Untersuchung des instationären Grundwasserspiegels in einem Hele-Shaw-Gerät

185© 2014 Ernst & Sohn Verlag für Architektur und technische Wissenschaften GmbH & Co. KG, Berlin · geotechnik 37 (2014), Heft 3

Es wird die zweidimensionale, ebene, instationäre Grundwasser-absenkung zu einem Graben anhand kleinmaßstäblicher Modell-versuche im Labor untersucht. Die Grundwasserströmung wird ineinem Hele-Shaw-Gerät als Spaltströmung modelliert. Dabei wirddie empirische Formel von Sichardt, die eine Aussage über dasGrenzgefälle am Absenkungsrand macht, überprüft.

Investigation of the unsteady groundwater table in a Hele-Shawapparatus. We investigate the two-dimensional, plane, unsteadygroundwater lowering towards a trench by means of small-scalemodel tests using a Hele-Shaw apparatus. Doing so, we alsocheck the validity of the empirical equation of Sichardt concern-ing the limit slope at the boundary of the groundwater table.

1 Einleitung

Für analytische Abschätzungen von Sickerströmungenwird oft Stationarität zugrunde gelegt, eine Annahme, diemeistens nicht zutrifft. Ferner wird die Annahme von Dupuit sowie eine Annahme zur Reichweite der Absen-kung nach Sichardt verwendet. Letztere ist nicht über-prüft und kann wohl auch kaum überprüft werden. In derdeutschen Literatur geistert auch eine Formel von Sichardt zum Fassungsvermögen eines Brunnens bzw. zueinem maximalen Gefälle des Grundwasserspiegels. So-mit beruhen analytische Abschätzungen auf einschneiden-den Annahmen und liefern dementsprechend Ergebnisse,die nur beschränkt gültig sind, z. B. einen über alle Gren-zen ansteigenden Grundwasserspiegel. Man kann natür-lich auf aufwendigere numerische Verfahren zurückgrei-fen, wobei einfache physikalische Modellversuche auch einen Wert haben, sei es zur Demonstration von Effektenoder zur Validierung numerischer Berechnungen. Soll beiden Modellversuchen der instationäre Grundwasserspie-gel verfolgt werden, so lässt sich dieser bei Verwendungvon Sand nicht scharf beobachten, da er durch den Kapil-larsaum unscharf gemacht wird. Eine Alternative zu denModellversuchen mit Sand stellen die Versuche nach Hele-Shaw dar, die auf einer Spaltströmung beruhen. Mankann leicht einsehen, dass sich in einem dünnen Spalt ei-ne sogenannte schleichende Strömung einstellt, genausowie dies der Fall bei Sickerströmungen ist. In dieser Arbeitwird eine Realisierung dieser Technik (welche eigentlichnicht neu ist, [2]) in kleinem Maßstab gezeigt, und es wer-

den Erfahrungen damit vorgestellt. Zugleich wird die Gül-tigkeit der Formel von Sichardt zum maximalen Gefälleüberprüft. Nach [6] wird ein kritisches Gefälle als das Maximalgefälle des Grundwasserspiegels empirisch defi-niert:

(1)

Sichardts Maximalgefälle wird oft in Zusammenhang mitBrunnenproblemen betrachtet. Es beschränkt sich aberkeinesfalls darauf, denn erstens hat es Sichardt anhandvon Versuchen mit ebener Strömung hergeleitet und zwei-tens kommt in Gl. (1) kein Radius vor. Es sollte hinzuge-fügt werden, dass imax nach Sichardt die Neigung desGrundwasserspiegels ist; diese stimmt aber für den insta-tionären Fall nicht mit dem hydraulischen Gefälle über-ein. Die Ausführungen Sichardts sind recht obskur, ohnenähere Begründung führt er das maximale Gefälle (unddas dadurch bedingte und nach ihm so benannte Brun-nenfassungsvermögen) auf den Übergang der Sickerströ-mung vom laminaren in den turbulenten Bereich zurück.Er räumt ein, dass seine Formel empirisch ist, aber die zugrunde gelegten Experimente werden nicht genau beschrieben. Es sollte hinzugefügt werden, dass die Ak -zeptanz des Grenzgefälles nach Sichardt beschränkt ist, so wird z. B. die Sichardtsche Formel in [1] als zweifel-haft genannt. Eine kritische Betrachtung der Formel von Sichardt zum Grenzgefälle geben auch Odenwaldu. a. [5].

i 1

15 k, k[m/s]max

Fachthemen

Untersuchung des instationären Grundwasserspiegelsin einem Hele-Shaw-Gerät

Dimitrios KolymbasIliana Polymerou

DOI: 10.1002/gete.201400004

Bild 1. Geschwindigkeits- und Schubspannungsverteilungquer durch den Spalt bei einer stationären laminaren Strö-mung eines Newtonschen FluidsFig. 1. Distribution of velocity and shear stress across a gapat steady and laminar flow of a Newtonian fluid

