Untersuchungen am longitudinalen und transversalen ... · RUHR-UNIVERSITAT¨ BOCHUM Untersuchungen am longitudinalen und transversalen Widerstand quantisierter Hall-Systeme Ruhr-Universitat¨

RUHR-UNIVERSITAT BOCHUM

Untersuchungen am longitudinalen und transversalen Widerstandquantisierter Hall-Systeme

Ruhr-Universitat BochumFakultat fur Physik und AstronomieInstitut fur Experimentalphysik VI

Angewandte Festkorperphysik

Dissertationzur Erlangung des Grades eines Doktors der Naturwissenschaften

vorgelegt vonAndreas Goldschmidt

geb. in Witten

Bochum, im Januar 2003

II

Erster Gutachter : Prof. Dr. A. D. Wieck (Institut fur Experimentalphysik VI: AngewandteFestkorperphysik)

Zweiter Gutachter : Hochschuldozent Dr. Bodo Huckestein (Institut fur TheoretischePhysik III: Festkorperphysik)

Tag der Disputation : 02.06.2003

III

Fur meine KinderMiriam und Jakob

IV

V

Zusammenfassung

Erstmals wurde die Plateaubreite im Quanten-Hall-Widerstand in Abhangigkeit von der Elektronen-beweglichkeit im 2DEG systematisch untersucht, wobei alle anderen Parameter konstant gehaltenwerden konnten. Dazu wurde die Elektronenbeweglichkeit einer hochmobilen GaAs/Al � Ga � � � AsHeterostruktur mit einer Elektronenbeweglichkeit von �� durch Implantation mit 10keV Ga � Ionen mit Hilfe einer fokussierenden Ionenstrahlanlage sukzessive verringert. Die Untersu-chungen wurden in einem uber drei Großenordnungen reichenden Elektronenbeweglichkeitsbereichdurchgefuhrt und zeigten, dass die Anzahl und Breite der Plateaus mit der Elektronenbeweglichkeitsteigen, bis sie mit steigender Elektronenbeweglichkeit konstant werden.

Erst bei einer Elektronenbeweglichkeit von etwa �� beginnen sich die ersten Pla-teaus im Hall-Widerstand auszubilden. Mit steigender Elektronenbeweglichkeit erscheinen zuerst dasPlateau des untersten Landauniveaus und dann die des jeweils folgenden. Des Weiteren ist die Breiteder Plateaus im untersten Landauniveau abhangig von der Anzahl und Breite der Plateaus bei fraktio-nalen Fullfaktoren.

Das von A. M. Chang und D. C. Tsui [Cha85] vorgeschlagene Widerstandsgesetz zur Umrech-nung der Transportkoeffizienten � � ��

� � �!#" !ist auch bei einer Temperatur von T = 50 mK in vorgegebenen Grenzen gultig. Zur Beschreibungder Transportkoeffizienten fur

!%$ � wird in der vorliegenden Arbeit eine alternative Gleichungvorgeschlagen, die ihre Gultigkeit bis zum Einsetzen der Shubnikov-de Haas Oszillationen beibehalt.Lediglich das nicht monotone Steigen der Maxima im longitudinalen Widerstand ist nicht durch dasoben genannte Widerstandsgesetz beschreibbar.

Abweichend von der homogenen Implantation wurden zwei weitere Implantationsmuster unter-sucht. Eine Implantation von 10 � m breiten Streifen senkrecht zum Hall-Bar zeigt im longitudinalenWiderstand des 2DEGs eine Schwebung uber die Maxima, die zwei nahe beieinander liegenden Elek-tronendichten entsprechen sollten. Eine Implantation nur der Rander des Hall-Bars von 20 � m zeigteine starke Beeinflussung der Randkanale im 2DEG.

VI

VII

Abstract

For the first time, the plateau width of the quantum Hall resistance in dependence of the electron mo-bility in a 2DEG was systematically investigated. All other parameters, like temperature and electrondensity were kept constant. For this, the electron mobility of a high mobility GaAs/Al � Ga �� As-Heterostructure with �� was decreased successively using 10 keV Ga � ion implan-tation with focused ion beam technique. The study of the Hall resitance plateau width on sampleswith an electron mobility range over three orders of magnitude shows that the number and the widthof the plateaus increase with increasing electron mobility until they remain constant at high electronmobilities.

Primary, at a mobility of � �� , the plateaus of the Hall resistance start to be formed.With increasing electron mobility the plateau of the lowest Landau level is formed firstly, followedby the next higher ones. Furthermore, the plateau width of the lowest Landau level depends on thenumber and width of the plateaus at fractional filling factors.

A. M. Chang and D. C. Tsui [Cha85] proposed a resistivity law:� � � �� !#" !

valid up to a temperature of T = 50 mK. In this work an alternative solution is given for the transportcoefficients in the limit

! $ � until the onset of the Shubnikov-de Haas-oscillations. Only the non-monotone rise of the peaks of the longitudinal resistance is not describable within the above resitivitylaw.

Excepting the homogeneous implantation two different patterns were investigated, as well. Animplantation of 10 � m wide stripes perpendicular to the Hall-bar leads to a beat in the longitudinalresistance oscillations. These is a signature for two close electron densities. The implantation of theHall-bar edges shows a strong scattering between the edge channels of the 2DEG system.

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INHALTSVERZEICHNIS IX

Inhaltsverzeichnis

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII

Abkurzungen und Großen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Verwendete Anglizismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 Einleitung 5

2 Der Quanten-Hall-Effekt 9

2.1 Das zweidimensionale Elektronengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Das zweidimensionale Elektronengas im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Der ganzzahlige Quanten-Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1 Lokalisierung – Delokalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2 Randkanalbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Der fraktionale Quanten-Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.1 Composite particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Die Plateaubreite im Quanten-Hall-Effekt 23

3.1 Universelle Normierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Maximale Plateaubreite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.1 Maximale Plateaubreite im Magnetfeldbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.2 Maximale Plateaubreite im Fullfaktorbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Der Ubergang zwischen den Plateaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Reale Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Experimentelles 29

4.1 Proben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1.1 Probenprozessierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1.2 Maskenherstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2 Implantation mit fokussierten Ionenstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.1 Implantationseinflusse im Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.2 Weiteres Probenmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2.3 Das Verhalten des mittleren Ionenabstands zur mittleren freien Weglange . . 38

4.3 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3.1 Mischkryostat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.2 Magnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3.3 Messbox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

X INHALTSVERZEICHNIS

5 Messergebnisse 455.1 Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2 Untersuchung der Plateaubreite im Hall-Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2.1 Normierte Plateaubreite� ! ��! vs. Elektronenbeweglichkeit � . . . . . . . . 50

5.2.2 Plateaubreite��

vs. Elektronenbeweglichkeit � . . . . . . . . . . . . . . . 555.2.3 Das Verhaltnis der Plateaubreiten untereinander . . . . . . . . . . . . . . . . 565.2.4 Breite der Plateauubergange

�� vs. Elektronenbeweglichkeit � . . . 575.2.5 Steigung der Plateauubergange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2.6 Verhalten der Plateaubreite bei hohen Elektronenbeweglichkeiten . . . . . . 615.2.7 Verhalten der Plateaubreite bei niedrigen Elektronenbeweglichkeiten . . . . . 635.2.8 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3 Ahnlichkeiten zwischen den Transportkoeffizienten des QHE . . . . . . . . . . . . . 675.3.1 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.4 Spinentartung und Randkanalstreuungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.4.1 Overshooting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.4.2 Undershooting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.4.3 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.5 Implantation von Streifenmustern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.5.1 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.6 Homogenitat des Wafers 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A MOSFET und Heterostrukturen 79A.1 MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79A.2 GaAs/Al � Ga � � � As Heterostruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

B Lock-In 83

C Probendaten 85

Danksagung 99

Lebenslauf 101

INHALTSVERZEICHNIS 1

Abkurzungen und Großen

Verwendete Abkurzungen

2DEG zweidimensionales ElektronengasEB ElektronenbeweglichkeitFIB focused ion beamHEMT high electron mobility transistorMBE molecular beam epitaxy (oft auch Bezeichnung fur eine Schichtfolge,

mit der ein Transistor hergestellt werden kann)QHE Quanten-HalleffektIQHE ganzzahliger Quanten-Hall-Effekt (integer quantum Hall effect)FQHE fraktioneller Quanten-Hall-Effekt (fractional quantum Hall effect)SLR Spiegelreflexkamera

Großen

!Magnetfeldstarke� Elementarladung�Plancksches Wirkungsquantum ( �

� �� )� � � mittlere freie Weglange� �magnetische Lange�Phasenkoharenzlange� Ladungstragerbeweglichkeit�Fullfaktor� Ionendosis� � � zweidimensionale Ladungstragerdichte� �Widerstand bei Magnetfeld Null� � � longitudinaler Widerstand� � � transversaler Widerstand�� Zyklotronfrequenz�Lokalisierungslange�� Verhaltnis zwischen zwei Plateaus benachbarter Landauniveaus

2 INHALTSVERZEICHNIS

INHALTSVERZEICHNIS 3

Verwendete Anglizismen

backscattering Ruckstreuungbulk Volumen; wird jedoch beim 2DEG fur den flachigen Hall-Bar

ohne Rand benutztchip carrier Chiptrager, -haltercomposite particles zusammengesetzte Teilchencomposite bosones zusammengesetzte Bosonencomposite fermions zusammengesetzte Fermionenfocused ion beam fokussierter Ionenstrahlfractional fraktional, gebrocheninsert vacuum chamber eingefuhrte Vakuumkammerinteger ganze Zahllattice Gittermolecular beam Molekularstrahlpeak Maximumpinning festhaltenquantum Quantenramp up hochlaufenremote impurities abgelegene Verunreinigungenresidual impurities Restverunreinigungenskipping orbits

”springende“ Kreisbahnen

spacer Abstandhaltersurface acoustic wave akustische Oberflachenwellenvortex Strudel, Wirbel, wirbelnde Bewegung

4 INHALTSVERZEICHNIS

Kapitel 1. Einleitung 5

Kapitel 1

Einleitung

Die Erforschung des Quanten-Hall-Effekts (QHE) ist seit seiner Entdeckung durch K. von Klitzingund G. Dorda 1980 [Kli80], [Kli86] eines der jungsten und vielfaltigsten Forschungsgebiete in derFestkorperphysik. Nahezu taglich erscheint eine neue Publikation [Kli01]. Erst die Erzeugung ei-nes zweidimensionalen Elektronengases (2DEG) durch die Eingrenzung der Elektronenbewegung ineiner Dimension (s. Kap.2.1) machte die Entdeckung des QHE moglich.

Die Indikatoren des Hall-Effekts sind vom Magnetfeld abhangige Widerstande. Durch eine recht-eckige Probe wird ein Strom entlang der Langsachse getrieben, wahrend senkrecht zur Oberflache derProbe ein Magnetfeld angelegt wird. Der Quotient aus dem Spannungsabfall entlang der Langsachseund dem eingepragten Strom bildet den longitudinalen Widerstand

� � � . Der Hall-Widerstand� � � ist

hingegen bestimmt durch den Spannungsabfall quer zum eingepragten Strom (s. Abb.2.1). Im klassi-schen Bild erhalt man fur den Hall-Widerstand eine lineare Magnetfeldabhangigkeit, die Edwin Hall1898 experimentell nachwies (Abb.1.1).

K. von Klitzing nutzte fur seine Untersuchungen die Inversionsschicht von MOSFET-Strukturen,in der er durch Anlegen einer Gatespannung die Elektronendichte im 2DEG � � � bei einem festenMagnetfeldwert veranderte. Hierbei sah K. von Klitzing in den Hall-Widerstandsmesskurven, dassin bestimmten Elektronendichtebereichen der Widerstand konstant bleibt, die sogenannten Plateaus.Verbunden mit den Plateaus treten Minima im longitudinalen Widerstand auf, in denen der Wider-stand verschwindet (

� � � �� ). Dort, wo ein Ubergang von einem Plateau zum anderen stattfindet, istim longitudinalen Widerstand ein Maximum zu sehen. Die Widerstandswerte der Plateaus im Hall-

Abbildung 1.1: Daten aus dem Experiment von Edwin H. Hall, aufgetragen von einer Tabelle seinerPublikation 1878 [Sto99].

6 Kapitel 1. Einleitung

Abbildung 1.2: Oben ist der Hall-Widerstand (� � � ) und unten der longitudinale Widerstand (

� � � )zu sehen. Die eingetragenen Zahlen geben den Faktor � aus Gl.1.1 wieder [Sto99].

Widerstand sind quantisiert und liegen bei� � � � �� (1.1)

mit � einer positiven ganzen Zahl. Man spricht hierbei vom ganzzahligen Quanten-Hall-Effekt (IQHE= integer quantum Hall effect).

Ein Jahr spater, 1981, sahen D. Tsui und H. Stormer [Tsu82] an hoherbeweglichen 2DEGs in mo-dulationsdotierten GaAs/Al � Ga � � � As Heterostrukturen, dass bei i = 1/3, einem nicht ganzzahligenFaktor, ebenfalls ein Plateau entsteht. In den darauf folgenden Jahren wurden immer mehr Plateausbei gebrochenzahligen Faktoren entdeckt (Abb.1.2), wobei der Nenner nur ungerade Zahlen annimmt.Hierbei spricht man vom gebrochenzahligen bzw. fraktionalen Quanten-Hall-Effekt (FQHE = frac-tional quantum Hall effect).

Im Bereich des dissipativen Stromtransports sind die Abhangigkeiten der Plateaubreite im Hall-Widerstand nicht vollstandig untersucht. Sie ist von mehreren Faktoren wie zum Beispiel von derTemperatur, der Probengroße, akustischer Oberflachenwellen und der Elektronenbeweglichkeit be-stimmt. Die Abhangigkeit von der Temperatur ist in Abb.1.3, links wiedergegeben. Man sieht sehrdeutlich, wie sich mit abnehmender Temperatur die Plateaus in der Hall-Leitfahigkeitsmessung aus-bilden und korrespondierend mit diesen, in der longitudinalen Messung sich die Minima starker aus-pragen und die Hohe der Maxima steigt. Die Leitfahigkeit ist naherungsweise der Kehrwert des Wi-derstands, so dass die Widerstandsmessungen und die Leitfahigkeitsmessungen den gleichen Verlaufzeigen und dadurch physikalisch das Gleiche aussagen. Die Variation der Peakbreite im longitudina-len Widerstand folgt dem Potenzgesetz ��

� ! �� (1.2)

mit�� ! der Halbwertsbreite des Peaks und einer Konstanten, die mit �� bestimmt

wurde. Dieses Verhalten gilt nur fur Temperaturen unterhalb einer materialabhanigen, kritischen Tem-peratur �� [?].

Bei niedrigen Temperaturen macht sich die Probengroße bemerkbar. Bei dem hier vorgestelltenExperiment von S. Koch et al. [Koc91] wurde die Lange der Probe variiert, wobei das Lange-Breite

7

Abbildung 1.3: Links: Oben ist die Temperaturabhangigkeit der Plateaus in der Hall-Leitfahigkeit zusehen, unten die der longitudinalen Leitfahigkeitsmessung [Huc95]. In diesem Fall wurde die Elek-tronendichte bei festem Magnetfeld variiert. Rechts: Abhangigkeit der Probenabmessugen zur Breitedes Ubergangs zwischen den Plateaus. Oben: Maximum im longitudinalen Widerstand bei einemMagnetfeld

! � und einer Temperatur von 25 mK. Unten: Ubergang zwischen zwei Plateaus bei dem-selben Magnetfeld

! � . Bei zunehmender Probenabmessung nimmt die Breite des Plateauubergangsab [Koc91].

Abbildung 1.4: Abhangigkeit der Breite der Maxima in der longitudinalen Leitfahigkeit von der ein-gekoppelten Frequenz. Die linke und die rechte Spalte unterscheiden sich in der Temperatur, bei dergemessen wurde [Huc95].

8 Kapitel 1. Einleitung

Verhaltnis beibehalten wurde. Ab einer kritischen, von der Probengroße abhangigen tiefen Temperatur � verandert sich die Breite der Maxima im longitudinalen Widerstand unterhalb � nicht mehr. Beikleinen Proben ist diese Temperatur großer als bei großen Proben. Daher wird bei großer werdendenStrukturen die Plateaubreite im Hall-Widerstand großer bzw. die Breite der Maxima im longitudinalenWiderstand schmaler (Abb.1.3, rechts).

Eingekoppelte akustische Oberflachenwellen (SAW = surface acoustic wave) verandern ebenfallsdie Plateaubreite. Hierbei wird ein Sender auf der einen Seite und ein Empfanger auf der anderenSeite der Probe auf der Oberflache angebracht. Wie man in Abb.1.4 sieht, werden mit steigender Fre-quenz die Minima im longitudinalen Widerstand und damit die Plateaus im Hall-Widerstand schmaler[Eng93].

Nicht betrachtet wurde bisher die Abhangigkeit der Plateaubreite im Hall-Widerstand von derElektronenbeweglichkeit � im 2DEG. Die vorliegende Arbeit greift dieses Thema auf und prasentiertdas Verhalten der Plateaubreite bei Variation der Elektronenbeweglichkeit.

Zur Variation der Elektronenbeweglichkeit werden molekularstrahlepitaktisch (MBE = molekularbeam epitaxy) gewachsene GaAs/Al � Ga � � � As Heterostrukturen verwendet, bei denen durch flachigeIonenimplantation die Elektronenbeweglichkeit verandert wird. Die Fokussierung von Ionenstrahlenauf Durchmesser von weniger als 100 nm ermoglicht feinste Strukturierungen von Halbleiterma-terialien. Die Nutzung der Ionenimplantation ist vielfaltig, insbesondere weil sie sich zur masken-losen Strukturierung eignet. Anwendungsbereiche der Implantation mit fokussierten Ionenstrahlensind z. B. die selektive Dotierung nicht leitender oder die Uberkompensation leitender Halbleiterhete-rostrukturen (s. Anhang) und das Erzeugen isolierender Bereiche in leitfahigen Halbleitermaterialiendurch besonders hohe Ionendosen. Sputtern, das Herausschlagen von Kristallgitteratomen, zahlt eben-falls zu den Strukturierungsmoglichkeiten durch fokussierte Ionenstrahlen. Letzteres Verfahren wirdbeispielsweise zur Tiefenprofilanalyse genutzt.

In Kapitel 2 wird der theoretische Hintergrund des Quanten-Hall-Effekts (QHE) betrachtet. DieVariation der Plateaubreiten im Hall-Widerstand werden in Kapitel 3 theoretisch untersucht. Kapitel 4befasst sich mit den experimentellen Gegebenheiten wie Probenmaterial, Ionenimplantation und Ver-suchsaufbau. In Kapitel 5 werden die Messungen beschrieben und interpretiert. Im Anhang werdenfur den interessierten Leser das Halbleitermaterial GaAs, der MOSFET und die Heterostruktur kurzgrundlegend beschrieben.

Kapitel 2. Der Quanten-Hall-Effekt 9

Kapitel 2

Der Quanten-Hall-Effekt

2.1 Das zweidimensionale Elektronengas

Die Erzeugung eines zweidimensionalen Elektronengases (2DEG) und die Ausnutzung des damitexistierenden, diskreten Energiespektrums macht den Quanten-Hall Effekt (QHE) erst moglich. Ex-perimentell kann ein 2DEG am Si-SiO � Ubergang in einem Si-MOSFET oder an einem GaAs–Al� Ga � � � As Ubergang einer GaAs/Al� Ga � � � As Heterostruktur erzeugt werden.

Bei einem MOSFET (Anhang A.1) ist der Verlauf der Leitungsbandkante am Isolator-HalbleiterUbergang dreieckformig. Durch Anlegen positiver Gatespannungen wird das p-Substrat so stark amUbergang zum SiO � hin verarmt, dass die Bandkante dort unter die Fermi-Energie rutscht und derHalbleiter somit invertiert wird: Es sammeln sich Elektronen an der Si-SiO � Grenzschicht an. Einesolche elektronengefullte Potentialtasche entsteht auch am GaAs-Al � Ga � � � As Ubergang in einer Si-dotierten GaAs/Al � Ga � � � As Heterostruktur (Anhang A.2). Ursache der Bandkantenkrummung hierist nicht wie beim MOSFET ein von außen angelegtes elektrisches Feld, sondern ein Inneres, hervor-gerufen durch die durch die Si-Dotierung eingebrachte Raumladung.

Fur das Entstehen eines 2DEGs in einer Potentialtasche ist die Ausdehnung (in Wachstums- bzw.z-Richtung) derselben an der Fermikante (s. Kap.2.1.1) entscheidend. Diese Breite muss vergleichbarmit der de Broglie Wellenlange der Elektronen sein, d.h. 5 – 10nm, denn dann ist die Energie der Elek-tronen in z-Richtung in diskrete Energieniveaus quantisiert. Die de Broglie Wellenlange � beschreibtdie Welle �� , die jedem Masseteilchen zugeordnet werden kann mit der Kreisfre-quenz � � � �� , wobei �

�das Plancksche Wirkungsquantum darstellt und � � � ��

der Wellenvektor ist. � steht fur die relativistische Energie des Teilchens [Kne94].Ist nur das unterste Energieniveau �� besetzt, was bei tiefen Temperaturen und nicht zu hohen

Elektronendichten der Fall ist, so ist die Bewegung der Elektronen in z-Richtung unterdruckt und manerhalt physikalisch ein 2DEG [Ver97] [Kli86]. In diesem Fall ist die Zustandsdichte D(E) gegeben nur

Abbildung 2.1: Zweidimensionales Ladungstragersystem, hier Elektronen als Ladungstrager, in ei-nem Magnetfeld senkrecht zur Ebene und dem angelegtem Strom.

10 Kapitel 2. Der Quanten-Hall-Effekt

D(E)

E E

D(E) D(E)

E

(a) (b) (c)

2

2

2

h

h

h

ω

ω

ω

c

c

c

B >Bz z 00=

12 zBBµ*g

1

3

5

Abbildung 2.2: Zustandsdichte in der x-y Ebene eines zweidimensionalen Systems ohne Magnet-feld (a). Landauaufspaltung durch Anlegen eines Magnetfeldes ohne (b) und mit (c) Spinaufspaltung[See98].

durch die des untersten Energieniveaus ��

� � � �� (2.1)

mit � � dem Spinentartungsfaktor [See98] und �� der effektiven Masse der Elektronen im Halbleiter.Bei GaAs ist � � �� [Sze81]. Im hohen Magnetfeld, wo die Spinaufspaltung aufgelost wird,ist � � = 1, und ohne Spinauflosung ist � � = 2.

In dieser Arbeit wird als Probenmaterial eine GaAs/Al � Ga � � � As Heterostruktur verwendet, wes-halb ich bei weiteren Ausfuhrungen von diesem ausgehe. Das bedeutet, die Elektronendichte ist kon-stant, sofern kein zusatzliches elektrisches Feld senkrecht zur Ebene des 2DEGs angelegt wird.

2.1.1 Das zweidimensionale Elektronengas im Magnetfeld

Die Probe werde von einem Strom in x-Richtung � � (s. Abb.2.1) durchflossen. Wird in z-Richtungein Magnetfeld

! � � �� ! � � angelegt, werden die Elektronen in y-Richtung durch die Lorentz-kraft

�� abgelenkt (Abb.2.1). Es reichern sich auf der einen Probenseite Elektronen an und diegegenuberliegende Seite verarmt an Elektronen. Es baut sich ein elektrisches Feld

� auf:

� � � � �� !mit � der Elementarladung und

� � � � � � �� der Geschwindigkeit der Elektronen aufgrund desStromes � � . In y-Richtung misst man eine Spannung �� , die sogenannte Hall-Spannung,die uber den Hall-Widerstand

� � � von der Magnetfeldstarke abhangig ist

� � � � ! �� (2.2)

mit � der Elektronendichte. Dieser Effekt wird nach seinem Entdecker Edwin H. Hall (1878) alsklassischer Hall-Effekt bezeichnet (Abb.1.1).

Fur die Beschreibung des quantisierten Hall-Effekts seien nun Elektronendichte, longitudinalerWiderstand und Hall-Widerstand zweidimensionale Großen. Die zweidimensionale Elektronendichtewird im Folgenden mit � � � wiedergegeben. Die Magnetfeldstarke in z-Richtung wird der Einfachheithalber ohne Index mit

!bezeichnet.

Die Elektronen bewegen sich aufgrund der Lorentzkraft auf Kreisbahnen in der x-y-Ebene mitder Zyklotronfrequenz

� � � � !� � � (2.3)

2.1. Das zweidimensionale Elektronengas 11

Abbildung 2.3: Der Verlauf der Leitfahigkeiten � � � und � �� in Abhangigkeit von �� [Huc00].

Beim 2DEG sind bei kurzen Langenskalen � oder hohen Temperaturen und niedrigen Magnetfel-dern Quanteneffekte noch vernachlassigbar und man erhalt aus der Kinetik der Drude-Gleichungenfur die Matrixelemente � � � und � � � der Leitfahigkeitsmatrix

� � � � ��

�� (2.4)

� � � � � � � � � � (2.5)

mit

��

der Leitfahigkeit des 2DEGs (siehe Kap.2.2) und

� � � �� (2.6)

der Streuzeit der Elektronen, wobei� � � die elastische freie Weglange ist, in der das Elektron nicht an

Gitterfehlern, Fremdatomen oder Phononen gestreut wird. Aus Gleichung 2.3 und 2.6 ergibt sich dieBeziehung � � � � � ! (2.7)

mit � der Elektronenbeweglichkeit.Die Leitfahigkeit � � � und � � � sind nach Gleichung 2.4 und 2.5 von �� und somit von � !

(Gl.2.7) abhangig. Fur �� , strebt � � � gegen Null und � � � gegen ��

(Abb.2.3). Fur ein Maximumin � � � erhalt man die Bedingung �� ! � .

Fur �� ist der Ubergang vom klassischen zum quantenmechanischen Bild durch das Verhalt-nis der Zyklotronenergie � � zur thermischen Energie �� gegeben

� ��

� � ��

� � !� � � � (2.8)

mit � � der Boltzmann Konstante. Um eine Quantisierung in diskrete Energieniveaus zu erreichen,muss � � � �� bzw. �

� � � � � � sein [Huc00], was bedeutet, dass die Temperatur so niedrigsein muss, dass die Zyklotronbewegung der Elektronen nur vernachlassigbar von den thermischenSchwingungen des Kristallgitters gestort wird.�

Der Begriff der Langenskalen wird fur den Abstand zwischen zwei Streuprozessen in ungeordneten Systemenverwendet.


Durch das Anlegen hoher Magnetfelder spaltet sich das Energiespektrum in der Ebene des 2DEGsin einzelne Energieniveaus, den Landauniveaus � � und den Spinniveaus � � , auf

� � � � � � � � � � � � � � � � � �� ! (2.9)

mit � � �� der Landauquantenzahl, � � � �� der Spinquantenzahl, � dem Landefaktor und � �dem Bohrschen Magneton (Abb.2.2).

Bei Temperaturen T � 0 K verbreitert sich die Fermikante. Um Landauniveaus bzw. Spinni-veaus experimentell sichtbar zu machen, sind aufgrund der genannten Bedingung �

� � � � � � bzw.� � � ! � � � hohe Magnetfelder und damit großere � � notwendig. Man verandert durch Anle-gen eines Magnetfeldes bei fester Temperatur die Abstande der Energieniveaus so weit, dass dieAufspaltung sichtbar wird. Durch den energetisch geringeren Abstand der Spinniveaus gegenuberden Landauniveaus spalten die Landauniveaus bei niedrigeren Magnetfeldern auf als die Spinniveaus(Abb.2.2).

Die Elektronendichte im 2DEG ergibt sich zu [See98]

� � � � �� " � (2.10)

mit � � � der Fermi-Dirac Verteilungsfunktion. Bei T = 0 K wird die Fermi-Dirac Verteilungsfunktionan der Fermienergie eine Stufenfunktion, d. h. samtliche Energieniveaus oberhalb �� sind unbesetztbzw. �� entspricht dem hochsten besetzten Energieniveau:

� � � � �� " � �

So erhalt man mit Gleichung 2.1

� � � � � � ��

Die Elektronendichte eines Landauniveaus � �� ergibt sich dann aus Gleichung 2.1und 2.3 zu � ��

!� �

Die Elektronendichte im 2DEG erhalt man durch die Summierung uber alle besetzten Energieniveaus:

� � � � �� !� � � �� (2.11)

mit�

dem Fullfaktor (s. u.).

2.2 Der ganzzahlige Quanten-Hall-Effekt

Werde ganz allgemein ein 2DEG mit den Ausdehnungen� � und

� � bei tiefen Temperaturen undangelegtem starken Magnetfeld ( � ! �% ) von einem schwachen Strom � � und � � durchflossen, wirdeine Spannung uber der Ebene erzeugt:

� � � � � � � � � � � � � �� (2.12)

mit� � � und

� � � den longitudinalen Widerstanden, bei denen der Strom parallel zur Spannung fließtund

� � � dem Hall-Widerstand, bei dem der Strom senkrecht zur Spannung fließt. Aus dem elektri-schen Feld

� � � � � � � � � mit � � � �

� und � � � � �� , der Stromdichte

� � � � � � � � � mit� � ��

� �

2.2. Der ganzzahlige Quanten-Hall-Effekt 13

und� � � �

�� und der spezifischen Widerstandsmatrix��

� � � � � � ��

� � � � � � �ergibt sich

� � � � � � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � �Da in y-Richtung kein Strom fließt, ist � � �� und man erhalt das Ohmsche Gesetz � � � � � � � �und die Hall-Spannung � � � � � � � � � . Aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich das Verhaltnis

� � �� (2.13)

und fur das elektrische Feld � � � � � � � � und � � � � � � � � � .Die Leitfahigkeitsmatrix

�� ist definiert als der Kehrwert der Widerstandsmatrix

��

� � � � � � � ��

� � � �� (2.14)

� � � � � � � � ��

� � � �� (2.15)� � � � � � �

� � � � � � � � � (2.16)� � � � � � �� (2.17)

Aus Gleichung 2.14 und 2.16 ist ersichtlich, dass � � � und

� � � stets gleichzeitig den Wert Null anneh-men, vorausgesetzt

� � � ist endlich. Somit ist es moglich, einen idealen Leiter und idealen Isolator zurgleichen Zeit zu haben [Haj94].

