17 In einer nschsten Xbhandlung werde ich einen sol-

chen Versuch iiber die so vie1 besprochenen und berech- neten Labialpfeifcn inittheilen, wo ich ein neues Element zum ersten Male in Betracbt zu ziehen suchen wverde: das Princip der Erbaltung der Tiine, welches den Haupt- charnkter aller Blasinstruinente bildet, und allein geeiguct ist , ein Fundament fiir Intensitatslnessiingen abzugeben.

II. Untersuchung iiber den Druck und die &i- bung des Sandes;

uom Ober - Baurath Hagen.

D a s dynamische Verhalten des Sandcs und SIiidicIicr KGrper, die nus kleinen, jedoch endlichen und von ein- ander getrenntcn Tlieilclien bestehcn, hat inan bisher nur in wenigen Fdlen nsher untcrsucht, wiewohl die dabci vorkoinmenden Erscheinungen theils . von grofsem Ein- flusse auf manche Bauconstruclionen, und theils aucIi an sicli von auffallendein Intcresse sind.

Ich will es versuchen, einige hierhin gehsrige Auf- gaben zu h e n , welche sicli auf die Erinittelung des Druk- kes beziehen, den aufgeschiittete Sandmassen gegen ihre Seitenwiinde und den Boden ausiiben. Dabei beriilire ich zuerst eine Aufgabe, die man in den hydrotechni- schen Schriften hiiufig behandelt hat; sie beschsftigt sich mit der Auffindiing des Druckes, den eine Mauer von einer dagegen geschiitteten Sand - oder Erdmasse erlei- det. Bei ihrer Aufliisung hat man indessen allgemein eine nicht ganz passende Voraussetzung gemacbt, woher dann ihre Wiederaufoahme nicht iiberfliissig erscbeint. Hiermit steht in naher Verbindung die Ermitteluag des Widerstandes, den Kihper, die mit Sand beschiittct sind, ihrer Bewegung entgegensetzen , und diese Untersuchung

Annal. d.Physik. Bd. 104. St. 1. J. 1S33. St. 5. 2

18 fiihrt uninittelbar zur Retrachtung des Druckes, den Sand- massen, die in offene Rohren geschiittet sind, auf den IJoden derselbeii ausiiben.

Ich liabe bei der Liisung dieser Aufgaben es zugleicli versucht , die Richtigkeit der erhaltenen Resultate durch Vergleichung init den Beobachtungen zu priifen. Ich dsrf uiir jedoch niclit schineicheln , dafs diese 5eobachtu11gcn allen hnfordcrungen geniigen inilchtcn, (lie inan in nhn- lichen Blillen zu machcn pflegt. Ich beiiiiihle midi niiin- lirh durch diese Beobachtungen die Erscheinungen inGg- lichst einfacli und frei von allen freindnrtigen Einfliissen

- darzustellen, wid benutzte daher nur trockenen Sand und Schrot , deren Kilrnchen wedcr coml)rimirbar, noch cohl- rireud sind, nnd diese Masscn schiittete ich iniiglichst lose und glcichmlfsig inittelst bcsonderer Vorkehrungen auf den Apparat auf, denn es zcigte sich, d a t die ge- ringstc Erschiitterung oder eine stiirkere Aufschiiltung gleich selir inerklichc Abweichungen in den Beobachtun- gen hervorbrach~e. Diese notliwendigc Sorgfrrlt machtc es mir aber unmiiglich, die Versurhe in griifscrem Maafs- stabe anzustellen; ich zweifle auch, dafs es gclingcn durfte, bei soIchen die hier gefundene Uebereinstirnmnng noch zu erreichen. Mcine Versuche stellen deinnacli kcines- wegcs jcne Erschcinuugen vollstkindig dar, welche bei grofscll Bauausfuhrungen vorkommen, und es geniigt da- her auch nicht, das bier gefundene Resultat unrnittelbar auf alle vorkornmenden Anwendungen zu tibertragen, wie dieses gen~cinhin gewiinscht wid .

[n sofern ich aber die Beobachtungen nur atif die einfachsten FNe ausdehnte, hielt ich es auch fur iiber- tlussig, den Rechnungen hier eine grofscre Allgemeinheit zu geben, woher icli dann inanche Unistande, z. B. das Stattfinden der CohHsion, die schrgge Stellung der W ~ n d e u. dergl., gnnz iibergangen habe.

19 Unfersuchung des Drucks, den e k e horizon-

tal ai&schiitiete, uvil nusgedehiite Sandmasse g e p n cine verticnle Wand ausiibt.

Man pflegt fur diese Aufgabe gewohnlich zwei ver- scIiiedene Aufliisungen zu geben , je nachdem die Wand bei eintretender Bewegung entweder umfsllt, oder mit Reibehaltung ihrer verticalen Stellung fortgeschoben wird; in beiden Fallen setzt man aber voraus (wie dieses in der Anwendung auch iininer zu geschehen pflegt), dafs die W a n d nicht herabsinken kdnne, sondern sie auf einem festen Boden aufstehe. Man konnte die Anzahl dieser Falle noch vermehreu, wenn man verticale oder schrage Drehungsaxen in der Wand , oder einzelne feste Unter- stutzungspunkte einfuliren wollte. Man sieht aber, dafs alle diese verschiedenen Umstande sich unter dein einm Gesiclitspunkte vereinigen lassen, dafs die Wand in drei Punkten untersliitzt wird, die nicht in einer geraden Li- nie liegen. Sobald eincr von diesen Punkten nachgiebt, wghrend die anderen beideu noch widerstehen, so erfolgt eine Drehung uin die Linie, welche durch die beiden I

letzten gezogen ist. Widcrstehcn dagegen alle drei Punkte so gleichm$fsig, daEs sic bei zunehmendem Drucke glcich- zeitig und auf gleiche Art ausweichen, so wird die Wand init Beibehaltung ihrer Richtung zuruckgedr~ngt werden. Der 'Unterschied zwischen beiden Fallen giebt sich abcr erst zu erkenncn, wenn die Bewegung wirklich eingetre- ten ist; so lange dagegen noch Ruhe stattfindet, ist der Druck, den irgend einer von diesen Punkten leidet, durch- aus uiiabhingig von dem Urnstande, ob die anderen ihrem Drucke noch mit einein Ueberschusse von Kraft wider- stehen, oder sie schon zu weichen drohen. Wenn da- her der Druck des Sandes gegen die Wand immer mehr und mehr zunim,mt, und er zuletzt dem Widerstande des einen Stutzpunktes so weit gleich gekommen ist, dafs bci der geringsten noch erfolgenden Zunahine des Druckes dieser Punkt nicht mehr widerstehen kana, d a m mird

5. 1.

2 "

20

hei der nlichsten Vcrinehrung des Druckes die Walld auch wirklich wciclicn, und zwar ist das Eilltreten die- sel* Bewegung von der Untcrstiitzung der aiideren Punkte ganz unabhiingig.

Es stelle A B C D (Fig. 1 Taf. I) den Qucrschnitt der Sandinasse dar , und der Mittelpunlit ihres DrucI\cs gegen die Wand ,dB treffe in E, so wird cine horizon- tale Axe, die durch E gelcgt ist, zur Erhaltiing des Gleich- gewichts geniigcn. Dcr Uruck, den dicsc Axe erlcidet, wird urspriinglich SchrYg abw8rts wirken ; in sofern aber die W a n d vcriniige ihrer Aufstcllung nicht sinken 1iii1111,

licbt sic selbst schon den vertical abnzrts gerichtctcn Druck auf, mid die Axe darf iiur gegen den Iiorizonta- len Theil jcncs Druckcs gesichert seyn, uiii den Ein- tritt dcr Rewegung zn vcrltindern. 1st dagegen die Wand in der Art untersttitzt, dafs zwei Untcrstutzu~igspii~il~tc in die Projection von A, also aufserhalh des Punlitcs B fallen, so mifs noch irgend ein anderer, hbhcr licgender Piinkt B uiiterstutzt werdcn, uin das Gleichgcwiclit zu erhalten. Der Druck, den dicser letzte erleidel, ist glcich

. R, und ganz unabhiingig von der Art der Befe- AE nl)- stigung der beiden Punkte, welclie die Axe A bildcn.

