Gleichungen geschickt um, so kann man a herauskrzen, wenn man eine der Gleichungen durch die andere dividiert.Raumtemperatur: Untersuchen Sie das langfristige Verhalten der Temperatur im Glas. Mittlere Raumtemperatur: Mittelwert der Funktionswerte einer Funktion f auf [a; b]: ba1m f (x)dxb a= b)Temperaturen: Berechnen Sie die Anfangstemperaturen in beiden Behltern. Beachten Sie die Monotonie der Funktionen f * und g*. Bestimmung von b: berlegen Sie, in welchem Behlter eine Temperatur von 5 C auftreten kann. 65Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 15 Wassertemperatur Lsung a)Bestimmung der Funktion f: Da man von beschrnkter Abnahme ausgeht, kann man ansetzen: ktf (t) G ae ; a, k 0.= + >Einsetzen der Messdaten fr t = 0, t = 40 und t = 120 fhrt auf ein nichtlineares Gleichungssystem fr G, a und k: 40 k120 kf (0) 70 G a 70 (1)f (40) 42, 6 ; G ae 42, 6 (2) .f (120) 29, 4 G ae 29, 4 (3) = + == + == + = Die erste Gleichung liefert G = 70 a. Einsetzen in die zweite und dritte Gleichung ergibt: 40 k120 k70 a ae 42, 6;70 a ae 29, 4 + = + = 40 k120 ka (1 e ) 27, 4 (2').a (1 e ) 40, 6 (3') = = Dividiert man die linken und rechten Seiten der Gleichungen (2') und (3') durcheinander, so krzt sich a (> 0!) heraus und man erhlt eine Gleichung fr k: 40 k120 k1 e0, 675.1 e = Mit dem GTR erhlt man (TI 83: grafischoder MATH SOLVER) GTRk 0, 0259. Aus Gleichung (2') und (1) folgt schlielich: 0,0259 4027, 4a 42,5;1 e = G 70 42,5 = 27,5. Der Temperaturverlauf wird somit nherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit.0,0259 tf(t) = 27, 5 + 42, 5 e Abweichung: Nach 20 Minuten wurde die Temperatur 51,9 C gemessen. Das mathematische Modell liefert fr diesen Zeitpunkt die Temperatur (in C): 0,0259 20f (20) 27, 5 42,5 e 52,8. = + Die prozentuale Abweichung des Messwertes davon betrgt: 52,8 51,90, 017 .52,8 = 1, 7 %Raumtemperatur: Beim Abkhlen nhert sich die Wassertemperatur der Raumtemperatur an. Wegen 0,0259 tt tlim f (t) lim (27,5 42,5 e ) 27, 5 = + =wird man bei diesem Modell von einer Raumtemperatur von 27,5 C ausgehen. Mittlere Temperatur des Wassers whrend der zweiten Stunde: 120601f (t)dt ( C).60= T 32,166Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 15 Wassertemperatur b)Temperaturen im warmen Behlter: Der Verlauf der Temperatur in C wird durch btf *(t) 20(1 e ); b 0,= + >beschrieben (t in Minuten). Wegen btf *'(t) 20be 0 fr alle t 0= < ist f * streng monoton fallend. Ferner gilt:

0 btt t0f *(0) 20(1 e ) 40; lim f *(t) lim 20(1 e ) 20. = + = = + =Fr die mglichen Temperaturen im warmen Behlter gilt somit 20 < f *(t) 40. Temperaturen im kalten Behlter: Der Verlauf der Temperatur in C wird hier durch btg*(t) 20(1 e ); b 0,= >beschrieben (t in Minuten). Wegen btg*'(t) 20be 0 fr alle t 0= > ist g * streng monoton wachsend. Ferner gilt:

0 btt t0g*(0) 20(1 e ) 0; lim g*(t) lim 20(1 e ) 20. = = = =Fr die mglichen Temperaturen im kalten Behlter gilt daher 0 g *(t) < 20. Bestimmung von b: Eine Temperatur von 5 C kann nach den berlegungen von oben nur im kalten Behlter auftreten. Man erhlt mit t = 5 die Bedingung fr b: 5b5b5bg*(5) 5; 20(1 e ) 511 e43e4= = ==1 3b = ln 0, 0575.5 4 Halbierung des anfnglichen Temperaturunterschieds: Bei Beobachtungsbeginn betrgt der Temperaturunterschied in C: f*(0) g*(0) = 40 0 = 40. 67Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 15 Wassertemperatur Er hat sich zum Zeitpunkt t halbiert, wenn gilt: 0,0575t 0,0575t0,0575t0,0575t12f *(t) g*(t) 2020(1 e ) 20(1 e ) 2040e 201e2lnt 12, 05.0, 0575 =+ ====

Alternativ kann man die Gleichung 0,0575t40e 20 0 = wie auch die anderen Glei-chungen in der Aufgabe mit dem GTR lsen. (TI 83: z. B: SOLVER-Befehl imMATH-Men.) Nach etwa 12 Minuten hat sich der anfngliche Temperaturunterschied halbiert. 68Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 16 Medikament Aufgabenschwerpunkt: Exponentialfunktionen Stichworte: Exponentielle Abnahme; Differenzialgleichung; Interpretation von Schaubildern; Extremwert; Wirkungsdauer a)Von einem bestimmten Medikament wird einem Patienten eine Dosis von 200 mg intra-vens verabreicht. Danach wird das Medikament im Krper abgebaut und ber die Nieren ausgeschieden. Gibt f(t) die zum Zeitpunkt t noch vorhandene Menge des Medikaments im Blut an, so gilt fr die Funktion f nherungsweise die Differenzialgleichung f '(t) k f (t); k 0 = > (f(t) in Milligramm, t in Stunden seit der Verabreichung).Bestimmen Sie eine Gleichung fr f, wenn die Menge des Medikaments im Blut pro Stunde um 6 % abnimmt.Nach welcher Zeit sind 90 % des Medikaments abgebaut? 5 Stunden nach der Verabreichung erhlt der Patient auf die gleiche Art noch einmal 200 mg des Medikaments. Wie viel mg des Medikaments sind nach weiteren 10 Stunden noch im Krper vorhanden? b)Von dem gleichen Medikament nimmt ein anderer Patient 500 mg oral auf. Das Medika-ment gelangt jetzt zunchst in den Magen-Darm-Trakt und wird von dort ins Blut abgege-ben. Vereinfacht gilt fr die nderungsrate der im Blut vorhandene Menge g(t) des Medi-kaments in diesem Fall: 0,08 tg'(t) 0, 06 g(t) 40 e = + (*)(g(t) in Milligramm, t in Stunden seit der Einnahme).Zeigen Sie, dass die Funktion g mit0,06 t 0,08 tg(t) 2 000 (e e ) = eine Lsung der Differenzialgleichung (*) ist.Zeichnen Sie das Schaubild von g. Interpretieren Sie es kurz. Nach welcher Zeit befindet sich die grte Menge des Medikaments im Blut? Wie gro ist sie dann? Damit das Medikament wirkt, mssen mindestens 80 mg im Blut vorhanden sein. Wann beginnt es zu wirken und wie lange wirkt es? 69Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 16 Medikament Lsungshinweise a)Funktionsgleichung von f: Die Differenzialgleichung beschreibt exponentiellen Zerfall. Machen Sie daher den Ansatz k tf (t) a e . = Abbau von 90 % des Medikamentes: Wenn 90 % abgebaut sind, sind noch 10 % vorhanden. Medikamentmenge nach 15 Stunden: Beachten Sie, dass fr die zweite Dosis zeitversetzt das gleiche Zerfallsgesetz gilt. b)Differenzialgleichung: Leiten Sie zunchst die Funktion g ab. Setzen Sie in die rechte Seite der Differenzial-gleichung g(t) ein und vergleichen Sie. Schaubild von g: Beschreiben Sie den zeitlichen Verlauf der Medikamentenmenge im Blut. Gehen Sie auf besondere Punkte ein. Wirkungsdauer: Bestimmen Sie das Zeitintervall, in demg(t) 80 gilt. 70Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 16 Medikament Lsung a)Funktionsgleichung fr f: Die Differenzialgleichung f '(t) = k f(t) beschreibt exponentielle Abnahme. Man kann daher den Ansatzf(t) = a e kt machen.Aus f(0) = a e0 = 200 folgt a = 200 (mg). Da nach einer Stunde 6 % des Medikamentes abgebaut sind, d. h. noch (100 6) % = 94 % vorhanden sind, gilt fr k die Gleichung: k 1 ka e 0,94 a; e 0,94; k ln(0,94) 0, 06. = = = Zusammenfassend erhlt man:. 0,06 tf(t) = 200 eBestimmung des Zeitpunktes, zu dem 90 % des Medikamentes abgebaut sind: Zu diesem Zeitpunkt sind dann noch 10 % im Blut vorhanden. Somit gilt: 0,06 t 0,06 tln0,1f (t) 0,1 a; a e 0,1 a; e 0,1; t 38, 4.0, 06 = = = = Nach etwa 38 Stunden sind 90 % des Medikaments abgebaut. Medikamentenmenge 15 Stunden nach der ersten Verabreichung: Nach 15 Stunden sind von der ersten Dosis noch im Blut: 0,06 15f (15) 200 e 81,3 = (mg). Fr die zweite Dosis gilt das gleiche Zerfallsgesetz. Der Zeitpunkt t = 0 wird jetzt 5 Stun-den nach der Einnahme der ersten Dosis gewhlt. Von der zweiten Dosis sind nach weite-ren 10 Stunden noch vorhanden: 0,06 10f (10) 200 e 109,8 = (mg). Nach 15 Stunden sind insgesamt noch 81,3 mg + 109,8 mg 191 mg des Medikaments im Blut vorhanden. b)Differenzialgleichung: Zu zeigen ist, dass 0,06 t 0,08 tg(t) 2 000 (e e ) = die Differenzialgleichung 0,08 tg'(t) 0, 06 g(t) 40 e = + erfllt. Dazu bildet man zunchst die Ableitung von g: 0,06 t 0,08 t 0,06 t 0,08 tg'(t) 2 000 ( 0, 06 e 0, 08 e ) 120 e 160 e . = + = + Fr die rechte Seite der Differenzialgleichung erhlt man: 0,08 t 0,06 t 0,08 t 0,08 t0,06 t 0,08 t 0,08 t0,06 t 0,08 t0, 06 g(t) 40 e 0, 06 2 000 (e e ) 40 e120 e 120 e 40 e120 e 160 eg'(t). + = + = + + = + = Die Funktion g ist daher eine Lsung der Differenzialgleichung. 71Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 16 Medikament Schaubild von g: Die oral aufgenommene Menge (500 mg) des Medikaments wird nicht sofort, sondern verzgert ins Blut abgegeben. Erst nach einer gewissen Zeit erreicht die Medikament-menge im Blut ein Maximum von etwa 200 mg. Danach nimmt sie ab, wobei die Abnahme deutlich langsamer verluft als die Zunahme. Grte Menge des Medikaments im Blut:Mit dem GTR erhlt man das Maximum vong fr t 14,4. Nach etwa 14,4 Stunden befindet sich mit211 mg die grte Menge des Medikamentsim Blut. Wirkungsdauer: Zu bestimmen ist das Zeitintervall, in demg(t) 80 gilt. Mit dem GTR bestimmt mandazu die beiden Schnittstellen der Geradeny = 80 mit dem Schaubild von g.Man erhlt als Lsungen t1 2,4 und t2 44,9. Das bedeutet: Nach etwa 2,4 Stunden beginnt das Medika- ment zu wirken. Die Wirkungsdauer betrgt ungefhr(44,9 2,4) = 42,5 Stunden. 72Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 17 Kurvendiskussion Aufgabenschwerpunkt: Exponentialfunktionen Stichworte: Asymptoten; Extrem- und Wendepunkte; Normale; unbeschrnkte Flche;Flche zwischen zwei Kurven; Teilverhltnis Gegeben ist die Funktion f durch x xf (x) (4 e ) e ; x = 0 . Ihr Schaubild sei K. a)Untersuchen Sie K auf Asymptoten.Bestimmen Sie nherungsweise den Schnittpunkt mit der x-Achse, den Hoch- und den Wendepunkt von K.Es gibt genau einen Punkt P auf K mit negativer x-Koordinate, in dem die Normale durch den Ursprung geht. Berechnen Sie nherungsweise die Koordinaten von P. b)K schliet mit der x-Achse eine nach links unbeschrnkte Flche mit endlichem Inhalt ein. Berechnen Sie diesen Inhalt exakt. In welchem Verhltnis teilt die Kurve C mit der Gleichung xg(x) e ; x = 0diese Flche? 73Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 17 Kurvendiskussion Lsungshinweise a)Untersuchung von K: Beachten Siexxlim e 0.=Verwenden Sie fr die weiteren berlegungen den GTR.Beachten Sie, dass eine Wendestelle von f eine Extremstelle von f ' ist. Normale: Stellen Sie die Normalengleichung in einem Punkt P(u | f(u)) auf. Dann Punktprobe mit O(0 | 0). b)Unbegrenzte Flche: Berechnen Sie die Nullstelle x0 von f. Bestimmen Sie dann zunchst den Inhalt der Flche ber dem Intervall [z; x0] in Abhngigkeit von z. Was gilt dann fr die unbegrenzte Flche? Tipp: Inhalt der Flche zwischen zwei Kurven: baA (f (x) g(x))dx. = 74Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 17 Kurvendiskussion Lsung a)Untersuchung der Kurve K mit der Gleichungf(x) = (4 ex) ex;x 0: Asymptoten: x xx x0 0lim f (x) lim (4 e ) e 0. = =y = 0 ist waagrechte Asymptote. Schnittpunkt mit derx-Achse: N(1,386 | 0) (TI 83: CALC zero.) Hochpunkt: H(0,693 | 4) (TI 83: CALC maximum im Grafikfenster oderim Hauptfenster mit der Funktion fMax imMATH-Men).