Wegen der Bedingung � � � � kann man mit Hilfe Gleichung 2.5 und 2.17 naherungsweiseschreiben � � � � �

� � � �Aus der klassischen Bewegungsgleichung mit Reibungsterm ergibt sich, dass der spezifische Hall-

Widerstand umgekehrt proportional zur Elektronendichte � � � ist (vgl. Gl.2.2 und 2.11)� � � � !� � � � �

�� (2.18)

Verknupft man die magnetische Lange� � �� mit Gleichung 2.11, erhalt man fur den Fullfaktor

� � � � � �� (2.19)

Der Fullfaktor reprasentiert das Verhaltnis der Elektronendichte � � � zur Dichte der Elektronen aufjedem Landauniveau � �� . Letztere wiederum stellt den magnetfeldabhangigen Entartungsgrad

� � �� dar

� � � � �� (2.20)


Abbildung 2.4: Darstellung der Zustandsdichte in einem realen 2DEG im Magnetfeld. Die diskretenEnergieniveaus sind durch Storstellen im 2DEG zu Bandern verbreitert. Die Mitte dieser Banderliegt in der Mitte der delokalisierten Zustande an dem Zustandsdichtemaximum. Die delokalisiertenZustande tragen zum Stromtransport bei.

Der Fullfaktor gibt ebenfalls das Verhaltnis der Anzahl der Elektronen �#� � � � � � zur Anzahl derFlussquanten � � ��

� wieder

� � � � �� ! � � � �

� (2.21)

wobei A die vom Magnetfeld durchsetzte Flache und � � � � das Elementare Flussquantum ist[Haj94].

In Experimenten zum ganzzahligen Quanten-Hall-Effekt erscheinen in bestimmten Bereichender Magnetfeldwerte konstante Widerstandswerte im Hall-Widerstand

� � � , sogenannte Plateaus, beigleichzeitigem Verschwinden des longitudinalen Widerstandes

� � � . Der Fullfaktor ist hierbei einepositive ganze Zahl und reprasentiert die Anzahl der besetzten Energieniveaus. Der Fullfaktor wirdso gewahlt, dass fur die Spinaufspaltung (s. Abb.2.2) eine Durchnummerierung entsteht. Dem unter-sten Landauniveau, � = 0, werden die Fullfaktoren

�= 1 und 2 fur die beiden Spinniveaus zugeordnet,

dem nachst hoheren Landauniveau, � = 1, die Fullfaktoren�

= 3 und 4 und so weiter. Ist keine Spin-aufspaltung aufgrund der thermischen Verbreiterung der Energieniveaus vorhanden, so werden dieweiterhin sichtbaren Landauniveaus mit den geraden Zahlen der oben angegebenen Zuordnung be-schrieben. So ergibt sich fur T = 0 K fur die Widerstandswerte, welche von K. von Klitzing erstmalsexperimentell ermittelt wurden, die Gleichung der einzelnen Plateaus [Haj94] [Kli80]

� � � � �� mit

� � � �� (2.22)

2.2.1 Lokalisierung – Delokalisierung

Beim Erscheinen der Plateaus im Hall-Widerstand� � � und beim Verschwinden des longitudina-

len Widerstands� � � liegt die Fermienergie in einer Energielucke zwischen den Niveaus. Es verhalt

sich jedoch so, dass die Fermienergie in einem Energieniveau festgehalten wird (pinning), bis esvollstandig mit Elektronen gefullt ist und das nachste Energieniveau gefullt werden kann. Dabeispringt die Fermienergie zu diesem nachsten Energieniveau. Demnach kann die Fremienergie nichtzwischen zwei Niveaus liegen, wie oben fur das Erscheinen der Plateaus vorausgesetzt. Man wurdenur die klassische Hall-Gerade sehen (Abb.1.1), wie es bei freien Elektronen der Fall ist. Es muss alsonoch ein anderer Effekt fur das Erscheinen der Plateaus verantwortlich sein [Haj85].

Reale Proben besitzen keine homogene Potentiallandschaft sondern Potentialfluktuationen, ver-ursacht durch Storstellen. Hierdurch wird die hochgradige Entartung der Energieniveaus aufgeweicht


Abbildung 2.5: Bei der Erhohung des Magnetfeldes werden die Energieniveaus durch die Fermiener-gie �� geschoben. Hierbei wird (von links nach rechts) die Fermienergie von einem Mobilitatsgapohne Anderung der Leitfahigkeit in den Bereich der delokalisierten Zustande geschoben, indem derHall-Widerstand zum nachsten Plateau anwachst und der longitudinale Widerstand maximal wird.Beim weiteren Erhohen des Magnetfeldes wurde das nachst tiefere Mobilitatsgap und dann die nachsttieferen delokalisierten Zustande durch die Fermienergie geschoben usw. Die lokalisierten Zustande,die nicht zum Stromtransport beitragen, verhindern das Springen der Fermienergie beim Durchlaufender Energieskala.

Abbildung 2.6: Qualitativer Zusammenhang zwischen dem Lokalisierungsbild und dem QHE im un-tersten Landauband (n=0). In dem Bereich der lokalisierten Zustande ist die longitudinale Leitfahig-keit � � � � � und die Hall-Leitfahigkeit konstant mit � � � �� . Im Bereich delokalisierter Zustandezeigt die longitudinale Leitfahigkeit einen endlichen Peak und die Hall-Leitfahigkeit steigt zum nachsthoheren Plateau.

und sie verbreitern sich zu Bandern (Abb.2.4). Die Elektronen bewegen sich auf Aquipotentialliniendie, je nach Verlauf, zu Einschließungen der Elektronen auf Kreisbahnen in Potentialtalern fuhren(Abb.2.8). Diese Lokalisierung tritt insbesondere dort auf, wo die Zustandsdichte auf der Energie-skala vergleichsweise gering ist (Abb.2.4). Tunneleffekte zwischen benachbarten Minima hingegendelokalisieren die Wellenfunktion der Elektronen. Dieser Effekt wird großer, je großer die Flachengeschlossener Aquipotentiallinien werden und die Minima naher zusammenrucken. Die Breite der


delokalisierten bzw. lokalisierten Zustande ist somit von dem Grad der Unordnug durch Storstel-len im 2DEG bestimmt. Schaut man sich den Weg der Fermienergie durch die Zustandsdichten an(Abb.2.5), so werden im Bereich der lokalisierten Zustande diese zwar von Elektronen besetzt undverhindern somit das Springen der Fermienergie, tragen jedoch nicht zum Strom bei. Hier sind derlongitudinale Widerstand

� � � � � und der Hall-Widerstand� � � � �

� � konstant. Man spricht von

einem Mobilitatsgap, das die Fermienergie durchlauft. Erst im Bereich delokalisierter Zustande fließtwieder ein Strom uber den Bulk der Probe, der longitudinale Widerstand nimmt endliche Werte anund der Hall-Widerstand steigt von einem Plateau zum Nachsten [Blu].

In Abb.2.6 ist der quantitative Zusammenhang zwischen der Zustandsdichte D und den Leitfahig-keiten � � � und � � � � fur das unterste Landauniveau � � dargestellt.

2.2.2 Randkanalbild

Reale Proben besitzen einen Rand, stellen somit im Energiebild einen Potentialtopf dar [Haj94][Hal82]. Hierdurch werden die Energieniveaus zum Rand hin nach oben gekrummt und schneidenso die Fermienergie (Abb.2.7, links). Alle Zustande dieser Energieniveaus, die oberhalb der Fermi-energie liegen, sind unbesetzt. Die Energieniveaus, deren Bulk oberhalb der Fermienergie liegt, sindebenfalls unbesetzt (vgl. Abb.2.7, � = 3). Es gibt also besetzte Zustande an der Fermienergie amRand der Probe, auch wenn diese im Gap zwischen zwei Energieniveaus liegt. Diese Zustande bildeneindimensionale Kanale, sog. Randkanale, an denen Stromtransport moglich ist. In Abb.2.8 sind dieRandkanale als Linien dargestellt. Auf gegenuberliegenden Seiten verlaufen sie in entgegengesetztenRichtungen. Die Anzahl der Randkanale ist durch die Anzahl der gefullten Energieniveaus unterhalbder Fermienergie gegeben. In Abb.2.7, links, sind drei Energieniveaus unterhalb der Fermienergie, sodass sich drei Randkanale ausbilden. Klassisch gesehen bewegen sich die Elektronen im Magnetfeldauf Zyklotronbahnen (s. o.). Wenn diese einen Radius besitzen, der großer ist als der Abstand zumRand, werden die Elektronen dort reflektiert und bewegen sich in eine von der Zyklotrondrehrichtungvorgegeben Richtung (Abb.2.7, rechts) auf sog. skipping-orbit Bahnen.

Das Verhalten der Randkanale bei der Veranderung der Landauniveaus durch die Variation desMagnetfeldes soll anhand von Abb.2.8 in Verbindung mit Abb.2.9 veranschaulicht werden. Abb.2.8sei eine Ausschnittsvergroßerung des in Abb.2.9 grau eingezeichneten Bereichs zwischen den Po-tentialsonden 1 - 5 und 4 - 2. Der Strom soll von Kontakt 6 zu Kontakt 3 fließen. Befindet sich dieFermienergie zwischen zwei Energieniveaus, hier zwischen dem zweiten und dritten, tragen nur dieRandkanale zum Stromtransport bei. Aufgrund der geringen Entfernung benachbarter Randkanalestreuen diese untereinander. Es wird bei dieser Streuung jedoch weder Impuls noch Energie ubertra-gen, da in den Kanalen der Strom in die gleiche Richtung fließt und nach der Streuung sich Impulsund Energie uber alle Kanale nicht andern durfen. Es ist kein Potentialunterschied zwischen z. B.Kontakt 1 und 2 vorhanden, der longitudinale Widerstand

� � � ist Null. Zwischen Kontakt 1 und 5bzw. Kontakt 2 und 4 verandert sich der Potentialunterschied nicht, so dass der Hall-Widerstand

� � �konstant ist. Man spricht hierbei von nicht-dissipativem Transport.

Entstehen durch die Potentialfluktuationen im Bulk des Hall-Bars und durch das sich Nahern ei-nes Energieniveaus an die Fermienergie, so werden die lokalisierten Zustande mit Elektronen gefullt,die Inseln (vgl. Abb.2.8) werden großer und es ist fur die Elektronen moglich, vom innersten Randka-nal durch die Inseln zur anderen Seite zu gelangen. Dieses Streuen des innersten Randkanals mit demGegenuberliegenden nennt man Ruckstreuung (engl. backscattering). Es werden Impuls und Energieubertragen. Hierdurch ist das Potential in Kontakt 1 nicht identisch mit dem von Kontakt 2 und manerhalt einen endlichen Wert in der longitudinalen Widerstandsmessung. Man spricht in diesem Fallvon dissipativem Transport. Der Hall-Widerstand steigt nun durch die Veranderung der Potentialeder Randkanale an. Entfernt sich dieses Energieniveau wieder von der Fermienergie, so werden dieInseln mit Elektronen im Bulk kleiner und es ist keine Ruckstreuung mehr moglich. Der longitudi-nale Widerstand

� � � wird wieder Null und man erhalt einen Peak in der Widerstandsmessung. DerHall-Widerstand wird ebenfalls wieder konstant, bis die Inseln bei der nachsten Annaherung eines


Abbildung 2.7: Links: Der Verlauf der Landauniveaus � verhalt sich mit dem Abstand �� in einem

Potentialtopf. Hierbei werden die Niveaus zum Rand hin nach oben gebogen. An dem Schnittpunktder Niveaus mit der Fermienergie entstehen Randkanale. Rechts: Im Magnetfeld bewegen sich dieElektronen auf Zyklotronbahnen.

Abbildung 2.8: Draufsicht auf einen Hall-Bar beim Durchlaufen der Fermienergie von lokalisiertenZustanden zu delokalisierten Zustanden (von links nach rechts). Die Stromkontakte stelle man sichrechts und links des Hall-Bars angeordnet vor. Zuerst bilden sich Inseln aus, in denen Elektroneneingefangen werden konnen. Diese Inseln werden immer großer, bis die Aquipotentiallinien keinegeschlossenen Wege mehr haben und die Elektronen frei beweglich sind.

Abbildung 2.9: Dargestellt ist der Verlauf zweier Randkanale in einem Hall-Bar, in dem ein Stromvon Kontakt 6 zu Kontakt 3 fließt und senkrecht zur Ebene ein Magnetfeld angelegt ist. Die Pfeile anden Randkanalen zeigen die Richtung der Elektronen an. Grau eingezeichnet ist der Teil, den Abb.2.8darstellt.


folgenden Energieniveaus an die Fermienergie großer werden und der Vorgang von neuem beginnt.[But88] [But90] [Hau93]

Zu den Untersuchungen der Randkanalstreuung wurde eine umfassende Arbeit von C. Heidtkamperstellt [Hei00].

2.3 Der fraktionale Quanten-Hall-Effekt

Die Fullfaktoren im fraktionalen Quanten-Hall-Effekt (FQHE) sind gebrochenrationale Zahlen miteinem ungeraden Nenner und besitzen die Form

� � � � � �� mit � � � �� (2.23)

oder

� � � � �� (2.24)

Fullfaktoren großer� � � sind im FQHE nicht sichtbar.

Der FQHE ist nur bei Proben hoher Elektronenbeweglichkeit zu finden. Nur GaAs/Al � Ga � � � AsHeterostrukturen erreichen solch hohe Elektronenbeweglichkeiten, so dass fur diese Arbeit eineMOSFET-Struktur ausgeschlossen war. Eine hohe Elektronenbeweglichkeit bedeutet, dass die Un-ordnung klein wird und somit die Coulomb Wechselwirkung der Elektronen untereinander in starke-rem Maße in Erscheinung tritt. Bisher haben wir die Coulomb Wechselwirkung vernachlassigt undkonnten die Modelle im Einteilchenbild beschreiben. Fur das Erscheinen des FQHEs muss nun dieCoulomb Wechselwirkung berucksichtigt werden, so dass die Ursache fur diesen Effekt im Vielteil-chenmodell zu suchen ist.

2.3.1 Composite particles

Zur Erklarung des FQHEs sind viele Modelle aufgestellt worden [Cha88] [Huc02]. Ich mochte hierdas gebrauchlichste Modell der compsite particles ((engl.) = zusammengesetzte Teilchen) vorstellen.

Grundlage fur die theoretischen Modelle ist die Vielteilchen-Wellenfunktion, aufgestellt vonLaughlin (z. B. [Lau99])

��

�� (2.25)

mit � dem ungeradzahligen Nenner des gebrochenrationalen Fullfaktors, z. B. fur� � �� ist � �� , � � � � � � � � � der Koordinate des

�-ten Teilchens ausgedruckt als komplexe Zahl und � der

Teilchenanzahl.In dem Bild der composite particles wird das 2DEG quantenmechanisch als gleichmaßiger Elek-

tronensee verstanden (Abb.2.10, a). Hier versuchen die Elektronen aufgrund der Coulomb Wechsel-wirkung sich moglichst weit voneinander zu entfernen, also ihre Energie zu minimieren (Abb.2.10,b).

In diesem Elektronensee entstehen durch das dazu senkrecht angelegte Magnetfeld sog. Vortices(vortex (engl.) = Strudel, Wirbel, wirbelnde Bewegung). Diese kann man sich als Kreise vorstellen, indenen keine Ladung vorhanden ist und nur zum Rand hin die Flachenladung erreicht wird (Abb.2.10,c). Jeder Vortex steht dabei fur ein magnetisches Flussquant � � � � . Die Vortices haben eine Aus-dehnung von der Flache, die ein Flussquant einnimmt (

� �� ! � � � ). Durch das Hinzukommen

2.3. Der fraktionale Quanten-Hall-Effekt 19

Abbildung 2.10: Darstellung des Elektronensees mit den durch das angelegte Magnetfeld erzeugtenVortexe. Quantenmechanische Betrachtung des 2DEGs als Elektronensee (a) indem sich die Elek-tronen moglichst weit voneinander entfernen (b). Entstehung der Vortexe (Ladungsfreie Kreisflachenim 2DEG) durch Anlegen eines Magnetfeldes (c) und die Verbindung mit Elektronen (d und e) zurVerringerung der Gesamtenergie des Systems [Sto99].

Abbildung 2.11: Die Austauschstatistik der composit particles. Die Elektonen sind Fermiaonen undbeim Austausch zweier Elektronen wechselt die Wellenfunktion ihr Vorzeichen (a). Bei jedem Hin-zukommen eines Flussquants wird die Wellenfunktion des so entstandenen composite particle beimAustausch zweier composite particles mit -1 multipliziert. Dadurch wechselt das Vorzeichen bei un-gerader Anzahl von Flussquanten der Wellenfunktion nicht (b und d) und es entstehen compositebosones. Bei gerader Anzahl von Flussquanten wechselt das Vorzeichen der Wellenfunktion (c) undes entstehen composite fermions [Sto99].


der Vortices mussen die Elektronen enger zusammenrucken. Um die Abstoßung der Elektronen zuminimieren, wird nun ein Vortex auf ein Elektron gesetzt (Abb.2.10, d). Es kann nur ein Elektron ineinem Vortex vorhanden sein, da das Pauliprinzip es verbietet, zwei Elektronen am selben Ort vorzu-finden. Im untersten Landauniveau sind genauso viele Vortexe wie Elektronen vorhanden bzw. jederVortex ist mit einem Elektron gefullt, welches gleichzusetzen ist mit dem Fullfaktor

� � im IQHE.So kann man auch die anderen ganzzahligen Fullfaktoren im IQHE mit diesem Bild beschreiben.

Bei Erhohung des Magnetfelds werden mehr Vortices im zweidimensionalen Elektronensee er-zeugt, als Elektronen vorhanden sind. Zur Reduzierung der elektrostatischen Coulomb Energie wer-den um ein Elektron mehrere Vortices gelegt. Mehr Vortices um ein Elektron benotigen aber mehrPlatz, da die Radien der neuen Gebilde mit der Anzahl der Vortices wachsen, wodurch diese neuenGebilde weiter auseinanderrucken, um die Abstoßungsenergie zu minimieren. Die Bewegung dieserneuen Teilchen unterliegt nun nicht mehr dem Pauli-Ausschließungsprinzip, sondern nur noch der Re-duzierung der Coulombenergie. Daher ist nun die Elektron-Elektron Wechselwirkung in das Modelleinzubeziehen.

Das Bild der Vortices beschreibt sehr anschaulich, was energetisch im 2DEG passiert und weshalbsie mit den Elektronen eine Verbindung eingehen. Zur Beschreibung der neu entstandenen Teilchenmochte ich jedoch auf das Bild der Flussquanten zuruckkehren, mit denen die Vortexen verbundensind (s.o.).

Aus der Verbindung eines Elektrons mit mindestens einem Flussquant entstehen Quasiteilchen,sog. composite particles (CP). Dadurch, dass die Flussquanten Bestandteil der composite particlessind, erhalt man so ein magnetfeldfreies zweidimensionales System von composite particles. Diesekonnen als komplizierte Teilchen im Einteilchenbild betrachtet werden. Ein Elektron tragt somit ein,zwei, drei oder mehr Flussquanten. Die Eigenschaften des composite particles andert sich mit derAnzahl der Flussquanten.

Das Elektron selbst ist ein Fermion aufgrund seiner Austauschstatistik. Es unterliegt dem Pauli-Ausschließungsprinzip (s.o.). Bei einem Austausch zweier Elektronen wird die Wellenfunktion mit -1multipliziert, damit eine Anderung der Wellenfunktion gewahrleistet wird � . Fur jedes Flussquant, daszum Elektron dazukommt wird die Wellenfunktion des composite particles mit -1 multipliziert. Be-sitzt ein composite particle eine gerade Anzahl von Flussquanten, so verhalt es sich wie ein Fermion.Die Wellenfunktion erhalt als Geamtprodukt ein negatives Vorzeichen beim Austausch zweier com-posite particles (Abb.2.11). Man spricht von composite fermions (CF). Besitzt ein composite particleeine ungerade Anzahl von Flussquanten, so erhalt die Wellenfunktion als Gesamtprodukt ein positivesVorzeichen beim Austausch zweier composite particles (Abb.2.11). Es ist nach der Austauschstatistikein Boson und unterliegt der Bose-Einstein-Statistik. Man spricht von composite bosons (CB).

Bei Fullfaktoren der Form�� mit � einer ungeraden Zahl, sind im zweidimensionalen System� -mal mehr Flussquanten als Elektronen vorhanden. Diese bilden nach obiger Definition composite

bosons und spuren kein magnetisches Feld. Composite bosons bose-kondensieren in einen neuenGrundzustand mit einer Energielucke (charakteristisch fur Bose-Kondensation), welche die Ener-gielucke bzw. die Beweglichkeitslucke darstellt, die zur Konstanz des Hall-Widerstands und zumVerschwinden des longitudinalen Widerstands im QHE fuhrt.

Weicht das Magnetfeld von dem Wert ab, der zur Bildung der composite bosones notwendig ist,so ist die Symmetrie des kondensierten Zustands gestort. Ist das Magnetfeld großer, so bilden diezusatzlichen Vortices Quasilocher, da sie durch ihre fehlende Ladung im Vergleich zu den umgebe-nen Elektronen positiv geladen erscheinen. Ist das Magnetfeld kleiner, so sind Quasielektronen miteiner Ladung

� vorhanden. Diese Quasiteilchen konnen dann durch das zweidimensionale Systemelektrischen Strom transportieren.

Bei Fullfaktor mit geradzahligem Nenner erhalt man nach obiger Definition composite fermionsmit z. B. zwei Flussquanten fur � = 2. Sie tragen ebenfalls das Magnetfeld in sich und dadurch ist das�Die Fermionen und Bosonen selber unterscheiden sich eindeutig dadurch, dass die Fermionen halbzahligen Spin und

die Bosonen ganzzahligen Spin besitzen.

2.3. Der fraktionale Quanten-Hall-Effekt 21

außere Magnetfeld Null. Diese composite fermions konnen nach dem Pauli Ausschließungsprinzipnicht in einen Grundzustand kondensieren, und es mussen somit die Energieniveaus von unten anaufgefullt werden. Dieses ist vergleichbar mit dem Prozess, der bei dem Magnetfeld

! � � mit denreinen Elektronen stattfindet, jedoch wurde die Kreisbewegung der Elektronen in einem so starkenMagnetfeld, wie es bei

� � � � der Fall ist, zu kleine Radien besitzten, um einen sichtbaren Effektzu erzeugen. Die erzeugten composite fermions haben aber eine hohere Masse, so dass die Radiender Zyklotronbewegungen denen der Elektronen bei Magnetfeld Null ahnlich sind. Diese großereMasse entsteht durch die vorausgesetzte Elektron-Elektron-Wechselwirkung. Man sieht allerdingskeine Quantisierung bei

� �� , also kein Plateau im Hall-Widerstand, da hier keine Energieluckezwischen den Energieniveaus vorhanden ist, genauso wie es bei

! �� der Fall ist.Behalt man das Bild beim Magnetfeld

! � � fur die composite fermions weiter bei, so kannman auch die weiteren Fullfaktoren

� � � � �� und� � � � �� (

� �� mit �� ) um� � � � erklaren, denn man kann das Verhalten bei

! � � aufdas hohe Magnetfeld bei

� � � � projizieren. Die Bewegung der composite fermions quantisiert incomposite-fermion-Landau-Orbits. Die composite fermions fullen die Landauniveaus auf, erreichendas Mobilitatsgap und zeigen das Verhalten des IQHEs. Man erhalt so Quantisierungen bei

� � �� ,wie oben beschrieben. Der Fullfaktor

� � � � ist dadurch beispielsweise darstellbar. Er repasentiertdas unterste Niveau der composite-fermion-Landauniveaus zu

� � � � und ist damit vergleichbar mitdem Fullfaktor

� � im Bereich reiner Elektronen des IQHE. Unterstutzung durch experimentelleBelege findet die Theorie der composite fermions der Arbeit von R. L. Willett [Wil97], auf die hieraber nicht weiter eingegangen werden soll.

Dennoch ist der FQHE nicht mit dem IQHE gleichzusetzen. Der IQHE ist ein Einteilchenproblemmit einfachen Teilchen. Der FQHE hingegen ist ein Vielteilchenproblem mit einfachen Teilchen bzw.wie oben beschrieben ein Einteilchenproblem mit komplizierten Teilchen. [Sto99]


Kapitel 3. Die Plateaubreite im Quanten-Hall-Effekt 23

Kapitel 3

Die Plateaubreite imQuanten-Hall-Effekt

3.1 Universelle Normierung

F. Y. Huang beschreibt in seiner Arbeit [Hua02] Folgendes: Tragt man das Energiespektrum eines2DEGs im starken, senkrechten Magnetfeld und schwachem periodischen Storpotential in der Pro-be gegen den Gitter-Fullfaktor auf, so erhalt man einen periodischen Verlauf des Energiespektrums(Abb.3.1). F. Y. Huang geht von einem Hamiltonien folgender Form aus:

� � � � � � ��

�� cos � �� cos � ��

wobei der zweite Term von dem Elektronengitter herruhrt. Dieses ist ein zweidimensionales Gitter(s. u.) mit der magnetfeldabhangigen Gitterkonstante � � mit � � � �� . Das Vektorpotential

� bein-haltet das außere und das induzierte Magnetfeld, die in dieser Arbeit getrennt werden.

Der Gitter-Fullfaktor ist definiert als das Inverse des Flussquants (vgl. Gl.2.21):

� � � � �� mit �� ! � � �� (3.1)

Abbildung 3.1: Bandkantenenergie des zweidimensionalen Elektronengitters im Magnetfeld. DasEnergiespektrum ist periodisch im Gitter-Fullfaktor mit einer Serie von lokalen Energieminima bei(a) ganzen Zahlen, (b) halbzahligen und (c) weiteren Bruchen. Fur Magnetfelder in der Nahe derlokalen Energieminima ist der Magnetfluss quantisiert, die Elektronen kristalisieren in ein zweidi-mensionales Elektronengitter und zeigen den geradzahligen IQHE (a), den ungeradzahligen IQHE(b) und den FQHE (c) [Hua02].

24 Kapitel 3. Die Plateaubreite im Quanten-Hall-Effekt

Abbildung 3.2: Linearitat der normalisierten Plateaubreite� ! � ! gegen das Magnetfeld. An der

Oberkante des Diagramms ist der Gitter-Fullfaktor� �

und an den Messpunkten der Fullfaktor�

angegeben [Hua02].

wobei � die Flache der Einheitszelle des Elektronengitters ist. Das Energiespektrum zeigt Werte vonNull bei ganzzahligen Gitter-Fullfaktoren (Abb.3.1, a), starker ausgepragte Minima bei halbzahligenGitter-Fullfaktoren (Abb.3.1, b) und leicht ausgepragte Minima bei gebrochenzahligen Gitter-Full-faktoren (Abb.3.1, c). Durch das schwache Storpotential werden verbreiterte Landauniveaus erzeugt,die im Energiespektrum als verbreiterte Maxima sichtbar sind.

Die Existenz der lokalen Energieminima weist darauf hin, dass der magnetische Fluss in der Naheder lokalen Minima energetisch instabil ist. Er wird sich so verhalten, dass die Gesamtenergie redu-ziert wird. Die vorgestellte Quantisierungsbedingung fur den magnetischen Fluss besagt, dass furjedes extern angelegte Magnetfeld der gesamte Fluss in der Nahe eines Energieminimums quanti-sierte Werte annimmt. Die quantisierten Flusslinien gleicher Polaritat stoßen sich ab und bilden eineGitterstruktur um die Wechselwirkungsenergie zu reduzieren. Die Elektronen, die von den Flusslini-en geschnitten werden, nehmen eine Gitteranordnung ein, die gepaart ist mit dem Flussgitter. Bildetdas Flussgitter z. B. ein dichtgepacktes dreieckiges Gitter, so bilden die Elektronen ein hexagonalesGitter.

Das zweidimensionale Elektronengitter (2DEL = two dimensional electron lattice) ist jedochnicht vergleichbar mit einem konventionellen Wignerkristall. Das 2DEL ist nur dann stabil, wenndas Magnetfeld Werte annimmt, die in der Nahe der Energieminima liegen. Weichen diese Wertevon denen am Energieminimum ab, so fuhrt das zur Unordnung des 2DELs. Des Weiteren werdenexterne Storungen wie magnetische Fluktuationen durch die Zyklotronbewegung der Elektronen aus-geglichen. Die Zyklotronbewegung fuhrt zur Quantisierung des magnetischen Flusses im 2DEL. DieEnergieminimierung verlangt quantisierten magnetischen Fluss.

Die Kondensation zu einem 2DEL fuhrt zum Verschwinden des longitudinalen Widerstands� � �

und die Flussquantisierung resultiert in die schon bekannten quantisierten Hall-Plateaus bei ganzzah-ligen, halbzahligen und anderen fraktionalen Fullfaktoren (vgl. Abb.3.1).

Um einen Vergleich mit den quantisierten Hall-Zustanden zu erreichen, gibt F. Y. Huang eineHalbierung des Landau-Fullfaktor

�an

� � � � � � (3.2)

Hiermit erhalt man fur die geradzahligen Fullfaktoren ganzzahlige, fur die ungeradzahligen Fullfak-toren halbzahlige und fur die fraktionalen Fullfaktoren die weiteren gebrochenzahligen Gitter-Full-

3.2. Maximale Plateaubreite 25

faktoren. Flussquanten sind mit dem totalen Magnetfeld! � � � verknupft und somit auch der Gitter-

Fullfaktor (s. Gl.3.1). Der Landau-Fullfaktor hingegen ist mit dem außeren Magnetfeld nach Gl.2.21verbunden. Die Darstellung des Hall-Widerstandes mit dem Gitter-Fullfaktor sieht dann wie folgt aus� � � � !