Fur die iiuninehr folgende Untcrsuchung hat C ou- loin b zuerst den passenden Wcg gezeigt (Me’moires des savans etfranger.5, 1773); er bestimmt n%rilich den Druck, den init Beriicksichtigung der Rcibung irgend ein Sand- yrisina voin ~ue r sc~ in i t t A B C (Fig. 1 Taf. I) sufsern wiixde, dabei ist jedoch die Neignnq der Trennungsfki- che AC vvillliuhrlicli angenonimen, und wenn man sic versndcrt, erhiilt inaii immer andere Prisinen, von decen jedes einen anderen Druck ausiibt. Unter allen diesen wird aher bei eincr al1m:iligcn Verininderung des Wi- ’ clerstandes P ini Punkte B eincs friiber, als alle tibri- gen, die Wand in Ilewcgung setzen, c i ~ i d zwar dasjenigc, welclies deu st:irkslcn Druclr aasiibt. Es komiut daher

21 iiur daraof an, dieses kennen zti lernen, und man findct cs leiclit durch die Differentiation des Ausdrucks fur dell horizontalen Druck i n Beziehung auf $9.

Es wird liierbei die Voraussctzung gcmacht, dafs dic Trennungsfl%che, deren Querschnitt z4 c dnrstellt, eine Ebene, oder dieser Querschnitt eine gerade Link sey. C oulornb versuchtc diese Annahine ganz allgeinein zu beweisen ( Thiorie des machines simples); docli bricht er, oline zu eincm Resultate zu gclangen, die Rccl i i~o~~g nb, w weil sie iln zu wed v011 der beabsichtiggten Ein-

fachileit engemen wijr.de. (e In allen folgenden Shnlichen IJntersuchungcn ist dagegcn diese Annaiime ohne alle Be- grundung aufgestcllt. An sicli klar ist sic keineswegs; wenn inan indessen sich erinncrt, dnk lrier nur dcrjenigc Druck gesucht mircl, welchcr der ersten Bewegung ent- spricht, die dcr Sand anniinint, so ergiebt es sich, dafs diese IJcwegung einfacli, und dcm i;nnzen, auf e innd bewegfen, Systcinc gemcinschnfilich scyn mufs. Es kann dalicr dicsc Bewegung niir in eincr Riclitung fortschrci- tend oder dreliend scyn; im ersten Fallc ware A c cine g e d c Linic , i in lctzten cin Ihisbogcn. Bcide Flille kiiiineii , wie es scheint , wirli!ich vorltoiiiinen, und zwnr der letzte dcshrrlb, weil der Druck iin Sande sich niclit iiur geradlinig, sondcrn auch durcli Curveri fortsetzen kann, wie dkfs sich z. l3. heini Einsinkcn cines Gewich- tes in einer horizontal abgeglichenen Sandinasse zeigt. - Bei der vorliegendeii Aufgabe aber, wo keine verschie- clenartige BelaStung dcr 0berfl:iche an einzelnen Stelleii angenommeu wird, sondern die Sandinasse vielmehr durch eine Ebene begranzt ist, giebt die folgende Betrachtung den Beweis fur die geradlinige Bswegung.

Es seg in Fig. 2 Taf. 1 AB C der Durclischnitt des- jenigen Sandprima's, welches auf die Wand AB den stzrksten horizontalen Druck ;iufsert; d a m werden bei der angenommenen Feinlieit des Snndes dieseIben Urn- stznde, die liier die Trennung in der Curve A C vernu-

22

lafsten, auch bei einer niedrigeren W a n d B E eintreten, und letztere wird den stPrksten Druck erleirlen durch ein Prisina, das sich in einer Flache E G trennt, die jeneiii ersten AC ahulich ist. Diese Voraussetzung wird noch klarer, wenn man die Prisinen BEG und B A C in gleich viele verficale Schichten zerlegt denkt; d a m werden nam- lich je zwei entsprechende Scliichten iininer auf ahtiliche Art wirken, und ihre Wirkung kann nur von der jedes- maligen Hiilie abhiingen, woher dnnn in dem einen, wie in dem anderen Falle die Neigungen, unter welchen die GrundtlSchen dieser Schichten sich erheben, oder die VerhSltnisse ihrer Hirhen zu denen der niichstfolgenden Schicliten einander gleich seyn mussen. Es werden dem- nach die Querschnitte der am stiirksten driickenden Sand- prismeu BEG und BL4C einander Shnlich seyn, und folglich ist auch die Curve EG aliulich der Curve AC. Zur Hervorbringung des horizontalen Druckes auf die Wand A B ist also nach der Annahme das Prisma A B c wirksam; da dasselbe aber aus einer losen Masse besteht, so kann man es sich diirch eine verticale Wand = B E getrennt denken, und der Druck auf die Wand AB wird zusainmengesetzt seyn aus dern Druck des Thci- les ABFH und dem des Thciles FIIC, welcher letzte sich diirch die dazwischen liegende Sandmasse auf die Wand AB ganz oder theilweise fortpflanzt. Der hori- zontale Druck auf die Wand AB wird also um so riel grofser, je griifser der horizontale Druck gegen die Wand l iF ist. Dieser letzte erreicht aber nach der Annahine sein Maximuin, wenn er von dern Prisha FHK herruhrt, welches dem Prisiiia BEG gleich ist. Es kann deinnach BAC nicht das Pr ima des grtilfsteu Druckes seyn, son- den] einen starkeren Druck wiirde das Prisma BAHK ausuben. Es ergiebt sich daraus, dafs das Prisina des grijfsteu Druckes nur durch eine Flache A c getrennt seyn kann, deren Querschnitt in jedem einzclnen Theile dem ganzen Quewchnitt Shnlicli ist ; oder der Qiierschnitt der

23 'l'rennungsflsche inufs eine gerade Linic seyn, und daher die Treiinungstliiche sclbst eine Ebene.

Nachdctn dicses fcstgestellt, ist es leicht, die Griifse des Druckes zu bestiinmen; nian iiehme an, dafs die ge- druclite Wand (Fig. 3 Taf. l ) vertical stehe; ibre Breite scy =b, ilire Hiihe =a, uiid der Saud sey bis zu ihrer oberen Kante B ;iufgcscliuttet uiid horizontal abgeglicheo. Das I'risma ABC liise sicli nun in einer Ebene AC unter dein Winkel y' von der iibrigen Santlmasse, so wird dieses, da man eine vielleicht sp3ter noch erfolgendc Tren- nung hier nicht mehr beriicksichtigt, d s ein zusaininen- 1i:ingender Kiirpcr angesehen werdeii diirfen. Sein Vo- lum ist gleicli ;azbigcp, dalicr sein Gewicht =$a2byigv, wenn y das Gewicht der Raumeinlieit des Sandcs be- zeichnet. Zerlegt nim dieses vertical abv-iirts wirkcnde (fcwicht in zwei Prcssungen, die parallel und normal zu AC gericlitet sind, so ist

die erste, odcr G I i =+a2by tangrp . cosy, die zweile, oder SG =+a2 b y tang cp . sin y.

Setzt iiiaii den CoGfficicntcu der Rcibung zwisclieu Sand

und Sand = -; so ist das Bestrcbcn des Prisma's auf

der Ebene herabzugleiten, oder der schriig gericlitete Uruck

=+az b y fang ~ ( C O S y-- . sin y), woraus sich cler ge-

suchte horizontale Druck ergiebt, oder derjeiiige, der nor- mal gegen die Wand gericlitet ist:

1 n

1 n

k=&a2 b y tang (p . sin y cos (p--sh y' . ( n * ) Differenziirt inan ' diesen Ausdrrick in Beziehiing auf sp und setzt dk=O, uin diejenige Neigung der Trennungs- ebene zu finden, welche dem griifsten Drucke eiitspricht, so _erh%It man die Gleichung:

O=tnngsp3+3.tanggp-2n . . . ( A ) Die Reclinuug vereinfacht sich ungclaein, wenn man 71

24

gleich tangy' setzt, d a m findet man aus der letzten ku- bischen Gleichuug :

tangy=Vsecgp'+tnnggp '-~q-w . . (B) und den horizontalen Druck erbelt man:

k=;a*by.-.--tangrp. sin(cp'--) . . . (C)

3

sin y

oder k=$a2 by . A, s112 cf'

sin cp sin (p ' wenn A=-- tangy .s in(y ' -y) . . . . . . . (D)