Wendepunkt: W(0 | 3) Die Wendestellen von f sind die Extremstellen der Ableitung f '. (Beim TI 83 lsst sich die Ableitung mithilfe der Funktion nDeriv (MATH-Men) gra-fisch bestimmen und ihre Extremstelle wie oben festlegen. Den y-Wert des Wendepunktes W berechnet man dann im Hauptfenster, hier f(0) = 3.) Normale: Die Ableitung von f ist: x x x x x x x x xf '(x) e e (4 e ) e e ( e 4 e ) e (4 2e ). = + = + = Es sei P(u | f(u)) ein Punkt auf K mit u < 0.Die Normale in P hat die Gleichung: u uu u1 1y (x u) f (u) (x u) (4 e ) e .f '(u) e (4 2e )= + = + 75Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 17 Kurvendiskussion Sie geht durch den Ursprung, wenn gilt: u uu uh(u)10 (0 u) (4 e ) e .e (4 2e )= +

Die Gleichung lst man mithilfe des GTR, indem man die (negative) Nullstelle der Funktion h mit der Gleichung y = h(u) bestimmt. Man erhlt u 1,18. Ebenfalls mit dem GTR erhlt manf(1,18) 1,14. Die Normale im Punkt P(1,18 | 1,14)geht durch den Ursprung. b)Flcheninhalt der nach links unbeschrnkten Flche: Da der Flcheninhalt exakt bestimmt werden soll, muss auch der Schnittpunkt von K mit der x-Achse jetzt genau berechnet werden:

