Univ - staff.fh-hagenberg.atstaff.fh-hagenberg.at/wbackfri/Teaching/MBV/Vorlesung/Tomography.pdf · erden Diese Metho de erlaubt eine di erenzierte Darstellung anatomi sc he Strukturen

Computertomographie

Werner Backfrieder

Institut f�ur

Biomedizinische Technik und Physik

Universit�at Wien

Sommersemester ��

INHALTSVERZEICHNIS �

Inhaltsverzeichnis

� Einleitung �

� Analoge Verfahren der Tomographie �

� Computertomographie �

�� Motivation � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Radontransformation � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Radontransformation in unterschiedlichen Bildgebungsverfahren � �� R�ontgen�CT Technische Grundlagen � � � � � � � � � � � � � � � ��

� Rekonstruktion aus Projektionen ��

�� R�uckprojektion � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Direkte R�uckprojektion eines Punktes � � � � � � � � � � � � �

�� ZentralschnittTheorem � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Rekonstruktionsmethoden � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Die ge�lterte R�uckprojektion � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Implementierung der ge�lterten R�uckprojektion � � � � � � �� Fouriermethode � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Algebraische Rekonstruktions Technik �ART� � � � � � � � � � � � �

�� Diskrete Problemstellung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Maximum Likelihood � Expectation Maximisation �ML�EM� � � � �� Beschleunigte Verfahren� Ordered Subsets � � � � � � � � � � � � � ��Literaturverzeichnis�

� EINLEITUNG �

� Einleitung

Mit der Entdeckung der R�ontgenstrahlung im Jahr �� war die Grundlage f�ureine Revolutionierung der medizinischen Diagnostik gegeben� Die Medizin warnun in der Lage in den Menschen hineinzublicken und machte von dieser M�oglich�keit auch sehr bald Gebrauch� In den ersten Jahrzehnte der Radiologie warenplanare Aufnahmen vorherrschend� wobei der untersuchte K�orperteil auf einemFilm oder Leuchtschirm dargestellt wurde� Diese Technik war zumeist ausrei�chend um einzelne Organe di�erenzieren zu k�onnen� in Durchstrahlungsrichtungkonnte jedoch die Lage der Organe zueinander nicht beurteilt werden� EinenMeilenstein in der Entwicklung stellte die Tomographie dar� erstmals war manin der Lage Querschnitte des K�orpers selektiv darzustellen� Erste Ans�atze dazuwurden in der analogen Tomographie entwickelt� Durch geeignete Anordnun�gen von Film� R�ontgenquelle und Patient versuchte man Strukturen au�erhalbder abzubildenden Schicht zu verwischen und so den Kontrast in einer Abbil�dungsebene gezielt zu steigern� Die Einf�uhrung des ersten klinischen Computertomographen durch Houns�eld war der Beginn der modernen Radiologie� Mittelsrechnergest�utzter Verfahren konnte ein Bild des Querschnitts einer K�orperregionerstellt werden� Diese Methode erlaubt eine di�erenzierte Darstellung anatomi�sche Strukturen und mittels der �Ubereinanderreihung mehrerer Schichten ist einedreidimensionale Erfassung des Patienten m�oglich�

Dieses Konzept der Schichtbildgebung wurde auch in anderen Abbildungsver�fahren wie SPECT� PET und auch MR angewendet� Die mathematische Grund�lage dazu wurde vomWiener Mathematiker Johann Radon im Jahr �� erarbei�tet� Bei der Entwicklung der ersten Tomographen durch A� Cormack war jedochdiese Arbeit nicht bekannt und die Formalismen Radons wurden erst sp�ater indas Gebiet eingebracht�

In dieser Vorlesung wird das Konzept der Schichtabildungsverfahren vorge�stellt und ein mathematischer Formalismus dazu entwickelt� Dabei werden einigeauf der Methode beruhende Abbildungsverfahren diskutiert� Verschiedene Al�gorithmen zur Bildrekonstruktion werden vorgestellt� wobei die gebr�auchlichsteMethode� die ge�lterte R�uckprojektion� ausf�uhrlich behandelt wird� PraktischeBedeutung kommt der Verwendung geeigneter Filter zu� Im Rahmen der ge��lterten R�uckprojektion wird ein �Uberblick �uber die wichtigsten Filterfamiliengegeben� Abschlie�end wird ein Ausblick auf die wichtigsten Methoden der ite�rativen Bildrekonstruktion gegeben�

� Analoge Verfahren der Tomographie

Die konventionelle R�ontgentomographie ist eine fr�uhe� analoge Methode zurSchichtabbildung� Dabei wird zwischen der longitudinalen und transversalen To�mographie unterschieden� In der longitudinalen Tomographie wird eine Objekt�

� ANALOGE VERFAHREN DER TOMOGRAPHIE �

Abbildung �� Konzept der longitudinalen� analogen Tomographie ��

Abbildung �� Transversale Tomographie� Anordnung und Prinzip der Projektion��

� COMPUTERTOMOGRAPHIE �

schicht auf einen Film projiziert� wobei Film und R�ontgenquelle eine gegenl�au�geLinearbewegung durchf�uhren �vgl� Abb� �� Eine bestimmte Objektschicht� dieparallel zur Filmebene liegt� wird scharf abgebildet� alle anderen Objektbereicheau�erhalb dieser Schicht werden verschmiert �Artefakte� abgebildet �vergleichedazu die Projektion des Punktes B auf verschiedene Bereiche der Photoplatteentsprechend der unterschiedlichen Quellen�FilmPositionen��

Die Methode der transversalen Tomographie ist konzeptionell der Computer�tomographie wie wir sie heute kennen sehr �ahnlich� Diese Methode ben�utzt eineAnordnung� in der die R�ontgenquelle� die abzubildende Objektschicht und derR�ontgen�lm in einer Ebene liegen� Der R�ontgen�lm weist gegen�uber der Ebeneder Strahlrichtung eine leichte Verkippung auf� dadurch wird im Objekt eine be�stimmte Schichte abgebildet� W�ahren der Aufnahme rotieren R�ontgenquelle undFilm gegenl�au�g �vgl� Abb� �� wodurch eine Ebene selektiv abgebildet wird�Strukturen au�erhalb der Ebene werden verschmiert� bzw� artefaktbehaftet ab�gebildet� Diese Methode wird auch Layergramm�Technik genannt und entsprichteiner direkten R�uckprojektion� wie sie sp�ater besprochen wird�

� Computertomographie

In diesem Abschnitt wird eine anschauliche Darstellung der Abbildungsprinzipiender Computertomographie gegeben� Nach der Einf�uhrung eines mathematischenFormalismus f�ur die Datenerfassung wird die Implementierung der Methode ineinigen ausgew�ahlten Modalit�aten diskutiert�

�� Motivation

Wie sich aus den Experimenten C�F� R�ontgens zeigte� wird R�ontgenstrahlungbeim Durchtritt durch Materie abgeschw�acht� In einer R�ontgenaufnahme un�terscheiden sich die Organe und Knochen aufgrund ihrer verschiedenen Ab�schw�achungseigenschaften� Die Abschw�achung ist materialspezi�sch und kanndurch den linearen Schw�achungskoe�zienten ��E�� der energieabh�angig ist� ineinem Exponentialgesetz beschrieben werden� Unter Vernachl�assigung der Ener�gieabh�angigkeit l�a�t sich das Abschw�achungsgesetz vereinfacht anschreiben