Die Einfiihrung des Winkels rp' staft des Quotien- ten n ist nach einer Eemerkung, die zuerst W o l t i n a n n inachte, in sofern sebr passend, als inan den Winkel y' durch cine einfache Beobachtung uninittclbar incssen kann. Man schutte niiniIich den zu untersuchendcn Sand auf einen Haufen, und beiniihe sich, eine Scite desselbeu m8$chst steil darzustcllen, so ist der Winkel, dcn die steilste Seite gegen die Verticale bildet, nichts andercs, als der hier init y ' bezcichnete Winkel. Denn wenu diek wirklich die steilste Neigung war, die der Sand an- ~iehinen kann; so wird ein darauf gelegtes SandkBrncl>en sic11 nur cben erhaltcn kiinnen, oder bei ihm kommt die Reibung gerade gleich seinem Bestreben herabzusinken; das heifst, wenn S das Gewicht dicses Kfirnchens ist:

1 S. cos rp'=-S. sin sp' n odcr n=tang 'pl.

Dic hier gcgebenen Ausdriicke, sowohl fiir den Win- kcl cp als fiir den Druck k, stiininen iljdessen keineswegs mit den Werthen uberein, auf welche man sonst bci der Behandiung diescr Aufgabe zu koinmen pflegt. c o u- 1 oinb uiacht nhilich die Voraussetzung, dafs von der- jcnigen borizo~italen Icraft, welche dem schregen Drucke des Snndprisma's Widerstand leisten soll, nur ein Theil, n;inilich k . sin y dcm Herabgleiten des Prisma's unmittel- bar entgegenwirkt, wahrend die andere Kraft, die aus

25

der Zerlegung von k hervorgeht, oder k cos (p, als senk- rechter Druck gegen die Trennungsebene nur die Rei- bung verinclirt. Man erhYlt tinter diesen Voraussetzun- gen nlit Beibehaltung der friiheren Bezeichnung:

k = $ a 2 b y t a n g y . iang(rp’-(p) und durch die Differenliafion dieses Ausdrucks ergiebt es sich, dak k ein Maximum wird, wenn

ist, daher folgt der stzrkste horizontale Druck gegen dic Wand:

k=*a2 b y . tang +y’ z.

C o u l o m b selbst stellte diesen Ausdruck nicht so ein- fach dar, indem er nicht die trigonoinetrisclien Functio- lien einfuhrte, vielinehr haben d e P r o n y und N a v i e r diese Vereinfacliung vorgenommen.

Der wesentliche Unterschied zmischen dcr friiher mit- getlieilteii Herleitung und dieser zuerst von C o u 1 o in b eingefulirten beriiht darauf, Jars nach jcner die W a n d als auf einem festen Boden aufsteliend bctrachtet wurdc, wobei sie also den verticalen Uruck des Sandprisma’s schon veriniige ihrer AufstelIung aufhebt, und dic zu ihrcr Unterstiitzurig angebrachten horizontalen Krlifte nur dcin horizontalen Theile jenes schriigen Driickes zu widerstc- hen brauchen. Dagegen setzt die von C o u l o m b ge- wdilte Zerlegung der Krafte voraus, d d s die Wand gaiiz frei sey, d a t sie also weder an einer horizontale11 Axe befestigt sey, noch auch auf einein festen Boden aufstehe, sondern viellnehr bei der schrzg abwk-ts gerichteten Ee- wegung des Sandprisina’s mit diesein in derselben Rich- tuiig fortgesciioben werden kiinne. Eine solclie Aufstel- lung ist aber kaum denkbar, bei den Futtermauern koinmt sie nie vor, und‘eben so wenig bei den Apparaten, mit- telst deren inan die Beobachtungen iiber den Druck des Snndes und der Erde angestellt hat. Es ergaben sich daher bei diesen Beobachtungen auch Resultate ; die iiiit jcner iiblichen Theorie nicht zu vcreinigcn waren, die

y=:(pl

26 dagegen mit den obcn entwickelten Ausdrficken recllt gilt iibereinstimnien, wie ich diefs im Folgendeii zeigen werde. Die von C o u 1 o ui b gemachte Voraussetzung ist nichts destoweniger von den sainmtlichen deutschen und fran- ziisischen Schriftstellern, die diesen Gegenstand behandelt liaben, imlner bcibehalten worden. Bur W o l t m a n n fiilirt an (Beitrage zur hydraulischen Architectur, Bd. III), dafs K I s t n e r in einein Briefe an ilin eine Zerlegung der Krlifte vorgeschlagen habe, die mit der von inir ent- nickeltcn iibereinkomint; doch findet dabei der Untcr- schicd statt, dafs der Winkel cp iiicht so gewahlt ist, dab der 1iorizontaIe h i c k ein Maxiinurn wird, vielinehr liat ihn K a s t u e r iiacli der Blteren Ansicht ganz willhiihr- lich zu 45 Graden angcnoinmen. W o l t l n a n n selbst er- kllirt sich fiir die von C o u l o m b gew:itilte Zerlcgung der Kriifte, und es ist von den spateren Schriftstellern auf dicse Aiideutung aucli uie wieder Riicksicht genoinmen.

Bei I3chandlung der vorliegenden Aufgabe hat inan zuweiIen aueli die Rcibuiig beriicksiclitigt , die zwischen den1 Sande und der beweglichen Wand stattfindet; ich habe dieses iiiclit gelhan, weil sie auf den horizontalen Druck keinen Einflufs ansiibel~ kann, sondcrii sie viel- inehr nur den verticalen I)ruck, den die Wand aufhcbt, verinindern wiirde. Die Versuclie haben diefs aucli be- statist, denn der beobachtete Druck ist viel griifser, als der aus der Keclinung hergeleitete, sobald inan in der Rechnung von der Voraussetzung ausgeht, dafs diese Kei- bung von dem Gewichte des Sandprisma’s in Abzug ge- bracht werdcn miisse.

Endlicli enlsteht noch die Frage, in welche Hiihe der Wand der Mittelpunkt des horizontalen Druckes fallt, oder wo man die Gegenkraft anbringen miifsste, uin ohne eine sonstige horizontale Unterstiitzung den1 Drucke das Gleichgewiclit zu halten. Der Druck des Sandes gegen die ganze Wand betragt nach dem Vorigen:

27

= a 2 , F; eben so wiirde der Druck gcgen eine niedrigere Wand B D = x (Fig. 3 Taf. I ) betragen:

=x‘ . F und wenn x urn d x ~ i c l i s t , so wird die entsprechende Verlnehrung des Druckes, die arif die Hiihe d x trifft,

= 2 ~ d ~ . F seyn. Punkte B die Entfernungen‘zahlt:

= 2 x 2 d x . F, fotglich die Summe aller Mornente fiir die ganze Hiihe der Wadd:

=$a3 F. Der ganze Druck ist aber a* F, und es ergiebt sich da- her die Eutfernung des mittleren Angriffspunktes A?? vom Punkte B:

+a. Man wiirde zu demselben Resultate auch gekomnien seyn durch die Vorstellung, d d s die Masse des .ganzen Dreiecks AB c in scinem Schwerpunkte als vereinigt gedacht wer- den kann, und daher, so lange keine Trennung erfolgt, von diesem der gesaininte Druck ausgeht. Der Druck des Dreiecks, oder des Prisina’s ist aber parallel mit A C gericlitet, und seine Zerlegung in verschiedcne Richtun- gen kann nur da erfolgen, wo er aus der losen Masse auf die feste Wand tritt, welche, veriniige ihrer vertica- len Unterstiitzung, den einen Theil desselben aufhebt.

$. 2. L’eobachiungen iiber den Seilendruck des Sun- des gegen eine verticale Wand.

Ueber den Seitendruck verschiedener Erdarten ha- ben besonders W o l t m a n n , M a g n i e l und K 6 s z e g h Versuche angestellt, und zwar in der Art, dafs sie die Erde in einen Kasten schiitteten, bei welcliem die eiue

Das Moment dieses Druckes ist, wenn man vom

2s Wand nicht fcst war, sondcrii sich inn ein Charnicr am Boden hewegte; wobei sich also der gesuchte Druck aus dcin Widerstande erinitteln l ids , den man der W a n d ciitgegensetzen mufste, um ihre Bewegung zu verbindern. Dicse Vorrichtung fuhrt jedocli den Uebelstand mit sich, dafs die Erdc niclit frei gegcn die bcmegliche Wand wir- kcn kann, sondern sie vielmehr durch die Reibung, die an den bciden anstofsenden Seitenwandcn stattfindct, zu- riickgehaltcn wird, wid dahcr das auf solche Art gefun- dene Resultat den Seitcndruck geringer darstellt, als er wirklicli ist. Durch Vergleiclinng von Bcobachtungen, die in iihnliclien Kasten von verschiedener Breite ange- stellt waren, oder auch durch Eiiisetzen diinner Mittel- wsndc in dcn Kasten, a n welchen dic Erile cben so, mie an den Seitcnwiindcn zurijckgehnlten wird, mBre es leicht gewcsen, dcn EinfluL jener Reibung uninittelbar aus den Versnchcn lierzuleiten, und darnach das gcfun- dene Resultat zu berichtigen; allein vortheilhafter ist cs gewifs, dicse Seitcnrcibung, die iinincr von manchcn Zu- fiilliglteitcn abliiiigig ist, ganz zu umgehen.