� � � � �! � � � ��

� � �� (3.3)

so dass der Wert des Hall-Widerstands durch den Austausch nach Gl.3.2 unverandert bleibt.Die Plateaubreite ist in den Breiten

�� der Minima im Energiespektrum zu sehen und in Abb.3.1

als Pfeil fur die ganzzahligen Gitter-Fullfaktoren eingezeichnet. Es zeigt sich, dass die Breiten��

fur ganzzahlige und fur halbzahlige Gitter-Fullfaktoren jeweils gleich sind. Dieser Sachverhalt wurdein Experimenten bestatigt, wobei hier die normierte Plateaubreite

� ! � �! aus dem Quotienten derPlateaubreite und dem Magnetfeld in der Mitte des Plateaus gegen das Magnetfeld aufgetragen wurde(Abb.3.2). Die Verbindungsgeraden der normierten Plateaubreiten bei den geradzahligen Fullfaktorenund den ungeradzahligen Fullfaktoren zeigen eine Konstanz in

� ! � ! � .3.2 Maximale Plateaubreite

3.2.1 Maximale Plateaubreite im Magnetfeldbild

Im Magnetfeldbild wird die Plateaubreite bestimmt, indem man den Hall-Widerstand gegen das Mag-netfeld auftragt und bei einem Plateau den Magnetfeldwert der unteren Grenze

! � und der oberenGrenze

! � abliest und deren Differenz� !

bildet. Betrachtet man nur den IQHE, so ist bei T = 0K die maximal erreichbare Plateaubreite begrenzt durch die Ausdehnung der benachbarten Plateaus.Die Plateaus sind ausgedehnt um den Magnetfeldwert des zugehorigen Fullfaktors

�. Die maximale

Ausdehnung erstreckt sich dann zwischen dem Magnetfeldwert bei� � ! � � � �

� �� und� � ! � � ��

�� . Dieser Verlauf ist in Abb.3.3 zu sehen. Es ergibt sich eine ausgepragte Treppenfunktion.

Nach numerischer Analyse ergibt sich fur das Verhaltnis der Breiten benachbarter Plateaus zuein-ander � ! � � �

� ! � � � � � ��

� � � � (3.4)

Fur�

= 2 ist� � � � � � � � � � � � � �

� . Die normierte Plateaubreite ist definiert als der Quotient aus der Pla-

teaubreite� !

und dem Magnetfeldwert in der Mitte des Plateaus �!

� !�! � ! � � ! �� ! � � ! �! � � ! � � (3.5)

Fur die maximale normierte Plateaubreite ergibt sich dann:

� � � � !�! � � � � � � � �

� � � ��

� � ��

� ��

��

� � � � (3.6)

Man wurde also bei der Darstellung der normierten Plateaubreiten ein ��

-Verhalten sehen.Berucksichtigt man nun den FQHE, kann die maximale Plateaubreite fur Fullfaktor

� � und� � � nicht mehr aus der oben genannten Differenz berechnet werden. Bis� � � wurden Plateaus

bei fraktionalen Fullfaktoren beobachtet die somit die Breite der Plateaus bei� �% und

� � �verringern. Man geht heute von einer unendlichen Anzahl von fraktionalen Fullfaktoren aus, wasnicht dem Modell des FQHE widersprechen wurde. Somit kann man hier keine Berechnungen mehrdurchfuhren, die zur Breite der Plateaus bei Fullfaktoren

� � � fuhren wurden. Im Limes unendlicherAnzahl von Fullfaktoren

� � � erreicht man wieder die klassische Hall-Gerade.


Abbildung 3.3: Der Hall-Widerstand im IQHE bei T = 0 K mit theoretisch maximal ausgedehntenPlateaus. Grun stellt die Hallgerade und rot die Verbindung zwischen den Plateaumitten dar.

Abbildung 3.4: Veranschaulichung der Reihenentwicklung (schwarz) zur Berechnung der Plateaumit-te (rot).

Abbildung 3.5: Die Hall-Leitfahigkeit � � � � � � � � im IQHE bei T = 0 K in Abhangigkeit von� � � � � � � .

3.2. Maximale Plateaubreite 27

Schnitt mit der klassischen Hall-Geraden

Die klassische Hall-Gerade fuhrt durch die ganzzahligen Fullfaktoren hindurch (Abb.3.3, grun). Sieliegt nach obiger Definition der maximalen Plateaubreite

� !nicht in der Mitte der Plateaus, da

der Abstand der aufgespaltenen Energieniveaus mit zunehmendem Magnetfeld zunimmt ( �� ! � � �

bzw. � � � ! � ! ). Also ist die Treppenfunktion zu hoheren Magnetfeldern verschoben. Die Plateauswerden von der Hall-Geraden im folgenden Verhaltnis geteilt

� ! �� ! � � ! � � ! �!

��! � � � � � � � �� (3.7)

mit!�

dem Magnetfeld des ganzzahligen Fullfaktors�

.Verbindet man die Mitten der Plateaus, so erhalt man ein Abknicken von der Hall-Geraden bei

großer werdenden Magnetfeldern (kleiner werdenden Fullfaktoren) (Abb.3.3, rot). Betrachtet man Gl.2.19

� � � � � �� !so ergibt sich fur das Magnetfeld in der Mitte des Plateaus �

!(s. Gl.3.5)

�! �

��

� ��

��

��

(3.8)

bzw.�!� � � �

�� (3.9)

(Abb.3.4, rot) und fur� � � gilt nach Gleichung 2.22

� � � � ��

!� � � � � (3.10)

Aus der geometrischen Reihenentwicklung erhalt man��

� � � � � � �Nach Einsetzen von � � � � � � � , multiplizieren mit � � und Umformen erhalt man

� ��

��

Betrachtet man nur die ersten drei Glieder der Reihe, so erhalt man eine gute Naherung fur ��

(Abb.3.4, schwarz)�!� � � �

��

�� (3.11)

Aus Gleichung 3.11 in Verbindung mit Gleichung 3.10 erkennt man, dass es sich bei der Kurve durchdie Plateaumitten um die Hall-Gerade

� � � � �� mit einer kleinen Korrektur handelt.

3.2.2 Maximale Plateaubreite im Fullfaktorbild

Auch im Fullfaktorbild gilt fur die maximale Ausdehnung der Plateaus�� ,da, wie oben erwahnt, sich die Plateaus aufgrund des Vorhandenseins ihrer Nachbarn nicht weiter

ausdehnen konnen. Hier wird jedoch die Hall-Leitfahigkeit � � � gegen den Fullfaktor aufgetragen, dahierdurch ebenfalls eine aufsteigende Treppenfunktion dargestellt werden kann (Abb.3.5). Aus obigerGleichung erhalt man fur alle

� ��= 1, was in der graphischen Darstellung zu sehen ist.


3.3 Der Ubergang zwischen den Plateaus

Bei T = 0 haben die Ubergangsbreiten zwischen den Plateaus keine Ausdehnung, da sowohl der Hall-Widerstand als auch die Hall-Leitfahigkeit beim Ubergang zum benachbarten Plateau einen Sprungmachen. Der longitudinale Widerstand zeigt bei T = 0 K im Bereich der Plateauubergange im Hall-Widerstand

�-Peaks.

Bei Temperaturen kleiner einer materialabhangigen, kritischen Temperatur � �� [Wei88]unterliegt die Steigung der Ubergange zwischen den Plateaus im Hall-Widerstand dem Potenzgesetz

� �� "� � �" ! � � � � (3.12)

Es gilt des Weiteren fur die Halbwertsbreite der Maxima im longitudinalen Widerstand� � � , die

genau bestimmbar ist durch die Differenz der beiden Magnetfeldwerte der Extrema von " � � � � " !eines Maximums: ��

� ! �� (3.13)

[Pru88]. Aus Experimenten erhalt man � �� wobei definiert ist als �� mit pdem Temperaturexponenten der inelastischen Streurate � � ��

und dem Lokalisierungslangen-exponenten

�der Lokalisierungslange

� � � �� [Pru88] [Huc95]. Die Lokalisierungslangebeschreibt die raumliche Ausdehnung der Elektronenwellenfunktion. � � ist die Energie im Zentrumeines Landauniveaus (Delokalisierung), an der die Lokalisierungslange divergiert. Der Exponent istuniversell bzw. Material unabhangig [Wei88] (s. Kap.5.2.5).

3.4 Reale Experimente

Temperaturen von T = 0 K werden in realen Experimenten nie erreicht. Um den QHE sichtbar zumachen, muss die Landauaufspaltung großer sein als die thermische Verbreiterung der Fermikante,also �

� � � � � � � . Fur die Spinaufspaltung eines Landauniveaus gilt das Gleiche: � � � ! � � � � .Hinzu kommt noch die Bedingung an das Magnetfeld: � ! �% . Aus diesen Bedingungen ist ersicht-lich, dass man im Hall-Widerstand bei niedrigen Magnetfeldern erst die klassische Hall-Gerade sieht,bei großer werdendem Magnetfeld werden die Plateaus bei geraden Fullfaktoren (Landau) sichtbarund erst bei hohen Magnetfeldern zusatzlich die Plateaus bei ungeraden Fullfaktoren. Ein Beispielsoll das verdeutlichen:

Als Temperatur, bei der gemessen werden soll, werden 50 mK vorausgesetzt, die Temperatur, dieauch in den Experimenten dieser Arbeit verwendet wurde. So ergibt sich fur das Magnetfeld, ab demLandauaufspaltungen sichtbar werden:

��

� � !� � � � � � !

�� (3.14)

mit � � � �� der effektiven Masse der Elektronen in GaAs. Fur das Magnetfeld erhalt mandann

!�� .Die reale Plateaubreite bei Fullfaktor

�ergibt sich aus der Differenz von der maximalen Pla-

teaubreite und jeweils der halben Maximabreite im longitudinalen Widerstand bei Fullfaktor�� und

�� . Da die Halbwertsbreite der Maxima im longitudinalen Widerstand proportional zu � ist,

ist auch die gesamte Breite der Maxima proportional zu � und fur die reale Plateaubreite gilt dann:

� ! � � � � (3.15)

Kapitel 4. Experimentelles 29

Kapitel 4

Experimentelles

Dieses Kapitel widmet sich der Probenpraparation, der Ionenimplantationen und der Beschreibungdes Versuchsaufbaus.

4.1 Proben

In dieser Arbeit werden die Plateaubreiten im Hall-Widerstand bei unterschiedlichen Elektronenbe-weglichkeiten im 2DEG miteinander verglichen. Um die Hall-Widerstands- und die longitudinalenWiderstandsmessungen der Proben vergleichen zu konnen, wurden die Messungen bei jeweils glei-chen Temperaturen und Elektronendichten durchgefuhrt.

Der Abstand zwischen dem 2DEG und der Donatoren enthaltenden Schicht wird als Spacerbreitebezeichnet (Abb.4.1). Die Elektronenbeweglichkeit im 2DEG variiert mit der Starke der Coulomb-Streuung zwischen Elektronen im 2DEG und den Donatoren. Durch die Veranderung der Spacerbreitebeim Wachstum der Heterostruktur kann die Starke der Coulombstreuung und somit die Elektronen-beweglichkeit und die Elektronendichte im 2DEG verandert werden. Hierbei muss aber fur jede Probemit einer bestimmten Elektronenbeweglichkeit eine eigene Heterostruktur gewachsen werden, wasbei vielen verschiedenen Elektronenbeweglichkeiten sehr Material aufwandig ist und sich die Ein-stellung auf die immer gleiche Elektronendichte schwierig gestaltet. Eine andere Variante, die Elek-

Abbildung 4.1: Aufbau einer GaAs/Al � Ga � � � As Heterostruktur, auch als HEMT (engl. high electronmobility transistor) bezeichnet.

30 Kapitel 4. Experimentelles

Abbildung 4.2: Das Wachstumsprotokoll des Wafers Nr.1144.

4.1. Proben 31

Abbildung 4.3: Die verwendete Hall-Bar Struktur.

tronenbeweglichkeit im 2DEG zu beeinflussen, ist das gezielte Einbringen von Storstellen. Hierbeiverwendet man als Ausgangsmaterial eine hochbewegliche Probe. Bei hinreichend geringen Ionen-dosen verandert man dabei nicht die Dichte der Elektronen. Letzteres Verfahren wurde im Rahmendieser Arbeit verwendet und wird in Kap.4.2 beschrieben.

Fur alle Proben wurde eine molekularstrahlepitaktisch gewachsene GaAs/Al � Ga � � � As Hete-rostruktur verwendet. Die Probenstruktur, wie sie in Abb.4.3 zu sehen ist, wurde uber diverse Li-thographieschritte nasschemisch geatzt und das 2DEG kontaktiert (Kap.4.1.1). Die Heterostrukturbesitzt den im Wachstumsprotokoll in Abb. 4.2 dargestellten Schichtaufbau. Die Elektronen im2DEG der reinen, nicht implantierten Probe besitzen bei 50 mK durchschnittlich eine Dichte von� � � �# � � � �� und eine Beweglichkeit � � �� , was eine mittlere freieWeglange von

� � � � ��

� � � �� (4.1)

entspricht. Die mittlere freie Weglange beschreibt die Strecke, die ein Elektron zwischen zwei Streu-prozessen zurucklegt.

4.1.1 Probenprozessierung

Aus einem Viertel GaAs/Al � Ga � � � As Wafer wird mit Hilfe eines Diamanten ein Stuck mit den Ma-ßen 5 mm x 6 mm geritzt und anschließend gebrochen. Auf dieses Stuck Wafer passen 25 Proben-strukturen. Auf das Waferstuck wird UV-empfindlicher Fotolack auf einem Spinner aufgeschleudertund bei 100 � C ausgebacken. Fur die Profilerzeugung des Hall-Bars auf dem Waferstuck wird mit demLicht einer Quecksilberdampflampe im Kontaktverfahren der Lack durch die Mesamaske hindurch ineinem Maskeliner � belichtet. Die Mesa (span. fur Tisch) beschreibt eine aus der Ebene erhabeneStruktur. Hiernach folgt das Entwickeln des Fotolacks und das Atzen der Strukturen in einer Atzeaus� � � :

� � � � � :� � � � im Verhaltnis 1000:1:8. Nach dem Atzen wird das Waferstuck entlackt und

mit Hilfe eines computerunterstutzten phasensensitiven Interferometers � die Atztiefe uberpruft. ZurStrukturierung des 2DEGs muss das Material bis unterhalb des 2DEGs geatzt werden, so dass nur derMesa leitend ist. Das Waferstuck wird zur Kontaktherstellung erneut belackt, mit der Kontaktmaskebelichtet und entwickelt. Nach Entfernen des naturlichen Oxids, welches sich auf der Waferoberflachebildet, mit verdunnter Salzsaure, wird das Waferstuck in die Aufdampfanlage gebracht, in der die Me-talllagen fur die n-Kontakte abgeschieden werden. Die n-Kontakte bestehen aus einer Schichtfolgevon 10 nm Nickel zur besseren Haftung der Metallschichten auf der Oberflache des Waferstucks, 60nm Germanium, 120 nm Gold, 10 nm Nickel und 100 nm Gold. Anschließend wurde das Waferstuck4 min bei 385 � C geheitzt. Dabei bildet das Germanium mit der unteren Goldschicht ein Eutektikum�

Karl Suss, MJB3�Zygo Maxim � NT System


Abbildung 4.4: Der Aufbau der Belichtungseinheit zur Maskenherstellung von oben gesehen.

mit niedrigerer Schmelztemperatur als reines Germanium und diffundiert in das Halbleitermaterialein, so dass das 2DEG kontaktiert wird. Eine umfassende Besprechung ohmscher Kontakte in III-VHalbleitern ist in der Arbeit von T. C. Shen et al. [She92] und speziell in GaAs in der Arbeit von M.Heiblum et al. [Hei82] zu finden.

Nach der Implantation von 10 keV Ga � Ionen in das Waferstuck (Kap.4.2) werden je zwei Probenmit Hilfe von Indium auf einem 16 pin dual inline chip carrier befestigt und mit einem ultraschallun-terstutzten Wetchbonder � mit Golddrahten kontaktiert. Zum Abschluss werden mit Hilfe eines HP-Analyzers

�

die Strom-Spannungs Kennlinien der Probenkontakte aufgenommen und auf ohmschesVerhalten kontrolliert. Ist dieses nicht der Fall, werden die Proben fur die Messungen nicht weiterverwendet. Ursache konnen Schottky Kontakte (nicht ohmsches Verhalten) sein oder die Probe istnicht leitend aufgrund z.B. eines Kratzers auf der Oberflache.

4.1.2 Maskenherstellung

Die Maske fur die in Abb. 4.3 gezeigte Hall-Bar Struktur musste als erstes hergestellt werden. Des-halb wurde im Rahmen dieser Arbeit nach einer Moglichkeit gesucht, auf einfache und schnelle WeiseMasken herzustellen. Die Idee besteht darin, photoemulsionsbeschichtete Glasplatten

�

in einer han-delsublichen Spiegelreflexkamera � (SLR) zu belichten und in einer Dunkelkammer zu entwickeln.Die von uns verwendeten Glasplatten besitzen eine grun-blau Empfindlichkeit (480 nm bis 520 nm)und konnen somit unter Rotlicht bearbeitet werden. Das abzulichtende Maskenlayout wird zuvor aufeinem DIN A0 Blatt ausgedruckt

�und an einer geeigneten Vorrichtung aufgehangen. Der Verklei-

nerungsfaktor wird durch die Wahl des Abstandes zwischen Kamera und DIN A0 Ausdruck undder Brennweite des Objektivs festgelegt. Aus einer vollstandigen Abbildung des DIN A0 Ausdrucks(1189 mm x 841 mm, effektive Flache: 1080 mm x 720 mm) auf das ubliche Kleinbildformat von 36mm x 24 mm ergibt sich eine Verkleinerung von 30:1. Die Gegenstandsweite wurde moglichst großgewahlt, um eine moglichst hohe Scharfe uber die gesamte abzubildende Flache zu erreichen. Da derDIN A0 Ausdruck plan ist, ist der Abstand vom Objektiv zum Rand des Ausdrucks großer als dessenMitte. Dieser Effekt wird kleiner, je großer der Abstand und somit je kleiner der Blickwinkel wird.Der im Idealfall unendliche Abstand wird von den Raumabmessungen des Labors limitiert. Durch die

�

VEB Elektromat Dresden, MDB 11�

HP 4156 A Precision Semiconductor Parameter Analyzer�

Holographic Recording Technologies GmbH - Am Steinbach 19 - 36396 Steinau - GermanyPhone: +49/6663/7668 - www.hrt-gmbh.de

�

Nikon FE 10�

Drucker: HP DeskJet 5000, 1200 dpi

4.2. Implantation mit fokussierten Ionenstrahlen 33

Verkleinerung Brennweite Objektabstand30:1 105 mm 3307 mm60:1 50 mm 3157 mm

89,35:1 35 mm 3283 mm

Tabelle 4.1: Die Brenweiten- und Objektivabstandsdaten fur die jeweilige Verkleinerung.

Verwendung von drei verschiedenen Objektiven mit jeweils 35 mm, 50 mm und 105 mm Brennweitesind drei verschiedene Verkleinerungen von 90:1, 60:1 und den bereits genannten 30:1 bei ahnlicherGegenstandsweite (um 3,2 m, siehe Tabelle 4.1) moglich.

Da die Belichtung mit der Maske auf den Wafer im Kontaktverfahren erfolgt, ist nur eine planeGlasflache als Tragermaterial geeignet und nicht ein handelsublicher Fotofilm, da dieser sich bei-spielsweise durchbiegen und so die Abbildung verzerren wurde. Die Glasplatten werden mit einerGroße von 4“ x 5“ und einer Dicke von 2 mm geliefert und passend fur den Filmschacht der SLRKamera, auf die Große von 50,8 mm x 42,3 mm zugeschnitten.

Die verwendeten Glasplatten besitzen eine Korngroße von 20 bis 25 nm, mit denen eine sehr guteAuflosung moglich ware. Der verwendete Drucker besitzt jedoch nur eine Auflosung von 1200 dpi, sodass dieser die Auflosung der Maske limitiert. Die Strichbreite ergibt sich rein rechnerisch aus einemVielfachen von 21,2 � m. Bei der Wahl eines 35 mm Objektivs und einer Verkleinerung von 90:1 sindAuflosungen von einigen � m erreichbar.

Die gute Auflosung der Glasplatten wird durch eine schlechte Lichtempfindlichkeit erkauft. So-mit sind Belichtungszeiten bei einer Blende von 5.6 von 25 min ublich. Damit die Aufnahme nichtverwackelt, ist die Kamera durch ein Stativ an einem optischen Tisch

�befestigt. Die Blende 5.6 wur-

de gewahlt, um die restliche Unscharfe am Rand der Abbildung durch die hohere Scharfentiefe zukompensieren, ohne die Belichtungszeit unnotig zu erhohen.

Bei Strukturen von einigen � m zeigen sich durch die Blende hervorgerufene Beugungseffekte.Diese verschwinden aber bei voller Offnung der Blende am Objektiv (

� �� ). Da diese Blendenoff-nung nur bei Verkleinerungen von 90:1 verwendet wird, machen sich die weiter oben genanntenUnscharfen am Bildrand nicht bemerkbar. Der Bildausschnitt wird aufgrund der Brennweite des ver-wendeten 35 mm Objektivs großer, d.h. die Abbildung des DIN A0 Ausdrucks verkleinert sich, sodass der DIN A0 Ausdruck nicht mehr das Bildfeld bis zum Rand ausfullt.

4.2 Implantation mit fokussierten Ionenstrahlen

Eine fokussierende Ionenstrahlanlage (FIB, engl. focused ion beam) ist ein Niederenergiebeschleu-niger (bis 100 kV Beschleunigungsspannung) fur kurze Distanzen zwischen Ionenquelle und Target,mit denen Ionen in ein Material eingebracht werden konnen (implantieren: bis � � � � � � � � � �� ),das Material amorphisiert werden kann (bis � � � �� ) oder Atome aus dem Material entferntwerden konnen (sputtern: ab � � � � � � � � � � � ).

Fur eine homogene Veranderung der Elektronenbeweglichkeit im 2DEG werden in dem Hall-Barund in den Potentialsonden Storstellen durch Ionenimplantation eingebracht. Der Ionenstrahl kannso abgelenkt werden, dass nur die gewunschten Bereiche der Probe (Abb.4.5, blau) implantiert wer-den. Durch Fehljustage der Probe sind Implantationsfehler jedoch nicht auszuschließen, so dass eineflachige Implantation von Ionen uber die Probe hinaus nahe liegt (Abb. 4.5). Die Kontakteigenschaf-ten werden durch den Ionenstrahl nicht beeinflusst, da die gewahlte Energie der Ionen zu gering ist,um in Gold nennenswert einzudringen. Nach TRIM Simulation (s. u.) ergibt sich fur auf 10 keV be-schleunigte Ga � Ionen eine Eindringtiefe von 3,8 nm in die 300 nm dicken Kontakte.

�Melles Griot


Abbildung 4.5: Die Abmessungen der Hall-Bar Struktur und das Fenster der flachigen Implantation(500 � m x 500 � m).

Abbildung 4.6: Schematischer Aufbau der verwendeten fokussierenden Ionenstrahlanlage”

Finesse“.


Eines der wichtigsten Bauteile einer fokussierenden Ionenstrahlanlage ist die Flussigionenquel-le. Die Quelle besteht aus einem beheizbaren Behalter, der ein Topf oder eine Spirale ist und ei-ner aus dem Behalter ragenden Nadel, die stets mit dem im Behalter befindlichen Metall benetztwird. Als Metall eignen sich Einzelelemente mit niedrigem Schmelzpunkt wie das in dieser Arbeitverwendete Ga (T � � � �� ) oder Legierungen mit moderater eutektischer Temperatur wie z. B.Au� � � Si

� � � � Be� � � � (T �� ). Durch die Extraktionsblende hindurch werden durch die Extrak-

tionsspannung Ionen von der Spitze der mit Flussigmetall benetzten Nadel herausgezogen (Feldem-mission von Ionen).

Die beschleunigten Ionen werden im Kondensorlinsensystem auf eine Aperturblende fokussiert,mit welcher man den Ionenstrom variieren kann. Hinter der Kondensorblende durchfliegen die Ioneneinen E x B Filter (Wienfilter) zur Impulsselektion und somit zur Massentrennung bei Legierungs-quellen. Der Filter wurde fur diese Arbeit nicht eingesetzt, da eine reine Ga Quelle fur die Implan-tationen verwendet wurde. Nach dem Filter folgt die Objektivblende und das Objektivlinsensystem,welches den Strahl auf die Probe fokussiert. Ein Stigmator, ein elektrisches Oktopol, korrigiert denAstigmatismus im Ionenstrahl. Zur Ablenkung des Strahls innerhalb des Schreibfeldes sind nachein-ander senkrecht zueinander und parallel zur Strahlrichtung Ablenkplatten angebracht, die ein elek-trisches Feld erzeugen. Fur genauere Ausfuhrungen empfehle ich die Arbeit von M. Hillmann uber

”Lithographie mit Hilfe fokussierter Ionenstrahlen“ [Hil01].

Die Implantationsarbeiten wurden an einem Hitachi S-7080 Scanning Electron Microscope miteiner Orsay Physics Canion C31 B Ionenimplantationseinheit und einem LOT-Oriel Elitha Ablenk-system durchgefuhrt. Mit dieser Anlage konnen unterschiedliche Ionensorten mit Beschleunigungs-spannungen von 10 kV bis 30 kV in Targets implantiert werden. Bei der verwendeten Ionensortehandelt es sich um Ga � Ionen, die auf eine Energie von 10 keV beschleunigt werden. Das Schreib-feld der fokussierenden Ionenstrahlanlage betragt 550 � m x 550 � m bei 30 kV Beschleunigungs-spannung, wodurch sich auch die maximalen Abmessungen der Hall-Bar Struktur ergeben: Fur dasErzeugen großerer, geschlossener Implantationsflachen als 550 � m x 550 � m muss der Probentischverschoben werden, wodurch mehrere Einzelflachen aneinandergesetzt werden. Aufgrund der nichtabsoluten Genauigkeit der Probentischjustage kann es zu doppelt oder nicht implantierten Bereichenkommen, was zu vermeiden gilt und was die Große des Hall-Bars (Abb.4.5) auf die des Schreibfeldesbegrenzt.

Die Elektronendichte des 2DEGs wurde durch die Implantationsschaden der eindringenden Io-nen bis zu einer Ionendosis von �� nicht beeintrachtigt (Abb.4.7). Oberhalb jenerIonendosis nimmt die Elektronendichte stetig ab. Man sieht deutlich, dass die Elektronenbeweglich-keit allerdings schon durch die geringste Ionendosis verringerbar ist. Durch die Implantation vonIonen mit verschiedenen Ionendosen sind Elektronenbeweglichkeiten von �� bis� � �� realisiert worden. Dieses Verfahren ist also sehr gut fur das Vorhaben dieserArbeit geeignet.

4.2.1 Implantationseinflusse im Material

Die implantierten Ionen erreichen eine von ihrer Energie abhangige Eindringtiefe. Nach der Monte-Carlo Simulation TRIM von J. F. Ziegler und J. P. Biersack � dringen die 10 keV Ga � Ionen bis maxi-mal 20 nm unterhalb der Oberflache ein (Abb.4.8, schwarz). Das Anreicherungsmaximum der Ionenliegt bei 5,5 nm. Diese Simulation basiert jedoch auf den Eigenschaften amorpher Materialien. Auf-grund von Channelingeffekten bei einkristallinen Materialien wie GaAs, dringen die Ionen weiterein, als die Simulation es berechnet. In Einkristallen gibt es durch die periodische Anordnung derAtome zwischen Atomebenen Linien und Flachen, in denen der nukleare Bremsquerschnitt vor allemfur leichte Ionen klein ist. Die Abbremsung der Ionen wird in diesem Fall nur durch Stoße mit dengebundenen Elektronen der Gitteratome (elektronische Stoße) hervorgerufen [Rys78].

�J. P. Biersack, Hahn-Meitner Inst. Berlin


Abbildung 4.7: Die Elektronendichte � � � und die Elektronenbeweglichkeit � , aufgetragen gegen dieimplantierte Ionendosis.

Abbildung 4.8: Eindringtiefe von 10 keV Ga � Ionen in die verwendete GaAS/Al � Ga � � � As Hete-rostruktur (schwarz) und die Tiefenverteilung der erzeugten Ga und As Leerstellen (rot).

Die Eindringtiefe der Ionen, die channeln, ist abhangig von der Energie, der Dosis und demEintrittswinkel der Ionen sowie von der Temperatur des Targets [Rys78]. In der Arbeit von S.Eshlaghi [Esh00] wurden 100 keV Ga � Ionen mit einer Dosis von � � � � � � � � � � in eineGaAs/Al� Ga � � � As Heterostruktur implantiert. Die experimentell ermittelte Eindringtiefe der Ionenist um den Faktor 1,6 hoher als der berechnete Wert. Bei dieser verwendeten Ionendosis kommt eszur Amorphisierung des Targetmaterials an der Oberflache. Die Bremswirkung der Ionen wird dortdadurch unbestimmt verstarkt.