2 Simulation der Sickerströmung in einem Hele-Shaw-Gerät

Die Strömung zwischen zwei parallelen ebenen Platten,die einen dünnen Spalt freilassen, wird durch die Viskosi-tät dominiert und stellt eine sogenannte Schleichströ-mung dar. Dies ist das Prinzip des Hele-Shaw-Geräts. Daauch die Sickerströmung nach dem Gesetz von Darcy vonder Viskosität dominiert wird, besteht eine direkte Analo-gie zwischen dieser und der Strömung in einem Hele-Shaw-Gerät. Wie nachfolgend gezeigt wird, entspricht ei-ne ebene Spaltströmung (Spaltdicke d) einer Sickerströ-mung mit der Durchlässigkeit k, wobei folgende Bezie-hung zwischen d und k herrscht:

(2)

mitd Abstand der beiden Glasscheiben im Hele-

Shaw-Gerät (auch Spaltmodell genannt, s.[2]),

μ und γ = ρg Viskosität und Wichte des Fluids.

Gl. (2) kann wie folgt hergeleitet werden: Wir betrachteneine Strömung in einem Spalt. Die Navier-Stokes-Glei-chung lautet für den allgemeinen Fall:

(3)

Für die hier betrachteten stationären und langsamen Strö-mungen kann der Term auf der linken Seite vernachlässigtwerden. Wir legen die Koordinate x1 quer zum Spalt. Indieser Richtung erfolgt die stärkste Variation der Ge-schwindigkeit, die Ableitungen der Geschwindigkeit nachden beiden anderen Richtungen sind dagegen klein:

(4)

Sie können deshalb im Weiteren vernachlässigt werden.Somit lautet der Laplace-Operator:

(5)

Für den Gradienten der Energiehöhe h = p/γ + z gilt:γ∂h/∂xi = ∂p/∂xi + ρg∂z/∂xi. Hierbei stellt der Ausdruck∂z/∂xi den nach oben (entgegengesetzt zur Schwerkraft)gerichteten Einheitsvektor dar, d. h. –g∂z/∂xi ist der nachunten gerichtete Vektor der Erdbeschleunigung gi. Somit ist

(6)

die Navier-Stokes-Gleichung nimmt somit folgende Ge-stalt an:

(7)

k d12

2

dvdt

g px

vii

ii

vx

vx

,vx

vx

i

2

i

1

i

3

i

1� �

vv

x

v

x

v

x

v

xi

2i

12

2i

22

2i

32

2i

12

g px

hx

, i 2,3ii i

hx

v

x, i 2,3

i

2i

12

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D. Kolymbas/I. Polymerou · Untersuchung des instationären Grundwasserspiegels in einem Hele-Shaw-Gerät

geotechnik 37 (2014), Heft 3

Mit der sinnvollen Annahme, dass sich h in x1-Richtungnicht ändert, kann man die Differentialgleichung (7) indiese Richtung zweimal integrieren und Haften an denRändern x1 = 0 und x1 = d ansetzen. Man erhält so die pa-rabolische Geschwindigkeitsverteilung:

(8)

Die über den Spalt gemittelte Geschwindigkeit

entspricht (als Durchflussgeschwindigkeit)

der Filtergeschwindigkeit und beträgt v–i = 2vmax,i/3. Durch zweimalige Ableitung der Gl. (8) nach x1 erhaltenwir mit Gl. (7):

(9)

(10)

Vergleich mit dem Gesetz von Darcy, v–i = –k∂h/∂xi, liefertdann die Beziehung in Gl. (2).

3 Instationärer Grundwasserspiegel

Durch Betrachtung der instationären Sickerströmungkann man leicht einsehen, dass der hydraulische Gradientgrößer als das Gefälle des Grundwasserspiegels ist. Die fürden instationären Grundwasserspiegel maßgebende Diffe-rentialgleichung wurde in [4] hergeleitet und lautet:

(11)

mitz0 Höhe des Grundwasserspiegels oberhalb einer un-

durchlässigen Schicht,n′ effektive Porosität.