Ich wshlte demnach zu mcinen Versuclicii einen ganz abweichenden Apparat, dcn dic Figureii 4 und 5 Taf. I in der vorderen und Seiten-Ansicht zeigen. Auf eincii horizontalen Boden All schiittetc icli den Sand in ein& regclmifsigen Haufen auf, dessen Basis ein Oblong war, und dessen drei freie Seiten sich mit Neigungen erlioben, in welchen der Sand sich noch bequem erhalten liers, wogegen die vicrte Seite sich gcgen die beweglichc ver- ticale W a n d AE lehnte. Diese flrticale W a n d war durch eine fest dagcgen geleiinte horizoutale Strebc 7' (Fig. 5 Taf. I) gegen das Eiiibiegen gesichert , und hing init einer Latte G E zusaunnen, die durch eiiie VerstBr- kung an der Ruckseite gleichfalls gegen das Einbiegeii gesichert ,war. Durch diese Latte ging cine inetallenc Axe FF, die sich auf zwei stahlernen Spilzen leicht

29 drelite. Auf diese Art hatte ich den frfiher bezeichne- ten Uebclstnnd entfernt, denn die Seitenreibung war gaoz bcseitigt, und wenn ich in der Latte bci E einen Fadcn bcfcstigte, und diesen uber die Rollc Y nach der Ge- wichtschale If fuhrte, so ubertraf der liier beobachtete Druck sogar den, welchen der Sand gegcn die bcwegli- che Wand wirklich ausubt, und klciiie Fehler in den LZingeninessungen lioiintcn keinen irierkliclieii Einflul's auf das Resultat :iul'sero.

Das Verfaliren bci der Beobachtuiig war nun Fol- gendes. Ziierst iiiufste der Rand A (Fig. 5 Tnf . I) dcs ho- rizontalen Bodciis gcnan nacli dcr bcw.cgliclien W a n d ab- geglichen werden, damit kein Sand zwisclien bciden dorch- flieten konnte; die Stcllung dcr Lattc G E wurde dann durch Anhaltcn cines Lotlies in dcr Richtung ihrcr Pulit- tellinie G E U (Fig. 4 Taf. 1) gepriift, und zwar niclit nur in der Iiier gczeiclincten Lage, sondern aucli in dcin Falie, wcnn die Lattc, nebst der Wand unt1 dem Cy- linder FF, verkchrt zwischen die stShlcrncn Spitzen ge- liiingt wurde. Fie1 die Mittellinie beide Male init dcm Lothe zusainiiien, so gab diescs den Beweis, dafs die

.Axe der beiden Spilzen in einer liorizontnlen Ebene wid zugleich senkrecht auf die Mittellinie der Latte ficl; dorli bemerke ich, dafs geringe Abweichungen in dicscr Hin- sicht keinen sonderliclien Einflufs auf das Resultat habcn. Perner wurde die lolhrechte Stellung der Wand nach ihrer L~ngenrichtung E d (Fig. 5 'raf. I) untersucht, w~I i - rend die Latte hier herabhing. Um Iiier die niitliige Ucber- einstimmung hervorzubringen, war jedoch die Ankendung cines verschiebbaren Gegengewichtcs W niilhig , indem die Verstiirkiingsrippe dcr Latte das Gleicligcwicht stiirtc. W a r nun daa Gegengewicht so weit gesclioben, dafs die Wand E A genau senkrecht herabhing, so wurde die Schraube 8 durch eine leise Bewegung ihr so weit ge- n:ihcrt, dafs sich beide ebgn beriihrten, iind d a m erst

30 cliirfte der Boden A B an seine StelIe gelegt und nacli einein R'ivean und den Vorzeichnuugen auf der Wand gehbrig eiiigerichtet werden.

Auf diese Art war eine sehr genaue Aufstellung des Apparates mnglich. Beini Aufschiitten des Sandes be- diente ich lnich zwar einer Lehre oder Chablone, in wel- cher der Querschnitt des zu bildenden Sandhaufens aus- geschnitten war; allein wenn ich es versuchte, den Hau- fen init derselben uninittelbar abzustreichen, und dadurch in seiner Gestalt genau danustellen ; so braclite die nicht zu verincidende Bewegung und Pressung des Sandes weit griifsere Abweicliungen in die Beobachtungen, als aus der etwas unregelmiikigen Aufschiittung hervorgingen. Zu- letzt wurde der Paden init der Gcwiclitsscliale uin die RolIe Y gescblungen, und nachdein die Gewiclite aufse- setzt yvaren, die Schraube S urn einige Windiingcn zu- ruckgedreht. Durch die alluialilige Venninderung der Gewichtc in der Schale beobachtet man dann leiclit das- jcnige Gewkht, welches dcin Drucke des Sandes nur eben das Gleichgewiclit hielt.

Wollte man mittelst dieses Apparates den Druck fin- den, den ein rechtwinkliges vicrseitiges Sanclprisina ge- gen eine seiner verticalen Seiten ausiibt, so inul'ste inan zuerst den Druck der Schuttung ACDR (Fig. 4 Taf. I) beobachten, nnd dilrauf den der Schiittung K M L ; dann giibe die Differenz beider den Druck aiif das rechtwink- lige Viereck con Q. Diese Mcthode habe ich jedoch nicht angewandt , sondern vielinehr , um\die Beobachtun- gen vollstiindig benutzen zu kihnen, den beobacliteten Druck der Anschuttung A4CDB unlnittclbar init der fru- her gefundenen Formel verghhen. Setzt man nainlich nach Fig. 4 den vcrticalen Abstand der Drehungsaxe von

der Basis der Sandschiittung, oder F U den verticalen Abstand der Drehungsaxe' von

= I

dem Faden, oder 1"E =R.

31 die Hiihc der Aiifscliiitfung, oder c Q= = a die obere Breite der Aufschiittung, oder C D = b die untere Breite der Aufschiittung, oder AB =b+2c, so dafs also die Anlage der Seitenbijscliuug

dann ist der Druck des Snndes auf den Theil C D Q& .nacli der Formel ( B ) = . $ a 2 b y . A und das Moment desselben in Bezog auf die Axe FF:

- AC)=RB - c ,

= ;a? b yA( I-&,). Uin die Moineute des Druckes des Sandes auf die

beiden Dreiecke A C Q iind B n B zu linden, deoke inan dieselben in sehr schiiiale Schichtun N P zerlegt, deren Breite -dx ist, wzhrend 111.711 3 P = x setzt. Dann ist der Druck auf eiiie solche scliinale Fliiche

a2 =: .p yAx2dx, folglich das Moment desselben

und die Suminc von allen diesen Momenten fur die ganze Flzche A C D B

= ;a2 yA[ b( I- ~ a ) + ~ c ( l - ~ a ) ] . Auf des Faden E, oder im Abstande R von der Axe wird deinnacli der Druck betragen:

a2 E=: . - rz y . A [ b ( l - ~ a ) + + c ( l - + a ) ] . . . . (El

Mittelst dieser Formei ist es leicht, die Ueberein- stinimuiig der gegebenen Berechnung mit der Beobach- tung zu priifen. Es ist jedoch augenscheinlich, dafs die unmittelbare Messmig des Winkels p' nicht mit grober Genauigkeit gescheheri kann , weil in den steilsten Nei- gungen, die der Sand einnimmt, immer Unterschiede von mehreren Graden vorzukommen pflegeo. Diese Unsicher- heit vermehrt sich noch bedeutend dadurcb, dals die Nei- gung des Sandes bei vorsichtigein wiederholten Aufschiit- ten sicli bedeutend steiler darstellen ISfst, als es beiin

ersten Bruche der Sandmasse der Fa11 war; denn wenn die einzelnen Kilrnchen anhaltend iiber die geneigte Flu- chc hingleiten, so finden sie unter den verscbiedenen Un- ebenheiten, die sie beriihren, leicht eine, die fur ihre Ge- stalt pafst, so dafs sie also init derselben Ebene zuletzt liegen bleiben, auf welcher sie sich friiher nicht erbalten konnten. Die Ebene der Biischung stellt sich daher im- iner steiler, und es gelang inir z. 13. bei dein scliwarzen Streusaide, der, leicht hingeworfen , nur einc Neigung von 63O gegen das Loth anziinehmen pflegt, durch fort- gesetztes leises Ueberschiitten sogar Ebcnen dnrzustellen, die bis 5 5 O gegen das Loth geneigt waren. Man kann daher den Winlrel y ' , oder die Reibung, die zwisclien den Sandtheilchen stattfindct , genauer bestirnmen, wenn inan den Druck zuiu Grunde legt, den man mittelst des bcscliriebencn Apparates beobaclitet hat. Zu diescin Zwecke berecbnet man zuerst nach der Gleichung ( E ) den Wcrth von A?. Urn aus dicsein 4p zu finden, so verbindet man die beiden Gleichungen (A) und ( D ) , .man erhalt dadurch:

3 A tang y2 --- * ' (F) - 1 - A ' - ' a * a

und tang cp' =n=;(fang y3 + 3 tang y) . . (G) Die Beobachlungen wurden zuerst init dcm feincn

staubnrtigen Sande angestellt , der sich bei Berlin findet. Cohision besitzt derselbe nicht, wenn er zuvor vollstsn- dig getrocknet ist, dagegen zeigt sich bei ihin eine an- dere Eigenschaft, welche griibere Sanderten nicht haben; er ist namlich etwas comprimirbar, wodurch also bei hdhe- ren hufschiittungen ein Setzen der unteren Sandschichten sclion von selbst erfolgt, ohne dafs eine Erschtitterung dam nilthig ware. Am Dcutlichsten kann inan sich hier- von durch den folgendeii Versuch iiberzeugen. Man be- festige eine an beiden Enden offene Riilire, die einigc Zollc weit ist, an einem festen Gestelle in der Art, dafs sie senkrecht steht, und rnit dem unteren Ende etwa

6

33 6 Zoll iiber der F l k h e des Tisches sich befindef. Man schiitte nun den zu priifenden Sand in die Rohre, so wird derselbe auf dein Tische einen seukrechten Kcgel von sehr regeldssiger Gestalt bilden, der so lange sich er- hiiht, bis seine Oberflgche den inneren Rand der Kiihrc beruhrt. Von diesem AugenbIicke wird aber, wenn nian groberen Sand oder Schrot benutzt, der Kegel vollkom- inen unveriindert bleiben, und keine Beweguig im In- nern oder auf der Oberflliche mehr zeigen, wenn man aucli nielir Sand in die Riihre schuttet, und diese Auf- scbiiltung sogar init bcdeutendeu Gewichten beschwert. Ganz anders verhslt sich die Erscheinung aber bei An- wendung des Berliner Stanbsandcs; der daraus gcbildete Kegel wird, sobald er einige Zoll hoch geschiittet ist, schon pliitzlich zusammensinken, und ein lhnliches Setzen erfolgt bei jeder weiteren Mehrbelastung. Auf ahnliche Art pflegt aucli bei anderen Aufschiittungcn dieser Sand niclit in seiner ursprunglichen Lagc zu bleiben, sonderu vielinehr sich compacter zu legen, wodurcli sein specifi- sches Gewicht sich mit dein Reibungsverhiil~ds zugleich vergriil'sert.

Die Ablnessungen des Apparates waren die folgenden: 1=30,52 Zoll R.=26,02 -

daher fur a=2 Zoll war b=9,10 und 2c= 6,07 fur a=3 b=6,07 2 ~ = 9 , l O fur a=4 b=3,03 2c=12,ld.

b + 2 ~ = 1 5 , 1 7 -

Aufserdem ergeben sich aus wiederholten Messungen und Abweichungen das Gewicht eines Kubikzolles Sand bei ;ihnlicher Aufschiittung, oder:

y=1,87 Loth und y'=55O (abwechselnd zwischen 5 4 . O und 5S0) .

Die wiederhoIentIich beobachteten Spannungen des Fa- dens waren beim Eintritt der Bewegung:

Annal. d. Pbysik. Bd. 104.St.1. J. 1833.St.5. 3

fiir n=2. fiir n=3. f ir a=4.

E . . . 8,46 17,17 22,oo 7,94 16,88 22,46 8,94 16,01 22,44

17,12 23,02 16,02 22,30

21,85

im Mittel 8,45 Lth. 16,65 Lth. 22,35 Lth.

Die berechneten Resultate sind dagegen die folgenden : y=3S0 16',0 A= 0'17 171

a=3 .. . . E = ~ J , % a s 4 . . . E=20,50

und fiir a = 2 . . . E= 8,20 Loth

Bei der Unsicherheit in der Messung des WinkeIs cp' kihnen die hbweichungen der letzten Resultate leicht iliren G r u ~ d in einer falschcn Annnhme von y' liabcn. Legt man demnach den beobachteten Druck zum Grunde, so folgt aus:

a=2 A=0,177 a=3 A=0,191 a=4 A=0,187.

Legt man daher einen mittleren Werth zuln Grunde, 1131x1-

lich: A= 0,185

und : y'=56O 39'. Lelzterer Werth fur cp' fiillt zwischen die beobachteten Werthe. Hiermit ergeben sich die Spannungen des Fa- dens

so folgt: 9=390 32'

fur a=2 E=8 ,84 a=3 E=16,13 a=d E=22,13

Nach der C o u 1 o w b 'schen Methode ergiibe sich dage- gen, wenn man c p P ' = 5 5 O anniinmt,

35 fiir a=2 E=12,94

a=3 E=23,61 a=4 E=32,37

woraus sich also eine bessere Uebereinstimmung der er- sten Formeln ergiebt.

Hierauf benutzte ich ZKI den Versachen eine Sand- art, die wegen der gleichmKfsigen Grofse der Kiirnchen, so wie auch wegen des bedeutenden specifischen Gewich- tes sich hierzu bcsoiiders zu eiguen schien. Es ist die- ses der schwarze magnetische Streusand, der sich haufig in horizontalen Lagen am Seestrande, z. B. am FuCse der Dunen auf der Frischen Nehrung zwischen Pillau und Danzig vorfindet. Die See wirft nKmlicb diesen Sand mit dem Dunensand vermischt aus, jedoch den ersten in so geringer Quantit:it, dafs man hin und wieder einzelne schwarze Kbrnchen erblickt. Wcnn dieser Sand jedoch von auflaufenden Wellen wieder angegriffcn und fortge- spiihlt wird, so Icistcn die schwarzcn Karnchen des Ei- sensandes eiiien griifseren Widerstand, und bleiben auf den gcneigten Flachen liegcn, wlhrcnd der Kicssand von dein Wasser fortgerissen wird. Auf solche Art wird die- ser Sand sehr rein abgeschieden, und man findet ihn haufig in Schichten, die 1 bis 2 Zoll hoch und mehrere Ruthen Iang sind. Es gehiirf zu dieser Ersclieinung jedoch ein regelmafsiger und nicht starker Wellenschlag, man be- merkt sie daher nicht SO haufig am Seestrande, als an dein inneren Strande der Nehrung Iangs dein Haff. Wenu man den auf solche Art abgelagerten Eisensand sorgfgl- tig einsammelt, so dafs er weder mit dem darunter lie- genden, noch auch mit dem vielleicht daruber gewehten Kiessande vermischt wird, so erhalt man eine sehr gleich- formige Masse. Durch ein Mikroskop geselien , zeigen die Kiirnchen woh1 unregelmafsige und verschiedene Ge stalten, auch sogar verschiedene Farben, indem sie bald schwarz, bald ro th, bald brann und grun erscheineii, aber scharfe Kanlen haben sie nie; ihre Gr6fse ist auch

3"

36 nicht sehr verscbieden, und feiner Staub fehlt dazwisclien ganz. Zur Schatzung ilirer Griifse inag die Angabe ge- niigen, dafs auf l Zoll LYnge etwa 80 Kiirnclien gehen. Das Gewicht eines Kubikzolles von diesem Sonde, der vollstandig trockeii war, fand ich durch wiederliolte Ab- wiegungen gleicli 2,82 Loth, wenn die Aufschiittung sclir leise und oliiie alle Erschiitteriing geschehen war. Iki Anstellung des friiher erw9linten Versuches init der a d - gestellten offenen Riilire zcigt er nicht die geringste ZO- saminensinkung bei hiiheren Aufscliiittungen. - W a r dic- ser Sand endlich gegcn eine Wand geschuttct, nnd ninn entfernte darauf die letztere schnell, so stellte die steil- ste Neigung sich unter einem V6finkel von 61 bis 63 Graden gegen das Loth dar, wogegcn bei wiederboltem leisen Aufbringen kleiner Sandiiiassen es iniiglich war, die Neigung bis auf einen %‘inkel von 55O dein Lotlie zu nzhern.