In der vorliegenden Arbeit wurde bei gleicher Ionensorte und gleichem Targetmaterial eine zehn-fach kleinere Ionenenergie und eine um eine Großenordnung kleinere Ionendosis verwendet. Schatztman die Eindringtiefe mit Berucksichtigung des Channelingeffekts mit den oben genannten Daten ab,so erhalt man fur den Energieverlust bei elektronischer Streuung nach Lindhard und Winter ([Rys78],


Kap.2.1.2): � " �" � � � ��

so dass die Eindringtiefe durch die geringere Ionenenergie um das� � fache kleiner ist, jedoch durch

die ebenfalls geringere Ionendosis eine Amorphisierung des Targetmaterials im Gegensatz zu der Ar-beit von S. Eshlaghi nicht stattfindet und der Anteil der durchchannelnden Ionen großer ist. Nachder Arbeit von D. K. de Vries [Vri95], ist in GaAs eine Amorphisierung erst ab einer Ionendosis von� � �� festzustellen (vgl. Abb.4.7). Geht man davon aus, dass durch das Channeling dieIonen bis in das 130 nm tief unter der Oberflache liegende 2DEG vordringen, musste sich durch dieso erzeugten Storstellen die Elektronendichte merklich verringern (Erhohung der Restverunreinigung[Ver97]). Da jedoch die Elektronendichte bei niedrigen Ionendosen nicht verandert wird (Abb.4.7),kann man das Eindringen der Ionen ins 2DEG bis Ionendosen von � � �� vernachlassi-gen.

Durch das Eindringen eines Ions in ein Material kommt es uberwiegend zu elastischen Stoßen mitden Gitteratomen und die Atome werden von ihren Gitterplatzen geschlagen. Die aus dem Gitterver-bund geschlagenen Atome konnen abhangig von ihrer kinetischen Energie ebenfalls Atome von ihrenGitterplatzen schlagen, und es entsteht eine Kaskade versetzter Atome. Wenn die kinetische Energiedes Ions kleiner wird als die Versetzungsenergie des Atoms aus dem Gitterverbund, wird das Ion nurnoch durch Stoße mit gebundenen Elektronen abgebremst, bis es schließlich zur Ruhe kommt. DasMaximum der Leerstellentiefenverteilung befindet sich daher naher an der Oberflache des Targets, alsdas Maximum der Eindringtiefe der Ionen. Die Verteilung der Ga und As Leerstellen zeigt ein Maxi-mum bei 3,3 nm. Laut Simulation werden pro Ion 260 Leerstellen im Target erzeugt. Die von ihrenGitterplatzen verdrangten Atome werden aus dem Material entfernt oder sie nehmen Zwischengitter-platze ein, d. h. sie fehlen dem Gitterverbund. Die implantierten Ionen nehmen nach dem Abbremsenim Material ebenfalls Zwischengitterplatze ein und einige wenige werden direkt in den Gitterverbundeingebaut. Die durch die verdrangten Atome erzeugten Leerstellen konnen unterschiedliche Ladungs-zustande (neutral, geladen) besitzen [Rys78]. Die geladenen Leerstellen wirken als langreichweitigeCoulomb-Streuer und verringern die Elektronenbeweglichkeit des 2DEGs. Die in den Gitterverbandeingebundenen Ga Ionen nehmen uberwiegend As Platze ein [Hir85] und wurden als positiv geladeneCoulomb-Streuer wirken.

Die Ga Ionen dringen bis in den oberflachennahen Bereich der Si-dotierten Schicht ein (Abb.4.8)und kompensieren die dort vorhandene n-Dotierung. Die wenigen Ga Ionen auf den As Platzen wir-ken als Akzeptoren der n-Dotierung entgegen [Hir85] [Dan85]. Dadurch wird der Leitungsband-kantenverlauf der GaAs/Al� Ga � � � As Heterostruktur (Abb.4.1) am GaAs/Si:Al � Ga � � � As Ubergangleicht angehoben [Kam97]. Somit wird die Potentialtasche mit dem 2DEG abhangig von der Ionen-dosis angehoben, was zu einer schmaleren Potentialtasche fuhrt. Dieses wiederum fuhrt zur Verschie-bung des untersten Energieniveaus zu hoheren Energien hin und zur Abnahme der Elektronendichte[Ver97]. Wird die Ionendosis und damit die Eindringtiefe der Ionen in die Si-dotierte Schicht hineinerhoht, kommt es zur Verarmung des 2DEGs [Kam97]. Falls die Anzahl der auf As Gitterplatzengebundenen Ga Ionen ausreicht, die n-Dotierung zu kompensieren, dann erst ab einer Ionendosis von� � �� . Ab dieser Ionendosis wird nach Abb.4.7 erst eine Verringerung der Elektronen-dichte hervorgerufen.

Das sonst ubliche thermische Ausheilverfahren [Rys78] zur Reorganisation des Gitters und diedamit verbundene Verringerung der Coulomb-Streuer wurde bei den Proben dieser Arbeit nicht durch-gefuhrt, da die Schadigungen Zweck der Implantationen waren. Bei Implantationen mit solch gerin-gen Dosen besteht die Moglichkeit, dass das Gitter sich reorganisiert, der gewunschte Effekt alsoverschwindet und die Probe wieder ihre Ausgangseigenschaften annimmt [Rys78]. Die thermischeEnergie bei Raumtemperatur reicht aus, um die Zwischengitteratome so zu binden, dass sie nichtdurch das Gitter diffundieren. Messungen an einer Probe ab dem zweiten Tag nach der Implantationund uber den Zeitraum von einem Jahr hinweg zeigten keine Anderungen ihrer Eigenschaften.


Abbildung 4.9: Links: Die mittlere freie Weglange� � � (gelb) und der Ionenabstand

�� (schwarz)

aufgetragen gegen die Ionendosis � . Rechts:� � � � � � � � aufgetragen gegen die Ionendosis � .

4.2.2 Weiteres Probenmaterial

Zur Untersuchung von Proben mit sehr geringen Elektronenbeweglichkeiten � � � � �� wurden drei weitere, ahnlich gewachsene GaAs/Al � Ga � � � As Heterostrukturen mit unterschied-lich kleinen Elektronenbeweglichkeiten verwendet. Die genauen Daten sind aus Tab.4.2 zu entneh-men. Die Proben wurden in geringem Maße beleuchtet, um hohere Elektronenbeweglichkeiten bis�� bei geringen Veranderungen der Elektronendichte zu erreichen. Hierdurch wurdeder Anschluss an die vorhandenen Messungen der Porben des Wafers 1144 bezuglich der Elektro-nenbeweglichkeitsvariation zwischen � � �� und � � � � � � � � � � �� erreicht.Von einer dieser drei GaAs/Al � Ga � � � As Heterostrukturen (Wafer 11031) wurden drei Proben mitgeringen Ionendosen implantiert, um auch den Bereich der Elektronenbeweglichkeit unterhalb von� � � � �� zu erganzen. Somit wurde insgesamt ein Elektronenbeweglichkeitsbereich von� �� bis � �� abgedeckt.

4.2.3 Das Verhalten des mittleren Ionenabstands zur mittleren freien Weglange

Der mittlere Ionenabstand�� beschreibt den mittleren Abstand zwischen den implantierten Ionen in

der Ebene. Er wird aus der Ionendosis � wie folgt berechnet

��

� � � (4.2)

Der mittlere Abstand der Coulomb-Streuer durch Leerstellen ist geringer als der der Ionen, da proeinfallendem Ion viele Leerstellen erzeugt werden, von denen einige geladen sind (vgl. Kap.4.2.1).Die Anzahl der erzeugten Coulomb-Streuer pro Ion bleibt jedoch fur variierende Ionendosen konstant.Fur die folgende Betrachtung bezieht man sich somit auf den mittleren Ionenabstand, da der Abstand

Wafernr. Elektronenbeweglichkeit im 2DEG bei 50 mK Elektronendichte im 2DEG bei 50 mK�� 11031 1,08 1,121617 4,47 1,45

11034 16,17 1,58

Tabelle 4.2: Die Daten der zusatzlich verwendeten Wafer.

4.3. Versuchsaufbau 39

der Coulomb-Streuer lediglich von dem mittleren Ionenabstand um einen konstanten Faktor abweichtund die genaue Anzahl der pro einfallendem Ion erzeugten Coulomb-Streuer nicht bekannt ist.

Wie in Abb.4.9, links zu sehen, ist die mittlere freie Weglange der Elektronen� � � (Gl.4.1) großer

als der mittlere Abstand der implantierten Ionen�� . Es sind beides mit wachsender Ionendosis �

kleiner werdende Großen. Betrachtet man den differentiellen Wirkungsquerschnitt der Rutherford-Streuung mit dem Abstand der durch die Ionen erzeugten Coulomb-Streuer zum 2DEG fur den Stoß-parameter, so erhalt man einen sehr kleinen Streuwinkel, und damit eine geringe Streuwirkung. Da-durch wird die Großenordnung des mittleren Ionenabstands von der mittleren freien Weglange nichterreicht.

Das Bild der großeren mittleren freien Weglange der Elektronen im 2DEG bestatigt sich ebenfallsin der Betrachtung der Verunreinigungen in der GaAS/Al � Ga � � � As Heterostruktur. Die Elektronen-beweglichkeit und damit die mittlere freie Weglange der Elektronen werden bei Heterostrukturen mitsolch hohen Elektronenbeweglichkeiten, wie die hier verwendeten, uberwiegend durch die Hinter-grunddotierung (residual impurities) limitiert und nicht durch die Coulomb-Streuer der Si-Donatoern(remote impurities) [Har85] [Hei84] [Pfe89] [Uma97]. Die von den Ionen erzeugten Coulomb-Streuerverstarken effektiv die Wirkung der Si-Donatoren (remote impurities), weshalb lediglich die mittlerefreie Weglange mit wachsender Ionendosis abnimmt, jedoch nicht die Großenordnung des mittlerenIonenabstands erreicht wird.

In Abb.4.9, rechts, ist der Quotient� � � � � � � � , die mittlere freie Weglange der Elektronen im 2DEG

ausgedruckt als Vielfaches des mittleren Abstands der implantierten Ionen, gegen die logarithmischeDarstellung der Ionendosis aufgetragen. Es ist zuerst ein linearer Anstieg dieses Verhaltnisses zusehen, dann ein linearer Abfall. Da die mittlere freie Weglange der Elektronen

� � � und der mittlereIonenabstand

�� fallende Funktionen sind, muss demnach die mittlere freie Weglange

� � � anfangsschwacher sinken als der mittlere Ionenabstand

�� , welcher mit � � � abfallt (Gl.4.2). An dem

Umkehrpunkt dreht sich dieses Verhalten um:� � � sinkt schneller als

�� . Der Umkehrpunkt, also in

dieser halblogarithmischen Darstellung der Schnittpunkt der ansteigenden und abfallenden Gerade,liegt bei einer Ionendosis von � � �� .

Die Ionendosis wurde von einer Probe zur nachsten immer um den Faktor 2 erhoht. Das heißt,die Ionendosis folgt dem Verlauf �� mit � � � � � � � � � � � � � der Anfangsdosis und � derAnzahl der Implantationen. So erhalt man fur den Ionenabstand

�� (4.3)

Betrachtet man wieder� � � � � � � � und geht davon aus, dass die Elektronendichte � � � konstant ist, so

erhalt man� � � � ��

��

� � � ��

� ��

steigend fur � � �fallend fur � � � � (4.4)

Man erhalt ebenfalls den Verlauf aus Abb.4.9, rechts.Es zeigt sich hier der exponentielle Anstieg der erzeugten Coulomb-Streuer mit steigender Io-

nendosis. Wie oben erwahnt, erzeugt ein einfallendes Ion einen Schauer von Gitterfehlstellen, dadie frei werdenden Gitteratome wiederum Gitteratome versetzen oder aus dem Gitterverbund ent-fernen. Ab der kritische Ionendosis � � � � �� , ab dem die pro einfallendem Ion erzeugtenCoulomb-Streuer die mittlere freie Weglange direkt beeinflussen, stellt der Quotient

� � � � � � � � eine fal-lende Funktion dar. Unterhalb dieser kritischen Ionendosis reicht die Anzahl der erzeugten Coulomb-Streuer nicht aus, die mittlere freie Weglange im gleichen Maße zu verandern, so dass der Quotienteine steigende Funktion zeigt.

4.3 Versuchsaufbau

Im Folgenden wird kurz der Versuchsaufbau und die dazu verwendeten Messapparaturen vorgestellt.


Abbildung 4.10: Der Versuchsaufbau am Beispiel einer longitudinalen Widerstandsmessung.

Ein kleiner Strom wird in den Hall-Bar eingepragt und langs zu dem Strom die longitudinaleSpannung und senkrecht zum Strom die Hall-Spannung gemessen (Abb.4.10). Die Messungen wur-den in Standard Lock-In Technik durchgefuhrt (s. Anhang B). An die Stromkontakte 3 und 6 der Hall-Bar Struktur aus Abb.4.3 wurde mit Hilfe eines geeigneten Widerstandes (z.B.

�� = 10 M�

) undeiner entsprechenden Spannung (z.B. U = 1 V ) ein konstanter Strom von I = 100 nA eingepragt. Die-ser Strom wurde mit Hilfe einer Wechselspannung des Lock-In Verstarkers � � mit einer Frequenz von31,134 Hz erzeugt. Die Phase wurde an Kontakt 3 angelegt und die Masse an Kontakt 6. Zur longitu-dinalen Spannungsmessung wurden die Potentialsonden 1 und 2 und fur die Hall-Spannungsmessungdie Potentialsonden 1 und 5 verwendet (Abb.4.10). Die Spannungsmessung wurde phasensensitiv mitHilfe des Differenzverstarkers des Lock-In Verstarkers masselos durchgefuhrt. Durch die Differenz-bildung der Eingangssignale werden Offsets der Signale eliminiert. Durch die masselose Spannungs-messung wird eine Fremdsignaleinkopplung uber die Masseleitung verhindert. Das Signal wird durchden dadurch freien Außenleiter gegen außere elektromagnetische Storeinflusse abgeschirmt und uberden Lock-In geerdet.

4.3.1 Mischkryostat

Zur Kuhlung der Proben wurde ein Oxford Kelvinox Dilution Refrigerator System � � , ein � � � � � � �Mischkryostat, verwendet (Abb.4.12). Er wird auch als Insert Vacuum Chamber (IVC) bezeichnet,da der eigentliche Mischkryostat durch eine Vakuumkammer von dem Heliumbad, in dem sich derMagnet befindet, thermisch getrennt wird. Der Mischkryostat ist zum Probenwechsel aus dem Magnetherausnehmbar.

Bei einem flussigen � � � � � � � -Gemisch mit einer � � � -Konzentration von mehr als 6,5% undeiner Temperatur unterhalb von 0,9 K bildet sich auf dem Gemisch reines, flussiges � � � (Abb.4.11).Entnimmt man nun aus dem � � � � � � � -Gemisch � � � und verringert dadurch die Konzentration unterden kritischen Punkt von 6,5%, so tritt � � � aus der konzentrierten Phase in die verdunnte Phasebis wieder ein Gleichgewicht entsteht. Aus der Ubergangsrate des � � � und der Mischungsenthalpieerhalt man die gewunschte Kuhlleistung. Die Temperatur in der Mischkammer sinkt dabei auf Werte� �

Standford Research SR850 DSP Lock-In Amplifier� �Project No. 5165


Abbildung 4.11: Schemazeichnung des Mischkryostaten [Oxf00].

bis hinunter zu wenigen Millikelvin.

Um nun diese tiefen Temperaturen uber einen langeren Zeitraum zu halten, muss standig ausder konzentrierten Phase � � � in die verdunnte Phase ubergehen, es muss also standig � � � aus derverdunnten Phase entnommen werden. Dieses geschieht in der Destille (Abb.4.11, Still). Diese liegtoberhalb der Mischkammer und ist ebenfalls mit dem � � � � � � � -Gemisch gefullt. Die Destille wirdauf etwa 0,7 K geheizt und der Dampf oberhalb der Flussigkeit abgepumpt. Da � � � einen wesent-lich großeren Dampfdruck als

� � � besitzt, wird dort fast reines � � � abgepumpt und dadurch die� � � -Konzentration in der Destille auf unter 1% gesenkt. Aufgrund des so entstehenden osmotischenDrucks wird � � � aus der Mischkammer in die Destille gefordert. Die � � � -Konzentration in dem� � � � � � � -Gemisch in der Mischkammer wird nun standig unter die kritische Konzentration gesenkt.

Das aus der Destille abgepumpte � � � wird dem System wieder zugefuhrt und es entsteht eingeschlossener Kreislauf. Der Verlust an � � � ist hierbei minimal. [Oxf00]

4.3.2 Magnet

Als Magnet und Magnetnetzteil (Abb.4.14) wurden ebenfalls Produkte von Oxford Instruments ver-wendet.


Abbildung 4.12: Die Insert Vacuum Chamber im geoffneten Zustand. Die kupferfarbenen Kammernstellen von oben nach unten den 1 K Pot, den Still und die Entmischkammer dar (vgl. Abb.4.11).Danach folgt eine Stange, die die Probe im Zentrum des Magneten halt und eine optimalen Warme-austausch der Probe mit der Mischkammer bietet.

Abbildung 4.13: Chip carrier mit Probe im IC-Sockel. Die IR-Diode zur Beleuchtung der Proben istam chip carrier befestigt.


Bei dem Magneten handelt es sich um einen supraleitenden Solenoiden � � , der die Moglichkeitbietet, ein hohes und homogenes Magnetfeld zu erzeugen.

Der Magnet befindet sich vollstandig in einem� � � Bad, welches von dem

� � � Reservoir furden Mischkryostaten getrennt ist. Bei einer Temperatur von 4,2 K ist der Magnet im Zentrum bis zueinem maximalen Magnetfeld von 14 T (I = 98,91 A) betreibbar. Die Rampraten liegen zwischen1,7 T/min (12A/min) bei niedrigen Magnetfeldstarken und 0.034 T/min (0,24A/min) bei hohen Ma-gnetfeldstarken. Die Probe befindet sich genau in der Mitte der Magnetspule um ein homogenes undsenkrecht zur Probenebene verlaufendes Magnetfeld zu erzeugen. Die Homogenitat der Spule in ei-nem Radius von 10 mm betragt 0,1%. Nahe am Zentrum der Magnetachse ergibt sich fur eine typischeProbengroße (1 mm x 0,9 mm) eine Homogenitat von 0,01%. Die Homogenitat der Spule ist somitausreichend, um die Probe mit einem konstanten Magnetfeld zu durchsetzen.

Das Magnetnetzteil PS120-10 liefert einen maximalen Strom von � � � A und eine maximaleAusgangsspannung von � � V [Oxf00].

4.3.3 Messbox

Der Chip carrier mit den gebondeten Proben wird in einen IC-Sockel am Mischkryostaten eingesetzt(Abb.4.13). Dieser ist uber lackisolierte Kupferdrahte mit einem 24-poligen Stecker � � am Flansch desIVCs verbunden. Von dem Stecker verlauft ein einfach geschirmtes 24-poliges Kabel zur Messbox(Abb.4.14), an der uber BNC-Stecker die Kontakte am Chip carrier fur den Messaufbau ausgewahltwerden konnen.

� �lang gestreckte, zylindr. Spule, in deren Innerem bei Stromdurchfluss ein nahezu homogenes Magnetfeld entsteht (grch.

solen = Rohre + eidos = Gestalt)��

W. W. Fisher SA, Schweiz, Typ 105 A093


Abbildung 4.14: Der Messplatz mit den verwendeten Messgeraten.

Kapitel 5. Messergebnisse 45

Kapitel 5

Messergebnisse

Die Elektronendichten und -beweglichkeiten im 2DEG wurden in dieser Arbeit wie folgt ermit-telt: Die Shubnikov-de Haas Oszillationen beschreiben Schwankungen in der Zustandsdichte inAbhangigkeit des Magnetfeldes. Die Bedingungen zur Beobachtung der Shubnikov-de Haas Oszil-lationen (� ! � und typischerweise �

� � � � � � � ) und die Beschreibung des Phanomens sinddieselben, die zur Erklarung des IQHEs in Kap.2.2 verwendet wurden. Im Magnetfeldbereich derShubnikov-de Haas Oszillationen ist die Verbreiterung der Energieniveaus jedoch noch so groß, dasses keine Ladungstragerbeweglichkeitslucken wie im IQHE gibt. Dadurch nehmen die Minima im lon-gitudinalen Widerstand nicht den Wert Null an. Die Shubnikov-de Haas Minima liegen periodisch in1/B, woraus die Elektronendichte bestimmt werden kann. Die Magnetfeldwerte der einzelnen Full-faktoren wurden im Bereich der Shubnikow-de Haas Oszillationen ermittelt, da hier die Minima imlongitudinalen Widerstand eindeutig den Fullfaktoren zugeordnet werden konnen. Im quantisiertenBereich ist eine eindeutige Zuordnung der Fullfaktoren nicht moglich, da dort die Minima ausge-dehnt sind und somit mehrere Magnetfeldwerte einem Minima zugeordnet werden. Die Kehrwerteder ermittelten Magnetfeldwerte der Minima im Shubnikov-de Haas Oszillationsbereich werden danngegen die Fullfaktoren aufgetragen. Fur die Steigung � der sich ergebenden Geraden erhalt man

� � �

�� !und fur � � � mit Gl.2.11

� � � �� ! � (5.1)

Mit dem Wert von � � � und dem gemessenen Wert des Nullfeldwiderstandes aus der longitudina-len Messung

� � � � � berechnet sich die Elektronenbeweglichkeit zu

�� " � � � � � � � � � � (5.2)

mit�

der Lange und " der Breite des Hall-Bars.

Fur Proben sehr geringer Elektronenbeweglichkeit (siehe Abb.5.20) ist dieses Verfahren ungeeig-net, da sich keine Shubnikov-de Haas Oszillationen ausbilden. Zur Bestimmung der Elektronendichtewurde hier der klassische Ansatz der Anfangssteigung im Hall-Widerstand,

� � � �!� � � � , (5.3)

verwendet. Die Ergebnisse beider Verfahren sind im Rahmen der Messgenauigkeit identisch [Prak].

46 Kapitel 5. Messergebnisse

Abbildung 5.1: Landauaufgespaltene ( �� ) und spinaufgespaltene ( � � � ! ) Energieniveaus.

5.1 Messungen

Bei einer Temperatur von 50 mK wurde der Spannungsabfall jeweils zwischen Kontakt 1 und 2 fur denlongitudinalen Widerstand und 1 und 5 fur den Hall-Widerstand gemessen (siehe Abb.4.3), wahrenddas Magnetfeld in 0,01 T Schritten von 0 T bis maximal 13,8 T erhoht wurde. Die maximale Magnet-feldstarke wurde so gewahlt, dass das Plateau bei dem kleinsten Fullfaktor (hier

�= 3/5) aufgelost

wurde, welches innerhalb des moglichen Magnetfeldbereichs sichtbar werden kann.Zur Beschreibung des longitudinalen Widerstands und des Hall-Widerstands werden hier als ein

Beispiel die Diagramme in Abb.5.2 und Abb.5.3 der Probe mit der Bezeichnung 1144-i04 bespro-chen. Rot eingezeichnet sind die Fullfaktoren, die gut sichtbar sind. Zu ganz kleinen Magnetfeldernhin uberwiegen nur noch die geraden Fullfaktoren aus den Landauaufspaltungen. Reprasentativ fureine Probe mit niedrigerer Elektronenbeweglichkeit im 2DEG werden der longitudinale Widerstand(Abb.5.4) und der Hall-Widerstand (Abb.5.5) der Probe mit der Bezeichnung 1144-i18 beschrieben.

Die Probe 1144-i04 wurde mit einer Ionendosis von � � � � � �� implantiert. Sie besitzteine Elektronendichte im 2DEG von � � � � � � � � � � � � � � und eine Elektronenbeweglichkeitvon � � �� . Der Nullfeldwiderstand (Abb.5.2) von

� � � � � � � ��

ist sehr gering,wodurch die Shubnikov-de Haas Oszillationen schon bei niedrigen Magnetfeldstarken ab ca. 0,2 T(Fullfaktor

� � � � ) sichtbar werden. Das Einsetzen der Shubnikov-de Haas Oszillationen ist beisolch hohen Elektronenbeweglichkeiten durch die Bedingungen �

� � � � � � gegeben. Der Bereichder Quantisierung beginnt ab einer Magnetfeldstarke von 1,04 T bei Fullfaktor

� � � , der sogenannteQuantenlimes fur

� � ab 6 T. Die Peaks sind wegen T � 0 K verbreitert.Die Peakhohe steigt im longitudinalen Widerstand mit wachsendem Magnetfeld an. Die spinauf-

gespaltenen Peaks eines Landauniveaus zeigen ein umgekehrtes Verhalten: Der Peak zum hoherenMagnetfeld ist niedriger als der zum niedrigeren Magnetfeld. In Fullfaktoren ausgedruckt ist derPeak bei

� � �� großer als der bei� � �� . Die halben Fullfaktoren bezeichnen hier den Bereich

zwischen den Plateaus in dem ein Energieniveau durchlaufen wird. Zur Erlauterung dieses Effektsdes atypischen Verlaufs des longitudinalen Widerstands betrachtet man noch einmal das Randkanal-bild. Der Abstand der Energieniveaus bei Landauaufspaltung ist großer als der bei Spinaufspaltung(Abb.5.1). So ist auch der Abstand der Randkanale zwischen dem obersten spinaufgespaltenen Niveaueines Landauniveaus zum untersten spinaufgespaltenen Niveau des nachst hoheren Landauniveausgroßer als der Abstand zwischen den spinaufgespaltenen Niveaus eines Landauniveaus. Befindet sichdie Fermienergie in der Mitte zweier Energieniveaus, so ist die Streuung zwischen den Randkanalenohne Effekt. Erreicht die Fermienergie ein Energieniveau wie z. B. das oberste spinaufgespaltene Ni-veau (Abb.5.1, 4) des zweiten Landauniveaus, so entsteht Ruckstreuung der innersten Randkanale

5.1. Messungen 47

Abbildung 5.2: Probe 1144-i04: Longitudinale Widerstandsmessung aufgetragen gegen das Magnet-feld (� � � � � � �� , �� bei 50 mK).

Abbildung 5.3: Probe 1144-i04: Hall-Widerstandsmessung aufgetragen gegen das Magnetfeld.


uber den Bulk und die Quantisierung des QHE bricht zusammen. Nun liegen Randkanale der spin-aufgespaltenen Niveaus 4 und 3 des zweiten Landauniveaus nah beieinander, so dass die Wahrschein-lichkeit der Streuung untereinander sehr hoch ist (Abb.5.1, blau). In diesem Fall addiert sich dieseStreuung zur Ruckstreuung der innersten Randkanale und das Widerstandsmaximum beim Durchlau-fen des vierten Energieniveaus (

� � �� ) wird großer als ohne Randkanalstreuung. Nun durchlauftdie Fermienergie die Beweglichkeitslucke zwischen dem dritten und vierten Energieniveau und manerhalt die Quantisierung des QHEs. Erreicht die Fermienergie das unterste spinaufgespaltene Niveau(Abb.5.1, 3) des zweiten Landauniveaus so tritt wieder Ruckstreuung zwischen den innersten Rand-kanalen ein und die Quantisierung bricht ein weiteres Mal zusammen. Hier ist jedoch der Abstandvom dritten Energieniveau zum Randkanal des zweiten Energieniveaus, also des obersten spinauf-gespaltenen Niveaus des ersten Landauniveaus, großer und die Wahrscheinlichkeit der Streuung derRandkanale ist geringer (Abb.5.1, grun). Nur eine geringe Streuung addiert sich zur Ruckstreuungund beim Durchlaufen des dritten Energieniveaus (

� � �� ) wird das Widerstandsmaximum kleinerals das bei

� �� . [Alp90] [Svo92]Die Hall-Widerstandsmessung der Probe 1144-i04 ist in Abb.5.3 zu sehen. Man sieht sehr deut-

lich, dass die ausgepragten Minima im longitudinalen Widerstand aus Abb.5.2 ebene Plateaus imHall-Widerstand zeigen. Als starkstes ausgepragtes Plateau der fraktionalen Fullfaktoren, die sicht-bar sind, ist das bei

� � � � � , alle anderen sind nur andeutungsweise zu sehen, was aus der Betrach-tung von Abb.5.2 klar wird, denn die Minima sind bei den fraktionalen Fullfaktoren relativ schwach.Aus diesem Grund werden die fraktionalen Fullfaktoren fur die Untersuchung der Plateaus im Hall-Widerstand nur am Rande behandelt.

Zwischen Fullfaktor�

= 2 und 3 in Abb.5.3 ist eine Schulter zu erkennen. Die Hall-Widerstandskurve zeigt bei kleiner werdendem Magnetfeld nach dem Plateau bei

�= 2 eine flache

Steigung, die kurz vor dem Plateau bei�

= 3 steiler wird. Im longitudinalen Widerstand in Abb.5.2zeigt das Maximum zwischen den Fullfaktoren

�= 2 und 3 eine Asymmetrie bezuglich des Maxi-

mums. Lokalisierte Zustande im 2DEG werden durch Storstellen und Defekte erzeugt. Sind attraktiveund repulsive Storstellen im gleichen Maße vorhanden, erhalt man symmetrische Maxima in der Zu-standsdichte der Elektronen (vgl. Abb.2.6). Uberwiegt jedoch eine Art der Storstellen, so verschiebtsich das Maximum zu hoheren oder zu niedrigeren Energien. Dieser asymmetrische Verlauf der Zu-standsdichtemaxima spiegelt sich in der Maximaasymmetrie im longitudinalen Widerstand wieder[Hau88].