I � I� e�

RL��l� dl � ��

In dieser Gleichung bezeichnet I� die Intensit�at der R�ontgenstrahlung vor demEintritt in den abzubildenden K�orper� Mit I wird die Intensit�at� die den K�orperdurchdringt� bezeichnet� L bezeichnet den Weg durch das Objekt� Die Informa�tion �uber die innere Zusammensetzung des K�orpers ist im linearen Schw�achungs�koe�zienten ��l� enthalten� Die Inhomogenit�at des Objekts dr�uckt sich in derOrtsabh�angigkeit von � durch die Variable l aus� Durch Logarithmierung desVerh�altnisses der Intensit�aten von eintretender zu austretender Strahlung kann

� COMPUTERTOMOGRAPHIE

Projection 0o Projection 90o Projection 45o

Abbildung �� Projektion einer Anordnung zylinderf�ormiger Objekte in den Win�keln� �o� ��o und � o�

die Summeninformation �uber das Objekt entlang des Strahlweges gefunden wer�den

ln�I�I

��ZL��l� dl � ��

Abbildung �� M�ogliche Objektanordnungen

Aus der Durchleuchtung eines Objekts in einer Richtung kann jedoch nicht dieexakte �ortliche Information �uber das Objekt gefunden werden� Abbildung � zeigtdie Projektion einfacher geometrische Strukturen aus der Vorderansicht ��o�� Sei�tenansicht ��o� und Schr�agansicht �� o�� Zeichnen Sie darunter die m�oglichenObjektanordnungen� Je mehr Ansichten �Projektionen aus verschiedenen Win�keln� verf�ugbar sind� desto exakter kann die Position bestimmtwerden� In diesemBeispiel mit einfachen geometrischen Strukturen deren Form vorher bekannt ist reichen drei Ansichten aus� Werden jedoch z�B� komplizierte Knochenfragmenteabgebildet� m�ussen m�oglichst viele Projektionen aus verschiedenen Winkeln auf�genommen werden�

Die intuitiv vorgestellten Prinzipien sind die Voraussetzungen f�ur eine rechner�gest�utzte Rekonstruktion von Schnittbildern in der Computertomographie� Die


mathematische Grundlage wurde von Johann Radon �� in seiner Arbeit��Uber

die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte l�angs gewisser Man�

nigfaltigkeiten�� formuliert� Die Aussage des RadonTheorems kann folgendzusammengefa�t werden�

�Eine zweidimensionale skalare Funktion f�r� �� wird durch die Bil�dung ihrer Integralwerte entlang aller m�oglichen linearen Integrati�onswege �uber ihr De�nitionsgebiet bestimmt��

Unabh�angig von Radons Arbeit formulierte A� Cormack �� mit der Konstruk�tion eines Labor Prototypen f�ur die Computer Tomographie einen Algorithmuszur Rekonstruktion von Schichtbildern ��

�� Radontransformation

Die Computertomographie ist ein zweistu�ges Abbildungsverfahren� Die Datenwerden innerhalb einer ausgew�ahlten Objektschicht erfa�t� Dabei handelt es sichum eine projektive Datenerfassung� wobei die Objektinformation entlang einerLinie aufsummiert �integriert wird� und dieser Wert einem Punkt im Projek�tionsraum zugeordnet wird� Diese Projektionsdaten sind nicht direkt interpre�tierbar� d�h� sie ergeben keine Bildinformation �uber die darzustellende Schichte�Erst in einem zweiten Schritt wird die� durch die Projektion codierte Objekt�information� entschl�usselt und durch eine computergest�utzte Rekonstruktion einBild der Objektschicht erstellt� Die Schritte des Abbildungsprozesses lassen sichfolgenderma�en schematisieren�

Objekt � Projektions� � Schichtbilddaten

Radon� Rekonstruktiontransformation

Linien� � Punkt� � Bild�Information Information Information �

Mathematisch wird die Datencodierung in der Projektion durch die Radon�

transformation beschrieben� Die Objektfunktion f beschreibt die zweidimen�sionale Verteilung der abbildungsspezi�schen� physikalischen Gr�o�e �z�B� linearerSchw�achungskoe�zient� Dichte der H�Kerne� Anzahl der Zerfallsereignisse� inner�halb der Objektschicht� Die Objektfunktion f wird durch die Radontransforma�tion R in die Punktinformation p des Projektions� oder Radonraumes projiziert�

p�l� �� Rf ��l� �� Z�

��

dxZ�

��

dy f�x� y��l� x cos � � y sin ��

Jeder Projektionswert p�l� �� wird entsprechend seiner Koordinaten l� dem Ab�stand vom Mittelpunkt des Koordinatensystems� und �� dem Projektionswinkel�

� COMPUTERTOMOGRAPHIE

L

x

R

θ

y θ

l

Radontransformation

l

Linieninformation Punktinformation

Abbildung � Radontransformation� Projektion einer Linieninformation in einePunktinformation

im Radonraum zugeordnet� Der Winkel � wird vom Integrationspfad L und dery�Achse gebildet� Die entsprechenden Relationen sind in Abb� dargestellt�Die Gesamtheit der Integralwerte wird auch Sinogramm der Objektfunktion fgenannt� F�ur die Existenz des Integrals in Glg� � mu� die Objektfunktion fnachfolgende Bedingungen erf�ullen� die weiters hinreichend f�ur deren Invertier�barkeit ist� d�h� aus den Projektionsdaten kann ein Bild rekonstruiert werden�

�� Die Funktion ist auf einem kompakten Tr�ager in R� de�niert� Im Hinblickauf praktische Anwendungen wird ein Kreis mit Radius R als De�nitions�bereich der Funktion f angenommen� Au�erhalb diese Kreises ist f gleichNull�

f�x� y� � � � � �x� y� �qx� � y� � R ��

�� Die Funktion ist in ihrem De�nitionsbereich quadratisch integrierbar�Z�

��

dxZ�

��

dy f�x� y��

�� Auf die Klasse der Objektfunktionen ist ein Ma� d de�niert� das den Ab�stand zwischen zwei Funktionen f� und f� de�niert�

d�f�� f�� Z�

��

dxZ�

��

dy�f��x� y�� f��x� y��

Durch die Bedingung in Glg� � und die Symmetrieeigenschaften

�Rf ��l� �� Rf ��l� �� Rf ��l� ��


wird ein nonredundanter De�nitionsbereich l � ��l� l� und � � �� f�ur die Wertep�l� �� de�niert�

In praktischen Anwendungen wird jedoch nur ein endliches Subset pi�l�� derProjektionswerte gemessen� Der Index i bezeichnet einen diskreten Punkt imRadonraum� Die Verteilung der Punkte wird durch die Projektionsgeometriebestimmt� wobei Serien von Me�werten� sogenannten Pro�le� aufgenommen wer�den� Die Pro�le werden durch einen inneren und �au�eren Parameter bestimmt��Ublicherweise unterscheidet man eine parallele und eine divergente Projektions�geometrie �vgl� Abb� �� In der Parallelgeometrie werden alle Werte p mitgleichem Winkel � zusammengefa�t� Innerhalb des Pro�ls werden die Wertenach steigenden Nullpunktabstand l geordnet� In der divergenten Strahlgeome�trie wird die Lage eines Pro�ls durch den Projektionswinkel des Mittelstrahlsals �au�erem Parameter bestimmt� Der innere Parameter ist der Winkel vomMittelstrahl� In Abh�angigkeit dieser Parameter ergeben sich die Koordinaten lund � im Radonraum

l � D sin ��

� � � � ��

wobei D der Abstand von der R�ontgenquelle zum Ursprung des Koordinatensy�stems ist�

Als Beispiel ist in Abb� das Sinogramm eines Punktes gezeigt� Mit derAngabe des Punktes in Polarkordinaten �r� �� ergibt sich f�ur das Sinogramml � r cos��

�� Radontransformation in unterschiedlichen Bildge�bungsverfahren

Die oben getro�enen Annahmen �uber die Radontransformation sind unabh�angigvon der physikalischen Natur des Informationstr�agers� der die Grundlage einesSchichtabbildungsverfahrens bildet� In den vielf�altigen Anwendungsgebieten derComputertomographie haben sich einige Varianten dieses Abbildungskonzeptsetabliert�

� R�ontgen�Computertomographie �R�o�CT��Die abgebildete Objektinformation ist die zweidimensionale Verteilung deslinearen Schw�achungskoe�zienten � innerhalb einer Objektschicht� Hatein R�ontgenstrahl vor dem Eintritt in ein St�uck Materie der Dicke d dieIntensit�at I�� so wird er auf seinem Weg durch die Materie entsprechenddes i� a� �ortlich variierenden Schw�achungskoe�zienten ��x� an Intensit�atverlieren� Nach dem Durchtritt wird nur mehr eine verminderte Intensit�at

I � I�e�

R d

��g��x� dx

��


Abbildung �� Parallelle und f�acherf�ormige Abtastgeometrie ��

� COMPUTERTOMOGRAPHIE ��

Abbildung � Sinogramm eines Punktes ��

me�bar sein� Bildet man die Relation

ln�I�I� �

Z d

��g��x� dx� ��

so ergibt sich die Radontransformierte der Verteilung des linearenSchw�achungskoe�zienten in der Objektschicht� Diese Aussage ist in obendargestellter Form jedoch nur f�ur monochromatische R�ontgenstrahlungg�ultig� da der lineare Schw�achungskoe�zient energieabh�angig ist� wodurchbei polychromatischer Durchstrahlung die verschiedenen Spektralanteile derR�ontgenstrahlung unterschiedlich abgeschw�acht werden� Aufgrund dieserTatsache kann bei wei�er R�ontgenstrahlung das Linienintegral aus Glei�chung �� nicht mehr in

�beliebiger� Genauigkeit erhalten werden� Die Kon�

sequenz daraus sind Aufh�artungsartefakte in den rekonstruierten Bildern�Diese Artefakte k�onnen durch geeignete Vor�lterung der Strahlung oderdurch Kalibrierung der Me�daten w�ahrend der Rekonstruktion vermindertwerden�

� Emissions�TomographieAuch in diesem Anwendungsgebiet erfolgt die Informations�ubertragungdurch elektromagnetische Strahlung� Es handelt sich dabei um ��Strahlung�die bei radioaktiven Zerf�allen entsteht� Der wesentliche Unterschied zuroben beschriebenen Transmissions�Tomographie ist jedoch der� da� die


Abbildung �� Schematische Darstellung der Me�werterfassung bei der PET ��

Strahlung durch Tracer�Substanzen im K�orper entsteht� Dabei werdenRadiopharmaka in den K�orper injiziert� die am Sto�wechsel teilnehmen�K�orperstellen in denen der Tracer angereichert wird� werden abgebildet�Dabei sind grunds�atzlich zwei Methoden zu unterscheiden�

� Positronen�Emissions�Tomographie �PET�In Folge eines radioaktiven �Zerfalls entsteht ein Positron� welchesnach einer charakteristischen Laufstrecke �die L�ange ist von der umge�benden Materie abh�angig und liegt im Bereich von einigen Millimeternbis Zentimetern� auf thermische Energien abgebremst wird und miteinem Elektron in Wechselwirkung tritt� Elektron und Positron anni�hilieren und senden zwei ��Quanten� deren Energie der Ruheenergieder reagierenden Teilchen �� MeV entspricht� in entgegengesetzterRichtung aus� Abbildung � zeigt das Schema einer solchen Anordnung�mit der das QuantenPaar detektiert wird� Dabei wird nur in jenenF�allen ein Ereignis gez�ahlt� in denen zwei gegen�uberliegende Detek�toren innerhalb eines Koinzidenzintervalls zwei Quanten registrieren�Koinzidenzmessung�� Aufgrund der endlichen �O�nungsbreite der ein�zelnen Detektoren und der Geometrie des Annihilationsprozesses mu�ein Detektor mit mehreren gegen�uberliegenden Detektoren gekoppeltwerden� Von einem registrierten Impuls kann bis auf die Angabe derVerbindungslinie zwischen den beiden Detektoren� die diese Quantenregistriert haben� keine genauere Angabe �uber den Ort des Zerfallspro�zesses gemacht werden� Da es sich bei Kernzerf�allen um statistischeProzesse handelt und die Wahrscheinlichkeit f�ur gleichartige Umwand�lungsprozesse bei identischen Isotopen gleich gro� ist� ist die Summe


Abbildung �� Schematische Darstellung der De�nition des Strahlengangs mittelseines Kollimators in der SPECT ��

der von einem Detektorpaar in einem bestimmten Zeitintervall gemes�senen Ereignisse gleich dem Erwartungswert �uber die Isotopenvertei�lung entlang ihrer Verbindungslinie�

� Einzel�Photonen�Emissions�Tomographie �SPECT�In diesem Verfahren werden �ahnlich wie bei der PET durch Kernum�wandlungsprozesse entstehende �Quanten gemessen� Dabei werdendie Ereignisse jedoch nur in einem Detektor gemessen� Um nun dieregistrierten Zerfallsereignisse einer Linie im Objekt �O� zuordnen zuk�onnen� wird vor dem Detektor �D� ein Kollimator �K� angebracht�vergleiche Abbildung �� der alle Photonen absorbiert� welche nichtaus der durch die Detektorposition spezi�zierten Linie �B� der Ob�jektschicht stammen� Da zur Bestimmung des Linienintegrals �uberdie Isotopenverteilung �R� im Objekt nur ein Detektor �im Gegen�satz zu PET� ben�otigt wird� k�onnen in dieser Anwendung beliebigeIsotope� welche bei der Kernumwandlung ��Quanten emittieren� ver�wendet werden� Die Halbwertszeit eines der gebr�auchlichsten Isotope


��mTc liegt bei � Stunden�

Der logistische Aufwand bei SPECT ist gegen�uber PET wesentlich gerin�ger� Durch Abschw�achung im Gewebe� weist SPECT jedoch verst�arkteBildartefakte im Vergleich zu PET auf� Letztere Methode ist unemp�nd�lich gegen�uber homogener Abschw�achung�

� KernspinresonanzComputertomographie �NMR�CT�Die Kernspinresonanz gr�undet auf einer resonanten Wechselwirkung zwi�schen Strahlungsfeld und Materie� Dabei ist die Resonanzfrequenz L demangelegten Magnetfeld B proportional und abh�angig von der in Wechsel�wirkung tretenden Materie