Es ist deninach r p ’ = 6 2 O y =2,82

und mit Beibehaltung der friilier gcwlhltcn Bezeiclinung hatte der etwas abgeiiriderte Apparnt die folgendcn Di- iiiensionen :

.!= 33,22 I = 39,22

b + 2 ~ = 17,6

fiir a = l war b=14,4 und 2c= 3,2 a=2 b=11,2 2c= 6 4 a=3 b= S,O 2c= 9,6 a=4 -6= 4,s 2c= 12,s a=5 b= 1,6 2c= 16,O.

Die slmintlichen angestellten Beobachtnngen iiber den Druck, den der Fadeii beiin Ausweichen der Wand er- leidet, waren:

35 a=%. u=3. n=4. n=5.

18,3 36,5 51,O 70,5 18,3 38,5 59,5 66,5 20,7 38,2 57,O 67,5 1S,5 39,5 55,5 68,5 19,9 38,5 59,5 72,5 18,7 403 51,O 72,O 19,2 37,7 593 72,5 19,6 39,5 60,5 73,5 242 41,O 59,5 70,O 18,s 38,8 58,6 71,5

60,O

iiii Mittcl 4,14 19,19 35,77 58,60 70,50 incl. dcr Schale 6,39Lth. 21,44 41,02 60,85 72,75.

Die letzten Zahlen sind die beobachteten WerIhe fur E . Fur den angelloinmelien Werlh voii y'=62O er-

1i:ilt man:

und A=0,23dSO und darnus fofgt fur a = l . . . J!?= 6,O

a=2 . . . E=20,5 a = 3 . . . E=36,45 a=d . . . E=55,0 n=5 . . . E=65,4.

990=430 49:7

Es fdl t dcmnacli E jederzeit etwas klciaer, als die Brobachtungen es ergeben haben. Diese Abweichung kntin aber liinreichcnd dndurcli erlrliirt werdcn, dafs bei der grofsen Verschicdenheit in den bectbachteten Wer- then fiir 9' die ziemlich .tvillkiihrIiclie Voraussetzung, dafs cp'=62O, nicht richlig war. Bercchnet inan daher umge- kehrt aus den beobachteten E die Werthe fur A, so er- geben sich dieselhen bei a = l . . 1 A=0,2503

a=3 . . . A=O,2504 a=2 . . . A=0,2455

38 a=4 . . . A=0,259S Q=5 . . . A=0,2610

also im Mittel: A=0,2534 daher: 9 =45" 15',5

was ziemlich mit den aukersten beobachteten W erthen der Neigung iibereinstimrnt. Es ergeben sich hieraus die Werthe fur E bei a=l . . E = 6 , 2

a=2 . . . E=21,2 a=3 . . . E=:39,S a=4 . . . E=56,9 a=5 . . . E=67,7.

Durch Vergleichung dieser Resultate mit den Beob- achtungen kijnnte man zu der Verinuthung gefuhrt wer- den, dak der Werth fur A nicht constant sey, sondern mit der Hijhe der Aufschiiltung zunehme. Dieses fin- det in sofern auch wirklich statt, als bei hijlieren Auf- schuttungen ein Zusaininensinken des Sandcs imrner leich- ter wird, und zum Theil schwer zu vermeiden ist. Wie sehr aber dadurch der Druck gegen die Wand vermin- dert wird ergab sich wahrend der Anstellung der Beob- aclitungen sehr deutlich, obgleich inan im Gegentheit wegen der dadurch herbeigefuhrten Verrnehrung des spe- cifischen Gewichtes auch eine Vergriifserung des Druk- kes verinuthen sollte; es war aber augenscheinlich, wie jedesmai, wenn zuMllig der Sand etwas stark aufgeschut- tet war, oder weiin durch 'kinen voruberfahrenden Wa- gen cine leise Erschutterung herbeigefiihrt ward y gleich die Gewichte in der Schale sehr viel vermindert werden konnten, oder der Seitendruclr viel geringer ausfiel. Da- gegen naherten sich diejenigen Beobachtungen y bei de- nen solche Zufalligkeiten nicht stattgefunden batten, am ineisten den berechneten Resultaten, SO dak also die Abweichungen nur in den unvermeidlichen Beobachtungs-

und : qo'=63 44,7

39

fehlern zu suchen seyn durften, die bei hiiheren Auf- scljiittnngen imiaer uin so leichter eintreten.

Mit Benutzung der C o u l o m b ’schen Rechuung er- helt man fur cp’=62O bei a=1 . , . E= 9’20

0=2 . . . E= 31,47 0 = 3 . . . E= 59,O5 a=4 . . . E= 84,47 a=5 . . . E=100,39.

Endlich benutzte ich noch Schrot zur Anstellung von Shnlichen Versuchen. Die einzehien Kbrnchen desselben liiclten eine Linie im IJurchinesser; sie bildeten die steil- ste Ncigung zwischen 65 und 68 Grnden, und aus wie- derholten Abwiegungen ergab sich das Gewicht eines Ku- bikzolles gleich 8,245 Loth. Es ist demnach:

rp’=66O 30’ y =8,245

ferner war: 2 =45,92 I =41,42

fur a=l war 6=7,60 und 2c= 4,52 a=1,5 b=5,34 2c= 6,78

b+2c=12,12

a=l b = 3,08 2c= 9,01 a = 2,0 b = O,82 2c= 11,30.

FBr E wurden folgende Werthe beobachtet, worin das Gewicht der Schnle schon mit inbegriffen ist:

fiir o=l . fir n=1,5. fiir n=2,0. fiir ~ = 2 , 5 .

11,373 22,375 33,75 39,25 11,50 23,375 33,25 38,75

B= 11,625 23,25 33,5 38,75

23,126

im Mittel 11,50 23,03 33,50 38,92. Aus dem angenommenen Werthe fiir sp’ folgt:

cp = 47 36‘,0 A= 0,2857

40

und dnraus fiir a=J,0 E=11,81 a= 1,6 E=22,11 a=2,0 E=31,12 a=2,5 6=36,90.

Berechnet man dagegen umgekehrt aus den beobachteten Werthen von E dic Winkel b ei a=1,0 A=0,27S2

a=1,5 A=0,2977 a=2,0 A=0,304G n=2,5 n=0,3014.

uiid y ' , so foIgt

Das Mittel aus deli drei letzten Werthen gicbt &0,3012,

y'=67 43 daraus: sp = 4 S O 40'

b ei a=1,0 E=12,45 a= 1,5 E=23,30 a=2,0 &=33,12 a = 2,5 E=38,S9.

Nach C o u 1 o m b 's Methode erlidt man dagcgen fur yr=GGO 30' bci a=1,0 E=17,77

a= 1,5 E=33,27 a=2,0 E=17,29 a=2,5 E=55,53.

Ich stellte bci dieser Gelcgenlicit auch noch einige Bcobachtnngen iiber deli Druck an, deii das Schrot, wenn es in einen vierecliigeii Kasten geschiittet war, gegen des- sen Wande ausubte. Zur Vergleicliung der gcfiindenen Rcsultate mit dencn der Rechnulig inachte icli wicder die Voraussetzung, dafs auch bier die Trennungsf1:iche der am stgrksten druckendeii Masse eine Ebene sey, was sich jedoch niclit beweisen lacst, und wahrscheinlich in aller Strenge auch nicht stattfindct. Dam bestiinmt sich der gesuchtc schriige Druck auf dieselbe Art, wic friiher, nur mufs von ihm noch die Reibung der beiden Seitenflii- chen in Xbzug gestellt werden. Diese Reibung ist aber

uiid hieraus ergcben sich wieder die Werthc fiir E

41

wieder von dem Winkcl abhsngig, dcii die Trcnnungs- ebene gegen das Loth bildet, und dcr friilrcr gefundene Werth fur y entspriclit liier nicht mchr dein Maximum des Druckes. Man lsomint bei der directen Aufliisung der Aufgabe auf einc Gleichung, die in ISezieIiung auf tmgy vom vierten Grade ist; weit leichter kann mail nhxungsweise den stnrlrsten Druck finrlcn, wenn niaii ihn fur einige willkiilrrlich angcnoniinene Wertltc des Xei- gungswinlsels herechnet. Uiefs Verfahrcn ist in so fern ganz bequcln, als eine groCse SchZrfc in der Reclinurig liicr uberfliissig wiire.

