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Losung Aufgabe 4.2
1. Verlauf der Isobaren im h, s-Diagramm
a) Aus der Fundamentalgleichung fur die Entropie eines reinen Stoff
T ds = dh− v dp
ergibt sich mit dp = 0 fur die Steigung der Isobaren(∂h
∂s
)p
= T.
Die Isobaren sind also an jedem Punkt haben also an jedem Punkt eine Steigung die derTemperatur des Zustandspunktes entspricht.
Aus dem Zustandspostulat ergibt sich bei vorgegebener Entropie s und dem Druck pder Isobaren die Enthalpie h = h(p, s) und wegen T = T (p, s) ebenso die Steigung derIsobaren an diesem Zustandspunkt.
b) Das vorstehende Ergebnis fur die Steigung der Isobaren ist unabhangig vom konkretenStoff. Gilt also auch fur ein ideales Gas(
∂h
∂s
)iG
p
= T.
Druck und Temperatur sind durch die Gasgleichung verknupft:
pv = RT
Das p, v-Diagramm zeigt, dass sich fur konstanten Druck Volumens v und TemperaturT kontinuierlich andern. Die Isobaren im h, s-Diagramm haben deshalb eine sich stetigandernde Steigung.
c) Bei einem realen Fluid sind Phasenubergange, wie etwa beim Verdampfen, dem Ubergangvom flussigen zum gasformigen Zustand, moglich. Im Nassdampfgebiet sind Druck undTemperatur gekoppelt wie das Dampfdruckdiagramm zeigt. Im Nassdampfgebiet andernsich zwar Enthalpie und Entropie bei isobarer Warmezufuhr, die Temperatur bleibt je-doch konstant T = const. Damit andert sich auch die Steigung der Isobaren im Nass-dampfgebiet (NDG) nicht: (
∂h
∂s
)NDG
p
= T = const
Da sich die Temperatur bei weiterer Wamezufuhr uber den Taupunkt hinaus nicht sprung-haft andert Durchschneiden dei Isobaren die Taulinie stetig. Das gilt auch fur den verlaufbeim Durchtritt surch die Siedelinie.
Die Isothermen und die Isochoren zum Beispiel haben dagegen an der Siedelinie und ander Taulinie einen unstetigen Verlauf, ihre Steigung andert sich sprunghaft.
2. Verlauf der Isobaren und Isochoren eines idealen Gases im T, s-Diagramm
Isobare:
Aus Fundamentalgleichung:
T ds = dh− v dp
ideales Gas: dh = cp dT
T ds = cp dT − v dp
dp = 0 ⇒ T (ds)p = cp(dT )p ⇒(∂T
∂s
)p
=T
cp
Isochore:
Aus Fundamentalgleichung:
T ds = du+ p dv
ideales Gas: du = cv dT
T ds = cv dT + p dv
dv = 0 ⇒ T (ds)v = cv (dT )v ⇒(∂T
∂s
)v
=T
cv
Da cp − cv = R gilt cp > cv , und es folgt:
(∂T
∂s
)v(
∂T
∂s
)p
=T/cvT/cp
=cpcv
= κ > 1
Das Verhaltnis der Steigung der Isochorenzur Isobaren entspricht an jeder Stelle demVerhaltnis der spezifischen Warmen.
Außerdem verlaufen die Isobaren stetsflacher als die Isochoren.
Isobare und Isochore haben bei konstantenspezifischen Warmen cp und cv auf Isother-men stets die gleiche Steigung.
h
s
p = const
v = const arctan(T/cp)
arctan(T/cv)
Die Funktionen T (s) fur isobare und isochore Zustandsanderungen erhalt man durchIntegration der jeweiligen Differentiale(
∂T
∂s
)p
=T
cp,
(∂T
∂s
)v
=T
cv.
Diese haben die allgemeine Form
(dT
ds
)=
1
cT .
Durch Trennung der Variablen und Integration erhalt man
dT
T=
1
cds ⇒ ln
T
T0
=1
c(s− s0) bzw.
T
T0
= exp(s− s0
c
)
Isobare:T
T0
= exp(s− s0
cp
)
Isochore:T
T0
= exp(s− s0
cv
)
Isobare:
Bei konstanter Temperatur falltdie Entropie fur anwachsendenDruck.
p
h
s
p = const
arctan(T/cp)
Isochore:
Bei konstanter Temperatur steigtdie Entropie fur anwachsendesVolumen.
v
h
s
v = const
arctan(T/cv)