In Abb.5.4 und Abb.5.5 ist die Probe 1144-i18 mit der hochsten implantierten Ionendosis von � � � � �� zu sehen. Sie besitzt eine Elektronendichte im 2DEG von � � � �� und einer Elektronenbeweglichkeit von � � �� bei 50 mK. Im Vergleich zur Probe1144-i04 sind die Minima im longitudinalen Widerstand zu niedrigeren Magnetfeldern hin verscho-ben (Abb.5.4). Der Fullfaktor

� � liegt nun nicht mehr bei 6 T sondern bei 5 T, da die Elektro-nendichte bei der Probe 1144-i18 geringer ist (vgl. Gl.5.1). Der Nullfeldwiderstand

� � � � � � � � � �liegt wesentlich hoher, was auf die geringe Elektronenbeweglichkeit zuruckzufuhren ist (vgl. Gl.5.2).Ein starker Abfall des longitudinalen Widerstandes ist bei wachsendem Magnetfeld bis ca. 1 T sicht-bar, wodurch keine Aufspaltung der Energieniveaus bei Fullfaktoren

� � � sichtbar sind und dieShubnikov-de Haas Oszillationen erst sehr spat ab 0,7 T beginnen. Da sich hier nicht die Temperaturzur Probe 1144-i04 geandert hat, ist das hohere Magnetfeld fur den Einsatzpunkt der Shubnikov-de Haas Oszillationen durch die Bedingung � ! � bestimmt. Aufgrund der großeren Unordnungim 2DEG der Probe 1144-i18 zeigen sich auch nur die Plateaus zwischen den geradzahligen Full-faktoren

� � � bis� � � und

� � im Hall-Widerstand (Abb.5.5). Die Plateaus sind also beiden ungeradzahligen Fullfaktoren, bei den Fullfaktoren

� � � und bei den fraktionalen Fullfakto-ren verschwunden. Das Plateau bei

� � � � � ist nur noch andeutungsweise zu sehen, wahrend imlongitudinalen Widerstand ein leichtes Minimum erkennbar ist. Die Elektronenbeweglichkeit ist zugering, die Verbreiterung der Landauniveaus also zu groß, um eine Spinaufspaltung ab dem zweitenLandauniveau auflosen zu konnen und das sich Plateaus bei den fraktionalen Fullfaktoren ausbilden.

Im Bereich der Shubnikov-de Haas Oszillationen, also bei niedrigen Magnetfeldern, erreichen die

5.1. Messungen 49

Abbildung 5.4: Probe 1144-i18: Longitudinale Widerstandsmessung (rot) aufgetragen gegen dasMagnetfeld (� � � � � � � � � � � � � , � �#�� bei 50 mK). Die schwarze Kurvestellt die Ableitung des Hall-Widerstands

� � � nach dem Magnetfeld B dar.

Abbildung 5.5: Probe 1144-i18: Hall-Widerstandsmessung aufgetragen gegen das Magnetfeld( � � � � � � �� , �� bei 50 mK).


Minima im longitudinalen Widerstand nicht den Wert Null. Hier bilden sich keine horizontalen Plate-aus aus. Abb.5.5 zeigt jedoch, dass sich bei Magnetfeldern

! � � � eindeutig das Plateau bei Full-faktor

�= 4 horizontal ausbildet. Bestatigt wird das Ausbilden dieses Plateaus im Hall-Widerstand

durch die Ableitung von� � � nach dem Magnetfeld

!(Abb.5.4, schwarz). Hier zeigen sich starker

ausgepragte Oszillationen, die fur den Fullfaktor�

= 4 den Wert Null annehmen. Wenn die Mini-ma im longitudinalen Widerstand nicht den Wert Null annehmen, bilden sich Quasiplateaus mit ei-ner charakteristischen Steigung aus. Das bedeutet, dass die Plateaus im Hall-Widerstand eine großerwerdende Steigung zeigen, je hoher der Minimawert im longitudinalen Widerstand wird. Dieses Ver-halten beginnt bei hohen Magnetfeldern mit horizontal verlaufenden Plateaus im Hall-Widerstand,korrespondierend mit Minimawerten im longitudinalen Widerstand von Null, und endet bei niedrigenMagnetfeldern mit der Hall-Geraden, wo es im longitudinalen Widerstand keine Oszillationen mehrgibt.

Zieht man eine Gerade mit der Steigung des Hall-Widerstandes bei kleinen Magnetfeldern! �

0,9 T durch die Kurve in Abb.5.3, so sieht man, dass die Kurve gegenuber der Geraden zu hoherenMagnetfeldern hin verschoben ist (Abb.5.6, vgl. Abschnitt 3.2.1). In Abb.5.6, a) sind die Grenzen desPlateaus im Hall-Widerstand bei

� � in dem es eben ist, als senkrechte blaue Linien eingezeichnet.Die Grenzen stimmen mit dem Minimum im longitudinalen Widerstand uberein. Die Mitte des Pla-teaus (mittlere blaue Linie) stimmt nicht mit dem Schnittpunkt der klassischen Hall-Geraden mit denPlateaus uberein (rote, senkrechte Linie). Dieser liegt bei den ganzzahligen Fullfaktoren

! � � � � � � � �� so dass fur

!(�

= 1) = 6,04 T gilt. Daran sieht man die Verschiebung der quantisierten Hall-Geraden(schwarz) gegenuber der klassischen Hall-Geraden (rot) in realen Proben durch das Verhalten

! � � � .Eine Verschiebung der Hall-Plateaus zu hoheren bzw. niedrigeren Magnetfeldern aufgrund repul-

siver bzw. attraktiver Streuzentren im 2DEG [Hau87] [But99] ist nicht auszumachen. Die Asymme-trie der Peaks im longitudinalen Widerstand (Kap.5.1) zeigen zwar an, dass geladene Streuzentren das2DEG beeinflussen, jedoch ist dieser Effekt zu gering, um in der Hall-Widerstandsmessung sichtbarzu werden. In Kapitel 4.2 wurde gezeigt, dass die Ga � Ionen nicht nennenswert in die Heterostruktureindringen, so dass die zusatzlich eingefugten Streuzentren zu weit von 2DEG entfernt sind.

In der nicht implantierten Probe 1144-i01 zeigt sich dieselbe Asymmetrie im longitudinalen Wi-derstand und die Verschiebung im Hall-Widerstand ist ebenfalls auf die Darstellung im Magnetfeld-bild zuru ckzufuhren (Abb.5.6, b). Lediglich der Hall-Widerstand der Probe 1144-i18 mit der hochstenimplantierten Ionendosis, bei der auch die Elektronendichte leicht verringert wurde, zeigt eine Ver-schiebung zu hoheren Magnetfeldern, so dass man die Auswirkung repulsiver Streuzentren vermutenkann (Abb.5.6, c).

Im Bereich der Shubnikov-de Haas Oszillationen entstehen keine verbreiterten Minima wie imquantisierten Bereich und das Minimum fallt mit dem Magnetfeldwert des jeweiligen Fullfaktorseindeutig zusammen, so dass die Elektronendichte nach Gl.5.1 berechnet werden kann.

5.2 Untersuchung der Plateaubreite im Hall-Widerstand

5.2.1 Normierte Plateaubreite �� vs. Elektronenbeweglichkeit �In Abb.5.7 wurde die Plateaubreite auf das Magnetfeld in der Mitte des Plateaus normiert (Gl.3.5) undgegen die Elektronenbeweglichkeit � aufgetragen. Die Normierung wurde durchgefuhrt, damit diePlateaubreite unabhangig von der Elektronendichte dargestellt werden kann, die mit dem Magnetfeldverknupft ist (vgl. Gl.2.11). Die untere und obere Grenze

! � und! � der Plateaus wurden bestimmt

durch eine Abweichung von � 1 % vom Wert des quantisierten Hall-Widerstands� � � � � � � � � .

In Abb.5.7 sieht man sehr deutlich, dass sich als erstes das Plateau um den ganzzahligen Fullfaktor

5.2. Untersuchung der Plateaubreite im Hall-Widerstand 51

Abbildung 5.6: a) Die Verschiebung der quantisierten Hall-Widerstandskurve (schwarz) zur klassi-schen Hall-Geraden (rot) in realen Proben (1144-i04) durch das Verhalten

! � � � . Als blaue, senk-rechte Linien eingezeichnet sind die Grenzen des Plateaus im Hall-Widerstand bei

� � , zwischendenen es eben ist. Der eingegerenzte Bereich stimmt mit dem Minimum im longitudinalen Widerstanduberein. Die Mitte des Plateaus (mittlere blaue Linie) stimmt nicht mit dem Schnittpunkt der klassi-schen Hall-Geraden bei

! � � � � uberein (rote, senkrechte Linie). b) zeigt den Hall-Widerstand dernicht Implantierten Probe und c) den der Probe mit der hochsen implantierten Ionendosis.


Abbildung 5.7: Die normierte Plateaubreite� ! ��! aufgetragen gegen die Elektronenbeweglichkeit

im 2DEG. Die geraden Fullfaktoren sind durch die gefullten und die ungeraden durch die offenenSymbole dargestellt. Die Grenzen der Plateaus wurden bei den Magnetfeldern bestimmt, an denender Hall-Widerstand um � 1% von den quantisierten Wert

� � � � �� abweicht.

Abbildung 5.8: Dieselbe Auftragung wie aus Abb.5.7 jedoch sind hier die maximal moglichen Pla-teaubreiten bei den jeweiligen ganzzahligen Fullfaktoren als horizontale Linien eingezeichnet.


� � � bei einer Elektronenbeweglichkeit von ca. � �� ausbildet, gefolgt von�

= 1 beieiner Elektronenbeweglichkeit von � � � � � � � � � �� und von

�= 4, 6, 3, 5... Ab einer Elektronen-

beweglichkeit von � � � �� erscheinen die Plateaus um die fraktionellen Fullfaktoren,hier

� � � � �� und � � � .Es tritt also zuerst die Energieaufspaltung in Landauniveaus ( �

� � � ) mit den geraden Fullfakto-ren auf, bevor die Spinaufspaltung (� � � ! ) mit den ungeraden Fullfaktoren sichtbar wird. Durchdie hohe Verunreinigung bei niedriger Elektronenbeweglichkeit sind die Landauniveaus so verbrei-tert, dass sich die Niveaus uberlappen und keine Energieaufspaltung existiert (

� � � � �� , Breite derDelokalisierung). Mit zunehmender Reinheit der Probe, werden die Verbreiterungen der Landaunive-aus kleiner und man sieht Energieaufspaltung zuerst bei hohen Magnetfeldern, also bei

� � � . DieAufspaltung bzw. der Abstand zweier Energieniveaus ist abhangig vom Magnetfeld, jedoch derenVerbreiterung nicht und so wird zuerst die Aufspaltung bei Fullfaktor

� � � sichtbar. Spinaufspal-tung ist bei diesem Grad der Verunreinigung trotz des hohen Magnetfeldes fur

� � nicht aufgelost,weswegen dieses Plateau nicht zu sehen ist. Bei weiterer Zunahme der Reinheit der Probe wird dieVerbreiterung der spinaufgespaltenen Niveaus im untersten Landauniveau (

�= 1 und 2) bei hohen

Magnetfeldern geringer als die Aufspaltung selber. Das Plateau bei� �# wird sichtbar. Bei noch

großerer Reinheit der Probe werden erst die Aufspaltungen der Landauniveaus großer als deren Ver-breiterung und danach erst die Spinaufspaltungen der Landauniveaus. Da die Spinaufspaltung wesent-lich kleiner ist als die Landauaufspaltung (vgl. Abb.5.1 und Abb.5.10), ist das Verhalten, dass zuerstdie Plateaus bei

�= 4 und 6 und dann erst die Spinaufspaltung im zweiten Landauniveau (

� � � )auflosbar wird, erklarbar. Die Verbreiterung jedes Energieniveaus ist kleiner als die Landauaufspal-tung in diesem Magnetfeldbereich, jedoch zu groß, um die Spinaufspaltung aufzulosen, so dass nurdie Plateaus bei

�= 4 und 6 sichtbar sind.

Die Plateaus bei den fraktionalen Fullfaktoren treten erst bei hoher Reinheit der Probe in Erschei-nung, also bei hoher Elektronenbeweglichkeit. Dies ist genau der Bereich, wo die Elektron-Elektron-Wechselwirkung nicht mehr vernachlassigbar ist und die Vielteilchen-Wechselwirkung zum FQHEfuhrt.

Das Verhaltnis der Elektronenbeweglichkeiten beim Erscheinen der Plateaus der jeweiligen Full-faktoren eines Landauniveaus zeigt eine Regelmaßigkeit. Das Verhaltnis zwischen den Werten bei� � � und

�= 1 ergibt � � �� , das zwischen den Werten bei

�= 4 und

�= 3 � � �� und das

zwischen den Werten bei�

= 6 und�

= 5 � � �� . Es ist immer eine Halbierung des Verhaltnissesbzw. eine Verdoppelung der Elektronenbeweglichkeitsdifferenz

� � erkennbar.

Die relative Breite des Plateaus um Fullfaktor�

= 1 ubersteigt bei sehr kleinen Elektronenbeweg-lichkeiten die des Plateaus um den Fullfaktor

�= 2. Beide relativen Plateaubreiten fallen dann jedoch

mit zunehmender Anzahl der sich ausbildenden Plateaus ab, vor allem, wenn die fraktionalen Plateauserscheinen. Im Bereich des Erscheinens der Plateaus der fraktionalen Fullfaktoren zeigen die Plate-aus der anderen ganzzahligen Fullfaktoren kein Abknicken des Verlaufs der relativen Plateaubreitemit steigender Elektronenbeweglichkeit, da die Plateaus fur

� � � nicht von der Ausbreitung der Pla-teaus der fraktionalen Fullfaktoren beeinflusst werden. Die relative Plateaubreiten fur

� � � zeigennur einen leichten Abfall beim Erscheinen ihrer spinaufgespaltenen Partner. Dadurch, dass die Pla-teaus bei festen Magnetfeldern erscheinen, die nur von der Elektronendichte des Materials abhangigsind, muss die Breite der Plateaus kleiner werden, je mehr Plateaus sich ausbilden.

Bei Elektronendichten � � � � � � � � � �� bleiben die relativen Plateaubreiten um die einzelnenFullfaktoren fast konstant, da sich nur noch die Plateaus um die fraktionalen Fullfaktoren ausbil-den und diese einerseits eine sehr geringe relative Plateaubreite besitzen und andererseits sich nurauf

�= 1 und 2 auswirken. In diesem Bereich sieht man sehr deutlich bei dieser Auftragung, dass

die spinaufgespaltenen Niveaus eines Landauniveaus die gleiche relative Plateaubreite besitzen. DieVerhaltnisse der Plateaubreiten eines Landauniveaus zum nachsten (

�= 1;2 zu

�= 3;4 bzw.

�= 3;4 zu�

= 5;6) sind gleich. Das Verhaltnis liegt bei diesen Proben bei � � �� . Die Verhaltnisse der Pla-teaubreiten der Landauniveaus verhalten sich also genauso aquidistant wie die Energiebandabstande


Abbildung 5.9: Die Plateaubreite��

aufgetragen gegen die Elektronenbeweglichkeit im 2DEG. Diegeraden Fullfaktoren sind durch die gefullten und die ungeraden durch die offenen Symbole darge-stellt.

der Landauniveaus von

�� ! � �� (5.4)

Es zeigt sich also nicht das Verhalten aus Gl.3.6� ! � �! � � � (siehe dazu Kap.5.2.3).

Die maximal erreichbaren Plateaubreiten� ! � � � �! bei ganzzahligen Fullfaktoren sind in

Abb.5.8 als horizontale Linien mit eingezeichnet. Die maximale Breite ergibt sich, wie schon in Ab-schnitt 3.2.1 gesagt, aus der Bedingung, dass ein Plateau bei ganzzahligen Fullfaktoren vom Magnet-feld bei

�� bis zu dem Magnetfeld bei

�� verlauft:

� ! � ! � � � � � � ! � � � � � � (5.5)

Man sieht sehr deutlich, dass die normierte Plateaubreite bei Fullfaktor�

= 1 bei weitem nicht dasMaximum erreicht. Auch alle anderen Plateaus erreichen nicht ihr Maximum. Hierfur ist die zu hoheTemperatur verantwortlich, bei der die Messungen durchgefuhrt wurden. Durch die endliche Tem-peratur wird auch die Unordnung im 2DEG durch Gitterschwingungen beeinflusst. Dies hat eineVerbreiterung der Plateauubergange (delokalisierte Zustande) zur Folge.

Alle relativen Plateaubreiten bei ganzzahligen Fullfaktoren werden zu hohen Elektronenbeweg-lichkeiten hin ein wenig kleiner. Die relativen Plateaubreiten bei den fraktionalen Fullfaktoren zei-gen ein umgekehrtes Verhalten. Sie werden zu hohen Elektronendichten ein wenig großer. Da sichin diesem Elektronenbeweglichkeitsbereich keine weiteren Plateaus ausbilden, sollten die relativenPlateaubreiten einen konstanten Wert annehmen. Die Vermutung liegt nahe, dass der IQHE bei sehrhohen Elektronenbeweglichkeiten verschwindet, da die Elektron-Elektron-Wechselwirkungen zu do-minant werden (s. Kap.5.2.6).


5.2.2 Plateaubreite � � vs. Elektronenbeweglichkeit �Im Fullfaktorbild wurde die Plateaubreite

��gegen die Elektronenbeweglichkeit � aufgetragen. Der

Fullfaktor ergibt sich aus (Gl.2.19)

� � � � � � � � �� mit� � �

�� !

so dass sich fur die Plateaubreite

�� ! � � ! � � �� ! � � ! � � (5.6)

ergibt. Hierbei markiert! � das untere Ende des Plateaus und

! � das obere Ende des Plateaus im Ma-gnetfeldbild. Da die Elektronendichte mit kleinen Abweichungen bei allen Proben konstant gehaltenwurde, ist ein direkter Vergleich der Diagramme im Magnetfeldbild (

� ! ��! ) und im Fullfaktorbild(��

) moglich. Mit Gl. 3.5 ergibt sich folgender Zusammenhang mit der normierten Plateaubreite imMagnetfeldbild

�� !! � ! � �

� � � �� !�! ! � � ! �

� ! � ! � � (5.7)

Das Erscheinen der Plateaus an den jeweiligen Werten der Elektronenbeweglichkeit ist in diesemBild identisch mit dem Erscheinen im Magnetfeldbild, da sich durch die Umrechnung in Gleichung5.6 die absoluten Werte nicht andern. Auch der Anstieg und starke Abfall der Plateaus bei

�= 1 und

2 sind genauso sichtbar wie im Magnetfeldbild.Interessant zu sehen ist jedoch das Verhalten der Plateaus verschiedener Fullfaktoren untereinan-

der. Es zeigt sich nicht eine gleiche Breite, wie in Kap.3.2.2 erwahnt.Betrachten wir zuerst die Plateaubreiten der geradzahligen Fullfaktoren in Abb.5.9. Sie steigen

alle auf die gleiche Plateaubreite von etwa��

= 0,8 an. Die Plateaubreite sinkt bei�

= 2 ab derElektronenbeweglichkeit von � � � � � � � �� aufgrund des Erscheinens der Plateaus bei den frak-tionalen Fullfaktoren stark ab. Bei hohen Elektronenbeweglichkeiten von � � �� werdendie Plateaubreiten bei den geradzahligen Fullfaktoren im gleichen Maße stetig kleiner und erreicheneinen Wert von

�� bei hohen Elektronenbeweglichkeiten fur�

= 4 und 6 und einem Wertvon

�� fur�

= 2. Ausgenommen zweier Messpunkte bei einer Elektronenbeweglichkeit um�� liegt die Plateaubreite bei�

= 6 etwas unter der Breite bei�

= 4.Die Plateaubreiten der ungeradzahligen Fullfaktoren zeigen ebenfalls einen Anstieg und zwar

auf jeweils einen Wert um��

= 0,5 (Abb.5.9). Die Plateaubreite bei�

= 1 fallt, anhlich wie diePlateaubreite bei

�= 2, ab einer Elektronenbeweglichkeit von �� auf einen Wert von��

= 0,275 ab. Der Abfall der Plateaubreiten von�

= 1 ist bei hohen Elektronendichten nicht sostark wie bei den geradzahligen Fullfaktoren. Fur die Fullfaktoren

�= 3 und 5 hingegen bleibt die

Plateaubreite mehr oder weniger konstant auf ihrem erreichten Maximalwert.Bei den fraktionalen Fullfaktoren

�= 2/3, 3/5 und 4/3 ist bei hohen Elektronenbeweglichkeiten

eine leicht ansteigende Plateaubreite zu beobachten. Die Plateaubreiten bei�

= 2/3 und 4/3 sindidentisch.

Das Verhaltnis der Plateaubreiten��

bei geraden Fullfaktoren zu den Plateaubreiten der jeweilszugehorigen ungeraden Fullfaktoren, der entsprechenden spinaufgespaltenen Landauniveaus, liegtfur

�= 1 und 2 uber den gesamten Elektronenbeweglichkeitsbereich bei � � � � � . Das Verhaltnis

der Plateaubreiten der Fullfaktoren des jeweils nachsten Landauniveaus�

= 3 zu 4 und�

= 5 zu 6liegt bei hohen Elektronenbeweglichkeiten bei � � � � � . Betrachtet man Gl.5.7, so gelten fur dieVerhaltnisse � � � � � � � der Plateaus der spinaufgespantenen Landauniveaus

�� fur�� (5.8)


Abbildung 5.10: Abstande der Energieniveaus und die daraus resultierende Plateaubreite fur unge-rade (

�� ) und gerade Plateaubreiten (�� ).

da sich der Vorfaktor aus Gleichung 5.7 aufgrund der jeweils gleichen Elektronendichte bei kon-stanter Elektronenbeweglichkeit und die normierte Plateaubreite

� ! � �! wegen deren Gleichheit beiFullfaktoren spinaufgespaltener Energieniveaus herauskurzen:

�� fur

� !�! � (5.9)

Es ist also ersichtlich, dass dem Verhaltnis in Gleichung 5.8 gleiche normierte Plateaubreiten im Ma-gnetfeldbild im Fullfaktorbild unterschiedlich sind. Umgekehrt zeigen die Plateaus bei geradzahligenbzw. ungeradzahligen Fullfaktoren untereinander im Fullfaktorbild gleiche Breiten, die im Magnet-feldbild ein Verhaltnis von � � � � � � � � � � zeigen. Hier sind die relativen Plateaubreiten aus Gl.5.7unterschiedlich und kurzen sich bei der Verhaltnisbildung � � � � � � � nicht heraus. Da aber im Full-faktorbild die Verhaltnisse � � � � � � � � sind, ergibt sich

� � � � � � � �� fur

��(5.10)

�

� �� (5.11)

Diese Gleichung ist auch fur das Verhaltnis bei ungeraden Fullfaktoren � � �� gultig.Da die Plateaubreiten in den jeweiligen Bildern nicht ganz ubereinstimmen, gibt es leich-

te Differenzen zwischen den Diagrammen Abb.5.7 bzw. 5.9 bei den Verhaltnissen � � � � � � � bzw.� � � � � � � . Zur genauen Berechnung darf der Faktor� ! � �! nicht vernachlassigt werden, jedoch

zur Abschatzung und zur Ubertragung von einem Bild zum anderen ist dieses Verfahren gut geeignet.

5.2.3 Das Verhaltnis der Plateaubreiten untereinander

Wie in den vorangegangenen Kapiteln gezeigt, verhalten sich die normierten Plateaubreiten� ! � �!

nicht wie� ! � �! � � � , sondern die Aufspaltungen der Spinniveaus eines Landauniveaus sind gleich

breit (Kap.5.2.1). Auch die Plateaubreiten��

sind nicht gleich groß, sondern die Plateaubreiten beiden geraden Fullfaktoren untereinander sind gleich, aber großer als die bei den ungeraden Fullfak-toren, welche wiederum unter sich gesehen gleich breit sind (Kap.5.2.2). In Kapitel 3.2.2 wurdenjedoch die Energieniveaus mit einem aquidistanten Abstand angenommen. Vor allem in Abb.5.9 zeigt


sich der Unterschied der Abstande zwischen den Energieniveaus. Abb.5.10 soll das verdeutlichen:Die Spinaufspaltung � � � ! ist kleiner als die Landauaufspaltung (vgl. Kap.5.1). Hierdurch ist derBereich der lokalisierten Zutande bei Fullfaktor

�= 1 kleiner als der bei Fullfaktor

�= 2. Genauso

verhalten sich die Bereiche der lokalisierten Zustande bei Fullfaktor�

= 3, 4... Dieses Bild beschreibtdas, was in Abb.5.9 zu sehen ist und uber Gl.5.7 ergibt sich das Verhalten der normierte Plateaubreitenin Abb.5.7.

Der g-Faktor der Spinaufspaltung ist jedoch nicht konstant, sondern oszilliert mit der Elektronen-dichte bei festem Magnetfeld [And82] und verandert sich mit dem Winkel des Magnetfeldes zu derProbe [And82] [Hau88]. Es ist somit moglich, dass

� � � !��

wird [Hau88]. Somit ist auch nicht auszuschließen, dass der g-Faktor temperaturabhangig ist und beieiner Temperatur von T = 0, bei der die Annahmen fur die maximale Plateaubreite gemacht wurden,genau die Landauaufspaltung gleich groß ist, wie die Spinaufspaltung und somit das theoretische Bildaus Kapitel 3.2.1 und 3.2.2 aufrecht erhalten wird.

5.2.4 Breite der Plateauubergange � � �� vs. Elektronenbeweglichkeit �In Abb.5.11 sind die Abstande zwischen den Plateaus, die Plateauubergange, gegen die Elektronen-beweglichkeit aufgetragen. Der Plateauubergang ist definiert als

�� ! � � � � � ! � � � � � � � (5.12)

Bei dieser Auftragung ist zu beachten, dass sich die Abstande andern, sobald ein Plateau hinzukommt.Das Plateau bei

�= 3 ist z. B. bei niedrigen Elektronenbeweglichkeit nicht ausgebildet, so dass die

Breite des Plateauubergangs zwischen den Plateaus bei�

= 2 und 4 dargestellt ist. Erscheint das Pla-teau bei

�= 3 bei �� , beschreibt der Graph die Breite des Plateauubergangs

zwischen�

= 2 und 3 (Abb.5.11, rot) und ein neuer Graph beschreibt die Breite des Plateauubergangszwischen

�= 3 und 4 (Abb.5.11, grun). Deswegen fallt der rote Graph bei Erscheinen des grunen stark

ab. Das gleiche gilt fur den blauen Graphen der Breite des Plateauubergangs zwischen den Plateausbei

�= 4 und 6 bzw.

�= 4 und 5 zusammen mit dem gelben Graphen fur die Breite des Plateauuber-

gangs zwischen den Plateaus bei�

= 5 und 6. Im gleichen Sinne gilt dies fur den schwarzen Graphenfur die Breite des Plateauubergangs zwischen den Plateaus bei

�= 1 und 2 bzw.

�= 1 und 4/3 zu-

sammen mit dem orangenen Graphen fur die Breite des Plateauubergangs zwischen den Plateaus bei� �� und 2.Betrachtet man in Abb.5.11 im Bereich hoher Elektronenbeweglichkeit (� � � � � � � �� ) die

Breite der Plateauubergange zwischen den Plateaus bei ganzzahligen Fullfaktoren, so erkennt maneinen leichten Anstieg. Zu beachten ist hier der Sprung, der durch das Erscheinen des Plateaus beiFullfaktor

�= 4/3 zwischen den Plateaus bei

�= 1 und 2 entsteht ( � � � � � � � �� ). Im Bereich der

hohen Elektronenbeweglichkeiten ( � � � � �� ) bilden sich bei diesen Messwerten keine Pla-teaus mit fraktionalen Fullfaktoren aus, weswegen die Abstande der Plateaus großer werden sollten.Dieses Verhalten lauft konform mit den Darstellungen der relativen Plateaubreite

� ! � �! und der Pla-teaubreite

��, bei denen die Plateaubreiten kleiner werden. Auch die Breiten der Plateauubergange

zwischen den Plateaus bei fraktionalen Fullfaktoren laufen konform mit den Darstellungen der rela-tiven Plateaubreite

� ! � �! und der Plateaubreite��

. Die Abstande der Plateaus werden kleiner.Im Bereich hoher Elektronenbeweglichkeit werden die Breiten der Plateauubergange mit zuneh-

menden Fullfaktor kleiner. Auch hier muss beachtet werden, dass ab einer Elektronenbeweglichkeitvon � � � � � � � �� das Plateau bei Fullfaktor

�= 4/3 zwischen

�= 1 und 2 erscheint

(s. o.). Addiert man jedoch die Breite des Plateauubergangs zwischen den Fullfaktoren�

= 1 und4/3 (Abb.5.11, schwarz) und die zwischen den Fullfaktoren

�= 4/3 und 2 (Abb.5.11, orange) zu der


Abbildung 5.11: Die Abstande zwischen den Plateaus im Fullfaktorbild. In Klammern steht der Full-faktor des hinzukommenden Plateaus.

Abbildung 5.12: Der Verlauf der Plateaus und der Plateauubergange zu sehen in der Hall-Leitfahig-keitskurve � � � (Gl.2.14) aufgetragen gegen den Fullfaktor

�bei einer Elektronenbeweglichkeit von�� . Zum Vergleich ist in Abb.3.5 die theoretische Hall-Leitfahigkeitskurve darge-

stellt.


Abbildung 5.13: Das Verhalten der Lokalisierungslange�

in Abhangigkeit vom Fullfaktor�

. DiePhasenkoharenzlange

�bestimmt den maximal erreichbaren Wert der Lokalisierungslange.

Plateaubreite��

bei�

= 4/3 (s. Abb.5.9, grau), so ist der resultierende Plateauubergang zwischen� � und 2 immer noch breiter, als alle anderen Plateauubergangsbreiten. Das Verhalten der kleinerwerdenden Plateauubergangsbreite mit zunehmendem Fullfaktor zeigt sich auch bei der Plateaubrei-te��

wieder. Dort steigen die Plateaubreiten mit wachsendem Fullfaktor an, ausgenommen�

= 6,fur die geraden und die ungeraden Fullfaktoren getrennt betrachtet. In der Summe der Plateaubreitenund Plateauubergange erhalt man somit die Fullfaktoren an ihren festen Magnetfeldwerten mit dengleichen Abstanden (vgl. Abb.5.12).