Nennt man TI, den Winlrcl, untcr dcin die Tren- nungscbenc gcgen dns Lotli gcncigt ist, so wird das d ; ~ - durch abgesclinitlene Prisma, wcnn iniiii es in schr scliinale verticale Schichten zertheilt denlit, gcgeii jcdc Scitcnnnnd eincn Druck ausubc~~, der glcich ist - ~ A ; ~ n P taris 7p. I)a- her wird die l\eibuiig g c g ~ bcide Seitciirviindc betragen,

wenn - den RcibungscoCfficicnten bczeichnct: 1 V

B = + . L ~ y a 3 iniig1p,

wo A den in der Formel (D) angcgebcnen Wcrtlr hat. Es ist daher der ganze Druck, mit n.clchem das Prisma scltrag Iierabzugleiten strebt, v~enn iiian die friihcren Be- zeichnungen beibcliiilt:

V

und folglicli der iesuclite horizontale Drucli:

uiid die Hiihe, in welchcr dieser Druck ausgeiibt wird, ist von der B;isis dcr Wand < a entfernt.

Bci den Ilcobachtungcn bctriig die Hohe der Drelrungs- axe uber den1 Boden des Kastens, oder 1=21,75 die Hbhc der Axe iiber den1 Fadeii, odur 1=16,44

42

ferner war: a= 3,OO 6= 4,W

A= 0,3012 y’=67O 43’ 1 - = 0,5

und wie fruher: y= 8,245

nach den spYteren IJntersucliungcri ist

beobachtet wurdc K=65,25 64,25 61,50 64,OO 65,25

also im Mittel K= 61,65.

bei T,!I =47’ K= 46,64 ~ = 4 6 K=46,72 ?!I = 45 K= 46,63.

Das Maxiinurn wiire also sehr nahe 46,72, oder solclien Druck crleidet die Wand in der Hahe =+a, dalier er- giebt sich der Widcrstand, den der Faden erleidet, oder das beobachtete:

also etwas zu klein, was auch in sofern zu erwarten stand, als in diesem Falle die Trennungsflzche bei der Darstel- lung des ain stsrksten druclrenden Prisma’s wahrschein- lich an beiden Seitenwiindeii etwas aufgebogen war.

Mit Benutzung dieser zuletzt entvickelten Forrnel ( H ) . wird es auch maglich, einige frenide Beobachtun- gen zu vergleichen; doch wahle ich dazu, uin den Eiu- flufs der Co1i:ision zu vennciden, niir solche, die mit ganz trockencn Massen angestellt sind.

W o 1 tin a n benutzte zu seinen Vershchen, die e r an der angefiihrtcn Stelle beschreibt, einen Kasten, der 4 Fufs hoch, 4 Fufs breit und 6 Fufs lang war, und dessen eine liurzere Wand mittelst Charniere urn eine

Y

- -

Die Rechnung ergab fur den Druck des Sclirotes

K=58;97,

43 horizontale Axe beweglich war in der Art , dnfs dicse Axe entweder in den oberen oder den unteren Rand der Wand wil1LuhrIich verlegt werden konnte , wiihrend die Schnur, diirch welchen der Widerstand gemessen wurtle, sich jedesrnal an der entgegengesetzten Seite befnnd. IXe- ser Kasten wurde zuerst abwechselnd 2 und 4 Fufs liocli init trockeiiern Diinensande gefiillt, wovon der Kubikfufs 73,5 Pfund wog, und welcher die steilste Neigung von 5 8 O gegen das Loth annahrn.

I. Die Beobachtungen waren die folgenden : Bas Charnier unten, Hiihe d. Fiillung 4 Furs

K= 131,3 Pfd.

I<= 16,2

K= 23O,2

K= 76,6

11. - - - Hiihe d. Fiilluqj 2 Fui's

111. Das Charnier oben, Hiihe d. Fiillung 4 Furs

IV. - - - Hahe d. Fiillung 2 F I J ~

Berechnet man nach der Gleichung (H) dcn sterksten horizontalen Druck und reducirt ihii auf die Ccfestigungs-

punkte des Fadens, so folgt, wenn -=O,5

fur I 1<=127,3 11. I<= 17,5 111. K=254,7 IV. K= 87,5.

1 11

Dagegen giebt die von W o 1 t m a n ausgefiihrte Rechnung mit Uenutzuug der iiblichen Methode fur I. K=240,9

111. K=181,4 1V. K=X50,6.

Bei der letzten Rechnang ist freilich auf die Rei- bung an den Seitenwlnden nicht Riicksicht genommen, aber die grofsen Unterschiede erkkiren sich dadurch allein keineswegs, indem diese Reibuug in deli Oeobachtungen

11. K= 30,l

44

I und 111 iiur den sccbsten, und in I1 und IV den zchu- ten Thcil dcs Druckcs ausinacht.

Die folgenden VcrsucIic stellte W o l t m a n mit Ak- kercrde in) natiirlich feucliten Zustande an. In demscl- ben fand natiirlich eiiie bedeutende Coiiiision statt, ich iibergche sic daher hier, und beinerlce nur, dafs wcnn m;?n den Winkel der steilsten Neigung (der sich nicht gcnau beobacliten liefs) SO annirnmt, wie der Verfasscr es g h m hat, inan dann niittelst der Glcichung (H) auch hicr Resiiltatc erlililt , die sich recht gut an die Ceobacli- tungen anscliliefseii, wiihrend die C o u 1 o nib 'sche For- inel sic wicdcr cloppelt so grofs darstcllt.

In dein hicrauf folgenden neunten Versuclie fullte W o l t i n a n den Knstcn init Kieseln, die einzeln cin Ge- wjcht von 2 bis 12 Loth liattcn; der Kubihfufs dcrsel- bcn wog 79 i'fund, und sic nahinen gegen das Loth eine Neigung yon 54" an. - Der Kasten wurde zuerst ganz, d a m zur Hiilfle angefiillt, die Chariiicre befanden sich jcdesmal oben, uiid die Spannurigen des Sclinures, das ain unteren l h d e der W a n d befestigt war, betrug, nach Anbringung der iiiittiigcn Corrcclioncn, das erste Ma1 1323 Pfund und dann 51,2 Pfund. Die Co u l o m b'- sche Mehotlc gab, oliiie Beriicksichtigung der Seitenrci- bung, 43'7,5 und 136,s Pfund. Mit Benutzung der For- incl (H) erhiilt man 236 Pfund und 79,s Pfund; welclie letzten Resultate sic11 der Beobachtung wohl etwas inclir ndiern, aber doch noch immer schr weit davon entfcrnt blcibcn.

Die beideii nachsten Versuche stellte IVo 1 tin a n iiiit Rappsaat a n ; der KubikfuCs wog 31$ Pfund, u i~d cs l ids sicli nicht steiler, als iiiit eincr Beigung von G5 Gradcn gcgen das Loth stellen. Der Kastcn wurde in bcitlcn Versucheii ganz voll geschiittet, doc'h befaiid sich dns erste Ma1 das C:liarnier oben, und das zwcite Ma1 unten. Die beiin. Ueberrveiclien der Wand beobachteteii Spannungcn waren, ntfcch Anbringung der nijthigen Cor-

45

rectioneii, im zehnten Versuch 151,6, und iin eilften 803 Pfund. Die C o u l o m b ’sche Rechnung ergab dafiir 296,5 und 148,3 Pfund; dagegen folgen sic aus der Gleichung

(H), wenn man &=+ setzt, 164,7 und S2,3 Pfund. Dic

Reibung an den Seitenwsnden betrsgt beide Male 2T des ganzen Druckes. Sic wiirde etwas bedeutender werdcn, und daher noch eine besscre Uebereinstimmung init den

Ecobaclitungen lierbeifiihren , wcnn - etwas grijfser, z. B.

