Übungsbeispiele

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Beispiel – Kletterseile – Teil 1Eine Firma möge Kletterseile für Turnsäle herstellen, die sich durch ihre Reißlast unterscheiden.

Dabei sei in den einzelnen Sorten diese Reißlast normalverteilt mit unterschiedlichen Mittelwerten und Standardabweichungen.

Beispiel - KletterseileEine Schule bestellt ein Seil dessen Reißqualität in kg mit μ=3600 und σ=80 beschrieben ist.

Die Firma lagert die Seilsorten in verschiedenen Kisten, die versehentlich nicht beschriftet sind.

Beispiel - KletterseileDer Mitarbeiter, der die Bestellung bearbeitet, greift in eine der Kisten und zieht ein Seil mit einer Reißlast von 3690kg heraus!

Helfen Sie dem Mitarbeiter weiter!

Lösung: Beispiel - KletterseileHypothesen:

H0: Die gewählte Kiste ist die richtige Kiste. μ=3600

H1: Sie ist es nicht! μ ungleich 3600

Lösung: Beispiel - KletterseileEinseitiger Test oder zweiseitiger Test?

AW: zweiseitiger Test!

Warum?

Es liegen keine Angaben über die Richtung der Alternativhypothesen vor!

Für das Beispiel ergibt sich folgender z-Wert:

13,180

360036900

xz

Nachschlagen in der Standardnormalverteilungstabelle:

Standardnormalverteilung

Für das Beispiel ist aber der Antistreubereich gesucht:

-1,13 1,13

Wie kann die rote Fläche berechnet werden?= 1 – „der weißen Fläche“

Streubereich

1)(2 zP

Warum?

)(z )(1 z

Streubereich

1)(2)(1)(

)](1[)(

zzz

zzP

Antistreubereich

))(1(2

)(22

]1)(2[1

z

z

zP

Für das Beispiel ergibt sich folgender Ablehnungsbereich:

258,0)871,01(2))(1(2 zP

Aufgrund 0,258>0,05 behält man die Hypothese, die richtige Kiste gefunden zu haben, bei! (Irrtumswahrscheinlichkeit: 26%)

Beispiel – Kletterseile – Teil 2Die Firma möge nun nur zwei Arten von Kletterseilen für Turnsäle herstellen, die sich durch ihre Reißlast unterscheiden.

Sorte 1: μ=3600 und σ=80

Sorte 2: μ=3800 und σ=80

Beispiel – Kletterseile – Teil 2Welche Änderungen für die Rechnung ergeben sich dadurch?

Ablehnungsbereich?

nur auf der rechten Seite der Standardnormalverteilung

Einseitiger Test!

Für das Beispiel ergibt sich erneut folgender z-Wert:

13,180

360036900

xz

Nachschlagen in der Standardnormalverteilungstabelle:

Standardnormalverteilung

1 – 0,871 = 0,129

Standardnormalverteilung

1 – 0,871 = 0,129

Ablehnungsbereich = Irrtumswahrscheinlichkeit

Es gilt:

Bei einem einseitigen Test ergebende Irrtumswahrscheinlichkeit ist also kleiner als bei einem zweiseitigen Test!

Bei einem einseitigen Test wird die Nullhypothese eher abgelehnt als

bei einem zweiseitigen Test!

Wiederholung:

Die Wahrscheinlichkeit, mit der das gefundene Ergebnis oder extremere Ergebnisse bei Gültigkeit von H0 eintreten, bezeichnet man als α-Fehlerwahrscheinlichkeit oder Irrtumswahrscheinlichkeit.

Ist die Richtung der H1 vorgegeben, kann man einseitig testen.

Diese Zusatzinformation erlaubt es eher signifikante Unterschiede aufzudecken.

β-Fehler

• H1 fälschlicherweise abzulehnen• Dieser Fehler lässt sich nur bei

genauer Kenntnis der H1 berechnen!• Im vorliegenden Beispiel berechnet

man bei der Kenntnis des alternativen Mittelwerts μ=3800 folgenden z-Wert:

z-Wert:

38,180

380036900

xz

Nachschlagen in der Standardnormalverteilungstabelle:

084,0)38,1(

Zusammenfassung:• H0 abzulehnen, obwohl richtig; 12,9%

• H0 beibehalten, obwohl falsch: 8,4%

• Erstgenanntes Risiko zu Lasten des Erzeugers; bei Ablehnung der H0 noch einmal in die Kiste greifen muss;

• Zweitgenanntes Risiko zu Lasten des Kunden, fälschliche Beibehaltung der H0, falsche Sorte von Seil

• Vgl. Produzenten- bzw. Konsumentenrisiko

β-Fehler3600 3800

3690

Welcher Zusammenhang lässt sich festhalten?

• Versucht man den Fehler 1. Art zu verringern, so ……

• Umgekehrt gilt, …..

Allgemein gilt:

PAUSE

Neues Beispiel

Zur Erkennung einer bestimmten psychischen Krankheit wurde ein normverteilter Score entwickelt, der bei den Kranken den Mittelwert 63,9 und die Standardabweichung 5,6, bei den Nichtkranken den Mittelwert 71,3 und die Standardabweichung 4,8 hat.

Wie groß sind Fehler 1. und 2. Art, wenn man einen Probanden von 65 in die Gruppe der Kranken einordnet?

Lösung:• Einseitiger Test!

• Fehler 1. Art: z=(65-63,9)/5,6 = 0,20

• Nach der z-Tabelle: 1-Φ(0,20)=1-0579 = 0421

• Fehler 2. Art: z=(65-71,3)/4,8 = -1,31

• Nach der z-Tabelle: Φ(-1,31)=0,095

Interpretation:

• Risiko H0 abzulehnen, obwohl richtig… nicht krank, obwohl krank = 42,1%

• Risiko hingegen H0 beizubehalten, obwohl falsch… krank einzustufen, obwohl nicht krank = 9,5%

Literatur

• Zöfel, Peter: Statistik für Psychologen, Pearson Studium, München 2003

• Götz, Reichel et.al. Lehrbuch der Mathematik 8, öbv et hpt, Wien 2003