x x x0f (x) 0; (4 e ) e 0; e 4; x ln 4;= = = =N(ln 4 | 0). Der Inhalt der Flche, die von K, der x-Achse und der Geraden x = z mit z < ln 4 begrenzt wird, ist: ln4x xzln4x 2xzln4x 2xz2 z 2zz 2zA(z) (4 e ) e dx(4e e ) dx14e e21 14 4 4 4e e2 218 4e e .2= = (= ( | |= \ \ = + Fr die nach links unbegrenzte Flche ergibt sich damit: zlim A(z) .= A = 8 Teilverhltnis: Auch der x-Wert des Schnittpunktes S von K und der Kurve C muss exakt berechnet werden: x x x xxxf (x) g(x)(4 e ) e e : e 04 e 1e 3x ln3.= = === 76Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 17 Kurvendiskussion Die Flche zwischen den Kurven K und C sowie der Geraden x = z, z < ln 3 gilt: ln31zln3ln3 ln3x 2x x x 2x x 2xz zz2 z 2z z 2zA (z) (f (x) g(x)) dx1(4e e e ) dx (3e e ) dx 3e e21 1 9 13 3 3 3e e 3e e .2 2 2 2= (= = = ( |= = + \ Fr die nach links unbeschrnkte Teilflche ergibt sich: 1 1z9A lim A (z) .2 = =Die Kurve C1 teilt die beschriebene Flche im Verhltnis: 92928= =11A9A A 7 . 77Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 18 Pflanzenwachstum Aufgabenschwerpunkt: Exponentialfunktionen Stichworte: nderungsrate; Bestimmung des Bestandes aus der nderungsrate; Grenzwert Die Hhenzuwachsrate einer Pflanze wird nherungsweise durch die Funktion h mit0,64 th(t) 0, 48 t e ; t 0 = beschrieben (t in Monaten seit dem Einpflanzen der Pflanze, h(t) in Meter pro Monat). a)Bestimmen Sie den Zeitpunkt, ab dem die Zuwachsrate abnimmt. Wie gro ist die mittlere Zuwachsrate in den ersten zwei Monaten? b)Begrnden Sie, dass die Funktion H mit3 0,64 t64H(t) (25 16t)e ; t 0,= + eine Stammfunktion von h ist.Die Pflanze war bei der Einpflanzung 0,2 m hoch. Welche Hhe hat sie nach 4 Monaten erreicht? Die Pflanze gilt als ausgewachsen, wenn nach diesem Modell der gesamte in der Folgezeit noch zu erwartende Zuwachs an Hhe weniger als 0,2 m betrgt. Wann ist dies der Fall? 78Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 18 Pflanzenwachstum Lsungshinweise a)Abnahme der Zuwachsrate: Untersuchen Sie h auf Monotonie. Mittlere Zuwachsrate: Mittelwert der Funktionswerte einer Funktion f auf [a; b]: ba1m f (x)dxb a= b)Stammfunktion: Tipp: F ist Stammfunktion der Funktion f, wenn F ' = f gilt. Wachstumsfunktion ist die Stammfunktion W von h, fr die W(0) = 0,2 gilt. Ausgewachsene Pflanze: berlegen Sie zunchst, welche Hhe die Pflanze maximal erreichen kann. 79Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 18 Pflanzenwachstum Lsung a)Die nderungsrate der Pflanzenhhe ist gegeben durch 0,64th(t) 0, 48 t e ; t 0= (t in Monaten, h(t) in Meter pro Monat.)Monotonieuntersuchung: Die Ableitung von h ist: 0,64 t 0,64 t0,64 th'(t) 0, 48 e 0, 48 t e ( 0, 64)0, 48 e (1 0, 64 t). = + = Die Ableitung ist negativ, wenn gilt: 11 0, 64 t 0; 1 0, 64 t; t 1, 6.0, 64 < < > Nach etwa 1,6 Monaten nimmt die Zuwachsrate ab. Mittlere Zuwachsrate in Meter pro Monat whrend der ersten zwei Monate: 2GTR01h(t)dt .2= m 0, 21b)Stammfunktion: Fr die Funktion H mit 0,64t3H(t) (25 16t)e64= +gilt: 0,64t 0,64t0,64t 0,64t 0,64t0,64t3H'(t) [16 e (25 16t) e ( 0, 64)]643[16 e 16 e 10, 24te ]640, 48 t e h(t). = + + = = = Somit ist H eine Stammfunktion von h. Hhe der Pflanze nach 4 Monaten: Die Pflanze war zu Beginn 0,2 m hoch. Die Wachstumsfunktion ist daher gegeben durch: t0t0,64x00,64t0,64tW(t) 0, 2 h(x)dx30, 2 (25 16x)e643 750, 2 (25 16t)e64 6431, 37 (25 16t)e .64= + = + + = + + + Damit erhlt man:GTRW(4) 1, 05. Die Pflanze ist nach 4 Monaten etwa 1 m hoch. 80Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 18 Pflanzenwachstum Zeitpunkt, an dem die Pflanze als ausgewachsen gilt: Im Grenzfall gilt fr die Wachstumsfunktion:tlim W(t) 1, 37.=Langfristig ist nach diesem Modell daher eine maximale Hhe von 1,37 m fr die Pflanze zu erwarten. Sie gilt daher als ausgewachsen, wennsie eine Hhe von etwa 1,17 m erreicht hat.Die GleichungW(T) = 1,17 lst man mit dem GTR und erhlt t 5.Nach etwa 5 Monaten gilt die Pflanze als ausgewachsen. 81Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 19 Salzlsung Aufgabenschwerpunkt: Exponentialfunktionen Stichworte: begrenztes Wachstum; Differenzialgleichung; Anfangsbestand Zur Zeit t = 0 (t in Stunden) wird Salz in ein Reagenzglas mit destilliertem Wasser geschttet. Ein Teil dieses Salzes lst sich im Laufe der Zeit in der Flssigkeit auf. Dabei kann die gelste Salzmenge m(t) einen bestimmten Wert m0, die Sttigungsmenge, nicht berschreiten. Beobachtungen haben gezeigt, dass die Geschwindigkeit, mit der sich m(t) ndert, nherungs-weise proportional zur Menge des noch lsbaren Salzes ist.a)Welche Art von Wachstum liegt vor? Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung der Funktion tm(t), wenn der Proportionalitts-faktor 3 ist. Skizzieren Sie das Schaubild dazu. Wie lange dauert es, bis die gelste Salzmenge halb so gro wie die Sttigungsmenge ist? b)Bei einem zweiten Versuch ist in dem Wasser zu Beginn bereits etwas Salz gelst. Es dauert jetzt noch 0,13 Stunden, bis die insgesamt gelste Salzmenge halb so gro ist wie die Sttigungsmenge. Wie viel Prozent der Sttigungsmenge betrug die anfangs gelste Salzmenge? 82Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 19 Salzlsung Lsungshinweise a)Funktionsgleichung: Stellen Sie zunchst eine Differenzialgleichung auf. berlegen Sie dann, welche Form von Wachstum vorliegt. Beachten Sie die Anfangsbedingung m(0) = 0. b)Neue Funktionsgleichung: Der Ansatz fr die Wachstumsfunktion ist wie bei Teilaufgabe a. Verwenden Sie jetzt aber die Bedingung 01m(0,13) m .2= 83Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 19 Salzlsung Lsung a)Funktionsgleichung: m(t) gibt die zum Zeitpunkt t im Wasser gelste Salzmenge (in g) an, m0 die Sttigungs-menge. Es gilt m(t) < m0 und m0 m(t) ist die zum Zeitpunkt t noch lsbare Salzmenge. Fr die nderungsrate m'(t) gilt mit dem Proportionalittsfaktor 3: m'(t) = 3 (m0 m(t)). Diese Differenzialgleichung beschreibt begrenztes Wachstum. Die gelste Salzmenge ist somit gegeben durch 3t0m(t) m a e .= Aus m(0) = 0 folgt weiter: 0 = m0 a; a = m0 Damit lautet das Wachstumsgesetz: . 3t 3t0 0 0m(t) = m m e = m (1 e ) Gelste Salzmenge gleich halber Stti-gungsmenge: 3t0 01m m (1 e );2= 3t 3t1 11 e ; e ;2 2 = = .1 1 1t = ln = ln 2 0, 233 2 3 Nach etwa 0,23 Stunden ist die gelste Salzmenge halb so gro wie die Stti-gungsmenge. b)Fr die gelste Salzmenge gilt bei sonst gleichen Bedingungen wieder 3t0m(t) m a e .= Aus 01m(0,13) m2=folgt jetzt: 3 0,13 0,39 0,390 0 0 0 01 1 1m a e m ; m a e ; a e m 0, 738 m .2 2 2 = = = Somit gilt in diesem Fall: 3t 3t0 0 0m(t) m 0, 738 m e m (1 0, 738 e ). = = Die gelste Salzmenge zu Beginn war: 0 0m(0) m (1 0, 738) 0, 26 m . = Die im Reagenzglas zu Beginn gelste Salzmenge betrug etwa 26 % der Sttigungs-menge. 84Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 19 Salzlsung Andere Lsungsmglichkeit: Da die halbe Sttigungsmenge jetzt bereits nach 0,13 Stunden anstatt nach 0,23 Stunden erreicht wird, verschiebt sich bei sonst gleichen Bedingungen die ursprngliche Kurve um0t 0,13 0, 23 0,1 = = in t-Richtung. Die verschobene Kurve wird durch die Gleichung 3(t 0,1)0m(t) m(t 0,1) m (1 e ) += + = beschrieben. Damit lsst sich die gelste Salzmenge zum Zeitpunkt t = 0 berechnen: 0,30 0m(0) m (1 e ) 0, 26 m .= 85Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 20 Pkw-Bestand Aufgabenschwerpunkt: Exponentialfunktionen Stichworte: Bestimmung einer Funktionsgleichung; Bewertung eines Modells; nderungsrate; Mittelwert Die folgende Tabelle gibt den Pkw-Bestand in Baden-Wrttemberg fr den Zeitraum von 1950 bis 1995 an (Bestand jeweils am 1. Juli des Jahres): Jahr19501955 1960 1965 19701975 1980 1985 1990 1995 Anzahl Pkwin Millionen 0,290,720,991,522,152,803,634,024,564,97 a)Stellen Sie die Daten der Tabelle in einem geeigneten Diagramm dar. Man versucht die Entwicklung des Pkw-Bestandes durch eine Exponentialfunktion zu beschreiben. Dazu wird aus den Daten der Jahre 1955 und 1970 eine Funktionsgleichung bestimmt. Bewerten Sie diesen Ansatz. b)Ein weiteres mathematisches Modell beschreibt den Pkw-Bestand mithilfe der Funktion g mit 0,104 t5, 49g(t) ; t 0(1 12, 61 e ) = + (g(t) in Millionen Pkw, t in Jahren mit t = 0 am 1. Juli 1950). Um wie viel Prozent weicht der fr das Jahr 1985 berechnete Wert vom tatschlichen Wert ab? Im Jahr 2004 wurden in Baden-Wrttemberg 5,41 Millionen Pkw gezhlt. Vergleichen Sie mit der Vorhersage durch das Modell. Welcher maximale Pkw-Bestand in Baden-Wrttemberg ist nach diesem Modell zu erwarten? In welchem Jahr war die Zuwachsrate des Pkw-Bestandes am grten? Wann fiel sie danach erstmals unter 100 000 Pkw pro Jahr? Fr den Zeitraum vom 1. Juli 1970 bis zum 1. Juli 1990 sei S die durchschnittliche Schad-stoffmenge, die ein Pkw pro Jahr ausstt. Bestimmen Sie die konstante Anzahl der Pkw, die in diesem Zeitraum den gleichen Schadstoffaussto verursacht htten wie die tatsch-lich vorhandenen Pkw. 86Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe20 Pkw-Bestand Lsungshinweise a)Stellen Sie zunchst eine Gleichung der Exponentialfunktion auf. berprfen Sie, fr welchem Zeitraum sich damit sinnvolle Aussagen machen lassen. Vergleichen Sie dazu berechnete Werte mit den Daten.b)Maximaler Pkw-Bestand: Untersuchen Sie g fr t . Zuwachsrate: Die Zuwachsrate wird durch die Ableitung von g beschrieben. Untersuchen Sie g' mithilfe des GTR. Dazu brauchen Sie g nicht von Hand abzuleiten. Schadstoffmenge: berlegen Sie, dass die Funktion h mit h(t) = S 1 000 000 g(t) die nderungsrate des gesamten Schadstoffausstoes beschreibt. 87Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe20 Pkw-Bestand Lsung a)Funktionsgleichung:Fr die Exponentialfunktion, die den Pkw-Bestand beschreiben soll, setzt man an:ktf (t) a e , = wobei t die Zahl der Jahre ab dem 1. 7. 1950 angibt und f(t) die Anzahl der Pkw in Mil-lionen. Aus den Daten der Jahre 1955 und 1970 ergeben sich Gleichungen fr a und k: 5 k20 kf (5) a e 0, 72f (20) a e 2,15.= == = Daraus erhlt man durch Division die von a unabhngige Gleichung fr k: 20 k15 k5 k2,15 e 1; e 2,986; k ln 2, 986 0, 073.0, 72 15 e= Einsetzen in die erste Gleichung ergibt: 0,073 50, 72a 0, 50.e= Die angenommene Wachstumsfunktion hat somit die Gleichung: f(t) = 0,50 e0,073 t. Anmerkung: Es ist auch mglich, mit dem GTR direkt eine Gleichung der Funktion f durch eine exponentielle Regression aus den Datender Jahre 1955 und 1970 zu bestimmen. Beim TI 83 gibt man hierfr die Zeitan- gaben in die Liste L1 und die zugehrigen Pkw-Bestnde in die Liste L2 ein (STAT EDIT) und whlt im STAT-CALC-Men die exponentielle Regression aus. Weitere Eingabe wie abgebildet. Als Lsung ergibt sich (nach entsprechen- der Umbenennung): f(t) = 0,50 1,076t. Dies ist gleichwertig mit der oben gefundenen Lsung, denn es gilt: f(t) = 0,50 e0,073 t = 0,50 (e0,073)t 0,50 1,076t. Bewertung: Stellt man die Daten und das Schaubild von f mithilfe des GTR gemeinsam dar, so zeigt bereits der Augenschein, dass der Pkw-Bestand nur im Zeitraum von 1955 bis 1970 nherungsweise durch die Funktion f beschrieben werden kann. Fr die Jahre 1960 und 1965 ergeben sich die folgenden prozentualen Abweichungen der berechneten Werte von den Tabellenwerten:88Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe20 Pkw-Bestand | f (10) 0, 99| 1, 038 0,991960: 0, 048 4,8 %0,99 0,99| f (15) 1, 52| |1, 495 1,52|1965: 0, 016 =1, 6 %.0,99 0,99 = = = Fr das Jahr 1950 liefert das mathematische Modell einen Bestand von f(0) = 0,5 (Millio-nen Pkw). Die Abweichung ist hier wesentlich grer: | f (0) 0, 29|0,5 0, 290, 72 72 %.0, 29 0, 29= =Der Pkw-Bestand ist also in der Zeit von 1950 bis 1955 strker angewachsen als nach diesem Modell. Fr das Jahr 1975 ergibt sich die Abweichung| f (25) 2,80| 3,10 2,800,107 10, 7 %,2,80 2,80 = =fr die folgenden Jahre nimmt die Abweichung erheblich zu. Fr den Zeitraum nach 1970 kann der Pkw-Bestand daher nicht durch die Exponentialfunktion f beschrieben werden. Die Daten legen nahe, dass die Zuwachsrate des Pkw-Bestandes nach 1975 abnimmt und der Pkw-Bestand selbst langfristig einem Sttigungswert zustrebt. b)Bestand 1985: Stellt man mithilfe des GTR die gemessenen Daten und das Schaubild der Funktion g mit 0,104 t5, 49g(t)(1 12, 61 e ) =+ dar, so lsst sich eine gute bereinstimmung vermuten. Die prozentuale Abweichung des fr 1985 berechneten Wertes vom tatschlichen Bestand ist: | g(35) 4, 02| 4,125 4, 020, 026 2, 6 %.4, 02 4, 02 = =Bestand 2004: Die Funktion g liefert fr das Jahr 2004 die Prognose g(54) 5,25 (Millionen Pkw). Die prozentuale Abweichung vom 2004 bestimmten Wert von 5,41 Millionen Pkw betrgt nur: 5, 41 5, 250, 03 3 %.5, 41 =Maximaler Pkw-Bestand: Es gilt: 0,104 tt t5, 49lim g(t) lim 5, 49.(1 12, 61 e ) = =+ Nach diesem Modell sind langfristig in Baden-Wrttemberg etwa 5,5 Millionen Pkw zu erwarten. 89Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe20 Pkw-Bestand Zuwachsrate: Die Zuwachsrate des Pkw-Bestandes wird durch die Ableitung von g beschrieben. Mithilfe des GTR erhlt man das Maximum von g' fr t 24,37 (s. u.).D. h. Ende 1974 war die Zuwachsrate mit etwa 143 000 Pkw pro Jahr am grten. Entsprechend lst man die Gleichung g'(t) = 0,1 mit dem GTR und erhlt als Lsung t 36,2. Im Jahr 1986 sank die Zuwachsrate nach 1975 erstmals wieder unter 100 000 Pkw pro Jahr. Schadstoffaussto: S ist die Schadstoffmenge, die ein Pkw pro Jahr abgibt. g(t) gibt die Anzahl Pkw in Millionen zum Zeitpunkt t an. Sie geben die Menge h(t) = S 1 000 000 g(t) an Schadstoff pro Jahr ab. Die Funktion h beschreibt somit die nderungsrate des gesamten Schadstoffausstoes. Die Schadstoffmenge, die nach diesem Modell in der Zeit von 1970 bis 1990 insgesamt ausgestoen wurde, ist: 40 40GTR20 20M h(t) dt S 1000 000 g(t)dt 69,35 S 1000 000. = = Fr die konstante Pkw-Anzahl N, die in diesem Zeitraum den gleichen Aussto verur-sachen wrde, gilt 69, 35 1000 000N S 20 69, 35 S 1000 000; N 3 470 000.20 = = Die konstante Anzahl von 3,47 Millionen Pkw im Zeitraum von 1970 bis 1990 htte den gleichen Schadstoffaussto verursacht. 90Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 21 Gezeiten Aufgabenschwerpunkt: trigonometrische Funktionen Stichworte: Bestimmung einer Funktionsgleichung; Mittelwert; Bewertung des Modells An der Sdkste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhchst-stand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschlieenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefst-stand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull). Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhngigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Berechnen Sie den mittleren Pegelstand fr den 13. Juni in der Zeit von 8.00 Uhr bis 12.00 Uhr.Welche Uhrzeit liefert das Modell fr den zweiten Pegelhchststand an diesem Tag? Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. 91Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 21 Gezeiten Lsungshinweise Funktionsgleichung: Am geschicktesten ist hier wohl der Ansatz mit einer Kosinusfunktion: f(t) = a cos(k t) + c. Berechnen Sie die Periodendauer T aus den Zeiten fr den Pegelhchst- und Pegeltiefststand. Es gilt 2k .T=Mittlerer Pegelstand: Mittelwert der Funktionswerte einer Funktion f auf [a; b]: ba1m f (x)dxb a= 92Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 21 Gezeiten Lsung Funktionsgleichung: Fr die periodische Funktion, die den Pegelstand beschreiben soll, kann man ansetzen f(t) = a cos(k t) + c(t in Stunden, f(t) in Meter), wenn man den Zeitpunkt t = 0 am 13. Juni um 3.47 Uhr whlt. Da das folgende Niedrigwasser an diesem Tag um 9.42 Uhr erfolgte, vermutet man fr die Periode der Funktion: 42 47T 2 (9 h 42 min 3 h 47 min) 2 9 3 h 11,833 h.60 60 = = = Daraus erhlt man: 2k 0,531.T= Aus dem Hchststand von 5,9 m und dem Tiefststand von 3,8 m ergibt sich: 5,9 3,8a 1, 052= =5,9 3,8c 4,85.2+= =Somit: f(t) = 1,05 cos(0,531 t) + 4,85. Zweites Hochwasser am 13. Juni: Das zweite Hochwasser msste eine Periodendauer nach dem ersten eintreten. Seit 0.00 Uhr wre dann die Zeit 473 h 47 min 11,833 h 3 h 11,833 h603, 783 h 11,833 h15, 616 h+ = += += verstrichen. Dies entspricht ungefhr der Uhrzeit: 15.37 Uhr. (0,616 60 = 36,97 37!) Mittlerer PegelstandP(in m) in der Zeit von 8.00 Uhr bis 12.00 Uhr: 8.00 Uhr entspricht 1t 8 h 3 h 47 min 4 h 13 min 4, 217 h, = = 12.00 Uhr entspricht 2t 12 h 3 h 47 min 8 h 13 min 8, 217 h. = = 21t 8,217GTR2 1t 4,2171 1f (t)dt (1, 05 cos(0,531 t) 4,85)dt .t t 4= = + P 4, 093Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 21 Gezeiten Vergleich Prognose Messwert am 15. Juni: Nach dem mathematischen Modell wrde mandas erste Hochwasser am 15. Juni nach derZeitt = 4 T = 4 11,833 h = 47,332 h erwarten. Um die Uhrzeit am 15. Juni zu bestim- men, muss wie oben 3 h 47 min dazu addiertwerden und vom Ergebnis 48 h ( 2 Tagen)abgezogen werden: 474 11,833 h 3 h 47 min 48 h 47,332 h 3 h 48 h6047,332 h 3, 783 h 48 h3,115 h. + = + = + = Dies entspricht ungefhr der Uhrzeit 3.07 Uhr. Tatschlich wurde das Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Dies ist eine fr die Praxis doch recht erhebliche Abweichung um 2 h 10 min. Auch der Pegelstand ist geringfgig kleiner als beim Modell. Eine einfache Kosinusfunktion reicht offensichtlich nicht aus, um die Gezeiten hinreichend genau zu modellieren. 94Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 22 Tageslnge Aufgabenschwerpunkt: trigonometrische Funktionen Stichworte: Flche zwischen zwei Kurven; Extremwertbestimmung; Bestimmung einer Funktionsgleichung; Mittelwert; nderungsrate Gegeben ist die Funktion f durch f (x) 2 sin x ; x [0; 12]6 = . Ihr Schaubild sei K. a)Zeichnen Sie K. Eine Ursprungsgerade g mit der Steigung m > 0 schneidet K im Punkt S.K und g umschlieen eine Flche.K, g und die Gerade x = 6 umschlieen eine weitere Flche. Bestimmen Sie (ohne den Punkt S zu bestimmen) m so, dass die Inhalte der beiden Flchen gleich sind.b)Das Schaubild von K begrenzt zusammen mit der x-Achse eine Flche im 1. Quadranten. Dieser Flche wird ein Rechteck einbeschrieben. Eine Seite des Rechtecks liegt auf derx-Achse, zwei Eckpunkte liegen auf der Kurve K. Bestimmen Sie nherungsweise den grtmglichen Inhalt, den ein solches Rechteck haben kann. c)Im Verlauf eines Jahres ndert sich die Tageslnge, d. h. die Zeitdauer, whrend der die Sonne ber dem Horizont steht. In Stockholm schwankt die Tageslnge zwischen 18,24 Stunden am 21. Juni und 5,76 Stunden sechs Monate spter. Die Tageslnge soll in Abhngigkeit von der Zeit t (t in Monaten ab dem 21. Mrz) durch eine Funktion T mit T(t) a b sin t6 = + beschrieben werden. Bestimmen Sie die Koeffizienten a und b. Welche Tageslnge ergibt sich aus dem Modell fr den 21. April? Welche mittlere Tageslnge ergibt sich fr den Zeitraum vom 21. Juni bis zum 21. Sep-tember? Wann ndert sich die Tageslnge am raschesten und wie gro ist sie dann? 95Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 22 Tageslnge Lsungshinweise a)Bestimmung der Steigung: Verwenden Sie den orientierten Inhalt zwischen dem Schaubild von f und der Geraden y = m x ber dem Intervall [0; 6]. b)Inhalt Rechteck: Beachten Sie, dass das Rechteck symmetrisch zur Geraden x = 3 sein muss.c)Funktionsterm: Einsetzen der Tageslngen fr t = 3 und t = 9 fhrt auf ein LGS fr a und b. Mittlere Tageslnge: Mittelwert der Funktionswerte einer Funktion f auf [a; b]: ba1m f (x)dxb a= nderung der Tageslnge: berlegen Sie ohne Rechnung, an welchen Stellen eine Sinuskurve ihre grten und kleinsten Steigungen hat. 96Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 22 Tageslnge Lsung a)Gegeben ist f durch f (x) 2 sin x ;6 = x [0; 12]. Die zugehrige Kurve K ist eine Sinuskurve mit der Amplitude a = 2 und der Periode 62p 12.= =Daher besitzt K im Definitionsbereich den Hochpunkt H(3 | 2), den Tiefpunkt T(9 | 2) und die Schnittpunkte N1(0 | 0), N2(6 | 0) und N3(12 | 0) mit der x-Achse. Eine Ursprungsgerade g mit positiver Steigung hat eine Gleichung der Form: y = m x;m > 0. Die beiden beschriebenen Flchen haben dann den gleichen Inhalt, wenn gilt: 60606200 (f (x) mx) dx2sin x mx dx612 1cos x mx6 212 1218 m2418 m.= | |= \ \ ( |= (\ = + = Daraus folgt fr die Steigung von g:= 4m 0, 42.3 97Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 22 Tageslnge b)Aufgrund der Symmetrieeigenschaften von K muss das einbeschriebene Rechteck sym- metrisch zur Geraden x = 3 liegen. Fr die x-Werte der beiden Eckpunkte aufK kann man ansetzen: xP = 3 + u und xQ = 3 u mit 0 < u < 3. Der Flcheninhalt des Rechtecks ist dann: P Q PA(u) (x x ) f (x )2 u 2 sin (3 u)64u sin (3 u) ; 0 u 3.6= = + = + < < Mit dem GTR bestimmt man das Maximumder Funktion A: Der grtmgliche Inhalt, den ein ein-beschriebenes Rechteck haben kann, ist ungefhr 4,286. Anderer Lsungsweg: Da die Gerade x = 3 Symmetrieachse des Rechtecks ist, knnte man mit P(xP | f(xP)) den Inhalt des Rechtecks durchP P P P P PA(x ) 2 (x 3) f (x ) 4 (x 3) sin x ; 3 x 6,6 = = < < ausdrcken und untersuchen. c)Die Tageslnge wird durch die Funktion T mit T(t) a b sin t6 = + beschrieben, wobei t in Monaten ab dem 21. Mrz gerechnet wird. Am 21. Juni, also drei Monate nach dem 21. Mrz, betrgt die Tageslnge 18,24 Stunden. Sechs Monate spter, also 9 Monate nach dem 21. Mrz, betrgt sie nur noch 5,76 Stunden. Einsetzen in die Funktionsgleichung von T liefert das folgende LGS, das man mit dem GTR oder nach dem Gau-Verfahren lst: T(3) a b sin 3 18, 24 a b 18, 24 a b 18, 24 a 126T(9) a b sin 9 5, 76 a b 5, 76 2a 24 b 6, 246 = + = + = + = = = + = = = = . Fr die Funktion T ergibt sich damit die Gleichung: . = + T(t) 12 6, 24 sin t6 Am 21. April ist t = 1 und man erhlt: T(1) 12 6, 24 sin 15,12.6 = + = Die Tageslnge am 21. April betrgt 15,12 Stunden. 98Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 22 Tageslnge Mittlere Tageslnge (in Stunden) fr den Zeitraum vom 21. Juni (t = 3) bis zum 21. September (t = 6): 6 6GTR3 31 1T(t) dt 12 6, 24 sin t dt .6 3 3 6 = = + T 16, 0nderungsrate: Die Sinuskurve ( )6y sin t , t [0; 12],= hat ihre grten bzw. kleinsten Steigungen in den Nullstellen t1 = 0, t2 = 6 und t3 = 12. Dies gilt dann auch fr die Funktion T. Es ist T(0) = T(6) = T(12) = 12. Die Tageslnge ndert sich also am raschesten am 21. Mrz (t = 0 bzw. t = 12) und am 21. September (t = 6). Sie betrgt dann jeweils 12 Stunden. 99Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 23 Straenkreuzung Aufgabenschwerpunkt: trigonometrische Funktionen; ganzrationale Funktionen Stichworte: Bestimmung von Funktionsgleichungen; Stetigkeit; Differenzierbarkeit Zwei geradlinig verlaufende Straen bilden an ihrer Kreuzung einen Winkel von etwa 53. Diese Kreuzung soll durchein zustzliches Straenstck entlastetwerden. Die Situation kann in einem geeigneten Koordinatensystem durch zwei Geradenund eine Verbindungskurve V dargestellt werden. Dabei mndet V an den Stellen2 und 2 ohne Knick in die Geraden ein (siehe Skizze, Maangaben in km). a)Zeigen Sie, dass man fr die beiden Geraden die Gleichungen 1y x2=bzw. 1y x2= verwenden kann. Die Verbindungskurve V wird durch eine Funktion f beschrieben. Welchen Bedingungen muss die Funktion f deshalb gengen? An den bergangsstellen soll auerdem f ''(2) = f ''(2) = 0 gelten. Begrnden Sie, dass 4 2f (x) ax bx c = + +einen mglichen Ansatz darstellt, wenn alle genannten Bedingungen erfllt sein sollen. Bestimmen Sie f(x). b)Erstellen Sie einen weiteren Vorschlag fr eine Verbindungskurve auf der Grundlage einer trigonometrischen Funktion h, die h''(2) = h''(2) = 0 erfllt. 100Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 23 Straenkreuzung Lsungshinweise a)Beachten Sie, dass 2 Steigungswinkel einer Geraden ist. Tipp: Zusammenhang zwischen Steigungswinkel und Steigung m: m = tan(). Funktionsbestimmung: berlegen Sie, dass die beiden Geraden Tangenten an V sein mssen.Stellen Sie aus den Angaben ein LGS fr a, b und c auf. Aufgrund der Symmetrie der Kurve gengt es, dazu nur den Wert x = 2 zu betrachten. b)Weiterer Vorschlag fr V: Aufgrund der Symmetrie bietet sich eine Kosinuskurve an. Machen Sie den Ansatz h(x) = a cos(k x) + b. 101Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 23 Straenkreuzung Lsung a)Der Steigungswinkel der einen Ursprungsgeraden ist: 5326, 5 .2 2 = = Die Gerade hat daher die Steigung: tan tan 26,5 .2= = m 0, 499Mit guter Nherung kann daher fr diese Gerade die Gleichung 12y x =verwendet wer-den. Entsprechend sieht man, dass die zweite Gerade durch die Gleichung 12y x = beschrieben werden kann. Die Verbindungskurve V soll durch eine Funktion f beschrieben werden. Damit V an den Stellen 2 und 2 ohne Knick in die Geraden einmndet, muss f die folgenden Bedingungen erfllen: f ( 2) f (2) 1 = = (Stetigkeit) 1 1f '( 2) ; f '(2)2 2 = = (Differenzierbarkeit) Auerdem soll an den bergangsstellen gelten: f ''( 2) f ''(2) 0. = =Anmerkung:Diese letzte Bedingung garantiert, dass sich die Krmmung der Strae an diesen Stellen stetig ndert. Dies ist fr die Praxis wichtig, da sonst an den bergangsstellen Zentrifugal-krfte unvermittelt auftreten wrden und z. B. der Einschlag des Lenkrades ruckartig erfol-gen msste. Durch f(x) = ax4 + bx2 + c ist ein mglicher Ansatz fr f gegeben, da das Schaubild eine zur y-Achse symmetrische ganzrationale Kurve 4. Ordnung darstellt, wobei die Koeffizienten a, b und c sich aus den drei Bedingungen von oben berechnen lassen. Es gilt: 3 2f '(x) 4ax 2bx; f ''(x) 12ax 2b. = + = +Mit den oben genannten Bedingungen fr f erhlt man das LGS (aufgrund der Symmetrie gengt es, nur die Stelle 2 zu betrachten): f (2) 1 16a 4b c 1 16a 4b c 11 1 1f '(2) ; 32a 4b ( 0,5) 32a 4b2 2 21f ''(2) 0 48a 2b 0 32a4= + + = + + == + = + == + = = 1 3 3a ; b ; c .128 16 8= = = Etwas schneller geht hier die Lsung des LGS mit dem GTR. Die gesuchte Funktion f hat die Gleichung 4 21 3 3f(x) x x .128 16 8= + +102Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 23 Straenkreuzung b)Geht man wieder von einer zur y-Achse symmetrischen Verbindungskurve V aus, so bietet sich eine Kosinuskurve als Lsung an. Mit dem Ansatz h(x) a cos(kx) b, = +a, k 0, fr die Funktion h erhlt man die Ableitungen: 2h'(x) a k sin(kx); h''(x) a k cos(kx). = = Wegen der Symmetrie der Kurve muss h nur noch die folgenden Bedingungen erfllen: 1h(2) 1; h'(2) ; h''(2) 0.2= = =Dies fhrt auf die drei Gleichungen: 2(1) a cos(2k) b 11(2) a k sin(2k)2(3) a k cos(2k) 0. + = = = Aus Gleichung (3) erhlt man wegen a, k 0:cos(2k) = 0 und eine mgliche Lsung fr k ergibt sich aus 2k ; k .2 4 = =Einsetzen in Gleichung (2) liefert: 1 1 2a sin 2 ; a ; a .4 4 2 4 2 = = = Aus der ersten Gleichung (1) erhlt man schlielich: 2cos 2 b 1; b 1.4 + = = Ein weiterer mglicher Verlauf fr die Verbindungskurve V wird somit beschrieben durch die Funktion h mit 2h(x) = cos x +1.4 103Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 24 Sauerstoffkonzentration Aufgabenschwerpunkt: trigonometrische Funktionen; Exponentialfunktionen Stichworte: nderungsrate; beschrnktes Wachstum; Rekonstruktion des Bestandes; Bestimmung von Funktionsgleichungen; Mittelwert a)Bei einem Fluss nimmt das Wasser whrend des Flievorgangs Sauerstoff aus der Luft auf.Bei einer Messung an einer Stelle des Flusses wird eine Sauerstoffkonzentration von mg7