+ angenoinmen wsre; ich glnulte aber bei der glatten Oberfllche des Rappsaates sie niclit so grok, als bciiii Sande voraussetzen zu durfen.

Der zwijlfte und dreizehnte Versuch, die W o l t - in a n noch anfuhrt, sind gauz untcr dcnselben TJinst3n- den, wie die letzten angestellt, niir rnit dciii Unterscliietle, dafs hicr Roggen benutzt wurde, wovon der Kubilifufs 35; Pfund woi;, der sich aber nach der Angnbc niclit steiler, als bis 65O stellen liefs. Die Bcobachtungcn er- gaben den Druck der W a n d gcgen den Sclinur, wenn derselbe zuerst oben und dann unten angebracht war, gleicli 121,6 und 68,d Pfund. Nach CouI oinb$ Me- thode findet man sie gleich 307,2 und 153,G Pfuntf, da- gegen nach der Forinel (H) 170,6 und 85,3 Pfiintf. Wahrsclieinlich findet zwischen den Roggenltijrnchen eine weit stlrkere Keibnng statt, als zwischen dencii des Rill)p- saates, woher dann rp’ in diesein Falle wohl kleiner seyn mtjchte, was aucli eine bessere Ucbereiastimmun,o mit dcm beobachteten Werthe herbeifiihren wiirde.

Endlich fiihrt W o l t i n a u noch zwei Versuche an, die er niit einem Apparate anstellte, wobei der einge- schiittete Sand nicht auf einem horizontalen Boden, son- dern auf einer stark geneigten W a n d ruht. Zur Ver- gleichang des auf diese Art gefundenen Druckes ist in- dessen eine sehr genaue Kenntnifs des Reibungs- Coeffi- cienten zwischen Sand und HoIz niithig, indem derselbe

Y

1 V

46 hier eincn weit griilseren Einflufs, als frfiher, auf das Re- sultat hat. Die beiden Versuche sind aufserdem auch so wenig unter einander in Uebereinstinimung, dafs eine nahere Vrrgleichung derselbcn mit den Resultaten der Keclinung ganz iiberfliissig erscheint.

In der grofse11 Reihe von Versuchen, die M a g n i e l ( Traite' experimental de la poussee des terres. Paris 1809.) iiber deli Seitendruck der Erde angestellt hat, be- findet sich liein einziger, bei d e n qer Einflufs der Co- hasion verinieden wiirc, indem nur feuchte Erdarten und nasser Sand benutzt wurden.

Dagegen sind von d e K 6 sz e g h (Versuche uber den Seite~idruck der Erde. Wien 1825.) die Beobaclrtungen No. 38, 39, 40 und 41 init trockcnem Sande angestellt, deren Resultate ich daher liier noch rnit beiden Rech- nungsmethoden verglcichen will. Der zu den Versuchen benutzte Kastcn war 9 Furs lang, 3 Fufs breit und 6 F. hoch; cine von den schmaIen Seiten bildete dic beweg- liche Wand, und ihre Drehungsaxe befand sich am Bo- den. Der Druck des Sandes wurde nicht unmittelbar gemessen, soutlern nur dadurch, dafs die erwiihnte W a n d einen Iiasten fortdrhgte, dessen Belastung sich allm~ih- lig vermindcrte, wodurch die Reibung, die ihn auf sei- ner liorizontalen Bahn zuriickhielt, in deinselben Maafs- stabe geringer wurde, und er endlich dein Drucke nach- gab. Die Stiitze, welcbe den Druck der Wand auf den Kasten iibertrug, war gegen die erstere in einer Hbhe von 2 Fufs, oder auf ein DrittheiZ der ganzen Hiibe be- festigt, wodurch der Druck des Sandes unveriindert iiber- tragen wurde. - Der Sand, der hier als Fiillungsmate- rial diente, liefs sich nach dem 39sten Versuche so steil stellen, daCs die Neigung gegen das Loth nur 34O 20' betrug; das Mittcl aus den bei jedkm Versuche beson- ders gemessenen steilsten Neigungen gegen das Loth er- gab sich abcr gleich 39O 29', iiud dieses war also der Werth fur cp'. Ein Kubikfufs des Saudes wog 95,6 Pfd.

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Der im Mittel aus den vier Beobachtungen gefundene Druck betrug, nach Anbringung der nothigen Correctio- nen, 1294,4 Pfund. - Berechnet man denselben nacIi der Coulomb’schen Methode, ohne auf die Reibung Rucksicht zu nehmen, so findet man ihn nur 648’7 Pfd., und nach der Fonnel ( H ) ergiebt er sich sogar nur gleich

Diese sehr betr~chtliche hbweichung ist eben so auf- fallend, als die Eigenschaft des liicr benutzten Sandes, sich so steil zu stellen, wie dieses init keinem anderen Satide auch nur entfernt errcicht wcrden ka:in; liiiniitc man annehmen, dafs der Sand nicht trochen war, so wSre der Ietzte Uinstand erklart, aber dem widerspriclit gera- dezu die Beschreibiing der Versuche, denn es wird ge- sagt, der Sand ware ganz trocken gewesen, und es hcilst aufserdein noch, dafs wenigstens bei den Versuclien gar keine Coliasion stattgefunden hiitte. - Sodann ware auch gegen die ganze Anordnung des Apparates Manches zu erinnern, da die Reibung, durch welche der Gewichtka- sten den Widerstand leistet, zu wenig constant und zu sehr abhangig war von manchen ZuRlligkeiten, als d a k bei ihrer Benutzung zur Messung des Druckes, wie es bier geschah, eine grofse Genauigkeit erwartet werden kiinnte.

Nichts destoweniger hat der Verfasser selbst eine Berechnuiig nach der C o u 1 o m b’sche~, Mefhode gegebcn, die sich ziemlich gut an das aus der Beobachtung gefuu- dene Resultat anschliefst. Dabei ist jedoch nicht der nn- gefiihrte Werth fur y’ oder die gemessene steilste Bii- schung in die Recbnung eingefiihrt, sondern statt dersel- ben ist eine Neigung von 53 Gradeii angenommen, wel- che die naturliche Biischung genannt wird. - Bei cohz- rirenden Erdarten liefse sich eine ahnliche Verschiedcn- heit wohl in sofern etklsren, als solche Erde beim Atif- schiitten nicht gleich eine so steile Neigung anzunehinen pHegt, als man ihr s p t e r zu gebcii irn Stande ist, weiin

340,o Pfund.

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dcr Haufen schon Ilingere Zeit gestnnden hat, und die TlieiIchen unler einander eine festere Verbindung einge- gangen sind. Bei trockenem Sande kann die Zeit der Rulie aber lieinesweges die Theilchen zu einer innigeren Verbindung veranlassen. Es ist demnach bei solchem Fiillungsmaterial , wie das hier bcnutzte, nur eine eiiizige Beigung, und zwar die steilste, demselben eigenthumlich, und in seiner Natiir begriindct. Zwischen dieser Nei- g ing und der horizontalen Aufschiittung wird man naliir- licli jede beliebige Neigung darstellen und messeii kiin- nen, aber der Uinstand, dafs die Sandthcilclicn sic11 nur eben noch auf der Biischung ruhend erhalten liiinnen, findet bei solchen nicht inelir statt; sie stellen dalier auch keinesweges in der angegebenen Beziehung zu der Hei- bun;; zwischen den einzclnen Sandtheilchen , und stellen folglich auch nicht den lnit y ’ bezeiclineten Winliel dar.

AuGer deu angefuhrten Beobachtungen iiber den Sei- tendruck des trocknen Sandes siud mir keine Shnlichen bekannt geworden. Die Vergleichimg dersclben uiit dcn Kesultaten dcr von mir gcwllilten Berechnungsart hat, wie icli hoffe, die letzten so vollstiindig beslstigt, als die Sicherheit der Beobachtungen es iiberliaupt zuliefs. lch gluube dalier die Richtigkeit der vorstehend entwickeltcii Ausdriicke aufser Zweifel gestellt zu haben, und fiige zur bequemen Benulzung derselben noch eine Tabelle bei, worin fur die verschiedenen Werlhe von y ‘ die zu- gehiirigen Werthe von cp und A naclrgewiesen sind *). *) Die T&l folgt am Schlufs dieses Aufsetzes.

( S c h l u T s irn n s c l i s t e n H e f t e . )