5.2.5 Steigung der Plateauubergange

Die Steigung der Plateauubergange�� zwischen den Plateaus durchlauft ein Maximum. Die

Ableitung der Hall-Leitfahigkeit � � � nach dem Fullfaktor�

,� � ��

, zeigt dann an den Stellen dermaximalen Steigung der Plateauubergange ebenfalls ein Maximum.

Fur die Lokalisierungslange der Elektronen�

gilt [Huc95]� � � � �� (5.13)

Hier steht��

fur die Abweichung vom”kritischen“ Fullfaktor, dem halbzahligen Fullfaktor bei ei-

nem Energieniveau (Abb.5.13) und � einem konstanten Exponenten mit � = 2,35. Wie in Kapitel 2.2.1beschrieben, bewegen sich die Elektronen im Energiebereich der Lokalisierung auf Kreisbahnen glei-chen Potentials, den Aquipotentialorbits, in den Potentialtalern im 2DEG. An der Fermienergie liegtder energetisch hochste Aquipotentialorbit, der mit Elektronen besetzt ist. Die Lokalisierungslangestellt klassisch den mittleren Durchmesser der Aquipotentialorbits an der Fermienergie dar [Haj94].Quantenmechanisch kommen Interferenzen zwischen den Elektronen und somit die Phasenbeziehungder Wellenfunktionen ins Spiel. Solange die Elektronen dieselbe Phase besitzen, interferieren sie po-sitiv. Die Lokalisierungslange beschreibt daher zusatzlich, dass innerhalb der Aquipotentiallinien kei-ne Elektron-Elektron-Wechselwirkung bzw. inelastische Streuung stattfindet und somit durch keineEnergieanderung eintritt und die Phase beibehalten wird. D. h. fur Langenskalen kleiner der Lokali-sierungslange

�ist das Elektron delokalisiert. Kommen sich zwei solcher benachbarten Aquipotentia-

lorbits nahe, so konnen die Elektronen tunneln und wechseln ihre Phase. Nach einem Phasenwechselinterferiert das Elektron mit anderen gleicher Phase [Huc95].

Durch thermische Effekte ist die maximale Lokalisierungslange auf den Wert der Phasen-koharenzlange der Elektronen

� begrenzt (Abb.5.13) [Koc91] [Huc95]. Abhangig von dem Ab-

stand der Orbits und den Barrierenhohen konnen die Elektronen an den Sattelpunkten zwischen den


Potentialtalern von einem Orbit zum nachsten tunneln und sie andern dabei die Phase ihrer Wel-lenfunktion. Das bedeutet, dass ein Elektron innerhalb der Phasenkoharenzlange interferiert, danndurch Elektron-Elektron-Wechselwirkung eine Phasenanderung durchfuhrt und wieder von neueminterferiert. Jedoch bleibt die Langenskala uber einen Fullfaktorbereich innerhalb

� � �konstant

(Abb.5.13).Im Bereich der delokalisierten Zustande, also im Bereich des Plateauubergangs ist somit

� � � � �� konstant

und fur alle Plateauubergange gleich groß. Die maximale Steigung der Plateauubergange markiertden Fullfaktor an den Energieniveaus bzw. an dem

��aus Abb.5.13 Null wird.

Da die Hall-Leitfahigkeit � � � vom Magnetfeld, von der Temperatur und der Elektronendichte� � � abhangig ist, kann man � � � auch als eine Funktion von�

,� �

und��

schreiben [pcHuc]

� � � � ��

�� (5.14)

" � � �" � � � � � � � � � � � ��

�

� (5.15)

Da� �

mit sinkendem!

bzw. mit steigendem�

wachst, fallt� � ��

monoton uber�

.

In der Praxis zeigt sich jedoch ein etwas anderes Verhalten fur die Maxima von� � ��

in Abhangig-keit von

�in Abb.5.14 fur Fullfaktoren

� � � . Die Maximawerte sind im Mittel zwar fallend mitsteigendem Fullfaktor, aber steigen mehrfach sprunghaft an. Hier sind exemplarisch die Werte derProbe 1144-i03 ( � � � � � � � � � � � � � � ; �#� � � � � � � �� ) und der Probe 1144-i08( � � � � � � � � � � � � � � ; � � �� ) verwendet worden. Den oben beschriebenenfallenden Verlauf bei den Maxima von

� � ��

ist fur Fullfaktoren� � � � � �� fur � = 1, 2, 3 erfullt.

Die niedrigeren Werte der Steigung� � ��

bei den Fullfaktoren� � � � � �� fur � = 2, 3 konnen jedoch

mit dem atypischen Verlauf der Maxima der Spin aufgespaltenen Energieniveaus im longitudinalenWiderstand (s. Abb.5.2) bzw. durch die Abstande der Randkanale untereinander (vgl. Kap.5.1) erklartwerden. Durch die Randkanalstreuung der zwei nahe beieinander liegenden Randkanale (

� � � � � �� )ist die Steigung in der Hall-Leitfahigkeit � � � flacher, fur weiter entfernte Randkanale (bei� � � � � �� )

Abbildung 5.14: Die Ableitung der Hall-Leitfahigkeit nach dem Fullfaktor�

in Abhangigkeit desFullfaktors. Betrachtet werden hier exemplarisch die Werte der Proben 1144-i03 und 1144-i08.


Abbildung 5.15: Fallender Verlauf der relativen Plateaubreite� ! � �! bei hohen Elektronenbeweg-

lichkeiten � fur dir Fullfaktoren�

= 3 und 4. Rot dargestellt ist der Fit uber die Messpunkte fur�

=3.

ist die Steigung steiler. Der Faktor, der bei dem atypischen Verlauf des longitudinalen Widerstandsden Unterschied hervorruft, geht in die Gleichung 2.15 mit ein und bleibt bei der Ableitung in derFunktion � � � � � erhalten.

In Abb.5.14 sieht man, dass die Maxima von� � ��

der Probe 1144-i08 mit der geringeren Elek-tronenbeweglichkeit der beiden Proben fur Fullfaktoren � � � � � starker oszillieren. Da es sich hierjedoch um Anderungen im Bereich von 10% handelt ist eine Abhangigkeit von der Elektronenbeweg-lichkeit auszuschließen.

Das Verhalten von� � ��

fur Fullfaktoren� � � ist mit von dem FQHE gepragt, weshalb hier ein

anderer als der oben beschriebene Verlauf zu sehen ist.

5.2.6 Verhalten der Plateaubreite bei hohen Elektronenbeweglichkeiten

Bei hohen Elektronenbeweglichkeiten, dort wo sich bei dem verwendeten Probenmaterial kein Pla-teau mehr ausbildet, sollten die relativen Plateaubreiten

� ! � �! und die Plateaubreiten��

konstantbleiben. Wie schon erwahnt, sinken jedoch bei der relativen Plateaubreite

� ! ��! die Plateaubreitender ganzzahligen Fullfaktoren (IQHE) und die der fraktionalen Fullfaktoren (FQHE) steigen. Betrach-tet man nur diesen Elektronenbeweglichkeitsbereich, so kann man in logarithmischer Auftragung eineAusgleichsgerade der Form (Abb.5.15)

� !�! � � � � � � � � � � �

(5.16)

durch die Messpunkte legen, wobei � bei den Plateaubreiten der ganzzahligen Fullfaktoren negativund bei den Plateaubreiten der fraktionalen Fullfaktoren positiv ist.

In Tabelle 5.1 sind die Variablen a und b der Gleichung 5.16 aufgefuhrt. Der Fehler liegt in der sel-ben Großenordnung wie der eigentliche Wert, was an der Streuung der Messwerte liegt (s. Abb.5.15).Fur die folgende Abschatzung des Verhaltens der Plateaubreiten bei sehr hohen Elektronenbeweg-lichkeiten im 2DEG soll diese Problematik jedoch außer Acht gelassen werden.

Die steigende bzw. fallende Tendenz zeigt sich in den Vorzeichen von � in Tabelle 5.1. Betrachtetman die Werte fur die ganzzahligen Fullfaktoren und schatzt man daraus die Elektronenbeweglich-keit, bei welcher die Plateaus keine Ausdehnung mehr haben, so erhalt man Werte im Bereich von�� . Die Frage, was wirklich bei den Elektronen-beweglichkeiten zwischen ��% � � � � � � �� und ��% � � � � � � �� passiert, wird in absehbarerZeit jedoch offen bleiben, da keine Proben mit solch hohen Elektronenbeweglichkeiten herzustel-len sind. Das absolute Limit der Elektronenbeweglichkeit fur GaAs/Al � Ga � � � As Heterostrukturenwurde in der Arbeit von W.Walukiewicz et al. [Wal84] mit � � � � � � � �� berechnet. Aktuelle


�a b

2/3 0,005 � 0,001 0,001 � 0,0083/5 0,005 � 0,006 0,079 � 0,0351 -0,027 � 0,011 0,438 � 0,0692 -0,080 � 0,019 0,724 � 0,1163 -0,022 � 0,010 0,293 � 0,058

4 = 35 -0,002 � 0,014 0,117 � 0,0896 -0,040 � 0,011 0,342 � 0,064

Tabelle 5.1: Parameter der Ausgleichskurve aus Gleichung 5.16 fur verschiedenen Fullfaktoren�

.

Abbildung 5.16: Links: Tiefe Taler in der Potentiallandschaft mit � Elektronen eines 2DEGs beigeringen Elektronenbeweglichkeiten. Rechts: Flache Taler in der Potentiallandschaft gleicher Elek-tronenzahl � bei hoher Elektronenbeweglichkeit. Hier dehnen sich die Elektroneninseln starker aus,so dass Ruckstreuung uber einen großeren Magnetfeldbereich moglich ist.

Abbildung 5.17: Die delokalisierten Zustande verbreitern sich bei Zunahme der Elektronenbeweg-lichkeit im 2DEG.


molekularstrahepitaktisch gewachsene GaAs/Al � Ga � � � As Heterostrukturen erreichen Elektronenbe-weglichkeiten von � � � � � � � � � � �� [Uma97].

Ein Bild zur Erklarung des kleiner Werdens der Plateaubreiten��

und der relativen Plateaubrei-ten

� ! � �! mit steigender Elektronenbeweglichkeit sieht folgendermaßen aus: Bei einer hohen Elek-tronenbeweglichkeit sind die Potentialfluktuationen im Bulk des 2DEGs kleiner. Die Potentialtaler,in denen sich die Elektronen im lokalisierten Bereich sammeln, werden flacher (Abb.5.16). Dadurchwerden die Flachen der Inseln im Bulk bei gleicher Anzahl der Elektronen großer und das Einset-zen der Ruckstreuung beginnt eher, d. h. die delokalisierten Zustande dehnen sich aus (Abb.5.17).Bei unendlicher Reinheit der Probe gibt es demnach keine lokalisierten Zustande mehr und als Hall-Widerstand erscheint wieder eine Gerade. Des Weiteren wird das Bild des Einteilchenmodells immerunwahrscheinlicher, da die Elektron-Elektron Wechselwirkungen immer mehr an Bedeutung zuneh-men.

Fur das Ansteigen der Plateaubreiten bei den fraktionalen Fullfaktoren muss man genau die-ses Bild aufgreifen. Hier muss die Elektron-Elektron-Wechselwirkung berucksichtigt werden, diebei steigender Reinheit bzw. durch geringer werdende Abschirmung der Elektronen untereinander,starker wird. Die Erzeugung der composite particles (Kap.2.3.1) wird hierdurch begunstigt. Da sichjedoch, wie in Kap.3.2.1 erwahnt, theoretisch Plateaus bei unendlich vielen fraktionalen Fullfaktorenausbilden, werden die Plateaubreiten bei den fraktionalen Fullfaktoren ab einer kritischen Elektronen-beweglichkeit kleiner. Bei welcher Elektronenbeweglichkeit dieses Konkurrenzverhalten umschlagt,ist aus den hier vorgestellten Messwerten nicht ersichtlich.

5.2.7 Verhalten der Plateaubreite bei niedrigen Elektronenbeweglichkeiten

Bei den in Abb.5.20 und 5.21 gezeigten Widerstandsmessungen der Proben mit einer Elektronenbe-weglichkeit von � � � � � � �� und einer Elektronendichte um � � � � � �� sind keineausgepragten Minima im longitudinalen Widerstand zu sehen. Bei solch geringen Elektronenbeweg-lichkeiten sind die mittleren freien Weglangen sehr gering, so dass die Elektronen sehr fruh streuen,bevor sie sich auf einer Kreisbahn bewegen konnen (Abb.5.18). Die Voraussetzung zum QHE wirddamit unterbunden.

In Abb.5.20, roter Graph, ist nur noch ein Minimum im longitudinalen Widerstand zu sehen, wel-ches nicht mehr genau einem Fullfaktor zugeordnet werden kann. Bei steigendem Nullfeldwiderstand� � � � � verschwindet auch dieses Minimum und die ansteigende Flanke hin zur Sattigung schiebt sichzu kleinen Magnefeldern, bis sich ein konstanter Widerstand uber dem Magnetfeld einstellt. DiesesBild zeigt auch den theoretischen Ansatz der Drude Gleichungen in Kap.2.1.1.

Der Hall-Widerstand in Abb.5.21 zeigt ein unerwartetes Verhalten. Nach den Messungen des lon-gitudinalen Widerstands und nach der Besprechung der Shubnikov-de Haas Oszillationen in Kap.5.1durfte man keine horizontalen Plateaus im Hall-Widerstand sehen, da die Minima im longitudinalenWiderstand nicht den Wert Null annehmen. Des Weiteren liegen die Plateaus nicht an den Magnet-feldwerten, an denen der longitudinale Widerstand ein Minimum zeigt.

Betrachtet man unter der Bedingung � � �� die spezifischen Widerstande

� � � und

� � � , so erhalt

Abbildung 5.18: Der Weg eines Elektrons durch ein stark gestortes System mit niedriger Elektronen-beweglichkeit � (links) und durch ein freies System mit hoher Elektronenbeweglichkeit � (rechts). Inbeiden Fallen steht das Magnetfeld senkrecht zur Bildebene.


Abbildung 5.19: Das Verhalten der Energiebander � � (oben), der Leitfahigkeit � (mitte) und desspezifischen Widerstands

�(unten) [Huc00].

man � � � � �� $��

mit kleiner werdendem Magnetfeld

(Abb.5.19). Dieses Bild entsteht, wenn man das Flussdiagramm zur qualitativen Darstellung derLeitfahigkeiten � � � und � � � als Funktion der linearen Systemgroße (siehe z.B. in [Haj94] Fig. 5.2oder [Haj90] Abb.4) mit den Drude-Gleichungen 2.4 und 2.5 verbindet. Aus der Abb.2.3 entnimmtman beispielsweise bei einem Wert fur � � � die Werte fur die longitudinale Leitfahigkeit � � � und furdie Hall-Leitfahigkeit � � � und ubertragt diese in das Flussdiagramm. Bei der Vergroßerung der Sy-stemgroße z. B. der Probendimension, was gleich bedeutend ist mit der Verkleinerung von � � � , erhaltman aus dem Flussdiagramm fur alle � � � und � � �� = 0 und � � � � � mit� = 1, 2, 3,... Nur fur alle � � � bei � � � � � � �� erhalt man einen endlichen Wert fur � � � . So erhaltman den quantisierten Verlauf in Abb.5.19 fur � � � und die endlichen, gleich großen

�-Peaks fur � � � .

Berechnet man mit den Gleichungen 2.16 und 2.17 den spezifischen Widerstand, so erhalt man denin Abb.5.19 gezeigten Verlauf [Huc00].

Bei � � � �# erhalt man ein Minimum fur

� � � . Fur die rote bzw. die gelbe Kurve in Abb.5.21wurde das bedeuten, dass das Minimum im Hall-Widerstand

� � � bei!

= 24 T bzw. bei!

= 3,4 T lageund der Hall-Widerstand einen fallenden Verlauf mit wachsendem Magnetfeld hatte. Des Weiterenwurden in diesem abfallenden Verlauf quantisierte Stufen entstehen.

Man sieht jedoch in Abb.5.21 einen linearen Anstieg des Hall-Widerstands mit wachsendem Mag-netfeld und eine Ausbildung der Plateaus. Auf die Genauigkeit der Quantisierung der Plateaus soll


Abbildung 5.20: Longitudinaler Widerstand von Proben mit einer Elektronenbeweglichkeit von � �� und einer Elektronendichte um � � � � � � � � � � � � .

Abbildung 5.21: Hall-Widerstand von Proben mit einer Elektronenbeweglichkeit von � �� und einer Elektronendichte um � � � � � � � � � � � � .


hier nicht weiter eingegangen werden. Das Minimum ist bei der roten und blauen Kurve in Abb.5.21identisch. Nach den oben genannten Argumenten sollte hingegen das Minimum im Hall-Widerstandder roten Kurve bei hoheren Magnetfeldern auftreten.

Die Elektronendichte � � � wurde nach Gleichung 5.3 aus der Anfangssteigung des Hall-Widerstands bestimmt. Diese Werte (s. Abb.5.21) liegen, verglichen mit den Werten aus Abb.4.7, imerwarteten Bereich. Die Elektronenbeweglichkeit wurde anschließend aus der Elektronendichte unddem Nullfeldwiderstand

� � � � � nach Gleichung 5.2 bestimmt. Hier ware eventuell der erste Grund furdie Diskrepanz der Messwerte des Hall-Widerstands zur Theorie zu finden. Die Steigung der rotenund blauen Kurve in Abb.5.21 hat sich durch die Krummung bei niedrigen Magnetfeldern verandert.Es ist nicht klar, ob bei so einem Verlauf der Messkurven die Berechnung mit Gleichung 5.3 zu einemsinnvollen Ergebnis fuhrt.

Als weitere Moglichkeit fur die Abweichung der Messergebnisse von der Theorie sind nicht er-sichtliche Messfehler bzw. ander physikalische Effekte in den Proben bei diesen geringen Elektronen-beweglichkeiten zu nennen. Es gibt fur den Verlauf des Hall-Widerstands in Abb.5.21 bisher keineErklarung.

5.2.8 Fazit

Erstmals wurde die Plateaubreite in Abhangigkeit der Elektronenbeweglichkeit untersucht. Es zeigtsich eine direkte Variation der Plateaubreite mit der Elektronenbeweglichkeit und ebenfalls eineAbhangigkeit von der Anzahl der aufgelosten Plateaus. Es ist ein Schwellwert der Elektronenbeweg-lichkeit von � � � � �� auszumachen, ab der sich die Plateaus ausbilden. Die Plateaus werdenfur den IQHE in der folgenden Reihenfolge bei steigender Elektronenbeweglichkeit sichtbar: Zuerstdie des untersten Landauniveaus bei hohen Magnetfeldern, dann dessen Spinaufspaltung. Danach fol-gen die der nachsthoheren Landauniveaus bevor die jeweilige Spinaufspaltung, beginnend mit demunteren Energieniveau, sichtbar wird.

Die Elektronenbeweglichkeit des Ubergangs vom Einteilchenmodell zum Vielteilchenmodellkann man anhand des Erscheinens der Plateaus im Hall-Widerstand bei fraktionalen Fullfaktorenbestimmen. Dieser Wert liegt in der Großenordnung von � � � � �� fur eine Elektronendich-te um � � � � � � �� . Der Ubergang vom Einteilchenmodell zum Vielteichenmodell wirdauch durch das kleiner werden der Plateaubreiten bei ganzzahligen Fullfaktoren gestarkt, obwohl sichkeine weiteren Plateaus ausbilden (s. Kap.5.2.6).

In der Plateaubreitenverteilung ist direkt die Breite der Beweglichkeitslucke zwischen den Ener-gieniveaus ablesbar. Die Plateaus bei ungeraden Fullfaktoren bzw. zwischen spinaufgespaltenen Ener-gieniveaus sind schmaler als die bei geraden Fullfaktoren bzw. zwischen landauaufgespaltenen Ener-gieniveaus.

Die bei dieser Auswertung aufgetretenen systematischen Fehler sind nicht dargestellt, da es sichnicht um die Darstellung eines absoluten Werts handelt, sondern vielmehr um einen Vergleich mehre-rer Daten, die mit demselben Verfahren aufgenommen wurden. Die Fehler der Widerstandsmessungenliegen aufgrund der Messgeratetoleranzen bei

� �= 2 % und die Fehler der Bestimmung der relativen

Plateaubreiten liegen bei�� = 1 % aufgrund der Bereichsbestimmung durch den Hall-Widerstand.

Der Ubersichtlichkeit halber wurden die Fehlerbalken nicht in die Diagramme mit eingezeichnet.Vergleicht man die hier vorgestellten Messergebnisse, den Verlauf der normierten Plateaubreiten� ! � �! mit den in Abb.3.2 von F. Y. Huang gezeigten, so sieht man eine Ubereinstimmung. Die

normierten Plateaubreiten in der Beschreibung experimenteller Ergebnisse in der Arbeit von F. Y.Huang besitzen fur die Fullfaktoren eines Landauniveaus (

�= 1 und 2, 3 und 4, 5 und 6) gleiche bzw.

ahnliche Werte. Auch die Verhaltnisse der normierten Plateaubreiten zwischen denen bei Fullfaktorenverschiedener Landauniveaus liegen in der Arbeit von F. Y. Huang in der Großenordnung der imRahmen dieser Arbeit vorgestellten Ergebnisse (F. Y. Huang: 1, 2

$3, 4 = 2; 3, 4

$5, 6 = 1,5; 5, 6$

7 = 1,6).

5.3. Ahnlichkeiten zwischen den Transportkoeffizienten des QHE 67

Eine Darstellung der Plateaubreiten bei sehr hohen Elektronenbeweglichkeiten � � �� konnte aufgrund des verwendeten Probenmaterials nicht gemacht werden.

5.3 Ahnlichkeiten zwischen den Transportkoeffizienten des QHE

Auf”kuriose Ergebnisse“ kamen A. M. Chang und D. C. Tsui 1985 beim Vergleich der Transportko-

effizienten des IQHE. In ihrer Arbeit [Cha85] wird berichtet, dass die Ableitung des Hall-Widerstandsnach der Elektronendichte

� � �� , gegen das Magnetfeld aufgetragen,”bemerkenswerte Ahnlichkeit“

mit dem longitudinalen Widerstand

� � � besitzt. Nur in dem Bereich fur � � � � �� !�$ � � gilt dieseAhnlichkeit nicht mehr. Die experimentellen Ergebnisse ergaben das Verhaltnis:

" � � �" � � � ��

mit � einer Konstanten. Mit dem Fullfaktor�� erhalt man

" � � �" � � � �" � � �" � " �" � � � �

" � � �" ! "!" � " �" � � � � �

� � �" � � �" ! � !

und es gilt nach jenen Beobachtungen

� � �" � � �" ! � ! ��

� � �� ! " ! mit � � � � � � � (5.17)

1989 fuhrte T. Rotger et al. ein Experiment zum sogenannten linearen Magnetfeldwiderstandim Halbleitermaterial, hier GaAs/Al � Ga � � � As, bei Temperaturen im Bereich von 1,4 K

�T�

120K durch [Rot89]. Es wurde gezeigt, dass der longitudinale Widerstand uber dem Magnetfeld nichtkonstant ist, sondern mit wachsendem Magnetfeld ansteigt. Dabei stellte er fur tiefe Temperatureneinen Zusammenhang zwischen seinen Messungen und der Arbeit von A. M. Chang und D. C. Tsuiher. Seine Experimente zeigten eine Temperaturabhangigkeit des Vorfaktors � .

In der Arbeit von T. Rotger et al. wurde der lineare Magnetfeldwiderstand durch eine magnet-feldabhangige Gleichung fur hohe Temperaturen zum Ansatz gebracht:� � � � � � � � � !

� � � � �� !� � � � (5.18)

Abbildung 5.22: Temperaturabhangigkeit des Vorfaktors � bei verschiedenen Proben. Bei Tempera-turen unter 30 K (lineare Skala) findet man fur alle Proben � � �� . Bei hoheren Temperaturen(logarithmische Skala) geht der Vorfaktor mit � � � � � � � � � � [Rot89].


Abbildung 5.23: Einige Vergleiche des Widerstandsgesetzes in Gleichung 5.17 mit dem longitudinalenWiderstand der Probenserie 1144-i mit Variation des Vorfaktors � . Von links oben nach rechts unten:1144-i04, 1144-i09, 1144-i16 und 1144-i18.

mit

� � � �� dem Nullfeldwiderstand und � und

�dimensionslosen Konstanten. Da bei

hohen Temperaturen

� � � � �� gilt, kann

� � � durch

� � � ausgedruckt werden. Des Weiteren gilt, dass� � � �� und sehr klein ist, so dass nur der lineare Term � �� betrachtet wird und der quadratischevernachlassigt.

Bei tiefen Temperaturen, wo Quanteneffekte sichtbar werden, gilt die klassische Beziehung

� � � �� nicht mehr. Aufgrund der von A. M. Chang und D. C. Tsui empirisch ermittelten Beziehung

� � � �� ! , die bei tiefen Temperaturen gultig ist, wird

� � �� durch

� � �� ! ersetzt.

Die Messungen zeigen bis zu einer materialabhangigen Temperatur von mindestens 30 K einenkonstanten Faktor � � �� . Dieses ist genau der Wert fur die Masse der Elektronen � � in demverwendeten GaAs Halbleitermaterial (s. auch Kap.2.1). Fur hohere Temperaturen steigt der Faktor� nach einem Potenzgesetz mit der Temperatur ( � � � � � ) an. Die Temperatur, ab der der Faktoransteigt, ist von der Elektronenbeweglichkeit abhangig (Abb.5.22). Des Weiteren zeigt sich, dass �naherungsweise ab der gleichen Temperatur ansteigt, ab der die Elektronenbeweglichkeit von demSattigungswerte bei tiefen Temperaturen � � abweicht. Die Elektronenbeweglichkeit und � zeigensomit ein ahnliches Verhalten bezuglich ihrer Temperaturabhangigkeit.

Aufgrund von Phononenstreuung wachst die Elektronenbeweglichkeit bei hohen Temperaturenmit � � � � � � . Daraus ergibt sich folgender Zusammenhang

� � � � � � � � � � � � � � � � ��

mit � � � �� dem Vorfaktor bei Sattigung und � � der temperaturunabhangigen Elektronenbeweg-


Abbildung 5.24: Der Vorfaktor � des Widerstandsgesetzes 5.17 (rot) und der Magnetfeldwert, abdem eine Ubereinstimmung mit dem jeweiligen longitudinalen Widerstand

� � � stattfindet (schwarz),aufgetragen gegen die Elektronenbeweglichkeit. Die Durchschnittswerte aus der Arbeit von T. Rotgeret al. [Rot89] (gelb) sind bei Temperaturen zwischen 1,4 K und 30 K fur die jeweilige Probe gemessen.

lichkeit bei tiefen Temperaturen. Somit erhalt man fur Gl.5.17� � �� " � � �" ! ! � (5.19)

Eine Bestatigung des Verhaltnisses

� � � � � � �� ! gab H. L. Stormer bei Temperaturen von 300mK mithilfe hochmobiler, niedrigdichter GaAs/Al � Ga � � � As-Heterostrukturen ( �� und � � � � � � � � � � bzw. �� und � � � � � � � � � � bei 300 mK) [Sto92].

S. H. Simon und I. Halperin [Sim94] behandeln theoretisch die Gultigkeit des Widerstandsgeset-zes in Gleichung 5.17 unter bestimmten Voraussetzungen: Die Fluktuationen in der Elektronendichteim 2DEG

� � sollen viel kleiner sein, als die Durchschnittselektronendichte � � . Die Unordnung wirdmit einer Langenskala � angegeben, die großer oder gleich dem Abstand zwischen der dotiertenSchicht und dem 2DEG ist, so dass ein lokaler Widerstandstensor

��definiert werden kann, wel-

cher nur den lokalen Eigenschaften unterliegt. Des Weiteren wird vorausgesetzt, dass bei einer festenTemperatur der Hall-Widerstand lediglich eine Funktion des Fullfaktors

� � � � � � ! ist (s. Gl.2.21).Diese Annahme ist gultig bei

”hohen“ Temperaturen, bei denen der Hall-Widerstand den klassischen

Wert

� � � � � � � � � annimmt. Die Annahme ist ebenfalls gultig in Bereichen der Temperatur und desMagnetfeldes, in dem sich die quantisierten Hall-Plateaus ausbilden.

Bei nicht zu tiefen Temperaturen ist die Elektronenwellenfunktion aufgrund inelastischer Streu-ung nicht koharent uber lange Langenskalen. Die langreichweitigen Quanteninterferenzeffekte sindsomit nicht zu sehen (s. auch Kap.5.2.5). Es wurde bei der Analyse dieses klassischen Problems vonS. H. Simon gezeigt, dass das Widerstandsgesetz

� � � � � � �� ! unempfindlich ist gegenuber denspeziellen Eigenschaften von

� � � und

� � � .Bei einer Mehrzahl von Langenskalen, die kleiner sind als die Systemgroße und großer als die

Korrelationslange, ergibt die Betrachtung von S. H. Simon ebenfalls das Widerstandsgesetz in Glei-chung 5.17.

Durch die hohe Anzahl der in der vorliegenden Arbeit verwendeten Proben war eine Betrachtungdes Widerstandsgesetzes in Gleichung 5.17 uber einen weiten Bereich der Unordnung im 2DEGmoglich. Die Temperatur von 50 mK, bei der die Messungen durchgefuhrt wurden, ist sechsmalkleiner, als die in der Arbeit von H. L. Stomer (s. o.).

