Universitat des SaarlandesLehrstab StatistikDr. Martin BeckerDipl.-Kfm. Andreas Recktenwald

1. Ubungsblatt zur VorlesungOkonometrie SS 2014

Aufgabe 1

Die gemeinsame Urliste (xi, yi), i ∈ {1, . . . , 7}, zu den Merkmalen X (”monatl. Haushaltsein-

kommen (in 100e)“) und Y (”monatl. Ausgaben fur Nahrungs- und Genussmittel (in 100e)“)

von 7 Haushalten sei wie folgt gegeben:

(35, 9), (49, 15), (21, 7), (39, 11), (15, 5), (28, 8), (25, 9)

Berechnen Sie die arithmetischen Mittel, die (empirischen) Standardabweichungen, die (empi-rische) Kovarianz sowie den (empirischen) Pearsonschen Korrelationskoeffizienten der beidenMerkmale X und Y .

Aufgabe 2

Die Analyse der Tagesumsatze mittlerer und kleiner Lebensmittelgeschafte ergab, dass der Ta-gesumsatz X (Angaben in e) dieser Geschafte als eine normalverteilte Zufallsvariable aufgefasstwerden kann, wobei X ∼ N(2000, 4002) gilt.

(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Tagesumsatz 2500e ubersteigt?

(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Tagesumsatz zwischen 1600e und 1900eliegt?

(c) Ermitteln Sie das 0.05- sowie das 0.95-Quantil der Verteilung der Tagesumsatze. GebenSie damit einen zum Erwartungswert symmetrischen Bereich an, in dem die Tagesumsatzemit einer Wahrscheinlichkeit von 90% liegen.

Hinweise:

� Verwenden Sie die Tabelle zur Verteilungsfunktion und zu den Quantilen der Standard-normalverteilung (siehe Homepage).

� Nutzen Sie fur Teil (c) die Symmetrieeigenschaft N1−p = −Np fur p-Quantile Np derStandardnormalverteilung aus.

Aufgabe 3

Seien X,Y zwei Zufallsvariablen eines Zufallsvektors mit Var(X) = Var(Y ) = σ2.Sind Z1 := X + Y und Z2 := X − Y unkorreliert?

Aufgabe 4

Seien X1, . . . , Xn unabhangig identisch verteilt mit E(Xi) = µX und Var(Xi) = σ2X fur allei ∈ {1, . . . , n}. Berechnen Sie fur den Mittelwert

X :=1

n

n∑i=1

Xi

den Erwartungswert µX := E(X) und die Standardabweichung σX :=√

Var(X).

Aufgabe 5

Seien X,Y zwei Zufallsvariablen mit

� E(X) = 3, Var(X) = 2,

� E(Y ) = 1, Var(Y ) = 4 und Cov(X,Y ) = 2.

Berechnen Sie:

(a) E(3X + Y ) und E(Y − 2)

(b) E(X2) und E(Y 2)

(c) Var(4X) und Var(Y2 + 1)

(d) Korr(X,X) und Korr(2X, 3Y )

(e) Var(X − Y ) und Var(3X + 2Y )

Aufgabe 6

Zu einem zweidimensionalen Zufallsvektor (X,Y ) seien gegeben:

E(X) = 2.2,E(Y ) = 1.9,E(X2) = 5.4,E(Y 2) = 6.7 und E(X · Y ) = 4.2

(a) Berechnen Sie Var(X), Var(Y ), Cov(X,Y ) sowie Korr(X,Y ).

(b) Sind X und Y stochastisch unabhangig?

(c) Berechnen Sie E (3X − 4Y ) sowie Var (3X − 4Y ).

Aufgabe 7

Es sei X = (X1, X2, X3)′ ein dreidimensionaler Zufallsvektor mit

E(X) =

102

; V (X) =

1 0 00 2 −20 −2 4

.

(a) Berechnen Sie Korr(X1, X2) und Korr(X2, X3).

(b) Sei W := 2X1 +X2. Berechnen Sie E(W ) und Var(W ).

(c) Sei Z := X1 +X2 +X3. Berechnen Sie E(Z) und Var(Z).