Für den hier betrachteten Fall einer ebenen Strömung mit

und vy = 0 setzen wir an:

vz0 := vz(z0), vx0 := vx(z0)

und

und erhalten

(12)

Bekanntlich ist für einen stationären Grundwasserspiegeldas hydraulische Gefälle i identisch zum Sinus der Nei-gung α des Grundwasserspiegels. Die Filtergeschwindig-keit hat also die Richtung der Tangente des Grundwasser-spiegels, d. h.

hx

8v

di

max,i2

12v

d, i 2,3i

2

nzt

v (z )zx

v (z )zy

v (z ) 00z 0

0x 0

0y 0

v 1d

v dxi 0

d

i 1

nzt

v a v 00z0 x0

a : tan :zx0

zy

00

v 4vx (d x )

d, i 2,3i max,i

1 12

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(13)

und das hydraulische Gefälle ist i = sin α. Hingegenkommt für den instationären Fall nach Gl. (12) ein Termdazu:

(14)

Das heißt, die Geschwindigkeit ist steiler an den Grund-wasserspiegel geneigt als die Tangente. Wie groß jetzt dashydraulische Gefälle i ist, lässt sich nicht genau sagen,man sieht aber aus Gl. (14), dass i ≠ sin α ist. Sichardt hataber mit maximalem Gefälle die Neigung des Grundwas-serspiegels gemeint [5].

4 Durchgeführte Versuche

Zwei parallele Glasscheiben, die eine 6 mm, die andere8 mm dick, bilden einen Spalt von 1 mm Dicke. Das Hele-Shaw-Gerät ist 1 m lang und 40 cm hoch (Bild 2). An derlinken Seite lässt sich die schmale Wand mechanisch öff-nen, das Fluid strömt aus, und dies simuliert die Strömung

vv

tan n 1v

zt

z

x x

0

vv

tanz

x zu einem Graben hin. Die rechte Seite besteht aus einer

undurchlässigen Wand. Die dadurch auferlegte Beschrän-kung der Breite bedingt gewiss eine Abweichung vom üb-lichen Problem der Grundwasserabsenkung infolge Gra-benzuströmung in einem sonst unendlich ausgestrecktenGrundwasserleiter. Wohl bedingt diese Beschränkungauch eine Beschränkung des Maximalgefälles am Brun-nenrand, wie man aus den Absenkkurven (Bilder 6, 7, 8und 9) entnehmen kann: Sobald sich der Grundwasser-spiegel am rechten Rand abzusenken beginnt, flacht sichdas Gefälle am linken Rand wieder ab. Jedoch kann es da-bei Werte annehmen, die den Wert nach Sichardt über-steigen. Die Fotos wurden mit dem Programm PhoToPlanentzerrt, damit sie optisch ausgewertet werden können.

Es wurden Fluide unterschiedlicher Viskosität ver-wendet. Jede entspricht einer anderen Durchlässigkeit im

Bild 2. Das Hele-Shaw-Gerät am Arbeitsbereich für Geo-technik und Tunnelbau der Universität InnsbruckFig. 2. Hele-Shaw apparatus at the Division of Geotech -nical and Tunnel Engineering, University of Innsbruck

Bild 3. Momentanaufnahme der AbsenkungFig. 3. Instantaneous picture of the groundwater table

Bild 4. Einfluss der Scherrate auf die Viskosität μ der Fluide, gemessen im RotationsviskosimeterFig. 4. Inuence of the shear rate on the viscosity μ of thefluids, as measured in a rotational viscosimeter

Bild 5. Wasserstand h am linken Rand (Auslauf) in Ab -hängigkeit von der ZeitFig. 5. Fluid level h at the left edge (outlet) in dependenceof time

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Boden. Für die verwendeten Fluide wurde die Viskositätin einem Rotationsviskosimeter gemessen. Für die beidenGlyzerinlösungen (Fluide E1 und E2) erwies sich die Viskosität als ziemlich unabhängig von der Scherrate(Bild 4), somit handelt es sich in guter Näherung um

Tabelle 1. Kennwerte der Fluide und am Versuch beobachtete WerteTable 1. Parameters of fluids and experimentally obtained values

Versuch Fluid μ (mPas) γ (kN/m3) k (m/s) imax (Sichardt) (dz0/dt)max

E1 Glyzerin-Wasser 180 11,2 0,0052 0,926 0,014

E2 Glyzerin 690 11,3 0,0014 1,805 0,0054

E3 Shampoo 8.715 10,6 0,0001 6,877 0,093

E4 Wasser 1 10 0,833 0,0730 0,042

Bild 6. Absenkkurven, aus Digitalfotos, Fluid E1Fig. 6. Consecutive fluid levels, from digital photographs,fluid E1




Bild 10. Gefälle am linken Rand (Auslauf) in Abhängigkeitvon der Zeit, Fluid E1Fig. 10. Slope at the left edge (outlet) in dependence of time(fluid E1)


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Newtonsche Fluide. Hingegen erwies sich das verwendeteShampoo (Fluid E3) als nicht-newtonisch. Seine Verwen-dung zur Simulation der Sickerströmung in einem Hele-Shaw-Gerät ist somit nicht berechtigt. Wir belassen aberhier die diesbezüglichen Angaben zur Vollständigkeit. Fürdas Wasser (Fluid E4) wurden die bekannten Werte fürViskosität und Wichte angesetzt. Wir erhalten somit die inTabelle 1 aufgeführten Werte.