L � �pB� ��

Diese Resonanzfrequenz L ist die Lamorfrequenz und sie ist �uber das gy�romagnetische Verh�altnis �f�ur Protonen �p � �� Hz�Tesla� mit demangelegten Magnetfeld verkn�upft� Durch geeignete r�aumliche Ver�anderungdes Magnetfeldes ist es m�oglich� aufbauend auf dieser Resonanzfrequenzr�aumliche Informationen �uber die Materie ��Objekt� zu erlangen� Dabei istdie einfachste Form die �Uberlagerung eines statischen magnetischen Grund�feldes B� mit einem in einer Raumrichtung linear ansteigenden magneti�schen GradientenFeld G� In Abbildung �� ist eine quasi zweidimensionaleProbe� wie sie der Schnitt durch ein dreidimensionales Objekt darstellt� ge�zeigt� Dabei wird nach resonanter Anregung der Kerne in dieser Schichtzur Messung des zeitlich abklingenden Induktionssignals �Freier Indukti�onsabfall� ein Gradientenfeld �

�Lesegradient�� angelegt� Der Pfeil zeigt

die Richtung des Feldgradienten G an� wobei die Kerne in Richtung dessteigenden Gradienten bei h�oheren Kreisfrequenzen L ihren Beitrag zumgemessenen Signal liefern� Wird das InduktionsSignal als Funktion dieserFrequenz aufgenommen� so ist eine �ortliche Zuordnung der Signalintensit�atentsprechend der Resonanzfrequenz m�oglich� Das Signal entspricht einerProjektion der �i� a� noch durch Relaxationskonstanten gewichteten� Kern�spindichte auf die Richtung des Feldgradienten� Durch �Anderungen derGradientenrichtung innerhalb der Objektschicht k�onnen Pro�le aus meh�reren Projektionsrichtungen gemessen werden� die als Grundlage f�ur eineBildrekonstruktion dienen� Diese Methode wurde von P� C� Lauterbur erst�mals zur Realisierung eines bildgebenden Verfahrens unter Zugrundelegungder KernspinResonanz entwickelt ��

�� R�ontgen�CT � Technische Grundlagen

In technischmedizinischen Anwendungen wird nur eine diskrete Untermenge desRadonraumes aufgef�ullt� Die verschiedenen Implementierungen der Methode ha�ben zu einer Einteilung der Scanner in vier Generationen gef�uhrt�


Abbildung �� Projektion der KernspinDichteverteilung auf den FeldGradienten G

� Die Ger�ate der ersten Generation� wie sie von Houns�eld zu Beginn dersiebziger Jahre entwickelt wurde �� implementierten eine parallele Ab�tastgeometrie �vergleiche dazu Abbildung � erste Zeile�� Das Me�systembesteht aus einer R�ohre und einem einzigen Detektor� Die Objektabta�stung erfolgt durch einen mittels Ausblendung erzeugten Strahls� Um dasObjekt abzutasten� werden R�ohre und Detektor in gleichm�a�igen Transla�tionsschritten �uber das Objekt bewegt� Anschlie�end erfolgt eine Drehungder Anordnung um einenWinkelschritt und der Abtastvorgang wird solangewiederholt� bis �uber einenWinkelbereich von �� Grad alle Pro�le gemessensind� Der Positioniermechanik sind Grenzen gesetzt� wodurch die Transla�tion und Rotation des Systems nicht beliebig schnell durchgef�uhrt werdenkann� Die Me�dauer ist� um ein ausreichendes SignalRauschverh�altnis zuerhalten� nach unten begrenzt� Somit ergibt sich mit derartigen Ger�ateneine Me�dauer von einigen Minuten� wodurch gro�teils nur ruhende Ob�jekte abgebildet werden k�onnen� Ein Einzelstrahl jedoch durch teilweisesehr aufwendige Kollimierung bis auf wenige Mikrometer geb�undelt wer�den� wodurch diese Ger�ategeneration in der Mikrotomographie weiterhineingesetzt wird �� In Abbildung ��a ist das Schema eines solchen Ger�atsder ersten Generation dargestellt�


� In den Ger�aten der zweiten Generation wird die Intensit�at der R�ontgen�quelle besser ausgen�utzt� Es werden mehrere Strahlen eingeblendet� dievon korrespondierenden Detektoren ausgewertet werden� Dabei werdenin einem Translationszyklus mehrere Pro�le� entsprechend den einzelnenunterschiedlich positionierten Detektoren� aufgenommen� Mit dieser An�ordnung kann die Anzahl der Winkelschritte vermindert werden und eineDrehung erfolgt jeweils um eine gr�o�eres Winkelinkrement� Die typischenAufnahmezeiten liegen zwischen �� s und �� s� In dieser Anwendung wer�den die Pro�le wieder gem�a� einer parallelen Abtastgeometrie angeordnet�Abbildung ��b zeigt das Prinzip dieser Ger�ategeneration�

� Die von der R�ontgenr�ohre erzeugte Strahlung wird in den CTSystemender dritten Generation sehr e�zient ausgen�utzt� Das abzubildende Ob�jekt be�ndet sich zu jedem Zeitpunkt der Aufnahme innerhalb des Strah�lenf�achers� Dadurch sind keine Translationbewegungen notwendig und dieR�ohre rotiert gemeinsam mit einem bogenf�ormigen Detektorarray um denPatienten �divergente Projektionsgeometrie� vergl� Abb� � zweite Zeile��An bestimmten Winkelpositionen wird durch eine gepulste R�ontgenstrah�lung das Objekt durchstrahlt� ebenso besteht die M�oglichkeit einer konti�nuierlichen Bestrahlung und der Aktivierung der Detektoren nur w�ahrendbestimmter Zeitfenster� Die Aufnahmezeiten mit einer solchen Anordnungbetragen wenige Sekunden� In Abbildung ��c ist eine derartige Abtastgeo�metie veranschaulicht�

� Die Ger�ate der vierten Generation verwenden ebenfalls diese e�zienteF�acherstrahlanordnung� Dabei wird die Strahlung von einem feststehendenDetektorring ausgewertet� wodurch nur noch eine Rotationsbewegung derR�ohre notwendig ist� Der Strahlengang wird zur Bildrekonstruktion

�inver�

tiert�� d�h� ein Detektor bildet das Projektionszentrum eines Pro�ls� wobeidie einzelnen Pro�lwerte entsprechend den verschiedenen R�ohrenpositionengemessen werden� was zur in Abbildung ��d dargestellten Abtastgeome�trie f�uhrt� Dieses Prinzip des inversen F�acherstrahls wurde urspr�unglichentwickelt� um nicht ausreichend kalibrierbare Unterschiede der einzelnenDetektoren des Detektorarrays zu vermeiden� welche zu Ringartefakten imrekonstruierten Bild f�uhrten� Neue Entwicklungen der Detektortechnologiemachen jedoch diesen Schritt �uber��ussig� soda� nahezu alle im medizini�schen Einsatz be�ndlichen R�oCTSysteme auf der divergenten Projekti�onsgeometrie der �� Generation aufbauen�


Abbildung �� Schematische Darstellung der Abtastgeometrie bei CTScannernder ersten �a�� zweiten �b�� dritten �c� und vierten �d� Generation ��

� REKONSTRUKTION AUS PROJEKTIONEN �

� Rekonstruktion aus Projektionen

�� R�uckprojektion

In diesem Abschnitt wird der R�uckprojektionsoperator B eingef�uhrt� Dieser Ope�rator hat eine zentrale Stellung in der Bildrekonstruktion� Er ist Teil der ge�lter�ten R�uckprojektion� der haupts�achlich in der Computertomographie verwendetenRekonstruktionsmethode� In den Anf�angen wurde die direkte R�uckprojektion per

se zur Rekonstruktion verwendet �Layergramme�� Die so erhaltenen Bilder sindjedoch stark durch Artefakte beeintr�achtigt� Diese Methode entspricht der imKapitel � vorgestellten analogen transversalen Tomographie�

In der R�uckprojektion werden die Projektionswerte p�l� �� entlang ihremStrahlengang ��Integrationspfad� streifenweise aufgetragen� oder in anderenWorten� in jedem Punkt der Bildebene werden jene Projektionswerte aufgetra�gen� zu denen der Punkt beigetragen hat� Vergleicht man dazu die Abbildungdes Sinogramms eines einzelnen Punktes � so erkennt man� da� f�ur die R�uck�projektion die Werte des Projektionsdatensatzes entlang einem sinusf�ormigen In�tegrationspfad aufsummiert werden m�ussen� Das f�uhrt zu folgender Darstellungdes R�uckprojektionsoperators B

f �r� �� Bp��r� �� Z �

�p�r cos�� d� � ��

Die R�uckprojektion eines Projektionsdatensatzes p f�uhrt zu einem artefaktbehaf�teten Bild f � welches sich wesentlich vom Objekt f unterscheidet und daher miteiner Tilde bezeichnet wird� Als Beispiel sei die direkte R�uckprojektion einesPunktes angef�uhrt�

�� Direkte R�uckprojektion eines Punktes

Als Objekt wird ohne ohne Beschr�ankung der Allgemeinheit ein in den Ursprungverschobener Punkt betrachtet� Dieser Punkt kann durch eine zweidimensionale��Funktion f�x� y� � ��x��y� beschrieben werden� Zur Berechnung der Projek�tionen p�l� �� wird ein um den Winkel � gedrehtes Koordinatensystem verwendet

x� � x cos � � y sin �

y� � �x sin � � y cos � � ��

wodurch die Projektionswerte p�l� �� durch die einfache Relation

p�l� �� Z�

��

��x� � l��y�� dy� � ��l� ��

berechnet werden k�onnen� Werden die Projektionswerte p�l� �� r�uckprojiziert� soergibt sich f�ur das Bild

f�r� ��

�

Z �

��r cos�� d��

� REKONSTRUKTION AUS PROJEKTIONEN ��

0 20 40 60 80 100 120 1400

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35Querschnitt durch den Mittelpunkt

Direkte Rückprojektion, 1/r Abhängigkeit

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

1200.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

x

y

Abbildung �� Direkte R�uckprojektion eines Punktes�

Unter Verwendung der Identit�at �� f�ur ��Funktionen

� �g�x�� Xi

��dgdx��

x�xi

��x� xi��

wobei die xi die Nullstellen der Funktion g�x� bezeichnen� Mit der Tatsache� da�im Integrationsbereich nur jeweils eine Nullstelle existiert� ergibt obige Gleichung

f �r� ��

�jr sin�� i�j

Z �

�� i� d� �

�

r��

Das berechnet Bild zeigt eine ��r Verteilung mit Maximum an der Stelle des ur�spr�unglichen Punktes� Vergleiche dazu Abbildung �� welche die Objektfunktiondem r�uckprojizierten Bild gegen�uberstellt�

�� Zentralschnitt�Theorem

Mit Hilfe des ZentralschnittTheorems kann die zweidimensionale Fouriertrams�formierte einer Funktion aus deren Projektionen bestimmt werden�

Die Fouriertransformierte eines Pro�ls p zum Winkel �� das von ei�ner Funktion f berechnet wurde� ist gleich den Werten der zweidi�mensionalen Fouriertransformierten dieser Funktion f � entlang einerGeraden durch den Ursprung �Zentrum� mit dem Steigungswinkel ��

In der folgenden Ableitung wird die Fouriertransformierte einer Funktion mitdem entsprechenden Gro�buchstaben bezeichnet�


Das Pro�l einer Funktion zum Winkel � wird in einem um den Winkel �gedrehten Koordinatensystem

x� � x cos � � y sin � ��

y� � �x sin � � y cos � ��

durch das Bereichsintegral entlang der y�Achse berechnet

p�l� �� p�x�� Z�

��

f�x� cos � � y� sin �� x� sin � � y� cos �� dy� � ��

Die Fouriertransformierte P des Pro�ls ist de�niert als

P �� Z�

��

p�x�� e��ix��

dx� � ��

Durch Substitution mit dem Ausdruck f�ur p und R�ucktransformation in das Ko�ordinationsystem �x� y� ergibt sich der Ausdruck

Z�

��

Z�

��

f�x� y� e��i�x cos ��y sin ��

dxdy ��

und weiter Z�

��

Z�

��

f�x� y� e��i�x�� cos ��y�� sin �� dxdy � ��

Dieser Ausdruck ist die zweidimensionale Fouriertransformierte entlang der Ge�raden

� � �� cos � ��

� � �� sin � ��

im zweidimensionalen Fourierraum� Somit ergibt sich

P �� F �� cos �� sin ��


�� Rekonstruktionsmethoden

Die Methoden zu Rekonstruktion von Schnittbildern aus Projektionen kann grobin zwei Gruppen eingeteilt werden� �a� Die Transformationsmethoden� welcheausgehend von einem analytischen Modell die Bildfunktion berechenen� Die di�gitale Natur der Projektionsdaten wird erst bei der Implementierung des Al�gorithmus ber�ucksichtigt� �b� Die iterativen Methoden� Der Algorithmus wirdmit einem diskreten� numerischen Modell entwickelt und die Bildfunktion durchschrittweise Verbesserung angen�ahert� Folgende Aufz�ahlung zeigt eine Untertei�lung der Rekonstruktionsalgorithmen�

�� Transformationsmethoden

� Ge�lterte R�uckprojektion

� Fouriermethode

�� Iterative Methoden

� ART Methoden �additive ART und multiplikative ART�

� Maximum Likelihood� Expectation Mazimisation �ML�EM�

� Beschleunigte Methoden �ordered subsets�

�� Die ge�lterte R�uckprojektion

Zur Herleitung der ge�lterten R�uckprojektion wird die inverse Fouriertransfor�mation einer Objektfunktion f�x� y� betrachtet

f�x� y� �Z�

��

Z�

��

F �� e��i�x��y�� d�d� � ��

Mit der Transformation in Polarkoordinaten

� � l cos � ��

� � l sin � ��

und dem neuen inkrementellen Volumselement

d�d� � ldld� ��

wird obige Gleichung zu

f�x� y� �Z�

�

Z ��

�F �l� �� e��il�x cos ��y sin ��l dld� ��


umgeschrieben� Vertauscht man die Reihenfolge der Integration� d�h� die In�tegration nach dem Winkel � wird nach innen geschoben und spaltet man dasIntegrationsintervall �� in �� und �� auf� so erh�alt manZ�

�dl�Z �

�lF �l� ��e��il�xcos ��y sin �� d� �

Z �

�lF �l� �� e��il�xcos��y sin�� d�

��

��Durch die Verschiebung der Integrationsgrenzen im zweiten Integral von �� nach �� lauten im Integranden die Argumente � � �� Mit der Identit�at

F �l� �� F ��l� ��

abermaligem Vertauschen der Integrationsreihenfolge und der Substitutionl� �l egibt sichZ �

�d��Z

�

�l F �l� ��e��il�xcos ��y sin �� dl �

Z��

��l�F �l� ��e��i��l��xcos ��y sin �� dl

��

�� Durch Vertauschung der Integrationsgrenzen im letzten Integral und Zusamme�fassen der beiden Integrale erh�alt man

f�x� y� �Z �

�d�Z�

��

jljF �l� ��e��il�xcos ��y sin ��dl � ��

Dieser Ausdruck enth�alt die ge�lterte R�uckprojektion� Bei festgehaltenemWinkel� k�onnen die Werte F �l� �� laut Zentralschnitt�Theorem durch die Fouriertrans�formierte P� der Projektionsdaten p��l� ersetzt werden� Mit der Verwendungder neuen Variable t � x cos � � y sin � ergibt der Ausdruck eine Filterung derProjektionsdaten im Ortsfrequenzraum� Der verwendete Filter jlj ist ein Ram�pen�lter� Die ge�lterten Daten im Ortrraum q� berechnen sich durch inverseFouriertransformation

q��t� �Z�

��

jljP��l�e��ilt dl � ��

Durch die Winkelintegration erfolgt die R�uckprojektion der ge�lterten Projekti�onswerte Z �

�q��t� d� �

Z �

�q��x cos � � y sin �� d� � ��

Der hergeleitete Formalismus wird auf Funktionen angewandt und setzt konti�nuierliche Projektionsdaten voraus� F�ur die Verwendung diskreter Datens�atzem�ussen die Formeln geeignet adaptiert werden�

�� Implementierung der ge�lterten R�uckprojektion

In Gleichung � wird die Filterung der Projektionsdaten im Frequenzraum durch�gef�uhrt� Die ge�lterten Projektionsdaten q� k�onnen im Ortsraum auch durch eineFaltung berechnet werden

q� � g � p� � ��


dabei werden die Projektionsdaten p� unter festgehaltenem Winkel � mit demFaltungskern g gefalten� Die Ortsdarstellung des im Frequenzraum verwendetenRampen�lter j�j kann mittels des Faltungstheorems als inverse Fouriertransfor�mation angeschrieben werden

g�x� �Z�

��

j�je��ix� dx � ��

Spaltet man das Integral aus Gleichung �� auf

g�x� � �Z��

�j�je��ix� d� �

Z�

�j�je��ix� d� ��

und f�uhrt im ersten Integral die Koordinatentransformation �� durch� soergibt sich unter Verwendung der Identit�at ei� � cos��i sin� die Ortsdarstellungf�ur den Faltungskern

g�x� � �Z�

�� cos��x�� d��

In Gleichung �� ist die Ortsdarstellung des Rampen�lters gezeigt� In realenAnwendungen sind die Projektionsdaten p nicht in ihrer kontinuierlichen Formgegeben� sondern die Funktion wird an diskreten St�utzstellen abgetastet� Istder Abtastabstand T so ergibt sich als Konsequenz eine diskrete Fouriertransfor�mierte die mit dem Intervall ��T periodisch ist� Diese Periodizit�at ist in Abbil�dung �� dargestellt und kann durch die Anwendung des Faltungstheorems unterVerwendung einer Kammfunktion anschaulich dargestellt werden� Die Daten sindim Intervall ��

�T ��T � redundant und die Filterung im Frequenzraum wird nicht

mehr �uber den gesamten De�nitionsbereich von �� bis � durchgef�uhrt� Da�durch werden gegen�uber Gleichung �� die Integrationsgrenzen nur mehr bis zurNyquistfrequenz �

�T gezogen� Wie aus Abbildung �� ersichtlich ist kommt es beinicht�bandbegenzten Funktionen� d�h� das Spektrum der Funktion reicht �uber dieNyquist Frequenz hinaus� zu �Uberlappungen �

�aliasing�� Aufgrund dieser �Uber�

lappungen und dem statistischen Rauschen� das in jeder Messung vorhanden ist�ist das Signal�Rausch Verhaltnis besonders in den Bereichen der Grenzfrequenzrelativ niedrig� Weiters verst�artkt der Rampen�lter gerade jene

�unzuverl�assi�

gen� Frequenzbereiche am meisten� Diese E�ekte werden im Filterungsproze�durch eine Fensterfunktion unterdr�uckt� die in Gleichung �� mit FT bezeichnetist

g�x� � �Z �

�T

��FT �� cos��x� d��

In untenstehender Tabelle sind einige Beispiele f�ur h�au�g gebrauchte Fenster�funktionen angef�uhrt�


Abbildung �� Periodisches Frequenzspektrum in der diskreten Fouriertransfor�mation ��


Name des Fensters FT ��Bandlimiting �Cosinus cos��T �Sinc sin��T ��T �Generalisiertes Hammingmit Parameter � � � �� cos��T ��

In Abbildung �� ist das generalisiert Hamming Window f�ur die Werte von �� angegeben� In Abbildung � sind die entsprechenden Faltungskernein der Ortsdarstellung dargestellt� F�ur �� entspricht der Filter einem Ram�pen�lter� f�ur �� wird das Fenster Hamming Fenster genannt und f�ur �� Hanning Fenster�

Im Anhang sind die Darstellungen einiger Filterfamilien gegeben� die in derSPECT verwendet werden�

�� Fouriermethode

Einen v�ollig anderen Ansatz� um Schichtbilder aus ihren Projektionen zu rekon�struieren� zeigt die Fouriermethode� Die Grundlage bildet das ZentralschnittTheorem besagt� da� die Fouriertransformierte der Pro�ldaten p�l� �� bei fest�gehaltenem � genau der zweidimensionalen Fouriertransformierten F �� derObjektfunktion entlang einer Geraden durch den Ursprung mit Steigungswin�kel � entspricht� Die G�ultigkeit des ZentralschnittTheorems wurde bereits inAbschnitt �� gezeigt�

F�ur die Rekonstruktion ergibt sich somit folgender Algorithmus�

�� Fouriertransformation der einzelnen Projektionen

�� Interpolation der Daten auf ein quadratisches Gitter� da die e�zienten Al�gorithmen wie z�B� die FFT �� auf dieser Basis arbeiten�

�� Inverse zweidimensionale Fouriertransformation

Wird ein Vergleich der Resultate aus ge�lterter R�uckprojektion und Fourierme�thode angestellt� so liefert die Fouriermethode i� a� schlechtere Resultate� DieBilder zeigen deutliche Artefakte� die auf eine gro�e Anzahl von Fehlerquellenzur�uckzuf�uhren sind�

�� zu gro�e Abtastschrittweite ��Undersampling�� in den gemessenen Pro�l�

daten

�� Fehler durch die numerische Ausf�uhrung der FourierTransformation


0 50 100 1500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frequenz

Am

plitu

de

gen. Hamming Fenster α=1

0 50 100 1500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frequenz

Am

plitu

de

gen. Hamming Fenster α=0.8

0 50 100 1500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frequenz

Am

plitu

de


0 50 100 1500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frequenz

Am

plitu

de


Abbildung �� Generalisiertes Hamming Fenster f�ur �� und ��


Abbildung � � Ortsdarstellung des Faltungskerns g�x� mit einem generalisiertenHamming Fenster f�ur die Werte �� und ��


Abbildung �� Anordnung der Fourierkoe�zienten aufgrund des ZentralschnittTheorems �links� und f�ur die FFT �rechts� ��

�� Abschneidung der Daten im Frequenzraum

�� Fehler aufgrund der Interpolation im Frequenzraum

� Undersampling im Frequenzraum �In Abbildung �� ist klar erkennbar� da�zu h�oheren Frequenzen hin die Punkte weniger dicht liegen als um denUrspung��

�� Numerische Fehler bei der Ausf�uhrung der inversen zweidimensionaleFourierTransformation�

Soll jedoch zur Bildrekonstruktion eine gro�e Datenmenge verarbeitet werden�so zeigt die Fouriermethode unter Verwendung eines e�zienten Transformations�algorithmus �FFT� gegen�uber der ge�lterten R�uckprojektion im Ortsraum einenentscheidenden Zeitvorteil�

�� Algebraische Rekonstruktions Technik �ART�

Ein gemeinsames Merkmal der Transformationsmethoden� �z�B� die in den vor�angegangenen Abschnitten diskutierten Methoden der ge�lterten R�uckprojektionoder die Fouriermethode� ist ein analytischer Algorithmus� der erst im Stadiumder Implementierung die diskrete Natur der Daten ber�ucksichtigt� Mit den ite�rativen Algorithmen wird die Problemstellung bereits im ersten Schritt diskretformuliert und anschlie�end ein geigneter Algorithmus zur Rekonstruktion desBildes angewandt �� Der Vorteil dieser Methodik besteht darin� da� der Al�gorithmus unabh�angig von der Abbildungsgeometrie formuliert werden kann� so�wie da� spezi�sche Problemstellungen in die Rekonstruktion mit eingebundenwerden k�onnen �� Nachteilig hingegen ist der erh�ohte Rechenaufwand�


den die Verwendung iterativer Algorithmen gegen�uber Transformationsmetho�den mit sich bringt� Das hat dazu beigetragen� da� sie im klinischen Einsatznur sehr geringe Anwendung �nden� Dabei ist jedoch zu ber�ucksichtigen� da�durch die Entwicklung leistungsstarker Rechnersysteme diese Rekonstruktions�methoden zuk�unftig mehr Bedeutung erlangen werden�

�� Diskrete Problemstellung

Die kontinuierliche Bildfunktion f�x� y� wird mit Hilfe von Basisfunktionen bj in

eine diskrete Darstellung !f�x� y� transformiert �� Die Basisfunktion de�niert�welche Bereiche der Objektfunktion f einem Pixel ��Picture Element� zugeord�net sind� ebenso mu� eine Bildungsvorschrift impliziert werden� welche angibt wieaus den Funktionswerten f im Bereich der Basisfunktion der zugeh�orige Pixelwertbestimmt wird� Die Basisfunktion ist de�niert als

bj�x� y� �

�� x�y� Element des Pixels� � sonst

��

Das zweidimensionale Bild kann nun mit Hilfe der Basisfunktionen als eindi�mensionaler Bildvektor �X �keine Matrizendarstellung�� dargestellt werden� Die

Komponenten xj� � � j � J des Bildvektors �X geben die einzelnen Pixelwerte ineiner fest de�nierten Reihenfolge wieder�

Die Projektionsdaten p�l� �� werden im Me�vektor �Y zusammengefa�t� Indiesem Fall er�ubrigt sich die die Diskretisierung� da die Me�daten entsprechendihrer Natur in diskreter Form vorliegen� Die einzelnen Komponenten yi� � � i � Ibezeichnen die Me�werte� wobei I die Anzahl der Messungen ist�

Weiters mu� in der Formulierung die Geometrie der Messung ber�ucksichtigtwerden� Die Grundidee dabei ist� da� die einzelnen Pixel entsprechend ihrerGewichtung zu einem beliebigen Me�wert yi aufaddiert werden� Dieser Gewich�tungsfaktor ri�j kann anhand geometrischer �Uberlegungen bestimmt werden �ver�gleiche Abbildung �� wobei der Faktor ri�j den Beitrag des jten Pixels zumiten Me�wert bestimmt� Mathematisch kann das folgenderma�en formuliertwerden�

yi �Xj

ri�j xj ��

�Y � R �X ��

Nun k�onnte durch Inversion der Matrix R das Rekonstruktionsproblem gel�ostwerden� Das ist jedoch wegen der Gr�o�e der Matrix R aus praktischen Gr�undenebenso unm�oglich� als auch in einer praktischen Anwendung Me�fehler auftreten

�Y � R �X � �e � ��

Diese Me�fehler sind im Fehlervektor �e zusammengefa�t� wodurch Gleichung �i�a� nicht mehr durch Inversion von R l�osbar ist�


Abbildung �� Disktretisierung des Problems

Die ART bilden eine bedeutende Untergruppe der iterativen Algorithmen�wobei die Namensgebung historisch begr�undet ist� denn diese Methode zeichnetsich gegen�uber den �ubrigen iterativen Verfahren nicht durch die Anwendung be�sonderer algebraischer Methoden aus� Ein

�Markenzeichen� von ART ist jedoch�

da� die einzelnen Bilder einer Iterationfolge �siehe unten� anhand eines einzelnenMe�wertes yi korrigiert werden�

Das Rekonstruktionsschema der ART l�a�t sich wie folgt formulieren�

�� Annahme eines Ausgangsbildes �X��

�� Berechnung eines Me�wertes anhand des Bildvektors �X�k� �Pseudoprojek�tion�

�� Vergleich dieses Me�werts mit dem tats�achlich gemessen Wert

�� Berechnung eines entsprechenden Korrekturfaktors und Anpassung desBildvektors

� Fortsetzung der Iteration bei Schritt � oder Beendigung der Rekonstruktionnach dem Erreichen eines Abbruchkriteriums�

Formal de�niert obiger Algorithmus eine Folge von Bildvektoren�X�� X�� X�� welche anhand der Me�werte yi korrigiert werden� da je�doch i�a� mehr Iterationsschritte als I " die Anzahl der Me�werte " zurRekonstruktion eines Bildes notwendig sein werden� werden die Me�wertezyklisch rotiert� was durch den Index ik �� k mod I � �� in den folgendenGleichungen angegeben wird� Wie bereits eingangs erw�ahnt� korrigiert ART den


Bildvektor �X�k� im kten Iterationsschritt anhand des Me�wertes yik � oder mitanderen Worten� es wird jeweils die ikte Zeile rik des Gleichungssystems �gel�ost� F�ur die Durchf�uhrung des Iterationsschritt

�X�k�� X�k�� rik � yik� � ��

gibt es keine formalen Bedingungen� wodurch die M�oglichkeit gegeben ist� andieser Stelle a prioriInformation einzuarbeiten oder anwendungsorientierte Op�timierungen durchzuf�uhren�

An dieser Stelle seien die additive

�k�x� rik � yik� �

��

x if hrik � riki � �

x� ��

yik�hrik �xihrik �riki

�rik if hrik � riki ��

��

mit Relaxationsparameter � und die multiplikative Methode

�k�x� rik � yik� �

��

x if hrik � riki � �

x�

yik

hrik �xi

�if hrik � xi ��

� ��

explizit angef�uhrt� Die Konvergenz der additiven ART sei anhand von Abbildung�� f�ur zwei Gleichungen mit dem Relaxationsparameter � � � �d�h� die entspre�chende Zeile des Gleichungssystems ist nach dem Iterationsschritt exakt gel�ost�veranschaulicht� Der Startwert liegt bei X�� und jeder Iterationschrittwird durch abwechselnde Projektion auf eine der beiden Geraden H� und H�

ausgef�uhrt� was einer exakten L�osung der entsprechenden Gleichung entspricht�Dieses Verfahren wird bis zum Erreichen der n�aherungsweisen L�osung X� � � � ��fortgesetzt� In praktischen Anwendungen liegt die Wahl von � in der Gr�o�enord�nung von �� Abschlie�end kann zur Gegen�uberstellung der Transformations�methoden und der iterativen Algorithmen folgendes angemerkt werden� Die inder modernen klinischen Routine �CT�SPECT� eingesetzten Rekonstruktionsme�thoden basieren haupts�achlich auf der Methode der ge�lterten R�uckprojektion�wobei die Filterung zumeist in der Hardware implementiert ist� Es existiert einbreites Spektrum an Faltungskernen� welche entsprechend empirischen Standardsin den einzelnen Anwendungsgebieten zum Einsatz kommen� dabei spielt die Er�fahrung des Arztes in der Befundung der Aufnahmen eine bedeutende Rolle�Die Visualisierung erfolgt routinem�a�ig mittels der in das System integriertenSoftware� wobei f�ur die verschiedenen Anwendungen optimierte Voreinstellungende�niert sind�

Auf dem Gebiet der iterativen Methoden wurden die wesentlichen theore�tischen Grundlagen erarbeitet� durch die vielf�altigen Anwendungsm�oglichkeitenliegt jedoch noch ein breites Arbeitsgebiet o�en� Im praktischen Einsatz kommtden iterativen Methoden zur Zeit eine untergeordnete Bedeutung zu� es bestehtjedoch Aussicht� da� sich diese Methode� aufgrund der rasanten Entwicklung derHardware� in einer Nische f�ur Spezialanwendungen etablieren wird�


Abbildung �� Additive ART mit I � J � � ��


�� Maximum Likelihood � Expectation Maximisation�ML�EM�

Der ML�EM Algorithmus wurde von Shepp und Vardi �� auf der Grundlageder Arbeit von Dempster et� al� �� vorgeschlagen� Hier wird anhand statisti�scher Prinzipien von unvollst�andigen Daten auf die charackteristischen Parame�ter der vollst�andigen Daten geschlossen� Die beobachteten Daten Y sind eineStichprobe der Zufallsvariablen Y� der unvollst�andigen Daten� Die vollst�andigenDaten X sind einer direkten Beobachtung nicht zug�anglich es existiert jedoch dieZuordnung X � Y von X nach Y� Die Zuordnung ist allgemein und es k�onnenmeherere Elemente von X auf ein Element von Y abgebildet werden Y � f�X��Im ML�EM Algorithmus wird die Likelihoodfunktion

L�X� � P �Y jX� � ��

in einem iterativen Verfahren maximiert� In der SPECT sind die unvollst�andi�gen Daten die in der Detektorposition i gemessene Anzahl von Quanten� derenErartungswert mit yi angenommen wird� Die Gesamtheit der gemessenen Pro�jektionen bilden den Me�vektor Y � Die vollst�andigen Daten werden durch diePixelwerte xi repr�asentiert� die den BildvektorX bilden� Die Zuordnung X � Ywird durch die Systemmatrix R gebildet

Y � RX bzw� yi �Xj

rijxj � � ��

Die Elemente rij geben die Wahrscheinlichkeit an� mit der ein Quant das imPixel j entsteht im Detektor i registriert wird� Mit dieser Interpretation k�onnendie wesentlichen E�ekte im Abbildungsproze�� wie Abschw�achung� Streuung undDetektoremp�ndlichkeit� ber�ucksichtigt werden�

Die Z�ahlung der Quanten im Detektor ist ein Zufallsproze�� der der Poisson�verteilung

P �y � n� � e��n

n��

gen�ugt� Obige Verteilung ergibt die Wahrscheinlichkeit� da� die Zufallvariable yden Wert n annimmt� wobei � der Erwartungswert der Stichprobe ist� Mit dieserAnnahme ergibt sich die Likelihoodfunktion

L�X� � P �Y jX� �Yi

e�P

jrijxj

Pj rijxj

yiyi�

� � ��

Die Produktbildung folgt aus der Unabh�angigkeit der Z�ahlereignisse in den ein�zelnen Detektoren� Die Funktion L�X� wird mit einem iterativen Algorithmusmaximiert� Der Iterationsschritt von �n� nach �n � �� wird folgenderma�en be�rechnet�

x�n��j � x

�n�j

Xi

yirijPj� rij�x

�n�j�

� � �


Zur Neuberechnung eines Pixels x�n��j im �n��sten Iterationsschritt werden alle

Me�werte yi �siehe �au�ere Summe�� sowie alle Pixelwerte x�n�j der alten Iteration�zur Berechnung der Pseudoprojektion� siehe innere Summe� ber�ucksichtigt�

F�ur die Berechnung eines Bildes werden zwischen �� und �� Iterationsschritteben�otigt� Unter diesem Gesichtspunkt stellt der ML�EM Algorithmus eine relativrechenaufwendige Methode dar� Mit der stetigen Weiterentwicklung leistungs�starker Computertechnologie hat die Methode jedoch schon punktuell Eingangin den klinischen Routinebetrieb gefunden� Dar�uberhinaus wird in ML�EM derPoisson�Proze� exakt modelliert�

�� Beschleunigte Verfahren� Ordered Subsets

Der gro�e Rechenaufwand des ML�EM Algorithmus gegen�uber den algebraischenMethoden �ART� liegt darin begr�undet� da� f�ur die Berechnung eines Pixels injedem Iterationsschritt alle Projektionswerte� die verf�ugbar sind� und die dazu�geh�origen Pseudoprojektionen berechnet werden m�ussen� In der ART hingegenwird das Update eines Pixels jeweils nach dem Vergleich eines Me�wertes mit derzugeh�origen Pseudoprojektion durchgef�uhrt� Wenn in � � die �au�ere Summeweggelassen wird� so geht die Iterationsvorschrift in die Form der multiplikativeART �vgl� � �� uber�

Mit den ordered Subsets �� wurde ein Mittelweg zwischen ML�EM und mul�tiplikativer ART gew�ahlt� Die Menge der Projektionswerte wird in Untermengen�subsets� unterteilt� F�ur die Auswahl der Untermengen existieren keine star�ren Regeln� Untenstehend sind zwei Beispiele f�ur die Einteilung einer Messungmit �� Winkelschritten und �� Detektorpositonen pro Winkelschritt in Subsetsangegeben�

� �� SubsetsDas erste Subset S� wird durch alle Projektionswerte zu einem festgehalte�nen Winkel gebildet� In jedem weiteren Subset werden die Werte von einemanderen Winkel zu den bestehenden dazugenommen� Das letzte Subset S��enth�alt schlie�lich alle Projektionswerte� Es l�ast sich folgende Bedingungf�ur die Folge der Subsets angeben�

S� S� � � � S��

� ��N SubsetsEs werden die Projektionswerte f�ur N beliebige� z�B� f�ur vier Winkel� diesich um jeweils �� unterscheiden� ausgew�ahlt� Diese Werte bilden das ersteSubset S�� F�ur das n�achste Subset werden wieder N Winkel ausgew�ahlt� dieProjektionswerte d�urfen jedoch in keinem der vorherigen Subset enthaltensein� F�ur die Serie der Subsets l�a�t sich folgende Bedingung angeben�

S� S� � � � S��


Damit ergibt sich eine Zahl von ��N Subsets� bzw� f�ur N�� ergeben sich�� Subsets�

Mit jedem dieser Subsets werden entweder eine festgesetzte Anzahl von Itera�tionsschritten durchgef�uhrt oder die Berechnungen solange weitergef�uhr bis einde�niertes Konvergenzkriterium erreicht ist� Durch die Verwendung von Subsetswird die Konvergenz beschleunigt und es k�onnen� bei nahazu gleichbleibenderBildqualit�at� Rechenzeitersparnisse bis zu einem Faktor �� erreicht werden�

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