festgestellt. Unter bestimmten Bedingungen und vereinfachten Annahmen gilt fr die nderungsrate der Sauerstoffkonzentration K(t) im Wasser nherungsweise: 0,4 tK'(t) 1, 2 e ; = t in Tagen seit der Messung, K(t) in mg.

Bestimmen Sie einen Funktionsterm fr K(t) und skizzieren Sie das Schaubild dazu. Interpretieren Sie das Ergebnis. b)Tatschlich ndert sich die Sauerstoffkonzentration im Verlauf eines Tages. Neben der Aufnahme aus der Luft wird Sauerstoff auch im Wasser u. a. durch bestimmte Arten von Algen in Abhngigkeit von der Sonnenlichteinstrahlung produziert. Gleichzeitig wird whrend des ganzen Tages Sauerstoff von allen Organismen im Wasser verbraucht. Eine Messung an einer Stelle des Flusses ber einen ganzen Tag hinweg ergab ein Mini-mum der Sauerstoffkonzentration im Wasser von mg4, 2

um 4.00 Uhr morgens und ein Maximum von mg11,8

um 16.00 Uhr am Nachmittag. Die Messwerte knnen nherungsweise durch eine Sinusfunktion beschrieben werden. Geben Sie einen geeigneten Funktionsterm an und skizzieren Sie das Schaubild dazu.Wie gro war nach diesem Modell die Sauerstoffkonzentration um 0.00 Uhr? Um wie viel Uhr war die Zunahme der Konzentration am grten? Berechnen Sie die mittlere Sauerstoffkonzentration im Wasser zwischen 6.00 Uhr morgens und 20.00 Uhr abends. 104Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 24 Sauerstoffkonzentration Lsungshinweise a)Funktionsterm fr K: K ist die Stammfunktion von K', fr die K(0) = 7 gilt. b)Trigonometrische Funktion C: Bestimmen Sie aus den Angaben fr das Maximum und Minimum der Konzentration zunchst eine Sinuskurve mit der Gleichung 2y a sin t c.T = +

berlegen Sie anschlieend, wie Sie das Schaubild in t-Richtung verschieben mssen, damit der Tiefpunkt bei t = 4, der Hochpunkt bei t = 16 zu liegen kommt. Grte Zunahme der Konzentration: Untersuchen Sie die Ableitung von C auf Maxima. Mittlere Sauerstoffkonzentration: Mittelwert der Funktionswerte einer Funktion f auf [a; b]: ba1m f (x)dxb a= 105Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 24 Sauerstoffkonzentration Lsung a)Da K eine Stammfunktion von K' ist, kann man fr einen Funktionsterm fr K ansetzen: 0,4 t 0,4 t1K(t) 1, 2 e c 3 e c.0, 4 = + = + Die Sauerstoffkonzentration zum Zeit- punkt t = 0 betrug mg7 .

Aus dieser Anfangsbedingung ergibtsich die Konstante c: 7 K(0) 3 c; c 10. = = + =Die Sauerstoffkonzentration wird somit durch 0,4 tK(t) 3 e 10 = +beschrieben (t in Tagen seit der Messung, K(t) inmg

). Es handelt sich bei diesem Vorgang um beschrnktes Wachstum.Wegentlim K(t) 10=nhert sich die Konzentration (unter den gegebenen Annahmen) einem Sttigungswert von mg10

an. b)Fr die gesuchte trigonometrische Funktion machen wir den Ansatz: C(t) a sin(k t b) c = + +(C(t) inmg,

t in h seit 0.00 Uhr). Zu bestimmen sind a, k, b und c. Das Minimum mg4, 2

der Konzentration liegt bei tmin = 4, das Maximum mg11,8

bei tmax = 16. Daraus ergibt sich zunchst die Periodendauer T (in h) der Sinusfunktion aus: max min max min1t t T; T 2 (t t ) 2 (16 4) 24,2 = = = =und damit: 2k .T 12 = =c ist der Mittelwert aus Minimum und Maximum: 11,8 4, 2c 8.2+= =106Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 24 Sauerstoffkonzentration Fr a gilt: 11,8 4, 2a 3,8.2| | = =Das Schaubild der gesuchten Funktion entsteht nun durch eine Verschiebung int-Richtung entweder aus (einem Teil) der Kurve mit der Gleichung y 3,8 sin t 812 = + um t = 10 nach rechts (siehe obere Abbil-dung), oder aus (einem Teil) der Kurve mit der Gleichung y 3,8 sin t 812 = + um t = 2 nach links (siehe untere Abbil-dung). Man erhlt so fr 0 t 24: C(t) 3, 8 sin (t 10) 81253, 8 sin t 812 6 = + = + oder C(t) 3, 8 sin (t 2) 8 3, 8 sin t 8.12 12 6 = + + = + + Schaubild von C: Andere Mglichkeit fr die Bestimmung von b: Mit dem AnsatzC(t) 3,8 sin t b 812 = + + folgt aus C(16) = 11,8: 4 4 53,8 sin 16 b 8 11,8; sin b 1; b ; b .12 3 3 2 6 ( | + + = + = + = = ( \ Entsprechend ergibt sich aus dem AnsatzC(t) 3,8 sin t b 812 = + + der Wertb .6=107Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 24 Sauerstoffkonzentration Fr die weitere Rechnung wird die Funktion C im Bereich 0 t 24 durch den ersten Term fr C(t) beschrieben. Sauerstoffkonzentration um 0.00 Uhr: 5C(0) 3,8 sin 8 6,1.6 = + = Um Mitternacht betrug die Sauerstoffkonzentration im Wasser.mg6,1

Grte Zunahme der Konzentration: Die nderung der Konzentration wird durch die Ableitung C' von C beschrieben. Eine Zunahme der Konzentration liegt vor, wenn C'(t) > 0 ist. Mit dem GTR erhlt man an der Stelle t = 10 ein positives Maximum von C'.Es ist im betrachteten Bereich global. Oder: Die grte positive Ableitung hat die Sinusfunktion C an der Wendestelle tw, die in der Mitte zwischen tmin = 4 und tmax = 16 liegt, d. h. es gilt tw = 10. Um 10.00 Uhr war die Zunahme der Sauerstoffkonzentration am grten. (Sie betrug zu diesem Zeitpunkt ungefhr mg1, 0

pro h.) Mittlere Sauerstoffkonzentration: Der Mittelwert der Funktion C zwischen t = 6 und t = 20 ist: 206206GTR1M C(t) dt20 61 53,8 sin t 8 dt20 6 12 61131,828 9, 4.14= = + Zwischen 6.00 Uhr morgens und 20.00 Uhr abends betrug die mittlere Sauerstoff-konzentration im Wasser des Flusses ungefhr.mg9, 4

108Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 25 Folgen Aufgabenschwerpunkt: Folgen; vollstndige Induktion Stichworte: rekursive /explizite Darstellung; Monotonie; Konvergenz; vollstndige Induktion a)Weisen Sie nach, dass die Folge (an) mit nnn5 3 na5+ =konvergiert. b)Die Folge (an) ist rekursiv gegeben durch 1 n 1 n1 1a ; a a2 (n 1)(n 2)+= = ++ + . Geben Sie fr an einen Term in geschlossener Form an und beweisen Sie Ihr Ergebnis. c)Die Folge (an) ist rekursiv gegeben durch n 1 n 1n 1a a ; a 1.n 2++= =+ Begrnden Sie, dass die Folge streng monoton fllt. Stellen Sie an in expliziter Form dar und beweisen Sie Ihr Ergebnis. 109Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 25 Folgen Lsungshinweise a)Eine beschrnkte und monotone Folge ist konvergent. Tipps: Eine Folge (an) ist monoton fallend (wachsend), wenn fr alle n 7 gilt: an an + 1 (an an + 1). Sie ist nach unten (oben) beschrnkt, wenn es eine Zahl s (S) gibt, so dass fr alle n 7 gilt: an s (an S). b)Berechnen Sie zunchst von Hand oder mit dem GTR einige Folgenglieder. Stellen Sie die Ergebnisse in Bruchform dar. Daraus lsst sich eine Vermutung ablesen, die Sie mit voll-stndiger Induktion beweisen mssen. Verwenden Sie beim Induktionsschritt die Rekur-sionsformel. c)Monotonie: berlegen Sie, dass der Bruchterm in der Rekursionsformel immer < 1 ist. Verfahren Sie ansonsten wie in Teilaufgabe b. 110Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 25 Folgen Lsung a)Man untersucht die Folge (an) mit nn5 3 nn5a+ =auf Monotonie und Beschrnktheit. Monotonie:Die ersten Folgenglieder 8 31 1341 2 35 25 125a 1, 6; a 1, 24; a 1, 07 = = = = = legen die Vermu-tung nahe, dass die Folge streng monoton fllt.Es gilt:n n 1n 1nn 1n n 1n n 1n 1 n 1a a5 3 (n 1)5 3 n55 55 (5 3n) 5 3n 35 15 n 5 3 n 3115 n 3 n 3 12n 3 n .4++++++ +>+ ++ > + > + + + > + + > + > > Da die letzte Ungleichung fr alle n 7 erfllt ist, ist die Folge streng monoton fallend. Beschrnktheit: Es gengt, eine untere Schranke zu bestimmen. Wegen 5n > 0 und 3 n > 0 gilt auch nnn5 3na 05+= >fr alle n 7.s = 0 ist somit eine untere Schranke. Eine monoton fallende und nach unten beschrnkte Folge ist konvergent. b)Mit der Rekursionsvorschrift 1n 1 n(n 1)(n 2)a a++ += +und dem ersten Folgenglied 112a =berechnet man zunchst einige Folgenglieder: 2 3 42 3 4a ; a ; a ;3 4 5= = = Dies fhrt auf die Vermutung fr eine geschlossene Darstellung: nna .n 1=+ Beweis durch vollstndige Induktion(1) Induktionsanfang fr n = 1: 11 1a .2 1 1= =+

(2) Induktionsschritt: Induktionsannahme: fr ein beliebiges k 7 gelte: kka .k 1=+ Induktionsbehauptung: k 1k 1a .k 2++=+ 111Baden-Wrttemberg Wahlteil Analysis: bungsaufgabe 25 Folgen Induktionsschluss: In.Vork 1 k221 k 1a a(k 1)(k 2) k 1 (k 1)(k 2)k (k 2)1 k 2k 1(k 1)(k 2) (k 1)(k 2) (k 1)(k 2)(k 1)k 1.(k 1)(k 2) k 2+= + = ++ + + + + ++ += + =+ + + + + +++= =+ + + Somit gilt fr alle n 7: nna .n 1=+ c)Fr jedes n 7 ist die Folge (an) gegeben durch 1 n 1 nn 1a 1; a a .n 2++= = + Monotonie: Es gilt fr alle n > 0:

n 1 n n n1n 1a a a 1 a .n 2+ 22. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schattens der Pyramidenspitze S in Abhngigkeit von a.Untersuchen Sie, wohin der Schatten von S wandert, wenn der Strahler auf der x1-Achse immer weiter von der Pyramide entfernt wird. 117Baden-Wrttemberg Wahlteil Geometrie: bungsaufgabe 1 Pyramide 1 Lsungshinweise a)Punkt C: Fertigen Sie eine Skizze an. Beachten Sie, dass fr den Punkt C gelten muss: DC AB = . Pyramidenspitze S: Beachten Sie, dass S ber dem Mittelpunkt M der Grundflche liegt.b)Koordinatengleichungen der Ebenen: Stellen Sie zunchst eine Vektorgleichung der Ebene auf, in der die drei gegebenen Punkte liegen. Bestimmen Sie dann einen Normalen-vektorn

der Ebene und mit seiner Hilfe eine Koordinatengleichung der Ebene. Tipp: Es sei 123nn nn =

ein Normalenvektor der Ebene E und P irgendein Punkt in E. Dann gilt E:1 1 2 2 3 3n x n x n x a, + + =wobei sich a durch Punktprobe mit P bestimmen lsst. Schnittwinkel: Tipp: Fr den Schnittwinkel zweier Ebenen gilt 1 21 2n ncos ,n n = wobei 1 2n , n Normalenvektoren der beiden Ebenen sind. c)Flcheninhalt des Schattens der Pyramide: berlegen Sie, welche Ecken der Pyramide fr die Bestimmung des Pyramidenschattens eine Rolle spielen.Bestimmen Sie deren Schattenpunkte. Bei dem entstehenden Schattendreieck lassen sich die Lngen von Grund-seite und Hhe ohne groe Rechnung bestimmen. Wandernder Strahler: Bestimmen Sie den Schatten von S in Abhngigkeit von a. Untersuchen Sie die Grenzwerte der Koordinaten des Schattens fr a . 118Baden-Wrttemberg Wahlteil Geometrie: bungsaufgabe 1 Pyramide 1 Lsung a)Gegeben sind die Eckpunkte A(4 | 2 | 0), B(10 | 6 | 0) und D(12 | 8 | 0) der quadratischen Pyramidengrundflche. Eckpunkt C: Fr den vierten Eckpunkt C erhlt man wegenDC AB = 12 6 18OC OD DC OD AB 8 8 00 0 0 = + = + = + =

C(18 | 0 | 0). Pyramidenspitze S: Die Mitte der Grundflche ist der Mittelpunkt der Strecke BD:M1(11 | 1 | 0). Die Grundflche selbst liegt in der x1x2-Ebene, die Spitze S der Pyramide 10 m senkrecht ber M1. Also gilt: S(11 | 1 | 10). Lngen der Pyramidenkanten (in m):68 100071 15010 = = = = =

AB 10AS 12, 25 b)Ebene E1, in der die Punkte A, B und S liegen: 14 6 7E : x OA s AB t AS 2 s 8 t 1 ; s, t .0 0 10 = + + = + + 0

Fr einen Normalenvektor 123nn1nn =

von E1 gilt: 1 1 21 1 2 30 AB n 6n 8n.0 AS n 7n n 10n= = = = +

Whlt man n1 = 8, dann folgt n2 = 6, n3 = 5. Also 8615n . =

Ansatz fr eine Koordinatengleichung von E1: 8x1 + 6x2 5x3 = c. Einsetzen der Koordinaten von A(4 | 2 | 0) liefert: c = 44. 119Baden-Wrttemberg Wahlteil Geometrie: bungsaufgabe 1 Pyramide 1 Eine Koordinatengleichung ist somit: E1: 8x1 + 6x2 5x3 = 44. Ebene E2, in der die Punkte A, D und S liegen: 24 8 7E : x OA s AD t AS 2 s 6 t 1 ; s, t .0 0 10 = + + = + + 0

Ein Normalenvektor 123mm2mn =

von E2 erfllt die Bedingungen: 2 1 22 1 2 30 AD n 8m 6m.0 AS n 7m m 10m= = += = +

Whlt man m1 = 6, dann ergibt sich m2 = 8, m3 = 5. Also 6825n . =

Mit dem Ansatz fr E2: 6x1 8x2 5x3 = c und A(4 | 2 | 0) E2 erhlt man als Koordi-natengleichung: E2: 6x1 8x2 5x3 = 8. Schnittwinkel der Ebenen E1 und E2: 8 66 85 51 21 2n n25 1cos ;125 5125 125 n n = = = = 78,46. c)Flcheninhalt des Schattens: Der Schatten der Pyramide wird durch die Schnittpunkte S', B' und D' der Geraden PS, PB und PD mit der x2x3-Ebene festgelegt. Es gilt: 1 1 12 2 23 3 322 11PS: x OP t PS 0 t 1 , t ;0 1022 12PB: x OP t PB 0 t 6 , t ;0 022 10PD: x OP t PD 0 t 8 , t .0 0 = + = + = + = + = + = + 000

Schnittpunkt der x2x3-Ebene: x1 = 0 mit ( ) 1 12 23 3| | PS: 22 11t 0; t 2; S'(0 2 20);11| | PB: 22 12t 0; t ; B'(0 11 0);61188PD: 22 10t 0; t ; D' 0 0 .55 = = = = = = Das Dreieck B'D'S' hat die Grundseite 88 1435 5g ' ( 11) = =und die Hhe h' = 20. 120Baden-Wrttemberg Wahlteil Geometrie: bungsaufgabe 1 Pyramide 1 Der Inhalt der Schattenflche (in m2) ist somit: 1 1 143g' h' 20 .2 2 5= = = A' 286Schatten der Pyramidenspitze in Abhngigkeit von a: Der Strahler befindet sich nun im Punkt P*(a | 0 | 0) mit a > 22. Der Schatten S* der Pyramidenspitze S ist der Schnittpunkt der Geraden *a 11 aP S: x 0 t 1 , t ,0 10 = + 0