Die Anpassung der abgeleiteten Hall-Widerstandskurve� �� an die entsprechende longitudi-

nale Widerstandskurve wurde durch Variation des Vorfaktors � in dem Widerstandsgesetz in Glei-chung 5.17 durchgefuhrt. Eine Betrachtung von � � � � � � � � �� wie in der Arbeit von T. Rotger


[Rot89] ist nicht moglich, da kein konstanter Faktor bezuglich der Variation des Magnetfeldes ent-steht und es keine Ausgleichsgeraden mit Konstantem Wert uber das Magnetfeld ermittelbar ist. Fur� = 0,07 erhalt man die beste Ubereinstimmung fur die Proben mit hohen Elektronenbeweglichkeiten� � �� . Es scheint, dass Temperaturen von 50 mK nicht zu niedrig sind, um dasWiderstandgesetz in Gleichung 5.17 mit gewissen Einschrankungen zu beschreiben (Abb.5.24, rot).

Bei niedrigen Elektronenbeweglichkeiten � � �� und gleicher Temperatur von 50mK steigt der Vorfaktor � mit �� bei bestmoglicher Anpassung (Abb.5.24, rot), wobei � einepositive Zahl ist. Sie wird bestimmt aus dem Verhaltnis der Elektronenbeweglichkeiten der Proben.Die hier verwendeten Elektronenbeweglichkeiten halbieren sich in etwa, so dass die Faktor � sichnaherungsweise verdoppelt. Dieses Verhalten deckt sich mit alteren Untersuchungen an Proben ande-rer GaAs/Al � Ga � � � As Heterostrukturen dieser Arbeit (Wafer 1407, Probe 06 und 07). Der Vorfaktor� ist somit nicht nur abhangig von der Temperatur fur T � 30K (T. Rotger), sondern auch abhangigvon der Elektronenbeweglichkeit im 2DEG.

Ein Vergleich mit den Probendaten aus der Arbeit von T. Rotger et al. zeigt jedoch, dass dieseWerte fur � bei Temperaturen

�30 K verhaltnimaßig konstant bleiben (Abb.5.24). Die Vermutung

liegt nahe, dass die in der vorliegenden Arbeit verwendete, viel niedrigere Temperatur von 50 mKzu einer Aufspaltung des Vorfaktors bezuglich der Elektronenbeweglichkeit fuhrt. In Verbindung mitAbb.5.22 wurde sich bei tiefen Teperaturen keine Sattigung zeigen, sondern ein stark verbreitertesMinimum.

Bei niedrigen Magnetfeldern stimmt das Widerstandsgesetz in Gleichung 5.17 nicht mehr mitdem longitudinalen Widerstand uberein. Aus der Gleichung 5.17 ist ersichtlich, dass fur

! $ � dasIntegral ! " ! $ �

�

divergiert und somit den longitudinalen Widerstand nicht darstellen kann. Der Magnetfeldwert, abdem eine Ubereinstimmung einsetzt, wird kleiner mit steigender Elektronenbeweglichkeit (Abb.5.24,schwarz). Die Bestimmung des Magnetfeldwerts bei der kleinsten Elektronenbeweglichkeit istunmoglich, da die Minima des longitudinalen Widerstands

� � � nicht den Wert Null annehmen. DieAbleitung des Hall-Widertands dieser Probe

� �� besitzt jedoch verschwindende Minima, da diePlateaus im Hall-Widerstand eben verlaufen (vgl. Kap.5.1). Daher werden diese Daten nicht zumVergleich herangezogen.

Der Nullfeldwiderstand� � � � � bestimmt den Magnetfeldbereich, in dem der longitudinale Wider-

stand sinkt, bevor die Shubnikov-de Haas Oszillationen sichtbar werden (vgl. Abb.5.4) und der lon-gitudinale Widerstand wieder eine monoton steigende Funktion ist. Das Widerstandsgesetz in Glei-chung 5.17 beschreibt uber das gesamte Magnetfeld hinweg eine monoton steigende Kurve, so dasseine Ubereinstimmung erst ab den Shubnikov-de Haas Oszillationen stattfindet. Daher ist der Einsatz-punkt im Magnetfeld der Ubereinstimmung,

! � � � � , nicht nur abhangig von der Elektronendichte im2DEG, da sich hierdurch die Minima im longitudinalen Widerstand magnetfeldabhangig verschieben,sondern durch den Nullfeldwiderstand auch von der Elektronenbeweglichkeit im 2DEG (Bedingungfur Shubnikov-de Haas Oszillationen = Bedingung fur den Einsatzpunkt).

Fur eine neue, im Rahmen dieser Arbeit entstandene alternative Betrachtung im Bereich kleinerMagnetfelder sollte beachtet werden, dass die Tangente an

� � � im Nullfeldwiderstand� � � � � hori-

zontal verlauft. Fur die Beschreibung des longitudinalen Widerstands bei Magnetfeldern kleiner als! � � � � ergab sich folgender Ansatz:

� � � � � � � ! � " � � �" ! �� fur

! � ! � � � � � (5.20)

In Abb.5.25 ist der Verlauf von Gleichung 5.20 an Messungen drei verschiedener Proben mit ver-schiedenem Vorfaktor

�und der jeweilige longitudinale Widerstand

� � � dargestellt. Eine Uberein-stimmung im Bereich � � ! � ! � � � � ist deutlich zu sehen.


Abbildung 5.25: Beispiele zur Anwendung von Gl.5.20. Die Elektronenbeweglichkeiten sind a)� � �� , b) � � � � � � � � � � � �� und c) � � � �� . Der grauunterlegte Bereich wird durch das Widerstandsgesetz in Gleichung 5.17 von A. M. Chang und D. C.Tsui beschrieben.


Abbildung 5.26: Der Hall-Widerstand der Probe 1144-ii11, bei der nur der Rand des Hall-Bars mitGa � Ionen implantiert wurde.

Die Ableitung des Hall-Widerstands� �� (Abb.5.4) zeigt bei ungeraden Fullfaktoren starker aus-

gepragte Minima als der longitudinale Widerstand� � � . Hier zeigt sich wieder eine deutliche Ausbil-

dung der Plateaus im Hall-Widerstand gegenuber der schwachen Ausbildung der Minima im longitu-dinalen Widerstand. Der atypische Verlauf der Maxima im longitudinalen Widerstand (vgl. Kap.5.1)wird ebenfalls nicht durch das Widerstandsgesetz in Gleichung 5.17 dargestellt. Die Streuung derRandkanale wird somit nicht in der Steigung zwischen den Plateaus im Hall-Widerstand sichtbar(vgl. Kap.5.2.5).

5.3.1 Fazit

Das Widerstandsgesetz in Gleichung 5.17 wird durch die Auswertung vieler Proben zu dieser Arbeitauch bei Temperaturen von T = 50 mK bestatigt. Ausgenommen ist der Bereich niedriger Magnetfel-der unterhalb der Auflosung der Shubnikov-de Haas Oszillationen. Eine alternative Darstellung wirdhier durch die Gleichung 5.20 gegeben.

Des Weiteren sind Randkanaleffekte, die zum atypischen Verlauf der Maxima (vgl. Kap.5.1) imlongitudinalen Widerstand fuhren, nicht durch das Widerstandsgesetz in Gleichung 5.17 beschreibbar.

5.4 Spinentartung und Randkanalstreuungen

Bei diesem Experiment sollte der Einfluss der gezielten Implantation von Ga � Ionen in die Rand-bereiche des Hall-Bars parallel zur Langsachse des Hall-Bars und in die gesamten Potentialsondenuntersucht werden. Die Probe 1144-ii11 wurde 20 � m von der Außenkante am Rand des Hall-Barsmit einer Ionendosis von � � �� implantiert. Der nicht zu implantierende Bereichwurde zum Schutz mit Lack abgedeckt und der Ionenstrahl flachig uber die Probe gefuhrt. Bei dieserProbe wurde das Phanomen des

”Overshootings“ zwischen den Kontakten 2 und 4 und des

”Under-

shootings“ zwischen Kontakt 1 und 5 beobachtet (s. Abb.4.3). Die Phase des Stroms lag, wie bei allenMessungen, an Kontakt 3 an.

5.4.1 Overshooting

Das Overshooting (Abb.5.26, gelb) wurde in der Arbeit von C. A. Richter und R. G. Wheeler [Ric92]ausfuhrlich behandelt:

5.4. Spinentartung und Randkanalstreuungen 73

Im Hall-Widerstand� � � entsteht ein lokales Maximum, bevor sich ein Plateau ausbildet. Die

Hohe dieses Maximums ist abhangig von der Temperatur, bei der gemessen wird und von der Pro-bengeometrie. Beobachtet wurde dieses in der Arbeit von C. A. Richter und R. G. Wheeler nur vorPlateaus ungerader Fullfaktoren, also bei der Spinaufspaltung eines Landauniveaus. Dieses Verhaltenwird auf den Ubergang genau zwischen der Spinentartung und der Spinaufspaltung eines Landauni-veaus zuruckgefuhrt (Abb.5.27).

Durch das starker werden des Magnetfeldes wird der Abstand zweier Spinniveaus aufgrund� � � � � � � ! (vgl. Gl.2.9) großer. Wie in Kap.5.1 gesagt, streuen die Randkanale untereinanderin Abhangigkeit ihres Abstandes bzw. der Verbreiterung der Niveaus. Nun ist der Abstand der Spin-niveaus der Randkanale abhangig vom Abstand des entsprechenden Bulkniveaus. Befindet sich dieFermienergie in dem oberen Spinniveaus eines Landauniveaus, so streuen im Falle der volligen Ent-artung der Spinniveaus des Landauniveaus die beiden Randkanale untereinander und beide tragen zurRuckstreuung im delokalisierten Bereich bei. Es ist nur ein Plateau der Landauaufspaltung sichtbar.In Abb.5.27 nur das Plateau bei

�= 4 und der obere gestrichelte Verlauf des Hall-Widerstands (hier� � ). Im Falle der vollstandigen Aufspaltung der Spinniveaus eines Landauniveaus ist der Abstand

der Randkanale zu groß und sie fuhren nacheinander Ruckstreuung durch. Es sind zwei Plateausder Spinniveaus zu sehen (Abb.5.27, untere gestrichelte Linie, Plateaus bei

�= 3 und 4). Im Falle

des Overshootings sind die Randkanale der Spinniveaus eines Landauniveaus erst entartet und beisteigendem Magnetfeld spalten sie auf, so dass zuerst beide Randkanale, dann jedoch nur ein Rand-kanal zur Ruckstreuung beitragen. So erhalt man ein Bild in der Hall-Widerstandsmessung, wie es inAbb.5.27 anhand der durchgezogene Linie zu sehen ist.

Dieser Ubergang von entarteten zu aufgespaltenen Spinniveaus ist abhangig von der Temperaturaufgrund der thermischen Verbreiterung der Energieniveaus und von dem Lange-Breite Verhaltnisdes Hall-Bars. In einer Zweipunktmessung, bei der Strom an den selben Kontakten angelegt wird,an denen die Spannung abgegriffen wird, an Hall-Bars unterschiedlichem Lange-Breite Verhaltnisseswurde festgestellt, dass das Overshootingmaximum bei kleiner werdendem Lange-Breite-Verhaltnis(hier breiter werdender Hall-Bar) der Widerstand sinkt. Begrundet wird dies durch eine Gleichungzum Hall-Widerstand eines Randkanals von McEuen in Abhangigkeit der Lage der Fermienergie zumRandkanal aus der Tatsache, dass ein rucksteuender Randkanal weniger Strom tragt als die restlichenRandkanale, so dass sich hier die Spannung erhoht.

� � � ��

� � ��

wobei�

die Lange,�

die Breite ist und

� �von Null bei einem nicht ruckstreuenden Randkanal

Abbildung 5.27: Der Verlauf des Hall-Widerstands bei Spinentartung (spin degeneracy) und bei Spin-aufspaltung (spin splitting) als gestrichelte Linie. Das Verhalten am Ubergang dieser beiden Falle istals durchgezogene Linie dargestellt [Ric92].


Abbildung 5.28: Rechts: Der Verlauf der Transmissionswahrscheinlichkeit im Bereich des Ubergangszwischen zwei Plateaus im Hall-Widerstand. Rechts, schwarz: Der Verlauf des Hall-Widerstands beider Ruckstreuung nur des innersten Randkanals. Rechts, rot: Der Verlauf des Hall-Widerstands beider Ruckstreuung aller Randkanale.

bis unendlich bei einem vollstandig geleerten Randkanal oberhalb der Fermienergie variiert. Somitkann man bei einem festen

� �eine Variation des Lange-Breite-Verhaltnis darstellen. Des Weiteren

oszilliert der � -Faktor von� � � in Abhangigkeit des Magnetfeldes in der Art, dass bei geradzahligen

Fullfaktoren � ein Minimum und bei ungeradzahligen Fullfaktoren ein lokales Maximum besitzt (s.auch [And82]). Hierdurch ist das oben genannte Verhalten fur alle ungeraden Fullfaktoren erklarbar.

Bei der Probe 1144-ii11 ist das Overshooting vor jedem Plateau zu beobachten, so dass man denFall des Ubergangs vom entarteten zum aufgespaltenen Energieniveau zusatzlich auf die Landauni-veaus ubertragen kann. Bei der vollstandigen Entartung wurde man die klassische Hall-Gerade in derHall-Widerstandsmessung vorfinden. ( �

� � � ; � � steigt mit steigendem!

)

5.4.2 Undershooting

Analog zum Overshooting [Ric92] ist auch ein Undershooting beobachtbar. Bei dem Phanomen desUndershootings muss man sich ebenfalls das Bild der Randkanale und den Landau-Buttiker Forma-lismus zu nutze machen. Der Strom � � an einem Kontakt, gedacht als Reservoir von Ladungstragern,des Systems wird beschrieben durch [But90]

� � � �� (5.21)

wobei � die Anzahl der Randkanale,� � � die Reflektion von Ladungstragern in den Kontakt zuruck

und �� die Transmission von Ladungstragern von Kontakt � nach Kontakt�

sind. Eine genaue Be-schreibung des Sachverhaltes wurde den Rahmen dieser Arbeit uberschreiten. Fur das vorliegendeProblem nur so viel: Im Bereich der Plateaus im Hall-Widerstand

� � � bzw. der Nullwerte im lon-gitudinalen Widerstand

� � � ist die Transmissionswahrscheinlichkeit pro Randkanal in x-Richtung(parallel zur Stromrichtung) � � = 1 und in y-Richtung (senkrecht zur Stromrichtung) � � = 0. Andiesen Stellen ist die Transmissionswahrscheinlichkeit immer feste mit � � � � und � � = 0. Allge-mein gilt fur die Transmissionswahrscheinlichkeit eines Randkanals � � � � � � � .

5.5. Implantation von Streifenmustern 75

Im Bereich des Ubergangs zwischen den Plateaus im Hall-Widerstand bzw. im delokalisier-ten Bereich streut nur der innerste Randkanal zuruck. Fur ihn wird � � � und � � � � mitwachsendem Magnetfeld (Abb.5.28) bzw. fur die gesamte Transmissionswahrscheinlichkeit wird� � � � � � � und � � � � � , bis der Randkanal bzw. der Bulk des Energieniveaus vonElektronen entpopularisiert wurde und der nachste feste Transmissionspunkt erreicht wird (Abb.5.28,Punkt bei

”1 Randkanal“). Im Hall-Widerstand sieht man einen linearen Anstieg zwischen den Pla-

teaus.Der Ubergang zwischen zwei festen Transmissionspunkten kann auch nicht linear verlaufen wie

im Fall der Probe 1144-ii11. Die Streuung der Randkanale untereinander fuhrt dazu, dass die Trans-missionswahrscheinlichkeit in x-Richtung � � im Ubergangsbereich Null wird und in y-Richtung � � � � . Hierdurch bildet sich im Hall-Widerstand zwischen den Plateaus ein Minimum aus,das Untershooting, welches bei Streuung aller Randkanale zu einem Hall-Widerstand

� � � = 0 fuhrt(Abb.5.28, rot) [pcHuc]. Bei der Probe 1144-ii11 streuen eine begrenzte Anzahl der innersten Rand-kanale untereinander, so dass sich hier nur ein leichtes Minimum ausbildet.

Das Phanomen des Undershootings wurde auch in Proben mit langen Hall-Bars (Gesamtlange:56 cm, 200 � m breit) in Arbeiten von D. Diaconescu [Dia02] bestatigt.

5.4.3 Fazit

Die beiden Messungen in Abb.5.26 unterscheiden sich lediglich in der Kontaktierung der Probe. Dieschwarze Kurve stellt die Messung uber die Kontakte 1 und 5 dar, die gelbe Kurve die uber Kon-takt 2 und 4. Das beide Effekte an einer Probe zu sehen sind, liegt sehr wahrscheinlich an einerschlechten Ubereinstimmung des Implantationsmusters zu der Probenstruktur. Die Implantation wur-de

”blind“ durchgefuhrt, damit die Probe nicht durch den Ionenstrahl zur Bildverarbeitung undefiniert

beeinflusst wird. Hierdurch ist nicht ganz auszuschließen, dass nicht der richtige Startpunkt fur dieImplantation angefahren wurde. Dadurch ist es moglich, dass die Rander nicht gleichmaßig bzw. mitunterschiedlichen Breiten implantiert wurden, so dass kein symmetrisches Bild entstand. Da aber bei-de Effekte Randkanaleffekte darstellen, kann man ruckschließen, dass der Rand des Hall-Bars durchIonenimplantation beeinflusst wurde.

5.5 Implantation von Streifenmustern

Ein weiteres Experiment sollte den Einfluss eines implantierten Streifenmusters auf die Elektronen-dichte bzw. das Verhalten des longitudinalen Widerstands

� � � untersuchen. Dafur wurden in dreiProben (1144iii25, 27 und 28) 10 � m breite Streifen senkrecht zur Langsachse des Hall-Bars mit 10keV Ga � Ionen implantiert (Abb.5.29). Die Implantationsdosen waren wie folgt:

1144iii27: �� 1144iii25: �� 1144iii28: �� .

Besonders bei der Probe 1144-iiI28 sieht man in dem longitudinalen Widerstand� � � eine Schwe-

bung in den Shubnikov-de Haas Oszillationen, die auf zwei verschiedene Elektronendichten hindeutet(Abb.5.30). Zur Ermittlung der zwei Elektronendichten wurde eine Fouriertransformation (FFT engl.fast Fourier transformation) im Bereich der Shubnikov-de Haas Oszillationen durchgefuhrt [Syt98].

Die mittels Fouriertransformation ermittelte Frequenz � ergibt mit der Gleichung

� � � �� (5.22)

die Elektronendichte. Die Fouriertransformierte des longitudinalen Widerstands enthalt Frequenzenentsprechend den Elektronendichten � � � � � � �� und � � � � �� fur diezwei mit hoherer Ionendosis implantierten Proben 1144-iii25 und 28 und fur die Probe 1144-iii27mit niedriger Dosis � � � �% � � � � � � � � � � und � � � � �� . Der jeweils zweite


Abbildung 5.29: Schematische Darstellung der Implantation von 10 � m breiten Streifen mit einerPeriode von 20 � m mit Ga � Ionen.

Abbildung 5.30: Der longitudinale Widerstand� � � der Probe 1144-iii28. Implantiert wurden 10 keV

Ga � Ionen in Streifenform mit einer Dosis von �� .

Abbildung 5.31: Die Fouriertransformierte des longitudinalen Widerstands� � � der Probe 1144-

iii28.

5.6. Homogenitat des Wafers 1144 77

Wert liegt um das Doppelte uber dem Ersten. Bei der hoheren Frequenz handelt es sich um die ersteharmonische Oberwelle aufgrund der Spinaufspaltung bei hoheren Magnetfeldern. Die Minima beiden ungeraden Fullfaktoren sind nicht so ausgepragt wie bei den geradzahligen. Hierdurch entstehenzwei Oszillationen, einmal die der Minima bei geradzahligen Fullfaktoren und Maxima bei den un-geradzahligen Fullfaktoren und andererseits die bei hoheren Magnetfeldern auftretendende mit denMinima bei allen ganzzahligen Fullfaktoren und Maxima bei den halbzahligen Fullfaktoren.

Die jeweils erstgenannte Elektronendichte beschreibt den Wert, der fur die Proben in Fragekommt. Dieser ist wiederum gleich bzw. kleiner dem der nicht mit Ionen implantierten Probe von� � � � � �� (vgl. Kap.5.6). Die Probe mit der geringen implantierten Ionendosis 1144-iii27 zeigt keinen Einfluss der Ionenimplantation auf die Elektronendichte. Die Widerstandsmessun-gen der Proben 1144-iii27 und 25 zeigen keine Schwebung. Bei den Proben 1144-iii25 und 28 mithoherer Implantationsdosis wird die Elektronendichte durch die Ionenimplantation beeinflusst. Je-doch ist der Einfluss hoher als erwartet. Bei Proben mit flachiger Implantation vergleichbarer Ionen-dosen wurde die Elektronendichte nicht verandert (vgl. Abb.4.7). Die Betrachtung der Steigung derHall-Geraden im Hall-Widerstand bei kleinen Magnetfeldern der drei Proben bestatigt jedoch denWert der jeweiligen flachig implantierten Probe. Es liegt nahe, dass es sich bei den Elektronendichtenum eine periodische Serienschaltung der Elektronendichten aus dem mit Ionen implantierten und deraus dem nicht implantierten Bereich handelt. Das wurde auch erklaren, warum man bei den Proben1144-iii27 und 25 keine Schwebung erkennen kann.

Geht man fur die Probe 1144-iii28 den umgekehrten Weg und ermittelt die entsprechende Fre-quenz fur eine Elektronendichte von � � � � � �� , so liegt diese im Auslaufer des Peaksder Fouriertransformierten. Man musste demnach eine Schulter im Auslaufer des Peaks zu hoherenFrequenzen hin sehen (Abb.5.31), was nicht der Fall ist.

Des Weitern ist unklar, wieso die Elektronendichte von der niedrig implantierten Probe (1144-iii27) zur etwas starker implantierten (1144-iii25) sich leicht verringert, jedoch weiter zur Probe mit2,5mal hoherer Implantationsdosis (1144-iii28) kein Unterschied festzustellen ist.

Betrachtet man die Eigenschaften eines fokussierten Ionenstrahls, so sind sogenannte Seitendo-sen feststellbar. Die Seitendosis wird u. a. durch eine nicht optimale Strahlfuhrung hervorgerufenund bewirkt eine schwachere Ionenimplatation außerhalb des Fokus. Die Seitendosis kann Ausma-ße von einem funffachen des eigentlichen Strahldurchmessers annehmen. Mit dieser Annahme ist zuvermuten, dass auch die Bereiche zwischen den Streifen mit Ionen implantiert wurden und dadurchdie Elektronendichte zwischen den implantierten Streifen nicht mehr den Wert der Probe im nichtimplantierten Fall besitzt. Die Vermutung liegt nahe, dass die zwei Elektronendichten so nah bei-einander liegen, dass sie als Schwebung im longitudinalen Widerstand der am starksten mit Ionenimplantierten Probe 1144-iii28 existent sind, aber die Fouriertransformation sie nicht auflosen kann.

5.5.1 Fazit

Die Implantation eines Streifenmusters zeigt aufgrund von technischen Eigenschaften einer fokussie-renden Ionenstrahlanlage, die zu Seitendosen fuhren, nicht den erhofften Effekt. Eine Implantationmit Hilfe der Abdeckung der Probe mit einer geeigneten Maske konnte hier zu einem eindeutigerenErgebnis fuhren.

5.6 Homogenitat des Wafers 1144

Fur Vergleichsmessungen wurden auf den Waferstucken zur Probenprozessierung jeweils Probennicht mit Ionen implantiert (Abb5.32). Diese besitzen die in Tabelle 5.2 aufgefuhrten Daten.

Aufgrund der zufalligen Verteilung dieser Proben auf dem viertel Wafer soll hier eine Beurtei-lung der Homogenitat des Wafers 1144 gemacht werden. Hierdurch kann abgeschatzt werden, ob die


Abbildung 5.32: Verteilung der nicht mit Ionen implantierten Proben auf dem in dieser Arbeit ver-wendeten Viertel des Wafers 1144bf.

Probe � � � � � � � � � � � � � � � �� 1144-i01 1,43 3,421144-i25 1,57 3,001144-ii25 1,48 2,081144-iii18 1,44 2,11144-iii34 1,41 1,4

Tabelle 5.2: Die Daten des 2DEGs der nicht mit Ionen implantierten Proben.

Veranderung der Daten der Proben mit Ionenimplantationen auf die eigentliche Implantation oder aufeine Inhomogenitat des Wafers zuruckzufuhren ist.

Die Schwankungen in der Elektronendichte im 2DEG liegen bei 10 %, sie liegen somit imgleichen Rahmen wie die Schwankungen der Elektronendichte der mit geringen Ionendosen bis,�� , implantierten Proben in Abb.4.7. Eine monotone Veranderung der Elektronen-dichte von der Wafermitte zum Rand ist nicht festzustellen. Sie ist somit annahernd konstant uber denWafer. Die Verringerung der Elektronendichte ab einer Ionendosis von �� ist eindeutigvon der Ionenimplantation beeinflußt.

Die Elektronenbeweglichkeit hingegen erfahrt von der Mitte des Wafers zum Rand hin eine Hal-bierung. Zum Rand hin nimmt anscheinend die Anzahl der Storstellen leicht zu, worauf die Elek-tronenbeweglichkeit empfindlich reagiert. Diese empfindliche Reaktion auf Storstellen wurde schonanhand Abb.4.7 gezeigt. Die Elektronendichte bleibt konstant, die Elektronenbeweglichkeit jedochwurde durch eine geringe Ionendosis stark beeinflusst.

Die fur die Bestimmung der Plateaubreiten verwendeten Proben entstammen dem Waferstuck1144-i. Betrachtet man somit die Daten der zwei nicht implantierten Proben (Tab.5.2), so erhalt maneine Variation von 14 %. Da die Elektronenbeweglichkeit des 2DEGs der Probe des Waferstucks1144-i jedoch mit großer werdender Ionendosis einen monotonen Abfall zeigt und schon nach dergeringsten implantierten Ionendosis die Elektronenbeweglichkeit weit unter den genannten Wertenliegt (Abb.4.7), sind diese Schwankungen fur die Aussage, dass die Elektronenbeweglichkeit durchdie Ionenimplantation verandert werden kann, ohne Bedeutung.

Anhang A. MOSFET und Heterostrukturen 79

Anhang A

MOSFET und Heterostrukturen

Silizium (Si) ist das meist verwendete Element bei Halbleiterbauelementen. Das liegt an der großenVerfugbarkeit des Elements und einfachen Herstellung von Wafern. Daher ist Si neben Germani-um (Ge) auch das meist untersuchte Halbleiterelement. Jedoch bieten III-V-Halbleitermaterialien wieGalliumarsenid (GaAs) extrem kurze Transistorschaltzeiten aufgrund ihrer hoheren Ladungstrager-beweglichkeit und hoheren Sattigungsdriftgeschwindigkeit. Die in dieser Arbeit verwendeten III-V-Halbleitermaterialien GaAs und AlAs sind fur die epitaktische Herstellung von Heterostrukturen ambesten geeignet, da die beiden Verbindungen fast die gleiche Gitterkonstante (GaAs: � � = 0,5653 nm;AlAs: � � = 0,566 nm) jedoch eine Energieluckendifferenz von

� � � � �� besitzen (GaAs: � �= 1,42 eV, direkt; AlAs: � � = 2,15 eV, indirekt) [Ung86]. Hierdurch entstehen keine Versatzungen imGitter, die zu Spannungen fuhren wurden und man kann trotzdem Barrieren in den Bandkantenverlaufeinbinden.

A.1 MOSFET

Heutzutage sind MOSFETs (Metal Oxid Semiconductor Field Effect Transistor) die am weitestenverbreiteten Halbleiterbauelemente der Welt. Ihr Name beschreibt sowohl den Aufbau als auch dieArbeitsweise des Transistors.

Die Prozessierung eines MOSFETs kann auf Folgendes reduziert werden (Abb.A.1): Auf ein SiSubstrat, meist p-dotiert, wird der Isolator SiO � epitaktisch als Gateisolierung, zur kapazitiven An-kopplung des Gates an den Stromkanal, aufgewachsen und durch Atzprozesse auf die Maße (Langeund Breite) des Kanals gebracht. Seitlich des Oxids werden die Drain und Source Bereiche zur Kon-taktierung des lateralen Stromflusses n-dotiert und schließlich wird Metall oder Polysilizium als Gate-Elektrode auf dem Oxid und zur Kontaktierung von Drain und Source auf die n-dotierten Bereicheabgeschieden.

Im sehr haufig verwendeten Fall eines n-kanal Enhancement Transistors wird durch Anlegen posi-tiver Gatespannungen � � � der Halbleiter zum Isolatorubergang hin verarmt, bis sich schließlich eineInversionsschicht, angereichert mit Elektronen, bildet. Die Gatespannung, bei der die Elektronenlei-tung einsetzt wird Schwellspannung � � � genannt und ist bei Si ca. 0,7 V. Aufgrund einer angelegtenSpannung � � � uber den Kanal zwischen Drain und Source fließt ein Strom � � durch den Kanal,dessen Widerstand mit dem Gate gesteuert werden kann. Der Transistor befindet sich im sogenanntenohmschen Bereich. Fur großere Drain-Source Spannungen, D. h. � � � � � � � �� , geht der Ka-nalstrom in ein Sattigungsverhalten uber, denn die hohe Drain-Source Potentialdifferenz schnurt denElektronenkanal drainseitig ab. Durchlauft man also bei einer konstanten Gatespannung die Drain-Source Spannung, so steigt der Strom zunachst steil an und geht fur � � � � � � � � � � � in einenSattigungswert uber, dessen Hohe von der angelegten Gatespannung abhangt.

80 Anhang A. MOSFET und Heterostrukturen

Abbildung A.1: MOSFET [Coo93].

Abbildung A.2: GaAs/Al � Ga � � � As Heterostruktur.