5 Ergebnisse

Der Wasserstand am linken Rand (Auslauf) nimmt zu-nächst sehr steil und dann logarithmisch mit der Zeit ab(Bild 5). Die Neigung des Wasserspiegels α am Auslaufwächst zunächst schnell an, bis ein Maximum αmax er-

reicht wird, und fällt danach langsam ab (Bild 10 bis 13).Einen ähnlichen Ablauf beobachtet man, wenn man aüber den Wasserstand aufträgt (Bild 14 bis 17). Die ausden Versuchen ermittelten Werte für αmax liegen unterdem Grenzgefälle nach Sichardt für alle Fluide bis auf dasWasser. Bei Wasser ist der Wert αmax größer als der Wertnach Sichardt. In Tabelle 1 sind auch die berechnetenWerte für die Durchlässigkeit zu sehen. Die Fluide E1 undE2 würden einem Grobsand bzw. Mittelkies entsprechen,während E3 einem Mittelsand entspricht. Das Fluid E4(Wasser) würde einem stark durchlässigen Boden entspre-chen. Die maximale Geschwindigkeit der Absenkungdz0/dt tritt am Beginn der Absenkung auf (Tabelle 1).Überraschenderweise ist sie beim Fluid E3 (Shampoo) amgrößten, also auch größer als bei E4 (Wasser).



Bild 14. Gefälle am linken Rand (Auslauf) in Abhängigkeitvom Wasserstand, Fluid E1Fig. 14. Slope at the left edge (outlet) in dependence of thefluid-level (fluid E1)


6 Schlussfolgerung

Das Hele-Shaw-Gerät stellt sich als ein handliches Gerätzur Visualisierung von Grundwasserabsenkungen, die ineinem beschränkten Bereich ablaufen (ein unendlich lan-

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ges Aquifer lässt sich natürlich damit nicht simulieren), heraus. Eine wichtige Voraussetzung für die Simulationder Grundwasserströmung im Hele-Shaw-Gerät ist diestrenge Parallelität der Glasplatten bzw. die Konstanz derSpaltweite.

Sichardts Gl. (1), das maximale Gefälle betreffend,konnte nicht bestätigt werden.

Literatur

[1] Brauns, J.: Grenzabsenkung von Grundwasserbrunnen. Ver-öffentlichungen des Instituts für Boden- und Felsmechanik derUniversität Karlsruhe, H. 87, 1981.

[2] Busch, K. F., Luckner, L.: Geohydraulik für Studium undPraxis. Ferdinand Enke Verlag, Stuttgart, 1974, S. 307 ff.

[3] Harr, M. E.: Groundwater and Seepage. McGraw-Hill, 1962,pp. 144 ff.

[4] Kolymbas, D.: Geotechnik. Springer-Verlag, 3. Aufl., 2011.[5] Witt, K. J. (Hrsg.): Grundbau-Taschenbuch. Grundwasser-

strömung – Grundwasserhaltung. Verfasser: Odenwald, B.,Hekel, U., Thormann, H. Berlin: Ernst & Sohn, 7. Aufl., 2009,S. 485–652.

[6] Sichardt, W.: Das Fassungsvermögen von Rohrbrunnen undseine Bedeutung für die Grundwasserabsenkung, insbesonderefür größere Absenkungstiefen. Berlin: Springer, 1928.

Danksagung

Die Autoren bedanken sich bei Herrn Ing. Peter Deseife für denBau des Hele-Shaw-Geräts, bei Herrn Prof. Klaus Hanke für denHinweis auf das Programm PhoToPlan und Herrn Dipl.-Ing. (FH)Marc Koch für die Messungen mit dem Rotationsviskosimeter.Ein ganz herzlicher Dank ergeht an Dr. B. Odenwald und Prof.K. J. Witt für sehr viele nützliche Hinweise zur ersten Version un-seres Manuskripts, welches inzwischen erheblich verändert undverbindlicher gemacht wurde und für dessen allfällige Unzuläng-lichkeiten allein die Autoren die Verantwortung übernehmen.

AutorenProf. Dr. Dimitrios [email protected] [email protected]

Beide:Universität Innsbruck Geotechnik und TunnelbauTechnikerstr. 13 6020 Innsbruck

Eingereicht zur Begutachtung: 21. Januar 2014Überarbeitet: 13. May 2014Angenommen zur Publikation: 14. May 2014



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