mit der x2x3-Ebene x1 = 0: aa t (11 a) 0 ; t ;a 11+ = = ( ).*a 10aS 0a 11 a 11 Wegen 10aaa 11 a 11a alim 1, lim 10 = = wandertderPunktS*gegendenGrenzpunkt , | | S(0 1 10) wennderStrahlersichaufderx1-AchseimmerweitervonderPyramide entfernt. 121Baden-Wrttemberg Wahlteil Geometrie: bungsaufgabe 2 Pyramide 2 Stichworte: Sechseck; Lngen von Strecken; Ebenengleichungen; Schnitt von Geradenund Ebenen; Winkel zwischen Ebenen; Lotgerade; Pyramidenvolumen In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte P(4 | 2 | 0), Q(2 | 4 | 0), R(0 | 4 | 2) und S(0 | 2 | 4) gegeben. a)Zeigen Sie, dass die Strecken PQ, QR und RS gleich lang sind. Zeichnen Sie diese Strecken in ein Koordinatensystem ein. Zeigen Sie, dass die Punkte P, Q, R und S in einer Ebene E liegen, und bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E.Berechnen Sie den Winkel zwischen E und der x1x2-Ebene. (Teilergebnis: E: x1 + x2 + x3 6 = 0) b)Die Punkte P, Q, R und S lassen sich durch zwei Punkte T und U zu einem ebenen regel-migen Sechseck mit Mittelpunkt M(2 | 2 | 2) ergnzen. Bestimmen Sie die Koordinaten von T und U, und zeichnen Sie das Sechseck in das vor-handene Koordinatensystem ein. Das Sechseck ist die Grundflche einer senkrechten Pyramide, deren Spitze in derx1x2-Ebene liegt. Bestimmen Sie die Koordinaten der Spitze und den Rauminhalt der Pyramide. 122Baden-Wrttemberg Wahlteil Geometrie: bungsaufgabe 2 Pyramide 2 Lsungshinweise a)Gleiche Lnge der Strecken PQ, QR und RS: Die Streckenlngen sind gleich den Betrgen der entsprechenden Vektoren. Tipp: Betrag eines Vektors 12 2 22 1 2 33aa a : a a a a .a = = + + Punkte P,Q,R und S in einer Ebene: Bestimmen Sie eine Ebene E, die durch drei der vier Punkte festgelegt ist. Zeigen Sie, dass auch der vierte Punkt in E liegt. Winkel zwischen E und der x1x2-Ebene: Welche Form hat ein Normalenvektor der x1x2-Ebene?Tipp: Fr den Schnittwinkel zweier Ebenen gilt 1 21 2n ncos .n n = Dabei sind 1 2n , n Normalenvektoren der beiden Ebenen.b)Punkte T und U: Fertigen Sie eine Skizze des Sechsecks an. Beachten Sie, dass derPunkt M Symmetriepunkt des Sechsecks ist. Was bedeutetdies fr die VektorenMT

undMU

? Spitze der Pyramide: Da die Pyramide senkrecht ist, muss ihre Spitze auf der Lotgeraden zur Grundflche durch den Mittelpunkt M liegen.Volumen der Pyramide: Beachten Sie, dass die Grundflche aus 6 kongruenten gleichseitigen Dreiecken besteht.Tipps: Flcheninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlnge a: 23A a .4= Die Formel fr die das Volumen einer Pyramide lautet: 1V G h.3= 123Baden-Wrttemberg Wahlteil Geometrie: bungsaufgabe 2 Pyramide 2 Lsung a)Gegeben sind die Punkte P(4 | 2 | 0), Q(2 | 4 | 0), R(0 | 4 | 2) und S(0 | 2 | 4). Streckenlngen: Fr die Vektoren2 2 0PQ 2 , QR 0 und RS 20 2 2 = = =

gilt: .

= = = 8 PQ QR RSD. h. die Strecken PQ, QR und RS sind gleich lang. Ebene: DaPQ

undQR

linear unabhngig sind,legen die Punkte P, Q und R eine Ebene Efest. Fr einen Normalenvektor 123nnnn =

von Emuss gelten: 1 21 2 31 30 n PQ 2n 2n; eine Lsung des LGS ist : n n n 1.0 n QR 2n 2n= = += = == = +

Mit dem Ansatz fr E: x1 + x2 + x3 = c erhlt man durch Einsetzen der Koordinaten von P(4 | 2 | 0) E schlielich:E: x1 + x2 + x3 = 6. Der Punkt S(0 | 2 | 4) liegt ebenfalls in E, denn es gilt: 0 + 2 + 4 = 6. (Dies folgt aber auch bereits ausRS QR PQ.) =

Winkel zwischen E und der x1x2-Ebene: 1 01 01 11cos ;3 1 3 = = 54, 74b)Koordinaten von T und U: M(2 | 2 | 2) ist der Symmetriepunkt des regelmigen Sechsecks und somit Mittelpunkt der Strecken QT und RU. Daher folgt: 2 0 2OT OM MT OM QM 2 2 0 ;2 2 4 = + = + = + =

T(2 | 0 | 4) 2 2 4OU OM MU OM RM 2 2 0 ;2 0 2 = + = + = + =

U(4 | 0 | 2) (oder:OT OS QP; OU OP RS.) = + = + 124Baden-Wrttemberg Wahlteil Geometrie: bungsaufgabe 2 Pyramide 2 Spitze der Pyramide: Die Spitze der beschriebenen Pyramide ist der Schnittpunkt der x1x2-Ebene: x3 = 0 mit der Lotgeradenzu E durch M. Gleichung der Lotgeraden: 2 1: x 2 s 1 .2 1 = +

Schnitt vonmit der x1x2-Ebene: 2 s 0; s 2; + = = Schnittpunkt: O(0 | 0 | 0). Der Ursprung O(0 | 0 | 0) ist die gesuchte Pyramidenspitze. Volumen der Pyramide: Die Grundflche der Pyramide besteht aus 6 kongruenten gleichseitigen Dreiecken mit der SeitenlngePQ 8 =

(vgl. a), d. h. fr ihren Flcheninhalt gilt:2( 8)G 6 3 12 3.4= = Hhe der Pyramide: 2h OM = 2 12;2 = =

Fr das Volumen der Pyramide gilt:.1 1V G h 12 3 12 243 3= = = 125Baden-Wrttemberg Wahlteil Geometrie: bungsaufgabe 3 Teilverhltnis Stichworte: lineare Unabhngigkeit; Teilverhltnisse In einem Dreieck ABC ist Mc der Mittelpunkt der Seite AB. Der Punkt N liegt auf der Seite AC. Es gilt: 1AN AC.3= T ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden McC und der Strecke NB. In welchem Verhltnis teilt T die Strecken McC und NB? 126Baden-Wrttemberg Wahlteil Geometrie: bungsaufgabe 3 Teilverhltnis Lsungshinweise Beschreiben Sie zwei Dreiecksseiten durch zwei Vektorena

undb.

Drcken Sie die Vektoren cM C

undBN

durch a

undb

aus. Stellen Sie dann einen geschlossenen Vektorzug auf, der ber den Schnittpunkt T fhrt. Formen Sie ihn so um, dass nur noch die Vektorena

undb

vorkommen. Beachten Sie schlielich, dassa

undb

linear unabhngig sind. Tipp: Zwei Vektorena

undb

sind genau dann linear unabhngig, wenn ausr a s b o + =

folgt r = s = 0. 127Baden-Wrttemberg Wahlteil Geometrie: bungsaufgabe 3 Teilverhltnis Lsung Teilverhltnisse: Die beiden Vektoren a AB =

undb AC = sind linear unabhngig. Die Vektoren ce M C =

undf BN = lassen sich durcha

undb

aus-drcken:

e a b = +12 und 1f a b.3= +

Geschlossener Vektorzug, der ber den Teilpunkt T fhrt: 1 1a x e y f b o;2 31 1 1 1a x a b y a b b o;2 2 3 31 1 1 1x y a x y b o.2 2 3 3+ + = + + + + = + + =

Daa

undb

linear unabhngig sind, muss gelten: 1 1 1 1 1 1 12x x y 0 x y x y5 2 2 2 2 2 2; ; ; .1 1 1 1 5 2 2x y 0 x y y y3 3 3 3 3 3 5= = = = + = + = = = Somit teilt der Punkt T die Strecke McC im Verhltnis 1 : 4 und die Strecke NB im Verhltnis 2 : 3. 128Baden-Wrttemberg Wahlteil Geometrie: bungsaufgabe 4 Pyramide 3 Stichworte: Winkel zwischen Ebenen; Pyramidenstumpf; Schnitt von Ebenen und Geraden; Lotgerade; Abstandsberechnung mit HNF Eine gyptische Pyramide hat die Form einer senkrechten, quadratischen Pyramide. Die Seitenlnge des Quadrats betrgt 144 m, die Hhe 90 m. Zur Vermessung wird ein kartesisches Koordinatensystem mit der Lngeneinheit 1 m verwendet, dessen Ursprung in der Mitte der quadra-tischen Grundflche liegt und dessen x1- und x2-Achse parallel zu den Grundkanten verlaufen. Die Bezeichnung der Punkte wird gem der nebenstehenden Skizze gewhlt. a)Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E1 durch die Punkte A, B und S. Wie gro ist der Neigungswinkel einer Seitenflche zur Grundflche? (Teilergebnis: E1: 5x2 + 4x3 = 360) b)Die gypter bauten die Pyramide schichtweise. Zum Transport der Steine zur jeweiligen Schicht wurde eine Rampe bentigt. Die zum Transport der Steine bentigte Rampen-flche ist rechteckig und liege nun in der Ebene E2: 5x2 + 26x3 = 1 350. Berechnen Sie die Hhe des bisher gebauten Pyramidenstumpfes. Wie lang ist die zum Transport der Steine bentigte Rampenflche? c)Der Punkt Q ist der Schwerpunkt der Seitenflche DAS. Senkrecht zu dieser Seitenflche verluft ein Schacht, dessen Mittelachse von Q ausgeht und in 14 m Hhe ber der Grund-flche am Eingang des Knigsgrabs endet. Berechnen Sie die Koordinaten dieses Endpunktes. Eine weitere