A.2. GaAs/Al � Ga � � � As Heterostruktur 81

A.2 GaAs/Al � Ga � �� As Heterostruktur

Eine GaAs/Al � Ga � � � As Heterostruktur ist wie folgt aufgebaut (Abb.A.2): Auf ein GaAs Substratwird ein GaAs Buffer epitaktisch abgeschieden. Darauf wird ein undotierter Spacer aus Al � Ga � � � Asund eine Si-dotierte Al � Ga � � � As Schicht aufgewachsen. Im Fall der in dieser Arbeit verwendetenMaterialien liegen die Atomprozente fur Al bei 32% und fur Ga bei 68%. Als Abschluß wird eindunnens GaAs Cap aufgewachsen. Den Vorteil, den AlAs in Verbindung mit GaAs besitzt ist, dassdie Gitterkonstanten beider Materialien sehr ahnlich sind, die Energielucke ist jedoch wesentlichgroßer (GaAs: 1,42 eV; AlAs: 2,15 eV bei 300 K). Durch die gleiche Gitterkonstante treten praktischkeine Gitterversetzungen und Materialspannungen auf. Es mussen keine Schichten zur Glattung derOberflache eingefugt werden.

Aufgrund der Krummung des Leitungsbandes durch Einbringen von Si-Donatoren (Abb.A.2)wandern die Elektronen zur AlGaAs/GaAs-Grenzschicht, tunneln durch die Barriere und sammelnsich in der sich durch die Dotierung ausbildenen Potentialtasche unterhalb der Grenzschicht. DieDichte und die Beweglichkeit der Elektronen im 2DEG werden beeinflusst durch die Starke der Si-dotierung und durch die Dicke der Spacerschicht. Je mehr Si-Donatoren eingebracht werden, destostarker wird die Krummung der Leitungsbandkante und desto hoher wird die Elektronendichte unddesto kleiner wird die Elektronenbeweglichkeit im 2DEG. Wird hingegen die Spacerbreite erhoht, sowachst die Elektronenbeweglichkeit im 2DEG und die Elektronendichte wird aufgrund der großerenTunnelbarriere kleiner.

Zur Kontaktierung des 2DEGs werden lediglich Metalllegierungen bis zum 2DEG eindiffundiert(s. Kap.4.1.1).

Das 2DEG kann, wie beim MOSFET, durch ein Topgate beeinflusst werden. Eine Isolations-schicht ist hierbei nicht notig, da das 2DEG von der Halbleiteroberflache getrennt ist. Durch Anlegeneiner Spannung am Gate und Erzeugung eines elektrischen Feldes konnen die Elektronen aus derPotentialtasche in den Bufferbereich gedruckt werden.

82 Anhang A. MOSFET und Heterostrukturen

Anhang B. Lock-In 83

Anhang B

Lock-In

Lock-In Verstarker werden dort eingesetzt, wo sehr kleine Wechselspannungen bis hinab zu einigennV gemessen werden mussen. Trotz der oft tausendfach großeren Rauschsignale ist es durch dieLock-In-Technik moglich, einwandfrei das zu messende Signal zu detektieren.

Die Große des Rauschsignals eines Verstarkers ist abhangig von der Wurzel der Frequenzband-breite, uber die der Verstarker Messsignale verarbeiten kann. Da ein Verstarker uber eine große Band-breite verfugen sollte, um universell einsetzbar zu sein, wird das Rauschen deutlich großer als das zumessende Signal. Eine Verstarkung des Signals verstarkt in gleichem Maße auch das Rauschen.

Wird nun ein Bandpassfilter eingesetzt, wird die Bandbreite um die Signalfrequenz im Verhaltnisf/Q (Q = Gute des Filters) verkleinert. Bei so kleinen Signalgroßen von einigen Nanovolt sind diezur Zeit erreichbaren Guten von Filtern jedoch zu klein, damit das Rauschsignal kleiner wird als dasMesssignal.

Ein Versarker mit einem phasenempfindlichen Detektor (PSD, engl. phase sensitive detector) kannSignale einer Frequenz messen und dabei die Bandbreite so weit verringern, dass das Rauschen ummindestens eine Großenordnung geringer ist, als die Signalgroße.

Ein externer oder, wie beim SR850 DSP, ein interner Funktionsgenerator erzeugt ein rechteckigesSynchronisationssignal mit einer Frequenz � � . Das fur die Messung vom Funktionsgenerator ausge-geben Sinussignal besitzt dieselbe Frequenz wie das Synchronisationssignal mit einer festen Pase � �zu diesem. Der phasenempfindliche Detektor multipliziert zu dem zu messenden Signal von der Form� � � �� ( � � = Amplitude des Signals) durch eine sogenannte phasenfeste Schleife (PLL,engl. phase locked loop) ein selbst generiertes Signal gleicher Frequenz � � � � � , zum Synchronisa-tionssignal fester aber zum Messsignal anderer Phase � �� und und einer dem Signal � � gleichenAmplitude �� . Man erhalt ein neues Wechselspannungssignal und durch die gleichen Frequenzenauch ein Gleichspannungssignal. Durch einen engen Tiefpassfilter kann das AC Signal herausgefiltertwerden und man erhalt nur das DC Signal von der Form

� � � � � � � � � � � � � � � �� Da das Rauschsignal ein Wechselspannungssignal ist, wird es weitgehendst durch den steilflanki-gen, tieffrequenten Tiefpassfilter eliminiert. Lediglich das Rauschen mit der Referenzfrequenz gehtungefiltert mit einem geringen Beitrag in den Messwert ein.

Die Phase des Lock-In Signals � � sollte so gewahlt werden, dass � � � � �� ist, so dassman fur � � � � � � � � � � � � � � � erhalt, das volle zu messende Signal. Ist �� , so erhalt man keinSignal am phasenempfindliche Detektor � � � � �� . Um das Ergebnis am phasenempfindliche Detektorvon der Phase � unabhangig zu machen, wird ein zweiter phasenempfindliche Detektor eingefuhrt,der die Phase des zu multiplizierenden Lock-In Signals gegenuber dem ersten phasenempfindlicheDetektor um � � � dreht. Man erhalt somit zwei phasenempfindliche Detektorsignale, die im Weiterenwie folgt benannt werden sollen: �

� � � � � � � � (B.1)

84 Anhang B. Lock-In

� � � �� (B.2)

Die phasenunabhangige Amplitude � � erhalt man dann mit

� � � �� (B.3)

und die Phase �� (B.4)

[SR850]

Anhang C. Probendaten 85

Anhang C

Probendaten

Aufgelistet sind die Daten der flachig implantierten Proben die in dieser Arbeit zur Untersuchung derPlateaubreiten herangezogen wurden.

Struktur � � � � � Bemerkung� � � � � � � � � � �� 1144-i01 � � � �� –1144-i03 � � � � � � � � � �� 1144-i04 � � � �� 1144-i07 � � � � � �� 1144-i08 � � � �� 1144-i09 � � � �� 1144-i14 � �� PS 81144-i16 � � � �� 1144-i17 � � �� 1144-i18 � � � �� 1144-i20 � � � �� PS 81144-i25 � � � �� –11031-01 � � � � �� –11031-03 � � � � �� 11031-04 � � � � � �� 11034-01 � � � � � �� –1617-01 � � � � � �� –

beleuchtet:Struktur � � � � � Bemerkung� � � � � � � �� 11031-01b20 � � � � � � � � – 20 x 100 ms IR-Flash11031-01b60 � � � �� – 60 x 100 ms IR-Flash11031-02b40 � �� 40 x 100 ms IR-Flash11031-03b5 �� 5 x 100 ms IR-Flash11031-03b40 � � � � � � �� 40 x 100 ms IR-Flash11031-04b5 � � � � � � � � � � 5 x 100 ms IR-Flash11031-04b20 � � � � � � � � � 20 x 100 ms IR-Flash11031-04b40 � � � � � �� 40 x 100 ms IR-Flash1617-01b20 � �� – 20 x 100 ms IR-Flash1617-01b60 � � � �� – 60 x 100 ms IR-Flash

86 Anhang C. Probendaten

LITERATURVERZEICHNIS 87

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90 LITERATURVERZEICHNIS

ABBILDUNGSVERZEICHNIS 91

Abbildungsverzeichnis

1.1 Daten aus dem Experiment von Edwin H. Hall, aufgetragen von einer Tabelle seinerPublikation 1878 [Sto99]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Oben ist der Hall-Widerstand (� � � ) und unten der longitudinale Widerstand (

� � � )zu sehen. Die eingetragenen Zahlen geben den Faktor � aus Gl.1.1 wieder [Sto99]. . 6

1.3 Links: Oben ist die Temperaturabhangigkeit der Plateaus in der Hall-Leitfahigkeit zusehen, unten die der longitudinalen Leitfahigkeitsmessung [Huc95]. In diesem Fallwurde die Elektronendichte bei festem Magnetfeld variiert. Rechts: Abhangigkeit derProbenabmessugen zur Breite des Ubergangs zwischen den Plateaus. Oben: Maxi-mum im longitudinalen Widerstand bei einem Magnetfeld

! � und einer Tempera-tur von 25 mK. Unten: Ubergang zwischen zwei Plateaus bei demselben Magnetfeld! � . Bei zunehmender Probenabmessung nimmt die Breite des Plateauubergangs ab[Koc91]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Abhangigkeit der Breite der Maxima in der longitudinalen Leitfahigkeit von der ein-gekoppelten Frequenz. Die linke und die rechte Spalte unterscheiden sich in der Tem-peratur, bei der gemessen wurde [Huc95]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Zweidimensionales Ladungstragersystem, hier Elektronen als Ladungstrager, in ei-nem Magnetfeld senkrecht zur Ebene und dem angelegtem Strom. . . . . . . . . . . . 9

2.2 Zustandsdichte in der x-y Ebene eines zweidimensionalen Systems ohne Magnetfeld(a). Landauaufspaltung durch Anlegen eines Magnetfeldes ohne (b) und mit (c) Spin-aufspaltung [See98]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Der Verlauf der Leitfahigkeiten � � � und � �� in Abhangigkeit von � � � [Huc00]. . . . 11

2.4 Darstellung der Zustandsdichte in einem realen 2DEG im Magnetfeld. Die diskretenEnergieniveaus sind durch Storstellen im 2DEG zu Bandern verbreitert. Die Mittedieser Bander liegt in der Mitte der delokalisierten Zustande an dem Zustandsdichte-maximum. Die delokalisierten Zustande tragen zum Stromtransport bei. . . . . . . . 14

2.5 Bei der Erhohung des Magnetfeldes werden die Energieniveaus durch die Fermiener-gie �� geschoben. Hierbei wird (von links nach rechts) die Fermienergie von einemMobilitatsgap ohne Anderung der Leitfahigkeit in den Bereich der delokalisiertenZustande geschoben, indem der Hall-Widerstand zum nachsten Plateau anwachst undder longitudinale Widerstand maximal wird. Beim weiteren Erhohen des Magnetfel-des wurde das nachst tiefere Mobilitatsgap und dann die nachst tieferen delokalisier-ten Zustande durch die Fermienergie geschoben usw. Die lokalisierten Zustande, dienicht zum Stromtransport beitragen, verhindern das Springen der Fermienergie beimDurchlaufen der Energieskala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6 Qualitativer Zusammenhang zwischen dem Lokalisierungsbild und dem QHE im un-tersten Landauband (n=0). In dem Bereich der lokalisierten Zustande ist die longitu-dinale Leitfahigkeit � � � �� und die Hall-Leitfahigkeit konstant mit � � � � � �� . ImBereich delokalisierter Zustande zeigt die longitudinale Leitfahigkeit einen endlichenPeak und die Hall-Leitfahigkeit steigt zum nachst hoheren Plateau. . . . . . . . . . . 15

92 ABBILDUNGSVERZEICHNIS

2.7 Links: Der Verlauf der Landauniveaus � verhalt sich mit dem Abstand �� in einem

Potentialtopf. Hierbei werden die Niveaus zum Rand hin nach oben gebogen. An demSchnittpunkt der Niveaus mit der Fermienergie entstehen Randkanale. Rechts: ImMagnetfeld bewegen sich die Elektronen auf Zyklotronbahnen. . . . . . . . . . . . . 17

2.8 Draufsicht auf einen Hall-Bar beim Durchlaufen der Fermienergie von lokalisiertenZustanden zu delokalisierten Zustanden (von links nach rechts). Die Stromkontaktestelle man sich rechts und links des Hall-Bars angeordnet vor. Zuerst bilden sichInseln aus, in denen Elektronen eingefangen werden konnen. Diese Inseln werdenimmer großer, bis die Aquipotentiallinien keine geschlossenen Wege mehr haben unddie Elektronen frei beweglich sind. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.9 Dargestellt ist der Verlauf zweier Randkanale in einem Hall-Bar, in dem ein Stromvon Kontakt 6 zu Kontakt 3 fließt und senkrecht zur Ebene ein Magnetfeld angelegtist. Die Pfeile an den Randkanalen zeigen die Richtung der Elektronen an. Grau ein-gezeichnet ist der Teil, den Abb.2.8 darstellt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.10 Darstellung des Elektronensees mit den durch das angelegte Magnetfeld erzeugtenVortexe. Quantenmechanische Betrachtung des 2DEGs als Elektronensee (a) indemsich die Elektronen moglichst weit voneinander entfernen (b). Entstehung der Vortexe(Ladungsfreie Kreisflachen im 2DEG) durch Anlegen eines Magnetfeldes (c) und dieVerbindung mit Elektronen (d und e) zur Verringerung der Gesamtenergie des Systems[Sto99]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.11 Die Austauschstatistik der composit particles. Die Elektonen sind Fermiaonen undbeim Austausch zweier Elektronen wechselt die Wellenfunktion ihr Vorzeichen (a). Beijedem Hinzukommen eines Flussquants wird die Wellenfunktion des so entstandenencomposite particle beim Austausch zweier composite particles mit -1 multipliziert.Dadurch wechselt das Vorzeichen bei ungerader Anzahl von Flussquanten der Wel-lenfunktion nicht (b und d) und es entstehen composite bosones. Bei gerader Anzahlvon Flussquanten wechselt das Vorzeichen der Wellenfunktion (c) und es entstehencomposite fermions [Sto99]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1 Bandkantenenergie des zweidimensionalen Elektronengitters im Magnetfeld. DasEnergiespektrum ist periodisch im Gitter-Fullfaktor mit einer Serie von lokalen Ener-gieminima bei (a) ganzen Zahlen, (b) halbzahligen und (c) weiteren Bruchen. Fur Ma-gnetfelder in der Nahe der lokalen Energieminima ist der Magnetfluss quantisiert, dieElektronen kristalisieren in ein zweidimensionales Elektronengitter und zeigen dengeradzahligen IQHE (a), den ungeradzahligen IQHE (b) und den FQHE (c) [Hua02]. 23

3.2 Linearitat der normalisierten Plateaubreite� ! � ! gegen das Magnetfeld. An der

Oberkante des Diagramms ist der Gitter-Fullfaktor� �

und an den Messpunkten derFullfaktor

�angegeben [Hua02]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Der Hall-Widerstand im IQHE bei T = 0 K mit theoretisch maximal ausgedehntenPlateaus. Grun stellt die Hallgerade und rot die Verbindung zwischen den Plateau-mitten dar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4 Veranschaulichung der Reihenentwicklung (schwarz) zur Berechnung der Plateau-mitte (rot). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5 Die Hall-Leitfahigkeit � � � � � � � � im IQHE bei T = 0 K in Abhangigkeit von� �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1 Aufbau einer GaAs/Al� Ga � � � As Heterostruktur, auch als HEMT (engl. high electronmobility transistor) bezeichnet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Das Wachstumsprotokoll des Wafers Nr.1144. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Die verwendete Hall-Bar Struktur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.4 Der Aufbau der Belichtungseinheit zur Maskenherstellung von oben gesehen. . . . . 32


4.5 Die Abmessungen der Hall-Bar Struktur und das Fenster der flachigen Implantation(500 � m x 500 � m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.6 Schematischer Aufbau der verwendeten fokussierenden Ionenstrahlanlage”

Finesse“. 344.7 Die Elektronendichte � � � und die Elektronenbeweglichkeit � , aufgetragen gegen die

implantierte Ionendosis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.8 Eindringtiefe von 10 keV Ga � Ionen in die verwendete GaAS/Al � Ga � � � As Hete-

rostruktur (schwarz) und die Tiefenverteilung der erzeugten Ga und As Leerstellen(rot). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.9 Links: Die mittlere freie Weglange� � � (gelb) und der Ionenabstand

�� (schwarz)

aufgetragen gegen die Ionendosis � . Rechts:� � � � � � � � aufgetragen gegen die Ionen-

dosis � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.10 Der Versuchsaufbau am Beispiel einer longitudinalen Widerstandsmessung. . . . . . 404.11 Schemazeichnung des Mischkryostaten [Oxf00]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.12 Die Insert Vacuum Chamber im geoffneten Zustand. Die kupferfarbenen Kammern

stellen von oben nach unten den 1 K Pot, den Still und die Entmischkammer dar (vgl.Abb.4.11). Danach folgt eine Stange, die die Probe im Zentrum des Magneten haltund eine optimalen Warmeaustausch der Probe mit der Mischkammer bietet. . . . . 42

4.13 Chip carrier mit Probe im IC-Sockel. Die IR-Diode zur Beleuchtung der Proben istam chip carrier befestigt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.14 Der Messplatz mit den verwendeten Messgeraten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.1 Landauaufgespaltene ( �� ) und spinaufgespaltene (� � � ! ) Energieniveaus. . . . . . 46

5.2 Probe 1144-i04: Longitudinale Widerstandsmessung aufgetragen gegen das Magnet-feld (� � � � � �� , �� bei 50 mK). . . . . . . . . . 47

5.3 Probe 1144-i04: Hall-Widerstandsmessung aufgetragen gegen das Magnetfeld. . . . 475.4 Probe 1144-i18: Longitudinale Widerstandsmessung (rot) aufgetragen gegen das

Magnetfeld (� � � � � � � � � � � � � , � � �� bei 50 mK). Dieschwarze Kurve stellt die Ableitung des Hall-Widerstands

� � � nach dem MagnetfeldB dar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.5 Probe 1144-i18: Hall-Widerstandsmessung aufgetragen gegen das Magnetfeld( � � � � � � �� , �� bei 50 mK). . . . . . . . . . . . . 49

5.6 a) Die Verschiebung der quantisierten Hall-Widerstandskurve (schwarz) zur klassi-schen Hall-Geraden (rot) in realen Proben (1144-i04) durch das Verhalten

! � � � .Als blaue, senkrechte Linien eingezeichnet sind die Grenzen des Plateaus im Hall-Widerstand bei

� � , zwischen denen es eben ist. Der eingegerenzte Bereichstimmt mit dem Minimum im longitudinalen Widerstand uberein. Die Mitte des Pla-teaus (mittlere blaue Linie) stimmt nicht mit dem Schnittpunkt der klassischen Hall-Geraden bei

! � � � � uberein (rote, senkrechte Linie). b) zeigt den Hall-Widerstandder nicht Implantierten Probe und c) den der Probe mit der hochsen implantiertenIonendosis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.7 Die normierte Plateaubreite� ! ��! aufgetragen gegen die Elektronenbeweglichkeit

im 2DEG. Die geraden Fullfaktoren sind durch die gefullten und die ungeraden durchdie offenen Symbole dargestellt. Die Grenzen der Plateaus wurden bei den Magnet-feldern bestimmt, an denen der Hall-Widerstand um � 1% von den quantisierten Wert� � � � �

� � abweicht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.8 Dieselbe Auftragung wie aus Abb.5.7 jedoch sind hier die maximal moglichen Pla-teaubreiten bei den jeweiligen ganzzahligen Fullfaktoren als horizontale Linien ein-gezeichnet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.9 Die Plateaubreite��

aufgetragen gegen die Elektronenbeweglichkeit im 2DEG. Diegeraden Fullfaktoren sind durch die gefullten und die ungeraden durch die offenenSymbole dargestellt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54


5.10 Abstande der Energieniveaus und die daraus resultierende Plateaubreite fur ungera-de (

�� ) und gerade Plateaubreiten (�� ). . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.11 Die Abstande zwischen den Plateaus im Fullfaktorbild. In Klammern steht der Full-faktor des hinzukommenden Plateaus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.12 Der Verlauf der Plateaus und der Plateauubergange zu sehen in der Hall-Leitfahig-keitskurve � � � (Gl.2.14) aufgetragen gegen den Fullfaktor

�bei einer Elektronenbe-

weglichkeit von �� . Zum Vergleich ist in Abb.3.5 die theoretischeHall-Leitfahigkeitskurve dargestellt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.13 Das Verhalten der Lokalisierungslange�

in Abhangigkeit vom Fullfaktor�

. DiePhasenkoharenzlange

�bestimmt den maximal erreichbaren Wert der Lokalisie-

rungslange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.14 Die Ableitung der Hall-Leitfahigkeit nach dem Fullfaktor

�in Abhangigkeit des Full-

faktors. Betrachtet werden hier exemplarisch die Werte der Proben 1144-i03 und1144-i08. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.15 Fallender Verlauf der relativen Plateaubreite� ! � �! bei hohen Elektronenbeweg-

lichkeiten � fur dir Fullfaktoren�

= 3 und 4. Rot dargestellt ist der Fit uber dieMesspunkte fur

�= 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.16 Links: Tiefe Taler in der Potentiallandschaft mit � Elektronen eines 2DEGs bei ge-ringen Elektronenbeweglichkeiten. Rechts: Flache Taler in der Potentiallandschaftgleicher Elektronenzahl � bei hoher Elektronenbeweglichkeit. Hier dehnen sich dieElektroneninseln starker aus, so dass Ruckstreuung uber einen großeren Magnetfeld-bereich moglich ist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.17 Die delokalisierten Zustande verbreitern sich bei Zunahme der Elektronenbeweglich-keit im 2DEG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.18 Der Weg eines Elektrons durch ein stark gestortes System mit niedriger Elektronenbe-weglichkeit � (links) und durch ein freies System mit hoher Elektronenbeweglichkeit� (rechts). In beiden Fallen steht das Magnetfeld senkrecht zur Bildebene. . . . . . . 63

5.19 Das Verhalten der Energiebander � � (oben), der Leitfahigkeit � (mitte) und des spe-zifischen Widerstands

�(unten) [Huc00]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.20 Longitudinaler Widerstand von Proben mit einer Elektronenbeweglichkeit von � �� und einer Elektronendichte um � � � � � � � � � � � � . . . . . . . . . 655.21 Hall-Widerstand von Proben mit einer Elektronenbeweglichkeit von � �

� � � � � � � �� und einer Elektronendichte um � � � � � � � � � � � � . . . . . . . . . 655.22 Temperaturabhangigkeit des Vorfaktors � bei verschiedenen Proben. Bei Temperatu-

ren unter 30 K (lineare Skala) findet man fur alle Proben � � �� . Bei hoherenTemperaturen (logarithmische Skala) geht der Vorfaktor mit � � � � � � � � � � [Rot89]. 67

5.23 Einige Vergleiche des Widerstandsgesetzes in Gleichung 5.17 mit dem longitudinalenWiderstand der Probenserie 1144-i mit Variation des Vorfaktors � . Von links obennach rechts unten: 1144-i04, 1144-i09, 1144-i16 und 1144-i18. . . . . . . . . . . . . 68

5.24 Der Vorfaktor � des Widerstandsgesetzes 5.17 (rot) und der Magnetfeldwert, ab demeine Ubereinstimmung mit dem jeweiligen longitudinalen Widerstand

� � � stattfindet(schwarz), aufgetragen gegen die Elektronenbeweglichkeit. Die Durchschnittswerteaus der Arbeit von T. Rotger et al. [Rot89] (gelb) sind bei Temperaturen zwischen 1,4K und 30 K fur die jeweilige Probe gemessen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.25 Beispiele zur Anwendung von Gl.5.20. Die Elektronenbeweglichkeiten sind a) � �� , b) �� und c) �� . Der grauunterlegte Bereich wird durch das Widerstandsgesetz in Gleichung 5.17 von A. M.Chang und D. C. Tsui beschrieben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.26 Der Hall-Widerstand der Probe 1144-ii11, bei der nur der Rand des Hall-Bars mitGa � Ionen implantiert wurde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72


5.27 Der Verlauf des Hall-Widerstands bei Spinentartung (spin degeneracy) und bei Spin-aufspaltung (spin splitting) als gestrichelte Linie. Das Verhalten am Ubergang dieserbeiden Falle ist als durchgezogene Linie dargestellt [Ric92]. . . . . . . . . . . . . . 73

5.28 Rechts: Der Verlauf der Transmissionswahrscheinlichkeit im Bereich des Ubergangszwischen zwei Plateaus im Hall-Widerstand. Rechts, schwarz: Der Verlauf des Hall-Widerstands bei der Ruckstreuung nur des innersten Randkanals. Rechts, rot: DerVerlauf des Hall-Widerstands bei der Ruckstreuung aller Randkanale. . . . . . . . . 74

5.29 Schematische Darstellung der Implantation von 10 � m breiten Streifen mit einer Pe-riode von 20 � m mit Ga � Ionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.30 Der longitudinale Widerstand� � � der Probe 1144-iii28. Implantiert wurden 10 keV

Ga � Ionen in Streifenform mit einer Dosis von �� . . . . . . . . . . . 765.31 Die Fouriertransformierte des longitudinalen Widerstands

� � � der Probe 1144-iii28. 765.32 Verteilung der nicht mit Ionen implantierten Proben auf dem in dieser Arbeit verwen-

deten Viertel des Wafers 1144bf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

A.1 MOSFET [Coo93]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A.2 GaAs/Al � Ga � � � As Heterostruktur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80


TABELLENVERZEICHNIS 97

Tabellenverzeichnis

4.1 Die Brenweiten- und Objektivabstandsdaten fur die jeweilige Verkleinerung. . . . . . 334.2 Die Daten der zusatzlich verwendeten Wafer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.1 Parameter der Ausgleichskurve aus Gleichung 5.16 fur verschiedenen Fullfaktoren�

. 625.2 Die Daten des 2DEGs der nicht mit Ionen implantierten Proben. . . . . . . . . . . . 78

98 TABELLENVERZEICHNIS


Danksagung

An dieser Stelle bietet sich mir die Moglichkeit mich bei allen zu bedanken, die zum Gelingen dieserArbeit beigetragen haben.

Zunachst mochte ich mich bei Prof. Dr. Andreas D. Wieck bedanken, der es mir ermoglichte,an dieser interessanten Themenstellung an seinem Lehrstuhl arbeiten zu durfen. Bei Dr. Dirk Reuterbedanke ich mich fur die Herstellung und bei Ingrid Kamphausen fur die Katalogisierung der Proben.Dr. Jorg Koch danke ich fur die Einfuhrung in die fokussierenden Ionenstrahlanlage und AndreaSeekamp und Rolf Wernhardt fur die weiterfuhrende Pflege dieser Anlage.

Fur ausgedehnte und konstruktive Diskussionen mochte ich mich ebenfalls bedanken bei Dr. JorgKoch, Dr. Bodo Huckestein, Sabine Lassen, Dr. Dorina Diaconescu, Dr. Soheyla Eshlaghi, AndreaSeekamp, Dr. Inga Dobrinets, Andre Ebbers und Christof Riedesel.

Bei Georg Kortenbrug mochte ich mich fur die Bereitstellung jeglicher fertigungstechnischer Pro-bleme und bei Rolf Wernhard und Christof Riedesel fur die anwenderfreundliche Umsetzung com-puterunterstutzter Messprogramme. Peter Kailuweit mochte ich danken fur die Hilfe bei ungewohn-lichen Problemen Windowsunterstutzter PCs.

Nadine Viteritti, Sascha Hoch, Peter Schafmeister, Sinan Unlubayir und allen oben genanntendanke ich fur die netten und anregenden Gesprache zwischendurch.

Bei Carmen Rockensuß, Katleen Werner, Silke Nissen-Remberg und Regina Lehnart mochte ichmich fur die organisatorischen Aufgaben bedanken.

Dem Evangelischen Stipendienwerk Haus Villigst e. V., Schwerte danke ich fur die Forderung desPromotionsvorhabens, insbesondere Dr. Eberhard Muller fur seine umfassende Betreuung.

Ilka Kohlmann danke ich fur die Einfuhrung in die neue deutsche Rechtschreibung.Ganz besonderer Dank gilt meiner Frau Eva Maria, die mich in den Jahren der Promotion in

jeder Hinsicht unterstutzt und vorangetrieben hat und meinen Kindern, die mir gezeigt haben, wieeinfach das Leben sein kann. Klaus und Heidemarie Wolk danke ich fur die zusatzlich Unterstutzungwahrend der Studienzeit und last but not least bedanke ich mich herzlich bei meinen Eltern, die mirdie Moglichkeit geboten haben, ein Studium und eine Promotion durchfuhren zu konnen.

Danke, danke, danke.

100 TABELLENVERZEICHNIS


Lebenslauf

Andreas Goldschmidt, geboren am 09.04.1972 in Witten1978 – 1981 Besuch der Hulberg-Grundschule in Witten1981 – 1983 Besuch der Brenschen-Grundschule in Witten1983 – 1989 Besuch der Otto-Schott-Realschule in Witten1989 – 1992 Besuch des Schiller-Gymnasiums in Witten

Juni 1992 Abitur

1992 – 1998 Studium der Physik an der Ruhr-Universitat Bochum

Oktober 1998 Diplom in Physik an der Ruhr-Universitat BochumThema: Entwicklung und Test einer Triggerelektronik fur CB-ELSABetreuer: Prof. Dr. H. Koch

seit 1999 Doktorand am Lehrstuhl fur Angewandte Festkorperphysik derRuhr-Universitat BochumBetreuer: Prof. Dr. A. D. Wieck

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Untersuchungen am longitudinalen und transversalen ... · RUHR-UNIVERSITAT¨ BOCHUM Untersuchungen am longitudinalen und transversalen Widerstand quantisierter Hall-Systeme Ruhr-Universitat¨